REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO
POLITCNICOSANTIAGO MARIOEXTENSIN MATURN
ESTRUCTURA ESTATICAMENTE INDETERMINADA
Autor: Gnesis LucasProfesor: Ing. Lorenzo Mantilla
Maturn, Mayo de 2015INTRODUCCINCuando se habla de solucionar una
estructura hablamos de encontrar las relaciones entre las fuerzas
aplicadas y las fuerzas de reaccin, las fuerzas internas en todos
los puntos y las deformaciones.Para estructuras estticas solo es
necesario plantear las ecuaciones de equilibrio para encontrar
fuerzas de reaccin ya que estas no sobrepasan en nmero a las
ecuaciones de equilibrio. Una vez tengamos las reacciones
procedemos a encontrar las fuerzas internas por equilibrio de
secciones y de ah encontramos las deformaciones por los mtodos de
la doble integracin o trabajo virtual.En la solucin de estructuras
estticamente indeterminadas tenemos que solucionar simultneamente
las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad de deformaciones y las
de relaciones de fuerzas y desplazamientos (leyes constitutivas del
material).Observe que para las estructuras estticas los mtodos de
encontrar las deformaciones involucran la compatibilidad y las
relaciones fuerza-desplazamiento concluyendo que estas ecuaciones
se deben cumplir en todo tipo de estructura.La manera como se
manipulan estos tres tipos deecuaciones en el proceso de solucin
determina el mtodo.Por ejemplo, en el mtodo de las fuerzas vimos
que planteamos unas ecuaciones de compatibilidad de deformaciones
en el sentido de las redundantes y despus reemplazamos en estas
ecuaciones, los desplazamientos en funcin de las fuerzas
redundantes, quedando como incgnitas a solucionar las fuerzas
redundantes. Note que aqu se ha resuelto parte de la estructura, o
sea, solo la parte de llevarla a ser estticamente determinada, de
ah debemos completar la solucin por medio de las ecuaciones de
equilibrio esttico.En conclusin, se plantean tantas ecuaciones como
redundantes halla, por lo tanto en este mtodo el numero de
incgnitas es el nmero de redundantes, y las matrices a resolver son
de ese orden.El otro mtodo que plantearemos en este capitulo es el
de la rigidez o de los desplazamientos.Se llama de rigidez porque
las ecuaciones finales a solucionar tienen como incgnitas los
desplazamientos en funcin de las rigideces de los elementos.En
cualquiera de los dos mtodos que planteemos se utiliza el principio
de superposicin, el cual se cumple para sistemas lineales, elsticos
y que experimenten desplazamientos pequeos, o sea que las tangentes
son iguales a los ngulos.Debido a que en el mtodo de la rigidez se
trabaja con los desplazamientos en un punto determinado es
importante definir lo que es un grado de libertad.
Definicin Estructuras Estticamente indeterminadas:Se denomina de
esta manera a una barra sujeta a carga lateral; perpendicular a su
eje longitudinal, en la que el nmero de reacciones en los soportes
superan al nmero de ecuaciones disponibles del equilibrio esttico,
esta puede serlo por condicin interna, externa o ambas a la
vez.
INDETERMINACIN ESTATICA.Se define como el nmero de acciones
redundantes o exceso de reacciones internas y externas, que no es
posible determinar por medio del equilibrio esttico. Se puede decir
que es la diferencia entre el nmero de incgnitas y ecuaciones
disponibles de equilibrio esttico. Por ejemplo si en una viga se
tiene tres reacciones desconocidas y solo se dispone de dos
ecuaciones de equilibrio, la viga es indeterminada en grado 1:Nmero
de incgnitas = NI = 3Ecuaciones de equilibrio = EE = 2Grado de
indeterminacin = GI = NI - EE = 3 - 2 = 1NI = Reacciones verticales
y momento en el empotramiento = 5EE = Equilibrio. Vertical y suma
de momentos = 2GI = 5 - 2 = 3En ambos casos los GI representan el
nmero de ecuaciones adicionales para su solucin.1.3. SOLUCION DE
VIGAS HIPERESTATICAS.Se analizan vigas estticamente indeterminadas
con objeto de conocer las reacciones externas e internas en los
soportes, as como las deformaciones angulares y lineales que
ocurren a travs de su longitud cuando se les somete a carga
externa. Las deformaciones angulares son las rotaciones o
pendientes que se miden mediante una tangente trazada a la curva
elstica (Diagrama de deformacin) y las lineales son los
desplazamientos verticales que se miden entre el eje original de la
viga y el eje cuando la barra se flexiona. La figura 3 muestra esta
condicin.P = Carga aplicada.* = Rotacin o pendiente.* = Deformacin
lineal o flecha.
Procedimiento para el clculo de Estructuras Estticamente
Indeterminadas1. Se determina el grado de indeterminacin esttica.2.
Se debe eleccionar una de las reacciones como redundantes, la
estructura primaria debe ser estable y estticamente
indeterminada.3. Aplicar las cargas externas sobre la estructura
primaria se dibuja la deformada y se muestra la deflexin en el
punto de la redundante.4. Aplicar la redundante sobre la estructura
primaria, con un valor unitario de la fuerza en el punto y direccin
positiva del elemento redundante. Se dibuja la deformada y asigna F
como coeficiente de flexibilidad, el cual representa la deflexin o
pendiente en el punto de aplicacin, la deflexin o pendiente es
igual a la redundante por F (coeficiente de flexibilidad)5. Se
escribe la ecuacin de compatibilidad, igualando deformacin de la
estructura primaria con cargas en al deformacin de la estructura
primaria con incgnitas, la suma algebraica de la deflexin o rotacin
se igualan a O (cero). Si hay movimiento en el apoyo se iguala al
movimiento prescrito, por ejemplo asentamiento diferencial.6.
Calcular las deflexiones por las cargas y por la carga unitaria en
el punto de aplicacin de la redundante.7. Reemplazar el valor
anterior en la ecuacin de compatibilidad y hallar la redundante.8.
Hallar las otras ecuaciones usando las ecuaciones de equilibrio.9.
Realizar los diagramas de Corte(v) y Momento (m)
Ej: ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
Datos:N de elementos= 2N de reacciones= 5N de nudos= 3N de
condiciones especiales= 0GIE=3NE+NR+3NN-C=2
Solucin:Estructura primaria:
Tramo AB: ( 0XL)
Tramo BC : (0X)
Desplazamientos:
Definicin de EquilibrioUn cuerpo est en equilibrio cuando se
encuentra en reposo o tiene un movimiento uniforme. Analticamente
se expresa cuando la resultante de las fuerzas que actan sobre un
cuerpo es nula, se afirma as que el sistema de fuerzas no produce
efecto alguno sobre el cuerpo y se dice que el sistema de fuerzas
est en equilibrio.R = F = 0Para evaluar la situacin de equilibrio
en un cuerpo determinado, se hace un grfico del mismo llamado
Diagrama de cuerpo libre. Este diagrama consiste en aislar
completamente el cuerpo o parte del mismo y sealar todas las
fuerzas ejercidas sobre l, ya sean por contacto con otro cuerpo o
por su propio peso. Luego se aplican las condiciones de equilibrio,
las cuales se pueden expresar en forma de ecuaciones que se
denominan ecuaciones generales de equilibrio, tambin llamadas
ecuaciones bsicas de la esttica:1. La suma algebraica de fuerzas en
el eje X que se denominan Fx, o fuerzas con direccin horizontal, es
cero.Fx = 0 Fh = 02. La suma algebraica de fuerzas en el eje Y
denominadas Fy, o fuerzas con direccin vertical, es cero.Fy = 0 Fv
= 03. La suma algebraica de momentos M, o tendencias de giro
respecto a un punto determinado en equilibrio, es cero.M = 0 Es
importante recordar que la convencin de signos adoptada, en el
presente material, para la aplicacin de las ecuaciones generales de
equilibrio para fuerzas y momentos, en todos los casos y ejemplos,
es la siguiente: Ecuaciones de equilibrio: El equilibrio es uno de
los requisitos que debe cumplir una estructura, lo cual implica que
la resultante de las fuerzas externas es cero y no existe un par de
fuerzas; al descomponer en un plano cada fuerza y cada par en sus
componentes rectangulares, se encuentra las condiciones necesarias
y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rgido se pueden
expresar tambin por las tres ecuaciones siguientes:
Estas ecuaciones expresan el hecho de que las componentes de las
fuerzas externas en las direcciones x y y, as como los momentos de
las fuerzas externas estn en equilibrio. Por tanto, el sistema de
fuerzas externas no impartir ni movimiento de traslacin ni de
rotacin al cuerpo rgido considerado.
Ejemplo:
Condiciones de equilibrio y determinacin en estructuras planasSi
el No. De reacciones = No de ecuaciones estticas ms ecuaciones de
condicin: hay estabilidadSi el No. reacciones < No. Ecuaciones;
es inestable.Si el No. De reacciones No. >De ecuaciones, es
estticamente indeterminado o hiperesttico y su grado de in
determinacin estatica externa se determina por: GI externo= No.
Reacciones No. Ecuaciones.
Aplicacin de las ecuaciones de equilibrioDeterminacin de
reacciones por proporciones:Para determinar las reacciones en vigas
sometidas a cargas puntuales podemos aplicar la siguiente
regla:Siempre la relacin de un lado ser igual a la carga puntual
multiplicada por la distancia de la carga al apoyo contrario
dividido la longitud del elemento.
Para determinar las reacciones debidas a momentos iguales
aplicamos que el momento externo debe ser compensado por un par de
fuerzas en los apoyos, cuya magnitud es el momento externo dividido
por la separacin entre las fuerzas y su direccin es tal que
produzca un momento contrario al aplicado externamente. Estas dos
reacciones cumplen con la ecuacin de sumatoria de fuerzas
verticales igual a 0.Estas dos reglas junto con el principio de
superposicin nos ayudaran bastante en la determinacin de las
reacciones en vigas simplemente apoyadas.
Definicin de Compatibilidad
El mtodo de compatibilidad toma las fuerzas como incgnitas del
problema. Las ecuaciones de equilibrio se escriben en funcin de las
fuerzas aplicadas y de las reacciones. En una estructura
hiperesttica, el nmero de reacciones o fuerzas internas
desconocidas excede el nmero de ecuaciones independientes de
equilibrio en un nmero que, como hemos visto, se llama grado de
hiperestatismo. Se selecciona un conjunto de fuerzas incgnitas
redundantes (reacciones o internas), se liberan las condiciones de
apoyo o de enlaces correspondientes y se suponen las fuerzas
redundantes actuando sobre la estructura como si esta fuese
isosttica. Se escribe entonces una ecuacin de compatibilidad por
cada punto donde se ha liberado un apoyo o enlace; esta ecuacin
debe imponer que los movimientos de la estructura liberada sean
idnticos a los de la estructura original. Estas ecuaciones se
expresan en funcin de las incgnitas hiperestticas, cuya resolucin
permite determinar aquellas.
Relacin Fuerza-Desplazamiento
Un papel muy importante en el anlisis de estructuras lo juega la
relacin entre las fuerzas y los desplazamientos.Consideremos un
resorte linealmente elstico, sometido a la accin de una fuerza (A),
en este caso de compresin.
Como se puede observar najo la accin de (A) el resorte sufre un
desplazamiento (D) y la relacin entre (A) y (D) viene expresada por
la ecuacin de desplazamiento de la siguiente manera:D= FxADonde:D=
DesplazamientoA= AccinF= Flexibilidad del resorte.
La flexibilidad del resorte (F) se define como el desplazamiento
producido por un valor unitario de la accin (A). la relacin entre
(A) y (D) tambin se puede expresar por:A= KxDSiendo K la rigidez
del resorte es la accin necesaria para producir un desplazamiento
unitario.
Ejemplos:
En el primer caso, el desplazamiento D es causado por la fuerza
A y a la vez se encuentra ubicado en el punto donde acta dicha
fuerza.La flexibilidad (f) es el desplazamiento producido por un
valor unitario de carga.La rigidez K es la carga que produce un
valor unitario del desplazamiento.
Condiciones a satisfacer en la resolucin de Estructuras
Estticamente Indeterminadas
Las condiciones que, en principio debe satisfacer todo anlisis
estructural son las de equilibrio y las de compatibilidad teniendo
en cuenta el comportamiento tenso-deformacionales de los
materiales. Generalmente, las condiciones de compatibilidad o las
relaciones tenso-deformacionales de los materiales resultan
difciles de satisfacer estrictamente, por lo que pueden adoptarse
soluciones en que estas condiciones se cumplan parcialmente,
siempre que sean equilibradas y que satisfagan a posterior las
condiciones de ductilidad apropiadas.Las estructuras deben
satisfacer cuatro criterios bsicos: Funcionalidad: toda estructura
debe servir para aquello para lo que ha sido concebida. Seguridad:
toda estructura debe soportar las cargas a las que se ve sometida
durante su vida til- Economa: toda estructura debe construirse
aprovechando los recursos materiales. Esttica: toda estructura debe
tener una apariencia exterior adecuada.
Mtodos Generales de Anlisis de Estructuras Estticamente
Indeterminadas
Existen dos mtodos generales para analizar las estructuras
indeterminadas:
Si se analiza la estructura desde el punto de vista de la
esttica, aplicaremos el mtodo de flexibilidades y si analizamos la
estructura desde el punto de vista de la cinemtica, aplicaremos el
mtodo de las rigideces.En el mtodo de las flexibilidades las
incgnitas son las fuerzas redundantes cuyas presencia indica el
grado de hiperstacidad de la estructura.En el mtodo de rigideces
las incgnitas son los desplazamientos de las juntas que son tantos
como grados de indeterminacin cinemtica tenga la estructura. El
sistema de ecuaciones est constituido por las ecuaciones de
equilibrio.Estos mtodos son aplicables a toda clase de estructuras
y la formulacin de los dos mtodos se hace mediante lgebra matrical
lo cual permite plantear el problema de una forma ideal para la
programacin en una computadora digital.Debe comprenderse tambin que
los mtodos de flexibilidades y de rigideces pueden organizarse
hasta formar un procedimiento altamente sistematizado para el
anlisis de una estructura.
Conclusin
Estos modelos de anlisis, permiten dar un gran paso en el
proceso de anlisis de las estructuras, especficamente en las
Estructuras Estticamente Indeterminadas, a las cuales enfrentaremos
como futuros profesionales de la Ingeniera Civil, obteniendo
experiencia y conocimientos cada da en la prctica del diseo y una
plena comprensin del comportamiento de las estructuras, bien sean,
estas de un simple armado hasta de una estructura tridimensional de
formas complejas, por lo que se debe conocer las tcnicas analticas
asociadas a los necesarios clculos.Adems, estas tcnicas habrn de
ser utilizadas en el contexto de las normativas cuya aplicacin
garantizar la estandarizacin de los mtodos, el clculo matemtico y
el control de los resultados. Este conocimiento simultaneo de los
mtodos y tcnicas deben ser requisito fundamental para abordar el
estudio correspondiente a la etapa del diseo.Por lo que es de gran
relevancia la capacitacin como estudiantes de ingeniera civil en el
uso y comprensin de los modelos matemticos que permiten resolver el
clculo estructural y determinar las solicitaciones, debido a que
como futuros ingenieros el objetivo principal es el de servir a la
sociedad en obras de infraestructuras, que le permita resolver los
problemas de vivienda, salud, educacin y vialidad y todas estas
obras que requieren de un esqueleto que les sirva como soporte,
conocido como el nombre de Estructutas.
