Escoamento Na Camada Limite, Re

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Escoamento Na Camada

Limite, Re

Recomendado:

Boundary Layer Flow` movie & film notes

http://www.youtube.com/watch?v=wMxK2GtFFq0&list=PL0EC6527BE871ABA3&index=11&feature=plpp_video

http://web.mit.edu/hml/ncfmf/10FBL.pdf




Re >> 1

Re ~ 1

Região onde predominam

efeitos viscosos com presença

de gradientes de velocidade

oscosVis Termos

Inerciais TermosVLRe

Uext Uext

L

N. Reynolds e seu efeito no escoamento


Classificação do Escoamento

=

Termo

Inercial

Força

Pressão

Termo

Viscoso

Força

Campo

Dt

*VD *p *2

L

VRe

1

*

L

gFr

1

Re << 1 escoamentos dominados pelas forças viscosas:

balanço entre Pressão e Termo Viscoso.

Re ~ 1 todos os termos são igualmente importantes na

Eq. NS.

Re >> 1 escoamentos dominados pelas forças inerciais:

balanço entre Inércia e Pressão no núcleo do escoamento,

perto das paredes existência de Camada Limite.


Escoamentos com ReL >> 1

‘Euler & Camada Limite

=

Termo

Inercial

Força

Pressão

Termo

Viscoso

Força

Campo

Dt

*VD *p *2

L

VRe

1

*

L

gFr

1

Para ReL >> 1 a contribuição dos termos viscosos é muito

pequena. O balanço de forças se dá entre os termos

convectivos e pressão. Resulta na equação de Euler:

0

ij

iji

x

P

x

VV

t

V



‘Camada Limite & Euler’ Região onde a Eq.

Euler é válida,os

efeitos viscosos são

desprezíveis; região

fora da Camada

Limite

Região da Camada

Limite onde os efeitos

viscosos não são

desprezíveis; a Eq.

Euler não é válida,

dentro

L

d

Flat Plate Movie Nose Movie

http://www.fem.unicamp.br/~im250/MOVIES/MMF/impflow.mov




http://www.fem.unicamp.br/~im250/MOVIES/MMF/2_01005b.mov



../../../MOVIES/MMF/2_01005b.mov



‘Camada Limite

Prandtl, no começo do séc XX, iniciou estudos de escoamento

próximo à parede e observou a existência de uma ‘Camada

Limite’.

Uma ‘pequena região’ onde os efeitos viscosos, originalmente

negligenciados, são importantes.

Este estudo resolve o paradoxo D’Alembert, resulta na

esperada força de arrasto não prevista pelo modelo de Euler!


Características da Camada Limite

Região Externa: os efeitos viscosos são desprezíveis, escoamento

pode ser modelado por Euler ou Potencial.

Região Interna: os efeitos viscosos e os de inércia são igualmente

importantes. Há atrito na parede. Bernoulli não pode se usado.

y = d(x) há um ‘casamento’ entre a região externa e a interna.

Ambas soluções devem coincidir para y = d(x)

Camada limite hidrodinâmica sobre uma placa plana

d(x) = espessura

camada limite

d(x)/L << 1


Camada Limite

A camada limite hidrodinâmica é uma pequena região próxima

da parede ou ‘shear layer’ onde existe um forte gradiente de

velocidades.

Esta região que faz a ‘ponte’ entre a parede e o escoamento

externo, Euler. Dentro da C.L. os efeitos viscosos são

igualmente importantes.

1L

d

Importante

característica

da C.L.


Processo matemático da camada limite Problema de perturbação singular

A Camada Limite é uma solução que faz uma ‘ponte’ entre o escoamento perto da parede e aquele que acontece ‘longe’ da parede.

A velocidade u varia de 0 (parede) para Uo rapidamente na C.L. para atingir o escoamento externo. No escoamento externo u varia lentamente.








cc

mttm m

x t e e Eq.(1)

Solução Geral p/ m0

/m >> c/ porque m0. A solução geral possui duas constantes de

tempo: uma de decaimento lento e-(c/)t e outra de decaimento rápido e-

(/m)t

c

m mt t tm m

x t e e e x t e Eq.(2)

A solução aproximada, Eq.(2), sol. não satisfaz x(0)=0 e x’(0)=1

c tm

x t e

0

mx x cx 0

O termo que decai vagarosamente,

é a solução da eq.:

Para t = 0, x(0)=0 e x’(0)=0 que não satisfazem C.I. x(0)=0 e x’(0)=1!


O termo que decai rapidamente surge na

equação geral. Ele só existe nos primeiros

instantes e, por meio dele, a solução pode

satisfazer as C.I. : x(0)=0 e x’(0)=1

Veja uma breve introdução ao método de perturbação no link:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5

t

m=0.01

m=0.05

m=0.08

x(t)

c tmx t e

decaimento

lento

decaim

ento

rá

pid

o

(t)

http://www.fem.unicamp.br/~im250/APOSTILAS E MINI-CURSOS/PERTUB.pdf


Equações da Camada Limite

2D Isotérmica


ESCOAMENTO PARABÓLICO

uma direção predominante – one way flow


Equação N-S para Camada Limite Bi-dimensional (x,y)

yp0 y momento

y

u

x

p

y

uv

x

uu

t

u x momento

dyd

2

2

Isto faz que a eq. dir. x seja parabólica e que a eq. dir. y informe apenas que não há grad pressão normal `a C.L.

Como d/L << 1 os efeitos de curvatura dentro da camada limite são desprezíveis, p/ y = 0 e (x,y) também pode representar coordenadas curvilíneas nas direções paralela e normal à superfície do corpo.

Como d/L << 1 pode-se mostrar, através da análise de escala, que u/y >> u/x e a eq. N-S reduz para


Natureza da eq. C. Limite: Parabólica

A solução desta EDP marcha para frente no tempo mas é ‘difusiva’ no espaço.

Introduzindo uma perturbação em P, ela só influenciará parte do domínio computacional onde t > tP

• A pertubação em P NÃO influencia valores de para t < tp

• As EDP com este comportamento são classificadas como PARABÓLICAS.

t

y

0 a

b (t,b)

(t,0)

(0,y)

P(tp,yp)


O Problema Fundamental

Escoamento Isotérmico sobre uma Placa Plana:

solução exata de Blasius


2

2

d dy

u vmassa 0

x y

u u u umomento x u v

t x y y

momento y 0 p y

0

0

u x 0 0 não deslizamento

u x U casamento com solução externaC C

u x y f y perfil de velocidade u

v x 0 0 sem sucção ou injeção de massa

,

,

. .

,

,

x

y

U0

x0

u(x,0) = 0

v(x,0) = 0

u(x,) = U0 u(x0,y) = q(y)


Análise de escala

A análise de escala na camada limite aplicada na placa plana em

regime laminar mostra que:

A espessura da C.L., d, escala com: onde L é o comprimento da placa.

A coeficiente de atrito de Fanning escala com:

L x

1 1 ou

L xRe Re

d d

f

x

1C x

Re


Solução por Similaridade

Reduz o número de variáveis independentes;

Perfis similares são proporcionais aos perfis em diferentes posições

x através de fatores de escala em U e y:

1 2

0 1 0 2

u y g x u y g x

U x U x

O fator de proporcionalidade para:

1. Velocidade é a própria velocidade externa U0 e,

2. Coordenada y é uma função g(x) (espessura camada limite

d(x)) a ser determinada.


Busca Por Similaridade

Considere a transformação de variáveis:

a a

b

Ayx g x 1 Ax

Bx f

Vamos procurar os coeficientes a e b tais que:

i. O número de variáveis independentes (x,y) devem ser

reduzidas de 2 para 1 (a variável )

ii. As condições de contorno devem ser reduzidas de 4 para 3!


Equação de Blasius

0

0

u x 0 0 f 0 =0 nao deslizamento

u x U f =1 casamento esc. externoC C

v x 0 0 f 0 =0 sem succao ou injecao

u x y q y ja satisfeita, perfil similar

,

,

. .

,

,

2f ff 0

00

0

0

Uy U x f

x

Uu 1f v = f f

U 2 x


Coeficiente de Atrito de Fanning

0u Uy 0y 0 xw

f 2 2 21 1 10 0 02 2 2

f

x x

f 0 UC

U U U

2f 0 0 664 C

Re Re

.Sabendo que

f’’(0) = 0,332053


Os perfis de f e derivadas e sua associação às

variáveis físicas do problema

0

uf

U

0

0

U x1 vf f

2 U

0

fU x

f xC Ref 0

2

0 x

fU x Re

Para > 5, f() assume o limite assintótico: f() = -1.73, então , u e v passam a ser:

0 0 0

0

0

U x 1 73 U y 1 73 U x

u y U

v x 0 865 U x

. .

.

-


Perfil de Velocidade v (Transversal)

A componente transversal da velocidade não pode satisfazer a c.c. y, a eq. q.movimento em y foi desprezada. Para , f() = -1.73

O valor de v/U0 = 0.865/Rex indica que o escoamento é deslocado lateralmente devido ao espessamento da C.L. Note porém que para Rex >> 1, v/U0 0

0.865


f f’ f’’

So

luçã

o N

um

éri

ca

Download Mathematica-9 notebook: BLASIUS.nb

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/aula-12&13_Camada Limite/Mathematica-pgr/BLASIUS.nb

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/aula-12&13_Camada Limite/Mathematica-pgr/BLASIUS.nb


Extrato do programa Blasius.ma

Calcula valor inicial para f’() = 1-> f”(0) = 0,332065


Solução Por Similaridade

O perfil de velocidades é similar para valores de constante.

Isto é, u/U0 = constante desde que seja constante. Para isto

é necessário que:

Sendo que 0 C max .

Observe que para constante, y ~ x1/2

2 20

0

Uy = C y C x

x U


Espessura da Camada Limite

Valor arbitrário. Usualmente é definida como sendo a distância

onde:

0

u0 99 f 5 0

U. .

0

0

U x

U 5y 5 0

x x.

d

• Exemplo: U0=1m/s e x = 1m, fluidos: ar e água

Rex d (cm)

água 1.00E+06 0.5

ar 6.70E+04 1.9


Crescimento da Esp. C.L. x Inclinação da Linha de Corrente

Na borda da C.L. , = 5, deseja-se conhecer:

(1) inclinação da linha de corrente

(2) inclinação da espessura da C.L.

x x

5 d 2 5

x dxRe Re

d d

.

x x

Vdy 1 0 865f f

dx U 2 Re Re

.

x

y

U0

u/U=0.99

d

2.5

0.86

As linhas de corrente são menos inclinadas que a espessura da C.L.

portanto massa é entra na C.L., mas numa taxa muito pequena


Variável Similaridade

Note que a variável de similaridade é dada por:

0 0

x

U xUy y yy

x x xx Re

d

• Ela introduz uma ‘ampliação’ da coordenada y. Isto é

fundamental para que as forças viscosas sejam da mesma

ordem de grandeza das forças inerciais dentro da C.L.

• Nesta transformação y, que era ‘pequeno’ , passa a ter

ordem de grandeza unitária. Isto é chamado de técnica

‘scale streching’ e é frequentemente empregada em

métodos de perturbação.


Validade da Solução

Próximo do bordo de ataque da placa, x0 e d/x 1.

0U x

51

x

d

Nesta região o termo 2u/ x2 é da mesma ordem de 2u/ y2 ; a

equação q. mov. Y não pode ser desprezada,

Isto significa que a aproximação das Eq. C.L. não é válida;

uma solução próximo de x->0. Deve ser obtida com a Eq.

N.S. somente!


Releitura da Difusão x Convecção na C.L.

00 x2

x Ut1 U x 1 Re

x x x

d

x

y

U0

difusão

td

0

xt

U

convecção

1o Problema

de Stokes


Outras soluções por similaridade


Equação Camada Limite bi dimensional (x,y) com P/ x0

yp0 y momento

y

u

x

p

y

uv

x

uu

t

u x momento

dyd

2

2

Na C.L. a pressão só varia na dir. x, na dir. y ela é constante!

Externo à C.L. o escoamento é irrotacional e podemos aplicar Bernoulli para associar a vel. externa à C.L. ao longo do corpo, U, com a pressão:

21

2

P UP U const U

x x

x, U(x)

• A eq. mov. na direção x, passa a ser também em função de U:

2

2

u u u U uu v U

t x y x y

• A velocidade externa, U(x) vem do escoamento potencial.


Falkner-Skan Flows - 1931 Solução por similaridade revela efeitos causados por um gradiente de pressão externo no escoamento da camada limite. Limitado a escoamentos em objetos em forma de cunhas (wedge flow).

Veja solução similar F-S no link. Veja escoamento potencial externo na solução de F-S na aula de ‘Escoamento Potencial’

mU x kx

http://www.fem.unicamp.br/~im250/APOSTILAS E MINI-CURSOS/SIMILAR1.pdf

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-14 & 15-EULER_&_POTENCIAL/Potencial.pdf




Soluções Exatas de Camada Limite Com

Ausência de Parede


Esteiras (wake flow) Camadas cisalhantes

(shear flow) Jatos (jet flow)

Região onde a Eq. Euler é válida, os

efeitos viscosos são desprezíveis,

está fora da Camada Limite

Região da Camada Limite, os efeitos

viscosos não são desprezíveis,;a Eq.

Euler não é válida, dentro

Escoamentos com ReL >> 1 ‘Camada Limite & Euler’

A aproximação da Camada Limite também se aplica para escoamentos com ausência de parede!

Esta classe de escoamento é genericamente denominada escoamentos cisalhantes ou ‘Shear Flows’ e constitui basicamente pelos escoamentos mostrados na figura.


Sh

ear

Flo

w


2D Jet Flow


Jato Axi-Simétrico Turbulento


The Plane Laminar Wake


Onde a Teoria da Camada Limite

Não Se Aplica


Separação do Escoamento

PARABÓLICO / ELÍPTICO

descolamento

descolamento recolamento


• Escoamento de água

com Re 15000 em esfera.

• Figura superior: ocorre

uma C.L. laminar até no

ponto de separação ~ 82

graus.

• Figura inferior: com o

auxílio de um fio (trip

wire) a C.L. laminar

transiciona para

turbulenta e o ponto de

separação se desloca para

~ 120 graus.

Sep

ara

ção

na C

.L. n

um

a E

sfe

ra

PA

RA

BÓ

LIC

O / E

LÍP

TIC

O


ESCOAMENTO ELÍPTICO: recirculação presente,

mais de uma direção predominante


Separação do Escoamento e Camada Limite

No ponto de separação d/L ~O(1), portanto as aproximações

da C.L. não são válidas, o escoamento é Elípitico!

separação


ESCOAMENTO ELÍPTICO:

recirculação presente,

mais de uma direção predominante


Referências da Aula

F.M. White, Viscous Flow, MacGraw Hill 2006, 3rd ed

H. Schlichting, Boundary Layer Theory, Springer 1999, 8th ed.

L. Rosenhead, Laminar Boundary Layers, Oxford Press, 1963.

Acesse os links abaixo para acesso as notas de aula sobre C.L.

TEORIA DA CAMADA LIMITE

HIDRODINÂMICA

Equações da Camada Limite Bi-Dimensional

Soluções por Similaridade da C.L. 2D

Equação Integral da C.L. 2D

Métodos Numéricos Aplicados à C.L. 2D

Camada Limite Tri-Dimensional

http://www.fem.unicamp.br/~im250/APOSTILAS E MINI-CURSOS/EQ_C.L.-2D.pdf









http://www.fem.unicamp.br/~im250/APOSTILAS E MINI-CURSOS/METAPROX.pdf





http://www.fem.unicamp.br/~im250/APOSTILAS E MINI-CURSOS/METNUME.pdf





http://www.fem.unicamp.br/~im250/APOSTILAS E MINI-CURSOS/EQ3DCL_tudo.pdf








FIM

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Escoamento Na Camada Limite, Re