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Esame di Campi Elettromagnetici Prof. D’Amico – 24 giugno 2013

ESERCIZIO 1

Data la linea a striscia la cui sezione traversa è mostrata in figura, calcolare, trascurando gli effetti di bordo:

a) l’impedenza caratteristica ZC; b) le potenze per unità di lunghezza (W/m) dissipate nei conduttori (σc=1.5·107 S/m) e nel

dielettrico (σd=2·10-4 S/m) per un’onda con V+=15 V e f=3 GHz.

Soluzione

a) La capacità complessiva vale C=88.56 pF/m; essendo L=L0=3.141 10-7 H/m si ottiene per l'impedenza il valore ZC = 59.6 Ω.

b) m/8.22 Ω==w

RR S e S/m104

4

1008.7102 4

0

114−

−−

⋅=⋅⋅⋅=⋅=εε

σ CG da cui si ottiene

0235.0=Cα Np/m e 0119.0=Dα Np/m. La potenza che viaggia lungo la linea è

89.12

||)( ==

+

CZ

VzP W. Notando che )2)(()2()0( 2 ααα −=−= − zPeP

dL

dP L si ottiene

)045.00888.0()0238.0047.0(89.1 +−=+−=dL

dPW/m

w

h εr w= 20 mm h= 5 mm εr=4

ε0

ESERCIZIO 2

Data la guida rettangolare di figura, operante nel modo TE10 e chiusa in z=0 su un carico noto, calcolare: a) il valore minimo del modulo del campo elettrico |Ey| al centro della guida, lungo la guida stessa; b) la minima distanza l (cm) dal carico a cui si trova; c) nello stesso punto, il valore del modulo del campo magnetico trasverso |Hx| Soluzione

a) Il campo minimo vale chiaramente |)|1(|||| min Γ−= +EE dove || +E =3807 V (si ricava dalla

potenza in transito) e quindi 1903|| min =E V; b) Essendo il coefficiente di riflessione nella sezione del carico reale positivo, il minimo del

campo E si trova a distanza l=λg/4 da esso, ossia λ=0.017 m; c) Nel punto dove il campo elettrico E è minimo, il campo magnetico trasverso Hx è massimo ed

il suo modulo vale |)|1(||

|)|1(||||10

max Γ+=Γ+=+

+

TE

EHH

η

b

y

x

z

a

0

Pinc

a = 6 cm b = 2 cm f = 5 GHz Pinc = 10 W

ΓL =+0.5

ESERCIZIO 3 I due dipoli collocati in A(0,0) e B(0,80) trasmettono, la spira piccola collocata in C (80,0) riceve. Sapendo che i dipoli sono lunghi λ/10, che la corrente IA=1 A e che la frequenza di lavoro è 500 MHz, si chiede di determinare quanto deve valere IB (in modulo e fase) affinché la tensione totale ai capi della spira collocata in C sia nulla (si considerino i soli campi di radiazione).

Soluzione

Affinché la tensione totale ai capi della spira sia nulla, il campo magnetico totale perpendicolare alla spira (diretto quindi come uz) deve essere nullo. I campi magnetici di radiazione dei due dipoli nel punto C sono già paralleli e diretti come -uz; imponendo che siano uguali ed opposti, e tenendo conto della differenza di percorso (ai fini dell'ampiezza e della fase) e dell'angolo θ (per la sola funzione di direttività), si ottiene IB. Si noti che annullare il campo magnetico totale è ben diverso dall'annullare il campo elettrico totale (cosa peraltro impossibile, dal momento che i due campi elettrici non sono paralleli).

A

B

C

x

y

θ

ESERCIZIO 4

Si desidera adattare un carico di impedenza ZL=10-j40 Ω ad una linea di impedenza ZC=50 Ω mediante una rete a stub parallelo in corto circuito. Sapendo che la potenza disponibile del generatore (di impedenza interna ZG=50 Ω) è Pd=10 W:

a) si calcolino la posizione (ds) e la lunghezza (ls) dello stub; b) si calcoli la tensione in modulo nella sezione AA e nella sezione BB; c) si tracci l’andamento della tensione lungo lo stub.

Soluzione

a) ds = 0.056 λ, ls = 0.06 λ (ovviamente esiste un'altra soluzione, ugualmente accettabile); b) tutta la potenza disponibile viene assorbita dal carico; VBB=31. 6 V; VAA=58.2 V;

A

A B

B

Z

ds

l

ZC ZC

c

Esame di Campi Elettromagnetici Prof. D’Amico – 30 luglio 2013

ESERCIZIO 1

Si desidera adattare un carico di impedenza ZL=50+j40 Ω ad una linea di impedenza ZC=75 Ω mediante un trasformatore λ/4 (di impedenza ZX) con neutralizzatore (di impedenza ZC). Sapendo che la frequenza di lavoro è 1 GHz e che la potenza disponibile del generatore (di impedenza interna ZG=75 Ω) è Pd=1 W:

a) determinare l e ZX; b) calcolare il modulo della corrente entrante nel carico; c) tracciare l’andamento del modulo della tensione lungo il trasformatore λ/4 (tratto CC-BB).

Traccia di soluzione

a) l=4.35 cm (0.145 λ) e Ω=⋅= 10975159XZ . b) Essendo PL=Pd=1 W, risulta |IL|= 0.2 A c) |VCC|=12.3 V, |VBB|=17.8 V, tra le due sezioni la tensione cresce monotonicamente.

A

A B

B

ZL

l

ZC

c

C

C

ZX

c

ESERCIZIO 2

Sul multistrato dielettrico di figura incide normalmente un'onda TEM alla frequenza di 3 GHz. Sapendo che εr1=1, εr2=3, εr3=4, εr4=1, l2=1.44 cm, l3=2.5 cm e che la densità di potenza incidente SINC=1 W/m2, calcolare

a) la densità di potenza SR riflessa nel mezzo 1 (vuoto) e quella trasmessa nel mezzo 4 (ST ); b) il modulo del campo elettrico all'interfaccia BB.


a) Alla frequenza di 3 GHz risulta λ2=5.77 cm e λ3=5 cm; lo spessore normalizzato dei due tratti dielettrici sarà quindi l2/λ2=1/4 e l3/λ3=1/2. Le impedenze intrinseche dei due mezzi valgono η2=217.7 Ω e η3=188.5 Ω. Utilizzando il modello a linee di trasmissione, le impedenze d'onda viste alle varie interfacce varranno ηCC=377 Ω, ηBB= 377 Ω e ηAA=(217)2/377= 125 Ω. Essendo |ΓAA|=0.5 risulta SR= 0.25 W/m2 e ST=0.75 W/m2.

b) Essendo

ℜ=BB

BBT

ES

η1

2

|| 2

risulta |EBB| = 23.8 V/m

εr4

SINC

εr3 εr2 εr1 εr4

l2 l3

A

A

B

B

C

C

ESERCIZIO 3 Sul dipolo hertziano di figura, di lunghezza l=30 cm, incide un'onda polarizzata circolarmente a frequenza 100 MHz, provienente dalla direzione indicata dalla freccia e che trasporta una densità di potenza Sinc= 1 W/m2. Sapendo che le espansioni capacitive del dipolo hanno area A=0.15 m2, calcolare:

a) il modulo della tensione a vuoto |V0| ai morsetti del dipolo; b) il modulo della corrente |ICC| quando i morsetti sono chiusi in corto circuito.


a) Il dipolo ricevente è sensibile solo alla componente di campo elettrico ad esso parallela (polarizzazione lineare). Poiché l'onda incidente è polarizzata circolarmente, la densità di potenza associata alla polarizzazione lineare sarà SL= 0.5 W/m2, cui corrisponde |EL|=19.4 V/m. Il modulo della tensione indotta a vuoto sarà quindi |V0|=5.82 V.

b) Per il dipolo RR = 7.9 Ω e C=4.42 pF, da cui risulta Z = RR+ jX = RR + 1/(jωC) = (7.9-j360) Ω. La corrente di corto circuito sarà quindi |ICC|=16.2 mA.

SINC

A

l

ESERCIZIO 4

La linea di trasmissione in figura è costituita da un conduttore sottile di raggio r = 0.1 mm, posto tra due piani di massa che formano un angolo θ=45o. Sapendo che h=5 mm:

a) costruire il sistema di cariche immagine;

b) calcolare l'impedenza caratteristica Zc della linea di trasmissione.


a) Il sistema di cariche immagine è dato da 7 cariche di segno alternato disposte simmetricamente su una circonferenza centrata nell'origine e passante per la carica filiforme (con passo angolare di 45o):

b) Assumendo nullo il potenziale nell'origine degli assi cartesiani, la capacità si valuta a partire

dal potenziale nel punto dove è collocato il conduttore.

h

h

θ

-

+ h

θ

-

+

+

-

+

-

Esame di Campi Elettromagnetici Prof. D’Amico – 24 settembre 2013


ESERCIZIO 1

Un carico di impedenza ZL=20+j20 Ω è connesso, tramite una linea in aria di impedenza ZC=75 Ω, attenuazione specifica α=45 dB/100m e lunghezza L=5 m, ad un generatore di impedenza interna ZG=50 Ω e Pd=5 W. Sapendo che la frequenza di lavoro è 400 MHz, si calcoli:

a) la potenza reale fornita dal generatore; b) la potenza reale assorbita dal carico.

Soluzione

Tenendo conto dell'attenuazione della linea, ZBB=(132+j51) Ω; di qui |Γ|=0.51 e la potenza reale fornita dal generatore è 3.7 W. La potenza reale che raggiunge il carico va calcolata tenendo conto che le "discontinuità" sono due (sia nella sezione AA che BB); vanno calcolate quindi esplicitamente le onde progressiva e regressiva che viaggiano lungo la linea di trasmissione.

A

A B

B

ZL

L

ZG

ZC, α

ESERCIZIO 2

Sul multistrato dielettrico di figura incide normalmente un'onda TEM alla frequenza di 5 GHz. Sapendo che εr1=1 ed εr3=3, calcolare:

a) il valore della costante dielettrica εr2 e lo spessore l2 affinché tutta la densità di potenza incidente in AA venga trasmessa nel mezzo 3;

b) il modulo del campo elettrico all'interfaccia BB sapendo che SINC= 1 W/m2; c) la densità di potenza riflessa (nel mezzo 1) se la frequenza di lavoro viene incrementata a

6 GHz (restando immutati tutti gli altri parametri).

Soluzione

a) il setto adattante è un trasformatore λ/4; a conti fatti risulta εr2=1.73 e l2=11.4 mm. b) |EBB|= 20.83 V/m. c) Il problema si risolve notando che l2/λ=0.3 a 6 GHz e utilizzando la carta di Smith per

valutare ηAA.

εr3 εr2 εr1

SINC

l2

A

A

B

B

ESERCIZIO 3

I due dipoli hertziani riceventi A e B di figura, lunghi 3 cm, sono connessi elettricamente in serie. Un'onda TEM piana alla frequenza f=1 GHz incide provenendo dalla direzione θ=30o; il campo elettrico giace sul piano del foglio ed il suo modulo vale |EINC|= 1 V/m. Determinare:

a) la minima distanza D per la quale la potenza disponibile (ai morsetti della serie) è nulla; b) la potenza disponibile alla frequenza f=1.3 GHz (restando immutati tutti gli altri parametri).

Soluzione

a) La proiezione della distanza tra i due dipoli lungo la direzione di provenienza dell'onda deve

essere λ/2; ossia D·cos(30o)=λ/2; si trova quindi D=0.173 m. b) Quando cambia la frequenza i due contributi di tensione non saranno più in perfetta

controfase. Tenendo conto che la connessione è in serie, la tensione sarà la somma (in modulo e fase) delle tensioni indotte e la resistenza di radiazione la somma delle resistenze.

x

D

A B

Einc

θ

ESERCIZIO 4

Una spira metallica quadrata di lato a=25 cm, disposta parallelamente al piano xy, è immersa in un campo magnetico H diretto come l'asse z (vedi figura). Il modulo del campo magnetico segue nel tempo l'andamento indicato nel grafico. Si determini l'andamento della forza elettromotrice indotta (FEM), in funzione del tempo (per t ≥ 0) e se ne tracci il grafico.

Soluzione

Essendo la FEM legata alla derivata temporale del campo magnetico H, essa risulta nulla per t ≤ 1 ns e per t ≥ 4 ns. Per 1 < t < 4 ns la derivata di H è costante e vale dH/dt=2/3 A m-1ns-1, ed è quindi costante anche il valore della FEM (per semplicità si ignorano i punti in cui la derivata non è continua). Il valore del modulo si determina calcolando la circuitazione di E lungo il quadrato, ossia molto

semplicemente dt

dHaFEM 2

0|| µ= .

(attenzione alle unità di misura della derivata)

x

t (ns)

z

a

H

1 A/m

3 A/m

|H|

1 4

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