El problema del rozamiento en el análisis de estructuras de fábrica

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE ARQUITECTURA

El problema del rozamiento

en el análisis de estructuras de fábrica mediante modelos de sólidos rígidos

TESIS DOCTORAL

FERNANDO MAGDALENA LAYOS

Arquitecto por la Universidad Politécnica de Madrid

2013

DEPARTAMENTO DE ESTRUCTURAS DE LA EDIFICACIÓN

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE ARQUITECTURA

Universidad Politécnica de Madrid

El problema del rozamiento en el análisis de estructuras de fábrica mediante modelos de sólidos rígidos

Autor

FERNANDO MAGDALENA LAYOS, arquitecto.

Directores

SANTIAGO HUERTA FERNÁNDEZ, arquitecto.

JOSE IGNACIO HERNANDO GARCÍA, arquitecto.

2013

Tribunal de Tesis nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr. Rector de la Universidad

Politécnica de Madrid, el día 21 de febrero de 2013

Presidente: D. Jaime Cervera Bravo

Vocal: Dª. Begoña Vitoriano Villanueva

Vocal: D. Santiago Sánchez Beitia

Vocal: D. Florentino Borondo Rodríguez

Vocal - Secretario: D. Manuel Pastor Pérez

Suplente: D. Francisco Prieto Castrillo

Suplente: D. Javier Barrallo Calonge

Realizado el acto de lectura y defensa de la Tesis el día 8 de abril de 2013 en Madrid

CALIFICACIÓN: ..................................................................

EL PRESIDENTE LOS VOCALES

EL VOCAL SECRETARIO

.

El problema del rozamiento en el análisis de estructuras de fábrica mediante modelos de sólidos rígidos

Autor : Fernando Magdalena Layos Directores: Santiago Huerta y José Ignacio Hernando

El problema del rozamiento en el análisis de estructuras

de fábrica mediante modelos de sólidos rígidos

Autor : Fernando Magdalena Layos Directores: Santiago Huerta y José Ignacio Hernando

I

Índice Introducción Parte I: El problema del rozamiento en las estructuras de fábrica. 1 Notas históricas sobre la aplicación del análisis límite a las estructuras de fábrica 1.1 Introducción 9

1.2 Análisis límite estándar y sus extensiones 9

1.2.1 Kooharian (1952) 9

1.2.2 Drucker (1953) 15

1.2.3 Prager (1959) 21

1.2.4 Koiter (1960) 22

1.2.5 Heyman (1966) 23

1.2.6 Radenkovic (1961) 25

1.2.7 Palmer (1966) 26

1.2.8 Sachi y Save (1968) 27

1.2.9 Recapitulación: Ponter, Fuschi y Engelhardt (2000) 28

1.2.10 De Saxce (1998) 29

1.2.11 Aplicabilidad de las teorías de la plasticidad al problema del

rozamiento 31

1.3 Relaciones del análisis límite y la programación matemática 33

1.3.1 Charnes y Greenberg (1951-1959) 34

1.3.2 Livesley (1978) 34

1.3.3 Gilbert y Melbourne (1994) 36

1.4 Problemas de contacto unilateral 36

1.4.1 Lotstedt (1982) 37

1.4.2 Fishwick (1995) 37

1.4.3 Baggio y Trovalusci (1995) 39

1.4.4 Ferris y Tin Loi (1999) 40

1.4.5 Orduña y Lourenço (2003-2007) 42

Parte II: Posibilidad de inicio de colapso 2 La fábrica como material unilateral: el modelo 2.1 Introducción 49

2.1.1 La fábrica como material "unilateral": el problema 49

2.1.2 El análisis límite como posible solución 49

II

2.1.3 Modelo y método 50

2.2 Ejemplos de modelos en la literatura 50

2.2.1 Heyman (1966-2008) 51

2.2.2 Livesley (1978) 53

2.2.3 Parland (1982) 55

2.3 Naturaleza del problema 57

El ejemplo de Drucker: un cuerpo insertado 58

Ausencia de solución si el rozamiento es asociativo 59

El ejemplo de Livesley: dos dovelas entre planos inclinados 60

Solución no coincidente con la obtenida considerando rozamiento

asociativo 61

Ejemplo con tres sillares: las fuerzas de trabado en las fábricas aparejadas 62

Multiplicidad de soluciones de inicio de colapso por deslizamiento puro 64

2.4 Análisis límite de estructuras de fábrica 67

2.4.1 Características del material 67

a/ Compresión 67

b/ Tracción 67

c/ Rozamiento 67

d/ Impenetrabilidad 68

e/ Indeformabilidad 68

f/ Deslizamiento no asociado 68

g/ Resistencia a tracción de los bloques 68

Características básicas 69

a/ "Unilateral" 69

b/ "Rígido-plástico" 69

c/ Rozamiento / Deslizamiento de Coulomb 69

2.4.2 Análisis límite, teoría de la plasticidad 70

2.4.3 Modelos continuos y discretos 72

2.5 Análisis límite de estructuras de fábrica mediante modelos de "bloques 73

rígidos"

2.5.1 Cuestiones de notación 73

2.5.2 Descripción general del modelo 77

2.5.3 Ecuaciones y condiciones 79

2.5.4 Ecuaciones y condiciones constitutivas del material: restricciones

estáticas, cinemáticas y de contacto 79

1/ Relación momento / normal 80

2/ Relación tangencial / normal 80

a/ Restricciones de cedencia ("rotura") 80

a.1/ Tensiones en las juntas 80

a.2/ Holguras de las condiciones de cedencia 80

a.3/ Condiciones de las holguras de tensiones 80

III

a.4/ Relación entre las tensiones y sus holguras 80

a.5/ Construcción de la matriz de cedencia para un elemento 80

b/ Restricciones de fluencia 80

b.1/ Deformaciones en las juntas 80

b.2/ "Multiplicadores plásticos" 80

b.3/ Condiciones de los multiplicadores plásticos 80

b.4/ Relación entre las deformaciones y los multiplicadores plásticos 80

b.5/ Construcción de la matriz de fluencia para un elemento 80

c/ Restricciones de contacto 80

2.5.4.1 Proyección sobre los espacios /M N 80

1/ Casos linealizados 86

a/ Modo de colapso vuelco r 86

b/ Modo de colapso aplastamiento c 88

c/ Modo de colapso limitación de momento tangente m 89

2.5.4.2 Proyección sobre los espacios /V N 91

1/ Consideraciones generales 91

2/ Relación tangencial / normal 93

2.5.4.3 Construcción de las matrices de cedencia y de fluencia 94

1/ Colapso por vuelco y/o deslizamiento (bloques rígidos en contacto

directo) 94

1.a/ Construcción de la matriz de cedencia para una junta 95

1.b/ Construcción de la matriz de fluencia para una junta 96

2/ Colapso por vuelco y/o deslizamiento sin resistencia a tracción ni

cohesión 96

3/ Colapso por vuelco, momento límite, aplastamiento o

deslizamiento (bloque rígido-plásticos o con juntas compresibles) 97

2.5.4.4 Restricciones de contacto unilateral 99

1/ Caso de vuelco positivo 100

a/ Correspondencia entre las restricciones estáticas y las

cinemáticas 100

b/ Carácter disyuntivo de las restricciones de contacto 101

2/ Caso de deslizamiento positivo 101

2.5.5 Restricciones de equilibrio 102

1/ Equilibrio entre fuerzas nodales y fuerzas de contacto 103

2/ Construcción de la matriz de equilibrio para un elemento 105

2.5.6 Restricciones de compatibilidad 106

1/ Compatibilidad entre movimientos nodales y deformaciones en las

juntas 106

a/ Traslación 106

b/ Rotación 106

2/ Construcción de la matriz de compatibilidad para un elemento 107

IV

3/ La matriz de compatibilidad como traspuesta de la de equilibrio 108

2.5.7 Normalización del trabajo 108

2.5.8 Conservación del trabajo mecánico 110

2.6 Solución de inicio de colapso 111

a/ Solución estática admisible 111

b/ Solución cinemática admisible 111

c/ Complementariedad entre la solución estática y la cinemática 111

2.7 Caveat lector! (lectrix) 112

2.7.1 Introducción 112

2.7.2 Consideraciones acerca de la normalización del trabajo 113

2.7.3 Análisis Límite vs. Análisis de Estabilidad 117

2.7.4 Limitación del método al inicio de colapso 120

2.7.5 Conclusiones (de Caveat Lector) 121

3 Los problemas de contacto como problemas de complementariedad: el método 3.1 Introducción 125

3.1.1 Antecedentes 125

3.1.2 Las condiciones de contacto como origen de la dificultad del problema 126

3.1.3 La programación matemática como método de resolución:

Programación Lineal y No Lineal 129

1/ Programación Matemática 129

2/ Programación Lineal 130

3/ Programación Lineal no Continua 133

3.2 Presentación como problema de complementariedad 134

3.2.1 Problemas de complementariedad: conceptos fundamentales 134

3.2.2 Los problemas de "contacto" como problemas de complementariedad 140

1/ Obtención de una solución de inicio de colapso, de un problema plano,

como Problema de Complementariedad Lineal 140

3.3 Casos según la geometría del problema y la ley de rozamiento / deslizamiento 144

3.3.1 Caso general 144

1/ Tridimensional en geometría o cargas 144

a/ Problema de Complementariedad Cónica de Segundo Orden 144

b/ Linealización a Problema de Complementariedad Lineal 146

2/ Plano con cargas en su plano 146

a/ Problema de Complementariedad Lineal 146

3.3.2 Simplificación con rozamiento asociativo, nulo o deslizamiento

impedido 146

1/ Tridimensional en geometría o cargas 147

a/ Programa Cónico de Segundo Orden 147

b/ Linealización a Programa Lineal 147

V

2/ Plano con cargas en su plano 147

a/ Programa Lineal 147

a.1/ Primal o estático 147

a.2/ Dual o cinemático 147

a.3/ Unicidad del factor de carga de inicio de colapso 148

a.4/ Los Teoremas Límites como un caso particular 148

3.4 Complejidad de resolución del Problema de Complementariedad 149

3.4.1 Concepto de complejidad computacional 149

3.4.2 Complejidad computacional del problema de contacto unilateral en el

caso general 151

3.4.3 Clases de matrices 151

3.4.4 Casos particulares de menor complejidad 152

1/ Equivalencia entre LCPs y Programas Matemáticos 152

2/ Condiciones de optimalidad de Karush-Kunh-Tucker 153

Programa primal (estático) 154

Programa dual (cinemático) 155

3.5 Métodos para obtener una solución de un problema de complementariedad 156

3.5.1 Enumeración de métodos 156

3.6 Características especiales del problema de contacto unilateral como problema

de complementariedad 158

3.6.1 Problema de complementariedad disjunto o no acoplado 158

3.6.2 Equivalencia entre programas 159

3.6.3 Reformulación del LCP como problema bilineal disjunto 159

3.6.4 Motivos y consecuencias de la reformulación 162

1/ Manifestación del significado de la geometría del espacio de

soluciones 163

2/ Recuperación del significado físico de la formulación 163

3/ Complementariedad vs. Dualidad 164

3.7 Geometría y espacio de soluciones de los problemas de complementariedad

lineal 164

3.7.1 El caso del problema de complementariedad lineal 165

3.7.2 El conjunto de soluciones de colapso como unión de politopos 165

3.7.3 Características del conjunto de soluciones de inicio de colapso 165

3.7.4 Posibilidad de ausencia o multiplicidad de solución 166

3.8 Otras reformulaciones linealizables 166

3.9 La posible multiplicidad de soluciones como origen de la dificultad de

evaluación 167

3.9.1 Obtención de soluciones de inicio de colapso como un problema de

optimización 167

VI

4 La obtención de soluciones mediante programación matemática: la implementación 4.1 Introducción 171

4.1.1 La programación matemática y la teoría de la plasticidad 172

4.2 Comprobación de una solución de inicio de colapso 173


4.2.2 Formulación del problema 173

4.2.3 Solución mediante programación lineal 173

4.2.4 Complejidad de obtención de la solución 174

4.2.5 Aplicaciones 175

Comprobación de si un mecanismo dado es de inicio de colapso 175

Obtención de la solución estática correspondiente 175

Comprobación de si una solución estática dada es de inicio de colapso 175

Obtención del mecanismo correspondiente 175

Obtención de la carga de inicio de colapso pésima para un mecanismo

dado 175

Utilización como criterio de aceptación en métodos de búsqueda

global 175

4.3 Obtención de una solución de inicio de colapso 175


4.3.2 Reformulación como programa bilineal disjunto 176

4.3.3 Solución mediante aplicación sucesiva de programación lineal 177

4.3.4 Obtención de una solución de inicio de colapso 179

4.3.5 Interpretación geométrica y física del método 179

4.3.6 Otras reformulaciones que admiten su resolución mediante

programación lineal 180

4.3.7 Otras aplicaciones 181

Obtención de un óptimo local mediante multiarranque 181

Obtención de una solución en métodos de búsqueda global 181

4.3.8 Ulteriores mejoras 181

4.4 Obtención de un óptimo local de las soluciones de colapso 181


4.4.2 Formulación como programa lineal con restricciones de

complementariedad 183

4.4.3 Incorporación de las restricciones de complementariedad en forma

bilineal como penalización de la función objetivo 185

1/ Funciones de penalización 185

2/ Las restricciones de complementariedad como penalización de la

función objetivo 187

4.4.4 Reformulación del factor de carga como función bilineal 187

VII

4.4.5 Reformulación como programa bilineal disjunto 189

4.4.6 Solución mediante aplicación sucesiva de programación lineal 190

4.4.7 Obtención de un óptimo local de la solución de inicio de colapso 192

4.4.8 Interpretación geométrica del método 193

4.4.9 Otras aplicaciones 195

Aproximación al óptimo global mediante bisección del espacio de

búsqueda y aplicación sucesiva del algoritmo de búsqueda local 195

4.5 Obtención de un óptimo global de las soluciones de inicio de colapso 195


4.5.2 Métodos globales deterministas 197

4.5.3 Métodos enumerativos explícitos 197

1/ Las soluciones del problema de complementariedad lineal como

conjunto de soluciones factibles del programa lineal con restricciones

de complementariedad 197

Obtención de todas las soluciones del problema de

complementariedad 197

2/ Los puntos extremos del conjunto de soluciones factibles como

posibles soluciones de inicio de colapso 198

Obtención de todos los puntos extremos del politopo estático y

comprobación de si son soluciones de inicio de colapso 198

3/ Otros métodos similares 199

4.5.4 Métodos "enumerativos implícitos" 199

1/ Reformulación como un programa lineal mixto-binario 199

2/ Complejidad de obtención de la solución 201

3/ Resolución directa del programa como programa lineal mixto 201

4/ Otras propuestas de resolución 203

4.5.5 Limitaciones del método 204

1/ Limitaciones de los métodos de búsqueda global 204

2/ Alternativas a la búsqueda global determinista 205

3/ Conclusión 206

Parte III: Probabilidad de inicio de colapso 5 Cálculo de la probabilidad de inicio de colapso: caso general con "conocimiento perfecto" 5.1 Introducción 213

5.1.1 Tratamiento de la incertidumbre y la multiplicidad de soluciones 213

5.1.2 Multiplicidad de soluciones 213

5.1.3 Incertidumbre 213

5.1.3.1 Incertidumbre aleatoria o irreducible 214

VIII

5.13.2 Incertidumbre epistémica o reducible 214

5.1.4 Posibilidad vs. Necesidad 215

5.1.5 Probabilidad vs. Determinismo 215

5.1.6 Enfoque probabilista del problema 215

5.2 Caso de estudio: sólido rígido simplemente apoyado 216

5.2.1 Probabilidad de inicio de colapso como relación entre volúmenes 223

Definiciones 223

Cálculo exacto del volumen de un politopo 225

Cálculo "aproximado" del volumen de un politopo 226

Muestreo aleatorio uniformemente distribuido de un politopo 228

Cuestiones de implementación: estandarización del simplex 229

Inconvenientes del método exacto e implementación del método de

Montecarlo 232

5.2.2 Análisis y comparación de resultados 233

5.3 Modelado de una junta continua entre cuerpos rígidos 237

5.4 Caso de estudio: dos o tres sólidos trabados 240

5.5 Dimensionalidad del conjunto de soluciones estáticas correspondientes a cada

mecanismo 247

5.6 Caso de estudio: tres sólidos, el ejemplo de Fishwick 249

5.7 Consideraciones de seguridad acerca del modelado de una junta continua entre

cuerpos rígidos 255

5.8 Limitaciones y dificultades del método 257

5.9 Conclusiones 259

6 Cálculo de la probabilidad de inicio de colapso: colapso global en estructuras redundantes 6.1 Introducción 263

6.2 Definiciones 263

6.3 Tratamiento de la incertidumbre aleatoria 264

6.3.1 Métodos estadísticos 265

1/ Estadística paramétrica 266

2/ Test de normalidad 267

3/ Test de bondad de ajuste 267

4/ Estadística no paramétrica 268

5/ Estadística paramétrica vs. no paramétrica 268

6/ Estadística de orden 269

6.3.2 Suavización de objetivos 270

6.3.3 Optimización ordinal 271

6.3.4 Obtención de la probabilidad de inicio de colapso de una carga como

resultado de un proceso de Optimización Ordinal 272

IX

1/ Aplicación de la Estadística de Orden a la obtención de la Probabilidad

de inicio de Colapso 274

6.3.5 Aplicaciones de los resultados de la Estadística de Orden 284

1/ Obtención de una solución con una probabilidad de inicio de colapso

dada 284

2/ Comprobación de la probabilidad de inicio de colapso de una solución

dada 285

6.4 Tratamiento de la incertidumbre epistémica 289

6.5 Comparación con el método de Montecarlo 291


7 Aproximación al mínimo global: colapso local o en estructuras con muy pequeño número de piezas 7.1 Introducción 299

7.2 Fallo de tipo "eslabón más débil" 300

7.3 Colapso global vs. colapso local 300

7.4 Posibilidad de inicio de colapso vs. Probabilidad de inicio de colapso 304

7.5 Una aproximación "ingenua" al problema 306

7.6 Búsqueda de un "óptimo global" en problemas NP-difíciles 309

7.6.1 Métodos deterministas 310

7.6.2 Métodos heurísticos y metaheurísticos 310

1/ Métodos multiarranque simples 314

2/ Algoritmos evolutivos y de comportamiento 314

3/ Algoritmos genéticos 315

4/ "No Free Lunch Theorems" para búsqueda y optimización 316

5/ Aplicación de algoritmos evolutivos al problema del contacto

unilateral 317

7.6.3 Métodos híbridos 322

1/ Optimización local guiada por algoritmo de búsqueda global 322

2/ El óptimo global como la mejor de las soluciones encontradas 323

3/ Búsqueda multiarranque simple + optimización local 323

4/ Algoritmos evolutivos + optimización local 324

7.6.4 Métodos probabilistas 324

1/ Calificación de resultados: optimización ordinal 324

2/ Otros métodos probabilistas 325

7.7 Algunos marcos de trabajo posibles 327

7.7.1 Métodos paralelos: Generación de la población inicial y criterio de

parada + Algoritmo de búsqueda global + Método de optimización

local 327

1/ Optimización ordinal + algoritmos evolutivos + optimización local 328

X

2/ Optimización ordinal + búsqueda multiarranque aleatoria +

optimización local 331

7.7.2 Métodos secuenciales 332

1/ Búsqueda multiarranque aleatoria + reducción del espacio de búsqueda

+ optimización local 332

2/ Discusión sobre los marcos de trabajo 338

Parte IV: Conclusiones 8 Conclusiones y posibles desarrollos futuros 8.1 Discusión 343


8.3 Posibles desarrollos futuros 350

Bibliografía 353

Glosario 369

Abreviaturas, siglas y acrónimos 374

Símbolos 377

XI

Resumen

La evaluación de la seguridad de estructuras antiguas de fábrica es un problema abierto.El material es

heterogéneo y anisótropo, el estado previo de tensiones difícil de conocer y las condiciones de contorno

inciertas.

A comienzos de los años 50 se demostró que el análisis límite era aplicable a este tipo de estructuras,

considerándose desde entonces como una herramienta adecuada.

En los casos en los que no se produce deslizamiento la aplicación de los teoremas del análisis límite

estándar constituye una herramienta formidable por su simplicidad y robustez. No es necesario conocer

el estado real de tensiones. Basta con encontrar cualquier solución de equilibrio, y que satisfaga las

condiciones de límite del material, en la seguridad de que su carga será igual o inferior a la carga real

de inicio de colapso. Además esta carga de inicio de colapso es única (teorema de la unicidad) y se

puede obtener como el óptimo de uno cualquiera entre un par de programas matemáticos convexos

duales.

Sin embargo, cuando puedan existir mecanismos de inicio de colapso que impliquen deslizamientos,

cualquier solución debe satisfacer tanto las restricciones estáticas como las cinemáticas, así como un

tipo especial de restricciones disyuntivas que ligan las anteriores y que pueden plantearse como de

complementariedad. En este último caso no está asegurada la existencia de una solución única, por lo

que es necesaria la búsqueda de otros métodos para tratar la incertidumbre asociada a su multiplicidad.

En los últimos años, la investigación se ha centrado en la búsqueda de un mínimo absoluto por debajo

del cual el colapso sea imposible. Este método es fácil de plantear desde el punto de vista matemático,

pero intratable computacionalmente, debido a las restricciones de complementariedad 0 0≤ ⊥ ≥y z que

no son ni convexas ni suaves.

El problema de decisión resultante es de complejidad computacional No determinista Polinomial (NP)-

completo y el problema de optimización global NP-difícil.

A pesar de ello, obtener una solución (sin garantía de exito) es un problema asequible.

La presente tesis propone resolver el problema mediante Programación Lineal Secuencial, aprovechan-

do las especiales características de las restricciones de complementariedad, que escritas en forma bili-

neal son del tipo ⋅ ≥ ≥y z = 0; y 0; z 0 , y aprovechando que el error de complementariedad (en forma

bilineal) es una función de penalización exacta.

XII

Pero cuando se trata de encontrar la peor solución, el problema de optimización global equivalente es

intratable (NP-difícil). Además, en tanto no se demuestre la existencia de un principio de máximo o

mínimo, existe la duda de que el esfuerzo empleado en aproximar este mínimo esté justificado.

En el capítulo 5, se propone hallar la distribución de frecuencias del factor de carga, para todas las so-

luciones de inicio de colapso posibles, sobre un sencillo ejemplo. Para ello, se realiza un muestreo de

soluciones mediante el método de Monte Carlo, utilizando como contraste un método exacto de compu-

tación de politopos. El objetivo final es plantear hasta que punto está justificada la busqueda del míni-

mo absoluto y proponer un método alternativo de evaluación de la seguridad basado en probabilidades.

Las distribuciones de frecuencias, de los factores de carga correspondientes a las soluciones de inicio

de colapso obtenidas para el caso estudiado, muestran que tanto el valor máximo como el mínimo de

los factores de carga son muy infrecuentes, y tanto más, cuanto más perfecto y contínuo es el contacto.

Los resultados obtenidos confirman el interés de desarrollar nuevos métodos probabilistas.

En el capítulo 6, se propone un método de este tipo basado en la obtención de múltiples soluciones,

desde puntos de partida aleatorios y calificando los resultados mediante la Estadística de Orden. El

propósito es determinar la probabilidad de inicio de colapso para cada solución.El método se aplica (de

acuerdo a la reducción de expectativas propuesta por la Optimización Ordinal) para obtener una solu-

ción que se encuentre en un porcentaje determinado de las peores.

Finalmente, en el capítulo 7, se proponen métodos híbridos, incorporando metaheurísticas, para los

casos en que la búsqueda del mínimo global esté justificada.

XIII

Abstract

Safety assessment of the historic masonry structures is an open problem. The material is heterogeneous

and anisotropic, the previous state of stress is hard to know and the boundary conditions are uncertain.

In the early 50's it was proven that limit analysis was applicable to this kind of structures, being consid-

ered a suitable tool since then.

In cases where no slip occurs, the application of the standard limit analysis theorems constitutes an

excellent tool due to its simplicity and robustness. It is enough find any equilibrium solution which

satisfy the limit constraints of the material. As we are certain that this load will be equal to or less than

the actual load of the onset of collapse, it is not necessary to know the actual stresses state.

Furthermore this load for the onset of collapse is unique (uniqueness theorem), and it can be obtained

as the optimal from any of two mathematical convex duals programs

However, if the mechanisms of the onset of collapse involve sliding, any solution must satisfy both

static and kinematic constraints, and also a special kind of disjunctive constraints linking the previous

ones, which can be formulated as complementarity constraints. In the latter case, it is not guaranted the

existence of a single solution, so it is necessary to look for other ways to treat the uncertainty associated

with its multiplicity.

In recent years, research has been focused on finding an absolute minimum below which collapse is

impossible. This method is easy to set from a mathematical point of view, but computationally intracta-

ble. This is due to the complementarity constraints 0 0≤ ⊥ ≥y z , which are neither convex nor

smooth.

The computational complexity of the resulting decision problem is "Not-deterministic Polynomial-

complete" (NP-complete), and the corresponding global optimization problem is NP-hard.

However, obtaining a solution (success is not guaranteed) is an affordable problem. This thesis pro-

poses solve that problem through Successive Linear Programming: taking advantage of the special

characteristics of complementarity constraints, which written in bilinear form are ⋅ ≥ ≥y z = 0; y 0; z 0 ;

and taking advantage of the fact that the complementarity error (bilinear form) is an exact penalty func-

tion.

But when it comes to finding the worst solution, the (equivalent) global optimization problem is intrac-

table (NP-hard). Furthermore, until a minimum or maximum principle is not demonstrated, it is ques-

tionable that the effort expended in approximating this minimum is justified.

XIV

In chapter 5, it is proposed find the frequency distribution of the load factor, for all possible solutions

of the onset of collapse, on a simple example. For this purpose, a Monte Carlo sampling of solutions is

performed using a contrast method "exact computation of polytopes". The ultimate goal is to determine

to which extent the search of the global minimum is justified, and to propose an alternative approach to

safety assessment based on probabilities. The frequency distributions for the case study show that both

the maximum and the minimum load factors are very infrequent, especially when the contact gets more

perfect and more continuous. The results indicates the interest of developing new probabilistic meth-

ods.

In Chapter 6, is proposed a method based on multiple solutions obtained from random starting points,

and qualifying the results through Order Statistics. The purpose is to determine the probability for each

solution of the onset of collapse. The method is applied (according to expectations reduction given by

the Ordinal Optimization) to obtain a solution that is in a certain percentage of the worst.

Finally, in Chapter 7, hybrid methods incorporating metaheuristics are proposed for cases in which the

search for the global minimum is justified.

Introducción

1

Introducción

A lo largo de la Historia un gran número de construcciones han sido concebidas con sistemas

estructurales a base de materiales compuestos que pueden incluirse dentro de la categoría de fábricas.

La evaluación de la seguridad de este tipo de estructuras es un problema abierto debido a que los

materiales son heterogéneos y anisótropos, el estado previo de tensiones difícil de conocer y las

condiciones de contorno inciertas.

Afortunadamente, a comienzo de los años cincuenta del pasado siglo, se demostró que el análisis

límite era una de las herramientas adecuadas para comprobar la seguridad de este tipo de estructuras,

pero su aplicación está sujeta al cumplimiento de determinadas condiciones y restringida a un ámbito

de aplicación.

Por otra parte, el rozamiento es un problema estudiado al menos desde Leonardo da Vinci hasta la

actualidad. A pesar de que las leyes consideradas adecuadas para las fábricas se remontan a

Amontons y Coulomb, ya a finales del XIX, Painlevé1 mostró la inconsistencia de los problemas que

incluyen deslizamiento, los cuales pueden no tener solución o tener múltiples soluciones.

Dentro del campo del Análisis Límite, en los casos en que el deslizamiento está impedido, o puede

asegurarse que de hecho no se produce, la aplicación de los teoremas del análisis límite estándar

constituye una herramienta formidable por su simplicidad y robustez. No es necesario conocer el

estado real de tensiones, basta con encontrar cualquier solución de equilibrio y que satisfaga las

condiciones de límite del material en la seguridad de que su carga será igual o inferior a la carga real

de inicio de colapso. Además, esta carga de inicio de colapso es única (teorema de la unicidad) y se

puede obtener como el óptimo de uno cualquiera de un par de programas matemáticos convexos

duales.

Por el contrario, Drucker (1953) ya mostró que los teoremas límites estándar no son aplicables en los

casos en que se alcanzan las condiciones límites de rozamiento. Tras esta constatación se separaron

dos líneas principales de investigación. La primera de ellas, encabezada por Heyman, se centró en la

resolución de los problemas en los que la hipótesis de deslizamiento impedido es razonable. La

1 "Quand on applique les lois ordinaires du frottement de glissement à l'étude du mouvement dún système quelconque, on arrive à un résultat singulier: dès que le frottement devient un peu considérable, pour certaines conditions initiales les équations du mouvement définissent plusieurs mouvements possibles ... Quant au cas du frottement au repos (ou au départ), il conduit à des résultats plus singuliers encore" Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences (1895) tome 121, pág 112 – 115

Introducción

2

segunda, intentó reconducir el problema ampliando el campo de aplicación del Análisis Límite

Estándar para incorporar estos nuevos casos. El capítulo 1º de esta tesis se ocupa de una revisión de

los avances teóricos realizados fundamentalmente por esta segunda línea.

En el caso general, cuando puedan existir mecanismos de inicio de colapso que impliquen

deslizamientos, cualquier solución de inicio de dicho colapso debe satisfacer tanto las restricciones

estáticas como las cinemáticas, así como un tipo especial de restricciones disyuntivas que ligan las

anteriores y que pueden plantearse como de complementariedad. Una descripción detallada de estos

tres tipos de restricciones, referidas al caso de las fábricas, se realiza en el capítulo 2º delimitando, al

final de éste, el rango de aplicación de la formulación propuesta, así como apuntando posibles líneas

de desarrollo futuras para ampliarlo.

Considerando por separado los modelos estático y cinemático es difícil entender donde radica la

dificultad del problema y resolverlo, ya que absolutamente todas las condiciones introducidas en los

modelos estudiados separadamente, tanto en los estáticos como en los cinemáticos, son lineales o

convexas y, por lo tanto, linealizables2.

La consideración de ambos modelos de forma simultánea tampoco resuelve el problema, siendo

necesario introducir un conjunto de condiciones que los liguen entre sí. En este último caso, en el que

es necesario incorporar las restricciones de complementariedad, no está asegurada la existencia de una

solución única.

En el capítulo 3º se introducen los conceptos de programación matemática y complejidad

computacional necesarios para poder manejar este tipo de restricciones, planteándose el problema

como de complementariedad y considerando sus múltiples variantes según los casos. Se demuestra que

las formulaciones del Análisis Límite Estándar son casos particulares del nuevo método propuesto y

se señalan las características específicas del problema, que permiten la caracterización de su espacio

de soluciones y su reformulación como un problema de optimización, concretamente como un

programa de bilineal disjunto.

La pérdida de la seguridad absoluta que aportaba el teorema de la unicidad ha desembocado, para

muchos de los autores citados, en la búsqueda de otros métodos de tratar la incertidumbre asociada a la

multiplicidad. Al menos en cuanto a su intencionalidad, ha sido predominante la búsqueda de un

mínimo, idealmente global, por debajo del cual el colapso sea imposible. Este método es fácil de

2 Es más, desde un punto de vista ingenuo considerando el modelo cinemático separadamente, parecería más sencillo el caso del deslizamiento de Coulomb que está contenido en un plano que el del deslizamiento asociativo que está contenido en un cono

3

plantear desde el punto de vista matemático, pero intratable computacionalmente debido a las

restricciones de complementariedad. Éstas, escritas en forma bilineal, son del tipo ⋅ ≥ ≥y z = 0;y 0;z 0,

no siendo, por tanto, ni convexas ni suaves.

A lo largo del capítulo 4º, se muestra como pueden implementarse (de forma tan simple como es

posible, pero no más3) diferentes procedimientos de búsqueda de estos mínimos, todos ellos locales.

Los métodos implementados resuelven los problemas aprovechando todas sus características

específicas y utilizando programación lineal iterativa.

La presentación del problema como de optimización global, concretamente como un Programa Lineal

con Restricciones de Complementariedad (LPCC4), y su reformulación como un Programa Lineal

Mixto Binario (MILP 0-1) permiten concluir, sin lugar a dudas, que el problema es intratable si se

plantea como la obtención de un óptimo global. El problema de decisión resultante es de complejidad

computacional NP-completo y el problema de optimización global NP-difícil.

No puede existir, para el caso general, un algoritmo determinista que pueda ser resuelto en tiempo y

espacio polinomiales (a menos que se resuelva positivamente el problema de decisión P=NP, uno de

los problemas matemáticos del siglo). Se puede incluso apuntar que, además de no ser posible, pudiera

no ser deseable. Existen dudas, mientras no se demuestre la existencia de un principio de máximo o

mínimo, en torno a que el esfuerzo empleado en aproximarlo esté justificado.

Por todo ello, y como introducción a los métodos probabilistas, en el capítulo 5º se propone, sobre un

sencillo ejemplo y aprovechando las especiales características de las restricciones de

complementariedad, hallar la distribución de frecuencias del factor de carga para todas las soluciones

posibles realizándolo mediante métodos exactos de computación de politopos y a través de un

muestreo uniforme de soluciones por el método de Monte Carlo. Los objetivos finales son, en primer

lugar, evaluar hasta qué punto está justificada la búsqueda del mínimo absoluto y proponer un método

alternativo de evaluación de la seguridad basado en probabilidades.

No obstante, la formulación explícita del conjunto de soluciones (el conocimiento perfecto de su

forma) y la aplicación del método de Monte Carlo no son posibles para estructuras de mayor tamaño.

Por ello, cuando sólo se puede realizar un muestreo reducido y se desconoce el tipo de distribución de

los factores de carga, se propone la utilización de los métodos de la Estadística No Paramétrica.

3 Parafraseando a los clásicos. 4 El significado de los diferentes acrónimos se introduce en las partes correspondientes del texto y también se puede consultar en el glosario al final de la tesis.

Introducción

4

El estudio de estos métodos, en especial la Estadística de Orden, y su complementación para la

aproximación ordinal al mínimo con los métodos de la Optimización Ordinal se desarrolla en el

capítulo 6º, implementándose, como resultado, un método que permite obtener la probabilidad de

inicio de colapso global en estructuras redundantes mediante el muestreo de un número razonable de

resultados aleatorios.

Finalmente, el capítulo 7º se ocupa de aquellos casos de colapso local no contemplados en los

capítulos anteriores. Para los casos de estructuras con pocas piezas o de colapso local debido a

acciones puntuales, se proponen los métodos enumerativos desarrollados en los capítulos anteriores,

ayudados de heurísticas. Para los restantes casos, que se hallan en los límites del rango de aplicación

del método, se proponen diversos marcos de trabajo que integran métodos probabilistas,

metaheurísticas y optimización local determinista. Dado que los fundamentos de los métodos

deterministas y probabilistas ya se han tratado en capítulos anteriores, el capítulo 7º se extiende más

sobre los métodos metaheurísticos, en especial los Algoritmos Genéticos, y su hibridación con los

anteriores.

La tesis finaliza con la proposición de unos marcos de trabajo, que pueden entenderse como métodos

mejorados de búsqueda de colapsos locales o como métodos de búsqueda de colapsos globales.

En resumen, el tema de la presente tesis es el Análisis Límite de Fábricas con condiciones de

rozamiento finito no asociativas. Su objetivo es mostrar que existe un problema, que éste es relevante

y complejo, teniendo, no obstante, una solución técnica razonablemente simple que puede ser

obtenida mediante programación lineal, como siempre se ha deseado.

Esta resolución no implica una pérdida de rigor en el planteamiento como un problema de

complementariedad, que es una de sus posibles formulaciones estrictas, sino que, por el contrario,

aprovechando íntegramente los conocimientos ya adquiridos en el Análisis Límite Estándar,

incorporando a la resolución del problema la multiplicidad de soluciones en lugar de evitarlas y

manejando la incertidumbre de los resultados obtenidos, se consigue elaborar métodos más robustos y

fiables.

Para finalizar esta introducción, es obligado pedir benevolencia al lector especialista en cualquiera de

los temas que toca. El planteamiento de la tesis se ha enfocado a la resolución del problema técnico

propuesto, empleando cuantos métodos se han considerado convenientes e intentando, en lo posible,

que sea comprensible para un público técnico, pero general. Por tanto, el lector encontrará

imprecisiones, lagunas, obviedades y en el peor de los casos errores que no deben distraerle de la

propuesta general de la tesis.

Parte I:

El problema del rozamiento

en las estructuras de fábrica.

6

Capítulo 1

Notas históricas sobre la aplicación del

análisis límite a las estructuras de fábrica.

1 Notas históricas sobre la aplicación del análisis límite a las estructuras de fábrica.

8

Parte I: El problema del rozamiento en las estructuras de fábrica

9

1.1 Introducción

Se va a comenzar el estudio del análisis de las estructuras de fábrica, con inclusión de condiciones de

rozamiento, revisando algunos artículos que se han escrito sobre el tema en los últimos sesenta años.

El método de exposición empleado no pretende ser histórico, sino que se han utilizado aquellas partes

de los escritos que se consideran relevantes para lo que se quiere exponer. No se ha mantenido, por

tanto, una cronología estricta, ni se han expuesto las teorías en su integridad y, sobre todo, no se han

expuesto las teorías de todos los autores que han hecho aportaciones importantes al estudio de las

estructuras de fábrica mediante el análisis límite. Así mismo, se debe resaltar que no tiene, en ningún

modo, que ver la extensión con la que se trata a cada autor en este trabajo con su importancia real para

la disciplina, sino tan sólo con su aportación al tema concreto del tratamiento del rozamiento en el

análisis de estructuras de fábrica.

1.2 Análisis límite estándar y sus extensiones

1.2.1 Kooharian (1952)

En primer lugar, se comentará con cierta extensión un artículo de Anthony Kooharian.

Hay dos motivos que justifican esta extensión: a él se refieren la mayor parte de los autores como el

que primero plantea el análisis límite de las estructuras de fábrica y en él se plantean una buena parte

de los temas que van a recorrer el resto del trabajo.

En el año 1953, Anthony Kooharian1 (1952) escribe un artículo titulado "Análisis límite de arcos de

dovelas y de hormigón". Según aclara él mismo en la sinopsis, el objeto del artículo es estudiar el

comportamiento de los arcos de dovelas y de hormigón en masa desde los puntos de vista del análisis

estándar, en aquella época el elástico, y del análisis límite.

Sea cual sea el tipo de análisis, la más importante característica de un arco de este tipo es que, aunque

puede soportar fuertes tensiones de compresión, es incapaz de resistir (casi) ninguna tensión de

tracción, incluso aunque las juntas estén rellenas de mortero.

Supuesto que se conocen las características del arco y de su carga, el factor más importante a tener en

cuenta en el análisis es el punto de actuación de la componente normal de la resultante de las

compresiones sobre las caras de contacto entre las dovelas.

1 A sugerencia (tal como reconoce en los agradecimientos) de D.C.Drucker de la Brown University.


10

Figura 1.1

Para ambos tipos de análisis (figura 1.1) las posiciones 1 a 3 son seguras, alcanzándose en la 3 una

condición de límite para la distribución de tensiones, pasado este punto, en un análisis elástico clásico

comenzarían a aparecer tensiones de tracción en la junta, pero dicha junta no es capaz de resistirlas2.

Contrariamente a lo previsto por el análisis elástico, la posición 4 es también segura.

Una cuidadosa serie de experimentos, realizados por A.J.Sutton Pippard y L. Chitty3 (1941),

demostraron que no se produce en ningún caso el colapso mientras la fuerza normal actuante se

aplique en cualquier punto del interior de la superficie de contacto entre dovelas, obteniéndose así una

nueva condición de límite que corresponde a la posición 5.

Figura 1.2

2 Éste es el fundamento teórico de la conservadora regla del "tercio central" empleada en análisis elástico 3 Bajo los auspicios del Building Research Board en el Department of Civil Engineering del Imperial College of Science and Technology de Londres


11

La autentica verificación, de si un estado de cargas es capaz de causar el colapso, es comprobar si la

componente normal de la fuerza actúa en el interior de la dovela (el arco) o no.

Desde este punto de vista, es fácil entender el usual análisis gráfico del arco. Como señala Kooharian,

el arco es estable mientras una línea de empujes, que represente una solución de equilibrio, se

mantenga contenida en su interior (figura 1.2).

Volviendo al gráfico inicial (figura 1.1), si se continúa aumentando la excentricidad de la resultante

hacia la posición 6, al salirse el punto de aplicación de la componente normal fuera de la cara de

contacto entre dovelas, sería estáticamente equivalente a la normal actuando en el borde más un

momento sobre dicho borde.

Considerando las dos dovelas adyacentes a dicha junta, dado que la junta es incapaz de resistir ningún

tipo de tracciones, éstas se separarán en todos los puntos, salvo en los de dicho borde alrededor del

cual girarán formando lo que se llamará una "rótula plástica" ("plastic hinge").

En palabras de Kooharian, es contra la formación de estas "rótulas" que debe ser diseñado el arco, o

contra la formación de un número suficiente de rótulas que conviertan el arco en un mecanismo, como

se precisará más adelante.

Por otro lado, Kooharian aclara que, cuando la componente normal de las fuerzas se desplaza hacia el

borde de la dovela, se puede producir una fuerte concentración de tensiones de compresión en dicho

borde que producirá el fallo por aplastamiento. Tal tipo de fallo es esencialmente diferente e

independiente y no se tiene en consideración en sus análisis.

No obstante, el análisis de Kooharian no para en la búsqueda de una solución segura, tal como dice en

la página 319: "Las cargas admisibles son siempre una fracción de la carga requerida para producir el

colapso."4

De este modo, el análisis de la seguridad de un arco se aparta del estudio de las tensiones admisibles,

tal como proponía el método elástico y que, como se ha visto, es excesivamente conservador, para

plantearse como un problema de inclusión de una línea de empujes dentro de la fábrica o de factor de

carga. Definiendo este último como la proporción entre la carga de inicio de colapso y la carga

realmente actuante sobre el arco (carga de servicio), y describiendo el problema en unos términos

similares a los que lo haría el análisis plástico con un pórtico de un material perfectamente plástico.

4 Como se verá más adelante, en el caso de las estructuras de fábrica esto es inexacto. El colapso también se puede producir en muchos casos por disminución de la carga por debajo de un valor límite. Este hecho debe de tenerse en cuenta al leer las restantes secciones de esta tesis. Para evitar la constante repetición de la aclaración, que puede resultar tediosa, la primera vez que sea necesaria en cada capítulo, se hará referencia a la explicación dada en el capítulo 2º


12

Ambos enfoques de la seguridad de un arco darán lugar a distintas líneas de análisis dentro de la

aplicación del análisis límite a las estructuras de fábrica.

Para la primera, la expresión adecuada de la condición de límite radica en la inclusión de una línea de

empujes contenida en el interior de la fábrica y en equilibrio con las fuerzas actuantes. Tal enfoque se

adapta muy bien a la comprobación de determinadas soluciones de equilibrio, tanto por medios

gráficos como analíticos. En la siguiente década, de la mano de Jacques Heyman, dará lugar a un

intenso y extenso desarrollo teórico, que constituye sin duda la principal aportación del Siglo XX al

análisis y comprensión de las estructuras de fábrica.

Para la segunda, la expresión adecuada de la seguridad radica en el concepto de factor de carga,

entendido como se ha descrito anteriormente y que implica, de algún modo, la búsqueda del factor de

carga de colapso, en relación al cual se obtiene un coeficiente de seguridad respecto de las cargas

realmente actuantes. Este segundo enfoque, más cercano en su expresión al análisis límite más

genérico5, se ha adaptado mejor a los métodos de cálculo numéricos o sería, tal vez, más correcto decir

que ha necesitado de ellos en su búsqueda del factor de carga de colapso. Su mayor generalidad ha

resultado ser su "pecado original" porque, como se verá más adelante, el concepto de factor de carga

puede resultar en algunos casos equívoco en su aplicación a las estructuras de fábrica.

La segunda parte del artículo de Kooharian se desarrolla en este terreno, tratando de determinar la

máxima carga que un arco conocido puede soportar.

Está claro, para Kooharian, que un tipo de análisis de línea de empujes no dará generalmente la

auténtica carga máxima que la estructura puede soportar, ni tampoco indicará cuanto está la carga por

debajo del máximo real.

El análisis límite sí dará esta información. Para su aplicación al caso del arco se recurre a su

paralelismo con el análisis límite de una viga, más concretamente al análisis de una viga que se agota

debido al momento flector. Se llamará carga límite a aquella que es justo capaz de provocar el colapso

de la estructura. La idea básica subyacente al análisis límite radica, en palabras de Kooharian, en el

cálculo de la carga que realmente produce el colapso de la estructura. La carga admisible será siempre

una fracción de esta carga de colapso.

Se establecieron dos teoremas fundamentales en análisis límite:

El primero, concerniente a la determinación de las cargas seguras, establece que el colapso no puede

producirse si, en cada etapa de carga, se puede encontrar un estado seguro estáticamente admisible. El

significado de un "estado seguro estáticamente admisible" puede ilustrarse con el primer método

descrito de análisis de arcos: se trata de encontrar "una" línea de empujes, no necesariamente "la" línea

5 O si se prefiere menos específico de las estructuras de fábrica


13

de empujes, que esté completamente incluida en el interior de la estructura. "Seguro" significa,

simplemente, que el colapso no ocurrirá; y "estáticamente admisible", que la línea de empujes está

completamente comprendida en el interior de la estructura y, por tanto, que todas las solicitaciones son

de compresión, dado que se considera que la fábrica no es capaz de resistir tracciones.

En la terminología del teorema, cualquier línea de empujes "segura, estáticamente admisible"

corresponde a una carga segura. Aplicando el primer teorema, se puede determinar un valor "seguro" o

de "cota inferior" para la carga de la estructura. Cualquier estado de cargas obtenido aplicando el

primer teorema es una "cota inferior", es decir, acota inferiormente al estado de cargas que provoca

realmente el colapso.

El segundo teorema fundamental concierne precisamente al conocimiento de con que valores de las

cargas se producirá el colapso. Dicho teorema establece que el colapso ocurrirá, o habrá ocurrido

previamente, si se puede encontrar un estado de colapso cinemáticamente admisible. Una estructura

lineal alcanza un "estado de colapso" cuando se forma un número suficiente de rótulas plásticas para

convertirla en un mecanismo (figura 1.3).

Figura 1.3

Un estado de colapso "cinemáticamente admisible" es aquel caracterizado por la condición de que, en

un desplazamiento virtual del mecanismo, el trabajo realizado por las fuerzas externas6 debe ser al

menos tan grande como el realizado por las reacciones internas.

El número de "rótulas plásticas", necesario para convertir una estructura indeterminada a un

mecanismo, es igual a su grado de indeterminación. En el caso de una estructura hiperestática,

sometida a un conjunto de cargas variables según un coeficiente, este número será igual al grado de

hiperestaticidad más uno.

6 Las fuerzas externas incluyen tanto las fuerzas "vivas" o variables como el peso propio.


14

Aunque es cierto que la estructura colapsará no importa donde se coloque dicho número (suficiente)

de rótulas, cuanto más cercanas se coloquen estas rótulas al lugar en el que realmente se formarían en

el colapso real de la estructura, más se acercará la carga calculada a la carga real de colapso.

La carga real de colapso es, por supuesto, la más pequeña de todas las cargas de colapso posibles.

Aplicando el segundo teorema se puede obtener un valor inseguro de la carga de colapso. Cualquier

valor de la carga de colapso obtenido aplicando el segundo teorema es una "cota superior" para la

carga de colapso real.

Un procedimiento combinado que aplique, sucesivamente y si es necesario repetidamente, ambos

teoremas permite una aproximación a la carga real de colapso, tan exacta como el esfuerzo de cálculo

que se esté dispuesto a emplear en hallarla. Por otro lado, en cada paso de esta aproximación la

diferencia entre las cargas obtenidas por la aplicación del primer y segundo teorema da una medida de

la exactitud alcanzada.

Continúa el artículo de Kooharian con dos ejemplos de cómo aplicar lo expuesto a dos casos concretos.

El primero es el análisis, aplicando sólo el teorema de la "cota superior", de un arco sometido al peso

propio de las dovelas y a una carga variable (figura 1.4).

Figura 1.4

Kooharian propone un análisis gráfico, y comienza dando unas indicaciones sobre el número de

"rótulas" necesario y de su colocación para formar un mecanismo admisible para, a continuación,

analizar el trabajo de las diferentes fuerzas actuantes.

Para el arco de dovelas el trabajo producido por las fuerzas internas es cero. La razón es que, al

someter el arco a una deflexión virtual, las únicas fuerzas internas que pueden trabajar son los

momentos límites en las "rótulas" pero, como se ha visto, estos momentos no pueden ser resistidos por

las juntas y, por tanto, su trabajo es cero.


15

El trabajo, producido por las fuerzas externas durante esta deflexión, será la suma algebraica de los

trabajos realizados por cada una de las cargas. Por tanto, se producirá el colapso de un arco de dovelas

si el trabajo de las cargas externas, incluido peso propio y cargas variables, es igual o mayor que cero

para algún mecanismo admisible. Una vez elegidos un posible mecanismo admisible y una deflexión

virtual a la que someterle se puede calcular, fácilmente, tanto el trabajo de los pesos propios como el

desplazamiento de la carga variable, quedando como única incógnita el valor de dicha carga.

El último ejemplo es un planteamiento más esquemático de cómo actuar, en un procedimiento

combinado de ambos teoremas, cuando se tiene un sistema variable de cargas en lugar de una única

carga variable.

Concluye el artículo señalando las dos ventajas que, a su juicio, tiene el procedimiento propuesto: la

primera, la capacidad de acotar las cargas de colapso por encima y por debajo, la segunda, la relativa

facilidad con que se puede desarrollar el análisis límite.

Como se puede observar, una gran parte de los puntos claros, que el análisis límite aporta al estudio de

las estructuras de fábrica, han quedado, cuando menos, esbozados en el artículo de Kooharian. Para

conocer algunos de los puntos oscuros, o menos claros, se debe esperar al artículo que escribe Drucker

apenas un año después.

1.2.2 Drucker (1953)

Recuérdese que para Kooharian, el agotamiento de una sección de un arco sólo puede producirse por

una excentricidad excesiva de las fuerzas actuantes entre las caras de las dovelas que haga que la línea

de empujes salga fuera del cuerpo de la fábrica (siguiendo el paralelismo con la viga, por flexión). No

considera la posibilidad de un fallo por deslizamiento entre las dovelas (en el caso de la viga por

cortante) y parece que tal toma de posición es acertada para el caso de un arco normal, suficientemente

esbelto y correctamente construido. Pero ¿qué pasa para otros casos en que tales condiciones no se

dan? (en el caso de la viga: vigas cortas o de gran canto, ménsulas…).

Los teoremas empleados por Kooharian habían sido probados7 para las vigas de material idealmente

plástico por Greenberg y Prager (1951), y para problemas y condiciones de fluencia más generales por

Drucker, Greenberg y Prager8 (1952a).

Pues bien, en marzo de 1954 D.C.Drucker (1953) publica en el Journal of Applied Mechanics un

artículo de apenas cuatro páginas. En éste, desarrolla algunas aclaraciones en torno al rozamiento de

Coulomb y la resistencia a la deformación plástica. Su objetivo era muy lejano del de Kooharian y

para entenderlo hay que hacer el siguiente inciso. Es costumbre corriente emplear analogías, que

7 Como él señala en la nota de pie de la página 321 8 Quarterly of Applied Mechanics, V.9 nº 4,1952 y Journal of Applied Mechanics, V.18.Trans. ASME V.73,1951, pp.A371-378


16

incluyen casos muy simples de equilibrio de sólidos rígidos, para ejemplificar algunos

comportamientos estructurales más complejos.

Figura 1.5

Como ejemplo baste la imagen9 de la figura 1.5. En ella se comparan, en palabras de los autores, los

gráficos de distintos tipos de comportamiento de los materiales con su representación física. Ésta

última está constituida básicamente por un sólido rígido apoyado en un plano con rozamiento y unos

muelles a los cuales se aplica, en distintas combinaciones, la fuerza actuante.

El artículo de Drucker, titulado "Coulomb Friction, Plasticity and Limit Loads" y subtitulado "Sliding

Friction Versus Plastic Resistance", pretende, en palabras del propio Drucker, prestar una atención

adicional a la un tanto sutil, pero extremadamente importante, diferencia entre el rozamiento (friction)

de Coulomb y la, aparentemente correspondiente, resistencia a la deformación plástica (figura 1.6).

Figura 1.6

El propio Drucker había apuntado10que la similaridad entre la relación tensión-deformación para un

material rígido o elástico-perfectamente plástico y la relación fuerza-desplazamiento para el caso de

rozamiento de Coulomb puede inducir a confusión.

9 Que figura en la página 220 del libro de C.S.Desai y H.J.Siriwardane (1984) y obtenida a su vez de A.Mendelson (1968) 10 En Drucker (1959)


17

Las características esenciales pueden establecerse mejor en términos mecánicos-termodinámicos para

un ensamblaje de cuerpos elasto-plásticos en equilibrio. Si la imposibilidad de deslizamiento es

completa, o bien si todos los coeficientes de rozamiento son cero, no se puede obtener trabajo de

ningún sistema de fuerzas en equilibrio actuando sobre dichos cuerpos. En otras palabras, no existe

manera en que los cuerpos puedan actuar como una máquina en el sentido termodinámico. Sin

embargo, si el coeficiente de rozamiento es finito sí.

Este punto de vista puede hacerse más claro, y menos abstracto, si se comparan el rozamiento de

Coulomb por deslizamiento y el cortante sobre un plano a través de un suelo de Coulomb sin cohesión

que cumpla las leyes de potencial-plástico generalizadas (figura 1.7).

La relación entre la fuerza normal vertical N y la fuerza de rozamiento11 (frictional force) horizontal

F puede ser escrita en ambos casos como NF µ= , sin embargo el dibujo del desplazamiento es

fundamentalmente diferente. El bloque, en el caso del rozamiento por deslizamiento, desliza en la

dirección de la fuerza F , en el caso del corte de suelo además se mueve hacia arriba a causa de la

expansión de volumen que acompaña al corte12

Figura 1.7

Recuérdese que una de las acepciones del concepto de dilatancia, tal como se entiende en mecánica de

suelos, es como la "expansión de los suelos no cohesivos cuando están sometidos a una deformación

por cizalladura".

11 A lo largo del texto se van a hacer referencias a diferentes notaciones debidas a distintos autores y no siempre ha sido posible unificarlas, sin perder las referencias a las diferentes fórmulas o dibujos originales, por lo cual se piden disculpas al lector. Al final del trabajo se acompaña un glosario y tabla de símbolos que puede consultarse. 12 Si se cumplen las relaciones de potencial-plástico generalizadas, Drucker et al. (1952b).


18

El desplazamiento o vector velocidad forma un ángulo ϕ con la horizontal, donde arctanϕ µ= es el

ángulo entre la línea recta tangente al círculo de Mohr y el eje negativo σ . Por tanto, se produce

trabajo contra la fuerza dirigida hacia abajo N , siendo este trabajo negativo el que impide al (los)

cuerpo(s) elasto-plástico(s) y al sistema de fuerzas que actúa sobre él (ellos) comportarse como una

máquina termodinámica, mientras que sistemas aparentemente similares con rozamiento (frictional

systems) sí pueden comportarse como tales máquinas.

Después de lo dicho ¿en que situación quedan los teoremas límites?

Los dos principales teoremas límites establecen, de modo esquemático, que: "un ensamblaje de

cuerpos elástico-perfectamente plásticos, con coeficiente de rozamiento cero o con impedimento

completo del deslizamiento en cada cara de contacto, por un lado, hará lo mejor que se pueda hacer

para distribuir las tensiones y evitar el colapso, y por otro, se reconocerá derrotado si existe cualquier

modo de colapso cinemático posible".

Este encantador símil antropomórfico se refina, cuando los cambios de geometría son despreciables,

en la siguiente definición de los teoremas límites:

1. No ocurrirá el colapso si se puede encontrar cualquier estado de tensiones que satisfaga las

ecuaciones de equilibrio y las condiciones de contorno sobre las tensiones, y que éstas estén "por

debajo de la (s condiciones de) fluencia" ("below yield") en todo punto.

2. Se producirá el colapso si para cualquier patrón de flujo (flow pattern), considerado como

exclusivamente plástico, el ritmo al que las fuerzas externas producen trabajo sobre los cuerpos

iguala o excede al ritmo de disipación interna.

3. El colapso se producirá a tensión constante, de manera que las deformaciones (strain rates) serán

puramente plásticas.

Ahora, supóngase que el coeficiente de rozamiento es finito en al menos una de las caras de contacto

¿todavía es el sistema suficientemente "inteligente" para distribuir las tensiones y evitar el colapso?.

De inmediato aparecen problemas en el teorema del límite superior. El índice de disipación interna no

se puede calcular en todos los casos, puesto que la disipación por rozamiento no está únicamente

determinada por el patrón de flujo, no depende sólo de los índices de desplazamiento relativo

("relative displacement rates") sino también de la presión normal sobre la cara de contacto con

rozamiento, una cantidad que a menudo no puede conocerse.

Este tipo de dificultades no aparecen en el teorema del límite inferior. Podría parecer plausible asumir

que el teorema es válido, con el requerimiento adicional de que el estado de tensiones no debe violar la

condición de rozamiento en la cara de contacto y debe permanecer por debajo de la condición de

fluencia (below yield).


19

El siguiente simple contraejemplo muestra que esta aproximación intuitiva es un error (figura 1.8).

Figura 1.8

La figura representa dos bloques, uno grande apoyado en su base, otro pequeño apoyado en un plano

inclinado de ángulo α y tangente al bloque grande. La superficie de contacto entre ambos bloques

forma un ángulo β ligeramente menor y se considerará sin rozamiento. No es necesaria la actuación

de ninguna fuerza entre los bloques, y además, incluso una gran fuerza N podría actuar entre ellos sin

violar el equilibrio. Si ϕ α β> − , tal fuerza es estabilizante. Claramente, sin embargo, si α ϕ> , el

bloque deslizara hacia abajo sobre el plano inclinado y no actuará ninguna fuerza estabilizante. Por

otro lado, si el deslizamiento fuera realmente un corte plástico ("plastic shearing"), como para un suelo,

entonces el incipiente vector velocidad V apuntará hacia fuera del plano inclinado con un ángulo ϕ ;

el bloque grande debería, pues, levantarse y la fuerza N se movilizaría impidiendo el deslizamiento

hacia abajo. Se ve que un teorema del límite inferior, modificado según se ha indicado, es inadecuado

para el caso de rozamiento por deslizamiento, pero de nuevo se verifica para el problema de

"plasticidad".

El propio Drucker señala que el problema puede parecer difícil y excepcional, y pasa a detallar un

problema algo más realista. No se va a detallar ese último, pues resulta más complejo y menos claro.

Este tipo de contraejemplos, en su intento de ser claros y fáciles de desarrollar, son poco realistas. Así

se verá, al citar el que, muchísimos años después, dará Livesley para el mismo caso pero dentro del

marco del análisis numérico de estructuras de bloques rígidos. En cualquier caso, este tipo de

ejemplos, que razonan por reducción al absurdo, son tan válidos como cualquier otro a la hora de

acotar la validez de una teoría y, además, fenómenos similares, aunque no tan llamativos como se verá


20

en la segunda parte del trabajo, se dan en estructuras más habituales aunque igualmente simples como,

por ejemplo, los bloques trabados o el dolmen que se usarán más adelante.

Surge ahora la cuestión de qué puede decirse acerca de las cargas límites de ensamblajes de cuerpos

con caras en contacto con rozamiento finito.

Los siguientes Teoremas de Rozamiento ("Friction Theorems") debidos a Drucker establecen:

1. Cualquier conjunto de cargas que produzca el colapso, para la condición de ausencia de

desplazamiento relativo en las caras de contacto, producirá también el colapso para el caso de

rozamiento finito. La condición de ausencia de desplazamiento relativo ("no relative motion") es

un término más inclusivo que el de rozamiento infinito puesto que tampoco permite la separación.

2. Cualquier conjunto de cargas que no produzca el colapso, cuando todos los coeficientes de

rozamiento sean cero, no producirá tampoco el colapso con valores cualquiera de los coeficientes.

3. Cualquier conjunto de cargas que no produzca el colapso de un ensamblaje de cuerpos con caras

de contacto con rozamiento, no producirá el colapso cuando las caras de contacto estén "pegadas"

con un suelo sin cohesión con ángulo de rozamiento arctanϕ µ=

Las pruebas de estos teoremas, que están incluidas en el citado artículo, se basan en el principio de los

trabajos virtuales y en las propiedades de la superficie de fluencia.

Los teoremas de rozamiento ("friction theorems") han sido probados por Drucker para toda función de

fluencia que sea estable y convexa, ("stable convex-yield function").

Se pueden extraer las siguientes conclusiones del artículo de Drucker:

1. La carga límite, para un ensamblaje de cuerpos con caras de contacto con rozamiento, está acotada

por debajo, por la carga límite para los mismos cuerpos con coeficiente de rozamiento cero entre

las caras de contacto.

2. La carga límite, para un ensamblaje de cuerpos con caras de contacto con rozamiento, está acotada

por encima, por la carga límite para ausencia de desplazamiento relativo entre las caras de

contacto y, también, por la carga límite para el mismo ensamblaje unido en las caras de contacto

por un suelo sin cohesión.

Como se verá en el resto del capítulo, en lo que afecta al caso del análisis de fábricas en condiciones

de rozamiento finito, poco más se ha dicho desde el punto de vista teórico en los siguientes cincuenta

años13.

Pero por el momento, volviendo a la línea principal14 del análisis límite estándar aplicado a las

estructuras de fábrica, hay que comentar la obra de Prager.

13 Que no sea una elaboración y refinamiento de lo expresado en los dos últimos teoremas 14 Al menos en términos de productividad


21

1.2.3 Prager (1959)

Como indicó Kooharian15, los teoremas habían sido previamente aplicados a arcos de material

perfectamente plástico por E.T.Onat y W.Prager16 (1953). Al margen del interés histórico que pueda

tener saber quien fue el primero en aplicar el análisis límite a las estructuras de fábrica, ya en 1959 el

análisis límite de fábricas (figuras 1.9 y 1.10) aparece en un libro de carácter general de William

Prager17 (1959). En éste, y como una de las aplicaciones del análisis límite, se incluye el análisis de un

arco formado por bloques rígidos colocados en seco (sin mortero).

Figura 1.9

Prager aclara, en el mismo apartado, bajo que condiciones esta aplicación es válida y, entre ellas, se

asume que el rozamiento entre bloques es suficientemente grande para impedir el deslizamiento.

Para los casos en que no se puede asegurar que el deslizamiento es imposible, Prager plantea 18 que es

necesario asumir que la relación entre la dilatación plana y el cortante relativo máximo sea una

relación constante e igual al seno del ángulo de rozamiento, es decir, que la dirección del

desplazamiento por fluencia de un punto que ha alcanzado su tensión límite y la dirección de dicha

tensión límite sean perpendiculares (figura 1.10).

Figura 1.10

15 En la nota al pie de la página 321 de su artículo 16 En su artículo "Limit Analysis of Arches" Brown University Report All-69 to Office of Naval Research 17 "An introduction to plasticity" cap. 3-14 pág. 83 "Other applications of limit analysis" 18 En la pág. 84 refiriéndose a la aplicabilidad del primer teorema a la mecánica de suelos


22

Se ven aquí aparecer, como limitaciones, dos de las condiciones bajo las cuales el anterior artículo de

Drucker ha aclarado que el análisis límite "clásico" es aplicable a los ensamblajes de cuerpos en

equilibrio, como es el caso de las estructuras de fábrica.

La primera de ellas es asegurar que el deslizamiento entre dovelas es imposible, siendo ésta la vía que

va a elegir Heyman.

La segunda alternativa, que es la reflejada por Drucker como el "pegado" de las caras en contacto

mediante un suelo sin cohesión, se va a expresar en la literatura sobre plasticidad posterior diciendo

que el material sigue una regla de flujo asociado respecto al rozamiento, o bien, que el material

cumple la regla de normalidad, e incluso en otros casos, que se trata de un material estándar.

1.2.4 Koiter (1960)

W.T.Koiter (1960) publica un trabajo en el que recopila y sistematiza algunos de los conceptos de la

teoría plástica. En el apartado 5, referido a los Teoremas de Colapso Plástico y Análisis Límite, hace

una formulación del segundo teorema de colapso y, a renglón seguido, de su inverso. Este último, que

se transcribe a continuación, y que es referido por algunos autores como tercer teorema de Koiter, es el

que resulta de más interés.

En lenguaje coloquial19: "Un cuerpo no se rompe, si no existe ningún campo de corrimientos virtuales

(velocidades) cinemáticamente admisible, para el que se produzca un exceso de energía cinética".

Así pues, si se es capaz de hallar, de entre todas las soluciones admisibles de colapso, una que tenga el

factor de carga mínimo, cualquier factor de carga por debajo de éste será un factor de carga seguro.

Esta vía, de buscar el factor de carga mínimo absoluto de todas las soluciones admisibles de colapso,

es la que han elegido con posterioridad gran parte de los métodos numéricos de aproximación al

problema que consideran una ley de rozamiento / deslizamiento no asociativa.

19 Geotecnia y cimientos II. José A. Jiménez Salas y otros


23

1.2.5 Heyman (1966)

En 1966 Jacques Heyman publica "The Stone Skeleton". Desde el punto de vista del técnico, es decir,

de aquel que tiene que determinar con los medios de análisis actuales si una estructura real está en

unas condiciones de estabilidad admisibles, la mayor parte de cuanto se ha dicho sobre el tema

descansa en el desarrollo, hecho por Heyman, de los temas apuntados en los artículos anteriores

(figura 1.11).

Figura 1.11

Heyman deja claro desde el primer momento el conjunto de hipótesis sobre las que se fundamenta su

desarrollo teórico y, mediante la constante introducción de comentarios aclaratorios en su escritos, va

delimitando el campo de aplicación de sus teorías.

Leyendo atentamente su obra se extrae la conclusión de que es plenamente consciente de las

limitaciones en cuanto a la generalidad de sus teorías. Pero, con irreprochable criterio técnico, su

desarrollo teórico se adapta al análisis de la mayor parte de las estructuras (no a todas ellas).

Heyman opta por la claridad y la robustez en sus formulaciones, lo cual hace sus teorías a la vez muy

atractivas y muy fáciles de aplicar a la mayor parte de las estructuras. En cualquier caso, hay que

señalar que los modelos de análisis propuestos por Heyman para distintos tipos de estructuras puede

que sean excesivamente seguros pero, desde luego, nunca están del lado de la inseguridad.

No puede decirse lo mismo del uso que pueda hacer de ellos un lector apresurado, sobre todo si

intenta traducir sus formulaciones en forma de análisis numérico20.

Las hipótesis acerca de las propiedades del material, que permiten establecer los principios y teoremas

fundamentales del análisis límite para las estructuras de fábrica, en el modo en que lo hace Heyman,

son las siguientes:

20 En un análisis gráfico es más fácil detectar cuando se están manejando los supuestos de partida más allá de su campo de aplicación


24

1º/ La fábrica no tiene resistencia a tracción. Esto es estrictamente cierto en caso de dovelas

aparejadas en seco y está del lado de la seguridad en los demás casos. Esta hipótesis puede ser

demasiado segura si la estructura no está adovelada, o si la traba entre las piezas permite cierta ligazón

entre ellas.

2º/ Los niveles generales de las tensiones son tan bajos que, para los fines del cálculo, la resistencia a

compresión de la fábrica es infinita (figura 1.12). Esta hipótesis va ligeramente en contra de la

seguridad y se puede tratar sin modificar excesivamente el esquema de cálculo. En recientes escritos

así lo ha hecho el propio Heyman.

3º/ No se puede producir el deslizamiento de una dovela (o sillar) sobre otra. A Heyman, como a

Coulomb, le parece una hipótesis razonable. No obstante, indica que el colapso de Beauvais

probablemente se inicio por deslizamiento.

Con estas hipótesis, el modo de rotura por articulación en un borde libre es el único posible. Bajo estas

condiciones es posible demostrar sin dificultad que la fábrica es un material al que se le pueden aplicar

los teoremas fundamentales del análisis límite.

La primera hipótesis admite mayor refinamiento, a costa de una mayor complejidad en los cálculos

justificable en algunos casos21 , la segunda admite un tratamiento iterativo con bajo coste

computacional o un tratamiento de linealización de las condiciones, que serían cuadráticas convexas.

Estos perfeccionamientos de las primeras dos hipótesis apenas añaden complejidad a la resolución del

problema.

Figura 1.12

21 "Consideraciones sobre el uso de un modelo de bloques rígidos trabados para el análisis de cúpulas". Fernando Magdalena . Trabajo de doctorado para Ricardo Aroca. Julio de 2001


25

Sin embargo, no sucede lo mismo con la tercera hipótesis de Heyman, que no va a asumirse en lo que

resta de trabajo porque se pretende realizar un enfoque teórico válido, en lo que al rozamiento se

refiere, no sólo para la mayoría sino para todos los casos.

1.2.6 Radenkovic (1961)

Transcurridos diez años desde la demostración de los teoremas fundamentales, se hizo patente que no

todos los materiales de los que se ocupa el cálculo de estructuras, y sobre todo la mecánica de suelos,

cumplen todas las condiciones sobre las que descansan la demostración de los citados teoremas.

Un caso particular es el referido por Drucker para el rozamiento de Coulomb, pero existen otros casos

más generales en los que el ángulo de deslizamiento, aún no siendo cero como en el caso del

rozamiento de Coulomb, tampoco coincide con el ángulo de rozamiento. El siguiente artículo de

Radenkovic trata sobre estos materiales no "standard".

Dragos Radenkovic (1961), bajo el epígrafe de plasticidad, presenta un escrito de dos páginas titulado

"Théorèmes limites pour un matériau de Coulomb à dilatation non standardisée" (figura 1.13).

Si se llama )(σf a la superficie de fluencia de un material rígido-perfectamente plástico y )(σg a la

función del potencial plástico del material, se llamará estándar (o bien "de dilatancia estandarizada") a

un material que se caracteriza porque )()( σσ gf = .

Figura 1.13

El objetivo perseguido es extender, en cierta medida, los dos teoremas límites a los materiales no

estándar )()( σσ gf ≠ . Para ello se postula la existencia de una solución del problema de equilibrio

límite dado. Esta solución proporciona, por supuesto, un campo de condiciones estáticamente posible

para un material "standard" F con un límite de fluencia 0)( =ijf σ . Se verifica, por otra parte, que el


26

campo de velocidades del material M es cinemáticamente posible para un material "standard" G con

un límite de fluencia 0)( =ijg σ .

Se pueden entonces establecer los siguientes resultados:

1. El campo de condiciones real para F da una cota superior de la carga límite para M .

2. El campo de condiciones real para G da una cota inferior de la carga límite para M .

Se obtiene así un procedimiento que permite obtener una acotación superior e inferior de la carga

límite de M .

Hay que señalar que, al contrario que los teoremas límites para materiales estándar, estos otros

teoremas no permiten calcular la carga límite en un procedimiento de aproximación ni tampoco

justificar, de paso, el enunciado de unicidad de la solución.

Como se verá cuando se aprenda a construir la función )(σg , de manera que se cumplan las citadas

condiciones, el planteado por Drucker es un caso particular de éste.

1.2.7 Palmer (1966)

Andrew Palmer (1966) publica "A Limit Theorem for Materials with Non-associated Flow Laws".

Su objetivo es establecer un teorema del límite inferior para los materiales no estándar. Para ello

propone un procedimiento constructivo para generar una nueva superficie.

Los materiales con rozamiento ("friccionales") pertenecen a la clase de materiales que tienen una ley

de fluencia no asociada, en el sentido de que el vector incremento de deformación plástica, que en este

trabajo se llamará "multiplicador plástico", no es, en general, normal a dicha superficie en cualquier

punto de la superficie de fluencia.

El procedimiento se propone: para un material que en el espacio de tensiones tiene una superficie de

fluencia única aunque no necesariamente "suave" (sin picos) o convexa, para el que en algunos puntos

"suaves" la dirección de los "multiplicadores plásticos" es única pero no necesariamente perpendicular

a la superficie, y para el que en los picos y restantes puntos suaves la dirección de los "multiplicadores

plásticos" no es única pero sus posibles direcciones son conocidas. En resumen, las direcciones de los

"multiplicadores plásticos" son conocidas en todos los puntos de la superficie.

A través de cada punto de la superficie de fluencia se construye el hiperplano (o hiperplanos)

perpendicular al "multiplicador plástico" (o a cada uno de ellos) en ese punto. Puede que estos

hiperplanos "envuelvan" (sean tangentes exteriormente a) una superficie totalmente interior a la

superficie de fluencia o puede que no.


27

En el segundo caso el teorema no es de aplicación. En el primer caso la superficie definida es

necesariamente convexa, según se deduce de la teoría de análisis convexo, al estar definida por un

conjunto de desigualdades lineales. A esta superficie se la llama superficie-G

Figura 1.14 Figura 1.15

En la terminología que se está empleando, el teorema del límite inferior vendría a decir: "Si existe una

solución estática admisible para la estructura, hecha de un material cuya superficie de fluencia sea la

superficie-G, obtenida de acuerdo al procedimiento descrito, la estructura no colapsará"

En resumen, para definir su teorema del límite inferior, y esto es lo que más interesa, establece un

método para crear la superficie-G, que es la superficie de fluencia del material estándar G , tal como

lo define Radenkovic.

Esta nueva definición del teorema del límite inferior para materiales no estándar ha tenido amplia

aplicación en mecánica de suelos para materiales con dilatancia no estándar. De hecho, la ilustración

de la figura 1.15, que hizo Cheng en 1975, ilustra el concepto en el libro clásico de Mecánica de

Suelos de Jiménez Salas, citado anteriormente.

1.2.8 Sacchi y Save (1968)

Sacchi y Save (1968) escriben un artículo en el que hacen una exposición sistemática de los teoremas

de Radenkovic ligados a la superficie-G, obtenida de acuerdo al método de Palmer (figura 1.16).

Pudiera parecer que con la aplicación de estos nuevos teoremas, especialmente el del límite inferior, se

podría obtener una solución aproximada al problema y que éste quedaría, al menos parcialmente,

resuelto. La dificultad radica en que el ángulo de deslizamiento, en el caso de rozamiento de Coulomb,

vale 0 y la superficie de fluencia está constituida por planos, o líneas rectas en representación

bidimensional, por tanto, la superficie-G que se obtiene al aplicar el método de Palmer es una recta

horizontal que pasa por el origen.


28

Tal superficie de fluencia corresponde a un material estándar con ángulo de rozamiento 0, con lo cual

se ha vuelto a llegar al teorema de Drucker.

Figura 1.16

1.2.9 Recapitulación: Ponter et al. (2000)

Al borde del cambio de siglo, Ponter et al. (2000) resumen el estado actual de la teoría general para

materiales no standard, que se transcribe ampliamente a continuación:

"Teoremas de Análisis Límite No Standard.

Los teoremas de análisis límite se fundan en el postulado de máxima disipación plástica y, por

ello, sobre la normalidad de la regla de flujo o, equivalentemente, sobre la asociatividad del

criterio de fluencia (yield criterion), que es un ingrediente esencial para su demostración. De

hecho (los teoremas) no son aplicables a los materiales no standard.

En el contexto de los materiales no standard, como los suelos, una teoría de análisis límite fue

propuesta por Radenkovic, con modificaciones de Josseling de Jong, Palmer y Salencon. Como

se observa en Lubliner, los teoremas fundamentales del análisis límite en este contexto quedan

establecidos en la forma de "teorema límite superior" e "inferior" como sigue:

Primer teorema de Radenkovic

La carga límite, para un cuerpo cuyo material sigue una regla de flujo no asociativa, está

limitada superiormente por la carga límite referida a un material standard cuya superficie de

fluencia (yield surface) contenga (i.e. sea mayor que) o coincida con la del material no

standard.


29

Segundo teorema de Radenkovic

Sean 0)( =σf y .)( constg =σ la superficie de fluencia y la función del potencial plástico

del material no standard ( ambas convexas por hipótesis). Además se asume que

.)( constg =σ se ha construido de tal modo que se cumplen las dos siguientes propiedades.

1. 0)( =σg implica que 0)( ≤σf de tal modo que la superficie 0)( =σg está completamente

contenida en la superficie de fluencia 0)( =σf .

2. a cualquier σ cuya 0)( =σf le corresponde un 'σ tal que: a) p´ε es normal a 'σ para la

superficie 0)( =σg , b) se cumple que 0´)( · ≥− ijijij εσσ

Una posibilidad de cómo construir tal potencial plástico ha sido dada por Palmer.

El segundo teorema puede establecerse en la siguiente forma:

La carga límite para un cuerpo constituido de un material standard que cumpla el criterio de

fluencia 0)( =σg , es un límite superior para la carga límite para el mismo cuerpo constituido

de un material no standard que cumpla el criterio 0)( =σf

A fin de obtener el mejor límite inferior posible, el potencial plástico debería construirse de tal

modo que la superficie 0)( =σg esté tan cercana como sea posible a 0)( =σf , al menos en

el rango de tensiones que se espera encontrar en el análisis.

Las pruebas para los dos teoremas están en el artículo de Radenkovic.

En particular, todo valor de la carga límite para un cuerpo constituido de material no standard

se encuentra entre dos límites fijos definidos por los valores de las cargas límites de dos

materiales standard correspondientes.

Obviamente, estos teoremas no tienen la misma fuerza que los teoremas límites para materiales

standard . En el caso de un material no estándar, estando fijados los límites superior e inferior,

no hay manera de encontrar la carga límite por aproximación, lo cual es comprensible puesto

que incluso la unicidad de la carga límite es, en este contexto, incierta. Debido a la ausencia de

una demostración de la unicidad del campo de tensiones en un cuerpo constituido de un

material perfectamente plástico no estándar".

1.2.10 De Saxcé (1998)

Una de las más recientes extensiones de la teoría de la plasticidad hacia el presente caso es debida a

Géry De Saxcé, que acuña el concepto de "Material Estándar Implícito", (ISM - "Implicit Standard

Materials"), de Saxcé et al. (1998). Se puede encontrar una descripción concisa, aunque muy técnica,

de dicho concepto en C.Vallée et al. (2009).

Los materiales estándar pueden ser modelados mediante potenciales convexos y diferenciables.


30

Principalmente para representar leyes constitutivas multivaloradas fueron extendidos a los llamados

"Materiales Estándar Generalizados", (GSM - "Generalized Standard Materials"), B. Halphen et al.

(1975), modelados por potenciales convexos y semi-continuos inferiormente aunque no

necesariamente diferenciables. Esta extensión falla al describir la ley de rozamiento en seco de

Coulomb.

En 1991 Géry De Saxcé y Z. Q. Feng proponen una nueva generalización que llaman "Material

Estándar Implícito" (ISM). Esta nueva clase de materiales es modelada mediante una función punto a

punto a la que dan el nombre de bipotencial22, y que depende tanto de las tensiones como de las

deformaciones. En el artículo citado, de Saxcé et al. (1998), señalan como características de los ISM

la no-unicidad de la carga límite y el acoplamiento de los enfoques de límite superior e inferior

El concepto de Material Estándar Implícito ha mostrado ser relevante para la descripción de muchos

fenómenos "no asociados", entre ellos: Contacto unilateral con rozamiento en seco de Coulomb,

Plasticidad generalizada de Drucker-Prager; Modelos Cam-Clay modificados, Regla de

endurecimiento cinemático no lineal para la plasticidad cíclica de los metales y Ley de daño plástico-

dúctil de Lemaìtre.

Una reciente aplicación específica de la teoría del bipotencial es la debida a Bousshine et al. (2002)

figura 1.17.

Figura 1.17

En este planteamiento, y a causa del contacto con rozamiento, los dos enfoques están acoplados, el

análisis límite cinemático contiene variables estáticas y viceversa. Para hacer frente al acoplamiento

utilizan un algoritmo iterativo basado en aproximaciones sucesivas.

Respecto a este último artículo, F. Tin-Loi et al. (2007) señalan que el ejemplo elegido tiene una

única solución y hace difícil evaluar como se comportaría el método para estructuras más complejas

que, invariablemente, tienen soluciones múltiples.

22 En el caso de un Material Estándar Generalizado (GSM) dicho bipotencial se reduce a la suma del potencial y su "potencial conjugado"


31

Esta nueva generalización, en lo que respecta a su formulación matemática, hace un uso intensivo de

conceptos de las teorías del análisis convexo y de inclusiones diferenciales, y en lo que respecta a la

extensión del campo de aplicación de la teoría de la plasticidad, según sus autores, promete ser muy

potente.

Para el caso en estudio, la formulación como Problema de Complementariedad (CP) que se expone al

final del capítulo es más simple, y no requiere el conocimiento del análisis convexo o la teoría del

bipotencial, sino que usa el mismo conjunto de relaciones que caracterizan el análisis límite rígido-

plástico a las que se añaden las condiciones de contacto con rozamiento, expresadas como

restricciones de complementariedad.

Por otra parte, Acary et al. (2004) han estudiado las relaciones entre los formulismos como inclusiones

diferenciales unilaterales y como sistemas de complementariedad para sistemas dinámicos unilaterales,

y Acary et al. (2008) específicamente para sistemas mecánicos con rozamiento de Coulomb.

Debe, además, tenerse en cuenta que mientras que la formulación del contacto unilateral como un

problema de complementariedad está amplísimamente extendida, la formulación mediante el uso de

ISM y bipotenciales está restringida, hasta el momento presente, a un núcleo más reducido de

investigadores.

La vía de investigación que se va a desarrollar en esta tesis, es la formulación como un problema de

contacto, representado a través de restricciones de complementariedad y resuelto numéricamente.

1.2.11 Aplicabilidad de las teorías de la plasticidad al problema del rozamiento.

Antes de pasar a exponer los antecedentes en este campo, se va a realizar un pequeño repaso de los

resultados teóricos presentados hasta ahora.

Transcurrido más de medio siglo desde que Drucker escribiera su artículo sobre "Cargas Límites,

Plasticidad y Rozamiento de Coulomb", todo de lo que se dispone, aplicable al caso de las estructuras

de fábrica con rozamiento finito de Coulomb, son distintas redacciones de los Teoremas de

Rozamiento de Drucker.

La fábrica como material no estándar se caracteriza por un ángulo de rozamiento distinto del ángulo de

deslizamiento. En este caso, en lugar de la carga de colapso única, que se podía obtener en los

materiales estándar, sólo se puede determinar una cota superior y una cota inferior para ella.

En esencia, y para el caso de las estructuras de fábrica, podrían escribirse dos teoremas:

1/ Teorema del límite superior con rozamiento no asociativo. La carga de colapso, obtenida aplicando

los teoremas de plasticidad estándar a una estructura de fábrica hecha de un material estándar y el

mismo ángulo de rozamiento que el del material real, será un límite superior para la carga de colapso

de la misma estructura hecha del material real no estándar.


32

2/ Teorema del límite inferior con rozamiento no asociativo. La carga de colapso, obtenida aplicando

los teoremas de plasticidad estándar a una estructura de fábrica hecha de un material estándar y el

mismo ángulo de rozamiento que el ángulo de deslizamiento del material real, será un límite inferior

para la carga de colapso de la misma estructura hecha del material real no estándar.

Se puede ver que la carga de colapso obtenida por aplicación de los teoremas estándar, sobre la

estructura con el mismo material, pero considerado estándar, da ahora un límite superior de la carga de

colapso real, (segunda parte de la conclusión 2ª del artículo de Drucker).

Cabe pues la posibilidad de que existan soluciones de colapso cuya carga de colapso sea inferior a la

correspondiente a una solución estática dada y que, sin embargo, cumplan todas las condiciones

fijadas en los teoremas clásicos.

Por tanto, el límite superior obtenido no sirve para determinar si una carga es admisible, ya que, en

palabras de Kooharian "Las cargas admisibles son siempre una fracción de la carga requerida para

producir el colapso"

Queda aún la posibilidad de aplicar el teorema del límite inferior. El problema radica en este caso en

que, dado que el ángulo de deslizamiento de Coulomb es 0, el límite inferior obtenido correspondería

al de un material sin rozamiento, (conclusión 1ª del artículo de Drucker).

La aplicación parcial de este teorema, considerando ausencia de rozamiento frente a determinado tipo

de movimientos, ha dado lugar a modelos válidos y seguros de determinadas tipologías de estructuras

de fábrica. Sin embargo, la aplicación completa y estricta de la ausencia de rozamiento lleva, en los

casos más generales, a una disminución tal de la carga de colapso (incluso a 0) que hace inútil un

análisis de este tipo.

Estas formulaciones "débiles" de los teoremas, unidas a la formulación del "tercer" teorema por Koiter,

definen el "estado actual del arte" en la aplicación de la teoría general de la plasticidad y de los

teoremas fundamentales del análisis límite, más o menos adaptados, para el análisis de estabilidad de

estructuras de fábrica.

Se debe excluir de esta conclusión negativa al concepto de Material Estándar Implícito (ISM) de

Saxce y a su aplicación al contacto unilateral con rozamiento en seco, pero su aplicación, si se

demostrara que funciona razonablemente en casos con múltiples soluciones, lleva a una mayor

complejidad tanto teórica como computacional. El punto de vista que se mantiene en esta tesis es que

esta complejidad es innecesaria, pues existe un planteamiento alternativo que permite reutilizar todos

los conocimientos adquiridos sobre el análisis numérico de las estructuras de fábrica, añadiendo unas

nuevas condiciones referidas al contacto en las juntas.

A continuación se van a citar, brevísimamente, algunas obras fundamentales del análisis límite

numérico aplicables al presente caso, para exponer a continuación el enfoque como un problema de

contacto.


33

1.3 Relaciones del análisis límite y la programación matemática23

En aquellos casos en que es aplicable el análisis límite estándar, los teoremas límites, tal como se han

establecido, permiten: hallar soluciones seguras (teorema estático), hallar soluciones inseguras

(teorema cinemático) y asegurar que en el punto de acumulación entre ambas se encuentra el valor de

la auténtica carga de inicio de colapso que es única (teorema de la unicidad)24.

Es precisamente este último teorema el que garantiza que cualquier solución válida, obtenida

aplicando uno de los dos primeros teoremas, está del lado seguro o del inseguro. No es necesario

considerar todas las posibles soluciones seguras (o inseguras), basta con encontrar una de ellas.

Sin embargo, en el caso general, exceptuando los tres casos señalados por Drucker, la unicidad de la

solución no está asegurada. Pueden existir múltiples soluciones. Si estas tienen diferente carga de

inicio de colapso, puede haber soluciones cuya carga esté comprendida entre los valores máximo y

mínimo de las cargas de inicio de colapso y que, sin embargo, cumplan con todas las condiciones

estáticas. La carga correspondiente a una solución estática admisible (teorema estático) puede que no

sea ya una carga totalmente segura.

Si no se cumplen las condiciones que permiten utilizar el análisis límite estándar, sólo quedan las

formulaciones de los teoremas que no requieren para su demostración que se cumpla la regla de

normalidad, a saber:

1º/ Una estructura colapsa con seguridad si no existe ninguna solución estática admisible en equilibrio

con las acciones que actúan sobre ella.

2º/ Una estructura no puede colapsar si no existe ningún mecanismo cinemático admisible y que

produzca un trabajo positivo de las fuerzas exteriores25 actuantes.

Por ello, la vía escogida por la mayoría de los investigadores para obtener una certeza absoluta de que

una carga es segura, o totalmente insegura, ha sido intentar hallar los valores máximo y mínimo de los

factores de carga de las soluciones de inicio de colapso.

De buscar estos valores se ocupa una rama de las matemáticas aplicadas conocida como Programación

Matemática.

Si las características del problema permiten tratarlo mediante el análisis límite estándar, el programa

matemático a resolver sería un Programa Lineal (LP, "Linear Program"), el valor único obtenido

como resultado es el referido por el teorema de la unicidad.

23 A partir de este punto se van a emplear una serie de conceptos matemáticos (y sus acrónimos en ingles) que se describirán más adelante. Se ha intentado incorporar estas disgresiones en los puntos en que menos interrumpen el discurso principal, lo cual en ocasiones puede dificultar el entendimiento de la referencia adelantada. El lector que quiera acceder ya a estas definiciones puede recurrir al glosario ubicado al final del trabajo. Además, al final del capítulo 4 se incluye un cuadro sinóptico (figura 4.9) de las principales herramientas de programación matemática empleadas. 24 La carga es única pero la solución no lo es necesariamente 25 De todas las fuerzas exteriores y no sólo de las fuerzas "vivas"


34

Este valor único26 se puede obtener hallando el máximo de un programa primal (programa estático) o

el mínimo de un programa dual (programa cinemático). Las condiciones de optimalidad de cada uno

de estos programas constituyen un problema matemático conocido como Problema de

Complementariedad Lineal (LCP, "Linear Complementarity Problem").

En el caso en que la ley de rozamiento / deslizamiento sea asociativa, la matriz característica del LCP

es antisimétrica, lo que hace, como se verá más adelante, que tenga una solución con valor único. En

el caso del rozamiento de Coulomb no es así, los problemas estático y cinemático no son duales y no

basta con resolver uno de ellos para obtener la solución que se busca. En este último caso, para poder

resolverlo, el problema debe de plantearse en su integridad, bien sea en la forma del citado LCP o en

alguna de sus formulaciones equivalentes.

1.3.1 Charnes y Greenberg (1951-1959)

Desde los primeros momentos análisis límite (estándar) y programación matemática (lineal) han

estado relacionados. Charnes & Greenberg (1951) establecieron la equivalencia, para cerchas, de los

problemas duales de programación lineal y los principios "estático" y "cinemático" del colapso

plástico, establecidos por Horne (1950) y por Drucker, Prager & Greenberg (1952a).

Charnes, Lemke y Zienkiewicz (1959) extendieron la equivalencia a los pórticos.

Esta equivalencia permite hallar los valores extremos de las soluciones seguras (teorema estático-

programa primal) o de las inseguras (teorema cinemático-programa dual) y obtener la auténtica carga

de inicio de colapso (teorema de unicidad).

1.3.2 Livesley (1978)

En el caso plano, o en el de 3D linealizado, el LCP corresponde a las condiciones de óptimo de dos

programas lineales (LP) duales, ver Murty (1997).

El resultado puede obtenerse resolviendo el programa primal (estático), como Livesley (1978) que

publica en el "International Journal for Numerical Methods in Engineering" un artículo titulado "Limit

Analysis of Structures Formed from Rigid Blocks".

En este artículo adapta una técnica, previamente desarrollada en el análisis de pórticos rígido-plásticos,

para proporcionar un procedimiento formal capaz de encontrar la carga límite de cualquier estructura

26 Resolver un programa lineal consiste en hallar el mínimo (o el máximo) valor de una función lineal (función objetivo) sujeta al cumplimiento de un conjunto de restricciones también lineales). El valor obtenido de la función (mínimo o máximo) es único, aunque los puntos en los que se alcanza (minimizador o maximizador) pueden ser múltiples.


35

formada por bloques rígidos (figura 1.18), siempre que se encuentre en alguno de los tres casos

descritos por Drucker.

Figura 1.18

En la segunda parte del citado artículo, titulada "Condiciones de cedencia incluyendo rozamiento de

Coulomb - un enfoque ingenuo", muestra como el mecanismo (figura 1.19) obtenido aplicando el

análisis límite estándar es incorrecto, cuando incluye deslizamiento entre las partes. A continuación,

desarrolla una discusión sobre "La validez del análisis límite en presencia de rozamiento de Coulomb",

tal como ya había hecho Drucker, al que cita en las referencias, para el caso general.

Figura 1.19


36

1.3.3 Gilbert y Melbourne (1994)

También puede obtenerse la carga de inicio de colapso resolviendo el programa dual (cinemático)

como hacen Gilbert y Melbourne (1994) (figura 1.20)

Figura 1.20

Ambos planteamientos son duales y llevan al mismo resultado. La eficacia de utilizar uno u otro

método depende de las características específicas de cada problema27. Este hecho es bien conocido en

programación lineal. En la formulación realizada por Gilbert et al. se consideran, tanto los

desplazamientos admisibles en el caso sin deslizamiento, como los del caso con deslizamiento que

sigue una regla asociativa (figura 1.21).

Figura 1.21

Como ya señaló Livesley en su artículo, la geometría de los mecanismos que incorporan deslizamiento

de este tipo, no corresponde con los datos experimentales acerca de este modo de colapso.

1.4 Problemas de contacto unilateral

Si se consideran por separado los modelos estático y cinemático, es difícil entender donde radica la

dificultad del problema y resolverlo. Absolutamente todas las condiciones introducidas en los modelos

considerados separadamente, tanto en los estáticos como en los cinemáticos, son lineales o convexas y, 27 Por ejemplo, Ahmed y Gilbert (2003) califican la elección de un planteamiento estático o cinemático como un problema de preferencias.


37

por lo tanto, linealizables28. Considerar ambos modelos a la vez tampoco resuelve el problema siendo

necesario introducir un conjunto de condiciones que los liguen entre sí.

1.4.1 Lötstedt (1982)

A comienzos de los años ochenta29 se abre paso un nuevo enfoque que pone el énfasis en las

condiciones de contacto y, más concretamente, en el carácter unilateral de las restricciones de

contacto. Este carácter unilateral se manifiesta siempre, tanto si éstas son con deslizamiento impedido,

como si son con rozamiento nulo, con rozamiento/deslizamiento asociativo o con

rozamiento/deslizamiento de Coulomb. En definitiva, el carácter unilateral no depende de que se

considere o no el rozamiento, sino de la incapacidad para soportar tracciones. Lötstedt (1982) se

plantea, en el contexto de la simulación digital del movimiento, las propiedades de los sistemas

mecánicos de bloques rígidos sujetos a restricciones unilaterales. Para ello adopta la teoría de la

complementariedad, cuyas aplicaciones a la mecánica habían sido reseñadas en Cottle (1979).

Al final del artículo, Lötstedt (1981) señala que en el caso del rozamiento de Coulomb puede no existir

solución o no ser única, como ya fue señalado por Painlevé30 en 1895.

1.4.2 Fishwick (1995)

Tal y como se verá en el siguiente apartado, Baggio et al. habían propuesto en su trabajo de 1995, que

Fishwick cita en su tesis, la aproximación al problema mediante programación cuadrática. Ahora bien,

un óptimo local de una función cuadrática se puede obtener mediante la resolución de un Problema

Lineal con Restricciones de Complementariedad (en adelante LCP). A este punto había llegado R.J.

Fishwick en los trabajos preparatorios de su tesis doctoral, Fishwick (1996), cuando finalmente

decidió que ¿por qué no plantear directamente el citado Problema Lineal con Restricciones de

Complementariedad?.

En una serie de artículos preparatorios "Limit analysis of masonry arch bridges", "Analysis of

masonry arches using linear programming", "Numerical analysis of rigid block structures including

sliding", "A solution to a nonlinear structural masonry problem usig macro programming" va

estableciendo la formulación necesaria, deslizando su método de aproximación, poco a poco, desde la

programación lineal hacia la caracterización final como un LCP. Esto mismo es lo que había

28 Es más, desde un punto de vista ingenuo considerando el modelo cinemático separadamente, parecería más sencillo el caso del deslizamiento de Coulomb que está contenido en un plano que el del deslizamiento asociativo que está contenido en un cono 29 Aunque el propio Lötstedt se refiere a la obra de Cottle (1979) y el tratamiento del contacto sin fricción se remonta según Klarbring (1993) a Friedman y Chernina, en 1967, y Conry y Seireg, en 1971, el autor citado como antecedente por los que han tratado el problema aplicado a las estructuras de fábrica es Lötstedt. 30 La paradoja de Painlevé es un conocido ejemplo que muestra que la dinámica de cuerpos rígidos con contacto y rozamiento de Coulomb es inconsistente. R. Acad. Sci. Paris, 121 (1895), pp. 112--115


38

propuesto Lötstedt para un problema más general, pero Fishwick no conocía el trabajo de Lötstedt o,

al menos, no lo cita en la bibliografía.

El LCP no es un programa matemático con una función a optimizar, como lo es un programa

cuadrático, sino un problema con una o varias soluciones (figura 1.22).

Figura 1.22

El primer algoritmo capaz de encontrar "una" solución a este problema es uno fuertemente relacionado

con el algoritmo Simplex, desarrollado por Dantzing para programación lineal (LP), y fue

desarrollado por Lemke en los mismos años. Su objetivo inicial fue encontrar una solución de

equilibrio para lo que en teoría de juegos, una técnica empleada en econometría, se conoce como

"juego bimatriz" o de "suma no cero"31. La existencia de al menos una solución de equilibrio para uno

de estos juegos, en determinadas condiciones, fue postulada previamente por el matemático Nash. La

consecución de un algoritmo que hallara tal solución, conocida como "equilibrio de Nash", por el

citado Lemke.

El algoritmo fue modificado más tarde para resolver un LCP, del cual el "juego bimatriz" es un caso

particular, quedando con el nombre de algoritmo de Lemke-Howson o Algoritmo del Pivote

Complementario.

Mediante una modificación del algoritmo de Lemke, haciendo que buscara todas las soluciones

existentes, Fishwick consiguió, por primera vez, obtener un mínimo global de la carga de colapso para

31 Por oposición a los juegos de "suma cero" o con matriz única que se resuelven mediante programación lineal


39

un ejemplo muy simple formado por tres bloques32. Desgraciadamente, el método propuesto no puede

ser aplicado, como método enumerativo de optimización global, al caso general, pues el algoritmo de

Lemke sólo garantiza el procesamiento de determinados tipos de LCP, cuya matriz característica

pertenece a unas determinadas clases.

Existen, además, otro tipo de limitaciones que afectan a todo LCP de tipo general y que se verán más

adelante.

1.4.3 Baggio y Trovalusci (1995)

Baggio et al.(1995) habían propuesto la solución por tres métodos: mediante elementos finitos no

lineales, mediante el método de los elementos discretos y mediante análisis límite no estándar,

comparando los resultados con los de un experimento físico. En su planteamiento mediante análisis

límite formulan el problema completo incluidas las condiciones de complementariedad y plantean su

resolución mediante un proceso iterativo como programa no lineal33. Después de experimentar

numerosas dificultades en la resolución, obtienen para los tres métodos numéricos el mismo

resultado34 (figura 1.23) pero éste no coincide con el resultado del experimento que es un 20% menor,

lo cual atribuyen a defectos de planeidad en las juntas de contacto35

Figura 1.23

En Baggio et al. (2000) proponen un procedimiento en dos pasos, en el primero obtienen la solución

de máximo utilizando un modelo de rozamiento asociativo, en el segundo, utilizando como punto de

partida la solución obtenida aplican un procedimiento de programación cuadrática secuencial (SQP).

Los resultados obtenidos (figura 1.24) no son concluyentes. La solución obtenida como programa no

32 Este mismo ejemplo se va a usar en siguientes capítulos para presentar los conceptos necesarios para el método que se va a proponer. A pesar de su sencillez posee características significativas del problema general como la multiplicidad de soluciones. 33 Por aproximación cuadrática usando como función de mérito el Lagrangiano aumentado 34 Que es con diferencia en el cuarto decimal el mismo que el obtenido por otros autores empleando distintos métodos. 35 Esta atribución resulta dudosa, tal como se verá cuando se exponga la influencia de las irregularidades en las juntas de contacto, sobre los resultados obtenidos.


40

lineal (NLP), partiendo de un punto al azar, da valores mucho más bajos que los obtenidos con NLP,

pero partiendo de la solución de máximo hallada mediante programación lineal (LP). La diferencia

entre las soluciones b y c es relativamente pequeña y, por otro lado, el mecanismo de la izquierda es

claramente incorrecto pues dos bloques se interpenetran.

Figura 1.24

Muy cercano en el tiempo a este segundo trabajo de Baggio et al. se publica el trabajo de Ferris y Tin-

Loi que es, de lejos, el más claro en términos expositivos de los presentados en esta última parte.

1.4.4 Ferris y Tin Loi (1999)

Ferris y Tin-Loi (1999), con el segundo de los cuales Fishwick había mantenido correspondencia en el

año 1995 sobre el modo de resolución del problema de su tesis, escriben un artículo sumamente

clarificador36, especialmente en la formulación matemática del problema.

El método de Fishwick tenía el inconveniente, entre otros, de sólo poder aplicarse a problemas de

tamaño reducido. Ferris y Tin-Loi coinciden con Fishwick en que las condiciones que definen una

solución de inicio de colapso pueden formularse como un Problema de Complementariedad (CP,

"Complementarity Problem") y, más concretamente, como un Problema de Complementariedad Lineal

Mixto (MCP ó más propiamente MLCP , "Mixed Linear Complementarity Problem"). No obstante, en

lugar de obtener todas las soluciones de inicio de colapso, es decir todas las soluciones del MCP, y

tomar como mínimo el valor de factor de carga mínimo del conjunto de todos los obtenidos, plantean

36 El lector no interesado en el desarrollo histórico de los hechos, sino sólo en el planteamiento del problema para su análisis numérico, debería elegir este artículo para su estudio, en especial sus secciones 2ª y 3ª. También son de interés los ejemplos que incorporan, que se han convertido, en artículos posteriores, en casos para chequear los nuevos planteamientos.


41

la resolución de un Programa Matemático, cuya función objetivo es el factor de carga de colapso y las

restricciones a las que está sometida son el MCP.

El problema planteado en esta forma sería un caso particular de un Programa Matemático con

Restricciones de Equilibrio (MPEC, "Mathematical Program with Equilibrium Constraints"). En el

caso de estructuras en 2 dimensiones, la función objetivo sería lineal y las restricciones de equilibrio,

restricciones de complementariedad lineal.

Para resolver el MPEC plantean su reformulación como un Programa No Lineal (NLP, "Nonlinear

Program") y, una vez resuelto, comparan los resultados obtenidos de la resolución como LP, de una

solución del MCP y de una solución del MPEC.

Para resolver estos problemas los formulan mediante el programa GAMS ("General Algebraic

Modelling System") y sus programas de optimización asociados CPLEX (LP), PATH (MCP) y

CONOPT2 (NLP).37

Hay que resaltar que, en caso de existir múltiples soluciones de inicio de colapso, no se obtendrá en

general la de valor mínimo, puesto que los métodos empleados, al contrario que el método

enumerativo de Fishwick, sólo son capaces de obtener un óptimo local. La ventaja de estos métodos es

que sí son capaces de manejar problemas de mayor tamaño (figura 1.25).

Figura 1.25

37 Tanto el entorno como los programas de optimización son comerciales, y no están en el dominio público. Es importante señalarlo, porque el trabajo que se está reseñando ha sido utilizado como modelo (a veces literalmente) por varios desarrollos posteriores que, por tanto, descansan sobre los mismos programas.


42

1.4.5 Orduña y Lourenço (2003-2007)

Orduña (2003), en su tesis de doctorado, y Lourenço y Orduña (2005b) proponen un procedimiento

incremental basado en una historia de cargas. En palabras de Orduña (2007), ésta "sigue

aproximadamente la historia de carga lateral sobre la estructura, al hacer variar el esfuerzo efectivo de

compresión desde un valor muy pequeño hasta su valor estimado", como método para obtener

información del funcionamiento de la estructura. Los problemas matemáticos resultantes se resuelven

como MCP, utilizando algoritmos y programas similares a los empleados por Ferris y Tin-Loi. Su

implementación en el programa BLOCK emplea AUTOCAD como interfaz gráfica y GAMS como

programa de formalización matemática y resolución (figura 1.26).

Hay que destacar que, en la discusión del artículo de 2005, señalan que es teóricamente posible

obtener todas las soluciones del MCP por procedimientos similares a los propuestos en Tin-Loi et al.

(2003). Sin embargo, la elección de la solución más fiable debe implicar la selección de aquellas

soluciones que sean directamente alcanzables desde el conjunto de estados de tensiones que son

posibles bajo las cargas gravitacionales únicamente y que satisfagan las condiciones de equilibrio y de

cedencia.

Como se ve, el procedimiento retrotrae peligrosamente a la discusión sobre el "auténtico estado de

tensiones en la fábrica".

Figura 1.26


43

De mayor interés para el presente trabajo es la queja, contenida en la citada discusión, respecto a que

la minimización del factor de carga lleva a severas e inaceptables subestimaciones de la carga de

colapso.

Esta queja es compartida en otros términos por autores como Gilbert et al. (2006).

También resulta muy interesante su afirmación sobre la comparación con la evidencia experimental,

que muestra que las conductas intermedias y de fallo coinciden bien con los experimentos realizados,

así como que los experimentos con modelos con juntas en seco son extremadamente sensibles a las

condiciones de contacto inicial en las juntas.

La parte III de esta tesis intenta dar una respuesta verosímil y no dependiente del conocimiento de un

hipotético "estado real de tensiones" a las cuestiones suscitadas por estas últimas reflexiones.


44

Parte II:

Posibilidad de colapso

46

Capítulo 2

La fábrica como material

unilateral: el modelo

2. La fábrica como material unilateral: el modelo

48

Parte II. Posibilidad de colapso

49

2.1 Introducción

2.1.1 La fábrica como material "unilateral": el problema

Una amplia variedad de estructuras de edificación están constituidas de materiales compuestos que se

pueden incluir en la categoría de fábricas. La característica más relevante de estos materiales es una

escasa o nula resistencia a tracción, acompañada de una considerable resistencia a compresión. Por

este motivo se les da en algunos casos el nombre de “materiales unilaterales”.

La falta de homogeneidad interna es otra importante característica que lleva, en sus casos extremos, a

la discontinuidad entre las distintas partes constituyentes de la fábrica. Esta discontinuidad puede ser

resultado de la existencia de juntas entre materiales a consecuencia del proceso constructivo o bien de

la aparición, real o virtual, de grietas entre los distintos elementos debida a la baja resistencia a

tracción. En ambos casos la estructura se puede modelar como un conjunto de elementos en contacto,

denominándose a las condiciones que relacionan el comportamiento estático y cinemático de estos

conjuntos de elementos “condiciones de contacto unilaterales”.

Por todo ello, la evaluación de la seguridad de estructuras antiguas de fábrica es un problema abierto.

El material es heterogéneo y anisótropo, el estado previo de tensiones muy difícil de conocer y las

condiciones de contorno inciertas.

2.1.2 El análisis límite como posible solución

A comienzos de los años cincuenta, del pasado siglo, se demostró que el análisis límite era aplicable a

este tipo de estructuras, considerándose desde entonces como una herramienta adecuada.

En los casos en los que no se produce deslizamiento, la aplicación de los teoremas del análisis límite

estándar constituye una herramienta formidable por su simplicidad y robustez. No es necesario

conocer el estado real de tensiones, basta con encontrar cualquier solución de equilibrio que satisfaga

las condiciones de límite del material, con total seguridad su factor de carga será igual o inferior al

factor de carga real de inicio de colapso. Este factor de carga de inicio de colapso es único (teorema de

la unicidad) y se puede obtener como el óptimo de uno cualquiera entre un par de programas

matemáticos convexos duales.

Sin embargo, cuando puedan existir mecanismos de inicio de colapso que impliquen deslizamientos,

cualquier solución de inicio de colapso debe satisfacer tanto las restricciones estáticas como las


50

cinemáticas, así como un tipo especial de restricciones disyuntivas que ligan las anteriores y que

pueden plantearse como de complementariedad.

El presente capítulo trata de las características del material fábrica y de la formulación de un modelo

que incorpore aquellas más relevantes, de modo que el problema pueda ser tratado por medio del

Análisis Límite.

2.1.3 Modelo y método

Para analizar una estructura es necesario crear un modelo idealizado de ella al que se aplicará

posteriormente un método de análisis. Las características a incorporar en el modelo dependen de las

propias características de la estructura real, de las preguntas1 que se quieren responder acerca de ella y

del método de análisis que se va a emplear. Las tres partes están íntimamente relacionadas. No se

pueden introducir, en el modelo, características que no pueda manejar el método de análisis y no se

deben introducir, en el modelo, características irrelevantes para las preguntas que se quieren

responder2.

Del método de análisis se ocupará el siguiente capítulo, dedicándose el presente a exponer las

características básicas y las variantes del modelo propuesto, tanto en cuanto a sus características

físicas propiamente dichas, como en cuanto a su formulación matemática en el marco del Análisis

Límite.

En primer lugar se hará una brevísima descripción de algunos modelos previos para, a continuación,

mediante ejemplos muy sencillos, mostrar sus limitaciones y, por último, describir de manera más

formal el modelo propuesto.

2.2 Ejemplos de modelos en la literatura

Se exponen a continuación, brevemente, tres modelos3 de autores cuyos trabajos fundamentan esta

tesis. Como se ha sugerido en la introducción, no debe juzgarse la bondad de dichos modelos en

función de su mayor o menor generalidad, entendida en el sentido de ser válidos para cualquier tipo de

estructura de fábrica en cualquier condición.

Cada uno de ellos se planteó para responder a preguntas concretas acerca de determinados tipos de

fábrica, por tanto, no deben de entenderse como estadios imperfectos de un modelo posterior y más

general. De hecho, en muchos casos siguen siendo el modelo más adecuado en términos de eficacia,

para responder a la pregunta para la cual se plantearon.

1 Un perfecto ejemplo se encuentra en Huerta (2012), en el que la consideración del rozamiento varía en función de que la pregunta sea ¿Por qué la estructura sigue en pie? o ¿Hay una seguridad absoluta de que vaya a seguir en pie? 2 Lo cual complicaría innecesariamente el proceso de análisis 3 De entre los muchos existentes que han propuesto como método el análisis límite


51

2.2.1 Heyman (1966 - 2008)

En primer lugar, tanto por la cronología como por su importancia, debe de situarse el modelo de

Heyman. Se trata de una de las primeras caracterizaciones sistemáticas del material fábrica enfocadas

al análisis límite. Heyman (1966) realiza las siguientes hipótesis sobre el material:

1. La fábrica no tiene resistencia a tracción.

2. La resistencia a compresión de la fábrica es infinita.

3. No se puede producir el deslizamiento de unas piezas sobre otras.

Debe de observarse que las hipótesis planteadas son puramente estáticas y que, en última instancia, no

dependen de las características de los materiales empleados, difíciles de comprobar, y aún más, en un

edificio existente, sino sólo de su geometría.

La aplicación de las hipótesis da como resultado una única regla de fluencia posible, por vuelco de las

dovelas o formación de una "rótula plástica" (figura 2.1a), y unas condiciones límites de cedencia en

forma de relación M/N (figura b), correspondientes a la condición que debe cumplirse para que se

forme dicha "rótula".

Figura 2.1 (Heyman 1966)


52

Ambas figuras y, por tanto, las condiciones que reflejan, coinciden casi por completo con las recogidas

en el libro de Prager de 19594.

Las hipótesis, que Heyman matiza, tanto en el escrito citado como en los posteriores (figura 2.2), son

consistentes con la visión del problema expresada en Heyman (1995): "La estabilidad de una

estructura quedará asegurada en primer lugar por su forma pero no, o solo secundariamente5, por la

resistencia del material que la compone".

Figura 2.2 (Heyman 2007)

Debido a su simplicidad y a que sólo depende de datos geométricos, más fáciles de comprobar, sin

duda éste ha sido el modelo de más éxito, no sólo por la propia obra de Heyman, sino también por su

influencia en la de autores posteriores.

Por último, hay que decir que el modelo de Heyman es especialmente adecuado para la obtención de

una solución segura por métodos "manuales", ya sean gráficos o numéricos, e incluso aunque se

empleen ordenadores.

Sin embargo, cuando se emplea acríticamente en métodos computacionales, pueden dar lugar a

soluciones inseguras6. Esto es debido a que a las limitaciones en su rango de aplicación, ya reseñados

por Heyman, se añade que la búsqueda no se conforma con cualquier "solución segura" sino con la de

máximo factor de carga.

4 Aunque allí se las trataba en un comentario de poco más de una página bajo el título de "Otras aplicaciones del análisis límite" 5 A lo largo de su extensa obra Heyman se ha ocupado en varias ocasiones de estas cuestiones secundarias, teniendo especial interés sus escritos de 2007 y 2008 que incluyen alternativas a la hipótesis de resistencia infinita a compresión (figura 2.2). 6 Especialmente en los basados en programación lineal, que lo que buscan es el máximo factor de carga de inicio de colapso


53

2.2.2 Livesley (1978)

Livesley es uno de los primeros en implementar el análisis límite de estructuras de fábrica como un

problema de programación lineal7. En el modelo propuesto por Livesley, las "tensiones" a considerar

en las juntas son dos fuerzas normales en los extremos de cada una de ellas y una fuerza tangencial

según la dirección de la junta. El criterio de signos propuesto por Livesley es considerar positivos los

normales de compresión y el tangencial contorneando el cuerpo en sentido horario.

Las "deformaciones" correspondientes son dos "aperturas" perpendiculares a la junta en los extremos y

un deslizamiento en el plano de la junta. Su sentido positivo se determina para que hagan positivo el

trabajo virtual de las solicitaciones sobre sus correspondientes desplazamientos virtuales8 (figura 2.3).

Esto último lleva a que los desplazamientos de "apertura" admisibles (es decir aperturas de separación)

sean de signo negativo, lo cual debe de tenerse en cuenta en los posteriores razonamientos.

Figura 2.3 (Livesley 1978)

Para poder implementar el problema como un programa lineal se requiere una función a optimizar, que

en este caso es el factor de carga del cual se quiere hallar un máximo, así como expresar las

condiciones del material en forma de desigualdades linealesinf supa a a≤ ≤ .


7 Aunque como ya se ha dicho, la correspondencia, entre las formulaciones "de equilibrio" (estática) y "de mecanismo" (cinemática) de los problemas de análisis límite linealizados con un par de programas lineales duales, ya era conocida al menos desde Greenberg et al. (1951). 8 Este mismo criterio es el que se va a emplear a lo largo de este escrito.


54

Cada lado de la desigualdad, referido al espacio que tiene por dimensiones las tres solicitaciones

posibles en una junta, representa un semiespacio y su condición de límite, un plano.

De este modo, en la figura 2.4 el volumen contenido en el interior de los seis planos representa todas

las combinaciones de solicitaciones (estados de "tensiones") admisibles en la junta, desde el punto de

vista de sus condiciones de cedencia ("rotura").

Los puntos situados en las caras externas de dicho volumen representan las combinaciones de

solicitaciones que alcanzan un valor límite respecto de las condiciones de cedencia .

Cualquier combinación de tensiones situada en el exterior de dicho volumen no es admisible, pues se

habrán superado las condiciones de cedencia para el material en la cara más cercana.

Es fácil apreciar que la única condición impuesta por el procedimiento matemático es que las

condiciones sean lineales, admitiéndose cualquier condición que pueda expresarse en dicha forma,

tenga sentido desde el punto de vista de la seguridad estructural o no.


En el artículo de Livesley, los dos normales están acotados superior e inferiormente y el tangencial

ligado a los normales9 está limitado por la ley de rozamiento seco de Coulomb (figura 2.5). Los modos

de colapso considerados son: por vuelco o formación de "rótula plástica", por deslizamiento en ambos

sentidos y por aplastamiento para cada uno de los normales.

La utilización de la ley de rozamiento seco de Coulomb como condición de límite para los

tangenciales, unida a la aplicación del análisis límite estándar, en este caso mediante programación

lineal, lleva a que el mecanismo de deslizamiento no corresponda con el que la experiencia reconoce

como correcto entre sólidos (deslizamiento sin separación). Este nuevo tipo de deslizamiento, en el

que el cuerpo que desliza se separa de la superficie de contacto formando un ángulo igual al que forma

9 En la primera parte del artículo propone como hipótesis unas cotas fijas para el tangencial independientes de los normales (figura 2.5), esta hipótesis que no corresponde a la realidad permite no obstante que la dirección de los desplazamientos, considerando asociatividad, sí sea correcta.


55

el valor límite de la resultante con la normal, corresponde a una ley de rozamiento-deslizamiento

asociativa.

De este modo se vuelve a uno de los casos incluidos por Drucker (1953) en sus teoremas límites para

materiales con rozamiento.

2.2.3 Parland (1982)

Parland centra su modelo en el rozamiento.

Retomando un modelo que se remonta a Euler (figura 2.6) propone un rozamiento geométrico.

Figura 2.6 (Bartels 2005)

Aceptando las siguientes hipótesis para el material:

1. Ausencia de tensiones de tracción en las juntas.

2. Impenetrabilidad del material.

Propone el siguiente modelo para las condiciones en las caras de contacto:

1. Las juntas entre elementos rígidos tienen indentaciones con superficie inclinada suave y sin

rozamiento compatibles entre sí.

2. Debido a la impenetrabilidad del material, la deformación de las juntas está sujeta a restricciones

unilaterales, de modo que a todo deslizamiento entre las partes acompaña una separación entre ellas

estando contenido el vector desplazamiento en un cono convexo.

3. El vector de tensiones en la junta esta sujeto a restricciones, que obligan a que su resultante esté

contenida en un cono convexo.


56

4. A causa de la geometría de las asperezas (indentaciones), ambos conos son polares y sus

generatrices perpendiculares quedando ligadas de este modo las "tensiones" y las "deformaciones".

El rozamiento geométrico propuesto (figura 2.7), como puede observarse, se corresponde, a efectos

prácticos, con un comportamiento rígido-plástico y una relación asociativa rozamiento-deslizamiento.

Su obra, aunque no ha tenido tanta influencia como la de los otros autores, tiene especial interés en

cuanto que destaca el carácter de estabilidad y no de resistencia que tiene el problema.

Esto hace, en palabras del propio Parland, que: "Una paradójica consecuencia de la forma cónica de

las restricciones y del "cono de estabilidad" (figura 2.7) es que añadir carga es generalmente más

seguro que retirarla ...".

Esta afirmación está en abierta contradicción con las formulaciones típicas de los teoremas plásticos,

ligadas a los criterios de resistencia sobre los que se formularon inicialmente10.

Figura 2.7 (Parland 1982)

10 Una discusión más detallada se hará en el epígrafe "Caveat lector!"


57

2.3 Naturaleza del problema.

Las limitaciones de aplicación del método a los casos con deslizamiento ya se habían señalado por

Drucker en 1953, no obstante, los intentos de solución práctica al problema para el caso de las fábricas

se han retrasado hasta los años 90 del pasado siglo, ya sea por la dificultad de tenerlas en cuenta o por

que el fallo con deslizamiento ha sido infrecuente en los casos analizados.

El enorme éxito alcanzado por la aplicación del Análisis Límite Estándar en una amplia mayoría de los

casos analizados, así como en el análisis de estructuras en general y, consecuentemente, en el modo de

pensar de los analistas, hace que, frecuentemente, resulte difícil reconocer incluso la existencia del

problema.

Para salvar esta dificultad, y siguiendo el método que tradicionalmente se ha empleado por los

investigadores del tema, se van a plantear y comentar11 algunos contraejemplos que ponen de

manifiesto las limitaciones del Análisis Límite Estándar en estos casos. Algunos de ellos proceden de

la literatura ya comentada y otros se han creado para la ocasión. Todos ellos son lo suficientemente

sencillos como para poder resolverlos gráficamente12.

Se podrá objetar, con razón en algunos casos, que los ejemplos son demasiado académicos y

rebuscados y que tienen poco que ver con estructuras reales. Sin embargo, el objetivo de estos párrafos,

y de esta tesis, no es poner en duda la adecuación de utilizar el análisis límite estándar en una gran

mayoría de casos, sino mostrar las limitaciones de su rango de aplicación. Para ello, debe mostrarse

que algunas de las hipótesis comúnmente aceptadas no son aplicables con carácter universal13

En primer lugar hay que hacer unas aclaraciones sobre los modos de colapso por deslizamiento que,

implícitamente, se están utilizando cuando se hace un análisis límite estático (figura 2.8)

Figura 2.8 11 Tanto en este epígrafe como más adelante en este mismo capítulo 12 Utilizando así la misma herramienta que se emplea habitualmente en análisis límite de fábricas. El objetivo es mostrar que las limitaciones provienen del método y no de su expresión matemática. 13 Y para esto si que está universalmente aceptada la utilización de contraejemplos


58

En la parte izquierda de la figura 2.8 se representa el estado de equilibrio límite por deslizamiento de

un bloque, sometido a unas acciones permanentes g (peso propio) y unas acciones variables

λq (fuerzas vivas), siendo q un estado de cargas variables, λ un coeficiente que las hace variar

proporcionalmente, al que se llamará factor de carga y sϕ el ángulo de rozamiento.

En las figuras del centro y derecha de la figura 2.8 se representan dos posibles mecanismos de colapso

correspondientes a dicho estado límite.

La experiencia determina que el correcto es el de la derecha. Sin embargo, hay que observar más

detenidamente el central que durante decenios ha jugado un papel determinante en el análisis límite

con condiciones de rozamiento. El desplazamiento tangencial (deslizamiento) con separación es un

hecho físico que se produce, por ejemplo, en los ensayos de corte de los materiales granulares. A esta

propiedad se la denomina dilatancia.

El ángulo de "deslizamiento" de un terreno, correspondiente a esta dilatancia, que relaciona el

desplazamiento tangencial con el de separación, no tiene en principio por que coincidir con el ángulo

de rozamiento.

Con el fin de poder encajar los problemas con rozamiento finito, dentro del marco del análisis límite,

se creó un constructo14 matemático llamado "rozamiento asociativo" que iguala los ángulos de

rozamiento y deslizamiento, gracias a él se recupera la condición de normalidad necesaria para

demostrar los teoremas límites.

Cada vez que se utilizan los teoremas límites, aunque sea exclusivamente en su formulación estática,

se está utilizando implícitamente una regla de deslizamiento de este tipo. Desafortunadamente este

rozamiento asociativo presenta un comportamiento no deseado, como se va a mostrar a continuación.

El primer contraejemplo (figura 2.9) proviene del artículo de Drucker (1953)

Figura 2.9

La paradoja planteada es que, si se mantienen las hipótesis fundamentales del análisis límite para el

rozamiento, es decir, si se considera una ley de rozamiento asociativa, una vez colocada sin ningún

esfuerzo la pequeña pieza en su lugar será imposible sacarla.

14 Un constructo es una construcción teórica que se desarrolla para resolver un cierto problema científico.


59

Su reformulación, en un modo más sencillo (figuras 2.10 y 2.11), permite observar que, si se considera

el mecanismo real de deslizamiento sin dilatancia, el contacto en la cara superior se rompe nada más

comenzar el deslizamiento por lo que no se pueden transmitir reacciones en dicha cara (figura 2.10).

Asumida esta ley no asociativa se obtienen los verdaderos valores del factor de carga que provocará el

inicio del colapso.

Figura 2.10

Por el contrario, admitiendo una ley de deslizamiento asociativa el contacto no se rompe (figura 2.11).

figura 2.11

Obviamente, es al precio de la incongruencia representada en la figura de la derecha. El cuerpo debe a

la vez separarse de su apoyo inferior, intentando penetrar en la cara de contacto superior y viceversa.

Esto es imposible, con lo cual el problema cinemático es no factible, usando la terminología de

programación lineal que se verá más adelante, y a una solución cinemática (dual) no factible

corresponde una solución estática (primal) no acotada. Más sencillamente15, resolviendo gráficamente

15 Sin adelantar el uso de la terminología y los conceptos de la programación matemática que se desarrollará más adelante.


60

el problema estático de la izquierda, se comprueba que existe una solución que no viola ninguna de las

condiciones del material y cuyo factor de carga es ilimitado (infinito)16.

Con este primer contraejemplo, ya se comienza a ver como, para este tipo de problemas, no es posible

resolver aisladamente un problema estático o uno cinemático sino que hay que comprobar que el

mecanismo correspondiente, con el estado límite de "tensiones" alcanzado, es un mecanismo válido (o

viceversa). El mecanismo de la figura 2.11 derecha claramente no lo es y, por tanto, el inicio del

colapso no se producirá (en este caso nunca) de acuerdo a la solución estática de la izquierda con la

que corresponde.

En resumen, la solución debe de tener una parte estática válida, una parte cinemática válida y ambas

deben corresponderse17.

El siguiente contraejemplo (figura 2.12) corresponde a Livesley (1978).

Un arco elemental de dos dovelas apoya en dos planos inclinados a modo de arranques. Las dovelas

están sometidas a su propio peso y sobre una de ellas se ejerce una fuerza vertical para intentar

extraerla. Se trata de obtener el factor de carga de esta fuerza que iniciará el colapso.

Figura 2.12

Su reformulación se hace en la figura 2.13, con dos diferentes mecanismos: uno con rozamiento no

asociativo en la figura de la izquierda y otro con rozamiento asociativo en la figura de la derecha.

Ambos son mecanismos válidos18.

16 Es en este sentido en el que se ha dicho que la utilización de las reglas del Análisis Límite Estándar, en este caso para hallar una solución estática válida, conlleva una aceptación implícita de las consecuencias de utilizar una ley de deslizamiento asociativa. 17 No se puede juntar una solución estática válida (figura 2.11 izquierda) con una solución cinemática válida (figura 2.10 derecha) porque ambas no se corresponden. 18 En el sentido de que son geométricamente compatibles y cada uno de ellos no viola las condiciones de su correspondiente ley de deslizamiento.


61

Figura 2.13

Al mecanismo de la izquierda, con deslizamiento no asociativo, le corresponde una solución estática

límite (de inicio de colapso), con el mínimo factor de carga posible de entre todos los estáticamente

válidos. A este mecanismo, además, no le corresponde ninguna otra solución estática válida.

Al mecanismo de la derecha, con deslizamiento asociativo, le corresponde una solución estática límite

(de inicio de colapso), con el máximo factor de carga posible19 de entre todos los estáticamente válidos.

Igualmente, a este mecanismo no le corresponde ninguna otra solución estática válida.

La pregunta inmediata sería si es posible que haya algún otro mecanismo asociativo distinto que dé un

menor valor del factor de carga. El teorema límite de la unicidad dirá, por supuesto, que no: "La

solución puede no ser única, pero el factor de carga de inicio de colapso si lo será".

Esta misma respuesta puede obtenerse analizando el otro, aparentemente posible, mecanismo de inicio

de colapso representado en la figura 2.14.

Figura 2.14

En la figura 2.13 izquierda la pieza sobre la que se ejerce la tracción sube y la otra baja. En la figura

2.13 derecha ambas piezas suben. Queda una tercera posibilidad geométricamente compatible,

representada en 2.14, consistente en que la pieza traccionada sube y la otra se queda en su sitio

original. A este mecanismo correspondería una solución de equilibrio límite, en la que la reacción en

19 Es evidente que este mecanismo aún siendo válido no corresponde con el comportamiento real de la estructura como ya señalo Livesley, por tanto la solución estática correspondiente aún siendo válida tampoco corresponderá con dicho comportamiento. Es diferente que el modelo sea matemáticamente consistente y que corresponda a un comportamiento real.


62

el plano izquierdo podría adoptar cualquier valor comprendido entre los dos extremos (zona

sombreada). La solución seguiría siendo estáticamente límite, puesto que la pieza que se intenta

extraer alcanza su valor límite de rozamiento en todas sus caras de contacto. Sin embargo, el

mecanismo, aunque es compatible, no es válido porque en una de las caras de contacto no sigue la ley

de deslizamiento asociativa20.

De nuevo se observa, en este ejemplo, el hecho fundamental de que no se deben considerar por

separado las soluciones estáticas y cinemáticas, siendo la relación entre ambas, a la que se llamará

condición de contacto, fundamental para reflejar el comportamiento de la estructura en el inicio del

colapso.

Podría aventurarse, observando los dos contraejemplos anteriores, que la solución asociativa da el

máximo valor posible del factor de carga de inicio de colapso y la no asociativa el mínimo. Esto no

siempre es cierto, como se verá más adelante.

Debe de tenerse muy presente que un único contraejemplo sirve para descartar la universalidad de una

hipótesis, es decir, para sacar conclusiones negativas, pero ningún número (distinto de la totalidad) de

ejemplos sirven para verificarla21.

Los siguientes ejemplos (figura 2.15), se refieren al comportamiento de las fábricas trabadas. Se trata

de analizar la resistencia a tracción de una fábrica en la dirección de la traba. Este concepto

corresponde con el que Rankine (1981) llama "tenacidad friccional" (figura 2.15 arriba).

Figura 2.15

En primer lugar se estudia el contacto en una única junta (figuras 2.16 a 2.19) para a continuación

estudiar el contacto tanto en la junta superior como inferior (figuras 2.20 a 2.22).

El primer modelo consiste en un bloque, apoyado con rozamiento sobre dos medios bloques, que a su

vez apoyan sin rozamiento sobre un plano fijo. Todos ellos están sometidos a su propio peso, y sobre

los dos medios bloques actúan dos fuerzas horizontales iguales y de sentido opuesto que representan la

tracción que se quiere estudiar.

20 Por supuesto variando los ángulos se puede conseguir un ejemplo en que este mecanismo si sea válido. 21 Al menos desde un punto de vista determinista o de lógica formal.


63

Figura 2.16

En la figura 2.16 se representa una solución de equilibrio límite, las ecuaciones de equilibrio junto a

las restricciones del material (polígono de fuerzas para el bloque superior) y el correspondiente

mecanismo de inicio de colapso para rozamiento asociativo. Para este caso existe un único mecanismo

de inicio de colapso y, aunque las soluciones de equilibrio límite son infinitas (todas las simétricas), el

valor del factor de carga correspondiente es único. Éste valor es el máximo22 de los posibles.

Figura 2.17

La pregunta inmediata es: ¿Existen otros posibles mecanismos de inicio de colapso, para los cuales el

valor del factor de carga sea menor?.

El único23 mecanismo distinto y que incluye deslizamiento asociativo es el que se refleja en la figura

2.17 (o el simétrico). Éste es claramente un mecanismo válido, pero la solución de equilibrio límite

correspondiente infringe la limitación del ángulo de rozamiento en el apoyo izquierdo, por lo tanto el

conjunto de solución estática y cinemática correspondiente no es de inicio de colapso. Todos los

resultados obtenidos coinciden perfectamente con los previstos por el Análisis Límite Estándar.

22 Al final del capítulo en el apartado Caveat lector! se discutirá este resultado 23 Para obtener una demostración positiva mediante ejemplos hay que seguir un procedimiento enumerativo, considerando todas las posibles soluciones.


64

Figura 2.18

En el ejemplo de la figura 2.18 se comprueba24 que para esta solución de equilibrio límite sí existe un

mecanismo de inicio de colapso con deslizamiento no asociativo. Esta solución dará, por tanto, el

valor máximo de factor de carga de inicio de colapso con rozamiento no asociativo. Sin embargo, en

este caso sí existen otros mecanismos válidos para los cuales se obtiene un factor de carga inferior.

Figura 2.19

En la figura 2.19 se representa el caso en que sólo desliza el bloque de la derecha. Se puede comprobar

que existen múltiples soluciones estáticas límites, todas las cuales son de inicio de colapso, y que están

comprendidas en el interior de una superficie poligonal (la sombreada del polígono de fuerzas). Esta

superficie está delimitada por las condiciones límite del material, en este caso los ángulos de

rozamiento. Todas las soluciones estáticas admisibles, sean límites o no, deben de estar incluidas en el

interior de esta superficie. Además, las soluciones límites deben de tener un número suficiente de

fuerzas en la envolvente exterior de dicha superficie (en este caso una).

Como caso extremo, en la solución que corresponde al vértice superior, el factor de carga de colapso

será cero25. El razonamiento para el caso simétrico sería idéntico.

24 Al revés que en el ejemplo de Livesley 25 Lo cual quiere decir que en este hipotético caso hay una solución que da el mínimo del factor de carga de inicio de colapso con valor 0, ya que toda la carga del bloque superior podría gravitar sobre el bloque de la


65

Figura 2.20

Pasando a un ejemplo un poco más realista, en la figura 2.20 se representa la solución de inicio de

colapso de factor de carga máximo para el caso anterior pero sin apoyo inferior deslizante. Este caso

representa el conjunto elemental de piezas a partir del cual se puede estudiar el comportamiento de la

traba. Para éste, sólo se ha representado el mecanismo correspondiente a deslizamiento no asociativo.

En la figura 2.20 se observa que la solución de equilibrio límite tiene cuatro de las fuerzas de su

polígono en la envolvente exterior del polígono (sombreado), definido por las condiciones límite del

material.

Figura 2.21

Sin embargo, en la figura 2.21, se ve que existen soluciones estáticas límites26 que tienen un menor

número de fuerzas en su envolvente exterior. Por tanto, no hay paralelismo entre el número mínimo de

izquierda. Sin llegar a este extremo puramente teórico se ve que hay múltiples soluciones con un factor de carga muy bajo. 26 Que son de inicio de colapso puesto que existe un mecanismo correspondiente admisible.


66

"rótulas plásticas", habitualmente considerado necesario para la formación de un mecanismo válido, y

el correspondiente de "deslizamientos plásticos".

Es relativamente frecuente, en el caso de los colapsos con deslizamiento no asociativo, la aparición de

soluciones "degeneradas27".

Figura 2.22

Finalmente, se pueden utilizar los dos casos de equilibrio de la figura 2.22, el de la izquierda límite y

de inicio de colapso, y el de la derecha no límite y estable, para acabar de fijar de modo intuitivo

algunos conceptos que se desarrollaran formalmente más adelante.

El conjunto de todas las soluciones estáticas admisibles está comprendido en el interior de un dominio,

limitado por condiciones lineales, las de equilibrio y las de cedencia del material.

Para que una solución sea de inicio de colapso, es necesario que:

1º/ Sea una solución estáticamente admisible.

2º/ Haya suficientes condiciones del material que alcancen su límite28 para que, su número y su

disposición, permitan que haya un mecanismo válido correspondiente.

Este tipo de problemas pueden no tener solución (como el caso asociativo de Drucker), tener una

solución (como el no asociativo de Drucker, ambos casos de Livesley29 y el asociativo en los bloques

trabados) o tener múltiples soluciones (como en el caso no asociativo de los bloques trabados).

Por último, y a riesgo de ser reiterativos, hay que señalar que este tipo de problemas no permite, en

general, un desacoplamiento entre sus partes estática y cinemática sino que requieren considerar a la

vez la parte estática, la cinemática y la correspondencia entre ambas.

27 En este nivel de la exposición, debe entenderse la degeneración como la posibilidad de que se forme un mecanismo cuando se alcanza un número de condiciones límites, incluyendo deslizamientos, menor del requerido para formar un mecanismo que incluya exclusivamente rótulas plásticas. El concepto se entiende mucho mejor en el contexto más apropiado de la teoría de la Complementariedad. 28 Estén en la envolvente del dominio. 29 Aunque no coincidentes entre ellas.


67

Una vez establecida la imposibilidad de tratar el caso de colapso con deslizamiento del mismo modo

que los casos más simples de colapso por vuelco puro, hay que pasar a exponer un marco de

resolución alternativo al análisis límite estándar, y lo primero es establecer el modelo (o modelos) de

material que se va a emplear.

2.4 Análisis límite de estructuras de fábrica.

Los modelos reseñados al comienzo del capítulo, con las hipótesis que incorporan, pueden entenderse

como casos particulares30 del que va a exponerse a continuación.

Las hipótesis relativas a las "tensiones" y "deformaciones", o más propiamente a las solicitaciones y

desplazamientos entre caras en contacto, deben de ser referidas a cada uno de los posibles modos de

colapso que se quieren analizar en la estructura.

Cuáles de estos modos de colapso son relevantes, y cuáles una mera distracción, depende tanto del tipo

de estructura como de las preguntas que se quieran responder acerca de ella.

En cuanto al método de análisis, tercer elemento a tener en cuenta, todas las hipótesis que se van a

exponer (y sus variantes) son compatibles con el método que se desarrollará en el siguiente capítulo.

2.4.1 Características del material

En relación a los modelos citados tiene cierto sentido exponer algunas de las hipótesis aplicables, bien

a la fábrica o a sus elementos constituyentes.

a/ Compresión. Las fábricas tienen, en general, una resistencia a compresión muy elevada respecto

a las solicitaciones que soportan. Dependiendo de los casos, se puede considerar, sin grave merma de

la seguridad, que esta resistencia es infinita.

b/ Tracción. Las fábricas tienen en general una muy escasa o nula resistencia a la tracción

c/ Rozamiento. Aún existiendo otros criterios más sofisticados, se considera suficiente para las

fábricas la adopción de un criterio de rozamiento según la ley de rozamiento seco de Coulomb. La

discusión sobre si debe incorporarse, o no, el término relativo a la cohesión en dicha ley se hará más

adelante.

En correspondencia con estás tres hipótesis estáticas, relativas a las "tensiones", se pueden formular

otras tres cinemáticas, relativas a las "deformaciones".

30 Sigue no obstante en pie la advertencia hecha anteriormente de que los "modelos particulares" pueden seguir siendo más eficaces para los "casos particulares"


68

d/ Impenetrabilidad de los elementos constituyentes (piedras u otros). Es una de las características

básicas de los sólidos, y es perfectamente consistente con los dos modos de colapso expuestos hasta el

momento: el vuelco puro y el deslizamiento sin desgaste. Sin embargo, debe admitirse como un

artificio formal (o alternativamente modificar la hipótesis de indeformabilidad) en los casos en que se

consideran colapsos por agotamiento de la capacidad resistente a compresión. Por ejemplo, en el caso

d de la figura 2.2 de Heyman, que refleja en definitiva la imposibilidad de que la resultante caiga en el

borde justo de la junta (puesto que el valor de las tensiones se haría infinito), es necesario admitir, si se

quiere obtener la "deformada de la estructura", que el giro no se produce sobre el punto extremo de la

junta, sino sobre un punto situado algo hacia el interior, con lo cual los bordes extremos de las

correspondientes dovelas se solaparán.

e/ Indeformabilidad de los elementos constituyentes de la fábrica. Se considera la fábrica como un

material rígido-plástico, hasta que no se alcanzan las condiciones límites en un punto el material no se

deforma en absoluto. Al alcanzarse, el material se deforma sin que se modifiquen, a partir de ese

momento, las "tensiones" en ese punto. Evidentemente esta hipótesis es incorrecta, pero refleja

bastante adecuadamente el comportamiento del material, dado que, las "deformaciones plásticas" son

de orden muy superior a las "elásticas".

f/ Deslizamiento no asociado. Se considera en general una ley de rozamiento / deslizamiento no

asociada, en la que el ángulo de deslizamiento es 0.

Los casos especiales, en que el deslizamiento esta impedido o el rozamiento es nulo, pueden tratarse

desde el punto de vista computacional, como si el rozamiento-deslizamiento fuera asociativo.

La consideración de dilatancia (ángulo de deslizamiento distinto de 0), incluso en el caso de un ángulo

de deslizamiento menor que el de rozamiento, debe de ser realizada con precaución, aunque puede

tener sentido si el material de la estructura es continuo, sin juntas preestablecidas31, y la pregunta a

responder es ¿Por qué se mantiene la estructura estable?, o dicho de otra forma ¿Es posible que la

estructura no colapse?.

Si la pregunta a responder es ¿Seguro que la estructura no colapsará? o incluso ¿Es muy improbable

que la estructura colapse? debe adoptarse, del lado de la seguridad, la ley de rozamiento-deslizamiento

de Coulomb, con ángulo de deslizamiento 0.

Se puede introducir todavía otra condición estática:

g/ En el caso de bloques trabados se considera que la resistencia a tracción del propio bloque, no

del conjunto de la fábrica, es muy superior ("infinita") respecto de las tracciones generadas por efecto

de la traba, no obstante, en el caso que no sea asegurable que esta resistencia a tracción es "infinita" es

posible incluir en el modelo líneas preestablecidas de rotura con tracción limitada.

31 En tal caso las grietas que se formen al alcanzarse las tracciones límites del material (sean o no nulas dichas tracciones) probablemente no adoptaran la forma de superficies planas, pudiéndose considerar en tal caso una cierta indentación entre las caras de contacto y su correspondiente dilatancia no nula. Pero en estos casos como se verá al tratar de Delbecq sería necesario considerar también el fallo por corte del propio material.


69

De modo mucho más resumido se pueden establecer tres características básicas:

a/El material es "unilateral", en el sentido de ser muchísimo más resistente a compresión.

b/ El material es "rígido-plástico", en el sentido de no deformarse32 en absoluto hasta alcanzar las

"tensiones" límite.

c/ El material sigue una ley de rozamiento-deslizamiento de Coulomb33, no asociada.

Si se pretende aplicar a las fábricas el análisis límite, tanto estándar como no estándar, es necesario

considerarlas como un material dúctil34, es decir, que llevado a sus condiciones límites sea capaz de

seguir deformándose sin modificación de las acciones exteriores, permitiendo que éstas sigan

realizando un trabajo sin que se produzca un colapso súbito.

La fábrica, salvo que se construya en seco, en su estado inicial inalterado es un material casi-frágil.

La formación de grietas es la que confiere ductilidad tanto a las fábricas como al hormigón en masa.

Refiriéndose al Panteón de Agripa, Heyman (2007) escribe: "El hormigón en masa agrietado se

comporta, de hecho, como la fábrica de piedra agrietada, y su conducta puede ser interpretada a la luz

de los teoremas plásticos".

Esta formación de grietas (real o potencial, como apertura de juntas de obra existentes o como

formación de grietas en un material continuo) debe de ser tenida en cuenta a la hora de incorporar

determinadas características al modelo de material a emplear. Así, si lo que se pretende es evaluar la

seguridad futura de una estructura, la consideración de resistencia a tracción o de cohesión en las

juntas está claramente del lado de la inseguridad. Dado que la pérdida de la resistencia por tracción o

cohesión en una junta es un proceso irreversible, su existencia, o no, en el momento de evaluar la

estructura, es una cuestión dependiente de la historia anterior de la estructura.

Sin embargo, puede ser admisible su consideración si lo que se pretende es explicar la estabilidad

actual de la estructura, pero en este segundo caso no parece que la herramienta más útil sea el análisis

límite35, dado que una de sus hipótesis de partida es que la estructura tiene suficiente ductilidad como

para adaptarse a pequeñas deformaciones. De cualquier modo, si se quiere incorporar al

comportamiento resistente de la estructura la tracción o la cohesión, deberá realizarse dotándolas de

unas leyes de comportamiento frágiles, es decir, una vez alcanzados los valores límites para dichas

tensiones pasarán de inmediato a ser cero, y su contribución a la estabilidad de la estructura no podrá

considerarse, al contrario que en caso del comportamiento dúctil.

32 Debe entenderse que la utilización de un material "elasto-plástico" no se descarta por considerarse incorrecta sino porque añade una complejidad al problema que en los casos más generales no se justifica por los beneficios alcanzados. 33 Aún cuando en la formulación matemática el material se modela con una regla de flujo no asociada, es decir con distintos ángulos de rozamiento y deslizamiento, en la práctica se entiende que salvo una justificación adecuada debe de tomarse de entre los posibles ángulos de deslizamiento el nulo. Se propone como caso más habitual en fábricas el deslizamiento sin dilatancia. 34 Esta hipótesis es implícita, en cierto modo, al comportamiento rígido-plástico 35 Algunos autores han propuesto la mecánica del daño continua para considerar estos procesos de degradación irreversibles.


70

El cumplimiento de las hipótesis de partida se puede comprobar, a posteriori, una vez obtenidos los

resultados y en el caso de que estos incluyan el alcance de valores límites, en algunos puntos y para

alguno de estos comportamientos frágiles, se debería realizar y comprobar un nuevo modelo de la

estructura que incorpore valores nulos para dichos comportamientos en dichos puntos.

2.4.2 Análisis límite, teoría de la plasticidad.

Se define un material rígido-plástico como aquel en el que no se produce absolutamente ninguna

deformación para las tensiones que se encuentran por debajo de cierto límite llamado "tensión de

cedencia" o "límite de cedencia". Para tensiones que se encuentran en dicho límite son posibles

deformaciones arbitrariamente grandes sin ningún aumento de la tensión. No son posibles tensiones

más allá de dicho límite. En el caso de tensiones según un único eje la gráfica de interacción tensión-

deformación corresponde a la figura 2.23.

Figura 2.23

Tal material rígido-plástico no existe en la realidad, pero se puede usar como modelo cuando las

deformaciones plásticas son muchísimo más grandes que las deformaciones elásticas.

Para un cuerpo cualquiera (unidimensional, bidimensional o tridimensional) se pueden definir unas

"tensiones generalizadas" σ y "deformaciones generalizadas" ε . Valores de σ estrictamente inferiores

al límite son soportables por el cuerpo y no producen en él ninguna deformación.

Figura 2.24

La envolvente, por el exterior, del conjunto de todos los valores de σ soportables es la superficie que

cumple la restricción de cedencia ( ) 0f =σ , a la que se llama "superficie de cedencia" (figura 2.24

izquierda).


71

La distancia, desde el punto que representa el estado de tensiones σ hasta la superficie de cedencia, se

llama "holgura de la restricción de cedencia" y (figura 2.24 centro). Esta holgura da una cierta medida

de lo lejos que un estado de tensiones está de una situación de colapso.

Cuando un estado de tensiones σ se encuentra estrictamente sobre la superficie de cedencia, se

pueden producir deformaciones ε arbitrariamente grandes, de las cuales únicamente se puede conocer

la dirección y el sentido (figura 2.24 derecha). Al vector que determina la dirección y sentido de ε ,

pero no su módulo, se le llama z ("multiplicador plástico").

En el exterior estricto de la superficie de cedencia no son posibles las tensiones.

El producto escalar ⋅σ ε , de las "tensiones" por sus correspondientes "deformaciones", define el

trabajo virtual de ambas. En el interior estricto, así como en el exterior estricto, de la superficie de

cedencia el trabajo virtual es nulo. En un caso por ser nulas las deformaciones y en el otro, las

tensiones. El caso en que a un estado de tensiones situado en la superficie de cedencia le corresponde

un vector de deformaciones perpendicular a ella cumple la "hipótesis de trabajo máximo", es decir,

fijado el vector ε , el vector σ , para el cual el producto escalar, y por tanto el trabajo virtual, es

máximo, será el correspondiente precisamente a ese punto.

Figura 2.25

En el caso el en que la superficie de cedencia es estrictamente convexa, cerrada, sin partes rectas, sin

vértices y que incluye en su interior el origen, existe una demostración geométrica muy sencilla (figura

2.25 izquierda) que muestra que la proyección de cualquier otro vector situado en la superficie de

cedencia, sobre la perpendicular al plano tangente a ella, es menor que la del considerado.

Esta demostración está íntimamente relacionada con el procedimiento de construcción de la superficie-

G (figuras 2.25 centro y derecha), descrito al hablar de Palmer en el primer capítulo.

Cuando en todos los puntos de la superficie de cedencia36 el vector ε es perpendicular a dicha

superficie (figura 2.25 izquierda) se dice, también, que se cumple la "regla de normalidad". En este

36 Al contrario que en la figura de la demostración la existencia de partes rectas no es un problema, y la existencia de vértices sólo implica que en dichos puntos la dirección de las deformaciones está indefinida pero dentro de un determinado rango.


72

caso la superficie-G (o "potencial37 plástico") y la superficie-F (superficie de cedencia) coinciden. Por

este motivo, la dirección de las deformaciones, perpendicular a la superficie, se puede definir por el

gradiente de la función que define dicha superficie ( )g ε∇ , e indistintamente, por coincidir, por el

gradiente de la función que define la superficie de cedencia ( )f σ∇ .

En estos casos, en que se cumple la "regla de normalidad", se puede obtener la formulación cinemática

a partir de la estática (o viceversa) y se cumple la hipótesis de trabajo máximo. Se dice entonces que el

problema es de "Análisis Límite Estándar" y resulta posible demostrar los teoremas fundamentales38, a

saber: el estático, el cinemático y el de la unicidad.

La aplicación de dichos teoremas permite llegar a una solución al problema, manejando únicamente la

formulación estática o únicamente la cinemática.

Sin embargo, cuando el colapso implica en algún punto deslizamiento, la "regla de normalidad" no se

cumple39 y es necesario plantear el problema en su integridad, tal como se va a hacer en los siguientes

apartados.

2.4.3 Modelos continuos y discretos.

Los materiales tipo fábrica pueden ser descritos, al menos, a dos escalas diferentes (Acary 2001).

El primer enfoque, a veces llamado macro-mecánico, consiste en considerar la fábrica como un

material homogéneo y continuo, con unas características capaces de representar su carácter unilateral.

Los modelos de materiales de este tipo, "No-tension materials" o Materiales No resistentes a Tracción,

se obtienen mediante un proceso de homogeneización. El material se considera a gran escala, de ahí el

calificativo de macro.

Un segundo enfoque considera el material desde una escala más cercana y, a veces, se denomina

micro-mecánico, resalta su carácter heterogéneo y se fija en sus elementos constituyentes. A este tipo

pertenece el modelo de material de Livesley.

El presente trabajo se enmarca en la segunda línea de investigación, modelando la estructura como un

ensamblado de cuerpos "rígidos" en contacto "seco y directo"40. En ésta, se considera que la

característica fundamental de las fábricas es su escasa o nula resistencia a tracción y que, una vez

37 En el sentido de función potencial de la cual se puede derivar un gradiente que determina la dirección de su máxima variación 38 De hecho en la figura ya se demuestran en términos de trabajo. 39 Con la salvedad de aquellos casos citados más adelante en que se pueda considerar una indentación entre las caras de contacto, y en que por tanto la ley de rozamiento/deslizamiento se pueda modelar como asociativa. 40 Tanto la rigidez (de los cuerpos) como el contacto seco y directo (entre ellos) son una idealización extrema de la estructura, y no deben de tomarse en sentido estricto. Ambas son condiciones suficientes para la aplicación del modelo, y en los siguientes capítulos se van a considerar su existencia, pero no son condiciones necesarias. De hecho en este mismo capítulo se va a exponer como pueden entenderse como un caso particular de un modelo más general que considera a los cuerpos como rígido-plásticos (no confundir los cuerpos que constituyen el material con éste en su conjunto)


73

alcanzado su valor límite en un punto, la fábrica se agrieta, o se abren las juntas preexistentes en ella,

pero esto no supone necesariamente el fallo de la estructura, sino que, precisamente gracias a dichas

grietas, el material fábrica antes cuasi-frágil se convierte en un material dúctil, al cual se puede aplicar

el análisis límite para hallar su auténtica carga de inicio de colapso.

Ambas características inciden en la discontinuidad real o virtual del material y conducen, de modo

natural, a un modelo formado como una agrupación de cuerpos independientes que, en la presente

formulación, se llamarán "bloques" y que en una formulación tipo DEM41 se llamarían "elementos

discretos".

El modelo que se adopta, de bloques discretos, es ampliamente utilizado, siendo a menudo es el más

apropiado como idealización de estructuras de materiales tipo fábrica.

2.5 Análisis límite de estructuras de fábrica mediante modelos de "bloques

rígidos".

Los desarrollos contenidos en este trabajo se van a limitar al caso plano. Su extensión al caso

tridimensional aumenta la complejidad del problema a resolver pero no lo vuelve intratable42. El tipo

de restricciones que convierten el problema en realmente complejo son las de contacto, que se van a

introducir en este capítulo y cuyo tratamiento constituye el núcleo de este trabajo.

2.5.1. Cuestiones de notación

Diferentes autores, e incluso el mismo autor en diferentes ocasiones, han empleado diversos criterios

de notación y signos, por tanto, hay que comenzar estableciendo los criterios que se van a emplear.

Sea un bloque poligonal A con vértices i,j,k,l , con su cara i,j en contacto unilateral con un plano fijo .

Las solicitaciones a considerar en la junta ij son la normal Nij, la tangencial Vij y el momento Mij .

O si se emplea una notación de tipo Livesley43 dos normales Ni , Nj y la tangencial Vij.

El criterio de signos para las solicitaciones en dicha junta es el correspondiente a la figura 2.26

izquierda, si se sigue la notación clásica N,M,V y la de la 2.26 derecha, si se sigue la tipo Livesley.

41 DEM acrónimo inglés de "Método de los Elementos Discretos" 42 En términos de Complejidad Computacional, todas las restricciones puramente estáticas o puramente cinemáticas son convexas. Además el problema se puede resolver con la precisión deseada linealizando las restricciones estáticas y cinemáticas convexas mediante tantas restricciones lineales como se desee. Una breve revisión de la literatura se verá en el siguiente capítulo. 43 La implementación de las rutinas de cálculo de la presente tesis se han realizado sobre la base previa del programa ArcoTSAM, que a su vez se realizó utilizando como base el artículo de Livesley citado, la notación empleada corresponde, con ciertas adaptaciones, a la del programa citado.


74

Figura 2.26

Si se considera el contacto en otra de las caras, no todas las solicitaciones pueden seguir el mismo

criterio (figura 2.27 izquierda).

Figura 2.27

Los normales positivos serán siempre de compresión y los cortantes positivos pueden ser siempre en

sentido horario respecto al centro del bloque (como el caso indicado), pero el momento en todas las

caras no debería ser en sentido antihorario, ya que el sentido positivo de las solicitaciones en las caras

en contacto debe permitir el equilibrio en la junta44 formada por dicha cara (figura 2.27 izquierda).

Sin embargo, en la formulación de Livesley sí es posible (figura 2.27 derecha). Los desplazamientos

("deformaciones") a considerar en la junta ij son: el normal a la cara de contacto ijε , el tangencial ijγ

y el giro ijΘ ; todos ellos referidos al centro de la cara de contacto.

44 Hay que establecer un criterio que permita asegurar que los momentos actuantes en las dos caras en contacto de una junta puedan estar en equilibrio. Por ejemplo en un determinado bloque tomando el sentido antihorario para todas las juntas que formen con la horizontal un ángulo 0º 180ºα≤ < y en sentido horario para las que formen 180º 360ºα≤ < . Como se ve en la figura en la notación de Livesley tal complicación no existe.


75

O empleando una notación de tipo Livesley45 dos normales , i j∆ ∆ en los extremos de la cara de

contacto y un tangencial ijδ sobre dicha cara (figura 2.28) .

Figura 2.28

El criterio de signos para las deformaciones en dicha junta es en la notación clásica el de la figura 2.28

superior y en la tipo Livesley el de la figura 2.28 inferior.

Su sentido positivo se determina para que hagan positivo el trabajo virtual de las solicitaciones sobre

sus correspondientes desplazamientos virtuales

Los modos de colapso que se definen46 como positivos (de nuevo para la junta ij ) serán (figura 2.29):

Figura 2.29

La notación de Livesley es muy eficaz desde el punto de vista del problema para el que se plantea (por

tanto resulta más ventajosa para su planteamiento y resolución numérica), pero la notación tradicional

es mucho más intuitiva, al ligar un momento con un giro, un normal con un desplazamiento según el

45 La implementación de las rutinas de cálculo de la presente tesis se han realizado sobre la base previa del programa ArcoTSAM que a su vez se realizó utilizando como base el artículo de Livesley citado, la notación empleada corresponde, con ciertas adaptaciones, a la del programa citado. 46 Definir un modo de colapso como positivo o negativo es una pura convención, igualmente se les puede llamar a derechas e izquierdas o simplemente usar distinto nombre para cada uno.


76

eje, y un tangencial con un desplazamiento perpendicular al eje. A partir de este momento se va a

emplear indistintamente una u otra notación según convenga al propósito de la exposición, por tanto,

hay que dejar claramente establecida la relación entre ambas.

Por comodidad, siendo b el ancho de la cara de contacto, se define 2

; 2

bM M

b= Θ = Θ y las

relaciones entre ambas notaciones quedan como sigue:

; ; ( )2

ijij i j ij ij ij j i j i

bN N N V V M N N M N N= + = = − ⇒ = − (2.1)

; ; 2 2

i j j i j iijij ij ij ij b

ε γ δ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ − ∆

= = Θ = ⇒ Θ = (2.2)

En lugar de cada una de las hipótesis aisladamente, resulta mucho más interesante considerar (para

este material "unilateral", "rígido-plástico", "de Coulomb" y "dúctil47") las relaciones admisibles entre

las distintas "tensiones" (solicitaciones) en las juntas de contacto y las de éstas con sus

correspondientes "deformaciones" (desplazamientos). Para ello se representan en diagramas48 de

interacción: / /ij ij ijN M V ; / /ij ij ijε γΘ . Y en el caso más habitual, en que es posible desacoplarlos, en

dos diagramas planos separados:/ ; /ij ij ij ijN M N V y / ; /ij ij ij ijε ε γΘ .

Las relaciones entre / ; /ij ij ij ijN M ε Θ para los dos sistemas de notación quedan según la figura 2.30.

Figura 2.30

Como puede apreciarse, la utilización de un sistema de referencia u otro, sólo supone un giro de los

ejes y un cambio de escala.

47 Debido a su capacidad de agrietamiento. 48 Por claridad se han representado ambos diagramas estático y cinemático por separado, aunque lo habitual es superponerlos en un único diagrama de "tensiones" y "deformaciones".


77

2.5.2 Descripción general del modelo

El modelo está formado por bloques discretos, y ésta es su principal característica. Las restantes (con

todas las salvedades y aclaraciones que se harán más adelante) se exponen a continuación.

En el modelo general49:

Los bloques son rígido-plásticos.

Cuando se alcanza la condición límite para /V N , se permite su deslizamiento con cualquier ángulo

de deslizamiento que se desee (de acuerdo a una ley rozamiento-deslizamiento no asociada), por tanto,

se incluyen el ángulo de deslizamiento nulo y el rozamiento asociativo como casos particulares

Se permite la rotación cuando la relación /M N alcanza sus condiciones límite.

Y se pueden incorporar en él, si se desea: consideración de las contribuciones de la resistencia a

tracción y de la cohesión, y comprobación de los modos de colapso por resistencia (tracción,

compresión y corte).

En el modelo más simplificado50, que es el que se va a utilizar en los siguientes capítulos:

Los bloques son rígidos.

V está limitada por la restricción tg tgN V Nϕ ϕ− ≤ ≤ , sin tener en cuenta la posible cohesión.

No se considera la posible resistencia a tracción.

N debe de ser de compresión pero su magnitud es ilimitada y su línea de acción debe de pasar por el

interior de la cara de contacto.

La posible rotura a cortante del propio material del bloque no se comprueba, puesto que se asume la

hipótesis de resistencia ilimitada.

Algunas de estas simplificaciones referidas a la resistencia del material son claramente inseguras, pero

el modelo es muy sencillo y es particularmente adecuado (aplicable con un buen nivel de

aproximación) para un amplio rango de estructuras de fábrica históricas (caracterizadas por estar

compuestas de un complejo sistema de piezas pétreas o cerámicas ensambladas en seco o unidas con

un mortero de baja calidad).

En cuanto a las ecuaciones de gobierno, de esta estructura de bloques con rozamiento, se sigue el

planteamiento de Livesley, posteriormente adoptado por Ferris y otros, considerando a los bloques

49 El caso más general se va a detallar en el presente capítulo. 50 Como se verá más adelante la principal dificultad, consistente en el manejo de las condiciones de contacto, es igual en ambos casos. La dificultad añadida por adoptar el caso general en lugar del simplificado es asumible al ser convexas las restricciones que lo definen, especialmente si se linealizan dichas restricciones. Se ha adoptado el caso simplificado por comodidad expositiva y para que resulte más claro el tratamiento que se va a hacer de las condiciones de contacto.


78

como nodos y a las caras de contacto como elementos de una discretización convencional en

elementos finitos.

Se adopta un enfoque nodal, en lugar de la formulación en malla (que establece las ecuaciones

respecto a las caras de contacto) empleada por Fishwick (o inicialmente por Gilbert). En términos de

notación clásica, se asocian tres grados de libertad con el centroide de cada bloque, a los cuales

corresponde un vector de movimientos nodales ( , , )x y zu u= Θu .

Sobre dicho centroide se aplica un vector de fuerzas nodales ( , , )x y zf f m=f . En las caras de contacto

se producen como reacción unas "tensiones" ( , , )N M V=s , cuya composición extendida a todas las

caras del bloque debe de estar en equilibrio con f . Igualmente, en cada una de las caras del bloque se

producen unas deformaciones ( , , )ε γ= Θe , que deben de ser compatibles con el movimiento nodal u .

Utilizando la notación clásica, en cada cara de contacto ij actúa la tensión ( , , )ij ij ij ijN M V=s con

componentes normal ijN , momento ijM y tangencial ijV .

Estas componentes deben de cumplir las condiciones estáticas (de cedencia) del material, descritas al

principio del apartado.

Por comodidad, muy frecuentemente, se emplea como segundo componente del vector

/ ( / 2)M M b= , es decir, la relación del momento a la mitad del ancho de la cara de contacto. Así

mismo, en cada cara de contacto ij se producen unas deformaciones, relativas a su posición inicial,

( , , )ij ij ij ijε γ= Θe con componentes deformación perpendicular a la superficie de contacto

( ijε penetración o si se prefiere ijε− ), que es la separación geométrica de la cara de contacto respecto

de la superficie que le servía de base, giro respecto a dicha superficie ijΘ y deformación paralela a la

superficie de contactoijγ .

Estas componentes de la deformación deben de cumplir las condiciones cinemáticas del material

(regla de flujo) descritas al principio del apartado.

Adicionalmente a todas las condiciones ya citadas, puramente estáticas o puramente cinemáticas, son

necesarias, en el caso general, un tipo especial de condiciones que pueden llamarse de contacto. Éstas

son capaces de establecer, para una cara de contacto dada, la relación entre un determinado estado de

tensiones que haya alcanzado su condición de límite y la dirección en la que se producirá la

deformación correspondiente.

Ya se ha indicado que, en el caso en que se cumple la "regla de normalidad", dicha dirección se puede

obtener mediante el gradiente de la superficie de cedencia y, por tanto, no es necesario plantear este

último tipo de condiciones.


79

2.5.3 Ecuaciones y condiciones

En los casos en que esté descartado el colapso por deslizamiento y se pueda, por tanto, aplicar el

análisis límite estándar, tiene sentido agrupar las restricciones en puramente estáticas y puramente

cinemáticas, ya que se puede obtener una solución al problema empleando solamente unas u otras.

Restricciones estáticas: Las restricciones estáticas incluyen tanto las restricciones límites estáticas

(restricciones de cedencia) como las ecuaciones de equilibrio.

Restricciones cinemáticas: Las restricciones cinemáticas incluyen tanto las restricciones límites

cinemáticas (reglas de fluencia) como las ecuaciones de compatibilidad.

En el caso general, en que no puede descartarse el colapso por deslizamiento en algún punto, no basta

con resolver las restricciones estáticas y cinemáticas, separadamente o en conjunto, sino que también

hay que incluir el nuevo tipo de condiciones que ligan las condiciones puramente estáticas y las

puramente cinemáticas.

Hay que plantear y resolver el problema completo. Este problema está formado por las ecuaciones de

equilibrio (apartado 2.5.5) y las ecuaciones de compatibilidad (apartado 2.5.6), ambas comunes a

cualquier tipo de estructura, y las restricciones constitutivas (apartado 2.5.4) que son propias de cada

tipo de material.

En primer lugar y de modo más extenso va a tratarse de este último tipo de restricciones más

específicas del problema.

2.5.4 Ecuaciones y condiciones constitutivas del material: restricciones de límite estáticas,

cinemáticas y de contacto

Para cada junta, las relaciones entre las tres "tensiones" pueden representarse en un espacio de tres

dimensiones estáticas, tal como hace Livesley (figura 2.4 ).

Sin embargo, en la mayor parte de los casos51, resulta más claro representarlas en dos gráficas

separadas correspondientes a la relación de momento y normal M/N y a la relación de tangencial y

normal T/N.

Esta representación tiene sentido debido a que una de las características básicas de las fábricas es que,

tanto el momento como el tangencial admisibles en cada junta, son dependientes del normal en dicha

junta.

Esta separación permite percibir más claramente la diferencia entre los comportamientos de ambos

casos cuando se alcanzan las condiciones de límite.

51 Con la importante excepción de los casos en que el mecanismo de inicio de colapso incluya la rotura por cortante (no confundir con deslizamiento) en el material de la cara de contacto.


80

Para cada par de solicitaciones:

1/ Relación momento / normal

2/ Relación tangencial / normal

Se van a estudiar, en todos los casos que siguen:

a/ Restricciones de cedencia ("rotura")

a.1/ Tensiones en las juntas

a.2/ Holguras de las condiciones de cedencia

a.3/ Condiciones de las holguras de tensiones

a.4/ Relación entre las tensiones y sus holguras

a.5/ Construcción de la matriz de cedencia para un elemento

b/ Restricciones de fluencia

b.1/ Deformaciones en las juntas

b.2/ "Multiplicadores plásticos"

b.3/ Condiciones de los multiplicadores plásticos

b.4/ Relación entre las deformaciones y los multiplicadores plásticos

b.5/ Construcción de la matriz de fluencia para un elemento

c/ Restricciones de contacto

La solución o conjunto de soluciones que cumplan todas las anteriores restricciones son admisibles

desde el punto de vista del material constituyente. Si, además, son una solución de equilibrio y

conforman un mecanismo admisible serán soluciones de inicio de colapso.

Los diferentes "estados de tensiones" y "estados de deformaciones" admisibles se representarán, para

cada modo de colapso en estudio, sobre sendas gráficas: /N M y /N V para las variables estáticas y

/ε Θ y /ε γ para las variables cinemáticas.

2.5.4.1 Proyección sobre los espacios / ; /M N εΘ

a.1/ Relación momento / normal

Se parte de un caso general en que se admiten compresiones y (pequeñas) tracciones.

Sea una sección de ancho b y espesor w de un material para el cual son admisibles tensiones de

tracción 0tσ ≤ y de compresión 0cσ ≥ ; sea 0 t tN bwσ≥ = la máxima resistencia a tracción de la

sección, y 0 c cN bwσ≤ = la máxima resistencia a compresión de la sección.


81

Como es frecuente en cálculo plástico de materiales que puedan modelarse como rígido-plásticos,

Nielsen (2011) (figura 2.31)

Figura 2.31 (Nielsen 2011)

Se adopta una distribución rectangular de tensiones y pueden obtenerse las solicitaciones en función

de la excentricidad e (figura 2.32).

Figura 2.32

El normal N (recuérdese que tσ es negativa) será:

( 2 ) 2 2 ( )c t c c tN b e w ew bw ewσ σ σ σ σ= − + = − −

2

( )c c tN N e N Nb

= − − (2.3)

Del mismo modo, el momento expresado en función de e:

2 2

( 2 ) ( 2 ) 2 2c t c t c t

e eM b e ew b e ew N e N e N N

b bσ σ= − − − = − − +

22( ) ( )c t c tM e N N e N N

b= − − − (2.4)

Hay que recordar que 0tN ≤ y por tanto c tN N− da la suma de sus valores absolutos.

De (2.3) se puede obtener el valor de e en función de N

( )

2 ( )c

c t

N Nbe

N N

−=

− (2.5)


82

Y sustituyendo (2.5) en (2.4) se obtiene M en función de N:

2 2( ) ( ) ( )2( ) ( ) ( )

2 ( ) 2 ( ) 2 2 ( )c c c

c t c t cc t c t c t

N N N N N Nb b b bM N N N N N N

N N b N N N N

− − −= − − − = − − − − −

2( )

( )2 ( )

cc

c t

N NbM N N

N N

−= − − −

(2.6)

Por otro lado, al ser Θ y tgΘ infinitésimos equivalentes:

2 ; 2 2 2

2 2 2 2

bb

tg tgb b b b

e e

εε −Θ Θ −Θ = Θ ⇒ Θ = Θ = Θ ⇒ Θ = = ⇒ Θ =− −

Y sustituyendo el valor de e obtenido en la ecuación (2.5) se tiene:

2 2 ; ; ( )

2 2 12 12 ( ) 2 2c cc

c t c tc t

b b

N N N Nb b N NbN N N NN N

ε ε ε− − −Θ = Θ = Θ =− − −− −− − −−

Y finalmente, se obtiene:

1 2 c

c t

N N

N Nε

−= Θ − −

(2.7)

En la figura 2.33 se representa el caso en que no se considera resistencia a tracción (0tσ = )

Figura 2.33

Escribiendo (2.6) en forma de superficie de cedencia ( ) ( , , ) 0f f N M Vσ = = y hallando el gradiente

de f , ( ) ( ) ( )

( ) , ,f f f

fN M V

δ σ δ σ δ σσδ δ δ

∇ =

, se obtiene:

2( )

( ) 1 2 , 1 , 02 ( )

c ccNMV

c t c t

N N N NbM N N

N N N N

− −∇ − − − = − − −

(2.8)

Como preveía el Análisis Límite Estándar, las relaciones entre las componentes de la dirección en la

cual se producirá el desplazamiento elemental ("multiplicador plástico"), correspondiente a la

condición de cedencia para el modo de colapso en estudio, tal como quedan reflejadas en (2.7) y (2.8),


83

coinciden. Si se normaliza el valor obtenido para que el multiplicador plástico sea de longitud unidad,

se obtiene:

( )

( )q

fz

f

σσ

+ ∇=∇

Como se verá más adelante, este resultado corresponde numéricamente con el que se obtendrá

geométricamente, utilizando senos y cosenos, al hacer las diferentes linealizaciones. Así cuando:

1 1( , , 0) ; 45º

2 2t r rN N z ψ+ −= → = =

(0 , 1 , 0) ; 0º2

c tm m

N NN z ψ++= → = =

1 1( , , 0) ; 45º

2 2c c cN N z ψ+= → = = −

Figura 2.34

Figura 2.35


84

En la figura 2.34 se representan los estados de solicitaciones correspondientes a los diferentes sectores

de la gráfica parabólica, tanto para los casos en que se considera resistencia a tracción como en los que

no. En la figura 2.35 se representan las deformaciones correspondientes.

En el caso general, el momento M es una función cuadrática del normal N. Trabajar con funciones

cuadráticas convexas es algo más complicado que trabajar con funciones lineales pero, en caso de se

tuviera especial interés en hacerlo, sería un problema asequible.

Sin embargo, como se obtienen excelentes resultados linealizando la función y, dado que, la dificultad

del problema sobre el que trata este trabajo no radica en esta función cuadrática convexa52, a partir de

este punto, se va a linealizar como han hecho la práctica totalidad de los autores citados.

Es posible una linealización por el exterior (insegura) mediante tangentes, o una linealización por el

interior (segura) mediante secantes.

La pendiente de la tangente a la curva en un punto determinado será su derivada parcial respecto a N:

2 12

c

c t

N NM b

N N N

−∂ = − ∂ − (2.9)

De acuerdo a (2.9) se tiene que la pendiente de la tangente será:

2

b cuando tN N= ; 0 cuando

2c tN N

N−= y

2

b− cuando cN N=

A su vez, estas pendientes son la tangente del ángulo ψ que forma la función linealizada, mediante

funciones lineales tangentes a la curva en dichos puntos, con el eje de las N.

Cuando en lugar de M se emplea 2M

Mb

= las pendientes valen 1,0,-1 y los ángulos 45º, 0º y -45º.53

Si, adoptando el criterio de prudencia anteriormente expuesto54, se considera nula la resistencia a

tracción, 0tN = , las fórmulas (2.3) a (2.9) quedarán:

2

1 cN e Nb

= −

(2.10)

22cM e e N

b = −

(2.11)

( )

2c

c

N Nbe

N

−= (2.12)

2( )

( )2

cc

c

N NbM N N

N

−= − −

(2.13)

52 Mientras se esté dentro del campo de la programación convexa los problemas son tratables e incluso asequibles. 53 Por supuesto es posible linealizar la función en un mayor número de puntos, lo cual simplemente añadiría mayor número de condiciones del mismo tipo. 54 De la comparación de los dos casos en que se considera o no la resistencia a tracción se puede ver que desde el punto de vista matemático son idénticos, por tanto el motivo de no considerar las tracciones no es en ningún caso que aumenten la complejidad del problema, sino que no se considera adecuado por los motivos expuestos.


85

2( )2

( ) cc

c

N NMM N N

b N

−= = − − (2.14)

2 12

c

c

N NM b

N N

−∂ = − ∂ (2.15)

2 1c

c

N NM

N N

−∂ = −∂

(2.16)

De acuerdo a (2.15) la pendiente de la tangente será:

2

b cuando 0N = ; 0 cuando

2cN

N = y 2

b− cuando cN N=

De nuevo, estas pendientes son a su vez la tangente del ángulo ψ que forma la función linealizada con

el eje de las N, y cuando en lugar de M se emplea 2M

Mb

= las pendientes valen 1,0,-1 y los ángulos

45º, 0º y -45º.

Este tipo de linealización es la empleada por Heyman (1966) con 0tN = y tangente en el origen, ver

figura 2.1. También de este tipo son las empleadas por Delbecq (1982) con 0tN = y tangentes en

0N = y en cN N= . Y por Livesley (1978) figura 2.4.

Si en lugar de querer hallar tangentes (inseguras) se quieren hallar secantes (seguras) se emplearían en

lugar de las fórmulas (2.9), (2.15) ó (2.16), las (2.6), (2.13) ó (2.14) obteniéndose las ecuaciones de

las funciones linealizadas por dos puntos.

De este segundo tipo es la propuesta por Heyman (2007) figura 2.2.d

Figura 2.36


86

Las diferentes posibilidades de linealización generan una casuística que se ha representado

parcialmente en la figura 2.36.

A continuación se van a desarrollar las linealizaciones 9, 10, 11 y 12 de la figura 2.36, de las cuales

son casos particulares la 5, 6, 7 y 8 simplemente haciendo 0tσ = ó 0tN = . Todos ellos son casos de

linealización tangente.

Este tipo de linealizaciones son más inseguras conforme se alejan del punto de tangencia, sin embargo,

en las linealizaciones poligonales por múltiples segmentos 8 y 12 la separación entre la superficie

curva y la linealizada es razonablemente pequeña. Las linealizaciones secantes se harían de la misma

manera, pero en lugar de obtener las rectas límites por la tangencia en un punto, se obtendrían por ser

secantes en dos puntos.

Debe de hacerse notar que las linealizaciones son instrumentos matemáticos y, en general, carecen de

un significado físico verosímil excepto en el entorno cercano de los puntos de tangencia. Por ejemplo

la número 6 establece que no se produce el colapso para ningún valor de N , siempre y cuando su

momento este limitado a un cierto valor pM M≤ , o la número 7, que no se produce siempre que

cM N N+ ≤ . Sin embargo, la linealización número 5 sí tiene un significado claro: no se produce el

colapso mientras la recta de acción del normal cruce el interior de la cara de contacto.

Esta última linealización es la más ampliamente utilizada, siendo razonablemente exacta bajo la

hipótesis de que las tensiones reales son muy inferiores a las tensiones de rotura del material. En

cualquier caso, la aplicación fuera de un cierto rango de valores, tanto de esta última como de las

anteriores, conduce a resultados absurdos. Se comienza la exposición por esta última.

1/ Casos linealizados

a/ Modo de colapso r : vuelco sobre uno de los bordes de la junta (sin solapamiento).

Sentido del vuelco: positivo hacia la derecha r+��

sentido negativo hacia la izquierda r−��

. En la figura

2.37 se representa el caso para el sentido positivo.

Figura 2.37


87

Partiendo de un caso general, en que se admiten compresiones y (pequeñas) tracciones (figura 2.32)

Restricciones de cedencia :

Siendo tN el valor (negativo) de la resistencia a tracción de la sección y tn N= su valor absoluto,

recordando que 2 /M M b= , los valores admisibles de M son ( )n N M n N− + ≤ ≤ + .

Los "estados de tensiones" admisibles y las condiciones de límite se representan en la gráfica /N M

(figura 2.38 izquierda)

Figura 2.38

Para un "estado admisible de tensiones", su distancia a las "superficies de cedencia" constituidas en

este caso por las ecuaciones de las rectas, que corresponden a los valores límites de las condiciones,

serán:

(( ) tg )cos ; (( ) tg )cosr r r rr ry n N M y n N Mψ ψ ψ ψ+ −= + − = + +

Teniendo en cuenta que senr rn Rψ = y que , r r

y y+ − son siempre positivos, se puede escribir:

0 sen cos ; 0 sen cosr r r r r rr ry R N M y R N Mψ ψ ψ ψ+ −≤ = + − ≤ = + + (2.17)

A estos valores , r r

y y+ − que representan lo que le falta a un "estado de tensiones" para llegar a

alcanzar su condición límite, de cedencia, respecto a un modo de colapso determinado, se les

denomina de modo abreviado "holguras de las tensiones" o, más propiamente, "holguras de las

condiciones de las tensiones", y a las ecuaciones e inecuaciones (2.17), restricciones de cedencia, en

este caso para el modo de colapso por vuelco sin solape.


88

Estas restricciones expresadas en forma matricial quedan:

sen cos 0 0

sen cos 0 0r r r r

r r r r

NyR

MyR

V

ψ ψψ ψ

+

−

− +

− = ≥ − −

(2.18)

Como se refleja gráficamente en la figura 2.38 izquierda.

Las restricciones de fluencia serán (figura 2.38 derecha):

cos ; sen ; cos ; senr r r r

z z z zψ ψ ε ψ ψ ε+ + − −= Θ = − = −Θ = − (2.19)

Sumando las contribuciones de ambos modos de colapso

cos cos ; sen sen r r r r

z z z zψ ψ ψ ψ ε+ − − +− = Θ − − = (2.20)

Expresadas en forma matricial serán:

sen sen0

cos cos ; 0

0 0

r r

r r

z z

z z

εψ ψψ ψ

γ

+ +

− −

− − + − = Θ ≥

(2.21)

b/ Modo de colapso c , aplastamiento: Delbecq / Livesley 135ºcψ =

Sentido de rotación: positivo hacia la derecha c+��

sentido negativo hacia la izquierda c−��

. En la figura


Figura 2.39

Las restricciones de cedencia para las tensiones serán:

cos ( tg tg ) ; cos ( tg tg )c c c c c c c cc cy N N M y N N Mψ ψ ψ ψ ψ ψ+ −= − − + − = − − + +

sen ( sen cos ) ; sen ( sen cos )c c c c c c c cc cy N N M y N N Mψ ψ ψ ψ ψ ψ+ −= − − = − + (2.22)


sen sen cos 0 0

sen sen cos 0 0c c c c c

c c c c c

NyN

MyN

V

ψ ψ ψψ ψ ψ

+

−

−

− = ≥

(2.23)


89

Como queda reflejado en la figura 2.40.

Figura 2.40

Las restricciones de fluencia para las deformaciones serán:

sen sen ; cos cosc c c cc c c cz z z zψ ψ ε ψ ψ+ − + −+ = − + = Θ (2.24)


sen sen0

cos cos ; 0

0 0

c c

c cc c

c c

z z

z z

εψ ψψ ψ

γ

+ +

− −

− = Θ ≥

(2.25)

c/ Modo de colapso m , limitación momento tangente

Sentido de rotación: positivo hacia la derecha m+��

sentido negativo hacia la izquierda m−��

. En la figura


Figura 2.41


90

Las restricciones de cedencia para las tensiones serán:

; 4 4

c t c t

m m

N N N Ny M y M+ −

+ += − = + (2.26)


0 1 0 040 1 0 0

4

c t

m

mc t

N N Ny

MyN N

V

+

−

+ − = ≥ − +

(2.27)

Como queda reflejado en la figura 2.42.

Figura 2.42

Y las restricciones de fluencia para las deformaciones serán:

m m

z z+ −− = Θ (2.28)

Que expresado en forma matricial será:

0 00

1 1 ; 0

0 0

m m

m m

z z

z z

ε

γ

+ +

− −

− = Θ ≥

(2.29)

Más adelante en este mismo capítulo, se verá la formalización de un caso que incluya las tres

linealizaciones anteriormente expuestas.

No obstante, debe entenderse que cualquier modelo linealizado es simplemente una de las muchas

posibles simplificaciones del modelo general, y que deben elegirse cuidadosamente las condiciones

linealizadas, en función de las características de cada caso concreto a analizar.


91

2.5.4.2 Proyección sobre los espacios / ; /V N γ ε

1/ Consideraciones generales.

Delbecq (1982) propone el siguiente criterio55, que tiene en cuenta la limitación del esfuerzo

tangencial, tanto por deslizamiento como por corte del material, fórmula (2.30) y figura (2.43).

Sup ( tg ),( ( )) 0s cτ σ ϕ τ σ σ σ − − − ≤ (2.30)

Figura 2.43 (Delbecq 1982)

Posteriormente no lo usa, por considerar los efectos de la limitación de la resistencia al corte de orden

muy inferior a los del deslizamiento. Sin embargo, en aquellos casos en que se considere una ley de

rozamiento-deslizamiento asociativa (justificada por la existencia de "asperezas") y se dé la

combinación de valores muy elevados de normal y tangencial56, puede ser conveniente contemplar una

ley de cedencia de este tipo.

Figura 2.44 (Aydin 2006)

55 Obsérvese que está expresado en términos de tensiones, no de solicitaciones y que no considera resistencia a tracción ni cohesión. La hipótesis de Delbecg es segura y debería ser considerada para grandes compresiones, en el rango / 2cσ σ≥ 56 Muy elevados en relación a las capacidades resistentes del material, pero no necesariamente muy elevados en si mismos. Piénsese por ejemplo en la tiza que se desgasta con facilidad haciéndola deslizar sobre el encerado. Sin llegar a ese extremo hay materiales de albañilería con escasa resistencia al corte o al desgaste.


92

Figura 2.45 (Maksimovic 1996)

Figura 2.46 (rocscience_Shear_strength_of_discontinuities) Figura 2.47 (Huang et al. 2002)

Resultados experimentales, obtenidos en el campo de la geología para grandes presiones, así lo

aconsejan (figuras 2.44 a 2.47)

Estas consideraciones pueden ser útiles en casos muy especiales o para elementos constructivos

singulares, sin embargo, en el contexto de esta tesis, y como caso más habitual, el material se va a

limitar al que Nielsen57 (2011) caracteriza como "material de Coulomb modificado" (figura 2.48)

Figura 2.48 (Nielsen 2011) 57 Debe de tenerse en cuenta al observar la figura 2.48 que el criterio de signos de Nielsen para el normal es el contrario que el usado en este escrito.


93

2/ Relación tangencial / normal

Modo de colapso s , deslizamiento hacia uno de los bordes de la junta (sin desgaste)

Sentido del deslizamiento: positivo hacia la derecha s+��

, negativo hacia la izquierda s−��

En la figura 2.49 se representan los casos con y sin cohesión para el sentido positivo.

Figura 2.49

Restricciones de cedencia:

Partiendo de un caso general, en el que se admite cohesión y siendo c el valor de la resistencia por

cohesión de la sección, los valores admisibles de V son ( )s sc Ntg V c Ntgϕ ϕ− + ≤ ≤ + .

Los "estados de tensiones" admisibles y las condiciones de límite se representan en la gráfica /N V ,

figura 2.50.

Figura 2.50

De la gráfica resulta que, para un "estado admisible de tensiones", su distancia a las "superficies de

cedencia", constituidas en este caso por las ecuaciones de las rectas que corresponden a los valores

límites de las condiciones, serán:

(( ) tg )cos ; (( ) tg )coss s s ss sy n N V y n N Vϕ ϕ ϕ ϕ+ −= + − = + +


94

Teniendo en cuenta que sen coss s sn c Rϕ ϕ= = y que , s s

y y+ − son siempre positivos, se puede

escribir:

0 sen cos ; 0 sen coss s s s s ss sy R N V y R N Vϕ ϕ ϕ ϕ+ −≤ = + − ≤ = + + (2.31)

A estos valores , s s

y y+ − , que representan lo que le falta a un "estado de tensiones" para llegar a

alcanzar su condición límite (de cedencia) respecto al modo de colapso por deslizamiento, se les llama

de modo abreviado "holguras de las tensiones" o, más propiamente, "holguras de las condiciones de

las tensiones" y a las ecuaciones e inecuaciones (2.31), restricciones de cedencia, en este caso para el

modo de colapso por deslizamiento.

Expresadas en forma matricial quedan:

sen 0 cos 0

sen 0 cos 0s s s s

s s s s

NyR

MyR

V

ϕ ϕϕ ϕ

+

−

− +

− = ≥ − −

(2.32)

Restricciones de fluencia:

cos ; sen ; cos ; send d d ds s s sz z z zϕ γ ϕ ε ϕ γ ϕ ε+ + − −= = − = − = − (2.33)

Sumando las contribuciones de ambos modos de colapso

sen sen ; cos cosd d d ds s s sz z z zϕ ϕ ε ϕ ϕ γ− + + −− − = − = (2.34)

sen sen0

0 0 ; 0

cos cos

d d

s s

s sd d

z z

z z

εϕ ϕ

ϕ ϕ γ

+ +

− −

− − = Θ ≥

+ −

(2.35)

En el caso general d rϕ ϕ≤ , cuando d rϕ ϕ= la ley rozamiento-deslizamiento es asociativa y cuando

0dϕ = es de Coulomb.

2.5.4.3 Construcción de las matrices de cedencia y de fluencia

Por motivos de claridad se va a exponer, en primer lugar, el desarrollo del tipo de colapso más

habitualmente considerado utilizando la notación comúnmente empleada.

1/ Colapso por vuelco y/o deslizamiento considerando resistencia a tracción y cohesión.

Cuando se emplea el modelo de bloques rígidos en contacto seco y directo el modelo más

comúnmente empleado es aquel que considera como dos únicos modos posibles de colapso el vuelco y

el deslizamiento. Desde una perspectiva realista no debería considerarse en este caso resistencia a

tracción ni cohesión. Sin embargo, para mostrar como su incorporación no dificulta el problema se han

considerado. Las relaciones se reflejan gráficamente en la figura 2.51.


95

Figura 2.51

Mas adelante se mostrará el caso que no considera resistencia a tracción ni cohesión, como un caso

particular de éste.

1.a/ Construcción de la matriz de cedencia para una junta

Teniendo en cuenta ambos modos de colapso, se pueden escribir las restricciones de cedencia en

forma matricial

sen cos 0 0

sen cos 0 0

sen 0 cos 0

sen 0 cos 0

r r r r

r r r r

s s s s

s s s s

yR NyR

MyR

VyR

ψ ψψ ψϕ ϕϕ ϕ

+

−

+

−

− + − − − = ≥ − + − −

(2.36)

De modo más compacto

≥tr - L s = y 0 (2.37)


96

A la matriz58 tL de coeficientes se la llama matriz de cedencia59.

1.b/ Construcción de la matriz de fluencia para una junta

Teniendo en cuenta ambos modos de colapso se pueden escribir la regla de fluencia en forma matricial

0sen sen sen sen

0cos cos 0 0 ;

00 0 cos cos

0

r rd d

r r

s sd d

s s

z z

z z

z z

z z

εψ ψ ϕ ϕψ ψ

ϕ ϕ γ

+ +

− −

+ +

− −

− − − − + − = Θ ≥ + −

(2.38)

De modo más compacto

; ≥Vz = e z 0 (2.39)

Cuando d rϕ ϕ= la ley rozamiento-deslizamiento es asociativa y t tL = V hecho que tiene importantes

consecuencias como se verá más adelante.

2/ Colapso por vuelco y/o deslizamiento (figura 2.51) sin considerar resistencia a tracción y cohesión.

Este caso es mucho más habitual y más verosímil, y representa razonablemente bien las condiciones

del material en el caso de que su resistencia, tanto los bloques como el material de junta en caso de

haberlo, sea muy superior a las "tensiones" originadas por las acciones exteriores. El modelo general

anterior se simplifica al cortarse las restricciones en el origen de coordenadas.

Para este caso en que 0tN = , 0c = y, por tanto, 0s rR R= = (figuras 2.52 y 2.53) las ecuaciones de

cedencia en modo matricial quedan:

≥t-L s = y 0 (2.40)

Quedando la superficie de cedencia según la figura 2.52

Figura 2.52

58 Por motivos formales, que se verán más adelante, a la matriz de cedencia se la llama tL 59 El motivo del signo -, que la precede, se entenderá al tratar de las correspondientes "deformaciones".


97

Las restricciones en forma gráfica se representan en la figura 2.53.

Figura 2.53

3/ Colapso por vuelco, momento límite, aplastamiento o deslizamiento, con consideración de

resistencias a tracción y cohesión.

Este modelo, que es la más general de las propuestas de linealización que se van a presentar en este

trabajo, representa bastante adecuadamente60 un material constituido por bloques rígido-plásticos o

con juntas compresibles, aunque debe recordarse lo ya dicho en relación a la consideración de la

tracción y la cohesión.

60 Siempre que no se considere necesario tener en cuenta la limitación por rotura a cortante del material


98

Las superficie de cedencia sin linealizar corresponden a las de la figura 2.54 izquierda y una posible

linealización a la figura 2.54 derecha.

Figura 2.54

Las correspondientes restricciones de cedencia en forma matricial son:

sensen cos 0sensen cos 0

0 1 040 1 0

sen cos 04sen sen cos 0

sen sen 0 cos

cos sen 0 cos

cos

t r

r rt r

r rc t

c t

c c

c c c c

c c s s

s s s

s

N

N

N N

NN N

M

VN

N

c

c

ψψ ψψψ ψ

ψ ψψ ψ ψψ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ

− − − + − + − − − − −

0

0

0

0

0

0

0

0

r

r

m

m

c

c

s

s

y

y

y

y

y

y

y

y

+

−

+

−

+

−

+

−

= ≥

(2.41)

≥tr - L s = y 0 (2.42)

Las de fluencia en forma matricial son:

sen sen 0 0 sen sen sen sen

cos cos 1 1 cos cos 0 0 ;

0 0 0 0 0 0 cos cos

r r

r r

m mr r c c d d

m mr r c c

c cd d

c c

s s

s s

z z

z z

z z

z z

z z

z z

z z

z z

εψ ψ ψ ψ ϕ ϕψ ψ ψ ψ

ϕ ϕ γ

+ +

− −

+ +

− −

+ +

− −

+ +

− −

− − − − − − − = Θ −

0

0

0

0

0

0

0

0

≥

(2.43)

; ≥Vz = e z 0 (2.44)


99

Estas restricciones de cedencia y fluencia en forma gráfica se representan en la figura 2.55:

Figura 2.55

A lo largo de todas las figuras anteriores se han ido representando de forma paralela las restricciones

de cedencia y de fluencia que afectan a "tensiones" y "deformaciones".

De la formalización de la correspondencia entre "tensiones" y "deformaciones", o más exactamente de

la correspondencia entre sus restricciones, tratará el siguiente apartado.

2.5.4.4 Restricciones de contacto unilateral

Se mostrará detenidamente los casos de colapso por vuelco y por deslizamiento, en un único sentido

en ambos casos. Como se verá, la relación de las variables estáticas y , con las correspondientes

variables cinemáticas z , adopta siempre la misma forma como restricción de complementariedad.


100

1/ Caso de vuelco positivo (en sentido horario)

a/ Correspondencia entre las restricciones estáticas y las cinemáticas

Recuérdese en lo que sigue que ∧ es el símbolo matemático del "y lógico" ó conjunción y que ∨ es el

símbolo del "o lógico" ó disyunción61. En estos términos, la relación entre las restricciones de las

"tensiones" y las de las "deformaciones" se puede expresar en forma de dos restricciones:

La primera, ya incorporada en las restricciones de cedencia y fluencia, es que la "holgura de tensiones

" ry+ y el "multiplicador plástico" rz+ deben de ser ambos positivos (0≥ )

0 0r i t i ry N N z+ +≤ = − ∧ − ∆ = ≥

Lo cual en este caso equivale a:

0 0i iN ≥ ∧ −∆ ≥

Por otro lado, hay que añadir una nueva condición específica del contacto, las dos restricciones no

pueden ser estrictamente positivas (0> ) a la vez, al menos una de las dos debe ser 0.

En términos físicos, hasta que el estado de tensiones no alcanza su condición límite (y por tanto

0ry+ = ) no se puede empezar a producir la correspondiente deformación plástica (0rz+ ≥ ).

Lo correspondiente sucede invirtiendo los términos.

La condición se representa gráficamente en la figura 2.56.

Figura 2.56

Expresado en forma de condiciones lógicas:

0 0 0

0 0 0

0 00 0

i i i

i i i

i ii i

N N

N

NN

= ∧ −∆ > ≥ ∨ ∧ = ∧ −∆ = ⇔ −∆ ≥ ∧∨

= ∨ −∆ = > ∧ −∆ =

Y de forma más compacta62:

0 0i iN≤ ⊥ −∆ ≥

61 Se ha preferido usar los símbolos matemáticos en lugar del y/o para evitar confusiones con las variables. Una alternativa sería utilizar los términos ingleses and y or. 62 El sentido en que se emplea el operador ⊥ se entenderá claramente cuando se vea que puede reformularse en términos de ortogonalidad entre vectores o lo que es lo mismo de producto escalar nulo.


101

b/ Carácter disyuntivo de las restricciones de contacto. Se dice que el contacto unilateral tiene

carácter disyuntivo.

0 0i iN = ∨ − ∆ =

Teniendo en cuenta que la primera relación (de positividad de las variables ,y z ) ya estaba incluida en

las anteriores restricciones, tan sólo se ha añadido una nueva al conjunto de restricciones estáticas y

cinemáticas. La nueva restricción puede leerse: ó 0iN = ó 0i−∆ = ó ambos iguales a 0. Es decir,

adopta la forma de disyunción lógica.

0 0i rN y+≤ = ≥

0 0i rz+≤ −∆ = ≥

≤ ⊥ ≥0 y z 0

La representación grafica de estas relaciones revela el porque de la dificultad de su manejo

matemático.

Como ya se ha adelantado, escribiendo la condición de contacto como restricción de

complementariedad en función de las variables ,y z , la expresión de la condición es la misma en

todos los casos. Se trata de una restricción entre pares de variables o, si se prefiere, entre los dos

vectores que conforman estas variables. Se puede expresar indistintamente en forma de tres

restricciones:

≥⊥≥

y 0

y z

z 0

O en la forma más compacta:

≤ ⊥ ≥0 y z 0

2/ Caso de deslizamiento positivo (hacia la derecha)

En este caso las relaciones expresadas en función de las "tensiones" y "deformaciones" son: 0 ( ) 0i j ij ijtg N N Vϕ δ≤ + + − ∧ ≥

0 ( ) 0i j ij ijtg N N Vϕ δ= + + − ∨ =


102

Expresado en forma de condiciones lógicas:

( ) 0 0

( ) 0 0 ( ) 0 0

( ) 0 0

( ) 0 0

ij i j ij

ij i j ij

ij i j ijij i j ij

ij i j ij

V tg N N

V tg N NV tg N N

V tg N N

V tg N N

ϕ δ

ϕ δϕ δ

ϕ δ

ϕ δ

− + + = ∧ >

∨ − + + ≥ ∧ ≥ − + + > ∧ = ⇔ − + + = ∨ = ∨ − + + = ∧ =

O en forma gráfica, en la figura 2.57:

Figura 2.57

O finalmente de forma compacta:

0 ( ) 0ij i j ijV tg N Nϕ δ≤ − + + ⊥ ≥

Si se expresan esta últimas relaciones en función de las variables ,y z :

0 ( ) 0i j ij stg N N V yϕ +≤ + − = ≥

0 0ij szδ +≤ = ≥

Se obtiene: 0 0s sy z+ +≤ ⊥ ≥

O escrito en forma compacta:

≤ ⊥ ≥0 y z 0

Que tiene la misma forma que la relación obtenida en el anterior caso.

2.5.5 Restricciones de equilibrio

Las restricciones de equilibrio y de compatibilidad se obtienen de igual modo que para cualquier tipo

de estructura, por ello se han dejado para el final y no se va a abundar en explicaciones sobre ellas.


103

1/ Equilibrio entre fuerzas nodales y fuerzas de contacto

Para todo bloque ( , , , )A i j k l debe de establecerse el equilibrio entre las acciones (fuerzas nodales) f y

la suma de las solicitaciones en todas sus caras de contactoli

aa ij=∑s .

En notación tipo Livesley para ( , , )a ij ji ija ij N N V= → =s , es decir, el vector de tensiones as

correspondiente a la cara de contacto a con vértices ,i j tiene tres componentes , ,ij ji ijN N V , tal como

se representa en la figura 2.58 derecha.

Figura 2.58

Para escribir las ecuaciones correspondientes se convierte cada una de las tensiones al sistema de

coordenadas y criterio de signos nodales.(figura 2.59)

Figura 2.59

Siendo la fuerza F , con recta de acción pasando por i , equivalente a ( , , )Fx y OF F M , con punto de

aplicación en O y escribiendo63 las ecuaciones de equilibrio entre las acciones nodales y las

reacciones en la cara ij , las componentes horizontal y vertical del vector F serán:

63 En notación tipo Livesley


104

sen ; F cosx yF F Fα α= − =

El momento respecto a O

( )cos ( )senO O i O iM F x x F y yα α= − − − −

Teniendo en cuenta que sen( ) cos 2

πα α+ = y que cos( ) sen2

πα α+ = − se pueden escribir el vector

AijF (vector de tensiones ijs de la junta ij referido al nodo A ) y el equilibrio entre las acciones nodales

y las tensiones en la junta en forma Aij A− =F f , para un bloque con una única cara de contacto ij

(figura 2.60).

Figura 2.60

Las ecuaciones de equilibrio quedarán:

sen sen cosx ij ij ji ij ij ij xF N N V fα α α− = + + =

cos cos seny ij ij ji ij ij ij yF N N V fα α α− = − − + =

(( )cos ( )sen )

(( )cos ( )sen )

( ( )sen ( )cos )

ij A i ij A i ij

A ji A j ij A j ij A

ij A i ij A i ij

N x x y y

M N x x y y m

V x x y y

α αα αα α

− + − − = + − + − = + − − + −

Puestas en forma matricial:

sen sen cos

( )cos ( )cos ( )sen

( )sen ( )sen ( )cos

cos cos sen

ij ij ij

ij xA i ij A j ij A i ij

ji AA i ij A j ij A i ij

ij y

ij ij ij

N fx x x x x x

N my y y y y y

V f

α α αα α αα α α

α α α

+ − + − − − ⋅ = + − + − + − − −

Y de modo más compacto:

ij AHs = f

Siendo H una matriz de coeficientes que relaciona las tensiones ijs en la cara ij con las acciones Af en

el nodo A .


105

2/ Construcción de la matriz de equilibrio para un elemento

Para un bloque con contacto en todas las caras como el representado en la figura 2.61.

Figura 2.61

Realizando la misma operación y construyendo las ecuaciones de equilibrio para el bloque se obtiene:

( )...

......i

A A A Aij jk i ij A

ij ij=− + + + = − =∑F F F F f

Que puesto en forma matricial será:

Hs = f

Ésta es la clásica ecuación de equilibrio en modo matricial64, tal como se puede encontrar por ejemplo

en Livesley (1970).

La suma de las tensiones de reacción en todas las caras de contacto del bloque debe ser igual y de

sentido contrario que la de las acciones nodales actuantes sobre dicho bloque.

Si, además, se sustituye65 la matriz de equilibrio H por la transpuesta de la matriz de compatibilidad

tB y se descompone el vector de acciones de la estructura en acciones permanentes g y acciones

variables q (a las cuales se afecta de un coeficiente λ , al que se llamará factor de carga y que es el

factor por el que se multiplican las acciones variables), queda la ecuación de equilibrio en la siguiente

forma:

λ= +tB s = f g q (2.45)

64 Debe observarse que si en lugar de escribir la ecuación de equilibrio en forma Bs = f se hubiera escrito en la otra forma clásica f + As = 0 se tendría que H = -A 65 Esta sustitución se puede hacer en los casos que se detallan en el apartado 2.5.6.3


106

2.5.6 Restricciones de compatibilidad

1/ Compatibilidad entre movimientos nodales y deformaciones en las juntas

Se detallan, a continuación, cada uno de los movimientos elementales de los nodos y su relación con

las deformaciones elementales en las juntas.

a/ Traslación.

Figura 2.62

De acuerdo a la notación empleada en la figura 2.62.

Traslación horizontal xu

sen

sen

cos

ij x ij

ij x ji

ij x ij

u

u

u

ααα δ

⋅ = ∆

⋅ = ∆

⋅ =

Traslación vertical yu

cos

cos

sen

ij y ij

ij y ji

ij y ij

u

u

u

αα

α δ

− ⋅ = ∆

− ⋅ = ∆

⋅ =

b/ Rotación:

Figura 2.63


107

De acuerdo a la notación empleada en la figura 2.63.

Figura 2.63 izquierda

( ) tg ( )

( ) tg ( )

y A i A i

x A i A i

x x x x

y y y y

θ θθ θ

∆ = − − ≈ − −

∆ = − ≈ −

Figura 2.63 derecha

( )

( )cos sen ( )cos ( )sen

sen cos ( )sen ( )cos

ij y ij x ij A i ij A i ij A

ij y ij x ij A i ij A i ij A

x x y y

x x y y

α α α α θ

δ α α α α θ

∆ = −∆ + ∆ ≈ + − + − ⋅

= ∆ + ∆ ≈ − − + − ⋅

Rotación alrededor Aθ del nodo

( )( )( )

( )cos ( )sen

( )cos ( )sen

( )sen ( )cos

A i ij A i ij A ij

A j ij A j ij A ji

A i ij A i ij A ij

x x y y

x x y y

x x y y

α α θ

α α θ

α α θ δ

+ − + − ⋅ = ∆

+ − + − ⋅ = ∆

− − + − ⋅ =

2/ Construcción de la matriz de compatibilidad para un elemento

De acuerdo a la notación empleada en la figura 2.64, y componiendo las deformaciones elementales

correspondientes a cada uno de los movimientos elementales, se obtiene la ecuación de compatibilidad

para el movimiento nodal.

Figura 2.64

Escrita en forma matricial será:

sen ( )cos ( )sen cos

sen ( )cos ( )sen cos

cos ( )sen ( )cos sen

ij O i ij O i ij ij x ij

ij O j ij O j ij ij A ji

ij O i ij O i ij ij y ij

x x y y u

x x y y

x x y y u

α α α αα α α α θα α α α δ

+ − + − − ∆ + − + − − ⋅ = ∆ − − + −

De forma más compacta:

Bu = e (2.46)


108

Para hallar las deformaciones totales, en una junta entre las dos caras en contacto, es necesario

componer las deformaciones compatibles con los movimientos nodales de los dos bloques que están

en contacto en dicha junta (figura 2.65)

Figura 2.65

Restricciones de compatibilidad y regla de fluencia:

Uniendo en una sola las restricciones (2.46) y (2.44)

Bu = e

; ≥Vz = e z 0

Se obtiene:

≥Bu - Vz = 0 ; z 0 (2.47)

3/ La matriz de compatibilidad como transpuesta de la de equilibrio

Cuando las deformaciones son muy pequeñas (infinitesimales66), la matriz de equilibrio H es la

transpuesta de la matriz de compatibilidad B , Livesley (1970). Por tanto, tH = B y de este modo se

va a llamar a la matriz de equilibrio a partir de ahora.

2.5.7 Normalizacion del trabajo

Para completar los elementos necesarios, que permitan desarrollar los métodos de solución que se van

a proponer, queda un último tipo de restricción que merece una discusión detenida.

66 El hecho se basa en la correspondencia entre el arco, el seno y la tangente como infinitésimos equivalentes.


109

Como se ha dicho anteriormente, los orígenes del análisis límite en el campo de la resistencia han

llevado, con gran asiduidad, a considerar que el colapso se producirá para un factor de carga creciente

que llega a su límite superior67. Esta asunción lleva a que, en los métodos de solución basados en el

trabajo, se busque aquel trabajo máximo y, por tanto, el factor de carga máximo para el que se supone

que se producirá el colapso.

Ya se vio, al hablar de Parland, que en el caso de las estructuras de fábrica esta asunción no siempre es

acertada, sin embargo, numerosos autores como Ferris (1999-2001) incluyen como condición

necesaria, para que se produzca el colapso, que los movimientos nodales u que definen el inicio del

colapso produzcan un trabajo positivo de las "cargas vivas" (acciones nodales variables) 0t ≥q u .

En anteriores capítulos se ha visto que esto es cierto cuando las acciones son netamente

desestabilizantes, el colapso se produce al aumentar las acciones68 y en el sentido de éstas, pero no es

cierto en los demás casos.

Hay casos en que el colapso se produce al disminuir las acciones y en el sentido contrario69 a éstas.

Incluso hay casos en que se produce en ausencia de acciones variables70. En el contexto del presente

trabajo71 esta dificultad se ha resuelto dividiendo el problema en dos: uno con trabajo positivo de las

acciones variables en el comienzo de colapso y otro con trabajo negativo72.

Para el caso de aquellos sistemas de acciones que sean estables dentro de un cierto intervalo cerrado,

habrá que resolver dos problemas.

Salvo estas aclaraciones, y tanto en los párrafos anteriores como en los que siguen, se ha desarrollado

únicamente el caso del trabajo positivo. Para el caso de trabajo negativo hay que sustituir: positivo por

negativo, máximo por mínimo, superior por inferior ...

No se ha hecho así a lo largo del texto, porque resultaría confuso y tedioso, por tanto, se sigue a partir

de ahora sólo con el trabajo positivo.

Asumiendo que 0≥qu queda por resolver un último inconveniente, en los métodos de solución

basados en el trabajo se busca la solución que produzca un trabajo y por tanto un factor de carga

máximos.

67 Hay que recordar, en primer lugar, que se está ante un problema de equilibrio y que éste puede romperse tanto al aumentar el factor de carga como al reducirlo. Es un error común y ya presente desde los primeros escritos sobre el tema asimilar el problema a uno de resistencia límite, en el que el colapso solamente se produce por aumento del factor de carga. 68 Si son positivas o disminuirlas si son negativas. 69 Si el límite inferior de las acciones positivas sigue siendo positivo o el superior de las negativas sigue siendo negativo. 70 Es perfectamente posible que no haya equilibrio en ausencia de las acciones variables como se verá más adelante. 71 Ver Caveat lector! 72 Como se verá al final del capítulo existen también casos especiales en que el trabajo de las acciones variables (fuerzas vivas) es 0.


110

Ahora bien, cuando un estado de tensiones alcanza una condición límite (de cedencia), es decir,

cuando el punto que representa a dicho estado se encuentra en la superficie de cedencia, se produce

una deformación que sigue la regla de flujo, de la cual se puede conocer la dirección y el sentido pero

no el módulo.

Para un estado de tensiones de colapso, la magnitud de la deformación de colapso está indeterminada,

y, por tanto, también lo estará el trabajo de las tensiones sobre sus correspondientes deformaciones.

Para poder comparar entre sí los trabajos, producidos por las diferentes hipótesis de colapso en estudio,

es necesario algún modo de normalización que lo permita. Esto se consigue haciendo el trabajo de

acciones variables ("fuerzas vivas") igual a una cantidad fija, Ferris73 propone 1.

1t =q u (2.48)

Esta última restricción, la normalización del trabajo de las "fuerzas vivas", aunque no es una

restricción que deba de cumplir estrictamente toda solución cinemática admisible se va a incluir como

parte de éstas74, por estar íntimamente ligada a los métodos cinemáticos de resolución del problema.

2.5.8 Conservación del trabajo mecánico

Aplicando un desplazamiento virtual u a los dos términos de la ecuación (2.45) que relaciona las

acciones exteriores (permanentes y variables) y las reacciones interiores.

λ+tB s = f = g q

Y obteniendo el trabajo del sistema de fuerzas sobre este desplazamiento virtual.

( )

λ+

t t t

t t

t t t t

B s u = f u

s Bu = f u

s e = f u = g u q u

Se obtiene la ecuación de conservación del trabajo mecánico del sistema.

λ+t t tg u q u = s e (2.49)

Siendo EW λ= +t tg u q u el trabajo de las acciones exteriores (acciones nodales) y IW = ts e el trabajo

de las reacciones interiores (tensiones en las caras de contacto). La normalización, propuesta en el

apartado anterior, permite que al plantear la ecuación de la conservación del trabajo mecánico escrita

como E IW W= , se obtenga:

01

λλ λ

+ = + − = → = − +=

t t tt t t t

t

g u q u s eg u s e g u s e

q u (2.50)

Lo cual permite obtener λ como una función de la que se puede hallar un valor (y si así se desea el

máximo o el mínimo). 73 El modo en que esta normalización podría interferir con la hipótesis de pequeñas deformaciones merece una discusión más detallada pero no es el objeto de este trabajo. 74 Con todos los reparos que se han formulado sobre ella.


111

2.6 Solución de inicio de colapso

Como se ha expuesto desde el comienzo del capítulo, para la resolución del caso general no es posible

resolver separadamente un problema estático o uno cinemático sino que hay que plantear el problema

en su totalidad.

Por definición toda solución de inicio de colapso debe:

a/ Ser una solución estática admisible

s.a. λ+=≥

t

t

B s =g q

-L s y

y 0

(2.51)

b/ Ser una solución cinemática admisible75

s.a.

1=≥

t

Bu -Vz = 0

q u

z 0

(2.52)

c/ Satisfacer la relación entre soluciones estáticas y soluciones cinemáticas

≥⊥≥

y 0

y z

z 0

(2.53)

Por tanto la descripción completa76 de una solución de inicio de colapso estará sujeta al siguiente

conjunto de restricciones:

(1)s.a.

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)1

(7)

λ+=

≥⊥≥=

t

t

t

B s = f = g q

-L s y

y 0

y z

z 0

q u

Bu -Vz = 0

(2.54)

Con esta formulación de una solución de inicio de colapso es con la que se va a tratar en los capítulos

posteriores.

75 Recuérdese lo recién dicho sobre la normalización del trabajo 76 Para el caso que se va a desarrollar de factor de carga y trabajo positivos. No se va a discutir en este trabajo pero parece razonable pensar que existan métodos de resolución del problema (como por ejemplo los enumerativos) en los que no sea necesario considerar la condición (2.54) (6) como un dato necesario e inamovible de partida, sino en todo caso, y suponiendo que los resultados sean compatibles con ello, como un resultado que permitiría representar adecuadamente un mecanismo de inicio de colapso normalizado.


112

2.7 Caveat lector (lectrix)!77

2.7.1 Introducción

Antes de comenzar, en el siguiente capítulo, a exponer el método de solución del problema, es

necesario volver sobre algunos temas que ya se han apuntado con anterioridad.

El primero de ellos afecta a la parte cinemática de la formulación. La regla de fluencia solamente

permite establecer las relaciones entre las diferentes deformaciones elementales pero no su valor. En la

formulación cinemática y, por tanto, en la estático-contacto-cinemática, esto representa una dificultad

grave a la hora de comparar el trabajo producido por diversos mecanismos.

La solución dada por la mayor parte de los autores revisados ha sido asumir que el trabajo de las

acciones variables, fuerzas vivas, es estrictamente positivo y normalizarlo igualándolo a 1.

El segundo afecta en primer término a la parte estática. Recuérdese que en palabras de Kooharian:

"Las cargas admisibles son siempre una fracción de la carga requerida para producir el colapso" y,

como ya se adelantó en su momento, los métodos de análisis numéricos han venido utilizando la carga

de inicio de colapso (directamente o en otra formas, como por ejemplo, factor de carga de inicio de

colapso) como el concepto en el que se basa la comprobación de la seguridad de la estructura

analizada.

Estos conceptos de algún modo implican que hay una carga máxima que provocará el colapso y que

cualquier carga por debajo de ella será una carga segura (o admisible).

En ambos casos el hecho es cierto78 en el campo del análisis de la resistencia de una estructura, campo

desde el cual se han traído los conceptos de cálculo plástico empleados en el análisis, pero son

radicalmente erróneos en el caso del análisis de la estabilidad de una estructura.

Su inadecuación al presente caso se va a mostrar de nuevo a través de unos contraejemplos que se

comentan en los dos siguientes apartados.

El tercer tema corresponde al epígrafe que se acaba de cerrar, concretamente a que el método se ocupa,

exclusivamente, de soluciones de inicio de colapso. Cómo continúe el colapso, o no, es algo que queda

fuera de la formulación, como se verá al final de este apartado.

77 Locución latina que quiere decir "Que el lector (lectora) tenga cuidado" ó ¡Cuidado lector (lectora)! 78 Al menos hasta donde alcanza la información consultada.


113

2.7.2 Consideraciones acerca de la normalizacion del trabajo

En una solución de inicio de colapso, el trabajo interno del sistema IW , tal como se ha definido en

2.5.8, sólo puede ser nulo en el caso de los mecanismos con vuelco puro, y positivo en todos los

demás casos.

Por tanto, como se ha establecido que E IW W= , se deduce que el trabajo de las acciones exteriores

0EW ≥ o, en su formulación desarrollada, que 0λ+ ≥t tg u q u . Ahora bien, que el trabajo de las

acciones exteriores deba ser positivo (ni siquiera estrictamente positivo 0EW > ) no permite deducir

que el trabajo de las acciones variables (fuerzas vivas) deba de ser también positivo, 0λ >tq u .

Este hecho se va a presentar de nuevo mediante contraejemplos (figura 2.66)

Figura 2.66

Para intentar visualizarlo considérense los siguientes ejemplos (figura 2.66):

1º/ Un bloque sometido a su propio peso (figura 2.66/1) apoya de modo inestable en otro. El sistema

es inestable bajo el peso propio y volcaría, pero si se aplica una pequeña fuerza sobre el bloque al otro

lado del apoyo el sistema se vuelve estable, y si se sigue aumentando el valor de la fuerza, llegará un

momento en que vuelque hacia el lado contrario. En este ejemplo, tanto el valor mínimo como el

máximo del factor de carga son números positivos, y el colapso se puede producir con trabajo positivo

o negativo de las acciones variables. Por otro lado, el trabajo total de las acciones exteriores EW es

nulo, al ser el mecanismo de colapso por vuelco.

2º/ Un bloque sometido a su propio peso (figura 2.66/2) apoya sobre un plano inclinado cuya

pendiente es mayor que el ángulo de rozamiento entre ambos. El sistema es inestable bajo el peso

propio y deslizaría, pero si se aplica una pequeña fuerza horizontal sobre el bloque, al llegar a un

determinado valor de la fuerza dejaría de deslizar hacia abajo y, si se sigue aumentando el valor de la

fuerza, llegará un momento en que empiece a deslizar hacia arriba79. En este caso, tanto el valor

mínimo como el máximo del factor de carga son números positivos, y el colapso se puede producir

79 Supuesto que el ángulo que forma la fuerza horizontal con la perpendicular al plano es mayor que el de rozamiento, porque si no tampoco deslizaría hacia arriba estando el factor de carga no acotado, y siendo el trabajo siempre negativo para el único mecanismo de inicio de colapso posible.


114

con trabajo positivo o negativo de las acciones variables. Por otro lado, el trabajo total de las acciones

exteriores EW es positivo, al ser el mecanismo de colapso por deslizamiento.

3º/ Un bloque sometido a su propio peso (figura 2.66/3) apoya sobre un plano inclinado cuya

pendiente es menor que el ángulo de rozamiento entre ambos, pero suficiente para que la recta de

acción del peso propio g caiga fuera de la base del bloque. El sistema es inestable bajo el peso propio

y volcaría, pero si se aplica una pequeña fuerza horizontal sobre el bloque se obtendrán unos

resultados similares al caso 1º.

4º/ Un caso similar al 2º (figura 2.66/4), pero en el que el deslizamiento hacia arriba está impedido

geométricamente. En este caso, tanto el valor mínimo como el máximo del factor de carga son

números positivos, pero el máximo no está acotado (es ∞ ). El colapso sólo se puede producir con

trabajo negativo de las acciones variables. Por otro lado, el trabajo total de las acciones exteriores EW

será positivo, al ser el mecanismo de colapso por deslizamiento.

Pero los casos posibles no acaban en los de trabajo positivo o negativo. En la figura 2.67 se presenta

un sencillísimo ejemplo en el que el colapso puede:

1º/ Producirse por vuelco hacia la derecha con trabajo positivo de las acciones variables (figura 2.67.2)

2º/ No producirse, al estar la resultante en el interior de la cara de contacto y no violarse la condición

de rozamiento límite (figura 2.67.3)

3º/ Producirse por deslizamiento sin trabajo de las acciones variables (figura 2.67.4)

4º/ Producirse por vuelco hacia la izquierda con trabajo negativo de las acciones variables (figura

2.67.5)

Figura 2.67

Está claro que no se puede considerar como una regla general que el trabajo de las acciones variables

deba ser positivo y, por tanto, normalizable a 1. Pero, si el método de resolución incluye una parte

cinemática, en la cual haya que optimizar el trabajo, será necesario decidir una dirección de


115

desplazamiento del mecanismo, como se refleja en la formulación empleada al normalizar el trabajo,

que debe ser positivo y de valor80 1 .

Por tanto, ante la eventualidad de casos como los presentados, habría que modificar ligeramente la

formulación empleada, o descomponer el análisis del problema en dos (o tres) que impliquen

desplazamientos de los nodos afectados por las acciones variables en direcciones opuestas (o incluso

ausencia de desplazamiento), es decir, trabajos positivo, negativo y nulo.

Por último, se van a mostrar un par de contraejemplos, que ponen en cuestión una de las certidumbres

que quedaban por poner en duda.

Figura 2.68

En la figura 2.68 se representa el mismo ejemplo de la figura 2.67, pero en el que se ha añadido una

superficie de contacto superior que impide los dos modos de colapso por vuelco.

Por tanto, para los factores de carga que corresponden a dichos dos modos, estos no están acotados

porque el mecanismo correspondiente no es factible (figuras 2.68.2 y 2.68.5).

Los casos representados en las figuras 2.68.3 y 2.68.4 siguen siendo, como antes, estable y de colapso

por deslizamiento respectivamente.

Sólo hay, pues, un único modo de colapso posible, que es por deslizamiento, y que se producirá sin

trabajo de las fuerzas variables. Lo llamativo de este caso es que, en contra de lo que se podría intuir,

los factores de carga que corresponden a soluciones estables van desde +∞ a −∞ , excluyendo tan

sólo un pequeño rango de soluciones de colapso por deslizamiento en la parte central del dominio.

Sin embargo, cualquiera que haya intentado deslizar un tubo largo a través de una abertura muy

ajustada e inclinada, reconocerá como una sensación acertada que la aplicación de grandes fuerzas

perpendiculares al tubo, en uno u otro sentido, tienden a bloquear el deslizamiento; mientras que la

aplicación de fuerzas muy pequeñas, lo facilitan.

80 Esta condición debe de considerarse como una convención para poder comparar las diferentes soluciones


116

Figura 2.69

Finalmente, se puede mostrar que incluso existen casos (figura 2.69) en los que:

1º/ Se logra el equilibrio con el peso propio g y en ausencia de acciones variables 0λ =

2º/ Existe un intervalo de valores de λ positivos de 1 2λ λ λ≥ ≥ para los cuales se produce el colapso

(zonas punteadas y polígonos de fuerzas de la derecha)

3º/ Y, sin embargo, para valores de λ mayores o menores de los contenidos en el intervalo de colapso

hay equilibrio, estando los valores de maxλ y minλ no acotados (es decir pueden valer +∞ y −∞ ).

Por tanto quedan dos intervalos de estabilidad separados 2λ λ+∞ ≥ ≥ ; 1λ λ≥ ≥ −∞ .

Más adelante, en el texto se va a aceptar, y utilizar como caso más habitual, que cuando la estructura

es estable sometida exclusivamente a su propio peso habrá un intervalo de estabilidad de las cargas

con un máximo positivo y un mínimo negativo, dentro del cual todas las soluciones son estables y

siendo, por el contrario, de colapso todas las soluciones exteriores al intervalo. Sin embargo, en el

contraejemplo que se acaba de mostrar esto no es así.

Todo lo expuesto hasta el momento, hace que no parezca probable que para el caso general se puedan

llegar a establecer unos teoremas de potencia ni tan siquiera parecida a los del Análisis Límite

Estándar. Por el contrario, para casos particulares, e incluso para amplios rangos de casos con

determinadas características, si podrán establecerse conclusiones de ese tipo.

El conjunto de los contraejemplos propuestos en este capítulo muestran que algunas de las hipótesis

consideradas como ciertas, y adoptadas como reglas generales, deben de ser rebajadas de calificación

y ser consideradas tan sólo como heurísticas (reglas que generalmente dan buenos resultados)81.

81 En este sentido los razonamientos desarrollados en los capítulos posteriores se limitan al caso en que hay equilibrio en ausencia de acciones variables y el colapso sólo se puede producir aumentando el factor de carga, la extrapolación al caso general es relativamente inmediata dividiendo el problema en dos (uno aumentando y otro disminuyendo el factor de carga) y tomando como origen un factor de carga correspondiente a soluciones de equilibrio aunque dicho factor de carga sea distinto de cero.


117

Puede pensarse que los ejemplos son muy rebuscados, y que tienen poco que ver con las estructuras

reales, puede ser cierto cuando se analiza el riesgo de colapso global de una estructura pero no para

determinados casos de colapso local. Además, hay un caso relacionado con los anteriores y que es de

especial importancia, como se verá a continuación.

2.7.3 Análisis Límite vs. Análisis de Estabilidad.

En el caso del análisis de estabilidad de una estructura y, más aún, en el caso de una estructura cuyo

material se ha caracterizado como "unilateral", no sólo es posible que se produzca el colapso porque el

factor de carga sea demasiado alto sino también, aunque no sea tan frecuente, se puede producir

porque sea demasiado bajo (figura 2.70 izquierda).

Tal hecho ha sido expuesto sobre todo por autores ajenos al campo del cálculo numérico, como

Parland o el propio Heyman, ocurriendo en muchas situaciones que el riesgo no proviene de aumentar

una carga sino de retirarla.

Este hecho, que resulta evidente al realizar un análisis gráfico de la situación, puesto que la línea de

empujes puede salirse tanto por un extremo u otro de la dovela, no es tan obvio cuando se realiza un

análisis numérico.

Aunque algunos de los autores citados, pero no todos, realizan el análisis en dos etapas, la primera

comprobar que el sistema es estable con su peso propio y la segunda obtener el factor de carga

"máxima" de colapso que "garantizaría" la seguridad, queda por saber cuán cerca está la estructura

sometida a su propio peso de alcanzar la situación de carga "mínima" de colapso.

Figura 2.70

Volviendo sobre los ejemplos anteriores, supóngase ahora el mismo sistema pero con una pendiente

ligeramente menor que el ángulo de rozamiento (figura 2.70 derecha).

El sistema será estable aunque estará a punto de colapsar bajo peso propio, y tendrá el mismo límite

superior para la carga inclinada.

Un análisis numérico basado en el concepto de carga segura como una fracción de la carga de colapso,

aunque se compruebe además el sistema bajo el peso propio, llevaría a la, radicalmente errónea,

conclusión de que el factor de carga más seguro es aquel que más se aleja del límite superior hallado, y

por tanto el que más se acerca a la actuación exclusiva del peso propio.


118

En la figura 2.71 se presenta un ejemplo de Parland, en el que se discuten conceptos similares para el

caso de un arco con dos cargas.

Figura 2.71

Igual que en el caso de la normalización del trabajo, se podría pensar que los ejemplos son puramente

académicos y muy rebuscados. No obstante, en la práctica se dan ejemplos más complicados del

mismo tipo. Supóngase un puente formado por una rosca de sillares de piedra y un relleno superior. Es

necesario actuar en el trasdós de la piedra, para lo cual se debe apoyar sobre el puente el peso de una

retroexcavadora y retirar parcialmente el relleno. La comprobación debe incluir, no sólo si el puente es

capaz de permanecer estable bajo la sobrecarga de la maquinaria sino también si el sistema permanece

estable al retirar el relleno.

Ejemplos menos fáciles de visualizar, pero igualmente reales, pueden ser los de las descargas

producidas en estructuras a consolidar por medio de la colocación de apeos. Un apeo colocado en un

lugar incorrecto puede ser la causa final del hundimiento de la estructura a reparar.

En las estructuras de fábrica hay muchos casos en los que los pesos de los elementos actuantes son

estabilizantes, y se puede provocar el colapso tanto aumentando desmesuradamente las cargas como

retirándolas. Esto que puede parecer tan improbable ha sucedido a finales de los años noventa del

pasado siglo. Es el caso de la cúpula de una iglesia, que estaba "sufriendo" obras de restauración y que

se hundió al retirar el relleno de trasdós de los riñones de la cúpula para proceder a su refuerzo.


119

Por todo ello, se propone la sustitución del concepto de factor de carga82 (más apropiado para los

problemas de resistencia) por el concepto de intervalo de estabilidad de las cargas .

El concepto de intervalo de estabilidad de una carga es tal vez el más importante de los que han

aparecido a lo largo de estas páginas, pues afecta no sólo a las estructuras cuyo fallo se produce por

deslizamiento, sino a todas las estructuras de fábrica.

En beneficio de una mejor comprensión, se va a plantear el concepto sobre un ejemplo puramente

académico y en el que el inicio del colapso se produce por vuelco puro. Olvídese, por un momento, la

idea de que el factor de carga λ debe ser un número positivo y considérese el caso de la figura 2.72.

Figura 2.72

Siguiendo el procedimiento típico, se comprobaría primero que la estructura es estable con únicamente

las acciones permanentes (lo cual es obvio porque la línea de acción del peso propio cae en el interior

de la cara de contacto). A continuación, se hallaría el valor máximo del factor de carga que provoca el

inicio de colapso (figura 2.72.3). Siguiendo los criterios tradicionales, se consideraría que el factor de

carga será tanto más seguro cuanto más se aleje de su valor máximo.

Sin embargo, éste es un grave error, cuando 0λ = la resultante λ+g q = g está a punto de salirse por

el lado izquierdo de la cara de contacto (figura 2.72.1). El valor del factor de carga de máxima

estabilidad corresponderá al del punto de paso de la resultante por el centro de la cara de contacto.

Este valor está comprendido en el interior del intervalo de valores de min maxλ λ λ≥ ≥ aunque no

necesariamente en el centro de dicho intervalo.

Por tanto, salvo en los casos raros en que el intervalo de estabilidad no es único, se puede plantear un

modo de comprobar la estabilidad mejor que el citado y con el mismo coste computacional.

En lugar de comprobar con 0λ = y hallar maxλ , se halla minλ y maxλ .

Si uno de ellos es positivo y otro negativo, la solución con 0λ = estará incluida en el intervalo. Se

obtienen, además, los dos valores extremos de λ y, viendo la posición del factor de carga a comprobar

respecto de ambos, se tiene una mejor idea de la seguridad de la estructura. Si por el contrario ambos

son positivos o ambos negativos, la estructura no es estable sometida a las acciones permanentes y,

82 Para los casos que pueden tratarse mediante Análisis Límite Estándar, se han propuesto recientemente métodos que evitan la utilización del concepto de factor de carga, sustituyéndolo por otros criterios más robustos, Cervera (2010a y 2010b)


120

además, habrá que tener en cuenta que existirán soluciones de colapso con trabajo tanto positivo como

negativo de las acciones variables.

En el caso, más complejo, en que el rozamiento sea finito, no nulo y no sea asociativo, hallar el rango

de soluciones de inicio de colapso, que ya no serían necesariamente únicas (una máxima y otra

mínima), dificultaría la solución del problema en términos de coste computacional, pero no de

procedimiento a emplear.

2.7.4 Limitación del método al inicio de colapso

El método propuesto se limita a la obtención de las soluciones para las cuales puede iniciarse el

colapso. Por ejemplo, considérese el caso de la figura 2.73.

Figura 2.73


121

En ella se representa gráficamente el equilibrio límite de un arco construido con un material cuyo

ángulo de rozamiento es 30ºϕ = .

En la figura 2.73.1 se representa una de las posibles soluciones de inicio de colapso para la cual podría

iniciarse el colapso, pero hay otras posibles soluciones que también son de inicio de colapso para una

carga menor.

En la figura 2.73.2 se representa la solución de inicio de colapso que corresponde a la menor carga. El

colapso puede iniciarse bajo la acción de cualquiera de estas cargas límites incluida la menor.

Suponiendo que el colapso se inicia para la carga menor de todas, y que se desarrolla de modo cuasi-

estático83, en un momento dado llegará a la situación representada en 2.73.3. En esta última situación,

la carga mínima, que puede producir el colapso, será la considerada como una de las posibles en

2.73.1.

Llevando adelante el procedimiento, se puede comprobar que según desciende la clave, cada vez es

necesaria una mayor carga mínima para que el colapso continúe, o se inicie de nuevo. En otros casos,

sin embargo, la carga mínima disminuirá o se mantendrá inalterada.

El método propuesto sólo permite considerar el estado inicial de la geometría sometido a

deformaciones infinitesimales. Si se desea considerar el desarrollo del colapso con posterioridad a su

posible inicio, caben dos opciones: un planteamiento dinámico o un planteamiento incremental cuasi-

estático. Este último, se puede implementar en un procedimiento iterativo, admitiendo la hipótesis de

pequeñas deformaciones y tomando la geometría de la deformada como nueva geometría inicial.

2.7.5 Conclusiones (de Caveat Lector)

Resumiendo las advertencias hechas y los resultados obtenidos en los últimos apartados se concluye

que:

El inicio de colapso se puede producir tanto para valores positivos como negativos del factor de carga

y tanto para valores máximos como mínimos del factor de carga.

El inicio de colapso se puede producir tanto para valores positivos como negativos e incluso nulos del

trabajo de las acciones variables (fuerzas vivas).

83 Es decir tan lentamente que se puede despreciar el efecto de la aceleración


122

Por tanto, se debe prestar especial atención a cada caso particular, siendo preferibles, para la

resolución del problema, métodos que den una información lo más amplia posible acerca del espacio

de soluciones.

Debe, no obstante, advertirse que algunos de los casos más extremos, de los que se han presentado, es

muy improbable que se produzcan en estructuras con un mayor número de piezas, al menos, cuando lo

que se estudia es la probabilidad de colapso global, como se verá en capítulos posteriores.

El método propuesto permite identificar soluciones de posible inicio de colapso. Este resultado está

claramente del lado de la seguridad, pero, si se consideran admisibles las deformaciones

correspondientes, una vez obtenidas, puede ser conveniente comprobar si es posible que el colapso

continúe. Para ello, se puede volver a aplicar el método a un nuevo modelo con la geometría de la

deformada.

Capítulo 3

Los problemas de contacto como problemas

de complementariedad: el método

3. Los problemas de contacto como problemas de complementariedad: el método

124


125

3.1 Introducción

3.1.1 Antecedentes

Desde que Kooharian (1953) demostrara la adecuación y la conveniencia de aplicar los teoremas

fundamentales del cálculo plástico al análisis de estructuras de fábrica, los teoremas límites (figura

3.1) han permitido hallar soluciones seguras (teorema estático), soluciones inseguras (teorema

cinemático) y asegurar que en el punto de acumulación entre ambas se encuentra el valor, que es único

(teorema de la unicidad)1, de la auténtica carga de inicio de colapso.

Figura 3.1 (Gilbert 2007)

Estos teoremas han sido extensamente aplicados en la resolución de diversos casos, debiendo destacar

en este sentido la obra de Heyman (1966).

Desde los primeros momentos, análisis límite (estándar) y programación matemática (lineal) han

estado relacionados. Charnes y Greenberg (1951) establecen la equivalencia, para cerchas, de los

problemas duales de programación lineal y de los principios "estático" y "cinemático" del colapso

plástico, establecidos previamente por Horne (1950) y por Greenberg, Prager y Drucker (1952).

Charnes, Lemke y Zienkiewicz (1959) extienden la equivalencia a los pórticos. Esta equivalencia nos

permite hallar los valores extremos de las soluciones seguras (teorema estático-programa primal) o de

las inseguras (teorema cinemático-programa dual) y obtener la auténtica carga de inicio de colapso

(teorema de unicidad).

1 La carga es única pero la solución no lo es necesariamente


126

Sin embargo, Drucker (1953) había señalado sus limitaciones para los casos en los que el colapso se

produce al menos en algún punto por deslizamiento (figura 3.2).

Figura 3.2 (Drucker 1953)

El presente capítulo va a tratar de las relaciones entre Análisis Límite y Programación Matemática así

como de las características del problema general, que no permiten limitarlo al caso especial de la

programación lineal.

Dado que el presente capítulo es el más puramente matemático (y menos físico) del trabajo, se ha

intentado ilustrarlo a base de ejemplos geométricos fáciles de entender y que, no obstante, muestran

claramente la complejidad del problema.

3.1.2 Las condiciones de contacto como origen de la dificultad del problema

Tal y como se concluía en el capítulo anterior, toda solución de inicio de colapso debe de:

1º Ser una solución estática admisible.

2º Ser una solución cinemática admisible.

3º Cumplir las condiciones de "contacto2 unilateral3"

Si se consideran por separado los modelos estático y cinemático, es difícil entender donde radica la

dificultad del problema y resolverlo.

Las ecuaciones de equilibrio y las de compatibilidad constituyen sistemas de ecuaciones lineales.

; λ= +tB s = f g q Bu = e

Las restricciones de cedencia y fluencia, y la normalización del trabajo son sistemas de ecuaciones e

inecuaciones, lineales en el caso de estructuras planas (con solicitaciones en su plano), y una mezcla

de lineales y cónicas de segundo orden en el caso de estructuras tridimensionales.

; ; ; 1≥ ≥ =t t-L s = y 0 Vz = e z 0 q u

Incluso aunque se consideren unas condiciones de cedencia no simplificadas, con una superficie límite

parabólica, dicha superficie sigue definiendo un dominio convexo y además fácilmente linealizable.

2 Las condiciones de Signorini (1933) se refieren al contacto (impenetrabilidad, necesidad de alcanzar el límite de las “tensiones” antes de iniciarse el movimiento...). 3 Georges Duvaut (1972) p.151-158 0, 0, 0N N N Nu uσ σ≤ ≤ ⋅ =


127

Igualmente, considerar una resistencia a tracción limitada, pero no nula, únicamente supone un

desplazamiento de la superficie límite respecto al origen, lo cual no cambia la naturaleza del problema

a resolver.

Por tanto, en aquellos casos en los que las condiciones del problema permiten un planteamiento

exclusivamente estático o exclusivamente cinemático, la obtención de la “carga de inicio de colapso”

se reduce a la resolución de un programa lineal (a elegir entre dos duales (3.1)) en el caso plano, y un

programa cónico de segundo orden en el caso tridimensional.

s.a.

Máx.

s.a.

Mín. 1

λλ

+=≥

=≥

t

t

t t

B s =g q

-L s y

y 0

Bu -Vz = 0

g u q u

z 0

(3.1)

Los dos tipos de programas son convexos y, por tanto, tienen un único valor óptimo que corresponde

con una “única carga de inicio de colapso”. Además, un programa cónico se puede reformular

fácilmente linealizándolo, con toda la precisión que se desee, como un programa lineal.

La obtención de una solución segura o insegura es aún más sencilla, bastando hallar cualquier solución

que cumpla el correspondiente conjunto de condiciones, estáticas para la segura y cinemáticas para la

insegura.

Absolutamente todas las condiciones introducidas en los modelos considerados separadamente, tanto

en los estáticos como en los cinemáticos, son lineales o convexas y, por lo tanto, linealizables.4

Las condiciones que hacen difícil la resolución del problema son las de "contacto" que, como se ha

visto anteriormente, son las que ligan las condiciones estáticas y cinemáticas en los puntos de contacto.

Esto se debe a que están constituidas, incluso en la más sencilla de las formulaciones posibles, por

ecuaciones que no son ni lineales, ni convexas, ni suaves5, (para un único par de variables, figura 3.3).

Figura 3.3

4 Es más, desde un punto de vista ingenuo considerando el modelo cinemático separadamente, parecería más sencillo el caso del deslizamiento de Coulomb que está contenido en un plano que el del deslizamiento asociativo que está contenido en un cono 5 No son diferenciables en todos sus puntos.


128

Dado que la naturaleza del problema no cambia sustancialmente, al menos a efectos de análisis de

estructuras antiguas de fábrica, aunque se considere una resistencia a compresión limitada, o una

resistencia a tracción no nula, o, incluso, una estructura con geometría o acciones tridimensionales, el

desarrollo se centrará6 en el caso más sencillo, dejando que tome protagonismo la condición crucial

del problema que es la de contacto.

Una condición de "contacto" puede expresarse en la siguiente forma:

Hasta que el “estado de tensiones” en un punto de contacto no alcanza su valor límite respecto a una

de las condiciones de cedencia (hasta que su “holgura” iy no se haga cero) no puede iniciarse la

correspondiente “deformación” elemental (el correspondiente “multiplicador plástico”iz no puede

hacerse mayor que cero) en dicho punto de contacto.

Para cada par de variables ,i iy z , correspondientes a la holgura respecto a una restricción de cedencia

concreta y su correspondiente multiplicador plástico, ambas variables están obligadas a ser mayores o

iguales que cero, pero como máximo una de ellas puede ser mayor que cero, o lo que es lo mismo al

menos una de ellas debe de ser cero (3.2).

0 ; 0 0 ; 0i i i iy y z z≤ = ∨ = ≥ (3.2)

Este carácter disyuntivo de la condición, o una variable es cero o la otra es cero o ambas son cero, es

el que hace difícil la solución del problema. Por otro lado, ni siquiera la disyuntiva es simple (o lo uno

o lo otro), sino que existe un tercer caso en que ambas variables son cero (vértice de la figura 3.3).

Figura 3.4

6 A partir de este punto, todo el desarrollo de fórmulas se referirá al caso de estructuras planas con cargas en su propio plano y restricciones de cedencia y reglas de fluencia lineales o linealizadas. Tampoco se considerarán resistencias a tracción o por cohesión por los motivos de claridad ya apuntados. Ocasionalmente, pero sin desarrollarlos, se introducirán párrafos y referencias relativas al problema general "extendido"


129

Las condiciones de contacto son aplicables tanto en caso de inicio de colapso como en caso de no

haber llegado a alcanzarse éste. Observando en la figura 3.4 el caso de la izquierda (ESTABLE) se

aprecia que las condiciones de contacto se cumplen, sin embargo, no es una solución de inicio de

colapso, puesto que no es una solución de equilibrio límite ni un mecanismo válido.

Por otro lado, las condiciones de contacto son aplicables tanto al caso de plasticidad no asociativa

como al de asociativa, esto es debido a que su origen está en el carácter unilateral del contacto y no en

la relación entre los ángulos de rozamiento y deslizamiento.

Una de las formulaciones matemáticas posibles de estas condiciones es como restricciones de

complementariedad.

≤ ⊥ ≥0 y z 0 (3.3)

Debido a ello la obtención de una "solución de inicio de colapso" puede formularse como un Problema

de Complementariedad (CP), como por ejemplo hizo Per Lotstedt (1982)

En el caso general un LCP (un CP lineal) puede: no tener solución, tener una solución o tener

múltiples soluciones, como se mostrará más adelante. En lo que resta de capítulo se planteará cómo

obtener una solución de inicio de colapso o, lo que es lo mismo, una solución del LCP.

3.1.3 La programación matemática como método de resolución: Programación lineal y

no lineal.

1/ Programación matemática:

La programación matemática es el estudio o el uso de los programas matemáticos. Un programa

matemático comúnmente7 consiste en hallar el óptimo (máximo o mínimo) de una función sujeta, o no,

al cumplimiento de un conjunto de restricciones sobre sus variables.

La forma que generalmente adopta es:

Máx.f( ) : X,g( ) 0,h( ) 0x x x x∈ ≥ = ó Min.f( ) : X,g( ) 0,h( ) 0x x x x∈ ≥ =

Siendo por otra parte

Máx.f( ) Mín. f( )x x≡ −

Por lo cual resulta irrelevante referirse sólo a uno de los dos casos. A partir de este momento, la

referencia será generalmente al caso de minimización.

7 Aún cuando existen áreas que se desvían de este paradigma, tales como: Optimización multiobjetivo, Programas aleatorizados, Programas estocásticos, Programación de objetivos, Programas matemáticos "borrosos".... De éstas y otras extensiones no se va a tratar en este trabajo.


130

La programación matemática incluye, no sólo a los programas matemáticos propiamente dichos sino

también a todos los hechos que los rodean y, por tanto, y en un lugar destacado, a las condiciones de

optimalidad de estos programas.

En el presente capítulo se va a trabajar con uno de estos tipos de programas y con dos de los modos de

expresar las condiciones de optimalidad, por lo cual se requiere aclarar algunos conceptos clave.

2/ Programación lineal:

Se llama a f ( )x función objetivo y a g( ),h( )x x restricciones, definidas para variables Xx ∈ . Se

denomina solución factible a aquella que cumple todas las restricciones. Se llama solución óptima

(mínima) a aquella solución factible para el cual el valor de la función es menor o igual que la de

cualquier otra solución factible. Se llama óptimo (mínimo) al valor de la función para la solución

óptima (mínima).

Un programa lineal es aquel en que tanto la función objetivo como las restricciones son lineales:

{ } Min.f( ) : g( ) 0,h( ) 0; X

f( ),g( ),h( ) funciones lineales de

x x x x

x x x x

≥ = ∈∈

Figura 3.5

Una desigualdad lineal g( ) 0x ≥ divide el espacio en el que está definida nℝ en dos semiespacios, el

que cumple la condición y el que no (figura 3.5 izquierda).

Un conjunto de n desigualdades, que cumplan ciertas condiciones de independencia y no paralelismo,

definen un cono en nℝ (figura 3.5 centro).

Un conjunto de al menos 1n + desigualdades (que cumplan las citadas condiciones) definen un

poliedro convexo en nℝ . Si este poliedro es cerrado se le da el nombre de politopo (figura 3.5

derecha). Si además de ser cerrado está definido por estrictamente 1n + desigualdades se le llama

simplex.

En resumen, cualquier número de desigualdades lineales definen, o bien una región del espacio

convexa, en la cual se cumplen todas las condiciones, o bien el conjunto vacío cuando no exista

ningún punto que las cumpla todas.


131

Por otro lado, una igualdad lineal define en nℝ una región del espacio de dimensión 1n−

ℝ , si se la

refiere a su propio sistema de coordenadas. Así, en el plano define una recta o en el espacio 3D un

plano.

La intersección de una igualdad lineal con un poliedro de dimensión n en nℝ define un poliedro de

dimensión máxima 1n − (salvo que no tengan ningún punto en común).

Limitando el caso a los politopos existe una definición alternativa de estos como la envolvente

convexa de todos sus vértices. Se dice que la definición de un politopo mediante sus vértices o

mediante las desigualdades son duales una de la otra. Ambas son equivalentes y existen métodos para

pasar de una a otra. Dichos métodos son la base de algunos de los procedimientos enumerativos que se

describirán más adelante.

La programación lineal se ocupa de hallar un óptimo (mínimo o máximo) de una función lineal f( )x en

la región del espacio convexa limitada por uno de estos conos o poliedros que son definidos por un

conjunto de restricciones lineales (figura 3.6).

Cuando el conjunto de puntos que cumplen las restricciones es el conjunto vacío { } se dice que el

programa no es factible.

Si en la dirección y sentido en que la función alcanza su óptimo el poliedro no está cerrado se dice que

el problema no está acotado.

Si todas las variables x son reales x∈ℝ recibe el nombre de programa lineal8 ó LP ("Linear

Program").

Figura 3.6

8 O a veces, Programa Lineal continuo, por oposición a los demás casos que son en mayor o menor medida discretos. Un problema de optimización con variables discretas es conocido también como Problema de Optimización Combinatoria


132

Considérese el siguiente ejemplo:

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

Min 3 S.A. 3 4 12 0 (a)

2 2 0 (b)

2 6 0 (c)

0 ; 0 (d)

y y y y

y y

y y

y y

+ − + ≥− + + ≥

+ − ≥≥ ≥

Figura 3.7

La solución de un LP siempre se encuentra en algún punto de la envolvente externa del poliedro, ya

sea en un vértice, en una arista (incluyendo sus dos vértices), en una cara (incluyendo sus aristas y

vértices) (figura 3.7)

Por otro lado, dado que se trata de una función lineal definida dentro de un perímetro convexo,

cualquier método de optimización local capaz de manejar restricciones, incluidos los de descenso

directo, obtendrá siempre el valor óptimo de la función.

El LP es el más sencillo de entre los programas convexos de optimización y puede ser acometido con

éxito por una multitud de métodos (figura 3.8)

Figura 3.8

Existen dos tipos de métodos especialmente adecuados. Pertenecientes al primer tipo (de pivotado

como los que se verán para el LCP) son el Simplex y sus sucesivas revisiones9, éstos son los métodos

más exactos y teóricamente más adecuados para problemas de tamaño no muy grande.

9 Ver Dantzig 1997a y 1997b


133

Del segundo tipo son los Métodos de Punto Interior IPM ("Interior Point Methods), más adecuados

para grandes problemas10.

No obstante, el objeto de este trabajo no es ahondar en los algoritmos de resolución de un LP, se da

por hecho que existen eficientes programas de resolución, incluso para programas de gran tamaño y

que, además, están en el dominio público disponibles para cualquier labor de investigación.

Sí es su objeto, por el contrario, mostrar el modo en que pueden ser empleadas estas eficacísimas

herramientas para resolver problemas como los que se van a estudiar y que, en el caso más general, no

son lineales.

Los LP son fáciles de resolver y bastan por si solos para los problemas que se puedan tratar como

puramente estáticos o puramente cinemáticos, utilizándose además como herramienta básica en la

resolución de programas lineales enteros o mixtos, programas no lineales y problemas de

complementariedad, entre otros muchos.

3/ Programación lineal no continua

Existen otros tipos de programas lineales mucho más difíciles de manejar en los que no todas las

variables son reales.

Su clasificación y, por tanto, el nombre que reciben depende de los tipos de variables que incorporan,

de acuerdo a esto un programa lineal11:

Si las variables x son todas enteras, x ∈ℤ , recibe el nombre de programa lineal entero ó ILP

("Integer Linear Program").

Si las variables x son todas 0 ó 1, [0,1]x∈ , recibe el nombre de programa lineal binario, BLP

("Binary Linear Program") ó programa lineal entero 0-1, ILP 0-1 ("Integer Linear Program 0-1")12.

Si parte de las variables x son reales ix ∈ℝ y parte son enteras jx ∈ℤ recibe el nombre de programa

lineal entero mixto ó MILP ("Mixed Integer Linear Program").

Finalmente, si parte de las variables x son reales ix ∈ℝ y parte son 0 ó 1, [0,1]jx ∈ recibe el nombre

de programa lineal binario mixto, MBLP ("Mixed Binary Linear Program") ó programa lineal entero

mixto 0-1, MILP-01 ("Mixed Integer Linear Program 0-1").

Una aplicación de este último tipo se verá en el siguiente capítulo.

10 Ver por ejemplo Vanderbei (2001) 11 Con función objetivo y restricciones lineales 12 Resulta más clara la notación 0-1 que la sustitución de la I por B y así se va a emplear en adelante para evitar confusión con los acrónimos de los programas bilineales


134

3.2 Presentación como problema de complementariedad

3.2.1 Problemas de complementariedad: conceptos fundamentales

La restricción de complementariedad ≤ ⊥ ≥0 y z 0, en la que y,z son vectores en nℝ y el símbolo ⊥

denota ortogonalidad, juega un papel fundamental en programación matemática13.

Esta restricción de complementariedad puede ser escrita de diversas formas:

1 1 2 2

( )

0 0 0 0 ( )

0 ( )

0 ( ...) 0 0 ( )

i i i i

i i

a

y y z z b

c

y y z y z z d

≤ ⊥ ≥≥ = ∨ = ≥≥ ⋅ = ≥≥ + + = ≥

0 y z 0

y 0 y z z 0

Muchos problemas pueden ser formulados usándola, por ejemplo, gran parte de las condiciones de

óptimo de los programas matemáticos (Murty 1977), así como muchos problemas en economía (Ferris

1997) e ingeniería mecánica (Ferris 1997,Tin-Loi 1999). Casos típicos de estos últimos son las leyes

plásticas y las condiciones de contacto o asimilables a ellas.

En el caso en que todas las restricciones del problema sean lineales, con excepción de la de

complementariedad, se habla de un programa de complementariedad lineal ó LCP ("Linear

Complementarity Problem")

Al ser un problema central en la teoría de la Programación Matemática, el LCP ha sido ampliamente

tratado en la literatura. Libros clásicos sobre el tema son los de Cottle (1992) y Murty (1977); y en el

prólogo del primero se dice que, hasta su fecha de redacción, se habían escrito más de mil artículos

sobre el tema.

En sentido amplio, un LCP es el problema de hallar una solución sujeta a un conjunto de restricciones,

todas ellas lineales, definidas en una serie de variables entre las cuales se encuentran las ,y z , que

están restringidas a ser no negativas 0 ; 0x y≥ ≥ y entre las que se establece la restricción de

complementariedad expresada en una de las formas arriba citadas.

La obtención de una solución para un LCP genérico es un problema difícil y, sin embargo, la

formulación del LCP no puede ser más simple.

13 Chen (1995)


135

El mejor modo de verlo es a través de algunos ejemplos de problemas de complementariedad lineal

muy sencillos:

2 0 2 0 2 0 2 0

1 0 1 0 2 0 3 0

1 0 2 0 2 0 2 0

0 ; 0; 0 0 ; 0; 0 0 ; 0; 0 0 ; 0; 0

sin solución 1 solución 2 soluciones solucio

( , ) (0,2) ( , ) (2,0)

( , ) (0,2)

y z y z y z y z

y y y y

z z z z

y yz z y yz z y yz z y yz z

y z y z

y z

+ − ≥ + − ≥ + − ≥ + − ≥− + ≥ − + ≥ − + ≥ − + ≥− + ≥ − + ≥ − + ≥ − + ≥

≤ = ≥ ≤ = ≥ ≤ = ≥ ≤ = ≥∞

= ==

nes

( , ) ([2..3],0)

( , ) (0,2)

y z

y z

==

Cómo se puede obtener una solución, así como la complejidad de obtenerla, se verán más adelante,

pero la comprobación de los resultados de los cuatro problemas anteriores es elemental si se los

representa gráficamente (figura 3.9)

Figura 3.9

Como se puede observar, un problema de complementariedad puede no tener solución, tener una

solución o tener múltiples soluciones pero no tiene un óptimo, ni una solución que sea mejor que otra.

En el ejemplo representado anteriormente hay restricciones distintas de la de complementariedad, en

las cuales se mezclan variables ,x y , pero, para el problema en estudio tiene mucho más interés un

caso particular de LCP conocido como LCP-disjunto o no acoplado, en el cual hay dos grupos de

restricciones lineales que no comparten variables, siendo la restricción de complementariedad la única

que tiene variables de los dos grupos.

Un simple ejemplo de problema de complementariedad disjunto es el siguiente:

1 2 1 2

1 2 1 1 1 2

1 2 2 2 1 2

1 2 1 2

3 4 12 0 (a) 2 8 0 (e)

2 2 0 (b) 0 (i) 2 2 0 (f)

2 6 0 (c) 0 (j) 4 0 (g)

0 ; 0 (d) 0 ; 0 (h)

y y z z

y y y z z z

y y y z z z

y y z z

− + ≥ − + + ≥− + + ≥ = − + ≥

+ − ≥ = + − ≥≥ ≥ ≥ ≥

Un punto factible es el que cumple las condiciones (a) a (h), sin incluir necesariamente la de

complementariedad, por ejemplo:

1 2 1 22, 3, 4, 1y y z z= = = =


136

Éste se representa en la figura 3.10. Al tratarse de un único punto, representado sobre dos espacios de

variables disjuntas, la primera mitad de las coordenadas del punto pertenecerá a uno de los espacios y

la segunda mitad al otro.

Por supuesto, el punto podría representarse en un único espacio con todas las variables y, por tanto,

con número de dimensiones doble que cada uno de ellos, pero esto sería mucho menos ventajoso, por

no sacar partido de la peculiaridad del problema y, además, impediría su representación gráfica.

Figura 3.10

Resulta preferible definir cada uno de los "medios puntos" en su propio espacio disjunto, y obtener con

posterioridad los puntos completos. El conjunto de todos los puntos factibles Fact se puede obtener

como resultado del producto cartesiano de los dos conjuntos de "medios puntos" disjuntos.

{ }{ }{ }{ }

{ }

1 2

1 2

1 2 1 2

Y ( , ) cumplen (a),(b),(c),(d)

Z ( , ) cumplen (e),(f),(g),(h)

Fact ( , , , ) Y Z

y y

z z

y y z z

≡

≡

≡ ∈ ×

(3.4)

Siendo Y Z× el producto cartesiano de los conjuntos Y,Z .

Si { }Fact≡ , es decir, si no existe al menos un punto factible el problema no tiene solución, pero la

inversa no es cierta.

La restricción de complementariedad expresada en (d), (h), (i) y (j) se puede escribir de forma

equivalente:

{ }1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 20 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 0y z y z y y z z y z y z= = ≥ ≥ ≥ ≥ → + =

Una solución al problema tiene que ser un punto factible que, además, cumpla la restricción de

complementariedad. Y el conjunto de todas las soluciones Sol se puede escribir:

{ }1 2, 1 2 1 1 2 2Sol ( , , ) Fact 0y y z z y z y z≡ ∈ + =

{ }1 20 ; 0 Sol (0,3,4,0)y z= = → ≡

En el ejemplo presentado el problema tiene una única solución.


137

Como primera aproximación se propone un método de resolución "ingenuo". Al igual que en el caso

del LP, cualquier posible solución debe encontrarse en la envolvente externa de los politopos. Ésta

envolvente incluirá necesariamente los vértices.

El método consiste en obtener los vértices de ambos politopos:

{ }{ }

1 2

1 2

( , )

( , )

Vert (0,3),(2,2),(4,6)

Vert (4,0),(2,2),(6,4)

y y

z z

≡

≡

Y buscar los vértices que cumplan la condición de complementariedad:

{ }1 2, 1 2 1 1 2 2Sol ( , , ) 0y y z z y z y z≡ + =

A partir de este punto son posibles dos caminos, el primero de ellos enumerativo comprobando todos

los vértices.

1 2 1 2 1 2 1 2( , , , ) ( , ) ( , )Vert Vert Verty y z z y y z z≡ ×

Lo cual supondría comprobar 9 vértices (figura 3.11)

El segundo se realiza sobre un árbol binario de búsqueda, hallando los valores 0 en cada par de

variables complementarias, lo que supone 4 comprobaciones.

{ }{ }

{ }{ }

1 2

1 2

1 2

1 2

0 ; 0

0 ; 0 (0,3,4,0)

0 ; 0

0 ; 0

y y

y z

z y

z z

= = →= = →

= = →= = →

En este caso es más ventajoso el segundo método, aunque no siempre es así.

De cualquier modo, lo que queda claro con el ejemplo, es que cualquier forma de búsqueda y

comprobación exhaustiva de las soluciones es muy costosa. Desgraciadamente, como se verá más

adelante, sólo se puede garantizar la solución con alguna búsqueda de este tipo.

Figura 3.11


138

En casos con hasta 3 pares14 ,i iy z de variables es posible una representación gráfica del problema que

permite una comprensión más intuitiva de sus peculiaridades.

Una reagrupación de las dos gráficas de la figura 3.11, en una única gráfica, según la figura 3.12

permitirá representar el conjunto de todas las condiciones del problema.

Figura 3.12

La representación de diferentes casos en una gráfica de este tipo (figura 3.13) permitirá visualizar su

casuística, sin necesidad de razonamiento matemático alguno.

En una gráfica de este tipo puede apreciarse, incluso para casos muy sencillos desde el punto de vista

matemático, que muy pequeñas variaciones en las restricciones lineales pueden hacer que el problema

no tenga solución, tenga una única solución o tenga múltiples soluciones; y, en este último caso, que

las soluciones sean aisladas, continuas, o una mezcla de ambas.

También se puede apreciar que, en el caso de la multiplicidad, el espacio de soluciones no sólo no

tiene por que ser convexo sino que tampoco tiene por que ser conexo.

Todas éstas y otras posibles características se verán al tratar del espacio de soluciones del problema,

pero en cualquier caso ayuda mucho poder visualizarlas con sencillez.

14 En este trabajo se van a utilizar mayoritariamente ejemplos con 2 pares de variables por permitir mayor claridad.


139

A modo de ejemplo, algunos de los citados casos se representan en la figura 3.13.

Figura 3.13

Puede plantearse la duda de si todos estos casos, posibles desde el punto de vista matemático, tendrán

sus correlatos en el modelo mecánico. Los ejemplos académicos con pequeño número de cuerpos en

contacto, ideados al efecto15, hacen pensar que existen casos en que así es.

15 Algunos de ellos ya se han presentado en el anterior capítulo.


140

3.2.2 Los problemas de "contacto" como problemas de complementariedad

Muchos problemas con condiciones de contacto, o similares a ellas, se pueden formular como

Problemas de Complementariedad CP. Si, además, el resto de las restricciones son todas lineales, será

como un LCP.

Fue, al parecer, Per Lötstedt (1981) uno de los primeros en plantear el problema como un CP.

Este tipo de problema lineal con condiciones de complementariedad se encuentra en la literatura

referido como LCP (linear complementarity problem), LMCP (linear mixed complementarity

problem), MCP (mixed complementarity problem) o simplemente como CP (complementarity

problem).

La caracterización exacta del problema tampoco tiene una excesiva importancia, toda vez que Schutter

y otros (2002) han demostrado las equivalencias y la posibilidad de reformulación entre los distintos

tipos de CP lineales.

En el caso en que V = L , lo cual sucede cuandos dϕ ϕ= , es decir, cuando el rozamiento tiene un

comportamiento asociativo, la matriz M (cuya composición se definirá en el siguiente apartado,

fórmula (3.7)) que caracteriza el LCP es antisimétrica y el LCP corresponde a las condiciones de

optimalidad de un par de programas lineales duales entre sí, uno estático y otro cinemático,

correspondientes a los teoremas clásicos de la plasticidad estándar (como se demostrará en 3.4.4 2).

1/ Obtención de una solución de inicio de colapso, de un problema plano, como Problema de

Complementariedad Lineal.

Para mostrar que la obtención de una solución de inicio de colapso se puede presentar bajo la forma de

un problema de complementariedad lineal, escrito en su forma canónica, hay que realizar algunas

transformaciones algebraicas. Recuérdese que la formulación de una solución, cuando el inicio de

colapso se produce para trabajo positivo, será aquella que cumpla las restricciones (3.5):

s.a.

1

λ+=

≥⊥≥=

t

t

t

B s = f = g q

-L s y

y 0

y z

z 0

q u

Bu -Vz = 0

(3.5)


141

Reordenando los términos

1

λ

=

≤ ⊥ ≥

t

t

t

q u

Vz - Bu = 0

- q + B s = g

-L s - y = 0

0 y z 0

Que escrito en forma matricial será:

*1

λ − =

≤ ⊥ ≥

t

t

t

qs-B Vu-q B gz y-L

0 y z 0

ii i i

ii i i

ii i

i i i i

(3.6)

Y haciendo:

*1

; ; ;

λ − = = = =

t

t

t

qs-B V

w M v ku-q B -g

y z-L

i i i i

i i i i

i i i

i i i i

(3.7)

Se puede escribir:

=≤ ⊥ ≥

Mv - w -k

0 y z 0

Y siendo:

≤ ⊥ ≥ ⇔ ≥ ≥t0 w v 0 w v = 0 ; w 0 ; v 0

0 0 0

λ = + + + = ⇐ =

t t t tsw v = y y z 0 y z 0

u

z

i i i

≤ ⊥ ≥ ⇒ ≤ ⊥ ≥0 y z 0 0 w v 0

Reordenando de nuevo los términos, se comprueba que (3.6) se puede presentar bajo la forma clásica

de un LCP.

=≤ ⊥ ≥

w - Mv k

0 w v 0

Para mostrar en que modo la formulación propuesta se corresponde con la de otros autores (por

ejemplo Ferris) se resume a continuación el problema16 expresado en términos similares a los suyos.

16 Debe recordarse que 0λ ≥ y el -1 del termino independiente (correspondiente a 1=tq u ) corresponden a un

caso particular, aunque sea el más habitual y el único que va a desarrollarse en lo que resta del trabajo.


142

La inclusión de los vectores s,uconvierte el LCP en un problema de complementariedad lineal mixto

MLCP . No obstante, las distintas formas de LCP pueden convertirse unas en otras y, por tanto, no

tiene especial importancia su calificación exacta.

Si se pretenden utilizar para resolver el LCP determinado tipo de algoritmos, como los de pivotado o

el de Lemke-Howson que utiliza Fishwick (1996), es necesario escribir el problema en uno de estos

modos más formales, pero para los algoritmos que se van a utilizar en esta tesis no lo es.

Se puede reescribir (3.6) como:

1

λ − =

=

≤ ⊥ ≥ ⇔ ≥ ≥

t

t

t

t

g-q Bs y-L

uqz-B V

0 y z 0 y z = 0 ; y 0 ; z 0

i

ii

i

i (3.8)

Una ecuación matricial puramente estática, otra puramente cinemática y las restricciones de

complementariedad.

Los conjuntos de posibles soluciones que cumplen cada una de estas condiciones pueden escribirse:

{ }

{ }

{ } ( )

E

K

X

FEA

1FEA

FEA

λ ≡ Ε = = ≥

≡ Κ = = ≥

≡ Χ = ⊥ ⇔

t

y t

t

z

tyz

g-q B; y 0

s y-L

uq; z 0

z-B V

y z y z = 0

i

i

i (3.9)

Llamando { }Εy al conjunto de soluciones que cumplen todas las restricciones estáticas, es decir, al

conjunto de soluciones estáticas válidas EFEA . Llamando { }Κ z al conjunto de soluciones que

cumplen todas las restricciones cinemáticas, es decir, al conjunto de todos los mecanismos

-1λt

t

t

. . . -q .

. s 0. . B -V- . =

. u -gq -B . .y z 0. L . .

*y - Mz = k

≥y 0

≥z 0

0=ty z

0≥λ En forma de un clásico LCP excepto porque aparecen en el vector

ampliado *z unas variables no acotadas. s,u no acotados


143

válidos KFEA . Y, finalmente, llamando { }Χyz al conjunto de soluciones que cumplen las restricciones

de complementariedad. Hallar una solución de inicio de colapso iCSOL es encontrar dos vectores

λ( ,s,y);(u,z) tales que cumplan todas las restricciones.

El conjunto de las soluciones de colapso { }iCSOL será:

{ }

E

iC K

( , , ) FEA ( , , )

1SOL ( , , )( ) ( ) FEA ( )

λλ λ

λ

∈ ≡ = ≥

≡ ∈ ≡ = ≥ ⊥ ⇔

t

t

t

t

g-q Bs y s y ; y 0

s y-L

uqs y u,z u,z u,z ; z 0

z-B V

y z y z = 0

i

i

i (3.10)

Es inmediato comprobar, aunque no se va a desarrollar aquí la demostración, que definido el vector y

queda definida la solución estática completa y definido el vector z , la solución cinemática completa.

Por tanto, hallar una solución de inicio de colapso iCSOL es encontrar un vector (y,z) tal que cumpla

todas las restricciones, y el conjunto de las soluciones de colapso { }iCSOL , escrita del modo más

compacto como el conjunto mínimo de los vectores que la generan, se puede escribir:

{ } { }iC E KSOL FEA ; FEA ; 0≡ ∈ ∈ =t(y,z) y z y z (3.11)

Llamando E K E EFEA FEA FEA× ≡ × al producto cartesiano de ambos conjuntos de soluciones factibles

(estático y cinemático)

{ } { }iC E KSOL FEA ; 0×≡ ∈ =t(y,z) y z (3.12)

Esta última manera de formularlo coincide con la empleada por Mangasarian y Pang (1993) para el

XLCP , Problema de Complementariedad Lineal Extendido. Este hecho es de interés porque van a

emplearse como algoritmos de solución varios propuestos por el citado Mangasarian.

Por otra parte, la formulación (3.11) es mucho menos estricta formalmente que la del LCP clásico,

con las correspondientes ventajas en su tratamiento matemático. Además, permite conservar todo el

aprendizaje realizado en la resolución de problemas de Análisis Límite Estándar, dado que una

solución al problema no-estándar será una solución a los problemas estándar, tanto estático como

cinemático (ambos con sus correspondientes ángulos no asociados), y que, además, cumpla la nueva

restricción de complementariedad.


144

Es posible, por tanto, no sólo la utilización de parte del aparato matemático desarrollado para aquellos

problemas, sino también de los conceptos físicos subyacentes. Esto facilita enormemente, tanto la

comprensión física del proceso de búsqueda de una solución, como su transmisión a analistas versados

en Análisis Límite Estándar.

3.3 Casos según la geometría del problema y la ley de rozamiento /

deslizamiento

3.3.1 Caso general

En el caso general, lo único que se puede afirmar es que el problema puede presentarse como uno de

Complementariedad (CP). El tipo de problema de complementariedad dependerá de las características

de las condiciones estáticas y cinemáticas.

A continuación se enumeran los posibles casos.

1/ Tridimensional en geometría o cargas

a/ Problema de complementariedad cónica de segundo orden

Para el caso general en 3D, con el rozamiento restringido por una superficie cónica, el problema es de

complementariedad cónica de segundo orden (SOCCP). Así lo plantean Kanno, Martins y Pinto da

Costa (2006). El problema es básicamente igual al LCP, con la excepción de que las condiciones de

rozamiento son cónicas (y por tanto cuadráticas) en lugar de lineales (figura 3.14).

Figura 3.14

La condición límite para el rozamiento es igual que en el caso plano:

tg tgr rN V Nϕ ϕ− ≤ ≤

Pero V adopta en este caso una forma cuadrática:

1 2

2 2 2x xV V V= +


145

Por tanto:

1 2

1 2

1 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

( tg )

tg

tg 0

r x x

r x x

r x x

N V V

N V V

N V V

ϕ

ϕ

ϕ

≥ +

≥ +

− − ≥

Y expresado en forma matricial:

1 2 1

2

2tg 0 0

0 1 0

0 0 1

r

x x x

x

N

N V V V

V

ϕ

− ≥ −

0

Utilizando la notación utilizada en el anterior capítulo:

1 2 1 1 1

2 2 2

2tg 0 0

0 1 0 ;

0 0 1

r r r

x x x s s

x s s

N y y

N V V V y y

V y y

ϕ

− − = ≥ −

0 0

Y teniendo en cuenta que la matriz de coeficientes de 3x3 es igual a la matriz Hessiana de la condición

límite 1 2

2 2 2 2tg ( )r x xN V Vϕ − − ≡ ⋅ partida por 2:

1 2

1 1 1 2

2 2 1 2

2 2 2

2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

( ) ( ) ( )

tg 0 01 ( ) ( ) ( )

0 1 0 ; 2

0 0 1( ) ( ) ( )

x x

r

x x x x

x x x x

N N V N V

V N V V V

V N V V V

ϕ

∂ ⋅ ∂ ⋅ ∂ ⋅

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ ∂ ⋅ ∂ ⋅ − = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −

∂ ⋅ ∂ ⋅ ∂ ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

H H

Por tanto, las condiciones en forma cuadrática quedan:

1

; 2

≥ts Hs = y y 0 (3.13)

Siendo H la matriz hessiana de las condiciones cuadráticas17.

Este tipo de problemas pueden resolverse con algoritmos específicos o con algoritmos semejantes a los

iterativos que se van a exponer más adelante. La única diferencia es que, en lugar de emplear una

sucesión de programas lineales, se emplearía una sucesión de programas convexos. En ambos casos, el

óptimo obtenido en la resolución de cada uno de estos programas será único, aunque no lo será

necesariamente el optimizador. Sin embargo, dado que la velocidad de resolución, del mejor software

de programación lineal disponible en el dominio público, es ordenes de magnitud mejor que el del

software de programación convexa, a día de hoy es más recomendable el método que se expone a

continuación.

17 No debe confundirse con la matriz de equilibrio H , a la que en este trabajo se ha llamado tB


146

b/ Linealización a problema de complementariedad lineal

Estos métodos, de linealización del cono a una pirámide (figura 3.15), han sido utilizados por diversos

autores, por ejemplo Pang y Trinkle (1994). Su mecánica y casuística es similar a la desarrollada en el

capítulo anterior, para linealizar la relación parabólica M/N y, por tanto, no se va a insistir en ella aquí.

Conviene apuntar que los métodos de linealización empleados van de los más burdos, pero más

habituales, que limitan independientemente cada uno de los componentes del rozamiento (figura 3.15

2), hasta los octogonales, ya sea inseguros por el exterior (figura 3.15 3) o seguros por el interior

(figura 3.15 4), que consiguen un resultado muy ajustado añadiendo simplemente 4 condiciones

lineales por punto de rozamiento.

Figura 3.15

2/ Plano con cargas en su plano

a/ Problema de complementariedad lineal

En el caso plano la restricción se reduce al ángulo de rozamiento (ver Pang, Trinkle y Lo (1994)), aún

cuando, en la terminología de los problemas de complementariedad, se siga hablando de cono de

rozamiento. Tanto en este último caso como en el anterior, todas las restricciones, salvo las de

complementariedad, son lineales y, por tanto, el problema será de complementariedad lineal (LCP).

3.3.2 Simplificación con rozamiento asociativo, nulo o deslizamiento impedido

En el primer artículo ya citado de Drucker, se afirmaba que la recién estrenada teoría de análisis límite,

aplicada al caso del rozamiento, sólo era cierta cuando se consideraba rozamiento asociativo, nulo o

infinito (deslizamiento impedido). Como se verá en el apartado 3.4, tanto desde la teoría de clases de

matrices propia del LCP, como desde la teoría general de programación matemática (condiciones de

optimalidad), es posible demostrar que para el problema en estudio, cuando los ángulos de rozamiento

y deslizamiento son iguales, se puede hallar una solución del problema resolviendo un único programa

convexo. Además, aunque la solución a este programa puede no ser única, el factor de carga de inicio

de colapso asociada a ella sí lo es. Se obtienen así, desde el campo de la programación matemática, los

mismos resultados ya mostrados por Drucker.


147

En estos casos, las formulaciones presentadas en el anterior apartado, se simplifican como sigue:

1/ Tridimensional en geometría o cargas

a/ Programa cónico de segundo orden (estático o cinemático)

En el caso en 3D el problema a resolver será un programa cónico de segundo orden (SOCP18) como

los propuestos por Makrodimopoulos y Martin (2005)

b/ Linealización a programa lineal (estático o cinemático)

Al igual que en el apartado anterior, la linealización convertirá el SOCP en un Programa Lineal LP.

A partir de esta linealización el desarrollo coincide con el apartado siguiente.

2/ Plano con cargas en su plano

a/ Programa lineal (estático o cinemático)

En el caso plano (o en el de 3D linealizado) el LCP corresponde a las condiciones de óptimo de dos

programas lineales (LP) duales, ver Murty (1997).

a.1/ Programa primal (estático): Livesley

El resultado puede obtenerse (figura 3.16) resolviendo el programa primal (estático) como hace

Livesley (1978)

Figura 3.16 Livesley (1978)

a.2/ Programa dual (cinemático): Gilbert y Melbourne

Igualmente puede obtenerse resolviendo el programa dual (cinemático) como hacen Gilbert y

Melbourne (1994).

18 Obsérvese que ha desaparecido una C, la correspondiente a complementariedad, del acrónimo.


148

Los resultados de la aplicación de dicho procedimiento al caso de un puente puede verse en la figura

3.17.

Figura 3.17 Melbourne C.; Gilbert M. (1995)

a.3/ Unicidad del factor de carga de inicio de colapso

Ambos planteamientos son duales y conducen al mismo resultado (ver Murty 1997). Como se viene

repitiendo, llevan al mismo factor de carga de inicio de colapso, pero, no necesariamente a la misma

solución de inicio de colapso. Esto, que parece poco intuitivo, es muy fácil de entender desde la

Programación Lineal. Cuando una arista, cara o politopo de mayor orden son paralelos a las

superficies de igual factor de carga, todos los puntos (soluciones distintas) de estos tienen el mismo

factor de carga de inicio de colapso

La eficacia de utilizar uno u otro método (figura 3.18) depende de las características específicas de

cada problema, como es bien sabido en programación lineal. Para un estudio experimental sobre

algunos modelos, ver Ahmed y Gilbert (2003)

Figura 3.18 Gilbert (2007)

a.4/ Los teoremas límites estándar como un caso particular

Desde el punto de vista de la Programación Lineal (limitada al caso de rozamiento/deslizamiento

asociativos) los teoremas límites estático y cinemático son una mera relajación en los objetivos. Ya, no

se trataría de hallar una solución estática o cinemática óptima, sino de hallar, simplemente, una

solución estática o cinemática factible.


149

Se tendría entonces la seguridad de que su correspondiente factor de carga estaría (figura 3.1)

respectivamente por debajo (o encima) del factor (único) de carga de inicio de colapso.

De este modo, queda en evidencia que el nuevo marco de Análisis Limite No Estándar incluye, como

caso particular, el más conocido Análisis Límite Estándar y sus teoremas.

3.4 Complejidad de resolución del problema de complementariedad

3.4.1 Concepto de Complejidad Computacional.

A primera vista se podría pensar que la dificultad (o imposibilidad práctica) para resolver el problema

no proviene de su complejidad, sino de la incapacidad de los algoritmos o los medios materiales. Para

resolver este interrogante, la ciencia de la computación se ha dotado del instrumento que se describe a

continuación.

La teoría de la complejidad computacional (como parte de la teoría de la computación) describe la

"escalabilidad" de los algoritmos. Esta teoría responde a las preguntas: "Cuando el tamaño de la

entrada de datos a un algoritmo crece ¿De qué modo crecen los requerimientos de tiempo de ejecución

y espacio de almacenamiento?" y "¿Cuáles son las implicaciones y ramificaciones de dicho cambio?"

Desde otro punto de vista, establece la diferencia entre la capacidad de un algoritmo concreto, o un

determinado instrumento de computación, para resolver un problema, y la dificultad intrínseca de

dicho problema (figura 3.19).

Figura 3.19 Garey & Jonson (1979)

Por otro lado, como su mecanismo de clasificación se basa en la posibilidad de convertir el nuevo tipo

de problema a evaluar en otro de resolución y dificultad ya conocidas se puede utilizar en última

instancia como método de aplicación de algoritmos conocidos a problemas nuevos, aunque no sea éste

su propósito original.


150

Un diagrama de conversión entre determinados tipos de problemas puede verse en la figura 3.20.

Figura 3.20 Garey & Jonson (1979)

Un problema de decisión es aquel al que se puede responder con un sí o un no. La clase de

complejidad P (Polinomial) es aquella a la que pertenecen los problemas de decisión que pueden ser

resueltos de modo determinista (usando una "máquina determinista de Turing19") en tiempo polinomial

(usando una cantidad polinomial de tiempo de computación). Por ejemplo, si n es el tamaño de los

datos de un problema su resolución en 5 3n n+ operaciones lo incluiría en esta clase.

En general, se considera que los problemas pertenecientes a la clase P "se pueden resolver

eficientemente" o son "tratables".

Un problema de optimización es el de encontrar, de entre todas las soluciones factibles, la mejor.

Desde el artículo de Karmarkar (1984) se considera que los Programas Lineales (LP) pertenecen a la

clase de problemas de optimización P, es decir, que son tratables.

La clase NP (No-determinista Polinomial) es el conjunto de problemas de decisión resolubles en

tiempo polinomial por una "máquina de Turing no determinista". Equivalentemente, es el conjunto de

problemas cuya solución puede "verificarse" en tiempo polinomial por una máquina de Turing

determinista.

Finalmente, los problemas NP-completos son los problemas más difíciles dentro de la clase NP. Esto

quiere decir que cualquier tipo de problema en la clase NP puede reducirse en tiempo polinomial a

uno NP-completo, que es igual o más difícil.

El problema de decisión de un LCP genérico, simplemente contestar con un sí o un no a la pregunta

¿Tiene el LCP solución?, es NP-completo y por tanto intratable. Si esto no fuera así, un simple

procedimiento de bisección iterativa del espacio de búsqueda, contestando cada vez a la pregunta

19 La "maquina determinista de Turing" es un dispositivo hipotético que representa una máquina de computación, que realiza operaciones secuencialmente de una en una.


151

¿Tiene el nuevo problema solución?, permitiría acotar la solución al LCP en un intervalo tan pequeño

como se desee y, por tanto, resolver numéricamente el problema20.

La formulación del problema mecánico en estudio es un LCP genérico, por tanto, en el caso general la

obtención por medios deterministas de una solución de inicio de colapso es de dificultad NP-completa

y por ello "intratable". Igualmente "intratable" es verificar que el problema no tiene solución. Sin

embargo, la verificación de una posible solución obtenida de modo no determinista es de complejidad

P y, por tanto, "se puede resolver eficientemente".

Si se quiere tener la seguridad de que, en caso de existir una solución ésta se va a encontrar, o, en caso

de que no exista solución se obtendrá un certificado de no existencia, los únicos métodos disponibles

son los que de un modo u otro hacen una búsqueda exhaustiva.

Como se ha dicho, estos métodos son impracticables excepto para problemas de pequeño tamaño.

Por ejemplo, el método "ingenuo", que se puso de ejemplo al principio, en el que se comprueban todas

las posibles combinaciones de variables nulas en la restricción de complementariedad, empleando un

árbol de búsqueda binario, requiere comprobar 2n posibles combinaciones, siendo n el número de

pares de variables complementarias21.Un algoritmo de este tipo se dice que es exponencial en el

número de operaciones.

3.4.2 Complejidad computacional del problema de contacto unilateral en el caso

general.

La complejidad computacional del problema de decisión de un LCP genérico, y por ello de un

problema genérico de contacto unilateral, es "No determinista Polinomial completa"22 (NP-completa)

y por tanto intratable, Chung (1989)

3.4.3 Clases de matrices

La dificultad de resolución de un LCP depende de las propiedades de la matriz que lo define. Al ser el

LCP un tema central de la programación matemática, ha sido objeto de un estudio exhaustivo de las

propiedades de las matrices, agrupándolas en clases, cada una de las cuales tiene una dificultad de

resolución, y en cada una de las cuales funcionan, o no, determinados algoritmos. Una revisión de

algunas de estas clases de matrices se puede consultar en el capitulo 3 de Murty (1997).

20 Y no sólo el de hallar una solución al problema sino también el de hallar la solución óptima al problema. 21 Como es fácil comprobar, con sólo 20 pares de variables se obtienen más de un millón de combinaciones, y ello sin tener en cuenta las posibles combinaciones en que los dos elementos de un par sean nulos. 22 Esto quiere decir que no existe un método determinista (de complejidad P) que nos permita decidir si un LCP genérico tiene solución o no. Si tal método existiera un simple proceso de bisección iterativa del espacio de búsqueda llevaría a una aproximación tan precisa como se quiera a la solución de nuestro problema


152

En este trabajo sólo se van a tener en cuenta, además de las matrices genéricas cuya clase se

desconoce, tres clases de matrices especiales. Éstas son, según la definición que hace de Klerk, (2010):

Una matriz n n×∈M ℝ pertenece a la clase de matrices Positivo Definidas, PD, si 0>tx Mx para todo

n≠ ∈0 x ℝ .

Una matriz n n×∈M ℝ pertenece a la clase de matrices Positivo Semi Definidas, PSD, si 0≥tx Mx para

todo n∈x ℝ .

Igualmente, una matriz n n×∈M ℝ pertenece a la clase de matrices Antisimétricas, SS, (Skew-

Symmetric) si 0=tx Mx para todo n∈x ℝ .

Por tanto, la clase de matrices antisimétricas está incluida en la clase de matrices positivas

semidefinidas. Toda matriz SS es PSD (figura 3.21)

Figura 3.21

3.4.4 Casos particulares de menor complejidad

1/ Equivalencia entre LCPs y Programas Matemáticos

Es posible establecer la equivalencia entre algunos tipos de LCP y algunos Programas Matemáticos,

en el sentido de que las soluciones al LCP son los óptimos (mínimos) del programa y viceversa.

Según Murty (1997):

Un Programa Cuadrático, QP (Quadratic Program), convexo corresponde a un LCP asociado con una

matriz PSD. A la inversa un LCP con una matriz PSD corresponde a un QP Convexo.

Un Programa Lineal, PL (como caso particular de un Programa Cuadrático QP Convexo),

corresponde a un LCP asociado con una matriz SS (caso particular de la PSD). A la inversa un LCP

con una matriz SS corresponde a un LP.


153

Por tanto, la complejidad de un LCP con matrices PSD o SS será polinomial, P, al igual que lo es la

de un QP convexo o un LP (figura 3.22)

Figura 3.22

Se pueden aceptar las conclusiones, firmemente asentadas, de las teorías sobre las clases de matrices y

su complejidad, respecto a los Problemas de Complementariedad. Pero también, dado que se ha dicho

que un LCP con matriz antisimétrica SS corresponde a un LP, o más precisamente a un par de LP

duales con el mismo óptimo, es posible establecer la correspondencia directamente a partir de las

condiciones de optimalidad de los programas.

A continuación se hace para el par de programas duales que corresponden al Análisis Límite Estándar

y el LCP de matriz antisimétrica.

2/ Condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-Tucker

Puesto que es mucho más fácil resolver un Programa Matemático sin restricciones que uno con ellas,

se han desarrollado, a lo largo de la historia, varios modos de realizar la conversión entre ambos tipos.

Uno de los primeros es el Método de los Multiplicadores de Lagrange (Bertsekas 1982) para

problemas con restricciones de igualdad.

El método de los multiplicadores de Lagrange es un procedimiento para encontrar los máximos y

mínimos de funciones de varias variables sujetas a (s.a.) restricciones. Establece que los puntos, donde

la función tiene un extremo sujeto a restricciones, están en los puntos estacionarios de una nueva

función sin restricciones, construida como una combinación lineal de la función objetivo y de sus

restricciones, afectadas de unos coeficientes conocidos como multiplicadores de Lagrange.

Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT ) son condiciones necesarias que deben satisfacer los

óptimos de problemas de optimización no lineal (y los lineales como caso particular)23, y son una

generalización del método de los multiplicadores de Lagrange para restricciones de desigualdad.

En el caso correspondiente a Análisis Límite Estándar, por tanto, separable en programas duales

estático y cinemático, es posible mostrar que las condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-Tucker 23 Fueron publicadas por primera vez en la tesis de maestría de W. Kasrush (1939) y renombradas tras un artículo de H.W. Kuhn y A.W. Tucker (1951)


154

(KKT ), de cada uno de los dos programas24, coinciden con el LCP tal como se ha definido

formalmente.

Programa primal (estático)

max min s.a.λ λ λ⇔ − +=≥

t

t

B s = g q

-L s y

y 0

(3.14)

( , , , , , , ) -s y x u z rλ λ λΛ = t t t t t 2+ u (g + q - B s) + r (L s + y) + z (-y + x ) (3.15)

La función ( , , , , , , )s y x u z rλΛ está formada al modo de la conocida Función Lagrangiana (a veces

llamada simplemente Lagrangiana) de los multiplicadores de Lagrange, pero en este caso extendida a

todas las restricciones (tanto de igualdad como de desigualdad).

Las condiciones de KKT para este programa, son las desarrolladas en (3.16). Siendo 0⇔ ≥2y = x y ;

x una variable de holgura instrumental; t t tu ,r ,z multiplicadores de los cuales el término que

corresponde a la desigualdad ≥tz 0debe de tener todos sus elementos 0iz ≥ positivos.

0

0

0

0 1 0 1

0 2 0 0

0

0

λ

λ λ

≥∂Λ = ⇒ ⇒ ⇒ ≥∂∂Λ = ⇒ ⇒∂

∂Λ = ⇒ ∂

∂Λ = ⇒ − ⇒ =∂

∂Λ = ⇒ − ⇒ ⇒ ⇔∂

∂Λ = ⇒ =∂∂Λ = ⇒∂

t

2 2t

t t

t t t t

t t

tt t t

2

t tt

t tt

z 0

-y + x = 0 y = x y 0z

r - z = 0 r = zy

-u B + r L = 0Bu - Lz = 0

s r = z

q u = q u

z x = 0z x = z y = z y = 0

x x = y

g + q - B s = 0 B s g + qu

L s + y = 0 -L s = yr

(3.16)

Con lo cual queda demostrado que el LCP coincide con las condiciones de optimalidad del programa

primal (estático).

24 De nuevo hay que aclarar que en el caso del programa estático puede tratarse de un máximo o un mínimo. Y

en el caso del programa cinemático tq u puede valer 1, 0 ó -1. Ver Caveat lector!, aunque sólo se está

desarrollando el caso repetidamente citado.


155

A continuación se hace lo correspondiente para el segundo programa.

Programa dual (cinemático)

min s.a.

1=≥

t

t

-g u Bu -Vz = 0

q u

z 0

(3.17)

( , , , , , ) ( ) ( 1) ( )tu z x s yλ λΛ = − + + − + +t t t 2g u s Bu - Vz q u y -z + x (3.18)

Las condiciones de KKT para este programa, son las desarrolladas en (3.19). Siendo 0⇔ ≥2z = x z ;

x una variable de holgura instrumental; , ,λt ts y multiplicadores de los cuales el término que

corresponde a la desigualdad ≥ty 0 debe de tener todos sus elementos 0iy ≥ positivos.

0

0 1 0 1

00 2 0 0 0

0

0

0

λ

λ λ

≥∂Λ = ⇒∂∂Λ = ⇒ − + ⇒ =∂

∂Λ = ⇒ − ⇒ ⇒ ⇔∂

∂Λ = ⇒ =∂∂Λ = ⇒∂∂Λ = ⇒ ⇒ ⇒ ≥∂

t

t

t t

tt t t

2

t t t t

t t t

2 2t

y 0

Bu - Vz = 0s

q u = q u

y x =y x = y z = y z =

x x = z

-g + s B - q = 0 B s g + qu

-s V - y = 0 -V s = yz

-z + x = 0 z = x z 0y

(3.19)

Para los modos de colapso considerados, cuando r dϕ ϕ= , tal como se ha visto al tratar de las

relaciones de cedencia y fluencia, resulta que t tL = V .

Si se añaden estas igualdades a (3.16) y (3.19) se puede comprobar que las condiciones de optimalidad

(condiciones de KKT ) de ambos programas primal y dual son idénticas.

Además, teniendo en cuenta que ⇔Bu - Vz = 0 -Bu + Vz = 0, ambos conjuntos de restricciones son

idénticas al LCP (3.5), que constituye la formulación matemática del problema en el caso general.

Queda de este modo demostrado que la formulación en modo de dos Programas Lineales (LP) duales

de los teoremas límites estándar (estático y cinemático) es un caso particular de la formulación como

LCP, pero sólo es estrictamente correcta cuando todos los modos de colapso considerados cumplen la

regla de la normalidad.


156

3.5 Métodos para obtener una solución de un problema de

complementariedad

3.5.1 Enumeración de métodos

Los Problemas de Complementariedad CP, y en especial los Problemas de Complementariedad Lineal

LCP, juegan un papel central en la teoría de la Programación Matemática. Por tanto, se han

desarrollado para ellos múltiples métodos de resolución (obtención de una solución al LCP). Estos

métodos abarcan muchos de los ámbitos de la programación matemática, pero todos ellos tienen en

común la limitación de que no garantizan, en los casos generales25, encontrar una solución si la hay o

asegurar que no existe.

Muchos de estos métodos son similares a (o desarrollos de) los empleados previamente en

Programación Lineal.

Así, unos de los primeros son los algoritmos de Lemke y de Lemke-Howson desarrollados para la

obtención de soluciones a un "juego bimatriz"26

Ambos pertenecen a la categoría de métodos de pivotado, Cottle (1992), entre los cuales están:

Métodos de Lemke y de Lemke-Howson (para LCP de juegos bimatriz); Murty (1997), Método del

principal pivotante (Principal Pivoting Method I) y Hertog (1993), método Criss-Cross.

Baraff (1991 y 1992) propuso resolver el problema de contacto mediante el algoritmo de Lemke.

Este enfoque es planteado con posterioridad en la tesis de R.J. Fishwick (1996), pero extendiéndolo a

la comprobación de todas las posibles soluciones extremas de inicio de colapso.

Figura 3.23 Adrian Vetta (Topics in game theory) McGill 2011

25 Aquellos en que la matriz del LCP no pertenece a una de las clases que permiten una reducción de la complejidad del problema. 26 Un juego de suma cero es aquel en que lo que gana un jugador lo pierde otro, los juegos de este tipo se pueden modelar como un LP. Por oposición, un juego bimatriz es aquel en el que además existen estrategias en las que ambos jugadores pueden ganar o perder. Son en este sentido juegos cooperativos.


157

En términos geométricos son métodos que desarrollan su búsqueda en la envolvente, recorriendo sus

vértices (figura 3.23). Estos métodos están íntimamente relacionados con los homólogos de

Programación Lineal, como el algoritmo simplex. Presentan, por tanto, sus mismas ventajas

(precisión) e inconvenientes (complejidad exponencial en los peores casos27, aunque la complejidad

media puede ser aceptable).

Otros métodos adecuados, desde el punto de vista teórico, son los homotópicos de punto-fijo, que

presentan deficiencias prácticas para problemas de tamaño realista. Por el contrario, los esquemas

computacionales que se citan a continuación son capaces de resolver problemas de gran escala

eficientemente.

Estos métodos son de acuerdo a las enumeraciones de Ferris y Pang (1997)28 y de Ferris y Kanzow

(1998:

-Métodos basados en ecuaciones (funciones NCP)

-Extensiones de los métodos de Newton para ecuaciones no lineales reemplazando las rutinas de

dirección de búsqueda con problemas de complementariedad.

-Reformulación como sistemas de ecuaciones lineales por partes.

-Método de camino de búsqueda (el programa PATH del propio Ferris) que usa una generalización de

la técnica de línea de búsqueda.

-Algoritmos basados en programación cuadrática que derivan extensiones de la metodología de Gauss-

Newton.

-Métodos de descenso basados en optimización diferenciable que reformulan las relaciones de

complementariedad como ecuaciones o programas no-lineales.

-Métodos proximales y de proyección que extienden los métodos de gradiente proyectado.

-Métodos de Suavizado, Técnicas de suavizado que remplazan las ecuaciones no-suaves29 por

aproximaciones diferenciables.

-Métodos de punto interior IPM que al modo de los métodos análogos para LP se basan en remover

las desigualdades por medio de penalizaciones interiores.

-Funciones de mérito: la idea básica tras el uso de funciones de mérito es reformular el problema como

uno de optimización (Fischer 2000).

27 Es fácil imaginar un "peor caso" en que el algoritmo tenga que recorrer absolutamente todos los vértices de la envolvente antes de encontrar la solución. Basta analizar la regla de pivotado y crear un politopo "ad hoc" para el cual sea necesario recorrer todos los vértices. 28 En Ferris y Pang se pueden encontrar un buen número de referencias bibliográficas de cada uno de los métodos. 29 No diferenciables en todos sus puntos


158

Los métodos que se van a emplear en este trabajo se basan en la reformulación del LCP30 como un

problema de optimización, y son debidos a Mangasarian (1993 a 1998).

Las funciones a optimizar han sido elegidas para que permitan su posterior tratamiento mediante

linealizaciones sucesivas, convirtiendo finalmente el problema en una serie de programas lineales, que

tienden hacia un punto estacionario de la función a minimizar31. Si este punto cumple la condición de

complementariedad será una de las soluciones buscadas.

En el siguiente apartado se verá cuales son las características del problema que lo hacen apropiado

para estos métodos y de que modo se formulan sus algoritmos de resolución.

3.6 Características especiales del problema de contacto unilateral como

problema de complementariedad

3.6.1 Problema de complementariedad disjunto o no acoplado

Pang, Trinkle y Lo (1994 y 1996a) han sido los que, aplicándolo a un problema de manipulación

robótica (figura 3.24), han definido el problema como un Problema de Complementariedad No-

Acoplado, UCP ("Uncoupled Complementarity Problem"), y han propuesto resolverlo como un

Programa Bilineal.

Figura 3.24

El carácter disjunto, o no-acoplado, del problema es una característica común a todas las variantes del

problema en estudio, y es de importancia fundamental para el método de resolución que se propone.

La disjunción consiste, como ya se ha apuntado anteriormente, en que exceptuando las restricciones de

complementariedad, todas las demás restricciones contienen exclusivamente variables estáticas o

exclusivamente variables cinemáticas. Pang, Trinkle y Lo conocían el algoritmo de Mangasarian y

Bennet (1992)32, en el que aparece por primera vez el algoritmo UBPA ("Uncoupled Bilinear

30 Y en el siguiente capítulo del LPCC. 31 Como en los demás capítulos se recuerda lo dicho en "Caveat lector!" 32 Porque lo citan.


159

Program Algorithm"), que es, en esencia, el primer paso del algoritmo de Konno (1976) para

Programas Bilineales33.

Queda por explicar el paso dado en la conversión del LCP en un Programa Bilineal BP (ambos

disjuntos). Para ello hace falta una pequeña explicación de la equivalencia entre problemas.

3.6.2 Equivalencia entre programas

Como se ha dicho, al hablar de complejidad computacional, cualquier programa o problema se puede

convertir (en tiempo o número de operaciones polinomial) a otro de complejidad igual o mayor. El que

esta conversión sea posible no significa que sea fácil (un tiempo polinomial puede ser aún muy

grande) ni que sea práctica o deseable.

Por ejemplo, la conversión de un LPCC (que como se verá en el siguiente capítulo es una posible

forma de expresar matemáticamente un óptimo del factor de carga de colapso) en forma de MPEC34

es posible, y puede tener interés, en tanto que se disponga de un software que probar sobre ejemplos

"sencillos", pero supone un salto hacia un escalón superior en la complejidad del problema que se

pretende resolver.

En el presente apartado se trata de problemas que son de complejidad idéntica y que se pueden

convertir de modo casi inmediato unos en otros. Se podría incluso decir que se trata de diferentes

formulaciones del mismo problema. Gracias a ello se pueden trasladar, sin coste añadido, los

resultados obtenidos sobre algoritmos equivalentes entre distintos campos de investigación.

A este tipo de equivalencia entre programas se dedica la tesis de doctorado de Audet35 (1977) En ella

se demuestra, desde el punto de vista teórico, la equivalencia y la posibilidad de conversión entre un

LCP y un Programa Bilineal Disjunto BILD (que en este trabajo se llamará UBP siguiendo el

acrónimo inglés).

3.6.3 Reformulación del LCP como problema bilineal disjunto

Un modo de realizar la conversión de LCP en UBP se encuentra en otro artículo del citado

Mangasarian (1995). Y la conversión de un XLCP36 en BP en Mangasarian y Pang (1993-1995).

33 Citado en Quadratic Optimization (1995) Christodoulos A. Floudas, V. Visweswaran. Handbook of global optimization. 34 Tal como hace Ferris y los que han seguido su formulación. 35 En este excelente trabajo se muestran algunas de las equivalencias entre los tipos de problemas y programas que se están manejando aquí, tales como el XLCP , el UBP y el MILP 0-1 , aunque al tratarse de un autor francófono los acrónimos empleados son distintos. 36 El XLCP es una forma más general del LCP


160

Al margen de consideraciones teóricas generales y antecedentes bibliográficos, resulta obvia la

equivalencia entre hallar los mínimos de la función ty z cuyo valor sea 0 y hallar las soluciones del

LCP que deben cumplir la condición 0=ty z . Pero ese tema se tratará en el siguiente capítulo.

Siguiendo la notación (3.3) y (3.4) una solución al problema Y Z∈ ×(y,z) se puede escribir:

{ }( ) Y ; Z ; ∈ ∈ ≤ ⊥ ≥y,z y z 0 y z 0 (3.20)

Y otra forma igualmente correcta de escribir el problema es:

{ }( ) Y ; Z ; 0∈ ∈ =ty,z y z y z (3.21)

La representación gráfica del problema para dos pares de variables será la de la figura 3.25.

Figura 3.25

En ella se representan, en el cuadrante superior izquierdo, la parte cinemática del problema, y en el

cuadrante inferior derecho, la parte estática del problema. En los dos restantes cuadrantes se

representan las restricciones de complementariedad de cada uno de los pares, en forma de función

bilineal. Obviamente, la restricción de complementariedad se cumple cuando la función bilineal vale

0, es decir, cuando el punto se encuentra sobre uno de los ejes (como en la figura el (0,3),(4,0)).

Estudiando la figura se pueden extraer varias conclusiones:

Utilizando la segunda notación (3.21), si se fija un valor factible de 0y = y , una posible solución al

problema será 0(y ,z), tal que:

{ }0

0

Y

Z ; 0

= ∈∈ ⋅ =

y y

z z y z (3.22)

Si se fija un valor factible de 0z = z una posible solución al problema será 0(y,z ) tal que:

{ }0

0 0

Z

Y ; 0

= ∈∈ ⋅ = ⋅ =

z z

y y y z z y (3.23)


161

Representados (figura 3.26 a) en espacios de variables disjuntas 1 2,y y 1 2,z z , los conjuntos37 de

soluciones estáticas factibles Y y cinemáticas factibles Z , se observa (figura 326 b) que fijado el

valor de una solución estática 1 2( ' , ' )y y≡y' (sea factible o no) las soluciones complementarias se

hallan situadas sobre la recta (simbólica38) 1 1 2 2' ' 0y z y z+ = que pasa por el origen.

Figura 3.26

Resulta evidente (figura 3.26 c) que para cualquier punto 1 2( ' , ' )y y≡y' que no esté sobre uno de los

dos ejes, incluso aunque esté en el borde exterior39 del politopo Y , la única solución cinemática

complementaria es (0,0)≡z . A esta solución se la conoce como trivial.

Por el contrario, cuando el punto (figura 3.26 d) está situado sobre uno de los ejes (alguno de los

componentes del punto vale 0) 2(0, ' )y≡y' , puede existir una solución complementaria distinta de la

trivial en la que 2 0z = , y que debe ser, además, un punto en la envolvente40 de Z para que sea una

solución de inicio de colapso.

La condición general es que este punto (figura 3.26 e) esté en la envolvente, pero no necesariamente

que sea uno de los vértices. Por tanto, pueden existir soluciones en las que, para un único valor de las

37 Ambos de forma poligonal o poliédrica al estar definidos por restricciones lineales 38 Simbólica en cuanto a su representación , ya que en el diagrama se representan cuatro cuadrantes de espacios diferentes 1 2 1 2 1 1 2 2, ; , ; , ; ,z z y y z y z y siendo la restricción de complementariedad 1 1 2 2' ' 0y z y z+ = suma

de dos restricciones 1 1 2 2' 0 ; ' 0y z y z= = 39 Y por tanto sea una solución estática límite. 40 Y por tanto una solución cinemática límite.


162

variables estáticas41, haya múltiples valores de las cinemáticas, o viceversa. Además42, hay que señalar

que puede haber múltiples soluciones de inicio de colapso (figura 3.26 f) y que éstas pueden ser a su

vez aisladas (simples) o múltiples.

Obtener una solución (o extraer conclusiones) puede realizarse gráficamente para problemas con hasta

3 pares de variables. Para problemas con número no limitado de variables, como se verá en el

siguiente capítulo, hallar una solución equivaldrá a hallar un mínimo de ty z que valga 0:

iC E KSOL Min( ) 0 ; FEA ; FEA≡ = ∈ ∈t(y,z) y z y z (3.24)

Con lo cual el problema se convierte en uno de optimización, es decir, un programa.

Por tanto, el conjunto de todas las soluciones de inicio de colapso será:

{ } { }iC E KSOL Min( ) 0 ; FEA ; FEA≡ = ∈ ∈t(y,z) y z y z (3.25)

3.6.4 Motivos y consecuencias de la reformulación Establecida la equivalencia entre ambos planteamientos, se ha preferido un programa bilineal disjunto

a un problema lineal con condiciones de complementariedad por los siguientes motivos:

1º/ Las condiciones de complementariedad son difíciles de manejar. Aunque existen un buen número

de algoritmos que encuentran una solución a un LCP, la labor de convertir el problema formalmente

en un LCP tratable por esos algoritmos no es despreciable. En el método que se propone los

requerimientos formales son muy laxos.

2º/ Existe un algoritmo muy eficaz, según la experiencia tanto de los creadores como propia, para

resolver un UBP ó BILD , consistente en una linealización sucesiva de la función bilineal, que

convierte el programa en una sucesión de programas lineales en variables puramente estáticas o

puramente cinemáticas.

Se puede así hallar una solución de colapso resolviendo un reducido número de programas lineales

estáticos y cinemáticos.

3º/ Hay, en el dominio público, numerosos programas informáticos que resuelven, y de forma muy

eficaz, programas lineales de tamaño suficientemente grande, de este modo, los resultados obtenidos

podrán ser comprobados o utilizados por cualquiera, y no serán en modo alguno dependientes de un

programa comercial43.

41 Y por tanto un único valor del factor de carga. 42 Para una casuística más extensa se puede revisar la figura 3... 43 Como es por ejemplo el caso del planteamiento de Ferris y los que le han seguido.


163

4º/ Extensiones muy elementales, del método que se propone para hallar una solución, sirven también

para hallar un óptimo local de las soluciones.

Las consecuencias, que se derivan del problema en su forma de complementariedad lineal y que se

hacen más manifiestas en la forma de programa bilineal, son las siguientes:

1º/ Manifestación del significado de la geometría del espacio de soluciones.

Debido a su trascendencia se trata de forma más detallada en el siguiente apartado.

2º/ Recuperación del significado físico de la formulación

La formulación como LCP y su reformulación como UBP permiten formalizar el proceso de búsqueda

de una solución de inicio de colapso44. Recuérdese que se comenzaba el capítulo con la declaración de

que el factor de carga de inicio de colapso se encontraba en "el punto de acumulación de soluciones

estáticas y cinemáticas" (figura 3.1). El proceso para hallar esta solución no quedaba definido, pero se

intuía que era de prueba y error sobre distintas soluciones estáticas y cinemáticas, hasta conseguir dos

que se aproximaran suficientemente.

Llegados a este punto, se ha diseñado un proceso en el que se manejan igualmente soluciones estáticas

y cinemáticas, ambas factibles (válidas), y se dispone de una nueva herramienta para medir la

separación entre dos semi-soluciones estática y cinemática. Esta herramienta es el "error de

complementariedad", es decir, cuanto se alejan entre sí dos semi-soluciones de ser las partes

correspondientes de una solución de inicio de colapso (figura 3.27).

Figura 3.27

44 Por claridad el ejemplo se limita al caso en que el factor de carga de inicio de colapso es único, pero es extensible al caso general con múltiples valores de éste.


164

Este error de complementariedad puede adoptar diversas formas, de las cuales se ha elegido su forma

de función bilineal ty z 45

Se abre así una posible vía para la obtención de una solución de inicio de colapso, minimizando el

error de complementariedad entre dos semi-soluciones, una estática y otra cinemática; como se verá en

el siguiente capítulo.

3º/ Complementariedad vs. Dualidad

Volviendo al caso general, la relación de interés entre dos semi-soluciones es la de complementariedad.

Dos semi-soluciones, estática y cinemática válidas, complementarias forman una solución de inicio de

colapso.

Tan sólo en los casos citados, en que es aplicable el Análisis Límite Estándar, dos semi-soluciones

duales estática y cinemática dan cada una de ellas la misma solución, en términos de factor de carga de

inicio de colapso, al problema.

3.7 Geometría y espacio de soluciones de los problemas de complemen-

tariedad lineal

Como se adelantaba al hablar de las consecuencias de la reformulación, es de especial importancia la

geometría de los espacios de búsqueda y de soluciones al problema, en tanto en cuanto van a

condicionar o posibilitar la aplicación de los diferentes algoritmos para hallar una simple solución, un

mínimo local de las soluciones o el mínimo global de las soluciones, tema que se desarrollará en el

siguiente capítulo.

Como en anteriores ocasiones, sólo se va a desarrollar la argumentación para el caso en que las

restricciones son lineales. En los demás casos las conclusiones serán similares, con la excepción de

que los conjuntos de semi-soluciones y soluciones vendrán delimitados por restricciones convexas en

lugar de lineales.

Por tanto, serán válidas todas las conclusiones relativas a la convexidad, común a ambos casos, pero

no a la linealidad. Así, conclusiones relativas a la envolvente, la convexidad ... seguirán siendo válidas,

pero no lo serán necesariamente las relativas a los vértices.

45 Existen otras expresiones diferentes del error de complementariedad (ver los artículos de Mangasarian) coincidiendo todas ellas en que cuando el error es 0 las semi-soluciones son complementarias.


165

3.7.1 El caso del problema de complementariedad lineal

El espacio de búsqueda, en el caso lineal, se compone de dos politopos46 definidos en espacios de

variables separadas (disjuntas). Las coordenadas de los puntos de uno de los politopos tienen

exclusivamente variables estáticas y las del otro variables cinemáticas.

3.7.2 El conjunto de soluciones de inicio de colapso como unión de politopos

El espacio de soluciones viene definido por aquellos pares de puntos situados en la envolvente exterior

de ambos politopos y para los que se cumple la condición de contacto.

Ésta última, si se exceptúa la solución trivial en que todas las variables estáticas o todas las

cinemáticas valen 0, obliga en todos los demás casos a que estos puntos deben de tener algunos de sus

componentes iguales a 0.

Las soluciones pueden ser aisladas (formadas por un punto estático y uno cinemático) o continuas

(formadas en uno de los dos lados o en ambos por los puntos de un politopo47).

Como se ha expuesto en el apartado anterior, estas semi-soluciones, si no son triviales, deben de tener

algunos de sus componentes iguales a 0, lo cual quiere decir que deben de estar sobre los ejes o planos

(o hiperplanos) de coordenadas.

Como generalización del punto anterior se puede establecer que el espacio de soluciones esta

compuesto de una unión de politopos48.

3.7.3 Características del conjunto de soluciones de inicio de colapso

Estos politopos pueden ser: el conjunto vacío (no hay solución), un punto o "singleton" (politopo de

1D y, por tanto, solución aislada), un segmento de recta o arista (politopo de 2D y por tanto solución

múltiple), un polígono o cara (politopo de 3D), un politopo de 4D...

Por otro lado, la unión no tiene por que ser convexa y ni tan siquiera conexa. En el caso más general el

espacio de soluciones estará formado por "islas" que no guardan entre si ningún criterio de orden

respecto a sus factores de carga49.

46 O poliedros convexos abiertos en el caso de problemas no acotados 47 Que en 1D será un punto, en 2D una arista, en 3D una cara ... 48 Téngase en cuenta que si se maneja la representación disjunta del problema en cada uno de los siguientes casos habrá un (semi)politopo estático y uno cinemático. 49 Como se ha visto en los últimos ejemplos del capítulo anterior.


166

En el siguiente capítulo, cuando se trate acerca de la resolución del problema desde la programación

lineal, se expondrán todas estas consecuencias desde otro punto de vista más formal.

3.7.4 Posibilidad de ausencia o multiplicidad de solución

Como se ha señalado al tratar del problema de complementariedad, en el caso general es posible tanto

que el problema no tenga solución como que tenga múltiples soluciones.

Hay que destacar que el problema no tiene solución, aunque haya semi-soluciones estáticas y

cinemáticas límites, siempre que no haya al menos un par de ellas que sean complementarias. En

cuanto a la posible multiplicidad de soluciones resulta obvia después de todos los ejemplos vistos.

3.8 Otra reformulaciones linealizables

Se han propuesto un amplio numero de reformulaciones para la restricción de complementariedad. En

su mayoría entran dentro de la categoría de funciones de dos variables, en los que el valor de la

función es 0 cuando una de las dos variables o las dos son 0.

Existen muchas de estas funciones, cada una con sus ventajas e inconvenientes. De las enumeradas

por Sun (1999) las más conocidas son:

2 2

( ) 0

( ) min( , )

( ) ( )

a ab

b a b

c a b a b

=

+ − +

Siendo (a) la bilineal ya tratada, (c) la de Fischer-Burmeister muy habitualmente empleada, y (b) a

veces llamada "residual natural" es una función no-suave (es decir no diferenciable en todos sus

puntos) pero muy fácilmente linealizable, ya que es una "función lineal por partes", y que para

0 ; 0a b≥ ≥ está formada por dos planos que se cortan sobre la bisectriz del ortante positivo.

Esta última reformulación, con su correspondiente linealización, ha sido propuesta por Mangasarian

para la resolución del problema.

Comprobaciones realizadas, sobre una implementación propia de la citada reformulación, han

mostrado que su eficacia es muy similar a la de la reformulación bilineal, siendo más eficaz una u otra

según los casos y en especial según la distancia de las soluciones al origen.

La preferencia por la reformulación bilineal se ha basado más en que ésta conserva mejor el sentido

físico del problema que en su eficiencia, que es muy similar.


167

3.9 La posible multiplicidad de soluciones como origen de la dificultad de

evaluación

Debido a la posible multiplicidad, incluso aunque se obtenga una solución, no se sabrá si ésta está

cerca o lejos de la del factor de carga mínimo, o que lugar ocupa dentro del rango de soluciones

posibles.

3.9.1 Obtención de soluciones de inicio de colapso como un problema de optimización

Un modo de manejar esta incertidumbre ha sido intentar hallar la solución de factor de carga mínimo,

como se expondrá en el siguiente capítulo.

Este enfoque ha sido el intentado por la mayor parte de los investigadores citados. Sin embargo,

actualmente es inviable, al ser el problema "intratable" desde el punto de vista de su complejidad

computacional.

Otro modo posible es el estudio de la probabilidad de inicio de colapso para un determinado factor de

carga, como se discutirá en la tercera parte del trabajo.


168

169

Capítulo 4

La obtención de soluciones mediante

programación matemática: la implementación.

4. La obtención de soluciones mediante programación matemática: la implementación

170


171

4.1 Introducción

Los primeros esfuerzos, para resolver numéricamente el caso no asociativo (Lötstedt 1981), se

centraron en una definición de las condiciones que debe cumplir una solución de inicio de colapso y

en la obtención de una de estas soluciones, cuyo factor de carga será siempre menor o igual al máximo

absoluto de la carga de colapso, obtenida aplicando el teorema del límite inferior.

Posteriormente se intentó hallar, de entre todas las soluciones de inicio de colapso que cumplían las

condiciones, aquella que tuviera el factor de carga mínimo.

El fundamento teórico de este enfoque proviene de una reelaboración del teorema del límite superior

aproximadamente en los siguientes términos: para que se produzca el colapso de una estructura bajo

un determinado sistema de cargas, es condición necesaria que exista un mecanismo cinemáticamente

admisible que se produzca bajo su acción, por tanto, invirtiendo el razonamiento1, si bajo la acción de

un determinado sistema de cargas no es posible la formación de ningún mecanismo cinemáticamente

admisible, la estructura es absolutamente segura bajo dicho sistema de cargas.

En otros términos "Un cuerpo no se rompe si no existe ningún campo de corrimientos virtuales

(velocidades) cinemáticamente admisible para el que se produzca un exceso de energía cinética"2.

Si es posible hallar, de entre todas las soluciones admisibles de inicio de colapso, una que tenga el

factor de carga mínimo, cualquier factor de carga por debajo de éste será un factor de carga seguro.

Se convirtió, de este modo, el problema en uno de minimización del factor de carga, siendo el asunto a

resolver el modo de obtener un mínimo del factor de carga, y a ser posible, el mínimo absoluto.

La reformulación del análisis límite no estándar de las fábricas en términos de optimización

(minimización3) global, lleva a obtener unos valores totalmente seguros del factor de carga.

Esta vía, que busca el factor de carga mínimo absoluto de todas las soluciones admisibles de inicio de

colapso, es la que han elegido gran parte de los métodos numéricos de aproximación al problema que

incluyen rozamiento no asociativo.

Para estos métodos, el problema planteado es un problema de optimización de una o varias funciones

sujetas a un conjunto de restricciones y de ello se ocupará el presente capítulo. La dificultad del

problema radica en las características de las restricciones, a las que está sujeta la función objetivo a

minimizar.

1 Translación coloquial del teorema 3º de Koiter (1960) 2 Jiménez Salas (1981) 3 Como al comienzo de los demás capítulos se recuerda lo dicho en el apartado "Caveat lector!"


172

Sin embargo, desde el punto de vista teórico, hay que hacer notar que el teorema se ha reelaborado en

términos de condición necesaria pero no suficiente, es decir, si para un sistema de cargas la condición

necesaria no se cumple, el inicio de colapso es imposible, pero, si la condición necesaria se cumple,

esto no implica, en términos lógicos, que obligatoriamente la estructura deba colapsar. ¿Qué ocurre en

aquellos casos en que esta condición necesaria se cumple pero, además, corresponden a una solución

estáticamente admisible que respeta las condiciones límite de los materiales? En el caso del análisis

límite estándar, este caso correspondería a una solución de inicio de colapso con la carga de colapso

real (teorema de la unicidad). En el caso del análisis límite no estándar pueden existir múltiples

soluciones de inicio de colapso con distintos factores de carga y, también, soluciones que sólo sean

admisibles desde el punto de vista del equilibrio y tengan estos mismos factores de carga.

4.1.1 La programación matemática y la teoría de la plasticidad

El problema de hallar el mínimo del factor de carga de una solución de inicio de colapso, puede

dividirse en cuatro niveles de dificultad creciente:

1º Comprobación de que una solución dada es de inicio de colapso.

2º Obtención de una solución de inicio de colapso

3º Obtención de un mínimo local (o tal vez global) de las soluciones de inicio de colapso

4º Obtención del mínimo global (absoluto) de las soluciones de inicio de colapso.

A juicio del autor, las herramientas de programación matemática4 (determinista) más sencillas posibles

para cada nivel serían:

1º Problema lineal, o equivalentemente la comprobación de factibilidad de un programa lineal (LP),

para comprobar estrictamente que una determinada solución es de inicio de colapso.

Programa lineal, LP, para obtener el mínimo factor de carga para el mecanismo correspondiente a

dicha solución.

2º Problema de Complementariedad Lineal, LCP, para obtener una solución de inicio de colapso.

3º Programa Lineal con Restricciones de Complementariedad, LPCC ("Linear Program with

Complementarity Constraints"), para obtener un mínimo local del factor de carga de las soluciones de

inicio de colapso.

4º Programa lineal mixto entero 0-15, MILP 0-1, para hallar el mínimo absoluto del factor de carga de

inicio de colapso.

4 Los acrónimos que aún no se han definido se definirán a lo largo de este capítulo, no obstante, puede consultarse el glosario al final de la tesis. Por otra parte, como se ha intentado que las diferencias entre las implementaciones de los diferentes problemas sean mínimas, puede resultar aclaratorio ver el cuadro sinóptico al final de este capítulo (figura 4.9), en el que se comparan en términos muy generales dichos problemas 5 También llamado Programa Lineal Mixto Binario


173

4.2 Comprobación de una solución de inicio de colapso

4.2.1 Introducción

En primer lugar hay que formular un procedimiento que permita comprobar si una solución

determinada es de inicio de colapso.

La primera aproximación al problema es obvia, si se tiene una solución completa estática y cinemática

válida6, basta comprobar si se cumplen, además, las condiciones de contacto en forma de restricciones

de complementariedad. Al estar definidos todos los valores de los vectores y,z la comprobación no

plantea ningún problema.

Sin embargo, el carácter disjunto del problema permite ir mucho más lejos de este resultado, tal y

como se expondrá a continuación.

4.2.2 Formulación del problema

Al formular el problema como un programa bilineal disjunto7, se comprueba que, una vez definida una

de las dos partes del problema, es decir, obtenida una semi-solución estática o una cinemática, el

problema se convierte en lineal. Por tanto, es posible comprobar si se cumple el conjunto de

restricciones en las que se habrán sustituido los valores de las variables de la semi-solución.

Tal como se ha visto anteriormente, esta semi-solución debe de ser límite8, porque si no la única

solución que cabe al problema de complementariedad es la trivial9.

Por tanto, partiendo de una solución estática límite o de un mecanismo válido, la comprobación de si

forman parte de una solución de inicio de colapso, y la obtención de esta solución completa, es un

problema lineal (de inecuaciones).

Este hecho abre la vía a un método de aproximación al problema, comprobando si diversos

mecanismos o diversas soluciones estáticas límites son de inicio de colapso.

4.2.3 Solución mediante programación lineal

Una forma más sencilla de obtener una solución al problema es mediante Programación Lineal 10.

Dado que el problema, que se ha reformulado como bilineal, se convierte en lineal, al sustituir los

valores de las variables de una semi-solución dada, se puede utilizar la Programación Lineal para

6 Lo cual se comprobará con el cumplimiento de las correspondientes restricciones estáticas y cinemáticas. 7 Como se ha visto en el punto 3.6.3 del capítulo anterior. 8 Algunas de sus restricciones deben alcanzar sus valores límites convirtiéndose en igualdades, o lo que es lo mismo algunos de los componentes del vector y ó del z deben de ser 0. 9 Es decir aquella en que el otro vector es 0 10 Aprovechando el software de Programación Lineal que está en el Dominio Público


174

comprobar si el problema es factible. Además, si se añade una función objetivo a optimizar, el

problema lineal se convierte en un Programa Lineal (LP) .

Si la semi-solución de partida es un mecanismo válido y la función a optimizar es el factor de carga

de colapso, resolviendo el LP se obtendrá:

1º/ La comprobación de que el mecanismo válido no es de inicio de colapso, si el LP es no factible.

2º/ Una solución de inicio de colapso y su correspondiente factor de carga, si el problema es factible.

Además, este factor de carga será el óptimo global (mínimo absoluto en el caso desarrollado) para este

mecanismo concreto. Aún más, resolviendo otro LP idéntico pero de maximización, se obtendrá el

valor máximo global (absoluto) del factor de carga para este mecanismo.

Si ambos valores coinciden, este mecanismo tiene un único factor de carga de inicio de colapso (es

una solución aislada). Si, por el contrario, no coinciden, se obtendrá el rango de valores de factor de

carga para este mecanismo.

3º/ En los casos en que es posible enumerar todos los mecanismos válidos, esto lleva a la obtención del

factor de carga de inicio de colapso mínimo absoluto.

Si la semi-solución de partida es una de equilibrio límite, la sustitución en el Programa Bilineal (BP)

del correspondiente factor de carga dará un LP, cuya solución permitirá:

1º/ Si es factible, confirmará que la solución es de colapso y dará el mecanismo correspondiente.

2º/ En este caso, si se quisiera obtener el menor factor de carga correspondiente al mecanismo, se

procedería de la forma anteriormente descrita.

Esta linealización del problema en ambos sentidos, partiendo de una semi-solución conocida en cada

uno de ellos, es el germen del método general de resolución que se va a proponer más adelante.

4.2.4 Complejidad de obtención de la solución

La comprobación de la factibilidad de un LP, e incluso la obtención de una solución, si esta existe, es

un problema de complejidad polinomial, es decir, tratable utilizando Métodos de Punto Interior (IPM) ,

ver por ejemplo Bürgisser (2009).

En el caso de la utilización de métodos (como el Simplex) de pivotado, aunque su complejidad desde

el punto de vista teórico, en el peor caso, es no-polinomial y, por tanto, intratable, la amplísima

experiencia realizada con ellos permite asegurar que su complejidad en el caso medio es polinomial,

estando documentados casos de soluciones con un número elevadísimo de restricciones y variables.


175

En definitiva, comprobar si una semi-solución11 es parte de una solución, y hallar el factor mínimo

absoluto de la carga de colapso para ella, es un problema perfectamente tratable.

4.2.5 Aplicaciones

Hay una serie de aplicaciones que resultan obvias, después de lo indicado en los anteriores apartados:

1º/ Comprobación de si un mecanismo dado es de inicio de colapso

2º/ Obtención de la solución estática correspondiente

3º/ Comprobación de si una solución estática dada es de colapso

4º/ Obtención del mecanismo correspondiente

5º/ Obtención de la carga de inicio de colapso pésima para un mecanismo dado

Hay otra posible aplicación, potencialmente muy importante, que es su utilización como criterio de

aceptación en métodos de búsqueda global. Estos métodos, que se verán en siguientes capítulos, se

mueven por el espacio de búsqueda intentando encontrar candidatos a solución y, de entre las

soluciones encontradas, aquella que mejor cumpla el criterio deseado, en este caso el menor factor de

carga. El método propuesto puede servir para comprobar si un candidato es solución12.

4.3 Obtención de una solución de inicio de colapso

4.3.1 Introducción

El método expuesto en el punto precedente tiene como inconveniente que es un método de todo o nada.

O se acierta en la elección de los datos de partida (una semi-solución estática o cinemática o más

sintéticamente un vector y ó z ) y se obtiene una solución, o se fracasa, y no se obtiene más que la

confirmación de que no es solución.

Interesa, pues, desarrollar un método que saque partido del grado de violación de las restricciones y

que acerque sucesivamente a una solución, posiblemente de inicio de colapso.

Como ya se adelantó en el anterior capítulo:

1º/ El problema es formulable como problema de complementariedad lineal

11 La dificultad radica en como hallar esta primera semi-solución de partida. 12 Obsérvese sin embargo que es un método de todo o nada, de aceptación o rechazo. No teniendo en cuenta si la condición de factibilidad se viola en mucho o en poco. Es por tanto un método mejorable.


176

2º/ La complejidad de obtención de una solución a este problema es No determinista Polinomial13

(NP)

3º/ Gracias a la equivalencia entre problemas matemáticos, hallar una solución al LCP se puede

reformular como hallar un mínimo global de un BP.

Coloquialmente, la resolución de un problema NP requiere de un "oráculo" (de ahí lo de no

determinista) que "profetice" una posible solución, para después comprobar en tiempo o número de

operaciones polinomial (de ahí lo de polinomial) si realmente es solución.

Afortunadamente, existe tal "oráculo", un algoritmo debido a Konno (1971-1976), para obtener un

mínimo local de un BP. La eficacia universal de este algoritmo nunca se ha probado teóricamente,

pero tampoco se conoce ningún contraejemplo en el amplísimo tiempo transcurrido.

Se obtendrá también ventaja de que el valor del mínimo que se está buscando es conocido (es 0).

Por tanto, si se encuentra un mínimo local del "error de complementariedad" que valga 0, este será a

su vez un mínimo global14 de dicho error, y la solución correspondiente será una solución de inicio de

colapso.

4.3.2 Reformulación como un programa bilineal disjunto

El anterior párrafo puede ser reescrito de modo más formal, como se hace a continuación.

Si se escriben las restricciones de complementariedad en su forma bilineal, siendo 0µ = =ty z la

condición de contacto (puesta en forma de condición de complementariedad), se trata de hallar :

*. 0 s.a. ; ; ; Min µ µ= = = ≥ ≥ty z y - Mz k y 0 z 0 (4.1)15

Puesto que 0 0µ≥ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ty 0;z 0 y z , por tanto, cualquier mínimo local de dicho programa

bilineal, que sea igual a 0, será un mínimo global de dicho programa y, por ello, una solución del

correspondiente LCP, es decir, los valores de los vectores y,z corresponderán a una solución de

inicio de colapso.

13 Recuérdese que esto quiere decir que no hay método polinomial que garantice obtener una solución (de hecho los únicos que lo garantizan son los enumerativos explícitos o implícitos) pero que comprobar que una solución lo es sí es polinomial (se acaba de ver en el apartado anterior) 14 Desde luego no está garantizado que el mínimo que se encuentre valga 0, aunque éste exista. Este hecho es el que convierte el problema en NP. 15 El * en *y - Mz hace referencia a que, en la notación empleada desde el anterior capítulo, los vectores y, z ,

debido al carácter mixto del problema, están ampliados con otras variables no acotadas que no intervienen en la restricción de complementariedad ≤ ⊥ ≥0 y z 0.


177

Figura 4.1

En la figura 4.1 izquierda se representa el problema en forma bilineal con sus funciones a minimizar.

En ella, se puede comprobar que el punto ((0,3),(4,0)) en el cual se hacen mínimos e iguales a 0 las

funciones bilineales 1 1 2 2 ; y z y z , y por tanto ty z = 0 , es una solución al problema de

complementariedad lineal. En la figura de la derecha se representa el mismo problema con un cambio

de ejes, para facilitar la visualización del procedimiento en los casos tratados mediante programación

lineal sucesiva.

4.3.3 Solución mediante aplicación sucesiva de programación lineal

El método que se propone para encontrar una solución emplea las ideas planteadas en el artículo de

Mangasarian (1995). Para hallar una solución del programa bilineal se utiliza el algoritmo UBPA

(Uncoupled Bilinear Program Algorithm).

Descripción del algoritmo UBPA:

Es indiferente comenzar con un punto estático y o cinemático z , pero, para el ejemplo propuesto se

va a empezar por el y .

1º/ Se elige un punto y´ , que no tiene por que ser factible, es decir, no es necesario buscar una

solución estática admisible.

2º/ Sustituyendo el valor de y´ en (4.1) se obtiene un LP (4.2):

*. 0 s.a. ; ; Min µ µ= = = ≥ty´ z y´-Mz k z 0 (4.2)


178

3º/ Como resultado de la resolución del LP se obtiene el valor de un vector z´ y de un error de

complementariedad µ . Si el error de complementariedad es 0, el proceso ha acabado y se ha obtenido

una solución (y´,z´). En caso contrario, se sustituye el valor de z´ en (4.1) obteniéndose el LP (4.3):

*. 0 s.a. ; ; Min µ µ= = = ≥ty z´ y - Mz´ k y 0 (4.3)

4º/ Como resultado de la resolución del LP se obtiene el valor de un vector y" y de un error de

complementariedad µ . Si el error de complementariedad es 0, el proceso ha acabado y se ha obtenido

una solución (y",z´) . En caso contrario, se sustituye el valor de y" en (4.1), continuándose el proceso

hasta que se obtiene un . 0Min µ = o hasta que se llega a un punto estacionario en el que el valor de µ

permanece inalterado. En el primer caso, se habrá encontrado la solución, y en el segundo, el mínimo

será solamente local y el "oráculo" se habrá equivocado en su predicción.

Figura 4.2


179

Para facilitar su mejor comprensión se ha representado un caso con dos pares de variables en la figura

4.216

4.3.4 Obtención de una solución de inicio de colapso

Siguiendo el procedimiento anteriormente descrito, se habrá obtenido una solución de inicio de

colapso partiendo de un punto estático o cinemático ( vector y ó z) cualquiera17 y, por tanto, no

necesariamente factible. En caso de no haber llegado a una solución, se prueba desde otro punto de

partida18.

4.3.5 Interpretación geométrica y física del método

Considerando simultáneamente la figura 4.2 y las fórmulas (4.2) y (4.3), se puede realizar una

interpretación geométrica del método, paralela a la que se hizo del espacio de búsqueda y de

soluciones en el capítulo anterior. Partiendo de un punto estático (o cinemático) cualquiera y´ (ó z ) se

halla sobre el otro espacio cinemático 1 2 , z z (o estático 1 2 , y y ), que es uno de los puntos del

subpolitopo (en el caso de la figura es un punto, politopo de 1D o singleton) más cercano, en términos

de ortogonalidad, al punto de partida.

Desde el punto de vista de la Programación Lineal, una vez elegido el primer vector y´ (ó z ), el

espacio de soluciones factibles será un politopo definido exclusivamente en variables del otro vector z

(ó y). Se trata de buscar un punto dentro de este politopo que haga mínima la función

´ (ó ´ )i i i ii i

y z z y∑ ∑ cuyos coeficientes serán los componentes iy (ó iz ) del primer vector y´ (ó z´ ).

Reinterpretando esto último en términos de optimización en general, el vector z (ó y ), de

componentes í iz y= (ó í iy z= ), será el gradiente de una función a minimizar (las líneas de trazos

serán isovalores de la función) sobre el dominio definido por el politopo cinemático Z (ó estático Y).

En cualquiera de las interpretaciones, el procedimiento continúa del modo como se ha descrito, hasta

llegar a un punto estacionario de las funciones que se van definiendo sucesivamente sobre ambos

espacios.

16 Obsérvese que se ha cambiado el orden del los ejes respecto de la parte izquierda de figura anterior, adoptándose el de la parte derecha, dado que con este orden resulta mucho más intuitivo el proceso de resolución de los LPs 17 Esta capacidad del algoritmo para partir de un punto cualquiera es la que hace viable su aleatorización como se hará en capítulos posteriores. 18 De nuevo aquí se manifiesta la limitación en la resolución de problemas NP


180

La interpretación física del método ya se adelantó anteriormente, pero interesa remarcar que partiendo

de una primera elección aleatoria de valores de las variables de uno de los subproblemas, el

procedimiento produce, a partir de ellas, semi-soluciones estáticas y cinemáticas válidas en todo

momento, intentando aproximarlas en su correspondencia, es decir, en el cumplimiento de las

restricciones de contacto. Cuando se llega al punto del proceso en que se cumplen las condiciones de

contacto, se ha encontrado una solución de inicio de colapso.

Los puntos intermedios del proceso pueden entenderse como las soluciones no límites estáticas y

cinemáticas de los teoremas estándar y la minimización del error de complementariedad, como la

búsqueda del punto de acumulación.

Por todo lo expuesto, el procedimiento propuesto conserva todo el trasfondo físico del Análisis Límite

Estándar.

4.3.6 Otras reformulaciones que admiten su resolución mediante programación lineal

Tal y como se ha adelantado, otra posible reformulación, también debida a Mangasarian, es la

utilización de la función min( , )i iy z . En este caso, el procedimiento que no se va a detallar en

profundidad, porque sus significados tanto físico como geométrico no son tan claros, comienza

eligiendo para cada par ( , )i iy z 1...i n= cual de los dos valores es menor, se forma un conjunto con

todos los valores y menores { }1... ky y , y otro con los valores z menores { }1...k nz z+ .

En este algoritmo, la función minimizar será 1 1

k n

i iî i k

y z= = +

+∑ ∑ y el espacio factible será el conjunto de los

dos politopos. Obtenida una solución, que haga menor la función, se eligen los nuevos valores

menores de cada par y se repite el procedimiento hasta que la función se hace 0 (por tanto se tiene una

solución) o se llega a un punto estacionario (mínimo local distinto de 0).

Desde el punto de vista computacional, el rendimiento de ambos algoritmos es parecido aunque

depende de las características del problema. Pero, como puede observarse, este segundo algoritmo

carece de la claridad geométrica y física del primero. No obstante, es una alternativa para los casos en

que el otro no da buenos resultados.

Existen aún otras propuestas de linealización debidas al mismo Mangasarian, por ejemplo, una versión

del algoritmo de Frank-Wolfe para programas cuadráticos, que consiste en esencia en una

paralelización del primer método, partiendo a la vez de dos puntos cualquiera uno estático y el otro

cinemático.


181

4.3.7 Otras aplicaciones

Del mismo modo que el método de comprobación permitía comprobar si un punto candidato elegido

por un método de búsqueda local o global era solución, el método ahora propuesto permite hallar una

solución partiendo del punto elegido por dicho algoritmo. De este modo puede emplearse para:

1º/ Obtención de un óptimo local mediante multiarranque desde distintos puntos.

2º/ Obtención de una solución en métodos de búsqueda global.

4.3.8 Ulteriores mejoras

Una vez obtenida una solución, es posible aplicar el método descrito en el punto anterior, y obtener el

valor mínimo del factor de carga correspondiente al mecanismo de inicio de colapso obtenido.

Este procedimiento permite, al coste de una única resolución de un LP, obtener el mínimo global del

factor de carga para dicho mecanismo, que es un mínimo local del factor de carga de inicio de colapso.

La unión de estos dos métodos constituye la forma más simple de obtención de un optimo local del

factor de carga de inicio de colapso.

4.4 Obtención de un óptimo local de las soluciones de inicio de colapso

4.4.1 Introducción

Hasta ahora se han presentado dos formas de hallar una solución de inicio colapso19 , pero, en ambos

casos, sea encontrando una solución al problema o un mínimo igual a cero del programa bilineal, se

busca inicialmente una solución que cumpla con las condiciones de contacto, en forma de restricción

de complementariedad. El valor de λ se obtiene por ser una de las variables que intervienen en el

problema o programa y, por tanto, este valor puede ser cualquiera de los posibles. Sólo cuando se

proceda a la obtención del óptimo del factor de carga correspondiente al mecanismo, se podría hablar

de optimización local del factor de carga.

Si se resuelve repetidas veces el problema, o el programa, partiendo de distintas soluciones iniciales,

se obtendrán distintas soluciones de inicio de colapso con distinto λ , que será arbitrariamente mayor o

menor que los anteriores. Si se aplica el segundo paso, se obtendrán mínimos locales del factor de

carga en las mismas circunstancias.

19 Obviamente distinta de la de λ máximo en los casos en que ésta sea de inicio de colapso, ya esa solución se podría hallar resolviendo un simple programa lineal estático y comprobando después la complementariedad.


182

Se puede plantear un primer modo, muy grosero, de obtener una aproximación a un mínimo local deλ ,

resolviendo varias veces el problema, o programa, partiendo de distintos puntos, y llamando mínimo,

aunque desde el punto de vista de la optimización no lo es, al mínimo valor de las λ obtenido en las

distintas soluciones de inicio de colapso.

La extensión de este método, incluyendo tanto la búsqueda de una solución como la obtención de su

factor de carga mínimo, a un número suficientemente grande de casos, con una elección sistemática

de los puntos de partida, ya sea mediante una función auténticamente aleatoria, o mediante alguno de

los métodos de mallado adaptativo existentes20, dará una aproximación al mínimo global de λ .

De momento, se deja para el siguiente apartado la optimización global o las aproximaciones a ella,

exponiéndose en primer lugar los métodos de optimización local en sentido estricto.

Hablar de minimización es suponer la existencia de una función objetivo que se intenta minimizar,

sujeta al conjunto de restricciones que definen el espacio de búsqueda. En este caso se trata de hallar,

de entre todas las soluciones de inicio de colapso (conjunto de soluciones resultado del programa o del

problema) que cumplen por tanto la totalidad de las condiciones, la que tiene un menor λ (función

objetivo).

El factor de cargaλ es una de las variables que intervienen en el conjunto de condiciones estáticas

(pero no en las cinemáticas). Por otro lado21, como se dijo en el capítulo 2º ecuación (2.47), se puede

plantear λ como una función dependiente del conjunto de variables estáticas y cinemáticas. Para ello

se escribía la ecuación (2.49) de conservación del trabajo mecánico del sistema ( )λ =t t tq + g u s e, por

tanto λ t t tq u = -g u + s e, y como de acuerdo a la condición de normalización del trabajo de las acciones

exteriores variables 1=tq u , se tiene λ = t t-g u + s e, siendo gun vector de constantes estáticas, s un

vector de variables estáticas y u,e vectores de variables cinemáticas.

Independientemente de la forma que adopte la función objetivo, se puede expresar el programa al

menos de las siguientes maneras:

1º .Min λ . .s a * =y - Mz k ; ≥y 0 ; ≥z 0; 0λ ≥ ; 0µ = =ty z

2º .Min λ . .s a {λ λ∈ Min Min 0µ = =ty z . .s a * =y - Mz k ; ≥y 0 ; ≥z 0; }0λ ≥

Atendiendo a la estructura de los programas, en el primer caso se está ante un MPEC, y en el segundo,

aunque expresado de forma no ortodoxa, ante un BPP22. Un Programa Matemático con Restricciones

20 Que hagan un muestreo efectivo del dominio de búsqueda. 21 Teniendo en cuenta todo lo dicho repetidas veces sobre la normalización del trabajo de las acciones variables, y que su formulación igual a la unidad representa un caso particular. En caso de que no se quiera estar en dicho caso particular se debe renunciar a la representación del factor de carga en forma bilineal. 22 Un Problema de Programación Binivel , BPP (Bilevel Programming Problem), es aquel en que el óptimo del programa exterior (o líder) depende a su vez del resultado de un programa interior (o seguidor). El MPEC incluye al BPP como un caso particular.


183

de Equilibrio, MPEC (Mathematical Programming with Equilibrium Constraints), es aquel que tiene

como restricción, en el caso más general, Desigualdades Variacionales, IV , y en el caso particular que

se está tratando un Problema con Restricciones de Complementariedad, LPC, llamándose entonces

Programa Matemático con Restricciones de Complementariedad, MPCC (Mathematical Programming

with Complementarity Constraints).

Atendiendo a la naturaleza de la función objetivo, en el presente caso, el programa puede ser lineal o

bilineal. Si se utiliza λ como función objetivo, el programa es, obviamente, lineal, si se

utilizaλ = t t-g u + s e como función objetivo, el programa será bilineal (con variables estáticas g,s y

cinemáticas u,e).

El programa será por tanto un Programa Lineal con Restricciones de Equilibrio, LPEC, o un

Programa Bilineal con Restricciones de Equilibrio, BPEC; o más precisamente, un Programa Lineal

con Restricciones de Complementariedad, LPCC, o un Programa Bilineal con Restricciones de

Complementariedad, BPCC.

4.4.2 Formulación como programa lineal con restricciones de complementariedad

La formulación como LPEC, aunque luego lo trate dentro de la categoría general de MPEC, es la

utilizada por Ferris (2001). Utilizandoλ como función objetivo y reformulándolo como una serie de

programas de optimización no lineal, NLP.

Podría parecer que el problema quedó resuelto, buscando una reformulación adecuada del problema,

sin embargo, revisando la cantidad de artículos escritos en la última década, acerca de la experiencia

de resolver MPECs como NLPs, no se puede ser de momento tan optimistas23.

Tal vez, en un futuro, más o menos cercano, sea posible esta solución de manera más o menos

estándar, pero en la actualidad, aunque se ha pasado de una mayoría de estudios que consideraban

imposible la solución de este tipo de reformulaciones como NLPs, a estudios mucho más recientes que

diferencian el éxito de aplicar los distintos tipos de programas al presente problema (pareciendo tener

más éxito hasta la actualidad los de tipo SQP, "Sequential Quadratic Programming"), no hay aún un

método que resuelva con claridad una mayoría de los problemas de test planteados, ni una

reformulación que funcione mejor en todos los casos.

En cualquier caso, es una técnica aún en fase de investigación, y los resultados en este campo no son

suficientemente maduros para adoptarlos como un estándar.

23 Por otra parte, como se ha apuntado anteriormente, la resolución del problema como MPEC supone un salto hacia métodos de resolución de mayor complejidad que el problema a resolver.


184

Para una panorámica, de las posibles estrategias a emplear para este tipo de reformulaciones de un

MPEC como NLP, ver Ferris (2002).

Volviendo al problema, la obtención de un mínimo local puede plantearse, en su expresión más simple,

escribiendo un Programa Lineal con Restricciones de Complementariedad, LPCC (Linear Program

with Complementarity Constraints).

Los LPCC son un campo tremendamente activo en la actualidad. Se pueden ver por ejemplo los

trabajos de Thoai (2002-2005) Hu (2007) Hu (2008) Hu (2010) Júdice (2011) Anitescu (2012) y

Sherali (2012). Incluso, se ha propuesto, Fang (2009), una generalización del Método Simplex24 para

resolver este problema.

Siguiendo la formulación de Ferris, aunque no su caracterización del problema, ni su método de

resolución, se puede escribir (4.4):

Mín. s.a.

1

0

λ λ+==

≥≥⋅ =

t

t

t

t

B s = f = g q

-L s y

q u

Bu - Vz = 0

y 0

z 0

y z

(4.4)

Como es obvio, el conjunto de restricciones está formado por el LCP estudiado en el apartado anterior,

el espacio de búsqueda, en este nivel y en el siguiente, es el espacio de soluciones del nivel anterior.

Por tanto, el espacio de búsqueda en este caso viene definido por aquellos pares de puntos situados en

la envolvente exterior de ambos politopos, y para los que se cumple la condición de contacto.

Es la especial estructura del espacio de búsqueda, la que hace sumamente difícil la resolución de este

tipo de programas.

Ya se ha visto que el tipo de restricciones reducen el MPEC a un MPCC y que la función objetivo en

el caso lineal lo convierte en LPCC, y en el bilineal en BPCC.

En ambos casos, pero especialmente en el más simple, la dificultad principal no proviene de la función

objetivo a optimizar. En tal caso ¿qué tiene de especial el espacio de búsqueda, es decir, el espacio de

soluciones del LCP interno?. En los apartados anteriores ya se han apuntado sus características, pero,

por si quedara duda, se puede revisar , por ejemplo, el artículo citado de Schutter. En él se puede leer,

referido a los ELCP (LCP Extendido), una descripción geométrica: “todas las generalizaciones del

LCP mencionadas son casos particulares del Problema de Complementariedad Lineal Extendido,

24 Método de pivotado originalmente diseñado para encontrar una solución de un LP.


185

ELCP, y todas ellas tienen un conjunto de soluciones que consiste en la unión de caras de un

poliedro”25.

Esta unión de “caras” no será en general convexa, en cuanto haya más de una cara, y en el peor de los

casos, que como se ha visto es posible en contraejemplos buscados al efecto, puede ser incluso

inconexa.

De hecho, para conseguir un caso de soluciones inconexas del LCP, incluso aunque el rozamiento sea

asociativo, basta eliminar la condición 0λ ≥ , con lo cual se obtendrá habitualmente al menos una

solución de inicio de colapso superior y una inferior26.

En el presente caso, además, el politopo definido por las condiciones lineales esta subdividido en dos

subpolitopos en espacios de variables disjuntas, y cualquier punto que sea solución tendrá una parte

estática y otra cinemática, pero ambas en las envolventes exteriores de sus subpolitopos. Todavía más,

en muchos casos la correspondencia entre la parte estática y cinemática de una solución ni siquiera es

biunívoca, y a una misma semisolución estática pueden corresponder varias cinemáticas o viceversa.

En cualquier caso, ninguno de los puntos que son solución del LCP es estrictamente interior al

politopo(s) y, por tanto, algunos de los algoritmos para resolver un NLP tienen serias dificultades para

encontrar una solución.

Una imagen gráfica, inexacta pero muy potente, es imaginar un politopo como un huevo y el espacio

de soluciones del LCP (y por tanto de búsqueda del LPCC) como puntos, segmentos de recta y

polígonos convexos dibujados en su cáscara. Como puede imaginarse, para muchos algoritmos

moverse por un espacio de estas características es una tarea titánica.

4.4.3 Incorporación de las restricciones de complementariedad como penalización de la

función objetivo

1º/ Funciones de penalización.

Un enfoque habitual, para manejar las restricciones difíciles, es sustituirlas por un término de

penalización en la función objetivo que se intenta conducir a cero. Si se tiene el problema:

Min. ( )

s.a. ( ) 0

( ) 0

f x

g x

h x

≥=

25 Aquí cara no tiene un sentido bidimensional, sino que se refiere a un politopo de menor orden situado en la envolvente del politopo principal, y que puede ser un vértice, una arista, una cara bidimensional, o una cara n-dimensional 26 De nuevo ver Caveat lector!


186

En el que ( )h x es una restricción difícil de manejar, se sustituye por el problema penalizado:

Min. ( ) ( )

s.a. ( ) 0

f x P x

g x

ρ+≥

Siendo, usualmente,( )P x una función no-negativa que se hace 0 precisamente cuando ( ) 0h x = . El

parámetro de penalización ρ es una constante positiva. Se intenta conseguir que haciendo ρ

suficientemente grande se produzca una solución al problema penalizado con ( ) 0P x = y, por tanto,

una solución al problema original.

Esto sólo sucede si cada solución al problema es solución al problema penalizado. No siempre sucede

así, y de hecho, la función de penalización más comúnmente usada 2( ) ( ( ) )i iP x h x= Σ no tiene esta

propiedad.

A las funciones que sí tienen esta propiedad se les llama Funciones de Penalización Exactas. Las dos

funciones de penalización exactas más comunes son la función de penalización1ℓ definida por

( ) ( )i iP x h x= Σ y la ∞ℓ definida por { }( ) max ( )i iP x h x= , ambas son funciones no diferenciables.

La exactitud de la penalización garantiza que, si una de estas funciones de penalización es usada, cada

solución del auténtico problema es una solución del problema penalizado para un factor de

penalización ρ suficientemente grande (pero finito) , Benson27 (2003).

En el caso de problemas o programas con restricciones de complementariedad interesa especialmente

el caso de la penalización 1ℓ , con lo cual el problema queda:

Min. ( ) ( )

s.a. ( ) 0

ii

f x h x

g x

ρ+

≥

∑

Como la restricción de complementariedad debe de tener por definición todos sus términos positivos,

es decir ( ) ( )i ih x h x= , la reformulación penalizada queda:

Min. ( ) ( )

s.a. ( ) 0

ii

f x h x

g x

ρ+

≥

∑

27 Para métodos de penalización en general ver también: Mongeau (1995), Janesch (1997), Di Pillo(2010) y Jensen (2011) .


187

2º/ Las restricciones de complementariedad como penalización de la función objetivo

De modo que, en este caso, la función de penalización 1ℓ no sólo es exacta sino que además es

diferenciable. Utilizando esta reformulación, se puede reescribir (4.4) como:

Mín. ( )

s.a.

1

λ ρλ

++

==

≥≥

t

t

t

t

y z

B s = f = g q

-L s y

q u

Bu - Vz = 0

y 0

z 0

(4.5)

Con lo cual, el programa queda convertido en la minimización de una función objetivo con un término

lineal y otro bilineal, sujeta a restricciones lineales.

Alternativamente, se puede formular el programa como BPEC (MPEC con objetivo Bilineal), para

intentar sacar partido de las características especificas de este BPEC en concreto, y resolverlo usando

técnicas de linealización sucesiva.

4.4.4 Reformulación del factor de carga como función bilineal

Para evaluar la utilidad de la reformulación alternativa propuesta en el último párrafo hay que

responder a algunas preguntas:

- ¿Cuáles son estas características que se pretende aprovechar? Al margen de su inclusión en el grupo

más general de los MPEC, el programa es bilineal (estático-cinemático) con una única condición

bilineal (también estático-cinemática) y un amplio conjunto de condiciones lineales disjuntas (estáticas

por un lado y cinemáticas por otro). Se puede, pues, caracterizar el programa como un BIL (programa

bilineal general en la terminología de Audet).

- ¿Qué ventajas tiene esta reformulación? Aparentemente muy pocas, un BIL es un Programa

Cuadrático No Convexo con Condiciones Generales, y en este caso particular una de las condiciones

es a su vez Cuadrática No Convexa, es más ni siquiera es continua su primera derivada.

El hecho que se intenta explotar es que, dejando aparte la condición de contacto, el resto del programa

adopta la forma de un Programa Bilineal Disjunto28 (UBP o BILD ), es decir, es del mismo tipo que el

empleado en hallar una solución.

- ¿Y qué se hará con la condición bilineal de contacto, que es la que esta generando todas las

dificultades? Dado que la condición es bilineal en {,y z } , es decir, en variables estáticas y

28 Todo esto también es válido para el caso en que el factor de carga se exprese en forma lineal.


188

cinemáticas y tiene, por tanto, una estructura muy semejante a la función objetivo bilineal en

{ ; ,s u d } 29 también estática-cinemática, se puede intentar modificar el algoritmo UBPA para

programas bilineales disjuntos de modo que la incorpore.

Esta incorporación puede hacerse al menos de dos maneras:

1º Linealización sucesiva, no sólo de la función objetivo sino también de la condición de

complementariedad.

Se obtiene, así, una sucesión de programas lineales estáticos y cinemáticos en la que, partiendo de una

solución inicial de colapso, minimizando λ = − +t tg u s e linealizada sucesivamente como t ti i-g u + s e

y t ti+1-g u + s e, y manteniendo la complementariedad durante todo el proceso a través de la condición

linealizada 0=tiy z y 0=t

i+1y z , se llegará a un mínimo local de λ o al menos a una solución de inicio

de colapso con un λ menor, o igual si el descenso local no es posible, que el de la de colapso inicial.

Esta solución ha demostrado ser computacionalmente poco eficaz debido a que el único término que

se está minimizando es λ , quedando la minimización del error de complementariedad al albur del

proceso.

2º Incorporación de la condición de complementariedad a la función objetivo30 , en modo de

penalización o de multiobjetivo ponderado.

Minimizando λ πµ+ ó νλ πµ+ , que en forma bilineal sería ( )π− + +t t tg u s e y z ó

( ) ( )ν π− + +t t tg u s e y z , se llegará, si se eligen unos coeficientes ,ν π adecuados, a un mínimo local de

λ que satisfaga la condición de contacto 0=ty z .

Se obtiene, con el uso de esta nueva función objetivo, un Programa Bilineal Disjunto, al que se

aplicará el algoritmo UBPA (o alguno de los otros citados).

Como se puede apreciar, la primera formulación de la función objetivo (λ πµ+ ) es equivalente a la

utilización de un método de penalización mediante una función de penalización 1ℓ , que es un método

de penalización exacto, y es muy similar a la aplicación del método de los Multiplicadores de

Lagrange a la función objetivo y a la única condición que adopta forma de igualdad, siendo el

multiplicador π .

Para una explicación más detallada ver por ejemplo Benson (2003) ó Ralph (2004).

29 Y que también podría expresarse en función de { }y,z 30 Recuérdese que µ = ty z


189

Este segundo método, que se desarrolla en el siguiente apartado, no necesita partir de una semi-

solución factible31 y ha demostrado ser computacionalmente robusto adoptando esquemas adecuados

de penalización variable.

4.4.5 Reformulación como un programa bilineal disjunto

En (4.5) la variable λ sólo está definida en el conjunto de restricciones estáticas, por tanto, en los

pasos cinemáticos del proceso de linealización sucesiva λ será una constante32.

Recordando que se ha llamado eW al trabajo de las fuerzas exteriores y iW al trabajo de las fuerzas

interiores, y escribiendo la ecuación de conservación del trabajo mecánico:

e iW W= ⇔ =t tf u s e

Por tanto:

( )λ =t t tq + g u s e

Y recordando que ; = =e Vz e Bu y que 1=tq u , se puede escribir:

; ; λ = t t-g u + s e e = Vz e = Bu (4.6)

Por lo cual se puede reescribir (4.5) como:

Mín. ( )

s.a.

1

ρλ

++

==

≥≥

t t t

t

t

t

- g u - s e y z

B s = f = g q

-L s y

q u

e = Bu

e = Vz

y 0

z 0

(4.7)

Éste es un programa con función objetivo bilineal en todos sus términos y sujeto a restricciones

lineales.

Recordando que ; 0= = ⇔ − =e Vz e Bu Bu Vz se comprueba que estas restricciones lineales son

idénticas a las que se han venido manejando desde el principio, por tanto, que son disjuntas en y,z .

De este modo el problema de hallar un mínimo local de las soluciones de inicio de colapso,

inicialmente escrito como un LPCC, ha quedado reescrito como un programa bilineal sujeto a

restricciones lineales disjuntas, o mas brevemente Programa Bilineal Disjunto (BILD ó UBP)

31 Al igual que el método anteriormente expuesto para hallar una solución. 32 Tomará por tanto el último valor obtenido en la formulación estática.


190

4.4.6 Solución mediante aplicación sucesiva de programación lineal

En la figura 4.3, y en las explicaciones que la acompañan, se desarrolla paso a paso el proceso

seguido por el algoritmo P-UBPA para el caso en que λ se escribe en forma lineal.

Figura 4.3

El caso en que λ es bilineal se desarrollaría de igual manera, siendo la única diferencia que

λ = t t-g u + s e actúa como variable tanto en los pasos estáticos como en los cinemáticos.


191

El método que se propone a continuación33 es idéntico, en lo fundamental, al empleado para resolver

un LCP, con la única excepción de la función a optimizar. El problema a resolver es obtener un

mínimo de la función cuyo error de complementariedad sea 0, fórmula (4.8):

( )*Min s.a. ; ; ; 0 λ πµ µ µ+ = = ≥ ≥ =ty z y - Mz k y 0 z 0 (4.8)

Descripción del algoritmo34 P-UBPA para LPCC:

1º/ Se elige un punto y´ , que no tiene por que ser factible, es decir, no es necesario buscar una

solución estática admisible. En este primer paso aún no se habrá obtenido ningún valor de λ y por

tanto no se sustituye ésta en el 2º paso.

2º/ Sustituyendo el valor de y´ en (4.8) se obtiene un LP (4.9):

*Min s.a. ; ; µ µ = = ≥ty´ z y´-Mz k z 0 (4.9)

3º/ Como resultado de la resolución del LP se obtienen los valores de un vector z´ y de un error de

complementariedad µ . Si el error de complementariedad es 0 el proceso ha acabado y se ha obtenido

una solución (y´,z´). En caso contrario se sustituye el valor de z´ en (4.8) obteniéndose el LP (4.10):

*Min s.a. ; ; λ πµ µ+ = = ≥ty z´ y - Mz´ k y 0 (4.10)

4º/ Como resultado de la resolución del LP se obtienen los valores de un vector y" , un factor de

carga "λ y un error de complementariedad µ . Si el error de complementariedad es 0 el proceso ha

acabado y se ha obtenido una solución (y",z´) . En caso contrario se sustituye el valor de y" en (4.8)

obteniéndose el LP (4.11)

*Min " s.a. " ; " ; ; "λ πµ µ λ λ+ = = ≥ =ty z y - Mz k z 0 (4.11)

5º/ Se continua el proceso hasta que se obtiene una solución con 0µ = , o hasta que se llega a un

punto estacionario en el que el valor de µ permanece inalterado. En el primer caso, se habrá

encontrado la solución; y en el segundo, el mínimo será solamente local y el "oráculo" se habrá

equivocado en su predicción.

33 La propuesta de utilizar este tipo de métodos de linealización para la resolución de un LPEC debe de atribuirse también a Mangasarian, que es por otra parte, de los primeros en desarrollar el concepto de LPEC como pieza separada del MPEC, del que es un caso particular. 34 Es indiferente empezar con un punto estático y o cinemático z , pero para el ejemplo propuesto se va a

empezar por el y .


192

Si se prefiere se puede sustituir la formulación del paso 2º (4.9) por la equivalente:

*Min + s.a. ; ; ; 0λ πµ µ λ= = ≥ =ty´ z y´-Mz k z 0

Con lo cual la función objetivo adopta siempre la misma expresión.

Hay que destacar que en la formulación como LPCC, en los pasos cinemáticos solamente se minimiza

el error de complementariedad, mientras que en los estáticos se minimiza a la vez el error de

complementariedad y el factor de carga. En el caso de la formulación como BPCC se minimizan

ambos en todos los pasos.

4.4.7 Obtención de un óptimo local de la solución de inicio de colapso

Siguiendo el procedimiento anteriormente descrito se habrá obtenido, partiendo de un punto estático o

cinemático ( vector y ó z) cualquiera35, y por tanto no necesariamente factible, una solución de inicio

de colapso, cuyo factor de carga será un mínimo local de los factores de carga de inicio de colapso.

Figura 4.4

En el paso 4-5 del procedimiento anterior (figura 4.4) se puede apreciar que, de entre todos los valores

que cumplen la restricción de complementariedad (todos los puntos comprendidos entre 3 y 5), el

algoritmo obtiene el de menor factor de carga.

35 Esta capacidad del algoritmo para partir de un punto cualquiera es la que hace viable su aleatorización como se hará en capítulos posteriores.


193

En caso de no haber llegado a una solución que cumpla la restricción de complementariedad, se

prueba desde otro punto de partida36.

Mención aparte merece la elección del factor de penalización (o de los factores de ponderación).

Aún cuando cualquier número positivo por encima de un valor crítico llevará a la obtención de un

punto estacionario, la experiencia computacional muestra mejores resultados de convergencia cuando

se adopta un esquema de penalización variable, que vaya aumentando el peso de la penalización por

error de complementariedad según avanza el proceso.

4.4.8 Interpretación geométrica del método

Como se hizo en el anterior capitulo, el cumplimiento de las restricciones correspondientes a cada uno

de los dos grupos de variables, se puede reescribir como una relación de pertenencia a los poliedros

(politopos si son cerrados) definidos por el cumplimento de éstas.

{ }{ }{ }{ }

; ;

; ; 1 ;

λΕ ≡ + = ≥

Κ ≡ = ≥

t ty

tz

y B s = f = g q - L s y y 0

z e = Bu e = Vz q u z 0

Y por tanto (4.5) se escribiría:

Mín. ( )

s.a. E

K

λ π+∈∈

t

y

z

y z

y

z

(4.12)

Y (4.7) se escribiría:

Mín. ( )

Es.a.

K

π+∈∈

t t t

y

z

- g u - s e y z

y

z

(4.13)

Considerando al tiempo la figura 4.3 y las fórmulas (4.9), (4.10) y (4.11), se puede realizar una

interpretación geométrica del método, paralela a la que se hizo en el caso de la obtención de una

solución con un LCP. La única diferencia es que la distancia, función objetivo o gradiente, que antes

se referían exclusivamente a µ = ty z , ahora se refieren37 a λ πµ+ (en forma de función penalizada) ó

a νλ πµ+ (en forma de funciones ponderadas).

En el resto del apartado se va a tratar únicamente con la primera, aunque en los programas

desarrollados se ha empleado fundamentalmente la última38.

36 De nuevo aquí se manifiesta la limitación en la resolución de problemas NP 37 O, si se prefiere en forma desarrollada, a π+t t t-g u + s e y z (en forma de función bilineal penalizada) o a

( )ν π+t t t-g u + s e y z(en forma de funciones bilineales ponderadas). 38 Aún con todas las limitaciones de generalidad repetidamente indicadas, es la formulación equivalente a las más habitualmente empleadas con las que se va a comparar.


194

Referido por claridad a la primera, y sólo al caso de partir de un punto estático (figura 4.3), se tiene:

1º/ Dependiendo del paso en que se esté, elegido u obtenido un punto estático (o cinemático)

cualquiera y´ (ó z ), se halla sobre el otro espacio cinemático 1 2 , z z (o estático 1 2 , y y ) uno de los

puntos del subpolitopo (en el caso de la figura es un punto, politopo de 1D o singleton) más cercano

(en términos de ortogonalidad) al punto de partida, y que tenga el menor factor de carga posible39.

2º/ Desde el punto de vista de la Programación Lineal, elegido u obtenido el primer vector y´ (ó z ), el

espacio de soluciones factibles será un politopo definido exclusivamente en variables del otro vector z

(ó y), se busca dentro de él, un punto que haga mínima la función ´ i ii

y zλ π+ ∑ (ó i ii

z yλ π+ ∑ ),

cuyos coeficientes serán los componentes iy (ó iz ) del primer vector y´ (ó z´ ) y el valor del factor

de carga ´λ obtenido en el último paso estático.

3º/ Reinterpretando esto último en términos de optimización en general, el vector λ gradiente del

factor de carga, penalizado mediante el coeficiente π por el vector z (ó y ) de componentes í iz y=

(ó í iy z= ), será el gradiente de una función a minimizar (las líneas de trazos serán isovalores de la

función) sobre el dominio definido por el politopo cinemático Z (ó estático Y).

4º/ En cualquiera de las interpretaciones, el procedimiento continúa del modo como se ha descrito,

hasta llegar a un punto estacionario de las funciones que se van definiendo sucesivamente sobre ambos

espacios; si este punto cumple la restricción de complementariedad, el factor de carga obtenido será un

mínimo local de los factores de carga de inicio de colapso.

La interpretación física del método es idéntica a la dada para el caso de hallar una solución, pero

interesa nuevamente remarcar que, partiendo de una primera elección aleatoria de valores de las

variables de uno de los subproblemas, el procedimiento produce, a partir de ellas, semi-soluciones

estáticas y cinemáticas válidas en todo momento, intentando al tiempo reducir el valor del factor de

carga y aproximarlas en su correspondencia, es decir, en el cumplimiento de las restricciones de

contacto.

Cuando se llega al punto del proceso en que se cumplen las condiciones de contacto, se ha encontrado

una solución de inicio de colapso, cuyo factor de carga es a su vez un mínimo local de los factores de

carga de inicio de colapso.

Los puntos intermedios del proceso pueden entenderse como las soluciones no límites estáticas y

cinemáticas de los teoremas estándar. Y la minimización de la función, como la búsqueda del punto de

39 En todos los pasos, en el caso de los BPCC, y en los pasos estáticos, en el caso del LPCC


195

acumulación, que en este caso no sólo debe de ser una solución de inicio de colapso, sino además tener

el mínimo factor de carga posible.

4.4.9 Otras aplicaciones

Aparte de su aplicación obvia para obtener un óptimo local, hay una aplicación muy interesante para

obtener una aproximación (no cualificada) al óptimo global.

Esta aproximación al óptimo global, se haría mediante bisección del espacio de búsqueda y aplicación

sucesiva del algoritmo de búsqueda local.

El procedimiento sería:

1º/ Se halla un mínimo local partiendo de un punto cualquiera y utilizando uno de los algoritmos (por

ejemplo el UBPA), se obtendrá un valor del factor de carga 1λ .

2º/ Se reduce el espacio de búsqueda añadiendo la nueva condición 1λ λ≤ , y se repite el

procedimiento mientras se sigan hallando nuevas soluciones con un menor λ .

Esta aproximación no puede ser realmente considerada un óptimo global, en tanto que se ha repetido

varias veces que ningún procedimiento asegura que se encontrará una solución aunque exista. Sin

embargo, este procedimiento si puede utilizarse como un método rápido de reducción del espacio de

búsqueda; para aplicar con posterioridad otros procedimientos de búsqueda determinista exhaustiva o

de búsqueda aleatorizada.

4.5 Obtención de un óptimo global de las soluciones de inicio de colapso

4.5.1 Introducción

La nueva frontera en este campo radica en la obtención de resultados, sobre los que se tenga un cierto

grado de seguridad de que se encuentran en el entorno de los peores casos posibles. Referido al

Análisis Estructural, se ha avanzado poco en esta tarea. Desde que Ferris (1999) reconoce que los

resultados obtenidos por su método son mínimos locales40 y que la obtención de un mínimo global es

un objetivo desafiante, hasta que Gilbert y Casapulla (2006) opinan que los resultados obtenidos son

suficientes desde el punto de vista del análisis estructural, las conclusiones obtenidas parecen más bien

el reconocimiento de un "fracaso".

40 El citado Ferris hace una referencia acerca de un método optimización global de un MPEC pero aclara que se limita a problemas de muy pequeño tamaño.


196

Una opinión extendida es41 que, en definitiva, la estructura tal vez no sea lo “suficientemente

inteligente” para encontrar la solución pésima de colapso.

Dejando de lado los métodos heurísticos y metaheurísticos, que se verán más adelante, los intentos de

aproximación a un óptimo global a partir de la formulación como MPEC, o alguna de sus variantes, se

han basado (ya sea de forma explícita o implícita, declarada u oculta42) en métodos de optimización

local deterministas con puntos de arranque aleatorizados43. La solución obtenida es el “peor” de los

mínimos locales hallados.

La idea general, detrás de los métodos aleatorizados, es, que dado que un modo clásico, para

demostrar la complejidad computacional de un problema, es buscar un ejemplo de dicho problema

para el cual el número de pasos del método de solución propuesto sea máximo44, un modo de

enfrentarse con mejores probabilidades de éxito a estos casos “malintencionados” es aleatorizando la

respuesta que da el algoritmo, en el presente caso tomando un punto de partida aleatorio. Se obtiene

así un algoritmo menos sensible a los casos “malintencionados” y un número medio de pasos

previsiblemente mejor.

Estos métodos permiten hallar el “peor” de entre unos mínimos locales de modo bastante eficaz, en la

mayor parte de los casos, a pesar de tratarse de problemas de complejidad computacional

NP-completa, (No determinista Polinomial Completa).

El problema de todos estos métodos es que son incapaces de comprobar la calidad de las soluciones

obtenidas45 (Hu 2007).

En cualquier caso, se debe recordar que cualquiera de las soluciones anteriores, e incluso la obtención

de una solución de inicio de colapso al azar, por inexactas que sean, es mejor (o igual en el peor caso)

que la optimización aplicando los teoremas límites estándar, dado que estos llevan a encontrar la

solución de inicio de colapso de factor de carga máximo.

41 Expresada en los mismos términos antropomórficos que a veces se usan para los teoremas límites 42 Repetir los cálculos un número de veces partiendo desde distintos puntos y confiar en que alguno de ellos nos llevará al mínimo global o a algún mínimo local suficientemente cercano al global, como es evidente es una variante “pobre” de los métodos de arranque aleatorio, pues los puntos de arranque son varios distintos pero no elegidos aleatoriamente. 43 En el capítulo 6º se verá el por que de los buenos resultados de estos métodos observándolos desde un marco de trabajo más general. 44 En este caso, existirá un punto de partida, desde el cual el número de pasos para un determinado algoritmo de resolución sea máximo 45 "While there have been significant recent advances on nonlinear programming (NLP) based computational methods for solving MPECs, much of which have nevertheless focused on obtaining stationary solutions, the global solution of an LPEC remains elusive... many of them … are capable of producing a solution of some sort to an LPEC very efficiently. Yet, they are incapable of ascertaining the quality of the computed solution. This is the major deficiency of these numerical solvers".


197

4.5.2 Métodos globales deterministas

Los métodos globales deterministas realizan una búsqueda completa, pero están limitados a problemas

de tamaño reducido. La solución obtenida (salvo errores numéricos) es el mínimo global absoluto46.

Dejando de lado la caracterización como MPEC (ó LPCC), existen métodos de optimización global

determinista para su reformulación como un programa bilineal (BIL ó BP) y de obtención de todas las

soluciones de un ELCP (o XLCP ), pero todos estos métodos son sólo de aplicación a problemas de

muy reducido tamaño, debido a que todos ellos son en modo explícito o implícito enumerativos.

Explícitos son los métodos de resolución de LCPs que buscan una a una todas las soluciones, e

implícitos, los métodos de búsqueda de un mínimo global de un programa bilineal, BIL , que

comprueban sistemáticamente la totalidad del espacio de búsqueda mediante técnicas de Branch &

Bound , Intervalos, u otros métodos de similar tipo. El método BARON referido por Ferris es de este

último tipo.

En los siguientes apartados se van a dar algunos ejemplos de métodos implícitos y explícitos, que han

sido aplicados en algún momento a un problema académico, basado en el propuesto originalmente por

Parland (1982).

4.5.3 Métodos enumerativos explícitos

Aplicado al caso de estructuras de "bloques rígidos", se presentan dos ejemplos de métodos

enumerativos explícitos.

1º/ Las soluciones del problema de complementariedad lineal como conjunto de soluciones

factibles del programa lineal con restricciones de complementariedad

El primer ejemplo es debido a Fishwick y es el núcleo de su tesis de doctorado.

Consiste en la obtención de todas las soluciones del problema de complementariedad y la elección de

la de menor factor de carga. Para ello modifica el algoritmo original de Lemke para LCP, de modo

que éste no para hasta haber encontrado todas las soluciones.

Debe de aclararse que estás son sólo cuatro.

46 Para una introducción general a este tipo de métodos, y las limitaciones de tamaño de los problemas que pueden resolver actualmente, ver Neumaier (2004) y Neumaier (2005).


198

2º/ Los puntos extremos del conjunto de soluciones factibles estáticas como posibles soluciones

de inicio de colapso

El segundo método es debido al autor de esta tesis47, (Magdalena 2002). Consiste en la obtención de

todos los puntos extremos del politopo estático (posibles semi-soluciones) y la comprobación de si

realmente son soluciones de inicio de colapso. La de menor factor de carga de estas soluciones será la

buscada.

Figura 4.5

El procedimiento se representa sobre un ejemplo con 2 pares de variables en la figura 4.5. Partiendo de

la solución de inicio de colapso con máximo λ , se comprueba la totalidad48 de los vértices del

politopo estático en la dirección de los λ decrecientes, para comprobar cuales corresponden a

soluciones de inicio de colapso.

El proceso, realizado sobre el mismo problema de Fishwick, concluye después de haber comprobado

20 vértices y obtenido las mismas 4 soluciones que él.

En ambos casos se ha implementado un método determinista, basado en la búsqueda exhaustiva de

todas las soluciones, que garantiza un mínimo absoluto, pero que se ve limitado a estructuras de muy

pocas piezas (el modelo resuelto tiene tres).

En el primer caso se trata de hallar todas las soluciones de un problema, y en el segundo, de hallar

todos los mínimos locales de una función (el error de complementariedad particularizado para cada

vértice) sobre un politopo orientado según λ .

47 Se presentó como parte del trabajo para la acreditación de la Suficiencia Investigadora en la ETSAM UPM 48 Obviamente, si sólo se desea obtener el mínimo absoluto del factor de carga de inicio de colapso, se puede saltar la comprobación de complementariedad en aquellos vértices cuyo factor de carga sea mayor que el de una solución de inicio de colapso ya encontrada.


199

Ninguno de los dos casos es aplicable a estructuras ni siquiera de tamaño aproximado a un caso real, y

su continuación natural sería a través del uso de un programa especializado en politopos, pero el

rango de aplicación de estos programas se ve reducido a tamaños muy modestos.

3º/ Otros métodos similares

En otros campos de investigación, ajenos al Análisis Estructural, que manejan problemas del mismo

tipo, se han propuesto una serie de algoritmos que enumeran todas las soluciones de un LCP49.

Entre otros están los de Schutter et al. (1996), Audet (2003) y Avis et al. (2006). Sin embargo, todos

ellos, al igual que los anteriormente descritos, requieren que el número de soluciones sea reducido, con

lo cual su aplicación práctica se limitaría a ejemplos académicos.

4.5.4 Métodos "enumerativos implícitos"

Los métodos enumerativos implícitos son aquellos que recorren igualmente todo el espacio de

búsqueda, pero no necesariamente todas las posibles soluciones. Para ello, emplean procedimientos

que descartan de la búsqueda, zonas en las que se tiene la seguridad de que no puede haber soluciones

mejores (ó peores) que las ya encontradas.

1/ Reformulación como un programa lineal mixto-binario

De los métodos globales es de especial interés el de la reformulación del problema como un

“programa lineal mixto binario”, (MILP 0-1), porque permite establecer sin lugar a dudas la

complejidad computacional del problema, permite visualizar (para 2D y 3D) la estructura del espacio

de soluciones, y permite entender por qué la obtención de una solución local es tan asequible y, sin

embargo, no está garantizada y por qué es tan difícil la obtención de una solución global, a causa del

tamaño exponencial del espacio de posibles soluciones.

Un Programa Lineal Mixto Binario (MILP 0-1) tiene una o varias soluciones, pero un único valor

óptimo de la función objetivo. Para este tipo de problema existen métodos de resolución

(Ramificación y acotación, métodos de corte …) aunque su coste computacional para el caso general

es no polinomial.

La reformulación como MILP 0-1 se realiza partiendo del LPCC original, ecuación (4.4) , utilizando

de forma instrumental un escalar ϑ mayor o igual que cualquier valor de ,i iy z (figura 4.6).

49 Al modo que lo hace el algoritmo utilizado por Fishwick, pero esto sólo es posible para problemas con un número muy limitado de soluciones.


200

Éste se puede obtener50, si el número de pares de variables complementarias es m , realizando un

máximo de 2mLPs de maximización, y en los que la función objetivo será iy (ó iz ), sujeta a las

restricciones estáticas de las variables y (o a las cinemáticas de las variables z ).

( )

{ }1 1( ,.., , ,.., ) Y Z

1,...,m m

i i

y y z zy z

i mϑ ϑ

∀ ≡ ∈ ×≤ ≥ ∀ ∈

y,z (4.14)

Figura 4.6

Se puede escribir la restricción de complementariedad en función de una nueva variable x binaria.

{ }

0

( ) 0

0,1m

ϑϑ

≥ ≥ ≥≥ ⇔ − ≥ ≥

⋅ = ∈t

y 0 x y

z 0 1 x z

y z 0 x

(4.15)

Se puede comprobar que ambos conjuntos de restricciones son equivalentes:

0 0 0

0 00

0

(1 ) 00

01

0 0 0

i i

i ii

ii i

i i ii

ii

i i

y y

x zz

zx y

x z yy

yx

z z

ϑϑϑ

ϑ ϑϑ

≥ ≥ ⇒ = = ≥ ≥ ≥ ≥≥ ≥

− ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥= ≥ ≥ ⇒ =

Con lo cual, se puede escribir un programa MILP 0-1 (4.16), equivalente al programa LPCC original

(4.4)

{ }

Mín. s.a.

1

0

( ) 0

; ; 0,1mm m

λ λ

ϑϑ

+==

≥ ≥− ≥ ≥

∈ ∈ ∈

t

t

t

B s = f = g q

-L s y

q u

Bu - Vz = 0

x y

1 x z

y z xℝ ℝ

(4.16)

50 Es posible su obtención por métodos más eficaces, pero no es éste el objeto de la exposición.


201

2/ Complejidad de obtención de la solución

La reformulación del problema, como un Programa Lineal Mixto (MILP ), permite utilizar la

amplísima bibliografía y software existentes sobre el tema, dado que se trata de uno de los problemas

fundamentales de la Optimización Global, y permite caracterizar sin lugar a dudas el problema como

“intratable”, más concretamente NP-difícil (NP-hard), para el caso general.

Figura 4.7

La representación de sus variables binarias (0-1), tanto en forma de ortoedro, como de árbol de

búsqueda binario (figura 4.7), permiten comprobar que el tamaño del problema crece con 2n , siendo

n el número de variables binarias (o lo que es lo mismo, de pares de variables complementarias).

Según los casos, el número de vértices a comprobar en la representación poliédrica, será mayor o

menor que en los métodos enumerativos anteriormente descritos. La ventaja de la representación

binaria radica en la posibilidad de eliminar regiones completas mediante planos de corte adecuados.

La potencia de los métodos basados en su representación como árbol binario, radica en la posibilidad

de eliminar ramas completas del árbol, en las que se tiene la seguridad de que no pueden existir

soluciones mejores (ó peores) que las ya encontradas.

En ambas representaciones, los métodos para elegir estos planos de corte o eliminar ramas son una

disciplina bien asentada en el campo de la Programación Lineal Entera, que es una base fundamental

para el estudio de la Programación Discreta.

3/ Resolución directa del problema como programa lineal mixto binario

Dado que el campo de la Programación Lineal Entera es a la vez muy rico y complejo, y que existen

en el dominio público programas que se ocupan de este tipo de problemas, incorporando todo tipo de

sofisticadas herramientas para su resolución, se ha sometido el ejemplo ya tratado de Parland-Fishwick


202

a un proceso de reformulación como MILP 0-1 y, posteriormente, se ha resuelto con uno de estos

programas51, (cuadro 4.1).

MÍNIMO GLOBAL PARA EL MODELO DE PARLAND-

FISHWICK COMO ÚNICO MÍNIMO DE UN PROGRAMA

LINEAL MIXTO BINARIO (MILP 0-1)

Column names and values of

nonzeros in the solution

*******************************************************

* This is SYMPHONY Version 5.1.1 *

* Copyright 2000-2006 Ted Ralphs and others *

* All Rights Reserved. *

* Distributed under the Common Public License 1.0 *

*******************************************************

Reading input file...

Solving...

****** Found Better Feasible Solution !

****** Cost: 2.833302

****************************************************

* Optimal Solution Found *

* Now displaying stats and best solution found... *

****************************************************

=========== LP/CG Timing =====================

Total Wallclock Time 0.000

=========== Statistics =========================

Number of created nodes : 19

Number of analyzed nodes: 11

Depth of tree: 5

Size of the tree: 19

Number of Chains: 6

Number of Diving Halts: 3

Number of cuts in cut pool: 0

Lower Bound in Root: 0.000

Solution Found: Node 9, Level 2

Solution Cost: 2.833

x2 0.000

x3 1.000

x5 0.000

x7 0.000

x9 -0.000

x11 0.000

x14 1.000

x16 0.000

x18 1.938

x19 3.130

x20 1.532

x21 2.475

x23 3.876

x24 2.652

x26 0.943

x27 0.596

x28 1.789

x29 1.886

x30 1.193

x32 0.412

x33 3.750

x34 0.583

x35 2.167

x36 3.500

x37 2.667

x40 1.333

x41 2.833

x42 -2.167

x43 -0.667

x44 -0.667

x45 0.667

x46 1.000

x49 -0.000

x50 0.000

x52 -0.000

x53 -0.000

x55 1.000

x56 1.000

x57 1.000

x58 1.000

x59 1.000

x61 1.000

x63 1.000

x64 1.000

x65 1.000

x66 1.000

x67 1.000

x68 1.000

x69 1.000

x70 1.000

Cuadro 4.1

51 El programa empleado es el SYMPHONY, cuyos datos figuran en el cuadro 4.1


203

El único objetivo, del anterior ejercicio, ha sido mostrar que estos problemas pueden resolverse

globalmente reformulándolos de este modo

De los resultados obtenidos se puede deducir que el problema ha sido resuelto alcanzando

directamente el mínimo absoluto, y en un tiempo de cálculo52 (para este caso) mucho menor que los

métodos enumerativos.

Lamentablemente, se puede apreciar que incluso en un caso tan sencillo hay 70 variables, de las cuales

27 son binarias53. Por tanto, este método de resolución está también limitado a problemas muy

pequeños.

Figura 4.8

Un resumen de los principales procedimientos cuya implementación se ha tratado en este capítulo y su

referencia a los tipos de problemas o programas a que corresponden se recoge en la figura 4.8.

Además, al final del capítulo se incluye un cuadro sinóptico comparativo (figura 4.9) de los

principales instrumentos de programación matemática empleados.

4/ Otras propuestas de resolución

En los últimos 10 años se han desarrollado varios trabajos sobre el tema de la resolución global de un

LPEC que, como ya se ha dicho, es un campo "caliente" de investigación.

52 Sin embargo el tiempo empleado en la formalización del problema ha sido mucho mayor, resultando el tiempo total del proceso completo muy parecido en ambos casos. 53 Y ello después de haber aplicado el módulo de preprocesado del programa que elimina todas las variables y restricciones redundantes.


204

Entre los métodos propuestos destacan:

Thoai et al. (2002-2005), para MPCC basados en Ramificación y acotación B&B (Branch and Bound)

Pang et al. (2004-2008), para un modo específico de LPEC utilizando diversas técnicas (entre ellas

Ramificación y corte B&C "Branch and Cut")

Hu et al. (2007), para LPEC con reformulación como Programa Lineal Mixto Entero 0-1 (ó Binario)

MILP 0-1, utilizando diversas técnicas de resolución, y que ha servido de referencia para el método

desarrollado en el apartado anterior.

Júdice (2011), que hace una revisión de métodos y aplicaciones; y Anitescu (2012) y Sherali (2012)

que desarrollan una discusión sobre el anterior.

En todos los casos, la práctica computacional ha reportado buenos resultados54, pero el tamaño de los

problemas manejados, aún siendo mayor que los ejemplos dados en el caso de los métodos

enumerativos, sigue estando muy alejado de cualquier aplicación práctica en el campo del Análisis

Estructural.

4.5.5 Limitaciones de los métodos deterministas.

1º/ Limitaciones de los métodos de búsqueda global.

Llegados a este punto, se ha visto: que existen unos métodos de resolución exacta del problema, y que

como se ha demostrado son de complejidad computacional, para el peor caso, NP-difícil (NP-hard).

Éstos están limitados a la resolución de casos de muy pequeño tamaño y tienen un elevado interés

teórico pero muy escasa aplicación práctica.

Es una creencia ampliamente extendida, aunque nunca se ha probado, que los problemas NP-difíciles

son intratables, lo cual significa que no existe un algoritmo polinomial (i.e. eficiente) que garantice

encontrar una solución óptima o demostrar que ésta no existe.

Encontrar un algoritmo polinomial para el presente problema equivale, dadas las interrelaciones55 de

los problemas de la clase NP, a resolver el problema “P versus NP”, elegido por el Instituto Clay de

Matemáticas en Cambridge (Massachussets) como uno de los “Siete problemas del milenio”, y

premiada su resolución con un millón de dólares.

54 El problema, como ya se sabía, es resoluble y cada vez más fácilmente resoluble, pero sigue siendo computa-cionalmente intratable por métodos deterministas. 55 Una introducción asequible al tema de la complejidad computacional se puede encontrar en el artículo de Whitley (2005) y para una exposición más sistemática el libro clásico es el de Garey (1979)


205

Es, por tanto, de esperar que se trabajará con ahínco en su resolución y que los resultados se harán

públicos tan pronto como están disponibles. Mientras, la resolución del problema, tal como se ha

propuesto (hallar el mínimo absoluto de la carga de colapso para cualquier posible solución de inicio

de colapso), es imposible, excepto para pequeños modelos, desde el punto de vista de la programación

matemática puramente determinista.

2º/ Alternativas a la búsqueda global determinista

Reducidos, de momento, los métodos deterministas a un rango restringido de aplicaciones56, se trata de

revisar otros métodos que, aún no dando resultados tan buenos (en potencia), permitan dar una

solución práctica al problema en estudio.

De modo muy esquemático estos métodos pueden dividirse en:

a/ Métodos probabilistas puros, que son asintóticamente completos y asintóticamente deterministas

(para una muestra cuyo tamaño tiende a infinito se obtiene la solución exacta con probabilidad 1).

Presentan como principales inconvenientes que tampoco reconocen una solución cuando la encuentran

y que, para los casos reales con tamaño de muestra finito, se necesita un tamaño de muestra

relativamente grande, para obtener una solución con una determinada probabilidad y un determinado

error respecto al mínimo global.

Aún así, estos permiten la obtención de otras informaciones acerca del espacio de soluciones, tales

como los valores medios de las soluciones de inicio de colapso y, al revés que los otros, permiten

calificar la bondad de los resultados obtenidos. La solución obtenida es el punto correspondiente al

menor valor de los encontrados y, tal vez, no será ni siquiera un mínimo local, pero sí estará en un

entorno del mínimo global con la probabilidad fijada.

b/ Métodos heurísticos y metaheurísticos, que realizan una búsqueda incompleta, con un coste

computacional mucho menor que los deterministas, pero que ni siquiera pueden reconocer un mínimo

local cuando lo encuentran. La solución obtenida es el punto correspondiente al menor valor de los

encontrados, previsiblemente no será ni siquiera un mínimo local.

c/ Métodos híbridos, que utilizan un método de búsqueda global que dirige la búsqueda hacia las zonas

más prometedoras, unido a un método de optimización local que halla el mínimo local para dicha zona.

La solución obtenida es el “peor” de los mínimos locales hallados.

56 Salvo sorprendentes descubrimientos en el campo de la optimización global determinista


206

De todos estos métodos se va a tratar en la parte III bajo el título de probabilidad de colapso.

3º/ Conclusión

Tal vez el planteamiento determinista, propuesto en este capítulo, resulte demasiado costoso, desde el

punto de vista computacional, y demasiado excluyente, desde el punto de vista de las soluciones

consideradas como seguras. No se debe perder de vista que se está hablando de herramientas para

valorar la seguridad de estructuras que ya existen, y que se mantienen57 en pie en el momento del

análisis.

Un modo alternativo de tratar la multiplicidad de las soluciones de inicio de colapso, que es la causa

principal de estas dificultades, se verá en los siguientes capítulos.

57 Y en muchos de los casos se han mantenido en pie durante siglos.


207

CUADRO SINÓPTICO DE PROGRAMAS Y PROBLEMAS MATEMÁTICOS USADOS

Figura 4.958

58 Cuadro sinóptico comparativo. Sólo se pretende resaltar las relaciones entre problemas, por tanto, no se emplean los formalismos clásicos y se supone que la totalidad de los problemas está formulada en términos de las variables y,z. En este sentido, Y∈y debe de entenderse como una solución (vector y) que cumple todas las

restricciones estáticas (y, por tanto, está contenido en el poliedro Y definido por ellas), Z∈z como una que

cumple todas las cinemáticas y ó =0⊥ ty z y z como el cumplimiento de la condición de contacto (en forma de

restricción de complementariedad).


208

Parte III:

Probabilidad de colapso

210

Capítulo 5

Cálculo de la probabilidad de inicio de colapso:

caso general con conocimiento perfecto.

5. Cálculo de la probabilidad de inicio de colapso: caso general con conocimiento perfecto

212

Parte III. Probabilidad de colapso

213

5.1 Introducción

5.1.1 Tratamiento de la incertidumbre y la multiplicidad de soluciones

Hasta el momento, una vez perdida la seguridad que daban los teoremas límites clásicos, se ha seguido

un proceso histórico en el que primero, se han planteado unos nuevos teoremas límites de reducida

utilidad para el presente caso y posteriormente se ha intentado una resolución numérica del mismo.

En ambas vías de resolución se ha tenido como objetivo la obtención de unos resultados mínimos

absolutos, que den una completa seguridad, de que no es posible ninguna solución de inicio de colapso

por debajo de ellos.

En los numerosos casos en que se ha renunciado a obtener este mínimo absoluto1, esta renuncia ha

sido más el reconocimiento de un fracaso, que el resultado de una decisión previa.

5.1.2 Multiplicidad de soluciones

La raíz del problema está en el hecho de que, salvo para los casos especiales2 en que la carga de inicio

de colapso es única3, en el caso más general el problema de contacto unilateral puede tener múltiples

soluciones.

Esta multiplicidad, a menos que se demuestre un principio que permita decidir por una de ellas,

provoca incertidumbre acerca de cual es la que "realmente" se producirá. Además, aún cuando este

principio se demuestre, si es de mínimo absoluto, subsiste el problema de que hallarlo en el caso

general es intratable computacionalmente.

5.1.3 Incertidumbre

La incertidumbre es la falta de certeza en relación a un hecho o a un conocimiento.

1 Entre los escasos casos en que se ha obtenido el mínimo global está el de tres bloques de Parland-Fishwick Limit análisis of rigid block structures (1996) Rupert John Fishwick. Ph.D. thesis. University of Portsmouth 2 Por muy abundantes que éstos sean. 3 Recuérdese además lo advertido en "Caveat lector"


214

Atendiendo a esta doble faceta, en algunos campos científico-técnicos como toma de decisiones y

evaluación de riesgos, se distingue la incertidumbre aleatoria y la incertidumbre epistémica4.

Ambos tipos deberían ser tratados de distinto modo5.

5.1.3.1 Incertidumbre aleatoria o irreducible

La incertidumbre aleatoria tiene que ver con la variabilidad de los fenómenos físicos, es inherente al

fenómeno y no es reducible aunque aumente nuestro conocimiento de él.

Algunos autores prefieren llamarla variabilidad6, para evitar la ambigüedad inherente al uso común de

la palabra incertidumbre.

Un ejemplo de incertidumbre aleatoria es la altura de un sector de la población.

Es comúnmente aceptado que la incertidumbre aleatoria puede ser correctamente tratada, mediante las

herramientas de la teoría de la probabilidad y los métodos estadísticos.

5.1.3.2 Incertidumbre epistémica o reducible

La incertidumbre epistémica tiene que ver con el conocimiento incompleto del fenómeno en estudio y,

por tanto, es reducible cuando aumenta nuestro conocimiento de él.

No existe un acuerdo general en como debe de tratarse este tipo de incertidumbre7.

En algunos casos, especialmente si se trata de fenómenos no estudiados previamente, resulta difícil

distinguir entre ambos tipos de incertidumbre. En estos casos, no está claro si el comportamiento

observado se debe a la aleatoriedad propia del fenómeno, a la escasez de los datos obtenidos8 o a

deficiencias del modelo o el método empleados.

4 Sun, Si'Ao (2010) "Decision Making under Uncertainty: Optimal Storm Sewer Network Design Considering Flood Risk" Ph.D.Thesis University of Exeter 5 Nikolaidis (2004) "Comparison of Probabilistic and Possibility-Based Methods for Design Against Catastrophic Failure Under Uncertainty" 6 Abrahamson (2006) [Abrahamson (2006) "Seismic hazard assessment: problems with current practice and future developments" First European Conference on Earthquake Engineering and Seismology] 7 "Algunas de las teorías de interés son Análisis de intervalos, Teoría de conjuntos difusos, Teoría de la posibilidad, Teoría de la evidencia (Dempster-Shafer), y Teoría de las probabilidades imprecisas. La mayor parte de estas teorías están en una fase primitiva de desarrollo respecto a las teorías clásicas de la Probabilidad y la Estimación Bayesiana".[Sandia National Laboratories. "Epistemic Uncertainty Project" www.sandia.gov/ epistemic/] 8 Nikolaidis (2000) "Theories of uncertainty for risk assessment when data is scarce"


215

5.1.4 Posibilidad vs. Necesidad

En ausencia de algún principio, de máximo o mínimo9, aplicable a los problemas de contacto con

rozamiento no asociativo, la decisión de buscar el mínimo global (mínimo absoluto), de las cargas de

inicio de colapso, proviene del deseo de tener una seguridad absoluta de que el inicio del colapso no se

puede producir. Por supuesto, éste no se puede producir para una carga por debajo10 de este mínimo.

Hasta este punto del trabajo, se ha asumido el punto de vista pesimista de que si es posible que el

inicio del colapso se produzca hay que considerar que se producirá.

Esta actitud, acorde con los métodos deterministas empleados en la anterior sección y los métodos de

demostración de la matemática clásica11, es muy distante de la que se emplea en la toma de decisiones

y de la que incorporan los diferentes códigos de edificación.

Hay que distinguir claramente entre la posibilidad de un suceso y la necesidad de dicho suceso. El que

un hecho sea posible, no implica que necesariamente vaya a producirse.

5.1.5 Probabilidad vs. Determinismo

Se propone un cambio de enfoque, en el que la pregunta a responder no es ¿cuál es mínimo absoluto

de la carga de inicio de colapso? y ni siquiera ¿a cuánta distancia se halla el mínimo absoluto de la

carga de inicio de colapso? sino ¿cuál es la probabilidad de inicio de colapso para un factor de carga

dado? En términos coloquiales: no interesa “qué es lo peor que puede pasar” sino “qué probabilidades

hay de que pase”.

5.1.6 Enfoque probabilista del problema

En el presente capítulo se va a mostrar, mediante ejemplos muy simples, hasta que punto está

justificada, o no, la adopción del criterio pesimista de la búsqueda del mínimo absoluto.

Como alternativa se propone el criterio de cálculo de la probabilidad de inicio de colapso.

9 Peshkin et al. (1989) han propuesto un principio de mínimo para el caso relacionado de la manipulación robótica cuasi-estática de un objeto, pero no parece aplicable para el presente. De cualquier modo, al tratar del colapso cuando el fallo es del tipo "eslabón más débil" se verá como puede implementarse. 10 Recuérdese la advertencia hecha en Caveat lector! 11 Recuérdese que basta un único contraejemplo para falsar una teoría y; por el contrario, deberían comprobarse todos los posibles casos para verificarla.


216

Aceptando como única hipótesis de partida que12 cualquiera de las soluciones de inicio de colapso

posibles son igualmente probables, las preguntas a responder son: ¿Cuál es la probabilidad de que el

factor de carga de una solución de inicio de colapso sea el mínimo?, ¿Y el máximo?, ¿Cuales son los

factores de carga de inicio de colapso más probables? o, de forma más general, ¿Cuál es la

distribución de probabilidades de los factores de carga de inicio de colapso?.

Traducido a un campo más familiar para el análisis estructural: ¿Cuál es la probabilidad de inicio de

colapso para una carga dada? o ¿Cuál es el factor de carga correspondiente a una determinada

probabilidad de inicio de colapso?

5.2 Caso de estudio: sólido rígido simplemente apoyado

Sea un sólido rígido de peso Q y ancho 2b apoyado en dos puntos, el izquierdo con rozamiento y

situado en cualquier punto entre el centro del cuerpo y su extremo inferior izquierdo, el derecho sin

rozamiento situado en el extremo inferior derecho. El sólido esta sometido a la acción de su propio

peso Q y a la de una fuerza f 13 horizontal, aplicada junto al apoyo, que intenta desplazarlo hacia la

derecha (figura 5.1).

Figura 5.1

12 En tanto no se disponga de un principio (de máximo o mínimo) que permita elegir una determinada solución.

13 Aclaraciones a la notación: Al ser éste un capítulo introductorio al enfoque probabilista del problema, y desarrollarse sobre ejemplos elementales que no deberían requerir ningún conocimiento estructural previo para su entendimiento, se ha optado por una notación más sencilla y nemotécnica que la empleada en los anteriores. En ellos el objetivo era mantener, dentro de lo posible, un modo de notación asimilable al de los artículos a los que se hacía referencia, y adecuado para la formulación matricial. En este capítulo al peso propio se le llama Q, a la reacción en los apoyos se le llama R y a las componentes de la reacción en los apoyos con rozamiento: N a la normal y T a la tangencial. A las acciones variables, que son una o varias iguales, f. Al tratarse de la única acción variable que se considera en los ejemplos de este capítulo, para no complicar innecesariamente las abundantes fórmulas, se ha preferido simplificar la notación a una simple f, en lugar de utilizar la notación general qλ para acciones variables

empleada desde el 2º capítulo. Por otro lado, parece innecesario descomponer la acción en un factor de carga λ que afectaría a una fuerza variable unitaria q, según la notación general pensada para sistemas de fuerzas a las que se hace crecer proporcionalmente según dicho factor.


217

Para cualquier valor de : 0 1α α≤ ≤ la obtención de las reacciones verticales ,R N es un problema

determinado. Se tienen dos incógnitas ,R N y dos ecuaciones 0oM =∑ ; 0yF =∑ .

Sin embargo el valor de f está indeterminado.

Siendo ϕ el ángulo de rozamiento estático (de Coulomb) entre el cuerpo y el apoyo. Llamando φ a la

tgϕ y ρ a la relación entre T y N , se tiene:

; ; ; 0 0T N tg T N f T f Nρ ρ φ ϕ φ φ= ≤ = ≤ ≤ = ⇒ ≤ ≤

Si se quiere hallar el valor de f para el cual comenzaría a producirse el deslizamiento, la condición

debe de alcanzar su valor límite tgρ φ ϕ= = por tanto T Nφ= y f Nφ= . Esta última expresión

refleja la tercera ecuación de equilibrio 0xF =∑ que permite hallar un valor único para f

Considérese ahora una estructura un poco más compleja (figura 5.2), idéntica en el lado derecho, pero

en la que, en el lado izquierdo, en lugar de un único punto de apoyo hay 1n + puntos de apoyo,

repartidos uniformemente entre el centro del sólido y el extremo izquierdo.

Incluso para el caso en que 1n = , el problema de obtener las reacciones verticales iN está

indeterminado, puesto que se siguen teniendo dos ecuaciones 0oM =∑ (5.1) y 0yF =∑ (5.2) pero

al menos tres incógnitas 0, , iR N N

Figura 5.2

Cualquier solución de equilibrio debe de cumplir las ecuaciones (5.1) y (5.2)

1

0n

o ii

iM bR bN

n=

= − =∑ ∑ (5.1)

01

0n

y ii

F R Q N N=

= − + + =∑ ∑ (5.2)


218

Y las restricciones (5.3) , (5.4) y (5.5)

0R ≥ (5.3)

0 0N ≥ (5.4)

0 | 1...iN i i n≥ ∀ = (5.5)

Si además es una solución límite, para la cual se inicia el deslizamiento, deberá cumplir la ecuación

(5.6) que expresa el equilibrio de fuerzas horizontales en el caso límite.

01

( ) 0n

x ii

F f N Nϕ=

= − + =∑ ∑ (5.6)

El conjunto de igualdades y desigualdades (5.1),(5.2),(5.3),(5.4),(5.5)y(5.6) definen las condiciones

que debe de cumplir cualquier solución estática que además sea de inicio de colapso (por

deslizamiento hacia la derecha). A este tipo de solución se la llamará "solución de inicio de colapso".

Aunque la solución esté indeterminada (no hay una única solución), se puede obtener el conjunto de

todas las posibles soluciones. El método para conseguirlo es reducir el problema a un conjunto de

desigualdades que definan una región del espacio en la cual estas desigualdades se cumplan. Para ello

se obtienen los valores de dos de las variables R, N0 en función de las demás variables Ni utilizando las

dos ecuaciones de las que se dispone. A continuación, se sustituyen estos valores en las igualdades

(5.1) y (5.2), obteniendo un conjunto de igualdades en las variables Ni.

De (5.1) se obtiene R

1

n

ii

iR N

n=

=∑ (5.7)

Sustituyendo R en (5.2)

0 01 1 1

0 (1 ) 0 n n n

i i ii i i

i iN Q N N N N Q

n n= = =

− + + = ⇒ + + − = ⇒∑ ∑ ∑

Se obtiene N0

01

(1 )n

ii

iN Q N

n=

= − +∑ (5.8)

Igualmente, de (5.3),(5.4)y(5.5) se obtiene un conjunto de desigualdades en las variables Ni y

sustituyendo (5.7) en (5.4) y (5.8) en (5.4) se obtiene

1

0n

ii

iN

n=

≥∑ (5.9)

1

(1 ) 0n

ii

iQ N

n=

− + ≥∑ (5.10)


219

(5.5), (5.9) y (5.10) definen una región en el espacio nℜ de las variables iN en la cual se cumplen las

condiciones de equilibrio de las fuerzas verticales.

Dicha región puede ser:

1º/ el conjunto vacío, si el problema no tiene solución.

2º/ un conjunto de un solo punto ("singleton"), si la solución es única.

3º/ un poliedro abierto, si la solución no está acotada para alguna de las variables.

4º/ un poliedro cerrado, si la solución es múltiple y esta acotada para todas las variables

Este último caso es el más general. Al poliedro, que en 1ℜ sería un segmento de recta, en 2ℜ un

polígono convexo cerrado y en 3ℜ un poliedro 3D convexo cerrado, en nℜ se le da el nombre de

politopo de dimensión n .

Salvo en el caso 1º, en que no hay solución, el conjunto de soluciones posibles es un cuerpo convexo

en un espacio de n variables iN : 1...i n=

Aún, sin utilizar queda la ecuación (5.6), a partir de la cual se obtendrá el valor de f como una función

de las variables Ni.

Obteniendo Q R− de (5.2) y sustituyéndolo en (5.6) se obtiene:

01

n

ii

Q R N N=

− = +∑

( )f Q Rφ= −

Y sustituyendo el valor de R obtenido en (5.7) se obtiene:

1

( )n

ii

if Q N

nφ

=

= −∑ (5.11)

Se ha obtenido un politopo V definido por (5.9), (5.10) y (5.5) (correspondiente al conjunto de todas

las soluciones de inicio de colapso) que está situado en el ortante positivo de nℜ y una función lineal

f en nℜ definida por (5.11), que expresa el valor de la carga de inicio de colapso correspondiente a

cada punto de V.

El gradiente de la función f será:

( ) ( , 1.. ) ( , 1.. )i

f igrad f i n i n

N nφ∂= = = − =

∂


220

Para el caso en que 2n = se pueden representar gráficamente los resultados anteriores, (figura 5.3).

Figura 5.3

En este caso las fórmulas (5.5), (5.9), (5.10) y (5.11) se convierten en:

1 2

10

2N N+ ≥ (5.12)

1 20 ; 0N N≥ ≥ (5.13)

1 2

32 0

2Q N N− − ≥ (5.14)

1 2

1( )

2f Q N Nφ= − − (5.15)

Y el gradiente de la función f :

1 2

1( ) ( , ) ( ) ( , 1)

2

f fgrad f grad f

N Nφ∂ ∂= ⇒ = − −

∂ ∂

Por tanto:

( ) 1

( , 1)2

grad f

φ= − −


221

Comentarios a la figura 5.3:

1º/ La restricción (5.12) es redundante respecto de las restricciones (5.13), por tanto, se puede eliminar.

2º/ Existe toda una región V de soluciones de inicio de colapso, dicha región es convexa y está

delimitada por las restricciones no redundantes.

3º/ Se puede definir una función f correspondiente a las cargas de inicio de colapso, que es lineal en

las variables iN y que nos permite hallar la carga de inicio de colapso, correspondiente a cada punto

de la región (cada solución de inicio de colapso)

4º/ Se puede hallar el gradiente de dicha función, que es constante (al ser lineal la función), y que

indica la dirección de crecimiento de f

5º/ Empleando cualquier método de optimización local, se pueden hallar los valores máximo maxf y

mínimo minf de la función f , que son únicos.

6º/ El valor minf corresponde al mínimo absoluto de las soluciones de inicio de colapso, por debajo de

este valor de f el inicio del colapso es imposible.

7º/ El valor maxf corresponde al máximo absoluto de las soluciones de inicio de colapso, por encima de

este valor de f el inicio del colapso es seguro.

8º/ El valor maxf corresponde a la cota superior de los resultados de aplicar el teorema estático del

análisis límite estándar.

9º/ Por tanto, aplicar métodos de maximización, a formulaciones obtenidas aplicando el teorema

estático del análisis límite, es imprudente.

10º/ Como se puede deducir de la intersección de las rectas de f constante y la región V , la densidad

de probabilidad no es la misma para todos los valores de f . Mientras que a maxf y minf estrictamente

les corresponde una densidad 0 (un único punto), a cada uno de los intervalos de los restantes valores

intermedios les corresponden diferentes densidades, que varían con el valor medio de f en el intervalo.

Se comprueba así que, aún cuando todos los valores de f entre maxf y minf son posibles, no son

igualmente probables.

La exposición del problema concluye planteando el caso general, que no se restringe a las soluciones

de inicio de colapso, sino que considera todas las soluciones estáticas admisibles, incluidas aquellas en

las que no puede producirse el inicio del colapso.


222

En el caso general i iT Nφ≤ , por tanto, aplicando 0xF =∑ se obtiene:

01

( ) 0n

ii

f N Nφ=

− + ≤∑ (5.16)

Despejando 01

n

ii

N N=

+∑ en (5.2) y sustituyéndolo en (5.16) se obtiene:

( ) 0f Q Rφ− − ≤

Y sustituyendo el valor de R obtenido de (5.7) se obtiene:

1

( ) 0n

ii

if Q N

nφ

=

− − ≤∑ (5.17)

En este caso, f en lugar de una función será una nueva variable, que está incluida en la nueva

restricción (5.17), y debe ser 0f ≥ por el planteamiento inicial del problema; (5.5), (5.9), (5.10) y

(5.17) definen una región, en el ortante positivo del espacio 1n+ℜ de las variables { },iN f en la cual se

cumplen todas las restricciones estáticas.

En el caso más general dicha región es un politopo en 1n + dimensiones y cualquier punto del

politopo constituye una solución estática admisible.

La figura 5.4 representa el caso para n=2

Figura 5.4


223

Comentarios a la figura 5.4:

1º/El conjunto de soluciones de inicio de colapso, formada por el politopo de dimensión n (polígono,

en este caso) de vértices { }0 1 2, ,V V V , es la cara superior del politopo en n+1 dimensiones (poliedro, en

este caso); y se obtiene al cortar el cuerpo definido por las restricciones (5.5), (5.9) y (5.10), con el

hiperplano en n+1 dimensiones (plano en este caso) definido por la ecuación (5.11).

2º/Cualquier punto del poliedro (o politopo) situado por debajo de la citada cara es una solución

estáticamente admisible, pero que no es de inicio de colapso.

3º/Para los valores de f comprendidos entre minf y maxf , existen soluciones con el mismo valor de

f , algunas de las cuales, pocas, son de inicio de colapso y otras, muchas, no. Por tanto, encontrar,

para un determinado valor de f , una (o muchas) soluciones estáticamente admisibles que no sean de

inicio de colapso, no garantiza que el inicio de colapso no se pueda producir para dicho valor de f .

De los comentarios 10º a la figura 5.3 y 3º a la figura 5.4 se deduce que la aplicación de métodos de

optimización para obtener los valores extremos no es una opción aceptable, cuando se trata de evaluar

la seguridad de una acción f de valor comprendido entre minf y maxf , y que se puede plantear el

estudio de la probabilidad de inicio de colapso, para un valor de f dado, como alternativa y/o

complemento a ellos.

5.2.1 Probabilidad de inicio de colapso como relación de volúmenes

Definiciones

Por definición, la probabilidad condicionada14 de inicio de colapso, para un determinado factor de

carga, es el porcentaje de todos los factores de carga de inicio de colapso de valor igual o inferior al

factor dado respecto del total de los factores de carga de inicio de colapso.

Llamando Volumen a una magnitud que en 1 dimensión es una longitud, en 2 dimensiones un área, en

3 dimensiones un volumen y en n dimensiones un volumen n-dimensional, se puede definir la

probabilidad condicionada de inicio de colapso, para un valor de f dado, como la relación entre el

Volumen de las soluciones de inicio de colapso cuyo valor de f es menor o igual que el dado y el

Volumen de todas las soluciones de inicio de colapso.

14 Se va a estudiar la distribución de las soluciones de inicio de colapso respecto de todas las soluciones de inicio de colapso posibles. No se considera la distribución de las soluciones de inicio de colapso respecto de todas las posibles soluciones de equilibrio válidas.


224

En efecto, para minf f= el Volumen de las soluciones con valor de f menor o igual al dado es 0 y,

por tanto, la probabilidad de inicio de colapso es también 0. Y para maxf f= el Volumen de soluciones

con valor de f menor o igual al dado es igual al Volumen total de soluciones y, por tanto, la

probabilidad de inicio de colapso es 1.

.

Figura 5.5

En la figura 5.5 se representa (para el caso de n=2), con trama, el Volumen de todas las soluciones de

inicio de colapso y, en trama oscura, el Volumen de las soluciones de inicio de colapso cuyo valor de

(5 / 6)f Qφ≤

El problema de la obtención de la probabilidad de inicio de colapso, para un valor de f dado, se

convierte en un problema de calcular los volúmenes de los correspondientes politopos, formados cada

uno de ellos por la intersección de un semiespacio (definido por la restricción f ≤ ) con el politopo de

todas las soluciones de inicio de colapso.

Existen varios tipos de métodos para hallar el volumen de un politopo (Gritzmann et al. 1994). De

entre ellos se van a considerar dos, que se expondrán a continuación para un caso general y que

posteriormente se aplicarán a la resolución del caso concreto en estudio, aprovechando aquellas

características especiales que permiten un tratamiento simplificado.


225

Cálculo exacto del Volumen de un politopo

El primero de los tipos comprende diversos métodos de "triangulación".

Se denomina "simplex" al politopo más simple posible en cada número de dimensiones. Así, en 1

dimensión es un segmento de recta, en 2 dimensiones un triángulo, en 3 dimensiones un tetraedro, en 4

dimensiones un pentácoron ... y en n dimensiones un n-simplex.

Un simplex de n dimensiones tiene 1n + vértices.

Al igual que se puede obtener el área de un polígono plano descomponiéndolo en triángulos y

sumando sus áreas, se puede obtener el Volumen del politopo como la suma de los Volúmenes de los

simplex en que se puede descomponer.

Una descripción de este tipo de métodos puede encontrarse en Büeler et al (2000) y una

implementación de software para su aplicación numérica en VINCI version 1.0.5 (Computing volumes

of convex polytopes) Büeler et al (2003).

Estos métodos constan de dos procesos básicos: enumerar los simplex y hallar su volumen.

Para el primero de los procesos existen diversos métodos, tal como se describe en (Büeler et al 2000)

(figura 5.6).

figura 5.6


226

Para el volumen el método clásico se basa en la resolución de un determinante (figura 5.7).

Figura 5.7

El volumen del paralelotopo (paralelepípedo n-dimensional) que inscribe perfectamente al simplex y

el del propio simplex son:

1 0 1 0

0 0

1det ... det ...

!par simplex

n n

v v v v

Vol Voln

v v v v

− −= ⇒ =

− −

Estos métodos de "triangulación" son exactos, pero su aplicación práctica se limita a politopos de

reducido número de vértices y dimensiones, dado que su coste computacional crece mucho más

deprisa de lo que lo hace el tamaño del problema.

En el presente trabajo, este método exacto se utiliza para resolver un caso con n=10, y comparar los

resultados con el mismo caso, resuelto con el método "aproximado" que se describe a continuación.

Cálculo "aproximado" del Volumen de un politopo

El segundo de los tipos que se va a estudiar es la integración numérica. De entre los posibles métodos

de integración numérica se ha elegido el de Monte Carlo (Fishman 1999).

La idea básica de la integración por el método de Monte Carlo es usar probabilidades para estimar el

valor de la integral. Dentro de este tipo de métodos, la primera opción a considerar es el conocido

como "método de rechazo". Éste consiste en inscribir el cuerpo, cuyo volumen se quiere calcular, en


227

un paralelotopo ortogonal y alineado según los ejes principales, realizándose un muestreo aleatorio y

uniforme de los puntos del paralelotopo.

El volumen del cuerpo es el porcentaje de puntos de la muestra que pertenecen al cuerpo, multiplicado

por el volumen del paralelotopo (producto de sus dimensiones según los ejes principales).

El primer paso a dar es hallar los vértices del politopo, para poder definir el paralelotopo circunscrito

("bounding box"). En el caso de un politopo genérico hallar este paralelotopo circunscrito puede ser un

proceso laborioso, pero en el presente caso basta con hallar los vértices con valores máximos de kN .

Estos se obtienen haciendo 0 0N = , 0iN = ; i k∀ ≠ en (5.10)

Sustituyendo (1 ) 0k

kQ N

n− + ≥ ⇒ (1 ) k

kQ N

n≥ + ⇒ k

nQN

n k≥

+

El rango de valores de kN será: 0k

nQN

n k≥ ≥

+

Y el vértice kv del politopo, en base 1( ... )nN N será (0,0...max( )...0)k kv N= (0,0... ...0)nQ

n k=

+

Por otro lado, | 1...i i n∀ = se cumple que min( ) 0iN = , por tanto, el vértice 0v común a todos los

iN será 0 (0,0...0...0)v = .

La envolvente convexa, de los 1n + vértices obtenidos 0 1{ , ... }nv v v , en un espacio de n dimensiones,

es un simplex, tal como lo se ha definido anteriormente, además, puesto que las aristas del simplex que

se cortan en el vértice 0v se encuentran situadas sobre los ejes principales y, por tanto, son ortogonales,

es un simplex con una esquina ortogonal correspondiente al vértice 0v (es una generalización en n-

dimensiones de un triangulo rectángulo).

El volumen de un simplex ortogonal con 0v en el origen es:

1 0

0

01

1 1 1 1 ( )det det

(2 )!! ! ! ( 1)( 2)...( ) ! (2 )!!0

n n n n n

simplex

n

nQv v n

n Q n Q nQVol

nn n n n n n n n nv v nQ n

n n

− += = = = =

+ + +−

+

⋯

⋯ ⋮ ⋱ ⋮

⋯

Hay que recordar que la relación entre el volumen del paralelotopo y el del simplex es de !n y, por

tanto, la probabilidad de obtener un punto del simplex eligiendo un punto al azar del paralelotopo, por

ejemplo para 10n = , es:

Prob[acierto]1 1

10! 3.628.800= =


228

Como es obvio, el "método de rechazo" no es aplicable al presente caso. Se debe buscar otro que

permita un muestreo uniforme del propio politopo y no del paralelotopo circunscrito (figura 5.8).

Figura 5.8

Muestreo aleatorio uniformemente distribuido de un politopo

Para obtener un muestreo aleatorio con distribución uniforme sobre un politopo, cada punto del

muestreo debe cumplir dos condiciones: pertenecer al politopo y estar uniformemente distribuido

sobre él.

1º/ Punto perteneciente a un politopo (figura 5.9):

Figura 5.9


229

Se dice que una combinación lineal es convexa cuando la suma de los coeficientes que afectan a los

términos a combinar es 1. En todo cuerpo convexo, el vector de posición de un punto cualquiera del

cuerpo, se puede escribir como una combinación lineal convexa de los vectores de posición de los

puntos extremos del cuerpo.

Inversamente, cualquier punto cuyo vector de posición pueda escribirse como una combinación lineal

convexa de los vectores de otros puntos del cuerpo pertenece al cuerpo.

Está, pues, resuelto el modo de expresar un punto aleatorio del cuerpo conocidas las coordenadas de

sus vértices, queda por resolver que dicho punto aleatorio corresponda a una distribución uniforme.

2º/ Distribución uniforme: Un método para generar un punto aleatorio uniformemente distribuido

sobre un politopo, que se va a particularizar para el simplex estándar, está basado en la estadística de

orden de la distribución uniforme en el intervalo unidad, [7. Teorema 2.1] Devroye (1977)

El procedimiento se desarrolla en el algoritmo15 1.

1º/ Sea 0 0p = y 1 1np + =

2º/ Generar n extracciones aleatorias uniformemente distribuidas del intervalo cerrado [0,1]

3º/ Ordenar en orden ascendente los 2n + puntos 0 1,..., np p +

4º/ Los 1n + coeficientes16 del vector de posición 0 0 1 1( , ,... )n na V a V a V del punto buscado del politopo

vendrán dados por 1i i ia p p+= −

Algoritmo 1: Muestreo aleatorio uniformemente distribuido en un politopo

Cuestiones de implementación: Estandarización del simplex

Conviene realizar una transformación lineal en el problema, que, aún no siendo imprescindible,

simplificará notablemente las operaciones a realizar y aumentará la estabilidad numérica.

Dicha transformación consiste en un simple cambio de variables.

15 Debe de tenerse en cuenta que los vértices se han numerado de 0 a n, es decir, que hay n+1 vértices. 16 Para el algoritmo se ha hecho coincidir el vérticeaV con 0V , si esto no es así basta sustituir 0 0a V por 0 aa V


230

El concepto general de la transformación se representa en la figura 5.10.

Figura 5.10

El procedimiento necesario para llevarla a cabo se detalla a continuación.

Anteriormente se han hallado los valores máximos de iN :

max( )(1 )

i

QN

i

n

=+

Se hace un cambio de variables a iS : 0 1iS≤ ≤ ;

max( )i

ii

NS

N= ⇒

(1 )i

i

iN

nSQ

+= ⇒

(1 )

ii

S QN

i

n

=+

Sustituyendo en (5.11) se obtiene:

1

( )n

ii

if Q N

nϕ

=

= −∑1

( )(1 )

ni

i

S QiQ

inn

φ=

= −+

∑1

( )( )

ni

i

S QiQ

n inn

φ=

= − +∑1

( ( ))n

ii

iQ S Q

n iφ

=

= −+∑

1

(1 ( ))n

ii

if Q S

n iφ

=

= −+∑ (5.18)

Valor de f límite referida a las variables iS referido a las cuales el simplex es estándar.

Y sustituyendo en (5.10)

1

(1 ) 0n

ii

iQ N

n=

− + ≥∑ ⇒1

(1 ) 0(1 )

ni

i

S QiQ

inn

=

− + ≥+

∑ ⇒1

0n

ii

Q S Q=

− ≥∑ ⇒1

(1 ) 0n

ii

Q S=

− ≥∑

⇒1

1 0n

ii

S=

− ≥∑


231

Por tanto la formulación sobre el simplex estándar queda reducida a:

1 1

0 1 ; 1 ; (1 ( ))n n

i i ii i

iS S f Q S

n iφ

= =

≤ ≤ ≤ = −+∑ ∑ (5.19)

( ) ( , 1.. )i

grad f Q i nn i

φ= − =+

Para la realización de los cálculos exactos se ha empleado el software VINCI17, reflejándose en la

tabla 5.1: la formulación necesaria, el formato de fichero y un ejemplo de éste.

0iS− ≤

1

1n

ii

S=

≤∑

1

( ) ( )n

i dadoi

iQ S f Q

n iφ φ

=

− ≤ −+∑

Nota: las condiciones 1iS ≤ son

redundantes respecto a 1

1n

ii

S=

≤∑

en formato poliédrico

(H-format)

m desigualdades en d variables

x=(x1,x2...xd) del sistema

Ax<=b

comentarios

H-representation

Begin

m d+1 tipo de número

b -A

end

opciones

N10F50.ine

H-representation

begin

12 11 rational

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

0 1/11 2/12 3/13 4/14 5/15

6/16 7/17 8/18 9/19 10/20

end

volume

Formulación para el simplex

estándar

Formato de fichero .ine para

software VINCI (lsr, cdd)

Ejemplo de fichero n=10;

0dadof Qφ− =

Tabla 5.1

17 El sofware VINCI es un paquete en C que implementa el estado del arte (en el año 2003) en algoritmos para la computación de volúmenes de politopos. Ha sido elaborado por Andreas Enge, Benno Büeler y Komei Fukuda, y publicado bajo licencia GNU-GPL. Ver Büeler (2003).


232

Como no se intenta hallar un máximo o un mínimo de la función f , la información relativa al

gradiente no es necesaria y la formulación, referida al simplex estándar, queda tal como está reflejada

en la primera columna de la tabla 5.1.

En la segunda columna aparece la especificación del formato adecuado para el software de politopos

que se va a emplear.

En la tercera columna se incluye un ejemplo de fichero de datos, en el formato citado, en el que se

puede apreciar como, gracias a la estandarización, la formulación numérica es extremadamente simple.

Inconvenientes del método exacto e implementación del método de Monte Carlo

Tal y como se puede apreciar en la primera columna de la tabla 1, uno de los datos necesarios para la

obtención del volumen del politopo es dadof , lo cual significa que hay que resolver el problema para

cada valor de carga cuya probabilidad de inicio de colapso se quiera comprobar.

Para resolver, tanto los citados inconvenientes como las limitaciones de tamaño del método exacto, se

propone la utilización del método de Monte Carlo.

Se procederá a la obtención de una amplia muestra de valores de f , tal como está definido en (5.19),

por medio de un muestreo aleatorio uniformemente distribuido y su posterior tratamiento.

En el caso de un simplex estándar, y con el vértice en el origen, el procedimiento de muestreo se

simplifica. Dado que las coordenadas del vértice 0S del simplex estándar son (0,0...0) y las del

vértice kS son todas 0 menos para el término k-ésimo que es 1, las coordenadas del punto buscado,

referidas al simplex estándar, serán18 2 1 3 2 1(( ),( )...( ))n np p p p p p+− − − . El procedimiento a seguir,

incluyendo la reconversión al simplex ortogonal (no estándar) se recoge en el algoritmo 2.

1º Crear el vector coeficientes con componentes ; 1...i

i nn i

=+

2º Repetir hasta obtener el valor de f en el número de puntos deseado:

Obtener una lista de n+1 elementos, formada por 0,1 y n-1 números reales con distribución

aleatoria y uniforme en el intervalo cerrado [0-1]

Definir muestra como la lista anterior ordenada en orden creciente

Obtener un vector punto con n componentes de la forma: i+1 imuestra - muestra ; i=1..n

Obtener el valor de (1 ( ))f Q punto coeficientesφ= − i ; siendo (a bi ) el producto escalar de a y b

Algoritmo 2: obtención de valores de la función f por el método de Monte Carlo

18 Obsérvese que el término 1 0( )p p− se elimina debido a que el vértice 0V coincide con el origen.


233

Como resultado se obtiene un listado de valores de la función f que posteriormente se puede tratar

estadísticamente.

5.2.2 Análisis y comparación de resultados

El algoritmo propuesto se ha implementado en Maple, y se han realizado con él cálculos para n=10 y

tamaño de muestra igual a 100.000, a fin de compararlos con los resultados obtenidos por el método

exacto de computación de politopos.

Se puede apreciar que los resultados obtenidos, para el caso en que n=10, por los métodos exacto y de

Monte Carlo son prácticamente indistinguibles. Representados en la figura 5.11 en forma de densidad

de probabilidad de inicio de colapso para las diferentes cargas de inicio de colapso.

0.5

50

.60

0.6

50

.70

0.7

50

.80

0.8

50

.90

0.9

51

.00

Carga de inicio de colapso

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

de

inic

io d

e c

ola

pso

De

nsid

ad d

e p

rob

abili

dad

PolitoposMontecarlo

Figura 5.11

Y en la figura 5.12 en forma de Probabilidad de inicio de colapso (acumulada) para las diferentes

cargas de inicio de colapso

0.5

50.

60

0.6

50.

70

0.7

50.

80

0.8

50.

90

0.9

51.

00

Carga de inicio de colapso

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Pro

babi

lidad

de

inic

io d

e c

ola

pso

PolitoposMontecarlo

Figura 5.12


234

En la Tabla 5.2, se observa que las diferencias de resultado obtenidas con ambos métodos empiezan,

en caso más desfavorable, en el tercer decimal, lo cual quiere decir que, a efectos prácticos, el método

exacto y el aproximado, para una muestra de tamaño suficiente grande, son equivalentes.

Comparación de resultados del método exacto y el método de Monte Carlo n=10

Método exacto exacto Monte Carlo Monte Carlo

Carga de inicio

de colapso/Qφ

Función de densidad

de probabilidad (pdf)

Probabilidad

acumulada (cdf)

Función de densidad

de probabilidad (pdf)

Probabilidad

acumulada (cdf)

0.50 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

0.55 0.00009 0.00009 0.00002 0.00002

0.60 0.00660 0.00670 0.00663 0.00665

0.65 0.13030 0.13699 0.13156 0.13821

0.70 0.39226 0.52925 0.39069 0.52890

0.75 0.33911 0.86836 0.34010 0.86900

0.80 0.11376 0.98212 0.11360 0.98260

0.85 0.01682 0.99894 0.01634 0.99894

0.90 0.00105 0.99998 0.00101 0.99995

0.95 0.00002 1.00000 0.00002 0.99997

1.00 0.00000 1.00000 0.00000 0.99997

Tabla 5.2: Probabilidad de inicio de colapso para diversos valores de carga

Aplicación del método de Monte Carlo sobre un simplex estándar para distinto número de apoyos n+2

f 0.50-

0.55

0.55-

0.60

0.60-

0.65

0.65-

0.70

0.70-

0.75

0.75-

0.80

0.80-

0.85

0.85-

0.90

0.90-

0.95

0.95-

1.00

n=1 0.09989 0.10084 0.09920 0.09830 0.09884 0.10114 0.09957 0.10101 0.10002 0.10118

n=2 0.03047 0.08964 0.15050 0.19048 0.16239 0.13539 0.10474 0.07649 0.04491 0.01499

n=3 0.00990 0.06957 0.16879 0.22409 0.21565 0.15226 0.09300 0.04682 0.01734 0.00257

n=4 0.00335 0.05214 0.17154 0.26095 0.24269 0.15745 0.07626 0.02863 0.00636 0.00059

n=5 0.00131 0.03672 0.16922 0.29230 0.26489 0.15546 0.06151 0.01624 0.00221 0.00008

n=10 0.00002 0.00663 0.13156 0.39069 0.34010 0.11360 0.01634 0.00101 0.00002 0

n=20 0 0.00023 0.06644 0.49713 0.38683 0.04827 0.00104 0.00001 0 0

n=100 0 0 0.00047 0.67573 0.32363 0.00006 0 0 0 0

n=1000 0 0 0 0.93641 0.06322 0 0 0 0 0

Tabla 5.3: Distribución de porcentajes por tramos de las cargas de inicio de colapso


235

Una vez comprobado que el método aproximado es suficientemente exacto para el propósito requerido,

se ha procedido a aplicarlo a diferentes valores de n, y los resultados obtenidos se han representado, en

la tabla 5.3, agrupados por intervalos del valor de f .

Los conjuntos de valores de f obtenidos se pueden representar en gráficas, como las 5.13 y 5.14.

Figura 5.13

Figura 5.14


236

Estas pueden ser un histograma o una gráfica de densidad de frecuencias, como la de la figura 5.13, o

una gráfica de distribución acumulada de frecuencias, como la de figura 5.14; en ambos casos para

distintos valores de n.

Las gráficas de distribución acumulada de frecuencias (figura 5.14) corresponden19 con el concepto

definido como probabilidad20 de inicio de colapso.

Así mismo, se puede aplicar cualquiera de los métodos de la estadística descriptiva, y obtener valores

de los estadísticos (de la muestra) que se consideren más significativos.

En la tabla 5.4, se recogen los valores de algunos de estos estadísticos y del tiempo en segundos

empleado, por el método de Monte Carlo, en obtener los 100.000 valores de f para cada caso (el

tiempo empleado depende de múltiples factores y tan sólo se incluye a modo de comparación entre los

diferentes casos).

Observando las figuras 5.13 y 5.14 y la tabla 5.4 se pueden avanzar algunas conclusiones:

1º/ El valor medio permanece relativamente constante, variando cada vez más despacio según aumenta

el número de puntos de contacto. Por ejemplo, entre sus valores para n=10 y n=1000 la diferencia está

en el tercer decimal. Por tanto, un valor razonablemente bajo de número de puntos de contacto daría

un valor medio de f bastante cercano al de un apoyo continuo (con "infinitos" puntos de contacto).

2º/ El 90% central de los valores de f está comprendido entre los cuantiles del 5% y del 95% y estos

cuantiles se van aproximando rápidamente entre sí según aumenta el número de puntos de contacto.

Por ejemplo para n=1000 el 90% de los valores de f está comprendido entre 0.686 y 0.700, es decir,

en un intervalo de 0.014 frente al 0.50 que es el ancho total del dominio de soluciones.

3º/ Para n=1000 ninguno de los 100.000 valores hallados está por debajo de 0.675, ni por encima de

0.713, es decir, los 100.000 valores están en un intervalo de 0.038 frente al 0.50 (menos de un 8% del

dominio total).

4º/ El valor de la varianza de la muestra para n=1 es 0.02, para n=10 es 0.002, para n=100 es 0.0002 y

para n=1000 es 0.00002.

19 Cuando el tamaño de la muestra se aproxima al del universo 20 Dado que el tamaño de la muestra es muy grande, se acepta de momento que la distribución de frecuencias representa razonablemente la distribución de probabilidades.


237

La varianza de la muestra varía con 1/ n (respecto a la de n=1), por tanto, la desviación estándar de la

muestra varía con 1/ n , siendo n el número de puntos de contacto. Esta misma relación 1/ n es la

que existe en el método de Monte Carlo entre la precisión obtenida y el número de puntos de la

muestra, siendo en este caso n el número de puntos.

5º/ Si se modela una junta de apoyo continua entre el sólido rígido y el material de apoyo, como una

junta discreta con "infinitos" puntos de contacto, está claro que la formulación matemática mostrará

que, tanto la desviación estándar como la varianza tenderán a 0.

Por tanto, desde el punto de vista del modelo la aparente indeterminación en el valor de f , que se

enunciaba al principio del capítulo, no sería tal, al menos desde el punto de vista probabilístico.

Tratamiento estadístico de los valores de f obtenidos por el método de Monte Carlo sobre simplex

f

n varianza mínima

cuantil

5% media

cuantil

95% máxima

Tiempo

segundos

n=1 0.02092 0.50001 0.52554 0.75059 0.97526 1.00000 690

n=2 0.01084 0.50020 0.56471 0.72240 0.90836 0.99974 691

n=3 0.00707 0.50595 0.58581 0.71244 0.86394 0.99177 715

n=4 0.00525 0.51105 0.59733 0.70759 0.83622 0.98073 721

n=5 0.00413 0.51298 0.60660 0.70454 0.81778 0.97752 798

n=10 0.00202 0.54525 0.62903 0.69877 0.77640 0.92866 860

n=20 0.00099 0.56769 0.64594 0.69602 0.74979 0.85339 1,069

n=100 0.00020 0.63782 0.67126 0.69378 0.71715 0.76044 1,740

n=1000 0.00002 0.67504 0.68597 0.69322 0.70054 0.71344 11,782

Tabla 5.4:

Esta posibilidad de modelar una junta continua, mediante su discretización en un cierto número de

puntos de contacto se va a desarrollar a continuación.

5.3 Modelado de una junta continua entre cuerpos rígidos

A medida que aumenta la discretización y, por tanto, el número de fuerzas de contacto, el modelo

discreto se va acercando al modelo continuo.


238

Este modelo continuo que, a su vez, es una idealización de la junta perfecta "real" se representa en la

figura 5.15 1.

Figura 5.15

Si se considera que cada una de estas fuerzas corresponde a un contacto perfecto en un punto, la figura

5.15 2, con un número suficiente de puntos de contacto, representaría adecuadamente21 una junta

perfecta.

No obstante, cualquier imperfección en los puntos de contacto hará que no lo haya en todos ellos. Se

plantea, de este modo, que, en el caso de máxima imperfección, sólo habrá contacto en un punto

(figura 5.15 3).

En este caso, fijando cual es el punto en que habría contacto, el problema queda estáticamente

determinado (figura 5.16) y su solución corresponderá a una de las soluciones extremas halladas como

primer paso del método propuesto.

Figura 5.16

Se han obtenido, por tanto, los resultados necesarios para mostrar, tanto el comportamiento de la junta

perfecta, como el de la junta más imperfecta22.

21 Tal vez tan adecuadamente como el modelo continuo con infinitos puntos, ya que los puntos de contacto en un modelo físico real no son infinitos 22 Los casos con más de un punto de contacto dan resultados intermedios y no se van a tratar aquí dado que interesan los comportamientos extremos.


239

El lado derecho de la figura 5.17 representa los equilibrios límites y la distribución de frecuencias del

valor de la carga de inicio de colapso para ambos casos.

Figura 5.17

El lado izquierdo de la figura 5.17 representa la distribución de frecuencias de los puntos de paso, por

la cara de contacto, de la resultante (en el caso 2, correspondiente a junta perfecta) y de la única

fuerza actuante (en el caso 3, correspondiente a un único punto).

Los resultados para la junta perfecta han sido comentados anteriormente. Para el caso de la junta

imperfecta se observa que hay soluciones repartidas a lo largo de todo el rango de valores posible pero

con una mayor densidad en la zona cercana al mínimo.

Figura 5.18


240

En la figura 5.18 se representan los valores de la probabilidad acumulada que corresponde con lo

definido como probabilidad de inicio de colapso, suponiendo, de momento, que la discretización (el

valor de n) es suficiente como para equiparar a efectos prácticos densidad de frecuencia y densidad de

probabilidad23. Se puede apreciar que, para los valores más cercanos al mínimo de la carga, es más

desfavorable el caso imperfecto mientras que, para valores cercanos al máximo, es más desfavorable el

caso perfecto.

Más adelante se volverá sobre este tema, de gran importancia cuando es necesario evaluar cual es la

probabilidad de inicio de colapso de una carga actuante conocida y cercana a valores máximos.

5.4 Caso de estudio: dos o tres sólidos trabados.

El procedimiento se amplía, a continuación, a agrupaciones formadas por dos o tres cuerpos, con

rozamiento entre ellos, cuyo peso y medidas24 relevantes se han elegido para que el único modo

posible de inicio de colapso sea por deslizamiento.

Esta agrupación se asemeja a una de las disposiciones típicas en obras de albañilería: el aparejo simple,

que ya se vio anteriormente como ejemplo. Se extiende la formulación a cuatro casos, que se

diferencian en las condiciones de contacto de los cuerpos inferiores con el "terreno" (figura 5.19).

Figura 5.19

En primer lugar hay que tomar en consideración que, aunque hay 3 o 4 caras de contacto, no todas

ellas deben de ser tratadas discretizándolas como en el caso anterior. En aquel, al fijar el punto de paso

de la resultante por la cara de contacto, el problema quedaba estáticamente determinado y su solución

era única.

23 Estrictamente hablando la frecuencia correspondería a los resultados del experimento numérico realizado sea cual sea su discretización y la probabilidad al caso ideal subyacente, existente sólo como construcción matemática. Pero cuanta mayor sea la discretización mayor será la aproximación de la frecuencia obtenida en el muestreo a la probabilidad. 24 Que se reflejan en las figuras a partir de la 5.21.


241

Sucede lo mismo, en el presente problema, al fijar los puntos de paso de las resultantes en las dos

caras de contacto del cuerpo superior (figura 5.20).

Figura 5.20

En efecto, si el apoyo del cuerpo inferior es sin rozamiento (figura 5.20 izquierda), se desconocen los

valores de , Rdf N y su punto de paso, y se tienen tres ecuaciones de equilibrio del cuerpo.

Si el apoyo es con rozamiento, se desconoce además el valor de la componente tangencial RdT , pero se

tiene la condición de rozamiento límite Rd RdT Nφ= , puesto que se están analizando los mecanismos

para los este cuerpo desliza.

Por tanto, basta discretizar las dos caras de contacto del cuerpo superior para desarrollar la simulación.

Hay, además, en este caso otra característica que facilita la implementación.

A cada mecanismo de inicio de colapso le corresponde, en general, un politopo de soluciones estáticas

de inicio de colapso, que debe de ser tratado por separado. El conjunto de todas las soluciones de

inicio de colapso está formado por la unión de los politopos correspondientes a cada mecanismo. Esta

unión no tiene por que ser convexa ni conexa, sin embargo, debido a las especiales características

geométricas del modelo propuesto, en este caso sí lo es, y los valores de las resultantes verticales en

todas las caras de contacto se pueden obtener en función de la resultante en una sola de las caras

inferiores del bloque superior25.

Por tanto, el valor de la fuerza límite f que provoca el inicio del deslizamiento se puede obtener

también.

25 A efectos de la resolución del problema es lo mismo fijar los dos puntos de paso o el valor de una de las resultantes y su punto de paso.


242

Tomando en cuenta las anteriores consideraciones, se plantea el conjunto de ecuaciones y restricciones

estáticas correspondientes al cuerpo superior (figura 5.21)

Figura 5.21

Ecuaciones de equilibrio de las fuerzas verticales en el sólido superior, con e > 0 tan pequeño como se

quiera, NLi ≥ 0; NRi ≥ 0; i = 0..n

0 0

0 0n n

y Li Rii i

F N N Q= =

= ⇒ + − =∑ ∑ ∑ (5.20)

0 0

0 ( ) ( ) 02 2

n n

q Ri Lii i

e ib e ibM N N

n n= =

= ⇒ + − + =∑ ∑ ∑ (5.21)

Como se tienen dos ecuaciones se pueden despejar dos incógnitas NLo, NRo ; reescribiendo (5.20) y

(5.21)

1 1 1 1

0 n n n n

Lo Li Ro Ri Lo Ro Li Rii i i i

N N N N Q N Q N N N= = = =

+ + + − = ⇒ = − − −∑ ∑ ∑ ∑ (5.22)

1 1

( ) ( ) 02 2 2 2

n n

Ro Ri Lo Lii i

e e ib e e ibN N N N

n n= =

+ + − − + =∑ ∑

Y sustituyendo el valor de NLo en (5.21)

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) 02 2 2 2

n n n n

Ro Ri Ro Li Ri Lii i i i

e e ib e e ibN N Q N N N N

n n= = = =

+ + − − − − − + =∑ ∑ ∑ ∑

Operando se puede despejar NRo y sustituyéndolo en (5.22) se puede despejar NLo

( )1 1

1

2

n n

Ro Ri Li Rii i

Q ibN N N N

e n= =

= − + −∑ ∑ (5.23)


243

( )1 1

1

2

n n

Lo Li Ri Lii i

Q ibN N N N

e n= =

= − + −∑ ∑ (5.24)

El conjunto de todas las soluciones de equilibrio posibles, expresadas en función de las fuerzas

verticales de contacto en la cara inferior del bloque superior, queda definido por las siguientes

desigualdades:

( )1 1

10 0

2

n n

Ro Ri Li Rii i

Q ibN N N N

e n= =

≤ = − + − ≥∑ ∑

( )1 1

10 0

2

n n

Lo Li Ri Lii i

Q ibN N N N

e n= =

≤ = − + − ≥∑ ∑

{ }0, 0 1...Li RiN N i i n≥ ≥ ∀ ∈ =

Se obtienen 2n+2 desigualdades definidas en un espacio de 2n variables, n+1 de ellas corresponden a

la condición de que NLi sea positivo y n+1 a que NRi sea positivo.

A diferencia del caso del bloque simple, en el que se tenía sólo una desigualdad más que la dimensión

del espacio de sus variables (por tanto el cuerpo definido era un simplex), en este caso se tienen 2

desigualdades más y, por tanto, el cuerpo definido por las desigualdades es un politopo de dimensión

2n.

Al igual que en el primer ejemplo, hay que realizar un muestreo uniforme y aleatorio del valor de la

función f en todos los puntos del politopo, y para ello es necesario encontrar primero los puntos

extremos del politopo. Sin embargo, en este caso no se pueden utilizar algunas de las simplificaciones

empleadas en el caso del simplex.

En lo que afecta al caso, la principal diferencia entre un simplex y un politopo general es que, en el

caso del simplex de dimensión d, el punto de corte de d de los hiperplanos, que definen las

desigualdades, es siempre un vértice del simplex y, en el caso del politopo, cualquier vértice es el

punto de corte de al menos d de los hiperplanos pero no cualquier punto de corte de d de los

hiperplanos es un vértice.

Puesto que en este caso d vale 2n, se tendrían que hallar todas las combinaciones posibles de 2n

hiperplanos y comprobar si su punto de corte pertenece al politopo. En caso afirmativo este punto de

corte será un vértice del politopo. El número de combinaciones a comprobar es:

22 2 2 2 = (2 1) 2 (2 1) ... 1 = 2 3 1

2 2

n nn n n n n

n

+ + = + + + − + + + +

Incluso en este caso, en que sólo hay una condición más de las estrictamente necesarias para definir el

politopo más simple posible (un simplex), el número de puntos a comprobar es bastante elevado.

La cuestión que surge de modo natural es la siguiente ¿Cuántos de estos puntos serán vértices del

politopo?


244

En el presente ejemplo, se puede diseñar una rutina "ad hoc" que permita hallar los vértices del

politopo directamente, eliminando aquellos "puntos candidatos" que no cumplen las condiciones de

equilibrio del bloque superior.

Debe recordarse que en el primer ejemplo los puntos extremos del politopo eran aquellos en que todas

las variables menos una tomaban el valor 0. En este caso, para que pueda existir equilibrio en el

bloque superior, es necesario que, al menos uno de los NLj y uno de los NRk sean estrictamente

positivos. Esta condición puede escribirse:

{ } { } 0 | 0... 0 | 0...Lj Lj Rk RkN N j n N N k n∃ > ∈ = ∧ ∃ > ∈ =

Los puntos extremos del politopo (soluciones extremas) serán aquellos en que sólo uno de los NLj y

uno de los NRk sean estrictamente positivos (figura 5.22).

Figura 5.22

En estos casos, basta conocer los puntos de paso de cada uno, es decir el valor de ,j k , para que el

problema quede estáticamente determinado y tenga una solución única.

Se pueden plantear directamente todas las combinaciones posibles.

0

0

0

0

0

0

R Rk Rn

L

Lj

LiLj

Rk

Ri

Ln

N N N

N

N

N i jN

N

N i k

N

≠ = ∀ ≠ ≠ = ∀ ≠

i i

i i i i i

i i i i i i

i i i i

i i i i i i

i i i i i

Estas combinaciones se pueden presentar en forma de matriz cuadrada de dimensión (n+1).


245

El número total de estas combinaciones es, por tanto, (n+1)2.

En este caso la relación entre el número de "puntos candidatos" y el número de vértices es:

( )2

2

2 3 1 (2 1)( 1) (2 1) 12

( 1)( 1) ( 1) 11

n n n n n

n n n nn

+ + + + += = = −+ + + ++

Que tiende a 2 cuando n tiende a infinito.

1

lim(2 ) 21n n→∞

− =+

Por tanto, el empleo del método "ad hoc" reduce sustancialmente el esfuerzo de cálculo.

Desde el punto de vista computacional, obtener los resultados de la matriz de dimensión (n+1) x (n+1)

que contiene los valores de las soluciones correspondientes a los distintos valores de,j k , puede

resolverse mediante dos bucles anidados.

En el bucle exterior se van dando todos los valores posibles de j ( 0 .. )j n= a LjN y en el interior,

todos los valores posibles de k ( 0 .. )k n= a RkN , obteniéndose así el valor de todas las variables26

mediante la resolución del sistema de ecuaciones e inecuaciones correspondientes, particularizado para

los valores actuales de ,Lj RkN N , siendo todos los demás , 0Li RiN N = .

Una vez ejecutado el procedimiento anterior, cuya única dificultad radica en el tamaño de la matriz de

soluciones extremas resultante, se puede proceder, como en el caso de un único cuerpo, a realizar un

muestreo aleatorio de los puntos interiores.

Se obtienen, finalmente, para los puntos extremos, dos resultados: los valores de f y la identificación

del mecanismo de inicio de colapso. De la misma forma se obtienen los resultados para los puntos

interiores.

Según se ha indicado anteriormente, lo primero constituye un modelado verosímil de una junta

imperfecta con un único punto de contacto, y lo segundo, de una junta perfecta.

De nuevo, para la junta perfecta los valores probables están muy cercanos a su valor medio, mientras

que, para la absolutamente imperfecta se extienden por todo el intervalo. No obstante, a diferencia del

caso de un único cuerpo, los valores más probables están más cerca del máximo que del mínimo.

26 Y en este caso además a que mecanismo de inicio de colapso corresponde.


246

Representados ambos, para los casos 1 y 3, sobre un sistema de coordenadas comunes (figura 5.23), se

puede apreciar la enorme diferencia entre ambos supuestos.

Figura 5.23

Incidiendo en el caso de la junta imperfecta que, desde el punto de vista de la seguridad, parece más

relevante para los valores más bajos, en la figura 5.24 se representa la comparación de los valores de la

carga de inicio de colapso para los 4 casos.

Figura 5.24


247

Resulta de especial interés el caso 2, que además puede resultar un modelo válido de la esquina

superior de una estructura mayor, en el que la mitad de los resultados (todos los correspondientes al

mecanismo en que las dos piezas deslizan) corresponde al valor máximo de f .

En el caso de un único cuerpo se veía que considerar la solución de máximo como la solución "real"

era una imprudencia, en este caso, se aprecia que ignorarla y centrarse únicamente en la búsqueda de

la de mínimo puede suponer malgastar los recursos computacionales disponibles.

El planteamiento que se está desarrollando no permite conocer, "a priori", cuales van a ser los valores

más probables.

En otro orden de cosas, la repetición de los cálculos, para diferentes discretizaciones de la junta, dan

resultados semejantes a los del primer ejemplo, en cuanto a reducción de la varianza en función de n.

Además, ponen de manifiesto un nuevo fenómeno que merece una explicación, ya que no a todos los

mecanismos les corresponden el mismo número de soluciones estáticas de inicio de colapso.

5.5 Dimensionalidad27 del conjunto de soluciones estáticas correspondientes

a cada mecanismo

En el caso en estudio, todos los ejemplos tienen en común que el inicio de colapso puede producirse,

tanto por deslizamiento en el lado izquierdo de la junta, como por deslizamiento en el lado derecho o

por deslizamiento en ambos lados a la vez.

Como aclaración considérese la junta perfecta, discretizada para n= 2, 5, 10, 20, 50, 100 ... con un

muestreo de 10.000 puntos, los resultados obtenidos se recogen en la tabla 5.6.

N Izquierdo simétrico derecho

2 5.048 0 4.952

5 5.030 0 4.970

10 4.915 0 5.085

20 5.041 0 4.959

50 4.975 0 5.025

100 5.006 0 4.994

Tabla 5. 6

27 Dimensionalidad es una palabra poco corriente en castellano, salvo en estadística, y desde luego no admitida por la R.A.E., pero aquí se adopta como traducción del ingles "dimensionality", en el sentido de número de dimensiones de un objeto en su representación mínima. Así, un triangulo será de dimensionalidad 2, aunque esté descrito en un espacio de 3 dimensiones.


248

Existen 3 mecanismos de inicio de colapso posibles, sin embargo, de la comparación de los resultados

de la simulación realizada, se concluye que no todos son igualmente probables.

De hecho, el mecanismo con deslizamiento simultáneo en ambos lados es altamente improbable. Se

puede comprobar que de los 10.000 puntos muestreados ninguno corresponde al mecanismo de inicio

de colapso simétrico.

Considérese ahora la junta imperfecta con un único punto de contacto, discretizada para n= 2, 5, 10, 20,

50, 100. Los resultados se recogen en la tabla 5.5

n Izquierdo simétrico derecho Nº vértices Proporción Izq./Sim./Der.

2 3 3 3 9 1 1 1

5 15 6 15 36 2,5 1 2,5

10 55 11 55 121 5 1 5

20 210 21 210 441 10 1 10

50 1.275 51 1.275 2.601 25 1 25

100 5.050 101 5.050 10.201 50 1 50

n ( 1)

2

n n + 1n +

( 1)

2

n n + 2( 1)n +

2

n 1

2

n

Tabla 5. 5

La diferencia, en el número de soluciones para los distintos mecanismos, aun no siendo tan llamativa,

sigue siendo muy grande. Además, en esta segunda tabla, se puede apreciar de qué modo la diferencia

aumenta según aumenta la discretización de las juntas. Para el caso n=100, que tiene 10.201 puntos

extremos, y que, por tanto, es comparable con el caso de junta perfecta con muestreo de 10.000 puntos,

la proporción entre mecanismos es de 50 a 1.

Independientemente de la constatación del hecho, éste se puede explicar de forma teórica.

El conjunto de soluciones estáticas de inicio de colapso correspondientes a un determinado mecanismo

constituyen un politopo, siendo la característica que interesa en este momento la "dimensionalidad" de

dicho politopo. Un politopo, expresado en la forma más reducida posible, viene definido por un

conjunto de desigualdades lineales, cada vez que una de estas desigualdades se convierte en una

igualdad, la dimensionalidad del politopo se reduce en 1.

Por ejemplo, un triángulo (simplex de dimensionalidad 2) se puede definir mediante tres desigualdades

lineales contenidas en un plano, si una de ellas se convierte en igualdad, queda definido uno de los

lados del triángulo (segmento de recta y por tanto simplex de dimensionalidad 1).


249

En el presente caso, para el mecanismo simétrico en el que se hace:

0 0 0 0

n n n n

Li Ri Li Rii i i i

N N N Nφ φ= = = =

= ⇒ =∑ ∑ ∑ ∑ (5.25)

Se puede sustituir uno de los términos en función del otro en las restantes ecuaciones e inecuaciones y,

por tanto, reducir el número de variables y en definitiva la dimensionalidad del politopo. Resulta así

que el politopo con menor dimensionalidad pierde relevancia.

En el caso de la junta imperfecta discretizada, cuanto más fina es la discretización menor es la

probabilidad de encontrar mecanismos con escasa relevancia (menor dimensionalidad). Según se afina

la discretización y n → ∞ , el conjunto de soluciones correspondientes a cada mecanismo se va

asemejando más a los diferentes tipos de politopos a los que idealmente corresponden (un punto, un

segmento de recta, un polígono convexo ...). Como las magnitudes correspondientes a punto,

segmento de recta, polígono, poliedro... son inconmensurables, los mecanismos de menor

dimensionalidad tenderán asintóticamente a ser irrelevantes.

5.6 Caso de estudio: tres sólidos, el ejemplo de Fishwick.

Hasta el momento, por simplicidad, se han elegido las dimensiones geométricas de todos los modelos,

de manera que las únicas restricciones que puedan alcanzar sus valores límites sean las de rozamiento.

Esta limitación se anula en el ejemplo siguiente.

Las dimensiones de las piezas son tales, que no queda descartado, "a priori", que en algún punto

alcancen su valor límite las condiciones de estabilidad al vuelco. Este hecho se manifiesta en que no

todas las teóricamente posibles soluciones de equilibrio límite, que cumplen las restricciones de

rozamiento, cumplirán también las restricciones relativas al vuelco (paso de las solicitaciones por el

interior de la cara de contacto).

Por tanto, el método empleado es la obtención de todas las soluciones que cumplen las primeras

restricciones y el posterior rechazo de las que no cumplen las segundas.

Dado que la primera fase es idéntica en su planteamiento al caso anterior, se va a realizar una breve

exposición del proceso general y a centrar el análisis de la segunda fase, el procedimiento de rechazo

de soluciones no válidas.

En primer lugar, como se ha hecho en todos los casos, hay que identificar los posibles mecanismos de

inicio de colapso. Para valores muy altos del coeficiente de rozamiento o esbelteces muy grandes de

las piezas, el único modo posible de inicio de colapso es el vuelco, siendo la solución, bajo tales

condiciones, única. El caso que interesa es aquel en que los anteriores valores son moderados, en éste

habrá múltiples soluciones estáticas de inicio de colapso


250

Sin embargo, el único modo posible de inicio de colapso será por deslizamiento (figura 5.25).

Figura 5.25

Esta afirmación no se contradice con la anterior, pues no basta con que se alcancen los valores límites

de la restricciones en algún punto, sino que, para que se produzca el inicio del colapso es también

necesario que se alcancen en el suficiente número de puntos, y con una configuración de ellos tal que

se forme un mecanismo de inicio de colapso válido. El modelo ha sido estudiado por Fishwick, y

tratado anteriormente por el autor de esta tesis, conociéndose que para los valores de los parámetros

propuestos tiene un único mecanismo posible de inicio de colapso, que es por deslizamiento del

bloque inferior izquierdo.

En segundo lugar, se comprueba que, una vez definidas las resultantes en las caras de contacto del

cuerpo superior, quedan determinados estáticamente los cuerpos inferiores (figura 5.26).

Figura 5.26


251

Por tanto, basta discretizar los contactos entre el cuerpo superior y los inferiores (figura 5.27).

Figura 5.27

Según se ha propuesto para el ejemplo anterior, se buscan directamente los puntos extremos del

politopo, mediante la formulación del equilibrio límite en el bloque superior (figura 5.28), para todas

las combinaciones posibles de un punto de contacto izquierdo y un punto de contacto derecho.

Para que se pueda producir el mecanismo por deslizamiento del bloque inferior izquierdo, es necesario

que LuT alcance su valor límite.

Figura 5.28

La condición del mecanismo será: Lu Lu RuT N Nφ φ= ≤

Y las condiciones de equilibrio:

0 :xF =∑ ; Lu Ru Lu Lu Ru Lu RuT T T N T N Nφ φ φ= = ⇒ = ≤

0 :yF =∑ 2Lu RuN N Q+ =

0 :QM =∑ ( ) ( )2 2Lu Lu Ru Rue e

N p N p+ = +


252

Hasta este punto el procedimiento es igual al seguido en el ejemplo anterior, variando, a partir de aquí,

exclusivamente en que se añaden unas condiciones de aceptación o rechazo de las soluciones .

Analizando el equilibrio del bloque inferior izquierdo (figura 5.29). Se observa que, para que pueda

formarse un mecanismo por deslizamiento del bloque inferior izquierdo, es necesario que no sólo

LuT alcance su valor límite sino también LdT .

Figura 5.29

La condición del mecanismo será: 1( )Ld Ld LuT N N Qφ φ= = +

Las condiciones de equilibrio:

0 :xF =∑ 1(2 )Luf N Qφ= +

0 :yF =∑ 1Ld LuN N Q= +

0 :AM =∑ 1 1 12 2 ( ) (2 )

2Lu Lu Lu Lu

LdLd

N p Q b N Q d N Q dp

N

φ φ+ − + + +=

La nueva condición de aceptación o rechazo: 0Ldp b≤ ≤


253

Analizando ahora el equilibrio bloque inferior derecho (figura 5.29)

Las condiciones de equilibrio serán:

0 :xF =∑ Ru Lu RdT N Tφ= =

0 :yF =∑ 3Rd RuN N Q= +

0 :BM =∑ 32 2

2Ru ru Lu

rdRd

N p Q b N dp

N

φ+ +=

Y la condición de aceptación o rechazo: 0Rdp b≤ ≤

Una vez obtenidos todos los puntos extremos (n+1)2 que cumplen las restricciones de rozamiento y

rechazados los que no cumplen las condiciones de aceptación (las resultantes deben de pasar por el

interior de las caras de contacto), se obtiene el conjunto de todos los puntos extremos del politopo de

soluciones de inicio de colapso, correspondiente al mecanismo en estudio.

La realización del muestreo de puntos del politopo se efectúa de manera idéntica a la de los anteriores

ejemplos.

Concluidos los cálculos, para unos valores de b=1,c=1,d=3,e=2,0.5φ = y n=100; se representan los

resultados para el caso de contacto perfecto (figura 5.30) y contacto imperfecto (figura 5.31).

Figura 5.30

En ambos casos, en la parte derecha de la figura se representa la distribución de frecuencias obtenida

para la carga de inicio de colapso. Como puede observarse, para el caso de contacto perfecto, los

valores más probables de dicha carga se agrupan muy cercanos a su valor medio. Además, es

previsible que aumentando más el valor de n (afinando la discretización) se acerquen aún más.


254

Podría concluirse que, en el límite, esta idealización matemática de la estructura tenderá a una única

solución mucho más probable que todas las demás posibles.

Figura 5.31

La estructura real, no obstante, difícilmente se comportará así, siendo esto sólo una idealización.

Es mucho más razonable, pues, pensar en algún comportamiento intermedio entre los representados en

las figuras 5.30 y 5.31.

En cualquier caso, adoptando una postura del lado de la seguridad, para valores bajos de la

probabilidad de inicio de colapso, se pueden tomar los resultados de la figura 5.31. En ellos se ve, en

la parte derecha de la figura, que los valores más probables se encuentran en torno al valor medio, pero

que la probabilidad no es despreciable en el resto del rango de valores posibles, siendo mínima, en este

caso, para ambos valores extremos.

En la parte izquierda de las figuras 5.30 y 5.31, se representan las gráficas de densidad de frecuencia

de los puntos de paso de las tensiones por la junta. Para el caso de junta perfecta el punto de paso

estará con muy alta probabilidad en torno a un único punto.

Así mismo, se representan, en ambos casos, las cuatro soluciones de equilibrio límite (de inicio de

colapso) extremas, obtenidas mediante la aplicación de un procedimiento enumerativo28 al problema

planteado de modo general y sin discretizar.

En la figura 5.30 se representa además la solución (con trazo continuo, en forma de línea de empujes)

de valor medio.

28 Como ya se ha descrito en el capítulo anterior.


255

Es de especial interés la comparación de los valores de carga de estas soluciones extremas29, con la

distribución de los valores de carga correspondientes a la junta imperfecta. Se puede apreciar, en la

parte derecha de la figura 5.31, como los valores de estas soluciones extremas corresponden con los

puntos en que varía la velocidad de crecimiento de las frecuencias.

5.7 Consideraciones de seguridad acerca del modelado de una junta

continua entre cuerpos rígidos.

Retornando al modelado de una junta continua entre cuerpos rígidos, tal y como se decía en el quinto

comentario a las figuras 5.13 y 5.14 y a la tabla 5.4, si las condiciones de contacto son perfectas, si los

puntos de contacto son perfectamente rígidos, si están perfectamente alineados y nivelados en altura,

si... el valor de la carga de inicio de colapso, o lo que es lo mismo en este caso el punto de paso de la

resultante de las iN , estará determinado con una probabilidad tan cercana a 1 como se desee.

Por tanto, ante la eventualidad de que todos las condiciones se cumplan y que el contacto sea tan

perfecto que el valor de f quede determinado con altísima probabilidad, considerar una carga de

inicio de colapso superior a la así obtenida, por ejemplo el valor máximo de f obtenido mediante la

aplicación de los teoremas límites estáticos, constituye una imprudencia.

Se podría también pensar que, dado que la probabilidad de que el valor esté por debajo del

f obtenido es tan pequeña como se desee, en el caso de la junta perfecta, se puede así mismo desechar

valores por debajo de él. Como ya se ha indicado anteriormente, el modelo de junta perfecta es una

idealización matemática, siendo el problema de este tipo de razonamientos la existencia de un grado

de incertidumbre inherente en el paso de la realidad al modelo que es absolutamente irreducible.

Los razonamientos matemáticos, incluido el cálculo de probabilidades, pueden ser absolutamente

correctos y, sin embargo, los resultados no ser acordes con la estructura real.

Para salir de este punto muerto, resulta útil recordar el argumento conocido como "la apuesta de

Pascal". Blaise Pascal (1660), en sus Pensées, introduce un argumento acerca de la existencia de Dios,

sumamente discutible desde el punto de vista teológico, pero de gran utilidad para la toma de

decisiones en condiciones de incertidumbre. Siguiendo una versión laica de este argumento, se

propone un tratamiento de las probabilidades asimétrico, como por otro lado establecen todos los

códigos de edificación.

29 Hallados por el procedimiento enumerativo descrito.


256

Se trata de decidir la postura a tomar, basándose no sólo en la probabilidad de que un suceso ocurra,

sino también en las consecuencias que se derivan de éste30. En párrafos anteriores se ha tomado una

decisión de este tipo, ante la escasa (pero no nula) probabilidad real de que la junta de contacto sea

perfecta y la altísima probabilidad de que, siendo perfecta, el valor de f no esté por encima del

hallado, se decide desechar cualquier valor de f superior al hallado, puesto que una sobrevaloración

de f puede suponer el inicio del colapso de la estructura.

Sin embargo, para el caso simétrico no se ha desechado la probabilidad de que el valor de f sea

menor, aún cuando su probabilidad matemática sea muy baja si la junta es perfecta.

Con el fin de tratar la incertidumbre generada por el paso entre la obligada idealización matemática y

la estructura real, se propone un método basado en dos principios:

1º/ Formalización de distintos modelos que intenten reflejar distintos aspectos (extremos) de la

estructura real.

2º/ Tratamiento asimétrico de las probabilidades de inicio de colapso para cada modelo

contemplándolas desde el punto de vista de sus consecuencias.

Para la formalización del primer principio, puede resultar muy útil una consideración de las posibles

imperfecciones, enfocadas desde el punto de vista de sus consecuencias.

En una junta perfecta cualquier punto de ésta puede ser punto de paso de la resultante, la probabilidad

de que sea efectivamente el punto de paso de la resultante será, dependiendo del punto, tan alta como

99.999% o tan baja como el 0.00001% pero siempre distinta de 0.

En una junta imperfecta no es así. Una vez fijadas las imperfecciones habrá puntos por los que no

pueda pasar la resultante y, por tanto, habrá soluciones de inicio de colapso que no serán posibles.

En el método expuesto en el presente capítulo, se ha hecho un tratamiento sistemático y exhaustivo de

todas las posibles combinaciones de imperfecciones (con punto único de contacto).

Pero si, como es habitual, no se puede hacer un tratamiento de este tipo y no se conoce donde están

estas imperfecciones, siempre se pueden tratar como una variable aleatoria.

En este sentido, los ejemplos realizados sugieren que esta variable podría aproximarse (para el caso de

junta imperfecta)mediante una distribución uniforme, con posterior rechazo de las soluciones no

válidas.

30 Por ejemplo el método propuesto por Fine (1971), que actualmente a veces se utiliza en evaluación de riesgos laborales, evalúa un riesgo en función de la exposición a él, su probabilidad y sus consecuencias.


257

Realizados los cálculos para el último ejemplo, se obtienen los resultados de la figura 5.32.

Figura 5.32

La distribución propuesta engloba los peores casos posibles, siendo para el presente caso muy sencilla.

La envolvente de las probabilidades máximas de inicio de colapso, corresponde aproximadamente a la

probabilidad correspondiente a un único punto de contacto con distribución uniforme a lo largo de la

junta, para la mitad inferior de cargas de inicio de colapso, y una probabilidad del 100% para las de la

mitad superior.

Hay que destacar que la consideración de junta imperfecta es más desfavorable, es decir, más segura,

para los valores cercanos al mínimo, pero más favorable, más insegura, para los valores cercanos al

máximo.

5.8 Limitaciones y dificultades del método

En el presente capítulo se ha mostrado, para ejemplos con pequeño número de piezas, como,

estudiando un número suficientemente grande (enorme) de casos obtenidos aleatoriamente, se pueden


258

obtener unos resultados muy aproximados, a efectos prácticos exactos, de la probabilidad de inicio de

colapso.

En el caso general no es posible este tratamiento "exacto" del problema, por dos tipos de motivos

correspondientes respectivamente a su planteamiento determinista y a su resolución probabilista.

En cuanto al planteamiento determinista del problema los motivos son múltiples:

1º/ Una estructura redundante, por ejemplo un muro, suele tener muchos mecanismos de inicio de

colapso que incluyen deslizamiento, debiendo aplicar el método a todos y cada uno de los politopos de

inicio de colapso. Además, en el caso general, en que la unión de los politopos no es convexa, deberá

aplicarse a cada uno de ellos separadamente31

2º/ Preprocesar un problema general, para obtener el sistema mínimo de inecuaciones que lo definen, y

que contenga sólo variables independientes, es un problema tratable pero no trivial.

3º/ El número de soluciones extremas posibles (todos los vértices del universo muestral) crece

exponencialmente con el número de variables independientes (más concretamente con el número de

puntos deseados en cada contacto elevado al número de contactos

4º/ El porcentaje de soluciones rechazadas crece rápidamente, según aumenta el número de

restricciones.

5º/ Alternativamente, plantear la obtención directa de los vértices de todos los politopos, es un

problema casi tan difícil como el de obtener su volumen por métodos deterministas.

En cuanto a su resolución probabilista por el Método de Monte Carlo:

1º/ El elevado número de valores generado aleatoriamente, que es necesario conocer para obtener una

precisión aceptable, hace totalmente desaconsejable utilizar dicho método para un caso general.

2º/ La precisión32 de la integración numérica por el método de Monte Carlo es de ~ 1/ n , siendo n el

número de valores generados aleatoriamente, presentando el método mayor imprecisión en las colas de

la distribución (tabla 5.2).

31 En Rubinstein et al. (2008) se puede encontrar un algoritmo "aleatorizado" que permite aplicar el método de Montecarlo a una unión de conjuntos. 32 Gómez-Cadenas, J.J. (2005) El Método de Monte Carlo. Curso de Estadística TAE


259

De entre todos los motivos, son los concernientes al planteamiento determinista, y en especial los que

crecen exponencialmente con el tamaño del problema, los que hacen inviable su aplicación más allá de

ejemplos puramente académicos.

Cualquier intento de ampliar el método a problemas mayores debe de pasar por una aplicación de

métodos probabilistas también a la fase de planteamiento.

5.9 Conclusiones

Dado el carácter de introducción a los métodos probabilistas del presente capítulo, se ha preferido

exponer los nuevos conceptos sobre ejemplos concretos, representables gráficamente y fácilmente

comprobables de modo manual.

A través del primer ejemplo se ha mostrado que:

• La solución del problema mediante integración por el método de Monte Carlo, es, a efectos

prácticos, "tan exacta" como los métodos deterministas exactos.

• El modo en que se puede realizar un muestreo uniforme de las soluciones que conforman un

politopo, en este caso un simplex, mediante la obtención previa de sus puntos extremos.

• Como, el conjunto de todas estas "soluciones extremas", se puede considerar como un modelo

verosímil de las juntas con las máximas condiciones de irregularidad, es decir, con un único

punto de contacto en cada junta.

Con el segundo ejemplo:

• Se ha planteado un "método directo" para la obtención directa de los puntos extremos del

politopo, eligiendo soluciones en las que todas las variables, salvo el número mínimo

imprescindible para el equilibrio, sean 0. Se pueden calificar a las soluciones así obtenidas de

"soluciones extremas".

• Analizando los resultados, se ha mostrado que no a todos los posibles mecanismos les

corresponde la misma cantidad de soluciones estáticas de inicio de colapso.

En el tercer ejemplo:

• Se ha planteado de que modo se pueden eliminar aquellas soluciones que sólo cumplen

parcialmente las restricciones.


260

• Finalmente, se han propuesto unos principios de actuación que pretenden dar respuesta a la

incertidumbre generada por el paso de la "estructura real" al modelo matemático

El método presentado, en su versión exacta de planteamiento determinista y solución probabilista, es

de una complejidad computacional superior a la de hallar un mínimo global.

La causa es que requiere hallar todos los vértices de todos los politopos de inicio de colapso, igual que

las versiones enumerativas para el mínimo global. Hallar el mínimo global, para un caso general, es un

problema intratable y, por tanto, éste también lo es.

No obstante, en todos los casos, al resolver la fase determinista del problema, se han hallado (gracias

al reducido tamaño del problema) todos los vértices y, por tanto, también los de máximo y mínimo,

pudiendo comprobar que en la fase de muestreo del politopo, incluso con un altísimo número de

pruebas, la probabilidad de obtener aleatoriamente33 los valores máximo o mínimo absolutos es

prácticamente nula. Este mínimo absoluto es, en muchos casos, sólo una de las múltiples soluciones

posibles y la probabilidad, de que se produzca el colapso precisamente para su valor, es muy pequeña.

Por tanto, parece razonable renunciar a emplear en esta búsqueda unos recursos de cálculo que aún no

están disponibles, y tomar en consideración otros valores cuya probabilidad sea aún razonablemente

baja y que sean mucho más fáciles de obtener.

De ello va a tratar el siguiente capítulo.

33 En el caso de la obtención directa de las soluciones extremas el método empleado es determinista y por tanto encuentra entre las soluciones extremas la máxima y la mínima. Por el contrario el cálculo de los volúmenes, para soluciones interiores, a partir de ellas es probabilista.

Capítulo 6

Cálculo de la probabilidad de inicio de colapso:

colapso global en estructuras redundantes

6. Cálculo de la probabilidad de colapso: colapso global en estructuras redundantes

262


263

6.1 Introducción

En el caso de colapso global de estructuras redundantes se puede considerar que la probabilidad de

inicio de colapso para una determinada carga es un medio, al menos tan pertinente para evaluar su

seguridad, como la búsqueda de un mínimo absoluto de los factores de carga de inicio de colapso.

El objetivo del presente capítulo es obtener una formulación de dicha probabilidad con un coste

computacional razonable.

Se trata de conseguir una formulación y uno, o más métodos, que relacionen1 los resultados de un

número limitado de casos obtenidos aleatoriamente con la probabilidad de inicio de colapso real, para

un determinado factor de carga.

6.2 Definiciones

En el contexto2 de este capítulo se denominará:

1º/ Universo3 , al conjunto de todos los valores posibles de una variable, que en este caso es la Carga

de inicio de Colapso4 o, mejor5, el factor de carga de inicio de colapso (iCλ ).

2º/ Universo Muestral, al conjunto de todos los valores del universo que son accesibles mediante los

métodos de muestreo.

1 De un modo seguro 2 La estadística es sin duda la rama de las matemáticas que goza de más favor popular. Esto, junto al hecho de que emplea algunos términos ya existentes en el lenguaje cotidiano, hace que a veces sea difícil entender en que sentido se utilizan algunas expresiones. 3 Algunos autores lo llaman población pero en esta tesis se reserva dicho término para emplearlo en el contexto de los métodos metaheurísticos basados en poblaciones. 4 La carga de inicio de colapso es el sistema de acciones variables correspondiente a una solución de inicio de colapso. En el anterior capítulo, dado que las soluciones de inicio de colapso se han planteado de forma explícita y sobre ejemplos elementales, se ha llamado simplemente f por motivos de claridad. En los restantes capítulos a partir del 2º se ha escrito en la forma de un factor de carga λ que afecta a un sistema de cargas descrito por el vector g al que se hace crecer proporcionalmente según dicho factor. 5 Al valor del factor correspondiente a una solución de inicio de colapso es al que se llama iCλ Siempre resultará

más fácil trabajar con una variable escalar, como iCλ , que con una variable vectorial, como el vector de acciones

variables de inicio de colapso.


264

3º/ Muestra, a un subconjunto del universo muestral que idealmente debe ser representativo del

universo completo. Para que dicha muestra sea representativa debe de haber sido extraída

aleatoriamente del universo.

6.3 Tratamiento de la incertidumbre aleatoria

La obtención directa de la probabilidad condicionada6 de inicio de colapso, para un determinado factor

de carga, como la proporción de todos los factores de carga de inicio de colapso de valor igual o

inferior al factor dado respecto del total de los factores de carga de inicio de colapso, no es viable

salvo en los ejemplos de muy pequeño tamaño.

Hay que hacer notar que en el capítulo anterior el planteamiento completo del problema, incluyendo el

proceso de construcción del universo de sucesos posibles, en primer lugar, por métodos generales y,

posteriormente, por métodos ad hoc, ha sido puramente determinista y, por tanto, no hay en él ninguna

incertidumbre.

De este modo, se ha podido asegurar que el universo muestral accesible al método de muestreo

implementado, coincide exactamente con el universo de sucesos.

En otras palabras, todos los sucesos posibles son igualmente accesibles para el método de muestreo.

La única parte aleatoria ha sido precisamente dicho método. Se han hallado, por métodos

probabilísticos, los volúmenes de unos cuerpos geométricos definidos perfectamente y de forma

explícita. No hay, por tanto, incertidumbre epistémica en dicho proceso, dado que el universo de

sucesos posibles es totalmente conocido y se ha expresado geométricamente, tomando la forma de una

unión de politopos.

Por los motivos detallados al final del anterior capítulo, en el caso general no es posible hacer un

planteamiento "exacto y completo", no pudiendo describirse de forma explícita el universo de sucesos

posibles, hallando todos los vértices de cada uno de los politopos de inicio de colapso.

En este caso, debe recurrirse a su descripción de modo implícito, como el conjunto de todas las

soluciones que cumplen las restricciones7. Con esta formulación no resulta tan claro el modo de

realizar un muestreo aleatorio de soluciones independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.).

No obstante, no radica ahí el problema, pues se pueden obtener, con cierto coste computacional, los

vértices de un politopo definido como un conjunto de restricciones. El verdadero problema reside en

6 Condicionada en el sentido de que se estudia la distribución según su factor de carga de las soluciones de inicio de colapso respecto del conjunto de todas ellas y no respecto del conjunto de todas las soluciones estáticas válidas. 7 Por supuesto en problemas de pequeño tamaño se pueden hallar los vértices de los politopos a partir de su descripción como conjunto de restricciones, pues existen dos modos equivalentes de definir un politopo: a partir de sus vértices y a partir del conjunto de desigualdades que lo definen.


265

que, debido al tamaño, es imposible enumerar todos los posibles politopos de soluciones de inicio de

colapso y, aún menos, realizar un muestreo exhaustivo sobre todos ellos.

La obtención de una solución ya no consiste en elegir un punto del universo de soluciones descrito de

modo explícito y calcular su factor de carga, sino que media un procedimiento que permite hallar

soluciones que cumplan dichas restricciones.

La clave del asunto consiste en saber hasta que punto, la muestra extraída del universo muestral, por

este procedimiento, es representativa del universo completo.

Se plantean varias cuestiones: ¿son todas las soluciones de inicio de colapso accesibles al método de

muestreo? ¿son todas igualmente accesibles? y por tanto ¿se puede asegurar que los valores de la

muestra son i.i.d.8 sobre el universo?

Estas preguntas corresponden a lo que se ha definido como incertidumbre epistémica, y en tanto se

vayan respondiendo se reducirá dicha incertidumbre. Posibles modos de enfocar este tipo de

incertidumbre se tratarán al final del capítulo.

En esta primera parte del capítulo se tratarán exclusivamente métodos, menos costosos que el de

Monte Carlo, para manejar la incertidumbre o variabilidad aleatoria, que en el presente caso es la

derivada del muestreo9 , pero no del método de obtención de las soluciones.

6.3.1 Métodos estadísticos

En el capítulo anterior se ha obtenido una muestra aleatoria de muy gran tamaño y por métodos que

garantizan que la totalidad del universo es accesible, de tal modo que, desde el punto de vista práctico,

se puede identificar la muestra con el universo10.

Aplicando a la muestra las herramientas de la estadística descriptiva, se pueden obtener distintos

valores que reflejen, de forma bastante aproximada, las características del universo (media, varianza,

desviación estándar, percentiles...) y, por tanto, la Probabilidad de inicio de Colapso (Prob_iC).

8 i.i.d. independientes e idénticamente distribuidos. 9 Del muestreo del universo muestral o parte del universo de sucesos posibles que es accesible al método de muestreo. De la correspondencia entre el universo muestral y el universo de sucesos posibles, en definitiva de la representatividad de la muestra obtenida, se tratará al final del capítulo. 10 Aunque desde el punto de vista teórico no sea cierto, como ya se ha indicado en relación a la precisión del método de Monte Carlo. Además aplicando las herramientas que se desarrollarán en este capítulo se puede comprobar que con 100000 valores el mínimo valor obtenido estará como máximo en el percentil de 0.0115% de los menores con una probabilidad de error de 1/100000. Pero dado que el objetivo del anterior capítulo es llamar la atención sobre las limitaciones de reducir la búsqueda a un mínimo absoluto, no se ha considerado oportuno añadir en él consideraciones de menor orden.


266

Cuando no es posible, o deseable, obtener más que un número reducido de valores, se puede recurrir al

método de la Estadística Inferencial conocido como Estimación, que permite hacer inferencias sobre

las características del universo a partir de las características de la muestra.

1/ Estadística paramétrica

Conociendo la función de distribución del universo del cual se ha extraído la muestra, bastará con

calcular algunos parámetros de la distribución a partir de los estadísticos de la muestra. Partiendo de

dicha distribución y parámetros, se podrán inferir los percentiles y, por tanto, las Probabilidades de

Inicio de Colapso.

En gran cantidad de casos, la adopción de una distribución (y especialmente de la distribución normal),

es una decisión "a priori" del investigador (por ejemplo: para la resistencia de un material se adopta a

menudo una distribución normal, de la cual se quiere hallar el valor medio, la desviación estándar y el

percentil del 95%).

En el presente caso, la distribución del universo es, a priori, totalmente desconocida, teniendo de

hecho cada uno de los ejemplos estudiados una distribución diferente.

Sin embargo, en alguno de los casos del anterior capítulo, la comparación de los resultados obtenidos

(figura 6.1) con los de una distribución conocida (normal en este caso) induce a pensar que, para ellos,

sí es aplicable. Es, además, razonable esperar que, en casos con mayor número de piezas, la

distribución se acerque a la distribución normal.

Figura 6.111

En cualquier caso, si se desea adoptar una determinada distribución habrá que comprobar antes su

adecuación, por medio de alguno de los test que se enumeran en los siguientes apartados.

11 Comparación de la gráfica correspondiente a los resultados obtenidos en el capítulo anterior para el ejemplo de un solo bloque con la de una distribución Normal de las mismas media y varianza. La variable aleatoria es en este caso f


267

El motivo, por el cual es deseable comprobar si se puede adoptar una de estas distribuciones y, en caso

ser posible, aplicar las herramientas de la estadística paramétrica, es que con su utilización es

necesario un menor número de valores de muestra y se obtienen resultados más exactos.

El inconveniente, que los test para comprobar si la muestra corresponde a una determinada

distribución son no paramétricos y tienen un cierto coste computacional, con lo cual, la ventaja del

menor número de valores necesario queda relativizada, a menos que la experiencia demuestre que se

puede adoptar una determinada distribución o se asuma el riesgo de equivocarse al adoptarla.

2/ Test de normalidad

Como primera opción debe de comprobarse si la muestra corresponde a una distribución normal, dado

que es para este tipo de distribución para el que se han desarrollado la inmensa mayoría de las

herramientas disponibles.

Los test de normalidad son test no-paramétricos que se aplican al conjunto de datos de una muestra,

con el fin de determinar en que modo se corresponden con una distribución normal, es decir, con que

probabilidad esta muestra ha sido extraída de un universo cuya distribución sea normal.

Existen múltiples test de normalidad tales como los de Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling,

Lilliefors, Shapiro-Wilk... e incluso la comparación de ambas gráficas, como se ha hecho en la figura

6.1. Cada uno de estos test tiene sus ventajas y sus inconvenientes.

3/ Test de bondad de ajuste

Para el caso más general, en que la distribución se supone conocida, pero no necesariamente normal,

se pueden emplear los test de bondad de ajuste que miden el ajuste existente entre un conjunto de

datos de una muestra y una determinada distribución.

El test de Chi Cuadrado 2χ es otra prueba, no paramétrica, que mide la discrepancia entre dos

conjuntos de datos. Cuando uno es el conjunto de datos de la muestra y el otro "la distribución de

datos del universo del que se supone extraída", puede utilizarse como test de bondad de ajuste.

Cuando la distribución de datos, con la que se hace la comparación, es la normal, puede utilizarse

como un test más de normalidad.

Por ejemplo, para el caso del gráfico (figura 6.1) la aplicación del test da los siguientes resultados:


268

Es cierta la hipótesis de que los datos se ajustan12 a una distribución normal con una probabilidad del

70% (el estadístico del test da 974.65 siendo su valor crítico 1073.64)...

4/ Estadística no paramétrica

La estadística no paramétrica es otra opción disponible si el resultado de los anteriores test es negativo

o si, del lado de la seguridad, no se quieren aventurar hipótesis sobre la distribución del universo del

que proceden los datos de la muestra.

Esta rama de la estadística no asume como conocida, a priori, la función de distribución de los datos,

por eso se la denomina, en ocasiones, Estadística de distribución libre13 ("Distribution-free Statistics").

Así, por ejemplo, el trabajo de Guttman (1948) permite hallar un intervalo de confianza, más ajustado

que el dado anteriormente por Tchebychef, para el valor de la media de una muestra extraída de una

distribución desconocida.

5/ Estadística paramétrica vs. no paramétrica

La ventaja de utilizar los métodos de la estadística no paramétrica, es que pueden aplicarse aunque se

tenga un total desconocimiento de la distribución del universo de sucesos. El inconveniente, es que

con muestras del mismo tamaño se obtienen resultados menos precisos que con la estadística

paramétrica.

Figura 6.2 Figura 6.3

12 Debe hacerse notar que la validación dada por estos test es del tipo: "no existe evidencia estadística en contra de la hipótesis de que la muestra haya sido extraída de la distribución dada". E incluso es posible que sean ciertas en estos términos las hipótesis de ajuste a diferentes distribuciones para una misma muestra 13 En el sentido de Estadística no dependiente de la Distribución


269

Por ejemplo, aplicando las fórmulas del citado Guttman, para obtener el intervalo de confianza para la

media con un nivel de confianza del 99% y comparándolo con los valores correspondientes para una

distribución normal, se obtiene (figura 6.2) que a partir de un tamaño de muestra superior a 90, que es

el que se viene usando de ejemplo, la relación entre los valores de los intervalos de confianza

obtenidos en los dos supuestos apenas varía y viene a ser de 1.5 veces mayor para la fórmula de

Guttman.

Si se considera el tamaño de muestra necesario para obtener los mismos valores de intervalos (figura

6.3) resulta que, para obtener el mismo intervalo que con S=90 y nivel de confianza 99% con la

fórmula de Guttman, bastaría con sólo S=40 con las fórmulas de la distribución Normal, y para

S=1000 con Guttman, bastaría S=438 con la Normal. El tamaño de la muestra viene a ser entre 2.25 y

2.30 veces menor en el caso de asumir que la distribución es normal.

Con los ejemplos anteriores, queda claro cual es la magnitud del error que se puede cometer si se

asume equivocadamente que la distribución es Normal y cual es el coste computacional de no conocer,

a priori, si la distribución de la muestra es Normal.

6/ Estadística de orden

Una parte de los métodos empleados en la estadística no paramétrica se basan en los estadísticos de

orden14.

Para una exposición sistemática de los métodos de la Estadística de Orden ("Order Statistics") ver

David et al. (2003). Resulta de especial interés la sección que dedican a los estadísticos de orden en la

inferencia no paramétrica, y en especial el capítulo 6.1 "Intervalos de confianza para cuantiles

independientes de la distribución".

En todo caso, en el presente capítulo se van a desarrollar aquellos métodos fundamentales de la

estadística de orden que van a formar parte del marco de trabajo propuesto.

Como se ha explicado anteriormente en una nota al pie, aplicando a los ejemplos del capítulo anterior

los métodos de la estadística de orden, se puede comprobar que con 100.000 valores el mínimo valor

obtenido estará como máximo en el percentil de 0.0115% de los menores, con una probabilidad de

error de 1/100.000.

Estos resultados no mejoran en nada, a primera vista, la percepción de la dificultad del problema, sino

que, por el contrario, relativizan los resultados obtenidos mediante la simulación por el Método de

Monte Carlo.

14 Son estadísticos de orden entre otros: el mínimo o estadístico de orden 1, el máximo o estadístico de orden n (en una muestra de n elementos) y la mediana muestral


270

Para facilitar la resolución del problema hace falta introducir un segundo elemento, la suavización de

objetivos.

6.3.2 Suavización de objetivos15

La solución al problema anterior consiste en darle un enfoque diferente a los resultados obtenidos, en

los siguientes términos:

Si con la obtención de 100000 valores se puede asegurar que el mínimo valor obtenido esta

comprendido entre el 0,0115 % de los peores valores, con una probabilidad de acierto del 99,999 %

¿qué número de valores sería necesario obtener, para poder asegurar que el mínimo valor obtenido está

comprendido entre el 5% de los peores, con una probabilidad de acierto del 99%?

La respuesta es 90 valores, un número razonablemente bajo que permite vislumbrar la posibilidad de

dar una respuesta, técnicamente aceptable, al problema de la probabilidad de inicio de colapso.

Figura 6.4

En la figura 6.4 se aprecia como, para una proporción de peores soluciones g fijada, en este caso el 5%,

la probabilidad de acierto, en función del número de valores, crece muy rápidamente al comienzo,

llegándose al citado valor del 99% con 90 valores, pero luego crece cada vez más despacio.

S → ∞ 460517014 46051700 4605168 460515 46049 4603 919 g(%) 0→ 0.000001 0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 0.5

S 458 228 151 113 90 44 21

g(%) 1 2 3 4 5 10 20

S 13 9 7 5 4 3 2 0→ g(%) 30 40 50 60 70 80 90 100→

Tabla 6.1

15 Lee, Loo Hay et al. (1999) "Explanation of goal softening in ordinal optimization"


271

En la tabla 6.1 se refleja el número de valores que es necesario obtener para poder asegurar que el

menor (o mayor) de ellos está comprendido en la proporción g (en %) de los peores (o mejores), con

una probabilidad de acierto o nivel de confianza del 99%. En la figura 6.5 se recogen los mismos

resultados de forma gráfica.

Figura 6.5

El método por el cual se han obtenido los anteriores resultados se llama Optimización Ordinal (OO) y

de él va a tratar el resto del capítulo.

6.3.3 Optimización ordinal

En el contexto de los métodos de optimización se puede aplicar el término Optimización Ordinal (OO)

"Ordinal Optimization" para dos diferentes conceptos:

El primero, en el campo de la optimización matemática, se refiere a la optimización de funciones que

toman valores en un Conjunto Parcialmente Ordenado16 (poset) "Partially Ordered Set"

Al menos desde el artículo "Ordinal Optimization of Discrete Event Dynamic Systems" de Ho et al.

(1992), se adopta, también, para una serie de métodos de optimización, basados en la idea de que es

posible reducir los recursos computacionales necesarios, planteando una pregunta menos ambiciosa:

No es el mejor (o peor) pero ¿Es suficientemente bueno (o malo)?.

En el citado artículo se argumenta a favor de un nuevo enfoque, basado en la optimización ordinal en

lugar de en la cardinal, en el orden y no en la exactitud de los resultados.

16 En teoría del orden un conjunto parcialmente ordenado es un conjunto dotado de una relación binaria de orden parcial.


272

Van a emplearse los métodos correspondientes a esta segunda acepción, ya que un método basado en

el orden encaja, como "anillo al dedo", con el concepto de probabilidad de inicio de colapso, basado

en los percentiles.

El método se diseñó, inicialmente, para complicados problemas de optimización estocástica

multivariable o dinámica de eventos discretos y, ya desde el primer momento, no se presentó como

opuesto o alternativo a otros, sino como complementario de ellos. Se trataba de implementar un marco

de trabajo en el cual pudieran encajarse otras herramientas, más que de proponer un método cerrado.

La Estadística de Orden es el otro pilar en que se fundamenta el método, es la herramienta utilizada

para evaluar que lugar ocupan los resultados obtenidos y calificarlos.

En el presente capítulo se van a utilizar ambos conceptos: suavización de objetivos y utilización de la

Estadística de Orden.

En resumen, la Optimización Ordinal17, con su metodología de suavización de objetivos y su

utilización de la Estadística de Orden, permite obtener, con una seguridad suficiente, una solución que

sin ser la pésima se encuentra entre un porcentaje previamente determinado de las peores.

Para obtener esta solución “suficientemente mala” basta la resolución de un número razonablemente

pequeño de casos18.

6.3.4 Obtención de la probabilidad de inicio de colapso de una carga (Prob_iC ó Pc)

como resultado de un proceso de optimización ordinal.

La posibilidad de resolver el problema, mediante la utilización de las citadas herramientas, depende de

la aceptación de las dos siguientes premisas19:

1ª Cualquiera de las posibles soluciones de equilibrio límite, que corresponden a soluciones de inicio

de colapso, es igualmente probable.

2ª Se dispone de (o se puede diseñar) un método que permita obtener la “correspondiente” carga de

inicio de colapso (o en su defecto un valor seguro de ella) para todas y cada una de estas soluciones.

17 An explanation of ordinal optimization: Soft computing for hard problems. Yu-Chi Ho. Harvard University. Information Sciences 113 (1999) o para una presentación más sistemática Ordinal optimization: Soft computing for hard problems. Yu-Chi Ho. y otros Springer (2007) 18 No obstante, en los casos en que es necesario seguir con el anterior enfoque de aproximación al mínimo absoluto, siempre quedará la duda de a cuanta “distancia” del mínimo absoluto se encuentra la solución hallada. Por tanto la comprobación de colapso local o de estructuras con un número de piezas muy reducido queda excluida del alcance del presente capítulo y se tratará en el siguiente. 19 Ambas premisas son condiciones necesarias para poder llevar adelante el método propuesto. La primera hace que sea posible realizar un muestreo aleatorio de las soluciones. La segunda que sea posible obtenerlas.


273

Tras el planteamiento propuesto se encuentran los dos tipos distintos de incertidumbres a las que se

debe dar respuesta: la aleatoria y la epistémica.

Se da, temporalmente, por hecho que se dispone de (o se puede diseñar) un método que permita

obtener un muestreo representativo de las cargas de inicio de colapso. Por tanto, se va a analizar en

primer lugar la incertidumbre aleatoria, posponiendo la discusión de la segunda premisa y de la

incertidumbre epistémica.

Es fácil imaginar un fenómeno físico que corresponda con la incertidumbre aleatoria20, por ejemplo,

pequeñas irregularidades, distribuidas aleatoriamente en las caras de contacto21, provocarán diferentes

estados22 de equilibrio inicial en ausencia de fuerzas variables. El incremento de dichas fuerzas

variables llevará a diferentes soluciones de inicio de colapso. Parece, por tanto, que el concepto de

aleatoriedad encaja con las características del problema en estudio y puede dotar de un medio para

obtener un muestreo representativo de las posibles soluciones de inicio de colapso.

Sujetos a la aceptación de la primera premisa se pueden establecer enunciados del siguiente tipo:

1º/ Mediante la realización de un muestreo aleatorio de soluciones de inicio de colapso, se puede

obtener un valor seguro de la probabilidad de inicio de colapso, correspondiente a un factor de carga

dado con un determinado nivel de confianza (probabilidad de acierto).

Más formalmente: "La probabilidad estimada de inicio de colapso ( )Sc kP λ , para un factor de carga Skλ

(que ocupa el puesto de orden k, en una muestra S, de factores de carga de inicio de colapso obtenidos

aleatoriamente) será igual o mayor23, con una probabilidad de acierto o nivel de confianza Conf24, que

la probabilidad de inicio de colapso real ( )UcP λ , correspondiente a un factor de carga U S

kλ λ= ".

2º/ Mediante la realización de un muestreo aleatorio de soluciones de inicio de colapso, se puede

obtener un valor seguro del factor de carga, correspondiente a una probabilidad de inicio de colapso

dada con un determinado nivel de confianza (probabilidad de acierto).

Más formalmente: "El factor de carga Skλ (que ocupa el puesto de orden k, en una muestra S, de

factores de carga de inicio de colapso obtenidos aleatoriamente) estimado como correspondiente a la

20 Algunos autores la llaman variabilidad 21 Éste es uno de los modelos de comportamiento aleatorio pero son posibles otros. 22 Los estados no tienen por que ser únicos (en general será un conjunto de estados), una determinada configuración de irregularidades puede permitir diferentes estados de equilibrio, pero lo más significativo es que habrá otros estados de equilibrio que no puedan corresponder con dicha configuración. 23 Es decir que la probabilidad estimada de colapso es mayor o igual que la real, si la probabilidad estimada es aceptable la real lo será más. 24 Conf habitualmente se da en % pero dado que en algunas fórmulas procedentes de la OO se da también en tanto por uno finalmente se ha decidido utilizar Conf simplemente como una proporción.


274

probabilidad de inicio de colapso ( )Sc kP λ , será igual o menor25, con una probabilidad de acierto o nivel

de confianza Conf , que el factor de carga U Skλ λ= de inicio de colapso real, correspondiente a la

probabilidad ( )UcP λ ".

1/ Aplicación de la Estadística de Orden a la obtención de la Probabilidad de inicio de Colapso

Se va a presentar en paralelo el caso y un símil del mismo representado a través de las figuras26:

Considérese el siguiente símil. Se tiene un recipiente U con 20 bolas de los siguientes colores: negro,

azul, azul verdoso, verde, amarillo, naranja y rojo (Fig.6.6 1). Los colores en el orden descrito

representan valores crecientes del factor de carga y, al mismo tiempo, valores crecientes del riesgo de

inicio de colapso. Se ordena el conjunto de bolas de acuerdo a esta escala (Fig.6.6 2).

Si se decide que un riesgo aceptable es el representado por las bolas azules y negras, y se llama G a este

subconjunto de soluciones aceptables, se tiene que hay 5 de 20 bolas que representan este riesgo

aceptable, por tanto, al ser la extracción de cualquiera de las bolas igualmente probable la probabilidad

de inicio de colapso que se considera aceptable g (G/U en términos de porcentaje u otro tipo de

proporción) es de 5/20 ó 0.25 ó 25% (Fig.6.6 3 siendo g=25%).

Dicha probabilidad de inicio de colapso coincide con el percentil que ocupa la bola azul, de mayor

número de orden, dentro del conjunto ordenado de todas las bolas de colores.

Figura 6.6

25 Es decir que la carga estimada para una probabilidad de inicio de colapso dada es menor o igual que la real, si la carga estimada es aceptable la real lo será más. 26 A fin de facilitar la comprensión de los nuevos conceptos y ayudar a diferenciar los usos que se van a hacer del concepto de probabilidad, se va a desarrollar en paralelo al razonamiento matemático un razonamiento por analogía basado en un símil de extracción de bolas de colores. El lector versado en estadística puede saltar sin más los párrafos en cursiva, e incluso el texto del párrafo completo salvo las fórmulas que resultan de él, 6.1 a 6.9,y que pueden encontrarse en cualquier tratado de estadística de orden, estando el interés en su aplicación..


275

Para la obtención de la probabilidad de inicio de colapso (Prob_iC) sea:

U el conjunto de todas las posibles cargas de inicio colapso obtenidas.

U Uλ ∈ todos los factores de carga de inicio de colapso repetidos todas las veces que ocurran.

U

Gλ el factor de carga que se quiera considerar.

{ | }U U Ui i G

G Uλ λ λ≡ ∈ ≤ , el subconjunto de U formado por todos los elementos de U menores o

iguales que U

Gλ

#{ } simboliza el número de elementos de un conjunto enumerable o la magnitud correspondiente de

uno no enumerable.

La probabilidad de inicio de colapso Prob_iC( )U

Gλ para una carga de inicio de colapso determinada

U

Gλ será la proporción g de cargas de inicio de colapso menores o iguales que la carga dada respecto

del total de cargas de inicio de colapso.

#{ }

Prob_iC( ) ( )#{ }

U UcG G

GP g

Uλ λ= = =

Dicho de otro modo, si se ordena el conjunto de las soluciones de inicio de colapso, de menor a mayor

factor de carga, la probabilidad de inicio de colapso (en %) coincidirá con el percentil correspondiente

al factor de carga dado. (i.e: si a un factor de carga U

Gλ dado le corresponde el percentil ( )U

Gg λ la

probabilidad de inicio de colapso para U

Gλ será ( )U

c GP λ = ( )U

Gg λ ).

Como ya se ha apuntado anteriormente, si se dispusiera de estas proporciones, de forma explícita o

implícita, el problema estaría resuelto pero, al ser el conjunto de soluciones desconocido (y en general

no enumerable), y al no corresponder a una distribución de probabilidad conocida a priori, la única

forma de afrontar el problema es mediante un muestreo. 27

De nuevo en el símil: del recipiente que contiene todas las bolas (Fig.6.7 1) se obtiene por medio de un

proceso de extracción aleatoria con reposición28 (Fig.6.7 4) un conjunto de muestras S (Fig.6.7 5)

27 Como ya se ha aclarado en anteriores notas, referidas a la posible computación mediante volúmenes, se trata de todas las ocurrencias de todas las soluciones y no “solamente” de todas las soluciones extremas. Si nos bastara con las soluciones extremas, el problema continuaría siendo muy difícil, pero al menos sería enumerable. Concretamente, la complejidad computacional de obtener estos volúmenes para el caso de un factor de carga dado es enumerable P-difícil. (no tiene interés en este momento explicar a que corresponde este grado de complejidad) The complexity of vertex enumeration methods. M.E. Dyer. Math. Oper. Res. 1983 28 Una vez extraída la bola se vuelve a depositar, lo cual asegura que las sucesivas extracciones son sucesos independientes y que las probabilidades de extraer bolas de cada color son las mismas en todas las extracciones.


276

Figura 6.7

El siguiente paso es estudiar la relación existente entre el conjunto S de muestras extraídas y el

conjunto U de todas las posibles muestras (universo muestral) ordenados según el mismo criterio de

orden. (Fig.6.8 2 y 6.8 6)

Figura 6.8

Se trata de evaluar en que condiciones y de que modo, los resultados obtenidos de este muestreo S, son

representativos de los que se obtendrían del conjunto de todas las posibles muestras U (universo

muestral).

Se podrían emplear directamente los resultados publicados29, pero como el problema es sencillo, y no

requiere conocimientos específicos previos, se va a plantear desde cero a partir de los siguientes

axiomas30 elementales de la teoría de la probabilidad:

29 Para ayudar en este punto se dispone de los resultados de la Estadística de Orden. (ver por ejemplo David H., Nagaraja H. Order statistics. 3ª ed., Wiley, 2003 y especialmente el capítulo 7 Order Statistics in Nonparametric Inference sección 7.1 Distribution-free confidence intervals for quantiles)


277

1º La probabilidad P(A) de un evento A tiene un valor 0 ≥ P(A) ≥1

2º La suma de las respectivas probabilidades, de cada uno de los eventos de un conjunto, siendo éstos

mutuamente excluyentes y conjuntamente exhaustivos {Ai}, es 1: ( ) 1iiP A =∑

3º La probabilidad de que ocurran conjuntamente dos eventos independientes Ai y Aj, es igual al

producto de sus probabilidades individuales: ( ) ( ) ( )i j i jP A A P A P A∧ = ⋅

A partir de estos tres axiomas hay que determinar con que nivel de confianza (% o tanto por uno de

probabilidad de acierto) un cierto número k de las muestras obtenidas se encuentran dentro del

subconjunto G, (formado por todos los valores que se encuentran por debajo de una determinada

proporción g del conjunto ordenado U de todos los valores posibles) y, por tanto, con una

probabilidad de inicio de colapso menor o igual a cP g= .

Figura 6.9

Se pueden distinguir tres casos:

1º/Probabilidad (de acierto o nivel de confianza) de que al menos 1, (el menor) de los valores de la

muestra obtenida, esté comprendido entre los valores del subconjunto G. (Fig.6.9 7).

Recuérdese que G es el subconjunto de valores que se ha decidido que son “suficientemente malos”, y

que, para el caso de conjuntos no enumerables, se expresa en forma de proporción (o porcentaje) del

total. Esta proporción es, a su vez, la que expresa la probabilidad de inicio de colapso para el mayor de

30 Existen otros conjuntos de axiomas de los cuales el más notable es el debido a Kolmogorov Foundations of the Theory of Probability English Translation Chelsea Publishing Company 1956 el conjunto de axiomas que se están empleando por comodidad es el propuesto en Reliability and Statistics in Geotechnical Engineering Gregory B. Baecher y John T. Christian Wiley 2003


278

los valores del subconjunto G (dicho de otra forma: la mayor Prob_iC es el cuantil (percentil)

correspondiente al mayor de los valores del subconjunto G)

Simbolizando con #{ } el número de elementos de un conjunto, se puede escribir el primer caso como:

P(#{G∩S}) ≥ 1

2º/Probabilidad de que al menos k de los valores de la muestra obtenida estén comprendidos entre los

valores del subconjunto G. (Fig.6.9 8)

P(#{G∩S}) ≥ k

3º/Probabilidad de que exactamente k de los valores de la muestra obtenida estén comprendidos entre

los valores del subconjunto G. (Fig.6.9 9)

P(#{G∩S}) = k

Se comienza por el caso más sencillo, y más importante para el presente problema, en el que se busca

que, en la muestra extraída, haya al menos un valor (k=1) que esté incluido en el cuantil deseado de

los valores reales.

Primero, se desarrolla un simple ejemplo aplicado al símil de las bolas (Fig.6.9 7):

Hay 1 bola negra de un total de 20, por tanto, la probabilidad de que al extraer una bola de modo

aleatorio sea negra es de 1/20 ó 0.05 ó 5%. Y la probabilidad de que no salga la bola negra es de 19/20

ó 0.95 ó 95%. Si se repite la extracción, al tratarse de sucesos independientes la probabilidad de que

ninguna de las dos veces salga bola negra será de 0.95 x 0.95 = 0.952 y, por tanto, la probabilidad31 de

que salga una bola negra al menos una vez será 1– 0.952. Generalizando el proceso para s extracciones,

la probabilidad de que al menos 1 de las s veces salga una bola negra será 1 – (1 - 0.05)s. Conviene

recordar que a esta probabilidad se la está llamando probabilidad de acierto o nivel de confianza32.

Se puede, ahora, expresarlo formalmente. Recuérdese, en primer lugar, que se ha llamado g a la

proporción de elementos del conjunto G respecto del total U, y probabilidad de inicio de colapso de

una carga (o de un factor de carga) dada a la proporción de cargas de inicio de colapso iguales o

menores que la carga dada respecto del total de las cargas de inicio de colapso33.

Dicho de otro modo, la Prob_iC para una carga dada es igual al cuantil correspondiente a esta carga de

inicio de colapso, dentro del conjunto ordenado de todas las posibles cargas de inicio de colapso.

31 En todas las fórmulas la proporción g se expresa en tanto por uno 32 En la terminología empleada en Optimización Ordinal, se llamaría a esta probabilidad de acierto expresable como P(#{G∩S}) Probabilidad de alineación. 33 Referido al conjunto de todas las cargas de colapso y no al subconjunto de la muestra extraída, por tanto la probabilidad de colapso Pc(λ) correspondiente a un factor de carga dado λ será igual al g correspondiente al subconjunto de soluciones G formado por todas las soluciones con factor de carga ≤λ


279

Por el 2º axioma, la probabilidad34 (de acierto), de que 1 ó más de las muestras obtenidas este incluida

en G y, por tanto, de que su probabilidad de inicio de colapso sea menor o igual que la Pc

correspondiente a g, es igual a 1 menos la probabilidad de que ninguna muestra esté incluida en G.

La probabilidad de fallo para una muestra es (1-g) y, por tanto, para s muestras (axioma 3º) la

probabilidad de s fallos es (1-g)s; y la probabilidad Pa ≥1 de al menos un acierto o, lo que es lo mismo,

de que no todos sean fallos (axioma 2º) será 1-(1-g)s

1 1( { }) 1 (1 )S saProb G S P gλ ≥∈ = = − −∩ (6.1)

Operando y tomando logaritmos

11 (1 )saP g≥− = −

1ln(1 ) ln(1 )aP s g≥− = ⋅ −

De donde se puede despejar s

1ln(1 )

ln(1 )aP

sg

≥−=

− (6.2)

O bien g

1

11 (1 )sag P≥= − − (6.3)

Como se ve, cuando se trata de la probabilidad de acierto Pa ≥1 en al menos un caso de los s probados35

es posible obtener cualquiera de los tres valores (g, s, Pa≥1) de forma explícita en función de los otros

dos.

Dejando para el final el segundo caso, se expone el tercero en el que hay exactamente k aciertos,

exponiéndolo a través de un nuevo ejemplo, referido al símil (Fig.6.9 9):

En la Fig.3 hay 5 bolas contenidas en el subconjunto G, lo cual implica que la probabilidad de que al

extraer 1 bola ésta pertenezca al subconjunto G será de 5/20 ó 25% ó 0.25. Si se extrae 1 bola 4 veces

sucesivas36 ¿Cuál será la probabilidad de que exactamente 3 de las bolas extraídas pertenezcan al

subconjunto G? La probabilidad conjunta de acertar 3 bolas y fallar 1 bola será 0.25 x 0.25 x 0.25 x 0.75

= 0.253 x 0.751. Ahora bien, las extracciones de bolas acertadas pueden ser la 1ª,2ª y 3ª ó 1ª,2ª y 4ª ó 1ª,3ª

y 4ª ó 2ª,3ª y 4ª. Es decir, hay 4 posibles combinaciones de aciertos válidas. 4 es a su vez el número de

combinaciones diferentes de 4 elementos tomados de 3 en 3. Por tanto, la probabilidad de que

exactamente 3 de las 4 bolas extraídas pertenezcan al 25% de bolas seleccionadas como subconjunto G

es de:

3 1 3 (4 3) 3 4 344 0.25 0.75 4 0.25 0.75 0.25 (1 0.25)

3x x x x − −

= = −

34 Hay que recordar constantemente que se está hablando de distintas probabilidades. 35 O lo que es lo mismo el g en el que se encontraría el menor de los valores de factor de carga de colapso obtenidos. 36 Reponiendo la bola para que cada una de las extracciones sea un suceso independiente.


280

Llamando g a la proporción de bolas incluidas en el subconjunto G, s al número de extracciones

contenidas en la muestra y k al número de bolas de la muestra que pertenecen a G, se obtiene la

siguiente fórmula que generaliza el resultado obtenido y corresponde a la probabilidad de obtener

exactamente k aciertos:

(1 )k s ka k

sP g g

k−

=

= −

(6.4)

En términos del problema estructural, si se considera una determinada probabilidad de inicio de

colapso Pc, a la cual corresponde un subconjunto g de soluciones, con probabilidad de inicio de

colapso menor o igual que Pc, tomando un elemento de muestra al azar, hay una probabilidad g de que

dicho elemento esté efectivamente en este subconjunto (y, por tanto, de acierto) y una probabilidad 1-g

de que no (axioma 2º).

Repitiendo la toma s veces, al tratarse de eventos independientes (axioma 3º) la probabilidad de k

eventos determinados sean aciertos será gk y la probabilidad de que los restantes (s-k) sean fallos será

(1-g)s-k. Por tanto la probabilidad conjunta de k determinados aciertos y los restantes (s-k) fallos será:

gk·(1-g)s-k

Ahora bien, como existen s

k

combinaciones distintas de s elementos tomados de k en k, se obtiene

que la probabilidad Pk de tener exactamente k aciertos es:

1Prob( { } { }) (1 )S S k s kk k a k

sG S G S P g g

kλ λ −

+ =

∈ ∧ ∉ = = −

∩ ∩ (6.5)

Dicha función es conocida como distribución binomial37.

Como el número de combinaciones distintas de s elementos tomados de k en k es:

!

! ( )!

s s

k k s k

= ⋅ −

La fórmula (6.5) se puede reescribir como:

(1 )

!! ( )!

k s k

a k

g gP s

k s k

−

=−=

− (6.6)

37 La distribución binomial es aplicable a un experimento en que el resultado es la ocurrencia o la no ocurrencia de un evento, en este caso el acierto o el fallo; para profundizar en el tema se puede consultar cualquier tratado de probabilidad, por ejemplo: Canavos (1988). Para la aplicación a un ejemplo estructural ver Success and failures: The Binomial pmf en Baecher et al. (2003). Si el universo de sucesos fuera discreto y el muestreo se hiciera sin reposición la distribución a la que se llegaría sería la hipergeométrica, tal como sucede en muchos de los casos de Optimización Ordinal en los textos citados. En cualquier caso, para universos de gran tamaño en relación a la muestra (como es el caso) la diferencia entre usar una y otra es insignificante, y es más sencillo usar la binomial.


281

Para formular el segundo caso, más general, en el que se desea que haya al menos k valores que estén

incluidos en el percentil deseado de los valores reales, se procede del siguiente modo:

Se acaba de obtener la probabilidad de que haya exactamente k aciertos, pero como lo que se quiere es

obtener el nivel de confianza (la probabilidad de acierto) para que k ó más muestras estén contenidas

en G y que, por tanto, su probabilidad de inicio de colapso sea ≤ Pc , habrá que sumar las

probabilidades de que sean k, k+1…s, por tanto:

(1 )

Prob( { }) !! ( )!

i s isSk a k

i k

g gG S P s

i s iλ

−

≥=

−∈ = =−∑∩ (6.7)

Con lo cual se ha formulado matemáticamente la propuesta enunciada al principio del capítulo.

Considerando la fórmula (6.7) la probabilidad estimada de inicio de colapso ( )Sc kP λ = g es un límite

superior, para la probabilidad real de inicio de colapso ( )UcP λ de un factor de carga U S

kλ λ= , con un

nivel de confianza (probabilidad de acierto) Conf = Pa≥k. Siendo Skλ el λ , perteneciente al conjunto de

muestras obtenidas S, que ocupa el puesto de orden k ordenado de menor a mayor λ, y s el número de

elementos de S (número de muestras).

Se ha obtenido, por tanto, la herramienta que se pretendía, y que permite establecer la probabilidad de

inicio de colapso para un factor de carga dado.

Figura 6.10

La gráfica de la izquierda de la figura 6.10 representa la fórmula (6.7) para el caso en que g vale 0.05,

y la gráfica de la derecha, para el caso en que g vale 0.15. En ambas, el eje vertical representa la

probabilidad de acierto. Como se puede ver, en ambos casos para k=1 (eje izquierdo) la probabilidad


282

de acierto se hace casi 1 con un número muy reducido de muestras (eje derecho), menor según se

aumenta g. Esto viene a corroborar lo que ya se había avanzado al presentar la Optimización Ordinal

como alternativa a los métodos de búsqueda del mínimo global.

Resuelta esta parte del problema, puede parecer que el resultado obtenido es demasiado conservador,

dado que la fórmula muestra que k ó más de los s factores de carga λS, pertenecientes al conjunto de

muestras S y obtenidos en el muestreo, pertenecen al subconjunto de valores λG correspondientes al

subconjunto de soluciones G o, dicho de otro modo, que G∩S tiene k ó más elementos, pero, ¿ cuántos

más?

Se podría desear obtener un intervalo más ajustado de valores. Para ello, se fijaría un límite inferior k

y un límite superior m. La probabilidad de acierto será el resultado de sumar las probabilidades de que

sean k, k+1…m , por tanto:

1

( ) (1 )Prob( { } { }) !

! ( )!

i s imS Sk m k a m

i k

g gG S G S P s

i s iλ λ

−

+ ≤ ≥=

−∈ ∧ ∉ = =−∑∩ ∩ (6.8)

Esto es lo mismo que decir que:

k a m a k a mP P P≤ ≥ ≥ >= − (6.9)

Es decir, que la probabilidad de que esté entre k y m, ambos incluidos, es igual a la probabilidad de

que sea igual o mayor que k menos la probabilidad de que sea estrictamente mayor que m.

Por tanto, conforme k se va aproximando a m, la probabilidad de acierto para un mismo numero de

muestras s va disminuyendo o, lo que es lo mismo, según se desea más precisión, sin perder nivel de

confianza, se necesitan más muestras.

Si se desea que coincidan exactamente k muestras sería k=m y se estaría en el caso de la fórmula (6.5)38 con un único sumando e i = k.

En general, parece más ventajoso utilizar la fórmula (6.7) en lugar de la (6.8), ya que por una parte

está a favor de la seguridad (hay k o más aciertos) y por otra da una mayor probabilidad de acierto39.

38 Las fórmulas (6.5) y (6.8) se pueden obtener como casos particulares de la (6.7), que es la fórmula general, sin más que utilizar en el sumatorio los subíndices y superíndices adecuados. Para el caso de la fórmula (6.1) hay que recordar además que la posibilidad de que haya al menos un acierto es igual a uno menos la posibilidad de que no haya ningún acierto y que el factorial de 0 es por definición igual a 1 (0!=1) y cualquier número elevado a 0 es igualmente 1 (x0=1) 39 La regla general a tener en cuenta es que cuanto más se quiere ajustar el intervalo en el cual está contenida la solución menos probabilidad de acierto se tiene para un mismo número de muestras


283

Al contrario que en el caso en que k≥1, en que se podían obtener explícitamente los valores de cada

una de las variables, en el caso de la probabilidad de acierto Pa≥k , en al menos k casos, se procede

iterativamente y se puede obtener para un determinado número de pruebas s, un procedimiento, una

tabla o un gráfico que relacione los valores de k, g y el nivel de confianza correspondiente.

Figura 6.11

Un gráfico del citado tipo es el de la figura 6.11 que representa la relación entre k, g y diversas

probabilidades de acierto para un tamaño de muestra s=100. Traducido a la terminología que se está

empleando, k representa el número de orden relativo al total, de menor a mayor, que ocupa el factor de

carga λ entre todos los factores de carga obtenidos en la muestra (es decir, la frecuencia de factores de

carga menores o iguales que el que se comprueba). La probabilidad de acierto es igual al nivel de

confianza y g corresponde en porcentaje a la probabilidad de inicio de colapso Pc

Figura 6.12


284

Se pueden aclarar los anteriores conceptos a través de su aplicación a un caso concreto (figura 6.12)

Por ejemplo en la figura 6.12, obtenida una muestra de 100 ensayos, al factor de carga λ20 que ocupa el

puesto 20º, empezando desde el menor, le corresponderá: una probabilidad de inicio de colapso Pc 20=

0.299, con un nivel de confianza del 0.99 o una probabilidad de inicio de colapso Pc 20=0.116, con un

nivel de confianza del 0.01, (o 0.335 para el 0.999 y 0.095 para el 0.001...). En caso de desear un

nivel de confianza (casi total) del 0.99999999 la probabilidad de inicio de colapso estimada, para este

mismo factor de carga, se elevaría hasta el 0.50. Obviamente, se pueden obtener probabilidades de

inicio de colapso estimadas más bajas40, con este mismo nivel de confianza, aumentando el tamaño de

la muestra a un mayor número de ensayos. Para este último ejemplo, manteniendo iguales los demás

parámetros y duplicando el número de ensayos, se obtiene una probabilidad de inicio de colapso

estimada del 0.41, y multiplicando por cinco el número de ensayos una del 0.326.

Estos cálculos se realizan una vez obtenida la muestra y, en caso necesario, pueden aconsejar

aumentar su tamaño. No obstante, sólo se refieren al modo en que la muestra obtenida representa

fielmente el conjunto de todas las soluciones accesibles al método de muestreo y, por tanto, no interesa

forzar su precisión, ilusoriamente, más allá de la exactitud permitida por el método en su conjunto.

6.3.5 Aplicaciones de los resultados de la Estadística de Orden

La fórmula (6.2) es la que justifica los resultados obtenidos al aplicar la Optimización Ordinal. En

concreto el número mínimo de ensayos necesarios para obtener un valor, que esté en una proporción

determinada de los peores y con un nivel de confianza determinado. Lo que es lo mismo, como se ha

visto, que decir que la probabilidad de inicio de colapso para cualquier factor de carga λ inferior al

menor encontrado será menor o igual a la proporción fijada y con el nivel de confianza deseado.

Queda así ligada la aplicación de la Optimización Ordinal al problema, con la obtención de una

solución con una probabilidad de inicio de colapso menor o igual que un porcentaje dado.

1/ Obtención de una solución con una probabilidad de inicio de colapso dada.

Aplicando las fórmulas (6.1), (6.2) y (6.3), a un muestreo de soluciones de inicio de colapso, se

obtiene, a coste computacional cero, un límite superior a la probabilidad de inicio de colapso,

(Prob_iC ó Pc), para cualquier factor de carga λ inferior al menor valor encontrado y con el nivel de

confianza deseado (Conf).

40 Y más ajustadas a la realidad del Universo Muestral


285

Por ejemplo, con s = 90 ensayos y probabilidad de inicio de colapso Pc ≤ 0.05, aplicando la fórmula

(6.1) se obtiene un nivel de confianza Conf = 1-(1-0.05)90 = 1-(0.95)90 = 0.9901 ≈ 99%

Se ha obtenido, pues, un procedimiento que resolviendo 90 casos elegidos aleatoriamente permite

obtener una carga de inicio de colapso, cuya probabilidad de inicio de colapso será menor o igual al

0.05 y con un nivel de confianza del 0.99.

Este resultado es satisfactorio, desde el punto de vista técnico, y permite resolver el problema.

2/ Comprobación de la probabilidad de inicio de colapso de una solución dada

Finalmente, queda por mostrar la utilidad de la fórmula (6.7) y de las tablas o gráficos obtenidos a

partir de ella. Para ello, se debe responder a la siguiente pregunta: ¿qué interés tiene hallar la

probabilidad de inicio de colapso para cargas mayores que la mínima encontrada?

Hay al menos dos motivos: uno práctico y otro teórico.

El primero de ellos, práctico, es que la carga realmente actuante sea conocida y que esté por encima de

la mínima hallada, por lo cual será necesario estimar su probabilidad de inicio de colapso.

Figura 6.13


286

Para conseguirlo se debe obtener el número de orden que ocupa en la muestra obtenida la carga

mínima de las superiores a la dada y, utilizando la fórmula (6.7), unas tablas como las 6.2 que se

adjuntan en la siguiente página o un gráfico como el de la figura 6.13, se obtendrá (para una muestra

con s = 90) una cota superior a la Prob_iC (en %) para el nivel de confianza (conf en %) que se desee.

El segundo motivo, más teórico, es que se desee conocer en cada caso la distribución de

probabilidades de inicio de colapso correspondiente a diferentes cargas de colapso. Este interés se

justifica, desde el punto de vista empírico, por los resultados obtenidos en la aplicación del

procedimiento descrito anteriormente a algunos ejemplos clásicos, y desde el punto de vista teórico,

por la diferente dimensionalidad de los posibles mecanismos de inicio de colapso, según se vio en el

capítulo anterior.

Figura 6.14

Para el modelo de la izquierda de la figura 6.14, debido a Ferris41, se realiza un muestreo de mínimos

locales, adelantando uno de los métodos que se van a proponer en el siguiente apartado.

En el gráfico de la derecha se recogen los resultados obtenidos y debidamente ordenados de la carga

de inicio de colapso correspondiente a dicho modelo.

La falta de regularidad de los resultados obtenidos, provocada con toda probabilidad por la diferente

dimensionalidad de los mecanismos de inicio de colapso, induce a pensar que es un fenómeno digno

de estudio.

41 Limit analysis of frictional block assemblies as a mathematical program with complementarity constraints Ferris M.C. y Tin-Loi F. International journal of mechanical sciences 2001


287

Tablas de Prob_iC en % para s=90 y distintos niveles de confianza.

Nºord. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0+ 2.53 4.25 5.81 7.28 8.69 10.1 11.4 12.7 14 15.3

10+ 16.6 17.9 19.1 20.4 21.6 22.8 24 25.2 26.4 27.6

20+ 28.8 30 31.2 32.4 33.5 34.7 35.9 37 38.2 39.4

30+ 40.5 41.6 42.8 43.9 45 46.2 47.3 48.4 49.5 50.6

40+ 51.8 52.9 54 55.1 56.2 57.3 58.3 59.4 60.5 61.6

50+ 62.7 63.7 64.8 65.9 66.9 68 69.1 70.1 71.2 72.2

60+ 73.2 74.3 75.3 76.3 77.4 78.4 79.4 80.4 81.4 82.4

70+ 83.4 84.4 85.4 86.4 87.3 88.3 89.3 90.2 91.1 92.1

80+ 93 93.9 94.8 95.6 96.5 97.3 98 98.8 99.4 99.9

Cota superior de Prob_iC para el iCλ que ocupa el Nºord. de menor a mayor (s=90,conf=0.90)

Nºord. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0+ 4.99 7.15 9.01 10.7 12.4 13.9 15.4 16.9 18.3 19.8

10+ 21.1 22.5 23.9 25.2 26.5 27.8 29.1 30.3 31.6 32.8

20+ 34.1 35.3 36.5 37.7 38.9 40.1 41.3 42.5 43.7 44.8

30+ 46 47.1 48.3 49.4 50.6 51.7 52.8 53.9 55 56.1

40+ 57.2 58.3 59.4 60.4 61.5 62.6 63.6 64.7 65.7 66.8

50+ 67.8 68.8 69.9 70.9 71.9 72.9 73.9 74.9 75.9 76.8

60+ 77.8 78.8 79.7 80.7 81.6 82.6 83.5 84.4 85.3 86.2

70+ 87.1 88 88.8 89.7 90.5 91.4 92.2 93 93.8 94.5

80+ 95.3 96 96.7 97.4 98 98.6 99.1 99.5 99.8 100


Nºord. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0+ 7.39 9.8 11.9 13.7 15.5 17.2 18.8 20.3 21.8 23.3

10+ 24.8 26.2 27.6 29 30.3 31.6 33 34.3 35.5 36.8

20+ 38.1 39.3 40.6 41.8 43 44.2 45.4 46.6 47.7 48.9

30+ 50 51.2 52.3 53.5 54.6 55.7 56.8 57.9 59 60

40+ 61.1 62.2 63.2 64.3 65.3 66.3 67.4 68.4 69.4 70.4

50+ 71.4 72.4 73.3 74.3 75.3 76.2 77.2 78.1 79 80

60+ 80.9 81.8 82.7 83.5 84.4 85.3 86.1 87 87.8 88.6

70+ 89.4 90.2 91 91.8 92.5 93.2 94 94.7 95.3 96

80+ 96.6 97.2 97.7 98.3 98.7 99.2 99.5 99.8 99.9 100


Tabla 6.2


288

Figura 6.15

Utilizando las herramientas que se acaban de describir, en concreto la fórmula (6.7), se construye una

gráfica de Probabilidad Acumulada de inicio de Colapso (figura 6.15), para los valores de

iCλ obtenidos de la muestra (s=90) y un nivel de confianza (conf=0.99).

En el análisis de algunas estructuras aparece una determinada carga de inicio de colapso que se repite

múltiples veces a lo largo de la simulación.

En este caso, dado que la muestra se ha hecho de los mínimos para cada mecanismo (mínimos locales)

lo que se muestra es que hay un mecanismo, o varios mecanismos con el mismo factor de carga

mínimo, que se repite un número de veces mucho mayor que el resto.

Esto viene a confirmar que puede haber mecanismos que son mucho más probables que otros y, dado

que el método en estudio sólo maneja los valores mínimos, habrá saltos bruscos en la estimación

segura obtenida, que debe recordarse que es una cota inferior de la probabilidad de inicio de colapso

para las distintas cargas.

La importancia de este hecho se entiende mejor comparándolo con el caso de la solución de inicio de

colapso única. Justo por debajo de ella la probabilidad de inicio de colapso es 0 y, al superarla, de

repente, la probabilidad de inicio de colapso es 1.


289

En el caso del ejemplo (figura 6.15), con solución múltiple pero en el que la de 0.264iCλ = se repite

muchas veces, se obtiene que la estimación segura de la probabilidad de inicio de colapso para un

valor un poco menor sería < 0.09 y para un valor un poco mayor > 0.88.

Si no se hubieran tenido en cuenta estas irregularidades en la distribución, se podría pensar que un

valor de carga ligeramente superior al mínimo encontrado, y que se encuentre muy lejos del máximo

encontrado, es aún suficientemente seguro, cuando realmente no hay ninguna certeza de que lo sea.

6.4 Tratamiento de la incertidumbre epistémica

Recapitulando, si la premisa de partida es válida también lo serán los resultados obtenidos, ya que

entre una y otros sólo media un razonamiento simple de probabilidad matemática.

No obstante, no se ha hecho mención ninguna de la segunda premisa y falta por discutir en que modo

afectará ésta a la resolución del problema.

Se trata ahora, por tanto, de analizar hasta que punto es aceptable o no la segunda premisa relacionada

con la incertidumbre epistémica, es decir, con el conocimiento incompleto del problema42.

La aceptación de la segunda premisa no es tan inmediata, dado que su dificultad radica en la falta de

unicidad de las soluciones de inicio de colapso así como en la ausencia de un método garantizado para

hallarlas. Es, por tanto, del mismo tipo que la que afecta al planteamiento del problema como uno de

optimización global.

Excepto en aquellos casos en que la solución de inicio de colapso es única, no se conoce, ni se sabe si

existe, un procedimiento que ligue cada solución inicial con una única carga de inicio de colapso final.

Se puede, no obstante, diseñar procedimientos que den soluciones seguras respecto de estas hipotéticas

soluciones únicas. Se obtendrá así un límite superior para la probabilidad de inicio de colapso

correspondiente a una determinada carga o un límite inferior para la carga correspondiente a una

determinada probabilidad de inicio de colapso.

Considérese de nuevo el símil de la extracción aleatoria de bolas Fig.6.16 4, 10, 11 y 6.

Supóngase que, una vez obtenida la muestra S igual que en los casos anteriores, el observador

encargado de ordenarla, de acuerdo al criterio establecido, sólo es capaz de percibir una parte de la

información del color de las bolas, la correspondiente a su imagen en escala de grises. Se confundirán

así las bolas rojas y azules y las bolas verdes y naranjas. Un procedimiento seguro 43 para este caso

42 Como dicen los anglosajones "lack of knowledge", ignorancia. 43 El lector debe recordar que éste no es un verdadero razonamiento científico y que las similitudes no pueden llevarse más allá de lo propuesto


290

sería tratar las bolas rojas y azules como si fueran ambas azules (caso más desfavorable) y las bolas

verdes y naranjas como si fueran todas verdes. Se obtendría así: que la muestra S ordenada en escala de

grises, con el citado criterio, sería un límite inferior elemento a elemento respecto del la muestra S a todo

color, ordenada con el criterio original.

Figura 6.16

Uno de estos procedimientos seguros es el que ya se ha empleado para obtener una carga de inicio de

colapso que esté entre una determinada proporción de las peores. Dicho procedimiento consiste en

encontrar la peor carga posible alcanzable desde cada solución inicial, es decir, un mínimo local

obtenido a partir de la solución inicial.

Figura 6.17

Se sustituye de este modo el muestreo de las soluciones de inicio de colapso, no únicas, por el

muestreo de los mínimos locales alcanzables desde estas soluciones.

El conjunto de muestras, así obtenido, es un límite inferior elemento a elemento del conjunto “real” de

muestras, al cual no se puede acceder. Las figuras 6.17 y 6.18 muestran los resultados de la aplicación


291

del método descrito a uno de los casos propuestos por Ferris. Primero, en la figura 6.17, los resultados

tal como se obtienen.

Figura 6.18

Y en la figura 6.18, ordenados de acuerdo al valor de la carga de inicio de colapso mínima obtenida.

Se trata de aplicar el procedimiento conservador, ya descrito, o bien intentar la implementación de

otros procedimientos, también seguros pero más ajustados a los hipotéticos valores “reales”.

Queda trabajo por hacer hasta poder implementar un método que permita una evaluación más ajustada

de la probabilidad de inicio de colapso, y que al tiempo mantenga un nivel suficientemente reducido

de incertidumbre epistémica, como para constituir un método alternativo al primero ya propuesto

Una muestra de la aplicación del método descrito a modelos clásicos en la literatura reciente, se

encuentra en las figuras 6.21 a 6.23, al final del capítulo.

6.5 Comparación con el método de Monte Carlo

Al aplicar la OO, en lugar de otros métodos también probabilistas pero "exactos" como el de Monte

Carlo, cabe preguntarse cual ha sido el precio pagado y cuales las ventajas obtenidas.

El mejor modo de mostrarlo es utilizando como ejemplo el bloque analizado al principio del anterior

capítulo (figura 6.19):

Figura 6.19


292

Recuérdese que n es el número de apoyos en que se discretiza una junta continua. En la comparación

de los resultados obtenidos por ambos métodos (tabla 6.3) se puede observar que los mínimos

obtenidos para la muestra de 90 puntos son razonablemente cercanos a los obtenidos para la muestra

de 100.000 y, más importante, que los valores obtenidos de la OO son seguros respecto del percentil

del 5% de los obtenidos aplicando el método "exacto" (Monte Carlo en 100.000 puntos).

Por otro lado, la diferencia en los tiempos de ejecución es tan grande como para justificar esta perdida

de precisión, que además está del lado de la seguridad.

Comparación de resultados obtenidos aplicando Monte Carlo a un simplex (MS) sobre 100.000 puntos

y Estadística Ordinal (EO) sobre 90 puntos

Tiempo

segundos

MS

mínimo

EO

mínimo

MS

cuantil

5%

MS

cuantil

95%

EO

máximo

MS

máximo

Tiempo

segundos

n=1 690 0.50001 0.50794 0.52554 0.97526 0.98841 1.00000 0.09

n=2 691 0.50020 0.51238 0.56471 0.90836 0.94479 0.99974 0.09

n=3 715 0.50595 0.54790 0.58581 0.86394 0.88836 0.99177 0.11

n=4 721 0.51105 0.55777 0.59733 0.83622 0.86831 0.98073 0.11

n=5 798 0.51298 0.58517 0.60660 0.81778 0.88185 0.97752 0.14

n=10 860 0.54525 0.61351 0.62903 0.77640 0.87369 0.92866 0.23

n=20 1069 0.56769 0.60890 0.64594 0.74979 0.79504 0.85339 0.24

n=100 1,740 0.63782 0.66488 0.67126 0.71715 0.72727 0.76044 0.69

n=1000 11,782 0.67504 0.68556 0.68597 0.70054 0.70445 0.71344 7.58

Tabla 6.3

Por tanto, el problema tratado tiene solución desde el punto de vista técnico, si se acepta que obtener

un resultado de entre el 5% de los peores con un nivel de confianza de 0.99 es aceptable.

6.6 Conclusiones

Se ha implementado un nuevo método, aceptando el nuevo punto de vista, en el cual lo que interesa es

la probabilidad de inicio de colapso para un factor de carga dado.

Mediante su aplicación, por ejemplo, con la resolución de 90 ensayos aleatorios, se obtiene el valor del

factor de carga, por debajo del cual la probabilidad de inicio de colapso es igual o menor a 0.05 (ó 5%),

con un nivel de confianza de 0.99.


293

También permite obtener un límite superior, quizás muy superior, para la probabilidad de inicio de

colapso de cualquier otra carga.

Dicho método consiste, básicamente, en la aplicación de los conceptos expuestos de cálculo de

probabilidades a un muestreo de mínimos locales de la carga de inicio de colapso, obtenidos

aleatoriamente.

Otros métodos, aún por desarrollar, permitirán obtener una mejor aproximación a la distribución de

probabilidades de inicio de colapso, para distintos valores de carga superiores al antes obtenido e

inferiores al máximo absoluto.


294

Figura 6.21


295

Figura 6.22


296

Figura 6.23

Capítulo 7

Aproximación al mínimo global: colapso local o

en estructuras con muy pequeño número de piezas.

7 Aproximación al mínimo absoluto: colapso local o en estructuras con muy pequeño número de piezas

298


299

7.1 Introducción

La configuración estática y, por tanto, la configuración de los puntos de paso de las resultantes en las

caras de contacto, correspondiente a la solución de inicio de colapso cuyo factor de carga es mínimo,

es una, o unas pocas, entre muchas otras posibles.

El número de soluciones posibles va siendo cada vez mayor y creciendo de modo acelerado, cuantos

más cuerpos intervienen y, por tanto, más variables.

Resulta bastante intuitiva la idea de que la configuración concreta que corresponde al mínimo global

va perdiendo peso frente a la continuamente creciente cantidad de soluciones que no lo son.

Por otro lado, con los resultados obtenidos al tratar la integración por el método de Monte Carlo, se

mostró el modo en que la varianza de la muestra es inversamente proporcional al número de puntos de

contacto, es decir, al número de variables, pudiendo establecerse que de modo aproximado la

desviación estándar de la muestra disminuía con 1/ n .

Esto quiere decir que conforme va aumentando el número de caras de contacto, y por tanto de

variables, va habiendo una mayor cantidad de soluciones cercanas a su valor medio, perdiendo cada

vez más importancia las colas de la distribución.

Este hecho justifica el tratamiento dado al problema en los capítulos anteriores.

Si además, como parece razonable, se considera que las caras de contacto no son perfectas, las colas

de la distribución vuelven a ganar importancia, no obstante, algunas de las configuraciones no serán

posibles y tal vez la de mínimo absoluto sea una de ellas.

Este segundo motivo, físico, reafirma la adecuación de un método que tenga en cuenta las

irregularidades y que puede implementarse mediante una distribución aleatoria de éstas.

El tratamiento anteriormente propuesto pierde, sin embargo, parte de su fundamento si el número de

piezas que intervienen es pequeña, bien sea porque la estructura tiene pocas piezas o porque se trata de

un colapso muy local, que involucra a un número muy pequeño de piezas.


300

7.2 Fallo de tipo "eslabón más débil"

En el análisis probabilista de estructuras se distingue, a veces, entre dos tipos de comportamiento de

las estructuras frente a los fallos. Ambos tipos tienen implicaciones muy diferentes desde el punto de

vista de la seguridad.

En la clasificación dada por Augusti et al. (1984) se distinguen comportamientos a prueba de fallos

("failsafe") y de eslabón más débil ("weakest-link").

Al primer tipo corresponden las estructuras en las que, al alcanzarse una condición de límite en alguno

de sus elementos, se produce algún modo de redistribución de forma que la estructura no alcanza el

colapso.

Al segundo tipo pertenecen estructuras que fallan en cuanto lo hace uno de sus elementos. Este

comportamiento puede aplicarse entre otros a estructuras isostáticas. En el presente caso, puede

aplicarse a estructuras con muy pequeño número de piezas y a estructuras en las que el colapso1 se

produce en el entorno cercano de los puntos de aplicación de cargas puntuales aisladas.

En ambos casos, el colapso global y local son hasta cierto punto lo mismo2. Un posible enfoque para

tratar este tipo de casos se verá en el epígrafe titulado "Una aproximación "ingenua" al problema"

7.3 Colapso global vs. colapso local

Desde el punto de vista del colapso global, las estructuras de fábrica, y muy en especial las

superficiales, tienen un comportamiento "a prueba de fallos".

Es el agrietamiento lo que hace "dúctiles" a las estructuras de fábrica.

Las estructuras de este tipo "encuentran" múltiples caminos alternativos para transmitir las

solicitaciones a que se encuentran sometidas y readaptan su forma para compatibilizarla con dichas

solicitaciones, o con posibles movimientos de la estructura debidos a otras causas.

1 Como ya se ha aclarado, el estudio se limita al inicio del colapso, las referencias a colapso deben entenderse así. 2 Debe de tenerse en cuenta que lo que es local para el conjunto de la estructura puede ser global para una parte de ella.


301

Este hecho ha sido mostrado magistralmente por Heyman (1983) y Heyman (1993) (figura 7.1).

Figura 7.1

Pero esta "inteligencia" para adaptarse, esta multiplicidad de modos de lograr el equilibrio estático,

tiene su lado negativo.

Lo que es positivo para la estabilidad global de la estructura no lo es necesariamente para la de cada

una de sus piezas. La aparición de grietas y, por tanto, la ausencia local de compresiones es negativa

respecto de el contacto con rozamiento, un comportamiento que depende, fundamentalmente, de la

compresión aplicada sobre la cara de contacto.

Cuando algunas de las piezas secundarias pueden eliminarse, sin que peligre la estabilidad global, no

son necesarias para su equilibrio pero, precisamente por ello, puede haber configuraciones de

equilibrio que no incluyan compresiones a través de dichas piezas y que, por tanto, no soporten

reacciones de rozamiento en sus caras de contacto.

Estas piezas pueden desprenderse de la estructura a menos que su forma3 o su posición lo impidan, e

incluso esto puede cambiar con posteriores readaptaciones geométricas.

En la literatura se encuentran ejemplos que se pueden atribuir plausiblemente a estos dos efectos

("tensional y deformacional"), como: "Caída de una piedra de la plementería", Huerta et al. (2001),

Informe sobre la estabilidad de la iglesia de Nuestra Señora de la Asunción de Melgar de Fermantal;

"Desprendimiento de una dovela", Huerta et al. (2002), Informe sobre las bóvedas del convento

dominico de Nuestra Señora del Rosario, Oviedo

3 En estos casos la hipótesis de indeformabilidad en el rango elástico de la estructura que se ha venido aceptando a lo largo del trabajo debería ser reconsiderada.


302

Figura 7.2

Y si bien es cierto que el fallo "deformacional" caería fuera de los casos tratados, también lo es que,

previamente al fallo por deformación, existirá un estadio en que el fallo se comience a producir por la

ausencia de compresiones, aunque la geometría de la pieza detenga momentáneamente el movimiento.

Aparte de los casos citados se pueden imaginar otros muchos, en la mayor parte de las ocasiones

ligados a actuaciones de "refuerzo" hechas sin entender el comportamiento de las estructuras a

"reforzar".

La causa última de este comportamiento, es decir, la multiplicidad de "líneas de empujes", de "campos

de tensiones", de "configuraciones de equilibrio"... no es sólo una construcción teórica.

Figura 7.3


303

Cambiando de escala, en ensayos de fotoelasticidad efectuados sobre modelos de medios granulares,

se puede apreciar la formación de estas "cadenas de tensiones", Santamarina (2001) (figura 7.3).

Figura 7.4

Este hecho coincide plenamente con los resultados de simulaciones numéricas, realizadas sobre

modelos del mismo tipo. Moreau et al. (1999) (figura 7.4)

Figura 7.5

Similares análisis se han hecho sobre medios granulares no confinados, como el realizado sobre pilas

de partículas por Herrmann (1998) (figura 7.5).

En todos estos casos se pueden observar "isletas" con compresiones muy bajas rodeadas de "cadenas

de tensiones"4 fuertes. Un ejemplo aún más sencillo, y repetible por cualquiera, consiste en coger unos

4 De las imágenes se puede deducir ,y hay abiertas líneas de investigación sobre ello, que las cadenas de tensiones adoptan formas compatibles con una geometría fractal. Ver por ejemplo Santamarina (2001) o Guyon et al. (1990)


304

cuantos lápices y sujetarlos con la mano o con una goma elástica, puestos en vertical, los lápices no se

caen, sin embargo, basta la aplicación de una pequeña fuerza sobre uno de los lápices para que deslice

sin dificultad. Es más, una vez extraído el lápiz, el hueco resultante se mantendrá vacío, por tanto

existe al menos una solución de equilibrio que no necesita la existencia del lápiz eliminado y es por

ello que se puede provocar su deslizamiento con facilidad5.

7.4 Posibilidad de colapso vs./ Probabilidad de colapso

Retornando al fallo en estructuras con muy pequeño número de piezas, o muy pocas piezas afectadas,

es posible un estudio de probabilidades de colapso para cada uno de los mecanismos susceptibles de

provocarlo, tal como se ha mostrado en anteriores capítulos.

Por tanto, es posible obtener una carga de inicio de colapso para la cual la probabilidad de colapso sea

tan baja como se desee. Si se cumple, además, la hipótesis de que el contacto es perfecto en todos los

sentidos y efectuando el número de pruebas requerido, se obtiene una reducción de la varianza de la

muestra que permite identificar un pequeño rango de valores como muchísimo más probables que los

demás, haciendo los valores alejados de la media aún mucho más descartables.

Si la hipótesis no es cierta, y en la realidad nunca lo es, dichos valores no son descartables, siendo

significativa la probabilidad de obtener el mínimo valor. Esta probabilidad es mayor cuantas menos

caras de contacto intervengan en el mecanismo a considerar.

Figura 7.6

En la figura 7.6 se refleja un caso con una única cara de contacto discretizada en 100 puntos

uniformemente repartidos. La línea a trazos representa los resultados cuando el contacto en todos los

puntos es perfecto, la línea continua, los resultados cuando el contacto es tan imperfecto que solo hay 5 Éste es un fenómeno en cierto modo comparable al del punzonamiento en estructuras convencionales.


305

contacto en un punto. Los valores mínimo y máximo son, en ambos casos, iguales pero, mientras que

en el caso del contacto perfecto su probabilidad es prácticamente nula, en el caso de contacto

imperfecto no lo es.

Está claro que la imperfección (de todo tipo, incluyendo el conocimiento imperfecto) de la cara de

contacto afecta en gran modo. Pero ¿en qué modo afecta el número de caras en contacto?.

Considérese el siguiente caso práctico: Se tiene un cuerpo con una cara de contacto discretizada en 10

puntos. Sólo contactando en uno de los puntos se obtendrá el valor mínimo. La probabilidad de que el

punto de contacto sea precisamente el que corresponde al valor mínimo es 1/10; pero si una

agregación de cuerpos tiene 6 caras de contacto, la combinación de puntos de contacto, 1 por cara, que

dará el valor mínimo sigue siendo sólo 1 (o unas pocas en algunos casos especiales) , sin embargo, el

número de combinaciones posibles distintas será 106, luego la probabilidad será del orden de 1 (o unos

pocos) entre un millón.

Cuando se analiza un modo de colapso con muy pocas piezas implicadas, y si el fallo de una de ellas

provoca el fallo de la estructura, lo razonable es tener en cuenta no sólo la probabilidad de que se

inicie el colapso para una carga dada, y con las condiciones más desfavorables sino, también, las

consecuencias derivadas del fallo.

Un modo seguro de implementar este enfoque es considerar la posibilidad del colapso en vez de su

probabilidad.

Contrariamente al uso que a veces se hace del concepto de posibilidad en lenguaje corriente (en que se

llega a decir que un suceso "es más posible" que otro, o que es "muy posible") en lógica algo es

posible o no lo es.

Los valores aceptables para la posibilidad son 0 ó 1, al revés que para la probabilidad que toma valores

entre 0 y 1. Por otra parte, el cálculo de posibilidades de varios sucesos sigue unas reglas paralelas a

las del cálculo de probabilidades pero completamente distintas.

Para el caso concreto que se está tratando, se considerará seguro aquel factor de carga cuya posibilidad

de iniciar el colapso sea 0. Es decir, los factores de carga que sean estrictamente menores que el

mínimo absoluto del factor de carga de inicio de colapso y para los que éste es imposible.

Para los valores comprendidos entre el mínimo y el máximo, ambos incluidos, la posibilidad es 1 y la

probabilidad varía de 0 a 1.

Para los valores estrictamente superiores al máximo, el colapso es no sólo posible sino también

necesario.


306

Si, a pesar de todo, no es posible obtener el mínimo absoluto, habría que conformarse con un valor que,

aún siendo posible, tenga una probabilidad mínima. Limitando, tal como se ha hecho, la necesidad de

obtener el mínimo absoluto a mecanismos que involucran a muy pocas piezas, no parece probable que

un método enumerativo sea incapaz de encontrar el mínimo.

A continuación se expone uno de estos métodos enumerativos6.

7.5 Una aproximación "ingenua" al problema

En aquellos casos en que se produce (o se quiere comprobar la posibilidad de) un colapso local de

aquellas piezas sobre las que se aplican las acciones variables, o el colapso global en estructuras con

muy pequeño número de piezas, es posible, casi siempre, identificar el mecanismo (o los mecanismos

que, en cualquier caso, serán un número limitado) que puede iniciar el colapso.

Una vez identificados dichos mecanismos, el mínimo factor de carga de inicio de colapso, para cada

uno de dichos mecanismos, se obtiene mediante la resolución de un único programa lineal.

Recordando el planteamiento como un problema de complementariedad, encontrar una solución de

inicio de colapso (una solución complementaria) es "no determinista", sin embargo, comprobar que lo

es, sí es determinista y muy sencillo. Si se plantea la resolución del problema de complementariedad

como un programa bilineal disjunto, cuando, de algún modo no especificado (parte no determinista),

se deciden los valores de un posible mecanismo, basta sustituir dichos valores en el programa bilineal

para convertirlo en un programa lineal (resolución determinista).

Dicho programa puede no ser factible, en cuyo caso se certifica que el mecanismo elegido no es de

inicio de colapso, o ser factible, en cuyo caso la minimización del factor de carga sujeta a sus

restricciones dará el valor mínimo absoluto de la carga de inicio de colapso para dicho mecanismo.

Está claro que la parte difícil del problema es la elección de los posibles mecanismos a comprobar y,

en este sentido, hay que distinguir varios casos:

En problemas con muy pequeño número de piezas el número de mecanismos compatibles es muy

reducido, siendo su enumeración muy sencilla. Aplicando simplemente el buen juicio, así se ha hecho

al plantear los ejemplos para el método de Monte Carlo.

En cualquier caso, elegir algún mecanismo que finalmente no sea de inicio de colapso sólo supondrá el

coste de resolver un programa lineal de más.

6 Enumerativo en el sentido de que debe de considerar todos los posibles mecanismos de inicio de colapso, pero no todas las soluciones de inicio de colapso.


307

En el caso de estructuras con mayor número de piezas, y colapso local de las piezas sobre las que se

aplican las acciones variables, el problema es algo más complejo.

En primer lugar, hay que determinar si el colapso es local o global. Por ejemplo, la extracción de una

pieza de un muro debido a las acciones variables puede ser local si, simplemente, implica a la propia

pieza y global, si implica a un tirante que está sujeto en ella, y que es necesario para contrarrestar

empujes.

Sea cual sea el alcance y la gravedad del colapso, en este tipo de casos se pueden implementar

diferentes heurísticas7, en principio más aptas para analistas humanos pero que, con algún esfuerzo, se

pueden automatizar.

Se empieza postulando un mecanismo de colapso que incluya exclusivamente a una de las acciones

variables implicadas y a la pieza sobre la que actúa, al que se añaden aquellas otras piezas que se vean

forzadas a seguir el mecanismo por razones de compatibilidad (figura 7.7 2).

Figura 7.7

La dirección y sentido en que se “deformará” el mecanismo deberá ser compatible con el trabajo

positivo de las acciones consideradas. Si el resto de la estructura es estable bajo las acciones

permanentes, y considerando eliminadas las piezas que se han incluido en el mecanismo, éste será un

mecanismo candidato a contener una solución de factor de carga de inicio de colapso mínimo para

dicha acción.

Si algunas otras piezas no son estables, pero no ponen en peligro la estabilidad global del resto de la

estructura, se incorporan al mecanismo (figura 7.7 3) y se postula el nuevo mecanismo como

candidato (figura 7.7 4).

Así, se continúa hasta haber dado cuenta de todas las acciones variables, que, si corresponden a

distintos mecanismos sobre distintas piezas (figura 7.8) no tienen por qué dar el mismo factor de carga

de inicio de colapso.

Figura 7.8

7 La definición de heurística se encuentra en el siguiente apartado


308

Definir que acciones son independientes y en que grado un mecanismo determinado corresponde a un

colapso global o local son procedimientos confiados en principio al analista.

Finalmente, el caso del colapso local de piezas sobre las cuales no se aplican las acciones variables es

sumamente complejo de analizar y, además, muy difícil de evaluar su gravedad.

El "enfoque humano" para este problema es muy sencillo: cuando una pieza cualquiera puede

eliminarse de la estructura sin poner en riesgo su estabilidad global, dicha pieza es susceptible bajo

determinadas condiciones de carga o de "deformaciones" de ser objeto de un colapso local.

Con más propiedad se puede hablar de inicio de colapso local, ya que, en muchos casos, este colapso

queda paralizado después de una pequeña "deformación" de la estructura, debido a las propias

condiciones geométricas de las piezas implicadas.

Ésta es una posible causa del descenso limitado de dovelas en arcos de gran espesor y varias capas

(figura 7.10).

Figura 7.10

El "enfoque humano" es muy potente, siendo su único inconveniente que depende de la experiencia de

quien lo aplica y no garantiza de ningún modo la exhaustividad.

El enfoque numérico automático es, por el contrario, muy complejo. Si hay múltiples piezas

susceptibles de colapso local, con toda probabilidad alguna de ellas formará parte de las soluciones

encontradas con los métodos de comprobación global, pero siempre cabrá la duda de si existen otras

piezas en peores condiciones. Si el número de piezas susceptibles de colapso es muy pequeño, la

probabilidad de encontrarlas por los métodos descritos es bajísima.

En estos casos, el único recurso que queda es la utilización de los métodos que se describen en el

siguiente apartado.

Sin embargo, antes de describirlos debe señalarse un inconveniente inherente al conjunto de la

metodología empleada. Todos los métodos propuestos son susceptibles de dar "falsos positivos". El


309

motivo es que al tratarse de métodos puramente estáticos (por oposición a dinámicos y no a

cinemáticos) sólo son capaces de detectar soluciones de "inicio de colapso".

Es más, la formulación de la descripción cinemática que incorporan sólo es válida para "pequeñas

deformaciones". Por tanto, aquellos casos en que se inicia un colapso local, para pararse

inmediatamente después de una pequeña "readaptación" de la estructura, son detectados como

soluciones de inicio de colapso, aunque tal vez no supongan ningún peligro para ésta. Es, pues,

necesaria la intervención del analista humano para evaluar su gravedad real.

7.6 Búsqueda de un "óptimo global" en problemas NP-difíciles

En la búsqueda del óptimo (o pésimo) global se pueden emplear diferentes tipos de métodos:

deterministas, metaheurísticos, probabilistas e híbridos de los anteriores.

Los métodos deterministas han sido tratados8 en capítulos anteriores pero, antes de pasar a las demás

categorías, hay que hacer algunas puntualizaciones finales sobre ellos.

En la excelente revisión que hace Neumaier (2003), sobre los métodos de búsqueda completa en

problemas de optimización global continua y de satisfacción de restricciones, se encuentra la siguiente

clasificación que es útil para la comprensión de los siguientes epígrafes:

"Los diferentes algoritmos pueden ser clasificados de acuerdo al grado de rigor con el que se aproximan a su objetivo: -Un método incompleto utiliza heurísticas intuitivas inteligentes para buscar, pero no tiene garantías si la búsqueda queda atrapada en un mínimo local. -Un método asintóticamente completo alcanza un mínimo global con certeza o por lo menos con una probabilidad uno si se le permite funcionar indefinidamente, pero no tiene medios para saber cuando ha sido encontrado un minimizador global. -Un método completo alcanza un mínimo global con certeza, suponiendo que los cálculos son exactos e indefinidamente largos, y sabe que después de un tiempo finito se ha encontrado un minimizador global aproximado (dentro de las tolerancias admisibles). - Un método riguroso alcanza un mínimo global con seguridad y dentro de las tolerancias dadas, incluso en presencia de errores de redondeo, salvo en los casos próximos a la degeneración en los que las tolerancias pueden ser superadas. (A menudo, la etiqueta determinista se utiliza para caracterizar las dos últimas categorías de algoritmos; sin embargo, esta etiqueta es un poco confusa, ya que muchos métodos incompletos y asintóticamente completos son también deterministas)".

8 Al menos los que son de interés para el presente trabajo.


310

Estas últimas consideraciones son pertinentes, puesto que existen métodos que, dependiendo de las

características consideradas, podrían incluirse en diferentes tipos. Con esta última advertencia presente,

se puede pasar a revisar los distintos tipos, cuya separación a menudo no queda clara y universalmente

definida.

7.6.1 Métodos deterministas

Una de las posibles presentaciones del problema es como un programa de optimización global discreta,

concretamente un MILP 0-1 o programa lineal mixto binario. Dos de los modos clásicos de manejar

este tipo de programas son los métodos de ramificación y acotación (B&B ) y los de planos de corte o,

muy comúnmente, una mezcla de ambos.

Dado que el orden en que se realiza la elección de las "ramas" o los "cortes" a estudiar determina

dramáticamente el rendimiento de dicho tipo de métodos, desde mucho tiempo atrás se han venido

utilizando primero heurísticas y luego metaheurísticas para elegir este orden.

Por otro lado, para soslayar los problemas causados por casos "especiales" cuya estructura se adapta

especialmente mal al algoritmo, se han venido utilizando métodos aleatorizados que evitan las

dificultades inherentes a los "peores casos" al precio de perder rendimiento en los "mejores casos".

La utilización de ambos tipos de recursos, cuando el algoritmo llega a concluirse con un resultado, no

alteran en absoluto el carácter determinista del mismo. Pero, en muchos casos no es posible obtener

una solución global y es necesario conformarse simplemente con la mejor solución factible obtenida.

En tales casos, los métodos deterministas guiados por heurísticas o por procedimientos aleatorizados

se incluirán, a los efectos de esta tesis, en la categoría de métodos híbridos, éstos incorporan elementos

de los diferentes tipos y se describirán más adelante.

Se puede hacer una última consideración aún más general: algunos métodos deterministas finalizados

antes de su criterio de parada (que no es otro que la obtención del óptimo global y la demostración de

que lo es) se pueden comportar a efectos prácticos como las heurísticas, en el sentido de que obtienen

una solución aceptable con un coste razonable.

7.6.2 Métodos heurísticos y metaheurísticos

En aquellos casos en que un problema es intratable por métodos deterministas, existe la opción de

aproximar una solución por medio de métodos que en sentido amplio se pueden llamar heurísticos.


311

Según la RAE, la heurística es: "en algunas ciencias, manera de buscar la solución de un problema

mediante métodos no rigurosos, como por tanteo, reglas empíricas, etc.".

En ingeniería, una heurística es un método basado en la experiencia que puede utilizarse como ayuda

para resolver problemas.

En Investigación Operativa9:

“Se califica de heurístico a un procedimiento para el que se tiene un alto grado de confianza en que encuentra soluciones de alta calidad con un coste computacional razonable, aunque no se garantice su optimalidad o su factibilidad, e incluso, en algunos casos, no se llegue a establecer lo cerca que se está de dicha situación. Se usa el calificativo heurístico en contraposición a exacto..." "En la resolución de problemas específicos han surgido procedimientos heurísticos exitosos, de los que se ha tratado de extraer lo que es esencial en su éxito para aplicarlo a otros problemas o en contextos más extensos..."

En este sentido, estrategias como la Búsqueda Dispersa, surgida originalmente como heurística para

facilitar una búsqueda10 inteligente en el "árbol de búsqueda" de problemas enteros11 , se han

convertido en meta-heurísticas independientes aplicables a un rango más amplio de problemas.

"Estas estrategias generales para construir algoritmos, que quedan por encima de las heurísticas, y van algo más allá, se denominan metaheurísticas" "Las metaheurísticas pueden concebirse como estrategias generales de diseño de procedimientos heurísticos para la resolución de problemas con un alto rendimiento"

Es importante aclarar que gran parte de estas estrategias son primariamente de búsqueda12 y no de

optimización en sentido amplio 13, y aún mucho menos, de optimización numérica. Muchas han estado

enfocadas a resolver problemas no numéricos que entrarían más bien en el campo de la persecución de

objetivos o la satisfacción de condiciones.

No obstante, existen metaheurísticas concebidas específicamente para problemas de optimización

numérica, tales como la Evolución Diferencial (DE).

Actualmente existen muchos tipos de metaheurísticas y el número no para de crecer.

9 Melian et al. (2003) 10 Todas las metaheurísticas se pueden enfocar como estrategias aplicadas a procesos de búsqueda sobre el espacio de soluciones intermedias, un subconjunto o superconjunto del espacio de búsqueda original, que se va modificando a medida que avanza el proceso. 11 Glover (1977). El MILP anteriormente tratado es un problema de este tipo. 12 La búsqueda no tiene por que ser de un óptimo. 13 Un problema de optimización es aquel cuya solución implica encontrar la solución que mejor satisface unos objetivos entre un conjunto de soluciones posibles.


312

Dependiendo de los aspectos de ellas que se consideren son posibles diferentes clasificaciones, como

por ejemplo la debida a Duarte (2004) (figura 7.11)

Figura 7.11

Otra clasificación posible es la siguiente:

Metaheurísticas de relajación: procedimientos de resolución que utilizan relajaciones del problema

original más fáciles de resolver, como paso para resolver el problema original.

Metaheurísticas constructivas: tratan de obtener la solución a partir del análisis y selección de los

componentes que se van incorporando a lo largo del proceso.

Metaheurísticas de búsqueda: procedimientos de guía para recorrer el espacio de soluciones y explotar

su estructura. En este tipo pueden incluirse la Búsqueda Tabú (TS. "Tabu Search"), la Búsqueda Local

Guiada (GLS. "Guided Local Search") o el Recocido Simulado (SA. "Simulated Annealing").

Metaheurísticas evolutivas: basadas en una solución o un conjunto de ellas que evolucionan sobre el

espacio de soluciones. En el segundo caso se suelen llamar poblacionales, y combinan la información

de múltiples (una población de) soluciones, para hacerlas evolucionar hacia otra nuevas que

deseablemente deberían ser mejores. El motor evolutivo puede ser aleatorio, como en los Algoritmos

Genéticos (GA. "Genetics Algorithms") las Estrategias Evolutivas (ES. "Evolution Strategy") la

Evolución Diferencial (DE. "Differential Evolution") o la Estimación de distribuciones (EDA.


313

"Estimation of Distributions Algorithms"). O sistemático, como en la Búsqueda Dispersa (SS. "Scatter

Search") o el Re-encadenamiento de caminos (PR. "Path Relinking").

Es muy frecuente, en este tipo de estrategias14, la incorporación de características de unas en otras, a

fin de aprovechar sus puntos fuertes y evitar los débiles. Así, existen múltiples metaheurísticas que

combinan varias metaheurísticas de distinto tipo.

A efectos de la presente tesis interesa la clasificación según dos características diferenciales:

1º Metaheurísticas en que una única solución sigue algún tipo de proceso (ya sea seguir una trayectoria,

modificar el espacio de búsqueda, o cualquier otro) y que se pueden clasificar como secuenciales,

frente a metaheurísticas que mantienen múltiples soluciones (que compiten, colaboran o simplemente

coexisten) y que se clasificarían como paralelas.

2º Metaheurísticas en que las soluciones, sean secuenciales o paralelas, comparten información15 y

metaheurísticas en que cada solución es ciega respecto de las demás.

Por ejemplo, si se considera la Optimización Ordinal (OO) como una metaheurística para aproximar el

óptimo global, ésta sería paralela y sin información.

Llegados a este punto, hay que recordar que a lo largo del trabajo se han mostrado métodos

razonablemente eficaces para obtener soluciones de inicio de colapso e, incluso, para obtener mínimos

locales del factor de carga de inicio de colapso. Por otro lado, gran parte de los métodos heurísticos o

metaheurísticos ni siquiera son capaces, por sí solos, de encontrar un óptimo local en sentido estricto,

sino tan sólo una aproximación a él.

Muchos de estos métodos tiene dos fases, una de exploración o diversificación, y otra de explotación o

intensificación. En la primera, intentan desplegarse sobre el espacio de búsqueda para no dejar

soluciones sin contemplar. En la segunda, se centran en una búsqueda local en torno a una solución

prometedora para intentar mejorarla.

El interés en el uso de métodos heurísticos para el presente caso radica exclusivamente en su

capacidad para evitar caer en mínimos locales o para permitir salir de ellos, es decir, en su fase de

exploración o diversificación.

14 Basadas en muchos casos en un modo de pensamiento por analogía, lo cual las hace tan atrayentes. 15 Que compartan información no significa que tengan memoria de ella. Por ejemplo en los GA durante el proceso de selección la información de que soluciones están mejor adaptadas determina la probabilidad de cuales van a sobrevivir, una vez realizada la selección esta información se elimina.


314

De entre los muchos tipos de metaheurísticas existentes, dos se van a tratar con más detalle, los

métodos multiarranque, y los algoritmos evolutivos y de comportamiento, muy especialmente, los

algoritmos genéticos GA.

El motivo de incluir el primero es su sencillez, tanto conceptual como operativa, y su robustez, pues

no requiere ningún tipo de condiciones previas a cumplir por el problema.

El motivo de incluir el segundo es múltiple:

1º Los GA son las metaheurísticas más populares y han atraído a un número significativo de

investigadores del campo estructural.

2º Los GA han demostrado ser eficaces en problemas difíciles que no pueden resolverse por métodos

deterministas.

3º El razonamiento analógico, que constituye el trasfondo teórico de los GA, es muy fácil de entender

incluso para el lector no especializado (tal vez ahí está una de las razones de su atractivo).

1/ Métodos multiarranque simples

Metaheurística basada en trayectorias múltiples, en su forma más sencilla consiste en repetir una

búsqueda local empezando desde diferentes puntos16. Es la forma más natural de heurística. Si no se

encuentra una buena solución, o se duda de su calidad, se repite el proceso probando desde otro punto

de partida. No se evita caer en óptimos locales, sino que se hace un muestreo de diferentes óptimos

locales. Se obtendrá el mejor de los óptimos locales encontrados como aproximación al óptimo global.

2/ Algoritmos evolutivos y de comportamiento

La anterior metaheurística estaba formada por trayectorias independientes entre sí y que se influían

unas a otras, a lo sumo, en el punto de partida. Las presentes son metaheurísticas basadas en

poblaciones, inspiradas en la evolución de las poblaciones en el primer caso y en el comportamiento

de comunidades animales organizadas en el segundo.

Ambos tipos comparten el hecho de basarse en la interacción de una multiplicidad (una población) de

soluciones. De diferentes modos, cada una de las posibles soluciones intercambia información con el

conjunto de ellas (en un entorno competitivo o cooperativo).

16 Para otras formas de elección de puntos de arranque ver Marti et al.(2003)


315

Al primer tipo pertenecen, entre otros, los Algoritmos Genéticos (GA) y las Estrategias Evolutivas

(ES). Al segundo tipo, la Optimización por Colonias de Hormigas (ACO. "Ant Colony Optimization").

Variantes de todos estos tipos se han utilizado en el intento de resolver problemas estructurales. Por

ejemplo, Lagaros et al. (2002) aplican17 GA y ES al dimensionado óptimo de elementos estructurales;

Kaveh et al. (2004a), Kaveh et al. (2004b), Kaveh et al. (2007) y Kaveh et al. (2008) aplican GA y

ACO al análisis de la formación de mecanismos en pórticos planos.

En un terreno mucho más cercano a esta tesis, varios autores los han propuesto para el análisis de

arcos: Fishwick et al. (2000) y Ponterosso et al. (2000) mediante GA, y van Parys et al. (2008)

mediante ES.

En buena parte de los casos publicados, el modelo a analizar está caracterizado por sus mecanismos,

hecho lógico, ya que la recombinación de soluciones o la mutación de una de ellas son

procedimientos básicos de los algoritmos evolutivos y resultan bastante intuitivos los procesos de

recombinación de distintos mecanismos o de mutación de un mecanismo.

A continuación se presentan, de forma sumaria, algunas de las características de los GA que han sido,

sin duda, las metaheurísticas de mayor éxito hasta la fecha18.

3/ Algoritmos Genéticos

Los algoritmos genéticos son uno de los tipos de algoritmos evolutivos y consisten básicamente en la

translación a una población (conjunto de potenciales soluciones a un problema) de los mecanismos

evolutivos: mutación, cruce, reproducción y selección.

A diferencia de otros algoritmos evolutivos, como las ES, su principal operador es el cruce

("crossover") siendo la mutación un operador de menor importancia.

En su versión original, y más estricta, los GA admiten exclusivamente los mecanismos evolutivos

Darwinianos. El individuo no interesa, lo único que transmite a su especie, si consigue sobrevivir y

reproducirse, son sus genes.

Traducido al algoritmo, si, de la evaluación de la "función de adaptación" sobre un punto dado, se

obtiene un resultado positivo que incluye un nuevo punto mejor, lo único que transmite el individuo

17 Aunque junto a ellos proponen enfoques híbridos como los que se van a ver más adelante. 18 Al menos hasta finales del siglo XX momento en que se producido una verdadera explosión de diferentes metaheurísticas inspiradas en los hechos más dispares.


316

(punto) a la población (conjunto de puntos que "sobreviven") son sus propias coordenadas, pero no las

coordenadas del nuevo punto hallado que son mejores. Lo que haya sucedido durante la vida del

individuo, salvo sobrevivir y reproducirse, carece de importancia.

Existen otros enfoques de la evolución que, aunque sean equivocados a nivel biológico19, resultan

útiles para la implementación de algoritmos. Uno de estos enfoques es el de Lamarck: "los individuos

pueden adquirir o mejorar caracteres físicos durante su vida y estos son transmitidos a su

descendencia"20. De este modo, el punto que "sobrevive" puede transmitir las coordenadas del nuevo

punto en que se ha convertido que es mejor. En los GA que van a formar parte de los métodos híbridos,

que se describen más adelante, se emplea el enfoque Lamarckiano.

Antes de pasar a los métodos híbridos, deben plantearse unas consideraciones acerca de la idoneidad,

eficiencia y rango de aplicación de este tipo de metaheurísticas, para problemas como el que se está

tratando.

4/ "No free lunch theorems" para Búsqueda y Optimización

A mediados de los años 90, Macready et al. (1995) y Macready et al. (1997) demuestran unos

teoremas referidos al rendimiento medio de los algoritmos de búsqueda y de optimización.

Bajo el curioso nombre de "No free lunch theorems" 21 (NFL) que se puede traducir como "No hay

almuerzo gratis", o aún mejor "Nada es gratis", vienen a decir que: "todos los posibles algoritmos que

buscan solución a un problema (por ejemplo: un valor extremo de una función de coste) rinden de

media exactamente igual cuando se aplican al conjunto de todos los posibles problemas (por ejemplo:

todas las funciones de coste)".

En palabras de Ho (2002): "es imposible una estrategia de optimización universal de propósito general,

y el único modo en que una estrategia puede superar a otra es si se especializa para la estructura del

problema en consideración".

19 El lector debe de tener muy en cuenta que lo que justifica el uso de las metaheurísticas es que funcionen, y no que los "razonamientos" en los que se inspiran sean más o menos acertados. 20 Otro enfoque interesante es el de Baldwin:"si existen cambios en el ambiente, la evolución tiende a favorecer individuos con capacidad de aprender a adaptarse al nuevo ambiente, acelerando cambios genéticos entre individuos parecidos" 21 Tal vez animados por la plétora de investigadores que reclamaban para su algoritmo el mérito de superar los resultados de los demás sobre la mayoría de los casos de estudio conocidos. Este hecho resulta curioso cuando gran parte de dichos algoritmos estaban inspirados en la analogía de "la supervivencia de los mejor adaptados al medio", y por coherencia deberían dudar de la existencia de un algoritmo "superior a todos los demás en cualquier medio" (léase para cualquier problema).


317

Aplicado al presente problema, utilizar GA, ES, ACO o cualquier otro tipo de metaheurística para

resolver un problema que se sabe que tiene un único óptimo local, y por tanto global, puede tener

interés desde el punto de vista del teórico en algoritmos, que emplea un problema de resultado

conocido para comprobarlos, pero desde el punto de vista del técnico, cuyo objetivo es hallar dicho

óptimo, es una perdida de tiempo. Y lo es aún más, cuando existen algoritmos deterministas muy

eficaces para hallarlo.

Por el contrario, cuando se trata de hallar un óptimo global en un problema con múltiples soluciones,

una estrategia de este tipo puede ser una opción muy razonable como mecanismo de exploración o

diversificación.

De lo que se trata es de ver cual es la que mejor se adapta a la estructura del problema, y de que modo

puede complementarse con otras estrategias más adaptadas a la fase de explotación o intensificación.

La utilización de diferentes estrategias para explorar y explotar da lugar a lo que se llaman métodos

híbridos, de los cuales se va a tratar en el siguiente apartado.

El teorema NFL todavía contiene otro útil enunciado: "si no se toman en cuenta las características

especiales del problema, la eficacia esperada de todos los algoritmos será la misma y no será mejor

que la de una búsqueda aleatoria "Random Search" (RS)". Esta segunda afirmación es mucho más

contraintuitiva que la primera, sin embargo, como se verá posteriormente, es de posible aplicación al

presente caso.

5/ Aplicación de algoritmos evolutivos al problema de contacto unilateral

A la luz de los teoremas NFL , es inmediato preguntarse ¿hasta que punto se adaptan los algoritmos

evolutivos y, más en concreto, los GA a la estructura matemática del problema?. Aunque es evidente

que han tenido cierto éxito, al menos de público ¿cuál es la eficacia esperada de su uso para este

problema?. Para contestar a las anteriores preguntas, es necesario estudiar en que modo las

características propias del algoritmo explotan la estructura matemática del problema.

En primer lugar: ¿Qué son y como funcionan los GA?.

Un algoritmo genético básico consta de los siguientes pasos:

1º Fase de inicialización, en la que se generan una serie de "individuos" codificados por sus

"cromosomas". Esta codificación se hacía inicialmente en formato binario, mediante una cadena de

ceros y unos, y éste sigue siendo el enfoque prevalente cuando se trata de una búsqueda no numérica.

Posteriormente, se ha venido utilizando también un formato vectorial, especialmente cuando el GA


318

está enfocado a obtener el óptimo de una función, Herrera et al.(1998). En este formato cada individuo

es un vector cuyos componentes son números reales.

2º Fase de evaluación, en la que se comparan los individuos para ver cuales son los que mejor se

ajustan al fin deseado. Obsérvese que el fin no tiene por que ser numérico, estando en estos problemas

no numéricos la mayor potencia de los GA. El conjunto de los individuos así obtenidos es la primera

generación.

3º Fase de selección, en la que se eligen los individuos que van a reproducirse. El criterio de selección

suele ser el resultado de la anterior evaluación, pero no es necesariamente el único criterio.

4º Fase de cruce, en la que, agrupando los individuos supervivientes de a dos, intercambian parte de

sus cromosomas. En el caso de formulación binaria intercambian ceros y unos. En el caso de

formulación vectorial se emplean otros métodos como la combinación lineal.

5º Fase de mutación, en la que se modifican, al azar, los cromosomas (binarios o vectoriales) de

algunos individuos, en la esperanza de obtener nuevas soluciones que amplíen el espacio de búsqueda.

Esta fase es de menor importancia en los GA que en otros EA como las ES.

Sobre esta característica se volverá más adelante porque es de vital importancia en el ajuste a la

estructura matemática del problema.

6º Reevaluación de los individuos resultantes y se reemplazo en la población de parte de los antiguos

individuos menos adaptados por individuos nuevos más adaptados. Se obtiene así una nueva

generación.

7º Repetición desde el punto 3º, hasta que se alcanza el criterio de parada. Como no se sabe cuanto se

está de cerca de la solución buscada, los criterios de parada suelen ser fijar un número de generaciones

o parar cuando la solución no mejora.

Son de interés para el caso varias características de los GA:

1º El modo de codificación de los individuos. Dado que el problema en su formulación como MILP

tiene, por un lado variables binarias correspondientes a las restricciones de complementariedad, y por

otro lado, variables reales correspondientes a todas las demás restricciones; dependiendo de en que

parte del problema se apoye el algoritmo de búsqueda será preferible una u otra formulación.

Como se ha visto en capítulos anteriores, un único mecanismo puede corresponder a múltiples

soluciones estáticas de colapso, y conservar sólo la información relativa a las variables que alcanzan


319

sus valores límite es perder información, por tanto, la codificación binaria correspondería, en este caso,

más a un enfoque Darwiniano y la vectorial, a uno Lamarckiano, en tanto que el segundo conserva, no

sólo la información del mecanismo (el genoma) que produce el colapso sino, también la solución de

equilibrio completa obtenida como resultado de la "evaluación" del mecanismo, incluido su factor de

carga.

2º Los métodos de generación de nuevos individuos. La gran preocupación de los creadores de GA ha

sido siempre mantener un equilibrio entre las fases de exploración y explotación, evitando una

convergencia prematura hacia un óptimo local. Esto se consigue manteniendo un cierto grado de

diversidad genética. El modo de mantener esta diversidad ha dado lugar a una teoría sobre los

esquemas 22 ("schema theorems").

La figura 7.12, extraída de Holland (1995) muestra un análisis de este tipo para el operador "cruce".

Figura 7.12

Si, en lugar de una codificación binaria23, se utiliza una codificación vectorial para los individuos, el

problema resulta obvio, si se tiene una población de m vectores (linealmente independientes en el

22 Ver por ejemplo Poli (2001). 23 Es posible calcular la probabilidad de que para un determinado tamaño de población uno o varios de los "genes" carezcan de uno de los dos posibles valores [0,1] pero a través de la presentación vectorial el problema es evidente sin necesidad de ningún cálculo.


320

mejor de los casos) en un espacio de búsqueda de n dimensiones (n>m) los m vectores constituyen a lo

sumo una base para un subespacio vectorial de dimensión m.

En otras palabras, cualquier tipo de combinación lineal de estos m vectores será incapaz de acceder al

espacio de las restantes n-m variables. De este modo, como se podía prever según el NFL, una función

muy "montañosa" en un espacio de muy pocas dimensiones tiene altas probabilidades de ser bien

explorada por un GA basado fundamentalmente en cruce. Por el contrario, la eficacia esperada del

mismo GA sobre una función más simple y en un espacio con muchas más dimensiones será mucho

menor.

Para intentar evitar la ausencia de diversidad genética inicial, o su pérdida durante el proceso de

selección, se introduce la mutación. Sin embargo, si bien la mutación aumenta la diversidad genética,

tiene la contrapartida de un alto riesgo de producir individuos no viables. Por ello la tasa de mutación

en la mayoría de los GA es muy reducida24, siendo su efecto mantener el grado de diversidad genética

de la población inicial más bien que aumentarlo.

3º El manejo que hacen los GA de las restricciones. Se han venido empleando diferentes métodos para

manejar las restricciones en los GA25. Según la clasificación que hacen Michalewicz et al.(1996) se

pueden distinguir cuatro categorías: métodos basados en mantener la factibilidad de las soluciones,

métodos basados en funciones de penalización por el incumplimiento de las restricciones, métodos que

separan las soluciones factibles y las no factibles, y métodos mixtos.

Para comprender la dificultad de aplicar estos métodos al problema, hay que recordar lo que se ha

establecido en cuanto a la estructura del problema en capítulos anteriores y que puede resumirse de la

siguiente forma:

1º/ El conjunto de soluciones estáticas admisibles es un politopo.

2º/ El conjunto de soluciones de inicio de colapso (soluciones de un LCP) es la unión, no

necesariamente convexa y ni siquiera conexa de politopos de menor número de dimensiones.

3º/ La proyección de este segundo conjunto sobre el espacio del primero es un conjunto de caras del

politopo estático, tal vez de distinta dimensionalidad y no necesariamente unidas.

Una imagen simple, pero descriptiva, podría ser la siguiente: el conjunto de soluciones estáticas

admisibles puede imaginarse como un huevo, y el conjunto de soluciones de inicio de colapso como

puntos, segmentos de recta y polígonos convexos dibujados en la cáscara del huevo, como es fácil

visualizar, la probabilidad de obtener una de estas soluciones al azar, como miembro de la población

24 Ver de nuevo Holland (1995) pág. 76 25 Ver Michalewicz (1992) y Michalewicz et al.(1996)


321

inicial o como resultado de una mutación, o la probabilidad de que la población converja mediante los

mecanismos de cruce y selección hacia dichas soluciones es muy baja.

Sin embargo, cuando el problema tiene como única solución la de máximo factor de carga, métodos

del segundo tipo como el código GENOCOP III de Michalewicz26, capaces de manejar eficientemente

restricciones lineales, encuentran sin ninguna dificultad dicho máximo, ya que, en este caso, todas las

restricciones son lineales y definen un espacio de búsqueda convexo27.

Por otra parte, estos algoritmos no conforman un tipo único sino más bien una amplia familia, en la

que las diferentes formulaciones y "pesos relativos" de los distintos operadores básicos, unido a la

utilización de parámetros variables que hay que ajustar, provocan muy diferentes comportamientos,

que en muchos casos tienen diferencias muy escasas con otros algoritmos evolutivos.

Se puede plantear una última pregunta ¿cuál es el motivo de la popularidad (relativa) de los GA para

este problema?. Parte de la respuesta ya se ha dado anteriormente, en buena parte de los casos

publicados el modelo a analizar está caracterizado por sus mecanismos y resulta bastante intuitivo un

proceso de recombinación de distintos mecanismos o de mutación de un mecanismo. De hecho, este

procedimiento es el que seguirían muchos analistas humanos.

Por otro lado, la mayor parte de los ejemplos presentados tiene un número muy bajo de variables

independientes (además de en algunos casos una solución única) y, por tanto, el espacio de búsqueda

es de pocas dimensiones (y a veces convexo) lo cual puede favorecer, como ya se ha dicho, el

funcionamiento de los GA.

A pesar de estas limitaciones, los GA y los algoritmos evolutivos en general, aún no siendo la panacea

por si solos, tampoco deben descartarse como parte de estrategias más amplias de búsqueda en

combinación con métodos de búsqueda local más especializados.

De hecho, una parte de las implementaciones de los algoritmos metaheurísticos citados como ejemplos

prácticos usan en realidad algún tipo de optimización local para resolver la parte de intensificación /

explotación del problema.

A los correspondientes a este último tipo se los denomina métodos híbridos.

26 Las diferentes versiones de GENOCOP intentan resolver el problema del manejo de restricciones yendo desde las restricciones más sencillas en las primeras versiones hasta las restricciones no-lineales en GENOCOP III y 5, pero la experiencia computacional con el presente problema muestra que no han sido capaces de manejar restricciones de complementariedad que además de ser no-lineales son no-suaves. 27 Lo malo es que para este caso cualquier algoritmo de optimización local valdría y sin duda uno de los más eficaces sería la programación lineal.


322

7.6.3 Métodos híbridos

Consecuencia inmediata de los "No free lunch theorems" es que, si se dispone de unos métodos de

búsqueda local, en este caso optimización local, perfectamente adaptados a la estructura del problema,

la mejor opción en términos de rendimiento es incorporarlos a su resolución.

Así por ejemplo, Figueiredo et al. (2003) combinan algoritmos genéticos y complementariedad para la

optimización de láminas curvas.

En muchos de estos métodos híbridos se confía la fase de exploración a algún método metaheurístico y

la de explotación a otro método de búsqueda local más eficaz que en este caso sería determinista (LP,

LCP, LPCC, MPEC ...).

No obstante, ésta no es una separación inamovible ya que, por ejemplo, se pueden emplear métodos

deterministas para garantizar la factibilidad que, como se ha dicho, es uno de los modos de tratar las

restricciones.

De este modo las metaheurísticas quedarían relegadas a la elección de puntos de partida prometedores,

desde los cuales es posible obtener, en primer lugar, un punto factible y en segundo, un punto factible

óptimo, en este caso de inicio de colapso. Estas dos últimas fases se realizarían mediante los

algoritmos deterministas, altamente eficaces, que se han descrito en capítulos anteriores.

1/ Optimización local guiada por algoritmo de búsqueda global

En esta tesis, los métodos de optimización global propuestos adoptan este último enfoque.

En una primera fase, elección de puntos de partida por algún procedimiento heurístico o probabilista

que posibilite al máximo la exploración del espacio de búsqueda "completo".

En una segunda fase, la obtención para cada punto inicial, que no tiene por que ser factible, de un

punto en primer lugar factible (una solución estática o cinemática admisible) y, por medio de una

mejora sucesiva de la complementariedad, finalmente complementario (una solución de inicio de

colapso).

Una vez obtenida ésta, se puede comprobar si para el mecanismo asociado existe una solución estática

con menor factor de carga, obteniéndose así un mínimo local de la carga de inicio de colapso.


323

2/ El óptimo global como la mejor de las soluciones encontradas

Como se ha repetido a lo largo de la tesis, para un problema de optimización general que tenga más de

un óptimo local28 no existe más modo de garantizar que se ha encontrado el óptimo global que una

exploración exhaustiva del espacio de búsqueda29, bien sea por enumeración de todos los óptimos

locales, por eliminación sucesiva de partes del espacio en el que no se puede encontrar el mínimo

global, o por algún otro método que garantice que se han considerado, o descartado, todos los posibles

óptimos locales y elegido el global.

Los métodos heurísticos, metaheurísticos e híbridos no son una excepción. La confianza en que se

haya encontrado una buena aproximación al óptimo global se sustenta en que el algoritmo realice una

suficientemente amplia exploración de todo el espacio de búsqueda. Lo que producirá el algoritmo es

un punto con el mejor valor encontrado de la función en estudio o, en algunos de los casos, el mejor

óptimo local hallado. En este último caso al menos se garantiza que no hay otro valor mejor en la

vecindad del encontrado.

3/ Búsqueda multiarranque simple + optimización local

Es la forma más natural y simple de metaheurística. Cuando el algoritmo de optimización local

depende de un punto de inicio, y permite la elección de este punto, se repite la optimización desde

distintos puntos de partida.

La elección de los puntos de partida se hace aleatoriamente30, sin ningún criterio específico que

garantice la distribución de los puntos, y por tanto la exploración de todo el espacio, o que califique el

resultado obtenido.

Este tipo de metaheurística se encuentra implícita en gran parte de los resultados publicados de

métodos de optimización local para problemas globales.

Habitualmente, en caso de no obtenerse los resultados deseados partiendo desde un primer punto, se

repiten los cálculos a partir de otros puntos con intención de mejorarlos.

28 Por supuesto cuando se conoce el valor del mínimo global esto no es así, por ejemplo el método de resolución propuesto en capítulos anteriores para obtener una solución de un LCP busca un mínimo global del error de complementariedad pero como se sabe que éste debe de ser mayor o igual a cero el proceso para al encontrar un mínimo de valor cero. 29 Esto es lo que hace que la dificultad crezca exponencialmente con el tamaño del problema y que este sea computacionalmente intratable. Obsérvese que la dificultad no está tanto en encontrar el óptimo global como en garantizar que lo es. 30 En el sentido vulgar del término, es decir, dependiendo de algún suceso fortuito.


324

4/ Algoritmos evolutivos + optimización local

La hibridación de los algoritmos evolutivos con los de optimización local tiene la ventaja de utilizar,

para cada parte del problema, un método teóricamente eficaz. Los algoritmos evolutivos, para la

exploración, y los de optimización local, para la búsqueda de un mínimo local (explotación o

intensificación).

Tiene como inconveniente que, a pesar de su eficacia, la búsqueda de un mínimo local tiene un cierto

coste computacional superior al de una simple evaluación de una función y, por tanto, limita el número

de evaluaciones de "individuos", resultando difícil alcanzar el número de "individuos" requeridos por

los algoritmos evolutivos para garantizar la "diversidad genética" (típicamente varios miles).

Por ello, si la población inicial no tiene de partida esta diversidad, el algoritmo puede no conseguirla

en un número asequible de "generaciones", con lo cual la búsqueda global queda reducida a una

búsqueda local en un entorno amplio.

7.6.4 Métodos probabilistas

1/ Calificación de resultados: optimización ordinal

Los dos métodos anteriores mejoran considerablemente si los puntos de partida en el multiarranque y

la población inicial en los GA son puntos aleatorios, independientes e idénticamente distribuidos

(i.i.d.).

De este modo se consigue, inicialmente, una máxima cobertura del espacio de búsqueda, ya que

cualquier punto del espacio será igualmente probable.

Durante el proceso, se tiene un criterio de parada fijando el número de puntos explorados, de acuerdo

a los criterios expuestos de la optimización ordinal.

Y una vez finalizado, se obtiene una calificación (probabilista) de los resultados, aplicando las

herramientas de la Estadística de Orden.

La integración de las dos metaheurísticas descritas y la Optimización Ordinal se mostrará a través de

dos de los marcos de trabajo propuestos más adelante.


325

2/ Otros métodos probabilistas

En el caso de otros algoritmos que, además, incluyen un componente de cálculo de probabilidades

(igual que la OO) se obtendrá también una calificación (probabilista) de la solución encontrada.

Esto es lo máximo a lo que se puede aspirar para este tipo de problema.

De este modo, han vuelto a escena el tipo de métodos empleados en los dos últimos capítulos para

obtener la probabilidad de inicio de colapso, pero ahora como métodos de optimización global.

Algunos métodos probabilistas tienen una formulación matemática estricta y pueden considerarse

como "asintóticamente deterministas". Cuando el número de puntos comprobado tiende a infinito, la

probabilidad de obtener el verdadero óptimo global tiende a 1. Sin embargo, en aplicaciones reales el

número de puntos es finito y, en este caso, comparten con las metaheurísticas el hecho de obtener

resultados razonablemente buenos a un coste computacional aceptable.

Figura 7.13

De hecho, no es esto lo único que comparten, y así muchas metaheurísticas tienen un trasfondo teórico

de cálculo de probabilidades, y en otras, como el Recocido Simulado (SA) o algunas formulaciones de

Algoritmos Evolutivos (AE), su uso es completamente explícito. En el caso de los GA, se pueden

encontrar en la literatura múltiples análisis de sus propiedades de convergencia mediante "Cadenas de


326

Markov"31 ; por ejemplo, Rudolph (1994) o Suzuki (1995). En la figura 7.13 (de la página anterior) se

escenifica un análisis de este tipo para una "generación" en un GA.

Por otra parte, algunos algoritmos aleatorizados emplean entradas aleatorias sólo para reducir el

tiempo de ejecución, pero siempre llegan a un resultado correcto, en este sentido son estrictamente

deterministas puesto que siempre producen el mismo resultado.

Existen cuatro tipos de algoritmos probabilistas:

1º/ Los de aproximación numérica, como la integración por el método de Monte Carlo, en los que lo

único variable es la precisión del cálculo

2º/ Los del tipo Monte Carlo32 que pueden producir un resultado incorrecto aunque con una

probabilidad baja y cada vez menor según aumenta el número de pruebas.

3º/ Los de tipo Las Vegas33 que o bien no obtienen solución o si la obtienen ésta es exacta

4º/ El algoritmo de Sherwood34, un subtipo del algoritmo Las Vegas, que siempre da la solución

correcta, variando, en este caso, la eficacia con que lo consigue.

Los algoritmos aleatorizados "deterministas" corresponden, más bien, a secciones anteriores, y de los

puramente probabilistas los casos que se están tratando corresponden a algoritmos de tipo Monte Carlo.

Al igual que en el caso de las metaheurísticas, éstos se van a combinar con métodos de búsqueda local

deterministas, utilizándolos en la parte global de exploración: elección de puntos de partida y criterio

de parada.

A diferencia de la mayoría de las metaheurísticas, estos métodos permiten además una calificación de

los resultados obtenidos.

Mediante la integración de métodos de los distintos tipos propuestos, se van a implementar una serie

de marcos de trabajo que reúnen las características necesarias para dar una solución técnica al

problema.

31 Las Cadenas de Markov son un tipo de proceso estocástico discreto estudiado por la teoría de la probabilidad. 32 Es una desafortunada coincidencia que se use el mismo nombre para un tipo y un caso de otro tipo distinto. 33 Ver Babai (1979) 34 Ver McConnell (2001)


327

Existirán, naturalmente, otros posibles marcos de trabajo, dependiendo la bondad de cada uno de ellos

del modo en que se ajusten, no sólo a la estructura matemática del problema de contacto en general

sino, también, a las condiciones específicas de cada ejemplo concreto.

7.7 Algunos marcos de trabajo posibles

Se presentan tres marcos de trabajo dirigidos a la obtención de la mejor aproximación posible al

óptimo global, como conclusión de este capítulo. Estos marcos integran varios de los métodos

expuestos anteriormente.

Combinando la OO (o alguno de sus componentes: suavización de objetivos y estadística de orden)

con los métodos híbridos descritos, se obtienen los dos primeros marcos de trabajo que se describen a

continuación.

La utilización de otro enfoque probabilístico, unido a un método multiarranque secuencial, dará un

tercer marco de trabajo posible, con el que se cierra el trabajo.

Cualquiera de estos marcos debería “garantizar”, no sólo unas buenas características de exploración y

explotación sino, también, un criterio claro de parada y de elección de los puntos iniciales, así como

una calificación de los resultados obtenidos.

Si, además, no tuviera parámetros que ajustar sería mucho más favorable. Uno de los grandes

inconvenientes de algunos algoritmos evolutivos es que tienen una serie de parámetros que hay que

ajustar. El ajuste óptimo de estos parámetros debe de hacerse para cada problema35.

7.7.1 Métodos paralelos: Generación de la población inicial y criterio de parada +

Algoritmo de búsqueda global + Método de optimización local

Los dos primeros marcos comparten:

• El modo de generar la población inicial, formada por puntos aleatorios independientes e

idénticamente distribuidos (i.i.d.)

35 Como esto es a priori imposible, a menos que ya se conozca el resultado al que se quiere llegar, en muchos casos se enfrenta el algoritmo a una serie de problemas contenidos en un “banco de pruebas”. De este modo los parámetros quedan ajustados para que se comporten de modo óptimo ante tales problemas. Esto tiene el efecto perverso de que se consideren mejores los algoritmos y sus parámetros que mejor resuelven los problemas del banco, olvidándose la predicción del teorema NFL acerca de la inexistencia de un algoritmo universal que se comporte mejor para todos los posibles problemas. De este modo, se corre el riesgo de considerar mejor algoritmo (o mejores parámetros) al que mejor resuelve los problemas del “banco de pruebas"


328

• El criterio de parada, que fija el número de puntos que deben ser evaluados, para obtener valores

que tengan al menos una determinada aproximación y un determinado nivel de confianza.

• Y el método de optimización local, que incluye tres fases:

Hallar una solución factible.

Hallar una solución de colapso y su mecanismo.

Hallar el mínimo absoluto del factor de carga para el mecanismo obtenido.

El algoritmo de búsqueda global es diferente en ambos casos.

1/ Optimización ordinal + algoritmos evolutivos + optimización local

Los trabajos de Luo et al. (2001a) y Luo et al. (2001b) son de obligada reseña. En ellos, se aborda la

resolución de un MILP , que como se ha expuesto anteriormente es una de las posibles formulaciones

deterministas del problema de optimización global, mediante una integración de optimización ordinal,

algoritmos genéticos y programación lineal.

La idea central es repartir las tareas entre los algoritmos genéticos, que han demostrado ser eficaces en

programas con todas las variables enteras, y la programación lineal, que es el método más eficaz para

tratar las restricciones lineales continuas.

Ambos métodos se integran dentro de un marco de optimización ordinal que determina como crear las

soluciones de partida, y el número de soluciones que hay que considerar para obtener la precisión

(ordinal) y nivel de confianza deseados.

Resulta interesante exponer, con más detalle, el procedimiento para plantear una reflexión sobre el

peso que tiene cada uno de los métodos empleados en la obtención de los resultados.

En el caso de estudio numérico que utilizan de ejemplo, intentan conseguir una aproximación al

mínimo que esté dentro del 1 por 1000 de las peores con un nivel de confianza del 0.9999.

Utilizando los criterios de la optimización ordinal36, se requieren 9.206 muestras para obtenerla. De

acuerdo a ello, hallan aleatoriamente una población inicial de 4.603 soluciones, es decir, la mitad del

total, de las cuales eligen las 30 "mejores".

Mediante cruce entre éstas, y con una tasa de mutación del 10%, generan 1.000 nuevas soluciones para

la siguiente generación.

El proceso se repite durante 5 generaciones.

36 Ver capítulo anterior


329

El procedimiento corresponde al diagrama de flujo de la figura 7.14

Figura 7.14

En el artículo no se indica el valor de la solución de máximo, con la cual se podrían comparar las

soluciones obtenidas en los diferentes pasos para ver el trabajo desempeñado por cada uno. Por tanto,

los valores obtenidos se comparan con el del mínimo absoluto obtenido por un algoritmo determinista.

Los resultados son los siguientes:

Finalizado el proceso aleatorio, se ha conseguido una solución que se diferencia37 en un 7% con el

mínimo absoluto, una vez aplicado al resultado la fase de LP la diferencia es de sólo el 5%.

Finalizada la quinta generación de GA, el resultado se diferencia en un 4.5% con el mínimo, y una vez

aplicado a éste la fase de LP, la diferencia es de sólo un 0.6%.

En el primer paso de OO se llega desde un punto desconocido hasta un error del 7%, la fase de GA

que maneja el mismo número de soluciones consigue reducir del 7% al 4.5%, es decir un 2.5%,

mientras que la fase final de LP reduce el error en un 4%.

Con todas las reservas que requiere la discusión de un ejemplo concreto, se intuye que las fases de

población inicial (guiada por OO) y de optimización local (realizada mediante un LP) son más

determinantes, para este caso, que la fase correspondiente al GA.

Cabe destacar que el reparto del número de soluciones entre la población inicial y las sucesivas

generaciones, realizado por los autores del citado artículo, es totalmente inusual para un GA, y pone

de manifiesto que, de algún modo, son conscientes del hecho señalado.

37 Estos porcentajes son de valor absoluto y no de orden.


330

Una posible explicación puede darse en términos de variedad genética. Después de la enorme variedad

suministrada por las 4.603 soluciones aleatorias, en la primera selección se reduce a los 30 mejores

padres, y a las combinaciones de los genes de estos 30 se incorporaran a lo largo de las siguientes 5

generaciones un 10% de individuos mutantes. En el mejor de los casos habría durante todo el proceso

genes provenientes de 530 individuos, de los cuales sólo los 30 iniciales tienen una garantía de ser de

los mejores.

De este modo, para un número pequeño de individuos y de generaciones, el GA acaba comportándose

como un algoritmo de búsqueda global pero sólo para una parte del espacio de búsqueda.

Condiciones iniciales y criterio de parada mediante OO

1º Mediante OO determinar el número de soluciones N a estudiar en función de la aproximación y

nivel de confianza deseados.

2º De acuerdo a anteriores experiencias fijar la parte N0 de N que forma la primera generación, el

número s de supervivientes seleccionados en cada generación, el número i de individuos de cada

generación y el número g de generaciones. N= N0+g·i

3º Generar N0 puntos de partida i.i.d. que no tienen por que ser factibles.

Búsqueda de puntos de partida mediante GA

4º Obtener N0 entre soluciones mínimas y soluciones no válidas aplicando el proceso de optimización

local (pasos 4.1 a 4.3).

5º Repetir por el número g de generaciones fijado.

5.1 Seleccionar las s mejores soluciones como padres para la siguiente generación.

5.2 Utilizando los operadores de cruce y mutación generar i puntos de partida a partir de los

puntos padres, no tienen por que ser factibles.

5.3 Obtener i entre soluciones mínimas y soluciones no válidas aplicando el proceso de

optimización local (pasos 4.1 a 4.3).

6º Elegir la mejor de las soluciones obtenidas como aproximación al mínimo global

Proceso de optimización local

4.1 Obtener una solución factible desde cada uno de los puntos mediante LP.

4.2 Obtener una solución de colapso a partir de cada solución factible reduciendo iterativamente el

error de complementariedad, en el caso en que se llegue a un punto estacionario que no sea de

colapso se contabilizará como una solución no valida

4.3 Obtener el valor mínimo del factor de carga del mecanismo correspondiente a cada solución de

colapso mediante LP.

Algoritmo 7.1


331

La implementación de un marco de trabajo del tipo descrito para el presente problema (algoritmo 7.1),

y su comparación con un algoritmo híbrido (semejante pero sin generar la población inicial de acuerdo

a los principios de la OO) confirma los resultados del artículo citado.

Cuando la fase determinista tiene un cierto grado de complejidad que limita el número de soluciones a

considerar, y el espacio de búsqueda es muy multidimensional, los GA se comportan más como

algoritmos multi-locales que intensifican la búsqueda sobre varios posibles entornos, y es la búsqueda

aleatoria la que da una mayor diversidad en la exploración, aunque sea al precio de una menor

intensificación en dichos entornos.

2/ Optimización ordinal + búsqueda multiarranque aleatoria + optimización local

Puede pensarse en la posibilidad de prescindir de la fase de GA, cuando la fase determinista del

procedimiento tiene una cierta capacidad de intensificación de la exploración en un entorno de los

mínimos locales, como es el caso de los procedimientos propuestos en esta tesis.

Los resultados del caso anterior sugieren la posibilidad de considerar un método más sencillo de

búsqueda global, consistente en una búsqueda multiarranque con algunas condiciones adicionales.

Cuando en una búsqueda multiarranque, con posterior optimización local, los puntos iniciales son

aleatorios, independientes e idénticamente distribuidos (i.i.d.) se pueden aplicar los principios de la

OO para determinar el número de soluciones a comprobar y calificar la mejor solución hallada.

Esto no es una novedad, de hecho es lo mismo que se ha propuesto en el capítulo anterior para estudiar

la probabilidad de colapso. La diferencia radica en que la obtención del mínimo absoluto de un

determinado mecanismo, inicialmente, era sólo uno de los medios posibles para garantizar que las

soluciones obtenidas eran cotas inferiores para las soluciones que realmente se estaban buscando

mientras que, ahora, es la única solución que interesa.

De nuevo la OO determinará el número de soluciones necesarias, que en este caso será mucho mayor

ya que se pretende garantizar que la solución esté mucho más cercana al mínimo global.

Sin embargo, en algunos casos, esta cercanía al mínimo global no dependerá exclusivamente del

número de soluciones consideradas. La diferente dimensionalidad de los politopos estáticos

correspondientes a cada mecanismo puede actuar favoreciéndola o dificultándola.


332

En aquellos casos, bastante habituales pero que no son la totalidad, en que los mecanismos con menor

mínimo del factor de carga son a su vez los que tienen mayor dimensionalidad, su mayor probabilidad

juega a favor de encontrarlos con más facilidad, tanto más cuanto menos variables entran en juego.

Para el caso contrario, en que los mecanismos más probables son los de mayor factor de carga mínima,

habrá que conformarse (en lo que concierne al presente método) con buscar un mayor número de

soluciones, y pensar que los mecanismos no encontrados serán altamente improbables.

1º Mediante OO determinar el número de soluciones N a estudiar en función de la aproximación y

nivel de confianza deseados.

2º Generar N puntos de partida i.i.d. que no tienen por que ser factibles.

3º Obtener una solución factible desde cada uno de los puntos mediante LP.

4º Obtener una solución de colapso a partir de cada solución factible reduciendo iterativamente el


colapso generar un nuevo punto de partida de acuerdo al punto 2º y volver al punto 3º

5º Obtener el valor mínimo del factor de carga del mecanismo correspondiente a cada solución de


El mínimo de los valores obtenidos en el paso 5º será la aproximación buscada.

Algoritmo 7.2

Una implementación genérica del procedimiento propuesto, que se ha aplicado a una parte importante

de los casos analizados en la tesis, se describe en el algoritmo 7.2

7.7.2 Métodos secuenciales

1/ Búsqueda multiarranque aleatoria + reducción del espacio de búsqueda + optimización local.

Se han presentado hasta el momento dos posibles marcos de trabajo ambos de tipo paralelo. El

primero sin información y el segundo con ella, pero en ambos casos la inicialización, el criterio de

parada y la calificación de los resultados se hacen mediante OO.

Se presenta, por último, un marco de trabajo que se puede clasificar como secuencial y con

información. Este nuevo marco se plantea como alternativa a los anteriores.

El método consiste, esencialmente, en reducir el espacio de búsqueda de un multiarranque aleatorio en

función del último resultado obtenido. La idea no es nueva, así por ejemplo Devroye (1977) propone


333

una Búsqueda Aleatoria Progresiva para la optimización global de funciones continuas, así mismo,

Schoen (1999) lo propone para problemas con número de dimensiones alto. En ambos casos la

condición por la cual se rechaza la exploración de un determinado punto implica a una hiper-esfera.

En el presente caso, la reducción se hará eliminando un semiespacio. Lo que hace al método

especialmente adecuado es una propiedad de la estructura matemática del problema que se puede

utilizar. La función que se está optimizando λ (el factor de carga) es, a su vez, una de las variables del

problema estático. Si, además, la ecuación del trabajo se formula como una función bilineal, es

también una variable cinemática.

Restringiendo λ a ser menor (en caso de minimización) que el último obtenido, se elimina la parte

correspondiente a un semiespacio de cada uno de los politopos estático y cinemático. Esta eliminación

no es, en absoluto, heurística ni probabilista, sino del tipo de las empleadas en algoritmos

deterministas como los de ramificación y acotación (B&B ) o los de planos de corte (B&C ). Es

absolutamente seguro que en la parte eliminada no puede haber una solución con menor factor de

carga que en la parte que se mantiene. De este modo, el esfuerzo de computación se concentrará sobre

el espacio reducido en el que se sabe con total seguridad que estará el mínimo buscado.

Por otra parte, esta eliminación no afecta a la aleatoriedad del método. Los puntos de partida siguen

eligiéndose aleatoriamente (respecto de estos, el método es sin información). No importa que los

puntos elegidos no sean factibles para las nuevas condiciones ya que es la parte determinista del

método la que se ocupa en su primera fase de restablecer la factibilidad. La reducción del espacio se

hace sobre esta parte añadiendo una nueva restricción (información transmitida) que reduce el

volumen de los politopos. Por otra parte, añadir esta nueva restricción no añade complejidad alguna ni

para generarla ni para manejarla.

Para entender mejor la parte probabilista del método propuesto considérese el siguiente experimento

aleatorio:

1º/ Sea un espacio de búsqueda cualquiera ordenado según un parámetro.

2º/ Aleatoriamente siguiendo una distribución uniforme elijase un punto cualquiera del espacio de

búsqueda.

3º/ Elimínese del espacio de búsqueda toda aquella parte en que el parámetro tome un valor igual o

superior al del punto obtenido, considerándose la parte restante como nuevo espacio de búsqueda.

4º/ Hasta que se alcance el criterio de parada se repetirá a partir del punto 2º.


334

En cada paso la probabilidad está uniformemente distribuida en el espacio de búsqueda restante.

Transcurridos n pasos, la probabilidad será la del producto de probabilidades en cada uno de los pasos.

1

Probn

n ii

s=

= ∏ (7.1)

La distribución de probabilidad del tamaño del espacio de búsqueda restante, en el paso n (siendo n un

valor pequeño), viene dada por las fórmulas (7.2) y (7.3) recogidas en Dettmann38 et al. (2009).

"Sean iX variables aleatorias independientes con 1

( )iXPDF f x

b a=

−en el intervalo [ , ]x a b∈ y

0 en los demás casos, donde 0 a b≤ < < ∞ y 1,2,... , 2i n n= ≥ . Entonces la PDF39 de

1

n

ii

X X=

= ∏ viene dado por la siguiente función "suave" por partes.

1 1( ),

( ) 1,2,... ,

0, en los demás casos

k n k k n k kX

X

f x a b x a b

f x k n

− + − − ≤ ≤ = =

(7.2)

donde

1

0

( 1)( ) ln

( ) ( 1)!

nj n j jn kk

X nj

n b af x

jb a n x

−−−

=

−= − − ∑ (7.3)

Conforme n se hace mayor, la distribución tiende asintóticamente a ser lognormal, siendo este

resultado un corolario del Teorema del Límite Central de la teoría de la probabilidad40

Ahora bien, la formulación mostrada no es práctica si lo que se quiere es saber, no sólo cual es la

distribución de probabilidad en el paso n, sino también que ocurre en los demás pasos anteriores y

posteriores, y cuando se alcanza un valor de reducción dado.

Resulta, en este caso, preferible hacer una simulación que dé una información menos exacta pero

mucho más amplia.

En primer lugar se realiza una simulación con 100.000 intentos, utilizando una distribución uniforme

sobre el espacio restante después de cada reducción, y repitiendo el proceso hasta obtener una

reducción del espacio de búsqueda de 10-9.

38 "Product of n independent uniform random variables" 39 PDF, "Probability Density Function", Función de Densidad de Probabilidad 40 Aplicando logaritmos al producto se obtiene una suma a la cual se aplica el Teorema del Límite Central y se obtiene una distribución Normal . Por tanto para el producto de variables aleatorias positivas se obtiene una distribución Lognormal.


335

Se obtienen los siguientes resultados:

En 6 pasos alguno de los intentos llega al 10-9, en 12 pasos el 1%, en 15 pasos el 5%, el valor medio de

número de pasos es 22.29, en 31 pasos lo ha conseguido el 95%, en 34 pasos el 99% y en 47 pasos

absolutamente todos los intentos.

Tomando el peor de los supuestos, en 47 pasos se habría conseguido la citada reducción del espacio de

búsqueda con una precisión41 de 21/ 100.000 0.003= .

Siendo menos ambiciosos en el porcentaje de reducción, si se compara con la optimización ordinal y

se reduce el espacio de búsqueda a un 5% con una probabilidad de acierto de 0.99 (frecuencia de 99%

en la simulación) se obtiene que el mismo resultado se consigue en 9 pasos (en lugar de los 90 de la

OO) y que el número medio de pasos necesarios es 4.

En la figura 7.15 se representa la distribución de frecuencias42, obtenida con una distribución de

probabilidad uniforme, para la reducción del espacio de búsqueda en una relación de 10-9 y en función

del número de pasos.

Figura 7.15

41 recuérdese la aclaración dada para el Método de Monte Carlo 42 Recuérdese que se trata del resultado de una simulación y no de un cálculo de probabilidades.


336

La misma operación, que se realizará más adelante, para una distribución de probabilidad triangular da

un resultado semejante. La distribución obtenida tiene una forma parecida43 a una distribución de

Poisson44.

Si, en lugar de fijar la reducción del espacio de búsqueda a conseguir, se fija el número de pasos a dar,

se puede obtener, bien las distribuciones de probabilidad de la reducción porcentual del espacio de

búsqueda que deben de coincidir con las fórmulas dadas al principio del epígrafe o, bien, una gráfica

como la de la figura 7.16 en la que en función del número de pasos (eje horizontal) se dibujan las

curvas correspondientes al valor medio y a los percentiles del 90%, 95% y 99% de las frecuencias.

Figura 7.16

Sobre el eje vertical se puede medir el tamaño esperado, en porcentaje, del espacio de búsqueda

después de n pasos, según la curva correspondiente con la frecuencia de acierto elegida.

Si parece excesivamente optimista, pensar que es igual de fácil encontrar una solución para factores de

carga altos y bajos, se puede adoptar una distribución de probabilidades triangular, con la máxima

probabilidad de obtener un resultado alto y probabilidad 0 de obtener el mínimo absoluto.

43 En el caso de distribución triangular la prueba de bondad de ajuste mediante Chi-cuadrado da unos valores de probabilidad de coincidencia entre el 60 y el 70% 44 La distribución de Poisson o de los sucesos raros se puede utilizar para modelar el número de sucesos que ocurren en un intervalo de tiempo dado (en este caso medido en número de pasos).


337

En este caso se obtienen los siguientes resultados:

En 15 pasos, alguno de los intentos llega al 10-9, en 21 pasos el 1%, en 24 pasos el 5%, el valor medio

de número de pasos es 33.24, en 43 pasos lo ha conseguido el 95%, en 47 pasos el 99% y en 54 pasos

absolutamente todos los intentos.

Tomando el peor de los supuestos en 54 pasos se habría conseguido la citada reducción.

Si se compara con la optimización ordinal, se comprueba que el mismo resultado se consigue en 13

pasos, en lugar de los 90 de la OO, y que el número medio de pasos necesarios es 7.

Como resultado de este pequeño experimento de simulación, se puede concluir que la búsqueda

multiarranque aleatoria con reducción progresiva del espacio de búsqueda (algoritmo 7.3) es,

teóricamente, del orden de entre 7 y 10 veces más eficaz que la Optimización Ordinal (OO),

considerada esta última como método de optimización global.

1º Mediante simulación (con la distribución elegida) determinar el número de soluciones N a estudiar

en función de la aproximación y nivel de confianza deseados (por ejemplo: con distribución triangular

y reducción del espacio de 10 -9 será N=54).

2º Generar N puntos de partida i.i.d. que no tienen por que ser factibles.

3º Hasta acabar de procesar los N puntos repetir de 4º a 7º

4º Obtener una solución factible desde uno de los puntos mediante LP.

5º Obtener una solución de colapso a partir de cada solución factible reduciendo iterativamente el


colapso volver al punto 4º

6º Obtener el valor mínimo del factor de carga del mecanismo correspondiente a cada solución de


7º Fijar el valor máximo del factor de carga de colapso para la siguiente iteración en el último mínimo

obtenido menos ε (siendo ε un valor mayor que 0 pero tan pequeño como se desee), añadir la nueva

restricción al conjunto de restricciones y volver al punto 4º

Una vez procesados los N puntos el mínimo de los valores obtenidos en el paso 6º será la

aproximación buscada.

Algoritmo 7.3

La comparación entre los métodos propuestos es aproximada. En cualquier caso, mayor precisión en el

cálculo de las frecuencias (estimador de la probabilidad de acierto) no tiene sentido, en tanto que, el

punto débil del método no es la incertidumbre aleatoria que, como se ve, es cuantificable con un


338

esfuerzo y nivel de confianza razonables. La dificultad radica en que no se sabe, con total seguridad, si

el algoritmo determinista de búsqueda local puede encontrar con igual facilidad soluciones para

cualquier valor del factor de carga.

2/ Discusión sobre los marcos de trabajo

Comparando la fase de exploración global de cada uno de los marcos propuestos está claro que el

último de ellos es superior a los demás. En cualquier caso, esta afirmación debe de ser matizada en

función de varios temas expuestos con anterioridad.

Por un lado, está el de la dimensionalidad de los mecanismos de inicio de colapso, que hace que, una

vez obtenido uno de estos mecanismos, si es de muy alta dimensionalidad y corresponde a un

mecanismo con un mínimo bajo, en un sólo paso de optimización local se consiga una gran

aproximación al mínimo global.

Por otro, está el de la incertidumbre epistémica en la obtención del mecanismo. Recuérdese que la

obtención de un mecanismo es un proceso no determinista45, aunque la comprobación si lo sea. La

capacidad de encontrar una solución, cuando exista, depende, tanto del algoritmo utilizado, como de la

estructura del espacio de búsqueda. Por ello, manteniendo fijo el algoritmo, la subdivisión del espacio

de búsqueda puede favorecer o dificultar la eficacia de éste.

Así pues, la comparación entre los grados de eficacia es tan sólo aproximada. Por otro lado, la mayor

eficacia del método secuencial tiene varias contrapartidas. En primer lugar, la perdida de toda la

información acerca de la distribución de probabilidades de las soluciones de inicio de colapso que se

obtendría a través de la OO. En segundo lugar, que el método en sí mismo es secuencial, por lo que no

facilita utilizar las ventajas actuales de la computación distribuida.

Por supuesto, son posibles combinaciones de los distintos marcos propuestos. Por ejemplo, una

ulterior mejora del método secuencial sería realizar varias búsquedas secuenciales en paralelo. Esta

paralelización no mejorará la velocidad del método, pues el proceso será tal lento como la más lenta de

las búsquedas, pero sí mejorará el nivel de confianza de la mejor solución encontrada. Así mismo, es

posible realizar varias búsquedas secuenciales sin paralelizar, obteniéndose los mismos resultados pero

empleando un mayor tiempo de computación.

45 Si existiera un procedimiento determinista que simplemente asegurara en tiempo polinomial que no hay solución por debajo de un determinado valor, el problema numérico quedaría resuelto, con tanta exactitud como se desee, mediante un simple proceso de bisección iterativa del espacio de búsqueda.

Parte IV:

Conclusiones

8.Discusión, conclusiones y posibles desarrollos futuros

340

Parte IV. Conclusiones

341

Capítulo 8

Discusión, conclusiones y posibles desarrollos futuros


342


343

8.1 Discusión1

El Análisis Límite ha demostrado ser una herramienta adecuada para evaluar la seguridad de las

construcciones históricas de fábrica. Sin embargo, existen determinados comportamientos de este tipo

de estructuras que, difícilmente, pueden incorporarse en el marco restringido del Análisis Límite

Estándar. Uno de ellos, como ya señaló Drucker (1953) es el rozamiento por deslizamiento.

A pesar de la fecha tan temprana en que se señaló tal carencia, su resolución técnica se ha retrasado

enormemente en el tiempo, habiéndose incluso llegado, en ocasiones, a negar su existencia o su

trascendencia, y sin embargo, su efecto sobre las fábricas aparejadas, al que Rankine llamó "tenacidad

friccional", es crucial para entender el comportamiento de su traba y las características resistentes de

las que dota a la fábrica.

En esta tesis, y referido a dicho comportamiento, se ha mostrado2 que existe un problema, es relevante,

complejo y que, no obstante, tiene una solución técnica razonablemente simple.

Revisada la bibliografía clásica sobre el tema, se ha podido constatar que, desde el artículo de Drucker

y para el caso de las construcciones de fábrica, los intentos de reconducir el problema a otro de

Análisis Límite Estándar no han llevado más allá de los teoremas para rozamiento formulados por el

mismo.

En el último cuarto del siglo XX se ha abierto paso una nueva línea que caracteriza el problema como

de contacto unilateral. Duvaut (1972) presentó la condición de contacto unilateral en forma bilineal y

Lötstedt (1982) formuló el problema como de complementariedad. Ésta es la línea mayoritaria de

investigación que ha sido desarrollada con las sucesivas aportaciones de los autores citados y en la que

se encuadra la presente tesis.

Una segunda línea, heredera de las sucesivas ampliaciones del Análisis Límite, realizadas con el fin de

ir incorporando más casos, desemboca en los trabajos de De Saxce en la última década del pasado

siglo. Éste formula un "Material Estándar Implícito" y lo modela mediante una función a la que da el

nombre de bipotencial.

Las relaciones entre estas dos líneas han sido estudiadas, por Acary y Brogliato, en la primera década

del presente siglo, siendo las dificultades a que se enfrentan ambas semejantes.

1 Análisis o comparación de los resultados de una investigación, a la luz de otros existentes o posibles. 2 Dentro de los límites de extensión que permiten este tipo de trabajos


344

La preferencia por la primera, en el caso de las fábricas, responde a su capacidad para modelar los

problemas no estándar, con la simple adición a la formulación estándar de un nuevo tipo de

restricciones. Es este último tipo de restricción el que convierte el problema en difícil.

Con el fin de establecer claramente que la dificultad es intrínseca al problema, y que no proviene de su

formulación3 matemática, a lo largo del texto se han planteado ejemplos muy sencillos en cuanto a su

descripción, que pueden ser resueltos gráficamente y que sin embargo mantienen las características de

dificultad sobre las que se quiere llamar la atención.

Los primeros de estos ejemplos, en el capítulo 2º, han mostrado que la formulación estática y

cinemática son inseparables para conseguir la resolución del problema, así como, que la unicidad de la

solución no está asegurada ni tan siquiera en ejemplos elementales.

A lo largo del mismo capítulo se ha desarrollado toda la formulación necesaria para caracterizar el

material y establecer el conjunto de restricciones que deben cumplirse para obtener una solución de

inicio de colapso.

Se ha mostrado como, la formulación mediante bloques rígidos que se desarrolla en el resto de la tesis,

es un caso particular de la más general mediante bloques rígido-plásticos.

Cuando ha sido posible, por razones de espacio, se han desarrollado, en paralelo, una formulación más

estándar para facilitar la comprensión y otra al modo de Livesley, por ser esta última mucho más

compacta y la que se ha usado en la implementación.

Como conclusión del capítulo se ha formulado en modo matricial el conjunto de condiciones que

definen una solución de inicio de colapso.

Antes de entrar en la parte central de la tesis, correspondiente a las restricciones de contacto, se han

apuntado una serie de temas colaterales, pero de gran importancia y que pueden dar lugar a nuevas

líneas de desarrollo futuro.

Entre ellos, el carácter como problema de estabilidad, y no de resistencia, al menos en primer término;

y la limitación del procedimiento al inicio del colapso, y no a la posibilidad, o no, de su continuación

hasta la ruina efectiva de la fábrica.

A partir del capítulo 3º, toda la tesis gira, de forma explícita o implícita, en torno a las condiciones de

contacto unilateral, formuladas como restricciones de complementariedad.

Tal y como se indicó en la introducción, si se consideran por separado los modelos estático y

cinemático, es difícil comprender donde radica la dificultad del problema y resolverla.

3 Que no proviene de una "mala elección" de la formulación y que, por tanto, no podría resolverse encontrando una "buena" formulación.


345

Absolutamente todas las condiciones introducidas en los modelos considerados separadamente, tanto

en los estáticos como en los cinemáticos, son lineales o convexas y, por lo tanto, linealizables.

Considerar ambos modelos de forma simultánea tampoco lleva a la resolución del problema.

Esta condición que liga las formulaciones estática y cinemática del problema, y que se puede expresar

como una restricción de complementariedad, es precisamente la que lo convierte en difícil.

Esta dificultad es debida, tanto a que no se garantiza la unicidad de la solución, como a que tampoco

existe un método no enumerativo que garantice la obtención de una solución, en caso de que ésta

exista.

Una vez establecido que el problema se puede presentar como "Problema de Complementariedad", y

con las dos limitaciones que se acaban de citar, queda abierta la puerta a su solución técnica.

La primera limitación (posible ausencia o multiplicidad de soluciones) es inherente al problema. Para

facilitar su comprensión, se ha ideado un nuevo tipo de gráfico bidimensional que incorpora las

principales características del problema, entre ellas, su carácter disjunto.

Gracias a esta representación se puede visualizar, sin esfuerzo, tanto la posible "no unicidad" como la

estructura del espacio de soluciones.

Se han esbozado las diferentes formulaciones como problema de complementariedad según los casos,

y mostrado como, dejando de lado la restricción de complementariedad, todos ellos son linealizables.

Para aclarar de que tipo es la segunda limitación, se ha incorporado el concepto de Complejidad

Computacional que permite diferenciar entre la dificultad intrínseca del problema y la eficacia de su

actual implementación.

Utilizando conceptos de esta última, así como de las condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-

Tucker, se ha mostrado, de dos modos diferentes, que el Análisis Límite Estándar es un caso particular

de la formulación propuesta, o lo que es equivalente, que, cuando se cumple la condición de

normalidad, las soluciones a los Problemas de Complementariedad se pueden obtener como óptimos

de Programas Matemáticos Convexos.

Tras todos estos pasos preparatorios, se ha llegado al núcleo central de la tesis que consiste en

establecer como hallar soluciones de inicio de colapso y como evaluar la seguridad de la estructura a

partir de ellas.


346

Respecto a la primera cuestión, se puede resolver el problema mediante programación lineal4

secuencial, utilizando la reformulación de Mangasarian del Problema de Complementariedad Lineal

Disjunto como un Programa Bilineal Disjunto y utilizando el algoritmo de Descenso Directo de Konno

para obtener un mínimo local de la función bilineal, esperando que el mínimo encontrado sea igual a 0

y, por tanto, global.

De este modo, se consigue obtener una solución al problema sin perder el rigor de plantearlo como de

complementariedad, que es una de sus posibles formulaciones estrictas… y, además, aprovechando

íntegramente los conocimientos ya adquiridos en el Análisis Límite Estándar.

Una vez planteado el problema como de complementariedad lineal , reformulado como problema

bilineal disjunto e implementado un algoritmo para conseguir, finalmente, resolverlo mediante

Programación Lineal, se ha mostrado que modificaciones menores del algoritmo permiten:

• Comprobar una solución, verificando si su error de complementariedad es 0

• Hallar el factor de carga mínimo para su mecanismo

• Hallar una solución, aproximando iterativamente el error de complementariedad a 0 mediante

Programación Lineal Sucesiva.

• Hallar un mínimo local del factor de carga de inicio de colapso, aprovechando la posibilidad

de utilizar el error de complementariedad como "función de penalización exacta".

• Aproximar el mínimo global, repitiendo el algoritmo anterior restringido a un valor del factor

de carga menor que el último encontrado.

El procedimiento tiene importantes ventajas respecto de los propuestos por otros autores:

• Utiliza como motor de resolución la Programación Lineal que es, actualmente, varios ordenes

de magnitud más eficiente que cualquier otro procedimiento de optimización y de la que,

incluso, existen numerosas implementaciones de software en el Dominio Público.

• Sin embargo, no renuncia a un planteamiento totalmente riguroso como un Problema de

Complementariedad, al contrario que otros métodos, que modifican el tipo de problema o

utilizan heurísticas para aproximarlo.

• Unifica, en un único procedimiento similar en todos los casos, los distintos grados de

aproximación al mínimo.

4 Como siempre se ha deseado


347

• Permite conservar toda la formulación empleada en el Análisis Límite Estándar para resolver

problemas, ya sea estáticos o cinemáticos, simplemente añadiendo unas nuevas condiciones

que ligan ambas.

• Conserva el significado físico de los pasos intermedios, aproximando una solución estática

(programa primal) y una cinemática (programa dual) hasta conseguir que se correspondan

mediante sus condiciones de contacto (restricciones de complementariedad).

• Obtiene a lo largo de todo el procedimiento semi-soluciones estáticas y cinemáticas válidas.

• Reduce al mínimo la operativa matemática del problema5 , utilizando la notación más

compacta de Livesley y sacando partido de todas y cada una de sus características específicas.

• No requiere ninguna característica especial para el punto de partida, ni tan siquiera que sea

factible, lo que facilita enormemente una posible aleatorización y/o paralelización del

procedimiento.

• No requiere una formalización estricta, al contrario que el de Fishwick, lo que permite añadir

o eliminar cualquier tipo de restricciones siempre que sean lineales.

• No resuelve el problema incluyéndolo en uno de mayor complejidad, ni requiere de software

comercial para su resolución, como el de Ferris u Orduña.

A pesar de todas sus ventajas, este método, como cualquier otro posible, está limitado por la

caracterización de su problema de decisión como NP-completo y, por tanto, intratable.

Esto se traduce en que verificar una solución hallada por cualquier medio es fácil (polinomial), pero

no hay garantía de encontrar una solución aunque exista, o en caso contrario, demostrar que no existe.

Reformulando el Programa Lineal con Restricciones de Complementariedad (LPCC) resultante, como

el equivalente6 Programa Lineal Mixto Binario (MILP 0-1), se hace indudable que la obtención de un

mínimo absoluto mediante procedimientos deterministas sólo puede conseguirse si éstos se basan en

una exploración exhaustiva (enumeración de todas las soluciones o eliminación de semiespacios en los

que no puede haber soluciones menores).

El MILP 0- 1 es un problema de optimización global NP-difícil y verificar una posible solución es un

problema de decisión NP-completo. Por tanto, la obtención de un mínimo global, por debajo del cual

el colapso no se pueda producir, no es posible sino para pequeños modelos académicos.

En la última parte de la tesis, se introduce la duda razonable de que esto sea necesario o, si se prefiere,

la certeza razonable de que puedan existir otros métodos más robustos y que conduzcan a resultados 5 Según la máxima: "Tan simple como sea posible, pero no más" 6 En el sentido de tener la misma solución y no añadir ni quitar complejidad.


348

más fiables para la evaluación de la seguridad. Estos últimos intentan sacar partido de la multiplicidad

de soluciones7, centrando la búsqueda, no ya en la peor solución, sino en soluciones que estén entre un

porcentaje predeterminado de las peores.

Como introducción y fundamentación del nuevo enfoque, se han propuesto métodos "exactos8"

aplicados sobre ejemplos elementales, a fin de obtener información de la forma del espacio de

soluciones y de la distribución de frecuencias de los factores de inicio de colapso.

Se responde así a la pregunta: ¿está justificada en estos casos la búsqueda del mínimo absoluto?.

Los resultados obtenidos han sido clarificadores, no obstante, queda trabajo por realizar en este campo.

Dado que el método no es extensible a ejemplos mayores, se ha desarrollado e implementado un

método, aplicable con carácter general y que requiere sólo la evaluación de un reducido número de

casos, elegidos aleatoriamente.

La elección de puntos de partida aleatorios para los algoritmos deterministas, vistos en la primera parte,

así como la aplicación de la Estadística de Orden, permite calificar los resultados obtenidos con ellos.

Por otro lado, la aplicación de los criterios de reducción de expectativas, propios de la Optimización

Ordinal, permite reducir el número de casos necesarios para conseguir unos resultados técnicamente

razonables9.

Como resultado de todo ello, se ha implementado un método que puede entenderse tanto como

procedimiento de evaluación de la seguridad frente al inicio de colapso o de aproximación al mínimo

absoluto en términos de orden.

Los resultados obtenidos, aplicándolo a los ejemplos clásicos utilizados por otros autores, son

sumamente satisfactorios.

El método implementado permite obtener:

• La estimación de una cota superior10 para las probabilidades de inicio de colapso de todos los

valores muestreados

7 Que se considera ahora una oportunidad más que una limitación. 8 Los ejemplos implementados han mostrado que, a efectos técnicos, la computación exacta y una simulación por el Método de Monte Carlo suficientemente amplia son indistinguibles. 9 Que se han cifrado en encontrar una solución en el 5% de las peores con un nivel de confianza del 99% para lo cual hay que estudiar 90 casos elegidos aleatoriamente. Para otros porcentajes o niveles de confianza el número será distinto.


349

• La probabilidad tan alta como se desee de que al menos el valor menor de ellos está

comprendido en el porcentaje deseado de los peores.

• La información de los factores de carga mínimos absolutos correspondientes a los mecanismos

de inicio de colapso cuya frecuencia es mayor.

• La información suficiente para detectar posibles errores numéricos.

• Otras informaciones útiles, tales como la determinación de las partes del trabajo realizado que

corresponden al vuelco y al deslizamiento.

Se puede concluir que estos métodos, que incorporan a la resolución del problema la multiplicidad de

soluciones y el manejo de la incertidumbre de los resultados obtenidos, son más robustos y fiables que

los basados en la búsqueda de un único mínimo global.

Finalmente, para aquellos casos en los que la única opción posible es la búsqueda del mínimo global11,

se ha propuesto la complementación, de los métodos deterministas y probabilistas ya vistos, con

métodos metaheurísticos o con métodos deterministas no rigurosos, para formar marcos de trabajo

híbridos.

En este sentido se han implementado dos marcos de trabajo y se ha desarrollado teóricamente un

tercero.

De los implementados, la Optimización Ordinal + Algoritmos Genéticos + Optimización Local

Determinista ha mostrado poco margen de mejora respecto de la, mucho más simple, Optimización

Ordinal + Multiarranque Aleatorio + Optimización Local Determinista.

Por ello, es conveniente la ampliación de la experiencia computacional al respecto y/o la elección de

otras metaheurísticas que den más peso al factor aleatorio.

El tercer marco utiliza, como método de exploración, un procedimiento determinista12 de reducción

del espacio de búsqueda. Es necesaria una mayor experiencia computacional para comprobar en que

modo esta reducción interfiere con la facilidad para encontrar candidatos a soluciones.

10 Dado que con el estado actual de conocimientos es imposible resolver la incertidumbre epistémica, se ha optado por un enfoque de acotación obteniendo el valor mínimo absoluto del factor de carga para cada uno de los mecanismos de inicio de colapso encontrados por el procedimiento 11 Sea por que se trata de estructuras con muy pequeño número de piezas, porque se está estudiando un modo de colapso local o porque en un futuro se demuestre un principio de mínimo aplicable a este tipo de estructuras. 12 Como se aclara en la tesis los métodos deterministas globales terminados antes de su criterio de parada pueden considerarse como heurísticas.


350

Este último presenta la ventaja de converger, teóricamente, de manera mucho más rápida hacia el

mínimo, pero los inconvenientes de no ser paralelizable y de dar una información sesgada del espacio

de soluciones.

8.2 Conclusiones

Como resumen, referido a las soluciones de inicio de colapso en construcciones de fábrica bajo

condiciones de rozamiento finito y con leyes de rozamiento/deslizamiento no asociativas, se puede

concluir que:

• Comprobar una solución es fácil (polinomial), encontrar una solución de modo no

determinista es posible (incluso fácil utilizando un buen "oráculo") pero no está garantizado,

obtener un certificado de que no existe ninguna solución es NP-completo (intratable).

• No existe (ni puede existir a menos que se demuestre P=NP) ningún método no enumerativo

que permita hallar una solución cuando ésta existe o demostrar que no hay ninguna solución.

• Si existiera un método que simplemente permita demostrar que no hay solución, se podría

obtener una aproximación numérica al óptimo mediante bisección del espacio de búsqueda.

• El desconocimiento “a priori” de la estructura del espacio de soluciones, probablemente no

convexo y posiblemente no conexo, y la inexistencia de un método “tratable” garantizado para

hallar una solución son fuentes de incertidumbre (aleatoria en el primer caso y epistémica en

el segundo) en el caso de solución “no única”.

Por todo lo cual, los métodos propuestos, u otros del mismo tipo, que se basan en el análisis de

múltiples soluciones, resultan más robustos y fiables, frente a estas incertidumbres no eliminables13,

que aquellos que buscan un único valor extremo.

En conclusión, el conjunto de métodos desarrollados e implementados en esta tesis permite la

obtención de una solución técnica razonable, en fiabilidad y coste computacional, al problema

planteado.

13 La aleatoria es intrínsecamente no eliminable y la epistémica no es eliminable con los conocimientos actuales.


351

8.3 Posibles desarrollos futuros

Dado el planteamiento de la tesis, que enfoca el Análisis Límite no Estándar como una generalización

del Análisis Límite Estándar (al cual incluye como un caso particular), existen un buen número de

temas relacionados y sobre los que futuros trabajos pueden extenderse o profundizar, y entre otros:

• La implementación de métodos seguros para determinar que el colapso se producirá sin

deslizamiento y, por tanto, que el Análisis Límite Estándar es aplicable, en los casos, muy

numerosos, en que el colapso se produce por vuelco puro.

• La implementación de métodos simplificados para aquellos casos en que existe un número

muy reducido de mecanismos que incluyan deslizamiento.

• La implementación del programa para bloques rígido-plásticos, por tanto con consideración de

la resistencia, que aunque se ha formulado no se ha desarrollado.

• La extensión de la implementación a modelos tridimensionales de bloques con restricciones

linealizadas.

• El estudio de la continuación del colapso por métodos cuasi-estáticos mediante modelado

geométrico iterativo.

• La implementación y comprobación computacional del método sin incluir normalización del

trabajo.

• La implementación del intervalo de estabilidad o algún método equivalente, y su aplicación a

diferentes tipos de estructuras.

• La ampliación del estudio por el Método de Monte Carlo hasta alcanzar su límite, y la

aplicación a diferentes modelos para obtener un mejor conocimiento de los espacios de

soluciones y de la dimensionalidad de los mecanismos.

• La exploración de otras herramientas de la Estadística Paramétrica y No Paramétrica para

conseguir una estimación más ajustada de las probabilidades de inicio de colapso.

• La implementación, mediante variantes de algoritmos evolutivos o de otras metaheurísticas,

del marco de trabajo para optimización global y su comprobación computacional.

• La comprobación computacional del marco de trabajo secuencial con reducción del espacio de

búsqueda, y su comparación con los otros marcos.

Y algunos otros cuya naturaleza los sitúa en la frontera del Análisis Límite con otros campos de la

Mecánica, como por ejemplo :

• La incorporación de las características frágiles mediante modelado mecánico iterativo.


352

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Glosario

ad hoc: para esto, para un fin específico

Algoritmo Evolutivo (EA): Conjunto de metaheurísticas basadas en la evolución biologica, en los que al menos dos, pero más generalmente una población de, candidatos a solución intentan adaptarse a las condiciones fijadas compitiendo entre sí.

Algoritmo de Estimación de Distribución (EDA): Metaheurística derivada de los algoritmos evolutivos en la que, a diferencia de estos, se busca estimar la distribución de probabilidad de cada variable.

Algoritmo Genético: Metaheurística basada en la selección natural, su principal operador para generar nuevos individuos es el cruce.

Análisis Límite: Análisis estructural que estudia los estados de cargas de colapso de una estructura.

Antisimétrica (SS): Matriz ..., matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta, tM = -M , para ella se cumple que 0=tx Mx para todo n∈x ℝ .

Búsqueda Dispersa (SS): Metaheurística que se basa en la búsqueda sobre un conjunto de soluciones que mantiene y sobre las que realiza combinaciones; las elecciones son sistemáticas y estratégicas y se realizan sobre un conjunto relativamente pequeño de soluciones.

Búsqueda tabú (TS): Metaheurística basada en una búsqueda local mejorada mediante el uso memoria

Cedencia: Condición por la cual se alcanza el valor límite para un estado de tensiones en un punto y el material "cede". Alcanzado este valor, el material puede iniciar una deformación ilimitada en él (fluencia) sin que se modifique el estado de tensiones que la ha provocado.

-Superficie de Cedencia: Superficie formada por el conjunto de todas las restricciones de cedencia. En su interior se encuentran todos los puntos que cumplen las restricciones. Fuera de ella es imposible cualquier estado de tensiones.

-Restricción de cedencia: Relación entre el conjunto de tensiones que integran un estado y para la cual se alcanza el límite resistente del material y puede comenzar la fluencia en ese punto.

Complejidad Computacional: Rama de la ciencia de la computación que estudia la escabilidad de los algoritmos, es decir de que modo aumenta la dificultad de resolución de un problema en relación a su tamaño.

Condiciones de Contorno: condiciones en que la estructura está apoyada sobre el terreno, sobre otras estructuras o sobre ambos.

Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker: generalización del método de los Multiplicadores de Lagrange, condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de programación matemática séa óptima.

"deslizamiento plástico": Deslizamiento en una cara de contacto de una estructura cuando la restricción de rozamiento en dicha cara alcanza su valor límite o de cedencia.

Determinista: En ciencia partidario del determinismo, uno de cuyos máximos defensores Pierre Simon Laplace defendía que si un intelecto conociera en un determinado momento todas las fuerzas y condiciones que actúan en el universo podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los

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grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero ... nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente a sus ojos.

Disjunto: En el contexto de esta tesis, se dice de dos conjuntos que no comparten ningún elemento y formulaciones o espacios que no comparten ninguna variable. Y, por tanto, de los problemas o programas que incorporan alguno de estos elementos.

Estimación: Parte de la estadística inferencial que utiliza las características de una muestra para hacer inferencias sobre las características del universo muestral.

Estadística descriptiva: Parte de la estadística que se refiere a la recolección, presentación, descripción, análisis e interpretación de un conjunto de datos.

Estadística inferencial: Parte de la estadística que se refiere al proceso de hacer inferencias sobre las características del universo muestral a partir de las de la muestra (Estimación) o responder a interrogantes sobre el universo muestral a partir de la información de la muestra (Contraste de hipótesis)

Estadística paramétrica: Es la rama de la estadística que asume como conocida la función de distribución de los datos y como desconocidos algunos de sus parámetros (por ejemplo: se asume que la distribución de un suceso sigue una distribución normal y se quiere conocer su media y su desviación estándar)

Estadística no paramétrica: Es la rama de la estadística que no asume como conocida a priori la función de distribución de los datos.

Estadístico: Medida descriptiva que intenta sintetizar en una cantidad una característica de un conjunto de datos (por ejemplo: el valor medio o media)

Estadístico de orden: Estadístico que indica el lugar que ocupa un determinado valor en un conjunto de valores obtenido ordenando en orden creciente la muestra original

Estrategia de Evolución (ES) Metaheurística bio-inspirada, eficiente y robusta para resolver problemas de optimización donde el espacio de soluciones (en su versión original) es no restringido. En comparación a los GA da un mayor peso a la mutación como elemento generador de nuevas soluciones.

Evolución Diferencial (DE): Metaheurística perteneciente al grupo de los algoritmos evolutivos, que utiliza vectores y orientada al manejo de problemas numéricos

et al.: y otros

Fluencia: Ver cedencia.

Función bilineal: Aquella que incluye términos de la forma yz , siendo y,z variables. Es una función cuadrática no convexa. Un caso típico de función bilineal es el producto escalar de dos vectores variables.

Función de Densidad de Probabilidad (PDF): Función que describe la probabilidad relativa según la cual una variable aleatoria tomará determinado valor.

Función de Distribución Acumulada (CDF): Función que describe la probabilidad de que una variable aleatoria real X sujeta a cierta ley de distribución de probabilidad, se sitúe en la zona de valores menores o iguales a x.

Heurístico: Se califica de heurístico a un procedimiento para el que se tiene un alto grado de confianza en que encuentra soluciones de alta calidad con un coste computacional razonable, aunque no se garantice su optimalidad o su factibilidad, e incluso, en algunos casos, no se llegue a establecer lo cerca que se está de dicha situación. Se usa el calificativo heurístico en contraposición a exacto..."

371

i.i.d. independiente e identicamente distribuido, referido a una variable aleatoria...

Incertidumbre aleatoria: Aquella que es intrínseca al fenómeno y que por tanto no es reducible. Algunos autores la llaman variabilidad

Incertidumbre epistémica: Aquella que depende de nuestra falta de conocimiento acerca de un fenómeno o de la imprecisión de los datos acerca de él. Por tento es reducible cuando aumente nuestro conocimiento.

Investigación de Operaciones o Investigación Operativa: Es una rama de las Matemáticas aplicadas consistente en el uso de modelos matemáticos, métodos de optimización, estadística y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones.

Metaheurística: Método heurístico para resolver un tipo de problema computacional general. Muchas de ellas comenzaron como heurísticas para problemas concretos, generalizándose a continuación para tipos más generales de problemas.

Métodos de Punto Interior: O métodos de barrera, los que alcanzan una solución óptima atravesando el interior de la región factible.

Muestra: Subconjunto del universo muestral que idealmente debe ser representativo del universo completo.

Multiplicador plástico: Deformación elemental asociada a un modo de colapso

No determinista Polinomial (NP): En Complejidad Computacional aquellos problemas que pueden verificarse de modo determinista en número de operaciones o tiempo polinomial respecto del tamaño del problema

No determinista Polinomial-completo (NP-completo): En Complejidad Computacional los más difíciles dentro de la clase NP. Cualquier problema en NP puede reducirse a otro en NP-completo en tiempo polinomial

NP-difícil (NP-hard): En Complejidad Computacional cualquier problema tan difícil al menos como un NP-completo, pero que no tiene por que pertenecer necesariamente a la clase NP. Obviamente los NP-completo son los problemas que pertenecen a NP y a NP-difícil

Optimalidad: Cualidad de óptimo.

Optimización: Búsqueda de la mejor manera de hacer algo. En el presente contexto búsqueda del valor óptimo. Por extensión procedimiento para llevar a cabo dicha búsqueda.

Optimización ordinal (OO): Método de optimización basado en la suavización de objetivos y la utilización de la Estadística de Orden, que permite obtener, con una seguridad suficiente, una solución que sin ser la pésima (óptima) se encuentra entre un porcentaje previamente determinado de las peores (mejores)

Optimización por Colonias de Hormigas (ACO): Metaheurística bio-inspirada basada en el comportamiento cooperativo de una población de hormigas

Oráculo: Cualquier procedimiento que permita aventurar una posible solución

Investigación de Operaciones o Investigación Operativa (OR): Rama de la Matemática que consiste en el uso de modelos matemáticos, algoritmos (entre ellos los de optimización) y estadística con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones.

Planos de corte: Método de ... Método de optimización global que introduce nuevas restricciones en forma de planos de corte para eliminar zonas del espacio de búsqueda en las que no puede haber ninguna solución mejor.

372

Población: Algunos estadísticos lo utilizan como sinónimo de universo muestral. En el contexto de esta tesis también puede referirse al conjunto de soluciones que emplean algunos métodos metaheurísticos.

Polinomial (P): En Complejidad Computacional aquellos problemas que pueden resolverse de modo determinista en número de operaciones o tiempo polinomial respecto del tamaño del problema.

Positiva Definida (PD): Matriz..., matriz M para la que se cumple 0>tx Mx para todo n≠ ∈0 x ℝ .

Positiva Semi Definida (PSD): Matriz..., matriz M para la que se cumple 0≥tx Mx para todo n∈x ℝ

Potencial plástico: Superficie cuyo gradiente da la dirección y el sentido de los "Multiplicadores Plásticos". En el caso de materiales que siguen la regla de normalidad coincide con la superficie de cedencia o fluencia.

Problema de decisión: Aquel al que se puede responder con un sí o un no

Problema de Complementariedad (CP): Problema que incluye al menos una restricción de complementariedad.

Problema de Complementariedad Lineal (LCP): Problema formado por restricciones lineales y al menos una restricción de complementariedad

Problema de Complementariedad Lineal Extendido (ELCP y XLCP): Problemas de complementariedad lineal más generales.

Problema de optimización: Aquel en que se busca un óptimo (máximo o mínimo) de una función.

Programa Bilineal (BP ó BIL): Problema de optimización no-lineal en que la función y/o algunas restricciones son bilineales.

Programa Bilineal con Restricciones de Complementariedad (BPCC): Programa Bilineal que incluye al menos una restricción de complementariedad.

Programa Bilineal Disjunto (BILD ó UBP): Problema bilineal en el que existen dos conjuntos de variables separados, de manera que todas las restricciones lineales tienen sólo variables de uno de los conjuntos. Las únicas funciones o restricciones que tienen variables de ambos conjuntos son las bilineales

Programa Cónico de Segundo Orden (SOCP): Programa convexo con función objetivo lineal y restricciones que incluyen alguna restricción cónica de segundo orden

Programa Lineal (LP): Problema de optimización en el que la función y las restricciones son lineales. Si no se le añade ninguna otra caracterización se sobreentiende que las variables son reales

Programa Lineal con Restricciones de Complementariedad (LPCC): Programa Lineal que incluye al menos una restricción de complementariedad.

Programa Lineal Entero (ILP): Programa Lineal con todas las variables enteras

Programa Lineal Mixto Binario (MILP 0-1): Programa Lineal en el que algunas variables son binarias

Programa Lineal Mixto Entero (MILP): Programa Lineal en el que algunas variables son enteras

Programa Matemático (MP): Problema de hallar el óptimo (máximo o mínimo) de una función sujeta o no a restricciones.

Programa Matemático con Restricciones de Complementariedad (MPCC): Programa matemático que incluye al menos una restricción de complementariedad. El LPCC es un caso particular de éste.

373

Programa Matemático con Restricciones de Equilibrio (MPEC): Programa matemático que incluye al menos una restricción de equilibrio. El MPCC es un caso particular de éste.

Programa No Lineal (NLP): Programa Matemático en el que la función y/o alguna restricción no es lineal.

Ramificación y acotación (B&B): Método de optimización global basado en la búsqueda sobre un arbol de soluciones en el que se acotan las ramas sobre las que no puede haber mejores soluciones y se eliminan de la búsqueda.

Ramificación y corte (B&C): Método que combina la ramificación con la adición de planos de corte.

Reencadenamiento de Trayectorias (PR) Metaheurística que se basa en la generación de nuevas soluciones mediante la exploración de trayectorias que conectan soluciones de calidad elevada, iniciando la búsqueda desde una de estas soluciones, llamada solución inicial, y generando un camino en el espacio de vecindario que dirige la búsqueda hacia las otras soluciones.

Restriccion de complementariedad ≤ ⊥ ≥0 y z 0 : Tipo de restricción que se puede entender como de ortogonalidad entre dos vectores positivos

"rotula plástica": Articulación formada en un punto de una estructura (en el presente caso en una cara de contacto) cuando la restricción de vuelco en ese punto alcanza su valor límite o de cedencia.

Universo: Conjunto de todos los valores posibles de una variable

Universo muestral. Conjunto de todos los valores del universo que son accesibles mediante los métodos de muestreo.

Varianza estadística: En teoría de probabilidad, la varianza (que suele representarse como 2σ ) de una variable aleatoria es una medida de su dispersión. Dada una variable aleatoria X con media ( )E Xµ = ,

se define su varianza, Var(X) (también representada como2Xσ o, simplemente 2σ ), como 2( ) [( ) ]Var X E X µ= −

versus: frente a, por oposición a, contra.

374

Abreviaturas, siglas y acrónimos

ACO "Ant Colony Optimization", Optimización por Colonias de Hormigas

B&B "Branch and Bound", Ramificación y acotación

B&C "Branch and Cut", Ramificación y corte

BIL "Programme Bilinéaire", Programa Bilineal, BP

BILD "Programme Bilinéaire Disjoint", Programa Bilineal Disjunto, UBP

BLP "Binary Linear Program", Programa Lineal Binario; mejor usar ILP 0-1 para evitar confusión con los programas bilineales

BP "Bilinear Program", Programa Bilineal, BIL

BPCC "Bilinear Program with Complementarity Constraints", Programa Bilineal con Restricciones de Complementariedad

BPEC "Bilinear Program with Equillibrium Constraints", Programa Bilineal con Restricciones de Equilibrio

BPP "Bilevel Programming Problem", Problema de Programación Binivel

CDF "Cumulative Distribution Function", Función de Distribución Acumulada

CP "Complementarity Problem", Problema de Complementariedad

DE "Differential Evolution", Evolución Diferencial

DEM "Discrete Element Method", Método de los Elementos Discretos

e.g. "exempli gratia", por ejemplo

EA "Evolutionary Algorithms", Algoritmos Evolutivos

EDA "Estimation of Distribution Algorithms", Algoritmo de Estimación de Distribuciones

ELCP "Extended Linear Complementarity Problem", Problema de Complementariedad Lineal Extendido

ES "Evolution Strategy", Estrategia de Evolución

Fact Conjunto de soluciones factibles

FEA Conjunto de soluciones factibles

GA "Genetic Algorithm", Algoritmo Genético

GLS "Guided Local Search", Búsqueda Local Guiada

i.e. "id est", esto es

i.i.d. Independientes e idénticamente distribuidos

ILP "Integer Linear Program", Programa Lineal Entero

375

ILP 0-1 "Integer Linear Program 0-1" o "Binary Linear Program", Programa Lineal Binario; mejor que BLP para evitar confusión con los programas bilineales

IMP "Interior Point Methods", Métodos de Punto Interior

KKT Karush-Kunh-Tucker (condiciones de óptimo de ...)

LCP "Linear Complementarity Problem", Problema de Complementariedad Lineal

LCP-disjunto "Uncoupled Linear Complementarity Problem", Problema de Complementariedad Lineal Disjunto

LP "Linear Program", Programa Lineal

LPCC "Linear Program with Complementarity Constraints", Programa Lineal con Restricciones de Complementariedad

LPEC "Linear Program with Equillibrium Constraints", Programa Lineal con Restricciones de Equilibrio

LPLCC "Linear Program with Linear Complementarity Constraints", Programa Lineal con Restricciones de Complementariedad Lineales, generalmente llamado LPCC

LMCP "Linear Mixed Complementarity Problem", Problema de Complementariedad Lineal Mixto, en ocasiones llamado impropiamente MCP

MBLP "Mixed Binary Linear Program", Programa Lineal Mixto Binario, mejor MILP 0-1

MCP "Mixed Complementarity Problem", Problema de Complementariedad Mixto

MILP "Mixed Integer Linear Program", Programa Lineal Mixto Entero

MILP 0-1 "Mixed Binary Linear Program", Programa Lineal Mixto Binario

MP "Mathematical Program", Programa Matemático

MPCC "Mathematical Program with Complementarity Constraints", Programa Matemático con Restricciones de Complementariedad

MPEC "Mathematical Program with Equillibrium Constraints", Programa Matemático con Restricciones de Equilibrio

NCP Referido a funciones, funciones cuyos 0 corresponden con las soluciones del CP

NFL "No Free Lunch Theorems", Teoremas No hay Almuerzo Gratis o Nada Es Gratis

NLP "Nonlinear Program", Programa No Lineal

NP "Nondeterministic Polynomial", No determinista Polinomial

NP-completo "Nondeterministic Polynomial-complete", No determinista Polinomial-completo

NP-hard NP-difícil

NP-difícil "NP-hard"

NFL "No Free Lunch", no hay almuerzo gratis, nada es gratis (teorema ...)

OO "Ordinal Optimization", Optimización Ordinal

OR Operations research, Investigación de Operaciones o Investigación Operativa

P "Polynomial", Polinomial

376

PD Positiva Definida, referido a una matriz

PDF "Probability Density Function", Función de Densidad de Probabilidad

PR "Path Relinking ", Reencadenamiento de Trayectorias

Prob Probabilidad

Prob_iC Probabilidad de inicio de colapso, cP

PSD Positiva Semi-Definida, referido a una matriz

P-UBPA "Penalized-Uncoupled Bilinear Program Algorithm", Algoritmo para Programa Bilineal Disjunto con Penalización, empleado para hallar un óptimo de un LPCC

QP "Quadratic Program", Programa Cuadrático

RS "Random Search", Búsqueda Aleatoria

SA "Simulated Annealing", Recocido Simulado (o Templado Simulado)

SOCCP "Second Order Cone Complementarity Problem", Problema de Complementaridad Cónica de Segundo Orden

SOCP "Second Order Cone Program", Programa Cónico de Segundo Orden

Sol Conjunto de soluciones

SOL Conjunto de soluciones

SQP "Sequential Quadratic Programming", Programación Cuadrática Secuencial

SS "Skew-Symmetric", Antisimétrica, referido a una matriz

SS "Scatter Search", Búsqueda Dispersa

TS "Tabu Search", Búsqueda Tabú

UBP "Uncoupled Bilinear Program", Programa Bilineal Disjunto, BILD

UBPA "Uncoupled Bilinear Program Algorithm", Algoritmo para Programa Bilineal Disjunto, empleado para hallar una solución de un LCP

UCP "Uncoupled Complementarity Problem", Problema de Complementariedad Disjunto o No Acoplado

ULCP "Uncoupled Linear Complementarity Problem", Problema de Complementariedad Lineal Disjunto, LCP-disjunto

Vert Conjunto de vértices

VI "Variational Inequalities", Desigualdades Variacionales

vs. "versus", frente a, por oposición a, contra

XLCP "Extended Linear Complementarity Problem", Problema de Complementariedad Lineal Extendido

377

Símbolos

b Ancho

jkb Ancho de la junta (cara de contacto) jk

t =B H Matriz de equilibrio

ti i=B H Matriz de equilibrio para el bloque i

t =B s f Restricciones de equilibrio

ti i i=B s f Restricciones de equilibrio para el bloque i

e Excentricidad

e Vector de deformaciones

jke Vector de deformaciones para la junta jk

( , , )jk jk kj jkδ= ∆ ∆e En notación de Livesley

( , , )jk jk kj jkε γ= Θe En notación estándar , ,ε γΘ

F, f Acción paralela a la superficie de contacto a la que se opone la componente de la reacción correspondiente al rozamiento, aparece en algunos ejemplos simples y en referencias históricas

f Vector de acciones nodales

if Vector de acciones nodales para el bloque i

( , , )i xi yi zi=f f f m Según sus componentes

i i iλ= +f q g Descompuesto en acciones fijas y variables

( , ...)f x y Función de las variables x,y... En programación matemática, función objetivo

( ) 0f σ = En cálculo plástico, a veces, superficie de cedencia o fluencia

g Proporción de elementos de la muestra que se consideran buenos (que cumplen el criterio de aceptación fijado), G/U

g Vector de peso propio ó acciones permanentes

ig Vector de peso propio ó acciones permanentes para el bloque i

( ) 0g σ = En cálculo plástico, a veces, potencial plástico

( , , )g x y z En programación matemática, restricción en x,y,z , generalmente de tipo ≥

G Número, o magnitud equivalente, de elementos de la muestra que se consideran buenos (que cumplen el criterio de aceptación fijado)

G-surface Superficie-G, potencial plástico, especialmente cuando no coincide con la superficie de fluencia

( , , )h x y z En programación matemática, restricción en x,y,z , generalmente de tipo =

378

H Matriz de equilibrio (llamada tB en este trabajo)

H Matriz Hessiana

k Numero de orden de menor a mayor que ocupa un especimen en la muestra

tL Matriz de cedencia ("yield")

0t− = ≥L s y Restricción de cedencia

M Momento

M Momento partido por b/2

M Matriz genérica, de cuyas propiedades (y en particular la clase a la que pertenece) depende la dificultad de resolución de los problemas en los que interviene

N Normal, fuerza

cN Valor máximo del normal a compresión

tN Valor máximo del normal a tracción

jkN , kjN "Tensiones" normales en los extremos de la junta

cP Probabilidad de inicio de colapso, Prob_iC

q Vector de cargas "vivas" ó acciones variables

iq Vector de cargas "vivas" ó acciones variables para el bloque i

Q Peso

r Vector de constantes que expresan la distancia desde las restricciones de cedencia al origen

R Reacción, fuerza

ℝ Conjunto de los números reales

nℝ Conjunto de los vectores cuyos componentes son n números reales

nℜ Espacio de n dimensiones

s, S Número de especímenes (cálculos, comprobaciones, ensayos ...) de una muestra También referido como "tamaño de la muestra"

s Vector de "tensiones"

jks Vector de "tensiones" en la junta jk.

( , , )jk jk kj jkN N V=s En notación de Livesley

( , , )jk jk jk jkN M V=s En notación estándar N/M/V

is Vector de "tensiones" para el bloque i con caras jk,kl...mn

...i jk kl mn = s s s s

T Tangencial, fuerza

u Vector de movimientos nodales

iu Vector de movimientos nodales para el bloque i

379

( , , )i xi zi iu u θ=u

xiu Movimiento nodal según el eje x para el bloque i

ziu Movimiento nodal según el eje z para el bloque i

U Universo muestral

V Matriz de fluencia

V Tangencial

jkV "Tensión" tangencial en la junta jk

w Espesor

EW Trabajo de las acciones exteriores

IW Trabajo de las reacciones interiores

y Vector de holguras de las de las restricciones de cedencia

... ... tt

a a b z a a b zy y y y y y y y+ − + −

+ − + − = = y

iy Holgura de la restricción de cedencia i

Y Conjunto de puntos que cumplen las restricciones estáticas, poliedro que definen

z Vector de "multiplicadores plásticos"

... ... tt

a a b z a a b zz z z z z z z z+ − + −

+ − + − = = z

jkz Vector de "multiplicadores plásticos" para la junta jk

Z Conjunto de puntos que cumplen las restricciones cinemáticas, poliedro que definen

ℤ Conjunto de los números enteros

,α β Ángulos "geométricos"

jkδ "Deformación" tangencial en la junta jk

jk∆ , kj∆ "Deformaciones" normales (apertura o solape) en los extremos de la junta jk

ε Deformación. Desplazamiento perpendicular a la cara de contacto

ε Valor positivo tan pequeño como se desee

dϕ Ángulo de deslizamiento

, sϕ ϕ Ángulo de rozamiento

tagφ ϕ= Coeficiente de rozamiento

γ Desplazamiento paralelo a la cara de contacto

λ Factor de carga (escalar) por el que se mayora (ó minora) el conjunto de acciones variables

iCλ Factor de carga de inicio de colapso

maxλ Factor de carga máximo

minλ Factor de carga mínimo

380

tµ = y z Error de complementariedad en forma bilineal

tagµ ϕ= Coeficiente de rozamiento, sólo en referencias históricas

ν Factor de ponderación (escalar)

π Factor de ponderación (escalar)

ρ Factor de penalización (escalar)

σ Tensión, tensión normal

cσ Tensión máxima a compresión

tσ Tensión máxima a tracción

2Xσ o 2σ : Varianza estadística

τ Tensión tangencial

iθ Giro nodal según el eje y para el bloque i

Θ Giro relativo entre caras en contacto

Θ Θ por b/2

ψ Ángulo que forma la linealización de la superficie de cedencia con el eje de las N

+• Modo de colapso • en el sentido positivo

−• Modo de colapso • en el sentido negativo

∀ para todo

∃ existe al menos un

!∃ existe un único

| tal que

: tal que

¬ no lógico, negación (not)

∧ y lógico, conjunción, (and)

∨ o lógico, disyunción, (or)

⇒ Implicación (a b⇒ a implica b)

⇔ Equivalencia (a b⇔ a equivale a b, es lo mismo que a b b a⇒ ∧ ⇒ )

⊥ Ortogonalidad entre vectores (su producto escalar o interno es 0)

[ ],a b Intervalo entre a y b, ambos incluidos

( )1 2 3, ,x x x=x Vector

[ ]

1 2 3

tx x x=x Vector columna

[ ]1 2 3x x x= tx Vector fila

11 12

21 22

x x

x x

=

X Matriz

381

11 21

12 22

x x

x x

=

tX Matriz transpuesta de X

ta b Producto escalar de los vectores a,b

⋅a b Producto escalar de los vectores a,b

1ℓ Norma de primer orden, en métodos de penalización

x Valor absoluto de x

x Norma de orden 2 de x, norma euclidea de x

, , ( , , )x y x f x y z∇ Gradiente de la función ( , , )f x y z respecto a x,y,z

( , , )f x y z∇ Gradiente de la función ( , , )f x y z respecto de x,y,z

, , ( )x y xgrad f Gradiente de la función ( , , )f x y z respecto a x,y,z

1

n

ii

x=∑ Sumatorio, 1 2 ... nx x x+ + +

1

n

ii

x=

∏ Multiplicatorio, 1 2... nx x x

lim( )x a→

Límite cuando x tiende a a

!n Factorial de n

n

a

Combinaciones de n elementos tomados de a en a

{ } Conjunto vacío

{ }A ,A Conjunto A

{ } , b ...a Conjunto de elementos , ...a b

{ }# A Número de elementos del conjunto A

A B× Producto cartesiano de los conjuntos A y B

A B∪ Unión de los conjuntos A y B

A B∩ Intersección de los conjuntos A y B

Aa ∈ Pertenencia de un elemento a a un conjunto A

A B⊂ Inclusión de un conjunto A en otro B

382

Documents

El problema del rozamiento en el análisis de estructuras de fábrica