ETAPA 4

ECUACIONES CUADRÁTICAS

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Definición:

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella que tiene la forma:

3𝑥2 + 5𝑥 + 2 = 0

2 9 0x 2 0ax bx

22 10 0x x 𝑎𝑥 2+𝑐 = 0

Se pueden clasificar:

• Completas: Donde a, b y c son diferentes de cero. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 ≠ 0

• Incompletas puras: Donde b es igual a cero.

• Incompletas Mixtas: Donde el valor de c es igual a cero.

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, donde 𝑎 ≠ 0

Una ecuación cuadrática presenta dos soluciones debido a que el grado de la ecuación cuadrática

nos determina el numero de soluciones que tiene.

En esta etapa podrás desarrollar tus competencias para resolver ecuaciones cuadráticas por los

siguientes métodos:

• Factorización

• Completando a un trinomio cuadrado perfecto.

• Despejando

• Formula general.

a) 2𝑥2 − 6𝑥 = 0

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método de factorización:

2𝑥 𝑥 − 3 = 0

2𝑥 = 0 y 𝑥 − 3 = 0

𝑥 = 0 y 𝑥 = 3

b) 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0

𝑥 − 3 𝑥 + 2 = 0

𝑥 − 3 = 0 y 𝑥 + 2 = 0

𝑥 = 3 y 𝑥 = −2

Ejemplos:

c) 𝑥2 − 16 = 0𝑥2 = 16

𝑥 = 16𝑥 = ±4

𝑥 = 4 y 𝑥 = −4

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método de completar el cuadrado:

𝑥2 − 12𝑥 + 9 = 0𝑥2 − 12𝑥 = −9

𝑥2 − 12𝑥 +−12

2

2

= −9 +−12

2

2

𝑥2 − 12𝑥 + 36 = −9 + 36𝑥 − 6 2 = 27

𝑥 − 6 2 = 27

𝑥 − 6 = ±5.19𝑥 = 5.19 + 6 y 𝑥 = −5.19 + 6

𝑥 = 11.19 y 𝑥 = 0.81

La FORMULA GENERAL nos permite obtener las soluciones de cualquier ecuación cuadrática de la forma

x=−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

2 4 0b ac

2 4 0b ac

2 4 0b ac

2 0ax bx c

Si el discriminante• significa que el valor dentro de la raíz cuadrada es positivo

y hay dos soluciones reales y diferentes de la ecuación cuadrática.

Si el discriminante • significa que el valor de la raíz cuadrada es cero y las dos soluciones

son reales e iguales.

Si el discriminante • significa que el valor dentro de la raíz cuadrada es negativo,

por lo tanto no existe una solución real, sino que hay dos soluciones

no reales para la ecuación cuadrática.

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando la formula general:

2𝑥2 − 9𝑥 − 5 = 0

𝑥 =− −9 ± −9 2 − 4 2 −5

2 2

𝑥 =− −9 ± 121

4

𝑥 =9 ± 11

4

𝑥 = 5 y 𝑥 =1

2

Observa que el valor del

discriminante es mayor que cero,

por lo tanto se tendrán dos

soluciones reales y diferentes

En esta ecuación a =2, b = - 9 y c = - 5

Situaciones que se resuelven mediante ecuaciones cuadráticas

En esta sección aplicarás la ecuación cuadrática para modelar una situación cotidiana.

Ejemplo

La casa de la familia Martínez tiene un patio cuyo largo es el doble del ancho. Se va adoquinar una

parte y a dejar otra para jardín. La parte que se va a dejar para jardín son 6 metros a lo largo de todo

el lado poniente , como se ilustra en la siguiente figura. Si se necesitan 360 metros cuadrados de

adoquín para cubrir la parte correspondiente:

a) ¿Cuáles son las dimensiones del terreno?

b) ¿Cuántos metros cuadrados quedan de jardín?

2360m

Solución:

El área adoquinada tiene 360 metros cuadrados,

Por lo tanto, las dimensiones de ese terreno adoquinado son :

Ancho=x

Largo= 2x-6

Utilizando la formula del área de un rectángulo, nos queda:

𝐴𝑎𝑑𝑜𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 = 𝑏𝑥ℎ

𝐴𝑎𝑑𝑜𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 = (2𝑥 − 6)(𝑥

2𝑥2 − 6𝑥 = 3602𝑥2 − 6𝑥 − 360 = 0 (dividiendo entre dos)

𝑥2 − 3𝑥 − 180 = 0𝑥 − 15 𝑥 + 12 = 0𝑥 = 15 y 𝑥 = −12

a) ¿Cuáles son las dimensiones del

terreno?

El terreno tiene 15 metros de ancho

por 30 metros de largo.

b) ¿Cuántos metros cuadrados quedan de jardín?

Solución:

El jardín mide 6x= 6(15)= 90 metros cuadrados

O bien 450 metros cuadrados del terreno menos 360 metros cuadrados del área adoquinada es igual

a 90 metros cuadrados del jardín.

FUENTE BIBLIOGRAFICA:

Charles Ch., Contreras F., Cuellar J.,García O. Gutierrez J.,Nava A., Desarrollo del Pensamiento

Algebraico.1era Edición. Ediciones De Laurel

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