Tu pregunta es,

Calcular los siguientes límites,

a. lim𝑥→1

√𝑥+263

−4√80+𝑥

√𝑥+8−3

b. lim𝑥→0

𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥))

𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥))

c. lim𝑥→0

𝑙𝑛(𝑡𝑎𝑛(𝜋

4+𝑎𝑥))

𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)

d. lim𝑥→0

𝑙𝑛(𝑡𝑎𝑛(𝜋

4+𝑎𝑥))

𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥), (𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎)

e. lim𝑥→4

|𝑥2−16|

𝑥−4

f. lim𝑥→1

2⁄

‖𝑥‖

𝑥+3

g. lim𝑥→+∞

𝑙𝑛(2+𝑒3𝑥)

𝑙𝑛(3+𝑒2𝑥)

h. lim𝑥→1

𝑥101−𝑥50+𝑥23−1

𝑥99−3𝑥49+2

Bien, nadie dijo que sería fácil. El profe que te mandó esto los odia… jajaja, o quiere

que se diviertan como yo. En fin.

El primer ejercicio, salta a la vista que nos va a dar problemas, entonces antes de

lanzarnos a intentar calcular el límite de eso, vamos a ver si esa función

efectivamente tiene límite.

lim𝑥→1

√𝑥 + 263

− 4√80 + 𝑥

√𝑥 + 8 − 3=

√1 + 263

− 4√80 + 1

√1 + 8 − 3=

−33

0; 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛

Para eso, lo que tenemos que verificar es,

lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1−

𝑓(𝑥)

Entonces, calculemos primero el límite de la función cuando equis se acerca a uno

por la derecha,

lim𝑥→1+

𝑓(𝑥)

Ahora que significa acercarse a uno por la derecha. Esto quiere decir que voy a

tomar un valor lo suficientemente cercano al uno, pero por la derecha, es decir, un

número insignificantemente mayor que uno, podemos tener en la cabeza el

siguiente número,

𝑥 → 1+ = 𝑥 → 1,0001

Esto quiere decir acercarse por la derecha. OJO, esto que estoy haciendo NO LO

DEBES HACER, esto tienes que tenerlo en la cabeza.

Entonces,

lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1,0001

√𝑥 + 263

− 4√80 + 𝑥

√𝑥 + 8 − 3

Reemplazamos el valor,

lim𝑥→1,0001

√𝑥 + 263

− 4√80 + 𝑥

√𝑥 + 8 − 3=

√1,0001 + 263 − 4√80 + 1,0001

√1,0001 + 8 − 3

Nuevamente esto no lo debes hacer, es solo para que tengas la idea del

procedimiento,

√1,0001 + 263 − 4√80 + 1,0001

√1,0001 + 8 − 3=

√27,00013 − 4√81,0001

√9,0001 − 3=

𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

3,00002 − 3

Mira que, solo nos interesa el signo que se obtiene de hacer esas operaciones, en el

numerador si recuerdas nos quedaba arriba negativo, el signo es lo único que nos

interesa,

Ahora, si recuerdas el denominador se nos hacía cero, pero ahora ya no, ¿estás de

acuerdo?

3,00002 > 3

Si ¿verdad? Es 0,00002 veces más grande, es una diferencia pequeñísima, pero,

está ahí, entonces, esa resta del denominador es un valor tan cercano al cero, pero

no es cero,

3,00002 − 3 = +0,00002

Ésta resta me da un valor positivo, chiquito, pero positivo, entonces, como dijimos

solo nos interesa los signos

𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜=

−

0+= −∞

¿estás de acuerdo? Es como que el denominador es un cero “positivo” por eso

adopta la forma de “más infinito” y como el numerador era negativo entonces nos

queda,

lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) = −∞

Ahora, hacemos lo mismo para calcular el límite cuando equis se acerca por la

izquierda, es decir, me acerco al uno por un valor insignificantemente menor que

uno, es decir,

𝑥 → 1− = 𝑥 → 0,999

Entonces,

lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→0,999

√𝑥 + 263

− 4√80 + 𝑥

√𝑥 + 8 − 3

Reemplazamos éste valor,

lim𝑥→0,999

√𝑥 + 263

− 4√80 + 𝑥

√𝑥 + 8 − 3=

√0,999 + 263 − 4√80 + 0,999

√0,999 + 8 − 3

¿Estás de acuerdo que el numerador no va a cambiar de signo? puedes

comprobarlo haciendo esas operaciones, pero como te dije únicamente nos

interesa solo el signo,

√0,999 + 263 − 4√80 + 0,999

√0,999 + 8 − 3=

𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

2,999 − 3

Ahora, mira lo que pasa en el denominador,

2,999 < 3

Eso quiere decir que,

2,999 − 3 = 𝐴𝑙𝑔𝑜 𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

¿si verdad? No importa el valor, solo sabemos que esa resta nos va a dar un

número negativo, entonces,

𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜=

𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

0−=

−

−∞= +∞

¿Estás de acuerdo? Nuevamente, recuerda que el denominador es un valor muy

cercano al cero, pero ésta vez el denominador nos salió negativo, eso quiere decir

que es, una cero “negativo”, y se lo interpreta como menos infinito, y como el

numerador era negativo entonces, nos queda,

lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) = +∞

Ahora, si recuerdas, para que exista un límite de una función se debía cumplir que,

lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1−

𝑓(𝑥)

Reemplazamos lo que obtuvimos,

−∞ = +∞

Y, esto es falso ¿verdad?, un número negativo jamás es igual a número positivo, por

lo tanto, de todo esto concluimos que la función no tiene límite, pero,

Qué pasa si tú te vas hacia más infinito, y yo me voy hacia menos infinito, ¿qué es lo

que estamos haciendo? Nos estamos separando, nos estamos hiendo hacia los

extremos en otras palabras, estamos “DIVERGIENDO”

Por lo tanto,

lim𝑥→1

√𝑥 + 263

− 4√80 + 𝑥

√𝑥 + 8 − 3= 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

Ahora, el procedimiento te habrá parecido muy largo, pero no es así, esto que hice

fue solo para que entiendas las interpretaciones que hacemos. Todo esto, solo lo

haces en la cabeza, a ningún profesor le gusta que hagan esto así que te sugiero no

lo hagas.

lim𝑥→0

𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥))

𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥))

Bien, primero veamos el tipo de indeterminación que tenemos,

lim𝑥→0

𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥))

𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥))=

𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑎(0)))

𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑏(0)))=

𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(0))

𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(0))

Pero sabemos que,

𝑐𝑜𝑠(0) = 1,

Entonces,

𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(0))

𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(0))=

𝑙𝑛(1)

𝑙𝑛(1)

Y, también sabemos que,

𝑙𝑛(1) = 0,

Entonces,

𝑙𝑛(1)

𝑙𝑛(1)=

0

0

Cuidado vayas a simplificar, lo digo porque ya me ha pasado con algún chistoso,

Nos quedó, una indeterminación del tipo cero sobre cero,

El mejor método y el que siempre nos salva es aplicar la “Regla de L`Hopital”, éste

método lo que nos dice es lo siguiente,

"𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜:

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

0

0, ò

±∞

±∞,

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑒𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒𝑟á 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙

𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑦 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟, 𝑐𝑢í𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒¡

Entonces, derivemos el numerador y el denominador, para eso recordemos las

siguientes derivadas,

𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑓’(𝑥) = −(𝑎)𝑠𝑖𝑛(𝑥)

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑎𝑥), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑓’(𝑥) =𝑎’

𝑥

Éstas son derivadas particulares, haciendo uso de la regla de la cadena,

Entonces,

lim𝑥→0

𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥))

𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥))=

𝑓’(𝑥)

𝑔’(𝑥)

primero derivemos el numerador,

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)),

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑓’(𝑥) =(𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥))’

𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)=

−(𝑎)𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)

𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)

Ahora, derivemos el denominador,

𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)),

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑔’(𝑥) =(𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥))’

𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)=

−(𝑏)𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)

𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)

Unimos todo,

lim𝑥→0

𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥))

𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥))=

−(𝑎)𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)

−(𝑏)𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)

Hacemos medios con medios, extremos con extremos,

lim𝑥→0

((𝑎)𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)

𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)) (

𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)

(𝑏)𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)) = lim

𝑥→0(

(𝑎)𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)

𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)(𝑏)𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥))

Ahora, la regla de L`Hopital nos garantiza que podríamos encontrar el límite de

ésta función, veamos,

lim𝑥→0

((𝑎)𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)

𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)(𝑏)𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)) = (

(𝑎)𝑠𝑖𝑛(𝑎(0))𝑐𝑜𝑠(𝑏(0))

𝑐𝑜𝑠(𝑎(0))(𝑏)𝑠𝑖𝑛(𝑏(0))) = (

0

1) (

1

0)

Y no hemos levantado la indeterminación entonces, la regla de L`Hopital nos

permite volver a aplicar la derivación tantas veces como sean necesarias SIEMPRE

Y CUANDO la indeterminación siga siendo del tipo cero entre cero, o infinito entre

infinito,

Entonces, si gustas ésta sería la segunda derivada

Primero derivemos el numerador,

𝑓(𝑥) = (𝑎)𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥),

Aplicamos la derivación del producto,

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑓’(𝑥) = (𝑎)[(𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥))’𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥) + (𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥))’𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)]

Entonces,

𝑓’(𝑥) = (𝑎)[(𝑎)𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥) − (𝑏)𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)]

Ahora derivamos el denominador,

𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)(𝑏)𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥) = (𝑏)𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)

Aplicamos la derivación del producto,

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑓’(𝑥) = (𝑏)[(𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥))’𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥) + (𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥))’𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)]

Entonces,

𝑓’(𝑥) = (𝑏)[−(𝑎)𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥) + (𝑏)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)]

Unimos todo,

lim𝑥→0

((𝑎)𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)

𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)(𝑏)𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)) =

𝑓’(𝑥)

𝑔’(𝑥)

lim𝑥→0

((𝑎)𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)

𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)(𝑏)𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)) =

(𝑎)[(𝑎)𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥) − (𝑏)𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)]

(𝑏)[−(𝑎)𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥) + (𝑏)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)]

Bueno, veamos si ahora podemos calcular el límite de esto,

lim𝑥→0

(𝑎)[(𝑎)𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥) − (𝑏)𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)]

(𝑏)[−(𝑎)𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥) + (𝑏)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)]= ⋯

… =(𝑎)[(𝑎)𝑐𝑜𝑠(𝑎(0))𝑐𝑜𝑠(𝑏(0)) − (𝑏)𝑠𝑖𝑛(𝑏(0))𝑠𝑖𝑛(𝑎(0))]

(𝑏)[−(𝑎)𝑠𝑖𝑛(𝑎(0))𝑠𝑖𝑛(𝑏(0)) + (𝑏)𝑐𝑜𝑠(𝑏(0))𝑐𝑜𝑠(𝑎(0))]

… =(𝑎)[(𝑎)𝑐𝑜𝑠((0))𝑐𝑜𝑠((0)) − (𝑏)𝑠𝑖𝑛((0))𝑠𝑖𝑛((0))]

(𝑏)[−(𝑎)𝑠𝑖𝑛((0))𝑠𝑖𝑛((0)) + (𝑏)𝑐𝑜𝑠((0))𝑐𝑜𝑠((0))]

Pero sabemos que,

𝑐𝑜𝑠(0) = 1, 𝑠𝑖𝑛(0) = 0

Entonces,

… =(𝑎)[(𝑎)(1)(1) − (𝑏)(0)(0)]

(𝑏)[−(𝑎)(0)(0) + (𝑏)(1)(1)]=

(𝑎)[(𝑎)]

(𝑏)[(𝑏)]=

𝑎2

𝑏2

Entonces resumen,

lim𝑥→0

𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥))

𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥))= lim

𝑥→0(

(𝑎)𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)

𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)(𝑏)𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥))

= lim𝑥→0

(𝑎)[(𝑎)𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥) − (𝑏)𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)]

(𝑏)[−(𝑎)𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥) + (𝑏)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥)]=

𝑎2

𝑏2

Tuvimos que derivar dos veces el numerador y denominador para poder hallar el

límite, en otros casos puede que toque derivar 3,4 o 5 veces, siempre y cuando la

indeterminación siempre sea del tipo,

0

0, ò

±∞

±∞

En fin,

Para el siguiente ejercicio que escribiste no entendí bien un término por eso te

sugiero que tomes fotos del ejercicio y las subes, o como lo has hecho, especificar

con paréntesis cada operación, nunca dejes de hacer eso, una de las cosas que la

gente pierde la costumbre es de usar paréntesis y no saben lo importante que son,

pero no te olvides de poner paréntesis para especificar qué términos son los que

están en el denominador.

Ese es el caso, entonces lo que he hecho es adicionar un ejercicio (extra), ahí

decides cual es el que quisiste poner.

lim𝑥→0

𝑙𝑛 (𝑡𝑎𝑛 (𝜋

4 + 𝑎𝑥))

𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥) ò lim

𝑥→0

𝑙𝑛 (𝑡𝑎𝑛 (𝜋4 + 𝑎𝑥))

𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)

Bien, se ven divertidos,

Para el primer límite, primero veamos el tipo de indeterminación que se nos

presenta,

lim𝑥→0

𝑙𝑛 (𝑡𝑎𝑛 (𝜋

4 + 𝑎𝑥))

𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)=

𝑙𝑛 (𝑡𝑎𝑛 (𝜋

4 + 𝑎(0)))

𝑠𝑖𝑛(𝑏(0))=

𝑙𝑛 (𝑡𝑎𝑛 (𝜋4))

0

Pero, sabemos que,

𝑡𝑎𝑛 (𝜋

4) = 𝑡𝑎𝑛(45) = 1

𝑙𝑛(1)

0=

0

0

Parece que L`Hopital nos va a salvar, entonces derivemos el numerador,

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑡𝑎𝑛 (𝜋

4 + 𝑎𝑥))

Recordemos las siguientes derivadas,

𝑙𝑛(𝑥) =1

𝑥 𝑦 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛, 𝑡𝑎𝑛(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)

Entonces,

𝑓’(𝑥) =(𝑡𝑎𝑛 (

𝜋4 + 𝑎𝑥)) ’

𝑡𝑎𝑛 (𝜋

4 + 𝑎𝑥)=

𝑠𝑒𝑐2 (𝜋

4 + 𝑎𝑥) (𝜋

4 + 𝑎𝑥) ’

𝑡𝑎𝑛 (𝜋

4 + 𝑎𝑥)

Mira que, solo hemos derivado usando la regla de la cadena derivo lo más

superficial, y multiplico por la derivada de lo que esté más a dentro, ahora,

tenemos que derivar lo que estaba dentro de la tangente,

Podemos usar la derivada del cociente,

(𝜋

4 + 𝑎𝑥) ’ =

(𝜋)’(4 + 𝑎𝑥) − (4 + 𝑎𝑥)’(𝜋)

(4 + 𝑎𝑥)2

La derivada de una constante es cero, entonces nos queda,

(𝜋

4 + 𝑎𝑥) ’ =

−(𝑎)(𝜋)

(4 + 𝑎𝑥)2= −

𝑎𝜋

(4 + 𝑎𝑥)2

Unimos,

𝑓’(𝑥) =𝑠𝑒𝑐2 (

𝜋4 + 𝑎𝑥

) (−𝑎𝜋

(4 + 𝑎𝑥)2)

𝑡𝑎𝑛 (𝜋

4 + 𝑎𝑥)

Ésta expresión podemos reescribirla haciendo medios con medios, extremos con

extremos,

𝑓’(𝑥) = − (𝑠𝑒𝑐2 (𝜋

4 + 𝑎𝑥) (

𝑎𝜋

(4 + 𝑎𝑥)2)) (

1

𝑡𝑎𝑛 (𝜋

4 + 𝑎𝑥))

𝑓’(𝑥) = − (𝑠𝑒𝑐2 (𝜋

4 + 𝑎𝑥) (

𝑎𝜋

(4 + 𝑎𝑥)2)) (

1

𝑡𝑎𝑛 (𝜋

4 + 𝑎𝑥))

𝑓’(𝑥) = − ((𝑎𝜋)𝑠𝑒𝑐2 (

𝜋4 + 𝑎𝑥)

(4 + 𝑎𝑥)2𝑡𝑎𝑛 (𝜋

4 + 𝑎𝑥))

Listo, es verdad que a veces nos va a salir monstruosidades y va a ser algo

complicado, pero es el método más “fácil” que podremos hallar, entonces hay que

aprender a derivar perfectamente, y hacer uso correcto de la regla de cadena,

además del álgebra por supuesto.

Bien, ya derivamos el numerador ahora el denominador, pero ese ya está fácil,

𝑔(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)

Entonces,

𝑔’(𝑥) = (𝑏)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)

Unimos todo para armar el nuevo límite,

lim𝑥→0

𝑙𝑛 (𝑡𝑎𝑛 (𝜋

4 + 𝑎𝑥))

𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)=

𝑓’(𝑥)

𝑔’(𝑥)

Es decir,

lim𝑥→0

𝑙𝑛 (𝑡𝑎𝑛 (𝜋

4 + 𝑎𝑥))

𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)= lim

𝑥→0

− ((𝑎𝜋)𝑠𝑒𝑐2 (

𝜋4 + 𝑎𝑥

)

(4 + 𝑎𝑥)2𝑡𝑎𝑛 (𝜋

4 + 𝑎𝑥))

(𝑏)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)

Más vale que nos salga ahorita el límite porque va a estar medio interesante volver

a derivar esto…jajaja

lim𝑥→0

− ((𝑎𝜋)𝑠𝑒𝑐2 (

𝜋4 + 𝑎𝑥)

(4 + 𝑎𝑥)2𝑡𝑎𝑛 (𝜋

4 + 𝑎𝑥))

(𝑏)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)=

− ((𝑎𝜋)𝑠𝑒𝑐2 (

𝜋4 + 𝑎(0)

)

(4 + 𝑎(0))2𝑡𝑎𝑛 (𝜋

4 + 𝑎(0))

)

(𝑏)𝑐𝑜𝑠(𝑏(0))= ⋯

… =

− ((𝑎𝜋)𝑠𝑒𝑐2 (

𝜋4)

(4)2𝑡𝑎𝑛 (𝜋4)

)

(𝑏)𝑐𝑜𝑠(0)

Pero sabemos que,

𝑡𝑎𝑛 (𝜋

4) = 1, 𝑐𝑜𝑠(0) = 1, 𝑠𝑒𝑐2 (

𝜋

4) =

1

𝑐𝑜𝑠2 (𝜋4

)=

1

(√22 )

2 =1

12

= 2

Entonces,

… =− (

(𝑎𝜋)(2)(16)(1)

)

(𝑏)(1)= −

𝑎𝜋

8𝑏

Y eso sería todo,

Ahora veamos con el otro caso,

lim𝑥→0

𝑙𝑛 (𝑡𝑎𝑛 (𝜋4 + 𝑎𝑥))

𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)

la indeterminación nos va a salir la misma así que ya sabemos que es lo que debes

hacer,

derivamos el numerador,

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑡𝑎𝑛 (𝜋

4+ 𝑎𝑥))

Entonces,

𝑓’(𝑥) =(𝑡𝑎𝑛 (

𝜋4 + 𝑎𝑥)) ’

𝑡𝑎𝑛 (𝜋4 + 𝑎𝑥)

=𝑠𝑒𝑐2 (

𝜋4 + 𝑎𝑥) (

𝜋4 + 𝑎𝑥) ’

𝑡𝑎𝑛 (𝜋4 + 𝑎𝑥)

=𝑠𝑒𝑐2 (

𝜋4 + 𝑎𝑥) (𝑎)

𝑡𝑎𝑛 (𝜋4 + 𝑎𝑥)

Ahora derivamos el denominador,

𝑔(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)

Entonces,

𝑔’(𝑥) = (𝑏)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)

Unimos todo, para armar el nuevo límite,

lim𝑥→0

𝑙𝑛 (𝑡𝑎𝑛 (𝜋4 + 𝑎𝑥))

𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)=

𝑓’(𝑥)

𝑔’(𝑥)

Es decir,

lim𝑥→0

𝑙𝑛 (𝑡𝑎𝑛 (𝜋4 + 𝑎𝑥))

𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)= lim

𝑥→0

𝑠𝑒𝑐2 (𝜋4 + 𝑎𝑥) (𝑎)

𝑡𝑎𝑛 (𝜋4 + 𝑎𝑥)

(𝑏)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)

Calculamos éste límite,

lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑐2 (𝜋4 + 𝑎𝑥) (𝑎)

𝑡𝑎𝑛 (𝜋4 + 𝑎𝑥)

(𝑏)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)=

𝑠𝑒𝑐2 (𝜋4 + 𝑎(0)) (𝑎)

𝑡𝑎𝑛 (𝜋4

+ 𝑎(0))

(𝑏)𝑐𝑜𝑠(𝑏(0))=

𝑠𝑒𝑐2 (𝜋4) (𝑎)

𝑡𝑎𝑛 (𝜋4)

(𝑏)𝑐𝑜𝑠(0)=

(2)(𝑎)(1)

(𝑏)(1)= ⋯

Es decir,

… =2𝑎

𝑏

En resumen,

lim𝑥→0

𝑙𝑛 (𝑡𝑎𝑛 (𝜋4 + 𝑎𝑥))

𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)= lim

𝑥→0

𝑠𝑒𝑐2 (𝜋4 + 𝑎𝑥) (𝑎)

𝑡𝑎𝑛 (𝜋4 + 𝑎𝑥)

(𝑏)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)=

2𝑎

𝑏

Y listo, eso sería todo,

Nos salió dos valores totalmente diferentes, entonces mira cual es el que te sirve. Y

para la próxima sube una foto, o hazlo así de bien como lo hiciste con los

paréntesis.

lim𝑥→4

|𝑥2 − 16|

𝑥 − 4

Para éste límite no hay asustarse por el valor absoluto. Por lo general, ésta clase de

función no siempre tienen límite entonces con la práctica ya te irás dando cuenta

que funciones no tienen límite, pero bueno, veamos si ésta función tiene límite,

Para eso debemos demostrar que,

lim𝑥→4+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→4−

𝑓(𝑥)

Entonces ya expliqué la interpretación que debemos hacer para éstos casos, pero

veámoslo de nuevo,

lim𝑥→4+

|𝑥2 − 16|

𝑥 − 4= lim

𝑥→4,001

|𝑥2 − 16|

𝑥 − 4

Entonces,

lim𝑥→4,001

|𝑥2 − 16|

𝑥 − 4=

|(4,001)2 − 16|

(4,001) − 4

Entonces primero analicemos el numerador,

|(4,001)2 − 16|

Estás de acuerdo que,

(4,001)2 > 16

Para ser más exacto si gustas, aunque como te dije solo necesitamos establecer el

signo,

16,008 > 16

Eso quiere decir que,

|(4,001)2 − 16| = |16,008 − 16| = |+0,008|

Esto NO ES NECESARIO hacer, únicamente es para que puedas entender el

desarrollo, ahora, el valor absoluto de un número positivo siempre es positivo

entonces,

|(4,001)2 − 16| = 𝑃𝑂𝑆𝐼𝑇𝐼𝑉𝑂

Eso quiere decir que podemos romper el valor absoluto,

lim𝑥→4+

|𝑥2 − 16|

𝑥 − 4= lim

𝑥→4+

𝑥2 − 16

𝑥 − 4

Podemos factorizar,

lim𝑥→4+

𝑥2 − 16

𝑥 − 4= lim

𝑥→4+

(𝑥 + 4)(𝑥 − 4)

𝑥 − 4

Consideramos que,

𝑥 − 4 ≠ 0

Es decir,

𝑥 ≠ 4

El denominador nunca puede ser cero, entonces ahora sí, podemos simplificar,

lim𝑥→4+

(𝑥 + 4)

Si calculamos éste límite,

lim𝑥→4+

(𝑥 + 4) ≈ 8

Concluimos que

lim𝑥→4+

𝑓(𝑥) = 8

Ahora, debemos calcular cuando equis se acerca a cuatro por la izquierda, es decir,

lim𝑥→4−

|𝑥2 − 16|

𝑥 − 4= lim

𝑥→3,999

|𝑥2 − 16|

𝑥 − 4

Entonces,

lim𝑥→3,999

|𝑥2 − 16|

𝑥 − 4=

|(3,999)2 − 16|

(3,999) − 4

Si analizamos el numerador,

(3,999)2 − 16 = 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

¿Estás de acuerdo?

Ahora, no podemos romper así de fácil para éste caso el valor absoluto para eso

usamos una propiedad,

𝑠𝑖, 𝑥2 − 16 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 4−, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 |𝑥2 − 16| = 16 − 𝑥2

Ahora sí,

lim𝑥→4−

|𝑥2 − 16|

𝑥 − 4= lim

𝑥→4−

16 − 𝑥2

𝑥 − 4

Podemos extraer el signo,

lim𝑥→4−

−(𝑥2 − 16)

𝑥 − 4

Factorizamos,

lim𝑥→4−

−(𝑥2 − 16)

𝑥 − 4= lim

𝑥→4−

−((𝑥 + 4)(𝑥 − 4))

𝑥 − 4

Consideramos que el denominador no puede ser cero, entonces,

𝑥 − 4 ≠ 0

Es decir,

𝑥 ≠ 4

Ahora sí, simplificamos,

lim𝑥→4−

−(𝑥 + 4) = −8

Entonces,

lim𝑥→4−

|𝑥2 − 16|

𝑥 − 4= −8

Por lo tanto,

lim𝑥→4+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→4−

𝑓(𝑥)

De ésta igualdad podemos concluir con lo que obtuvimos que,

8 = −8

Pero,

8 ≠ −8

Por lo tanto, ésta función no tiene límite, ahora, si te vas en dirección a +8 y yo a -8

lo que estamos haciendo es, DIVERGIR, entonces,

lim𝑥→4

|𝑥2 − 16|

𝑥 − 4= 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

lim𝑥→1

2⁄

‖𝑥‖

𝑥 + 3

Para éste límite, lo que tenemos en el numerador no es más que una “norma”, y

ésta nos garantiza que es puramente positivo, entonces, no hay problema,

lim𝑥→1

2⁄

‖𝑥‖

𝑥 + 3=

‖12‖

12 + 3

=‖

12‖

72

= (‖1

2‖) (

2

7) = ‖

1

7‖ =

1

7

Y eso sería todo,

lim𝑥→+∞

𝑙𝑛(2 + 𝑒3𝑥)

𝑙𝑛(3 + 𝑒2𝑥)

Primero veamos la indeterminación que deja,

lim𝑥→+∞

𝑙𝑛(2 + 𝑒3𝑥)

𝑙𝑛(3 + 𝑒2𝑥)=

𝑙𝑛(2 + 𝑒3(∞))

𝑙𝑛(3 + 𝑒2(∞))

Ahora, si recuerdas la gráfica de la función exponencial,

Si miras ésta gráfica, cuando x=2,5 el valor de “y” es aproximadamente, 30000, es

decir que solo con un valor chiquito de “x”, en el eje “y” los valores crecen bien

rápido, por eso se llama exponencial, porque crece tan rápido, ahora imagínate que

pasaría si equis se va al infinito, es como que el eje ye, crece miles de miles de miles

de millones de números en el eje ye, es decir crece súper hiper ultra recontra

rápido, entonces decimos que,

𝑙𝑛(2 + 𝑒3(∞))

𝑙𝑛(3 + 𝑒2(∞))=

𝑙𝑛(2 + (∞))

𝑙𝑛(3 + (∞))

Ahora, infinito más cualquier numerito,

𝑙𝑛(∞)

𝑙𝑛(∞)

Ahora recordemos la gráfica del logaritmo natural,

Qué pasa cuando equis se va hacia más infinito, es como que ye también va a ir

creciendo poquito a poquito, pero se va para más infinito

Es decir,

lim𝑥→+∞

𝑙𝑛(2 + 𝑒3𝑥)

𝑙𝑛(3 + 𝑒2𝑥)=

∞

∞

Nuevamente L`Hopital es quien nos salva, porque cumple con el tipo de

indeterminación,

Entonces derivamos el numerador,

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(2 + 𝑒3𝑥)

Entonces,

𝑓’(𝑥) =(2 + 𝑒2𝑥)’

2 + 𝑒2𝑥=

3𝑒3𝑥

2 + 𝑒3𝑥

Ahora para el denominador,

𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛(3 + 𝑒2𝑥)

Entonces,

𝑔’(𝑥) =(3 + 𝑒2𝑥)’

3 + 𝑒2𝑥=

2𝑒2𝑥

3 + 𝑒2𝑥

Unimos todo para formar el nuevo límite,

lim𝑥→+∞

𝑙𝑛(2 + 𝑒3𝑥)

𝑙𝑛(3 + 𝑒2𝑥)=

𝑓’(𝑥)

𝑔’(𝑥)

Entonces,

lim𝑥→+∞

𝑙𝑛(2 + 𝑒3𝑥)

𝑙𝑛(3 + 𝑒2𝑥)= lim

𝑥→+∞

3𝑒3𝑥

2 + 𝑒3𝑥

2𝑒2𝑥

3 + 𝑒2𝑥

= lim𝑥→+∞

(3𝑒3𝑥

2 + 𝑒3𝑥) (

3 + 𝑒2𝑥

2𝑒2𝑥)

Aplicamos las propiedades de los exponentes,

𝑥𝑚

𝑥𝑛= 𝑥𝑚−𝑛

Entonces,

lim𝑥→+∞

(3𝑒3𝑥−2𝑧

2 + 𝑒3𝑥) (

3 + 𝑒2𝑥

2) = lim

𝑥→+∞(

3𝑒𝑧

2 + 𝑒3𝑥) (

3 + 𝑒2𝑥

2)

Si calculamos éste límite,

lim𝑥→+∞

(3𝑒𝑧

2 + 𝑒3𝑥) (

3 + 𝑒2𝑥

2) = (

3𝑒(∞)

2 + 𝑒3(∞)) (

3 + 𝑒2(∞)

2) =

∞

∞

Nuevamente, vamos a tener que usar L`Hopital,

Entonces tenemos el siguiente límite,

lim𝑥→+∞

(3𝑒𝑧(3 + 𝑒2𝑥)

2(2 + 𝑒3𝑥)) = lim

𝑥→+∞(

9𝑒𝑥 + 3𝑒3𝑥

4 + 2𝑒3𝑥)

Entonces derivando el numerador,

𝑓(𝑥) = 9𝑒𝑥 + 3𝑒3𝑥

Entonces,

𝑓’(𝑥) = 9𝑒𝑥 + 9𝑒3𝑥

Ahora, derivamos el denominador,

𝑔(𝑥) = 4 + 2𝑒3𝑥

Entonces,

𝑔’(𝑥) = 6𝑒3𝑥

Unimos todo para armar el nuevo límite,

lim𝑥→+∞

(9𝑒𝑥 + 3𝑒3𝑥

4 + 2𝑒3𝑥) = lim

𝑥→+∞(

𝑓’(𝑥)

𝑔’(𝑥))

Entonces,

lim𝑥→+∞

(9𝑒𝑥 + 9𝑒3𝑥

6𝑒3𝑥) = lim

𝑥→+∞(

9𝑒𝑥

6𝑒3𝑥+

9𝑒3𝑥

6𝑒3𝑥) = lim

𝑥→+∞(

3

2𝑒2𝑥+

3

2)

Ahora sí podemos calcular éste límite,

Para eso, usamos el siguiente límite que tienes que saberlo,

lim𝑥→∞

𝑘

𝑥= 0

Es como que un número divido entre un número gigantesco como infinito, te va a

dar un valor muy cercano a cero, no importa el número que esté arriba (k),

lim𝑥→+∞

(3

2𝑒2𝑥+

3

2) =

3

2𝑒2(∞)+

3

2

Pero, de por sí solo, el infinito es sumamente gigantesco, entonces si le multiplico

por dos,

2(∞)

es aún más grande, y si éste es la potencia de un exponencial

𝑒2(∞)

es todavía más grande, y si a éste número le multiplico por dos,

2𝑒2(∞)

Es todavía aún más grande,

Moraleja,

El primer término de ese límite es cero,

lim𝑥→+∞

(3

2𝑒2𝑥+

3

2) = 0 +

3

2

Por lo tanto

lim𝑥→+∞

(3

2𝑒2𝑥+

3

2) =

3

2

Y eso sería todo,

lim𝑥→1

𝑥101 − 𝑥50 + 𝑥23 − 1

𝑥99 − 3𝑥49 + 2

Y por último tenemos éste ejercicio,

Entonces primero calculemos el tipo de indeterminación que nos deja,

lim𝑥→1

𝑥101 − 𝑥50 + 𝑥23 − 1

𝑥99 − 3𝑥49 + 2=

(1)101 − (1)50 + (1)23 − 1

(1)99 − 3(1)49 + 2=

1 − 1 + 1 − 1

1 − 3 + 2=

0

0

Adivina quién nos va a ayudar, L`Hopital

Entonces,

lim𝑥→1

𝑥101 − 𝑥50 + 𝑥23 − 1

𝑥99 − 3𝑥49 + 2= lim

𝑥→1

𝑓’(𝑥)

𝑔’(𝑥)

Derivamos el numerador,

𝑓(𝑥) = 𝑥101 − 𝑥50 + 𝑥23 − 1

Entonces,

𝑓’(𝑥) = 101𝑥100 − 50𝑥49 + 23𝑥22

Derivamos el denominador,

𝑔(𝑥) = 𝑥99 − 3𝑥49 + 2

Entonces,

𝑔’(𝑥) = 99𝑥98 − 147𝑥48

Ahora, armamos el nuevo límite,

lim𝑥→1

𝑓’(𝑥)

𝑔’(𝑥)= lim

𝑥→1

101𝑥100 − 50𝑥49 + 23𝑥22

99𝑥98 − 147𝑥48

Entonces, calculamos éste límite,

lim𝑥→1

101𝑥100 − 50𝑥49 + 23𝑥22

99𝑥98 − 147𝑥48=

101(1)100 − 50(1)49 + 23(1)22

99(1)98 − 147(1)48= ⋯

La tabla de uno si nos la sabemos,

… =101 − 50 + 23

99 − 147=

101 − 50 + 23

99 − 147=

74

−48= −

37

24≈ 1,54

Y eso sería todo, espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas.

Recomendaciones,

Aprender a derivar nos puede salvar la vida, al igual que L`Hopital

Saber el álgebra

La demostración de si una función tiene límite es bastante abstracta así que

practica.

Anota bien los ejercicios y nunca dejes de usar paréntesis.

Por más que no puedas y lo hayas intentado y no te salga y estés enojada

con tigo, no incendies la casa de tu profesor, eso no soluciona nada.

Disfruta que lo que haces, el cálculo es una materia y una herramienta

sumamente poderosa, y saberla manipular te va a permitir ver nuevos

horizontes, además es divertida.

No te rindas ¡

Atta. Santiago Seeker.