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Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2018/2019

Elettromagnetismo

Sfera polarizzata. Legge di Gauss nella materia

Il campo Spostamento Elettrico DSfera di dielettrico in campo uniforme

Lezione n. 13 – 28.11.2018

Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 301

Campo elettrico di una sfera polarizzata• Consideriamo una sfera di dielettrico uniformemente polarizzata• Dato che la polarizzazione è uniforme all'interno non ci

sono densità di carica volumetriche• Sulla superficie ci sarà una densità superficiale di carica

che dipende dall'angolo polare

• Possiamo pertanto sostituire al blocco di dielettricola distribuzione di carica superficiale σP(θ)• Il potenziale si ottiene con l'integrale

• La formula risolve il problema per r interno o esterno alla sfera• Il calcolo di questo integrale è un po' laborioso• È un problema computazionale

• Possiamo sviluppare altre soluzioni più interessantidal punto di vista della fisica


Campo elettrico di una sfera polarizzata• Un modo alternativo per risolvere il problema è quello di considerare due sfere di densità ρ uniforme e raggio R• Di carica totale Q, positiva e negativa rispettivamente• Le due sfere sovrapposte sono equivalenti ad un

sistema neutro• Spostiamo le due sfere in modo che i centri distino una piccola distanza s• Compaiono due regioni di carica la cui densità varia

con l'angolo come cosθ• La carica presente è proporzionale a Δl = l − R

trascuriamo


Campo elettrico di una sfera polarizzata• Un elemento di superficie da sulla sfera individua unvolume dv = da Δl• La carica di questo volume è• V è il volume della sfera• Calcoliamo la densità superficiale di carica

• Confrontando con la densità superficiale dovuta alla densità di polarizzazione P: σ(θ) = P cosθ• Otteniamo la relazione fra Q, s e i dati del problema

• A questo punto possiamo calcolare il campo elettrico• Iniziamo con la regione esterna alla sfera• Questo è banale• Il sistema è equivalente a due cariche puntiformi ±Q

distanti s: un dipolo p0 = Qs


Campo elettrico di una sfera polarizzata• Veniamo al campo elettrico all'interno• Utilizziamo il principio di sovrapposizione e sommiamo i

campi all'interno delle due sfere di carica uniforme• Abbiamo già calcolato il campo all'interno di una sfera (diapositiva )386105


Campo elettrico di una sfera polarizzata• Notiamo che il campo elettrico è discontinuo sullasuperficie della sfera• Analizziamo la discontinuità• Per semplicità nel polo nord della sfera (θ = 0)• Il campo esterno è (diapositiva )

• Il campo interno è

• Vediamo che la discontinuità nella componente normale è

• È la discontinuità della componente normale di un campo elettrico al passaggio di una densità superficiale di carica σ = P

542262


Campo elettrico di una sfera polarizzata• Questa relazione vale per tutti gli angoli

• La componente normale (radiale) del campo elettrico esterno è

• La componente radiale del campo elettrico interno è

• La componente tangenziale è continua

• Il entrambe le proiezioni si è assunta positiva la direzione di


La legge di Gauss nella materia• Supponiamo di avere un grande dielettrico all'interno del quale si trova una carica q• Una carica che non fa parte della struttura

molecolare del dielettrico• Ad esempio una sfera metallica carica immersa

in un bagno di olio• Come nel condensatore piano con il dielettrico presente, il campo elettrico nel materiale risulta ridotto rispetto a quello nel vuoto (con la stessa carica q)

• È legittimo chiedersi se la legge di Gauss è ancora valida• Infatti il flusso del campo elettrico su una superficie che circonda la carica,

ad esempio una sfera, sarà più piccolo perché E è più piccolo • Sembra pertanto che il flusso non sia più uguale a q/ε0 ma piuttosto q/ε

• Nel fare questa affermazione commettiamo un grave errore• La carica q non è la sola carica all'interno della sfera che utilizziamo

per il calcolo del flusso• C'è una densità di carica indotta dalla polarizzazione di cui bisogna tenere

conto

Normalmente si definisce la permittività del dielettrico


La legge di Gauss nella materia• Infatti il campo elettrico polarizza il materiale• La sferetta metallica carica ha un'interfaccia

con il dielettrico• Intorno alla sferetta compare una carica

superficiale della quale bisogna tenere conto• È a causa di questa carica, che "scherma" lasfera, che il campo risulta meno intenso

• In generale potrebbe esserci anche una caricavolumetrica se ∇⋅P ≠ 0 ( in questo caso ∇⋅P = 0)

• Supponiamo che il dielettrico sia lineare• Il campo elettrico e densità di polarizzazione sono

• Supponendo che il raggio della sfera sia a la densità di carica di polarizzazione (uniforme) sulla sua superficie è

• All'esterno della sfera il campo è quello di una carica puntiforme Q = q + qp

Carica schermata, più piccola


La legge di Gauss nella materia• Tenere conto della carica di polarizzazione non è semplice• In laboratorio si controllano le cariche o i potenziali sui conduttori, non la

carica di polarizzazione• Sarebbe utile una relazione che utilizzasse solo le cariche libere Qfree= q1+q2

• Scriviamo la legge di Gauss in forma integrale tenendo conto di tutte le cariche presenti

• La carica di polarizzazione Qpol è quella presente nel volume e sulle superfici S1 e S2

• Notiamo che la superficie S è una superficie matematica• Non è una discontinuità nel dielettrico• Non c'è una carica superficiale su di essa

• Calcoliamo Qpol

• Usiamo il teorema della divergenza per trasformare l'integrale di volume

Il volume V è quello delimitato da S, S1, S2


La legge di Gauss nella materia• Riepiloghiamo

• Inseriamo l'espressione di Qpol nella legge di Gauss

• Definiamo il campo vettoriale D, chiamato induzione elettrica• Chiamato anche "spostamento elettrico"

• Introducendo nell'equazione otteniamo

• Vediamo che per il campo D vale una versione della legge di Gauss che stabilisce una relazione con le sole cariche libere

in forma differenziale


La carica di un dielettrico• Osservazione• Le cariche che compaiono in un dielettrico polarizzato dipendono dalle

deformazioni degli atomi e dall'orientamento dei dipoli molecolari• Le cariche fanno piccoli spostamenti (dell'ordine delle dimensioni atomiche)• Il dielettrico si polarizza ma la sua carica totale è nulla

• Nel calcolo precedente abbiamo trovato

• La superficie S è una superficie matematica• La carica Qpol è diversa da zero perché non stiamo considerando la superficie esterna del dielettrico• Se consideriamo tutte le superfici del corpo (Se)


Lo spostamento elettrico D• Il campo D può risultare utile in talune circostanze ma non aggiunge un reale contenuto fisico nuovo• Può indurre in semplificazioni errate• Il fatto che soddisfi una legge di Gauss che utilizza solo le cariche libere

potrebbe fare pensare che si possa costruire un'elettrostatica solo con D

• La ragione importante è che il campo D in generale non è conservativo• D non si può scrivere in funzione di un potenziale• La legge di Coulomb aveva entrambe le proprietà

• Il motivo è ovvio

• Consideriamo la circuitazione di P come nella figura• Dielettrico uniformemente polarizzato• Cammino chiuso con lati paralleli alla polarizzazione

Non esiste una legge di Coulomb per D FALSO !!

Dielettrico Vuoto


Lo spostamento elettrico D• In casi particolari risulta semplice calcolare il campo D• Succede quando il problema ha evidenti simmetrie che possono condurre alla

soluzione come abbiamo visto con la legge di Gauss per E• Nel caso generale bisogna avere una relazione fra D e il campo elettrico E• Una relazione che deriva dall'esperimento o da un modello della materia• Come nel caso della densità di polarizzazione

• Per un dielettrico lineare

• Per l'induzione elettrica si ottiene

• Abbiamo definito un'ennesima costante: la permettività del materiale• Ha le stesse dimensioni di ε0

• Avere trovato questa relazione per i dielettrici lineari potrebbe fare pensare che almeno per questi si possa avere la circuitazione nulla

• La costante ε è discontinua quando si attraversa un'interfaccia• In generale non si può portare fuori dall'integrale

FALSO !!


Problema elettrostatico con i dielettrici• Consideriamo un sistema composto da più dielettrici lineari• In ogni dielettrico vale la relazione

• Naturalmente vale sempre

• Il campo elettrostatico E è sempre derivabile da un potenziale• Possiamo utilizzare i metodi sviluppati per il calcolo del potenziale

separatamente in ogni regione di dielettrico• Con le opportune condizioni al contorno sulle superfici che delimitano i dielettrici sulle quali compaiono le densità superficiali di cariche

• In particolare, nelle regioni in cui ρf = 0 il potenziale obbedisce all'equazione di Laplace• Notiamo che se all'interno di un dielettrico lineare non è presente una densità di carica libera (ρf = 0) anche la densità di carica di polarizzazione sarà nulla (ρb = 0)


Condizioni al contorno• Abbiamo visto che sulla superficie di un dielettrico compaiono densità superficiali di cariche di polarizzazione• Sappiamo che il campo elettrico ha delle discontinuità quando incontra

strati di carica superficiale• Analizziamo le discontinuità per i campi D, E• Abbiamo visto che il campo D obbedisce alla legge di Gauss

• Applichiamo la legge intorno all'interfaccia fra due dielettrici• Supponiamo che non ci siano cariche

libere sulla superficie: Qf = 0• Per il campo D otteniamo

• Ricordando che D = εE• Pertanto • La componente normale del campo D è continua se non ci sono cariche libere• La componente normale del campo elettrico E è discontinua


Condizioni al contorno• La condizione su E che abbiamo trovato può essere ottenuta senza l'uso del campo D• Utilizziamo la proprietà del campo elettrico che conosciamo• Attraversando una densità di carica σ la componente normale ha una discontinuità ΔE⊥ = σ/ε0

• Chiamiamo E1 e E2 i campi elettrici presenti all'interfaccia nel dielettrico 1 e 2 rispettivamente• Poiché i dielettrici sono lineari P = χε0 E• Dai lati 1 e 2 dell'interfaccia ci saranno le cariche

• Pertanto

• Ricordiamo che κ = 1 + χ e che ε = κε0


Condizioni al contorno• Possiamo generalizzare la condizione al contorno su D⊥al caso in cui nell'interfaccia sia presente carica libera• La condizione precedente

• Diventa

• Analizziamo il caso in cui l'interfaccia è fra un metallo e un dielettrico lineare• In questo caso uno dei due materiali è un conduttore• All’interno del conduttore

• Supponendo che il materiale conduttore sia il 2

• Ricordando che D = εE• Nel dielettrico, all’esterno del conduttore


Condizioni al contorno• Per quanto riguarda la componente tangenziale del campo elettrico questa è continua

• Questa condizione deriva dal fatto che il campo elettrico è conservativo

• Infatti, considerando una linea chiusa intorno all'interfaccia, come in figura

• Per il potenziale le condizioni diventano• Il potenziale è continuo attraverso l'interfaccia

• La derivata del potenziale è discontinua• Se n è la normale alla superficie

N.B.: non ci sono cariche libere sull'interfaccia

Il vettore r varia sulla superficie di interfaccia dei dielettrici V è l'integrale di E


Condizioni al contorno• Riepilogando• Ricordiamo solo le condizioni al contorno per campo elettrico e potenziale• Sono sufficienti per risolvere i problemi• Per il campo elettrico

• Per il potenziale• Il potenziale è continuo attraverso l'interfaccia

• Il vettore r varia sulla superficie di interfaccia fra i dielettrici• La condizione sulla componente normale del campo diventa


Sfera di dielettrico in campo uniforme• Consideriamo una sfera di dielettrico posta in un campo elettrico uniforme• È un problema analogo a quello della sfera conduttrice in campo uniforme

che abbiamo affrontato in precedenza (vedi diapositiva )• Utilizziamo il metodo della separazione delle variabili in coordinate sferiche• C'è simmetria azimutale (V indipendente da φ)• Qualitativamente possiamo dire che il campo elettrico polarizza il dielettrico• Sulla superficie della sfera compare una carica superficiale• Il campo uniforme è distorto• Il campo rimane uniforme all'infinito• All'interno della sfera il campo elettrico è dato dalla somma del campo esterno e del campo generato dalle cariche di polarizzazione

474188

y

z

x


Sfera di dielettrico in campo uniforme• Esprimiamo il potenziale all'esterno e all'interno utilizzando la formula utilizzata per il problema della sfera conduttrice

• La seconda formula è necessaria perché adesso il campo dentro la sfera non è nullo• Le condizioni al contorno sono (ε è la permittività della sfera)

• All'infinito campo uniforme

• Potenziale continuo sulla sfera

• Discontinuità della componente normale

• Assumendo come nel caso della sfera conduttrice V0 = 0, la prima condizione permette di porre a zero tutti gli Al escluso A1 = − E0 ( P1(cosθ) = cosθ )• Inoltre, poiché al centro della sfera il potenziale deve essere finito si ha

che per tutti gli l deve essere Dl = 0


Sfera di dielettrico in campo uniforme

• La condizione di continuità diventa

• L'uguaglianza implica che per ogni l devono essere uguali i coefficienti dei corrispondenti polinomi di Legendre Pl (P1 = cosθ)

• Per l = 1

• Per l ≠ 1


Sfera di dielettrico in campo uniforme• Veniamo adesso alla condizione di discontinuità• Ricordiamo che sulla sfera ∂/∂n = ∂/∂r

• Ancora una volta uguagliamo i coefficienti dei polinomi di Legendre dello stesso ordine l

• Per l = 1

• Per l ≠ 1

• Confrontiamo con la precedente equazione per l ≠ 1• Concludiamo che • Per l = 0 → B0 = 0 e C0 = 0• Per l ≠ 0,1 le due relazioni per Bl implicano che


Sfera di dielettrico in campo uniforme• Esaminiamo infine le due equazioni trovate per l = 1

• Eliminiamo C1 inserendo la prima equazione nella seconda

• Per finire inseriamo il valore trovato per B1 nell'equazione di C1

• Abbiamo trovato il potenziale


Sfera di dielettrico in campo uniforme

• Calcoliamo le componenti del campo elettrico• All'interno

• All'esterno

• Sulla superficie della sfera

Campo uniforme

Componente tangenziale continua

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