Upload
reece
View
47
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
El concepto de función (primera aproximación). Como veremos una función es una ley de asociación entre los elementos de 2 conjuntos. Antes de profundizar en este concepto, será necesario adquirir algunas nociones sobre lenguaje básico que, posteriormente, nos - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
El concepto de función (primera aproximación)
Como veremos una función esuna ley de asociación entre los elementos de 2 conjuntos.
Antes de profundizar en este concepto, será necesario adquirir algunas nociones sobre lenguaje básico que, posteriormente, nos servirá para concretar una definición formal para función matemática.
1) Definición 1:
Es cualquier tipo de asociaciónentre los elementos de 2 conjuntos …
… conjuntos iguales entre sí odistintos.
Para comprender el trasfondoconceptual de la definiciónanterior, utilizamos un tipo de gráfica muy básica denominada:DIAGRAMA SAGITAL, veamos …
A B
Relación: Es cualquier tipo de asociación entre los elementos de 2
conjuntos, por ejemplo, un conjunto, A (inicial), al que denominamos
CONJUNTO DE PARTIDA.y un conjunto, B (final) ), al que denominamos CONJUNTO DE
LEGADA.
A B
Según se dijo, estos conjuntos pueden ser iguales entre sí …
(conjuntos iguales son aquellos que tienen los mismos elementos)
= A
A B
O, en el caso más general, pueden ser, conjuntos distintos(dos conjuntos son distintos entre si al menos se
diferencianen un único elemento o por supuesto en todos sus
elementos)
= A A nota: A está formado por { rectángulo, óvalo, estrella }
B está formado por { óvalo cruzado, óvalo, cruz }
A A B
Pero para que esta representación cumpla con la definición de
relación, es necesario que exista una vinculación entre los elementos de ambos conjuntos.
A A B
En este tipo de diagramas (diagramas sagitales), tal vinculación,
criterio de asociación o ley de formación (diferentes locuciones
para referirnos al mismo concepto: vinculación), se define mediante
flechas que parten en todos, uno o algunos de los elementos del
conjunto de partida y finalizan en todos, uno o algunos de los
elementos del conjunto de llegada, sin restricciones, es decir, la
vinculación puede ser de cualquier manera imaginable …
A A B
Para una relación matemática, específica, no hay criterios de
restricción en la forma en que la vinculación puede ser definida,
veamos ...
A B
Esta es una relación matemática, ya que hay dos conjuntos, uno de
partida, otro de llegada y una vinculación entre sus elementos.
R
A B
Para referirnos a una relación en particular, como la actual, siempre debemos mencionar, el nombre bajo el cual nos
referiremos a ella (las relaciones se nombran con una letra, en este caso yo escogí llamarle relación R), el nombre de los conjuntos participantes, primero el del conjunto de partida, luego el del conjunto de llegada y finalmente, especificar cómo se vincularán
los elementos de estos conjuntos, por ejemplo, con respecto a la relación actual, decimos …
R
A B
Esta es la relación R,
R
1) Nombre de la relación,2) especificación de los conjuntos de definición,
definida de A en B3) especificación la ley de formación.
, tal que:rectángulo (en el conjunto de partida) está asociado con óvalo y óvalo cruzado (en el conjunto de llegada).óvalo (en el conjunto de partida) está asociado con óvalo
cruzado y óvalo (en el conjunto de llegada).
estrella ( en el conjunto de partida) está asociado a ningún elemento del
conjunto de llegada; lo mismo que cruz en B.
2) Simbología y designaciones(nombres).
2.a) A cualquiera sea un elemento del conjunto de llegada se le
simboliza con una letra minúscula cualquiera. Por tradición es
común utilizar la letra minúscula “y”. En síntesis, si acordamos utilizar la letra de tradición, para
referirnos a esta condición escribimos:y BSe lee: “y” es un elemento (cualquiera) de B.
2) Simbología y designaciones(nombres).
2.b) A cualquiera sea un elemento del conjunto de partida se le
simboliza con una letra minúscula cualquiera (sólo por facilitar
las cosas, habitualmente, distinta de la que se ha elegido para
representara los elementos del conjunto de llegada, pero a
veces incluso puede ser utilizada la misma letra, sobre todo
cuando A y B son conjuntos idénticos), por tradición es común utilizar la letra minúscula “x”
En síntesis, si acordamos utilizar la letra de tradición, para
referirnos a esta condición escribimos:x ASe lee: “x” es un elemento (cualquiera) de A.
Respecto de los elementos y, puedes notar que, en el caso
más general, no todos ellos tendrán, necesariamente, algún
asociado en el conjunto de las “x” (conjunto de partida) y
recíprocamente, no todo “x” de A, tendrá, necesariamente,
algún asociado en B. Este hecho es la base para las siguientes
definiciones.
A BR
2.c) Imagen, valor dependiente o valor de la relación: Es
cualquier elemento del conjunto de llegada que cumpla con la
condición de tener algún asociado en A.
A BR
Nota que al decir “algún asociado” estamos considerando
indistintamente el caso en que este asociado pueda ser único o
más de uno solo.
En el caso de nuestro ejemplo son valores de la relación R, es
decir son imágenes, los elementos:
A BR
óvalo cruzado y óvalo, ya que
1) Son elementos de B y 2) tienen algún asociado en A.
Para simbolizar, en forma general, a una cualquiera de las
imágenes de una relación, se escribe la letra del nombre de la
relación, seguida de un paréntesis y dentro de este paréntesis
la letra que hemos escogido para representar a un elemento
cualquiera de A, en este caso particular la letra “x”, por
ejemplo:
óvalo cruzado y óvalo
son en general una R(x) es decir, son en general una imagen de la relación R,
asociadas con algún x de A. luego R(x) es un símbolo que
se lee como: “ imagen de la
relación R, asociada con algún
x de A ”.Otra lectura para R(x) es“erre de x”, pero a la horade un análisis es más
efectivotener en cuenta el primer
tipode lectura, a la cual, por
esta razón llamo lectura
inteligente de R(x).
El elemento, , cruz, en cambio, es un “y” de B, pero
no una R(x). pero no una “ imagen asociada con algún x de A ”
2.d) Argumento, preimagen o valor independiente de una
relación: Es cualquier elemento del conjunto de partidaque cumpla con la condición de tener algún asociado
en B.
En el caso de nuestro ejemplo son argumentos de la relación R,
es decir, valores independientes o preimágenes de R, los
elementos:
1) Son elementos de A y 2) tienen algún asociado en B.
rectángulo y óvalo, ya que:
rectángulo y óvalo, son “x” de A
y al mismo tiempo argumentos de R.
estrella es otro “x” de A, pero no un argumento de
R.
Para simbolizar, en forma particular, a una imagen específica
con su argumento específico escribimos:El nombre de la relación, seguida de un paréntesis
dentro del cual ubicamos al argumento específico y todo esto
igualado a la imagen específica para ese argumento, por ejemplo:R( ) =
La imagen de la relación R,
asociada al argumento rectángulo es …
óvalo cruzado
R( ) =
y además es también …óvalo
2.e) Recorrido de una relación o conjunto imagen:Es el conjunto de todos las imágenes de una
relación, al cual se denota como: Rec(nombre de la
relación)En este caso particular, el Recorrido de
la relación R es:
Rec(R) = { , }
Rec(R)
2.f) Dominio de una relación o conjunto argumento:Es el conjunto de todos los argumentos de una
relación, al cual se denota como: Dom(nombre de la
relación)En este caso particular, el dominio de
la relación R es:
Dom(R) = { , }
Dom(R)
Nota: Es importante no confundir los conceptos de
imagen v/s Recorrido.
y
argumento v/s Dominio.
Recorrido y Dominio aluden a conjuntos, es decir a la totalidad
de ciertos elementos.
Imagen y argumento aluden a uno solo de los elementos de los
conjuntos anteriores o a todos ellos, pero en este último caso
siempre considerados individualmente, es decir de uno en uno.
El concepto de función (primera aproximación)
Es …Una ley especial …
… una regla especial …
…¿ De qué?
Por lo anterior una función es un caso
particular, especial de relación.
(hasta ahora se ve que tanto una función como una relación, se
definende un mismo modo)
¿Es o no es?
BA
Sí lo es, pues la definiciónde función fija condicionessólo a los elementos de A.
función …
A
3
2
B
¿Es o no es? función …No es posible saberlo, pues la definición de funciónrequiere examinar la vinculación a partir de los elementos de A.
Denominaciones y simbolismos
Las funciones (como las relaciones) se nombran conletras escogidas a voluntad,por ejemplo …
A B1
2
Sea o no que la relación analizada corresponda a una función, los elementos del conjunto A (conjunto de partida) se representan por una letra minúscula, en general “x”, pero esto podría variar según sea la convención establecida.
1 es un x, de A es otro x de A
2 es otro x de A
g
A B1
2
Sea o no que la relación analizada corresponda a una función, los elementos del conjunto B (conjunto de llegada) se representan por una letra minúscula, en general “y” pero esto podría variar según sea la convención establecida, naturalmente, la única restricción será elegir una letra distinta a la elegida para los elementos de A (esto evitará confusiones innecesarias).
es otro y de B
es un y,
de B
es otro y
de B
g
A B-12
h
0 -3
45 223
Si, la función EXISTE, entoncesal conjunto A se le denominaDominio de la función (o conjuntoargumento)
A B-12
h
0 -3
45 223
Un dominio funcional existe si y solo sí la ley de formación existe sobre todos los elementos de A y es UN CONJUNTO DE OBJETOS,(no confundir el concepto de conjunto con el de elemento)
Dom(h) = {-1, -, 0 , }2
A B-12
h
0 -3
45 223
Si, la función EXISTE, entoncesaquel conjunto formado por las yde B que son, además, asociados de las x de A, se denomina recorrido de la función o conjunto Imagen de ella.
Rec(h)-3
4523
A B-12
h
0
2
El recorrido de una funciónes un conjunto (no confundir el concepto
de conjunto con el de elemento), aquel formadopor todos las y de B que son, además, asociados de algún x en A.
Rec(h)-3
4523
A B-12
h
0 -3
45 223
Cada x del dominose llamaargumento o pre imagen de lafunción.
Dom(h) = {-1, -, 0 , }2
Rec(h) = {-3, , 2 , 4 } 23
-3
4523
A B-12
h
0 -3
45 223
Rec(h) = {-3, , 2 , 4 } 23
Dom(h) = {-1, -, 0 , }2Cada y del recorrido se llama imogen de la función.
-3
4523
A B-12
h
0 -3
45 223
Rec(h) = {-3, , 2 , 4 } 23
Dom(h) = {-1, -, 0 , }2Todo y es un elemento de B, pero sólo algunosde estos y son,también, imágenes.
-3
4523
A B-12
h
0 -3
45 223
Rec(h) = {-3, , 2 , 4 } 23
Dom(h) = {-1, -, 0 , }2 Sólo a estas y, especiales, se les representa en formagenérica por el nombre de la función y una x dentro de un paréntesis: h(x)
-3
4523
A B-12
h
0 -3
45 223
Rec(h) = {-3, , 2 , 4 } 23
Dom(h) = {-1, -, 0 , }2Cualquiera de estoselementos** es, genéricamente, un h(x).
Es un y, pero no es un h(x).
-3
4523
**(no confundir el concepto de elemento con el concepto de conjunto)
Todas las y, son elementos del conjuntode llegada, pero …
A Bh
x y
… sólo para algunas de estas y tendrásentido la escritura genérica …:
y
Todas las y, son elementos del conjuntode llegada, pero …
A h
x y
y
… sólo para algunas de estas y tendrásentido la escritura genérica …:
y = h(x)
y = h(x)
= h(x)
y = h(x)B
A B-12
h
0 -3
45 223
En particular …
Es una h(x), llamadah(-1)
Es una “imagen de x”, llamada “imagen de -1”
Es un h(x), llamadoh( )2Es una
“imagen de x”, llamada “imagen de raíz cuadradade 2”.
A B-12
h
0 -3
45 223
Recíprocamente …Es el argumento ,x, dela “imagen de x”Es el argumento ,-1, dela “imagen de -1”-1 es el argumento de4, etc.
Control 1 de funciones.
1) Para cada una de las proposicionessiguientes reemplace el signo de interrogacióncon el concepto que debe corresponderse.
Si no existiese tal concepto explique a quése debe.
2) Responda a otras interrogantes planteadasen el momento pertinente.
-3-8
916
-3-8
916
A Af
-44-8916
-33-8
919
B Cg g(-44) = ?
Qué elementos y,no son g(x)?
g(9) = ?g(?) = -8g(3) = ?
f(?) = -3f(?) = 9f(16) = -?f(-3) = ?
Qué elementos y,no son del Rec(f)?
g(?) = 9
1)
2)
-35-612
83
912
A Bh Respecto de h cuáles son los argumentos de: 3, h(-3), -6,9, h(5), 8 ?
Respecto de h cuáles son las imágenes de: 12, h(-3), 5,-6 ?
3 -9
3)
x1x2x4x5
y1y2
y4y5
A Bh
x3 y3
4)
z1z2
z4z5
z3
CI
Dom(I)=?Dom(h)=?h (x1)=?I (h(x3))=?
I (h(?))=z5
h(?)=z1h(?)=y5
I (?)=z5
I (h( x4 ))=?I (y5)=?
Rec(I)=?Rec(h)=?