skaici MISTIKA MAGIJA I sv o k i e c i k a l b o sv e r t e KristinaMarcinkeviciene AthanasiausKircherso (1601-1680), pirmojomagiskkvadrattyrinetojo, atminimui [ ZANGA Slaptas mokslas, mistika ir magija. - Dvejopa skaici prigimtis.-Skaiciaiirdaiktai.-Begalinisirbaigtinis, pastovusir nepastovus. Skaiciusir laikas,daiktasir erdve.-Skaiciavimas,matavimasbeiapskaiciavimas.-Periodo kilme. Siaknyganenorimesukurtineisustingusiosskai-citeorijos,neipainiosIantazijos,betnorimeparody-timistiniussuskaiciaissusijusiusbeijuoseslypincius dalykusirpademonstruoti,kaiptaipraktiskaipritai-kyti.Todelapsidraudziamenuobetkokioklaidingo ciavartojamposaki,tokikaipslaptasmokslas", kabala",mistika"beimagija",interpretavimo. Paslaptys-tainestebuklas",-teisingaisako Goethe;taip pat ir slaptas mokslas"(kaip ir kabala") nereiskiauzsveikoprotoribesanciozinojimoapie nesuvokiamusirnepaaiskinamusdalykus,betatvirks-ciai-nurodozinojimaapietikradalykesm,kuris, savaimesuprantama,yra slaptas,todelnuominios yra ir turi likti pasleptas,kadangiminiosprigimtis yra lin-kusi[pavirsutiniskumairdelsavonepakankamoissi-mokslinimobeilozunginitieskratosisuzinoti viska irdardaugiau.AtsvarasiampoziriuiyraPlatono zodziai,kadismintiesirpazinimopradzipradzia-viskuostebetis*irniekoisankstonelaikytisavaime suprantamu,omanyti,kadtaiyratyrinejimverta paslaptis.Tie,kurieneralinkkaippapgoskartoti tai,kayraismok(kaip,deja,daro99is100ms amzinink),opatysgalvodamisiekiadvasinestobu-lybes,ispradziprivalokaiptikriMISTIKAIuz-merktiakis(kadangitokiayragraikkilmeszodzio sakniesmyo reiksme),t.y.nekreiptidemesiojpavir-sutiniskuma,[prietarus",taigijvisa,kasisanksto apgalvotairiskitpaveldeta,irkaipVotanasnakties gilumojeprieUrdosaltiniopaaukotisavoregimam pasauliuiskirtaak[,kadsielosakimisgalet giliau[si-skverbti[tikrosiosbtiespasaul[.Sioslaptozinojimo pritaikymasiryramagija,kurineraneiantgamtiniai kerai,neibeverteapgavystearakidmimas,opa-prastiemsmirtingiesiemsneprieinamasbendravimas irveikla. TaippatirSKAICIUMISTIKA IRMAGIJA yra siuopoziriuteoriskaiirpraktiskaislaptasmokslas, norsirkaipkeistaikaikamatrodyt.Regis,pasaulyje neraniekonemistiskesnio,t.y.visiemszinomo,aki-vaizdausir aiskaus,kaipskaiciusir jo vartojimobdai, skaiciavimasbeiapskaiciavimas.Skaiciai[rodo",- jau priesgerasimtametyrapasakssaunusisJohannas `HoracijausNiekuonereikiastebetis",zinoma,neranuoroda| priesingqfilosofinpazinimoteorijq,bet yraisraiskapraktinesstoikpesi-mizmofilosofijos"turintomeny neisvengiamqlikimq. Friedrichas Benzenbergas.Ir niekas,netgi pats Gnaus-sasarRiemannas,neramumspaliksglaustopaaiski-nimo,pagal kok[ desn[(tik is1arba is savs paci be-sidalijantys) pirminiai skaiciai (1, 2, 3, 5, 7, 9,11,13, 17,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71, 73, 79,83,97irt.t.)sudaroseka,irbent jauasnezinau jokiopakankamaipatenkinamopaaiskinimo,kodel kiekvienonelyginioskaiciaus(pradedant3)kvadratas yra8kartotinisplius1,ka jaukalbetiapiekitusneis-sprstusskaiciteorijosgalvoskius.Istiesskaici karalysteslepianuomsgausybpaslaptingreiski-ni,norsir kaipmes[ ja gilinames. Remiantisdvilypeskaiciprigimtimi,jie yra,vie-na vertus,ms dvasiospadarinys,oantra vertus,ne-priklausomainuotoegzistuojaisoriniamepasaulyje, t.y.turisubjektyviirobjektyviypatybi. Skaiciaiyravispirmamssubjektyvsvaizdi-niaiarsavokos,pasitelkjuosmestvarkomeirma-tuojameisorin[pasaul[,nustatydami,kiekpastebime vienodarmssuvienodintkokiosnorsrsiesvie-net,artaibtsavarankiskdydziaibe(pvz.,trys avys),artikrosarbasugalvotoskokionorsdaiktoda-lys(dvi nosiesskylutes,dvi kokios nors puseles). Tojiaplinkybe,kadmesgebameskirtingaigru-puotitopatiesdaiktosudetinesdalis(pvz.,10pirst laikomedesimcia paprast vienet arba 5poromis,ar-badviempenketukais,arbadviemdvinariaisiras-tuoniaistrinariaispirstais,beto,darpadalytais[dvi puses,tristrecdaliusirt.t.),sudaro[spd[,kadskai-ciaiyragrynaisubjektyvsvaizduotespadariniai,ku-riuosmesstengiames[sivaizduotiaplinkoje. Istikrjyraatvirksciai:zmoguspasisavinoskai-cius is isorinio pasaulio.Nuosavas knas dave bent jau tokius skaicius:1galva,liezuvis,burna irt.t.,2 kno puses,rankos,delnai, kojos, akys, ausys irt.t.,3 nare-liaidaugumojepirst,rankose(zastas,dilbis,delnas), kojose(slaunis,blauzda,peda)irt.t.,4galnes,5 pirstaiantkiekvienosrankos,isviso10,o[skaitant kojpirstus(irpirmyksciamszmonemstaippatma-tomusirpaslankius)-20,paminetina,kadeskim kalba20reiskiavisaszmogus".Kitigyviaiirgamtos objektaitaippatteikegausybskaici:kiekvienaspa-skerstasgyvulysturejo1sird[ir 2plaucius,1skrand[ ir2inkstusirt.t.,kiekvienaspaukstis - 2,kiekvienas arklys, jautis,avis,kiauleir kt.- 4,vabzdziai - 6,upi-niaiveziai-10koj;roze,naslaite,lgneirkt.-5, virzis,baltojilelijairdaugkitaugal-4taurelapius irtiekpatziedlapi.Apskritaipirmojeknygosdalyje dardaugkarttekssusidurtisunuosavais"gamtos objektskaiciais;neturetumepamirstiplaciauaptarti mineralpasaul[,kurismumsprimena,kadplatina visuometkristalizuojasi6,Iluoritas-8,granatas-12plokstum,beto,visielementai,is kurisusideda medziagos,turinetik vienjiemsbdingaskaiciaisis-reiskiama,betirvisuometpastoviaatominmas,tai-gituritvirtaskaiciisraiska. Taigi skaiciai yra paciuosedaiktuose, yra j objek-tyviosypatybes,vadinasi,slaptavisdalykesme. Isgalvotiyratik skaicipavadinimaibeisimboliai.Ar assakauvokiskaiRinf,sanskritiskaipanca,graikiskai pente,lotyniskaiquinque,angliskaifive,prancziskai cinq,rusiskaipiatf,hebrajiskaiamisah,turkiskaibes, kiniskaingu,arrasauvokiskai5,lotyniskaiVarba sanskritiskus,turkiskusbeikiniskusskaicisimbo-lius,skaiciaussavokairesmenesikeicia. Ne ka daugiau skaicius virssubjektyviu mano vaiz-duotespadariniudelto,kadasgaliu,skaiciuodamas daiktus,juos[vairiaigrupuoti.Kadtaisugebu,visuo-metpriklausonuopacidaiktesmes,kurieobjekty-viusskaicirysiusirskaiciavimogalimybturisavyje. Tainemiglotamistikablogiausia siozodzioprasme,o paprastasIakt,kuriuospatvirtinotoksnemistiskas zmogus kaip garsusis Iizikas WilhelmasOstwaldas savo NatrIilosoIijospagrinduose",konstatavimas:Nat-raliai sutvarkytos(skaici)grupes visuomet yra isimtys, kuri saltinis visuomet yra uz grupessavokos,todel ky-la is paci daikt,sudaranci ta grup"(p.87). Mesgalimeprireikus[sivaizduotidaiktusaiskiai negalvodamiapiejnusakymaskaiciais,lygiaikaip (pvz.,skaiciuodami),nekreipdamidemesio[daiktus, operuotivienskaiciaisar[sivaizduotierdvbe(tik-rovejevisuometegzistuojancio)laiko,laikabeerdves, taippatmintysepriespriesintierdvesirlaikosavokas, kas visdeltonetrukdojrysiams. 12 Paraleletarpskaiciirdaiktisvienospusesbei laikoirerdvesiskitosneraatsitiktine,odaugiauob-jektyvuspalyginimas.Daiktaiyraerdveje,skaiciaiat-siranda vispirma laiketuomet,kai mesmintyse jun-giamedydzius viena su kitu.Vienu atveju - viena salia kitosdaiktodalys,kituatveju-vienaspaskuikita skaicisekosnariai.Daiktai yra msisorini pojci objektai,oskaiciai - vidini.Pirmuosiusmesmatome (optiskai)kaip plokstumas arba(liesdami)kaip knus, t.y.dvimaciusarbatrimaciuskaiperdve,tuotarpu skaiciseka,kaipir laika,[sivaizduojame vienmat,is-sidesciusiatiese.Beto,daiktaierdvejevisuometturi ribas,taigiyrabaigtiniai,tuotarpuskaiciseka,ka-dangiasgaliupriejauesanciodydziovisadaprijungti kita,neturi rib,taigi yra begaline kaiplaikas.Daiktai yra baigtiniai kaipir patierdve,t.y.pastovsdydziai, tuotarpuskaiciai,kaipirlaikas,nepastovs;sisskir-tumasmumsrpesirtoliau. Bekitako,paralelessiekiadar toliau -dvasin[pa-saul[.Erdveirlaikas,kaipirdaiktasbeiskaicius,yra paslaptingaisusijsuteiseirpareiga.[sigytierdviniai dalykai(pvz.,zeme)ardaiktai(pvz.,kilnojamasis turtas)yrateisesobjektas;skaiciaissuskirstytaslaikas nustatotamtikrusterminus,kadbtpunktualiai atliktastamtikrasdarbasar[vykdytadarboprievole (mokykl,[staigirkt.darbovalandos),oissvaistytas laikasyrane[vykdytapareiga.Daiktas"senajavokie-ci kalba reiskiateismosusirinkimo vieta"beiteisin[ 13 dalyka",skandinavthing-teismosusirinkima", kiekvienampriklausojoteisesirjosjamyrasuteikia-mos;kiekvienospareigos vykdymasgalibtivalandi-nis",taigitam yranustatomasterminas,kurisgalib-tianksciausias,tarpinisarveliausias,taipskatinama vykdytipareigas,oreligijojepareigosyranusakytos tamtikruskaiciumi[sakym,uzkurilaikymasizmo-gus turi atsiskaityti ir 1.1. Dabar nuosiidej(paaiskinimir termin)per-eikimepriepraktiniskaiciirdaiktsantyki. Jie atsiranda priskiriant skaiciusdaiktams.Papras-ciausiastokisantykipavyzdysyraskaiciavimas,ku-ris gali(apie tai jau buvotrumpaiuzsiminta)bti labai [vairus.Tarkim,mesturimeporankasiuosdaiktus: kat,karv,lita,vista,erel[,akmen[irpeil[,kuriuos galima[vairiausiaigrupuotiskaiciuojant,priklausomai nuo to, kokias j ypatybes isskirsime. Jei nekreipiu de-mesio[jokiasypatybesirvertinujuoskaipvienodus vienetus,tuometsuskaiciuojupaprasciausiai7daik-tus.Jeitraktuoju juoskaipatsiradusiusir pagamintus, suskaiciuoju 6gamtosir1dirbtin[daikta.Jei kalbesi-meapieorganiniusirneorganiniusdaiktus,turesime 5gyvnusir2daiktus;tuos5gyvnusvelgigalima skaiciuoti[vairiaigrupuojant,kaipantai:2vyriskos lytiesir3moteriskosarba3keturkojaiir 2pauksciai, arba3naminiaigyvuliaiir2laukiniai.Priesitodar pridejsabunegyvusdaiktus(akmen[irpeil[),aisku, galeciausudarytidarirkitokigrupi:2vyriskos lytiesir5likdaiktaiarba3keturkojaiir4likdaik-tai,ir atvirksciai. Sitaipgrupuodamasas[gyju patyrimo,kadtuos7 daiktusdar galiu[sivaizduotikaip6ir1,5ir 2,3ir 4 daiktus.Popakartotiniopatikrinimoas[gyjubendros patirties,kad visuomet 3 4,5 2,6 1vienetai 7 vienetams,taipgaliausiaiismokstuskaiciavimoele-mentus.Kadangi veliausiai sestais ar septintais gyveni-mometaismesismokstameskaiciusirskaiciuotiir nuotadakiekvienadienadaugiauarmaziautuonau-dojames,skaiciaimumsatrodovisiskaipaprastiirsa-vaimesuprantami.Tuotarpu pirmyksciamzmogui j pazinimasbuvodvasioszygdarbis,odarneatrastidy-dziai,skaiciavimoirapskaiciavimobdai-tamsios paslaptys.Darirdabaryratauteli(abiponaiPiet AmerikojeirrumilaraiPiet Australijoje),kuriosskai-ciuojaiki2,kitos(vakaraustralaiirpatagonai)-iki 3,darkitos(bakairiaiisBrazilijosgilumos)-iki6ir turiskaici1,2,3ir 6savokas*. Kaiptainetobula,mumsparodoHomeras,vaiz-duodamassenaj[jrkarsinciProteja,kurissugeba suskaiciuotisavoruoniustikpopenkis(matyt,pagal vienosrankospirstus)irapsiskaiciuoja,kaiMenelajas ir trys jodraugai,susisup [ ruoni odas,[simaisotarp `Kasyradaugiaukaip6,bakairiams yrapaprasciausiaidaug".Kad taiisreikst,jiegriebiasiuzplauk,kurieirmumsreiskianesuskaiciuoja-mqvisumq. joruoni,taigipriskaiciuojadarketurisispaziros ruonius,visainepastebedamas,kadbendrasjskai-ciuspadidejoirkadnesidalija(kaippaprastai)is5be liekanos(OaisefaIV,412,433t.,436,452t.).Taip pat ir karalius Agamemnonas,pasak Homero,priesais Trojanepatikisavokariuomeneinettokiospapras-tosskaiciavimosavokoskaipdesimtkartdaugiau". Uzuotpasaks:Msyradesimtkartdaugiaunegu trojen",jispabandotaipavaizduoti:Jeimes,acha-jai,sustojpodesimt,pradetumeimti desimciai viena trojenamumspilstytivynuipriestalo,-daugelis msdesimcitadvynuneaprpintilikt!"(IliaaaII, 125tt.).Savokasimtas",atrodo,nelabaisuprantama irpaciamHomerui,nesnorshekatombe"reiskia simtojauciauka,jistaipvadina12jauciauka(Ilia-aai,115)ir81jaucioauka(OaisefaIII,59).Myrioi, reiskiantis10000,visuometHomeropoemose(net ten,kur vartojama vienaskaita:Oaisefa13,452,Ilia-aa21,310)[gyjareiksmnesuskaiciuojamas".(Kir-ciavimo skirtumai:myrioi 10000 ir myrioi nesu-skaiciuojamas",atsirandatikvelesnesegramatikose.) Panasiai,atrodo,baigiasiirsenovesromentikslus skaiciavimaspasiekus600,kadangijies[skaici(ses-centi)daznaiirmielaivartodavokaipsavokanesu-skaiciuojamas". Tikramskaiciavimuireikalingatamtikravienet aibe,kuriosnariamsyrapriskiriamatiekpatskaici isbegalinesskaicisekos.Visaikitaipneimatuojant! Siuoatvejuiskartoturimeribotaapibreztamatavimo dydzikiek[,taiginepastovdyd[,kuristuretbti priskirtassiuometudarnezinomampastoviamdy-dziui,t.y.matuojamamdaiktui. Tiklabairetaimataspasiskirstysdaiktebelieka-nos,pvz.,tamtikrasatstumomatas.Jeilikutisbus skaiciuojamasatitinkamatrupmena(msdesimtai-nejesistemojesu1/10,1/100irt.t.),taidazniausiai vellikslikutisirt.t.ikibegalybes.Taigipriepirmaj[ matavimanusakanciosveikojoskaiciausprisijungsj[ atitinkanciosdesimtosios,simtosios,tkstantosiosir t.t.dalys,visuomettokiupatbdusumazintosirbe-sitsiancios-trumpaitariant,sitaipatsirandaperio-dinis skaicius.Kadangi viskas, kas begalinis, yra visuo-metperiodiskas!Pasirinkimepaprastasiuosdalykus paaiskinant[pavyzd[,tarkim,kad[11dalipadalyta, taigi11vienetturinciajuostaturibtimatuojama (kaipveliaupaaiskes)800toki vienetturinti juosta. Matavimojuostagalibtiuzdetaantmatuojamos juostos72kartus.Taiyra792matavimovienetai. Taigiliekadar8vienetliekana,kuri,matuojant100 kartsumazintumasteliu,velatitinka 72ilgiusir8li-kut[,kuriotolesnismatavimorezultatasvisalaikayra tie patys72ir8.Desimtainiais skaiciaistai galimeuz-rasyti:800:1172,727272...arba8:11(8/11) 0,727272...Dalybayranekaskitakaipmatavimas. Skaiciperiodassudaronesibaigiant[ratasuIizi-kiniuperiodu,kuriepanasstuo,kadpastarasisyra 17 nesibaigiantisjudejimas,sukuriamasnepastovios[cent-rinesir pastoviosiscentrines jegpriesybes,omatavi-moperiodasatsirandaisnuolatinespastovausdaikto irnepastovausmatmenspriesybes. Irkaipjudejimasratuyraamzinojogyvenimo" apraiska(zr.manoknygojeAnapussielos"- Jenseits derSeele",p.97t.),taipperiodasatskleidziabegalinio gyvoskaiciausmisterija. Pirmosiosknygosskyriauspirmojedalyjepama-tysime,kareiskiaperiodiniaiskaiciaizvaigzdzipa-sauliui.Kaimenulismazdaugpo3savotariamodin-gimodienvelpasirodo,omazdaugpo7dienyra matomatik jopuse,odarpo7dienjistampaapva-lus ir ypac sviesus,dar po 7 dien vel rodotik pus sa-vodiskoirvelgipo7dienpradingsta,irtaivisalai-kaperiodiskaikartojasi,visataibtinaiturejokristi[ akispirmyksciamzmogui,daugatidziauneimesste-bejusiamgamta.Ispradzijis,aisku,nemokejoskai-ciuotidien,taciaubesisukancio,pastoviaibesikar-tojanciogr[ztamumosavokailgainiuisusiIormavojo samoneje.Kai jis,kaippriestaipaprastesniusdaiktus, ismokoskaiciuotilaikotarpius,pirmiejiperiodskai-ciai,kuriais jispirmiausiapasinaudojo,matyt,buvo3 ir 7,veliau4,kurisrodepradinesIazi"bsenosgr[-zima[pradziostaska. Zmogus,supratsskaiciperiodosavoka,pritaike ja skaiciavimamsir taipgavogyvadvasingasantyk[su [vairiomisskaicisekomisbeiskaiciaibemis,kurios 18 ilgainiuijosielaiisnepermatomoirneperprantamo chaosotaposistema.Tik su periodogimimuzmogaus smegenysepasauliszemesvaikuitaposuprantamair valdymuiprieinamavisuma-kosmosu,t.y.tvarka, pagalgraikus,taippatirDievoapraiskakaippsalme-je:Tu viskaismintingaisutvarkei". [VADAS Kokiulaipsniutuributisuvokiamasskaiciuskaip daiktprincipas?-Skaiciaussuvokimasperskaitvar-d|.-Skaiciavimasbeimatavimaserdvejeirlaike.-Galuneskaipskaicipavadinimistakos.-Skaici kompleksaiirskaicisekoskaipsaltinis.-Skaiciaus sqvokairskaitvardis.-Vienetasirskaicisekos.-Skaiciavimas ir mistika,aritmetika ir magija. Kiekvienaribotakiek[galimasuskaiciuoti,baigti-nerdvgalimaismatuoti,kiekvienaapibreztaskai-cisantyk[apskaiciuoti.Ms valia,kokiusskaiciavi-movienetusrinksimesskaiciuodamiirkokiasskaici grupesisjsudarysime,kok[mastel[naudosimeir kok[skaiciavimobdataikysime.Pavyzdziui,desimt pirstasgaliulaikytipaprastuskaiciavimovienetu arbadviemvienetaispopenkis,arbapenkiomispo-romis.Ribota atkarpa galiumatuotikilometrais,met-rais,milimetraisarmyliomis,uolektimis,coliaisir marsais,zingsniais,sprindziaisirt.t.,tamtikraplo-ta-hektarais,arais,kvadratiniaismetrais,kvadrati-niaiscentimetrais,milimetraisarmorgenais,kvadra-tinemispedomis,kvadratiniaiscoliaisir pan.,skyscio ar grdkiekius - [vairiaistriovienetais;daiktosvo-ristaippatapibreziamas,t.y.ismatuojamas,[vairiai. Darpriesseptyniasdesimtmetgerainusimanantis prekybininkasturejozinotiastuoniasdesimties[vairi valstybi,provincijirmiestmatus,svorioirpini-giniusvienetus,t.y.[sidemetiporatkstanciduo-men.Skaiciuodamas,kai,pvz.,reikiasudeti12ir 13,asgaliupirmasusumuotidesimtis(1010),po tovienetus(23)irgalgalesudetiabisumasarba is13 paimti 8 ir, pridejs prie12, gauti 20, o tada pri-skaiciuotilikusius5,arbaprie12pirma prideti10ir poto3irpan. Mastel[,svoriovienetaarskaiciavimobdagaliu pasirinktisavovalia,taciaudalykoesmenesikeicia. Visdeltojisneraneutralusobjektas,su kuriuogalima susieti[vairiusskaicius;jispatsdazniausiaiyratoki skaicirysiisraiska,ozmogus,kaipjaumineta,ir emenaudotistomismatomomisisraiskomiskaipjam suprantamaisskaiciatitikmenimis.Jievirtoatpaz[s-tamomissavokomis,kuriasbuvogalimaplaciaupa-naudoti,tiktada,kaijomsbuvopriskirtitamtikri juos zymintys zodziai,taigi pavadinimai.Tik skaiciaus pavadinimasgrieztaiapibrezepat[skaici. Manoma,kadgyvnaiirdarnekalbantysmazi vaikaitaippat[sivaizduojaskaicius.Kaikurioskales pasigenda dingusioar paimtosuniukoir joiesko,ma-zi vaikai gana aiskiai pasigesdavo vienois trij ar ketu-risavoturetdaikt.Taciausiuoatvejukalbetiua apie pasikeitus[ vaizda,oneapie gryna skaiciavima,be to,kitospanasiosbtybestuovisiskainepasizymi. Taciau,atrodo,buvotokslaikas,kaizmogustam tikraserdvesirlaikoatkarpasnusakydavobejaumi-netskaicisavok,t.y.beskaicipavadinim.To-kioskaiciavimoliekanosyrapasiekusiosmsdienas visosekalboseirtosetautose,kuriosapskritainaudo-jasimazu skaicikiekiu,todelturi verstistokiubdu. Tokiopobdziosavokos,apibdinancioserdv,yra matymonuotolis,sauksmonuotolis,akmensmetimo nuotolis(plg.Lk 22,41),onaujesniaislaikais-svio nuotolisirt.t.;laikoatkarpas -akimirksnis(t.y.lai-kotarpastarpdviejmirktelejim),sirdiesdzis, [kvepimas,maldosTevemstrukme.Liaudiesis-mintis,apibdindamaerdvesirlaikodydzius,sako, kadnuoTrijKaralidienoseinailgyngaidzio,o sviesynvyrozingsniu.PosakisPervienapypkespri-kimsima"reiskialaika,kurioreikia jaisurkyti.Daug apibreztesnineisiebeskaiciaiposakiai yramatai,atsi-radisknodali:nykscioplatumo,pirstoilgumo, delnoplatumo,kumsciodidumo,vaikogalvosdy-dzio,sprindis,peda arba batas,uolektis(nuodidziojo pirstogaliukoiki alknes),zingsnis,sieksnis(nuo vie-noistiest[salisrankdidziojopirstogaliukoiki kito),zmogausdidumo,platumoarbailgumo;kai kuriesipavadinimveliaubuvoperkeltiskaiciais isreikstiemsmatams.Lygiaitaippatyrairsuploto mataismorgenu,akru(zemesplotas,kur[zmogusga-liapdirbtinuorytoardamasdviemjauciais),otokie posakiai kaiprieskucios",alyvosdydzio",kiausinio dydzio"irkt.apibreziagananepastoviusbiridaikt saikus. Visdeltokadirkoksneapibreztasyratoksmato vienetas,j[galime[sivaizduoti.Betjeituretumej [sivaizduotidaugiau,neapsieitumebeskaicipava-dinim. Pastariesiemspavyzdziubuvozmogausknody-dziai.Tarkim,eskimaiirindenaiskaici2isreiksdavo akipora"(kiniskaidu"irausis"skamba vienodai: ri),3pirstai"(deltrijsanari),4-zverikojos" (hebrajiskai4-rebastovetiantzverikoj"),5-ranka" arba kumstis"(plg. hebr.chamisah, kuris issi-rutuliojoischamas,sugniauzti");6-9yrakitosran-kos1-4",10isreiskiaabirankos",t.y.visijpirstai. Savoka20reiskiavisaszmogus"(t.y.visijopirstai). Si20israiskavartojamadidesniskaiciapibrezimui, kaipantai100 yra penki zmones",o1000 - penkias-desimtzmoni". Lotyniskasskaitvardisaecem,graikiskasaekair sanskritoaakaturbtyrakilisbendrossakniesaak-(aek-),kurivelgipasireiskiagraikiskameaaktylosir lotyniskameaigitus.Decemirt.t.yradesimtpirst. Vokiskas:ehn(desimt)aiskiaisiejasisuZehen(pirs-tai),kuritaippat yradesimt.Gotiskastaihasusalu-tineIormataihu(iskuriokilovokiskas-:ig desimt") taippat kildintinasisaakairt.t.Graikiskosirrome-niskosdesimcigalnes,t.y.-koma(pvz.,triakonta trisdesimt"irt.t.)bei-ginta(trigimatrisdesimt" irt.t.;20:gr.eikosi|anksciaueikonsti{,lot.viginti), yra10daugiskaitinesIormosiryraatsiradusiosis sanskritiskokoma,kur[mesvelrandamecentum (simtas10x10). Daugumoskalbskaitvardzipagrindasyrade-simtaine sistema.Kitose salia jos dar randame ir senes-npenkiatain,kuriyraislikusi[vairioseAmerikos, AIrikosirSibirotautelese,nors10ir100turisavoat-skirassavokas.Labiausiaiissilavinusiais(irpazengu-siaisnetikidvidesimtainessistemos)meslaikomese-novesmeksikieciusirjskaiciavimobeiskaitvardzi darybosbdus(pazymetina,kadjie,kaipirindai, naudojonul[,kurioneturejograikaiirromenaiirku-risEuropojeatsiradotik pokryziauszygi).Jieturejo specialiusskaitvardziusskaiciamsnuo1iki5;6-9 bdavo nusakomi sudetinemis savokomis 51ir 1. 1, iki54.Potoejospecialusskaitvardis10nusakyti; pojo11ir t.t.- vel101iki104,potospecia-lus skaitvardis15, o po jo16-19 vel151ir 1. 1. ,20 isreiksti turetas vel specialus skaitvardis.20buvonau-dojamaspagrindukitiemsdidesniemsskaiciamssuda-ryti;taigi30buvonusakoma 2010,300buvo15X 20,400-20x20,8000-20X20X20.Skaicius 4397buvoisreiskiamastokiuskaitvardziu: (10 x 400) (15 x 20) ( 4 X 20) (152). Europojedvidesimtamesistemavartojokelttau-telesirbaskai,jiislikoairi,gal,kimerirbreto-nkalbose,onuotrupos-irsiandieninejeprancz kalboje,kurioje70,80,90yranusakomisoixante-aix (anksciautroisvingt-aix),quatre-vingtirquatre-vingt-aix.Senovespranczkalbaturejoiratitinka-masIormas120,140,160ir300.PastarojoIormaiki siolislikusiParyziausakljpensionopavadinime Lesquinze-vingts"(15X20300,kadangitiek zmonijamegalejotilpti). Gruzinaitaippatturidvidesimtainsistema,ta-ciauatskirusskaitvardziusskaiciamsnuo11iki19; AIrikosgilumojegyvenantibornutauteleturiatskira skaitvard[kiekvienaidesimciai. Germanaiturispecialiusskaitvardzius11ir12: einlif irzweilif,t.y.vienaslieka(liekanavirs10),du lieka(liekana virs10);lietuvi kalbojetaipskaiciuoja-maiki19:vienuolika,avylikairt.t.,plg.sukiniskais (nuo101iki109):peng2 imtas(ir)likutis 1101;2 likutis. Priepaskutiniamsdesimcisekosskaiciams(18, 19;28,29irt.t.)graikirlotynkalboserandame tokiuspasakymus,kuriereiskia:20 -1"arba1nuo 20",20-2"arba2nuo20"irt.t. Keltkalbojeskaiciams,besidalijantiemsis6ir9, nusakytiyradvejopiskaitvardziai,pvz.,18galima isreiksti:3 x 6(triouch)ir2x9(aennaw). Skaicius18galibtiisreikstasskaitvardziaistaip: 1)astuoni-desimt(indiskai, vokiskai,angliskai ir loty-niskai:octoaecim),2)desimt-astuoni(prancziskai, italiskai,vengriskai,turkiskai,kiniskai,siamietiskai); 3)desimtirastuoni(lotyniskai:aecemetoctoirsa-moaietiskai);4)astuoniirdesimt(graikiskai:octo kai aekairarmeniskai);5)dvidesimtbedviej(graikis-kai);6)dunuodvidesimt(lotyniskai:auoaeviginti), 7)penkiolikairtrys(meksikietiskai);8)triskartsesi; 9)dukartdevyni(keltiskai). DaugumaPolinezijostauteli yraislaikketvirtai-n sistema, kuri ten siejama su desimtaine ir del kurios visiskaiciai,susijsu4,turispecialiusskaitvardzius: 4-kauna,40-kanaha,400-lau,4000-mano, 40000-kini,400000-lehw(pagalproI.dr.Ru-dolIaStbe). YpacsavitiyraNaujosiosZelandijostautskait-vardziai,apibdinantys11irs[skaici,pakeltalaips-niu,btent121(l l2)ir1331(H3).Aiskinamataip, kad,suskaiciavusiki10,siamdesimtukuipazymeti padedamasspecialusakmuo,galbttamtikrosspal-vos,kuris,skaiciuojanttoliau,yrapazymimasspe-cialiuzodziu;sispaaiskinimasnerapatenkinamas,o zodzikalbinesistakosliekapaslaptis. Taippat paslaptis,kadair kaipzmogussusiprote-joskaiciuotidaiktus,kadair kaipjamapskritaiatsira-do skaiciaus savoka.Viena sios m[sles [minimo prielai-dturbtyratokia:[zangojejauesameaptarskaici irlaikopojciobendruma.Galiausiaiatrodo,kadlai-kopojtis,kur[pripazinomeesantvidiniujutimu", atsiradoperklausa.Taipbentjauturejobtisuvok-tipasikartojantyslaikotarpsniai.Pastoviailasantysir tamtikragarsasukeliantysvandenslaseliaiturejoat-kreiptizmogausdemes[,isgirdsviena,jislaukdavo, kadanulasesantras,pototreciasirt.t.Pagaliaujis suprato,kad(kaivanduolasedavoganapastoviai) tarpdviejlastelejimturilauktivienodalaikotarpa, taip[gijosupratima apie vienoduslaikotarpsnius.Ta pat[jisgalejopajustiirnaktiestylojeklausydamas savokvepavimoarbasirdiesplakimo,ypackraujo tvinksejimo,kaiprisispausdavopriekonorsausimi. Tarkim,kadsirdispodevintodziovirpteldavodvi-gubai,tuometpastabesnispotokipasikartojim sekosgreitaisuvokt,kadjivirptelidvigubaitikpo tamtikronormali sirdiesdzi skaiciaus,ir pagaliau bandyt suskaiciuotipaprastusdziusgalnetpirstais, odraugeprieitirpriekiekio,taiginekintancioskai-ciaus,savokos. Tuomet galbt jissiuos skaici suvokimuipasitar-navusiuspastoviaipasikartojancigars[spdziussu-siejosutamtikraismatomais[spdziais,pirmiausia, matyt,susavopatiespirstais,kuriejampadejoirsu-voktigarsus,opriestaigalbtsudeln,rank,ped irkitomisporomisirtik potosuvienos,paskuikitos rankospirstais,veliausuvienodosarpanasiosrsies aplinkiniopasauliodaiktais,kaipantaiavibandair pan.Darvienaszingsnisprotiniotobulejimolink buvo velesnis(kai jis jau zinojo skaiciaus savoka ir daz-naijanaudodavosi)gebejimasskaiciuojantnevicna-rsiusdaiktustaikytiaukstesniolaipsniogrupavima (pvz.,skirtingrsimedziusjungtisavokamedis") ir[sivaizduotitaikaiptamtikraaib,pagaliaudar daugiaudarskirtingesnesprigimtiesdaiktjissusiejo su savokadaiktas"irsuvoke juoskaipkiek[-Kodelzmogussumaneskirtingiemskiekiams duotiskirtingus pavadinimus, visuomet likspsicholo-ginem[sle.Katikbandeme[rodyti,kadjispasi-naudojoknodaliirkitaispavadinimais.Taciautai nepaaiskina patiesprocesoesmes.Pirmiausia,atrodo, buvorastaspasakymasaplinkojeporomisesantiems daiktams apibdinti.Tai[rododaugelyjesenoves kal-besantidviskaitosIorma.Dviskaita visdeltoreiskia porairneraskaiciausisraiska.Veliau,matyt,atsirado poreikispazenklinti2nevienarsius,atsitiktinaipasi-rinktusdaiktusirs[atsitiktin[rys[isreikstikitasavo-kaneipora.Taipatsiradopirmasistikrasskaitvardis skaiciui2nusakyti. Toksskaicisavokissirutuliojimasyralabai[do-musprotoraidosistorijospoziriu.Kadgeriautaisu-voktume,privalomeissiaiskinti,kaipatsiradosavoka vienas".Kaipmatytiiscia pateiktospagrindinikal-b lenteles,beveik visoseindoeuropieci kalbose(issi-skirianciasanskritoIormaeiracianeragalimybespa-nagrinetiplaciau)skaitvardis1sudaromassupries kur[yrabalsis(slavkalbosedarvienaardviraides). Taspatsnaptinkamassavokojein"(viduje)(germa-n:in,roman:in,en,graik:en,slav:na).Prie-linksnisin"zymijuoapibreziamasavokakaipkazko apimt[,pvz.,zinomameposakyjeInmeinesVaters HausesindvieleWohnungen"(manotevonamuose yra daug but)namas yra butus aprepianti savoka,tai-gijuosjungiantisvienetas.Indoeuropiecikalbose skaici1apibdinantisskaitvardistaippat apibdina daiktoturimustamtikrusbruozuskaipvientisavisu-ma.Unumindoeuropieciamskartuyrairmaziausias, irdidziausiasvienetas,Universum(visata),kuriajie kaiptikirsuvokekaipdidziausiavieneta.Visiskaiki-taipyrasemitkalbose!Ciaskaitvardzio1saknis yra chaa (supriesdeliaiswa-, fa-,'a,'e-),kuri yrasavok, reiskiancigalandima,smailinima,drimaar[rezima, pagrindas(plg.sakn[cha:skelti").*Chaa yralygir girdimasreztuko,brezianciokietamepavirsiuje,gar-sas.Indoeuropiecisavokossiejamos[bendra visuma, ocia grynasatskirtumas.Tendar neskaiciuojamanuo vieneto,ociajauyratokioskaiciavimoprielaidos. Tarpkitko,abiejseniausiirkultrosistorijospo-ziriusvarbiausiismintiespasauli(indoeuropieci irsemit)vienetosupratimasskiriasiikipatauks-ciausiovieneto",t.y.dievybessavokos,perteikimo. IndoeuropietiskojiDievosampratayra(pasitelksim dviprasm[zod[)panteistiska;yravienavieninteledie-vybe,kurivisakitaaprepiasavyjeirkaiptiktodelsu-gebabtigausybediev,pasauliir gyvbtybi,jos `Panasussantykisyratarpkin(vienas)irrsir(pjauti)arbaesi (durti). atspindzi.Deltotoksvienetasbejokiislygpats galiapsireikstitrejybe.SemitiskaDievosampratayra grieztaimonoteistine;jiizoliuojasavajadievybkaip vienintelnuoviskitdievsaliamans"irpir-miausianuobtybi,kuriosneraneijodalis,neijo palikuonys,neijoatkartojimas,taciauyrajosukurti, kaiplikusiejiskaiciaiyrasudarytiis1.Pastaruosius nusakantis1neratolygusdievybes1.Tikkabaloje, kuriojejaususkambairpanteistinesmintys,dievybe pasireiskiatrejybesIorma.* Indoeuropietiskojivienetosavokasuskyla[2.[ vienoduma[siliejapriesingumas,kaipyrapriesingi as"irne-as"(vidusirisore).Taiatsispindiirindo-europietiskameskaitvardyje2:saknisav (arbatv),ku-riyravisjoIormpagrindasirreiskiaisskyrima,at-skyrima,supriesinima;taippatskambantisaknissioje kalbgrupejeyranaudojamairantrojoasmens[var-dziamssudaryti:au,tuirt.t.!Norssemitpirmoir antroasmen[vardziai yra sudarytisusaknimin-irt-(ani as"ir attah|isantah{tu")panasiai kaipir indo-europieci1ir2(unus-auo,one -two),taciaupas-tarjskaitvardziaiyrakitokie.Siuoatvejujaukarta paminetasvienetas(chaa)yrakartojamas(hebr.sa-nah)taip,kadatsirandakartojimopora"(senafim, dviskaitosIorma)arbaaiskinantkitupoziriupora ` Apietaiissamiauzr.manoKabaloselementuose" naujasleidimas-Wiesbaden,1990). Skaicisekosiki10sudarymasyrazmogauspro-tozygdarbis,protolaimejimas,deltopalengvaatsi-radomastymas.Kazkasnepaneigiamaimistiskaslypi siame[vykyje,nekieknemaziauneiatskirskaitvar-dzipriskyrimeskaiciamsarpaslaptiesgaubiamoje paciskaitvardziprigimtyje.Skaicisujungimas[ tamtikragruptaigisamoningas veiksmas veda nuoskaiciavimoprieapskaiciavimo,kurissudaroprie-sybskaiciavimuikaipmagijamistikai.Apskaiciuo-jant,kaipirskaicimagijoje,panaudojamiprotesly-pintysskaiciavimoirskaicimistikosrezultatai,juos pritaikanttamtikrupoziriukonkretiemstikslams. Skaicimistikos,kaipir skaicimagijos,pagrind pa-grinduamzinaiisliekapaslaptingasisperiodiskumo desnis,deltojisgalibtiirpaskesnioaprasymoir vaizdavimopagrindpagrindas. PIRMADALIS SKAICIJ MISTIKA Iki msaien vyksta,nevaisingi gincai ael :oa:i, apibainanci skaicius. ar skaiciai yra aaikt esmes pa-grinaas(substancifa),ar pastarfsutvarkymoprinci-pas(abusieaalykai svarstomi pitagorieci),ar ka:kas, kasaaiktamsgamtosskirtaartiktaiisfsantyki paimta(abstrahuota).Svarbiausia,kaajsigilinusjsio pasaulioreiskiniesm fuosgalimanusakytiskaiciais, taigiskaiciaika:kokiu,isesmespaslaptingubauyra susietisutaisreiskiniais.Pasinauaofus:inomaiskokio norsreiskinioskaitmeniniaisapibainimaisbeinusta-tytais rysiais, galima kq nors teoriskai apskaiciuoti pries tqaalykqatranaant praktiskai,taip,pv:.,1847 metais Leverrier,vai:a:iaisakant,savoplunksnakociosmai-galiuatraaoNeptnoplanetqaar priestai,kaitai pa-aareastronomai. PIRMASSKYRIUS SKAI CI USDANGUJ E Niekurkiturtaipgerainematytiskaiciaisnusako-mobtiesirvyksmoperiodiskumo,kaipstebintj rysiusirprocesusdanguje,todelteissbuvosenoliai sakydami,kadskaiciaiyradangiskosprigimties. Saulesjudejimosukeltadienosirnaktieskaita yra siuopoziriupatspaprasciausiasperiodiskumo[sisa-moninimopagrindaszmogui.Taciauskaiciai,nusa-kantysperiodiskuma,darnebuvo,bent jautuotarpu, surasti.Pastaruosius[sisamoninti,matyt,labiausiai padejomenuliokaita.Keturipagrindiniaimenulio pavidalai(menulioIazes),t.y.priespilnis,pilnatis, delcia ir juodasmenuo"(nematomas diskas,siaislai-kaisneteisingaivadinamasjaunatim;sispavadinimas labiauatitinkavospasirodzius[menuliokrastel[pries priespilnioIaz),yratokieakivaizds,kadnegalejo btinepastebetinuoseniausi laik,ir tikraimesran-damesistebejimliudijimpaciseniausiciviliza-cijsaltiniuose.Skaiciaisneisreiskiamasauleslaida,o tiksliau,pojosatejusinaktispaskatinoskaiciuoti. Zmonesmate,kadmazdaugpo29naktpilnas menulistuojposauleslaidosvakaruosepakildavo[ dangrytuoseirlygiaitaippatpomazdaugtopaties laikomenulis(kaipjuodasmenuo")netgiedrame dangujetapdavonematomas,irpraeidavotiekpat nakttarpmenuliopriespilniobeidelciosIazipasi-kartojimo.Taigimenulispadiktavoskaici4(Iazi skaicius)beiskaici29(arba28),t.y.nakt,poku-ripasikartodavotapatimenulioIaze,skaici,taip patskaici3(nakt,kaimenulispaprastaidanguje nematomas,juodasmenuo")irpagaliauskaici7 (savaitesdienskaicius)kaipskaicinaktnuovie-nosmenulioIazesikikitos,delkobuvosuskirstytos 28naktys(atitinkamai29naktys)[ 4 X 7(atitinkamai 4 x 7 1)naktis;beto,skaici1(vienasstebimas dangausknas-Menulis)irskaici2(duvienassu kitususijdangausknai-MenulisirSaule;pastaro-jikaipnaktiespriezastis).Kitasdangausskaiciusyra 12;tiek kartpermetuspasikartojapilnimenulioIa-ziciklai(metaisudarytiisdvylikosmenuli");be to,skaicius365(Saulesmetai)kaipskaiciusdien tarpdviejpavasariolygiadieni,kurienetnepatyru-siamstebetojuikrinta[akistuo,kadtapatakimirka, kaivakaruosenusileidziasaule,rytuosepatekamenu-lis;tiek pat dien yra ir tarprudens lygiadieni;toliau suzinomasskaicius354(Menuliometai)kaiptikslus skaiciusdien,perkuriasdvylikakartpasikartoja menulioIaziciklai;irdar11kaipskirtumastarp SaulesirMenuliometdienskaiciaus,vadinamosios epagomenes,dar kitaip,dvylikanakt",kuriosseno-viskaibuvopriskaiciuojamosprienaktirpridurtos prienaktiespriespirmajadiena;taippat360kaip suapvalintasskaici354ir365vidurkis,vadinamasis metvidurkis,iratitinkamai30(360:12),mene-siovidurkis.Ciapriklausoir14(dienskaiciustarp pirmosirtreciosmenulioIazi,pvz.,priespilnioir delcios,taigi pusemenesio,arba vidurkis15),taip pat 52 kaipseptyni savaici(arba menulioIazi)skaicius 365dienSaulesmetuoseirt.t. [demesnidangausstebejimaiisankstonustateva-dinamuosius tropinius metus(t.y.laika,per kur[Sau-lenukeliaujanuovienopavasariolygiadienioikikito) beisideriskuosiusmetus(t.y.laika,per kur[Saule pa-siekiatapat[taskakaippriesmetus).Taaplinkybe, kadSaulestropiniaimetaibaigiasi20minucianks-ciau uz sideriskuosius metus(kitaip sakant,ekvinokci-jostaskaspasiekiamas20minucianksciauneiSaules buvimotame paciame taske vieta), vadinama lygiadie-niotikslumu,arbapavasariniotaskoekliptikojetiks-lumu.Jausenovesbabilonieciaibeiegiptieciaizinojo apies[tiksluma,taippatzinojo,perkiekmetsiuo bdupavasarinistaskaskertavisaekliptika,t.y.per 26000(tiksliauper25920)met!Taiyratikslieji metai,arbaPlatonometai. Pasinaudojussiaisrysiaisapskaiciuota(plg.Ana-pussielos",p.101): 1) didiejiirtikriejimetai,pagalTacita,susidedan-tysis12960paprastjmet(1/2tikslijmet); 2)babilonieciaauis2160met(1tikslij metmenuo); 41 3)tkstantmetis1000met(dvitikslijmet savaites); 4)egiptiecimazasisIeniksoperiodasis500me-t(1septynidientikslijmetsavaite); 5) inddievmetaiis360met(1penkidie-ntikslijmetsavaite); 6)kin p is72met(1tikslijmetdiena); 7)mazasisbabiloniecisaros is18met,pokuri visiSaulesirMenuliouztemimaivelpasikartojato-mis paciomis dienomis(1ketvirtadalis paros,arba 6 tikslijmetvalandos). Nuodievmetpriklauso: 8)dangausmetai4dievmetai-1440met; 9)egiptiecisossosis60met(dudievmet menesiai); 10)zmogausamziusis30met(1dievmet menuo); 11)metai-savaiteis7met(1septynidien dievmetsavaite); 12)Lustrumis5met(1penkidiendiev metsavaite); 13)olimpiada(babilonieci:limu)is4met(1 dangausmetdiena). Siuoatvejudiena yra360met(vidurkis),ojei ja laikysime365metus,taigausime14egiptiecisothis period,arbadid[j[Ieniksoperiodais1460(tiksliau 1461)met;jeis[periodavelgilaikysimedidziaisiais metais,taigausime15Saulesrat"is28paprastj met,kurivienerisudarovienaminetoperiodo savait. Isvestiniaiskaicikompleksaitaippatyra(plg. tenpat,p.103t.): 16)babiloniecinerosis600met(1sossos desimtmetis);. 17)babiloniecisarosis3600met(1diev metdesimtmetis); 18)vadinamiejipasauliometaiis36000met (dievmetsimtmetis); 19)vadinamiejididiejimetaiis360000met (1diev mettkstantmetis); 20)Berossosproteviamziusis432000met (12dievmetsimtmeci,arbapasauliomet); 21)Lyauspasaulioperiodasis1735000met (1200sothis period); 22) ind didysis amzius(Mah&yuga)is 4320000 met(12didzijmet,arbadievmettkstant-metis); 23) vadinamieji didieji Platono metai is12 000 000 met(360pasauliomet,arba dievmetsimtme-ci,t.y.vieneripasauliometmetaiyra1Platono metdiena); 24)ind kalpa,arba didzioji era is 4320000000 met(1didzijamzitkstantmetis,arba1000 Mah&yuga). VisminetskaicipagrindasbuvoSaulesjudeji-mas,odabarpereikimeprieMenulio: 25)metoniskasis,arbaMenulio,ciklasis19me-t,pokuriomenulioIazeskartojasitomispaciomis Saulesmetdienomis; 26)Kalipsesciklas is 76met be1dienos; 27)Hipokratociklasis304metbe1dienos (plg..Anapus sielos",p.102tt.) 28) Julijaus periodasis523(19X 28)met,po kuriovisosVelykdatospasikartojatapaciatvarka. Skaici1,2,3,4,7,11,12,14,15,19,28,29,30, 52,354ir360sasajassuSaulesirMenuliojudejimu palyginkskyriauspradzioje. Darderetpridurti,kad5taippatyradangiskas skaicius.KaiSauleirMenulisbuslaikomiAuksciau-siojoDievosimboliaisir pasitrauks isdar antikoje pri-pazintseptyniplaneteiles,liks5tikrosiosplane-tos(Merkurijus,Venera,Marsas,Jupiteris,Saturnas). 5yra ir epagomeni skaicius,t.y.dien,kurios papil-dosuapvalint360dienSaulesmetdienskaici iki365.5taippat yra vienasisdviejastraliniskai-ci,iskurisusidedadvylikosdalizodiakas,irkaip SeniisValensteino"sako:Dvylikazenklturizo-diakas,5ir 7;sventieji skaiciaiilsisi dvyliktuke".Taip dalijamanuoA.Jeremiaslaik(kurioknygaSenasis TestamentassenjRytsviesoje"-AltesTestament imLichtdesaltenOrients",3leid.,p.662tt.,yra pa-lygintinasuvisaisciaaprasytaisskaicirysiais)del to,kaddienosirnaktiessantykisvasarossaulegr[zos metuBabilonogeograIinejeplatumojeyra7:5.Osu anksciauminetomis5planetomis,matyt,yranuose-nlaiksusijusipenkidiensavaite(tenpat,p.62). 6yranagrinejamasvispirma kaip12puse.Taip aritmetiskaidalijasizodiakas(remiantisdienosirnak-ties vienodumu lygiadieniometu)j dvi vienodas puses po6zenklus.Keliamaisiaismetaisyra6epagomenes (366-3606,plg.su5).6pasauliokryptys,kurios minimosirkabalistineje Je:irahknygoje(plg.Kaba-loselementai",p.64ir 66, 1,5ir I,13),yra perimtos isantikos(plg. Jeremias,ten pat,p.663):pirmyn,at-gal,desinen,kairen,aukstynir zemyn. 7kaipdangiskas skaicius,be 7dienas trunkancios menulioIazes,yradarzinomaskaipseptyniantiki-niplanetskaicius. 8kaipdangiskasskaiciuspasireiskiajauelamitis-kuoseVenerosmetuoseis8menesi,turincipakai-tom32ir33dienasirviena32dienepagomeninj menes[(Jeremias,Zinynas,p.160t.).8yrasvarbus kaippasibaigusioseptynidaliciklopradziosskai-cius(Jeremias, ATAO,p.664),taip pat kaip8pasau-liokrypciskaicius(Jeremias,Zinynas,p.150). Dangiskasis9yrasideriskjmetmenesiopagal arijirbabiloniecikalendoritrecdalis(27:39; plg. Jeremias, ATAO,p.665). 10galimabtapibdintikaipapvalaus"mene-siois30dientrecdal[.Taippatjisyrasvarbusdau-giklisindiskuoseastraliniuoseperioduose(Jeremias, Zinynas,p.196t.).Visdeltodesimtainessistemosat-siradimaslabiausietinassurankpirstskaiciumi. 11 epagomeni, papildanci Menulio metus is 354 dienikiSaulesmetis365dien,jauminejome. 12zinomiausiaskaipzodiakozenklskaicius.Is 12dvivalandzisusideda24valanddiena,ovidu-tiniaimetai-is12menesipo30dien(Jeremias, Zinynas,p.150). 13 yrapanasus[8,t.y.pasibaigusiodvylikosda-liciklopradziosskaicius(Jeremias,ATAO,p.665), taippat Venerosmetis13savaici po20dien skai-cius(Jeremias, Zinynas, p.161), be to,met ketvircio savaiciskaicius. 14 yradvigubosbabiloniskjmetsavaitesdie-nskaicius,taigi1/26Saulesmetdiendalis,arba Menuliomenesiopuse. 15-ojidienayrapilnatiesdiena(Jeremias,Ziny-nas, p.152, ATAO, p.665). Apie16 kaip deives Istar skaicizr.Zinyne,p.152;skaicius17yrapasibaigu-siosesiolikosdaliperiodopradziosskaicius. Po18met pasikartoja SaulesirMenuliouztemi-mai;19zymitokiometoniskojoperiodopradzia. 20yravienosVenerosmetsavaitesdienskai-cius;apie20kaipmenulioskaicizr.Jeremias, ATAO,p.463ir p.623. 22yrapirminissenovesrytiecimenuliokaitos skaicius,kaip[rodeEduardasStuckenassavoknygoje ApiealIabetoistakas"(berdenUrsprungdesAl-phabets",Leipzig,1913).Veliaubuvopradetanau-doti24arba27-28(Jeremias,Zinynas,p.102). 23(27 - 4)yra(apskaiciuota)sideriskojomenesio dien, kada matomas menulis,skaicius:27 dienos mi-nus4juodomenulio"dienos. 24yra vienosdienosarba visoSaulesciklovalan-dskaicius;beto,vienmetindiskjpusmenesi skaicius. 25yrapusesMenuliometseptynidiensavai-ciskaicius,26- tokipatpusesSaulesmetsavaici skaicius. 27yravienosideriskojomenesiodienskaicius, 28ir29yravienosinodiskojomenesiodienskai-cius,arbatarpsnistarpdviejtokipacimenulioIa-zipasikartojimo;30 yra vidutinimetis360dien vienomenesiodienskaicius. 35yrapusesvidutiniMenuliometis360die-npenkidiensavaiciskaicius(be4epagomeni). 36 yra dangiskj dekan skaicius(zr. Jeremias,Ziny-nas,p.166). 50yravidutiniMenuliometseptynidien savaiciskaicius,52-visSaulesmetis365dien septynidiensavaiciskaicius. 54dienossudarodvigubasideriskjmetme-nes[.(DvigubimenesiaituriypacsvarbiareiksmBa-bilone.)56ir58zymidvigubomenesio,sudarytois 28ar29dien,dienskaici. 60yravidutinimetis360diendvigubome-nesiodienskaicius;kaipir61-tokipatkeliamj metis366diendvigubomenesiodienskaicius. 70penkidiensavaiciturividutiniaiMenulio metai,72-vidutiniaimetai,o73-Saulesmetai(is 365dien). Tokiuspavyzdziusgalimabttstiirtoliau;pa-minetjturetpakaktitam,kadsusidarytumevaiz-da,kaipplaciaijaunuoneatmenamlaikdangisk-jciklskaiciaibuvopripazintiirnaudojami. ANTRASSKYRIUS SKAI CI USGYVOJ OJ EGAMTOJ E Hellenbachassavolabiau padrikojeIilosoIinejenei susistemintojearitmetinejeSkaicimagijoje"(Magie der Zahlen",p.86),atsakydamas [Liharzyko(zr.lite-ratrossarasa),atvirksciai,antiIilosoIiskaiempiriska skaicigrupavima,teisingaiteigia:Mesnegalimebe skaitmenbeiperiodiskumoisreiksti laiko;taciau visa, kasgyva,vystosilaike;tokiubdu yranustatytasskai-ciausirvystymositarpusaviorysys.Skaiciusskatina [vairovchemijoje,taippatgarsoirsviesosvirpesi [vairov.Periodiskumosistemachemijojeirmuzikoje yratikrainenugincijama;sisperiodiskumassietinas su skaiciumi septyni".Be visa kita, jis dar primena, kad egzistuojair laisvesnis,ypac dvasiniame gyvenime,pe-riodiskumas,nesusijssuskaiciumiseptyni. Pirmiausiaapzvelgsimeperiodiskumagamtoje. JauLiharzykas,remdamasisdideliukiekiuvidutini knomatavimirpagaljuossudarytlenteli,paro-do,kad[vairioszmogausknodalysyraproporcingai tarpusavyjesusijusiosirjmatmendydziaiissidesto seka,panasia[aritmetinprogresija.Deja,j[apsedusi mintissiuosskaiciussusietisumagiskoseptyntainio kvadratoskaiciais(zr.antradal[,pirmaknyga,A,pir-maskyri,I3);visdeltojoduomenysistikrjtam-pateisingi,kaijietruput[pagerinamiir(14;35;42) papildomi.Taipmessusipaz[stamesukatikmus aptartudalyku Septynetas zmogaus kune. 7cm-vidutinisnaujagimiokaktos-virsugalvio aukstis, krtinkaulio ilgis, rankos nuo alknes iki plas-takosbeipedosilgis,beto,atstumastarpsmakroga-liukoirnosiespagrindo,kaipirpuseknoapimties tiesbambairklubaisbeivirsugalviu. 14( 7 X 2)cm yra, pavyzdziui, vidutinis suaugu-siozmogauskrtinkaulioilgisbeipirmykstejebend-ruomeninejesantvarkojegyvenancitautvyropenio ilgisir apimtis. 21(7X3)cmvidutiniskaiyranaujagimionu-garos ilgis, suaugusiojo raktikaulio ilgis bei delno(nuo sanarioikididziojopirstogaliuko)ilgis,taippatats-tumastarpzastogalvucibeitiesausgalvosskers-pjvio skersmuo; be to, suaugusiojo galvos apimtis per vidur[ yra 7 X 3 21cm didesne nei naujagimio. Taip patirvidausorganams,apiekuriuosdelapzvalgos glaustumonesnekame,magiskjskaici7ir3san-dauga7 x 3turididelreiksm. 28(7X4)cmyra,bekitko,irnaujagimivir-sutinesknodaliesilgis. 35( 7 X 5) cm ir 42 ( 7 X 6) cm yra vidutiniskai trumpiausiairilgiausiasuaugusijpeda. 49(7X7)cmyravidutinisnaujagimiokno ilgis. 50 (vartojamasLiharzykoterminasvietojperiod);stai kiek jostrunka: 1epocha1menuo 2epocha2menesiai 3epocha3menesiai 4epocha4menesiai 5epocha5menesiai 6epocha6menesiai 7epocha7menesiai 8epocha8menesiai 9epocha9menesiai 10 epocha10menesi 11 epocha11menesi 12 epocha12menesi 13 epocha13menesi 14 epocha14menesi 15 epocha15menesi 16 epocha16menesi 17 epocha17menesi 18epocha18menesi 19 epocha19menesi 20epocha20menesi 21epocha21menuo 22epocha22menesiai 23epocha23menesiai 24epocha24menesiai Is viso 300menesi 172 -175(7x24,5arba 7X25)cm yra vidu-tinissuaugusiosmotersbeivyroknoilgis,t.y.sep-tyniskartdaugiauuzpusvidutinionaujagimioilgio; kitaipsakant,zmogusnuogimimopaprastaitampa tik31/2(arba7: 2)kartoilgesnis. Tarpkitko,manoma,kadzmogujeesanciokrau-josvorissudaroseptintadal[visoknosvorio. Minetadviejmagiskskaici7ir3sandauga (taigi7 x 321)turididelreiksmgyvnir vaisi augimoproporcijoms. Pussavovidutiniodydziopasiekia: zmogusper21menes[, arklysper 21savait, jautisper 21X 4(84)dienas, Isenbartokriause per 21X13(273)valandas, persikas per 21X 9(189) valandas, abrikosas per 21X 6(126) valandas. Kitoks augimo periodiskumas Liharzykomanymu,yra tokiuosesantykiuose,ku-riuosas,daugiausiaremdamasisHellenbachoreorija aptarianciaistrauka,perteikiutoliau. 1. Vyroaugimasapima300Saulesmenesi,arba 25Saulesmetus,omoters-300Menuliomenesi, arba23Saulesmetus. 2.Sibendra augimotrukmeis300SaulesarMe-nuliomenesiskirstoma[24dalis,arbaepochas" Ir siuoatvejutinka taisykle,kad vyroamziusskai-ciuotinaspagalSaulesmetus(365dienos ir 360 vidu-tinimetdien),omoters-pagalMenuliometus (354dienosir350vidutinimetdien). Graikai buvonustatseptyniasamziaus grupes; j, kaipirromen(pastarieji[statymiskai[tvirtinotik6 amziausgrupes),pirmasisamziustrukoikiseptyneri met.Solonas,Aten[statymleidejas,remdamasis Filonu Aleksandrieciu,gyvenimasuskirste[10pose-ptyneriusmetustrunkancitarpsni,kuriuosapraso taip:Pirmojoseptynmeciopabaigojevietojepienini dantisdygstatikrieji,baigiantisantrajamseptynme-ciuisubrstamalytiskai,treciajame(vyrams)suzelia barzda,ketvirtasisseptynmetisyragyvenimosuzydeji-mas,penktasis-santuokosmetas,sestajamepasiekia-ma proto branda,septintasis septynmetis yra sielos tau-rinimopasitelkusismint[amzius,astuntasis-protoir ismintiesIormavimosipabaiga,devintasis-aistrsu-valdymasirkaiptopasekmeteisingumasbeisvelnu-mas,desimtajameyrageriausiamirti,nesdarilgesnio amziaus sulauks zmogus yra tik paliegs niekam nerei-kalingaskarsincius". Hipokratas,[zymiausiasAtenirapskritaianti-kosgydytojasirnaturIilosoIas,skyreseptynisamziaus tarpsnius(klaidingai,kaipbeveik visi,remdamasistik vyrais): vaikyste, paauglyste, jaunuolio amzius, pirmo-jivyryste,tikrojivyryste,aukstasisamzius",karsin-ciausamzius.Jisaprasojuos(pagalFilonoduomenis) labaipanasiaikaipSolonas;kiekvienasamziaustarps-nis apima septynerius gyvenimometus,btent vaikys-te17-ieji,paauglyste8-14-ieji,jaunuolioamzius 15-21-ieji,pirmojivyryste2228-ieji,tikrojivyryste 29- 49-ieji gyvenimo metai (trys septynmeciai!),auks-tasis"amzius5056-ieji;pasibaigus56-iesiemsme-tamsprasideda karsinciausamzius. (Platonasskiria9gyvenimopakopaspodevyne-riusmetus,peripatetikasStasejas-12pakopposep-tynerius|!|metus.TaippatirankstyvajameMidrase [Tanchuma,[vadas[Hkasinuskirsn[|zmogausgyve-nimas yra panasiaidalijamas[12daliposeptynerius metusirkiekvienajsusiejamasuatskiruzodiako zenklu.) Moterimsseptyneto viespatavimas ypac akivaizdus lytiniamegyvenime.Menesines,deljreguliarumo vokiecivisaiteisingaivadinamosRegel"arbaPe-riode",pasikartojakas28(4X7)dienas,t.y.kas menulioperioda.(GalbttaipaaiskinataIakta,kad daugelyjekalb-isskyrusgerman-zodismenuo" yramoteriskosgimines,ograzuolesyralyginamos supilnatimi,pavyzdziui,SulamitaGiesmigiesmefe (Gg6,9),KrimhildaNibelunggiesmefe,karaliene isUhlandoDainininkoprakeiksme(DesSaengers Fluch")irt.t.)Tarpkitko,menesinesdazniausiai prasideda14-aisiais( 2x7)gyvenimometaisir vidu-tiniskaitsiasiiki49-j(7X7).Beto,visigydy-tojaipasitelkia7nestumotrukmeiirgimimodatai (Skirtumasnuoanksciauminetonaujagimiok-noilgio-49-nereiksmingas,neskalbamaapievidu-tiniusdydzius.Kai kas teigia,kad vidurkis yra 47-51, darkitimano,kad48-52.) Vaisiaussvoristaippatnustatomas5kartotiniu. Penktosnestumosavaitespabaigojevaisiusyraapie 300(60X5)gram,septintojomenesiopabaigoje apie1200(240X5)gram,devintojomenesio pabaigoje apie 2000( 400 X5)gram.Desimto me-nesiopabaigojegimskdikispaprastaisverianuo 3000iki3600(600 X5iki 720X5)gram.Po gi-mimokdikissublogstaapie200(40x5)gram, taciauper7,veliausiai14,dienvelpasiekiabuvus[ svor[irtuometpaprastaikassavaitpriaugaapie200 ( 40 X5)gram. Senovesromenrasytojas Varonasisskiria5zmo-gausgyvenimopakopas:paauglys,jaunuolis,jaunas vyras,pagyvens vyras,karsincius.Keturios pirmosios trunka po15(3 x 5)met.Mozes [statymas del mo-kescisventyklairinkimotaippatisskiria5amziaus grupes:pirma -pirmosios(laisvosnuomokesci)gy-venimosavaites,antra-iki2-j;trecia-nuo2-j iki20-j;ketvirta-iki60-jpabaigos;irpagaliau penkta-nuo60met.Jeremijas(Jer6,11)skirsto panasiaikaipVaronas,tapat[(dalijima[5grupes) randameirrabinrastuose.Skirstymasdesimtmeciais populiarustaippatnuoseno. 4zmogausamziausgrupesrandamosBiblijoje (Jer51,22);sisskirstymasneapsakomaiispopuliarejo, kiekmanzinoma,poPitagoropalyginimosu4met laikais,kuris nuotada randamas [vairiuose saltiniuose. VokieciIilosoIasLotzepabandesusietisias4zmo-gausamziausgrupes(vaikyste,jaunyste,vyroamzius, karsatis)su4temperamentais(sangvinikas,melan-cholikas,cholerikas irIlegmatikas). Pats natraliausias yra skirstymas [ 3 dalis: vaikys-te,jaunyste,senatve(arbapagalAristotel[:jaunyste, gyvenimovirsne,senatve).RandamasjauBiblijoje (Ps148,12t.,5 Moz 32, 25), jis yra visur ir visada pa-stebimasdeljotobulumo.Kaikurie Iiziologai bando pagr[stitok[amziausdalijima,stengdamiesinustatyti ribastarpdarnegalincioapvaisinti,galincioapvaisin-tiir jaunebegalincioapvaisintizmogausamziaus. Darpaprastesnis,norsirnevisaitobulasyraam-ziausskirstymastik[dvipakopas:jaunysteirsenatve (Biblijoje,pvz., Jer 31,13). Siojevietojepasakojimanutraukiu.Irnorssiems manosamprotavimamspagr[stibuvoapsiribotazmo-gausamziauspavyzdziu,buvogalimasusidarytinuo-monapietai,kokiadidziulreiksmturiskaicius materialiojozmogausgyvenimonagrinejimuiirsu-skirstymui. Isgyvniraugalpasauliotaippatgalimapa-teiktidaugybskaiciperiodiskumoiraritmetini progresijpavyzdzi.Pvz.,galimanustatytigyvn vidutinesnestumotrukmesarbagyvenimotrukmes periodiskuma ir 1. 1., taip pat sudaryti periodin laiko-tarpitarpaugalisdygimo,sulapojimo,suzydejimo ir vaisisunokinimosistemairt.t.Netgikaikuriuos mineralusgalimasuklasiIikuotipagaljkristalizacijos pobd[.Kadangisiodarbosvarbiausiastikslas-su-prantamaipaaiskintipaslaptingaskaiciausperiodir sistemkrimogaliagyvojojegamtoje,ciapateikti pavyzdziaiatrodopakankamaiaisksirnaudingi. Dabarpasinersime[neorganiniopasauliosrit[irpa-nagrinesimesujuosusijusiasskaiciperiodiskumo savybes. T R E C I A SS K Y R I U S SKAI CI USNEGYVOJ OJ EGAMTOJ E Siaitemaiaptartiisdaugybestinkamsriciren-kamestikcheminielement,garsobeisviesosvirpe-siperiodiskuma. I.Chemini element periodiskumas KiekvienamchemikuiyrazinomaMendelejevo irLotharoMeyerionepriklausomaivienasnuokito 1869ir1870metaisatrastaperiodineelementsiste-ma,kuriospagerintairpapildytaIormapateikiama lentelejep.62. Elementpavadinimsantrumposlentelejereis-kia:Igrupeje:Hvandenilis,Lilitis,Nanatris, Kkalis,Cuvaris,Rbrubidis,Agsidabras, Cscezis,Auauksas.IIgrupeje:Beberilis, Mg magnis,Cakalcis,Zncinkas,Sr stroncis, Cd kadmis, Ba baris, Hg gyvsidabris, Ra radis. IIIgrupeje:Bboras,Alaliuminis,Scskandis, Ga galis, Y itris, In indis, La lantanas, Gd ga-dolinis, Lu lutecis, Tl talis.IV grupeje:C anglis, Si silicis, Ti titanas, Ge germanis, Zr cirkonis, Sn alavas, Ce ceris, Tb terbis, Pb svinas, Th toris. V grupeje:N azotas,P IosIoras, V vanadis, Asarsenas,Nbniobis,Sbstibis,Prprazeo-dimis,Dydisprozis,Tatantalas,Bibismutas. VIgrupeje:Odeguonis,Ssiera,Crchromas, Seselenas,Momolibdenas,Tetelras,Nd neodimis,Hoholmis,WvolIramas,Uuranas. VII grupeje: F Iluoras, Cl chloras, Mn manganas, Br bromas, I jodas, Sm samaris, Er erbis. Poelementpavadinimsantrumpesantysskai-ciairodoelementoatominmas.Jijokiubdunera stabili,o kinta desimtosiomis dalimis delspeliojim ir tyrimometodskirtum;delto[vairiuosechemijos vadoveliuosepateikiamiskirtingijosdydziai,kuriuos reiketlaikytiapytiksliais.Todelisj(arbajskir-tumo)sudarytperiodinisek(progresij)skaiciai tikpavirsutiniskaivertinantyra jungtini[progresijas, kuriosneratokiosvienodairyskiosirtolygiosvisose grupese. Is9grupiciapateikiamostik7,nesVIIIirIX grupesniekoisesmesnaujoneatskleisirjskaici sekosneduospenoissamiemspaaiskinimams,kuri ciairtaipnepateiksime. Jeinagrinesimevienospokitaesancielement eiluciatominimasiskirtuma(obtentskaicius nuo1-osiki8-oseilutes,taippatskirtuma-cia skliaustuose-tarp8-osir11-oseiluciskirtingose grupese),taigausimetok[ vaizda: (poHellenbachocitatos)taip:Intervalastarpmato-matspalviyralygintinas(muzikoje)suseksta.(...) Komplementinispalvintervalas-sudidziajaterci-ja,ointervalastarpvidurinesraudonosirvidurines violetines(sviesosspektro)spalvyrakvarta.Atrodo, kadirsviesai yrabdingasrysystarpspalvsuvokimo irpaprastovirpesiproporcingumo". Delskaiciaisnusakomproporcijtarpgarsoir sviesosvirpesinoreciaunurodytiF.A.Nubaumer knygelGarsasirsviesa"(TonundFarbe",Wien, 1874)arbaistrauka -deja,labainetobula -isHellen-bacho(p.32tt.),kadangismulkmenos,suprantamos tik muzikos specialistams,labaiapkrausmano veikala. Uztenkapaprasciausiosnuorodos,kadlevandosspal-vosirrudosspalvosispriesingosspektrodaliessanty-kis(2:1)yratokspatkaiptarpdviejsaliaesanci oktav;tokspat,tik atvirkscias,yralevandosirrudos spalvbangilgisantykis,kaipmatomeiszemiau esancioslenteles,kuriojesispalvvirpesiaiyrapa-teiktibilijoninemis,ojbang-milijoninemismili-metrodalimis.G4reiskia4-ojeauksciaupateiktos lentelesGstulpeliovietojeesancigarsovirpesi vert,oG5-atitinkamai5-oje. Garso virpesiaiSviesos virpesiaiBangilgiai G4:396ruda:403,620levanda:384,3 G5:792levanda:807,240ruda:768,6 K E T V I R T A SS K Y R I U S SKAI CI USZMOGAUSDVASI NI AME GYVENI ME Kaipirkniskas,taipir dvasiniszmogausgyveni-massmarkiaipriklausonuoskaiciaus7. Tiksliautaibuspaaiskintaantrosiosknygosant-rojedalyje,kalbantapieseptyntainiokvadratosvarba. Odabarpateiksimekaikuriuospastebejimusapie bendra7poveik[dvasiniamzmogausgyvenimui. Jaupriespaskutiniameskyriuje,kalbedamiapie soloniskaj[zmogausgyvenimosuskirstyma[10dali poseptynmet[,pastebejome,kadnuosestospako-pos,t.y.sulaukus35(5X7)met,skirstymopa-grindutampadvasiniogyvenimoypatumai:sestoje protas,septintojeismintis,astuntojeabiejsisavy-bisusiliejimobeitobulejimopabaiga,devintoje aistrsutramdymas.Taciautaitiknuotruposbe jokiossistemos.Istikrj7reiksmsamonesbei dvasiniamzmogausgyvenimuigalimanesunkiai atskleisti. 7-aisiaisgyvenimometais,t.y.sulaukusseseri, vaikiskasamone yratiek susiIormavusi,kadvaikasga-lipradetimokytismokykloje.Kaiptiktokioamziaus vaikaidaugelyjesalivisaiteisingaileidziami[mo-kykla(privalomasmokslas). 14-aisiais( 2 x 7 )metais(vyriskoslyties-Sau-les,omoteriskoslyties-Menuliometais)kaiku-riemsvaikamsjaupasireiskiantispubertetas,oki-tiems(ankstibrstantiems)susiIormavpagrindiniai lytiniaipozymiaidaro[takair jdvasiai.Naujianks-ciau nepatirti jausmaibna isdaliesnezaboti,oisda-liesvaldomi;pasireiskiapirmiejimeilespotyriai,ku-riegalijaunozmogaussielosgyvenimaiskeltiarba sugniuzdyti,praturtintiarbanuvestineteisingakryp-timi,sutrikdytiarbaislaisvintiirt.t. Troskimuimokytisirsavanoriskampaklusnu-muilabaikenkiamokyklinismustras,todellabai svarbu,kadkaiptiktuometubaigiasimokslaspa-grindinesemokyklose.Vyresniemsmoksleiviamsir moksleivemssiuometubnakritinisperiodas",kai pasireiskianenorasmokytis,stropumosumazejimas irt.t.;taigipersiuosdvasiospokyciusjieatsisveiki-nasuvaikyste,beto,[vairiosebaznytinesekonIir-macijosejieyralaikomijaunaisiaisbendruomenes nariais,o[pradejusiuslankytiaukstesnesmokyklas kreipiamasiJs. Sukakus21-eriemsbent jauteoriskai yra pasiekia-matokiadvasiosirsamonesbranda,kai,gavuspilna-meciostatusa,jaunajamvyruiarmoteriaileidziama tuoktisjaubetevsutikimo. 28-erivyruiyrageriausiasamziustuoktisnetik delIiziniirsocialini,betirdelsielosveiksni.Jo charakterisjaususiIormavs(aisku,yrazmoni,kurie ikigiliossenatvesliekapaikaisberniukais),todeljis jauatrodotinkamasbtivyruirtevu. Nuo35-eriiki42-ejyrapatsproduktyviausias nuovokizmoniidejirsieki[gyvendinimolaiko-tarpis;velesni pasiekimai yra kaiptik sio vaisingiausio periodovaisiai.Savaimesuprantama,dvasiskailetesni (kaipapskritaitvirtinamaTalmude[Pirk Aboth5|) ateina [ prota tik sioperiodopabaigoje.Siamesavotis-kamelenktyniirryzto"periodezmogdazniausiai iristinkalikimosmgiai,kuriepaprastaiyrasusijsu pacizmoni veikla.Taippatirdidziosiosaistros,vi-saikitokiostiprumoir poveikionei jaunysteje,daznai parodosavozalingapoveik[. Nuo42-ejiki49-eridazniausiaisusiIormuoja gyvenimoismintis.Zmoguspradedamastytiramiau neianksciau,saltakraujiskiauapskaiciuotiirapdai-riautikrinti,kadangiaistros,kuriosanksciaudaznai drumsteramyb,siuometuatsiduriaantrameplane. Moteriaitaiirkniskpokycimetas(sioperiodo galepriartejaarbaprasidedaklimaksas),taippatir laipsniskasdvasiniogyvenimokitimas,kadangivaikai jau yrasuaug;tuometudirgliomsmoterimspraside-dapavojingasamzius". Nuo49-eriiki56-erisveikiemsvyramspasi-reiskiadarvienasstiprusdvasinibeiprotinijeg antpldis,kurisneretam jautresnessielosvyruiperau-ga[meilespavasar[".Motergyvensenatampamat-roniskesne. Nuo56-eriiki63-ejzmogusgaunapenois [gytospatirties.Jispasiekiadardidesnilaimejimir joveikladaznaistebinasavotalentingumu.Taciau paprastaisiuometujauprasidedadvasinijegnuo-smukis,pirmasisdvasiniosastingioir tamtikrodvasi-niotingumopozymis.Moterisjauyrapasiekusimat-ronosamzi,taciaukasdieniamegyvenimejiislieka daugkartveiklesnenei vyras. Nuo63-ejiki70-iesvispirmapradedadideti samonesnegebejimasbeisankstinesnuomones[sigi-linti[kitpozirius,deltopasireiskiasprendimo saliskumasbeinenoras[siklausyti;dvasiojepradeda reikstisnepatiklumas,susierzinimas,oretkarciaisir sykstumas.Moterispamazu virstasenute. Vyrams,perzengusiems 70-met[,taippat praside-davisiskakarsatis,mazejaprotinesgaliosirsilpstaar uzsisklendzia"savyjedvasinesjegosbeisavybes.Vis deltodvasiskaiprisitaikiusimoterispastarasiasislaiko zymiaiilgiaunei vyras. Atidziaupatyrinejus-vispirmavidin[zmogaus vystymasi-isryskejaseptynetoreiksmezmogaussa-monesirdvasiosraidai,kuriypacpasireiskialaikotar-pikaitosmomentais. Beseptyneto[takos,darpastebimairkitskaici [taka brandesnioamziauszmoni gyvenimui,oj po-veikisyra toksstiprus,kadseptynetasbeveik praranda savogalia.Taivadinamiejiasmeniniailikimoskai-ciai,kuriesusijsukonkreciuasmeniu;dazniausiai tai3Pertamtikralaikaisryskeja,koksskaicius isminetjturididziausia[takakonkretauszmogaus sielosgyvenimuibei jodarbams(plg.supirmoskny-gosantrosdaliesmagiskukvadratu). Apietokioskaiciausnustatymometodabuskalba-maspecialiameantrosdaliesskyriuje(pirmojiknyga, Bskirsnis),oankstesniuosiuosebussusipaz[stamasu praktiniumagiskkvadratbeitrikampipritaikymu. Si metodika jokiu bdu neapsiriboja vientik laiko-tarpiskaiciavimupasitelkuskartotinius3,5,7,9 (dazniausiaisatvejais),taciautaikomairmenesiams nustatyti,issiaiskinus,kurisistiriamjskaicikaati-tinka(pvz.,7liepa),taippatirmenesiodienoms(ir zymiai dazniau)nustatyti,taigidataiapskaiciuoti. A N T R AD A L I S SKAICIUMAGIJA P I R M O J IK N Y G A MAGI SKOSSKAI CI UFI GROS MagiskosskaiciIigrosyraskaici,tamtikru bdubesiskiriancivienasnuokito,seka(aritmetine progresija,dazniausiaisukartotiniu1),kuriosnariai matematiskaivienassukitususij,pavyzdziui,tam tikrjeilucisumosyravienodos,arbadviejgreta esanciIigrosvietskaicisumosyratokiospat,ar-batamtikroseilutespriklausomainuojilgiosudaro tamtikrusperiodus(progresijas)irt.t. SvarbiausiosisvismagiskIigryrapirmiausia magiskikvadratai;priejsliejasimagiskitrikampiai, arbaskaicipiramides,kurioslabiausiaizinomosis paslaptingCasanovosuzuominapiejpanaudoji-ma,irpagaliaumagiskiapskritimai,magiskidaugia-kampiaibeimagiskikubai. SiosmagiskosIigrosyrasvarbiostodel,kad: 1)josbegalinperiodinskaicisekasuskirsto[ skaicigrupes,kuriasgalimaiskartantpopieriausis-analizuotiirsusidarytiapiejasaiskvaizda,beto, naujaijungtiskaicigrupesar jatskirusnarius; 2)tainera jokiematematiniai zaidimai,opriemo-nesutvarkytigamtosirdvasiosgyvenimo,ypaczmo-gausgyvenimo,periodiskumataip,kadbtlengviau suvoktivykstanciusprocesus; 3)tosziniostarnaujaateitiesspejimui. PirmiausiaapzvelgsimeatskirmagiskIigrkil-mbeijsandara,potojsantyk[sugamtosirdva-siosgyvenimu,ypatingainagrinesimejsantyk[su zmogaus gyvenimoeiga ir gal gale mokysimes pritai-kyti jas[vairiemsateitiesspejimams. A.MagiskIigrkilme irsandara Magiskikvaarataisunelygineir lyginesaknimi.-Magiskitrikampiui.-Magiskiapskritimai.-Magiski aaugiakampiai.-Magiskikubai. P I R MA SS K Y R I US M A G I S K IK V A D R A T A I MagiskikvadrataiyrakvadratoIormaisdestyta skaiciseka(aritmetineseka),kuriviseiluci(ver-tikali,horizontalibei[strizaini)demensumayra tapati,beto,dviejvienasprieskita(harmoningoje padetyje)esanciskaici,pvz.,kampinitospacios [strizainesskaiciardviejvienasprieskitaesanci tospaciospusesvidurioskaici,suma yra vienoda,be to,pagrindinesirsalutineslygiagrecios[strizainessu-darotopatieskartotinioaritmetinessekas.* Pagaltai,kiekskaicisudaroviena(taigiirpacia zemutin)eilut(taigipagalskaicikvadratosakn[" arbabaz"),siosIigrosyra vadinamostrinariu,ket-virtainiu,penkiatainiuirt.t.kvadratais.Begalinis, kaip ir pati skaici seka, j skaicius prasideda nuo dve-jetainiokvadrato,t.y.tokio,kuriobazesudarytais dviejskaici(isvisosusideda is4skaici),pvz., `Pastaroji ypatybe yra budinga daugumaiSchefflerio(Magiskosfi-guros"-DiemagischenFiguren",Leipzig,1882)siulomkvadrat. Siskvadratasnepasizymiauksciauisvardytomis savybemis. Kvadratsunelyginesaknimi(taigitrinari,pen-kiatainiu,septyntaini,devyntaini,vienuoliktainiir 1.1, kvadrat su 9,25, 49, 81, 121 ir 1.1, laukeliais) san-darossavybeslabiausiaiskiriasinuokvadratsulygine saknimi(taigiketvirtaini,astuntaini,desimtainiir 1.1, kvadrat su 16, 64,100 ir 1. 1, laukeliais) savybi. I.NELYGINIAIKVADRATAI 1. Trinaris kvadratas Betkuriosvertikalios,horizontaliosbei[strizaines eilutes demen suma lygi15(438951 2 7 6 4 9 2 3 5 7 8 1 6 4 5 6 258).Harmoning laukeli por sumos -10 (46289137).Kvadrato,kartuir laukeliskaicius(w29)yravirsviduriniolaukelio (V),beto,poviduriniulaukeliuyraskaicius1. Viduriniolaukelioskaicius(V)yrapuseharmoning laukeliskaicisumos(cia510:2).Harmoning laukeliskaicisumos(2HL)yravienetudidesnes neikvadratoskaicius(taigiw21);taigividurinio laukelioskaiciusyra(w21):2.Betkuriosverti-kalios,horizontaliosbei[strizaineseilutesdemensu-mayralygisakniesskaiciauskuboirsakniesskaiciaus sumospusei(3X3X33):230:215,arba ( w3 +w):2; vis laukeli suma(S)(3 X 3 X 3 X3 3X3):2(819):290:245,arba(v/ w2):2.Kairiosios[strizaines(iskairiojovirsutinio[ desin[j[apatin[,K[,cia4,5,6)kartotinisyra1;desi-niosios(D[,cia2,5,8)lygussakniesskaiciuiw. Desiniojovirsutiniokamposkaicius(DV,cia2)yra saknies skaiciaus ir1sumos puse - (3 1): 2 2, arba (w1):2.Kairiojovirsutiniokamposkaicius(KV) yraviduriniolaukelioskaiciusminusDV1V -DV 1(cia 5 2 14). Apatinio desiniojo kampo (DA)skaiciusyra desiniojo virsutiniokamposkaicius, padaugintasissakniesskaiciausDV Xw.Kairiojo apatinio(KA)kamposkaiciusgaunamaspriedvigu-bokairiojovirsutiniokamposkaiciauspridejusdviem vienetaissumazintadesiniojovirsutiniokamposkai-ci-2KVDV -2;cia2X42-28.Beto, sakniesskaicius(w)yrakairejevidurinioskaiciaus puseje(wkV).Desinejevidurinioskaiciauspuseje esantisskaiciusgaunamassakniesskaicibevieneto padauginusissakniesskaiciausirpridejus1,taigi ( w - l ) X wl ; c i a ( 3 - l ) x 3 12 x 317. Skersinilinijpradzios(P)skaiciai(cia3ir8)yra vienetudidesniuzgalinius(G)skaicius(cia2ir7). Taspatsgaliojair vertikaliomseilutems. 2.Penkiatainis kvadratas Betkurioseilutessuma yra65.Dviej harmonin-g laukeli skaici suma yra 26(pvz.: 3 23;1115; 719;917;toliau 818;1214;251;21 5;taippat242;206;422;1610). Kvadratams,pradedantpenkiatainiu,darbdinga: salutines[strizaines(pvz.,kaire7,8,9,desine 9,14,19)paprastaituritapat[kartotin[(1atitin-kamaisakniessk.)kaipirpagrindines[strizaines (K[:nuo11iki15,D[:nuo3iki 23).Reikiatik [si-demetistaika: a)jeigukairejesalutineje[strizainejeyrasaknies skaicius ar jokartotinis(pvz.,5arba10,arba 20,arba 25),taipojoeinantisskaiciusyrauzj[mazesnis sakniesskaiciumibe1(w -1),msatveju4viene-tais.Taigipo5eina1,po10eina6,po20eina16, po 25eina 21.Taigi toje kairiosios salutines [strizaines vietoje,kuriojeyrasakniesskaiciusarjokartotinis, arbatoje(tai,atrodo,paprasciaupastebima),kurioje 81 3.Septyntainis kvadratas Betkurioseilutessumayra175.Dviejharmo-ninglaukeliskaicisumayra50. kairiojisalutine[strizainekertasisudesiniaja,josseka nutrksta; b)jeigu desineje salutineje [strizaineje yra skaicius, didesnis nei w (w -1),taigi skaicius,kuris yra bent jau (w -1)w1,tuometskirtumastarpj yraw(w -1).Siuo atveju po 21( 4 x 51)eina1, o skirtumas yra20(4X5).Lygiaitaippatpo22eina2,po 23-3irt.t.Taigidesinisalutini[strizainiseka nutrksta, kai pasirodo ( w-1) w 1, o skirtumas nuo toliaueinancionariobnaw(w -1). 82 83 4.Dcvyntainis kvadratas Betkurioseilutessumayra369.Dviejharmo-ninglaukeliskaicisumayra82. 5.Vienuoliktainis kvadratas Betkurioseilutessumayra671.Dviejharmo-ninglaukeliskaicisumayra122. Mesgalimeapskaiciuotidardaugybeslaukeli skaicius. Jei panagrinesime vienuoliktainiokvadrato virsuti-n horizontalia eil is desines [ kair,taigi nuo 6 iki56, pamatysime,kadtreciojepozicijojeesantisskaicius (16)10-ciadidesnisuzpirmaj[,penktasuztrecia, taiginelyginilaukeliisdesines[kair kartotinis yra 10. Devyntainiame kvadrate sis kartotinis 8, septyn-tainiamekvadrate 6,penkiatainiame kvadrate 4, trinariamekvadrate -2,taigi visuomet vienetumazes-nis nei saknies skaicius, vadinasi, w -1.Lygiai taip pat yrairsuapatineshorizontalioslinijosnelyginibei abiejlinijlyginilaukeliskaiciais. Jeinagrinetumevertikaliasisorinesvienuoliktai-niokvadratolinijas6-66ir56-116,pamatytume, kadnelyginilaukeliis virsaus[apaciakartotinis yra 12.Devyntainiokvadratosiskartotinis10,sep-tyntainio 8,penkiatainio - 6,trinario 4,taigi vi-suomet vienetudidesnisneisakniesskaicius,vadinasi, w1.Tok[patkartotin[turiirlinij lyginilaukeli skaiciai(pvz.,vienuoliktainiamekvadratedesineje67, 79,91irt.t.,kaireje 7,19,31ir t.t.). Taipapskaiciuojamivisiabiejisorinihorizon-taliirvertikalilinijlaukeliskaiciai,opasinau-dojus[strizaini kartotiniais ir vis likusi laukeli skaiciai.Taigikiekvienaslaukelisturisavoapskai-ciuojamaskaici(demen[). Trumpaidaratkreipsimedemes[[skaici,esant[ virskairiojoapatiniokampo(vienuoliktainiamekvad-ratetai55).Jis yra atskirtasnuoskaiciaus,pokuriojis eina normalioje skaici sekoje(54),bei skaiciaus,kuris einapo jo(56),pastaruoju prasideda kairiojipagrindi-ne[strizaine.Skaicius virskairiojoapatiniokampo yra vadinamaspagrindiniunurodomuojuskaiciumi,nes nukreipia[pagrindin[strizain. Taippatdaratkreipsimedemes[[lygiaitok[pat vienisaskaici,esant[podesiniuojuvirsutiniu kampu (vienuoliktainiamekvadratetai67).Jisvisuometyra vienetudidesnisuzskaici,esant[desiniajameapati-niamekampe(cia66).Jisvadinamassalutiniunuro-domuojuskaiciumi,nespojoeinantisskaicius(cia 68)pradedasvarbiasalutin[strizain(cianuo68 iki 76). Kadsusidarytissamesnisvaizdas,darpateikiame tryliktain[irpenkioliktain[kvadratus: Betkurioseilessumayra1695.Dviejharmo-ninglaukeliskaicisumayra226. Jeigukasnoretpagalaprasytasiastrinario,pen-kiatainiobei vienuoliktainiokvadratsandarostaisyk-lessavarankiskaisudarytikvadrata,taibtlabaiim-lusir varginantisdarbas,otossandarossubtilybesvis tiek vargiaisuvokiamos. Laimei,tok[nelygin["kvadratasudarytigalima kitudaugpaprastesnibdu.Mespasinaudojametuo, kadkairiosios(einanciosiskairesvirsujedesinenze-myn)[strizainesturibtiaritmetinessekossukartoti-niu1(pvz.,1,2,3irt.t.),todelantlanguotopopie-riaus rasome skaicius nuo1[ tiek [striz linij, koks yra sakniesskaicius,taigitrinariamkvadratuitaip: Siuosekvadratuosehorizontali,vertikaliir[stri-zaini eiluci sumos yra vienodosir sudaro65,kaipir antru numeriu pazymetoskyrelionormaliamekvadra-te;I,IIirVkvadratdviejharmoninglaukeli skaicisumavisuryra26;IIIkvadratetikharmo-ningkamp,linijviduriobei[strizainividurio laukeliskaicisumosyravienodosirlygios20,ta-ciaunetokioskaiplikusi,kaipantai20ir5,23 ir22;IVkvadratenetpriesingkampsumosyra skirtingos. Norssiekvadrataikaikuriaisaspektaisir panass [tobula normalkvadrata,taciau jiemstrksta(tokio btinopraktiniamjpritaikymui)tikslesnio[strizai-niperiodiskumo.NorsIkaire[strizaine(nuo11iki 15)yraprogresijasukartotiniu1,oII-sukartoti-niu5(3,8,13,18,23);taciaudesineje[strizaineje (nuo9iki17)viskasapsiverciaaukstynkojom.Kit kvadrat[strizaineseapskritainerasutvarkytospro-gresijos. Siodevyntainioratodesiniosios[strizaines, bekaikuriislyg,sudaroaritmetinprogresijasu kartotiniu1;taciaukairiosios[strizainesyraaukstyn kojom.Taippatciayrapanaudotiskaiciainenuo1 iki81,onuo11iki99savavaliskaiismetantdesim-tukus20,30,40,50,60,70,80,90tam,kadbt gautasgerasrezultatas. Anksciauminetnormalikvadrat(nuo1iki5) ypatybemispasizymiirisdidesniskaicisudaryti kvadratai,pvz.,trinariamkvadratui(anksciau pirmas) panaudojusskaicisekanenuo1iki9,onuo10iki 18, gausime: arbapenkiatainiamkvadratui(2)vietojskaicinuo1 iki25-sekanuo26iki50: arbaseptyntainiamkvadratui(3)vietojskaicinuo iki49-sekanuo50iki98: arbadevyntainiamkvadratui(4)vietojskaicinuo iki81-sekanuo82iki162: arba vienuoliktainiamkvadratui(5)vietojskaicinuo 1iki121-sekanuo122iki242ir1.1. Pabaigojepridursime,kadirisseptyniskartus pasikartojanciskaicinuo1iki7galimasudaryti magiskakvadrata,kuriohorizontali,vertikaliir [strizainieilucisumosbuslygios28,odviejhar-moninglaukeliskaicisumabus8: Jistaippatpasizymiirkitomisanksciaumineto-misnormali kvadrat(1,2ir5)ypatybemis. DesinysisapatinisyrV sakniesskaiciumididesnis uzpastaraj[,taigiww w(cia6410) . Kairiojovirsutinioissilaukeliskaiciusyra vienetudidesnisuzdesin[j[virsutin[,taippatkaipir kairysisapatinisuzdesin[j[apatin[. Kitlaukelinagrinetimumsnerabtina,nes lyginikvadratsvarbiausiadalisyratik[strizaines. 2.Sesiatainis kvadratas 63 233 43 51 7112 72 883 0 2 41416152 319 132 022211718 2 529109261 2 3653 34231 arba 63 233 43 51 7112 72 883 0 191416152 32 4 182 02221171 3 2 529109261 2 3653 34231 100 Betkurioseilutessurriayra260.Dviejharmo-ninglaukeliskaicisumayra65.Kairiosios [strizaineskartotinis- 7,desiniosios-9. Betkurioseilutessumayra111.Dviejharmo-ninglaukeliskaicisumayra37.Kairiosios [strizaineskartotinis-5,desiniosios-7. 102 jiemsstinga[strizeiluciskaiciperiodiskumo,ois daliesirdviejharmoninglaukeliskaicisum vienodumo;lygiosyratikhorizontali,vertikalibei [strizainieiluciskaicisumos. Staivienostokiossalutinesketvirtainiokvadrato Iormospavyzdys: arbaastuntainio: Sielaukiniai"magiskikvadratai,kuriuosScheI-Ilerisypacsilosavoknygoje,nezinodamasnevienos normalauskvadratoIormos,ka jaukalbetiapiepasta-rj(pateiktpirmameskyriuje,I,1-5beiII,1-4) sudaryma,neturi jokios praktinesnaudos,tokios,apie kuriaveliausnekesimeBdalyje,norsirminesime dazniaunelyginiusneilyginius,kadangisisvarbiau-siadalis-[strizaines.Taciaupriespradedamiatidziau nagrineti siuos dalykus,dar turimeisanalizuotilikusi svarbiausimagiskIigr,pirmiausiamagisktri-kampiarbaskaicipiramidzi,sandarabeisudary-ma.Opriestaidarpanagrinekimepacimagisk kvadrattarpusaviorysius. A N T R A SS K Y R I US MAGI SKITRI KAMPI AI Magiskitrikampiai,arbaskaicipiramides,yra trikampioIormosskaicisekos(aritmetinessekos), sudarytostaip,kadtamtikrjeilucisumosbt taspatsskaicius. Yra[vairirsitrikampi,kurikitossavybes skiriasi: I.Magiskitrikampiai,kilismagiskkvadrat. II.Magiski trikampiai, kurie panasiu bdu yra su-daromiiskvadratuisdestytaritmetinisek. III.Magiski trikampiai, kurie dirbtinai yra taip su-konstruoti,kaddardaugiaueiluci(neiIirII atvejais)btlygiostaipaciaisumai. Iki siolmagiskitrikampiai,atrodo,buvo visai ne-zinomi.Magiskitrikampiaiisdaugelyje viet klaidin-gosScheIFlerioknygosapiemagiskasIigrasneranei tikriskaicitrikampiai,neipanaudojamosmagiskos Iigros.Casanovasavomemuaruose,neatskleisdamas neijosvaizdo,neisudarymo,minidaznaijonaudo-taskaicipiramid,delkurioszmonesikisiolveltui lauzogalvas.Asmanaugal[sspeti,kadtaibustoliau manoaprasytieji,manoziniomis,manoatrasti,bent Abiejstatinibeiaukstineseiluciskaicisu-mosyra34(kaipirketvirtainiokvadrato).Pirmos, antros,trecioshorizontalieiluciskaicisumosyra 8,50,62. Vislaukeliskaicisuma,kaipirketvirtainio kvadrato,yra136(4X34).Atitinkamhorizonta-lieiluciskaicisumossudaronepilnasaritmetines sekas: 43, 36(trksta 29, 22),15, 8(kartotinis 7); 35, 38 (41, 44), 47, 50 (kartotinis 3); 57, 58 (59, 60), 61, 62(kartotinis1). Taip pat ir virsnes skaici sekos(be trkstamdviej)kartotinisyra3.Apatinieiluci kairiojoirdesiniojoskaicisumos(kaipirharmo-ningketvirtainiokvadratolaukeliskaici)vienodos tik pirmuosedviejuosetrikampiuose-17. 3.Penkiatainistrikampis Isanksciauaprasytopenkiatainiokvadrato(plg. pirmasskyrius,I,2),pastaciusj[antvisketuri kamp,gaunamitokiemagiskipenkiatainiaitri-kampiai: Abiejstatinibeiaukstineseiluciskaicisumos yra65,kaipirpenkiatainiokvadrato.Vislaukeli skaicisuma yra325(5X65).Pirm horizontali eiluciskaicisumossudaro59,43,35,19;taigi pimos ir antros,kaip ir trecios bei ketvirtos,sum kar-totinisyra16,otarpantrosirtreciosyra8,t.y.puse tokartotinio.Sioskartotini ypatybeskartojasiir kit horizontali eiluci atvejais. Antr horizontali eiluci skaicisumossudaro40,60,70,90;taigikartotiniai: 20,10,20.Trecihorizontalieiluciskaicisumos sudaro146,102,80, 3*6;taigi kartotiniai: 44, 22, 44. Ketvirthorizontalieiluciskaicisumosyra77, 109,125,157;taigi kartotiniai:32,16,32. Virsnesskaicisekos(3,11,15,23)kartotiniai yra8,4,8.Apatinieilucikairiojoirdesiniojo skaici sumos (1115, 23 3, 3 23,15 11) ir cia yravienodos-26,kaipirharmoningpenkiatainio kvadratolaukeliskaici. 4.Sesiatainis trikampis Isanksciauaprasytosesiatainiokvadrato(plg. p.99),pastaciusj[antvisketurikamp,gaunami tokiemagiskisesiatainiaitrikampiai*: [vairiossumosbeikartotiniailengvaiapskaiciuo-jamiremiantisduotaispaaiskinimais.Atitinkamtri-kampihorizontalieiluciskaicisumosnesudaro seksutuopaciukartotiniu.Taipasireiskialabiau, kaisesiatainitrikampisudarymuipanaudojameant-raj[anksciaupateikta(pirmasskyrius,II,2)sesiatai-n[kvadrata.Tuomet,pavyzdziui,antrhorizontali eiluci skaici sumos sudaro(34 258524) (19211123)(13322674) (3330293518)964782145arba kartotiniai 49,35ir637x7,5x7ir9x7. Delvietosstokospateiksiutikpovienakittri-kampiIorma. II.MAGISKITRIKAMPIAI,SUDARYTI ISARITMETINI USEKUKVADRATU Sietrikampiaisudaromivietoj(kaipI)magisk kvadratpastaciuspaprastosaritmetinesprogresi-joskvadratusanttojkampo,kuriameyradidziau-siaskvadratoskaicius(trinariokvadratoatvejutai9, oketvirtainiokvadrato 16ir t.t.), virsneje visuo-metbus1,iruzbrezusbrksn[povidurine[strizaine (taip pat kaipir I,1)bei kryzmai surasius po brksniu atsidrusiusskaiciustusciuosevirsujeatsidrusiotri-kampiolaukeliuose,-taipstatiniai(pvz.,desinysis1, 2,3)ir jiems lygiagrecios eilutes visuomet sudaro arit-metinprogresija.Nuovirsaus[desineinancieilu-ciskaiciaiturikartotin[1,onuovirsaus[kairei-nancieiluciskaicikartotinisyrapagrindoskaicius; skaicius,kurisstoviapatiniamedesiniajamekampe. Siekartotiniai atitinka trinariokvadrato[strizaini(4, 5,6 ir 2,5,8)kartotinius(plg.pirmas skyrius,I,1). Istrinariokvadratotrinariametrikampyjeislieka tokspatperiodiskumas(aritmetinessekos),kurisne-turejojokiosreiksmespirmojoaprasytotipoatveju. Taciausiuoatvejustatiniiraukstinesskaicisumos neravienodos.Tikskaiciporpriedesiniojoirkai-riojoapatinikampsumos(46ir28)yravie-nodos(kaipirsioIItipotrikampyje). Taippatbussudaromiirkitisiotipomagiski trikampiai. gausimemagiskaketvirtain[trikamp[: b)kairiojostatinioskaiciaiisapacios[ virssuda-roaritmetinseka,kurioskartotinislygustrikampio sakniesskaiciui(3,4,5irt.t.);bekitako,sieilute apaciojevisuometprasidedasakniesskaiciumi,ovir-sujebaigiasikvadratoskaiciumi; c) vissitrikampilaukelisuma yra lygiatitin-kamkvadrat(trinario,ketvirtainioirt.t.)vislau-kelisumoms. Kitasypatybesaptarsimepopagrindinisitri-kampi Iorm aprasymo,taciau jaudabar galima teig-ti,kad(kaipirmagiskkvadrat)galimiirkitisi trikampivariantai,kuriemsbdingabentvienaka tikpaminetypatybi. 1.Normalus trinaris trikampis Kiekvienostatinio,aukstinesbeihorizontaliei-luciskaici sumos yra18.(369459 9 726753 1 28418.) Aritmetinekairiojostatinioskaiciseka:3,6,9;kar-totinis-3.Sakniesskaicius3kairiajameapatiniame kampe,sakniesskaiciauskvadratas( 3 x 39) virsneje.SalutinesIormos,pvz.: jaunepaaiskinamosvienosIigrospavyzdziu).Todel jasaptarsimedabar,pasitelkketvirtain[trikamp[. Desiniojostatiniovirsujematomeskaicius16ir 15.Taimumsprimenaaritmetinessekos16,15,14, 13nuotrupa,okartupakisamint[,kadmsketvir-tainistrikampissudarytas(zr.sioskyriausII,2ant skaiciaus16 stovint[ trikamp[)is stai tokioaritmetines sekoskvadrato: 16 15 14 13 vis delto yra 58, taigi 18 daugiau neitikrojistatinioskaicisuma40.Vietoje14ir13 siojevietojeatsirado7ir2,ir13povirsnejeesanciu kvadratoskaiciumi.(PanasiaibtirsukitaissioIII tipotrikampiais,jeikasnorssiemstrikampiamspries taisudaryttokiuskvadratus.)Siame,kaipirvisuose kituosetrikampiuose,pirmoshorizontalioseilutesvi-duryje yraskaicius,vienetudidesnisuzkairejestovin-t[j[(kitaiptariant,antrapagaldyd[kairiojostatinio skaici). Sioseilutessuma,pazymejuskvadratoskaici vir-snejeq,osakniesskaicikairejeapaciojew,galima isreikstitokiaIormule: horizontali eilute I 3 q 2 w SiIormuletaippatpaaiskina,kodeltoliaueinan-citrikampivirsutineseilutesskaicisumayrama-zesneneistatiniaraukstines,osisskirtumasatsiran-dapagrindoeiluteje,kuriosskaicisuma yrakaiptik tiekdidesneuznormaliaja. 3.Normalus penkiatainis trikampis Kiekvienostatinio,aukstinesbeividurinihori-zontalieiluciskaicisumayra75.Virsutinehori-zontalieilute(pagalIormul3q2w7510)lygi 65,o pagrindo eilute 751085. Pagrindoeiluteskairiajamekampeyrasaknies skaicius, o jos susikirtime su aukstine vienetu uz j[ di-desnis skaicius,tuotarpu desiniajame kampe1,kaipir visuosenelyginiuosenormaliuoseIIItipotrikampiuo-se(penkiatainiame,septyntainiameirt.t.).Desiniojo statinioaritmetinesekanuovirsnes(25,24,23)yra vienuskaiciumiilgesneneiketvirtainiotrikampio,o trkstamusskaiciusyrapakeit2,1;buvsdesinysis T R E C I A SS K Y R I U S MAGI SKIKUBAI MagiskikubaiyraIigros,sudarytosisstatmenai vienaspokitu pakist magiskkvadrat,iskurisusi-dariusiossesiosplokstumostaippat yra magiskikvad-ratai,okiekvienoskubo[strizaines(t.y.linijos,jun-gianciosdupriesinguskampus)skaicisumayralygi jokrastoeilutesskaicisumai.Taciaupacimagis-kkvadrat,sudarancikuboplokstumas,[strizaini skaici sumosvisdeltoskiriasinuobendrarba isilgi-ni[strizainiskaicisum;taigitaineratobulima-giski kvadratai,kaipaprasytieji pirmame skyriuje.Kaip pavyzd[pateiksiuketvirtain[,penkiatain[irsesiatain[ kubusirmeginsiutinkamaipaaiskintisunkiaisupran-tamasScheIIleriokonstrukcijas. 1. Magiskas ketvirtainis kubas Popirmumagiskukvadratu: kuriobetkuriosvertikaliosarhorizontalioseilutes skaicisuma-130,ovislaukeliskaicisuma-520,yra antrasmagiskaskvadratas: 48181945 21434224 25393828 36303133 sutomispaciomiseiluciirbendrajasumomis; uz jotreciasmagiskaskvadratas: 32343529 37272640 41232244 20464717 sutomispaciomiseiluciirbendrajasumomis; irpagaliauketvirtasmagiskaskvadratassutomispa-ciomissumomis: 49151452 1254559 858595 613264 [sivaizduokime,kadpirmasmagiskaskvadratas yrapriekineplokstuma,oketvirtas-galine,tuomet virsutineplokstumabussudarytaistokiskaici, kurietaippatsudaroaprasytopobdziokvadrata: 163624 48181945 32343529 4915 14 52 Lygiaitaipapatineplokstumasudarotospacios rsiestok[magiskakvadrata: 13515016 36303133 20464717 613264 Desinespusesmagiskaskvadratasyratoks: 44529 52 5724409 5328445 16331764 Kairespusesmagiskaskvadratas yra toks: 1483249 60213712 5625418 13362061 Siomsisorinemsplokstumomslygiagreciosskai-ciplokstumostaippatyramagiskikvadratai,pa-vyzdziui,povirsutinehorizontaliaplokstumaesantis skaicisluoksnisyratoks: 606757 21434224 37272640 1254559 Okitassluoksnis yra toks: 56101153 25393828 41232244 858595 Tokiospatrsiesmagiskikvadrataisusidarois vertikalividiniskaiciplokstum,esancitarpde-sinesir kairesisorinisieneli: i r 63183415 6432754 10392358 5130463 62193514 7422655 11382259 5031472 Siais atvejais taip pat bet kurios vertikalios ar hori-zontalioseilutesskaicisuma yra130,ovis laukeli skaicisuma-520. Eilutesskaicisumai,taigi130,yralygiirkiek-vienais4kubo[strizaini skaicisum: 4 4223161130 1 4322 64 130 52 26 3913130 4927 3816 130 2. Magiskas penkiatainis kubas Penki vienas pokitu esantysmagiski kvadratai yra tokie: I . 87118243056 18495581112 74801061243 1056376899 3162931245 II. 53841151647 10915417278 4066971039 9112233265 22285990116 III. 44757610713 10010173869 1326394125 57881192526 11319505182 IV. 10366798104 6192123435 11723296086 48548511117 79110115273 V. 1212336495 27588912021 83114204652 14457177108 7086102839 Kaipirketvirtainiamekube,ciataippatsusidaro isorinesirvidinesplokstumos,kurikiekvienosbet kuriosvertikaliosarhorizontalioseilutesskaicisu-ma yra315,obendrakiekvienosplokstumoslaukeli skaicisuma-1575. Kiekvienoskubo[strizainesskaicisumataippat yra315: 56 72 6354 70315 87 15 63 11139315 95 4631223V315 12192 63 34 5315 3. Magiskas sesiatainis kubas Sesivienaspokituesantysmagiskikvadrataiyra tokie: I. 1 8 63 52 1 31 843 21 3 02 0 61 9 091 9 12 5 1 9 91 9 72 22 1141 9 8 1 9 32 315162 0 02 0 4 71 8 82 82 0 72 0 912 3 621 8 32 1 442 1 1 I I . 7 21 7 61 4 83 91 4 96 7 1 6 91 5 56 46 34 41 5 6 1 6 25 91 6 51 605 64 9 6 05 01 5 91 6 65 31 6 3 1 516 54 54 61 701 7 4 3 71 4 67 01 7 71 7 94 2 K E T V I R T A SS K Y R I US MAGISKIAPSKRITIMAI Magiskiapskritimaiisdaliesyranelyginimagis-kkvadratskaici,surasytapskritimoIorma,dari-niai.Taigi ismagiskotrinario kvadrato: surasius jame esancius skaiciusratu susidarys magiskas apskritimas: turintisvisasmagiskotrinariokvadratoypatybes.Pa-nasiaigalima,pvz.,magiskapenkiatain[kvadrata: 11247203 41225816 17513219 101811422 23619215 147 paverstiapskritimu: Kaipirmagiskopenkiatainiokvadratoatveju ver-tikaliirhorizontalilinijbei[strizaini,taipcia keturiskersmenslinijskaicisumosvienodos-65. Panasiaigalimapakeistikiekvienanelygin[magiska kvadrata(kadangijieturi centra)magiskuapskritimu. Kitokiotipomagiskiapskritimaisudaromigru-puojantdvylikavienaspokitoeinanciskaiciciIer-blatoIorma.PaprasciausiaIorma yrasi: 149 P E N K T A SS K Y R I U S MAGISKIDAUGIAKAMPIAI KaippagrindinesIormosbusnagrinejamitik pen-kiakampiaiirsesiakampiai,iskuriprireikusgalima padaryti desimtkampius ir dvylikakampius ir 1. 1.M-sreikmemsuztenkapirmiaupaminetIigr. Vismagiskdaugiakampibendraypatybeyra ta,kadbetkurios jkrastinesskaicisuma yratapati irkadjsudarymuipanaudotiskaiciaisudaroseka, prasidedancia1. 1. Magiskas penkiakampis a)Paprasciausia Iorma is skaici nuo1iki10: Betkurioskrastinesskaicisuma yra14. 151 b)Magiskas penkiakampis is skaici nuo1iki 20: Betkurioskrastinesskaicisuma yra45. c)Dvigubas magiskas penkiakampis is skaici nuo 1iki 20: Betkurioskrastinesskaicisumayra49;vidinio penkiakampiolygiosnevisoskrastines,ojporos, btentvienaprieskitaesancioskrastines137ir 152 Isoriniopenkiakampiobetkurioskrastinesskai-cisumayra254,pojoeinancio-248,trecionuo krasto -122.Patiesmaziausio vidinio viena pries kita esancios krastines yra lygios(5056 5758 115 ir 59575660116).ScheIIlerio ir siuo atveju vidinispenkiakampisispagrindklaidingas. 153 911(20)ir139bei 715(22).ScheIIleris (zr.literatrossarasa)neislaikonetgi sios vidinio pen-kiakampiosimetrijos,odidesn[dvigubapenkiakamp[ is skaicinuo1iki31yrasudarsneteisingai,nes ja-me11pasikartoja du kartus,o16 visainera. d)Keturgubasmagiskaspenkiakampisisskaici nuo1iki 80: Didziausioisoriniosesiakampiobetkurioskrasti-nes ir skersmens(pvz.,7 2333374151 67arba58453837362916)skaici sumayra259.Pojoeinanciosesiakampiobetkurios krastinesirskersmensskaicisumayra185.Vidinio sesiakampiobetkurioskrastinesirskersmensskaici sumayra111.VisosIigroscentreyra37.Jeivis panaudotskaicikiek[pazymesimes,tuometma-giskosesiakampioviduryjeesantisskaiciusvisuomet bus((s -1):21,cia(73 -1):2137). c)Keturgubas magiskas sesiakampis is skaici nuo 1iki96 Kiekvienasiosesiakampiokrastineturilygin[de-menskaici;vidinismaziausiassesiakampisyrabe skaiciausviduryje.Pateiksiupaciatobuliausiatokio sesiakampioIormapagalScheIIler[(tenpat,p.87): Didziausioisoriniosesiakampiobetkurioskras-tinesirskersmensskaicisumayra388,pojoeinan-ciosesiakampiobetkurioskrastinesir skersmensskai-cisuma yra 291,otrecionuokrasto-194.Vidinio, arbabranduolio,sesiakampioskersmensskaicisuma yra (4651504749 48)lygi 97,t.y.pusei priesj[esanciosesiakampioskersmensskaicisumos (194 :2 97). 3.Kiti magiskidaugiakampiai Tiknoredamaspapildyticiapateikiukitmagis-kdaugiakampikrastini,sudarytistrijdemen, skaiciusirsumas(kaipirpaprasciausimagiskpen-kiakampiirsesiakampiIorm). a) Magiskasastuoniakampis I:10,15,2.II:2,13,12.III:12,11,4.IV:4, 17, 6. V: 6, 7,14. VI:14, 5, 8. VII: 8, 3,16. VIII:16, 1,10.Betkurioskrastinesskaicisuma -27.Centro skaicius 9. -b)Magiskasdesimtkampis I:18,13, 2.II:2, 21,10.III:10,19, 4.IV:4, 7, 12.V:12,15,6.VI:6,7,20.VII:20,5,8.VIII:8, 9,16. IX:16, 3,14. X:14,1,18.Bet kurios krastines skaicisuma -33.Centroskaicius- 1 1 . c)Magiskasdvylikakampis I:14, 23, 2. II: 2, 21,16. III:16,19, 4. IV: 4,17, 18.V:18,15,6.VI:6,25,8.VII:8,11,20.VIII: 20,9,10.IX:10,7,22.X:22,5,12.XI:12,3,24. XII:24,1,14.Betkurioskrastinesskaicisuma -39. Centroskaicius-13. d)Magiskasketuriolikakampis I: 26,17, 2. II: 2, 29,14. III:14, 27, 4. IV: 4, 25, 16.V:16,23,6.VI:6,21,18.VII:18,19,8.VIII: 8,13, 24.IX: 24,1, 20. X:20, 3, 22. XI: 22,11,12. XII:12, 5, 28. XIII: 28, 7,10. XIV:10, 9, 26. Bet ku-rioskrastinesskaicisuma - 45.Centroskaicius -15. e) Magiskassesiolikakampis I:18, 31, 2. II: 2, 29, 20. III: 20, 27, 4. IV: 4, 25, 22.V:22,23,6.VI:6,21,24.VII:24,19,8.VIII: 8,33,10.IX:10,15,26.X:26,13,12.XI:12,11, 28.XII:28,9,14.XIII:14,7,30.XIV:30,5,16. XV:16,3,32.XVI:32,1,18.Betkurioskrastines skaicisuma-51.Centroskaicius-17. I)Magiskasastuoniolikakampis I: 34, 21, 2. II: 2, 37,18. III:18, 35, 4. IV: 4, 33, 20.V:20,31,6.VI:6,29,22.VII:22,27,8.VIII: 8, 25, 24. IX: 24, 23,10. X:10,17, 30. XI: 30,1, 26. XII: 26, 3, 28. XIII: 28,15,14. XIV:14,11, 32. XV: 32,13,12.XVI:12,9,36.XVII:36,5,16.XVIII: 16,7,34.Betkurioskrastinesskaicisuma-57. Centro skaicius 19. g) Kitipavyzdziai Magiskodvidesimtdvikampioskaiciseka atrodys taip: 42,25,2;2, 45,22;22,43,4;4,41,24;24,39, 6;6,37,26;26,35,8;8,35,28;28,31,10;10,29, 30;30,27,12;12,21,36;36,1,32;32,3,34;34, 19,16;16,13, 40; 40,15,14;14,17, 38; 38,11, 20; 20,5, 44;44,7,18;18,9, 42. Magiskodvidesimtsesiakampioskaiciseka atrodystaip: 50,29,2;2,53,26;26,51, 4;4,49,28;28, 47, 6;6, 45,30;30,43,8;8,41,32;32,39,10;10,37, 34; 34, 35,12;12, 33, 36; 36, 31,14;14, 25, 42; 42, 1,38;38,3,40;40,23,18;18,17,46;46,19,16; 16, 21, 44; 44,15, 22; 22,11, 48; 48,13, 20; 20,9, 52;52,5,24;24,7,50. h)Kitokieskaicidariniai ScheIIlerispateikiakitokiasdaugiakampiIigr skaici sekas,pvz.,magisko SESIAKAMPIO:9,1,11;11,2,8;8,10,3;3,6, 12;12, 4,5;5,7,9. ASTUONIAKAMPIO:10,15,2;2,13,12;12,4, 11;11,9, 7; 7,6,14;14,5,8;8,3,16;16,1,10. DESIMTKAMPIO:14,17, 2; 2,18,13;13,1,19; 19, 4,10;10,11,12;12,15, 6;6, 7,20;20,5,8;8, 9,16;16, 3,14. KETURIOLIKAKAMPIO:2,26,17;17,1,27; 27,4,14;14,25,6;6,23,16;16,21,8;8,19,18; 18, 5, 22; 22, 3, 20; 20,13,12;12, 9, 24; 24,11,10; 10, 7,28; 28,15,2. ASTUONIOLIKAKAMPIO:2,34,21;21,1,35; 35,4,18;18,33,6;6,31,20;20,29,8;8,27,22; 22,25,10;10,23,24;24,7,26;26,3,28;28,17, 12;12,15,30;30,13,14;14,11,32;32, 9,16;16, 5,36;36,19,2. DVIDESIMTDVIKAMPIO:2,42,25;25,1,43; 43,4,22;22,41,6;6,39,24;24,37,8;8,35,26; 26, 33,10;10,31, 28; 28, 29,12;12,27, 30; 30,5, 34;34,3,32;32,21,16;16,17,36;36,19,14;14, 15,40;40,9,20;20,11,38;38,13,18;18,7,44; 44,23, 2. DVIDESIMTSESIAKAMPIO: 2,50, 29; 29,1,51; 51, 4, 26; 26, 42, 6; 6, 47, 28; 28, 45, 8; 8, 43, 30; 30, 41,10;10,39,32;32,7,12;12,33,34;34,33,14; 14, 31, 36; 36, 5, 40; 40, 3, 38; 38, 25, 18; 18, 21, 42; 42, 23,16;16,19, 46; 46,15, 20; 20,17, 44; 44,13, 24; 24,9, 48; 48,11, 22; 22, 7,52;52,27, 2. B.Magi skIi gr pri t ai kymas Magiskikvaarataikaipgyvenimotekmesprofek-cifa.-Reikalingopritaikymuigyvenimokvaaratosu-raaimas.-Kitmagiskfigrpanauaofimas. P I R MA SS K Y R I U S BI OGRAFI J OSI RMAGI SKI KVADRATAI Aritmetineseka(isgalvota aruzrasyta)yra panasus [ linija dydis.Sudeliojus jos skaicius [ magisko kvadra-tolaukelius, jiis vienmaciodarinio virsta dvimaciu,is vienpusiskoslinijos-apribotojeplokstumojeatkarpo-missuskirstytudariniu.Laikotekmetaippatyralyg vienmate linija:j[ galima taip pat [sivaizduoti kaip vie-nodlaikotarpiaritmetinseka;visdeltosiojese-kojegalimaisskirtiskirtingusperiodiskuslaikotarps-nius.Taiypacpasakytinaapielaikotekmzmogaus gyvenime,kuriometusisdesciusapibreztojemagisko kvadratoplokstumojegalimapastebetiypac[domi periodirkitokidalyk. Gyvenimometaiisdestomiatitinkamamemagis-kame kvadratetaip,kad pirma gyvenimodata [rasoma [pirmaschemoslaukel[,t.y.[laukel[pomagisko kvadratocentru,antradata -[antralaukel[irt.t.Jei kvadratolaukelineuztenkavisomsdatomssurasyti, tuometjossurasomos[papildomakvadrata,kaipnu-rodyta99irtolesniuosesiosknygospuslapiuose. Mesnorimekeli[zymizmonibiograIijdatas isdestytimagiskuosekvadratuoseirtaipparodytima-giskkvadratsvarbajomssuprasti.Issipavyzdzi skaitytojasismokssukvadratuoti"savogyvenimair galesnetik labiau [sigilinti[ jau prabegusia bt[,betir galbtissiaiskintiypacsvarbiussavoateitiesmetusar tarpsnius. 1. Napoleono I gyvenimo kvadratas Kvadratas,kuriuonaudojames,yradevyntainis kvadratas,joschemapatogumodeleidarkartapa-kartoju: 37782970216213545 63879307122631446 47739803172235515 16488408132642456 57174994173336525 26581850142743466 67275910512437535 36681960115234476 77286920611253445 NapoleonasIgime1769m.Sidata[rasoma[ 1laukel[,likusiosdatos-[atitinkamusschemoslau-kelius.NapoleonoIgyvenimokvadratastadaatro-dystaip: skaicius1804(zr.apie vienuoliktain[ kvadrata, p.83t.), kurisnurodo1805-1813perioda(pagrindine[stri-zaine),zymint[napoleoniskojoimperatoriaussosto [steigimometus. 3. Imperatorius(1805-1813).Pagrindine[strizai-neteisingaiparodosvarbiausiaNapoleonogyvenimo tarpsn[.1805karassu Austrija(gruodzio2-osiosper-galeprie Austerlico).1806Reinosajunga,Napoleono protektoratas;senosios vokieci valstybespabaiga;ka-ras su Prsija ir Rusija(pergale prie Jenos ir Auerstato, Tilzestaikossutartis,didziausiasPrsijospazemini-mas).1808-1813karassuIspanija;1809su Austrija; Vienostaikossutartis.Napoleonassavogalybes virs-neje.(Vidurinislaukelis!)1810skyrybossuZozeIina ir vedybossuMarija Liudvika.1811Romoskaraliaus gimimas.1812nepasisekszygispriesRusija,1813 msisprieLeipcigo.Salutinisnurodomasisskaicius 1814,nurodantispaskutin[perioda,yravisuotinio Pranczijosuzpuolimo,Napoleononuvertimonuo sostoFontainebleau ir joistremimo[ Elbos sala metai. 4.Zlugimas(1815-1821).Simtasdien.Vaterlo (18150618);Napoleonas-anglkarobelaisvis;is-tremimas[Sv.Elenossala,kur jis18210505mirsta (paskutinessalutines[strizainespabaiga). Pirmameschemoslaukelyjemes[rasemegimimo metus(1769),norstenturejobti[rasytipirmipasi-baigNapoleonogyvenimometai-1770.Taciauyra daugpriezascimanyti,kadNapoleonasyragims 164 t.y.laikas,kaiGoetheFrankIurteilsejosipostudij Leipcige. Virsutines isilgines eilutes viduryje yra1770, metai,kaiGoetheatvyko[Strasbra.Juoprasidedan-tis periodas(ir kairioji[strizaine)siekia1774,pirmojo Goethe'sgyvenimotarpsnio(iki25met)pabaiga.[ s[periodapatenkameilesistorijaSesenheimeryje,bu-vimas Wetzlare(1772),Goetze(1773),potoJauno-jo Verteriokancios",Klavigas irStela"(1774).Poto trijose[strizainesenurodomasantrasdidelisGoethe's gyvenimoirkrybosperiodas(17751794)arbajo ankstyvasisVeimarolaikotarpis.Pirmojisudetinesio periodo[strizaine yra nutrkusi(1775-1776ir1777). PaskutiniejipaminetimetaiissiskiriaisVeimarolai-kotarpiotuo,kadpatenka[apatinsvarbiausiaeilut; taismetaisGoethesukreZiemoskelion[Harca". Antrasissudetinisperiodasaprepia1778-1784 metus,Veimarodvarozlugimolaika.Nurodomasis skaicius1785(virskairiojoapatiniokampo)skelbia naujogyvenimolaikotarpiopradzia,t.y.treciasu-detin[periodanuo1786iki1794,telpant[[kair pagrindin[strizain.TuometGoethesukregenia-liausiussavokrinius:Kelione[Italija"irIIigenija Taurideje"(1786),Egmontas"(1787),Romeniskos elegijos"(1788),TorkvatasTasas"(1789),Augal metamorIoze"(1790),Optika"(1791).1794metai (desinysisapatiniskampas!)yrasvarbsdelpazinties suSchilleriu,jbendravimasturejodideles[takos Goethe'stolesneikrybai. Salutinisnurodomasisskaicius1795(podesi-niuojuvirsutiniukampu)skelbianaujogyvenimoir kryboslaikotarpiopradzia:1796-1810Goethe's brandaus vyroamzius,suskirstytasj3sudetiniuspe-riodus:1796-1802,1803-1805(nutrauktas)ir1806-1810.SiuogyvenimolaikotarpiusukuriamiVilhel-moMeisteriomokymosiirklajonimetai"(1796), HermanasirDoroteja"(1797),vykstapiesimopa-mokos,apsiveda suChristiane Vulpius(1806).Pasta-rosiosgimimometdata(1765)yratojepaciojever-tikaliojeeilutejevirsvestuvidatos,ojosmirtiesdata (1816) dviem laukeliais zemiau nei1806. Nuo1811met(virsutinioviduriniolaukelio 1770desineje)prasidedaGoethe' ssenatve.Taisme-taisparasomaPoezijairteisybe".Nuo1770[kair yra1819,metai,[simintinituo,kadisejoVa