IM 2

50 M

ECÂ

NIC

A D

OS

FLU

IDO

SFE

M/D

E U

NIC

AM

P P

rof.

Eugê

nio

Escoamento Na Camada Limite, Re

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AM

P P

rof.

Eugê

nio

Comprimento de Desenvolvimento Hidrodinâmico

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AM

P P

rof.

Eugê

nio

• O escoamento tem V~0 no tanque e é acelerado para a entrada do canal; a pressão na entrada é menor que a pressão no tanque.

• Camada Limite muito pequena na entrada, Bernoulli:

20 e

1P P V2

Entrada

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Eugê

nio

Reg

ião

de D

esen

volv

imen

to

• O escoamento próximo da parede é retardado (efeito da viscosidade);

• O núcleo irrotacional do escoamento acelera (continuidade)

• O escoamento ocorre devido a diferença de pressão;• A media que as C.L. crescem o núcleo acelera mais e

a pressão cai mais...

2

ee 2

dUu u uu v U xx y dx y

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Região Desenvolvido

• As duas C.L. se encontram, • O perfil de velocidades cessa de variar na direção

axial (não há termos inerciais);• A queda de pressão é linear

2

21 dP u

dx y

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Comprimento de Desenvolvimento

• Primeiro modelo (1891) Bousinesq. Grande revisão: Schmid, F.W. & Zeldin, B. (1969) AIChE J., v15, pp 612-614.

• Escoamentos laminares,

e dL d 0.06Re

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nio

Comprimento de Desenvolvimento

• Aproximação Placa Plana:

• ‘Le’ pode ser estimado quando = d/2; substituindo na expressão acima:

• ou

• Estimativa abaixo do valor esperado; escoamento possui grad P favorável portanto atrasa o desenvolvimento da C.L. não previsto na solução de Blasius.

e d dL d 0.01Re (valor correto 0.06 Re )

e

xUx 5

ee

LU

d 52

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Escoamento com Gradiente de Pressão Favorável

• dP/dx < 0 ocorre para escoamentos acelerados, isto é, a velocidade aumenta na direção do escoamento;

• Considere o canal com contração; o aumento de vel. leva a uma diminuição da C.L. (linha vermelha);

• O aumento da vel. favorece a convecção e diminui a espessura da C.L.

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nio

Curvatura do Perfil de Velocidades e Ponto de Inflexão (P.I.) do Perfil

• A curvatura do perfil é definida como:

3

2

2 22 2

2uy

u yu y

1

• aproximação válida quando du/dy <<1.• A curvatura pode ser (+), (-) ou nula.• Se =0 há um ponto de inflexão, (P.I.), a curvatura muda

de sinal.• Um perfil de velocidades que apresenta um P.I. indica

que possui uma mudança de curvatura

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Curvatura do Velocidades para dP/dx < 0(gradiente favorável, esc. acelerado)

2

2y 0

u 1 1 p 0y xy

• Avaliando na parede (y =0)

-,- • tensão máxima ocorre na parede

• Como na parede é < 0 e ele não muda de sinal, então o perfil não possui P.I.

• Conseqüência:

y

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nio

Placa Plana• Para a placa plana, dp/dx = 0 portanto a

curvatura do perfil avaliada na parede (y=0) é nula:

2

2y 0y 0

u 1 0yy

• Note que o perfil de velocidades na placa plana apresenta o ponto de inflexão (k=0) na parede, veja figura.

• Note que na parede é máximo e depois decresce para zero!

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• dP/dx > 0 ocorre para escoamentos desacelerados, isto é, a velocidade diminui na direção do escoamento;

• Considere o canal com expansão; a diminuição de vel. leva a um aumento da C.L. (linha tracejada);

• O aumento da Vel. desfavorece a convecção e aumenta a espessura da C.L.

Esco

amen

to c

om G

radi

ente

de

Pres

são

Des

favo

ráve

l

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nio

Perfil de Velocidades para dP/dx > 0

0 0

Para dp/dx > 0 o ponto de inflexão no perfil , PI, está no escoamento!

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Perfil de Velocidades para dP/dx > 0

2

2y 0y 0

Na parede (y=0)

p u 0x yy

• A medida que dp/dx aumenta a parede pode ficar com tensão nula (SEPARAÇÃO)

• Um aumento de dp/dx faz com que o ponto de separação se mova para a esquerda e o escoamento é reverso .

• O perfil apresenta um ponto de inflexão (PI);• A máxima tensão ocorre dentro do escoamento da camada

limite; • y < PI, d/dy > 0; y > PI, d/dy < 0

2

2u 0

y

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nio

Separação

• O ponto de separação 2D apresenta tensão nula na parede!

• Após o ponto de separação as Eq. C.L. não são mais válidas porque– /L ~1, a equação não é mais parabólica

(precisa de 2 direções);– O processo de marcha não pode ser

aplicado pois seria necessário ter informações a montante do ponto de estagnação

– O problema passa a ser elíptico.

r

r

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Separação do Escoamento e Camada Limite• No ponto de separação /L ~O(1), portanto as

aproximações da C.L. não são válidas, o escoamento é Elípitico!

separação

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Separation due to abrupt geometry changes.

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Visualização da Separação.

• A inserção de tufos de algodão junto da superfície dão uma indicação se o escoamento está separado ou não.

• Na foto ao lado pode-se notar que o escoamento na ponta da asa se separa próximo do bordo de fuga da asa. Já aquele próximo da fuselagem apresenta uma grande área separado.

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Separação e Recolamento

Back step flow Forward step flow

CylinderDiffuser

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nio Onde a Teoria da Camada Limite

Não Se Aplica

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Separação do Escoamento, L ~ 1 escoamento c 2 direções predominantes

descolamento

descolamento recolamento

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• Escoamento de água com Re 15000 em esfera.

• Figura superior: ocorre uma C.L. laminar até no ponto de separação ~ 82 graus.

• Figura inferior: com o auxílio de um fio (trip wire) a C.L. laminar transiciona para turbulenta e o ponto de separação se desloca para ~ 120 graus.

Sepa

raçã

o do

Esc

oam

ento

,

L ~

1

esc

oam

ento

c 2

dire

ções

pre

dom

inan

tes

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ESCOAMENTO ELÍPTICO: recirculação presente,

mais de uma direção predominante

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ESCOAMENTO ELÍPTICO:recirculação presente,

mais de uma direção predominante

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Controle da Camada Limite

1. Sucção em perfil2. Injeção fluido3. Sphere Drag - CdxRe

• Objetivos: reduzir arrasto e aumentar sustentação• Metas: controlar a transição e a separação• Técnicas:

• Sucção• Injeção• Mudança de Forma• Remover ou introduzir perturbações

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Changing geometry by nose flaps

Vortex Generators

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Controlling Separation by Vortex Generators and Flow Deflection by Rear Spoilers

  In their technical paper, Mitsubishi’s engineers made the following conclusions:(1) Vortex generators (VGs) were installed immediately upstream of the flow separation point in order to control separation of airflow above the sedan’s rear window and improve the aerodynamic characteristics.

It was found that the optimum height of the VGs is almost equivalent to the thickness of the boundary layer (15 to 25 mm) and the optimum method of placement is to arrange them in a row in the lateral direction 100 mm upstream of the roof-end at intervals of 100 mm. The VGs are not highly sensitive to these parameters and their optimum value ranges are wide. Better effects are obtained from delta-wing-shaped VGs than from bump-shaped VGs.(2) Application of the VGs of the optimum shape showed a 0.006 reduction in both the drag coefficient and lift coefficient of the Mitsubishi Lancer Evolution.

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DET

ALH

ES D

AS

TRA

SEIR

AS

D

OS

VEÍC

ULO

S

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Alguns carros são equipados com um spoiler que as revendedoras afirmam aumentar a tração nos pneus em alta velocidade. Investigue a validade desta afirmação. Seriam estes dispositivos apenas decorativos? Comente sobre a Funcionalidade do Spoiler do Gol.

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Equação Integral da Camada Limite

(Kármán e Polhaussem 1921)

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Boundary Layer Displacement Thickness• The viscous force acting on the solid wall decelerates the

flow next to the wall. It introduces a velocity gradient. • The mass flow for a given B.L. cross section is:

• It is equivalent to the mass flow rate produced by the external flow (1st term) minus the mass flow deficit due to the flow deceleration near the wall, *.

• Therefore, the displacement thickness for an incompressible flow is:

y y

e e0 0

m u y dy U dy U *

Ue Ue

*

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Um escoamento na região de entrada de um duto quadrado conforme mostrado. Determine a variação de pressão entre as seções (1) e (2). 2 é a espessura de deslocamento medida experimentalmente.

22 2

12

2

V hResp.: p 1 59Pa2 h 2 *

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Boundary Layer Momentum Thickness• The momentum flux for a given B.L. cross section is :

• It is also expressed by the product of U∞ times mass flow rate (1st term) minus the deficit of momentum due to the flow deceleration near the wall, q.

• The momentum thickness, for an incompressible flow is:

y y

2 2e e

0 0dm

J u dy U u dy U

q

Ue Ue

q

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Avalie */, q para regime laminar utilizando os perfis: linear, parabólico e senoidal. Compare seus resultados com os valores obtidos para o perfil de potência 1/7

e2

e

e1 7

e

Perfil u y 1 1

U 2 6u y y 1 22

U 3 15u 2 y 2 4Sin

U 2

u y 0.25 0.097U

* q

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esquerda) (para N 00359,0bU167.0bUD

s/kg 00399,0Ub21Ubm

:.spRe

22

*ab

q

Um escoamento de ar sobre uma placa plana fina, de largura b=0,3 m. O escoamento é bidimensional. Admita que na C.L. o perfil de velocidades seja linear. A placa tem 1 m de comprimento. Determine: a) Vazão em massa através da superfície a-b b) A componente x (e sentido) da força necessária para manter a placa estacionária.

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Equação Integral da Camada Limite

*2w

dxdUUU

dxd

q

q

dUu1

Uu

dUu1

y ;fUu

1

0

1

0

*

• A equação von Kàrmàn aplica-se para escoamentos em regime laminar e turbulento!

• Ela relaciona a tensão na parede (laminar ou turbulenta) com os perfis de velocidade.

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Perfil de Velocidades

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Perfil Parabólico (3 c.c.)

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Peris

de

Velo

cida

des

Blasius Linear

Quadrático Cúbico

Quarta Potência

Senoidal

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Espessura de Deslocamento e de Momento em função do perfil de velocidades

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Aplicação Método Integral para Placa PlanaUma placa plana com comprimento L=0,3m e b=1m largura é instalada num túnel de água. A velocidade da corrente livre é de U = 2m/s. Considere o escoamento laminar e considere um perfil representado por um polinômio do segundo grau. Determine como , * e w variam com x/L na placa. Encontre o arrasto total exercido pelo fluido numa face da placa.

q bUDarrasto de totalForça

2

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Res

ulta

dos

Mét

odo

Inte

gral

pa

ra P

laca

Pla

na

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Comentários Sobre o Método Integral

• Muito utilizado nas décadas de 20 a 60 (sec. XX);• Empregado também em escoamentos com

superfícies livres;• A partir de formas do perfil de velocidades

realiza estimativas sobre Cf, * e q.• É capaz de prever ponto de separação 2D;• Sucesso das estimativas ocorre devido ao

processo integral que tende a suavizar os erros dos perfil de velocidades,

• Incertezas típicas de 15%

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FIM

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Perfil de Velocidades para dP/dx < 0• O escoamento acelerado apresenta

perfis de velocidade numa única direção.

• A curvatura do perfil apresenta sempre o mesmo sinal, isto é, não há ponto de inflexão no perfil.

• Inclinação do perfil na parede (y=0):

2

2u u p uu vx y x y

2

2y 0y 0

p u 0x yy

0 0

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Tensão Viscosa na Placa Plana• A partir da Equação Integral da C.L. para uma

Placa Plana temos que:

• Numa placa plana (dp/dx=0) a variação da quantidade de movimento do escoamento equilibra a força de atrito na parede!

dxd2Cou

dxdU f

2w

q

q

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O q

ue a

cont

ece

com

o

Perf

il de

Vel

ocid

ades

?• Dentro da C.L. o perfil de velocidades muda a

medida que o escoamento se move ao longo da placa

• A espessura da C.L. aumenta e a velocidade e o escoamento dentro da C.L. diminui a quantidade de movimento.

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• Note que ‘próximo’ a parede a velocidade depende do valor da tensão na parede

2w

2

0y

yOy0yu

ou yOydydu0uyu

• O fluido ‘próximo’ à parede pode ser levado ao repouso para uma Placa Plana (dP/dx=0)?• A velocidade próxima à parede é estimada expandindo-a em série de Taylor a partir da parede

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• Tanto para escoamento Laminar como para Turbulento, a tensão na parede para uma placa plana não é zero, mas decai continuamente:

• Portanto o fluido não irá para repouso próximo da parede para escoamentos com dp/dx=0 porque Cf > 0.

5/1x

2w

f

x2

wf

Re0594.0

U21

C urbulentoT

Re328.1

U21

C inarLam

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O que acontece para Escoamentos na C.L. com dP/dx ≠ 0

• Vamos representar as forças que atuam num elemento de fluido infinitezimal próximo da parede, isto é, dentro da C.L.: Atrito, Pressão e variação da quantidade de movimento, J

• dP/dx < 0 gradiente de pressão favorável, força de pressão e variação da quantidade de movimento na mesma direção e opostas ao atrito.

• dP/dx > 0 gradiente de pressão desfavorável, força de pressão e atrito na mesma direção e opostas à quantidade de movimento.

FA FPJ

dp/dx < 0

FA FP J

dp/dx > 0