ELUJO DE POTENCIA ESTOCASTICO - …bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/6876/1/T600.pdf · ANÁLISIS DE RESULTADOS 58 4.1 Prueb a. Comparacióa n de los resultado s del flujo

E S C U E L A P O L I T É C N I C A N A C I O N A L

EACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

ELUJO DE POTENCIA ESTOCASTICO

->v

Tesis previa a la obtención del

título de Ingeniero Eléctrico.

RAÚL N. GUIJARRO L.

Quito, agosto de 1984

CERTIFICACIÓN

Certifico que la presente tesis

ha sido elaborada en su totalidad

por el Sr. RAÚL N. GUIJARRO L.,

bajo mi dirección.

ArguelloOR DE TESIS

AGRADECIMIENTO

Expreso mi profundo agradecimiento al

Ing. Gabriel Arguello por su constari

he y acertada dirección de la tesis,

y a todas las personas que colabora^

ron en la realización de la misma.

R E S U M E N

El flujo de potencia es una herramienta básica y útil pa^

ra tomar decisiones en la operación y planeación de los Sis_

temas Eléctricos de Potencia. La solución determina los nive

les de voltaje en todas las barras del sistema, el Flujo de

potencia por todos los elementos de la red y sus pérdidas,

con lo que se obtiene información completa del sistema eléc-

trico en estado estable.

La incertidumbre de los datos nodales, que da como resul^

tado, una falta de confianza en la solución que se obtiene de

la formulación convencional, ha creado la necesidad de mod£

lar el problema estocásticamente.

La presente Tesis, tiene como objetivo la descripción de

una técnica de solución de flujo de potencia, que maneja ad£

cuadamente las características aleatorias de los datos de ' en_

trada; estos se dan en forma de rangos alrededor de un valor

probable y los resultados se obtienen de manera similar. Para

este propósito sa elaboró un programa digital, que es una ex^

tensión del programa desarrollado por el Ing. Edgar Mármol en

su Tesis: "Estudio de Flujos de Carga mediante los métodos

de Newton Raphson". Se analizan una serie de pruebas, y para

efectos de confrontación de resultados se utiliza la simula-

ción de Monte Cario.

Los estudios de flujo estocástico, son de vital importan_

cia en la planeación de la operación a corto plazo, y en el a_

nálisis de seguridad de los Sistemas Eléctricos de Potencia.

Í N D I C E

Página

RESUMEN I

Capítulo 1. INTRODUCCIÓN 1

1.1 Generalidades 1

1.2 Visión histórica del flujo de potencia estocástico 3

1.3 Características del método y alcance del trabajo . 4

1.4 Contribuciones de la Tesis 5

Capítulo 2. MODELACIÓN MATEMÁTICA DEL FLUJO

DE POTENCIA ESTOCÁSTICO 6

2.1 El flujo de potencia determinístico 6

2.1.1 Planteamiento de las ecuaciones

del flujo de potencia 6

2.1.2 Técnica de solución por el

método de Newton-Raphson , 10

2.2 Formulación del flujo de potencia estocástico .... 12

2.2.1 Modelo lineal 12

a. Valor esperado y varianza de

las variables de estado 16

b. Valor esperado y varianza de los valores

observados o pronosticados 18

c. Valor esperado y varianza de los errores .. 18

- III -

Página

d. Valor esperado y varianza de las

variables de salida dependientes 20

2.2.2 Modelo no lineal 22

2.2.3 Intervalos de confianza 25

2.2.4 Correlación entre variables 26

a. Correlación entre carga y generación 27

b. Correlación entre cargas 28

2.2.5 Datos de entrada e información obtenida

del estudio de flujo estocástico 29

2.2.6 Tratamiento de barras de voltaje controlado 32

2.2.7 Algoritmo general de solución 32

2.3 Diferencias entre la formulación

determinística y estocástica 34

2.4 La simulación de Monte Cario 35

Capitulo 3. PROGRAMA DIGITAL 37

3.1 Consideraciones en programación 37

3.2 Diagramas de flujo: programa principal

y subrutinas 41

3.3 Descripción del programa 54

Capítulo 4. EJECUCIÓN DE PRUEBAS Y

ANÁLISIS DE RESULTADOS 58

4.1 Prueba a. Comparación de los resultados del flujo

de potencia estocástico con la solución determinfs

tica y con la simulación de Monte Cario 58

4.2 Prueba b. Análisis de resultados considerando

variaciones en las desviaciones estándar de las

cargas 60

- IV -

Página

4.3 Prueba c. Efecto de la variación del

voltaje en barras de generación 61

4.4 Prueba d. Análisis de resultados en base a

la correlación entre variables de entrada 63

Capítulo 5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 80

Anexo A. Definiciones estadísticas A1

Anexo B. Formación de las matrices 3 y K B1

Anexo C. Resolución de flujo de potencia estocástico

para un sistema de tres barras C1

Anexo D. Manual de uso del programa D1

Anexo E. Obtención de los coeficientes de correlación E1

CAPITULO 1

I N T R O D U C C I Ó N

1.1 GENERALIDADES

El problema del flujo de potencia en estado estacionario,

consiste básicamente en determinar tando el módulo y ángulo

de los voltajes en todas las barras del sistema como los fLj

jos y pérdidas de potencia en todos los elementos de la red,

para ciertas condiciones preestablecidas de generación, deman^

da y topología de red.

Los estudios de flujo son de gran importancia en diseño,

operación y control de sistemas eléctricos de potencia, asi

como también para evaluar cambios propuestos en un sistema

existente.

El flujo de potencia convencional es determinístico, es

decir, se obtiene una solución que se ajusta exactamente a

los datos de entrada. Como los estudios de flujo, generalmeri

te se proyectan hacia el futuro, tales datos se obtienen en

base a pronósticos que contienen cierto grado de incertidurn

bre, por lo cual datos erróneos conducirán a resultados del

mismo tipo y, en consecuencia podrán tomarse decisiones equi-

vocadas.

Las principales fuentes de incertidumbre en el flujo de

potencia son:

- 2 -

a) Las cargas del sistema de potencia,

b) Los niveles de intercambio del sistema de potencia.

c) El sistema de generación.

d) Posible salida de componentes del sistema de transmi_

sión.

Cada una requiere considerable atención para modelar estocas^

ticamente el fenómeno involucrado (17). El presente trabajo,

va a enfocar la primera de ellas, en lo que se refiere a errp_

res de medición y predicción de carga.

Es común analizar un gran número de flujos de potencia

determinísticos con datos de carga diferentes, con el objeto

de establecer posibles rangos de variación de las variables

de salida. Este proceso analítico, requiere de mucho tiempo y

debe seguirse en forma metódica y organizada, como en el méto_

do de simulación de Monte Cario (3).

En un sistema de potencia práctico, no es factible resol_

ver un nuevo problema de flujo para cada cambio de una carga

particular ya que (5):

a) Hay una cantidad prohibitiva de cálculos. Así, para

un sistema de n barras y T diferentes valores de car

ga en cada barra, se debe resolver T flujos de potejn

cía.

b) Se tiene dificultad en analizar y sintetizar los re-

sultados de tantos flujos de potencia.

Si bien es cierto que estos inconvenientes se superan en

te, cuando los ingenieros de planificación y operación, en ba

se a la intuición y experiencia, seleccionan únicamente ciei^

tas condiciones de demanda del sistema, no es menos cierto

que este procedimiento conlleve a resultados no muy consisten

- 3 -

tes.

Por las razones anteriores, y, dada la importancia de

las decisiones que se toman de estudios de flujo de potencia,

surge interés por conocer los rangos de variación de los rtí

sultados correspondientes a los ya conocidos de los datos, me

diante el flujo de potencia estocástico o probabilístico en

un cálculo directo y simple.

1.2 VISION HISTÓRICA DEL FLUJO DE POTENCIA ESTOCÁSTICO

El reconocimiento del flujo de potencia como un problema

de carácter probabilístico, se debe a B. Borkowska, quien a

mediados de 1974 presenta la formulación inicial del flujo de

potencia, considerando incertidumbre en los datos de carga.

Este método permite calcular los valores esperados, las des-

viaciones estándar y adicionalmente las diferentes distriby_

ciones de probabilidad de los flujos de potencia en elementos

por medio de los datos de distribución de las cargas; sin em

bargo, el modelo es conveniente sólo para casos de C.C., ya

que los cálculos son inherentemente complejos.

Más tarde, Dopazo, Klitin y Sasson, dan uno de los más

valiosos aportes al flujo de potencia estocástico, formulando

su método en base a la teoría de estimación de estado por m_£

nimos cuadrados y mediante la aplicación del Teorema del lími

te central. Este modelo es eficiente y válido para C.A,

Posteriormente, en 1975 F. Aboytes y B. J. Cory, compl£

mentan el método anterior, al introducir la correlación entre

variables de entrada para ver su efecto en los resultados.

En 1975, también aparece la formulación de G. T. Heydt,

y, en el siguiente año aquella de P. W. Sauer y G. T. Heydt,

las cuales analizan el problema desde un punto de vista di fe

rente limitándose a evaluar únicamente la estadística de po_

tencia en líneas.

1.3 CARACTERÍSTICAS DEL MÉTODO Y ALCANCE DEL TRABAJO

En la presente Tesis, se desarrolla un método de

lución del flujo de potencia, que toma en cuenta la

dumbre en la predicción, con lo cual, las variables del pro_

blema son aleatorias, obteniéndose sus valores esperados y

sus correspondientes desviaciones estándar; que, a un alto

grado de probabilidad, los rangos así obtenidos incluyen las

diversas condiciones de operación del sistema (7).

En esencia, el método convierte la formulación del pro

blema de flujo de un determinístico a un estocástico (7); se

basa en los principios de estimación de estado por mínimos

cuadrados con cero grados de libertad, siendo por tanto imp£

sible filtrar errores de predicción (3). Cero grados de líber

tad implica tener el mismo número de ecuaciones que de incó

nitas, lo cual es el caso del flujo de potencia.

En aplicaciones en tiempo real para operación de sisteí

mas eléctricos de potencia a través de un centro de control,

es posible medir, además de las variables de entrada para un

estudio de flujo convencional, los voltajes de barra y los

flujos en líneas, con lo que se puede conformar un sistema de

ecuaciones sobredeterminado, es decir, más ecuaciones (e) que

incógnitas (i) y por tanto con e-i grados de libertad, en e.s

te caso no sólo que es posible encontrar la mejor estimación

de las variables de estado, sino detectar e identificar err£

res de medición, este proceso se conoce como estimación de ej;

tado, del cual el flujo de potencia estocástico es un caso

particular (3,16).

- 5 -

Una propiedad importante del método es que para cero gra

dos de libertad, los valores esperados coinciden con la solt¿

ción determinística. Esto hace que el flujo de potencia esto_

cástico pueda añadirse a cualquier programa convencional de

flujos, con el propósito de calcular una medida de la dis_

persidn alrededor de la solución esperada, en base a la incer

tidumbre de los datos. Particularmente este trabajo es una ex^

tensión del método de Newton-Raphson.

1.4 CONTRIBUCIONES DE LA TESIS

a) Tratamiento de barras de voltaje controlado en flujo

estocástico.

b) Desarrollo de un modelo simplificado para la obtejn

ción de las desviaciones estándar de las variables de

salida dependientes, en un cálculo directo, por medio

de vectores; lo cual disminuye notablemente los requ£

pimientos de memoria de computadora, y acelera el pr£

ceso de cálculo.

c) Introducción como variables de salida dependientes,

con el objeto de obtener sus respectivos rangos de

variación, de:

- La potencia activa y reactiva de la barra oscilante.

- La potencia reactiva de capacitores y/o reactores a

tierra.

C A P I T U L O 2

M O D E L A C I Ó N M A T E M Á T I C A

D E L F L U J O D E P O T E N C I A

E S T O C A S T I C O

2.1 EL FLUJO DE POTENCIA DETERMINISTICO

2.1.1 Planteamiento de las_ ecuaciones delFlujo de potencia

La formulación nodal para los estudios de flujo de potejn

cía establece la relación:

I - Y E (? 1)IB - TBLB U. U

donde

TR - Vector de corrientes netas inyectadas en la red

Yn = Matriz admitancia de barraD

ÉR = Vector de voltajes de barra (variables de estado)

El conjunto lineal de ecuaciones (2.1), nos permite en

contrar fácilmente el vector Én dado Tn. si éste fuera el catí tí —

so. En la práctica no es posible este procedimiento directo,

ya que las cargas (variables incontrolables)son conocidas co_

mo potencias complejas y por ende, las generaciones (variables

controlables) no se pueden representar como fuentes de volta-

je, sino más bien como fuentes de potencia (0). Por ello, el

planteamiento del problema se lo hace relacionando las potein

cias con los voltajes, obteniéndose un conjunto de ecuaciones

- 7 -

no lineales que requiere de métodos iterativos para su soljj

ción.

En un sistema eléctrico de n barras, la ecuación de pp_

tencia en una barra cualquiera p, está dada por:

nS = P + jQ = E Y~ Y* E* (2.2)p P P P pq q

donde

S = Potencia neta en la barra pP M

P , Q = Potencias netas activa y reactiva en la barra pP' P J '

E = Voltaje en la barra p

Y - Admitancia de transferencia entre las barras ppq

y q

Definiendo como potencia neta, la diferencia entre la poten

cia de generación y carga.

El voltaje y la admitancia pueden representarse así:

E = V 16P PÍ P

(2.3)Y = G + jBpq pq J pq

donde

V , 6 = Magnitud y ángulo de voltaje en la barra p

G . B = Conductancia y susceptancia de transferenciapq pqentre las barras p y q

Cada una de las barras componentes del sistema se poteri

cia, queda plenamente definida por cuatro variables: P , Q ,

V y 6 : dos de las cuales son cantidades conocidas y las dosP y Prestantes son las incógnitas a determinarse. Si el problema

fuera únicamente de matemáticas, se podría especificar dos va_

riables cualesquiera, pero un análisis físico del sistema, in^

dica que sólo se puede especificar variables sobre las que

se tiene control físico (8). Además, no se conoce de antemano

las pérdidas del sistema, motivo por el cual no se dan como

datos todas las potencias inyectadas. Por estas razones, se

han clasificado las barras de un sistema de potencia, en los

tres tipos que se indican en la tabla siguiente:

Tabla 2.1 Tipos de barras en el análisis

de flujo de potencia

TIPO DE BARRA

Oscilante

Generación oVoltaje Controlado

Carga

DATOS

V , 6P P

V , PP' P

P , QP' P

INCÓGNITAS

P , QP P

6 , QP1 P

V , 6P P

La barra oscilante es de generación, y debe estar en capac^

dad de producir una amplia gama de valores de potencia activa

y reactiva, con el fin de ajustar el balance de carga, pérdi_

das y generación del sistema. Esta barra se usa al mismo tiern

po como referencia de ángulo, puesto que es la única en donde

se especifica esta variable (16).

Interesa determinar primeramente, el nivel de voltaje en

todas las barras del sistema. Ya que este valor se conoce en

la barra oscilante, tanto en magnitud como en ángulo, el prp_

blema consiste básicamente en resolver n-1 ecuaciones para

las n-1 barras de carga y generación. En barras de carga se d£

be resolver la ecuación (2.2), y, en barras de generación:

- 9 -

P = Real (E Y" Y* E*n I n ¿—i pq q (2.4)

El conjunto total de ecuaciones simultáneas no lineales, se

resuelve utilizando métodos iterativos, de los cuales,los más

utilizados en sistemas de potencia son:

1. Gauss-Seidel.

2. Newton-Raphson.

Una vez que se han obtenido todos los voltajes de barra,

en magnitud y ángulo, se procede a calcular la generación de

potencia activa y reactiva en la barra oscilante, la genera^

ción de reactivos en barras de generación, los flujos de p£

tencia y pérdidas en los elementos.

I *pqP PH , ,

Spq

-'

i i

] y ypo ' qo

Iqp i c

s 'qp

E

\. 2.1 Circuito Pi.

El flujo de potencia por el elemento conectado entre las

barras p y q de la figura 2.1 se determina mediante:

5 - E I * = £ (E* - E*)y* + E E*y*pq p pq p P q pq p P p (2.5)

donde

pq~ Corriente que fluye de n hacia q

- 10 -

y = Admitancia del elemento que conecta la barrapqcon la q

y = Admitancia entre la barra p y tierraJpo r }

Similarmente:

S = E (E* - E*)y* + E E*y* (2.6)qp q q p 'pq q q'qo

La potencia de pérdidas se obtiene de la suma algebraica

de S y Spq qp

2.1.2 Técnica de solución por el método de Newton-Raphson

La rapidez y alta confiabilidad en la convergencia, que

son características del método de Newton-Raphson en la solu_

ción de flujos de potencia, han situado a esta técnica en pró^

mer plano frente a los métodos convencionales de Gauss-SeideL

Se basa en la aplicación del Teorema de Taylor para lineal^

zar las ecuaciones de flujo. Para explicar el método, vamos a

considerar inicialmente un sistema de potencia sin barras de

voltaje controlado.

Reemplazando el conjunto de ecuaciones (2.3) en la ecua

ción (2.2), se obtienen las siguientes ecuaciones por cada ba_

rra de carga:

nP = V Y~ V |~G cos(6 - S ) + B sen(6 - 6 )~| (2.7)p P ¿p¡ qL pq P q pq P q J

nQ = V 5~ V PC sen(S - 6 ) - B cos(6 - 6 )~1 (2.8)p p qT¡ q pq P q pq p q J

Las ecuaciones (2.7) y (2.8), no son lineales y en ellas se

conocen P y Q respectivamente, la magnitud y ángulo de vol-

taje en la barra oscilante y los términos de la matriz admi-

tancia de barra.

- 11 -

Aplicando la técnica numérica de Newton-Raphson a las £

cuaciones (2.7) y (2.8), se forma un sistema de ecuaciones

lineales que relaciona las variaciones de potencia activa y

reactiva, con las variaciones de las magnitudes y ángulos de

voltaje:

apas

aoas

apav

aqav

AS AP

AQ

(2.9)

Para obtener ventaja en el cálculo de las derivadas, la ecua

ción (2.9) se ha modificado (16), así:

dPas

aQas

apy

w

3Qavv

AS

AvTv

=

AP

AQ

(2.10)

A la matriz de derivadas de la ecuación (2.9) y (2.10) se le

llama Jacobiano, se le designa con la letra J, y se actualiza

en cada iteración; la obtención de sus elementos se describe

en el Anexo B.1. Las diferencias de potencia en la k-ésima i

teracidn, se determinan mediante:

AP,, v = P especificado - P calculado/. •,

AQ/. = Q especificado - Q calculado, ,(2.11)

y los nuevos valores de voltaje más próximos a la solución son

6(k)+ is(k)+AV

(2.12)(k)

- 12 -

Para iniciar el proceso iterativo, se asumen valores de

voltaje adecuados en todas las barras de carga, luego de lo

cual se siguen los pasos que se dan a continuación (2):

1. Calcular

2. Evaluar

3. Descomponer J/ni en LU.

4. Encontrar las correcciones

5. Calcular 6,. y V,-\

6. Probar convergencia. Si 5P"/.» y AQ/.i\n menores o _i_

guales a las tolerancias especificadas, el proceso i_

terativo termina; caso contrario, se regresa al paso

1.

En caso de existir barras de voltaje controlado, la ecua_

ción (2.8) es reemplazada por:

p(especificado) " p(calculado)

En cada iteración se verifica si la potencia reactiva de gene

ración se encuentra dentro de los límites permisibles; de no

ser así, se fija la generación reactiva en el límite respecti

vo, y, en adelante se trata a esta barra como si fuera de car

ga.

2.2 EORMULACION ÜEL FLUJO DE POTENCIA ESTOCASTICO

2.2.1 Modelo lineal

El flujo de potencia es un problema no lineal, el cual

puede linealizarse mediante la expansión en series de Taylor

de las ecuaciones de flujo; la solución de obtiene mediante

- 13 -

un proceso iterativo de solución de ecuaciones lineales (3).

Por esta razón, comenzaremos analizando la formulación lineal

del flujo de potencia estocástico, para luego desarrollar el

modelo no lineal en base al primero.

Supongamos que el flujo de potencia puede describirse ma_

temáticamente por un sistema de ecuaciones lineales de la fo£

ma:

y = Ax (2.14)

donde

y = Vector de valores observados o pronosticados

A = Matriz de coeficientes constantes

x - Vector de variables de estado

Este planteamiento pertenece al caso determinístico en el cual

se asume que y es exacto. Por el contrario, la formulación -

estocástica toma en cuenta la existencia de errores en las ob

servaciones, con lo cual la ecuación (2.14) se transforma en:

y = Ax + e (2.15)

donde

x = Vector de valores verdaderos de las variables de

estado

e = Vector de error asociado con las cantidades obse_r

vadas o pronosticadas

El objetivo es encontrar el mejor estimado de x dado el

vector y. Puesto que siempre es conveniente tener un estimado

sin desviación, se asume que el valor esperado de los errores

es cero (1), o sea:

ECS) = O (2.16)

- 14 -

Esta ecuación implica que los errores de las observaciones ets

tan distribuidos aleatoriamente alrededor de cero, pero obvia

mente pueden tener un valor esperado de cero aunque existan e_

rrores muy grandes (1,3). Entonces, siendo las observaciones

de diferente calidad, es necesario ponderarlas dando mayor

peso a las más precisas; por ello, se introduce la matriz de

covarianza de los errores, que da la indicación de la dispej*

sión de estos alrededor del valor medio y que se define asi:

C = t(ect) (2.17)

De este modo, C es cuadrada y simétrica; esta conformada por

las varianzas de los errores asociados a cada observación in^

dividual y por las covarianzas respectivas; las primeras cons^

tituyen los elementos de la diagonal principal y las covariají

zas aquellos elementos fuera de la diagonal principal. A la

inversa de la matriz C, se la conoce como matriz de pesos

o ponderaciones.

La teoría de estimación establece que el mejor estimado

de * de la ecuación (2.15), con las consideraciones (2.16) y

(2.17), se obtiene al minimizar la suma de los cuadrados de

todos los errores ponderados por sus varianzas (3), es decir:

n• t \ 2 -min ( > e. c. )

o bien,

min (é C e)

La cantidad encerrada entre paréntesis es llamada función de

error y se representa por F(x). Entonces,

FCx) = ¿ e2 cT1 = eVe (2.18)i = 1

y, evidentemente es un valor escalar.

De (2.15) y (2.18) se obtiene:

F(x) = (y-Ax^C 1(y-Ax)

= (yt-xtAt)(T1(y-Ax) = (?V1-xtAtC~1)(y-Ax')

_t- _1- -f -1 - -\- f -1- -f t -1 -= V C y - y C Ax - xuA C y + x A C Ax

Puesto que C es simétrica y F(x) un escalar, puede demostrar^

se que:

-tr-1.- -t.tn-1-y u Ax = x A C y

con lo cual,

_ _f _1- -f f -1- -f f -1 -F(x) = y C y - 2x A C y + xLALC Ax

Tomando las derivadas parciales de F(x) con respecto a x se

obtiene:

aF(xVdx = - 2AtC~1y + 2AtC"1Ax

El mínimo valor de la función de error se encuentra cuando

3F(x)/3x - O, entonces:

de donde el mejor estimado de x que le representaremos por x,

resulta ser:

x = (AtC"1A)~1AtC~1y (2.19)

Como en flujos de potencia el número de ecuaciones es igual

al número de incógnitas, la matriz A es cuadrada, por lo tar^

to (2.19) se reduce a

x = A~1y (2.20)

Esta solución coincide con aquella de la formulación determj^

nlstica ya que para cero grados de libertad, las matrices que

involucran la estadística de los errores de las observaciones

se eliminan y por tanto es imposible filtrar errores de pre-

dicción (1,3).

- 16 -

A continuación se realiza un eficiente y completo análi^

sis estadístico para cada una de las variables que forman paj:

te del flujo de potencia estocástico, partiendo de las ecua^

ciones .(2.15) a (2.19). Se obtendrá en cada caso la ecuación

general de estimación de estado y luego se particularizará pa_

ra cero grados de libertad.

a. Valor_ e_spe_rado y varianza de las variables de estado

De las ecuaciones (2.15) y (2.19), x puede expresarse co

mo

x = (Atc~1Ar1Atc~1(AX+s)= (AtC"1A)"1(AtC"1A)x + (AtC~1A)~1AtC~1e

= x + (A ' J' Vi

t -1 -1 ^ -1Si M = (A€c A) 'A C

x = x + Mi (2.21)

El valor esperado de x es:

E(x) = E(x+Mi)

Puesto que M es una matriz constante,

E(x) = E(x) + ME(i)

donde el valor esperado de los errores es cero como se asumió

antes, además:

E(x) = x

debido a que x es el valor verdadero según la ecuación (2.15),

por tanto es una constante. En consecuencia,

E(x) = x (2.22)

- 17 -

Lo cual nos dice que el valor esperado de x es igual a su co_

rrespondiente valor verdadero x que es precisamente lo que

tratamos de estimar (3). En términos estadísticos esto se óe_

nomina un proceso sin desviación (7).

La varianza de las variables de estado es el valor esp£

rado de las desviaciones cuadráticas de los valores estimados

con respecto a sus valores medios, dando como resultado una

matriz denominada matriz de covarianza de x (3).

Cov(S) = E[($-x)(í?-x)t]

Si en la ecuación anterior sustituimos el valor de x de la e

cuación (2.21) nos queda

Cov(x) = E[Cx+Mc-x)(x+ME-x)t]

= EfMeeV) = ME(eet)Mt

De la ecuación (2.17) se tiene que E(ee ) es la matriz de C£

varianza de los errores de las observaciones, entonces:

Cov(x) = MCMfc

y reemplazando en esta ecuación el valor de M se obtiene fi-

nalmente que:

Cov(x) = (A A)'1 (2.23)

Para cero grados de libertad, la ecuación (2.23) se mantiene

y constituye una de las más importantes en flujo de potencia

estocástico ya que los elementos de la diagonal de la matrizt -1 -1

(A C A) son las varianzas de las variables de estado,

Var(x) = diagCAV^r1 (2.24)

Por consiguiente, las desviaciones estándar que nos indican

la desviación de x respecto al valor verdadero x se obtienen

de:

- 18 -

0- = [Vur(x)]1 (2.25)

b. Valor esperado y yarianza de los valores

observados^ o pronostácados^

Si x es el mejor estimado de In ecuación y - Ax + e, el

valor estimado o calculado de las observaciones será:

y1 = Ax (2.26)

con valor esperado

E(y) = E(Ax) = AE(x) = Ax = yfc (2.27)

donde y, es el valor verdadero de las observaciones.

La matriz covarianza del valor estimado y es:

Cov(y) = E[(y-y,)(y-y,) J

^ E[(A^-Ax)(AÍ-Ax)t] = AE[x-x)(í-x)t]At

como E[(x-x)(x-x) J ~ (A C A) , se sigue que:

Cov(y) = A u A r (2.28)

En el caso particular de cero grados de libertad

Cov(y ) = C (2.29)

Este resultado nos dice que cuando A es cuadrada, no es posi

ble obtener un valor de y más próximo al valor verdadero y.

que el vulor original de la observación y (3,7).

c, Valor j3sperado y varianzn^jje los errores

De las ecuaciones (2.15) y (2.26), el valor estimado de

los errores viene a ser:

- 19 -

e = y - y

Su correspondiente valor esperado,

ECS) = E(y-y) = E(y) - E(y)

donde

E(y) = E(Ax+e) = AE(x) + E(e) = Ax = y

y como E(y) = y , se obtiene que:

= O (2.30)

Este resultado era de esperarse porque una de las condiciones

de partida para la formulación del problema, era el asumir

que el valor medio de los errores de las observaciones es ce

ro y por tanto de los calculados (3).

La matriz covarianza de los errores calculados es:

= E[ACx-x)(x-í)tAt+A(x-x)it+¿Cx-í)tAt+eet]

De la ecuación (2.21) x -x = -Me, entonces:

Cov(e) = E(AMeitMtAt-AHiet-eetMtAt+eet)

= AME(eit)MtAt - AME(eefc) - E(eet)MtAt

= A(MCMt)At - A(M)C - C(M)tAt + C

Pero M = (At(T1A)~1At[r1 y MCMfc = (Af cC"1A)~1, luego

Cov(e) =-1 f -1 -1 f

-cc 'A(A c A) 'A + c

Cov(e) = C - A(A tC~1A)~1A t (2.31)

- 20 -

Para cero grados de libertad la expresión (2.31) pasa a ser

Cov(e) = O (2.32)

Esto implica que y es igual a y cuando el número de ecuacio_

nes es igual al número de incógnitas. Con esta conclusión,

se justifica una vez más que es imposible el filtrado de errp_

res para cero grados de libertad.

Si bien este análisis estadístico de errores no es de mu

cho interés en flujo de potencia estocástico, en estimación

de estado la expresión (2.31) constituye la de mayor impor-

tancia.

d. Valor esperado y varianza de las

variables de salida dependientes

Las variables de entrada y y de salida x en un problema

de flujo de potencia comprenden

y: a) Potencia activa y magnitud de voltaje en barras

de generación.

b) Potencia activa y reactiva en barras de carga.

x: a) Ángulo de voltaje en barras de generación.

b) Magnitud y ángulo de voltaje en barras de carga.

Una vez que hemos encontrado el vector de incógnitas x,

se procede a calcular el vector de variables de salida depen-

dientes z que incluye

z: a) Potencia activa y reactiva en la barra oscilante.

b) Potencia reactiva en barras de generación.

c) Flujos de potencia activa y reactiva por elementos

de la red (líneas, transformadores, capacitores y/

- 21 -

o reactores en serie).

d) Potencia reactiva de capacitores y/o reactores a

tierra.

En los literales a. y b. se ha efectuado el análisis es

tadístico de x y y respectivamente. Ahora, analizaremos las va^

riables de salida dependientes considerando que z se relaci£

na linealmente con x, así:

^ r Dx (2.33)

Si x es la mejor estimación de las variables de estado,

el valor estimado de z puede expresarse como

• p, Az = Dx

cuyo valor esperado es:

E(z) = DECx) = Dx = ífc (2.34)

Este resultado nos dice que los valores esperados de z son £

guales a los obtenidos de la solución determinística.

La matriz covarianza de z es:

CovCz) = E[(2-zt)(?-zt)t]

= E[D(x-x)(S-x)tDt] = DE[(5-x)(5-x)t]Dt

CovCz) = DCA " )' 1 (2.35)

Para cero grados de libertad la ecuación (2.35) se mantiene;

en consecuencia, se puede encontrar la dispersión de las vja

riables de salida dependientes alrededor de su valor esperado

mediante:

Var(z) - d i a g Q X A A r ] (2.36)

Ó" = [Var(?)]% (2.37)

- 22 -

2.2.2 Modelo no lineal

El modelo no lineal que seguidamente vamos a presentar,

se fundamenta en la teoría de la formulación lineal vista an_

teriormente.

Considerando errores en los datos de entrada, el sistema

de ecuaciones de flujo de potencia puede describirse por:

y = fCx) + e (2.38)

En donde f(x) no es una función lineal de x; sin embargo,

cuando se realiza la expansión en series de Taylor de esta fun_

ción respecto a un punto de operación x , pueden despreciarse

las derivadas parciales de orden superior a uno si x está

próximo al valor de la solución (14,18), con lo cual se est^

blece la siguiente relación lineal:

y - f(x ) = JAx + em

es decir que:

Ay = JAx + e (2.39)

donde

áy = Vector de variaciones en la potencia activa y

reactiva

J = Jacobiano convencional. Eormado por las deriva

das parciales de las variables de entrada con

respecto a cada una de las variables de estado

Ax = Vector de cambios en la magnitud y ángulo de vol_

taje

La ecuación (2.39) tiene la misma forma de la ecuación (2.15),

con la única diferencia que J no es una matriz constante, ya

que va cambiando en el proceso iterativo; entonces, la mejor

estimación de Ax en cualquier iteración se obtiene así:

- 23 -

Ax = (JfcC brVc V (2.40)

Para cero grados de libertad, el Jacobiano es una matriz

drada y evidentemente la ecuación (2.40) se convierte en:

Ax = J~1Ay (2.41)

Siendo exactamente el mismo resultado que se obtiene por el

método de Newton-Raphson. Los nuevos valores de las varia_

bles más cercanos a la solución se obtienen como:

x = x +üx (2.42)m m

Las ecuaciones (2.41) y (2.42) se repiten hasta que se satis

faga el criterio de convergencia especificado.

Del análisis lineal realizado en la sección 2.2.1, se de_

duce que sólo las expresiones de la covarianza de las vari£

bles de salida x y z son de interés para flujo de potencia es

tocástico. En consecuencia, para este modelo no lineal vamos

a encontrar únicamente tales relaciones.

De la ecuación (2.23) se obtiene:

Cov(Ax) = (jV1J)"1 (2.43)

y aplicando la covarianza a la ecuación (2.42) se tiene que:

Cov(x ) = Cov(x +Ax)m m

como x es una constante, entonces:m

CovCxJ = Cov(Ax) = (JfcC"1J)~1 (2.44)

Las variables de salida dependientes z y las variables

de estado x mantienen una relación no lineal, pero puede li^

nealizarse por expansión en series de Taylor alrededor de un

punto x al igual que en el caso de y con x. Por tanto si:

- 24 -

z = gCx) (2.45)

i - g(x ) = KAx (2.46)^ m

luego

¿2 = KAx (2.47)

donde

Az = Vector de variaciones en las variables de salida

dependientes

K = Jacobiano no convencional. Es una matriz no cua_

drada, formada por las derivadas parciales de

las variables de salida dependientes con respe£

to a cada una de las variables de estado

La ecuación (2.47) tiene la misma forma de la ecuación li-

neal (2.33), de modo que los valores estimados de Az pueden

obtenerse de:

Az = KAx

Ahora de la ecuación (2.35),

Cov(Az) = K(JtC"1J)"1Kt (2.48)

y de la ecuación (2.46), el valor calculado de z es:

z = (x)

donde g(x ) es un valor constante. Por tantom

Cov(z) = Cov(Az) = K(JtC~1J)~1Kt (2.49)

Las estadísticas de las variables de estado y de salida

dependientes interesan ser determinadas solamente en el punto

de solución x (x =x), es decir, cuando se haya obtenido conve£

gencia. Por tanto, se deberá evaluar J y K en este punto para

calcular las desviaciones estándar de las variables de estado

- 25 -

y de salida dependientes, mediante:

(2.50)

(2.51)

La determinación de los elementos de J y K, se realiza

en el Anexo B.

2.2.3 Intervalos de Confianza

Hasta el momento, sólo hemos considerado estimaciones por

puntos de los parámetros desconocidos (12,15). Sin embargo, en

flujo estocástico se requiere de una estimación por interva_

los, que expresará la exactitud de la estimación. Para ello,

es necesario conocer previamente la distribución de probabil^

dad de las variables.

En el mundo real, la mayoría de observaciones tienden a

seguir la curva de distribución normal o Gaussiana, curva que

se asume siguen todos los equipos de medición del sistema de

potencia (4); no obstante, pueden tener cualquier función de

distribución de probabilidad, la cual es determinada del cono

cimiento del problema físico (3,7). Siendo las observaciones

y independientes, su combinación lineal para encontrar las va_

riables de estado x, y de salida dependientes z, hace que és_

tas tiendan a seguir la distribución normal como así lo esta

blece el teorema del límite central, cuando el número de ot

servaciones es suficientemente grande; es decir, cuando se

ta de grandes sistemas de potencia, tos parámetros x y z c£- 2 - 2

rresponden a los valores medios y O" y 0" son sus respectiX Z

vas varianzas.

Una proposición puede hacerse para un rango el/Cíiáal ihclú •" •'

ye a los valores desconocidos x y z, con alguna probabilidadt . /

002598V

- 26 -

de ser correcto (7), aplicando la técnica del intervalo de

confianza. De modo que x y z ya no tendrán únicamente los va_

lores esperados x y z que constituye la solución determinís

tica de flujo de potencia, sino también un rango de variación

que tome en cuenta la incertidumbre de las variables de entra_

da en base a un intervalo de confianza dado por:

x = x - s O"x (2.52)*. + ¿r

Z(. = z - s <rz

donde s es un valor arbitrario y representa el coeficiente de

confianza, tal, que cuando s=1 el intervalo de confianza para

x o z es de 68.3?¿, si s=2 95.4?ó y si s=2.57 99?¿; siendo

estos valores los más utilizados en la práctica. Asumiendo que

los puntos extremos del intervalo de confianza llamados lími-

tes de confianza de una variable aleatoria normal son:-2.57(T

y 2.570'de su valor esperado, se tiene un 99% de probabilidad

de incluir los valores verdaderos de las variables de salida.

2.2.4 Correlación entre variables

Una medida de la intensidad de la relación lineal entre

dos variables aleatorias X y Y lo constituye el parámetro f

llamado coeficiente de correlación (12), el cual es adimensi£

nal y se define como sigue:

(2.53)

<T = covarianza de X y Yxy

(T, = desviación estándar de XA

(T, = desviación estándar de Y

Si las variables X y Y son independientes, la covarianza y

/xy

donde

°"xy<rx<rY

- 27 -

por tanto, el coeficiente de correlación de dichas varia-

bles deben ser igual a cero (12).

El coeficiente de correlación puede variar en el ra£

qo -1< P < 1 y toma los valores -1 o 1 si la relación esy ^ xy 'perfecta negativa o positiva respectivamente (4). Si f = O,xylas variables X y Y son no correlacionadas o no están relaci£

nadas; sin embargo, en este caso las variables pueden ser iji

dependientes o no (15). Mientras mayor sea el valor absoluto

de P , mayor será la relación entre las dos variables.

Normalmente se asume que la matriz covarianza C de los

datos de entrada es diagonal, implicando que todas las obse^

vaciones son independientes o no están correlacionadas entre

sí; pero aún así, las variables de estado están correlaciona^

das debido a la conexión de los nodos o barras mediante la red

de transmisión, como efectivamente lo demuestra la matriz co

varinnzn de x que es una matriz Herví (1,3). A su vez, l;i no

porosidad de Cov(x) permite que la matriz Cov(z) sea llena,

con lo cual se deduce que también las variables de salida de

pendientes se encuentran correlacionadas.

a. C o r r e 1 a cjicin ntre car ga y generación

Una formulación más realista del problema, es aquella que

considera que carga y generación no son en la práctica indepe£

dientes, ya que a medida que va cambiando la demanda del sis

tema se va ajustando la generación en la misma dirección, sien^

do esta una indicación de correlación entre carga y genera-

ción. Por ejemplo, si una carga está conectada a una barra de

generación, las variaciones de carga serán seguidas fúndamete

talmente por la generación local, estableciéndose una alta co

rrelación entre las dos (3). Alternativamente, los cambios de

carga de una área del sistema, podrían equilibrarse, distribu

- 28 -

yéndoles sólo entre generadores determinados según reglas

previamente especificadas por razones de carácter económico o

de operación, resultado de lo cual las reglas indican niveles

de correlación.

b. Correlación entre cargas

En general, la predicción de la carga total del sistema

es más exacta que la predicción de las cargas individuales, e

ta información adicional es muy valiosa y debe considerarse

como parte de los datos de correlación (3).

La carga total del sistema Pt que es igual a la suma de

las 1 cargas individuales, puede expresarse como (1)3)

1Pt = pci (2.54)

asumiendo independencia en las inyecciones, el valor esperado

de Pt es:

1E(Pt) = 51 E(Pci) (2.55)

y la varianza:

1Var(Pt) = Y" Var(Pci) (2.56)

Es interesante observar el caso cuando la varianza de la CBT_

ga total y de las cargas individuales se especifican indepen-

dientemente; en dicha circunstancia, la ecuación (2.56) no se

satisface (1,3) Si sabemos de antemano que la Var(Pt) debe

ser pequeña por ser la predicción más precisa, necesariamente

deben existir correlaciones entre cargas tal que al calcular

la varianza de la carga total, de un valor pequeño como el es

perado (3). Esto indica que algunas cargas tienden a variar en

direcciones opuestas, y, los coeficientes de correlación deben

por tanto ser obtenidos de consideraciones prácticas como en

- 29 -

el caso de correlación carga-generación o de datos estadísti_

eos (1).

Lo analizado en el literal anterior y en éste, nos lleva

a concluir que el establecimiento de correlaciones entre va^

riables de entrada, conducirá a resultados más confiables.

2.2.5 Datos de entrada e información obtenida

del estudio de flujo estocástico

La formulación de flujo estocástico planteada en la pre-

sente Tesis, como una extensión del estudio de flujo convejn

cional, requiere dos conjuntos de datos necesarios para su es_

tudio:

1. Datos convencionales

a) Datos generales.

Incluye: número de la barra oscilante, potencia ba_

se, criterio de convergencia y máximo número de i

teraciones.

b) Datos de barras.

En todas las barras se debe especificar: número,

nombre, tipo, potencia activa y reactiva de carqn,

potencia normal del capacitor o reactor a tierra y

el área. Adicionalmente se debe incluir: en la ba_

rra oscilante la magnitud y ángulo de voltaje, y en

las barras de voltaje controlado la magnitud de voJ^

taje, la potencia activa de generación y los lími-

tes de generación reactiva.

c) Datos de líneas, transformadores, capacitores y/o

reactores en serie.

Para cualquier elemento, se debe informar las ba_

- 30 -

rras a las que se conecta, la reactancia y la po

tencia normal o de régimen. Conjuntamente con es

tos datos, se da la resistencia y admitancia a tie

rra cuando se trata de líneas, y una indicación de

los transformadores que operan con cambio de taps.

2. Errores (desviaciones estándar) en datos de barras;

coeficientes de correlación

En primer lugar, se da el coeficiente e intervalo de

confianza para los resultados; seguidamente dos grt¿

pos de datos que tienen relación únicamente con las

barras del sistema de potencia:

a) Desviaciones estándar.

Barra oscilante.- No se especifica ningún dato.

Barras de voltaje controlado.- Estas barras pueden

modelarse con voltaje fijo o con voltaje variable

(16). En ambos casos se debe especificar la desviví

ción estándar de la potencia neta activa y de la

magnitud de voltaje, teniendo en cuenta que la r£

presentación con voltaje fijo, asume que la desvia^

ción estándar de la magnitud del voltaje es cero.

Barras de carga.- En estas barras se da la desvia

ción estándar de la potencia neta activa y reacti-

va.

b) Coeficientes de correlación.

Este grupo de datos, consta de los coeficientes de

correlación entre la potencia neta activa y el vol_

taje en barras de generación, la potencia neta a£

tiva y la potencia neta reactiva en barras de ca£

ga. Además se deben especificar los respectivos co£

ficientes de correlación entre variables (voltaje,

potencia neta activa y reactiva) de unas barras con

otras.

- 31 -

Los resultados que se obtienen de un estudio de flujo es

tocástico, se dividen en dos secciones: la primera constituye

la solución determinística, es decir, los valores medios de to

das las variables; la segunda nos da los rangos de variación

de las variables de estado y de salida dependientes. Las dos

secciones se detallan a continuación:

1. Solución determinística

Aquí se da información completa de los resultados del

flujo convencional. Incluye datos de barras, flujos y

pérdidas en elementos; los datos de barras comprenden:

húmero, nombre, magnitud y ángulo de voltaje, potencia

activa y reactiva de generación, potencia activa y r£

activa de carga y finalmente la potencia del capacitor

o reactor a tierra. Proporciona también, los totales

de generación, carga y pérdidas del sistema, así como

el número de iteraciones requeridas para obtener cojí

vergencia. Adicionalmente se da indicación de sobrecajr

ga en elementos, los voltajes de barra que se hallan

fuera del rango aceptable en operación (0.95<V<1.05),

y las barras de generación que se han transformado en

barras de carga.

2. Reporte estocástico

Esta sección está conformada por tres grupos, cada LJ

no de los cuales presenta los rangos de variación y

el valor medio de las variables de salida en el orden

siguiente:

a) Barras de generación y carga: magnitud y ángulo de

voltaje, potencia del capacitor o reactor a tierra.

b) Barras oscilante y de generación: potencia neta ac_

tiva (sólo en la barra oscilante) y potencia neta

reactiva.

- 32 -

c) Flujos de potencia activa y reactiva por todos los

elementos del sistema.

2.2.6 Tratamiento de barras de voltaje controlado

En flujo estocástico, los datos de error y correlación,

se dan únicamente después de conocer del sistema las barras de

generación que se transforman en barras de carga. Las bases pa

ra emitir este criterio son:

1. Las desviaciones estándar se dan conociendo el funcio

namiento del sistema de potencia a través de datos

históricos; de este modo, podemos también averiguar

las barras de generación que se comportan como barras

de carga.

2. Suponiendo que el estudio de flujo estocástico se de

sea realizar sin conocer previamente las barras de ge

neración que se transforman en barras de carga, habría

entonces que dar en cada barra de generación las des

viaciones estándar de voltaje, potencia neta activa y

potencia neta reactiva, más los correspondientes cot?

ficientes de correlación. Esto significaría un mayor

esfuerzo para el usuario del programa, lo cual no a

carrea ninguna ventaja.

2.2.7 Algoritmo general de solución

El algoritmo de solución para flujo de potencia estocás-

tico, se describe como:

1. Resolución del flujo de potencia convencional por el

- 33 -

método de Newton-Raphson, con lo cual se obtienen los

valores esperados de las variables de estado y de s£

lida dependientes.

2. Cálculo de las desviaciones estándar de las variables

de estado

_1a) Evaluar J en el punto de solución.

b) Formar C.

c) Determinar Cov(x) de la ecuación:

Cov(x) = J~1CJ~H (2.44')

d) Calcular (T aplicando la ecuación:X

O" ={diag[Cov(x)]}'15 (2.50)

3. Cálculo de las desviaciones estándar de las variables

de salida dependientes

a) Determinar la fila i de K, k. correspondiente a la

variable de salida dependiente z., en el punto de

solución.,•*

b) Calcular la desviación estándar de In variable z.

mediante:

<T = [k.. Cov(x) k (2.57)

c) Los pasos a) y b) se repiten para todas las demás

variables de salida dependientes.

4. Cálculo de los intervalos de confianza de las varia_

bles de estado y de salida dependientes, aplicando las

ecuaciones:

/\ -j-x = x - s(T

- A 7rzt - z - s<r(2.52)

2.3 DIFERENCIAS ENTRE LA EORMULACION

DETERMINISTICA Y ESTOCASTICA

De lo visto anteriormente, es evidente que el método es_

tocástico difiere notablemente del método determinístico aim

que es una simple extensión del mismo en varios aspectos que

se derivan básicamente de la forma como se maneja la inform£

ción; los principales son:

1 . ta formulación estocástica modela el problema de

jo de potencia desde el punto de vista real; es decir,

tomando en cuenta la. incertidumbre en los datos nod£

les, lo cual es ignorado por el método determinístico.

2. Los datos históricos disponibles, son manejados ad_e

cuadamente en los estudios de flujo estocástico, no £

sí en los estudios convencionales.

3. Todas las variables involucradas en el problema de flij

jo de patencia estocástico, se tratan en forma de rají

gos alrededor de un valor probable, lo cual no es fac_

tibie en un estudio convencional.

4. La solución estocástica proporciona: una descripción

confiable del sistema, puesto que refleja el efecto

del comportamiento real de los datos, lo que no ocurre

con los resultados determinísticos sobre los cuales se

tiene desconfianza.

5. Los valores medios y las desviaciones estándar del

jo estocástico, son suficientes en operación para co_

nocer el estado de seguridad del sistema de potencia.

Esto no es posible, si se dispone únicamente de los

valores medios que da la solución determinística.

6. La información obtenida del flujo de potencia est£

cástico, es de mayor utilidad y confiabilidad para el

operador del sistema que la solución determinística.

2.4 LA SIMULACIÓN DE MONTE GARLO

Un método alternativo para resolver flujos de potencia,

tomando en cuenta la existencia de errores en los datos nod£

les, constituye la simulación de Monte Cario. Es un proceso re_

petitivo, en el cual se perturban aleatoriamente los datos de

entrada alrededor de un punto y dentro de un intervalo que prp_

bablemente contiene el valor real del dato; los resultados de

cada flujo son almacenados, y al final de un suficiente núrne

ro de casos, en que se considere tener una buena representa-

ción del problema, se someten a un proceso analítico, para d

terminar las funciones densidad de probabilidad de las varia-

bles de salida, así como también sus valores extremos, medios

y varianzas(6,16).

Las distribuciones de probabilidad de los datos, se obtie^

nen por acumulación de datos históricos o por modelos de de^

manda anticipada (6); por simplicidad, la simulación de errp_

res asume comúnmente una distribución uniforme, y se realiza

bajo las siguientes fórmulas (16).

Para la magnitud de voltaje en barras de generación,

Vm = Vr(1+wN) (2.58)

donde

Vm = Voltaje perturbado

Vr = Voltaje no perturbado

w = Rango de error

N = Número aleatorio (-1<N<t, distribución uniforme)

- 36 -

Para las cargas y generación activa,

Sm = Sr(HwN) (2.59)

donde

Sm = Potencia compleja perturbada

Sr = Potencia compleja no perturbada

(En el caso de barras de generación solamente la

parte real)

El diagrama de flujo para la simulación se presenta en

la figura 2.2

Perturbación

Caso 1*)

Datos no Estudio de

No /¿Ultimo^x\caso?,s

Si

<==^~ -==}Resultados

de cadacaso

iii

*Resultado

final

T

Fig. 2*2 Diagrama de flujo para la simulación de

Monte Cario (16).

La aplicación del método de Monte Cario en los estudios

de flujo, se ha visto limitada por el excesivo tiempo de corn

putación y los grandes requerimientos de memoria que se nece

sita para obtener resultados confiables. Además, pueden darse

casos en los cuales no hay convergencia, por lo que se compli_

ca el proceso de simulación.

CAPITULO 3

P R O G R A M A D I G I T A L

3.1 CONSIDERACIONES EN PROGRAMACIÓN

Los cálculos adicionales que se llevan a cabo después

de obtener la solución determinística de flujos, se refieren

exclusivamente a operaciones con matrices cuyas dimensiones

dependen del tamaño del sistema de potencia. Esto demanda gran_

des cantidades de memoria computacional cuando no se conside-

ra la porosidad de las matrices J, C y K; más aún, cuando se

observa que las matrices K y Cov(z) son las de mayores dimein

siones. Estas características, han obligado a desarrollar un

programa digital que trata al máximo de disminuir los requerj_

mientos de memoria, a la vez que aumentar la rapidez en los

cálculos, empleando adecuadamente técnicas de esparsidad.

Ahora se explica en forma resumida lo realizado en el prp_

grama digital y las consideraciones que se hicieron en su el£

boración.

La matriz covarianza de x está dada por:

Cov(x) = J~1CJ~1t (2.44')

_

El Jacobiano inverso J , se determina por bifactoriza-

ción, es decir, con el mismo método utilizado en la resolución

del flujo convencional por Newton-Raphson (14); se almacena en

- 38 -

forma de matriz debido a que generalmente contiene un escaso

número de ceros, o sea lo opuesto de J.

La matriz C se calcula y se almacena vectorialmente, con

apuntadores de fila y columna, tal como se procede con los e_

lementos de J (14); en caso de no existir correlaciones, sólo

se calculan y almacenan los elementos de la diagonal.

_1El resultado de J C se empaqueta matricialmente.

-1 -11El producto J CJ resulta en una matriz simétrica. Su

almacenamiento se realiza con el mismo método usado para empa_

quetar la matriz impedancia de barra dado en la referencia

(11) y que se da a continuación:

Cov(x) =

1

Fig. 3.1 Empaquetamiento de Cov(?).

Se almacena en un vector la matriz triangular superior en el

orden indicado en la figura 3.1. Cuando se necesita ingresar

en cualquiera de los elementos, se verifica que la fila sea

menor o igual que la columna, caso contrario, se intercambian

posiciones. Entonces se aplica la ecuación:

2v - v .r ~ ^ + h (3.1)

donde

r = Elemento del vector que contiene a la matriz triar¿

guiar superior.

- 39 -

v, h = columna y fila correspondientes al elemento r

respectivamente

Con iguales valores de v y h, se localizan los elementos de la

diagonal de la matriz Cov(x) gue constituyen las varianzas de

las variables de estado.

Posteriomente, y de un modo eficiente se calculan las

desviaciones estándar de las variables de salida dependien

tes, aprovechando que se necesita obtener únicamente los ele^

mentos de la diagonal de la matriz Cov(z). Para su compren^

sión vamos a suponer un sistema sencillo de 3 barras como el

indicado en la figura 3.2, donde la barra 1 es la oscilante y

los barras 2 y 3 son de carqa. Pnra encontrar la desviación

Fiq. 3.2 Sistema de potencio de 3 barras.

estándar del flujo de potencia activa en la línea 1-3, prime

ramente se conforma el vector fila k.i

línea (i=P..,), planteando la ecuación:

ramente se conforma el vector fila k. correspondiente a esta

06P1336 3

0 3P13av3

AS,

d63

2

¿W3

= áP13 (3.2)

donde el vector que interesa es:

ni 0

ap13

660

3P13

ev3 (3.3)

el cual se calcula en el punto de solución, para luego deter

minar en forma directa la desviación estándar mediante lo ex

presión:

Cov(x-) (2.57)

Con este procedimiento, se logra reducir el excesivo número

de operaciones y se gana mucho en memoria, ya que no hay nece;

sidad de obtener toda la matriz Cov(?). Adicionalmente, se cal^

cula y almacena sólo los elementos diferentes de cero de cada

vector k. con indicadores de posición de columna, con lo cual

no se realiza ninguna multiplicación por cero y se disminuye

aún más el tiempo de ejecución. Esta última consideración, sur

ge de un análisis de la matriz K, cuyos vectores fila presen^

tan las siguientes propiedades [Ver ecuaciones (B.14), (B.18)

y (B.29) en Anexo B]:

1. Para la potencia neta activa y reactiva en la barra

oscilante así como también la potencia neta reactiva

en barras de generación, la estructura de cada vector

es similar a la conformación de las filas de J.

2. Para los flujos de potencia en elementos, se pueden

presentar dos casos:

a) Cuando el elemento considerado no está conectado a

la barra oscilante, k. contiene cuatro términos dj_

ferentes de cero.

b) Si el elemento se conecta con uno de sus extremos

n la barra oscilante, k. contiene dos términos difei —

rentes de cero.

3. En el caso de capacitores y/o reactores a tierra, las

filas respectivas contienen solamente un término

tinto de cero.

3.2 DIAGRAMAS DE FLUJO: PROGRAMA PRINCIPAL Y SUBRUTINAS

El programa digital desarrollado en la presente Tesis

consta del programa principal y 21 subrutinas, cuya conforma_

ción es la siguiente:

Subrutinas Subrutinas

IMPUT1

S0LVE-

SALID1

IMPUT2-

JAC0BJ-

C0VX

SALID2

llama a

NETAVARPENCER0JAC0B0RDEMSIM0RDREDUCS0LUCC0RRECVI0LAGENERFLUJ0

llama

llama a

1ra Parte

Fig. 3.1 Estructura del programa digital.

La primera parte corresponde a la resolución del flujo de po_

tencia determinístico, para lo cual se usa la programación

del método formal de Newton-Raphson desarrollada por el Ing.

Edgar Mármol en su Tesis: "Estudio de Flujos de Carga mediar^

te los métodos de Newton-Raphson". La segunda parte comprende

el cálculo de las desviaciones estándar y los límites de cor^

fianza; estos cálculos se realizan una vez que se ha obtenido

convergencia en la primera parte.

Es necesario aclarar que la programación de la primera

parte, bajo autorización del autor, ha sido parcialmente modi_

ficada con varios propósitos:

1. Permitir dos criteriosde convergencia, uno para la p£

tencia activa y otro para la potencia reactiva.

2. La numeración de barras es ahora indiferente, esto es,

en un sistema de n barras, la numeración de ellas no

necesariamente debe ir de 1 a n, sino que también

puede ser mayor que n, dependiendo de las necesidades

del usuario. Así por ejemplo, en un sistema de 3 ba

rras, la numeración puede ser: 4, 2, 11.

3. Incluir el nombre de cada barra.

4. Señalar los voltajes de barra fuera del rango normal

de operación.

5. Señalar los elementos con sobrecarga.

6. Facilitar la programación de la segunda parte, y ha

cer que el programa total sea fácil de entender y pro

bar. Esto se consigue, separando la subrutina S0LVE en

varios subprogramas.

Los diagramas de flujo y la descripción detallada de la

primera parte, se dn en la referencia (14).

- 43 -

A continuación se presentan los diagramas de flujo del

programa principal y de las subrutinas INPUT2, JAC0BJ, PPlVX,

JAC0RK, C0VZ y 5ALID2.

CINICKQ

^Lectura e impresión del título |

fNS,BASE ,C0NP,C01

NQ, MAX I T,INDFP j

1

I N5,BA5E,C0NP,C0NQ,MAXnJ

CALL INPUT1

N5=8*(NLE+NCR)

CALL S0LVECALL SALID1

Si

CALL INPUT2CALL JAC0BJCALL C0VX

N8=UNBTC-MB+2*MT

CALL JAC0BKCALL 5ALID2

Fig. 3.2 Diagrama de flujo del

Programa principal.

- 44 -

C INICIE)

K1=IINDI(NS) IL=N7M=0

<W II=1,HR> (45)

IAU(M,1)=KN=IINDI(K)IN0MCH)-N0MB(N)IAU(M,2)=N0DE(N)

JJ=J+MB-1FV(J) = (C(1)/100.*PN(N))**2ISEV(J)=JIREV(J)=JFV(JJ)=(C(2)/100.*Y1)**2ISEV(JJ)=JJIREV(JJ)=JJ

C(3)=C(3)/10n.*/FV(n)*TV(JJJLrL+1FV(L)=C(3)

IREV(L)=JJ

ISEV(L)3:JJ

IREV(L)=J

No

(IAU(M,1),N(fM(M),IAU(M,2),AUX(M,1),AUX(M,2),AUX(M,3),

M=1t2)

Fig. 3.3 Diagrama de flujo de lo

Subrutina INPUT2.

''

NJ=IINDI(J)|NKJ1J1

= l(1C 2

INDI(K)I)=NJ)=NK

C(I)=C(I)/100.*flrV(IL)"FVaM}L=L+1FV(L)=C(I )I5EV(L)=ILIREV(L)=IML=L+1FV(L)=C( I )ISEV(L)=IM

-{ IREVOML i

( IAU(M,1) , IAU(M,2) ,AUX(M,1) ,A U X ( M , 2 ) , A U X ( M , 3 ) , A U X ( M , 4 ) ,

M=1,2)

- 46 -

lAUTT, I),1 = 1,2),

CALL ENCER0CALL JAC0BCALL 0RDEMCALL SIM0RDCALL REDUC

<m_

VPCJ)=0.f

CALL S0LUC

<D0 J=1,N7

C RETURN) RETURN)

Fiq. 3.4 Diagrama de flujo de In

Subrutina JAC0RJ -

CINICI0 )

A X ( I , K ) = A X ( I , K ) + V X ( I , L ) * r V ( J )

CX(L)=CXa)+AX.(J ,K)*VX(I ,K)

I DEsvxd =^cxru

Fig. 3.5 Diagrama de flujo de la

Subrutina

C I N I C I 0 )

< D 0 I r 1 , M B

J=J+NBUS(I7

Si

L1=1,50>—|

FK(L1)=Ü.

HIK=G(J)*SIN(D(I)-D(K))B(J)*C0S(D(I)-D(K))

B(J)*SIN(D(I)-D(K))

FKU1)=FK(L1}+V(I)*VÍK)*HIKFK(L2)=FK(L2)+V(I)*PIK

•

<D0 MM=I,N;

Fiq. 3.6 Diagrama de flujo de la

Subrutina JAC0BK.

FK(L1)=FK(L1)-V( I ) *V(K)*PIKFK(L2)=FK(L2)+V(I )*HIK

FK(L1)=PN(I ) -G(J)*V( I ) **2FK(L2)=QN(I ) /V( I ) -V( I ) *B(J)

(45)*—C0NTINUE

CALL C0VZ

[50V—C0NTINUE0NTINI

<D0 J = 1,MT> Í120JB(J)*C0S(D(I)-D(K))

PIK=G(J)*C0S(D(I) -D(K))+B(J)*SIN(D(I)-D(K))

ISEZrO=M1FK(1)=-V(I)*V(K)*HIKISEZ(2)=M2FK(2)=-2.*G(J)*V(D+V(K)*PIK

L2=L2+1ISEZ(L2)=M3FK(L2)=V(I)*V(K)*HIKL2=L2+1

FK(L2)=V(I)*PIK

IS~EZ(1")=M1"~FK(1)=V( I ) *V(K)*PIKISEZ(2)rM2FK(2)=2.*(B(J)-S(J))*V( I )

L2=L2+1ISEZ(L2)=M3FK(L2)= -V( I ) *V(K) 1 f P IKL2=L2+1

FK(L2)rV(I)*HIK

ISEZ(1)rM2FK(1)=-2.*S(J)*V( I )

CALL "C0VZ

JL

(120K-C0NTINUE

C INICUO

FA(I)=FA(I)+FK(MM)*CX(K)

CZ(L)=CZ(L)+FA(I)*FK(I)


Subrutina C0VZ.

- 52 -

CINICIIQ

y1 1

L1=0

I — "J

< •

I=1 ,MB>

X=180. /3.141592653=0B=BASE

1 1 ^.<D0

L1=L1+1L2=L2+1DI=(D(I)-CC*DESVX(L1))*XDS=(D(I)+CC*DESVX(L1))*XD(I)=D(I)*XVI=V( I ) -CC*DESVX(L2)VS=V(I )+CC*DESVX(L2)

NBUKm,N0MB(I),VI,V( I ) ,V5,DI ,D( I ) ,P5

L=L-1FQCI=FQC(I)-CC*DESV7(L)*t lFqcS=FQC(I)+CC*DESVZ(L)*B

NBUK (I), N0MB(D,VI,V ( I ) f VS ,D I ,D ( I ) ,DS ,FQCI,FQC(I) ,FQC5

C15)*—C0NTINUE


Subrutina SALID2.

- 53 -

L=L+1PNI=(PN(I)-CC*DESVZ(L))*BPNS=(PN(I)+CC*DESVZ(L))*BPN(I)=PN(I)*B

QNI=(QN(I)-CC*DESVZ(L))*BQNS=(QN(I)+CC*DESVZ(L))*B

NBUK(I),N0MB(I),Q N I , Q N ( I ) , Q N S _ _

NBUK(I),NOMB(I),PNI,PN(I),

C0NTINUE

l,MB

N=NBUS(I

<D0

E-J+1

I*K1

yK=K1

No

L=L+1

FPI=FP(J)-CC*DESVZ(L)*BFPS=FP(J)+CC*DeSVZ(L)*BL=L+1FCJI=FQ(J)-CC*DESVZ(L)*BFQS=FQ(J)+CC*DESVZ(L)*B

NBUK(K)}N0MB(K),FPI,FP(J),FP5,Fni,Fq(j),Fqs

CRETURN3

3.3 DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA

En este numeral se describe el programa principal y la

función que desempeña cada una de las subrutinas a las que

llama, en el orden indicado en la figura 3.1.

Programa principal

Realiza lo siguiente:

1. Lee e imprimo el título.

2. Lee e imprime datos generales.

3. Llama a las subrutinas INPUT1, S0LVE y SALID1.

4. Entre los datos generales, el único que se lee pero no

se imprime, es un indicador (INDFP) del estudio de flu

jo de potencia que requiere el usuario, sea determi

nístico (INDFP=1) o estocástico (INDFP=2). Si es 1, el

proceso termina; si es 2, continúa con los siguientes

pasos:

5. Lee el coeficiente e intervalo de confianza.

6. Llama a las subrutinas INPUT2, JAC0BJ, C0VX, JAC0BK y

SALID2.

Subrutina INPUT1

Este subprograma, lee e imprime los datos de barras y ele_

mentos necesarios para el estudio de flujo determinístico, y

realiza un control de errores de los mismos. Además, ordena

los elementos respecto a filas y columnas para luego formar la

matriz admitancia de barra.

Subrutina S0LVE

En esta subrutina, se resuelve totalmente el flujo de p£

tencia determinístico. Los pasos que sigue son:

- 55 -

1. Llama a la subrutina NETA, que calcula la potencia ne_

ta activa y reactiva especificadas.

2. Inicializa el contador de iteraciones.

3. Llama a la subrutina VARP, que calcula los desbalances

de potencia y magnitud de voltaje al cuadrado, entre

los valores especificados y los calculados.

4. Realiza la prueba de convergencia tanto de potenciaoc

tiva como reactiva.

5. Verifica que el número de iteración corriente sea me_

ñor que el máximo i número de iteraciones especificado.

En caso de ser igual, se cancela la ejecución.

6. Llama a las subrutinas:

ENCER0.- Inicializa con cero los arreglos en los cu£

les se almacena información concerniente al

Jacobiano (J).

JAC0B.- Determina los elementos del Jacobiano (J).

0RDEM.- Ordena de acuerdo a columnas los elementos del

Jacobiano (J).

SIM0RD.- Ordena la matriz porosa J de tal manera que

en el posterior proceso de reducción, el mj

mero de elementos nuevos creados sea lo más

pequeño posible y además para que el número

de operaciones a realizar sea mínimo.

REDUC.- Es propiamente la aplicación de la bifactori_

zación.

S0LUC.- Rescata el vector solución.

C0RREC.- Realiza las correcciones de voltaje en magni^

tud y ánqulo.

7. Incrementa el contador de iteraciones.

8. Regresa al paso 3. y el proceso continúa hasta que se

satisfaga en el paso 4., los criterios de convergencia

- 56

especificados.

9. Llama a VI0LA, que examina la violación de máxima o rní^

nima generación de reactivos en barras de voltaje con

trolado. Si no lo hay, prosigue con el paso 11.

10. Si han ocurrido violaciones, se fijan como datos los

límites respectivos de generación reactiva en lugar de

las magnitudes de voltaje. Se regresa al paso 3. y el

proceso se repite hasta obtener la solución gue se a

justa a las nuevas condiciones planteadas.

11. Llama a las subrutinas.

GENER.- Calcula la generación de activos y reactivos

en la barra oscilante, así como la generación

de reactivos en barras de voltaje controlado.

FLUJ0.- Calcula flujos y pérdidas de potencia en elemeri

tos.

Subrutina 5ALID1

Esta subrutina tiene la función de imprimir los result£

dos del flujo de potencia determinístico.

Subrutina INPUT2

La función asignada a este subprograma, es la de leer e

imprimir las desviaciones estándar y los coeficientes de corre

lación, así como también realizar un control de errores de los

mismos. Además, forma la matriz covarianza de los errores C y

llama al subprograma 0RDEM para que ordene sus elementas de a

cuerdo a columnas.

Subrutina JAC0BJ

Esta subrutina calcula el Jacobiano (J) inverso en el pun_

to de solución. Para ello, llama a los subprogramas ENCER0, JA

- 57 -

C0B, 0RDEM, SIM0RD, REDUC y 50LUC.

Subrutina C0VX

Determina la matriz covarianza de las variables de esta

do y calcula las desviaciones estándar de estas variables apli_

cando las ecuaciones (2.44') y (2.50) respectivamente.

Subrutina JAC0BK

Este subprograma, calcula las desviaciones estándar de

todas las variables de salida dependientes de la siguiente nía

ñera:

1. Determina el vector fila k. de la variable z. en eli i

punto de solución.

2. Llama a la subrutina C0VZ, que calcula directamente

la desviación estándar de z. utilizando la ecuación

(2.57).

Los pasos 1. y 2. se aplican a todas las variables z.

Subrutina 5ALID2

Imprime el coeficiente e intervalo de confianza. Luego

calcula los rangos de variación de las variables de estado y

de salida dependientes, en base al coeficiente de confianza.

Finalmente, imprime dichos rangos junto con los respectivos

valores medios.

CAPITULO 4

E J E C U C I Ó N D E P R U E B A S

Y A N Á L I S I S D E R E S U L T A D O S

En este Capitulo se presentan las diferentes pruebas

tuadas sobre un sistema de potencia de 14 barras de la IEEE.

En cada prueba se realiza un análisis comparativo de los resu^

tados obtenidos.

Los datos del sistema se muestran en el Anexo D.

En la última parte de este Capítulo se muestran los r£

sultados del estudio de flujo estocástico realizado sobre el

Sistema Nacional Iterconectado.

4.1 Prueba a. COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS DEL ELUJO DE

POTENCIA ESTOCÁSTICO CON LA SOLUCIÓN DETERMINISTICA Y

CON LA SIMULACIÓN DE MONTE CAREO

Comparación entre la solución

determinística y estocástica

Se ha demostrado en el Capítulo 2, que los resultados de^

terminísticos coinciden con los resultados esperados déla fo£

ululación estocástica, por este motivo, se omite la tabla de V£

lores medios para efectos de comparación entre las dos forrrMj

laciones. Son las desviaciones estándar del flujo estocástico

las que le diferencian del flujo convencional.

- 59 -

La solución única que proporciona el flujo convencional,

no contribuye eficazmente en la toma de decisiones, mientras

que las desviaciones estándar dadas por el flujo estocástico

son de gran utilidad en tales circunstancias, sobre todo tp_

mando en cuenta que la situación real del sistema, puede ser

peligrosa, como se mostrará más adelante (Prueba c.) al cons^

derar desviaciones de voltajes en barras de generación.

Comparación entre los resultados estocásticos

y aquellos je Montee Garlo

Para probar la confiabilidad de los resultados del flujo

de potencia estocástico, se utilizó la simulación de Monte Co£

lo. La tabla 4.1 muestra los resultados obtenidos por los dos

métodos.

Los resultados de la simulación, son el producto de 50

corridas de flujo de potencia convencional, donde los datos

fueron perturbados aleatoriamente, asumiendo que poseen una

distribución uniforme. Esta prueba se realizó utilizando la

fórmula (2.59), con un rango de error del (? c7)% y con dos

números aleatorios situados dentro del rango -1 N*;1 . Unn simu

lación de Monte Cario completa, se hubiera conseguido corrien_11

do 2 flujos de potencia; 2 por considerar dos números alea-

torios, y 11 porgue de las 14 barras se resta la oscilante y

las dos barras de inyección cero.

El flujo de potencia estocástico se corrió con desviacio^

nes estándar en las inyecciones del 6% de sus valores espera_

dos.

Tanto en la simulación como en el flujo estocástico, se

asumió gue los voltajes de generación permanecen constantes.

Si se comparan los resultados obtenidos mediante la simu

- 60 -

lación con aquellos del flujo estocástico, se deduce que los

valores medios son prácticamente los mismos. En cuanto a las

desviaciones estándar, puede decirse que generalmente son ma_

yores los valores dados por el flujo estocástico; esto obvia-

mente se debe a que en la simulación, de las 2084 combinacio-

nes posibles entre datos, se seleccionaron aleatoriamente só

lo 50.

Los resultados que se indica entre paréntesis, correspojn

den a las primeras 23 corridas de flujo convencional. Estos va^

lores se anotaron para observar el incremento en las desvia_

ciones estándar debido al incremento en el número de corridos.

En conclusión, salo corriendo un número considerable de

casos de flujo convencional, se puede llegar a obtener desvira

ciones similares a las obtenidas mediante el flujo estocást^

co.

4.2 Prueba b. ANÁLISIS DE RESULTADOS CONSIDERANDO

VARIACIONES EN LAS DESVIACIONES ESTÁNDAR DE LAS CARGAS

Esta prueba se desarrolló con el objeto de observar el ir^

cremento de la incertidumbre de las variables de salida, debi^

do al incremento en la incertidumbre de las cargas. Se utili-

zaron desviaciones estándar para las cargas de 2%, 6% y 10%

de sus valores esperados. En la tabla 4.2 se presentan los re_

sultados obtenidos.

Puede notarse con facilidad que las desviaciones estándar

de las variables de salida, van aumentando linealmente de c_a

so a caso. Esto obedece, a la relación lineal que mantienen

las varianzas de los datos de entrada con las varianzas de Ins

cantidades de salida como así lo demuestran las expresiones si

guientes:

- 61 -

Var(x) = diag(J 1CJ"1t) (2.24')

Var(z) = diag(KJ~1CJ~1tKt) (2.36')

Los jacobianos J y K evaluados en el punto de solución

permanecen constantes, mientras que la matriz C varío entre

casos, debido a la variación de las desviaciones estándar de

las cargas.

El sistema p.u. usado para expresar las magnitudes de

taje, no permite apreciar los cambios en las desviaciones e£

tándar de todas estas variables. Sin embargo, dichos cambios

se justifican puesto que también las desviaciones estándar de

los flujos de potencia reactiva, cambian.

Cabe indicar que esta prueba se realizó considerando que

las magnitudes de voltaje en barras de generación no se ven JD

fectadas por los cambios de carga.

4.3 Prueba c. EFECTO DE LA VARIACIÓN DEL

VOLTAJE EN BARRAS DE GENERACIÓN

En virtud de las barras de generación existentes en un

sistema eléctrico de potencia, el flujo de potencia estocásti^

co puede modelarse de dos formas:

1. Formulación con voltajes de generación fijos

2. Formulación con voltajes de generación variables

El primer modelo asume que no hay incertidumbre sobre las

magnitudes de voltaje en barras de generación. El segundo coin

sidera incertidumbre sobre estas variables, en consecuencia,

este modelo toma en cuenta las desviaciones estándar de los

voltajes de generación.

- 62 -

Para observar el efecto que tiene el error de voltajes

sobre los resultados de flujos, en esta prueba se realizaron

dos corridas, la primera con voltajes fijos y la segunda con

voltajes variables. Los resultados se muestran en la tabla

4.3.

En los dos casos se utilizó como desviaciones estándar

de las potencias netas activa y reactiva, el 6% de sus valores

esperados. El primer caso se corrió considerando cero las de:s

viaciones estándar de las magnitudes de voltaje de generación,

y el segundo, estableciendo uno desviación del 0.6% de los vol_

tajes especificados. Este valor se seleccionó asumiendo que

la relación entre los cambios de potencia neta reactiva y la

magnitud de voltaje en cualquier barra de generación, es apt£

ximadamente de 10 a 1. Esto es comprensible puesto que las in^

yecciones son variables incontrolables, en tanto que los

tajes están bajo control por medio de los reguladores de

taje; por esta razón, se pueden considerar desviaciones ^

ñas para voltajes y más amplias para las inyecciones.

En las dos modelaciones se considera a las desviaciones

estándar de las magnitudes de voltaje de generación como canti

dades de entrado y salida.

Si se atiende o los resultados dados en la tabla, se pue

de llegar a las siguientes conclusiones:

1. Respecto a las magnitudes de voltaje en barras de qe_

neración, se verifica que las desviaciones estándar

calculados, coinciden con aquellas de entrado.

2. Pequeños cambios en los voltajes de generación, provo^

can un efecto despreciable en los flujos de potencia

activa, y prácticamente no inciden en los ángulos de

voltaje como tampoco en la generación activa de la b£

rra oscilante.

- 63 -

3. Pequeños cambios de voltaje en barras de generación,

ocasionan grandes cambios en la producción de reacti-

vos por parte de generadores y consecuentemente en las

flujos de potencia reactiva.

4. De existir incertidumbre en el valor de voltnjn de q£

neración, los Flujos de potencia reactiva por las 1

neas conectadas a las barras de generación y oscilan-

te, son en general los más afectados, pudiéndose llegar

a situaciones peligrosas que pueden alterar el estado

normal de funcionamiento del sistema. Este hecho es

aún más notorio en el caso particular de la línea 2-5,

donde el flujo reactivo se hace muy sensible a la in^

certidumbre debido a que su valor medio es muy pequie

ño, tanto es así que la desviación estándar es el 324?¿

del valor medio, reduciéndose a sólo el 1R?Ó cuando la

prueba se realiza con voltajes fijos. Esto es altamen^

te significativo, ya que el error en voltajes es prá£

ticamente pequeño, pero su efecto es de gran magnitud.

4.4 Prueba d. ANÁLISIS DE RESULTADOS EN BASE A LA

CORRELACIÓN ENTRE VARIABLES DE ENTRADA

El objetivo de la presente prueba es hacer notar el efe£

to de la correlación entre variables de entrada sobre los re^

sultados del flujo de potencia estocástico. Con tal propósito

se corrieron dos casos de flujo, el primero despreciando todns

las correlaciones existentes, y el segundo, considerando los

coeficientes de correlación de mayor influencia, que son los

siguientes:

fp p = m; j>p p = 33?¿; f = 44SS; f = 25%J 2 3 *Y?l\5 VJ5

- 64 -

La forma como se obtuvieron estos valores se indica en el A-

nexo E.

Se asumió que una pequeña variación en la potencia actj_

va de una barra en particular, prácticamente no produce vnria_

ción en la potencia reactiva de dicha barra y de las demás.

Similarmente, una pequeña variación en la potencia reactiva

de una barra, prácticamente no produce variación en la poter>

cia activa de esta barra y de las demás. Bajo estas asuncJ<D

nes, todos los coeficientes de correlación entre P y Q fueron

despreciados. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla

4.4.

En los dos casos se asumió que la desviación estándar en

las inyecciones, es del 6?ó de sus valores esperados y qun los

voltajes en barras de generación permanecen invariables.

Comparando resultados, se encuentra que el establecimien^

to de correlaciones, produce ligeros cambios en las desvinci_o

nes estándar tanto de las potencias en las barras 1 y 2 como

de los flujos de potencia por ciertas líneas, sea aumentando

o disminuyendo las desviaciones del caso sin correlación.

Es interesante notar, que se modifican las desviaciones

estándar de los flujos de potencia en todas las líneas cone£

tadas entre barras correlacionadas, así como también de nlqjj

ñas líneas que se conectan con un extremo a cualquiera de las

barras mencionadas.

- 65 -

Tabla 4.1 Resultados del flujo estocástico y de la

simulación de Monte Cario

Barras degeneracióny cnrga

2

3

4

5

6

7

R

9

10

11

12

13

14

Barras degeneracióny cargn

9

Barras degeneración

yoscilante

1

2

3

6

8

Flujoestocástico

\l . medio <r

MonteCario

V. medio <r

flujoestocástico

V. medio <r

MonteCario

V. medio) (TV O L T A J E

Magnitud (p.u.)

1.045

1.010

1.019

1.020

1.070

1.062

1.090

1.056

1.051

1.057

1.055

1.050

1.036

0

0

0.001

0.001

0

0.001

0

0.002

0.002

0.001

0.001

0.001

0.002

1.045

1.010

1.019

1.020

1.070

1.062

1.090

1.056

1.051

1.057

1.055

1.051

1.036

0

0

0.001

0.001

0

0.001

0

0.001

0.001

0.001

0

0.001

0.001

POTENCIA DE CAPACITORESY/O REACTORES A TIERRA

(MVAR)

-21.20 0.06 -21.20 0.05

Ángulo (grados)

-5.0

-12.7

-10.3

-8.8

-14.2

-13.4

-13.4

-14.9

-15.1

-14. B

-15.1

-15.2

-16.0

0.2

0.6

0.3

0.3

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

-5.0

-12.7

-10.3

-8.8

-14.2

-13.4

-13.4

-15.0

-15.1

-14.8

-15.1

-15.2

-16.1

0.2

0.4

0.3

0.2

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

P O T E N C I A N E T A

(MW)

232.38 7.74 232.46 6.76

(MVAR)

-16.89

29.70

4.39

4.73

17.35

1.33

1.99

2.40

0.81

0.47

-16.82

29.82

4.44

4.77

17.37

3.97

2.04

1.32

1.01

D.45

- 66 -

Tabla 4.1 Resultados del flujo estocástico y de la

simulación de Monte Cario (continuación)

De a

1-2

1-5

2-3

2-4

2-5

3-4

4-5

4-7

4-9

5-6

6-11

6-12

6-13

7-8

7-9

9-10

9-14

10-11

12-13

13-14

Flujoestocríntico

V. medio <r

MonteCnrlo

V. medioj (T

Flujoestocñstico

V . medio (T

MonteCnrlo

V . medio crF L U J O D E P O T E N C I A

( M W )

156.83

75.55

73.19

56.14

41.51

-23.33

-61.22

28.09

16.09

44.06

7.34

7.78

17.74

0

28.09

5.24

9.44

-3.77

1.61

5.63

5.62

2.15

3.3B

1.44

0.93

2.60

2.30

0.93

0.53

1.04

0.43

0.26

0.62

0

0.93

0.55

0.63

0.42

0.22

0.47

156.90

75.57

73.21

56.15

41.52

-23.33

-61.21(-61.22)

28.09

16.09

44.07

7.35

7.78

17.74

0

28.09

5.24

9.44

-3.7R

1.61

5.63(5 .64)

4.76

2.00

1.82

1.34

1.00

1.47

1.54(1.44)

0.74

0.42

1.10

0.31

0.21(0.19)0.49

(0.44)

0

0.74

0.37

0.42

0.29

0.18(0.12)0.30

(0 .16)

( M V A R )

-20.39

3.50

3.57

-2.29

0.76

2.81

15.67

-9.42

-0.32

12.82

3.47

2.49

7.16

-16.91

5.79

4.31

3.65

-1.53

0.74

1 .68

1.32

0.17

0.34

0.22

0.14

1.19

0.75

0.25

0..21

0.21

0.30

0.10

0.32

0.44

0.60

0.34

0.21

0.28

0.09

0.25

-20.36

3.51

3.59

-2.30(-2 .28)

0.78

2.83

15.68(15.67)

-9.42

-0.32

12.83

3.4B

2.49

7.17

-16.92

5.8

4.31

3.65(3.66)

-1.53

0.74

1.69

1.110.22

0.18

0.24(0.23)

0.16

0.68

0.43(0.40)

0.19

0.16

0.22

0.25

0.09

0.27

0.42

0.41(0.39)0.24

(0 .15)

0.17

0.22(0.20)0.05

(0.04)0.16

(0.15)

- 67 -

Tabla 4.2 Resultados de flujo estocástico considerando

variaciones en las desviaciones estándar de

las cargas

Barras degeneracióy carga

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Barras degeneracióny carga

9

Valormedio

Desviación estándar

20'.0 6% 10%

Valormedio


20'.0 G% 10?¿

V 0 t T A J E

Magnitud Cp.u.)

1.045

1.010

1.019

1.020

1.070

1.062

1.090

1.056

1.051

1.057

1.055

1.050

1.036

0

0

0.001

0

0

0

0

0.001

0.001

0

0

0.001

0.001

0

0

0.001

0.001

0

0.001

0

0.002

0.002

0.001

0.001

0.001

0.002

0

0

0.002

0.001

0

0.001

0

0.003

0.002

0.001

0.001

0.001

0.003


(MVAR)

-21.20


yoscilante

1

2

3

6

8

0.02 0.06 0.09

Ángulo (grados)

-5.0

-12.7

-10.3

-8.8

-14.2

-13.4

-13.4

-14.9

-15.1

-14.8

-15.1

-15.2

-16.0

0.1

0.2

0.1

0.1

0.1

0.2

0.2

0.2

0.1

0.1

0.1

0.2

0.2

0.2

0.6

0.3

0.3

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.3

0.9

0.6

0.5

0.6

0.6

0.6

0.7

0.6

0.6

0.6

0.7

0.7


(MW)

232.38 2.58 7.74 12.9

(MVAR)

-16.89

29.70

4.39

4.73

17.35

0.44

0.67

0.8

0.27

0.15

1.33

1.99

2.4

0.81

0.47

2.22

3.31

4.00

1.34

0.78

- 68 -

Tabla 4.2 Resultados de flujo estocástico considerando

variaciones en las desviaciones estándar de

las cargas (continuación)

De a

1-2

1-5

2-3

2-4

2-5

3-4

4-5

4-7

4-9

5-6

6-11

6-12

6-13

7-8

7-9

9-10

9-14

10-11

12-13

13-14

Valormedio


20'/o 60'

-D 10?¿

Valormedio


00'¿.'0

SO'O.o 10?¿

F L U J O D E P O T E N C I A

(MW)

156.83

75.55

73.19

56.14

41.51

-23.33

-61.22

28.09

16.09

44.06

7.34

7.78

17.74

0

28.09

5.24

9.44

-3.77

1.61

5.63

1.87

0.71

1.13

0.48

0.31

0.87

0.77

0.31

0.18

0.34

0.14

0.09

0.21

0

0.31

0.18

0.21

0.14

0.07

0.16

5.62

2.15

3.38

1.44

0.93

2.60

2.30

0.93

0.53

1.04

0.43

0.26

0.62

0

0.93

0.55

0.63

0.42

0.22

0.47

9.37

3.58

5.63

2.40

1.55

4.33

3.83

1.55

0.89

1.73

0.72

0.44

1.04

0

1.55

0.92

1.05

0.7

0.37

0.79

(MVAR)

-20.39

3.50

3.57

-2.29

0.76

2.81

15.67

-9.42

-0.32

12.82

3.47

2.49

7.16

-16.91

5.79

4.31

3.65

-1.53

0.74

1.68

0.44

0.05

0.12

0.07

0.04

0.40

0.25

0.09

0.07

0.07

0.10

0.03

0.11

0.15

0.20

0.11

0.07

0.09

0.03

o.on

1.32

0.17

0.34

0.22

0.14

1.19

0.75

0.25

0.21

0.21

0.30

0.10

0.32

0.44

0.60

0.34

0.21

0.28

0.09

0.25

2.19

0.28

0.56

0.37

0.23

1.98

1.24

0.42

0.35

0.35

0.49

0.18

0.54

0.74

0.99

0.57

0.36

0.47

0.15

0.41

- 69 -

Tabla 4.3 Resultados de flujo estocástico con voltajes

de generación fijos y variables


2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14


9Barras degeneración

yoscilante

1

2

3

6

8

Valornedio


Voltajesfijos

VoltajesVariables

Valormedio


Voltajesfijos

VoltajesVariables

V O L T A J E

Magnitud (p.u.)

1.045

1.010

1.019

1.020

1.070

1.062

1.090

1.056

1.051

1.057

1.055

1.050

1.036

0

0

0.001

0.001

0

0.001

0

0.002

0.002

0.001

0.001

0.001

0.002

0.006

0.006

0.004

0.003

0.006

0.004

0.007

0.004

0.005

0.005

0.007

0.007

0.005


CMVAR)-21.20 0.06 0.17

Angulof (grados)

-5.0

-12.7

-10.3

-8.8

-14.2

-13.4

-13.4

-14.9

-15.1

-14.8

-15.1

-15.2

-16.0

0.2

0.6

0.3

0.3

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.2

0.6

0.3

0.3

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4


(MW)

232.38 7.74 7.74

(MVAR)

-16.89

29.70

4.39

4.73

17.35

1.33

1.99

2.4

0.81

0.47

12.24

19.61

7.89

3.86

2.61

- 70 -

Tabla 4.3 Resultados de flujo estocástico con voltajes

de generación fijos y variables (continuación)

De a

1-2

1-5

2-3

2-4

2-5

3-4

4-5

4-7

4-9

5-6

6-11

6-12

6-13

7-8

7-9

9-10

9-14

10-11

12-13

13-14

Valormedio


Voltajesfijos

Voltajesvariables

Valormedio


Voltajesfijos

Voltajesvariables

F L U J O D E P O T E N C I A

(MW)

156. 83

75.55

73.19

56.14

41.51

-23.33

-61.22

28.09

16.09

44.06

7.34

7.78

17.74

0

28.09

5.24

9.44

-3.77

1.61

5.63

5.62

2.15

3.38

1.44

0.93

2.60

2.30

0.93

0.53

1.04

0.43

0.26

0.62

0

0.93

0.55

0.63

0.42

0.22

0.47

5.63

2.16

3.39

1.45

0.94

2.61

2.31

0.96

0.54

1.09

0.47

0.27

0.63

0

0.96

0.58

0.65

0.46

0.23

0.50

CMVAR)

-20.39

3.50

3.57

-2.29

0.76

2.81

15.67

-9.42

-0.32

12.82

3.47

2.49

7.16

-16.91

5.79

4.31

3.65

-1.53

0.74

1.68

1.32

0.17

0.34

0.22

0.14

1.19

0.75

0.25

0.21

0.21

0.30

0.10

0.32

0.44

0.60

0.34

0.21

0.28

0.09

0.25

11.08

1.40

4.56

2.47

2.46

3.29

1.78

1.47

0.58

2.47

0.98

0.15

0.57

2.48

1.59

0.98

0.69

0.95

0.14

0.62

- 71 -

Tabla 4.4 Resultados obtenidos, despreciando

y considerando correlación


2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14


9


yoscilante

1

2

3

6

8

Valormedio


Sincorrelación

Concorrelación

Valormedio


Sincorrelación

Concorrelación

V O L T A J E

Magnitud (p.u.)

1.045

1.010

1.019

1.020

1.070

1.062

1.090

1.056

1.051

1.057

1.055

1.050

1.036

0

0

0.001

0.001

0

0.001

0

0.002

0.002

0.001

0.001

0.001

0.002

0

0

0.001

0.001

0

0.001

0

0.002

0.002

0.001

0.001

0.001

0.002


(MVAR)

-21.20 0.06 0.06

Ángulo (grados)

-5.0

-12.7

-10.3

-8.8

-14.2

-13.4

-13.4

-14.9

-15.1

-14. B

-15.1

-15.2

-16.0

0.2

0.6

0.3

0.3

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.2

0.6

0.3

0.3

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0,5


CMW)

232.38 7.74 8.10

(MVAR)

-16.89

29.70

4.39

4.73

17.35

1.33

1.99

2.40

0.81

0.47

1.40

2.12

2.40

0.81

0.47

- 72 -

Tablo 4.4 Resultados obtenidos, despreciando

y considerando correlación (conti-

nuación)

De a

1-2

1-5

2-3

2-4

2-5

3-4

4-5

4-7

4-9

5-6

6-11

6-12

6-13

7-8

7-9

9-10

9-14

10-11

12-13

13-14

Valormedio


Sincorrelación

Concorrelació

Valormedio

n


Sincorrelación

Concorrelación

F L U J O D e P O T E N C I A

CMW)

156.83

75.55

73.19

56.14

41.51

-23.33

-61.22

28.09

16.09

44.06

7.34

7,78

17.74

0

28.09

5.24

9.44

-3.77

1.61

5.63

5.62

2.15

3.38

1.44

0.93

2.59

2.30

0.93

0.53

1.04

0.43

0.26

0.62

0

0.93

0.55

0.63

0.42

0.22

0.47

5.92

2.21

3.37

1.42

0.90

2.60

2.33

0.93

0.53

1.04

0.43

0.26

0.62

0

0.93

0.55

0.63

0.42

0.22

0.47

(MVAR)

-20.39

3.50

3.57

-2.29

0.76

2.81

15.67

-9.42

-0.32

12.82

3.47

2.49

7.16

-16.91

5.79

4.31

3.65

-1.53

0.74

1.68

1.32

0.18

0.34

0.22

0.14

1.19

0.75

0.25

0.21

0.21

0.30

0.10

0.32

0.44

0.60

0.34

0.21

0.28

0.09

0.25

1.39

0.17

0.34

0.22

0.15

1.19

0.76

0.25

0.21

0.22

0.30

0.10

0.32

0.44

0.60

0.34

0.21

0.28

O.D9

0.25

n00 0no oOO '0OO 0i)0 "O00 OOO 000 0oo •»)00 Yl-00 0OO 000 'O00 '0OO '000 000 '000 '000 000 000 000 000 O00 0OO '000 0I1O '000 000 000 000 '000 000 '0OO '0DO 000 0OO '000 '0

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CAPITULO 5

C O N C L U S I O N E S Y R E C O M E N D A C I O N E S

CONCLUSIONES

En este trabajo, se ha presentado una formulación alter

nativa de flujo de potencia estocástico cuya principal utili^

dad se encuentra en el análisis de seguridad de los sistemas

eléctricos de potencia.

Cuando el flujo de potencia estocástico se modela con

tajes de generación variables, es muy importante tomar en cuen

ta, su efecto sobre el flujo de reactivos en el sistema, ya

que el valor real de los flujos puede estar lejos del valor

esperado e indicar estados peliqrosos, no detectables en el es

tudio convencional.

El reporte de flujo de potencia estocástico muestra el va^

lor medio de las variables de salida junto con sus respectivos

rangos de variación. Estos rangos van a permitir desarrollar

estrategias de control preventivo gue garanticen el normal furn

cionamiento del sistema de potencia.

Tanto para el operador del sistema como para el plañí fi_

cador, los resultados del flujo estocástico son más significa^

tivos y útiles gue aquellos gue proporciona el flujo convencio_

nal.

Las ecuaciones gue se plantean para obtener las desviacio

- 81 -

nes estándar de las variables de salida, son lineales y no re_

quieren métodos iterativos para su solución.

La determinación de los rangos de variación de las ^

bles de salida dependientes que se realiza por medio de vectp^

res porosos, utiliza un mínimo de memoria computacional .

En la simulación de Monte Cario, es necesario correr un

número suficientemente grande de casos de flujo convencional

paro llegar a obtener desviaciones similares a las que propoi^

ciona el flujo estocástico.

La incertidumbre de las variables de entrada mantiene una

relación lineal con la incertidumbre de las variables de sali_

da.

En operación y planeación de la operación a corto pla/o

de los sistemas eléctricos de potencia, los rangos de variación

de errores de las cargas son pequeños (2-4%) . Por tanto, pue_

den despreciarse todas las correlaciones existentes entre d£

tos, ya que su efecto va a ser insignificante en los result^

dos.

Cuando el flujo estocástico se aplique en la planeación

a largo plazo, no debe asumirse independencia entre datos,

debida a que los rangos de variación de errores de las cargas

son considerables (20-30%).

De los varios modelos desarrollados en el estudio de flu_

jo estocástico, el aquí descrito como una extensión del estij

dio convencional, es el más sencillo y permite obtener

tados confiables en el menor tiempo posible.

- 82

RECOMENDACIONES

La técnica de flujo de potencia estocástico propuesta en

esta Tesis, se recomienda aplicarla en lo planeación de la £

peración a corto plazo, y en el análisis de seguridad de los

sistemas eléctricos del país, con preferencia del Sistema Na_

cional ínter-conectado puesto que el teorema del límite central

tiene mayor validez en sistemas de gran tamaño.

Los cambios en la demanda reactiva del sistema, necesaria^

mente produce cambios en los voltajes de barra. Por esta razón,

en flujo estocástico se recomienda considerar variables los


En casos prácticos, la elección de los rangos de vari£

ción de los voltajes de generación, debe dejarse a la estima_

ción de personal experimentado.

En la planeación a largo plazo, debe experimentarse inclu_

yendo correlación y al mismo tiempo considerando variables los


La formulación presentada en esta Tesis, se ve limitada

por las grandes cantidades de memoria que se requiere para ll_e

gar a obtener la matriz covarianza de x. Para superar este as_

pecto, se recomienda investigar sobre el método secuencial pr£

puesto en la referencia (16), el cual obtiene las desviaciones

estándar de todas las variables de salida con poco uso de me_

moria.

En el futuro, el programa digital desarrollado puede ex^

tenderse para estudios de estimación de estado, donde se puede

obtener la mejor estimación de las variables de salida y

más, detectar e identificar errores de medición.

ANEXO A

D E F I N I C I O N E S E S T A D Í S T I C A S

Las definiciones de las cantidades más importantes en

probabilidad y estadística, se mencionan ahora.

VALOR ESPERADO

Definición. Sea X una variable aleatoria discreta con valores

posibles x.,...,x ,... Sea p(x.) = Probabilidad (X=x.),

i - 1 ,2, . . . ,n, . . . El valor esperado o promedio de X, dj3

notado por E(X), se define como (12,15)

E(X) = x p(x

si la sumatoria converge absolutamente.

Observación: Si X toma sólo un número finito de valores, lon

expresión anterior llega a ser E(X) = ¿_ x.p(x.). Esta se pue

de considerar como un -promedio ponderado- de los valores pp_

sibles x,.,...,x . Si todos los valores posibles son iqualmen-n

te probables, E(X) = (1/n) ~ x., lo que representa el valor

medio o promedio aritmético ordinario de los n valores

bles.

- A2 -

VARIANZA

Definición. Sea X una variable aleatoria. Definimos la ya-2

rirmza de X, denotada por

Var(X) = (T 2 = E[X - E(X)]

, como sigue (15,16):

2(A.2)

La raíz cuadrada positiva de Var(X) se llama desviación

estándar de X y está denotada por(T,-

La varianza (o la desviación estándar) es una medida

de la dispersión de los valores de X alrededor de L~(X).

Si la varianza es pequeña, los valores de X se concentran

alrededor de L~(X) y si es grande, se distribuyen Injnn

de E(X). Esta situación se representa gráficamente en la

figura A.1.

A f(x)

vananza pequeña

varan/a

E(X)

Fig. A.1 Distribuciones Gaussianas con

el mismo valor esperado-

Observación: El número Var(X) está expresado en unirt;tdes

cuadradas de X. Esto es, si X se mide en voltios, entonces2

Var(X) está expresada en (voltios) . Esta es la rn^ónp.ira mn

siderar la desviación estándar. Se expresa en las mismas uni_

dades que X.

- A3 -

COVARIANZA

Definición. Una medida de la correlación entre dos variables

aleatorias X y Y se encuentra dada por la covarian?a, de?

notada por (7* y que se define como (15,16)xy

Cov(X,Y) . (Txy = E{[X - E(X)] [Y - E(Y)]} (A.3)

ANEXO B

F O R M A C I Ó N D E L A S M A T R I C E S J Y K

Los coeficientes de las matrices J y K, se van a evaluar

considerando un sistema de potencia de n barras, donde la ba_

rra 1 es la oscilante.

B.1 FORMACIÓN DE LA MATRIZ 3

B.1.1 Sistema formado por barra oscilante

y barras dencarga (2,14)

Las ecuaciones de potencia neta en una barra de carga p,

son:

nP = V T" V [r> cos(6 - 6 ) + B sen(6 - 6 )1 (2.7)p P £TÍ qL pq P n pq P q J

p=2,3,..,n

nQ = V Y~ V FG sen(6 - 6 ) - D cos(6 - 6 )"| (2.0)p P £i qL pq P n pq p n J

Aplicando la técnica de Newton-Raphson al conjunto de e

cuaciones (2.7) y (2.8), se lleqa a obtener:

- B2 -

dP2 . dP2 . 6P2as0 as as2 p n

ap ap , apP . p . pas0 as as

2 p n

ap ap apn n nas,, as as

2 p n

aq2 ^ aq2 aq2as0 as as2 p n

aq • aq aqP . p . pas0 as as2 p n

aq aq aqn n n

as0 as as2 p n

dP2 3P2 aP2av0 av av2 p n

ap ap app • P - pav9 av av2 p n

ap ap apn n nav0 av av2 p n

aq2 3q2 an2av,, av av2 p n

aq aq aqP . p . pav0 av av2 p n

aq aq aqn n n

av0 av av2 p n

A62

AKP

AKn

AV.

AV

AV

AP.

AP

AP_

Aq,

Aq

AQ

(B.1)

En forma compacta:

(B.2)

Donde la matriz de coeficientes es el Jncobiano (J) del ^

tema, cuyo orden es de 2(n-1) x 2(n-1). Los suhjacobianos J.,

3?, J, y J,, son de orden (n-1) x (n-1); sus elementos se er\_

cuentran tomando las derivadas parciales de las expresiones

para P y Q dadas en (2.7) y (2.H).

- B3 -

Elementos no diagonales de J.:

9P•=£ = V V [C, sen(6 - 8 ) - B cos(6 -6 )~j (B.3)65 p rf pq p q pq P q J

p=2,3,..,n

q=2,3,..,n

Elementos de la diagonal de J.

ap—P- =-n - B v¿ (B.¿oar- P PP Pdo

P

p=2,3,..,n

Elementos no diagonales de ,]„:

3P= V l"n cos(5 - 6 ) + B sen(6 -8)1 (B.5)

pL pq p q pq p q J

p/q

p-2,3,..,n

q=2,3,..,n

Elementos de la diagonal de

apr - + G V (B.6)av v pp pp p

p=2,3, ..,n

Elementos no diagonales de J,:

as ~ q avq q

p=2,3,..,n

q=2,3,..fn

- B4 -

Elementos de la diagonal de J.,:

aq 2

66 = Pp " C'ppVp (B.8)p r '

p=2,3,..,n

Elementos no diagonales de J,:

3Q , 3P_£ = J El (B 9av v as vq q q

p/q

p=2,3,..,n

q=2,3,,.,n

Elementos de la diagonal de J,:

aq q-sf- = ü2 - B V CB.10)av v pp pp P Hl H

p=2,3,..,n

.1.2 Si_st_ema fojrmajo' por'barra pscil an t e, barras

de voltaje controlado y de carga (14)

Supongamos que p sea una barra de voltaje controlado. Las

ecuaciones correspondientes a esta barra son:

nP = V Y" V PC cos(S - S ) + B sen(6 - 6 )~l (2.7)p P rrj qL pq P q pq P q J

2 2V — Vp(especificado) " p(calculado) (2.13)

Aplicando el método de Newton-Raphson a las ecuaciones -

(2.7), (2.13) y a todas aquellas que corresponden a las bnrrn:

- B5 -

de carga, se obtiene:

3P2 6P2 . aP235 „ 66 66

2 p n

dP dP dP-JL • _R • _£d60 3S 052 p n

dP dP dPn . n . nas,, as ds

2 p n

3Q2 dQ2 aq2

as0 as as2 p n

0 . 0 . 0

aq aq aqn . n . n

asn as as2 p n

dP2 dP2 dP2

av0 av av2 p n

8P 3P dP_£ . _p_ . _p_

av0 av av2 p n

dP 3P 3Pn . n n

av0 av av2 p n

dQ2 aq2 aq2av0 av av2 p n

av2° • W1 ' °

P

dQ dq dqn n nav0 av av

2 p n

A69

A6P

AS

AV0

AVp

AV

AP.

AP

AP_

Aq,

Aq

(B.11)

LOS elementos diagonales dV /dV , se calculan a trave's

de la expresión:

,2av= 2V (B.12)

B.2 FORMACIÓN DE LA MATRIZ K

En forma compacta, la ecuación que relaciona los cambios

de las variables de estado con las variaciones de las varia

bles de salida dependientes es:

- 86 -

APSq

pq

barra oscilante

barra oscilante y devoltaje controlado

elementos (B.13)

capacitores y/o reactoresa tierra

Las submatrices K., K ,..,KR que conforman la matriz K,

se obtienen planteando las ecuaciones pertinentes a las vori£

bles de salida dependientes.

.2.1 Formación de K. y

El conjunto de ecuaciones lineales tanto de la potencia

neta activa y reactiva en la barra oscilante como de la poter^

cía neta reactiva en barras de voltaje controlado, se determi

na con el mismo procedimiento usado en el numeral B.1.1. Matri

cialmente se expresa como:

aP1 ap- ap.as0 as as

2 p n

as« as as2 p n

aq aq aq_J3 • __£ • __P_as,, as as2 p n

jV

ap_ 6P, ap,1 1 1av0 av av

2 p n

av0 av av2 p n

aq aq aq_j^ • _E • _aav av avn p n

^ j\¿

As2

Asp

ASn

Av2

AVP

AVn

AP

An

AqP

(B.14)

A

- B7 -

Donde se supone que lo barra p es de voltaje controlado.

En general, si NBTC representa el número de barras de

voltaje controlado, K. y «„ son de orden (2 + NBTC) x Cn-1).

B.2.2 Formación de K,, K. , Kc y K,_ j ¿t J n

La ecuación del Flujo de potencia por un elemento (lí-

nea ( transFormador, capacitor o reactor en serie) conectado

entre las barras p y q, es:

S = E I* = E (E* - E*) y* + E E*y* (2.5)pq p pq p p q 7pq p p'po

Definiendo:

E = V 6P

| 6l P

y = _ y = - H -jB'pq pq pq J pq

y = jb;po po

y reemplazando (B.15) en (2.5) se tiene que:

P + jQ = E Eí<(y* + y* ) - E E^y*pq *' pq p p 7pq 'po p q7 pq

= V2[- G + j(B - b )1PL pq pq po -I

+ V V I 6 - 6 (G - JB )n ni P q pq J pq

= V2f-G + j(B - b )"|PL pq pq po J

+ V V /fG cosfS - 8 )+ B sen(S -5)1p qX1- pq p q pq p q J

+ jfn senfS - 6 )- B cosfS - SL pq P n pq P

Separnndo lo parte real e imaqinaria:

P = - G V2pq pq p

+ V V fG cos(6 - - S ) + B senCS - 6 )1 (B.16)p qL pq p q pq p q -1

q=1,2,..,n

Q = (B - b )V2pq pq po p

+V V fC sen(6 - 6 ) - B cos(6 -8)1 (B.17)p qL pq p q pq p q J

Aplicando el método de Newton-Raphson al conjunto de

cuaciones (B.16) y (B.17), se obtiene:

- n

n n

n

n

n

n

nob

^,

6P1o

n n

n n

00

n

ap

ap . .

. n

n n

dP9

ap0

2n

2ndb

as

¿

n. .

n

n

n

n(n

-1)

nC

n-1

)d

o/

„ >

66(n

-1)

n

• •

-v —

—

—

_/K

ap . n

n n

nav

2 u

u

• u

u

ap0

av3

° •

° °

6P1n

n

n

n

nav

n

ap av2

° °

• °

°

av9

av7

u

• u

u¿

j

2n

n

n

n

2n

av9

u

u

• u

av2

n.

.

n

n

n

n(n

-1)

nC

n-1

)u

°

° '

av,

,,

av

(n-1

) n

V U1

Ac

AS

2

A6

3

AS4

Afi

ÜSC

n-1

)

n

A\

AV

2

AV

3 4 •

Av(n

-1)

AVn

AP1

2

AP

AP1n 21

A P

AP2

n •

AP

ÜPn

(n-1

)

fR

1R1!

i CD

Para los flujos de potencia rejctiva, la estructura de las submatrices Kc y K, es exactamente la misma que de

J

O

K, y

K

. Si NLE es el número de elementos, el orden de cada submatriz es (4NLE) x (n-1).

- B10 -

Los elementos de K,. K, . Kc y K... se evalúan tomando lasJ ¿J J O

derivadas parciales de P y Q con respecto a V . V . 6 yH pq 7 p q ' n' P1 q y

6 .P

Elementos de K-,:

3P= q - (B - b )v¿

pq pq po P(B.19)

ap_as

apas (B.20)

Elementos de K,:

ap P G vp_a _ pq . pq iav ~ v v

q q q.21}

ap_6V

_ G Vpq p' 4 '

CB.22)

Elementos de K,

3Q_as

ap- v —ea

q6V1 q

CB.23)

aqas

aqas (B.24)

Elementos de K,:o

aqav ^5vs< C B . 2 5 :

aq apas (B.26)

- B11 -

.2.3 Formación de K-, y K0/ o

La potencia de un capacitor conectado entre la barra p y

tierra es:

Q = - B Vc c p

De un reactor conectado entre la barra q y tierra:

QD =K

(B.2B)

Aplicando la técnica de Newton-Raphson a las ecuaciones

(B.27) y (B.28), se obtiene:

n o o . o o

0 0 0 . 0 0

aqn n . c n n

oV

P fl«R

oVn

A x =c

AQR

(B.29)

'8

Si el número total de capacitores y reactores n tierra

R, la dimensión tanto de K? como de

Los elementos dQ/aV se calculan mediante:

es NCR, la dimensión tanto de K? como de K es NCR x (n-1).

aqvc p'

aq2BDVR q

(B.30)

CB.31)

Nótese que el vector columna A de las ecuaciones (R.1),A

.11), (B.14), (B.18) y CB.29) es el mismo.

ANEXO C

R E S O L U C I Ó N D E F L U J O D E

P O T E N C I A E S T O C A S T I C O P A R A

U N S I S T E M A D E T R E S B A R R A S

C.1 DATOS

Configuración:

1 Oscilante 2 Voltaje controlado

3 Carga

Datos de borras:

BarraISJD

-7

VoltajeMagnitud Ángulo

p.u. grados

i > i

GeneraciónReal Renctivnp.u. p.u.

GeneraciónreactivaMfn. Mñx .p.u. p.u.

CarqaReal Reactivap.u. p.u.

n n n n

Datos de líneas:

- C2 -

Barra I

1

2

1

Barra K

2

3

3

Reactancia0''0

10.

20.

20.

Criterio de convergencia para P: 0.001

Criterio de convergencia para Q: 0.001

Coeficiente de confianza: 2.00

Intervalo de confianza: 95.45?¿

Desviaciones estándar y coeficiente de correlación

entre variables de cada barra:

2- P(neta) y V en barras de voltaje controlado:

(T = 4?ÍE(PJ r 8x1Q~2

(T.,2 = 6%V2

= 7.26x10~2

= 20?¿2 2

- P(neta) y Q(neta) en barros de carga

) = 18.196x10~2

(Tn = 3?¿E(Q,) n 1.6017x10"M3 JS

- C3 -

Coeficientes de correlación entre

variables de unas barras con otras:

P = 60S; f = O»; /V2p = OS; / 2 = 40°¿3 2*3 V 2 3 2 J 3

C.2 RESOLUCIÓN

PASO 1.- SOLUCIÓN DEL FLUJO DE POTENCIA CONVENCIONAL POR

NF-WTON-RAPHSON FORMAL

V = 1.1 p.u.; S2 = 0.4068°

V3 = 0.913 p.u.; 6 = - 22.099°

Los resultados siguientes están en p.u.:

P1 = v1v2D12seníSi - 82) + V1V3D13sen(61 - S3) =: 1.6393

= - 0.2293

Q2 - -V2V1B21cos(62 - 6^ - V2B22 - V2V3B2 3cosC62 - 63) - 2.5112

P12 z v1V2B12sen(61 " 62J z " P21 ' " °-ü7fí1

P13 = V1V3B13sen(61 - 83) = - P r 1.7174

P23 = v2V3B23sen(S2 ~ S3} = ~ P32 = 1'9221

9

Q12 = V1B12 " V1V2B12COS(51 - 82) r - °'9997

Q,, = V?B 1 X - V.V-,B17cos(61 - 8,) = 0.770413 113 1 3 1 3 1 3

Q21 z V2821 ~ V2V1B21COSÍS2 ~

- C4 -

Q = V BM23 2Q23

'31

'32

V3B31

V2B3 32 V3V2B32COS<63 S2)

= 1.4109

= -0.0618

= -0.4712

Línea Pérdidas P Pérdidas Q

1-2

1-3

2-3

0.1006

0.7086

0.9397

Converge en 3 iteraciones.

PASO 2.- CALCULO DE LAS DESVIACIONES ESTÁNDAR DE

MAGNITUDES Y ÁNGULOS DE VOLTAJE EN BARRAS

DE VOLTAJE CONTROLADO Y CARGA

-1Calculo d e J en el punto de solución

as3P

avAP

dSav av

av

as av av

as av avAQ

- C5 -

Los elementos de J se determinan aplicando las fórmulas

dadas en el Anexo B.

15

-4

1

.6388

.6391

0

.9221

-4.6391

-118.8687

0

J3-3.6395

1

-1

2

-4

.8184

J2.7474

.2

J4.2174

2.

-3.

.

8.

1053

9863

0

5462

"I _

bu inverso es:

.-1

0.0757

0.0395

O

-0.0002

0.0395

0.1601

O

0.0593

-0.0316

0.219

0.4545

0.3247

-0.0002'

0.0649

O

0.1447

Cálculo de C

"xy

C =

Var(P2)

Cov(P2,P3)

Cov(P2,V2)

Cov(P2,Q3)

Cov(P2,P3)

Var(P3)

Vor(V2)

Cov(P2,Q3)

Cov(V2,Q3

Var(Q3)

- C6 -

c =

"64

87.3408

11.616

0

Cálculo de Cov(x)

87.3408

331.0944

0

-5.8289

11.616

O

52.7076

4.6513

O

-5.8289

4.6513

2.5654

x 10-4

Cov(x) = J CJ

Cov(x) =

1.4029

3.2688

-0.3578

0.8558

3.2688

12.4419

5.592

7.3532

-0.3578

5.592

10.8878

8.0832

0.8558"

7.3532

8.0832

7.1084

x 10-4

Cálculo de

= diag [Cov(x)]

<r

0.0118

0.0353

0.033

0.0267

Os,206,3

Ov92

<rv3

PASO 3.- CALCULO DE LAS DESVIACIONES ESTÁNDAR DE:

- P(neto) y Q(neta) EN BARRA OSCILANTE

- Q(neLo) EN BARRAS DE VOLTAJE CONTROLADO

- FLUJOS EN LINEAS

- C7 -

Cálculo de K en el punto de solución

ap1 ap1as2 as?

aq KI aq

aQ aq2as2 as3

3 r* l~'

K3

n . ,u as3

a60 as,2 3

aQ. „• • 0

aQ-i -7Oo-j

aQ21 Q

2 s

aQ.,.u as3

as2 as3v^

\

aP1 aP1av2 6V

aq K2 aoav2 av3

av2 av3

av2 u

o ' 6Pav3

aP23 ap23av2 av3

aq . o

av2 u

aQ-i -i

aQo-iav," u

K6

av2 av5

aQ-z-iü av3

aq32 aq32av2 av3

AS.

¿6.

A V ,

AV.

AP

AQ,

A Q ,

AP

AP

12

13

AP

AQ

A Q

23

12

13

AQ

AQ

21

23

AQ31

AQ

- C8 -

Aplicando las fórmulas dadas en el Anexo D, se obtiene:

-10.9997

0.0781

2.0002

-10.9997

0

4.6391

0.0781

0

0.0781

1.9221

0

1.9221

-4.2296

K1 -1.7174

-1.9221

0

«3 -4.2296

-4.6391

0

-1.7174

05

-1.9221

-1.7174

-1.9221

-0.071

-9.9997 K2

18.783

-0.071

0 K

1.7474

-9.9997

0

12.0003 „K6

6.7826

0

-4.2173

1.881

-4.6327

-5.0811

0

1.8811

2.1053

0

-4.6326

0

-5.0812

4.4973

4.0489

K =

Cálculo de (T

*?- k.CovíxJk1

0.2387

0.4832

0.4695

0.1301

0.1143

0.0762

0.33

0.175

0.3959

0.1123

0.0818

0.0751

OK1OQ(Tp

OPO"Pffp

23

on12<Tq0"Q<TQ23

Oí},.CTQ32

- C9

PASO 4.- CALCULO DE LOS INTERVALOS DE CONFIANZA

Para un 95.4% de confianza, los rungos de variación do

los resultados son:

X =

V2

V3

x - 20-X

(p.u.)

1.034

0.8596

y\

(p.u.)

1.1

0.913

x + 2<TX

(p.u.)

1.166

0.9664

E2

S3

?- 20;

(grados)

-0.9454

-26.1441

• x

(grados)

0.4068

-22.099

í + zflr

(grados)

1.759

-10.0539

P,

Q1

Q2

? - 2crz

(p .u . )

1.1619

-1.1957

1.5722

AZ

(p .u . )

1.6393

-0.2293

2.5112

$ + 2<rz

(p .u . )

2.1167

0.7371

3.4502

- C10 -

P12

P13

P21

P23

P31

P32

Q12

Q13

Q21

Q23

Q31

Q32

(p.u.)

-0.3383

1.4888

-0.1821

1.7697

-1.946

-2.0745

-1.6597

0.4204

0.3085

1.1863

-0.2254

-U. 6214

A2

(p.u.)

-0.0781

1.7174

0.0781

1.9221

-1.7174

-1.9221

-0.9997

0.7704

1.1003

1.4109

-0.0618

-0.4712

z + 2CT

(p.u.)

0.1821

1.946

0.3383

2.0745

-1.4888

-1.7697

-0.3397

1.1204

1.8921

1 .6355

0.1018

-0.321

ANEXO O

M A N U A L D E U S O D E L P R O G R A M A

D.1 OBJETIVO

Resolver el flujo de potencia estocástico de sistemas

eléctricos de potencia.

D.2 MÉTODO DE SOLUCIÓN

Utiliza el método planteado por Dopazo, Klitin y Sasson,

que se basa en la teoría de estimación de estado por mínimos

cuadrados.

D.3 NOMENCLATURA

En el desarrollo del programa se utiliza la siguiente no

tacion:

D.3.1 VARIABLES DE ENTRADA

I. Datos convencionales

- 02 -

Pueden darse en valores reales o p.u. Si se don en p.u.,

la potencia base debe ser 1.

VARIABLE: SIGNIFICADO

TIT Título

Este dato va en cuatro tarjetas.

a) Dantos generales

Estos datos van en una tarjeta.

VARIABLE SIGNIFICADO

NS

BASE

C0NP

C0NQ

MAXIT

INDFP

Número de identificación de la barra oscilante,

Potencia base del sistema en MVA o p.u.

Criterio de convergencia para la potencia activa.

Criterio de convergencia [jara la potencia reacti

va.

Máximo número de iteraciones.

Indicador del flujo de potencia que se desea:

Determinístico 1

Eutocóstico 2

b) Potcis de barras

Se necesita una tarjeta por cada barra. La información su

ministrada en cada tarjeta incluye:


K Número asignado a una barra del sistema, 1<

- D3 -

N0MK Nombre de la barra.

VK Magnitud de voltaje especificado en p.u. En b£

rras de carga se especifica 0.

PCK Potencia activa de generación en barras de

taje controlado y carga en MW o p.u. En la barra

oscilante se especifica 0.

QCK Potencia reactiva de generación en barras de ^

ga en HVAR o p.u. En barras oscilante y de volta^

je controlado se especifica 0.

QNK Potencia reactiva mínima de generación en barras

de voltaje controlado en MVAR o p.u. En barras

oscilante y de carga se especifica 0.

QXK Potencia reactiva máxima de generación en barras

de voltaje controlado en MVAR o p.u. En barras

oscilante y de carga se especifica 0.

PLK Potencia activa de carga en todas las barras en

MW o p.u.

QLK Potencia reactiva de carga en todas las barras en

MVAR o p.u.

CRK Potencia normal o de régimen del capacitor o rene

tor conectado entre la barra K y tierra en MVAR

o p.u. Si es un capacitor se especifica con si£

no negativo.

IARK Área a la que pertenece lo barra K.

Al final se adjunta una tarjeta con K=999, gue indica el

fin de datos de barras.

c) Datos de elementos (líneas, transformadores,

capacitores y/o reactores serie)

- D4 -

Se necesita una tarjeta por cada elemento. Los datos s\¿

ministrados en cada tarjeta incluyen:


I Número de la barra de envío.

K Número de la barra de recepción.

PLK Resistencia de una línea en ?¿. Si es un transfor

mador, capacitor o reactor serie, se especifica

0.

QLK Reactancia de un elemento en ?ó. Si se trata de

un capacitor serie se especifica con signo nega-

tivo.

VK Carga total de una línea en MVAR. Si es un trans

formador, capacitor o reactor serie, Ge espora fi_

ca 0.

QXK Relación de transformación de un transformador,

visto del lado de envío. Si es una línea, capaci

tor o reactor serie, se especifica 0.

QNK Relación de transformación de un transformador,

visto del lado de recepción. Si es una línea, en

pacitor o reactor serie, se especifica ü.

RAK Potencia normal o de régimen de un elemento en

MVA o p.u.

Al final de adjunta una tarjeta con 1=999, gue indica el

fin de datos de elementos.

NOTA: Si INDFP=1, no se dan más datos. Si es 2, se da el

siguiente grupo de datos, conociendo de antemano las

- D5 -

barras de voltaje controlado que se transforman en

barras de carga, ya que los datos se dan conside^

rándoles a este tipo de barras como de carga.

II. Errores en datos de barras; coeficientes de correlación

No se dan datos para la barra oscilante.

A excepción del coeficiente de confianza, todos los d£

más datos se dan en %.


CC

CI

Coeficiente de confianza. Es odimensional

Intervalo de confianza en ?¿.

Estos datos van en una tarjeta. A continuación se presen^

tan los valores más utilizados en la práctica:

Tabla D.1 Coeficientes e intervalos de confianza

Coeficiente de confianza (s)

Intervalo de confianza

2.57 2.00 1.00

99?¿ 95.4% 6Ü.3SS

Para intervalos de confianza que no se encuentran en la tabla,

los valores de s pueden sacarse de las tablas de la curva no£

mal dadas en las referencias (12) y (15).

a) Desviaciones estándar_y coeficiente de correlación

entre variables de cada barra

Se requiere una tarjeta por cada barra. La información su_

ministrada en cada tarjeta incluye:

- 06 -


K Número asignado a una barra del sistema,

1sS Ks£50Q.

C(1) Desviación estándar de la potencia neta activa

(P_2 en %, Q.<C(1)<100. Se especifica en barras

de voltaje controlado y carga.

C(2) Desviación estándar de la potencia neta reactiva

(Q) en barras de carga. En barras de voltaje cori

trolado, se da la desviación estándar de la mag-

[Ütud^de^yoltaje a^ ^ldí!_£^^° (VVK Se especifi_

ca en %, 0.=£C(2)<100.

C(3) Coeficiente de correlación entre P y Q o entre P

y VV. Se especifica en %, -100. 0(3) 100.

Al final se adjunta una tarjeta con K-999, gue indica el

fin de datos a).

b) Coeficientes de cqrrelaciôn entre

variables de unjas barras con otras

Se requiere una tarjeta por cada dos barras. Los datos

suministrados en cada tarjeta incluyen:


J Número de la barra de envío.

K Número de la barra de recepción.

C(1) Coeficiente de correlación entre P-. y P.,. Se esJ K —

pecifica en %, -100.<C(1 )ss100.

C(2) Coeficiente de correlación entre P-, y Q... Se esJ K —

- D7 -

pecifica en ?á, -100. 0(2) 100.

C(3) Si J es uno barra de carga, C(3) representa el

coeficiente de correlación entre Q , y P,, . Si J esJ K

una barra de voltaje controlado, C(3) es el ^

ficiente de correlación entre VV, y P... Se espeJ K —

cifica en %, -100.<C( 3) 100.

C(4) Si J es una barra de carga, C(4) representa el

coeficiente de correlación entre Q, y fj... Si J es.) K

una barra de voltaje controlado, C(4) es el

ficiente de correlación entre VV, y Q, , . Se espnJ K —

cifica en %, -

Al final se adjunta una tarjeta con J-999, que indica el

fin de datos b).

NOTAS: 1. Si todos los coeficientes de correlación de b)

se asumen t), se da únicamente la tarjeta de fin

de datos.

2. Suponiendo que en un sistema determinado, sólo

se considera correlación entre las barras 10 y

13, se dan como datos don tarjetas, In primero

con los coeficientes de correlación respectivos

y la segunda con la indicación de fin de datos.

0.3.2 SAtIDA DE RESULTADOS

I. Solución d_e_t_er_m ir^í sj:ic:a

El programa suministra lo siguiente en las mismas unida

dades de los datos de entrada:

- Datos convencionales.

- D8 -

Reporte convencional de cálculos de flujo de potencia.

En él se indica mediante un asterisco, los voltajes

fuera del rango aceptable en operación (0.9'JíV*1 .Or>) y

loa elementos cun subrncarqa. Junl u a la» barras de voj_

taje controlado aparecen los siguientes mensajes:

M1N Indica que se ha convertido en barra de carga de^

bido a la violación del límite de mínima gener£

ción de reactivos.

INT Indica que se mantiene como barra de voltaje con_

trolado,

MAX Indica que se ha convertido en barra de carga de

bido a la violación del límite de máxima qenera_

ción de reactivos.

II. Reporte estocástico

Proporciona lo siguiente:

- Desviaciones estándar de datos de barras y coeficientes

de correlación en %.

- Reporte de cálculos de flujo de potencia nstocásti co

en el gue consta:

- Coeficiente e intervalo de confianza expresado en %.

- Rangos de variación y valor medio de las variables

de salida en las minmns unidades dn la solución tle-

t erminísticn.

D.4 PROPIEDADES Y RESTRICCIONES DEL PROGRAMA

El programa acepta sistemas de basta 70 barras y 11)0 e

lementos de interconexión, pudiendo tenor cada barra un capa

- D9 -

citor o reactor a tierra.

Entre barras pueden existir dos o más circuitos en para

lelo; cada uno de ellos cuenta como un elemento de intercone

xión.

El programa acepta cualquier número de barras de voltaje

controlado, con la condición de que por lo menos una barra del

sistema sea de carga, además de la lógica presencia de la os

cilante.

ta numeración de las barras es indiferente; es decir,que

en un sistema de n barras, la numeración no necesariamente tie

ne que ir de 1 a n sino que también puede sobrepasar n. Esto

significa que por ejemplo en un sistema de cuatro barras, lo

numeración bien podría ser: 500, 9, 1U, 1. Además, cualquiera

puede ser oscilante, de voltaje controlado o de carga.

Dentro de cada grupo de datos (de barras, elementos, des

viaciones estándar y coeficientes de correlación), el orden

de los tarjetas puede ser cualquiera y queda a criterio del

usuario.

El programa no acepta sistemas eléctricos de dos barras

o cuya configuración sea del tipo delineado en la figura D.1.

barraose i 1 ante

fig. D.1 Sistema de potencia radial.

- DIO -

El programa realiza un ejercicio de flujo por corrida.

D-5 MENSAJES DE ERROR

El pro(|rama está implementado con rutinas que controlan

posibles errores en los datos de entrada, A continuación se

presentan los mensajes de error y sus correspondientes siqnj_

ficados.

MENSAJE SIGNIFICADO

a) En datos de borras

*** ERROR EN NUMERACIÓN El número de la barra no está com

DE BARRA prendido entre 1 y 500.

*** ERROR MAGNITUD DE

VOtTAJE EUERA DE

RANGO

*** ERROR NUMERO DE

RARRA REPETIDO

*"* ERROR EN DATOS DE

BARRA

El voltaje especificado está fuera

del rango O.^V<l .1.

Significa que se da más de una tar-

jeta de datos para la misma barra.

tos datos suministrados en la ta_r

jeta de esta barra, .son incorrnc_

tos.

b) fn datos de elementos

*** ERROR EN NUMERACIÓN ta numeración de las dos barras o

DE tAS BARRAS DE de una de ellas no está comprendi-

CONEXION DEL ELEMENTO da entre 1 y 500.

* * * ERROR ELEMENTO

AISLADO

Significa que no han ingresado las

barras a las que se conecta el ele

" * * ERROR EN DATOS DC

ELEMENTO

- 011 -

mentó o que a su ve? no ha i

do una dn ni 1 as.

Los datos suministrados en ln ta_r

jeta de este elemento son incorre£

tos.

*** ERROR DARRA AI SI ADA Barra que se lee en datos de b^

rras, pero que no consta en datos

de elementos.

c) En desviaciones ont n nidI n r_ y_ c o c f i cíente de

correlación entre variables de coda barra

* * * ERROR EN DATO(S) DE Los datos suministrados en esta

DESVIACION(ES) Y/O tarjeta son incorrectos.

CORRELACIÓN

*** ERROR EN NUMERACIÓN El número de la borra no está corrí

DE BARRA prendido entre 1 y 500.

* * * BARRA NO INGRESADA Barra que no consta en el grupo de

datos a) .

*** DESVIACIONES Y/O Significa que las desviaciones y/o

CORRELACIÓN EULRA DE la correlación no están en los nin

RANGO qos: 0.«C(

*** NO DEBE INGRESAR

DATOS I'AIÍA BARRA

OSCILANTE

*** EALTAN O SOBRAN

DATOS DE UARRA(S)

Significa (|ue se da tarjeta de da^

tos para la barra oscilante, liet i

rar esta tarjeta.

No se está dundo el número exacto

de tarjetas.

- D12 -

d) En coeficientes de correlacián entre

variables de unas barras con cetras

** * ERROR EN DATO(S) DE Los datos suministrados en esto

CORREtAriON(ES) tarjeta son incorrectos.

"** ERROR EN NUMERACIÓN LG numeración de las dos barras o

DE BARRA(S) de una de ellas no está comprendí

da entre 1 y 500.

*** BARRA(S) NO Barra(s) que no constu(n) en el

INGRESADA(S) grupo de datos a).

"'"' CORRELACION(ES) EUERA Significa que el dato o los datos

DE RANGO de correlación están fuera del ran

(jo:

D.6 FORMA DF ÚTIL I MR EL PROGRAMA

ta secuencia de tarjetas de control y el orden de in(jre_

so de datos, se indica en las hojas D13, D14 y D15. A partir

de lo hoja D1íi, se muestra un ejemplo de salida de resultados

para el sistema de 14 barras de la [EEE analizado en el Cap_í_

tulo 4 (caso de voltajes variables).

Al final se adjunta el listado del programa.

Tarjetas de Control

- PARA. U

TILIZAR

EL DISCO

// JOB

nombre

cuenta

// DLBL IJSYSCL,'PROGRAMAS DE

ELÉCTRICA1

ASSGN SYSCLB.X' 1 60'

// EXEC ELECFEST

"Dat os

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-. PARA .UTILIZAR

LA

CINTA

// JOB

nombre cuenta

' PAUSE OPERADOR CARGAR

LA CINTA DE ELECJRICA N2

MTC FSF.X'280' ,

// ASSGN SYSIPT,X'280'

•

/ / OPTION LINK.NOLIST

ACTI0N CANCEL N0MAP

' EXEC FFORTRAN

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EXEC LNKEDT

// ASSGN SYSIPT X'OOC'

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Datos del sistema de 14 barras IEEE (Voltajes variables)

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ANEXO E

O B T E N C I Ó N D E L O S

C O E F I C I E N T E S D E C O R R E L A C I Ó N

Cuando no se tiene experiencia sobre un sistema de poten_

cía y no se dispone de datos históricos, los coeficientes de

correlación requeridos en el estudio de flujo estocástico pu_e

den obtenerse n;ali/ando un análi^. teórico sobre el sistema.

Así por ejemplo, los coeficientes de correlación utilizados en

la Prueba d. del Capftulo 4 se determinaron del siguiente m£

do: En las barras 2 y 3, Ion flujos de potencia que l]eqanysa_

len de ellas son:

; 1M.3P = 73.19

a Ph = 70.87

P = í>4.89 P . = 23.33c d

= 94.2

Para establecer J PO^-ZI previamente se calcula el coeficiente

de correlación entre P. que procede de la barra 2 y P,. Para

ello, debe notarse que los variaciones de P, absorben tanto P

como P ,, y, suponiendo que esto es proporcional a sus poten-

cias ,

P Pr

70.8794.2

Ahora,

- E2 -

2 3P2 a

A las variaciones de P_ responden P? y P , y suponiendo que

es proporcional a sus potencias,

p-M' 73.19

x 0.75 x 100 -

En el caso de los coeficientes que resultan ser cero, co

mo por ejemplo Pn n , se procede de idéntica manera al caso< / U U. .

anterior:

10

1Q

P =1.53e

P = A.27

11

Ph = 3.36

P = 1 i11

- Cuando varía P,n, responden P y P ; P a través de P, .10' f e 7 g e h

- Cuando varía P.-, responde s^ln P, .

Por tanto, las variaciones de P.n no afectan a P,. y a su ve?

las variaciones de P... no afectan o Pin, en consecuencia:

P = 0i f\ — \J

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Documents

ELUJO DE POTENCIA ESTOCASTICO - …bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/6876/1/T600.pdf · ANÁLISIS DE RESULTADOS 58 4.1 Prueb a. Comparacióa n de los resultado s del flujo