Números aleatorios

Números aleatorios

• Los números aleatorios son un elemento básico en la simulación de la mayoría de los sistemas discretos.

• Cada número aleatorio Ri es una muestra independiente de una distribución uniforme y continua en el intervalo (0,1).

Números aleatorios

0, x < 0

F(x) x, 0 x 1

1, x<1

1

F(x)

1

1, 0 x 1f(x)

0, en otro caso

1

f(x)

1

Números aleatorios

• La probabilidad de observar un valor en un particular intervalo es independiente del valor previo observado.

• Todo punto en el rango tiene igual probabilidad de ser elegido.

• Si el intervalo (0,1) es dividido en n sub-intervalos de igual longitud, el número esperado de observaciones en cada intervalo es N/n. (N número de observaciones totales).

Generador de números aleatorios

• El objetivo de cualquier esquema de generación es producir una secuencia de números entre 0 y 1 que simule las propiedades ideales de distribución uniforme y de independencia.

Números pseudo-aleatorios

• Los números aleatorios son calculados a partir de una semilla (seed) y una fórmula.

• El problema es que si el método es conocido, entonces la secuencia de números aleatorios puede ser replicada.

• En la práctica ninguna función produce datos aleatorios verdaderos -- las funciones producen números pseudo-aleatorios.

Técnicas para generar números aleatorios

• La mayoría de los métodos (generadores) comienzan con un número inicial (semilla), a este número se le aplica un determinado procedimiento y así se encuentra el primer número random.

• Usando este número como entrada, el procedimiento es repetido para lograr un próximo número random.

• Y así siguiendo.


• Método Del Cuadrado Medio: comienza con un número inicial (semilla). Este número es elevado al cuadrado. Se escogen los dígitos del medio de este nuevo número (según los dígitos que se deseen) y se colocan después del punto decimal. Este número conforma el primer número random.

Ejemplo: X0 = 5497

X02 = (5497)2 = 30,217,009 ===> X1 = 2170 R1 = 0.2170

X12 = (2170)2 = 04,708,900 ===> X2 = 7089 R2 = 0.7089

X22 = (7089)2 = 50,253,921 ===> X3 = 2539


• Método De Congruencia Lineal: produce una secuencia de enteros X1, X2,... entre 0 y m-1 de acuerdo a la siguiente relación recursiva:

Xi+1= (a * Xi + c) mod m, i=0,1,2,...

X0 es llamado semilla.a es llamado el multiplicador constante.c es el incremento.m es el módulo.

El número aleatorio se encuentra de la siguiente manera: R = X / m

Técnicas para generar números aleatorios•Ejemplo: Utilice el método de Congruencia Lineal para generar números aleatorios con las siguiente constantes:

X0 = 27 , a = 17, c = 43, m = 100

La secuencia de Xi y subsecuentes Ri serían:

X0 = 27X1 = (17 * 27 + 43) mod 100 = 502 mod 100 = 2R1 = 2/100 = 0.02

X2 = (17 * 2 + 43) mod 100 = 77 mod 100 = 77R2 = 77/100 = 0.77

La selección de los parámetros del generador afecta drásticamente las propiedades ideales y la longitud del ciclo.

Funciones de números pseudoaleatorios en el GPSS

• La secuencia de números aleatorios en el GPSS se obtiene a través de un generador congruencial multiplicativo que tiene un período máximo de 32 bits, este período excluye el 0. Los generadores en el GPSS no necesitan declararse. La semilla inicial del generador de números aleatorios es igual al número de entidad RN, por ejemplo si elegimos RN2, la semilla inicial es 2.

• La semilla puede cambiarse a través de la sentencia RMULT.

• Sólo podemos controlar con RMULT las semillas de los 8 generadores que tiene el lenguaje.

Funciones de números pseudoaleatorios en el GPSS

• El generador Pseudo-random de GPSS World se basa en el algoritmo multiplicativo-congruencial de Lehmer con un período máximo. El algoritmo produce números pseudo-aleatorios en el intervalo 0 a 2.147.483.647 y genera 2.147.483.646 números aleatorios diferentes antes de repetirse.

Atributos de los generadores de números aleatorios del GPSS

• A menos que sea cambiada por un RMULT, la semilla inicial es igual al número que identifica la número aleatorio elegido. RN6 comienza con una semilla 6 .

• Usos por parte del sistema: el GPSS World usa los generadores de números aleatorios en la programación en caso de que los tiempos de ocurrencia de eventos estén empatados. En los bloques TRANSFER en modo fraccional y para la generación de números aleatorios para los bloques GENERATE y ADVANCE.

Atributos - SNAs

• Cuando se invoca como un valor de SNA retorna un entero entre 0-999. Se pueden usar expresiones tales como 1000#RN2+RN2 para definir una nueva entoidad variable.

• Los valores fraccionales· entre 0-.999999 se sacan a partir de la secuencia de números aleatorios cuando se necesita realizar la interpolación para una función aleatoria continua. Related SNAs

• Las SNAs asociadas a las entidades de los RN son:• RNEntnum - Random number. RN• Entnum retorna un entero entre 0-999.

Test para el Chequeo de UniformidadGenerador Uniforme

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

ran

do

m

Generador Uniforme

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

ran

do

m

Generador Uniforme?

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80 100

Test para el Chequeo de Uniformidad

•Test de Kolmogorov-Smirnov: compara la distribución de un conjunto de números generados con una distribución uniforme.

•Este test compara:• la función de Probabilidad Acumulada continua F(x) de una Distribución Uniforme, con• la función de Probabilidad Acumulada empírica SN(x), de una muestra de N observaciones.

Test de Kolmogorov-Smirnov

Por definición, la Función de Probabilidad Acumulada (teórica) uniforme entre 0 y 1 tiene:

F(x) = x, 0<=x<=1Mientras que una Función de Probabilidad Acumulada Empírica se

encuentra:

SN(x) = (cantidad de n.r. generados <=x ) / N Este test se basa en la mayor desviación absoluta entre F(x) y SN(x) sobre

todo el rango de la variable random. Esto es: D = max|F(x) - SN(x)| La distribución de D está tabulada como una función de N.

Ejercitación de Distribución Empírica (SN(x))

• Si no se conoce la probabilidad de un fenómeno se debe trabajar con las distribuciones empíricas ( basadas en frecuencias).

• Ejemplo: Que distribución tiene la siguiente secuencia de números?: 3-4-5-3-4-5-3-6-4-3

• 3 4 4/10=0.4 4/10=0.4• 4 3 3/10=0.3 7/10=0.7• 5 2 2/10=0.2 9/10=0.9• 6 1 1/10=0.1 10/10=1

valor cantidad frel. frelAcum

El test procede de la siguiente manera

1- Ordenar los datos de menor a mayor:

R(1)<=R(2)<=... <= R(N)

(R(i) denota la observación más pequeña.)

2- Calcular:

D+ = max { i/N - R(i)}, 1<=i<=N

D- = max { R(i)- (i-1)/N}, 1<=i<=N

3- Calcular D = max (D+,D-).

Ejemplo (continuación)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0.03 0.32 0.58

El test procede de la siguiente manera (continuación)

4- Determina el valor crítico, D para el nivel de significancia alfa y tamaño de muestra N, (estos valores están tabulados).

5- Si la muestra estadística diferencia ha D es mas grande que el valor crítico, D, la hipótesis nula es rechazada.

Si D <= D concluye que ninguna diferencia significativa ha sido detectada entre la verdadera distribución de {R1,R2 ..., RN} y la distribución uniforme.

El test procede de la siguiente manera (continuación)

•Suponer que se generaron cinco números random y que se desea ejecutar el test de K.S. para un nivel de significancia = 0.05•Orden cronológico:

•Orden numérico creciente:

R1 R2 R3 R3 R5

0.03 0.58 0.87 0.32 0.95

R(1) R(2) R(3) R(3) R(5)

0.03 0.32 0.58 0.87 0.95

Ejemplo (continuación)

• Evaluación

0

D.Teórica F(x) = R(i)

0.03 0.32 0.58 0.87 0.95

D.Empírica SN(x)= i/N

0.2 0.4 0.6 0.8 1

i/N – R(i) (D+ :dif. sup.)

0.17 0.08 0.02 0.05

R(i) - (i-1)/N (D- :dif. inf.)

0.03 0.12 0.18 0.27 0.15

…

Tabla para la prueba de Kolmogorov-Smirnov

Generación de Variables Aleatorias Empíricas Discretas

Suponga que un determinado fenómeno aleatorio tiene la siguiente distribución de probabilidad:

Variable Probabilidad Acumulada

20 grs. 0.3 0.3

19 grs. 0.4 0.7

18 grs. 0.3 1

Técnica de la Transformada Inversa (Generalización de Montecarlo)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

20 19 18

gramos

prob

.acu

mul

ada

0.33

0.91


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

20 19 18

gramos

prob

.acu

mul

ada


Variable Probabilidad Acumulada

20 grs. 0.3 0.3

19 grs. 0.4 0.7

18 grs. 0.3 1

0 R 0.3 entonces x = 20 grs.

0.3 < R 0.7 entonces x = 19 grs.

0.7 < R 1 entonces x = 18 grs.

Transformada Inversa Distribuciones Empíricas Continuas

• Suponga que se han coleccionado 100 tiempos de reparación de un elemento

intev.(hs) frecuencia frec.relativa frec.acumulda0.0-0.5 31 0.31 0.310.5-1.0 10 0.10 0.411.0-1.5 25 0.25 0.661.5-2.0 34 0.34 1


distribución empírica

0

0.310.41

0.66

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.5 1 1.5 2

tiempos de reparación

pro

ba

bil

ida

d

ac

um

ula

da

F(x)

)(ˆ xF

Como no se conoce la D. Acum. Teórica , trabajo con la D. Empìrica


• Gráficamentedistribución empírica

0

0.31

0.41

0.66

1

00.1

0.20.3

0.40.5

0.60.7

0.80.9

1

0.5 1 1.5 2

Generamos Ri= 0.83 vamos hasta la curva y encontramos Xi

Xi

iRFX 11


• Algebraicamente

Dado Ri= 0.83 (entre 0.66 y 1), Xi es computado por una interpolación lineal entre 1.5 y 2

5.1266.01

66.05.1

i

i

RX

distribución empírica

0

0.31

0.41

0.66

1

0

0.10.2

0.30.4

0.5

0.60.7

0.80.9

1

0.5 1 1.5 2


• Algebráicamente distribución empírica

0

0.31

0.41

0.66

1

00.1

0.20.3

0.40.5

0.60.7

0.80.9

1

0.5 1 1.5 2

Dado Ri= 0.83 (entre 0.66 y 1), Xi es computado por una interpolación lineal entre 1.5 y 2

1.75

0.83

5.1266.01

66.083.05.175.1

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