1Katedra stavební mechaniky

Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Pružnost a plasticita II., 3.ročník bakalářského studia, přednášky Janas 2010, 2011

Téma 1Základní rovnice teorie pružnosti

• Základní informace o výuce a hodnocení předmětu PP II• Úvodní poznámky a základní předpoklady• Napětí a deformace• Analýza napjatosti a deformace v okolí bodu tělesa• Rovnice rovnováhy• Geometrické rovnice• Fyzikální rovnice

2

Základní informacePředmět: 228-0211/01 - Pružnost a plasticita IIPřednášející: Doc. Ing. Petr Janas, CSc.Spojení:

tel: 59 732 1308 e-mail: petr.janas@vsb.cz

Přednášky a informace:http://fast10.vsb.cz/janas

3

Osnova přednášek

1. Základní rovnice teorie pružnosti.2. Rovinný problém, stěnová rovnice. 3. Metody řešení stěn.4. Desky, technická teorie tenkých desek, tlusté

desky.5. Desky, metody řešení desek. 6. Kruhové desky.7. Skořepiny.8. Modely podloží, pružný poloprostor.9. Stabilita prutových konstrukcí, Eulerovo řešení.10.Nelineární chování materiálů, podmínky

plasticity.11.Rámy s plastickými klouby.

4

Osnova cvičení

1. Úvodní cvičení, transformace složek napětí2. Řešení stěn pomocí Airyho funkce3. Řešení stěn pravoúhlých metodou sítí, zadání 1. programu4. Řešení pravoúhlých stěn metodou sítí,

1. písemka transformace napětí5. Řešení pravoúhlých desek metodou sítí, zadání 2. programu6. Řešení pravoúhlých desek metodou sítí7. Řešení kruhových a mezikruhových desek8. Skořepinové konstrukce, membránový stav9. Nosník na pružném podkladě, numerické řešení

2. písemka, kruhové a mezikruhové desky 10. Stabilita prutových konstrukcí, numerické řešení11. Stabilita prutových konstrukcí, numerické řešení12. Mezní plastická únosnost prutových konstrukcí13. Mezní plastická únosnost prutových konstrukcí,

3. písemka, mezní únosnost nosníků14. Zápočet

5

Literatura[1] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v

stavebníctve 1, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2004.

[2] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 2, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2006.

[3] Teplý, B., Šmiřák, S., Pružnost a plasticita II. Nakladatelství VUT Brno, 1993.

Další doporučená literatura:[4] Šmiřák, S., Pružnost a plasticita I. Nakladatelství VUT Brno,

1999. [5] Bittnar, Z., Šejnoha, J. Numerické metody mechaniky, ČVUT,

Praha, 1992[6] Novák, O. a kol Technický průvodce 3. Nauka o pružnosti a

pevnosti ve stavitelství, SNTL, Praha, 1963

6

Hodnocení zápočtuPředpoklady pro získání zápočtu: Uznaný zápočet z předmětu SSKI 70% účast na cvičení, neúčast musí být řádně omluvená Zvládnutí 3 písemných prací Zvládnutí 2 programů Získání minimálně 18 bodů z 35 možnýchBodování na cvičení: 3 písemky

- 7 až 4 bodů - první opravná - 6 až 4 body- další opravné – max. 4 body

2 programyvčas a správně 7 bodů, včas a chybně po první správné opravě 5 bodů, po druhé správné opravě 4 body, po další správné opravě 3 bodypozdě a správně 5 bodů, po první správní opravě 4 body, po další správné opravě 3 body

7

Hodnocení zkouškyPředpoklad zápisu ke zkoušce

- úspěšné absolvování zkoušky z SSK I- získání zápočtu z PP II

Podmínka úspěšného absolvování zkoušky- Úspěšné vykonání ústní i písemné části zkouškyPísemná část 0 až 35 bodůPodmínkou pro postup k ústní zkoušce je min. 18 bodů z písemné části zkouškyÚstní část 0 – 30 bodů, pro vykonání min. 15Známky: 86 – 100 bodů 1

66 – 85 bodů 251 – 65 bodů 3

8

Základní předpoklady teorie pružnostiLátka tělesa je homogenní, může být přitom

a) izotropní b) anizotropní dokonale pružná a to a) lineárně b) nelineárně (nebudeme se zatím zabývat) deformace tělesa působením vnějších vlivů jsou

malé – geometricky lineární teorie pružnosti počáteční napjatost je nulová, nepůsobí-li na

těleso vnější síly.

9

Lineární pružnostPokud formuluje podmínky rovnováhy na:nedeformovaném tělese (důsledek předpokladu malých deformací a jejich zanedbatelný vliv na tyto podmínky) hovoříme o teorii prvního řádu,deformovaném tělese (důsledek nezanedbatelného vlivu předpokladu i malých deformací) hovoříme o teorii druhého řádu. (nejedná se již o lineární pružnost)Předpoklad malých deformací a lineární závislosti mezi napětím a přetvořením (geometrická a fyzikální linearita) umožňuje využít princip superpozice

10

Princip superpoziceVýsledný stav, tj. výsledné zatížení a reakce, vnitřní síly, napětí, přemístění (deformace) je součtem jednotlivých zatěžovacích stavů.Nezáleží na pořadí v jakém jednotlivé zatěžovací stavy na těleso či konstrukci působí.

11

Klasifikace nosných konstrukcíPrut je trojrozměrné těleso, jehož jeden rozměr (délka) je podstatně větší než zbývající dva rozměry.Mohou mít proměnlivou délku, průřez, přímé i zakřivené. Plošný konstrukční prvek je trojrozměrné těleso, jehož dva rozměry jsou podstatně větší než zbývající jeden rozměr (tloušťka). Patří mezi ně desky, stěny s rovinnou střednicovou plochou a skořepiny se zakřivenou střednicovou plochou.Těleso je konstrukční prvek, jehož rozměry jsou srovnatelné.

12

Vnější síly a vnitřní síly Vnější síly:objemové (působí v elementech objemu), patří k nim: vlastní tíha, odstředivé síly atd.povrchové síly působí jako zatížení na ploše a to jako: spojité zatížení na ploše a na čáře (přímce) a bodové síly (singulární síly).

Objemové a plošné zatížení je reálné, bodové zatížení a zatížení na čáře je abstraktní, idealizuje zatížení plošné.

Vnitřní síly vznikají vlivem vnějšího zatížení, jsou jím indukovány.

13

Vnitřní síly Prutové prvky: o složkách vnitřních sil předpokládáme, že působí v těžišti. Jsou výslednicí elementárních sil (napětí) působících v určitém řezu a směru. Touto problematikou jste se zabývali v předmětu PP. Při jejich určení se vycházelo ze znalostí složek vnitřních sil

Plošné prvky a tělesa:je nutno se zabývat rozložením elementárních sil

14

Napětí

AFp n

n

Poměr elementární síly a velikosti plošky je poměrné napětí na této plošce:Směr napětí je shodný se směrem síly působící na danou plošku

n

n

n

n

An A

FAFp

ddlim

0

Zmenšujeme-li velikost plošky A k nule,dostaneme napětí pn v bodě:Základní jednotkou napětí je Pa [N/m2]

15

Napětí, pokračování

AV

AN

n dd

dd

nv

Při rozložení síly dFn do směru normály n a stopy v plošky dA je:

22nvnnp Platí přitom:

n je normálové napětí, působí ve směru normály n nv je smykové napětí, působí v rovině plošky dA ve směru stopy v síly dFn

16

Napětí, pokračování Smykové napětí nv lze na plošce dA

rozložit do směrů os t a s:

22ntnsnv Opět platí:

Bodem tělesa můžeme proložit libovolný počet řezů. Každé plošce odpovídá jiný vektor napětí pn.Množina vektorů napětí pn, odpovídající všem orientovaným ploškám v daném bodě, charakterizuje napěťový stav v tomto bodě.

17

Deformace

lll d´dd Změna délky:Poměrná délková změna:Změna úhlů, pootočení:

Pojem deformaceHledisko fyzikální: deformace pružné a nepružnéHledisko geometrické: posunutí a pootočení

tglll

ll

ddd

dd

18

Deformace, pokračování

zyxV

zzyyxxV

zyx ddd111´ddddddd´d

zyxVVV

VVV

dddddd

d´dd

Změněný objem:

Změna objemu:Poměrná objemová změna:Původní objem:

zyxxzzyyxzyx

zyx

zyxzyx

VVV

dddddd111

dd´d

Poměrná objemová změna:

Pro malé deformace jsou poměrné deformace řádově menší k jedničce a lze psát:

zyx

19

Analýza napjatosti v okolí bodu tělesa

Vektorový zápis pn:

Vektor pn je vždy vázán na orientovanou plošku určenou normálou n. Má tři složky:n ns nt

321 eeep ntnsnn

e1, e2, e3 jsou jednotkové vektory ve směrech n, s, tPro určení napětí v daném bodě M v libovolné plošce musíme znát tři složky napětí ve třech vzájemně kolmých ploškách např. s normálami n, s, t. Složek napětí v bodě je tedy 9.

20

Analýza napjatosti v okolí bodu tělesa, pokračování Zápis 9 složek napětí v maticovém tvaru

se nazývá tenzor napětí:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

Označování indexů:U normálových napětí se zpravidla užívá jeden index, má směr normály k příslušné plošce a současně směr napětí. U smykových napětí má první index směr normály k příslušné plošce, druhý index směr smykového napětí.

21

Analýza napjatosti v okolí bodu tělesa, vzájemnost smykových napětí

xzzxyxxy

zyyz

zyyz

xt

zyxyzx

M

,

obdobně a úpravě po

02ddd2

2ddd2

0

Z momentové podmínky k ose x procházející těžištěm elementu vyplývá:

Vzájemnost smykových napětí protínajících se v jednom bodě na ortogonálních ploškáchVzhledem k těmto rovnostem lze napětí v bodě charakterizovat také vektorem napětí: Tzxyzxyzyx ,,,,,,

22

Transformace složek tenzoru napětíZnáme-li napětí v bodě, tj. ve třech vzájemně ortogonálních ploškách dAx,dAy, dAz můžeme určit napětí na libovolně orientované plošce dA. Orientace této plošky je dána normálou n. Transformační vztahy vyplývají z rovnováhy sil působících na čtyřstěnu ON1N2N3.

1

dd ,cos

dd ,cosdd ,cos

222

zyx

zzz

yyy

xxx

nnn

nAAznn

nAAynnnAAxnn

nx, ny,nz jsou směrové kosiny úhlů, které svíránormála n s osami x, y, z.

23

Transformace složek tenzoru napětí

222

:úpravě po

0dddd0

0dddd0

0dddd0

nznynxn

zzyyzxxznz

zzyyyxxyny

zzxyyxxxnx

zzyyzxxznzz

zzyyyxxynyy

zzxyyxxxnxx

pppp

nnnp

nnnp

nnnp

nAnAnAApF

nAnAnAApF

nAnAnAApF

np Tn

T

Podmínka rovnováhy sil na čtyřstěnu:

Platí:V maticovém tvaru lze zapsat: je transponovaná matice tenzoru napětí,

Tzyx nnnn ,,

24

Transformace složek tenzoru napětí, rozpis maticového zápisu

npnnn

ppp

Tn

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

nz

ny

nx

T

Tzyx nnnn ,,

zzyyzxxznz

zzyyyxxyny

zzxyyxxxnx

nnnp

nnnp

nnnp

Platí-li:

lze také zapsat:

je transponovaná matice

zzyzx

yzyyx

xzxyx

25

Transformace složek tenzoru napětí,pokračování

22

222

2

:úpravě a , , za dosazení po

nnnt

xzxzzyyzyxxy

zzyyxxn

nznynx

znzynyxnxn

p

nnnnnn

nnn

ppp

npnpnp

Normálová složka n vektoru pn je dána součtem průmětů složek pnx , pny a pnz do směru normály n

Směr výsledného smykového napětí nt je dán přímkou t, která je průsečnicí roviny plošky dA s rovinou danou normálou n a vektorem pn.

26

Transformace složek tenzoru napětí,pokračování

zsysxs

sss

szmymxm

mmm

m

spspsp

mpmpmp

z

y

x

z

y

x

znzynyxnxzxns

znzynyxnxyxnm

,cos,cos,cos

a ,cos,cos,cos

kde11

11

Na obr. je osa x1 pootočeného souřadného systému x1, y1, z1 totožná s normálou n. Složky smykového napětí nt=x1t , do směru m=y1 a do směru s=z1 jsou:

Po dosazení za pnx, pny, pnz je:

xzxzzyzyzyyz

yxyxxyzzzyyyxxxns

xzxzzyzyzyyz

yxyxxyzzzyyyxxxnm

nssnnssn

nssnsnsnsn

nmmnnmmn

nmmnmnmnmn

27

Transformace složek tenzoru napětíNíže uvedené rovnice umožňují získat tři složky tenzoru napětí na plošce s normálou n=x1 v souřadnicovém systému x1, y1, z1.

xzxzzy

zyzyyzyxyxxy

zzzyyyxxxnszx

xzxzzy

zyzyyzyxyxxy

zzzyyyxxxnmyx

xzzxzyyzyxxy

zzyyxxnx

nssn

nssnnssn

snsnsn

nmmn

nmmnnmmn

mnmnmn

nnnnnn

nnn

2

11

11

1

222

Obdobně lze získat složky tenzoru napětí na ploškách s normálami y1=m, z1=s.

28

Transformace složek tenzoru napětí,maticový zápis

,1

zzz

yyy

xxx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zyx

zyx

zyx

zyzxz

zyyxy

zxyxx

smnsmnsmn

sssmmmnnn

11111

11111

11111

Transformaci devíti složek napětí ze souřadnicového systému x, y, z do souřadnicového systému x1, y1, z1, lze maticově zapsat:

Maticový zápis lze zkráceně symbolicky zapsat:

TLL 1

jsou matice tenzoru napětí v souřadném systému x1, y1, z1 a x, y, z .

[L], [L]T jsou matice pootočení a transponovaná matice pootočení

29

Rovinný stav napjatosti tělesa

zzx

xzx

0000

0

Je-li v libovolném bodě tělesa ploška, ve které jsou složky napětí nulové, pak hovoříme o rovinné napjatosti.Nenulové složky napětí jsou pak s touto ploškou rovnoběžné. Na obr. jsou nulová napětí v rovině s normálou y, tj. v rovině xz. Složky napětí x,z,xz,zxjsou s touto rovinou rovnoběžné.Maticově lze tenzor napjatosti vyjádřit:

S rovinnou napjatosti se setkáváme např. u stěn nebo u nosníků.

Napětí při rovinné napjatosti lze vyjádřit také vektorově:

Txzzx ,,

30

Přímkový stav napjatosti tělesa

000

000

00x

Můžeme-li libovolným bodem tělesa proložit svazek rovin, ve kterých jsou složky napětí nulové, pak hovoříme o přímkové napjatosti.Jediná nenulové složka napětí je v přímce, ve které se svazek rovin protíná. Je-li touto přímkou osa x, lze maticově tenzor napjatosti vyjádřit:

Vektorově lze napsat:S přímkovou napjatostí se setkáváme např. u lan nebo u táhel.

Svazek rovin, ve kterých nepůsobí napětí

Společná přímka svazku rovin

x

31

Transformační vztahy pro rovinný stav napjatosti

TLL 1

10coscosm 090coscoscos

coscoscos sin90coscos

090coscos 090coscos -sin270coscos coscos

y

11

11

11

yyyzmyxmzzszxn

yzsyxnxzsxxn

zx

zz

yy

xx

Při transformaci je důležité si uvědomit orientaci úhlu (od osy x k ose x1 pravotočivě).Vyjdeme-li z rovnice: , pak je nutno vyjádřit matici [L]. Platí:

zxz

zxx

zzx

xzxT

zzz

yyy

xxxT

zyx

zyx

zyx

LL

smnsmnsmn

Lsssmmmnnn

L

cossinsincos

cossinsincos

:tzjednoduši lzenapjatost rovinnou Pro

cos0sin010

sin0cos

cos0sin010

sin0cos

111

1111

32

Transformační vztahy pro rovinný stav napjatosti

TLL 1Vyjdeme-li z rovnice:

cosc sin zde je

cossin

sincos

cossin

sincos

22222

2222

1

111

111

111

111

111

111

s

cscscsscssc

scscscsscscc

cssc

cssc

cs

sc

zxzzxxzxzzxx

zxzzxxzxzzxx

zzx

xzx

zxzzxz

zxxzxx

zzx

xzx

zxz

zxx

zzx

xzx

33

Transformační vztahy pro rovinný stav napjatosti

Po úpravě:

2sincossin

2sin2

2cos

2sinsincosje

cosc sin kde

22

22

2222

2222

1

1111

1

111

111

xzzxz

zxxzxzzx

zxzxx

zxzzxxzxzzxx

zxzzxxzxzzxx

zzx

xzx

s

cscscssccssc

scscscsscscc

z1 lze odvodit ze vzorce pro x1

je-li pootočení =+/2

34

Věta o 1. invariantu tenzoru napětí

zxzx

xzzxz

zxzxx

11

1

1

2sincossin

2sinsincos22

22

Sečteme-li normálová napětí,

platí

Součet normálových napětí v okolí bodu na libovolných dvou ortogonálních ploškách je konstantní

35

Hlavní normálová napětí

0 je 02sin212cos

protože ,02sin212cos

02cos2cossin2sincos2 Platí

2sinsincos

1111

1

1

22

zxzxxzzx

zxxz

xzzxx

xzzxx

dαdσ

Je-li znám tenzor nebo vektor napětí v souřadném systému x, y, pak je často nutné určit směry a hodnoty extrémních normálových napětí. Lze vyjít ze vzorce:

Největší normálové napětí je v rovině, v níž je smykové napětí nulové. Této rovině říkáme hlavní rovina a příslušnému normálovému napětí hlavní napětí. Úhel potočení e roviny xz do hlavní roviny neurčuje jednoznačně směr maximálního a minimálního napětí:

zx

xzetg

22

36

Hlavní normálová napětí

exzezeez

ezxexeex

ατασασpατασασp

cossinsinsincoscos

222,1 4

21

2 xzzxzx

e

Řešení těchto dvou rovnic vede ke kvadratické rovnici s řešením:

e hlavní normálové napětíZ rovnic rovnováhy ve směru x a z vyplývá:

Hlavním napětím přiřazujeme zpravidla indexy > 2

Směry 1, 2 hlavních napětí 1 a 2 lze jednoznačně určit ze vztahů:

z2

xz2

z1

xz1

tgtg

37

Maximální smyková napětíZnáme-li maximální normálová napětí,

lze normálové napětí x´ a smykové napětí xź´vyjádřit:

21s21extr

21´´

21´´2

22

1´

21

21

4

4

02cos 02cos221 0

2sin21 sincos

dd zx

zxx

Maximální (extrémní)smyková napětí budou na plochách hlavních smyků při hodnotách vyplývajících z rovnice:

Na těchto plochách budou působit maximální smyková napětí extr a normálové napětí s:

Hlavní roviny

38

Mohrova kružnice

z2

xz2

z1

xz1

tgtg

39

Mohrova kružnice

1. Souřadný systém volíme tak, že osa odpovídá x, osa pak ose z2. Vyneseme bod A (x, xz) - xz má stejnou orientaci jako t1, je proto kladné

(nahoru).3. Vyneseme bod B (z, zx) - zx má opačnou orientaci jako t1, je proto záporné

(dolů). Poznámka: pro orientaci je rozhodující směr otáčení ! Pozor na volbu os xz

případně xy.4. Střed kružnice S je průsečík spojnice AB s osou , poloměr odpovídá úsečce AS

a BS, maximální napětí je v bodě X(1, 0) kružnice, minimální bodě Y(2, 0) kružnice.

Extrémní hodnoty smykových napětí určují body C a D. 5. Pól Mohrovy kružnice P je průsečík kružnice a rovnoběžky s osou x (s) vedenou

bodem A, respektive průsečík kružnice s přímkou rovnoběžnou s osou z () vedenou bodem B.

6. Spojnice PX určuje směr hlavního napětí 1, spojnice PY směr hlavního napětí 2.

7. Chceme-li určit napětí na plošce s normálou x1 pootočenou od x o , vedeme rovnoběžky s osami x1 a z1 z pólu P – body M a N.

Orientace dle směru otáčení

40

Mohrová kružnice pro jinou orientaci osviz skripta Šmiřák, S., Pružnost a plasticita I. Nakladatelství VUT Brno, 1999.

Směr osy x odpovídá ,směr osy y odpovídá

41

Speciální případy napjatostiČistý smyk

Příklady rovinné napjatosti 3=0 s maximálními smykovými napětími

Přímková napjatost

42

Trajektorie hlavních napětíTažený prut

Ohýbaný nosník

43

Trajektorie hlavních napětí

Kroucený prutoba směry Mx

44

Diferenciální rovnice rovnováhy

dále a zkráceně nebo

),,(),,(),,(´

´´

´

dxx

dxx

dxx

dxx

zyxzyxzydxx

xzxzxz

xyxyxy

xxx

xxx

Složky napětí na posunutých ploškách lze zapsat:

45

Diferenciální rovnice rovnováhy, pokračování

0

dzdydxXdydxdydxdzx

dzdx

dzdxdyx

dzdydzdydxx

zxzx

zxyx

yxyxx

xx

Ve směru osy x platí podmínka

rovnováhy: Fx= 0

Po úpravě: 0

X

zyxzxyxx

46

Diferenciální rovnice rovnováhy, pokračování

Po rozepsání rovnic rovnováhy ve směru os x, y a z lze odvoditCauchyho rovnice rovnováhy:

0

0

0

Zzyx

Yzyx

Xzyx

zyzxz

zyyxy

zxyxx

47

Geometrické rovnice

yu

xv

yv

xu

yu

xv

dxyvdy

udyyuu

dxxudx

vdxxvv

yv

dy

vdyyvv

xu

dx

udxxuu

yx

yx

xy

xy

xw

zu

zw

zv

yw

yv

yu

xv

xu

zxz

yzy

xyx

V rovině:

V prostoru:

48

Geometrické rovnice, rovnice kompatibility (spojitosti)

:úpravě po

, ,

xy2

2

y2

2x

2

2

3

2

32

2

3

2

y2

2

3

2x

2

xyyx

yxxy

xyv

yxu

yxxyv

xyxu

y

xv

yu

yv

xu

xy

Obdobně lze odvodit:

yxzyxz

xzyxzy

zyxzyx

xzzxyzyz

zxyzxyz

yzxyzxy

xyzxyzx

zxxzyzzy

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

dále aRovnice kompatibility popisují vzájemnou závislost složek deformací, zachování spojitosti tělesa i po vzniku deformací

49

Fyzikální rovnice (konstituční vztahy), vztahy mezi napětími a deformacemi

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

dddddd

dddddd

dddddd

dddddd

dddddd

dddddd

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

Vztahy mezi napětím a poměrnými deformacemi závisí na fyzikálních vlastnostech látek. Pro lineárně pružný materiál je lze vyjádřit v maticové formě:

Zkráceně lze zapsat: D

D je matice tuhosti je vektor deformace je vektor napětídij jsou konstanty

vyjadřující velikost napětí při jednotkové poměrné deformaciMatice D je symetrická, dij=dji.

50

Fyzikální rovnice, vztahy mezi deformacemi a napětím

D

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

Inverzním vztahem k rovnici je

C je matice poddajnosti

je vektor deformace je vektor napětícij jsou koeficienty

deformace, vyjadřují poměrnou deformaci při jednotkovém napětí

Matice C je symetrická, platí cij=cji.

CD 1

51

Fyzikální rovnice, maticový a tenzorový zápis,anizotropní látka

CDD 1

Maticový zápis fyzikálních rovnic:

Tenzorový zápis fyzikálních rovnic:

klijklijklijklij cd

V anizotropní látce jsou fyzikální vlastnosti v každém směru různé.Počet nezávislých konstant nebo koeficientů je maximálně 21.

52

Fyzikální rovnice, izotropní látka vztahy mezi deformacemi a napětími, rozšířený Hookův zákon

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

E

1200000

0120000

0012000

0001

0001

0001

1

Počet nezávislých konstant je 2.E je modul pružnosti [Pa] resp. [MPa], [GPa] je Poissonovo číslo <0, 0,5>

V izotropní látce jsou fyzikální vlastnosti ve všech směrech stejné

53

Fyzikální rovnice, izotropní látka vztahy mezi deformacemi a napětími, rozšířený Hookův zákon, pokračování

GEE

GEE

GEE

E

zxzxzxyxzz

yzyzyzxzyy

xyxyxyzyxx

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

12 1

12 1

12 1

120000001200000012000000100010001

1

Po rozepsání

je

54

Fyzikální rovnice, izotropní látka vztahy mezi napětími a deformacemi, Hookův zákon

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

E

22100000

02210000

00221000

0001

0001

0001

211

Počet nezávislých konstant je 2.

V izotropní látce jsou fyzikální vlastnosti ve všech směrech stejné

55

Fyzikální rovnice, izotropní látka vztahy mezi napětími a deformacemi, Hookův zákon

zxxyzxyxzz

yzxyyzxzyy

xyxyxyzyxx

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

GEE

GEE

GEE

E

12 1

211

12 1

211

12 1

211

22100000

02210000

00221000

000100010001

211

je:

Po rozepsání:

56

Fyzikální rovnice, ortotropní látka vztahy mezi deformacemi a napětími, rozšířený Hookův zákon

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

zy

zy

x

zx

z

yz

yx

yx

z

xz

y

xy

x

zx

yz

xy

z

y

x

G

G

G

EEE

EEE

EEE

100000

010000

001000

0001

0001

0001

V ortotropní látce jsou fyzikální vlastnosti ve třech vzájemně kolmých směrech odlišné. Hovoří se o ortotropní anizotropii. Jestliže se směry os x, y, a z ztotožní se směry roviny pružné symetrie jepočet nezávislých konstant nebo koeficientů 9.Musí platit:

z

xz

x

zx

y

zy

z

yz

y

xy

x

yx

EEEEEE

Ex, Ey, Ez jsou moduly pružnosti ve směru os x, y, z

xy je Poissonovo číslo dané poměrem příčné deformace ve směru osy x k podélné deformaci ve směru osy y

Gxy, Gyz, Gzx jsou moduly pružnosti ve smyku s indexy označujícími rovinu smyku

57

Základní systém rovnice teorie pružnostiObsahuje 15 neznámých funkcí:6 složek napětí (x, y, z, xy, yz, zx)6 složek deformace (x, y, z, xy, yz, zx)3 složky posunutí (u, v, w)Těchto 15 neznámých lze určit ze:3 parciálních diferenciálních rovnic rovnováhy6 geometrických rovnic6 fyzikálních rovnicNa povrchu tělesa musí být splněny podmínky odpovídající zatížení a vazbám – okrajové podmínky

58

Druhy okrajových podmínek1. Statické okrajové podmínky, na povrchu tělesa

jsou zadána povrchová zatížení svými složkami Složky napětí na povrchu tělesa px, py, pz musí být

s nimi v rovnováze. Musí tedy platit:

zyx ppp ,,

zzyyxx pppppp

2. Deformační okrajové podmínky, na povrchu tělesa jsou zadány složky posunutínebo jejich derivace. Složky deformace povrchu u, v, w tělesa musí vyhovovat těmto podmínkám:

,, wvu

wwvvuu 3. Smíšené okrajové podmínky, na povrchu tělesa jsou zadána současně zatížení a deformace

59

Příklad, zadání, okrajové podmínky, zatížení

60

Příklad

Napětí x izolinie [MPa] barvy

61

Příklad

Napětí y izolinie [MPa] Napětí xy izolinie [MPa]

62

Příklad

Napětí 1 izolinie [MPa] Napětí 2 izolinie [MPa]

63

Použitá literatura

[1] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 1, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2004.

[2] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 2, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2006.