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7/28/2019 espacos_metricos

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Espacos MetricosMarcio Nascimento da Silva

8 de janeiro de 2009

Resumo

Dado um conjunto nao vazio, podemos definir uma maneira de medir a distanciaentre os seus elementos, o que chamamos de metrica. Assim, o conjunto passa a

ser um espaco metrico. Este trabalho e apenas uma apresentacao a este importanteconceito (de grande utilidade em analise funcional, por exemplo). Um estudo, defato, necessita de um semestre, de preferencia com uma certa familiaridade comanalise real.

1 Metricas

Seja X um conjunto nao vazio. Uma metrica em X e uma funcao

d : M M R

(x, y) d(x, y)

que satisfaz:

(i) d(x, x) = 0

(ii) Se x = y entao d(x, y) > 0

(iii) d(x, y) = d(y, x)

(iv) d(x, z) d(x, y) + d(y, z)

Exemplo 1.1 Seja M um conjunto qualquer nao vazio e defina a funcao:

d : M M R

(X, Y) d(X, Y) =

0 se X = Y1 se X = Y

(i) Pela propria definicao, d(X, X) = 0 para qualquer X M.

(ii) Tambem por definicao, d(X, Y) = 1 > 0 sempre que X = Y.

(iii) Claramente d(X, Y) = d(Y, X) uma vez que X = Y Y = X e X = Y Y =

X.

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(iv) Sejam X , Y , Z elementos quaisquer em M. Entao

d(X, Z) = 0 ou d(X, Z) = 1

d(X, Y) = 0 ou d(X, Y) = 1d(Y, Z) = 0 ou d(Y, Z) = 1

Da

d(X, Y) + d(Y, Z) = 0 ou d(X, Y) + d(Y, Z) = 1 ou d(X, Y) + d(Y, Z) = 2

E de toda forma,d(X, Z) d(X, Y) + d(Y, Z)

Desta maneira, temos uma metrica, chamada metrica zero-um. Na verdade, acabamos

de ver que em qualquer conjunto nao vazio podemos definir uma metrica.

Exemplo 1.2 Considere o conjunto dos numeros reaisR e a funcao

d : R R R(x, y) d(x, y) = |x y|

(i) d(x, x) = |x x| = 0

(ii) Se x = y entao x y = 0 e portanto, |x y| > 0, isto e, d(x, y) > 0.

(iii) d(x, y) = |x y| = |(1).(y x)| = | 1|.|y x| = 1.|y x| = d(y, x)

(iv) Sejam x,y,z numeros reais quaisquer. Sabemos da desigualdade triangular que

|x z| |x y| + |y z|

Exemplo 1.3 Considerando M = Rn = {(x1, x2, . . . , xn) ; xi R} , ha tres metricasnaturais definidas em M:

d : Rn Rn R

(X, Y) d(X, Y) =

(x1 y1)2 + (x2 y2)2 + . . . + (xn yn)2

d : Rn Rn R

(X, Y) d(X, Y) = |x1 y1| + |x2 y2| + . . . + |xn yn| =n

i=1

|xi yi|

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d : Rn Rn R(X, Y) d(X, Y) = max{|x1 y1|, . . . , |xn yn|} = max

1in{|xi yi|}

As condicoes(i), (ii), (iii) que caracterizam uma metrica podem ser facilmente provadaspara d, d, d. A condicao (iv) e imediata para d e d, ja para d, a condicao (iv) sera vistamais adiante.

2 Espacos Metricos

Dado um conjunto nao vazio M e uma metrica d definida em M, o par (M, d) serachamado espaco metrico. Quando nao houver duvida quanto a metrica definida, diremos

simplesmente que M e um espaco metrico.Num espaco metrico (M, d), a metrica d tambem e chamada distancia.

Exemplo 2.1 O conjunto das matrizesM(m, n) com entradas reais e a metrica zero-um.

Exemplo 2.2 O espaco euclidiano Rn com a metrica

d(X, Y) =

(x1 y1)2 + (x2 y2)2 + . . . + (xn yn)2

onde X = (x1, x2, . . . , xn), Y = (y1, y2, . . . , yn). Geometricamente, esta metrica repre-senta a distancia euclidiana entre os pontos X e Y.

d

x x

y

y

1

1

2

2

Figura 1: Metrica d.

Essa metrica nos da a distancia usual entre dois pontos do espaco Rn e e chamadametrica euclidiana.

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3

1

2

|x y ||x y |

1

|x y |2

3

Figura 2: Metrica d em R3.


d : Rn Rn R(X, Y) d(X, Y) = |x1 y1| + |x2 y2| + . . . + |xn yn|

Geometricamente, a distancia entre dois pontos e considerada como a soma dasdistancias em cada direcao. A Figura 2 traz um exemplo emR3.


d : Rn Rn R(X, Y) d(X, Y) = max

1in{|xi yi|}

Esta metrica da uma outra maneira de calcular a distancia entre dois pontos, que econsiderando a maior distancia entre as distancias em todas as direcoes, como mostra aFigura 3

Proposicao 2.1 Sejam d, d, d as metricas naturais definidas em Rn. Para quaisquerX, Y Rn, temos:

d(X, Y) d(X, Y) d(X, Y) n.d(X, Y)

Prova: Sejam X = (x1, x2, . . . , xn), Y = (y1, y2, . . . , yn) Rn. Entao

d(X, Y) = max1in

{|xi yi|} = |xk yk|

para algum k {1, 2, . . . , n}. Como

|xk yk| =

(xk yk)2

(x1 y1)2 + . . . + (xk yk)2 + . . . + (xn yn)2 = d(X, Y)

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3

1

2

|x y ||x y |

1

|x y |2

3

d

Figura 3: Metrica d em R3.

segue qued(X, Y) d(X, Y)

Observe ainda qued(X, Y) = max

1in{|xi yi|} = |xk yk|

implica que |xi yi| |xk yk| para todo i {1, 2, . . . , n} e

d(X, Y) = |x1 y1| + |x2 y2| + . . . + |xn yn|

|xk yk| + |xk yk| + . . . + |xk yk| = n.|xk yk|

= n.d(X, Y)

Resta ver qued(X, Y) d(X, Y)

para isso, note que[d(X, Y)]2 = (x1 y1)

2 + . . . + (xn yn)2

enquanto

[d(X, Y)]2 = [|x1 y1| + . . . + |xn yn|]2

= |x1 y1|2 + 2.|x1 y1|.

n

i=2

|xi yi|

+

n

i=2

|xi yi|

2

= |x1 y1|2 +

n

i=2

|xi yi|

2+ 2.|x1 y1|.

n

i=2

|xi yi|

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Desenvolvendo

n

i=2

|xi yi|

2, teremos

ni=2

|xi yi|2

= [|x2 y2| + . . . + |xn yn|]2

= |x2 y2|2 + 2.|x2 y2|.

n

i=3

|xi yi|

+

n

i=3

|xi yi|

2

Repetindo o processo, teremos

[d(X, Y)]2 = |x1 y1|2 + . . . + |xn yn|

2 +

onde 0. Desta forma,

[d(X, Y)]2 = [d(X, Y)]2 + e portanto

[d(X, Y)]2 [d(X, Y)]2

que implica emd(X, Y) d(X, Y)

uma vez que d, d sao nao negativos.

2.1 Algumas consideracoes sobre os numeros reaisUm subconjunto X dos numeros reais chama-se limitado superiormente quando existeb R tal que b x para qualquer x R. O numero b e chamado uma cota superior paraX.

b

X

Figura 4: Conjunto limitado superiormente.

Analogamente, se X e um subconjunto de R tal que a x para qualquer x X, entaoX e dito limitado inferiormente. O numero a e chamado uma cota inferior para X.

Veja que quando b e uma cota superior para X, entao qualquer B > b, tambem euma cota superior para X. Da mesma forma, se a e uma cota inferior para X, qualquernumero A < a tambem e uma cota inferior para X. Vale ressaltar que uma cota (superiorou inferior) de um conjunto X nao precisa ser elemento de X.

No entanto, dado um conjunto X limitado superiormente, podemos tomar a menorcota dentre todas as cotas superiores. Esta cota e chamada supremo de X, isto e:

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X

a

Figura 5: Conjunto limitado inferiormente.

(1) Considere o conjunto formado por todas as cotas superiores de X, digamos S;

(2) Tome o menor elemento de S, digamos,

(3) Supremo de X = . Notacao: = sup X.

Por exemplo, se X = [0, 1), entao qualquer elemento em [1, +) e uma cota superiorpara X no entanto, o supremo de X e o menor elemento de [1, +), isto e, sup X = 1.

De maneira analoga definimos o nfimo de um conjunto X R sendo a maior dascotas inferiores de X, isto e:

infX = max{a R ; a x, x X}

Voltando ao conjunto X = [0, 1), vemos que infX = 0. E claro que nem todo subconjuntode X possui supremo e/ou nfimo. Por exemplo, o conjunto X = [0, +) nao e limitadosuperiormente, portanto, nao existem cotas superiores nem supremo para X. Da mesmaforma o conjunto X = (, 1) nao e limitado inferiormente e portanto nao possui cotasinferiores, o que implica na nao existencia de nfimo. O conjunto R nao e limitado neminferiormente nem superiormente.

Exemplo 2.5 Seja um conjunto nao vazio. Dizemos que uma funcao f : Re limitada quando existe um k > 0 tal que |f(x)| k para todo x . Considere oconjunto de todas as funcoes definidas em e limitadas:

B(;R) = {f : R ; f limitada}

Vamos definir a seguinte metrica em B(;R):

d(f, g) = supxX

|f(x) g(x)|

Geometricamente, d da o comprimento da maior corda vertical ligando os dois graficos,como mostra a Figura 6

Esta metrica e conhecida como metrica do sup. Verifiquemos que, de fato, se tratade uma metrica em B(;R).

(i) d(f, f) = supxX

|f(x) f(x)| = supxX

0 = 0

(ii) Se f = g, entao existe x0 X tal que f(x0) = g(x0), da, |f(x0) g(x0)| > 0. ComosupxX

|f(x) g(x)| |f(x0) g(x0)|, segue que d(f, g) > 0.

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f

g

X

d(f,g)

Figura 6: Metrica do sup para o conjunto B(;R).

(iii) Como |f(x) g(x)| = |g(x) f(x)|, temos,

d(f, g) = supxX

|f(x) g(x)| = supxX

|g(x) f(x)| = d(g, f)

(iv) Sejam f , g , h B(;R). Entao

d(f, g) = supxX

|f(x) g(x)|

d(g, h) = supxX

|g(x) h(x)|

Como |f(x) g(x)| e |g(x) h(x)| sao numeros positivos, entao

supxX

|f(x) g(x)| + supxX

|g(x) h(x)| = supxX

{|f(x) g(x)| + |g(x) h(x)|}

Por outro lado, pela desigualdade triangular,

|f(x) h(x)| |f(x) g(x)| + |g(x) h(x)|

para qualquer x X. Da,

supxX

|f(x) h(x)| supxX

{|f(x) g(x)| + |g(x) h(x)|}

isto ed(f, h) d(f, g) + d(g, h)

Exemplo 2.6 Considere o conjunto C[a, b] das funcoes contnuas definidas no intervalo[a, b]. Defina em C[a, b] a func ao

d(f, g) = b

a

|f(t) g(t)|dt

Tal funcao e uma metrica. Com efeito,

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(i) d(f, f) =

ba

|f(t) f(t)|dt =

ba

0.dt = 0

(ii) Se f = g, entao existe x [a, b] tal que f(x) = g(x) e portanto f(x) g(x) = 0. Da

d(f, g) =

ba

|f(t) g(t)|dt > 0

(iii) Como |f(x) g(x)| = |g(x) f(x)| para qualquer x X, entao

d(f, g) =

ba

|f(t) g(t)|dt =

ba

|g(t) f(t)|dt = d(g, f)

(iv) Dadas f , g , h C[a, b], temos

|f(x) h(x)| = |f(x) g(x) + g(x) h(x)| |f(x) g(x)| + |g(x) h(x)|

para qualquer x [a, b]. Sendo as funcoes |f(x)h(x)| e|f(x)g(x)|+|g(x)h(x)|contnuas (portanto, integraveis), segue que

|f(x) h(x)| |f(x) g(x)| + |g(x) h(x)|

implica em

b

a

|f(t)h(t)|dt b

a

[|f(t)g(t)|+|g(t)h(t)|]dt = b

a

|f(t)g(t)|dt+b

a

|g(t)h(t)|dt

ou sejad(f, h) d(f, g) + d(g, h)

Logo, com a metrica dada, C[a, b] e um espaco metrico.

2.2 Espacos Vetoriais Normados

Seja V um espaco vetorial real. Uma norma em V e uma funcao real

: V Rv (v)

que associa a cada elemento v V o numero real (v) chamado norma de v e alem dissosatisfaz:

(N1) Se v =0 V entao (v) = 0.

(N2) Se R entao (.v) = ||.(v)

(N3)

(u

+v

)

(u

) +

(v

)

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E mais comum usarmos a notacao ||v|| em vez de (v).Quando no espaco vetorial V puder ser definida uma norma, dizemos que (V, || ||) e

um espaco vetorial normado, ou simplesmente V e um espaco vetorial normado.

Exemplo 2.7 (Normas em Rn) Considere o espaco vetorial

Rn = {X = (x1, x2, . . . , xn) ; xi R}

e as funcoes

||X|| =

x21 + x22 + . . . + x

2n

||X|| = |x1| + |x2| + . . . + |xn|

||X|| = max{|x1|, |x2|, . . . , |xn|}

Todas essas funcoes sao normas emRn.

Exemplo 2.8 No conjunto B(;R)1, defina a funcao

||f|| = supxX

|f(x)|

Temos ai uma norma, e portanto, B(;R) e um espaco vetorial normado.

Todo espaco vetorial normado (V, || ||) pode se tornar um espaco metrico. Bastadefinirmos a metrica da seguinte forma:

d(u, v) = ||u v||

Esta metrica e dita proveniente da norma. Verifiquemos que, de fato, ||u v|| e umametrica:

(i) d(X, X) = ||X X|| = ||0 || = ||0.

0 || = |0|.||

0 || = 0

Da tambem temos que

0 = ||X X|| = ||X + (X)|| ||X|| + || X|| = ||X|| + | 1|.||X|| = 2||X||

e portanto ||X|| 0.

(ii) Se X = Y entao X Y =0 , logo, ||X Y|| = 0 e portanto d(X, Y) > 0.

(iii) d(X, Y) = ||X Y|| = ||(1).(Y X)|| = | 1|.||Y X|| = ||Y X|| = d(Y, X)

(iv) Dados X , Y , Z V, temos

d(X, Z) = ||X Z|| = ||X Y + Y Z|| ||X Y|| + ||Y Z|| = d(X, Y) + d(Y, Z)

1verifique que se trata realmente de um espaco vetorial.

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2.3 Espacos Vetoriais com produto interno

Seja V um espaco vetorial real. Um produto interno em V e uma funcao

, : V V R(X, Y) X, Y

que associa a um par de elementos X, Y V o numero real X, Y chamado produtointerno de X por Y e satisfaz as seguintes condicoes

(1) Se u,v,w V entao u + v, w = u, w + v, w

(2) Se u, v V e R, entao u,v = u, v

(3) u, v = v, u

(4) Se u =0 V entao u, u > 0

Dessas propriedades, decorrem:

u, v + w = u, v + u, w

u,v = u, v

0 V, u = 0

A partir de um produto interno, podemos definir uma norma em um espaco vetorial(V, , ). Basta definir:

||X|| =

X, X

Neste caso dizemos que a norma provem de um produto interno. De fato,

(N1) Se X =0 entao ||X|| =

X, X > 0 pela condicao (4).

(N2) ||.X|| =

X,X =

()2X, X = ||.

X, X = ||.||X||

Para provar (N3), antes precisamos do seguinte resultado:

Proposicao 2.2 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)

|X, Y| ||X||.||Y||

Prova: Se X =0 , entao X, Y = 0 e ||X|| = 0, o que torna obvia a desigualdade.

Agora vamos supor X =0 . Entao ||X|| > 0 e podemos definir o seguinte numero

=X, Y

||X||2

Desta forma, se tomarmos o elemento Z = Y X, temos

Z, X = Y, X X, Y

||X||2X, X = Y, X

X, Y

||X||2.||X||2 = 0

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Sendo Z = Y X, temos Y = Z + X e

Y, Y = Z, Z + Z, X + X, Z + 2X, X

isto e

||Y||2 = ||Z||2 + 2||X||2 + 2X, Z = ||Z||2 + 2||X||2

uma vez que Z, X = 0. Da

||Y||2 = ||Z||2 + 2||X||2 = ||Y||2 2||X||2

Mas

2||X||2 =

X, Y

||X||2

2||X||2 =

X, Y

||X||

2Da

||Y||2 X, Y

||X|| 2

isto e,X, Y2 ||X||2||Y||2

e extraindo a raiz quadrada nos dois membros, temos

|X, Y| ||X||.||Y||

Voltando a prova de (N3):

||X + Y||2 = X + Y, X + Y

= ||X||

2

+ ||Y||

2

+ 2X, Y ||X||2 + ||Y||2 + 2.|X, Y|

||X||2 + ||Y||2 + 2.||X||.||Y|| = (||X|| + ||Y||)2

Observacao 2.1 Nem toda norma provem de um produto interno!

Uma forma de saber se uma dada norma provem ou nao de um produto interno e aseguinte

Teorema 2.1 Se uma norma || || num espaco vetorial V provem de um produto interno,entao vale a lei do paralelogramo:

||X + Y||2 + ||X Y||2 = 2(||X||2 + ||Y||2)

Prova: Suponha que a norma || || provem de um produto interno, isto e, dado X V,vale:

||X|| =

X, X

Desta forma, temos

||X + Y||2 + ||X Y||2 = X + Y, X + Y + X Y, X Y

= ||X||2 + 2X, Y||Y||2 + ||X||2 2X, Y + ||Y||2

= 2||X||2 + 2||Y||2

= 2(||X||2 + ||Y||2)

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Desta forma, se nao vale a lei do paralelogramo, a norma nao provem de um produtointerno.

Exemplo 2.9 Considere o conjunto C[0, 1] e a norma||f|| = sup

x[0,1]

|f(x)|

Tome, por exemplo, defina h(x) = 2x 1 e

f(x) =|h(x)| h(x)

2g(x) =

|h(x)| + h(x)

2Desta forma

f(x) g(x) = h(x) f(x) + g(x) = |h(x)|

Portanto,

||f

g

|| = supx[0,1] | h

(x

)| = 1

||f + g|| = supx[0,1]

|h(x)| = 1||f|| = 1, ||g|| = 1

Assim,||f g||2 + ||f + g||2 = 2

e2(||f||2 + ||g||2) = 4

Vimos, entao, que num espaco vetorial com produto interno, podemos definir umametrica a partir do produto interno, uma vez que a partir deste, obtemos uma norma:

d(X, Y) = ||X Y|| = X Y, X Y = ||X||2 + ||Y||2 2X, Y

Exemplo 2.10 (Espacos vetoriais com produto interno) Considerando o espaco ve-torialRn, dados dois elementos X = (x1, x2, . . . , xn), Y = (y1, y2, . . . , yn), a funcao

X, Y = x1.y1 + x2.y2 + . . . + xn.yn

e um produto interno emRn. A norma que provem desse produto interno e

||X|| = X, X = x21 + x22 + . . . + x2ne a metrica definida por esse produto interno e

d(X, Y) = ||X Y|| =

(x1 y1)2 + (x2 y2)2 + . . . + (xn yn)2

Referencias

[1] LIMA, Elon Lages. CURSO DE ANALISE, vol. 1. Projeto Euclides, Rio de Janeiro,1995.

[2] LIMA, Elon Lages. ESPACOS METRICOS. Projeto Euclides, Rio de Janeiro, 1993.

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