ELIMINASI GAUSS

1. Pengertian Eliminasi GaussEliminasi Gaussadalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana.Metode Eliminasi Gauss adalah salah satu cara yang paling awal dan banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier.Cara ini ditemukan olehCarl Friedrich Gauss. Prosedur penyelesaian dari metode ini adalahdengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yangEselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalammatriks teraugmentasidan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriksEselon-baris, lakukansubstitusi balikuntuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.Secara umum, sistem persamaan linier adalah sebagai berikut:a11x1+ a12x2+ ... + a1nxn= b1a21x1+ a22x2+ ... + a2nxn= b2 : : : = :an1x1+ an2x2+ ... + annxn= bn

Dalam mencarisolusi suatu sistem persamaan linear dengan metode eliminasi gauss,bentuk operasi matrik di atas dimanipulasi menjadimatrik augment, yaitu suatu matrik yang berukuran n x (n+1) seperti berikut ini : Selanjutnya adalah proses triangularisasi dan substitusi-mundur dalam operasi matrik terhadap sistem persamaan linear sebagai contoh yang terdiri dari empat persamaan matematika,yang sudah diubah kedalam bentuk matrik seperti dibawah ini : Lalu kita dapat membuat matrik augment sebagai berikut : Kemudian kita lakukan operasi triangularisai terhadap matrik augment, dimulai dari kolom pertama, yaitu : Lalu dilanjutkan ke kolom berikutnya: Sebelum dilanjutkan ke substitusi mundur, perhatikan posisi masing-masing elemen matrik augment berikut:2. Ciri-ciri Eliminasi Gauss a. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama) b. Baris nol terletak paling bawah c. 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya d. Dibawah 1 utama harus nolContoh :Berikut contoh penyelesaian persamaan linearDiketahui persamaan linear sebagai berikut:x + 2y + z = 6x + 3y + 2z = 92x + y + 2z = 12Tentukan nilai x, y dan z!Jawab:Ubah persamaan linear ke dalam bentuk matriks,operasikan matriks tersebut seperti berikut: b1x 1 untuk merubah a11menjadi 1b2 b1untuk merubah a21menjadi 0 b3 2b1untuk merubah a31menjadi 0b3+ 3 b2untuk merubah a32menjadi 0b3x untuk merubah a33menjadi 1 ( matriks menjadiEselon- baris)Sehingga didapat 3 persamaan linear baru yaitu : x + 2y + z = 6 y + z = 3 z = 3kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan y + z = 3 y + 3 = 3 y = 0

x+ 2y + z = 6 x + 0 + 3 = 6 x = 3

jadi, nilai x = 3 , y = 0dan z = 3

3. Algoritma Eliminasi GaussSecara umum,sistem persamaan linear adalah sebagai berikut:a11x1+ a12x2+ ... + a1nxn= b1a21x1+ a22x2+ ... + a2nxn= b2: : : : = :an1x1+ an2x2+ ... + annxn= bn Algoritma dasar metode eliminasi gauss adalah sebagai berikut:a.Ubahlah sistem persamaan linear tersebut menjadimatrik augment, yaitu suatu matrik yang berukurannx(n+ 1). Jelas terlihat bahwa elemen-elemenyang menempati kolom terakhir matrik augment adalah nilai daribi; yaituai,n+1 =bidimanai= 1,2, ..., n.b. Periksalah elemen-elemen pivot. Apakah ada yang bernilai nol? Elemen-elemen pivot adalah elemen-elemen yang menempatidiagonalsuatu matrik, yaitua11,a22,...,annatau disingkataii. Jikaaii_= 0, bisa dilanjutkan ke langkah no.3. Namun, jika ada elemen diagonal yang bernilai nol,aii= 0, maka baris dimana elemen itu berada harus ditukar posisinya dengan baris yang ada dibawahnya, (Pi)(Pj) dimanaj=i+ 1, i+ 2, ..., n, sampai elemen diagonal matrik menjadi tidak nol,aii0.c. Proses triangularisasi.d. Hitunglah nilaixne. Lakukanlah proses substitusi mundur untuk memperolehxn-1, xn-2 , ....,x2, x1Demikianlah algoritma dasar metode eliminasi gauss. Selanjutnya algoritma dasar tersebut di rinci lagi sebelum dapat diterjemahkan kedalam bahasa pemrograman komputer.