en_la_vida_diez

8/19/2019 en_la_vida_diez

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En la vida diez,en la escuela cero [1]

Terezinha Carraher, David Carraher, Analucía Schliemann

EN LA VIDA DIEZ, EN LA ESCUELA, CERO:

LOS CONTEXTOS CULTURALES DEL APRENDIZAJE DE LASMATEMÁTICAS*

TEREZINHA N. CARRAHER

DAVID W. CARRAHER

Analucía D.SCHLIEMAN

La deserción y el f racaso escolar aparecen hoy entre los problemas de nuestro sistemaeducacional que se estudian en forma relat ivamente intensa. La concepción de fracaso escolaraparece alt ernativamente como fracaso de los individuos (Popovic, Esposito y Campos, 1975),fracaso de una clase social (Lewis, 1967; Hoggart , 1957) o fracaso de un sistema social,económico y político (Freitag, 1979; Porto, 1981) que pract ica una selectividad socioeconómicaindebida. En este capítulo se pretende explorar otra alternativa: el fracaso escolar y el fracaso dela escuela.

Los estudios de la llamada “privación cultural” o de los “individuos marginados”señalan la existencia de las más variadas deficiencias entre niños de ambientesdesfavorecidos, deficiencias que son tanto de naturaleza del conocimiento como deorden afectivo y social. El niño producto de la privación cultural muestra deficiencias enlas funciones psiconeurológicas, básicas para la lectura y las matemáticas, conceptosbásicos, operaciones cognoscitivas y lenguaje (Poppovic, Esposito y Campos, 1975), unpobre concepto de sí mismo, sentimientos de culpa y vergüenza, problemas familiares,desconocimiento de su propia cultura (Brooks, 1966), etc., para mencionar apenasalgunas de las deficiencias encontradas. Esa posición resulta de la convicción de que losprocesos psicológicos se desarrollan en función de la experiencia, especialmente de la

experiencia en los primeros años de la vida (véase comentarios en Cole, 1977), puestoque los niños de ambientes culturalmente deficitarios carecerían de esas experienciascruciales. En forma paralela, muchos de los investigadores interesados en esta cuestiónconceden también importancia a factores de orden biológico, como la nutrición (Patto,1973) y la salud (Silva, 1979) en los primeros años de la vida, cuya influencia tambiénllevaría a resultados negativos en el desarrollo de esos mismos niños, puesto que elprivarlos de cultura y los problemas de alimentación y de salud tienden a ocurrir conmayor gravedad y frecuencia dentro del mismo estrato de la población (Birch, 1967).Este enfoque del problema del fracaso escolar atribuyéndoles deficiencias a losindividuos que fracasan, no siempre constituye una generalización burda con relación atodos los niños de clase baja. Recientemente se ha procurado destacar “la importancia

de un análisis del rendimiento escolar en función de las características individuales defamilias pertenecientes a la misma clase social, sin tomar tanto en consideración los


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estereotipos creados por el modelo que subraya las deficiencias de la clase social baja,al comprobar la existencia de alumnos que, no obstante pertenecer a esa clase, tienenbuen rendimiento escolar” (Coimbra, 1981: 64-65). En esa segunda versión, el enfoquede las deficiencias que resultan de la privación cultural continúa, pues, atribuyeimportancia decisiva a ciertas experiencias particulares, pero disocia, hasta cierto punto,

clase social de privación cultural, de tal modo que sólo aquellos individuos de clase bajaque sufriesen de hecho del “síndrome de la privación cultural” estarían predestinados alfracaso escolar.

El problema es presentado en forma un poco diferente por quienes atribuyen elfracaso escolar a la clase social. Desde este punto de vista, la atribución de deficienciasde la más diversa naturaleza a los miembros de la clase baja no es una cuestiónimportante. Sin embargo, los proponentes de este análisis aseguran que la situaciónsocial y económica de las clases bajas es tal, que los miembros de esas clases no valoranla educación porque no le atribuyen valor práctico (Hoggart, 1957), y no puedenpermitirles a sus hijos el “lujo” de una educación prolongada frente a su necesidad de

emplearlos precozmente para contribuir al sustento del hogar. El fracaso escolar nosería, pues, un fracaso real, dado que sólo quien anhela determinado objetivo puedefracasar en alcanzarlo. El menosprecio del aprendizaje escolar junto a la valoración deltrabajo es congruente con el desempeño efectivo de los miembros de la clase baja, loscuales son “víctimas” de la deserción y del fracaso escolar sólo a los ojos de los demás(Hoggart, 1957).

Finalmente, debe mencionarse el tercer tipo de análisis propuesto para el fracasoescolar: la selectividad del propio sistema. De acuerdo con esta visión del fracasoescolar, las escuelas constituyen aparatos ideológicos del Estado (Freitag, 1979) quereproducen la estructura de clases existentes mediante la difusión de la ideología de laclase dominante y manteniendo a la clase baja en los niveles educacionales inferiores.De este modo, el propio sistema educacional obstruye las vías de acceso de la clase bajaa la educación formal, eliminando la posibilidad de que sus miembros puedan resolverpor sí mismos los problemas sociales y económicos que enfrentan en el caso de lahiperurbanización (Perlman, 1977). Desde este punto de vista, Ivoneide Porto, porejemplo, señala la falta de integración social en las escuelas de Recife como una de lasformas de mantener la estructura social vigente. Los colegios particulares son unprivilegio de las clases dominantes, puesto que los colegios de la red pública sirven a lasclases dominadas; “ ... esta estructuración mediante 'privilegios específicos' yactividades delegadas tienen lugar, por cierto, a partir de la cumbre, es decir que está

determinada por aquellos que detentan el poder y, en consecuencia, dominan. Es unproceso que tiene su origen en la cima y alcanza la base de la sociedad” (Porto, 1981:101; comillas de la autora).

La posibilidad de que el fracaso escolar no represente el fracaso del individuo, de laclase o del sistema social, económico y político pero sí el fracaso de la propia escuela ya ha sidoconsiderada por algunos, aunque no podamos decir que esta conclusión haya sido presentadacon claridad en la forma en que la concebimos. Friedman (1967) considera que el entusiasmopor la noción de privación cultural en los medios educacionales resultó en realidad de que talconceptualización del problema constituía una explicación razonable para una situaciónembarazosa y, al mismo tiempo, liberaba a los educadores de la responsabilidad de estarinvolucrados en una escuela incapaz de producir resultados. Poppovic presentó recientement e

un análisis bastant e detallado de la cuestión del fracaso escolar. Refiriéndose a la explicación deeste fracaso en términos de privación cultural, señala: “ Tenemos entonces, para determinar el


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fracaso escolar, una explicación de fondo social mucho más amplia y verídica de lo que son lasdeficiencias individuales. Sin embargo, si se la examina bien esa teoría continúa señalando a unsolo culpable: el alumno que viene de una familia pobre y, por lo tanto, impreparado para lospatrones exigidos por la escuela; ésa sería la razón del fracaso. La institución escolar, susvalores, sus métodos, sus criterios, su didáctica, su organización continúan fuera del debate”(Poppovic, 1981: 20).

Con relación a la educación compensatoria, Poppovic pone de relieve que éstasufre del gran defecto de sólo pretender cambiar al niño, añadiendo que una u otra líneade pensamiento se hace necesaria: la de un enfoque institucional, el cual debe discutir lapropia escuela: “Esta línea de pensamiento establece que el fracaso es el resultado deuna mala interrelación entre el alumno que proviene de determinados medios sociales yla institución escolar. Es preciso que la escuela entienda su papel social y su función enuna sociedad de grupos muy diversificados” (ibid., p . 20).

A pesar de las semejanzas entre el análisis propuesto por Poppovic y el que

pretendemos explorar, debe destacarse una diferencia que no consideramos en formaalguna de carácter secundario. Poppovic, después del análisis antes mencionado, vuelveatrás para considerar los estudios de la marginación cultural y sus efectos sobre losniños (Poppovic et al., 1975), con el fin de conocer “las necesidades de los niñosculturalmente marginados” (Poppovic, 1981: 20) como un intento de desarrollar uncurrículum que les atienda: “El camino que escogimos fue el del desarrollo demateriales curriculares para los años iniciales del primer grado, destinados a los niñosoriginarios de los estratos de bajos ingresos y a sus profesores” (ibid., pp . 20-21). Estecamino parece constituir la educación compensatoria en la escuela y no sólo en el nivelpreescolar; constituye una solución psicológica para un problema psicológico, social ycultural.

En contraste con este punto de vista, pero siguiendo también un enfoqueinstitucional, se puede proponer para la cuestión de las diferencias interclases unenfoque semejante al propuesto por Gay y Cole (1967) y Cole (1977) para lasdiferencias transculturales. Aunque ciertos niños de algunas culturas –o, en este caso, delos estratos de bajos ingresos– pueden no participar de experiencias específicasencontradas rutinariamente por los niños de nuestra clase media, no son criaturasprivadas de toda experiencia. En el contexto del estudio de las dificultades deaprendizaje de las matemáticas, Gay y Cole partieron del supuesto de que era necesarioconocer mejor las matemáticas inherentes a las actividades de la vida diaria en la culturade esos niños a fin de construir, a partir de ellas, puentes y ligamentos efectivos para

unas matemáticas más abstractas que las que la escuela pretende enseñar. Dicho esto,Cole (1977) sugiere que el hecho común de que las personas desempeñen con mayorhabilidad aquellas tareas en que tienen más práctica llevó a presuponer también que losprocesos cognoscitivos pueden ser de naturaleza situacional, lo cual implica que esposible encontrarnos sujetos que demuestran una habilidad en cierto contexto y no enotro(s). Por ejemplo, los exámenes de habilidades de distinción visual realizados alingresar a la escuela para verificar la rapidez para la alfabetización, se hacen por logeneral con figuras diseñadas, relativamente abstractas, figuras geométricas, letras ynúmeros. Si supusiésemos que tal material no es apto para la práctica de la distinciónentre los niños llamados culturalmente desfavorecidos, veremos que de ellos seesperaría un desarrollo más bajo del que muestran los niños con práctica en estasdistinciones. De ahí podemos concluir: 1] que los niños producto de la privacióncultural tienen deficiencias en la distinción visual o 2] podemos iniciar un análisis


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etnográfico y experimental de las situaciones en que estos niños hacen una distinciónvisual de detalles, en caso de que tales situaciones existan, con el fin de construir en laescuela una unidad efectiva entre las habilidades de que esos niños ya disponen y suaplicación al dominio particular que deseamos desarrollar. La segunda forma de tratarcon el problema aprovecha una “lección central obtenida de años de investigación sobre

la generalización del aprendizaje (learning sets), esto es, que los animales (incluso elhombre) aprenden habilidades generalizadas para la solución de problemas a partir deexperiencias repetidas con problemas diferentes del mismo tipo” (Cole, 1977: 481).

Adoptar el enfoque institucional no significa, por lo tanto, negar que existendiferencias entre las clases o rechazar explicaciones de naturaleza social, económica ypolítica para el fracaso escolar. Con todo, las diferencias entre las clases no sonconcebidas sencillamente como carencias, sino como diferencias de hecho, y lasexplicaciones en términos del sistema socio-económico-político son consideradasinsuficientes, dado que aun un cambio del sistema no podría tener resultados efectivossobre la educación, puesto que los educadores no disponen del necesario “saber hacer”,

como bien lo señaló Poppovic (1981). Siendo así, el enfoque institucional del fracasoescolar se aproxima al análisis de Foracchi (1974) y de Campos (1975) de lamarginalidad, análisis en el que las características culturales son vistas como expresiónsimbólica de lo económico y de lo político, constituyendo, pues, parte esencial de laexplicación del fenómeno.

Las observaciones más diversas han señalado incongruencias entre el desempeño de lossujetos “culturalmente desfavorecidos” en situaciones formales y experimentales y eldesempeño de esos mismos sujetos en situaciones informales o cotidianas. Labov (1969)registró la existencia de grandes diferencias en el desempeño verbal de los niños pobres deHarlem en situaciones de examen y en situaciones informales. Cole (1977) puso de relieve la

incongruencia entre resultados experimentales y la evidencia antropológica relativa a lahabilidad de los adultos de ciertas culturas africanas de adoptar la perspectiva del oyente.Leacock (1972) señaló la incoherencia entre conclusiones experimentales relativas a los bajosniveles de abstracción entre negros norteamericanos de la clase obrera y su uso frecuente demetáforas, ampliamente reconocidas como indicaciones de altos niveles de abstracción. Almismo t iempo, Heath (1982 a) demostró en Estados Unidos una correspondencia extrema ent reactividades de comprensión e interpretación de historias practicadas en casa por las madresestadounidenses de clase media y por las profesoras de la escuela, de tal forma que la escuelaestadounidense aprovecha al máximo las habilidades de int erpret ación ya desarrolladas en losniños de clase media, creando situaciones escolares semejantes a las situaciones de la vida deesas criaturas. Por otra parte, las habilidades verbales desarrolladas en otros “ambientesculturales” dentro del mismo país o no son aprovechadas por la escuela, o sólo serán incluidas

entre los objetivos de la escuela en épocas posteriores (Heath, 1982 b).

Todavía no se han realizado en Brasil demostraciones sistemát icas de esta discrepanciaentre el desarrollo de los niños de estratos de bajos ingresos en situaciones naturales y ensituaciones de tipo escolar. Mientras tanto, el análisis anterior sugiere que probablementeexisten y deben ser cuidadosamente analizadas a fin de comprender mejor el fenómeno delfracaso escolar en Brasil. Así, en este estudio exploratorio se combinaron observacionesetnográficas con un análisis experiment al de la cuestión que describe inicialment e uno de loscont extos culturales, en que la solución de problemas matemáticos transcurre naturalmente en laclase pobre para, a cont inuación, estudiar más sistemát icamente el desempeño en matemát icasde niños pobres en situaciones naturales y en situaciones formales, de tipo escolar.


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EL CONTEXTO CULTURAL: UNO DE LOS USOS DE LAS MATEMÁTICAS

No es infrecuente entre los miembros de la clase pobre que tengan un “negocio propio”.

Cuando el padre tiene un puesto en la feria, por ejemplo, algunos de los hijos puedenacompañarlo, especialmente a partir de cierta edad. Mient ras los menores parecen apenas “pasarel t iempo” en esta forma, los mayores, aproximadamente a partir de los diez años ayudan en lastransacciones, llegando hasta a asumir la responsabilidad de la venta de parte de las frutas yverduras. Entre los preadolescentes y adolescentes, en general a partir de 11-12 años, laocupación puede volverse independiente, y éstos pasan a vender cocos, palomitas de maíz,elotes y cacahuates en puntos fijos o como ambulantes.

En estos casos, los niños y los adolescentes resuelven innumerables problemasde matemáticas, por lo general sin utilizar papel y lápiz. Los problemas implicanmultiplicaciones (1 coco cuesta x; cuatro cocos cuestan 4 x), suma (el precio de cuatrococos más el precio de 12 limones) y resta (500 cruzeiros menos y, para encontrar elcambio). La división parece presentarse con menos frecuencia, pero aparece en algunoscontextos como el caso en que si el kilo de ejotes cuesta x, el medio kilo cuesta x /2, o siel kilo de cebolla cuesta x, 200 gramos cuestan x /5. La división también aparece ensituaciones más complejas, como en el cálculo del precio de un kilo y medio, dondenormalmente se suma el precio de medio kilo al de un kilo, o en el cálculo de un kilo ynovecientos gramos, donde se resta el valor de cien gramos del valor de dos kilos. Esinteresante notar el uso de valores cuando la división no es exacta, y el precio varía deacuerdo con la cantidad vendida: el precio de 3 aguacates es 25 cruzeiros, pero unaguacate cuesta 10 cruzeiros.

Aunque en ocasiones aparecen errores de cálculo, predominan los aciertos entre losniños responsables de estas transacciones comerciales. Entre los modos utilizados para obtenerla solución, ni los niños observados en la feria ni sus padres utilizaban lápiz y papel para loscálculos, aunque en los mercados de hortalizas y productos de granja el cálculo escrito pareceser usado con frecuencia. En ocasiones notamos que en la feria utilizaban una lista dondeconstaban las multiplicaciones (1 huevo, 11 cruzeiros; 2 huevos, 22; etc.), aunque eseprocedimiento no parece ser frecuente y no se presentó en el caso de los niños observados.

METODOLOGÍA

En el presente estudio respondieron 63 preguntas de matemáticas en un ExamenInformal y 99 en un Examen Formal cinco niños y adolescentes de ent re 9 y 15 años, cuyo nivelde escolaridad variaba en la 3a. y la 8a. series. Debido a la relación ent re el Examen Informal yel Formal, el Examen Informal fue siempre realizado en primer lugar, en tanto que el ExamenFormal se realizaba en otra fecha. Ambos exámenes eran realizados por el mismo examinadorpara cada niño, aunque diferentes examinadores habían trabajado con diferentes niños. Enambas ocasiones, el examinador debía procurar mant ener una buena relación con el sujeto . En elExamen Formal, el examinador les ofrecía lápiz y papel y le pedía al sujeto que resolviese lascuentit as en el papel.


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1. El examen informal

En el Examen Informal, los participantes eran evaluados en el contexto en quenaturalmente resuelven problemas de matemáticas, o sea en la feria, en el puesto decocos, junto al carrito de las palomitas, etc. El entrevistador hacía preguntas sucesivas

sobre transacciones realizadas de hecho o en apariencia, obteniendo respuestas verbalesa los problemas. Algunas de estas entrevistas fueron grabadas, en tanto que en otras unobservador anotaba los detalles de las transacciones. Después de esto, algunastransacciones fueron realizadas sin ningún interrogatorio sobre el proceso de obtenciónde los resultados, en tanto que en otras el examinador trataba de obtener respuestasverbales que describieran el proceso utilizado por el sujeto, teniendo como referenciaindicaciones metodológicas descritas en Carraher y Schliemann (1982). El método deestudio en este Examen Informal se aproxima al método clínico-piagetiano, dado que elentrevistador interviene directamente en el transcurso de los acontecimientos, haciendopreguntas sucesivas a fin de esclarecer los procesos por los cuales los sujetos obtienensus respuestas. Por otra parte, el método también se aproxima al de la observación

participante, puesto que las preguntas se formulan en el transcurso de una interacciónentre el vendedor y el cliente, en el que éste “tiene el derecho” de hacer ciertaspreguntas como “¿cuánto cuestan n cocos?” o “¿cuánto debo en total?” o “¿cuánto medará de cambio?”. Caracterizamos, pues, el procedimiento usado en el Examen Informalcomo una innovación metodológica resultante de la “fertilización cruzada” entre elmétodo piagetiano y el de la observación participante. El participante no desempeñasólo el papel de “cliente” que le cabría como observador participante, sino que seconvierte en un cliente – examinador, que no sólo recibe el cambio sino que pregunta“¿cuánto voy a recibir de cambio?” y verifica el proceso de obtención del resultado.

2. El examen formal

Con el fin de preparar el Examen Formal, los problemas resueltos por los sujetosdurant e el Examen Informal eran representados mat emáticamente, utilizándose en algunasocasiones más de una represent ación para un único problema. Veamos un ejemplo. M, unvendedor de cocos de 12 años, de 3er. grado, resolvió el siguiente problema en el ExamenInformal.

Cliente: ¿Cuánto cuesta un coco?

M: Treinta y cinco.

Cliente: Quiero diez cocos. ¿Cuánto es por los diez cocos?

M: (Pausa) Tres son 105, más tres son 210. (Pausa.) Faltan cuatro Es ... (pausa)315 ... parece que es 350.


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El problema puede ser representado matemáticamente en más de una forma. 35 x10 constituye una representación aceptable de la pregunta propuesta por el cliente –examinador, en tanto que 105 + 105 + 105 + 35 constituye probablemente unarepresentación adecuada de la respuesta, puesto que 35 x 10 fue separado por el sujetoen (3 x 35) + (3 x 35) + (3 x 35) + 35. Entre los subproblemas resueltos correctamente

por M en la situación descrita más arriba, tenemos por lo menos, los siguientes:

a] 35 x 10;

b] 35 x 3 (que puede ser conocido de memoria);

c] 105 + 105;

d] 210 + 105;

e] 315 + 35;

f] 3 + 3 + 4;

g] 3 + 3 + 3 + 1.

Al representarnos matemáticamente los problemas resueltos por el sujeto en el ExamenInformal estamos, de hecho, buscando una represent ación formal de la competencia del sujeto.De hecho, M demostró ser competente al encontrar el resultado de multiplicar 35 x 10, pasandopor ot ras v ías que la tradicionalmente enseñada en la escuela, que es sólo “ colocar un cero alfinal cuando se hace una multiplicación por diez”.

Al resolver 35 x 10 de acuerdo con su método, M resolvió los variossubproblemas presentados más arriba, desde a hasta g.

Después de representar matemáticament e los problemas resueltos por los sujetos en elExamen Informal, se seleccionaba una muestra de estos problemas para incluirla en el ExamenFormal.

En él, la muestra de problemas seleccionada aparecía: a] en forma deoperaciones aritméticas a ser resueltas en cualquier contexto y a partir de surepresentación en el papel, o b] en forma de problemas de tipo escolar como “Maríacompró... plátanos, cada plátano costaba... ¿cuánto dinero gastó?”. En ambos casos se

utilizó para cada niño los mismos números con los cuales había operado en la situacióninformal o sea utilizando números diferentes para uno u otro niño.

Siguiendo las sugerencias metodológicas de Reed y Lave (1979), se introdujeron dosvariaciones en estas preguntas del Examen Formal:

1] en algunos casos se le pedía al sujeto en el Examen Formal que resolviese lainversa de la operación realizada en el Examen Informal (500 - 385, por ejemplo, podíaaparecer como 385 + 115);

2] en ciertos problemas la situación decimal podía variar del Examen Informal al

del Formal (40 cruzeiros podía aparecer como 40 centavos o 35 convertirse en 3.500 enel Examen Formal).


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RESULTADOS

El análisis del resultado del Examen Informal implicó inicialmente una decisiónsobre la definición de “problema” en este caso. Mientras que en el Examen Formal losproblemas son definidos de antemano por el examinador, en el Examen Informal sehacen en el momento, y su delimitación se hace a posteriori. Con el propósito de noaumentar indebidamente el número de “problemas” resueltos en el Examen Informal,fueron delimitados sobre la base de las preguntas formuladas por elcliente-examinador, aunque el sujeto pudiese, al buscar una solución, haber resueltovarios subproblemas intermedios (como en el ejemplo discutido en la descripción de lametodología). De esta forma, la estimación del número de problemas resueltos en lasituación natural es conservadora y sigue el mismo criterio utilizado en el Examen

Formal, en el que los problemas están delimitados anticipadamente de acuerdo con laspreguntas que formulará el examinador.

Los resultados indicaron una influencia decisiva del contexto en la solución de losproblemas de matemáticas, como se ve en el cuadro 1, que presenta los datos referentes aldesempeño de cada niño en cada contexto.

En términos globales, de los 63 problemas presentados en el Examen Informal,98.2% fueron resueltos correctamente, mientras que en el Examen Formal apenas 36.8%de las operaciones y 73.7% de los problemas lo fueron. La frecuencia de respuestascorrectas para cada sujeto fue convertida en valores de 1 a 10. El análisis de variación

de Friedman sobre esos valores reveló una diferencia significativa entre los exámenes(Informal, Operaciones aritméticas y Problemas), obteniéndose χ 2 = 6.4 y p = 0.039.

Se podría suponer que los errores en el Examen Formal ocurrirían con mayor frecuenciaen aquellas situaciones en que los datos numéricos del problema resuelto informalment e fueranmodificados, sea por el cambio de la situación decimal sea por la inversión de la operaciónutilizada. En cuanto al análisis de los aciertos y errores en los problemas formales en que fueronintroducidas tales modificaciones, muestra que la proporción de aciertos en los mismos esmayor en cuatro niños y menor en uno de ellos. T ales modificaciones no pueden por lo tant oexplicar la discrepancia de desempeño entre el Examen Formal y el Informal.

Observemos que el desempeño de los niños, además de haber sido claramentesuperior en el Examen Informal, donde las operaciones están inscritas en situacionesreales, en el Examen Formal fue también mejor en los problemas con situacionesimaginarias (parte b) que en las operaciones simples (parte a).

Estos datos parecen, pues, confrontar la noción implícita pero tácitamente aceptada en laescuela, de que, en primer lugar debemos enseñar a los niños las operaciones aritméticasaisladas de cualquier contexto, para presentar después esas mismas operaciones en el contextode problemas.

Las habilidades necesarias para resolver problemas, según este modelo implícito, serían

secuenciales e independientes, abarcando por lo menos los siguientes pasos:


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1] interpretación del problema;

2] determinación de la operación a realizar;

3] realización de la op eración.

Según este modelo tradicional, efectuar la operación sería, por lo tanto, mássimple que resolver un problema con una misma operación ya que la operación implicasólo uno de los pasos necesarios para la solución del problema.

CUADRO 1

FRECUENCIA DE ERRORES (E) Y DE ACIERTOS (C) PARA CADA NIÑO

EN CADA UNO DE LOS EXAM ENES

Niño Examen Informal Examen formal

a]Operaciones

aritméticas b] Problemas

C E Total C E Total C E Total

M 18 0 18 2 6 8 11 0 11

P 17 2 19 3 5 8 11 5 16Pi 12 0 12 3 3 6 11 0 11MD 7 0 7 1 9 10 4 8 12S 7 0 7 5 1 6 8 3 11

Totales 61 2 63 14 24 38 45 16 61

Podemos suponer, en vista de estos resultados, que el análisis lógico implícito en lasolución de un problema facilita la realización de la operación, por inscribírsela en unsistema de significados bien comprendidos, en lugar de constituir una actividad aisladaque se ejecuta en una secuencia de paso, los cuales llevarían a la solución.

Estos resultados encuentran paralelo en los experiment os de Wason y Shapiro (1971),Lunzer, Harrison y Davey (1972) Johnson-Laird, Legrenzi y Sonino Legrenzi (1972). T alesestudios muestran que la solución de un problema que implica razonamiento lógico, el cual fueestudiado por Wason (1968), se volvía accesible para los sujetos examinados cuando los datosse referían a un cont exto real de tareas de trabajo. Sorprendentement e, cuando el problema erapresentado en forma simbólica, sin relacionarse con actividades reales, a sujetos con alto nivel

de inteligencia (en la mayoría de los casos estudiantes universitarios o profesionales de niveluniversitario), rara vez se daban aciertos en la tarea.


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Para tratar de esclarecer la discrepancia entre el desempeño en el ExamenFormal y en el Examen Informal, se hizo un análisis minucioso de los procesos deresolución que habían sido explorados a través del método clínico. Ese análisiscualitativo de los resultados sugiere que los algoritmos que se enseñan en la escuelapara realizar operaciones aritméticas pueden constituir un obstáculo para el

razonamiento del niño, tal vez por interferir con el significado de los propios númeroscon los cuales el niño debe operar. Por ejemplo, MD, una niña de 9 años de la 4a. seriede primaria mostró el siguiente desempeño en el Examen Informal:

Cliente: ¿Cuánto es de dos cocos?

MD: Ochenta.

Cliente: Toma un billete de doscientos. ¿Cuánto va a ser mi vuelto?

MD: Ciento veinte.

En el Examen Formal, MD mostró el siguiente desempeño:

Examinador: Haga esa cuenta ahora, 200 menos 80.

MD escribe 200

- 80

800

E: ¿Cómo lo hace?

MD: Baja el cero aquí y aquí (muestra los ceros del resultado). Aquí da 8.

La regla de “bajar ceros”, propia de la multiplicación, difícilmente puede serinsertada en un sistema de operaciones significativas con números. Se puede observarotro ejemplo con M, 12 años, 3a. serie de primaria. En el Examen Informal, M no tuvoninguna dificultad en calcular el cambio de 200 cruzeiros, siendo el precio de un coco35. En el Examen Formal, realizó la operación 200 -35 ,obteniendo como resultado 90, yofreciendo la siguiente explicación:

M: 5 para llegar a cero, nada, llevo 1; 3 para llegar a 12, faltan 9.

Aparentemente M, al decir llevo 1, t ransforma el 2 del 200 en 12.

Hay todavía un tercer ejemplo para ilustrar la confusión con el “llevo uno” enotra situación. Al resolver 35 x 3, que M parecía saber de memoria al vender cocos,obtuvo 125 y ofreció la siguiente explicación: “3 veces 5, 15; llevo 1. 3 más 1, 4; 3veces 4, 12”.

Otro aspecto que se debe poner de relieve en los resultados que, como el aspecto

discutido más arriba, probablemente tiene una cierta participación en la incongruenciaen el desempeño de los niños en las tres condiciones, fue la discrepancia entre el


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desempeño oral y el escrito. Esta discrepancia fue observada en todos los sujetos, siendotodavía más acentuada en dos de ellos. Por ejemplo, S, un niño de 11 años, en la 4a.serie, resolvió correctamente 5 de las 6 operaciones aritméticas del Examen Formal, siconsideramos sólo su desempeño oral (como lo hicimos en el cuadro 1). Sin embargo,felizmente había dado respuestas verbales correctas para las operaciones 200 - 80 y 40 x

3 , pero su desempeño escrito no podría ser considerado correcto en esos casos. Éste estáreproducido en la figura 1.

Figura 1

Respuestas orales y escritas presentadas por S a dos de las operaciones aritméticas del

Examen Formal

Operación: 200-80 Operaci

ón:

40x3

Oral: 120 Oral: 120Escrito 200 Escrito 40

- 800 x 3200 12.00

También se observó en el ejemplo de S el modo de resolver los problemasformales. En todos los problemas miraba para arriba o para un lado, y después de algúntiempo presentaba la respuesta. Cuando se le preguntó sobre el método de resoluciónutilizado, respondía que lo hacía “en la cabeza”. Sólo para reconstituir el problemausaba S lápiz y papel, aunque no los utilizase para facilitar la resolución (por ejemplopara reducir la carga en la memoria del procesamiento).Las tentativas del entrevistadorpara estimularle a usar el lápiz en el transcurso del problema no tuvieron éxito, con unaexcepción: cuando S mostró cómo hacía los problemas a la profesora. Pero el niño dejóen claro que su modo “natural” de hacer cuentas es “en la cabeza”.

El ejemplo extremo de dificultad en el uso del lápiz y el papel es el de P, un niñode 13 años que abandonó la escuela a los 11 y trabaja ahora en la venta de verduras yfrutas como empleado del dueño de un puesto. P se rehusó a utilizar lápiz y papel en elExamen Formal, aunque reconocía los dígitos, y después de mucha insistencia, alintentar escribir algunos números, lo hizo en forma en extremo vaga e imperfecta,declarando que despreciaba lo que hacía antes en la escuela. Es interesante notar que eldueño del puesto para quien P trabajaba declaraba con orgullo no saber leer ni escribir yser capaz de administrar el negocio de 10 puestos esparcidos por la feria.

DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES


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Los resultados de este estudio exploratorio son de veras sorprendentes. No era deesperarse una discrepancia tan grande entre el desempeño en el contexto informal y en elcontexto “escolar”. ¿Qué podemos concluir de esta enorme discrepancia?.

La primera comprobación es que existen múltiples lógicas correct as en la resolución delos cálculos. La escuela nos enseña cómo deberíamos multiplicar, restar, sumar y dividir; esosprocedimientos formales, cuando se siguen correctamente, funcionan. Sin embargo, los niños yadolescentes del presente estudio demostraron utilizar métodos de resolución de problemas que,aunque totalmente correctos, no son aprovechados por la escuela. Ent re estos procedimientos"nat urales" o "inventados ", para usar la terminología de Resnick (1980) se destaca el uso de loque puede ser llamado de descomposición del problema: el individuo determina la respuesta deun subproblema sencillo y va juntando componentes sencillos hasta componer una respuesta delproblema global. Examinemos, por ejemplo, la respuesta de S:

E: En una escuela hay 12 aulas. En cada aula hay 50 alumnos. ¿Cuántos

alumnos tiene toda la escuela?

S : 600 (su explicación ... ) 12 clases; 2 juntas, 2 son 100 (alumnos); 4 son 200; 6son 300; 8 son 400; 10 son 500; 12 son 600.

Nótese que el problema mayor no es descompuesto; el sujeto compone la solución envez de descomponer el problema.

Otro ejemplo está en la explicación dada por P :

E: (1 aguacate son 5 cruzeiros). ¿Cuántos son 9?

P: 45

E: ¿Por qué?

P: 7 son 35, más 1, 40; más 1, 45 (P ya había determinado que 7 cuestan 35 cruzeiros enun problema anterior).

En esa descomposición el sujeto trabaja por chunking* o agrupamiento deporciones de la respuesta hasta obtener el total. El mismo caso de S, más arriba,ejemplifica el uso de esas unidades de análisis con que el niño se siente cómodo. Estas

unidades pueden ser pares o asumir valores referentes al agrupamiento usadohabitualmente en el comercio (4 limones por 10 cruzeiros, por ejemplo). Así, el niñocompone el problema global, utilizando agrupamientos "naturales".

Es posible que un niño adquiera fluidez en los métodos informales de composición ouso de unidades naturales sin dominar los métodos escolares (reglas de llevo uno; multiplica-ción hecha por escrito, empezando por una ubicación de unidades, colocación convencional denúmero en el papel, etc.). Además ésta fue una situación generalmente verificada en nuestrossujetos. En su trabajo en el comercio, los niños resolvían bien los problemas mediante técnicasque no son aprovechadas por la escuela, aunque funcionen bien y lleven al resultado correcto.

Sería ingenuo defender la idea de que el sistema de cálculo que se usa en las escuelas esinherentemente superior al sistema utilizado por nuestros sujetos. Ya indagamos de manera


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informal a diversas personas de la clase media en Brasil -educadores, psicólogos, alumnos deposgrado, profesores- sobre su manera de resolver problemas sencillos de cálculo. La granmayoría de las personas abordadas no hace los cálculos de acuerdo con los procedimientosaprendidos en la escuela. Consideremos, por ejemplo, el problema verbal 45 más 35 . Algunaspersonas al resolverlo suman 40 más 30 y luego le adicionan 10 (5 + 5). Otras suman 5 a 45,obteniendo 50 y después le suman 30. Raras veces un individuo suma 5 + 5, dice que “lleva

uno”, suma el 1 con el 4 y después le agrega el 3.

Otra interpretación que podría surgir para los resultados de este estudio es quenuestros sujetos son más concretos, resuelven los problemas concretos (situaciónnatural) y los problemas verbales escolares con más facilidad que los problemas"abstractos" (cuentas que constan exclusivamente de números y operaciones, sincontexto específico). Sin embargo, esta conclusión no tiene apoy o en los datos. Primero,no hay nada en la naturaleza de un coco que facilite el cálculo de que 3 cocos de 35cruzeiros cada uno costarán 105 cruzeiros. Decir que el problema incluye cocos olimones o palomitas no simplifica la aritmética del problema.

Segundo, recordamos que los cálculos "naturales" se hacen mentalmente, sin auxilio delápiz y papel para anotar los subto tales y los cálculos intermedios. Por lo tanto , al resolverproblemas por los procedimientos "naturales", no se utilizan algunas facilidades existent es enlos problemas escolares.

El argumento de que los niños sencillamente aprenderán de memoria las respuestascorrect as tampoco encuentra apoyo en las observaciones. Había, ciertamente, instancias aisladasen que el niño respondía rápidament e, dando la impresión de haber memorizado la respuesta.Sin embargo, en la gran mayoría de los casos el niño necesitaba reflexionar y calcularment almente antes de responder. Y las justificaciones demuestran con claridad la derivación dela respuesta por procedimientos naturales como en el siguiente ejemplo:

E: ¿A cuánto los seis limones?

P: (Pausa).

El dueño del puesto: (¿No sabe cuánto es? ¡Increíble!).

(Admirado porque el niño no responde de inmediato)

P: 15 (cruzeiros.)

E: ¿Cómo lo sabe?

P: Lo aprendí.

E: ¿Cómo lo hizo?

P: 4 (limones) son 10 (cruzeiros) y 2 (limones) son 5 (cruzeiros). Entonces son15 cruzeiros.

Se podría argumentar que la dificultad sistemática en resolver los problemas en lassituaciones formales estaría en las diferencias lingüísticas existentes entre una versión formal yuna versión informal. En el caso de problemas que implican restas, por ejemplo, en la versiónnatural se saca una cant idad de ot ra, en t anto que en la versión escolar la operación se indica por


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la palabra “menos”. Sin embargo, nos parece difícil aceptar que el desempeño en los problemasescolares se pueda mejorar sólo como resultado de un entrenamiento en el significado de laspalabras usadas. La distinción entre situaciones naturales y situaciones escolares parececonstituir el fenómeno más fundamental y más import ante.

En síntesis, en este estudio, la combinación del método etnográfico con el métodoclínico piagetiano demostró ser adecuada en el descubrimiento de que la compet encia numéricade los niños en contextos más próximos al escolar presentan un rendimiento insatisfactorio.Sobre la base de esta propuesta metodológica, creemos que pueden desarrollarse dos grandeslíneas de investigación. La primera consiste en ampliar el estudio ahora realizado explorandomás ampliamente las habilidades demostradas por el niño en el contexto de la escuela y enambientes más naturales, como el local de trabajo, la zona de juegos y la propia casa. Lasegunda tendrá como objetivo esclarecer los procesos mediante los cuales el niño adquiere lacomprensión del sistema numérico capacitándose para operar eficazmente en contextosnaturales.

Dentro de este contexto, el fracaso escolar aparece como un fracaso de la escuela,

fracaso este localizado: a] en la incapacidad de comprender la capacidad real del niño; b] en eldesconocimiento de los procesos naturales que llevan al niño a adquirir el conocimiento, y c] enla incapacidad de establecer un puente entre el conocimiento formal que desea trasmitir y elconocimiento práctico del cual el niño, por lo menos en part e, ya dispone.

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[1] De este libro, de editorial Paidós, damos a conocer el p rimer capítulo. El libro esfruto de un p royecto de investigación de la Universidad de Pernambuco.

* Nuestro agradecimiento a Elisabete Maranhào de Miranda y María Eneida do Rego Maciel por la ayudaimprescindible en la recolección de los datos y a Shirley Brice-Heath quien, al visitar nuestro programa,con financiamiento del CNPQ, abrió nuevas perspectivas de análisis para el estudio del fracaso escolar.Los datos analizados en este estudio forman parte del artículo de los mismos autores “ Mathematics in thestreets and in schools”, British Journal of Developmental Psychology, núm.3,1985,pp. 21-29.Estaversión fue publicada por Cuadernos de Pesquisa, núm. 42, 1982, pp. 79-86.

* Del inglés chunk , trozo. [T.]

Extraído de:

http://www.docentesdeizquierda.com.ar/enlavida-.htm

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