elettromagnetismo 1 (2019-2020);1 - Istituto Nazionale di ...lxmi.mi.infn.it/~ragusa/2019-2020/elettromagnetismo...Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 371 Modello della conduzione

Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2019/2020

Elettromagnetismo

Modello della conduzione elettricaForza elettromotrice. Batteria ricaricabile

Circuiti elettrici

Lezione n. 17 – 06.12.2019

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 370

Modello della conduzione• Abbiamo già visto che per avere conduzione è necessario avere cariche elettriche libere nella materia• Ioni, vale a dire atomi o molecole che hanno perso almeno un elettrone• Elettroni liberi• Normalmente il numero di ioni/elettroni è molto piccolo• Nell'acqua pura la molecola H2O si dissocia in H+ OH−

• In condizioni normali ci sono circa 6×1013 ioni/cm3

• pH = 7 pari a 10−7 moli/litro = 10−10 moli/cm3 e 1 mole = 6×1023

• Gli ioni/elettroni presenti nell'acqua pura sono responsabili della conduttività dell'acqua• Per l'acqua pura la conduttività è σ = 4×10−6 (ohm-m)−1

• Sciogliere un sale nell'acqua aumenta il numero di ioni• Ad esempio aggiungendo NaCl si arriva a circa 1020 ioni/cm3 (Na+ Cl−)• In un conduttore come il rame ci sono circa 8×1022 e/cm3

( vedi diapositiva )• In un gas ci sono pochissimi ioni, virtualmente zero• Una piccola concentrazione di ioni è dovuta alla radioattività naturale

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Modello della conduzione• Consideriamo adesso un gas che contiene ioni liberi di massa m• Supponiamo che la densità sia dell'ordine di 1025 atomi/m3

• Gli ioni si muovono liberamente all'interno della sostanza• Nelle condizioni di densità date la distanza media fra due molecole èdell'ordine di 10−8 m pari a un centinaio di raggi molecolari (10−10 m)

• Nel loro moto caotico urtano con le molecole • Sono troppo pochi per urtare fra di loro• Chiamiamo lk la distanza percorsa fra l'urto k e k+1• Naturalmente le distanze lk sono tutte diverse• Si definisce libero cammino medio λ

• Il libero cammino medio dipende dalla natura del gas e dalle sue condizioni termodinamiche (temperatura, densità …)• Il libero cammino medio di uno ione può essere dell'ordine di 10−7 m• Molto maggiore della distanza media fra molecole

• Abbiamo definito il libero cammino medio seguendo il moto di un singolo ione• Avremmo potuto definire una media a un dato istante su tutti gli ioni


Sezione d'urto• Vogliamo adesso definire e calcolare la probabilità di un urto• Supponiamo che un elettrone si muova

all'interno di un reticolo di ioni del metallo• Descriviamo gli elettroni come sfere rigide di raggio r1 e gli ioni come sfere rigide di raggio r2

• Avviene un urto se la distanza d fra i centri delle sfere è inferiore alla somma dei raggi

• Per calcolare la probabilità di interazionesupponiamo di "guardare" attraverso il cristallo• Intuitivamente la probabilità di interazione dipende dal

rapporto fra l'area occupata dai nuclei e l'area del corpo• Bisognerebbe tenere conto della dimensione dell'elettrone• Lo facciamo assumendo l'elettrone puntiforme e il raggio del nucleo uguale a r1 + r2 = R

• Supponiamo il corpo abbia un'area S, uno spessore dz eche i suoi dati atomici siano numero di massa A e densità ρ

• La densità di ioni (bersagli) è

• In numero di bersagli nel volume Sdz è


Sezione d'urto• Consideriamo adesso • Un bersaglio di spessore dz e densità

(bersagli per unità di volume)• Un fascio di particelle di area S• L'area del corpo in cui può avvenire l'interazione è solo S• Chiamiamo N0 il numero di particelle incidenti e

σ l'area dei bersagli: σ = πR2

• La frazione f di area "occupata dai nuclei è

• La frazione f è proprio la probabilità che cerchiamo• Il numero di particelle che interagiscono è• L'area σ prende il nome di sezione d'urto• Lo stesso concetto può essere utilizzato anche quando proiettile e bersaglio

non si toccano• L'interazione avviene tramite un campo• Elettrico, gravitazionale …• La teoria del campo permette di calcolare la probabilità di interazione che

permette di definire la sezione d'urto σ• La sezione d'urto è un'area e si misura in m2 σ = L2 Unità di misura barn

1 barn = 10 24 cm2


Sezione d’urto differenziale• La sezione d’urto differenziale si introducequando si vuole studiare la dipendenzadella sezione d’urto da variabili cinematiche• Nel caso più semplice dagli angoli

• Se invece di considerare tutte le interazioni si considerano solo quelle che producono una particella nello stato finale in un angolo solido d Ω

• L’unità di misura della sezione d’urto differenziale è barn per steradiante b/sr• La sezione d’urto differenziale e la sezione d’urto totale sono legate

• Spesso non c’è dipendenza da φ


Urto elastico di sfere• Ritorniamo al problema degli urti degli elettroni con il reticolo• Possiamo assumere che gli urti siano elastici• Nell'urto si conserva l'energia e la quantità di moto• Schematizziamo le due particelle in collisione come sfere rigide• Vogliamo calcolare la sezione d'urto differenziale• L'obiettivo è calcolare la distribuzione angolare degli elettroni dopo l'urto• Consideriamo due sfere rigide di raggi r1 e r2

• La sfera di raggio r1 è ferma• La sfera di raggio r2 si muove da sinistra verso destra• Definiamo il parametro d'impatto b• La distanza fra due rette parallele alla velocità e passanti per i centri• Consideriamo la normale alle sfere passante

per il punto di contatto• L'angolo α fra la normale e la direzione incidente èuguale all'angolo α fra la normale e la direzione deflessa

• Definiamo l'angolo di deflessione θ• La relazione fra b e θ è univoca


Urto elastico di sfere• Per calcolare la sezione d'urto differenziale dell'urto fra due sfere rigide supponiamo che ci sia un flusso uniforme di particelle N0

• Uniformemente distribuite su una superficie • N0 = particelle per unità di superficie

• Consideriamo un centro diffusore • Consideriamo inoltre l'angolo solido dΩ sotteso dall'anello di sfera centrato

sul centro diffusore• Ci chiediamo quante particelle sono deflesse nell'angolo solido dΩ• L'angolo di deflessione dipende dal parametro di impatto• Le particelle diffuse nell'angolo solido dΩ sono quelle che hanno parametro di impatto b• Contenute nella corona circolare di raggio b


Sezione d'urto differenziale• Le particelle deflesse in dΩ sono le stesse cheattraversano la corona dS

• Per definizione di sezione d'urto

• Il segno meno perché ad un dθ positivo corrisponde un db negativo

• Vediamo che la sezione d'urto non dipende da θ• La particella ha una probabilità uniforme di essere stata deflesse in una

direzione qualunque

uguagliando

La particella ha perso la memoria della direzione iniziale


Modello della conduzione• Il calcolo precedente ha mostrato che nell'urto elastico di due sfere rigide la particella incidente perde memoria della sua direzione iniziale• Nel caso più generale di un urto questo potrebbe essere non vero• Ad esempio se l'urto fosse mediato da un potenziale di Coulomb• Tuttavia la memoria della direzione iniziale viene persa rapidamente• Una trattazione statistica degli urti mostrerebbe che esiste un tempo tc

dopo il quale la correlazione fra direzione iniziale e finale si perde• In un tempo tc ci possono essere tanti urti• Naturalmente il tempo tc dipende dallo ione, dalla sostanza, dalle condizioni

termodinamiche

• Pertanto se in dato momento uno ione ha una velocità u, dopo un certo numero di collisioni avrà una velocità u' che avrà una direzione uniformemente distribuita su una sfera

• Per semplificare la trattazione possiamo supporre che questa condizione si verifichi dopo ogni urto• Non sarebbe necessario ma la trattazione sarebbe più complicata• In pratica stiamo supponendo che le particelle siano sfere rigide


Modello della conduzione• Supponiamo adesso di applicare un campo elettrico E uniforme al gas debolmente ionizzato descritto precedentemente• Supponiamo che subito dopo un urto lo ione abbia una velocità uc

completamente scorrelata da quella che aveva prima dell'urto• Supponiamo che prima dell'urto successivo passi un tempo t• In questo tempo il campo elettrico esercita una forza eE• Al tempo t lo ione avrà una quantità di moto

• Abbiamo visto prima che le velocità di agitazione termicasono molto maggiori della velocità di deriva• Possiamo supporre che la variazione di quantità di moto

impartita dal campo elettrico non modifichi la probabilitàdelle interazioni successive

• Se in un istante di tempo arbitrario potessimo esaminare lo stato ditutti gli ioni scopriremmo• Che lo ione j ha subito una collisione tj secondi prima• La sua quantità di moto è pj = mujc + eEtj• La velocità ujc è in una direzione casuale


Modello della conduzione• Calcoliamo la quantità di moto media degli ioni

• Esaminiamo i due termini• Il primo

• Il secondo

• Tramite la quantità di moto media definiamo la velocità di deriva

• Pertanto in presenza di un campo elettrico gli ioni acquistano una velocità nella direzione del campo e proporzionale al campo stesso• Notiamo che la velocità è proporzionale a E, non l'accelerazione• Definiamo infine la mobilità dello ione

È nullo: le velocità ujc sono in tutte le direzioni casualmente

Abbiamo definito il tempomedio fra le collisioni τ


Medie d'insieme e medie temporali• Vale la pena fare un'interessante osservazione• Il valore medio che abbiamo calcolato è fatto "osservando"

tutti gli ioni in un dato istante di tempo• Una sorta di "fotografia"• Questo tipo di media prende il nome di "media di insieme"• L'ipotesi, molto naturale, è che tutti gli ioni abbiano le stesse caratteristiche fisiche

• Sarebbe possibile un altro tipo di media, concettualmente differente• Si potrebbe seguire un singolo ione in un grande numero di urti successivi• In questo caso il tempo tj è l'intervallo di tempo trascorso fra la collisione

j e la collisione j+1• La media viene fatta sulla "storia" del singolo ione• Questo tipo di media prende il nome di "media temporale"

• A priori non è detto che le due medie diano lo stesso risultato• I processi statistici (processi stocastici) per i quali le due medie danno lo

stesso risultato si chiamano processi ergodici


Modello della conduzione• Ritorniamo al nostro modello della conduzione• Abbiamo trovato che sotto l'effetto del campo elettrico gli ioni si muovono

in media nella direzione del campo applicato con una velocità

• Prende il nome di velocità di deriva• Osserviamo che la forza e la velocità sono proporzionali• Una relazione simile si ha per le forze di attrito durante il moto in

un fluido viscoso

• In questo tipo di moto la particella raggiunge una velocità terminale quando la forza di attrito risulta uguale alla forza esterna• Ad esempio la velocità terminale di caduta nell'atmosfera

• Nel nostro caso potremmo riscrivere l'equazione come• Possiamo pertanto interpretare la velocità di deriva come la velocità terminale di una particella in un fluido viscoso

• L'osservazione fatta è più di una semplice analogia• Nel moto descritto lo ione dissipa energia (come vedremo)


Modello della conduzione• Richiamiamo la formula per la densità di corrente ( diapositiva )

• Riscriviamola utilizzando la formula per la velocità di deriva trovata in precedenza

• Supponiamo di avere ioni positivi e ioni negativi• Le masse, i tempi medi di collisione e le mobilità sono

rispettivamente: m+, m−, τ+, τ−, μ+, μ−

• Chiamiamo n la densità (uguale) di ioni (positivi e negativi)• La densità di corrente è

• In questo modello la conduttività è

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Modello della conduzione• Vale la pena sottolineare che le ipotesi essenziali per giungere alla legge di proporzionalità fra la densità di corrente J e il campo elettrico E sono state• Densità dei portatori di carica rimane costante• Meccanismo dell'urto che fa perdere memoria della direzione della velocità

• Se si verificano queste ipotesi si arriva alla legge di Ohm• Naturalmente il nostro modello non predice il valore

del tempo medio fra le collisioni τ• Né tantomeno predice se τ dipende dalla velocità del portatore di carica

• In generale una teoria per poter predire τ è molto complessa• Si utilizzano metodi di Meccanica Statistica e Termodinamica• Occorre una teoria della struttura della materia• Si utilizza la cosiddetta equazione del trasporto

• Possiamo addirittura dire che una teoria per predire la conduttività di una sostanza è nient'altro che una teoria per predire τ

• Non faremo altri approfondimenti di questo interessante argomento


Tipi di materiali• Discutiamo adesso le tre classi in cui vengonosuddivisi i materiali in base alla loro conduttività• Utilizziamo qualitativamente il modello che

abbiamo discusso• Il grafico mostra la conduttiva in funzione dellatemperatura per alcuni materiali• Si notano tre classi di materiali• Gli isolanti• Conduttività inferiore a 10−4 (ohm-cm)−1

• I semiconduttori• Conduttività compresa fra 10−2 e 104 (ohm-cm)−1

• I conduttori• Conduttività maggiore di 106 (ohm-cm)−1

• Per comprendere a fondo le differenze frai diversi tipi di materiali sarebbe necessaria la teoria quantistica della materia• In particolare per i conduttori e i semiconduttori• Il modello classico sviluppato consente tuttaviadi comprendere alcuni degli aspetti più semplici


Tipi di materiali: isolanti• Nella figura è rappresentata la conduttività• Del vetro• Del cloruro di sodio (NaCl) cristallino

• A temperatura ambiente il vetro è unottimo isolante• Gli ioni non possono muoversi e sono

saldamente ancorati alla strutturamolecolare del vetro

• Al crescere della temperatura i legamisi indeboliscono• Un certo di numero di ioni (piccolo) può

muoversi sotto l'influenza di un campoelettrico

• Per un isolante la conduttività dipende principalmente dal valore della mobilità• Il numero dei portatori di carica rimane pressoché costante

• Per il cloruro di sodio NaCl si possono fare considerazioni analogheC

ondu

ttiv

ità

(ohm

-cm

)-1 NaCl

Vetro


Tipi di materiali: semiconduttori• Nel grafico sono riportate le conduttivitàdi germanio e silicio• Anche in questo caso la conduttività ha una

forte dipendenza dalla temperatura• Il motivo è diverso da quello degli isolanti

• Nei semiconduttori il numero dei portatoridi carica dipende fortemente dalla temperatura• Allo zero assoluto non ci sarebbero portatori

di carica liberi• Sarebbero degli isolanti

• Al crescere della temperatura il numero dei portatori cresce e la conduttività aumenta

• Ci sono portatori di carica negativi (elettroni) e positivi (buche)• Hanno circa la stessa massa e mobilità confrontabili

Con

dutt

ivit

à (o

hm-c

m)-

1

Silicio

Germanio


Tipi di materiali: conduttori• Nel grafico sono riportate le conduttivitàdi rame e piombo• Notiamo che la conduttività aumenta al

diminuire della temperatura• Nei conduttori i portatori di carica sono elettroni• Il numero degli elettroni è estremamente

elevato: nel rame circa n ∼ 8.6×1022 e/cm3

• La conduttività del rame è σ = 6×107 (Ω-m)−1

• Nel nostro modello la conduttività è data da

• Inoltre la velocità termica degli elettroni è v ∼ 105 m/s: vτ ≈ 2.5×10−9 m• Troppo grande confrontato con il passo reticolare: l ∼ 3.8 ×10−10 mτ

• Per comprendere perché l'elettrone interagisce così poco con il reticolo occorre la meccanica quantistica• Quello che rallenta l'elettrone sono le imperfezioni del reticolo• Le vibrazioni causano una sorta di imperfezione• Questo spiega qualitativamente perché la conduttività aumenta quando la temperatura diminuisce

Con

dutt

ivit

à (o

hm-c

m)-

1

Rame

Piombo

l vτ


Dissipazione di energia• Il flusso di corrente in un conduttore (in una resistenza) comporta dissipazione di energia• Nel nostro modello di conduttività il campo elettrico fa guadagnare

quantità di moto (e energia) ai portatori di carica• Compie un lavoro sui portatori di carica• Nel modello di conduzione che abbiamo elaborato il lavoro fatto dal campo

elettrico viene trasferito alle molecole del fluido o al reticolo cristallino• Gli urti rendono casuale la direzione della particella dopo l'urto• Tuttavia l'energia media trasferita dallo ione alla molecola non è nulla

• L'energia così trasferita si manifesta sotto forma di calore • Consideriamo una resistenza R percorsa da una corrente I• La differenza di potenziale è

• In un tempo dt una carica dq = Idt perde energia

• La potenza "dissipata" nella resistenza (effetto Joule) è• Utilizzando la legge di Ohm si possono scrivere leespressioni equivalenti


Forza elettromotrice• Veniamo adesso al problema che abbiamo a lungo rinviato• Come si mantiene la corrente elettrica?• Abbiamo appena visto che una corrente elettrica dissipa energia in un conduttore• Chi fornisce l'energia dissipata?• Vediamo meglio dove sta il problema• Supponiamo di avere un generatore e una resistenza• Anche se non sappiamo ancora come funziona

• Per effetto del generatore la carica compie un percorso chiuso• L'energia dissipata deve provenire dal lavoro fatto sulla carica

• Supponiamo che la forza che agisce sulla carica sia

• Il lavoro fatto nel percorso chiuso è• Ma il campo E è conservativo

• Pertanto ci deve essere un'altra forza oltre alla forza elettrica• Una forza che mantiene le cariche in moto

e fornisce continuamente energia• Una forza con queste caratteristiche si chiama Forza Elettromotrice


Cella elettrolitica• Consideriamo un recipiente contenente acqua• Abbiamo detto che l'acqua pura ha un numero

piccolo di molecole dissociate → bassa conduttività• L'aggiunta di un sale o di un acido aumenta di

molto il numero di ioni presenti nell'acqua• Ad esempio aggiungendo acido solforico H2SO4

• La soluzione rimane comunque neutra• Se aggiungiamo due elettrodi e stabiliamo fra di essi una differenza di

potenziale nella soluzione si stabilisce una corrente• Gli ioni sono i portatori di carica• La loro densità e mobilità determina la conducibilità• Il dispositivo così realizzato prende il nome di cella elettrolitica• La soluzione prende il nome di soluzione elettrolitica• La sostanza disciolta in soluzione prende il nome di elettrolita

• Il materiale di cui sono composti gli elettrodi è importante• Può causare comportamenti diversi della cella elettrolitica• In particolare la cella può comportarsi come una pila (generatore di forza

elettromotrice)


Batteria ricaricabile• Descriviamo una pila reversibile a base di piombo• Reversibile significa che può essere ricaricata• È utilizzata nelle automobili, nelle moto (accumulatore)• La cella elettrolitica è una soluzione di H2SO4 in acqua• I due elettrodi sono• Uno fatto di piombo puro (Pb), l'elettrodo negativo• Uno fatto di biossido di piombo (PbO2), l'elettrodo positivo• Esaminiamo quello che avviene nell'elettrodo di piombo• In particolare nella regione a contatto con la soluzione• Un certo numero di atomi di Pb metallico delloelettrodo perde 2 elettroni e passa alla soluzione• Nella soluzione lo ione piombo Pb++ si combina con lo ione SO4

−− formando PbSO4

• Combinandosi con SO4−− il Pb++ in soluzione lascia due ioni H+ non neutralizzati

• Questa reazione avviene perché energeticamente favorita• Il Pb in soluzione ha un'energia inferiore a quella del Pb nel metallo • Complessivamente due elettroni sono nell'elettrodo e due ioni positivi H+ sono

nella soluzione• Elettrodo e soluzione non sono più neutri, si sono caricati

Complessivamente


Batteria ricaricabile• Pertanto l'elettrodo Pb si carica negativamente• Gli ioni H+ si dispongono molto vicini alla superficie

dell'elettrodo • Si forma il cosiddetto doppio strato• Osserviamo che i due strati di carica generano un

campo elettrico (elettrostatico)• Per passare in soluzione lo ione Pb++ deve vincere la forza del campo

elettrico che lo spingerebbe a rimanere dentro l'elettrodo• L'energia che lo ione Pb++ perde passando in soluzione è maggiore di quella che guadagnerebbe spostandosi in direzione opposta campo elettrico

• Naturalmente man mano che il piombo va in soluzione la carica del doppio strato aumenta• Ad un certo punto il campo elettrico è diventato così intenso che il passaggio di ioni Pb++ alla soluzione si arresta• L'energia che lo ione di piombo perderebbe passando in soluzione è diventata minore di quella che guadagnerebbe spostandosi in direzione opposta campo elettrico

• Il sistema elettrodo-soluzione ha raggiunto l'equilibrio

Questa è l'origine della forza elettromotrice


Batteria ricaricabile• All'elettrodo positivo (PbO2) hanno luogo reazioni simili†• In particolare il piombo tetravalente del PbO2 si riduce

a piombo bivalente

• Anche in questo caso avviene la reazione energeticamente favorita• Questa reazione "consuma" elettroni del metallo• L'elettrodo si carica positivamente• Vengono attratti ioni negativi nella soluzione• Si forma un doppio strato• Gli ioni H+ che hanno ridotto il Pb tetravalente hanno attraversato il doppio

strato contro il campo elettrico• Ancora una volta è comparsa una forza elettromotrice

• Per finire il piombo bivalente si combina con gli ioni solfato formando un sale che precipita

• Complessivamente al catodo è avvenuta la seguente reazione

• †Barak M. ed. – Electrochemical Power Sources -The Institution of Engineering and Technology (1980) p. 188


Batteria ricaricabile• Anche all'elettrodo positivo si raggiunge una condizione di equilibrio• Il campo elettrico del doppio strato diventa molto intenso e il passaggio di

ioni H+ all'elettrodo PbO2 richiederebbe un'energia maggiore di quella guadagnata dalla riduzione del Pb tetravalente

• In queste condizioni fra gli elettrodi della batteria c'è una differenza di potenziale di circa 2 V• Se adesso colleghiamo una resistenza fra gli

elettrodi comincia a scorrere una corrente• Dall'elettrodo positivo a quello negativo• Gli elettroni passano dall'elettrodo Pb al PbO2

• I campi elettrici dei due doppi strati si indeboliscono• Le reazioni riprendono• La batteria mantiene la corrente e cede energia al sistema esterno

• Durante il funzionamento la batteria consuma Pb metallico e biossido PbO2

• Questo processo può essere invertito• Se si collega un generatore agli elettrodi con una forza elettromotrice

maggiore di quella della batteria tutte le reazioni hanno luogo in senso inverso• La batteria si ricarica


Forza elettromotrice• Abbiamo descritto un generatore di forza elettromotrice• Nella batteria descritta ci sono portatori di carica che si

muovono contro il campo elettrico• La reazione chimica rende questo passaggio conveniente energeticamente• Possiamo schematizzare l'aumento di energia come il lavoro fatto da un campo che chiamiamo campo elettromotore CE

• Ritorniamo alla nostra schematizzazione di generatore• Indichiamo i poli positivo e negativo• Il campo elettrico è diretto come in figura

• Calcoliamo il lavoro fatto sulla carica in un ciclo• La forza che agisce sulla carica è• Nel circuito esterno al generatore F = qE• Dentro il generatore F = qE + qCE

• La grandezza E prende il nome di forza elettromotrice della batteria• È simile a un potenziale; si misura in Volt

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