Elektronski fakultetSistemi za akviziciju podataka

Tehnike projektovanja aktivnih filtara

Studenti: Milan Cvetanović 10450 Aleksandar Mitrović 10554

Uvod

Šta je filtar? Filtar je uređaj koji propušta električne signale na određenim frekvencijama ili frekvencijskim opsezima i sprečava prolaz na ostalim frekvencijama. – Webster.

Filtarska kola imaju široku primenu u različitim oblastima. U oblasti telekomunikacija, filtri propusnici opsega se koriste u opsegu audio frekvencija (0 kHz do 20 kHz) za modeme i procesiranje govora. Filtri propusnici opsega visokih frekvencija (nekoliko stotina MHz) se koriste za selekciju kanala u telefonskim centralama. Sistemi za akviziciju podataka obično zahtevaju anti-stepene NF filtre kao i NF filtre za potiskivanje šuma u njihovim stepenima za kondicioniranje signala. Sistemi za napajanje često koriste filtre nepropusnike opsega da potisnu liniju fekvencije 60 Hz i izobličenja na višim frekvencijama.

Osim toga, postoje filtri koji ne filtriraju nijednu frekvenciju složenog ulaznog signala, već fazno pomeraju svaku frekvencijsku komponentu, tako doprinose konstantnom vremenu kašnjenja. Ovi filtri se nazivaju filtri propusnici svih frekvencija.

Na visokim frekvencijama (> 1 MHz), svi ovi filtri obično su sastavljeni od pasivnih komponenata kao što su kalemovi (L), otpornici (R) i kondenzatori (C). Oni se onda nazivaju LRC filtri.

U oblasti nižih frekvencija (1 Hz do 1 MHz), induktivnost kalema postaje veoma velika i on postaje veoma veliki, čineći ekonomičnu proizvodnju teškom.

U ovim slučajevima aktivni filtri postaju važni. Aktivni filtri su kola koja koriste operacioni pojačavač kao aktivnu komponentu u kombinaciji sa otpornicima i kondenzatorima da obezbede iste performanse kao i LRC filtri na niskim frekvencijama (slika 16.1).

Slika 16.1 Pasivni i aktivni NF filtar drugog reda

Ovo poglavlje pokriva aktivne filtre. Ono upoznaje se tri glavna načina optimizacije filtara (Butterworth, Tschebyscheff i Bessel), u sledećih pet oblasti opisane su najuobičajenije upotrebe aktivnih filtara: niskofrekventni (NF), visokofrekventni (VF), propusnik opsega (PO), nepropusnik opsega (NO) i filter propusnik svih frekvencija. Radije nego da liči na još jednu knjigu o filtrima, pojedinačne sekcije su pisane u stilu kuvara, tako su izbegnuta dosadna matematička izvođenja. Svaka oblast počinje sa opštom prenosnom funkcijom

2

filtra, zatim slede jednačine za izračunavanje vrednosti pojedinačnih komponenata kola. Poglavlje se završava delom gde su dati saveti za praktično projektovanje filtara.

Osnove NF filtara

Najprostiji NF filtar je pasivna RC mreža prikazana na slici 16.2.

Slika 16.2 Pasivni NF RC filtar prvog reda

Njegova prenosna funkcija je:

A (s )=

1RC

1+ 1RC

= 11+sRC

gde je kompleksna frekvencijska promenljiva, s = jω + σ, za sve vremenski promenljive signale. Za čiste sinusne talase, konstanta prigušenja, σ, postaje nula i s = jω.

Za normalizovani oblik prenosne funkcije, uzima se odnos s sa graničnom frekvencijom filtra, ili – 3 dB frekvencijom, ωC i dobija se ovaj odnos:

s= sωC

= jωωC

= j ff C

= jΩ

Za graničnu frekvenciju NF filtra na slici 16.2 koja je fC = 1/2πRC, s postaje s = sRC i za prenosnu funkciju, A(s), se dobija:

A (s )= 11+s

Amplituda pojačanja je:

|A|= 1√1+Ω2

Za frekvencije Ω >> 1, slabljenje je 20 dB/dec. Za slabljenje sa većim nagibom, n filtarskih stepena može biti povezano serijski kao što je prikazano na slici 16.3. Da bi se izbeglo preopterećenje, operacioni pojačavači, koji rade kao konvertori impedanse, razdvajaju pojedinačne filtarske stepene.

3

Slika 16.3 Pasivni NF RC filtar četvrtog reda sa pojačavačima za razdvajanjeRezultujuća prenosna funkcija je:

A (s )= 1(1+α 1 s ) (1+α2 s ) …(1+α n s)

U slučaju da svi filtri imaju istu cut – off frekvenciju, fC, koeficijenti postaju α1 = α2 = ... αn

= α = √ n√2−1 i fC svakog parcijalnog filtra je 1/α puta veće od fC celokupnog filtra.

Slika 16.4 prikazuje rezultate NF RC filtra četvrtog reda. Slabljenje svakog parcijalnog filtra (kriva 1) je – 20 dB/dec, povećavajući slabljenje celokupnog filtra (kriva 2) na 80 dB/dec.

4

Slika 16.4 Frekvencijski i fazni odziv pasivnog RC NF filtra četvrtog reda

Granična frekvencija celokupnog filtra je redukovana faktorom α ≈ 2.3 nasuprot -3 dB frekvencije parcijalnih filtarskih stepena.

Osim toga, slika 16.4 pokazuje prenosnu funkciju idealnog NF filtra četvrtog reda (kriva 3).

U odnosu na idealni NF filtar, RC NF filtar ima sledeće nedostatke: Pojačanje u propusnom opsegu menja se mnogo pre granične frekvencije, fC, tako

pojačanje viših frekvencija u propusnom opsegu je manje nego pojačanje nižih frekvencija propusnog opsega.

Prelaz iz propusnog u nepropusni opseg nije oštar nego postepen, pomerajući tako aktuelno slabljenje od 80 dB/dec za jednu i po oktavu iznad fC.

Fazni odziv nije linearan, tako se značajno povećava nivo izobličenje signala.

Pojačanje i fazni odziv NF filtra mogu biti optimizovani da zadovolje jedan od sledeća tri kriterijuma:

1) Maksimalno ravan propusni opseg2) Trenutni prelaz iz propusnog u nepropusni opseg3) Linearni fazni odziv

Za tu svrhu, prenosna funkcija mora da dozvoljava kompleksne polove i treba da bude sledećeg tipa:

A (s )=A0

(1+a1 s+b1 s2 ) (1+a2 s+b2 s2) …(1+an s+bn s2)

5

gde je A0 pojačanje propusnog opsega, a ai i bi su koeficijenti filtara.

Dok je imenilac proizvod kvadratnih izraza, prenosna funkcija predstavlja serije od kaskadno vezanih NF filtarskih stepena drugog reda, gde su ai i bi pozitivni realni koeficijenti. Ovi koeficijenti određuju poziciju kompleksnog pola za svaki filtarski stepen drugog reda, na taj način je određeno ponašanje njihove prenosne funkcije.

Sledeća tri tipa unapred određenih koeficijenata filtra su data u obliku tabele u oblasti 16.9: Butterworth – ovi koeficijenti, optimizuju propusni opseg kako bi bio maksimalno

ravan Tschebyscheff – ljevi koeficijenti izoštravaju prelaz iz propusnog u nepropusni

opseg Bessel – ovi koeficijenti linearizuju fazni odziv do fC

Prenosna funkcija pasivnog RC filtra ne dozvoljava dalju optimizaciju zahvaljujući nedostatku kompleksnih polova. Jedina mogućnost za dobijanje konjugovano kompleksnih polova korišćenjem pasivnih komponenata je upotrebom LRC filtara. Ovi filtri se uglavnom koriste na visokim frekvencijama. U oblasti nižih frekvencija ( 10 MHz) induktivne vrednosti postaju veoma velike i filtri postaju neekonomični za proizvodnju. U ovim slučajevima koriste se aktivni filtri.

Aktivni filtri su RC mreže koje uključuju i aktivnu komponentu, kao što je operacioni pojačavač.

Oblast 16.3 pokazuje da proizvodi RC vrednosti i granične frekvencije moraju doprineti koeficijentima filtra ai i bi da generišu željenu prenosnu funkciju.

U narednim odeljcima su objašnjene najčešće korišćene optimizacije filtara.

Butterworth – ovi NF filtri

Butterworth – ov NF filtar obezbeđuje maksimalno ravan propusni opseg. Zbog toga se Butterworth – ov NF filtar često koristi kao anti-stepeni filtar kod konvertora gde su potrebni određeni nivoi signala kroz ceo propusni opseg.

Slika 16.5 pokazuje pojačanje Butterworth – ovih filtara različitih redova u odnosu na normalizovanu frekvencijsku osu, Ω (Ω = f/fC); što je filtar većeg reda to je propusni opseg ravniji.

6

Slika 16.5 Amplitudski odzivi Butterworth – ovih NF filtara Tschebyscheff – ljevi NF filtri

Tschebyscheff – ljevi NF filtri obezbeđuju veće slabljenje iznad fC. Kao što slika 16.6 pokazuje, pojačanje u propusnom opsegu nije monotono, već sadrži talasastu umesto konstantne amplitude. Za dati red filtra što je veće talasanje propusnog opsega to je veće slabljenje filtra.

Slika 16.6 Pojačanje Tschebyscheff – ljevih NF filtara

7

Sa povećanjem reda filtra uticaj talasanja amplitude na slabljenje filtra se smanjuje.

Za svaki filtar drugog reda javlja se jedan talas. Filtri sa parnim brojem reda generišu talase iznad linije od 0 dB, dok filtri sa neparnim brojem reda generišu talase ispod 0 dB.

Tschebyscheff – ljevi filtri se često koriste tamo gde je frekvencija signala važnija od konstantnog pojačanja.

Bessel – ovi NF filtri

Bessel – ovi NF filtri imaju linearni fazni odziv (slika 16.7) iznad širokog frekvencijskog opsega, što rezultira konstantnim grupnim kašnjenjem (slika 16.8) u tom frekvencijskom opsegu. Bessel – ovi NF filtri, zbog toga, obezbeđuju optimalnu transmisiju pravougaonih talasa. Pojačanje u propusnom opsegu kod Bessel – ovih NF filtara nije tako ravno kao kod Butterworth – ovih filtara, i prelaz iz propusnog u nepropusni opseg nije tako oštar kao kod Tschebyscheff – ljevih filtara (slika 16.9).

Slika 16.7 Poređenja faznog odziva filtara četvrtog reda

8

Slika 16.8 Poređenje normalizovanog grupnog kašnjenja NF filtara četvrtog reda

Slika 16.9 Poređenje pojačanja NF filtara četvrtog reda

9

Q faktor

Q faktor je ekvivalentan projektantski parametar redu filtra n. Umesto projektovanja Tschebyscheff – ljevog NF filtra reda n, problem može biti izražen kao projektovanje Tschebyscheff – ljevog NF filtra sa određenim Q.

Za PO filtre Q faktor je definisan kao odnos srednje frekvencije, fm, i širine propusnog opsega:

Q=f m

( f 2−f 1)

za NF i VF filtre Q faktor predstavlja kvalitet pola i definisan je kao:

Q=√bi

ai

Veliko Qs može biti grafički predstavljeno kao rastojanje između linije 0 dB i maksimuma pojačanja filtra. Primer je dat na slici 16.10 koja pokazuje Tschebyscheff – ljev NF filtar desetog reda i njegovih pet parcijalnih filtara sa odgovarajućim Qs.

Slika 16.10 Grafičko predstavljanje Q faktora Tschebyscheff – ljevog NF filtra desetog reda sa maks. slabljenjem od 3 dB u propusnom opsegu

Maksimalno pojačanje petog filtarskog stepena je 31 dB, što je logaritamska vrednost Q5:

10

Q5[dB] = 20log Q5

Rešavajući prethodnu jednačinu za numeričku vrednost Q5 dobijamo:

Q5=103120=35.48

što je u okviru 1% teorijske vrednosti Q = 35.85 date u oblasti 16.9, tabela 16.9, poslednji red.

Grafička aproksimacija je dobra za Q > 3. Za manje Qs, grafičke vrednosti se značajno razlikuju od teorijskih. Međutim, samo više vrednosti Qs su od interesa, što je Q veće, to filtar više teži da postane nestabilniji.

Pregled

Opšta prenosna funkcija NF filtra je:

A (s )=A0

∏i

(1+ai s+b1s2 )(16−1)

Koeficijenti filtra ai i bi se razlikuju između Butterworth – ovih, Tschebyscheff – ljevih i Bessel – ovih filtara. Koeficijenti za sva tri tipa filtara sve do desetog reda su dati u tabelama u oblasti 16.9, tabele 16.4 do 16.10.

Množenjem izraza u imeniocu dobija se polinom n – tog reda po S, gde je n red filtra.

Dok n određuje slabljenje iznad fC kao –n*20 dB/dec, ai i bi određuju pojačanje u propusnom opsegu.

Osim toga, odnos √bi

ai=Q je definisan kao kvalitet pola. Veća vrednost Q znači da filtar

postaje nestabilniji.

Projektovanje NF filtra

Jednačina 16 – 1 predstavlja kaskadnu vezu NF filtara drugog reda. Prenosna funkcija jednog stepana je:

Ai (s )=A0

(1+ai s+b i s2 )

(16−2)

Za filtar prvog reda koeficijent b je uvek nula (b1 = 0), tako se dobija:

11

A (s )=A0

1+ai s(16−3)

Filtarski stepeni prvog i drugog reda su blokovi za građenje filtara višeg stepena.

Filtri često rade sa jediničnim pojačanjem (A0=1) da bi smanjili stroge zahteve operacionih pojačavača sa otvorenom petljom.

Slika 16.11 pokazuje kaskadno povezane filtarske stepene do šestog reda. Filtar sa parnim brojem reda je sastavljen samo od stepena drugog reda dok filtri sa neparnim brojem reda imaju i dodatni stepen prvog reda na početku.

Slika 16.11 Kaskadno povezivanje filtarskih stepena za dobijanje filtara višeg reda

Slika 16.10 pokazuje da što je veća granična frekvencija parcijalnog filtra veće je njegovo Q. Zbog toga da bi se izbeglo zasićenje pojedinačnih stepena, filtri moraju da budu postavljeni u rastućem nizu po vrednosti Q. Vrednosti Q za sve redove filtra su date u oblasti 16.9, tabele 16.4 do 16.10.

NF filtar prvog reda

Slike 16.12 i 16.13 prikazuju NF filtar prvog reda u invertujućoj i neinvertujućoj konfiguraciji.

12

Slika 16.12 NF neinvertujući filtar prvog reda

Slika 16.13 NF invertujući filtar prvog reda

Prenosne funkcije ovih kola su:

A (s )=1+

R2

R3

1+ωC R1 C1 sA ( s )=

−R2

R1

1+ω2 R2 C1 s

Znak minus ukazuje da invertujući pojačavač generiše fazni pomeraj od 180° od ulaza do izlaza filtra.

Poređenjem koeficijenata između dve prenosne funkcije i jednačine 16 – 3 dobija se:

A0=1+R2

R3A0=

−R2

R1

a1=ωC R1 C1 a1=ωC R2C1

Za izračunavanje elemenata kola treba specificirati graničnu frekvenciju (fC), pojačanje (A0) i kondenzator C1, a onda rešiti jednačine po R1 i R2:

R1=a1

2 π f C C1R2=

a1

2π f C C1

13

R2=R3 ( A0−1 ) R1=−R2

A0

Koeficijent a1 je uzet iz jedne od tabela koeficijenata, tabele 16.4 do 16.10 u oblasti 16.9.Primetimo da su svi tipovi filtara indentični u prvom redu i a1 = 1. Za filtre višeg reda a1≠1 zato što je granična frekvencija stepena prvog reda različita od granične frekvencije celokupnog filtra.

Primer 16.1 NF filtar prvog reda sa jediničnim pojačanjem

Za NF filtar prvog reda sa jediničnim pojačanjem sa fC = 1 kHz i C1 = 1 nF računanjem za R1 se dobija:

R1=a1

2 π f C C1= 1

2 π ∙ 103 Hz ∙ 47 ∙10−9 F=3.38 k Ω

Međutim za projektovanje prvog stepena Bessel – ovog NF filtra sa jediničnim pojačanjem trećeg reda uzimajući iste vrednosti za fC i C1 potrebna je različita vrednost za R1. U tom slučaju koristi se a1 za Bessel – ov filtar trećeg reda iz tabele 16.9 u oblasti 16.9 (Bessel – ovi koeficijenti) za izračunavanje R1:

R1=a1

2π f C C1= 0.756

2 π ∙103 Hz ∙47 ∙10−9 F=2.56 k Ω

Kada radi sa jediničnim pojačanjem, neinvertujući pojačavač redukuje naponski ...(slika 16.14), tako bitno obezbeđuje superiornu preciznost pojačanja. U slučaju invertujućeg pojačavača preciznost jediničnog pojačanja zavisi od tolerancije otpornika R1 i R2.

Slika 16.14 Neinvertujući NF filtar prvog reda sa jediničnim pojačanjem

NF filtar drugog reda

Postoje dve strukture NF filtra drugog reda, Sallen – Key i struktura sa višestrukom reakcijom (Multiple feedback – MFB).

Sallen – Key struktura

Opšta Sallen – Key struktura dopušta zasebno podešavanje pojačanja preko A0= 1 + R4/R3. Međutim struktura jediničnog pojačanja na slici 16.16 je obično primenjivana pri

14

projektovanju filtara sa velikom preciznošću pojačanja, jediničnim pojačanjem i malim Qs (Q < 3).

Slika 16.15 Opšti Sallen – key NF filtar

Slika 16.16 Sallen – Key NF filtar sa jediničnim pojačanjem

Prenosna funkcija kola sa slike 16.15 je:

A(s)=A0

1+ωC [C1 ( R1+R2 )+(1−A0 ) R1 C2 ] s+ωC2 R1 R2C1C2 s2

Za kolo sa jediničnim pojačanjem na slici 16.16 (A0 = 1), prenosna funkcija je uprošćena:

A (s )= 11+ωC C 1 ( R1+R2 ) s+ωC

2 R1 R2C1C2 s2

Poređenjem koeficijenata između ove prenosne funkcije i jednačine 16 – 2 dobija se:

A0=1

a1=ωC C1(R1+R2)

b1=ωC2 R1 R2C1C2

Za date vrednosti C1 i C2 računaju se vrednosti otpornika R1 i R2 preko izraza:

15

R1,2=a1C2∓√a1

2 C22−4 b1 C1 C2

4 π f C C1C2

Da bi se dobile realne vrednosti ispod kvadratnog korena C2 mora da zadovolji sledeći uslov:

C2≥ C1

4 b1

a12

Primer 16.2 Tschebyscheff – ljev NF filtar drugog reda sa jediničnim pojačanjem

Zadatak je projektovati Tschebyscheff – ljev NF filtar drugog reda sa jediničnim pojačanjem sa graničnom frekvencijom fC = 3 kHz i maks. slabljenjem 3 dB u propusnom opsegu.

Iz tabele 16.9 (Tschebyscheff – ljevi koeficijenti za 3 dB slabljenje) uzimaju se koeficijenti a1 = 1.0650 i b1 = 1.9305 za filtar drugog reda.

Ako specificiramo da je C1 = 22 nF za C2 se dobija:

C2≥ C1

4 b1

a12 =22 ∙10−9 nF ∙ 4 ∙1.9305

1.0652 ≅ 150 nF

Zamenom a1 i b1 brojnim vrednostima u jednačini za određivanje vrednosti otpornika R1 i R2 dobija se:

R1=1.065 ∙150 ∙ 10−9−√(1.065 ∙ 150∙ 10−9)2

−4 ∙ 1.9305 ∙10−9 ∙ 150 ∙10−9

4 π ∙ 3 ∙103∙ 22∙ 10−9 ∙150∙ 10−9 =1.26k Ω

i

R2=1.065 ∙150 ∙ 10−9+√ (1.065 ∙150 ∙10−9 )2−4 ∙ 1.9305∙10−9 ∙ 150∙10−9

4π ∙ 3 ∙103 ∙ 22∙10−9 ∙150 ∙10−9 =1.30 k Ω

Konačno kolo prikazano je na slici 16.17.

Slika 16.17 Tschebyscheff – ljev NF filtar drugog reda sa jediničnim pojačanjem i maks. slabljenjem 3dB u propusnom opsegu

16

Specijalni slučaj opšte Sallen – Key strukture je primena jednakih otpornika i kondenzatora: R1 = R2 = R i C1 = C2 = C.

Opšta prenosna funkcija se menja u:

A (s )=A0

1+ωC RC (3−A0 ) s+(ωC RC )2 s2

gde je

A0=1+R4

R3

Poređenjem koeficijenata sa jednačinom 16 – 2 dobija se:

a1=ωC RC (3−A0 )

b1=(ωC RC)2

Za zadato C rešavanjem po R i A0 dobija se:

R= √b1

2 πf C CA0=3−

a1

√b1

=3− 1Q

Stoga A0 zavisi samo od Q faktora i obrnuto ; Q, a sa njim i tip filtra, je određen podešavanjem pojačanja A0:

Q= 13−A0

Kolo na slici 16.18 dopušta da tip filtra bude promenjen menjanjem odnosa R4/R3.

Slika 16.18 Podesivi NF filtar drugog reda

17

Tabela 16.1 sadrži koeficijente filtara drugog reda za sve tipove filtara i odnose otpornika kojima se podešava Q.

Tabela 16.1 Koeficijenti filtara drugog reda

Filtri drugog reda Bessel Butterworth 3- dB Tschebyscheffa1 1.3617 1.4142 1.065b1 0.618 1 1.9305Q 0.58 0.71 1.3

R4/R3 0.268 0.568 0.234

Struktura sa višestrukom reakcijom (MFB)

MFB struktura se obično uptrebljava kod filtara koji imaju veliko Qs i zahtevaju veliko pojačanje.

Slika 16.19 MFB NF filtar drugog reda

Prenosna funkcija kola sa slike 16.19 je:

A (s )=−

R2

R1

1+ωC C 1(R2+R3+R2 R3

R1 ) s+ωC2C1C2 R2 R3 s2

Poređenjem koeficijenata sa jednačinom 16 – 2 dobijaju se sledeće relacije:

A0=−R2

R1

a1=ωC C1(R2+R3+R2 R3

R1)

18

b1=ωC2 C1 C2 R2 R3

Za zadato C1 i C2 i rešavanjem jednačina po R1 – R3 dobija se:

R2=a1C2−√a1

2C22−4 b1C1C2 (1−A0 )

4 π f C C1 C2

R1=R2

− A0

R3=b1

4π 2 f C2C 1C2 R2

Da bi se dobile realne vrednosti za R2, C2 mora da zadovolji sledeći uslov:

C2≥ C14 b1(1−A0)

a12

NF filtri višeg reda

Filtri višeg reda su potrebni za izoštravanje željene karakteristike filtra. U tu svrhu, filtarski stepeni prvog i drugog reda su povezani u serijama tako da proizvod pojedinačnih frekvencijskih odziva daje optimizovani frekvencijski odziv celokupnog filtra.

Da bi se uprostio dizajn parcijalnih filtara, koeficijenti ai i bi za sve tipove filtra su dati u tabelama koeficijenata (tabele 16.4 do 16.10 u oblasti 16.9) i svaka tabela sadrži koeficijente za prvih deset redova.

Primer 16.3 Filtar petog reda

Zadatak je projektovati Butterworth – ov NF filtar petog reda sa jediničnim pojačanjem sa graničnom frekvencijom fC = 50 kHz.

Prvo se uzimaju koeficijenti za Butterworth – ov filtar petog reda iz tabele 16.5, oblast 16.9:

ai bi

Filtar 1 a1 = 1 b1 = 0

Filtar 2 a2 = 0.6180 b2 = 1

Filtar 3 a3 = 0.6180 b3 = 1

19

Onda se dimenzionira svaki parcijalni filtar specificiranjem vrednosti kondenzatora i izračunavanjem potrebnih vrednosti otpornika.

Prvi filtar

Slika 16.20 NF filtar prvog reda sa jediničnim pojačanjem

Za C1 = 1 nF,

R1=a1

2 π f C C1= 1

2 π ∙ 50 ∙103 Hz ∙ 1∙ 10−9 F=3.18 k Ω

Najbliža 1% vrednost je 3.16 kΩ.

Drugi filtar

Slika 16.21 Sallen – Key NF filtar drugog reda sa jediničnim pojačanjem

Za C1 = 820 pF,

C2≥ C1

4 b2

a22 =820 ∙ 10−12 F ∙ 4 ∙1

1.6182 =1.26 nF

Najbliža 5% vrednost je 1.5 nF.

Za C1 = 820 pF i C2 = 1.5 nF, računaju se vrednosti za R1 i R2:

20

R1=a2C2−√a2

2C 22−4 b2 C1 C2

4 π f C C1C2R2=

a2C 2+√a22C2

2−4 b2C1C2

4 π f CC 1C2

i dobija se

R1=1.618 ∙1.5 ∙ 10−9−√(1.618∙ 1.5 ∙10−9)2−4 ∙ 1∙ 820 ∙ 10−12 ∙ 1.5∙ 10−9

4 π ∙ 50 ∙103∙ 820 ∙10−12 ∙1.5 ∙ 10−9 =1.87 k Ω

R2=1.618 ∙1.5 ∙10−9+√(1.618 ∙1.5∙10−9)2−4 ∙1 ∙820 ∙10−12 ∙1.5 ∙ 10−9

4π ∙ 50 ∙103 ∙ 820∙10−12 ∙1.5 ∙ 10−9 =4.42k Ω

R1 i R2 su dostupni otpornici sa tolerancijom 1%.

Treći filtar

Proračun trećeg filtra je indentičan proračunu drugog filtra osim što su a2 i b2 zamenjeni sa a3 i b3, što rezultira različitim vrednostima kondenzatora i otpornika.

Specificiranjem C1 = 330 pF, C2 dobijamo iz uslova:

C2≥ C1

4 b3

a32 =330 ∙ 10−12 F ∙ 4 ∙1

0.6182 =3.46 nF

Najbliža 10% vrednost je 4.7 nF.

Za C1 = 330 pF i C2 = 4.7 nF, vrednosti za R1 i R2 su: R1 = 1.45 kΩ sa najbližom 1% vrednošću 1.47 kΩ R2 = 4.51 kΩ sa najbližom 1% vrednošću 4.53 kΩ

Slika 16.22 Pokazuje konačno kolo filtra sa njegovm parcijalnim stepenima.

Slika 16.22 Buttterworth – ov NF filtar petog reda sa jediničnim pojačanjem

Projektovanje VF filtara

21

Zamenom otpornika NF filtra kondenzatorima i zamenom njegovih kondenzatora otpornicima dobija se VF filtar.

Slika 16.23 Transformacija NF filtra u VF zamenonm komponenata

Pojačanje VF filtra izgleda kao lik u ogledalu pojačanja NF filtra u odnosu na graničnu frekvenciju, Ω = 1, zato se Ω menja sa 1/Ω, a S sa 1/S u jednačini 16 – 1.

Slika 16.24 Pojačanje VF filtra

Opšta prenosna funkcija VF filtra je onda:

A (s )=A∞

∏i

(1+ai

s+

bi

s2 )(16−4)

gde je A∞ pojačanje u propusnom opsegu.

Dok jednačina 16 – 4 predstavlja prenosnu funkciju kaskadno povezanih filtara drugog stepena, prenosna funkcija jednog stepena je:

22

Ai (s )=A∞

(1+ai

s+

bi

s2 )(16−5)

Za b = 0 za sve filtre prvog reda, prenosna funkcija filtra prvog reda se uprošćuje:

A (s )=A0

1+ai

s

(16−6)

VF filtar prvog reda

Slike 16.25 i 16.26 pokazuju VF filtar prvog reda u invertujućoj i neinvertujućoj konfiguraciji.

Slika 16.25 Neinvertujući VF filtar prvog reda

Slika 16.26 Invertujući VF filtar prvog reda

Prenosne funkcije ovih kola su:

A (s )=1+

R2

R3

1+ 1ωC R1C1

∙ 1s

A (s )=−

R2

R1

1+ 1ωC R1C1

∙ 1s

Znak minus ukazuje da invertujući pojačavač stvara fazni pomeraj od 180° od ulaza do izlaza filtra.

23

Poređenjem koeficijenata između dve prenosne funkcije i jednačine 16 – 6 dobijaju se dva različita pojačanja u propusnom opsegu:

A∞=1+R2

R3A∞=

−R2

R1

dok je izraz za koeficijent a1 isti za oba kola:

a1=1

ωC R1C1

Elementi kola se dobijaju tako što se specificiraju vrednosti granične frekvencije (fC), pojačanja (A∞) i kondenzatora C1, a onda reše jednačine po R1 i R2:

R1=1

2 π f C a1C 1

R2=R3 ( A∞−1 ) R2=−R1 A∞

VF filtar drugog reda

VF filtri koriste iste dve strukture kao i NF filtri: Sallen – Key i MFB strukturu. Jedina razlika su zamenjene pozicije otpornika i kondenzatora.

Sallen – Key struktura

Opšta Sallen – Key struktura prikazana na slici 16.27 dozvoljava odvojeno podešavanje pojačanja preko A0 = 1 + R4/R3.

Slika 16.27 Opšti Sallen – Key VF filtar

Prenosna funkcija kola na slici 16.27 je:

24

A (s )= α

1+R2 (C1+C2 )+R1 C2(1−α )

ωC R1 R2C1C2∙ 1

s+ 1

ωC2 R1 R2 C1 C2

∙ 1s2

α=1+R4

R3

Struktura sa jediničnim pojačanjem na slici 16.28 obično se primenjuje kod filtara sa malim Q i sa visoko preciznim pojačanjem.

Slika 16.28 Sallen – Key VF filtar sa jediničnim pojačanjem

Da bi uprostili kolo uobičajeno je izabrati jedinično pojačanje (α = 1), i C 1 = C2 = C. Prenosna funkcija kola na slici 16.28 je onda uprošćena:

A (s )= 1

1+ 2ωc R1C

∙ 1s+ 1

ωC2 R1 R2C2 ∙ 1

s2

Poređenjem koeficijenata između ove prenosne funkcije i jednačine 16 – 5 dobija se:

A∞=1

a1=2

ωC R1C

b1=1

ωC2 R1 R2 C2

Za zadato C, računaju se vrednosti otpornika R1 i R2:

R1=1

π f C C a1

R2=a1

4 π f C b1

Struktura sa višestrukom reakcijom (MFB)

25

MFB struktura se obično koristi kod filtara koji imaju veliko Qs i zahtevaju veliko pojačanje. Da bi se uprostilo kolo, kondenzatori C1 i C3 uzimaju istu vrednost (C1 = C3 = C) kao što je prikazano na slici 16.29.

Slika 16.29 MFB VF filtar drugog reda

Prenosna funkcija kola na slici 16.29 je:

A (s )=− C

C2

1+2C+C2

ωC R1C C2∙ 1

s+

2C+C2

ωC R1C C2∙ 1s2

Poređenjem koeficijenata sa jednačinom 16 – 5 dobijaju se sledeće relacije:

A∞=CC2

a1=2C+C2

ωC R1C C2

b1=2C +C2

ωC R1C C2

Za zadate vrednosti kondenzatora C i C2 izračunavaju se otpornosti R1 i R2:

R1=1−2 A∞

2π f C ∙ C ∙ a1

R2=a1

2π f C ∙ b1 C2(1−2 A∞)

Pojačanje u propusnom opsegu (A∞) MFB VF filtra može značajno da se menja zahvaljujući velikoj toleranciji kondenzatora C i C2. Da bi se postigla minimalna promenljivost pojačanja potrebno je koristiti kondenzatore sa malom tolerancijom vrednosti.

VF filtar višeg reda

26

Takođe, kao i kod NF filtara VF filtri višeg reda su projektovani od kaskadno povezanih filtarskih stepena prvog i drugog reda. Koeficijenti filtara su isti oni koji su korišćeni za projektovanje NF filtara, i dati su u tabelama koeficijenata (tabele 16.4 do 16.10 u oblasti 16.9).

Primer 16.4 VF filtar trćeg reda sa fC = 1 kHz

Zadatak je projektovati Bessel – ov VF filtar trćeg reda sa jediničnim pojačanjem sa graničnom frekvencijom fC = 1 kHz. Koeficijenti za Bessel – ov filtar trećeg reda se dobijaju iz tabele 16.4, oblast 16.9.

ai bi

Filtar 1 a1 = 0.756 b1 = 0

Filtar 2 a2 = 0.9996 b2 = 0.4772

i dobijaju se vrednosti za parcijalne filtre specificiranjem vrednosti kondenzatora i izračunavanjem potrebnih vrednosti otpornika.

Prvi filtar

Za C1 = 100 nF,

R1=1

2π f C a1C1= 1

2 π ∙ 103 Hz ∙0.756 ∙ 100 ∙ 10−9 F=2.105 k Ω

Najbliža 1% vrednost je 2.1 kΩ.

Drugi filtar

Za C = 100 nF,

R1=1

π f C Ca1= 1

π ∙103 ∙100 ∙ 10−9 ∙0.756=3.18k Ω

Najbliža 1% vrednost je 3.16 kΩ.

R2=a1

4 π f CC b1= 0.9996

4 π ∙103 ∙100 ∙ 10−9 ∙ 0.4772=1.67 k Ω

Najbliža 1% vrednost je 1.65 kΩ.

Slika 16.30 pokazuje konačno kolo filtra.

27

Slika 16.30 Bessel – ov VF filtar trećeg reda sa jediničnim pojačanjem

Projektovanje filtra propusnika opsega (PO filtar)

U oblasti 16.4 odziv VF filtra je dobijen zamenom S u prenosnoj funkciji NF filtra sa 1/S. Takođe karakteristika PO filtra se dobija zamenom S sa:

1ΔΩ (s+ 1

s )(16−7)

U tom slučaju karakteristika propusnog opsega NF filtra je transformisana u gornju polovinu propusnog opsega PO filtra. Donji deo propusnog opsega je onda kao lik u ogledalu gornjeg dela propusnog opsega u odnosu na srednju frekvenciju fm (Ω = 1).

Slika 16.31 Transformacija NF filtra u PO filtar

Granična frekvencija NF filtra transformiše se u donju i gornju graničnu frekvenciju PO filtra, Ω1 i Ω2. Razlika između ovih frekvencija je definisana kao normalizovana širina propusnog opsega ΔΩ:

ΔΩ =Ω2 – Ω1

Normalizovana srednja frekvencija, gde je Q = 1, je:

Ωm = 1 = Ω1Ω2

U analogiji sa rezonantnim kolima, Q faktor je definisan kao odnos srednje frekvencije (fm) i širine propusnog opsega (B):

28

Q=f m

B=

f m

f 2−f 1= 1

Ω2−Ω1= 1

ΔΩ(16−8)

Najprostiji dizajn PO filtra je serijsko povezivanje VF i NF filtra, što se obično čini kod filtra sa širokim opsegom. Tako VF filtar prvog reda i NF filtar prvog reda čine PO filtar drugog reda, dok VF filtar drugog reda i NF filtar drugog reda daju PO filter četvrtog reda.

U poređenju sa filtrima širokog opsega filtri uskog opsega višeg reda sastoje se od kaskadno povezanih PO filtara drugog reda koji koriste Sallen – Key i MFB strukturu.

PO filtar drugog reda

Za dobijanje frekvencijskog odziva PO filtra drugog reda primenjuje se transformacija jednačine 16 – 7 u prenosnu funkciju NF filtra prvog reda:

A (s )=A0

1+s

Menjajući s sa: 1

ΔΩ (s+ 1s )

dobija se opšta prenosna funkcija za PO filtar drugog reda:

A (s )=A0 ∙ ΔΩ∙ s

1+ΔΩ ∙s+s2 (16−9)

Kod projektovanja PO filtara drugog reda parametri od interesa su pojačanje na srednjoj frekvenciji (Am), i Q faktor koji predstavlja selektivnost PO filtra.

Zbog toga, zamenom A0 sa Am i ΔΩ sa 1/Ω (jednačina 16 – 7) dobija se:

A (s )=

Am

Q∙ s

1+ 1Q

∙ s+s2(16−10)

Slika 16.32 Pokazuje normalizovano pojačanje PO filtra drugog reda za različito Qs.

29

Slika 16.32 Pojačanje PO filtra drugog reda

Grafik pokazuje da frekvencijski odziv PO filtra drugog reda postaje strmiji sa povećanjem Q, to čini filtar selektivnijim.

Sallen – Key struktura

Slika 16.33 Sallen – Key PO filtar

Sallen – Key kolo propusnik opsega na slici 16.33 ima sledeću prenosnu funkciju:

30

A (s )=G ∙ RC ωm ∙ s

1+RC ωm (3−G ) ∙ s+R2 C2 ωm2 ∙ s2

Poređenjem koeficijenata sa jednačinom 16 – 10 dobijaju se sledeće jednakosti:

f m=1

2 πRC

G=1+R2

R1

Am= G3−G

Q= 13−G

Sallen – Key kolo ima prednost zbog toga što Q faktor može da se menja unutrašnjim pojačanjem (G) bez modifikovanja srednje frekvencije (fm). Mana je da Q i Am ne mogu biti podešavani nezavisno. Mora se voditi računa da se G ne približi vrednosti 3 jer onda Am postaje beskonačno i uzrokuje da kolo osciluje.

Za podešavanje srednje frekvencije PO filtra, specificiramo fm i C i onda rešavamo po R:

R= 12 π f m C

Zbog zavisnosti između Q i Am postoje dva načina za rešavanje po R2: ili za podešavanje pojačanje na srednjoj frekvenciji:

R2=2 Am−11+ Am

ili za projektovanje za određeno Q:

R2=2Q−1

Q

Struktura sa višestrukom reakcijom (MFB)

31

Slika 16.34 MFB PO filtar

Kolo MFB filtra propusnika opsega na slici 16.34 ima sledeću prenosnu funkciju:

A (s )=

−R2 R3

R1+R3C ωm∙ s

1+2R2 R3

R1+R3C ωm ∙ s+

R1 R2 R3

R1+R3C2 ωm

2 ∙ s2

Poređenjem koeficijenata sa jednačinom 16 – 9 dobijaju se sledeće jednakosti:

f m=1

2πC √ R1+R3

R1 R2 R3

−Am=R2

2 R1

Q=π f m R2C

B= 1π R2C

MFB filtar propusnik opsega dozvoljava nezavisno podešavanje Q, Am i fm. Širina propusnog opsega i pojačanje ne zavise od R3. Zbog toga R3 može biti upotrebljeno za modifikovanje srednje frekvencije bez uticaja na širinu propusnog opsega, B, ili pojačanje Am. Za male vrednosti Q, filtar može da radi bez R3, Q onda zavisi od Am na sledeći način:

−Am=2Q 2

Primer 16.5 MFB filtar propusnik opsega drugog reda sa fm = 1 kHz

Za projektovanje MFB filtra prpusnika opsega drugog reda sa srednjom frekvencijom fm = 1 kHz, Q faktorom Q = 10 i pojačanjem Am = -2 uzimamo da je kondenzator C = 100 nF i rešavamo prethodne jednačine po R1, R2 i R3:

32

R2=Q

π f m C= 10

π ∙1kHz ∙100 nF=31.8 k Ω

R1=R2

−2 Am=31.8 k Ω

4=7.96 k Ω

R3=−Am R1

2 Q2+ Am

= 2∙ 7.96 k Ω200−2

=80.4 Ω

Filtar propusnik opsega četvrtog reda

Slika 16.32 pokazuje da frekvencijski odziv PO filtra drugog reda postaje strmija sa povećanjem Q. Postoje primene PO filtra koje zahtevaju ravno pojačanje blizu srednje frekvencije kao i oštar prelaz iz propusnog u nepropusni opseg. Ovi uslovi mogu biti postignuti PO filtrima višeg reda.

Od posebnog interesa je transformacija NF filtra u PO filtar, naročito filtara drugog reda što vodi stvaranju PO filtara četvrtog reda .

Zamenom S u jednačini 16 – 2 jednačinom 16 – 7 dobija se opšta prenosna funkcija PO filtra četvrtog reda:

A (s )=

s2 ∙ A0( ΔΩ)2

b1

1+a1

b1ΔΩ ∙ s+[2+

( ΔΩ )2

b1 ]∙ s2+a1

b1ΔΩ∙ s3+s4

(16−11)

Slično kao kod NF filtra prenosna funkcija filtra četvrtog reda je podeljena na dve funkcije filtara drugog reda. Daljom matematičkom modifikacijom dobija se:

A (s )=

Ami

Qi∙αs

[1+ αsQi

+ (αs )2]∙

Ami

Q i∙ α

s

[1+ 1Qi

( sα )+( s

α )2]

(16−12)

Jednačina 16 – 12 predstavlja serijsku vezu dva PO filtra drugogreda gde je: Ami pojačanje na srednjoj frekvenciji, fmi, svakog parcijalnog filtra Qi, Q faktor svakog filtra Α i 1/α su faktori pomoću kojih su srednje frekvencije pojedinačnih filtara, fm1 i fm2,

izvedene iz srednje frekvencije, fm, celokupnog filtra.

33

Kod PO filtra četvrtog reda sa velikim Q, srednja frekvencija dva parcijalna filtra razlikuje se neznatno od srednje frekvencije celokupnog filtra. Ovaj metod je poznat kao staggered tuning.

Faktor α treba da bude određen sukcesivnom aproksimacijom korišćenjem jednačine 16 – 13:

α 2+[ α ∙ ΔΩ ∙a1

b1 (1+α 2 ) ]+ 1α 2−2−(ΔΩ)2

b1=0(16−13)

gde su a1 i b1 koeficijenti željenog tipa NF filtra drugog reda.

Da bi se uprostilo projektovanje filtra, tabela 16.2 daje ove koeficijente i vrednosti za α za tri različite vrednosti Q faktora, Q = 1, Q = 10, Q = 100.

Tabela 16.2 Vrednosti α za različite tipove filtra i različito QsBessel Butterworth Tschebyscheff

a1 1.3617 a1 1.4142 a1 1.0650b1 0.6180 b1 1.0000 b1 1.9305Q 100 10 1 Q 100 10 1 Q 100 10 1ΔΩ

0.01 0.1 1 ΔΩ

0.01 0.1 1 ΔΩ

0.01 0.1 1

α 1.0032

1.0324

1.438

Α 1.0035

1.036

1.4426

α 1.0033

1.0338

1.39

Pošto je α određeno, sve veličine parcijalnih filtara mogu biti izračunate korišćenjem sledećih jednačina:Srednja frekvencija prvog filtra je:

f m1=f m

α(16−14)

Srednja frekvencija drugog filtra je:

f m2=f m∙ α (16−15)

gde je fm srednja frekvencija celokupnog filtra propusnika opsega četvrtog reda.

Pojedinačni Q faktor Qi je isti za oba filtra:

34

Q1=Q ∙(1+α2)b1

α ∙ a1(16−16)

gde je Q, Q faktor celokupnog filtra.

Pojedinačno pojačanje (Ami) na parcijalnim srednjim frekvencijama, fm1 i fm2, je isto za oba filtra:

Ami=Qi

Q∙√ Am

B1(16−17)

gde je Am pojačanje na srednjoj frekvenciji, fm, celokupnog filtra.

Primer 16.6 Butterworth – ov PO filtar četvrtog reda

Zadatak je projektovati Butterworth – ov PO filtar četvrtog reda sa sledećim parametrima:

Srednja frekvencija, fm = 10 kHz Širina propusnog opsega, B = 1000 Hz Pojačanje, Am = 1

Iz tabele 16.2 su dobijene sledeće vrednosti:

a1 = 1.4142 b1 = 1 α = 1.036

U saglasnosti sa jednačinama 16 – 14 i 16 – 15 srednje frekvencije parcijalnih filtara su:

f m1=10 kHz1.036

=9.653 kHz f m2=10 kHz ∙ 1.036=10.36 kHz

Q celokupnog filtra je definisano kao Q = fm/B, i za ovaj primer je Q = 10.

Korišćenjem jednačine 16 – 16 Qi oba filtra je:

Qi=10 ∙ (1+1.0362)∙ 11.036 ∙1.4142

=14.15

Pojačanja parcijalnih filtara u propusnom opsegu na fm1 i fm2, računaju se pomoću jednačine 16 – 17:

Ami=14.15

10∙√ 1

1=1.415

Jednačine 16 – 16 i 16 – 17 pokazuju da Qi i Ami parcijalnih filtara treba da budu podešeni nezavisno. Jedino kolo koje zadovoljava ovaj uslov je MFB PO filtar u paragrafu 16.5.1.2.

35

Za projektovanje pojedinačnih PO filtara drugog reda, specificiramo da je C = 10 nF, i stavljamo prethodno određene veličine parcijalnih filtara u jednačinama otpornika MFB PO filtra. Vrednosti otpornika za oba parcijalna filtra su izračunata ispod.

Filtar 1: Filtar 2:

R21=Qi

π f m 1C= 14.15

π ∙9.653 kHz ∙10 nF=46.7 k Ω R22=

Qi

π f m2 C= 14.15

π ∙10.36 kHz ∙10 nF=43.5 k Ω

R11=R21

−2 Ami= 46.7 k Ω

−2 ∙−1.415=16.5 k Ω R12=

R22

−2 Ami= 43.5 k Ω

−2 ∙−1.415=15.4 k Ω

R31=−Ami R11

2Qi2+ Ami

= 1.415∙16.5 k Ω2∙ 14.152+1.415

=58.1 Ω R32=−Ami R12

2 Qi2+ Ami

= 1.415 ∙15.4 k Ω2 ∙14.152+1.415

=54.2 Ω

Slika 16.35 upoređuje pojačanje Butterworth – ovog PO filtra četvrtog reda sa Q = 1 i njegovih parcijalnih filtara sa pojačanjem filtra četvrtog reda iz primera 16.4 sa Q = 10.

Slika 16.35 Pojačanje Butterworth – ovog filtra četvrtog reda i njegovih parcijalnih filtara

Projektovanje filtra nepropusnika opsega (NO filtar)

NO filtar se koristi da se potisne određena frekvencija češće nego opseg frekvencija.

36

Dva najpopularnija filtra nepropusnika opsega su aktivni dvostruki T filtar i aktivno Wien – Robinson – ovo kolo, oba kola su filtri drugog reda.

Da bi se dobila prenosna funkcija NO filtra drugog reda treba zameniti S izraz odziva NF filtra prvog reda sa izrazom 16 – 18.

ΔΩ

s+1s

(16−18)

što daje:

A (s )=A0(1+s2)

1+ΔΩ ∙ s+s2 (16−19)

Tako je karakteristika propusnog opsega NF filtra transformisana u donji propusni opseg NO filtra. Gornji propusni opseg je onda lik u ogledalu donjeg dela propusnog opsega u odnosu na srednju frekvenciju, fm (Ω = 1), (slika 16.36).

Slika 16.36 Transformacija NF u NO filtar

Granična frekvencija NF filtra transformiše se u donju i gornju grničnu frekvenciju filtra nepropusnika opsega Ω1 i Ω2. Razlika između dve frekvencije je normalizovani opseg ΔΩ:

ΔΩ = Ωmax – Ωmin

Indentično selektivnosti PO filtra, Q faktor NO filtra je definisan kao:

Q=f m

B= 1

ΔΩZbog toga zamenom ΔΩ u jednačini 16 – 19 sa 1/Q dobija se:

37

A (s )=A0(1+s2)

1+ 1Q

∙ s+s2(16−20)

Aktivni dvostruki T filtar

Originalni dvostruki T filtar, prikazan na slici 16.37, je pasivna RC mreža sa Q faktorom, Q = 0.25. Da bi se povećalo Q pasivni filtar je implementiran u povratnu petlju pojačavača, tako je preobražen u aktivni filtar nepropusnik opsega, prikazan na slici 16.38.

Slika 16.37 Pasivni dupli T filtar

Slika 16.38 Aktivni dvostruki T filtar

Prenosna funkcija aktivnog dvostrukog T filtra je:

A (s )= k (1+s2)1+2 (2−k ) ∙ s+s2 (16−21)

Upoređujući promenljive iz jednačine 16 – 21 sa promenljivama iz jednačine 16 – 20 dobijaju se jednakosti kojima se određuju parametri filtra:

f m=1

2πRCG=1+

R1

R2

A0=G

38

Q= 12(2−G)

Dvostruko T kolo ima povoljnost da Q faktor (Q) može biti menjan preko unutrašnjeg pojačanja (G) bez modifikovanja srednje frekvencije (fm). Q i Am ne mogu biti podešavani nezavisno.

Za postavljanje srednje frekvencije nepropusnog opsega, specificiramo fm i C, i onda rešavamo po R:

R= 12 π f m C

Zbog zavisnosti između Q i Am postoje dva načina za rešavanje po R2: ili da bi se podesilo pojačanje na srednjoj frekvenciji:

R2=( A0−1) R1

ili da bi se projektovao filtar sa određenim Q:

R2=R1(1− 12Q

)

Aktivni Wien – Robinson – ov filtar

Wien – Robinson – ov most na slici 16.39 je pasivni filtar nepropusnik opsega sa diferencijalnim izlazom. Izlazni napon je razlika između potencijala konstantnog napona razdelnika i izlaza filtra propusnika opsega. Njegov Q faktor je bliži tome nego kod dvostrukog T kola. Da bi se postigle više vrednosti Q, filtar je povezan u povratnu petlju pojačavača.

Slika 16.39 Pasivni Wien – Robinson – ov most

39

Slika 16.40 Aktivni Wien – Robinson – ov filtar

Aktivni Wien – Robinson – ov filtar na slici 16.40 ima prenosnu funkciju:

A (s )=

β1+α

(1+s2)

1+ 31+α

∙ s+s2(16−22)

gde je α = R2/R3 i β = R2/R4.

Poređenjem promenljivih iz jednačine 16 – 22 sa promenljivama iz jednačine 16 – 20 dobijaju se jednakosti pomoću kojih se određuju parametri filtra:

f m=1

2 πRC

A0=−β1+α

Q=1+αβ

Za izračunavanje vrednosti pojedinačnih komponenata, ustanovljavamo sledeću projektantsku proceduru:

1) Definišemo fm i C i računamo R:

R= 12 π f m C

2) Specificiramo Q i određujemo α preko:α=3Q−1

3) Specificiramo A0 i određujemo β preko:β=−A0∙ 3 Q

4) Definišemo R2 i računamo R3 i R4:

40

R3=R2

αR4=

R2

βU poređenju sa dvostrukim T kolom, Wien – Robinson – ov filtar dozvoljava modifikacije pojačanja u propusnom opsegu, A0, bez uticaja na Q faktor.

Ako fm nije potpuno potisnuto zahvaljujući tolerancijama R i C, potrebno je konačno podešavanje otpornika 2R2.

Slika 16.41 pokazuje poređenje između odziva pasivnog NO filtra sa Q = 0.25 i aktivnog filtra drugog reda sa Q = 1 i Q = 10.

Slika 16.41 Poređenje Q između pasivnih i aktivnih NO filtara

Projektovanje filtra propusnika svih frekvencija

U poređenju sa filtrima o kojima je prethodno bilo reči filtar propusnik svih frekvencija ima konstantno pojačanje preko celog frekvencijiskog opsega, i fazni odziv koji se menja linearno sa frekvencijom.

Zbog ovih osobina, filtar propusnik svih frekvencija se koristi za faznu kompenzaciju i kod kola za kašnjenje signala.

Slično kao kod NF filtara, kola propusnici svih frekvencija višeg reda sastoje se od kaskadno povezanih filtara propusnika svih frekvencija prvog i drugog reda. Za dobijanje prenosne funkcije filtra propusnika svih frekvencija od prenosne funkcije NF filtra treba zameniti A0 sa konjugovano kompleksnim imeniocem.

41

Opšta prenosna funkcija filtra propusnika opsega je onda:

A (s )=∏

i(1−a1 s+bi s

2)

∏i

(1+ai s+bi s2)

(16−23)

gde su ai i bi koeficijenti parcijalnih filtara. Koeficijenti filtara propusnika svih frekvencija su dati u tabeli 16.10 u oblasti 16.9.

Izražavanjem jednačine 16 – 23 po amplitudi i fazi dobija se:

A (s )=∏

i√(1−b i Ω

2)2+ai2 Ω2 ∙ e− ja

∏i

√(1−bi Ω2)2+ai

2 Ω2 ∙ e+ ja(16−24 )

Ovo daje konstantno pojačanje 1, i fazni pomeraj, φ:

ϕ=−2α=−2∑i

arctanai Ω

1−bi Ω2 (16−25)

Za prenos signala sa minimalnim faznim izobličenjem, filtar propusnik svih frekvencija mora da ima konstantno grupno kašnjenje preko određenog frekvencijiskog opsega. Grupno kašnjenje je vreme za koje filtar propusnik svih frekvencija zakašnjuje sve frekvencije unutar tog opsega.

Frekvencija na kojoj grupno kašnjenje opadne 1/√2 puta od njegove početne vrednosti je granična frekvencija, fC.

Grupno kašnjenje je definisano kao:

t gr=−dϕdω

(16−26)

Za predstavljanje grupnog kašnjenja u normalizovanom obliku treba naći odnos grupnog kašnjenja tgr sa periodom granične frekvencije, TC, kola propusnika svih frekvencija:

T gr=t gr

T C=t gr ∙ f C=t gr ∙

ωC

2 π(16−27)

Zamenom tgr u jednačini 16 – 26 dobija se:

T gr=−12 π

∙ dϕd Ω

(16−28)

42

Stavljanjem izraza za φ iz jednačine 16 – 25 u jednačinu 16 – 28 i završavanjem izvođenja dobija se:

T gr=1π ∑

i

a1(1+bi Ω2)

1+(a12−2 b1 ) ∙Ω2+b1

2 ∙ Ω4 (16−29)

Postavljanjem da je Ω = 0 u jednačini 16 – 29 dobija se grupno kačnjenje za niske frekvencije, 0 < Ω < 1, pa je:

T gr 0=1π ∑

iai(16−30)

Vrednosti za tgr su date u tabeli 16.10, oblast 16.9, za filtre od prvog do desetog reda.

Slika 16.42 pokazuje grupno kašnjenje u odnosu na frekvenciju za prvih deset redova filtara propusnika svih frekvencija.

Slika 16.42 Frekvencijski odziv grupnog kašnjenja za prvih deset redova filtara

Filtar propusnik svih frekvencija prvog reda

Slika 16.43 pokazuje filtar propusnik svih frekvencija prvog reda sa pojačanjem od +1 na niskim frekvencijama i pojačanjem od -1 na visokim frekvencijama. Zbog toga je amplituda pojačanja 1, dok se faza menja od 0° do -180°.

43

Slika 16.43 Filtar propusnik svih frekvencija prvog reda

Prenosna funkcija kola iznad je:

A (s )=1−RC ωC ∙ s1+RC ωC ∙ s

Poređenjem koeficijenata sa jednačinom 16 – 23 (b1 = 1) dobija se:

a i=RC ∙2 π f C (16−31)

Da bismo projektovali filtar propusnik svih frekvencija prvog reda, spcificiramo fC i C, i onda rešavamo po R:

R=ai

2 π f C ∙C(16−32)

Stavljanjem jednačine 16 – 31 u jednačinu 16 – 30 i menjanjem ωc jednačinom 16 – 27 dobija se maksimalno grupno kašnjenje filtra propusnika svih frekvencija prvog reda:

t gr 0=2 RC(16−33)

Filtar propusnik svih frekvencija drugog reda

Slika 16.44 pokazuje da jedini mogući dizajn filtra propusnika svih frekvencija drugog reda je oduzeti izlazni napon filtra propusnika opsega drugog reda od njegovog ulaznog napona.

Slika 16.44 Filtar propusnik svih frekvencija drugog reda

44

Prenosna funkcija kola sa slike 16.44 je:

A (s )=1+(2 R1−α R2 )C ωC ∙ s+R1 R2 C2 ωC

2 ∙ s2

1+2R1 C ωC ∙ s+R1 R2C2ωC2 ∙ s2

Poređenjem koeficijenata sa jednačinom 16 – 23 dobija se:

a1=4 π f C R1 C (16−34 )

b1=a1 π f C R2C (16−35 )

α=a1

2

b1= R

R3(16−36 )

Za projektovanje kola, specificiramo fC, C i R, i onda računamo vrednosti otpornika:

R1=a1

4 π f C C(16−37 )

R2=b1

a1 π f C C(16−38 )

R3=Rα

(16−39)

Stavljanjem jednačine 16 – 34 u jednačinu 16 – 30 i zamenom ωc jednačinom 16 – 27 dobija se maksimalno grupno kašnjenje filtra propusnika svih frekvencija drugog reda:

t gr 0=4 R1 C(16−40)

Filtar propusnik svih frekvencija višeg reda

Filtri propusnici svih frekvencija višeg reda se sastoje od kaskadno vezanih filtara prvog i drugog reda.

Primer 16.7 Filtar propusnik svih frekvencija sa kašnjenjem od 2 ms

Signal sa frekvencijskim spektrom, 0 < f < 1 kHz, treba da bude zakašnjen za 2 ms. Da bi se sačuvalo minimalno fazno izobličenje granična frekvencija filtra propusnika opsega svih frekvencija mora biti fC ≥ 1 kHz.

Jednačina 16 – 27 određuje normalizovano grupno kašnjenje za frekvencije ispod 1 kHz:

45

T gr 0=t gr 0

T C=2ms ∙1 kHz=2.0

Slika 16.42 potvrđuje da je potreban filtar propusnik svih frekvencija sedmog reda da ispuni željeno kašnjenje. Tačna vrednost je Tgr0 = 2.1737. Da bi se postiglo da grupno kašnjenje iznosi tačno 2 ms treba rešiti jednačinu 16 – 27 po fC i dobiti tačnu graničnu frekvenciju:

f C=T gr 0

t gr 0=1.087 kHz

Za završetak projektovanja treba naći koeficijente za filtar propusnik svih frekvencija sedmog reda, specificirati C, i izračunati vrednosti otpornika za svaki parcijalni filtar.

Kaskadno povezivanje filtra propusnika svih frekvencija prvog reda sa tri stepena drugog reda daje željeni filtar propusnik svih frekvencija sedmog reda.

Slika 16.45 Filtar propusnik svih frekvencija sedmog reda

46

Praktični saveti za projektovanje

Ovo poglavlje upoznaje sa tehnikama DC-biasing (metod postavljanja predeterminisanih napona i/ili struja na različitim tačkama kola kako bi se postavila odgovarajuća radna tačka) kod projektovanja filtera za primenu sa jednostrukim napajanjem, koje obično nisu potrebne kada filtri rade sa dvostrukim napajanjem. Takođe daje preporuke za izbor tipa i opsega vrednosti kondenzatora i otpornika kao i kriterijume za izbor odgovarajućeg operacionog pojačavača.

Biasing filtarskog kola

Slike filtara u ovom poglavlju su date za primenu sa dvostrukim napajanjem. Operacioni pojačavač radi od pozitivnog i negativnog napajanja, dok su ulaz i izlaz povezani na masu (slika 16.46).

Slika 16.46 Kolo filtra sa dvostrukim napajanjem

Za kolo sa jednostrukim napajanjem na slici 16.47, najniži napon napajanja je masa. Za simetrični izlazni signal, potencijal neinvertujućeg ulaza se naponski pomera (level-shifted) na sredinu opsega.

Slika 16.47 Kolo filtra sa jednostrukim napajanjem

47

Interfejs kondenzator za spajanje filtra sa prethodnim stepenom, CIN na slici 16.47, tzv. ac-couples filtar, blokira bilo koji nepoznati jednosmerni nivo iz izvora signala. Delitelj napona, koga čine dva jednaka otpornika RB, za podešavanje radne tačke deli napon napajanja na VMID i vodi ga na neinvertujući ulaz operacionog pojačavača. Za proste ulazne strukture filtra pasivne RC mreže često obezbeđuju jeftino rešenje za podešavanje radne tačke. U slučaju složenijih ulaznih struktura, kao što je ulaz NF filtra drugog reda, RC mreža može uticati na karakteristiku filtra. Onda je potrebno ili uzeti u obzir biasing mrezu u izračunavanje parametara filtra, ili ubaciti ulazni bafer između biasing mreze i kola filtra, kao što je prikazano na slici 16.48.

Slika 16.48 Biasing Sallen – Key NF filtra

CIN (ac-couples) filtar, blokira bilo koji jednosmerni nivo u izvoru signala. VMID je dobijeno od VCC preko razdelnika napona. Operacioni pojačavač radi kao voltage follower i kao konvertor impedanse. VMID se dovodi preko R1 i R2 na neinvertujući ulaz pojačavača filtra.

Treba primetiti da paralelno kolo od otpornika RB zajedno sa kondenzatorom CIN sačinjava VF filtar. Da bi se izbegao bilo kakav uticaj na karakteristiku NF filtra, granična frekvencija ulaznog VF filtra mora da bude niža u odnosu na graničnu frekvenciju aktuelnog NF filtra.

Korišćenje ulaznog bafera sprečava preopterećenje NF filtra, tako izračunavanje parametara filtra ostaje prosto.U slučaju filtra višeg reda, svi filtarski stepeni primaju bias nivo od prethodnog pojačavača filtra.

Slika 16.49 Pokazuje biasing MFB NF filtra.

48

Slika 16.49 Biasing MFB NF filtra drugog reda

Ulazni bafer razdvaja filtar od izvora signala. Filtar je sam biased preko neinvertujućeg ulaza pojačavača. U tu svrhu, bias - napon je uzet iz izlaza VMID generatora sa malom izlaznom impedansom. Operacioni pojačavač radi kao diferencijalni pojačavač i oduzima bias napon ulaznog bafera od bias napona VMID generatora, na nulu ulaznog signala.

Jeftina alternativa je da se ukloni operacioni pojačavač i da se umesto njega koristi pasivna biasing mreža. Da bi se efekat preoptrećenja održao na minimumu, vrednost otprnika RB

mora biti značajno veća nego sa operacionim pojačavačem.

Biasing Sallen – Key i MFB filtra je prikazano na slici 16.50.

Ulazni kondenzatori VF filtra već obezbeđuju povezivanje između filtra i izvora signala. Oba kola koriste VMID generator sa slike 16.50 za biasing. Dok je MFB kolo biasovano na neinvertujući ulaz pojačavača, Sallen – Key VF filtar je biasovan preko jedinog mogućeg jednosmernog puta, što je R1. U naizmeničnom kolu, ulazni signali prolaze preko izlaza niske impedanse operacionog pojačavača do mase.

49

Slika 16.50 Biasing Sallen – Key i MFB VF filtra

Izbor kondenzatora

Tolerancija izabranih kondenzatora i otpornika zavisi od osetljivosti filtra i od njegovih performansi.

Osetljivost je mera promenljivosti filtarskih performansi na promenu vrednosti komponente. Važni parametri filtra za razmatranje su granična frekvencija, fC i Q faktor

Na primer, kada se Q faktor promeni za ±2% zbog promene vrednosti kapacitivnosti od ±5%, onda se osetljivost Q faktora na promenu kapacitivnosti izražava kao: s(Q/C) = 2%/5% = 0.4 %/%. Sledeća aproksimacija osetljivosti primenjuje se na Sallen – Key i MFB filtre drugog reda:

s QC

≈ s QR

≈ sf C

C≈ s

f C

R≈ ± 0.5 %

%

Iako je 0.5 %/% mala razlika od idealnog parametra, u slučaju filtara višeg reda, kombinacija male razlike Q faktora i granične frekvencije fC u svakom parcijalnom filtru može značajno da modifikuje odziv celokupnog filtra u odnosu na očekivani odziv.

Slike 16.51 i 16.52 pokazuju kako Butterworth – ov NF filtar osmog reda može da se promeni u NF filtar sa Tschebyscheff – ljevom karakteristikom uglavnom zahvaljujući promenama kapacitivnosti u parciajlnim filtrima.

Slika 16.51 pokazuje razlike između idealnih i aktuelnih frekvencijskih odziva četiri parcijalna filtara. Odzivi celokupnog filtra su prikazani na slici 16.52.

50

Razlika između idalnih i realnih maksimuma odziva od 0.35 dB je otprilike 30 kHz, što je ekvivalentno ogromnoj greški pojačanja od 4.1 % koja može biti viđena.

Slika 16.51 Razlike u Q i fC u parcijalnim filtrima Butterworth – ovog NF filtra osmog reda

51

Slika 16.52 Modifikacija vernog Butterworth – ovog odziva u karakteristiku Tschebyscheff – ljevog tipa

Ako je ovaj filtar namenjen za primenu u akviziciji podataka, u najboljem slučaju mogao bi biti upotrebljen u četvorobitnom sistemu. Poređenja radi, ako je maksimalna greška dvanaestobitnog sistema data sa ½ LSB, onda bi maksimalna devijacija propusnog opsega bila -0.001 dB ili 0.012 %.

Da bi se smanjile promene Q i fC preporučljivo je koristiti NPO (COG) keramičke kondenzatore za filtre visokih performansi. Ovi kondenzatori zadržavaju svoju nominalnu vrednost u širokom temperaturskom i naponskom opsegu. Različite temperaturne karakteristike keramičkih kondenzatora su označena šifrom od tri simbola kao što su: COG, X7R, Z5U i Y5V.

COG tip keramičkih kondenzatora su najprecizniji. Njihov opseg nominalnih vrednosti je od 5 pF do otprilike 47 nF sa inicijalnim tolerancijama od ±0.25 pF za manje vrednosti sve do ±1 % za više vrednosti. Njihov drift kapacitivnosti u odnosu na temperaturu je tipično 30 ppm/C°.

X7R keramički kondenzatori imaju opseg vrednosti od 100 pF do 2.2 μF sa inicijalnom tolerancijom od +1 % i temperturnim driftom kapacitivnosti od ±15 %.

Za više vrednosti treba koristiti tantal elektrolitske kondenzatore.

Drugi precizni kondenzatori su srebrno liskunski, metalizirani polikarbonatski, a za visoke temperature polipropilenski i polistirenski.Pošto vrednosti kondenzatora nisu tako krajnje podeljene u grupe kao vrednosti otpornika, trebalo bi vrednosti kondenzatora definisati pre odabira otpornika. Ako precizni kondenzatori nisu dostupni za obezbeđivanje preciznog odziva filtra, onda je potrebno meriti individualne vrednosti kondenzatora, i izračunati vrednosti otpornika na taj način.

Za filtre visokih performansi preporučljivo je koristiti otpornike sa tolerancijom od 0.1 %.

Vrednosti komponenata

Vrednosti otpornika treba da ostanu u osegu od 1 kΩ do 100 kΩ. Donji limit izbegava prekomerno vučenje struje iz izlaza operacionog pojačavača, što je posebno važno za operacione pojačavače sa jednostrukim napajanjem pri primenama osetljivim na snagu. Ovi pojačavači imaju tipičnu izlaznu struju od 1 mA do 5 mA, ova struja prolazi kroz otpornost od minimalno 1 kΩ.

Gornje ograničenje od 100 kΩ izbegava prekomeran šum otpornika.

Vrednosti kondenzatora mogu biti u opsegu od 1nF do nekoliko μF. Donje ograničenje sprečava dolaženje preblizu do parazitnih kapacitivnosti. Ako je ulazna kapacitivnost operacionog pojačavača, koji se koristi u Sallen – Key filtarskoj sekciji, blizu 0.25 %

52

vrednosti C1,(C1/400) mora biti razmotren za tačan odziv filtra. MFB struktura, poređenja radi, ne zahteva kompenzaciju ulazne kapacitivnosti.

Izbor operacionog pojačavača

Najvažniji parametar operacionog pojačavača za pravilno funkcionisanje filtra je širina opsega jediničnog pojačanja. Pojačanje otvorene petlje (AOL) treba da bude 100 puta (40 dB iznad) vršnog pojačanja (Q) filtarske sekcije da bi dopustio maksimalnu grešku pojačanja od 1 %.

Slika 16.53 Pojačanje otvorene petlje (AOL) i odziv filtra (A)

Sledeće jednačine su dobra pravila da se odredi potrebna širina opsega jediničnog pojačanja operacionog pojačavača za pojedinačnu filtarsku sekciju.

1) Filtar prvog reda:

fT = 100∙Gain∙fC

2) Filtar drugog reda (Q < 1):

fT = 100∙Gain∙fC∙ki gde je ki = fCi/fC

3) Filtar drugog reda (Q > 1):

f T=100 ∙Gain∙f C

ai √ Qi2−0.5

Qi2−0.25

Na primer, Tschebyscheff – ljev NF filtar petog reda sa maks. slabljenjem 3 dB u propusnom opsegu i pojačanjem A0 = 2 ima najgori slučaj za Q u trećoj filtarskoj sekciji. Za Q3 = 8.82 i a3 = 0.1172, operacioni pojačavač treba da ima širinu opsega jediničnog pojačanja:

53

f T=100 ∙ 2∙ 10 kHz0.1172 √ 8.822−0.5

8.822−0.25=17 MHz

Poređenja radi, Butterworth – ov NF filtar petog reda sa jediničnim pojačanjem i graničnom frekvencijom 10 kHz, ima najgori slučaj za Q kad je Q3 = 1.62 i a3 = 0.618. zahvaljujući nižoj vrednosti Q, fT je takođe manje i dobija se da je samo:

f T=100 ∙ 10 kHz0.618 √ 1.622−0.5

1.622−0.25=1.5 MHz

Osim dobre dc preformanse, malog šuma, i malog izobličenja signala, još jedan važan parametar koji određuje brzinu operacionog pojačavača je brzina odziva(Slew Rate). Za odgovarajući odziv pune snage, brzina odziva mora biti veća od:

SR = π∙VPP∙fC

Na primer, filtar sa jednostrukim napajanjem i fC = 100 kHz, i izlaznim naponom 5VPP

zahteva vreme odziva od najmanje:

SR = π∙5V∙100 kHz = 1.57 V/μs

Texas instruments nudi veliki izbor operacionih pojačavača za filtre visokih performansi za primenu sa jednostrukim napajanjem. Tabela 16.3 daje izbor pojačavača sa jednostrukim napajanjem sortiranim u rastućem redosledu po brzini odziva.

Tabela 16.3 Karakteristike operacionih pojačavača sa jednostrukim napajanjem(TA = 25 °C , VCC = 5 V)

OP AMP BW(MHz)

FPR(kHz)

SR(V/μs)

VIO

(mV)Noise

(nV/√Hz)TLV2721 0.51 11 0.18 0.6 20TLC2201A 1.8 159 2.5 0.6 8TLV2771A 4.8 572 9 1.9 21TLC071 10 1000 16 1.5 7TLE2141 5.9 2800 45 0.5 10.5THS4001 270 127 MHz 400 6 7.5

Tabele filtarskih koeficijenata

Sledeće tabele sadrže koeficijente za tri tipa filtra, Bessel – ov, Butterworth – ov i Tschebyscheff – ljev. Tschebyscheff - ljeve tabele(tabela 16.9) su podeljene u kategorije po sledećim maks. slabljenjima u propusnom opsegu: 0.5 dB, 1 dB, 2 dB, 3 dB.

Zaglavlje tabele sadrži sledeće veličine:

54

n je red filtra.

i je broj parcijalnih filtara.

ai, bi su koeficijenti filtra.

ki je odnos granične frekvencije parcijalnog filtra, fCi, i granične frekvencije celokupnog filtra, fC. Ovaj odnos se koristi za određivanje opsega jediničnog pojačanja operacionog pojačavača, kao i za uprošćenje testiranja filtarskog dizajna merenjem fCi i upoređivanjem sa fC.

Qi je faktor kvaliteta parcijalnog filtra.

fi/fC ovaj odnos se koristi u svrhu testiranja filtara propusnika svih frekvencija gde je fi frekvencija na kojoj je faza 180° za filtar propusnik svih frekvencija drugog reda i 90° za filtar propusnik svih frekvencija prvog reda.

Tgr0 je normalizovano grupno kašnjenje celokupnog filtra propusnika svih frekvencija.

Tabela 16.4 Bessel – ovi koeficujentin i ai bi ki =

fCi/fC

Qi

1 1 1.0000 0.0000 1.000 ―

2 1 1.3617 0.6180 1.000 0.58

3 1 0.7560 0.0000 1.323 ―2 0.9996 0.4772 1.414 0.69

4 1 1.3397 0.4889 0.978 0.522 0.7743 0.3890 1.797 0.81

5 1 0.6656 0.0000 1.502 ―2 1.1402 0.4128 1.184 0.563 0.6216 0.3245 2.138 0.92

6 1 1.2217 0.3887 1.063 0.512 0.9686 0.3505 1.431 0.61

55

3 0.5131 0.2756 2.447 1.02

7 1 0.5937 0.0000 1.648 ―2 1.0944 0.3395 1.207 0.533 0.8304 0.3011 1.695 0.664 0.4332 0.2381 2.731 1.13

8 1 1.1112 0.3162 1.164 0.512 0.9754 0.2979 1.381 0.563 0.7202 0.2621 1.963 0.714 0.3728 0.2087 2.992 1.23

9 1 0.5386 0.0000 1.857 ―2 1.0244 0.2834 1.227 0.523 0.8710 0.2636 1.574 0.594 0.6320 0.2311 2.226 0.765 0.3257 0.1854 3.237 1.32

10 1 1.0215 0.2650 1.264 0.502 0.9393 0.2549 1.412 0.543 0.7815 0.2351 1.780 0.624 0.5604 0.2059 2.479 0.815 0.2883 0.1665 3.466 1.42

Tabela 16.5 Butterworth – ovi koeficijentin i ai bi ki =

fCi/fC

Qi

1 1 1.0000 0.0000 1.000 ―

2 1 1.4142 1.0000 1.000 0.71

3 1 1.0000 0.0000 1.000 ―2 1.0000 1.0000 1.272 1.00

4 1 1.8478 1.0000 0.719 0.542 0.7654 1.0000 1.390 1.31

5 1 1.0000 0.0000 1.000 ―2 1.6180 1.0000 0.859 0.623 0.6180 1.0000 1.448 1.62

6 1 1.9319 1.0000 0.676 0.522 1.4142 1.0000 1.000 0.71

56

3 0.5176 1.0000 1.479 1.93

7 1 1.0000 0.0000 1.000 ―2 1.8019 1.0000 0.754 0.553 1.2470 1.0000 1.117 0.804 0.4450 1.0000 1.499 2.25

8 1 1.9616 1.0000 0.661 0.512 1.6629 1.0000 0.829 0.603 1.1111 1.0000 1.206 0.904 0.3902 1.0000 1.512 2.56

9 1 1.0000 0.0000 1.000 ―2 1.8794 1.0000 0.703 0.533 1.5321 1.0000 0.917 0.654 1.0000 1.0000 1.272 1.005 1.3473 1.0000 1.521 2.88

10 1 1.9754 1.0000 0.655 0.512 1.7820 1.0000 0.756 0.563 1.4142 1.0000 1.000 0.7104 0.9080 1.0000 1.322 1.105 0.3129 1.0000 1.527 3.20

Tabela 16.6 Tschebyscheff – ljevi koeficijenti za maks. slabljenje 0.5 dB u propusnom opsegu

n i ai bi ki =fCi/fC

Qi

1 1 1.0000 0.0000 1.000 ―

2 1 1.3614 1.3827 1.000 0.86

3 1 1.8636 0.0000 0.537 ―2 0.0640 1.1931 1.335 1.71

4 1 2.6282 3.4341 0.538 0.712 0.3648 1.1509 1.419 2.94

5 1 2.9235 0.0000 0.342 ―2 1.3025 2.3534 0.881 1.183 0.2290 1.0833 1.480 4.54

6 1 3.8645 6.9797 0.366 0.68

57

2 0.7528 1.8573 1.078 1.813 0.1589 1.0711 1.495 6.51

7 1 4.0211 0.0000 0.249 ―2 1.8729 4.1795 0.645 1.093 0.4861 1.5676 1.208 2.584 0.1156 1.0443 1.517 8.84

8 1 5.1117 11.9607 0.276 0.682 1.0639 2.9365 0.844 1.613 0.3439 1.4206 1.284 3.474 0.0885 1.0407 1.521 11.53

9 1 5.1318 0.0000 0.195 ―2 2.4283 6.6307 0.506 1.063 0.6839 2.2908 0.989 2.214 0.2559 1.3133 1.344 4.485 0.0695 1.0272 1.523 14.58

10 1 6.3648 18.3695 0.222 0.672 1.3582 4.3453 0.689 1.533 0.4822 1.9440 1.091 2.894 0.1994 1.2520 1.381 5.615 0.0563 1.0263 1.533 17.99

Tabela 16.7 Tschebyscheff – ljevi koeficijenti za maks. slabljenje 1 dB u propusnom opsegu

n i ai bi ki =fCi/fC

Qi

1 1 1.0000 0.0000 1.000 ―

2 1 1.3022 1.5515 1.000 0.96

3 1 2.2156 0.0000 0.451 ―2 0.5442 1.2057 1.353 2.02

4 1 2.5904 4.1301 0.540 0.782 0.3039 1.1697 1.417 3.56

5 1 3.5711 0.0000 0.280 ―2 1.1280 2.4896 0.894 1.403 0.1872 1.0814 1.486 5.56

58

6 1 3.8437 8.5529 0.366 0.762 0.6292 1.9124 1.082 2.203 0.1296 1.0766 1.493 8.00

7 1 4.9520 0.0000 0.202 ―2 1.6338 4.4899 0.655 1.303 0.3987 1.5834 1.213 3.164 0.0937 1.0432 1.520 10.90

8 1 5.1019 14.7608 0.276 0.752 0.8916 3.0426 0.849 1.963 0.2806 1.4334 1.285 4.274 0.0717 1.0432 1.520 14.24

9 1 6.3415 0.0000 0.158 ―2 2.1252 7.1711 0.514 1.263 0.5624 2.3278 0.994 2.714 0.2076 1.3166 1.346 5.535 0.0562 1.0258 1.533 18.03

10 1 6.3634 22.7468 0.221 0.752 1.1399 4.5167 0.694 1.863 0.3939 1.9665 1.093 3.564 0.1616 1.2569 1.381 6.945 0.0455 1.0277 1.532 22.26

Tabela 16.8 Tschebyscheff – ljevi koeficijenti za maks. slabljenje 2 dB u propusnom opsegu

n i ai bi ki =fCi/fC

Qi

1 1 1.0000 0.0000 1.000 ―

2 1 1.1813 1.7775 1.000 1.13

3 1 2.7994 0.0000 0.357 ―2 0.4300 1.2036 1.378 2.55

4 1 2.4025 4.9862 0.550 0.932 0.2774 1.1896 1.413 4.59

5 1 4.6345 0.0000 0.216 ―2 0.9090 2.6036 0.908 1.783 0.1434 1.0750 1.493 7.23

59

6 1 3.5880 10.4648 0.373 0.902 0.4925 1.9622 1.085 2.843 0.0995 1.0826 1.491 10.46

7 1 6.4760 0.0000 0.154 ―2 1.3258 4.7649 0.665 1.653 0.3067 1.5927 1.218 4.124 0.0714 1.0384 1.523 14.28

8 1 4.7743 18.1510 0.282 0.892 0.6991 3.1353 0.853 2.533 0.2153 1.4449 1.285 5.584 0.0547 1.0461 1.518 18.39

9 1 8.3190 0.0000 0.120 ―2 1.7299 7.6580 0.522 1.603 0.4337 2.3549 0.998 3.544 0.1583 1.3174 1.349 7.255 0.0427 1.0232 1.536 23.68

10 1 5.9618 28.0376 0.226 0.892 0.8947 4.6644 0.697 2.413 0.3023 1.9858 1.094 4.664 0.1233 1.2614 1.380 9.115 0.0347 1.0294 1.531 29.27

Tabela 16.9 Tschebyscheff – ljevi koeficijenti za maks. slabljenje 3 dB u propusnom opsegu

n i ai bi ki =fCi/fC

Qi

1 1 1.0000 0.0000 1.000 ―

2 1 1.0650 1.9305 1.000 1.30

3 1 3.3496 0.0000 0.299 ―2 0.3559 1.1923 1.396 3.07

4 1 2.1853 5.5339 0.557 1.082 0.1964 1.2009 1.410 5.58

5 1 5.6334 0.0000 0.178 ―2 0.7620 2.6530 0.917 2.143 0.1172 1.0686 1.500 8.82

60

6 1 3.2721 11.6773 0.379 1.042 0.4077 1.9873 1.086 3.463 0.0815 1.0861 1.489 12.78

7 1 7.9064 0.0000 0.126 ―2 1.1159 4.8963 0.670 1.983 0.2515 1.5944 1.222 5.024 0.0582 1.0348 1.527 17.46

8 1 4.3583 20.2948 0.286 1.032 0.5791 3.1808 0.855 3.083 0.1765 1.4507 1.285 6.834 0.0448 1.0478 1.517 22.87

9 1 10.1759 0.0000 0.098 ―2 1.4585 7.8971 0.526 1.933 0.3561 2.3651 1.001 4.324 0.1294 1.3165 1.351 8.875 0.0348 1.0210 1.537 29.00

10 1 5.4449 31.3788 0.230 1.032 0.7414 4.7363 0.699 2.943 0.2479 1.9952 1.094 5.704 0.1008 1.2638 1.380 11.155 0.0283 1.0304 1.530 35.85

Tabela 16.10 Koeficijenti filtara propusnika svih frekvencijan i ai bi fi/fC Qi Tgr0

1 1 0.6436 0.0000 1.554 ― 0.2049

2 1 1.6278 0.8832 1.064 0.58 0.5181

3 1 1.1415 0.0000 0.876 ― 0.84372 1.5093 1.0887 0.959 0.69

4 1 2.3370 1.4878 0.820 0.52 1.17382 1.3506 1.1837 0.919 0.81

5 1 1.2974 0.0000 0.771 ― 1.50602 2.2224 1.5685 0.798 0.563 1.2116 1.2330 0.901 0.92

61

6 1 2.6117 1.7763 0.750 0.51 1.83952 2.0706 1.6015 0.790 0.613 1.0967 1.2596 0.891 1.02

7 1 1.3735 0.0000 0.728 ― 2.17372 2.5320 1.8169 0.742 0.533 1.9211 1.6116 0.788 0.664 1.0023 1.2734 0.886 1.13

8 1 2.7541 1.9420 0.718 0.51 2.50842 2.4174 1.8300 0.739 0.563 1.7850 1.6101 0.788 0.714 0.9239 1.2822 0.883 1.23

9 1 1.4186 0.0000 0.705 ― 2.84342 2.6979 1.9659 0.713 0.523 2.2940 1.8282 0.740 0.594 1.6644 1.6027 0.790 0.765 0.8579 1.2862 0.882 1.32

10 1 2.8406 2.0490 0.699 0.50 3.17862 2.6120 1.9714 0.712 0.543 2.1733 1.8184 0.742 0.624 1.5583 1.5923 0.792 0.815 0.8018 1.2877 0.881 1.42

LITERATURAACTIVE FILTER DESIGN TECHNIQUES by THOMAS KUGELSTADT

62