EL CASO DE FERMAT

CALCULO DIFERENCIAL

INTRODUCCION

ESTE TEMA TRATA ACERCA DE QUE PODEMOS OBTENER UNA RECTA SECANTE

MEDIANTE EL INCREMENTO Y EL PUNTO FIJO DADO POR NOSOTROS.

ADEMAS DE QUE AL OBTENER VARIAS RECTAS SECANTES ESTAMOS

OBTENIENDO UNA RECTA TANGENTE, Y PUES ESTO SE OBTIENE MEDIANTE LA

FORMULA DE FERMAT DEBIDO AL NOMBRE DE PIERRE DE FERMAT.

METODO DE FERMAT

“LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA ES IGUAL AL LIMITE DE LAS PENDIENTES DE LAS RECTAS SECANTES CUANDO h TIENDE A CERO”

SU FORMULA ES LA SIGUIENTE:

𝑚𝑡𝑔 = limℎ→0

𝑚𝑠

DONDE 𝑚𝑠 SE OBTIENE DE:

𝑚𝑠 =𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0

𝑥 − 𝑥0

YA QUE:

𝑥0, 𝑓(𝑥0) : SON LAS COORDENADAS DEL PUNTO FIJO

𝑥, 𝑓 𝑥 : SON LAS COORDENADAS DEL PUNTO MOVIL

ℎ = 𝑥 − 𝑥0𝑥 = ℎ + 𝑥0𝑥0 = 𝑥 − ℎ

OBTENER LA RECTA SECANTE DE LA

FUNCION 𝑦 = 𝑥2

ANTES DE OBTENER LA RECTA SECANTE DEBEMOS DE TENER LOS DATOS

SIGUIENTES:

𝑦 = 𝑥2

X, Y COORDENADAS

0 0 (0,0)

1 1 (1,1)

2 4 (2,4)

3 9 (3,9)

-1 1 (-1,1)

-2 4 (-2,4)

-3 9 (-3,9)

LLAMAMOS PUNTO FIJO AL PUNTO QUE SE QUEDARA EN LA FUNCION

COMO EN EL EJEMPLO NO ESPECIFICA POR CUAL COORDENADA SERA PARA UTILIZAR EL PUNTO FIJO, NOSOTROS CREAREMOS UNO, Y PARA ELLO SOLO NOS BASTA CON ELEGIR UNA

COORDENADA CUALQUIERA DE LAS QUE LA GRAFICA PERTENECE; COMO ES EJEMPLO UTILIZAREMOS LA COORDENADA [3,9].

ESA COORDENADA REPRESENTARA EL PUNTO FIJO

𝑥0, 𝑓(𝑥0)

[3,9]

COMO VEMOS AHÍ:

𝑥0 = 3𝑦0 = 𝑓 𝑥0 = 9

h es el incremento de x (∆x), por lo tanto “h” le podemos asignar un numero cualquiera. Como ejemplo le daremos que a h=2 y realizaremos la siguiente operación:

ℎ = 𝑥 − 𝑥02 = 𝑥 − 32 + 3 = 𝑥5 = 𝑥

Solo obtuvimos la abscisa del punto móvil, solo nos falta la ordenada y esa la obtenemos de la función dada en el ejemplo, es decir:

𝑓 𝑥 = 𝑦 = 𝑥2

𝑦 = 5 2

𝑦 = 25

ASI QUE LA COORDENADA PARA EL PUNTO MOVIL ES: (5,25)

AL MARCAR EL PUNTO FIJO Y EL PUNTO MOVIL,

UNIMOS LOS PUNTOS Y OBTENEMOS LA RECTA

SECANTE:

OBTENIENDO LA FORMULA PARA TENER MAS

RECTAS TANGENTES A PARTIR DEL PUNTO FIJO,

DESCONOCIENDO EL INCREMENTO:

RECORDANDO LOS DATOS:

𝑥0, 𝑓(𝑥0)𝑥0 = 3 𝑦0 = 𝑓 𝑥0 = 9

𝑥 = ℎ + 𝑥0𝑥 = ℎ + 3

SUSTITUYENDO LOS DATOS:

𝑚𝑠 =𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0

𝑥 − 𝑥0=𝑓 𝑥 − 𝑓 3

𝑥 − 3=𝑓 ℎ + 3 − 𝑓 3

ℎ + 3 − 3=𝑓 ℎ + 3 − 𝑓 3

ℎ

𝑚𝑠 =(ℎ + 3)2 − 3 2

ℎ

=(ℎ + 3)2 − 9

ℎ=ℎ2 + 6ℎ + 9 − 9

ℎ=ℎ2 + 6ℎ

ℎ

𝑚𝑠 = ℎ + 6

𝑚𝑡𝑔 = limℎ→0

𝑚𝑠 = limℎ→0

𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0𝑥 − 𝑥0

= limℎ→0

𝑓 ℎ + 𝑥0 − 𝑓 𝑥0ℎ

= limℎ→0

ℎ + 𝑥02 − 𝑥0

2

ℎ

= limℎ→0

ℎ2 + 2ℎ𝑥0 + 𝑥02 − 𝑥0

2

ℎ= lim

ℎ→0

ℎ2 + 2ℎ𝑥0ℎ

= limℎ→0

ℎ + 2𝑥0 = 0 + 2𝑥0

𝑚𝑡𝑔 = 2𝑥0

𝑥 = ℎ + 𝑥0

𝑥 − 𝑥0 = ℎ

𝑚𝑡𝑔 = 2𝑥0

ESTA ES LA FORMULA PARA CALCULAR LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE

DE LA FUNCION y = 𝑥2 PARA USAR UN PUNTO FIJO 𝑥0, 𝑓(𝑥0) CUALQUIERA.

RECORDANDO LA TABLA, COMO EJEMPLO, USAREMOS LAS COORDENADAS

(3,9) Y (1,1).

𝑚𝑡𝑔 = 2𝑥0 PARA (3,9), ENTONCES:

𝑚𝑡𝑔 = 2𝑥0 = 2 3 = 6

𝑚𝑡𝑔 = 6

Y

𝑚𝑡𝑔 = 2𝑥0 PARA (1,1), ENTONCES:

𝑚𝑡𝑔 = 2𝑥0 = 2 1 = 2

𝑚𝑡𝑔 = 2

Y SI QUIERES SABER QUE ANGULO TIENEN SE HACE LO SIGUIENTE:

𝑃𝐴𝑅𝐴 𝑚𝑡𝑔 = 6

𝑚𝑡𝑔 = tan𝛼 = 6

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 tan 6 = 80.5376°𝛼 = 80.5376°

𝑃𝐴𝑅𝐴 𝑚𝑡𝑔 = 2

𝑚𝑡𝑔 = tan𝛼 = 2

𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 tan 2 = 63.4349°𝛼 = 63.4349°

GRAFICA DE LA FUNCION 𝑦 = 𝑥2 CON

2 RECTAS TANGENTES Y SUS 2 PUNTOS

FIJOS DADOS

𝛼 = 80.5376°

𝛼 = 63.4349°