MAGNENTOSTATISTIKA

Priyo I Loblar (372368)

Samsul Fala Alaidin (372364)

BAB 5.MAGNENTOSTATISTIKA

5.1. Interaksi magnetik dari arus

5.2. Vektor potensial dan hukum ampere

5.3. Fluks magnetik, energi, dan induktansi

5.4. Momen dipol magnetik dan media magnetik

5.5. Bahan magnetik

5.6. Struktur kemagnitan liniear

5.1. Interaksi magnetik dari arus

Menurut hukum Coulomb, seharusnya tidak ada gaya di antara mereka. Namun eksperimen (terutama, oleh Hans Christian Oersted, Jean-Baptiste Biot dan Savart Félix, dan André-Marie Ampere di 1819-1823) telah membuktikan bahwa seperti gaya-gaya non-Coulomb memang ada dan merupakan manifestasi dari interaksi magnetik antara arus. Dalam gambar disamping, hasilnya dapat diringkas dengan satu rumus, dalam satuan SI di tunjukan sebagai:

Gbr. 5.1 Interaksi magnetik dari dua arus

(5.1)

Perhatikan bahwa hukum Coulomb (1.1) dapat disajikan, untuk distribusi muatan, dalam bentuk yang sangat mirip:

(5.2)

Selain koefisien yang berbeda dan tanda, perbedaannya adalah produk skalar dari densitas arus, jelas diperlukan karena karakter vektor dari arus. Kita akan melihat bahwa perbedaan ini akan membawa komplikasi tertentu dalam menerapkan pendekatan elektrostatika yang dibahas dalam bab-bab sebelumnya, untuk magnetostatics (5.3)

 

 

(5.4)

 

(5.5)

 

(5.6)

interaksi per satuan panjang dari kawat konstan:

(5.7)

Gambar. 5.2. Gaya magnet antara dua kawat sejajar.

(5.8)

 

(5.9)

(persamaan terakhir disebut hukum Biot-Savart.)

Gambar. 5.3. Pelanggaran nyata dari ke-3 Hukum Newton di magnetostatics.

Meskipun masalah ini jelas, kita masih maju dan memasukan persamaan (9) ke persamaan (8):

(5.10)

dengan menggunakan identitas aljabar vektor berikut(5.11)

menerapkan relasi ini pada persamaan 10 kita mendapatkan

(5.12)

 

(5.13)

 

(5.14)

(5.15)

ekspresi ini sangat mirip dengan persamaan (1.8) tetapi masih berbeda dengan hubungan yang sesuai dengan elektrostatistika

(5.16)

dan versi distribusi dari persamaan (1.6):

(5.17)

 

(5.18)

 

(5.19)

Menyimpulkan semua kontribusi tersebut, kita mendapatkan

(5.20)

Ini adalah hasil sederhana namun sangat penting. (Perhatikan bahwa itu hanya berlaku untuk sangat panjang (L d), kawat lurus.) ≫

Gambar. 5.4. Medan magnet dari (a) lurus, kawat panjang, dan (b) loop arus tunggal.

Sekarang kita dapat menggunakan Persamaan. (15), atau lebih tepatnya yang versi tipis-kawat

(5.21)

Mungkin aplikasi berikutnya yang paling penting dari hukum Biot-Savart (14) adalah medan magnet pada sumbu dari loop arus melingkar (gambar. 4b). Karena masalah simetri, lapangan B harus diarahkan sepanjang sumbu, tetapi masing-masing komponennya dB dimiringkan oleh sudut θ=arctan (z/R) untuk sumbu ini, sehingga komponen aksial (5.22)

Karena penyebut dari ungkapan ini tetap sama untuk semua komponen kawat dr‘, akhirnya memberikan

(5.23)

Perhatikan bahwa medan magnet di tengah lingkaran (yaitu, untuk z = 0),

(5.24)

5.2. Vektor potensial dan hukum ampere

Vektor produk dibawah dapat di ubah sebagai

(5.26)

 

(5.27)dimana vector

(5.28)

aljabar mengatakan bahwa perbedaan curl apa pun bernilai nol. Dalam aplikasi untuk persamaan. (27), ini berarti bahwa

(5.29)

vektor turunan dari medan magnet (yaitu, curl), dan menggunakan persamaan. (28), kita mendapatkan

(5.30)

(5.31)

Ungkapan ini dapat disederhanakan dengan menggunakan identitas umum berikut:

menerapkan identitas ini untuk Persamaan. (30), kita mendapatkan

(5.32)

Seperti yang sudah kita ketahui dari elektrostatika,

(5.33)

Sehingga di dapatkan (5.34)

Menerapkan persamaan ini untuk volume V‘ dengan batas A' cukup jauh dari konsentrasi bidang (atau tanpa persimpangan), kita dapat mengabaikan istilah pertama di bagian kanan Persamaan. (34), sedangkan istilah kedua selalu sama dengan nol karena dc kontinuitas arus - lihat Persamaan. (4.6). Sebagai hasilnya, kita tiba di sebuah persamaan diferensial yang sangat sederhana yaitu (5.35)

4 persamaan Maxwell

(5.36)

Gambar. 5.5. Aplikasi sederhana dari amper Hukum: dc arus dalam kawat lurus.

Sehingga hukum ampere

(5.37)

Untuk itu, kita dapat mengintegrasikan persamaan ini atas permukaan A sewenang-wenang dibatasi oleh kontur C tertutup, yang berlaku untuk itu teorema Stokes - lihat, misalnya Persamaan. (12.1) dengan f = ekspresi B. yang dihasilkan

(5.38)

untuk bidang intern:(5.39)

(5.40)

di mana N adalah jumlah kawat bergantian melewati kontur panjang l.

Dengan demikian, bidang dalam sebuah solenoid panjang tak terhingga seragam; dalam pengertian ini, solenoid dalam analog magnetik kapasitor.

(5.41)

Gambar. 5.6. Medan magnet (a) lurus dan (b) solenoida toroidal

 

Memasukan persamaan. (27) ke persamaan. (35), kita mendapatkan

(5.42)

untuk persamaan. (42) memasukan identitas (31). hasilnya adalah

(5.43)

 

(5.44)

Demikian pula, dengan menggunakan fakta bahwa curl dari gradien dari fungsi skalar sama dengan nol, kita dapat menambahkan A tidak hanya konstan, tetapi bahkan gradien dari fungsi χ (r, t), karena

(5.45)persamaan diatas disebut transformasi gauge.

 

(5.46)

 

(5.47)Dengan persamaan Coulomb gauge

(5.48)

operator Laplace, ditulis dalam koordinat silinder, hanya memiliki satu komponen, sehingga Persamaan. (47) mengambil dari bentuk

(5.49)

Mengintegralkan persamaan ini sekali, kita mendapatkan

(5.50)

 

(5.51)

lihat persamaan. (40). Mengintegrasikan kesetaraan ini, dan memilih konstanta integrasi sehingga A(0) terbatas, kita mendapatkan

(5.49)

5.3. Fluks magnetik, energi, dan induktansi

Menurut persamaan (21), gaya magnet yang diberikan oleh kawasan pada sebuah bagian kecil dari kawat adalah

 

Kawat dipindahkan dengan jarak yang kecil δr oleh gaya eksternal, kekuatan non-magnetik, deformasi yang dapat dipahami, sebagai perubahan dalam waktu yang lambat, sehingga kekuatan ekternal hampir sama pada setiap saat dF . Lalu akibat dari kekuatan ekternal, yaitu perubahan energi medan magnet, adalah, 

Gambar. 5.7. Sebuah kawat tipis dengan arus dalam medan magnet, dan deformasi kecil.Mari kita gabungkan produk umum ini “ aturan operasi rotasi “ dari aljabar vektor:  

Sehingga vektor B dapat di keluarkan dari produk vektor: 

Besarnya produk vektor dr × δr tidak lebih dari daerah δ (d2r) tersapu oleh bagian deformasi kawat dl , sedangkan arah produk vektor tegak lurus sepanjang daerah dasar, vektor normal n = (dr / dr) × (δr / δr). Perkalian skalar dengan vektor B ini setara dengan mengambil komponen normal ke permukaan A. Oleh karena itu kita dapatkan hasil sebagai berikut untuk variasi total energi magnetik:

 

Di mana A adalah permukaan yang dibatasi oleh kawat.

Integral dalam Pers. (57) mirip dengan fluks medan listrik yang berpartisipasi dalam hukum Gaus dan disebut fluks magnetik melalui permukaan A: 

Dengan menggunakan definisi ini, hasil akhir (57) dapat disajikan dalam bentuk yang sangat sederhana, 

Medan magnet tidak tergantung pada I, misalnya, yang dihasilkan oleh beberapa sumber ekternal. Untuk dapat mengintegasikan Persamaan (59) selama deformasi kawat dengan I= konstan, perubahan yang dihasilkan U sebagai energi interaksi magnetik. Untuk energi tersebut, nilainya di Φ = 0 , karenanya

 

Medan magnetik yang disebabkan oleh arus I sendiri. Dalam hal ini, karena linear persamaan (18), fluks yang harus sebanding dengan I,

 

Di mana koofisien proposionalitas L disebut induktansi diri dari sistem dan hanya bergantung pada geometry. 

Hubungan ini, mirip dengan Pers. (2.14), (2.15) elektrrostatika, menunjukkan bahwa induktansi dapat dianggap sebagai ukuran energi magnetik sistem pada arus tetap

Mari kita mempertimbangkan sistem dua arus berinteraksi

Gambar. 5.8. Sebuah sistem dua arus, berinteraksi melalui medan magnet.

Dalam hal ini, kitta dapat menggunakan prinsip superposisi linear untuk menyajikan fluks magnetik melalui setiap arus loop sebagai jumlah dari dua komponen: 

Untuk energi magnetik kita dapat menulis

 

Sekarang mari kita memperbaiki posisi kawat 1, dan membawa kawat 2 perlahan ke arah itu (dengan kedua I1 dan I2 dijaga konstan). Maka perubahan energi magnetik: 

Hasil dari pengintegrasian, dan menambahkan perubahan yang dihasilkan dengan energi awal U0, kita dapatkan, akhirnya:

 

L12 bukan L21. Namun, kekuatan magnetostatic adalah potensial, energi yang terbatas tidak harus tergantung pada cara kita tiba di dalamnya, yang hanya mungkin jika 

(M disebut induktansi timbal balik dari dua arus)

Mari kita mengungkapkan fluks magnetik (58) melalui vektor-potensial, menggunakan teorema Stokes: 

Sekarang menggunakan Persamaan. (68), kita dapat menyajikan fluks yang diciptakan oleh arus 1 dalam lingkaran arus 2 sebagai 

Membandingkan ungkapan ini dengan kedua pers. (65), kita melihat bahwa 

Ungkapan ini jelas simetris terhadap 1 ↔ 2 indeks Swap, sehingga membuktikan Persamaan. (67) dan juga memberikan ekspresi eksplisit nyaman untuk induktansi M.Satu ekspresi yang lebih untuk koefisien induktif Ljj’ dapat diperoleh dari rumus untuk kepadatan energi medan magnet u(r). Dalam rangka untuk mendapatkan itu, mari kita menulis urutan yang jelas dari persamaan. (66) ke sistem beberapa arus yang berinteraksi  

Dimana unsur-unsur dari matriks induktansi adalah 

Sehingga

 

Sekarang, jika distribusi kerapatan arus kontinu, mungkin berlaku Persamaan. (73) untuk menetapkan semua elementary arus tabung (sudah dibahas di Sec. 1) dengan arus sangat kecil jd3r, memberikan

 

Dengan menggunakan definisi (28) dari potensi vektor A(r), Persamaan. (74) menjadi 

 

Integral yang dihasilkan oleh bagian ini, mengabaikan permukaan yang dihasilkan , dan menggunakan Persamaan. (27) untuk memutar ∇×A istilah yang timbul dalam medan magnet. Sebagai hasilnya, kita mendapatkan formula yang sangat sederhana dan mendasar. 

Sama seperti dengan medan listrik, ungkapan ini dapat diartikan sebagai bagian kepadatan integral volume energi magnetik

 

jelas mirip dengan persamaan. (1,54).

Sekarang kita bisa kembali ke perhitungan induktansi. Sebagai contoh, untuk sebuah sistem dengan hanya satu arus kita bisa menyamakan hasil untuk U diberikan oleh Persamaan. (77) dan persamaan. (62), mendapatkan 

Ungkapan ini mungkin memiliki keunggulan dibandingkan Persamaan. (61) dalam kasus-kasus ketika gagasan fluks magnetik tidak cukup jelas. Sebagai contoh yang sangat penting, mari kita cari induktansi dari panjang tabung l >> R (Gambar. 6a). Kami telah menemukan medan magnet - lihat Persamaan. (40) - sehingga fluks magnetik menusuk setiap loop 

Sebenarnya, fluks magnetik Φ1 menembus setiap lilitan kawat , sehingga total fluks melalui seluruh arus loop adalah

 sehingga hasil yang benar untuk induktansi adalah 

sehingga induktansi per satuan panjang, L / l = μ0n2A, adalah konstan. Karena alasan ini mungkin tampak dipertanyakan, adalah lebih baik untuk memverifikasi dengan menggunakan Persamaan. (77) untuk menghitung energi magnetik penuh 

Ini dibandingkan dengan bentuk kedua dari persamaan. (62) akan mengkonfirmasikan hasil Persaman.(82).

5.4.Momen dipol magnetik, dan media magnetik

Gambar. 5.9. Arus lokal, dilihat dari sudut pandang yang jauh (r >> a).

Dengan menerapkan persamaan hukum Taylor (3.4) untuk definisi (28) dari vektor potensial, kita dapatkan

 

Karena karakter vektor potensial ini, kita harus melihat kembali bagian. 3.1 dan menggunakan identitas aljabar vektor berikut, 

Mari kita menggunakan Persamaan. (85) mengambil f ≡ 1, dan g sama dengan komponen dari jari-jari-vektor r: g = rk (k = 1, 2, 3). Kemudian menghasilkan 

Sehingga untuk keseluruhan vektor sebagai

 

menunjukkan bahwa istilah pertama di bagian kanan Persamaan. (84) hilang.

Sekarang mari kita menggunakan Persamaan. (85) dengan f = rk, g = rk' (k, k' = 1, 2, 3); kemudian memberikan 

Sehingga komponen Cartesian k diintegra dalam kedua Pers. (84) dapat disajikan sebagai

 

Akibatnya, Persamaan. (85) dapat ditulis kembali sebagai

 

Dimana vektor 

Kami disebut sistem momen magnetik dipole (yang dengan sendirinya, dalam pendekatan (90), yang disebut dipol magnetik).

Perhatikan analogi yang erat antara m dan momentum sudut dari partikel non-relativistik 

Dimana Pl = mlVl adalah momentum mekanik.

Untuk partikel kontinum, j = qnV, di mana n adalah densitas partikel, dan hasil persamaan. (91) 

Total momen sudut sistem kontinyu 

Sehingga

 

 

 

Dimana me adalah massa elektron bebas.

Contoh penting berikutnya dari dipol magnetik daerah kawat planar lingkaran membatasi A, yang besarnya vektor m memiliki bentuk sangat sederhana, 

Gambar. 5.10. Sebuah loop arus planar.

Besarnya komponen dasar dari integral

 

daerah dasar dA = (1/2) rdrsinϕ = (1/2) rdh = r2dϕ / 2.

Setelah ilustrasi ini, mari kita kembali ke persamaan. (90). Memasukkan ke dalam rumus umum (27), kita dapat menghitung medan magnet dipol magnetik: 

 

Sekarang mari kita perhatikan sistem banyak dipol magnetik (misalnya, atom atau molekul),

Kemudian kita dapat menggunakan Persamaan. (90) (untuk posisi umum yang r', dari dipol), dan prinsip superposisi linear, untuk menghitung komponen "makroskopik" potensi vektor A (dengan kata lain, potensi rata-rata lebih variasi dalam skala pendek pada jarak antar-dipol): 

Dimana M ≡ nm Transformasi integral benar-benar mirip dengan Persamaan. (3.22) yang telah berubah menjadi Persamaan. (3.24), kita mendapatkan:

 

Sekarang, dengan menggunakan Persamaan. (28) untuk menambahkan kontribusi mungkin dari "standalone" arus j (tidak termasuk ke dalam arus dipol mikroskopis), kita mendapatkan persamaan umum untuk vektor-potensi bidang makroskopik: 

Mengulangi perhitungan yang telah membawa kita dari Persamaan. (28) ke persamaan Maxwell (35), dengan mempertimbangkan istilah arus magnetisasi, kita mendapatkan Setelah filosofi bagian. 3.2, kita dapat hadir persamaan ini sebagai

 

Dimana kami telah memperkenalkan bidang baru

 

Gambar. 5.11. Sebuah animasi yang menggambarkan sifat fisik dari "magnetisasi arus”

jef = ∇×M.Mari kita menulis seluruh sistem (36) dari persamaan Maxwell stasioner

 

 

5.5. Bahan magnetik

•  

(5.110)

Bandingkan hubungan terakhir dengan pers. (108), kita melihat bahwa suseptibilitas magnetik dapat juga disajikan sebagai

(5.111)

yaitu memiliki arti magnetisasi dari satuan volume, yang disebabkan oleh unit medan H.

 

 

 

(5.112) 

Untuk menjelaskan properti paramagnets lemah (bahan dengan 0 <χm << 1), penurunan yang signifikan dari suseptibilitas dengan suhu. Dalam materi tersebut, interaksi spin relatif kecil, dan mungkin (kurang-lebih) diperlakukan sebagai magnetik independen dipole besarnya tetap ms. Dengan asumsi bahwa dipol mungkin hanya memiliki dua orientasi ruang, bersama dan terhadap lapangan, kita dapat menemukan probabilitas orientasi ini dari distribusi Gibbs:

(5.113)

 

(5.114)

sehingga magnetisasi

(5.115)

 

(5.116)

Dalam hal ini, kita dapat mengabaikan M di bagian kanan Persamaan. (116), dan perbandingan hasil dengan Persamaan. (111) menghasilkan hukum Curie yang terkenal:

(5.117)

Pada bidang yang lebih tinggi, Persamaan. (115) menggambarkan efek saturasi,

(5.118) 

 

(5.119)

di mana J adalah fakta fenomenologis berdimensi yang menjelaskan tidak hanya interaksi magnetik dari elemen momen magnetik, tetapi juga interaksi kuantum mekanik. Dengan penggantian ini, Persamaan. (115) menjadi

(5.119)

Gambar. 5.12. Kurva eksperimen magnetisasi proses khusus (cold-rolled) baja transformator. yaitu larutan padat dari ~ 10% C dan ~ 6% Si di Fe. Setelah pengolahan bahan biji-bijian yang sangat berorientasi dan, sebagai akibat, konduktivitas listrik yang relatif rendah dan suseptibilitas magnet yang sangat efektif dB/d(μ0H) di bidang rendah.

Terminologi umum adalah sebagai berikut: BR adalah disebut remanen (atau bidang

saturasi), sedangkan HC disebut koersivitas.

Gambar. 5.13. Kurva magnetisasi untuk berbagai kekuatan interaksi spin, dalam model bidang molekul Weiss.Hasil solusi persamaan transenden ini ditunjukkan pada Gambar. 13, untuk beberapa nilai

parameter berdimensi, yang mungkin paling disajikan sebagai rasio temperatur T untuk nilai kritisnya

(5.120)

disebut Weiss- suhuCurie.

Plot menunjukkan bahwa pada T> Tc <Jc, ketergantungan B(H) adalah bernilai tunggal, yaitu sistem berperilaku sebagai magnet lemah, dengan suseptibilitas-bidang rendah,

(5.121)

yang menyimpang di T → Tc. Pada T > Tc, dalam jarak tertentu dari medan magnet, -HC < H <+HC, ada 3 nilai M

(dan karenanya B) yang sesuai untuk setiap H. Ini mungkin siap menunjukkan bahwa nilai tengah tidak stabil,

sehingga yang menuju dari H dengan amplitudo di atas HC mengarah ke hysteresis magnetisasi, dengan melompat di

antara dua keadaan hampir jenuh dengan magnetisasi spontan Ms ≈ ±msn.Keselarasan saat menuju paramagnetisme tidak terjadi dengan momen magnetik karena gerakan orbital elektron. Sebaliknya, efek dari gerakan magnet eksternal seperti menghasilkan apa yang disebut Larmor diamagnetisme. Mari kita perhatikan gerakan klasik dari partikel tunggal, dengan muatan listrik q = -e, menarik sekitar pusat. Hukum utama dinamika sudut klasik, dilengkapi dengan Persamaan. (101), hasil

(5.122)

Gambar. 5.14. Larmor presesi.

Diagram ini juga menunjukkan bahwa yang disebut rotasi frekuensi Larmor,

(5.123)

Besarnya suseptibilitas mungkin secara kasar dievaluasi dari gambar klasik Z muatan titik q independen (menyajikan

elektron dari satu atom) yang bergerak pada jarak r tentang pusat molekul dengan frekuensi ΩL. Gerakan ini

menciptakan rata-rata arus

(5.124)

dan karenanya induksi momen magnetik

(5.125)

dan induksi magnetisasi

(5.126)

dimana n adalah densitas atom.

Perlakuan mekanika kuantum dari presesi Larmore menghasilkan hasil yang sangat dekat:

(5.127)

Magnitut pertama (berdimensi) dalam ekspresi terakhir untuk atom dapat diperkirakan secara kasar dengan mengambil ⟨r2 sama dengan radius Bohr ⟩ rB yang didefinisikan oleh hubungan

(5.127)

(Bagian kiri dari persamaan ini memberikan skala energi potensial atom Bohr, sedangkan bagian sebelah kanan adalah skala energi kinetik kuantum mekanik.) Hasil substitusi ini

(5.128)

dimana

(5.129)

Jelaslah bahwa untuk atom terberat (Z ~ 100) bahkan dalam bentuk benda terkondensasi (di mana n ~ rB-3) fraksi

jauh kurang dari satu, sehingga M << B / μ0, dan Persamaan. (127) menggambarkan diamagnetisme lemah:

(5.130)

5.6. Struktur dengan kemaknitan linear

Mengintegrasikan persamaan makroskopik Maxwell (107) sepanjang kontur C tertutup yang membatasi permukaan halus A, dan menggunakan teorema Stokes, kita mendapatkan versi makroskopik hukum Amper (37):

(5.131)

Menggunakan Persamaan. (131) sama seperti kita menggunakan Persamaan. (37) di bagian 2, kita mendapatkan

(5.132)

sehingga B μ∝ , dan solenoid induktansi-diri L μ ∝ ∝ (1 + χm). Hasil ini menjelaskan mengapa solenoida diisi dengan

feromagnet lunak (misalnya, "transformator baja") yang begitu populer dalam praktek teknik listrik.

Integrasi persamaan makroskopik Maxwell (109) untuk bidang H dan B (masing-masing, kontur lebih panjang yang membentang di sepanjang perbatasan dan Gaussian pillbox), mirip dengan yang dibuat untuk bidang E dan D di bagian. 3.4 (lihat Gambar 3.5.), Hasil:

(5.133)

(5.134)

menerapkan kondisi ini untuk mendominasi, antarmuka daerah-besar, kita mendapatkan Hint=H0, yaitu, Bint= (μ/μ0) B0.

Dalam magnetostatics, pengenalan potensi skalar umumnya tidak mungkin (karena garis-garis medan magnet seperti-pusaran), tetapi jika tidak ada arus di wilayah, maka kita bisa menggunakan persamaan Maxwell ∇×H = 0 untuk memperkenalkan potensi skalar medan magnet, φm, menggunakan persamaan yang mirip dengan Persamaan. (1.33):

(5.135)

Gabungkan dengan persamaan Maxwell yang kedua untuk medan magnet, ∇⋅B = 0, kita sampai pada persamaan diferensial yang sering di pakai:

(5.136)

Dengan demikian, untuk media seragam (μ=const), kita mendapatkan persamaan Laplace. Selain itu, pers. (133) dan (134) sekarang memberikan kondisi batas sangat dekat:

(5.137a)

yang setara dengan

(5.137b)

dan

(5.138)

Karena persamaan diferensial dan kondisi batas yang sama mirip dengan masalah elektrostatika (lihat Gambar 3.8.), kita dapat menggunakan analogi di atas untuk mengulang solusi yang sudah ada - lihat Persamaan. (3.46):

(5.139)

sehingga bidang internal seragam:

(5.140)

Dalam feromagnetik lemah limit μ >> μ0, kemudian Bint = 3B0, 3 faktor menjadi spesifik untuk geometri tertentu. Jumlah ini mencirikan batasan geometris konsentrasi lapangan dengan ferromagnets lemah.

Solusi masalah makroskopik untuk energi medan magnet U benar-benar mirip dengan bagian. 3.6, kita melihat bahwa energi ini dapat juga disajikan sebagai integral, atas semua volume yang ditempati oleh medan, dari densitas energi u(r), dengan ungkapan umum berikut untuk variasi nya:

(5.141)

dengan B = μH, ungkapan ini dapat diintegrasikan lebih variasi dan menghasilkan

(5.142)

Kita dapat menggunakannya bersama-sama Pers. (132) untuk menghitung energi magnetik yang disimpan dalam solenoid panjang (Gambar 6a.), Diisi dengan bahan feromagnetik lemah:

(5.143)

untuk menghitung inductansi-diri solenoid digunakan

(5.144)

Kemudian, menerapkan hukum Ampere yang umum untuk kontur C, yang mengikuti garis medan magnet di dalam inti (lihat garis putus-putus pada Gambar. 15), kita mendapatkan

(5.145)

Namun, karena garis-garis medan magnet tidak meninggalkan inti, fluks magnetik Φj ≈ BjAj harus sama (≡ Φ) untuk

setiap bagian, sehingga Bj = Φ/Aj. Menggunakan kondisi ini, kita mendapatkan

(5.146)

Gambar. 5.15. Menderivasi "magnet hukum Ohm" (146).

Perhatikan bahwa peran "magnetik e.m.f" NI dapat juga dimainkan oleh bagian magnet permanen inti. Memang, untuk bidang yang relatif rendah kita dapat menggunakan deret Taylor fungsi B (H) dekat H = 0 untuk menulis

(5.147)

Ekspresi H dari hubungan ini, dan menggunakannya di salah satu komponen dari jumlah (145), kami kembali mendapatkan hasil yang serupa dengan persamaan. (146)

(5.148)

di mana LH dan AH adalah dimensi bagian feromagnet keras, dan produk NI diganti dengan

(5.149)

Hasil ini dapat digunakan untuk penjelasan semi-kuantitatif terkenal jarak pendek tenaga yang bekerja antara magnet permanen (atau antara itu dan ferromagnets lunak) untuk kontak mekanik (Gambar. 16).

Gambar. 5.16. Interaksi jarak pendek antara magnet.

mengingat celah ruang bebas di antara itu sebagai bagian dari inti (yang kira-kira benar, karena dengan ketebalan kecil celah d garis-garis medan magnet tidak bisa menyimpang jauh dari bidang kontak), dan mengabaikan "perlawanan magnet" Rm dari bahan massal (karena penampang yang besar), kita mendapatkan

(5.150)

sehingga, menurut Persamaan. (142), energi magnetik dari sistem

(5.151)

Oleh karena itu gaya

(5.152)

Akhirnya, mari kita membahas efek percobaan terkait tipis dan panjang sampel dengan feromagnetik keras ("jarum", seperti di kompas). Persamaan Maxwell makroskopik,

(5.153)

dapat disajikan sebagai

(5.154)

dengan bagian kanan yang dapat dianggap sebagai sumber medan magnet tetap. Untuk jarum feromagnet keras (dengan M = Ms = const di dalamnya), fungsi ∇⋅M secara substansial berbeda dari nol hanya di dua daerah kecil di ujung jarum, dan jarak yang jauh lebih besar dan kita dapat menggunakan pendekatan berikut:

(5.155)

di mana r1,2 adalah posisi ujung, dan qm ≡ MSA, dengan A menjadi luas penampang jarum. Persamaan ini benar-benar mirip Persamaan. (1.27) untuk medan listrik dibuat oleh dua muatan titik yang sama dan berlawanan. "Hanya" perbedaan dengan elektrostatika adalah bahwa "muatan magnet" ±qm tidak dapat sepenuhnya dipisahkan. Sebagai contoh (Gambar. 17b).

Gambar. 5.17. (a) "muatan Magnetic" di ujung jarum feromagnetik tipis dan (b) hasilnya terbagi menjadi dua bagian (skematis).

jika kedua ujung jarum yang ditahan pada jarak antara r (A1/2 << r << l, di mana l adalah itu skala panjang ), berinteraksi di sekitar menurut " hukum Coulomb magnet"

(5.156)

TERIMAKASIH