TEMA 3. FENÓMENOS ALEATORIOS Y PROBABILIDAD

ESTADÍSTICA APLICADA AL TURISMO

GRADO EN TURISMO

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Tipos de experimentos

• DETERMINÍSTICOS: si al repetirlo bajo idénticas condiciones obtenemos siempre el mismo resultado

• ALEATORIO: al repetirlo bajo idénticas condiciones no se obtiene el mismo resultado. Además: – El experimento se puede repetir bajo las mismas

condiciones

– Si se modifican las condiciones iniciales se puede modificar el resultado.

– Se puede deducir el conjunto de las posible soluciones.

– Si se repite muchas veces aparece alguna regularidad estadística.

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¿Determinístico o aleatorio?

• Lanzar un dado.

• Tiempo que tarda una pelota de 5 kg en alcanzar el suelo si lo lanzamos desde una altura de 15 metros.

• Color de una bola extraída de una urna opaca con 3 bolas negras y 5 verdes

• Gasolina que consumirá un determinado coche en un trayecto de Denia a Gandía.

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¿Determinístico o aleatorio?

• Lanzar un dado. – Aleatorio

• Tiempo que tarda una pelota de 5 kg en alcanzar el suelo si lo lanzamos desde una altura de 15 metros. – Determinístico

• Color de una bola extraída de una urna opaca con 3 bolas negras y 5 verdes – Aleatorio

• Gasolina que consumirá un determinado coche en un trayecto de Denia a Gandía. - Determinístico

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Definiciones

• Espacio Muestral (E): conjunto formado por todos los sucesos o resultados posibles de un experimento aleatorio.

• Suceso: cualquier subconjunto de E. • Suceso elemental: formado por un solo resultado del

experimento • Suceso compuesto: formado por 2 o más sucesos

elementales. • Suceso seguro: el que siempre ocurre. Coincide con E. • Suceso imposible: el que nunca ocurre (vacío ∅) • Espacio de sucesos (S): conjunto de todos los posibles

sucesos.

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EJEMPLO

Tiramos un dado

E={1,2,3,4,5,6}

• A={3} -> suceso o suceso elemental

• A={1,3,5} -> suceso compuesto

• A=“número menor o igual a 6”-> suceso seguro

• A={7} -> suceso imposible

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Ejemplo

• Tiramos una moneda dos veces. Halla el espacio muestral y el espacio de sucesos

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Ejemplo

• Tiramos una moneda dos veces. Halla el espacio muestral y el espacio de sucesos

• E={CC, CX, XC, XX}

• S={∅, {CC}, {CX}, {XC}, {XX}, {CC},{CC,CX},{CC,XC},{CC,XX},{CX,XC},{CX,XX},{XC,XX},{CC,CX,XC},{CC,CX,XX},{CX,XC,XX},{CC,CX,XC,XX}} TOTAL 2𝑛, siendo n el cardinal de E

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Operaciones con sucesos

• 𝐴 ⊂ 𝐵 Inclusión

• 𝐴 = 𝐵 Igualdad (𝐴 ⊂ 𝐵 y A⊃ 𝐵)

• 𝐴 ∪ 𝐵 Unión. Sucesos están en A o en B

• 𝐴 ∩ 𝐵 Intersección. Sucesos están en A y en B

• 𝐴 Complementario. Sucesos que están en E pero no en A

• 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 Diferencia de sucesos

• 𝐴 △ 𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) Diferencia simétrica de sucesos

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Definiciones

J.J. Noguera

• Dos sucesos son incompatibles (o disjuntos o mutuamente excluyentes) si 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅

• Si 𝐴1⋃𝐴2 ∪⋯∪ 𝐴𝑛 = 𝐸 se dice que forman un sistema exhaustivo de sucesos.

• Un sistema exhaustivo de sucesos tal que sean incompatibles dos a dos forman un sistema completo de sucesos.

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Propiedades de las operaciones con sucesos

• 𝐸 = ∅ , ∅ = 𝐸 , 𝐴 = 𝐴

• 𝐸 ∪ 𝐴 = 𝐸 , ∅ ∪ 𝐴 = 𝐴 , 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐸 𝐸 ∩ 𝐴 = 𝐴, ∅ ∩ 𝐴 = ∅, 𝐴 ∩ 𝐴 = ∅ • Idempotente: 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴 • Conmutativa: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 • Asociativa: 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 = (𝐴1 ∪ 𝐴2) ∪ 𝐴3 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 = (𝐴1 ∩ 𝐴2) ∩ 𝐴3 • Simplificativa: 𝐴 ∪ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 • Leyes de De Morgan: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵

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Ejemplos

Si A={a, b , f, s} B={b, r, a}

¿Cuál es la unión? ¿Y la intersección?

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Ejemplos

Si A={a, b , f, s} B={b, r, a}

¿Cuál es la unión? ¿Y la intersección?

𝐴 ∪ 𝐵={a, b, f, s, r}

𝐴 ∩ 𝐵={a, b}

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Ejercicio

Si A={1,2,3,5,6,8}, B={2, 4, 5, 6, 10}, C={9,11} y el espacio muestral son los números naturales menores que 12, halla:

a) 𝐴 ∩ 𝐵

b) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶

c) 𝐴 − 𝐵

d) 𝐴 △ 𝐵

e) 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶 )

f) 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐴)

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PROBABILIDAD

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DEFINICIÓN CLÁSICA O A PRIORI

• Regla de Laplace:

𝑃 𝐴 =𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

Ley de los grandes números (Bernouilli): Si repetimos un gran número de veces y con idénticas condiciones un experimento aleatorio, el cociente anterior tiende a un número fijo.

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DEFINICIÓN A POSTERIORI O FRECUENCIAL

• 𝑃 𝐴 = lim𝑛→∞𝑛𝐴

𝑛

𝑛𝐴

𝑛 es la frecuencia relativa

Se dice a posteriori, porque se supone que la calculamos tras haber realizado un gran número de experimentos

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Número de experimentos

𝒏𝒊

Frecuencia absoluta 𝒇𝒊

Frecuencia relativa 𝒉𝒊 = 𝒇𝒊/𝒏𝒊

8 3 0.37

16 7 0.43

32 15 0.46

48 26 0.54

64 33 0.52

80 41 0.51

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DEFINICIÓN AXIOMÁTICA

Dado un espacio muestral, E, y siendo A un determinado suceso de E, decimos que P es una función de probabilidad en el espacio muestral E si se cumples los tres axiomas:

1. 𝑃 𝐴 ≥ 0 para todo A de E

2. 𝑃 𝐸 = 0

3. Si A,B,C son sucesos mutuamente excluyentes de E (o incompatibles dos a dos),

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 + 𝑃 𝐶

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De lo anterior se deduce que:

• 𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃 𝐴

• 0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1

• 𝑃 ∅ = 0 • Si 𝐴 ⊂ 𝐵, entonces:

– 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝐴

– 𝑃 𝐴 ≤ 𝑃 𝐵

• Si 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑘 son incompatibles dos a dos, entonces: 𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪⋯∪ 𝐴𝑘 = 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 +⋯+ 𝑃 𝐴𝑘

• Si E es finito y un suceso es 𝐴 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 , entonces: 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝑥1 + 𝑃 𝑥2 +⋯+ 𝑃(𝑥𝑘)

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Importante

• If 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅ (compatibles) → 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

• If 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ (incompatibles)

→ 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵

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Ejemplos

Tiramos un dado. A = “número primo”

B = “número impar”

Calcular𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 .

• A={2,3,5}

• B={1, 3, 5}

• 𝐴 ∩ 𝐵 = 3,5 , compatibles porque 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅.

• 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

= 3

6 +

3

6 −

2

6 =

4

6 = 0.66

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Probabilidad condicionada

• La probabilidad condicionada de B por A es la probabilidad que ocurra B cuando A ya ha ocurrido.

• Se escribe como P(B|A) y se lee la probabilidad de B condicionada por A.

Importante:

• Dos sucesos decimos que son independientes si la ocurrencia de uno no influye en el otro.

• En caso contrario decimos que son dependientes.

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Ejemplo

• Tiremos una moneda dos veces:

– A = obtener cara en la primera tirada.

– B= obtener cruz en la segunda tirasa.

A y B son independientes

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• Si A y B son independientes 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 · 𝑃(𝐵)

• Si A y B son dependientes 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 · 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐵 · 𝑃 𝐴 𝐵

Podemos definir la probalilidad condicionada como:

𝑃 𝐵 𝐴 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴)

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Ejemplo

• Tenemos una urna con 3 bolas negras y 5 blancas. Sacamos una bola, la devolvemos a la urna y sacamos otra

– A = bola blanca en la primera extracción

– B = bola blanca en la segunda extracción

Son independientes, luego:

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 · 𝑃 𝐵 =5

8·5

8= 0.39

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• Realizamos el mismo experimento pero ahora no devolvemos la bola a la urna (sin reemplazamiento)

Ahora son dependientes:

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 · 𝑃 𝐵|𝐴 =5

8·𝟒

𝟕= 0.34

Otro ejemplo

• W = bola blanca en la primera extracción

• B = bola negra en la segunda extracción

𝑃 𝑊 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝑊 · 𝑃 𝐵|𝑊 =5

8·𝟑

𝟕= 0.27

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Tree diagrams The previous problems are ALWAYS easier to solve using tree diagrams. Let’s do an example: • A bag contains 3 black balls and 5 white balls. You pick a ball

and you replace it back in the bag. Then you pick another ball from the bag. Calculate the probability to pick: i) two black balls ii) a white ball and after a black ball

iii) a black ball in his second draw In these type of problems we put P(W,B) when we want to say : the probability of white ball in the first draw and black ball in the second draw. We really are calculating 𝑃 𝑊 ∩ 𝐵 where: • W = white ball in the first draw • B = black ball in the second draw

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i) 𝑃 𝐵, 𝐵 =3

8·3

8= 0.14

ii) 𝑃 𝑊,𝐵 =5

8·3

8= 0.23

iii) P(second ball black) = P(BB or WB) = P(B,B)+P(W,B) = 9

64+

15

16= 0.38

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Example

• You have a bag with seven blue balls and 3 red balls. You pick up a ball at random from the bag, but do not replace it and then pick again at random. Calculate the probabilities for the picks: (a) two red balls (b) no red balls (c) at least one blue ball (d) one ball of each color

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a) P(R,R) = 3

10·2

9= 0.07

b) P(B,B) = 7

10·6

9= 0.47

c) P(at least one blue )= P(BB or BR or RB) = P(B,B) + P(B,R)+P(R,B)

= 42

90+

21

90+

21

90= 0.93

Another option is P(at least one blue) = 1-P(no blue)=1-P(R,R)= 1- 6

90= 0.93

d) P(BR or RB) = P(B,R) + P(R,B) = 21

90+

21

90= 0.47

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