En este cap tulo vamos a estudiar c omo se puede hacer ...verso.mat.uam.es/~pablo.candela/calc2/Calc2-1718-Web-C4.pdf · 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini. 4.2. Teorema

Capıtulo 4. Integracion

En este capıtulo vamos a estudiar como se puede hacer integracion confunciones multivariables. Estudiaremos los siguientes temas:

4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini.

4.2. Teorema del cambio de variables.

4.3. Coordenadas polares, cilındricas y esfericas.

4.4. Calculo de areas y volumenes.

Capıtulo 4. Integracion 1 / 37

4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini

Para empezar, veamos como se puede calcular el volumen que hay “bajo”la grafica de una funcion de dos variables. Mas precisamente, seaf (x , y) ≥ 0, sea R un rectangulo con lados paralelos a los ejes,R = {(x , y) ∈ [a, b]× [c , d ]}, y sea B = {(x , y , z) : (x , y) ∈ R, z ∈ [0, f (x , y)]}.

¿Como podemos calcular el volumen de B?Aproximandolo por uniones de paralelepıpedoscon base rectangular en R. Dividimos R enrectangulos similares cada vez mas pequenos,para aproximar cada vez mejor el volumen.

Para cualquier seleccion de puntos cjk ∈ Rjk ,

j , k ∈ [0, n−1], la suma Sn =∑n−1

j,k=0 f (cjk)∆x∆y

es una aproximacion del volumen de B. Noteseque Sn tiene sentido incluso si f < 0.

La suma Sn se llama suma de Riemann de f . Una pregunta natural es¿Como se comporta Sn cuando n→∞?

Capıtulo 4. Integracion 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini 2 / 37

4.1.1. Integral de Riemann

Definicion (Integrabilidad de Riemann para funciones de 2 variables)

Sea R un rectangulo en R2 y sea f : R → R una funcion acotada. Si lasucesion (Sn) converge a un lımite S cuando n→∞, y este lımite es elmismo para cualquier seleccion de puntos cjk ∈ Rjk , entonces decimos quef es integrable sobre R y escribimos S =

∫∫R f (x , y) dx dy .

Se puede abreviar la notacion escribiendo∫R f dA, o incluso

∫R f .

(Aquı dA denota el elemento infinitesimal de area dx dy .)

En la practica querremos criterios simples para decidir si una funcion esintegrable. El resultado siguiente nos da una condicion suficiente queresulta ser muy util.

Teorema

Cualquier funcion continua f (x , y) definida en un rectangulo cerrado esintegrable.

No obstante, a menudo querremos integrar sobre conjuntos mas generalesque rectangulos, e integrar incluso ciertas funciones discontinuas.


4.1.1. Integral de Riemann

Para tales integraciones mas generales, nos ayudara el resultado siguiente.

Teorema

Sea R un rectangulo en R2 y sea f : R → R una funcion acotada. Si elconjunto de puntos donde f es discontinua es una union de un numerofinito de graficas de funciones continuas, entonces f es integrable sobre R.

Hemos definido la integral como lımite de sumas de Riemann. De estadefinicion podemos deducir varias propiedades de la integral:

• Linealidad: para f , g : R → R y α, β ∈ R cualesquiera, tenemos∫∫R(αf + βg)dA = α

∫∫R f dA + β

∫∫R g dA.

• Monotonıa:(∀ (x , y), f (x , y) ≥ g(x , y)

)⇒∫∫

R f dA ≥∫∫

R g dA.

• Aditividad: si Q es una union de rectangulos Q =⋃

i Ri tales que∀ i 6= j , Ri

o ∩ Rjo

= ∅, entonces tenemos∫∫

Q f dA =∑

i

∫∫Rif dA.


4.1.2. Teorema de Fubini

¿Como podemos calcular tales integrales en casos concretos?Una herramienta muy util para esto es el resultado siguiente, que nospermite evaluar una doble integral calculando dos integrales sucesivas.

Teorema de Fubini (para funciones continuas sobre rectangulos)

Sea R = [a, b]× [c , d ] un rectangulo en R2 y sea f : R → R una funcioncontinua. Entonces∫∫

R f (x , y) dA =∫ ba

∫ dc f (x , y)dy dx =

∫ dc

∫ ba f (x , y)dx dy .

Este teorema se extiende muy naturalmente a funciones acotadas masgenerales.

Teorema de Fubini (para ciertas funciones discontinuas)

Sea R = [a, b]× [c , d ] un rectangulo en R2 y sea f : R → R una funcionacotada tal que las discontinuidades de f forman una union de un numerofinito de graficas de funciones continuas. Entonces∫∫

R f (x , y)dA =∫ ba

∫ dc f (x , y)dy dx =

∫ dc

∫ ba f (x , y)dx dy .


4.1.2. Teorema de Fubini

Ejemplo: calcular∫∫

R(x2 + y) dA para R = [0, 1]× [0, 1]. Podemoshacerlo de dos formas distintas: por un lado, la integral es∫ 1

0

∫ 1

0x2 + y dx dy =

∫ 1

0[ x

3

3 + xy ]10 dy =

∫ 1

013 + y dy =

[y3 + y2

2

]1

0= 1

3 + 12 = 5

6 .

Ahora calculemos la integral en el otro orden:∫ 1

0

∫ 1

0x2 + y dy dx =

∫ 1

0[x2y + y2

2 ]10 dx =

∫ 1

0x2 + 1

2 dx =[x3

3 + x2

]1

0= 1

3 + 12 = 5

6 .

Ejemplo: calcular el volumen del solido acotado por los planos x = 0, x = 1,y = 0, y = 1, z = 0 y la superficie z = x2 + y4.

Miremos primero la region en cuestion:

Tenemos∫∫

Rx2 + y4 dA

=∫ 1

0

∫ 1

0x2 + y4 dx dy

=∫ 1

0[ x

3

3 + y4x ]10 dy

=∫ 1

013 +y4 dy =

[y3 + y5

5

]1

0= 1

3 + 15 = 8

15 .


4.1.3. Integrales sobre dominios mas generales

Vamos a ver como la definicion de integrales vista anteriormente se puedeextender para tomar integrales sobre regiones (dominios) mas generalesque rectangulos. Para esto, estudiaremos regiones delimitadas por graficasde funciones continuas.

Consideremos las funciones y = φ1(x), y = φ2(x), con φ1 ≤ φ2,o lo mismo cambiando x , y , es decir x = ψ1(y), x = ψ2(y), ψ1 ≤ ψ2.

Llamaremos las regiones detipo 1 y 2 regiones elementales.Estas son las regiones sobre lascuales queremos integrar.

Es importante observar que en las regiones elementales, el borde de laregion definida D, a saber ∂D, es una curva continua. Gracias a estopodremos aplicar los teoremas anteriores sobre integrales en un rectangulo,como lo vamos a explicar.



Sea f (x , y) una funcion continua definida sobre una region elemental D.

Sea R un rectangulo con R ⊃ D. Sea f ∗(x , y) =

{f (x , y), (x , y) ∈ D0, (x , y) ∈ R \ D

Los teoremas vistos implican que f ∗ es integrable. La propiedad deaditividad justifica entonces la definicion siguiente:

La integral∫∫

D f dA se puede definir por∫∫

D f dA =∫∫

R f ∗(x , y) dA.

Veamos ahora como hacer el calculo de esta integral en concreto.

Vamos a centrarnos en el caso de regiones de tipo 1.

Para un x fijo en[a, b], la variabley se mueve entreφ1(x) y φ2(x).

Esto nos dice que∫∫

D f dA =∫ ba

∫ φ2(x)φ1(x) f (x , y)dy dx .



De modo similar, si la region es de tipo 2, la integral sera de la forma∫ ba

∫ ψ2(x)ψ1(x) f (x , y) dx dy .

Ejemplo: Hallar∫∫

D x3y + cos(x) dA, donde D es el triangulo{(x , y) : 0 ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ y ≤ x}. Dibujemos primero la region:

Para cada x fijado entre 0 y π/2,la variable y crece de 0 a x .

Tenemos∫∫Dx3y + cos(x) dA =

∫ π2

0

∫ x

0x3y + cos(x)dy dx =

∫ π2

0

[x3 y2

2 + y cos(x)]x

0dx

=∫ π

2

0x5

2 + x cos(x)dx =[x6

12

]π2

0+∫ π

2

0x cos(x)dx = π6

28·3 +∫ π

2

0x cos(x)dx .

Integrando por partes, esto es π6

28·3 +[x sin(x) + cos(x)

]π2

0= π6

768 + π2 − 1.



Ejemplo: hallar el volumen V del tetraedro acotado por los cuatro planosy = 0, z = 0, x = 0, y − x + z = 1.

Region deintegracion →

El volumen V es la integral de la funcion z = f (x , y) = x − y + 1 sobre D.Tenemos

V =∫∫

D(1− y + x)dA =

∫ 0

−1

∫ 1+x

0(1− y + x)dy dx =

∫ 0

−1

[y − y2

2 + xy]1+x

0dx

=∫ 0

−1(1+x)2

2 dx =[ (1+x)3

6

]0−1

= 1/6.



Con las nociones vistas, ya podemos calcular volumenes de regionesacotadas por funciones de tipo z = f (x , y).

Enunciamos a continuacion un resultado sobre integrales dobles, quegeneraliza el teorema del valor medio para funciones de una variable.

Teorema del valor medio (para integrales dobles)

Sea D una region elemental en R2, sea A(D) el area de D, y seaf : D → R una funcion continua. Entonces existe un punto (x0, y0) ∈ Dtal que se tiene

∫∫D f (x , y) dA = f (x0, y0)A(D).

A continuacion, vamos a generalizar a integrales triples todo lo que hemosvisto acerca de integrales dobles. El metodo sera similar y se basara enuna generalizacion natural de las sumas de Riemann ya vistas.



Sea f una funcion real de variables x , y , z , definida sobre una regionB = [a0, a1]× [b0, b1]× [c0, c1]. En este caso, las sumas de Riemann sonde la forma siguiente:

Sn =n−1∑i=0

n−1∑j=0

n−1∑k=0

f (cijk) ∆v .

Una tal suma se obtiene dividiendo cada lado de B en n intervalos iguales.Sean Bijk , i , j , k ∈ [0, n − 1] los n3 paralelepıpedos resultantes que dividenB, todos de volumen ∆v . Elegimos un punto cijk en cada Bijk .Del mismo modo que para una integral doble, tenemos lo siguiente.

Si Sn converge cuando n→∞ y el lımite no depende de la eleccion de lospuntos cijk , decimos que f es integrable sobre B.

En este caso, el lımite cuando n→∞ se denota como sigue:

limn→∞

Sn =

∫Bf dV =

∫∫∫Bf (x , y , z) dx dy dz .

Del mismo modo que para la doble integral, tenemos un resultado que nospermite integrar funciones continuas y ciertas funciones discontinuas.



Teorema (Condicion suficiente para la integrabilidad)

Sea B un paralelepıpedo rectangular en R3, y sea f : B → R una funcionacotada cuyas discontinuidades estan contenidas en una union finita degraficas de funciones continuas (como x = a(y , z), y = b(x , z),z = c(x , y)). Entonces f es integrable sobre B.

El teorema de Fubini se extiende a estas triple integrales, de modo quepodemos permutar el orden de las integraciones en

∫∫∫B f (x , y , z) dx dy dz .

Ejemplo: sea B = [0, 1]× [−12 , 0]× [0, 1

3 ].

Evaluar∫∫∫

B(x + 2y + 3z)2 dx dy dz .

Esta integral es igual a∫ 1

3

0

∫ 0

− 12

∫ 1

0(x + 2y + 3z)2 dx dy dz

=∫ 1

3

0

∫ 0

− 12

[ (x+2y+3z)3

3

]10dy dz =

∫ 13

0

∫ 0

− 12

13

((1 + 2y + 3z)3 − (2y + 3z)3

)dy dz

=∫ 1

3

01

24

[(1+2y+3z)4−(2y+3z)4

]0− 1

2

dz = 124

∫ 13

0

((3z+1)4−2(3z)4+(3z−1)4

)dz

= 124·15

[(3z + 1)5 − 2(3z)5 + (3z − 1)5

] 13

0= 1

24·15 (25 − 2) = 1/12.



Ejemplo: integrar ex+y+z sobre B = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1].

Tenemos∫ 10

∫ 10

∫ 10 ex+y+z dx dy dz =

∫ 10

∫ 10

[ex+y+z

]10dy dz

=∫ 1

0

∫ 10

(e1+y+z − ey+z

)dy dz =

∫ 10

[e1+y+z − ey+z

]10dz

=∫ 1

0

(e2+z − 2e1+z + ez

)dz =

[e2+z − 2e1+z + ez

]10

= e3 − 2e2 + e − e2 + 2e − 1 = e3 − 3e2 + 3e − 1 = (e − 1)3.

Notese que (e − 1)3 =( ∫ 1

0 ex dx)3

. Por lo tanto tenemos∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0ex+y+z dx dy dz =

(∫ 1

0ex dx

)3.

Esto ejemplifica el teorema de Fubini para integrales triples.



Como hicimos con integrales dobles, vamos a ver ahora como calcularintegrales triples en regiones mas generales que los paralelepıpedosrectangulares [a0, a1]× [b0, b1]× [c0, c1]. Mas precisamente, vamos adefinir lo que llamaremos regiones elementales en R3. Estas son regionesque se obtienen restringiendo sucesivamente cada una de las tres variables.

Definicion (Regiones de tipo 1 en R3)

Decimos que W ⊂ R3 es una region de tipo 1 si existen a, b ∈ R, funcio-nes continuas φ1, φ2 : R→ R, una region D ⊂ R2 de tipo 1, y funcionescontinuas γ1, γ2 : D → R con γ1(x , y) ≤ γ2(x , y), tales que tengamosW = {(x , y , z) : x ∈ [a, b], y ∈ [φ1(x), φ2(x)], z ∈ [γ1(x , y), γ2(x , y)]}.

Ejemplo: consideremos la bola x2 + y2 + z2 ≤ 1.

Podemos definirla como la region{(x , y , z) : −1 ≤ x ≤ 1, −

√1− x2 ≤ y ≤

√1− x2,

−√

1− x2 − y2 ≤ z ≤√

1− x2 − y2}.Aquı la region D es el disco {(x , y) : x2+y2 ≤ 1}.



Diremos que W es de tipo 1 tambien si en la previa definicion seintercambian y , x y si la region D es de tipo 2. Es decir, que en general Wes de tipo 1 si se obtiene acotando z entre 2 funciones continuas de x , y .

Del mismo modo que para integrales dobles, si W es una region elementaldel tipo visto anteriormente, se tiene∫ ∫ ∫

Wf (x , y , z)dx dy dz =

∫ b

a

∫ φ2(x)

φ1(x)

∫ γ2(x ,y)

γ1(x ,y)f (x , y , z) dz dy dx .

En particular, si ponemos f = 1 en todo W , entonces esta integral es elvolumen de W .

Llamaremos regiones de tipo 2 las que se obtienen de forma similar peroacotando x entre dos funciones continuas de y , z , y regiones de tipo 3 lasque se obtienen de forma similar pero acotando y entre dos funcionescontinuas de x , z .



Ejemplo: Calcular el volumen de la bola x2 + y2 + z2 ≤ 1.

Se trata de calcular∫∫∫

W 1 dx dy dz con W la region vista

anteriormente, es decir∫ 1

−1

∫√1−x2

−√

1−x2

∫√1−x2−y2

−√

1−x2−y21 dz dy dx . Esto es

∫ 1

−1

∫ √1−x2

−√

1−x2

[z]√1−x2−y2

−√

1−x2−y2dy dx = 2

∫ 1

−1

∫ √1−x2

−√

1−x2

√1− x2 − y2 dy dx .

Para calcular la primitiva de√

1− x2 − y2, notese que para todo a ∈ Rtenemos

∫ a−a(a2 − y2)

12 dy = a2π

2 , pues esta integral es el area delsemidisco de radio a centrado en (0, 0).

Sustituyendo a2 = 1− x2, obtenemos que la integral∫∫∫

W 1 dx dy dz es

igual a 2∫ 1−1

(1−x2)π2 dx = π

∫ 1−1 1− x2 dx = π[x − x3

3 ]1−1 = 4π3 .



Ejemplo: sea W la region acotada por los planos x = 0, y = 0, z = 2 y lasuperficie z = x2 + y2, y contenida en el primer octante (x , y , z ≥ 0).Calcular

∫∫∫W x dx dy dz , y dibujar la region W .

Representemos primero la region.

¿Como describimos la region W ?

Tenemos W = {(x , y , z) : 0 ≤ x ≤√

2,0 ≤ y ≤

√2− x2, x2 + y2 ≤ z ≤ 2}.

Tenemos pues∫∫∫

W x dx dy dz =∫ √2

0

∫ √2−x2

0

∫ 2x2+y2 x dz dy dx

=∫ √2

0 x∫ √2−x2

0 (2− x2 − y2) dy dx =∫ √2

0 x[(2− x2)y − y3

3

]√2−x2

0dx

=∫ √2

02x3 (2− x2)

32 dx = 2

3

[− 1

5 (2− x2)5/2]√2

0= 27/2

15 .



Ejemplo: Calcular∫ 1

0

∫ x0

∫ 2x2+y2 dz dy dx , y representar la region de

integracion.

Representemos primero la region.

La region esW = {(x , y , z) :0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ x ,x2 + y2 ≤ z ≤ 2}.

Tenemos∫∫∫W 1 dV =

∫ 10

∫ x0

∫ 2x2+y2 dz dy dx =

∫ 10

∫ x0 (2− x2 − y2) dy dx

=∫ 1

0 [2y − x2y − y3

3 ]x0 dx =∫ 1

0

(2x − x3 − x3

3

)dx

=[x2 − x4

4 −x4

12

]10

= 2/3.



Ejemplo:

Representar f : [0, 1]2 → R, (x , y) 7→{

1− (x + y), x + y ≤ 10, en otro caso

.

Determinar el conjunto de discontinuidades de f , justificar la existencia dela integral, y calcularla.

La funcion es continua.Por lo tanto es integrable.

Tenemos∫∫D

(1− x − y)dy dx =∫ 1

0

∫ 1−x0

(1− x − y)dy dx =∫ 1

0

[y − xy − y2

2

]1−x0

dx

=∫ 1

0((1− x)− x(1− x)− (1−x)2

2 )dx =∫ 1

0(1−x)2

2 dx =[−(1−x)3

6

]10

= 1/6.



Ejemplo: sea f : [0, 1]2 → R, (x , y) 7→{

x2 + y2, x2 + y2 ≤ 10, en otro caso

.

Como en el ejemplo anterior, representar f , justificar la existencia de laintegral sobre la region en R2 en cuestion, y calcularla.

El conjunto de discon-tinuidades es x2 + y2 = 1,0 ≤ x ≤ 1, que es una curvacontinua. Por lo tanto f esintegrable.

La integral es∫ 1

0

∫√1−x2

0(x2 + y2)dy dx =

∫ 1

0

[x2y + y3

3

]√1−x2

0dx

=∫ 1

0x2√

1− x2 + (1−x2)32

3 dx =∫ 1

0

√1− x2 + (x2 − 1)

√1− x2 + (1−x2)

32

3 dx

=∫ 1

0

√1− x2 dx −

∫ 1

023 (1− x2)

32 dx .

Calculemos cada integral por separado.Capıtulo 4. Integracion 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini 21 / 37


Para la primera integral∫ 1

0

√1− x2 dx usamos el cambio de variables

x = sin(θ). La integral es pues∫ π

20 cos(θ)2 dθ =

∫ π2

014 (e iθ + e−iθ)2 dθ =

12

∫ π2

0 1 + cos(2θ) dθ = 12

[θ + sin(2θ)

2

]π20

= π4 .

La segunda integral era −23

∫ 10 (1− x2)

32 dx . Hacemos el cambio

x = sin(θ).

Tenemos pues −23

∫ 10 (1− x2)

32 dx = −2

3

∫ π2

0 cos(θ)4 dθ.

Usando la formula cos(θ) = e iθ+e−iθ

2 , deducimos que

cos(θ)4 = 116 (e i4θ + 4e i2θ + 6 + 4e−2iθ + e−4iθ) = 2 cos(4θ)+8 cos(2θ)+6

16 .

Integrando esto obtenemos

− 112

∫ π2

0 (cos(4θ) + 4 cos(2θ) + 3) dθ = − 112

[ sin(4θ)4 + 2 sin(2θ) + 3θ

]π20

= −π8 .

Tenemos pues que la integral original es igual a π/4− π/8 = π/8.


4.2. La formula del cambio de variablesHasta ahora hemos podido calcular integrales tomadas sobre regioneselementales. A continuacion veremos como se puede calcular integralesmas generales, usando cambios de variables.

Para describir esto, sea D∗ un abierto en R2, sea una funcionT : D∗ → R2 diferenciable, y escribamos D = T (D∗).

Se dice que T es biyectiva si∀ (x , y) ∈ D, ∃! (u, v) ∈ D∗

tal que T (u, v) = (x , y).

Nuestro objetivo es, dada una integral, aplicar una transformacion T deeste tipo para transformar la region de integracion en una mas simple.

Dicho de otro modo, dadas dos regiones elementales D, D∗ en R2 talesque T (D∗) = D para una funcion diferenciable T , y dada f : D → R,queremos expresar

∫∫D f (x , y) dA como una integral de f ◦ T sobre D∗.

Capıtulo 4. Integracion 4.2. Cambio de variables 23 / 37

4.2. La formula del cambio de variables

Un hecho que hay que tomar en cuenta es que la transformacion Ttransforma tambien los elementos infinitesimales dA que aparecen en laintegral original. Para ver esto, recordamos que, de la definicion dediferenciabilidad se deduce que la funcion T se aproxima localmente encada punto x0 ∈ D∗ por la transformacion lineal definida por la matriz

jacobiana DT |x0 =

( ∂T1∂u

∂T1∂v

∂T2∂u

∂T2∂v

). Si aplicamos esta transformacion lineal a

un cuadrado en R2, el volumen de la imagen es el volumen originalmultiplicado por |det(DT )|. Por lo tanto el volumen del elementoinfinitesimal dA en x0 cambia por un factor |det(DT )(x0)|.

T (u, v) = (x(u, v), y(u, v))⇒ el determinante jacobiano∂(x ,y)∂(u,v) := det(DT (u, v)) esla funcion que nos permitetomar en cuenta como cam-bia el elemento de area.


4.2. La formula del cambio de variables

Definicion (Determinante jacobiano)

Sea T : D∗ ⊂ R2 → R2, (u, v) 7→ (x , y) una transformacion de clase C1

dada por x = x(u, v), y = y(u, v). El jacobiano de T , denotado por

∂(x ,y)∂(u,v) , es el determinante de DT , a saber ∂(x ,y)

∂(u,v) =

∣∣∣∣∣ ∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∣∣∣∣∣.(Cuidado: no confundir el jacobiano con la matriz jacobiana). Con esto yapodemos enunciar el resultado principal acerca de cambios de variables.

Teorema (Cambio de variables para una doble integral)

Sean D, D∗ dos regiones elementales en R2, y sea T : D∗ → D unaaplicacion biyectiva de clase C1. Entonces, para cualquier funcionintegrable f : D → R, tenemos∫ ∫

Df (x , y)dx dy =

∫ ∫D∗

f(x(u, v), y(u, v)

) ∣∣∣∂(x , y)

∂(u, v)

∣∣∣ du dv ,donde

∣∣∣∂(x ,y)∂(u,v)

∣∣∣ es el valor absoluto del determinante jacobiano ∂(x ,y)∂(u,v) .


4.2. La formula del cambio de variablesPara integrales triples podemos tambien querer hacer un cambio devariables. La teorıa es similar a la de integrales dobles, pero ahora hay quetomar en cuenta como cambia el elemento infinitesimal de volumen dVbajo el cambio. Como en el caso de integrales dobles, este cambio de dVse toma en cuenta con un determinante jacobiano, que aquı sera undeterminante de una matriz 3× 3. Obtenemos el teorema siguiente.

Teorema (Cambio de variables para una integral triple)

Sean D, D∗ dos regiones elementales en R3, y sea T : D∗ → D unaaplicacion biyectiva de clase C1. Entonces, para cualquier funcionintegrable f : D → R, tenemos que

∫∫∫D f (x , y , z) dx dy dz es igual a∫∫∫

D∗f(x(u, v ,w), y(u, v ,w), z(u, v ,w)

) ∣∣∣ ∂(x , y , z)

∂(u, v ,w)

∣∣∣ du dv dw ,donde ∂(x ,y ,z)

∂(u,v ,w) es el determinante jacobiano ∂(x ,y ,z)∂(u,v ,w) = det

∂x∂u

∂x∂v

∂x∂w

∂y∂u

∂y∂v

∂y∂w

∂z∂u

∂z∂v

∂z∂w

.


4.3. Coordenadas polares, cilındricas, y esfericas

Vamos a estudiar algunos de los cambios de variables mas habituales.

1) Cambio a coordenadas polares: dado por el sistema

{x = r cos(θ)y = r sin(θ)

.

El jacobiano es ∂(x ,y)∂(r ,θ) =

∣∣∣∣ cos(θ) −r sin(θ)sin(θ) r cos(θ)

∣∣∣∣ = r .

Veamos una aplicacion concreta (e importante): calcular el area bajo lacampana de Gauss, a saber

∫∞−∞ e−x

2dx . Observemos primero que, usando

el teorema de Fubini, se ve que esta integral es la raiz cuadrada de la dobleintegral

∫∞−∞

∫∞−∞ e−x

2−y2dx dy . Cambiando a coordenadas polares, y

usando el teorema de cambio de variables, obtenemos que esta integral es∫ ∞0

∫ 2π

0e−r

2r dθ dr = 2π

∫ ∞0

r e−r2dr = 2π

[−e−r2

2

]∞0

= π.

Por lo tanto, el area en cuestion es√π.

Capıtulo 4. Integracion 4.3. Coordenadas polares, cilındricas, y esfericas 27 / 37


Ejemplo: evaluar∫∫

D log(x2 + y2)dx dy , donde

D = {(x , y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2}, con 0 < a < b.

Esta segunda regiones de un tipo quesabemos tratar facil-mente.

Tenemos∫∫D log(x2 + y2)dy dx =

∫ ba

∫ π2

0 log(r2) r dθ dr = π2

∫ ba r log(r2) dr

= π∫ ba r log(r)dr .

Usando integracion por partes, vemos que esta integral es

π([

r2

2 log(r)]ba−∫ ba

r2 dr

)= π

[r2

2 log(r)− r2

4

]ba

= π(b2

2 log(b)− b2

4 −a2

2 log(a) + a2

4

).



2) Cambio a coordenadas cilındricas: dado por el sistema

x = r cos(θ)y = r sin(θ)z = z

.

El jacobiano esta vez es el determinante de una matriz 3× 3:

∂(x ,y ,z)∂(r ,θ,z) =

∣∣∣∣∣∣∂x∂r

∂x∂θ

∂x∂z

∂y∂r

∂y∂θ

∂y∂z

∂z∂r

∂z∂θ

∂z∂z

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣cos(θ) −r sin(θ) 0

sin(θ) r cos(θ) 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣= r(cos(θ)2 + sin(θ)2) = r .



3) Cambio a coordenadas esfericas: dado por

x = r cos(θ) sin(φ)y = r sin(θ) sin(φ)z = r cos(φ)

.

De nuevo el jacobiano ∂(x ,y ,z)∂(r ,θ,φ) es el determinante de una matriz 3× 3:∣∣∣∣∣∣∣

∂x∂r

∂x∂θ

∂x∂φ

∂y∂r

∂y∂θ

∂y∂φ

∂z∂r

∂z∂θ

∂z∂φ

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣cos(θ) sin(φ) −r sin(θ) sin(φ) r cos(θ) cos(φ)

sin(θ) sin(φ) r cos(θ) sin(φ) r sin(θ) cos(φ)

cos(φ) 0 −r sin(φ)

∣∣∣∣∣∣= −r2 sin(φ)3 cos(θ)2 − r2 sin(θ) sin(φ)(sin(θ) cos(φ)2 + sin(θ) sin(φ)2)

−r2 cos(θ)2 cos(φ)2 sin(φ)

= −r2 sin(φ) cos(θ)2 − r2 sin(φ) sin(θ)2.

= −r2 sin(φ).


4.4. Areas y volumenes

En esta seccion aplicaremos las nociones vistas anteriormente para calcularvarios volumenes y areas.

1) Areas: distinguiremos entre areas en R2 y areas en R3.

En el caso de R2, se trata de calcular doble integrales de tipo∫∫

D 1 dx dy .Podremos evaluar estas integrales usando tecnicas que ya hemos visto eneste capıtulo.

En el caso R3, se trata de calcular areas de superficies en el espacio.Para ello, tomaremos una parametrizacion φ : D ⊂ R2 → R3 de lasuperficie S que queremos estudiar. Entonces, el area de la superficie esigual a la integral siguiente:

A(S) =

∫ ∫D‖Tu × Tv‖ du dv .

Aquı, como vimos anteriormente, Tu,Tv son los vectores tangentes a lasuperficie en el punto correspondiente a los parametros u, v . La norma‖Tu × Tv‖ es por tanto el area del paralelogramo definido por Tu,Tv .Integrando esta area para (u, v) ∈ D se obtiene esta formula para A(S).

Capıtulo 4. Integracion 4.4. Areas y volumenes 31 / 37

4.4. Calculo de areas y volumenes

Ejemplo: consideremos la region D = {(r , θ) : 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1}, seaφ : D ⊂ R2 → R3, (r , θ) 7→ (r cos(θ), r sin(θ), r), y sea S la superficiecorrespondiente (es un cono). Hallar el area de S .

Tenemos Tr = (cos(θ), sin(θ), 1), Tθ = (−r sin(θ), r cos(θ), 0).

Tenemos pues

Tr × Tθ =

∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

cos(θ) sin(θ) 1−r sin(θ) r cos(θ) 0

∣∣∣∣∣∣ =(− r cos(θ),−r sin(θ), r

).

Por lo tanto ‖Tr × Tθ‖ = r√

2. Deducimos que

A(S) =∫∫

D ‖Tr × Tθ‖ dr dθ =√

2∫ 1

0

∫ 2π0 r dθ dr = 2

32π∫ 1

0 r dr

= 232π[r2/2

]10

= π√

2.



Ejemplo: consideremos de nuevo la region D = {(r , θ) ∈ [0, 1]× [0, 2π]}.Esta vez sea S la superficie dada por la parametrizacion φ : R2 → R3,(r , θ) 7→ (r cos(θ), r sin(θ), θ). Superficies de este tipo se llaman helicoides.

Calculamos los vectores tangentes:

Tr = (cos(θ), sin(θ), 0),

Tθ = (−r sin(θ), r cos(θ), 1). Luego

Tr × Tθ =

∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

cos(θ) sin(θ) 0−r sin(θ) r cos(θ) 1

∣∣∣∣∣∣= (sin(θ),− cos(θ), r).

Tenemos pues ‖Tr × Tθ‖ =√

1 + r2. Por lo tanto,

A(S) =

∫ ∫D

‖Tr × Tθ‖dr dθ =

∫ 1

0

∫ 2π

0

√1 + r2 dθ dr = 2π

∫ 1

0

√1 + r2 dr .

Para calcular esta integral vamos a usar integracion por partes.



Si ponemos u(r) =√

1 + r2, tenemos u′ = r√1+r2

. Poniendo v = r ,

tenemos entonces∫ 1

0

√1 + r2 dr =

∫ 10 u v ′ dr . La formula de integracion

por partes nos dice que esto es igual a[uv]1

0−∫ 1

0u′ v dr =

[r√

1 + r2]1

0−∫ 1

0r2

√1+r2

dr =√

2−∫ 1

01+r2√

1+r2dr+

∫ 1

01√

1+r2dr .

La integral I =∫ 1

0

√1 + r2 dr satisface pues I =

√2− I +

∫ 10

1√1+r2

dr ,

es decirI =

√2

2+

1

2

∫ 1

0

1√1 + r2

dr .

Ahora esto lo podemos evaluar usando el hecho que 1√1+r2

es la derivada

de la funcion inversa del seno hiperbolico de r , es decir dearcsinh(r) = log(r +

√r2 + 1). Concluimos que

A(S) = 2π I = π√

2 + π[

arcsinh(r)]1

0= π√

2 + π log(1 +√

2).



Vamos a ver ahora que en varios casos se puede establecer una formulageneral que permite calcular todas las integrales concretas en estos casos.

1) Superficie parametrizada de la forma (x , y , z) =(u, v , f (u, v)

).

Tenemos Tu = (1, 0, ∂f∂u ), Tv = (0, 1, ∂f∂v ).

Por lo tanto Tu × Tv =

∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

1 0 ∂f∂u

0 1 ∂f∂v

∣∣∣∣∣∣∣ = (− ∂f∂u ,−

∂f∂v , 1).

En este caso tenemos pues la formula

A(S) =

∫ ∫D

√1 +

(∂f∂u

)2+(∂f∂v

)2du dv .



2) Superficie de revolucion (alrededor del eje de x), dada por

(x , y , z) =(u, f (u) cos(v), f (u) sin(v)

), f ≥ 0, u ∈ [a0, a1], v ∈ [0, 2π].

Tenemos

Tu =(1, f ′(u) cos(v), f ′(u) sin(v)

),

Tv =(0,−f (u) sin(v), f (u) cos(v)

).

Por lo tanto Tu × Tv es∣∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3

1 f ′(u) cos(v) f ′(u) sin(v)

0 −f (u) sin(v) f (u) cos(v)

∣∣∣∣∣∣∣ =(f ′(u)f (u),−f (u) cos(v),−f (u) sin(v)

).

Tenemos pues ‖Tu ×Tv‖ = |f (u)|√f ′(u)2 + 1, de donde sigue la formula

A(S) =

∫ 2π

0

∫ a1

a0

f (u)√f ′(u)2 + 1 du dv = 2π

∫ a1

a0

f (u)√f ′(u)2 + 1 du.



Ejemplo: hallar el area A1 del cono de revolucion definido por la rectay = x , para x ∈ [0, 1], y tambien el area A2 del casquete de cono parax ∈ [1, 2].

Tenemos

A1 = 2π∫ 1

0 u√

2 du = 2π√

2[u2

2 ]10= π√

2,

A2 = 2π∫ 2

1 u√

2 du = 2π√

2[u2

2

]21

= 3π√

2.

En cuanto a volumenes, calcularemos el volumen de regiones limitadas porgraficas de superficies, o de intersecciones de estas.


Documents

En este cap tulo vamos a estudiar c omo se puede hacer ...verso.mat.uam.es/~pablo.candela/calc2/Calc2-1718-Web-C4.pdf · 4.1. Integral de Riemann, teorema de Fubini. 4.2. Teorema