ElektrostatikaI fdgfgfgf

8/12/2019 ElektrostatikaI fdgfgfgf

1/10

Stranica:I-1

Elektrostatika

Coulombov zakon. Homogeno i nehomogeno elektri!no polje.

Elektri!no polje nabijene beskona!ne ravnine.

Elektri!no polje to!kastog naboja.

Elektri!no polje vrlo dugog ravnog vodi!a.

Elektri!no polje nabijene kugle.

Elektri!no polje nabijenog valjka.

Po!etna stranica

Stranica:I-2

1. zadatakDva to!kasta naboja istog predznaka nalaze se u zraku na udaljenosti r

jedan od drugoga. Odrediti iznos, smjer i orijentaciju djelovanja sile

izme"u naboja.

Q1= 85 [ C] Q2= 16.6 [nC]

r = 6.5 [cm]

Q1

Q2

r

Po!etna stranica

Stranica:I-3

Q1

Q2

Dva to!kasta naboja, istog predznaka, djeluju jedan na

drugoga odbojnom elektri!nom silom i to:

Naboj Q1djeluje na naboj Q 2odbojnom silom F 12.

Naboj Q2djeluje na naboj Q 1odbojnom silom F 21.

Uvodni pojmovi

Dva to!kasta naboja razli!itog predznaka, djeluju jedan

na drugoga privla!nom elektri!nom silom i to:

Naboj Q1djeluje na naboj Q 2privla !nom silom F12.

Naboj Q2djeluje na naboj Q 1privla !nom silom F21.

Q1

Q2 F12F21

F12F21

Po!etna stranica

Stranica:I-4

Po iznosu sile F12

i F21

su jednake po iznosu:

2

21 QQ

4

1

rF

=

!

Elektri!na sila je veli!ina koja je predstavljana vektorom

koji ima svoj iznos, smjer i orijentaciju.

- dielektricna konstanta medija u kojem se problem promatra.

= 0 r; 0 je tzv. apsolutna dielektricna konstanta (vrijednost8.85410-12[As/Vm]) i predstavlja dielektricnost vakuuma, dok rpredstavlja relativnu dielektricnu konstantu koja ovisi o samom

mediju (za vakuum r=1). r- udaljenost izme "u naboja Q1i Q 2


2/10

Po!etna stranica

Stranica:I-5

Naboji su istog predznaka tako da su sile odbojne:

2

21

0

2112

QQ

4

1

r

FFFr

===

!!!

Po iznosu sile su jednake i iznose:

Rjeenje zadatka

( )2296

12105.6

106.161058

110854.84

1

=

F!

[ ]N3=F!

Q1 Q2

r

F21 F12

Po!etna stranica

Stranica:I-6

2. zadatakPozitivni to!kasti naboj Q1 i negativni to !kasti naboj Q2 nalaze se od

pozitivnog to!kastog naboja Q0na udaljenosti r 1 = r2. Njihov me"usobni

poloaj prikazan je na slici. Odredite iznos rezultantne sile na naboj Q0

te skicirajte vektorski dijagram sila za taj naboj.

Q1= 10-6[C]

Q2= - 2 10-6[C] Q0= 10

-6[C]

r1= r 2= 3 [cm]

+Q1

-Q2

+Q0

r1

r2

Po!etna stranica

Stranica:I-7

Ako na to!kasti naboj djeluje vie naboja tada se za

izra!unavanje ukupne sile primjenjuje princip

superpozicije.

Princip superpozicije kae da je rezultatno djelovanje svih

naboja jednako zbroju doprinosa pojedinih naboja.

=

=n

i

irez FF1

!!

Uvodni pojmovi

Ukupna sila na naboj Q0 jednaka je vektorskom zbroju

svih sila koje djeluju na naboj Q0:

+Q2

-Q3

+Q0

+Q1

F10 F

20

Frez

F30

Po!etna stranica

Stranica:I-8

+Q1

-Q2

+Q0

Na naboj Q0djeluju dva naboja, Q 1i Q 2. Naboj Q1djeluje

odbojnom silom F10

:

Rjeenje zadatka

Naboj Q2djeluje privla !nom silom F20.

Rezultantna sila jednaka je vektorskom zbroju silaF10 i

F20

.

=+== =

2010

2

1

rez

i

irez FFFFF!!!!!

F10

F20 Frez


3/10

Po!etna stranica

Stranica:I-9

Budu#i da su vektori sila F10

i F20

me "usobno okomiti

vrijedi:2

20

2

10 FFFrez!!!

+=

Iznos sila F10

i F20

:

( ) [ ]N10

103

1010110854.84

122

66

121010 =

==

FF!

( ) [ ]N20

103

10102

110854.84

122

66

122020 =

==

FF

!

Iznos rezultantne sile Frez

:

[ ]N4.222010 222202

01 =+=+= FFFrez

Budu#i da je sila vektor njen smjer i orijentacija se

odre"uje iz pravokutnog trokuta, odnosno:

== 6310

20 F

Ftg [ ]N634.22 =rezF

!

Po!etna stranica

Stranica:I-10

3. zadatakTri mala tijela, elektri!nih naboja Q1= + 4 10-11[C], nepoznati elektricninaboj Q2 i Q 3 = +10

-11 [C], zauzimaju u vakuumu polo aj kao to je

prikazano na slici. Odredite polo aj i elektricni naboj Q2 tako da se sva

tijela pod djelovanjem Coulomb-ovih sila nalaze u mirovanju. Zadano: r13= 5 [cm]

+Q1

Q2 +Q3

r13

Po!etna stranica

Stranica:I-11

Da bi elektri!ni naboj bio u mirovanju ukupna elektri!na

sila koja na njega djeluje mora biti jednaka 0.

Rjeenje zadatka

Pretpostavimo predznak naboja Q2> 0.

+Q1 +Q2 +Q3F21

F31

F32

F12

F13

F23

Iz slike je vidljivo da se uvjet mirovanja moe ispuniti za

naboj Q2, ali uz pozitivan naboj Q2naboji Q 1i Q 3ne #e biti

u mirovanju. Zbog toga naboj Q2mora biti negativan.

+Q1 -Q2 +Q3

F21

F31 F32F12 F13

F23

Po!etna stranica

Stranica:I-12

Uvjeti mirovanja:

odnosno:

31213121 0 FFFF!!!!

==+

32123212 0 FFFF!!!!

==+

23132313 0 FFFF!!!!

==+

2

123

2

1322

13

13

2

12

12 QQQQQQ

rrr

kr

k =

=

2

123

2

2312

23

23

2

12

21 QQQQQQ

rrr

kr

k =

=

2

132

2

2312

23

23

2

13

31 QQQQQQ

rr

r

k

r

k =

=

231213 rrr +=


4/10

Po!etna stranica

Stranica:I-13

Rjeenjem ovog sustava jednadbi kao rjeenja dobije se:

Budu#i da znamo da je naboj Q2negativan, vrijedi:

[ ]

[ ]cm67.1

cm33.3

23

12

=

=

r

r

[ ]pC4.4Q2

=

[ ]pC4.4Q2 =

Po!etna stranica

Stranica:I-14

4. zadatakU to!ke A i B nekog ve#formiranog polja uneeni su naboji Q 1i Q 2. Pri

tome je na naboj Q1 opaena sila FA1 u smjeru jedini !nog vektora x1,

dok je na naboj Q2 opaena sila FB2, u smjeru jedini!nog vektora x2

(kao na slici). Ako naboji Q1i Q 2zamijene mjesta u prostoru (Q 1do"

e uto!ku B, a Q2 u to !ku A), odredite iznose i smjerove sila na njih.

Me"usobno djelovanje naboja Q1i Q 2i obrnuto zanemarujemo.

Q1= -2 [ C] Q2= 5 [ C] FA1= 0.04 [N], u smjeru vektora x1

FB2= 0.05 [N], u smjeru vektora x2

-Q1

+Q2

A

x1 x2

BF

A1 FB2

Po!etna stranica

Stranica:I-15

Ako se to!kasti naboj stavi u prostor u kojem djeluje

elektri!no polje, na naboj #e djelovati elektri!na sila. Veza

izme"u vektora elektri!nog polja i elektri!ne sile je:

Rjeenje zadatka

Q EFel!!

=

U zadatku iz poznatih vektora sila na naboje Q1 i Q 2mogu

se odrediti vektori elektri!nog polja u to!kama A i B.

Kod pozitivnog naboja vektor sile i polja su u istom

smjeru, a kod negativnog naboja vektor sile i polja su u

suprotnom smjeru:

-Q1

+Q2A

x1 x

2

B

FA1 FB2EA EB

Po!etna stranica

Stranica:I-16

Formirano elektri!no polje u to!kama A i B ima smjer

prema slici:

Zapisano pomo#u vektora smjera:

A

x1 x

2

B

EA

EB

[ ]kV/mx20102

x04.0

Q16

1

1

A1A

!

!

!

!

=

==

FE

[ ]kV/mx10105

x05.0

Q26

2

2

B2B

!

!

!

!

=

==

FE

Nakon to naboji zamijene mjesta, na njih djeluju sile :

[ ]Nx1.0105x1020Q 16

1

3

2AA2

!!

!!

=== EF

( ) [ ]Nx02.0102x1010Q 26

2

3

1BB1

!!

!!

=== EF


5/10

Po!etna stranica

Stranica:I-17

+Q2

-Q 1A

x1

x2

B

EA

EB

Vektori sila na naboje u to!kama A i B:

Iz slike je vidljivo da je sila na negativan naboj Q1suprotnog smjera od polja u to!ki B, a na pozitivan naboj

Q2 istog smjera kao i polje u to !ki A.

FA2

FB1

Po!etna stranica

Stranica:I-18

5. zadatakIspred ravnine nabijene nabojem plone gusto#e nalazi se naudaljenosti, a negativan tockasti naboj Q. Odredite izraz za vektor

jakosti elektricnog polja E (koordinatne osi zadane prema slici) koje

ravnina i tockasti naboj stvaraju u tocki T, a takoder odredite i iznospolja E. Zadano:

= + 2 [nAs/m 2] Q = - 4 [nAs] a = 1 [m]

y

x

a

a

T

- Q

Po!etna stranica

Stranica:I-19

HOMOGENO ELEKTRI$NO POLJE je polje koje u svim

to!kama prostora ima jednak iznos i smjer (primjer;

ravnomjerno nabijena beskona!na ravnina).

Uvodni pojmovi

NEHOMOGENO ELEKTRI$NO POLJE je polje koje u

svim to!kama prostora ima razli!it iznos i/ili smjer (primjer;to!kasti naboj, kugla, valjak, itd.).

Gauss-ov teorem:

Primjena Gauss-ovog teorema za izra!unavanje el. polja

to!kastog naboja:

Q =i

i

S

SdD!!

r

+Q Q42

0 == rEdSDr

S

4

Q2

0 rE

r=

Po!etna stranica

Stranica:I-20

Primjeri homogenog elektri!nog polja

Beskona!na ravnina nabijena plonim nabojem . U okolini pozitivno nabijene ravnine polje izgleda kao na

slici:

Po iznosu polje je:

2 r0

=E!

Funkcija ovisnosti polja o udaljenosti od ravnine izgleda

kao na slici:

+

EE

x-x 0

+ /2

x

-x

/2

E(x)

0


6/10

Po!etna stranica

Stranica:I-21

Dvije suprotno nabijene paralelne ravnine

Za ovaj slu!aj polje izgleda kao:

Po iznosu polje izme"u dvije

ravnine je,

r0

=E

!

Funkcija ovisnosti polja o udaljenosti od pozitivno

nabijene ravnine izgleda kao na slici:

+ E

x-x 0

d

+ /

x-x

E(x)

0 d

dok izvan nema polja.

Po!etna stranica

Stranica:I-22

Primjeri nehomogenog elektri!nog polja

To!kasti naboj

U okolini pozitivno nabijenog to!kastog naboja elektri!no

polje za ozna!ene to!ke ima prikazane smjerove:

Elektri!no polje ovisi o

udaljenosti od to!kastog

naboja:

1

4

Q2

r0 rE

=

!

r1

+Q

r2

E2

E1

E3

Za prikazano polje to!kastog

naboja vrijedi:

32 EE!!

=

21 EE!!

>r

E(r)

0

r - udaljenost od naboja Q do

promatrane to!ke.

2

1~)(

rrE

Po!etna stranica

Stranica:I-23

Vrlo dugi ravni vodi!nabijen linijskim nabojem

U okolini pozitivno nabijenog ravnog vodi!a elektri!no


Elektri!no polje ovisi o

udaljenosti od vodi!a

1

2 r0 rE

=

!

r1

+

r2

E2

E1

E3

Za prikazano polje ravnog

vodi!a:

32 EE!!

=

21 EE!!

>r

E(r)

0

r - udaljenost od vodi !a do

promatrane to!ke.

rrE 1~)(

Po!etna stranica

Stranica:I-24

Pozitivno nabijena kugla

U okolini pozitivno nabijene kugle polumjera R elektri!no

polje za ozna!ene to!ke ima prikazane smjerove :

Unutar kugle nema polja, a

izvan se mijenja po zakonu:

1

4

Q2

r0 rE

=

!

R

+Q

r1

E2

E1

E3

Za prikazano polje kugle

vrijedi:

32 EE!!

=

21 EE!!

>r

E(r)

0

R

r- udaljenost od sredita kugle

21~)(r

rE2R4

Q


7/10

Po!etna stranica

Stranica:I-25

Pozitivno nabijeni valjak

U okolini pozitivno nabijenog valjka polumjera R elektri!no


Unutar valjka nema polja, aizvan se mijenja po zakonu:

1

2 r0 rE

=

!

Za prikazano polje valjka :

32 EE!!

=

21 EE!!

>

r- udaljenost od sredita valjka

rrE

1~)(

r

E(r)

0

R

R2

R

+

r1

E2

E1

E3

Po!etna stranica

Stranica:I-26

Polje u to!ki T stvaraju dva nabijena tijela, pozitivno

nabijena ravnina i negativni to!kasti naboj.

Polje je u smjeru osi x i iznosi:

Rjeenje zadatka

Ukupno polje odre"

uje se metodom superpozicije:

y

x

T

+

E1

a

iE!!

= 2 r0

1

Pozitivna nabijena ravnina stvara polje u to!ki T:

Za svako pojedina!no tijelo odre"uje se njegov doprinos

(polje koje bi stvorilo bez drugih nabijenih tijela u blizini).

Ukupno polje jednako je vektorskoj sumi pojedinih polja.

Po!etna stranica

Stranica:I-27

Negativno nabijeni to!kasti naboj stvara polje u to!ki T:

Polje je u smjeru osi -y i iznosi:

ja

E!!

= 4

Q2

r0

2

Ukupno polje jednako je vektorskom zbroju polja:

E2

y

x

a

T

- Q

y

x

T

+

E1

- Q

E2

E

21 EEE!!!

+=

Po!etna stranica

Stranica:I-28

Uvrstivi vrijednosti za pojedina polja dobiva se ukupno

polje u to!ki T:

+

=+= j

aiEEE

!!!!!

4

Q

2 2r0r021

jiE!!!

=

1110854.84

104

110854.82

102212

9

12

9

[ ]V/m113113 jiE!!!

=

Iznos vektora polja odre"uje se kao:

2222 113113 +=+= yx EEE!

[ ]V/m160=E!

Na drugi na!in zapisan vektor polja:

= EE!!

[ ]V/m45160 =E!


8/10

Po!etna stranica

Stranica:I-29

6. zadatakDva duga ravna vodi!a, polumjera r0 zanemarivo malog u odnosu na

njihov me"usobni razmak, nabijena su linijskim nabojima 1 i 2,predznaka prikazanih na slici. Ako se u to!ku A postavi negativan

to!kasti naboj Q, odredite silu koja djeluje na taj naboj. Zadano:

1= + 2 [nAs/m] 2= - 4 [nAs/m] Q = - 4 [pAs]

d = 1 [m]

d1= 0.25 [m]

y

x+1 -2

A

d

d1

Po!etna stranica

Stranica:I-30

Na naboj Q djeluje el. polje koje stvaraju dva vodi!a.

Rjeenje zadatka

Elektri!no polje EAodre "uje se metodom superpozicije.

Lijevi vodi!stvara el. polje E1, a desni vodi!el. polje E2:

AQ EF!!

=

y

x+1 -2

A

d

d1

r1

r2

2

21

2

21 ddrr +==

Ukupno el. polje u to!ki A, EA:

21A EEE!!!

+=

E1

E2

2 1r0

11

rE

=

!

2 2r0

22

rE

=

!

Po!etna stranica

Stranica:I-31

Ukupno polje najlake je odrediti ako oba vektora polja

prikaemo pomo#u jedini!nih vektora:

0;sin;2cos1

1

1

>== r

d

r

d

Kuteve i odredujemo iz slike:

jEiEE!!!!!

+= sincos 111

y

x+1 -2

A

d

d1

r1

r2

Ukupno el. polje u to!ki A, EA:

jEiEjEiEE!!!!!!!!!

+++= sincossincos 2211A

jEiEE!!!!!

+= sincos 222

0;sin;2cos2

1

2


9/10

Po!etna stranica

Stranica:I-33

Sila na negativan naboj Q u to!ki A onda ima smjer kao

na slici:

( ) [ ]N11.069.029173104Q 12AA njijiEF!!!!!!

+===

Vektor sile je:

[ ]N1717.0A nF =

!

y

x+ -

A

d

d1

r1

r2

-QEA

FA

Po!etna stranica

Stranica:I-34

7. zadatakTo!kasti naboj nalazi se u sreditu uplje metalne nenabijene kugle

vanjskog polumjera R2 i unutranjeg polumjera R 1. Odredite el. polje u

to!kama A i B za sljedece slucajeve:

! tockasti naboj Q u sreditu nenabijene kugle! kugla nabijena nabojem Q bez tockastog naboja u sreditu

! tockasti naboj Q u sreditu kugle nabijene nabojem Q

! tockasti naboj Q u sreditu kugle nabijene nabojem Q istog

iznosa, ali suprotnog predznaka

Zadano:

Q = + 9 [nAs]

R1= 14 [mm]

R2= 17 [mm]

rA= 1 [cm]

rB= 2 [cm]

Po!etna stranica

Stranica:I-35

Prvi slu!aj: to!kasti naboj Q u sreditu nenabijene kugle.

Rjeenje zadatka

U to!ki A (unutar uplje kugle)

el. polje stvara to!kasti naboj.

Pod utjecajem el. polja koje stvara to!kasti naboj dolazi

do influencije naboja na kugli (-Q na unutarnjoj plohi kugle

i +Q na vanjskoj plohi kugle).

2Ar0

A 4

Q

rE =

!

R1+Q

R2

A

B

El. polje u to!ki B onda iznosi:

( )22-12--9

2

Br0

2

Br0

B

102110854.84

109

4

Q

4

QQQ

=

=

+

= rr

E!

[ ]kV/m202B =E!

- ---

-

---

-

-

----

-

- -- -

-

++

+

+

+++

+

+

++

+

+

+ ++

+

+

( ) [ ]kV/m808

101110854.84

10922-12-

-9

A =

=

E!

Po!etna stranica

Stranica:I-36

Drugi slu!aj: nabijena kugla bez to!kastog naboja u sreditu

Unutar kugle nema naboja

tako da nema ni polja u to!ki

A:0A =E

!

El. polje u to!ki B stvara nabijena kugla:

( )22-12--9

2

Br0

B

102110854.84

109

4

Q

=

=

rE!

[ ]kV/m202B =E!

R1

+Q

R2

A

B

Stranica:I 37 Stranica:I 38


10/10

Po!etna stranica

Stranica:I-37

Tre#i slu!aj: to!kasti naboj Q u sreditu nabijene kugle (Q)

Unutar kugle el. polje stvara

to!kasti naboj Q:

R1

+Q

R2

A

B

+Q

4Q

2

Ar0

Ar

E=

!

( ) [ ]kV/m808

101110854.84

10922-12-

-9

A =

=

E!





( )22-12--9

2

Br0

2

Br0

B

102110854.84

1092

4

Q2

4

QQQQ

=

=++

= rr

E!

[ ]kV/m404B =E!

- -- -

-

----

-

---

--

- ----

++

+

+

+++

+

+

++

+

+

+ ++

+

+

Po!etna stranica

Stranica:I-38

$etvrti slu!aj: to!kasti naboj Q u sreditu nabijene kugle (-Q)

Unutar kugle el. polje stvara

to!kasti naboj Q:

R1

-Q

R2

A

B

+Q

4Q

2

Ar0

Ar

E=

!

( ) [ ]kV/m808

101110854.84

10922-12-

-9

A =

=

E!





2

Br0

2

Br0

B4

0

4

QQQQ

rrE

=

+

=

!

[ ]kV/m0B =E!

- -- -

-

----

-

---

--

- ----

++

+

+

+++

+

+

++

+

+

+ ++

+

+

Documents

ElektrostatikaI fdgfgfgf