Elektrostatika - germanski.mkgermanski.mk/wp-content/uploads/2017/08/Elektrostatika.pdf · ELEKTROSTATIKA 1. Da se presmeta Kulonovata sila so koja {to se privlekuvaat dva elektrona

Zbirka zada~i od fizika ELEKTROSTATIKA _____________________________________________________________________________________

136

4. ELEKTROSTATIKA

1. Da se presmeta Kulonovata sila so koja {to se privlekuvaat dva elektrona koi {to se nao|aat na me|usebno

rastojanie m 102 10−⋅=r . Da se opredeli kolku pati ovaa sila e pogolema od gravitacionata sila pome|u dvata elektroni. Re{enie: Dadeno: Se bara:

m 102 10−⋅=r a) ?−CF , b) ?−gC FF

Silata CF so koja {to se privlekuvaat dva to~kesti

polneì naelektrizirani so koli~estva na elektri~estva 1Q

i 2Q postaveni na me|usebno rastojanie r , se opredeluva spored Kulonoviot zakon:

2

21

r

QQKFC = (1)

kade {to 2

29

C

Nm 109 ⋅=K e Kulonova konstanta.

a) Kulonovata sila pome|u dvata elektrona }e bide:

2

2

r

eKFC = (2)

kade {to C 106,1 19−⋅=e e polneòt na elektronot, i iznesuva:

N 102,4 40⋅=CF .

b) Gravitacionata sila pome|u dvata elektroni }e bide:

2

2

r

mF e

g γ= (3)

kade {to kg 101,9 31−⋅=em e masata na elektronot. Ako se

podelat ravenkite (2) i (3) se dobiva:

40

2

102,4 ⋅=

=

eg

C

m

eK

F

F

γ (4)

{to zna~i deka Kulonovata sila so koja {to se privlekuvaat

dva elektroni e od red 4010 pati pogolema od gravitacionata sila pome|u tie dva elektroni.


137

*2. Dve top~iwa so ednakvi masi od po g 3,0=m visat

edno do drugo zaka~eni na konci dolgi m 3,0=l vo vakuum.

Top~iwata se naelektrizirani so ednakvo koli~estvo elektri~estvo q i po odbivaweto, se na{le na me|usebno rastojanie cm 10=r . Kolkav e polneòt q koj {to go nosi sekoe top~e? Kolkava e ja~inata na elektri~noto pole vo to~kata kade {to se nao|a sekoe top~e? Re{enie: Dadeno: Se bara:

kg 103g 3,0 -4⋅==m , m 3,0=l , m 0,1cm 10 ==r ?−q

→→= gmP

'x

→T

α

0

l

CF→

'y

2/r 2/r

Sl.1

→→→→

=++ amPFT C (1) Proekciite na vektorskata ravenka (1) na oskite od koordi-natniot sistem (sl.1) se:

- na :0x 0sin =− αTFC (2)

- na :0y 0cos =−− αTmg (3)

Silata na zategnuvawe na konecot da ja izrazime od (3):

αcos

mgT = (4)

i da ja zamenime vo (2). Za Kulonovata sila od (2) toga{ dobivame:

αtg⋅= mgFC (5)

Od sl.1 lesno se voo~uva deka:

( )22 2

2tg

rl

r

−=α (6)

Posle odbivaweto na dvete naelektrizirani top~iwa, siste-mot }e se najde vo ramnoteà, taka {to na sekoe od top~iwata }e dejs-

tvuvaat tri sili: Kulonovata CF→

, silata na zategnuvawe na konecot →T i silata na zemjinata teà

→P .

Vtoriot Wutnov zakon za sistemot prikaàn na sl.1 glasi:


138

So zamena na (6) vo (5) za Kulonovskata sila se dobiva:

224 rl

mgrFC

−= (7)

Od druga strana, psored Kulonoviot zakon:

2

2

r

qKFC = (8)

Posle izedna~uvawe na ravenkite (7) i (8):

2

2

224 r

qK

rl

mgr =−

(9)

za koli~estvoto elektri~estvo so koe {to e naelektrizirano sekoe od top~iwata se dobiva:

2

1

22

3

4

−=

rlK

mgrq (10)

So zamena na brojnite vrednosti vo (10) se dobiva:

C 103,2 8−⋅=q .

Ja~inata na elektri~noto pole vo to~kata kade {to se nao|a prvoto top~e (koordinatniot po~etok na sl.1) se pres-metuva kako:

q

FE C= (11)

So zamena na (7) i (10) vo (11) za ja~inata na elektri~noto pole se dobiva:

2

1

22

22

4

4

−−=

rl

rlKmgrE (12)

So zamena na brojnite vrednosti vo (12) imame:

mV 1013,2 4⋅=E .


139

3. Dva to~kesti elektri~ni polneì C 103 81

−⋅=q i

C 103 92

−⋅=q se nao|aat vo vozduh na me|usebno rastojanie

m 1=r . Na opredeleno mesto vdol` linijata {to gi spojuva

polneìte treba da se postavi tret polne` 3q , taka {to

sistemot da bide vo ramnoteà. Kolkavo treba da bide

rastojanieto pome|u polneìte 1q i 3q ?

Re{enie: Dadeno: Se bara:

C 103 81

−⋅=q , C 103 92

−⋅=q , m 1=r ?1 −r

Sl.1

vite sili so koi {to 1q , odnosno 2q zaemnodejstvuvaat so 3q

(sl.1). Ravenkata (1) e ekvivalentna na uslovot:

2313 FF = (2)

Imaj}i vo predvid deka:

2

1

3113

r

qqKF = (3)

i 2

2

3223

r

qqKF = (4)

od (2) se dobiva:

2

2

322

1

31

r

qqK

r

qqK = (5)

odnosno, bidej}i: 12 rrr −= , od (5) se dobiva kvadratna ravenka po 1r :

( ) 02 211121

21 =−+− rqrqrqqr (6)

Uslovot na zada~ata e zadovolen samo za:

21

2111 qq

qqrrqr

−+

= (7)

odnosno: m 73,01=r .

Za da bide sistemot vo ramnoteà, treba da vaì:

02313 =+→→FF (1)

kade {to 13

→F i 23

→F se Kulono-

r

23

→F

1q

+ + +1r 2r

13

→F

2q3q


140

4. êtiri to~kesti polneì naelektrizirani so koli-~estva elektri~estva q− , q− , q− i q+ se postaveni vo

temiwata na kvadrat so strana a . Da se opredeli elektrostat-skata sila so koja {to negativno naelektriziranite polneì dejstvuvaat na pozitivno naelektriziraniot polne`. Re{enie: Dadeno: Se bara: q± , a ?−F

Sl.1 Rezultantnata sila 'F dobiena kako superpozicija na

silite 1F i 2F e:

22

21' FFF += (3)

So zamena na izrazite (1) vo (3) se dobiva:

2'2

2

r

qKF = (4)

Vkupnata sila so koja {to negativnite polneì dejstvuvaat na pozitivniot e:

3' FFF += (5)

So zamena na (2) i (4) vo (5) kone~no se dobiva:

+=2

12

2

2

r

qKF (6)

Nasokata na silite so koi {to negativno naelektriziranite pol-neì q− dejstvuvaat na pozitivno

naelektriziraniot q e prikaàna na sl.1. Modulite na silite se slednite:

2

2

21a

qKFF == (1)

2

2

32a

qKF = (2)

1

→F

q−

2

→F

'→F

3

→F

q−

q−q


141

5. Tri to~kasti polneì so koli~estvo elektri~estvo

qqqq === 321 se nao|aat vo temiwata na ramnostran triagol-

nik so strana a . Da se opredeli elektrostatskata sila koja {to dejstvuva na sekoj polne`. Re{enie: Dadeno: Se bara:

qqqq === 321 , a ?−F

α

1

→F

y

aq q

q

2

→F2

α

Sl.1

yy FFF 21 += (2)

kade {to yF1 i yF2 se proekciite na silite 1F i 2F na y -

oskata prikaàna na sl.1 i iznesuvaat:

2

cos121α

FFF yy == (3)

So zamena na (3) vo (2) se dobiva:

2

cos22

2 αa

qKF = (4)

ili:

32

2

a

qKF = (5)

ako se zeme vo predvid deka kaj ramnostraniot triagolnik o60=α .

Bidej}i triagolnikot e ramno-stran, a vo negovite temiwa se nao|aat istoimeno naelektrizirani tela so ednakvi koli~estva elektri-~estva, elektrostatskite sili koi {to }e dejstvuvaat na sekoj polne` }e bidat ednakvi. Nivnite nasoki se prikaàni na sl.1, a modulite izne-suvaat:

2

2

21a

qKFF == (1)

Rezultantnata sila ima nasoka normalna na stranata a i modul:


142

6. Dva ednakvi pozitivni polneì C109 821

−⋅=== qqq se

nao|aat vo vozduh na rastojanie m 1=r . Da se opredeli ja~inata na elektrostatskoto pole vo to~ka {to e oddale~ena od polneìte na rastojanie m 1=r . Re{enie: Dadeno: Se bara:

C109 821

−⋅=== qqq , m 1=r ?−E

Sl.1 se ja~ini na elektri~noto pole koi {to poteknuvaat od dvata polneì na sl.1 i iznesuvaat:

221

r

qKEE == (3)

Rezultantnoto pole vo to~kata A iznesuva: 21 EEE += (4)

odnosno, imaj}i ja vo predvid (3):

2

cos22

αr

qKE = (5)

Bidej}i triagolnikot na sl.1 e ramnostran, o60=α , pa (5) stanuva:

32r

qKE = (6)

So zamena na brojnite vrednosti vo (6) se dobiva:

mV 3,1401=E .

To~kata vo koja {to treba da se presmeta elektri~noto pole e temeto A na ramnostranot triagolnik na sl.1. Spored principot na superpozicija, rezultantnoto pole vo to~kata A iznesuva:

21

→→→+= EEE (1)

kade {to:

21 EE = (2)

1

→E

A

→E

α

y

q

2

→E 2

α

q


143

7. Dva to~kesti polneì C 102 71

−⋅=q i C 104 72

−⋅−=q se

nao|aat vo kerozin na rastojanie cm 10=a . Kolkava e ja~inata na elektrostatskoto pole vo to~kata A koja {to se nao|a na

rastojanie cm 201 =r od edniot i cm 152 =r od drugiot polne`?

Relativnata dielektri~na konstanta na kerozinot e 2=rε .

Re{enie: Dadeno:

C 102 71

−⋅=q , C 104 72

−⋅−=q , m 0,1cm 10 ==a , m 0,2cm 201 ==r ,

m 0,15cm 152 ==r , 2=rε

Se bara: ?−E

A

1rγ

1q2q

1

→E

a

→E

2

→E

γ

2r

Sl.1 se elektri~nite poliwa vo to~kata A sozdadeni od polneìte

1q i 2q soodvetno. Od triagolnikot Aqq 21∆ na sl.1, spored

kosinusnata teorema se dobiva:

21

222

21

2cos

rr

arr −+=γ (4)

So zamena na (2), (3) i (4) vo (1) se dobiva:

−+−+=

21

222

21

22

21

214

2

22

41

21

22

rr

arr

rr

qq

r

q

r

qKE

rε (5)

odnosno: mV 108,6 4⋅=E .

Rezultantnoto elektri-~no pole vo to~kata Ae prika-àno na sl.1 i toa spored kosinusnata teorema iznesuva:

γcos2 2122

21

2 EEEEE −+= (1)

kade {to:

2

1

11

r

qKE

rε= (2)

2

2

22

r

qKE

rε= (3)


144

8. Na sredinata na edna tabaka so dijametar d se

ispu{teni ~etiri top~iwa so vkupen polne` Q . Kako }e se

rasporedat top~iwata i kolkava sila }e dejstvuva na sekoe od niv? Re{enie: Dadeno: Se bara: Q , d ?−F

1

→F

4Q

4Q

4Q a 2

→F

3

→F

→F

d

Sl.1

22

213 FFFF ++= (1)

Imaj}i vo predvid deka:

222

21

21d

QKFF == (2)

2

21

3d

QKF = (3)

kade {to iskoristivme deka 22da = , so zamena na (2) i (3) vo

(1), za rezultantnata sila koja {to dejstvuva na sekoj polne`,

imaj}i vo predvid deka 41 QQ = se dobiva:

( )22116 2

2

+=d

QKF (4)

Top~iwata }e se rasporedat na ekvidistantno rastojanie edno od drugo, taka {to }e bide ispolnet uslovot za minimum potencijalna ener-gija. Sleduva deka tie }e se postavat vo temiwata na kvadrat so dijagonala d . Rezultantnata sila koja {to }e dejstvuva na sekoj polne` }e bide ednakva za site ~etiri polneì i }e iznesuva:


145

*9. Dve ednakvi top~iwa so masi m moàt da se lizgaat

vdol` tenok prsten vo vertikalna ramnina. Kolkavi se polneìte na top~iwata, ako tie miruvaat na kraevite na

horizontalna tetiva so soodveten agol o120 ? Re{enie: Dadeno: Se bara:

m , o120=α ?−q

CF→

a

→gm

NF→

Ro120

o30

Sl.1 e Kulonova sila so koja {to se privlekuvaat dvete top~iwa postaveni na rastojanie a . Spored sl.1:

o60sin2 =

R

a (3)

odnosno:

3aR = (4)


2

2

3R

qKFC = (5)

Od sl.1 se gleda deka vo uslovi na ramnoteà vaì:

CF

mg=o30tg (6)

So zamena na (5) vo (6) i izrazuvawe na polneòt od taka dobienata ravenka se dobiva:

33

K

mgRQ = (7)

odnosno:

332 0πεmgRQ = (8)

Uslov top~iwata da miruvaat e zbirot od silite koi {to dejstvuvaat na niv da bide ednakov na nula:

0=++→→→gmFF NC (1)

kade {to NF→

e sila na reakcija na tenkiot prsten, a:

2

2

a

qKFC = (2)


146

10. Bakarno top~e so radius cm 1=r e staveno vo sad so

maslo so gustina 3mkg 800=Mρ . Top~eto lebdi vo elektri~no

pole naso~eno vertikalno nagore so ja~ina cmV 1036 3⋅=E .

Kolkav e polneòt na top~eto? Za gustinata na bakarot da se

zeme vrednost 3Cu mkg 8600=ρ .

Re{enie: Dadeno:

m 10cm 1 -2==r , 3mkg 800=Mρ , mV1036cmV 1036 53 ⋅=⋅=E ,

3Cu mkg 8600=ρ

Se bara: ?−q

→P

AF→

CF→

y

Sl.1 opredeluva kako:

grmgP Cu3

3

4 πρ== (3)

Arhimedovata sila glasi:

grVgF MMA πρρ 3

3

4== (4)

a silata so koja {to elektri~noto pole mu dejstvuva na top~eto, se opredeluva na sledniot na~in: EqF = (5)

So zamena na (3), (4) i (5) vo (2) se dobiva:

03

4

3

4 3Cu

3 =−− Eqgrgr Mπρπρ (6)

Od (6) za polneòt se dobiva:

( )

E

grq M

3

4 Cu3 ρρπ −

= (7)

odnosno: C 109,8 8−⋅=q

Za da bide top~eto vo ramnoteà (da lebdi) treba vektorskiot zbir na silite koi {to mu dejstvuvaat da bide ednakov na nula, odnosno:

0=++→→→

AC FFP (1) Proekcijata na ovaa vektorska ravenka na y -oskata prikaàna na sl.1 glasi:

0=−+ PFF AC (2)

kade {to: silata na zemjinata teà se opredeluva kako:


147

11. Plo~ite na plo~est kondenzator do polovina se potopeni vo kerozin. Rastojanieto pome|u plo~ite e mm 4=d .

Relativnata dielektri~na konstanta na kerozinot e 2=rε . Za

kolku treba da se oddale~at plo~ite na ovoj kondenzator, za negoviot kapacitet da bide ednakov na kapacitetot koga ovoj kondenzator se nao|a vo vozduh? Re{enie: Dadeno: Se bara:

m 104mm 4 -3⋅==d , 2=rε ?1 −d

d Sl.1

1d Sl.2

kade {to 1d e rastojanieto na koe {to treba da se oddale~at

plo~ite. Vkupniot kapacitet na sistemot kondenzatori (2) i (3) prikaàn na sl.2 e:

21' CCC += (4)

odnosno: 1

01

0 22'

d

S

d

SC rεεεε += (5)

Spored uslovot na zada~ata treba da vaì: 'CC = , pa izedna~uvaj}i gi (1) i (5) se dobiva:

( )121 += r

dd ε (6)

So zamena na brojnite vrednosti vo (6) se dobiva: mm 61 =d .

Na sl.1 e prikaàn kondenzatorot koga toj se nao|a vo vozduh, pri {to negoviot kapacitet iznesuva:

d

SC 0ε= (1)

kade {to S e plo{tina na plo~ite, a 0ε e

dielektri~nata konstanta na vakuumot. Vo slu~aj koga polovina od plo~ite se potopeni vo kerozin (sl.2), kondenzatorot pretstavuva sistem od dva paralelno svrzani kondenzatori:

1

01 2d

SC ε= (2)

i 1

02 2d

SC rεε= (3)


148

12. Paralelno pome|u plo~ite na plo~est vozdu{en kondenzator se vnesuva tenka plo~ka so ednakva plo{tina S kako i plo~ite. Rastojanieto pome|u plo~ite na kondenzatorot e d , a vmetnatata plo~ka e na rastojanie l od edna od plo~ite na kondenzatorot. Da se opredeli kapacitetot na konden-zatorot posle vnesuvawe na metalnata plo~ka ~ija dielek-

tri~na konstanta e rε .

Re{enie: Dadeno: Se bara:

d , l , S , rε ?'−C

d

l

Sl.1 dva seriski vrzani kondenzatori so kapaciteti:

l

SC 01 ε= (2)

i ld

SC r −

= εε 02 (3)

Ekvivalentniot kapacitet na kondenzatorite l

SC 01 ε= i 2C se

presmetuva kako:

21

11

'

1

CCC+= (4)

odnosno:

21

21'CC

CCC

+= (5)

So zamena (2) i (3) vo (5) se dobiva:

( )1' 0 −+=

rr ld

SC

εεε (6)

Kapacitetot na kondenzatorot na sl.1 pred da se vnese tenkata metalna plo~ka iznesuva:

d

SC 00 ε= (1)

Posle vnesuvaweto na plo~kata, kondenza-torot moè da se pretstavi kako sistem od dva


149

13. Energijata na plo~est vozdu{en kondenzator iznesu-

va J 102 71

−⋅=pE . Da se opredeli energijata na kondenzatorot

otkako istiot }e se ispolni so dielektrik so dielektri~na

konstanta 2=rε , ako: a) kondenzatorot e isklu~en od izvorot;

b) kondenzatorot e vklu~en na izvorot. Re{enie: Dadeno: Se bara:

J 102 71

−⋅=pE , 2=rε a), b) ?2 −pE

a) Koga kondenzatorot e isklu~en od izvorot, koli~es-

tvoto elektri~estvo na negovite plo~i 0q ostanuva konstan-

tno, taka {to energijata na kondenzatorot vo toj slu~aj iznesu-va:

C

qE p 2

20

2 = (1)

odnosno, ako se ima vo predvid deka:

0CC rε= (2)

kade {to 0C e kapacitet na kondenzatorot pred istiot da bide

napolnet so dielektrik, (1) pominuva vo :

0

20

2 2 C

qE

rp ε

= (3)

Bidej}i:

0

20

1 2C

qE p = (4)

od (3) se dobiva:

J 10 712

−==r

pp

EE

ε (5)

b) Koga kondenzatorot e priklu~en na izvorot, naponot na negovite kraevi ostanuva konstanten, taka {to vaì:

2

20

2

CUE p = (6)

So zamena na (2) i (4) vo (6) se dobiva:

J 104 712

−⋅== prp EE ε (7)


150

14. Da se opredeli vkupniot kapacitet na kombinira-nata vrska na sl.1, za slednite vrednosti na kapacitetite na

oddelnite kondenzatori: nF 11 =C , nF 42 =C , nF 33 =C , nF 24 =C

i nF 85 =C .

1C

2C

3C

4C

5C

Sl.1 Re{enie: Dadeno: Se bara:

nF 11 =C , nF 42 =C , nF 33 =C , nF 24 =C , nF 85 =C ?−eC

1C

5C

234,1C

5C

234C

a) b) Sl.2 Kako {to moè da se vidi od ekvivalentnata {ema pod b) na sl.2, ekvivalentniot kapacitet na koloto e :

234,15 CCCe += (1)

kade {to 234,1C e ekvivalentniot kapacitet na kondenzatorite

1C i 234C (sl.2 pod a). Toj se presmetuva na sledniot na~in:


151

2341234,1

111

CCC+= (2)

odnosno:

2341

2341234,1 CC

CCC

+= (3)

Kondenzatorot 234C pretstavuva paralelna vrska na konden-

zatorite 2C , 3C i 4C (sl.1), odnosno:

432234 CCCC ++= (4) Ako ravenkata (4) ja zamenime vo (3) se dobiva:

( )

4321

4321234,1 CCCC

CCCCC

+++++

= (5)

Kone~no, ako ravenkata (5) ja zamenime vo (1), za ekvivalen-tniot kapacitet na koloto se dobiva:

( )

4321

43215 CCCC

CCCCCCe +++

+++= (6)

So zamena na brojnite vrednosti vo (6) se dobiva: nF 9,8=eC .


152

15. Da se presmeta ekvivalentniot kapacitet za sistemot od kondenzatori so ednakov kapacitet C prikaàn na sl.1.

C

CCC

C

C C


C ?−eC

Ekvivalentna {ema na onaa prikaàna na sl.1 e dadena na sl.2

1C 2C 3C

Sl.2

Od druga strana, soglasno sl.1, kapacitetite na kondenzato-

rite 1C , 2C i 3C iznesuvaat:

CC 21 = (3)

CC 32 = (4)

CC 23 = (5)

Zamenuvaj}i gi ravenkite (3), (4) i (5) vo izrazot (2), za ekvivalentniot kapacitet se dobiva:

CCe 7

6= (6)

Ekvivalentniot kapacitet na koloto, spored {emata na sl.2 e:

321

1111

CCCCe

++= (1)

odnosno:

323121

321

CCCCCC

CCCCe ++

= (2)


153

*16. Da se presmeta ekvivalentniot kapacitet na

koloto na sl.1, ako kapacitetite na oddelnite kondenzatori

se slednite: nF 27531 ==== CCCC , nF 48642 ==== CCCC

1C

2C

3C 4C

5C 6C

7C 8C 9C


nF 27531 ==== CCCC , nF 48642 ==== CCCC ?−eC

1C

2C

3C 4C

5C 6C

789C

a)

1C

2C

3C 4C 789,6,5C1C 2C

789,6,5,4C

b) v) Sl.2 Ekvivalentni {emi na {emata na sl.1 se dadeni na sl.2. Spored sl.2 po v), ekvivalentniot kapacitet na koloto se presmetuva na sledniot na~in:

789,6,5,421

1111

CCCCe

++= (1)


154

odnosno:

789,6,5,42789,6,5,4121

789,6,5,421

CCCCCC

CCCCe ++

= (2)

kade {to, spored sl.2 pod b):

789,6,54789,6,5,4 CCC += (3)

Kondenzatorot so kapacitet 789,6,5C pretstavuva seriska vrska

od kondenzatorite so kapaciteti 5C , 6C i 789C , odnosno:

78965789,6,5

1111

CCCC++= (4)

odnosno:

7896789565

78965789,6,5 CCCCCC

CCCC

++= (5)

Kone~no, spored sl.1:

987789 CCCC ++= (6)

Ako se zameni (6) vo (5), pa taka dobienata ravenka se zameni vo (3), se dobiva:

( )

( )( )9876565

987654789,6,5,4 CCCCCCC

CCCCCCC

++++++

+= (7)

Ostanuva u{te izrazot (7) da go zamenime vo (2). Za ekviva-lentniot kapacitet na koloto se dobiva:

( )( )( )

( ) ( )( )( )

++++++

+++

++++++

+=

9876565

9876542121

9876565

98765421

CCCCCCC

CCCCCCCCCC

CCCCCCC

CCCCCCCC

Ce (8)

So zamena na brojnite vrednosti vo (8) se dobiva: nF 125,1=eC .


155

17. Za koloto na sl.1 da se presmetaat naponite 1U i 2U

i kapacitetot 3C ako se poznati: kV 2=U , mC 71 =Q , µF 51 =C i

µF 62 =C .

1C

2C

3C

U2U1U

Sl.1

kV 4,11

11 ==

C

QU (1)

Toga{, padot na naponot na paralelno vrzanite kondenzatori

2C i 3C }e bide:

kV 6,012 =−= UUU (2)

Ako so:

3223 QQQ += (3)

go ozna~ime vkupnoto koli~estvo elektri~estvo na konden-

zatorite 2C i 3C , imaj}i vo predvid deka 1C e seriski vrzan

na nivnata paralelna vrska, sleduva deka C 107 3231

−⋅== QQ .

Toga{, koli~estvoto elektri~estvo na kondenzatorot 3C }e

bide:

2233 QQQ −= (4)

Kapacitetot 3C se opredeluva na sledniot na~in:

2

33 U

QC = (5)

Po zamenata na (4) vo (5) se dobiva:

2

2233 U

QQC

−= (6)

ili: µF 667,53 =C .

Re{enie: Dadeno:

V 102kV 2 3⋅==U , C 107mC 7 -31 ⋅==Q ,

F 105µF 5 -61 ⋅==C , F 106µF 6 -6

2 ⋅==C

Se bara:

?1 −U , ?2 −U , ?3 −C

Padot na naponot na kondenza-

torot 1C iznesuva:


156

*18. Da se presmeta naponot so koj {to se napojuva koloto na sl.1, ako koli~estvoto elektri~estvo na

kondenzatorot so kapacitet 2C iznesuva 109 32

−⋅=Q , a

kapacitetite na kondenzatorite iznesuvaat: µF 101 =C ,

µF 32 =C , µF 63 =C , µF 154 == CC , µF 56 =C .

1C

2C 3C

U2U1U

3U

4C 5C

6C

Sl.1 Re{enie: Dadeno:

109 32

−⋅=Q , µF 101 =C , µF 32 =C , µF 63 =C , µF 154 == CC ,

µF 56 =C

Se bara: ?−U

1C

U2U1U 3U

2345C6C

Sl.2

Bidej}i 3223 QQQ == (tie se seriski povrzani), a:

32

3223 CC

CCC

+= (3)

za naponot na koj {to se nao|a sistemot kondenzatori so

kapacitet 2345C se dobiva:

Uprostena {ema na onaa dadena na sl.1 e dadena na sl.2. Ekvivalentniot kapacitet na kondenzatorite so kapaciteti

2C , 3C , 4C i 5C iznesuva:

45232345 CCC += (1)

odnosno:

54

54

32

322345 CC

CC

CC

CCC

++

+= (2)


157

23

2

23

232 C

Q

C

QU == (4)

odnosno, posle zamenata na (3) vo (4) se dobiva:

( )

32

3222 CC

CCQU

+= (5)

Od druga strana:

22345234561 UCQQQ === (6)

{to posle zamenata na (2) i (5) vo (6) dava:

++

+==

54

54

32

32261 CC

CC

CC

CCUQQ (7)

Naponite 1U i 3U se presmetuvaat kako:

1

11 C

QU = i

6

63 C

QU = (8)

Posle zamenata na (7) vo (8) se dobiva:

++

+=

54

54

32

32

1

21 CC

CC

CC

CC

C

UU (9)

++

+=

54

54

32

32

6

23 CC

CC

CC

CC

C

UU (10)

Vkupniot napon na koloto iznesuva (sl.1):

321 UUUU ++= (11)

Kone~no, ako vo ravenkata (11) se zamenat izrazite (4), (9) i (10) se dobiva:

( )

++

++

++

=54

54

32

32

61

61

32

322 1CC

CC

CC

CC

CC

CC

CC

CCQU (12)

So zamena na brojnite vrednosti vo (12) se dobiva: kV 2,8=U .


158

*19. Grupa kondenzatori se postaveni na stranite na kocka prikaàna na sl.1, pri {to napon od V 1000=U e donesen pome|u to~kite A i H . Ako kapacitetot na site

kondenzatori e ednakov i iznesuva µF 10=C , da se opredeli

vkupnoto koli~estvo elektri~estvo vo koloto.

AU

B

C D

E

F

H

G


V 1000=U , F 101µF 1 -60 ⋅==C

U

0C

0C0C

A H

BCF DEG

Sl.2 kondenzatorite {to zavr{uvaat vo edna od navedenite to~ki. Ekvivalentniot kapacitet se presmetuva na sledniot na~in:

321

1111

CCCCe

++= (1)

Ekvivalentna {ema na {emata dadena na sl.1 e dadena na sl.2. So vnima-telna analiza na sl.1 se utvrduva deka to~kite B , C i F i soodvetno D , E i

G se nao|aat na ednakov potencijal, {to zna~i deka moè da se zamenat so edna to~ka vo koja {to moàt da se postavat kraevite na


159

kade {to:

031 3CCC == (2)

02 6CC = (3)


05

6CCe = (4)

Ekvivalentnoto koli~estvo elektri~estvo iznesuva:

UCQ ee = (5)

odnosno:

UCQe 05

6= (6)

So zamena na brojnite vrednosti se dobiva: C 102,1 3⋅=eQ .


160

*20. Dva polneì Q i Q2− se postaveni na rastojanie

al 6= . Vo ramninata vo koja {to se nao|aat polneìte, da se najde geometriskoto mesto na to~ki kade {to potencijalot e ednakov na nula. Re{enie: Dadeno: Se bara:

Q , Q2− , al 6= ( ) ?−xy

),( yxP

x

y1r

2r

Q Q2−x

Sl.1

2

22

r

QK−=ϕ (3)

So zamena na (2) i (3) vo (1) se dobiva deka:

21 2rr = (4)

Od druga strana (sl.1):

( ) 221 3 yxar ++= (5)

( ) 222 3 yxar +−= (6)

So zamena na (5) i (6) vo (4), za geometriskoto mesto na to~ki kade {to potencijalot e ednakov na nula se dobiva:

( ) 222 165 ayax =+− (7)

Ravenkata (7) e ravenka na kru`nica so centar vo to~kata so

koordinati ( )0,5aO i radius ar 4= . Toa zna~i deka site to~ki

koi }e leàt na ovaa kru`nica }e imaat nulti potencijal.

Neka pretpostavime deka

to~kata ( )yxP , se nao|a na mesto

kade {to potencijalot e ednakov na nula, odnosno:

021 =+= ϕϕϕ P (1)

kade {to 1ϕ i 2ϕ se potencijali

vo taa to~ka sozdadeni od polneìte Q i Q2− soodvetno i

tie iznesuvaat:

1

1 r

QK=ϕ (2)


161

21. Kondenzator so kapacitet µF 31 =C e naelektriziran

do napon V 400=U . Po isklu~uvaweto od izvorot, toj e spoen paralelno so drug naelektriziran kondenzator so kapacitet

µF 52 =C . Kolkava energija se osloboduva od prviot

kondenzator pritoa? Re{enie: Dadeno: Se bara:

F 103µF 3 -61 ⋅==C , F 105µF 5 -6

2 ⋅==C , V 400=U ?−∆W

Energijata na prviot kondenzator iznesuva:

2111 2

1UCW = (1)

a na vtoriot:

( ) 22212 2

1UCCW += (2)

kade {to e 21 CC + e kapacitet na paralelno vrzanite konden-

zatori. Bidej}i koli~estvoto elektri~estvo treba da ostane konstantno, treba da vaì:

( )21211 UUCUC += (3)

od kade {to se dobiva:

121

12 U

CC

CU

+= (4)


( )21

21

21

2 2

1

CC

UCW

+= (5)

Energijata {to se oslobodila od prviot kondenzator e:

21 WWW −=∆ (6)


( )

+−=∆

21

1211 2

1CC

CUCW (7)

So zamena na brojnite vrednosti vo (7) se dobiva: J 15,0=∆W .

Documents

Elektrostatika - germanski.mkgermanski.mk/wp-content/uploads/2017/08/Elektrostatika.pdf · ELEKTROSTATIKA 1. Da se presmeta Kulonovata sila so koja {to se privlekuvaat dva elektrona