Matematiki fakultetBeogradEUKLIDSKI PROSTORINada Stamenovaml02083 EUKLIDSKI PROSTORIPojam skalarnog proizvodaPod skalarnim proizvodom u realnom vektorskom prostoru V podrazumevamo svako od preslikavanja( ) v u v u ,skupa VVu samo polje R, takvo da za proizvoljne vektore u,v,wiz Vi svaki realan broj vai: S.1 ( ) w v w u w v u + +, S.2 ( ) ( ) v u v u , S.3 u v v u , S.4u u u 0 >0.Uzto, akojetuprostorV konanedimenzije, tadasampar(V, )zovemoi jednim euklidskim vektorskim prostorom. Uslovi S.1 i S.2 upravo znae da je to preslikavanje ( ) v u v u , linearno po prvoj komponenti; prema uslovu S.3, ono je linearno i po drugoj komponenti, a samim tim i jedna simetrina bilinearna forma uoenog vektorskog prostora V. Zajedno sa uslovom S.4, to dalje znai da je tada sa(u) u u definisana i jedna pozitivno definitna kvadratna forma tog vektorskog prostora, ija je polarizacija F upravo sam taj skalarni proizvod, to jest F(u,v)v u . Ovo poslednje je i razlogto se euklidski vektorski prostor esto odreuje i kao bilo koji od parova (V, ), u kome je V realan vektorski prostor konane dimenzije i bilo koja od njegovih pozitivno definitnih kvadratnih formi.NaznaeneusloveS.1-4redomzovemoiuslovimadistributivnosti, homogenosti,simetrinostiipozitivnedefinitnostibilo kog od skalarnih proizvoda( ) v u v u ,. Pri tom je0 0 0 u u , kao i ( ) ( ) ( ) v u v u v u un n n n + + + +1 1 1 12 za svaki prirodan broj n i proizvoljne vektore u,ruV i skalare rR. Naime, prva od tih relacija sledi direktno iz S.2-3, za0 , a druga, indukcijom po n.Najzad, zaskalarne proizvode( ) v u v u ,i( ) b a b a ,realnihvektorskih prostora V i W, tim redom, kaemo da su ekvivalentni, ako postoji bar jedan izomorfizam L:V W, takav da je) ( ) ( v L u L v u za svako u,vV. Uz to, ako su ti vektorski prostori V i Wkonanih dimenzija, tada i za sameeuklidskevektorskeprostore(V, ) i (W, ) kaemodasuizomorfni. tavie, kasnije emo dokazati da to vai, ako i samo ako je dimV dimW .Posebno, svaki realanvektorski prostorVkonanedimenzijeimavierazliitih skalarnih proizvoda, ali su svakadva od njih ekvivalentna.( ) v u v u ,Primer.1Za svaki prirodan brojn, preslikavanje( ) v u v u ,, kojim se proizvoljnom paru vektora ( )nu , ,1 i( )nv , ,1 iu vektorskog prostora Rn pridruuje skalarn nv u + + + 2 2 1 1,je jedan skalarni proiuvod u tom prostoru. Zovemo ga i njegovim standardnim skalarnim proizvodom. I uopte, ako je Vbilo koji realan vektorski prostor konane dimenzije n, svaka od njegovih baza [ ]ne e e e , , ,2 1 indukuje i jedan skalarni proizvod ( ) v u v u ,, kojim seproizvoljnomparuvektora r re u i r re v iztogprostorapridruuje skalar nrr r eTev u v u1 .Posebno je 1 r re e , kao i 0 s re e za svakos r . tavie, kasnije emo dokazati da se tako moe dobiti i svaki od skalarnih proizvoda tog prostora V.2 AkoTrAoznaavatragproizvoljne kvadratne matriceA, to jest suma svih komponenata njene dijagonale ( )nn , ,11 , lako se proveri da je tada, za svaki prirodan broj n, saAB TrA B 3 definisani jedanskalarni proizvoduvektorskomprostoruMn (R). Uostalom, tuje B Aupravo suma svih proizvodars rs odgovarajuih komponenata matrica A i B, pa to sledii direktno iz 1 , za prostorV i njegovu kanonsku bazu e.3 NekajeV[ ] 1 , 0 C R-vektorski prostor svih realnih i neprekidnih funkcija u definisanih na skupu, to jest intervalu [ ] 1 , 0 { } 1 0 : x R x. Polazei od elementarnih svojstava odreenog integrala, odmah sledi da je sa10) ( ) ( dx x v x u v u definisan i jedan skalarni proizvod ( ) v u v u ,, kako u samom tom prostoru V, koji nije konane dimenzije, tako i u svakom od njegovih potptostora W. 4 Ako je L:VW bilo koji izomorfizam realnog vektorskog prostora Vna vektorski prostorWi( ) b a b a ,neki skalarni proizvodu tomprostoruW, sa ) ( ) ( v L u L v u je definisan jedan skalarni proizvod ( ) v u v u ,i u samom prostoru V.Norma i ugaoNeka je V bilo koji euklidski vektorski prostor sa skalarnim proizvodom ( ) v u v u ,. Prema S.4, za svaki od vektora uVvai0 u u , pa se u tom sluaju moe govoriti i o realnom broju. u u u Tako odreeno preslikavanje u u v : zovemo i euklidskom normom u tom prostoru V, koja je indukovana uoenim skalarnim proizvodom, a sam broj u, normom ili duinom datog vektora u.

Sada na osnovu S.4 sledi da jeu0 0 u . S druge strane, kako za svaki vektor uVi realan broj Rvai ) (2u u u u , zamenjujuiusau , iz ( ) v u v u , odmah sledi da je tada iu u gde oznaava apsolutnu vrednost samog realnog broja . Uz to, ako je tu0 u ,u 1 , odgovarajui vektor4 uuu1je jedinini, to jest duine 1. Za njega kaemo i da nastaje normiranjemsamog ne-nula vektora u.Tvrenje 1. Ako je ( ) v u v u ,bilo koji skalarni proizvod u realnom vektorskom prostoru V, za svako u,v V vai 1 v u v u ( Koi-Bunjakovki)2 v u v u + + (Minkovski).Pri tom u 1 , odnosno2 , vai i jednakost, ako i samo ako je o u ili u v za bar jedno R, odnosno >0.Dokaz. Kako je jasno da to vai za 0 u , ne umanjujui optost moemo pretpostaviti da je tu 0 u . Dalje, prema uslovu S.4, za svako xR vai( ) ( ) , 0 xu v xu v sa jednakou, ako i samo ako je xu u , to jest xu u . Iz preostalih aksioma skalarnog proizvoda sledi da je prethodnarelacijaekvivalentna i sa( ) ( ) ( ) . 0 22 + v v x v u x u u Uztosuu u a , v u b iv v c fiksirani realni brojevi io a >, pajerealna kvadratna funkcija c bx ax x + 22pozitivna,ako i samo ako je0 4 42 ac b .Otuda i prvi deo tvrenja, jer to upravo znai da tu mora bitiac b 2, a samim tim i v u v u . Sada i nejednakost 2 sledi neposredno iz 1 , jer je ) ( ) (2v u v u v u + + + , to jest 2 2 2) ( 2 v v u u v u + + + +, pa je jasno da je tada i . ) ( 222 2 2v u v v u u v u + + + +Najzad, tuvaiijednakost, akoi samo ako jev u v u , to je prema prethodnom mogue jedino ako je 0 u iliu v za neki ne-negativan realan broj. Naravnodaprethodnotvrenjevai iusluajukadasamvektorski prostorVnije konanedimenzije.Iznejednakosti 1 takoe sledi da za proizvoljne ne-nula vektore v u,Vvai5 . 1 1 v uv u To posebno znai da za taj par vektora postoji i tano jedan realan broj, izmeu 0 i , i takav da jev uv u cos ). 0 , ( v uZovemo ga iuglom izmeu tih vektora uiv(u odnosu na uoeni skalarni proizvod), i oznaavamo sa ) , ( v u . U tom smislu je i ) , ( cos v u v u v u .Jasno je da to vai i u sluaju kada je neki od vektora u i v jednak nuli, uz napomenu da tada piemo i 2 ) , 0 ( ) 0 , ( v u.Primer. Ako je [ ]ne e e e , , ,2 1 kanonska baza iv u standardni skalarni proizvod vektorskog prostora Rn, ispitajmo da li postoji i neki jedinini vektor ) (1 nu , tj. s se u , takav da je (1)zasvakoris. Naime, kakojetu 1 r re e , kaoi0 s re e zasvako s r , bie r re u , a time i u e ue ue urrrr ) , ( cos.Uporeeno sa (1), to upravo znai da je u tom sluaju is r za svako r i s, pa traeni vektor u mora biti oblika ) , , ( u. Najzad, kako je tada i 2 2 + + u u(n sabiraka), tj. 2 2 n u , bie n u , pa je taj vektoru i jedinini, ako i samo ako jen n ili n n . Samim tim postoje i tano dva jedinina vektora koji zahvataju iste uglove sa svakim od vektora re baze e. Jedan od njih je, , , ,

,_

nnnnnnu a onaj drugi u. Uz to su) , (re u i) , (re u w jedini realni brojevi izmeu 0 i za koje jen n cosin n w cos . Takoe je iw .Ortogonalnost6) , ( ) , (s re u e u Neka je V bilo koji euklidski vektorski prostor sa skalarnim proizvodom ( ) v u v u ,. Za njegove vektore u i v kaemo da su ortogonalni, ako je njihov skalarni proizvod nula U tom sluaju piemo iv u , pa je tako 0 v u v u .Prema prethodnoj taki, ortogonalnost vektora u i v upravo znai da je ugao izmeu njih prav, tj. 2 . Uz to je, kako0 u v u , tako i 2 2 2v u v u v u + + (Pitagorinateorema).Naime, prva odtih ekvivalencija sledidirektnoizuslova S.4,a druga iz relacije ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( v v v u u u v u v u + + + +. Takoe, za vektor u kaemo da je ortogonalan na datom skupu A vektora iz V, i piemo u A, ako je ortogonalan na svakom od njegovih vektora aA. Pri tom, sam skup svih vektora uV sa tim svojstvom zovemo ortogonalom uoenog skupa A i oznaavamo saA={ uV:u A}Uz to,kako je0 0 v za svako vV, bie 0 A, tj. 0A, pa se lako proveri da je svaki od tih skupova A i jedan potprostor prostora V. S druge strane, za dati skup S nekih vektora iz V kaemo da je i sam ortogonalan, ako je svaki od njegovih vektora ortogonalan na onim preostalim. Pri tom vai:Lema1.Svakiortogonalanskup vektoraS,koji nesadrinula-vektor,jei linearno nezavisan.Dokaz. Neka su ne e , ,1 bilo koji razliiti vektori iz skupaSir -ovi proizvoljni skalari za kole je 01 1 + +n ne e . Mnoei tu relaciju skalarno sa re , bie i . 0 ) ( ) ( ) (1 1 + + + +r n n r r r re e e e e e Uz to jer se e , tj.0 r se e za svakor s , pa se poslednja relacija dalje svodi na 0 ) ( r r re e . Otuda i samo tvrenje, jer skup Sne sadri nula-vektor, pa tu mora biti 0 r re e , a time i0 rza svako r. 7 Dalje, akoje[ ]nf f f , ,1 bilokojaortogonalnabazavektorskogprostoraV, normiranjem njenih vektora dobijamo i neku njegovu bazu [ ]ne e e e , , ,2 1 , u kojoj je svaki od vektora re jedinini i ortogonalan na onim preostalim, to jest takvu da je's rs re es r, 0, 1.Zasvakubazuesatimsvojstvom takoe kaemo i da jeortonormiranau odnosu na uoeni skalarni proizvod ( ) v u v u ,.Naznaaj takvihbazaukazujei toto, uodnosunasvakuodnjih, samskalarni proizvodimastandardnuformu. Naime, akosur re u is se v bilokoji vektori iz V, sledi da je tada i n nv u + + + 2 2 1 1.Posebnoje 1r re u , pasukoordinatevektorar re u uodnosunabilokoju ortonormiranu bazueprostoraVupravo njegovi skalarni proizvodir re u sa odgovarajuim vektorima same te baze. U vezi sa tim, iz naredne teoreme sledi da svaki euklidski vektorski prostor V imai bar jednu ortonormiranu bazu, kao i jedan algoritam za samo njeno odreivanje. Naime, vai:Teorema 1. Za svaku od baza [ ]na a g , ,1 euklidskog vektorskog prostora (V, ) postoji i tano jedna ortonormirana baza [ ]ne e e e , , ,2 1 , takva da je0 >r ra e , kao i ( ) ( )r ra a e e , , , ,1 1 Za svako n r 1 . Posebno, svaki euklidski vektorski prostor ima i bar jednu ortonormiranu bazu.Dokaz.Pre svega, relacija( ) ( )1 1a e upravo znai da je 1 1a e za neki ne-nula realan broj , pa iz 01 1> a e i11 esledi da tu mora biti 11 a , kao i .1 1 1a a ePretpostavimosadadaje, zanekor, vekonstruisanortonormiransistemvektora [ ]re e , ,1 za koji vai jednakost( ) ( )r ra a e e , , , ,1 1 . Ako je r >+ u ar Najzad, kako ni vektor a ne pripada skupu( )re e , ,1 , on nije nula, pa je taj vektor a u i jadinini, ako i samo ako je a 1 , tj. a a u . Otudaisamo tvrenje,jer toupravo znai da je tako odreen vektora ai jedini vektor u er+1zakojijesistem vektora [ ]1 1, , ,+ r re e e ortonormiran i takav da uz ( ) ( ), , , , , , ,1 1 1 + r r ra a a u e e vai i01 1>+ + r ra e . Naime, sada se isti postupak moe primeniti i na taj sistem duine1 + r , i tako dalje. Upravo opisanu konstrukciju ortonormirane baze[ ]ne e e , ,1 , sa naznaenim svojstvima, takoe zovemo i Gram-mitovim postupkom za ortonormiranje bilo koje od baza [ ]na a g , ,1 uoenog euklidskog vektorskog prostora V. Naravno, ako je tu i sama baza g ortonormirana, tada mora biti g e . Posebno, svaki ortonormiran sistem[ ]re e e , ,1 vektora iz V je poetni deo i neke ortonormirane baze 9 etog prostora V. Naime, kako je linearno nazavisan, taj sisteme je poetni deo bar jedne baze g od V, a time i baze e iz prethodne teoreme. Tvrenje 2.Euklidski vektorski prostori (V, ) i (W, ) su izomorfni, ako i samo ako su iste dimenzije.Dokaz. Jo treba dokazati da je uslov i dovoljan. Neka su, zato, ti prostori iste dimenzije n. Prema prethodnoj teoremi, oni imaju i bar po jednu ortonormiranu bazu, na primer [ ]ne e e , ,1 i [ ]nf f f , ,1 .Tada postoji i tano jedan izomorfizam L:V Wvektorskog prostora Vna W, takav dajeL( )r rf e zasvako r . Uzto, i zasvakor re u ir re v vaiL( )r rf u iL( )r rf v , pa kako su uoene baze i ortonormirane, prema prethodnom, tu mora biti( ) ( ) v L u L v un n + + 1 1.Otudaisamotvrenje, jertoupravoznaida jepreslikavanjeLijedanizomorfizam samog euklidskog vektorskog prostora (V, ) na euklidski vektorski prostor (W, ). Samo po sebi se razume da u prethodnom tvrenju moe biti i V=W, pa tako sledi i da su svi skalarni proizvodi u realnom vektorskom prostoru konane dimenzije ekvivalentni.Primer. Odredimo bar jednu bazu [ ]3 2 1, , e e e e vektorskog prostora Vsvih realnih polinomastepenamanjegodtri, kojajeortonormiranauodnosunanjegovskalarni proizvod( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 + + q p q p q p q p .Neka je to, na primer, baza koja nastaje ortonormiranjemnjegove kanonske baze [ ]3 2 1, , a a a g . Naravno, tuje11 a,X a 2i23X a . Samvektor1enastaje normiranjem vektora 1a, pa kako je 31 1 a a , bie 1 133a e .Dalje, vektor 2e je oblika 2 1 1 2a e e + . Uz to je, kako 01 2 e e , tako i 12 e, pa mnoei prethodnu relaciju skalarno sa 1e, odmah sledi da tu mora biti01 , tj. 2 2a e , a time i 2 222a e . Sada je i trei vektor baze e oblika3 2 2 1 1 3a e e e + + . Uz uslov da je on jedinini i ortogonalan na ve odreenim ortonormiranim vektorima 1e i 2e, mnoei tu relaciju skalarno tim vektorima1ei2e, posle sreivanja dobijamo da tu mora biti 33 21 i02 , a samim tim i a e 3 , sa 33 22 X ai 3 24 543 1 a.10 Naravno, kaoiuoptemsluaju,koordinateproizvoljnogvektora pu odnosu na tu ortonormiranu bazu [ ]3 2 1, , e e e e su upravo skalari 1e p , 2e p i3e p .Ortogonalne matriceUkolikose nekae izriitodrugaije, ubudueemose pri izborubaza euklidskih vektorskihprostoraograniiti samonanjihoveortonormiranebaze. Tosuupravoone bazetihprostora, uodnosunakojeodgovarajui skalarni proizvodi imajustandardne forme. Pri tom vai i Tvrenje 3. Ako je [ ]rsP matrica prelaska sa ortonormirane baze [ ]ne e e , ,1 na neku od baza [ ]nf f f , ,1 euklidskog vektorskog prostora V, tada je i ta baza eA f ako i samo ako jeE P PT.Dokaz. Presvegaje n nr r re e f + + 1 1 , pa kako je uoena bazaeprostoraVi ortonormirana, bie ns nr s r s rf f + + 1 1, a time i sTr s rP P f f Za svakor is. Otuda i samo tvrenje, jer je i ta baza fortonormirana, ako i samo ako je1 r rf fza svako r , kao i0 s rf f za svako s r , to je prema sTr s rP P f f ekvivalentno sa E P PT. Sama relacija E P PTtakoe znai i da je sistem kolona matrice P ortonormiran u odnosu na standardni skalarni proizvod odgovarajueg vektorskog prostora Rn, pa tada i za samu tu matricu P kaemo da je ortogonalna. U tom sluaju je i TP P 1.Uztoselakoproveri dajeskupO(n,R)svihortogonalnihmatricaredani jedna podgrupagrupeGL(n,R),tj.Grupe svih inverzibilnih matrica izMn (R). Zovemo je i ortogonalnom grupom stepena n. Takoe, iz E P PT sledi da za svaku ortogonalnu matricu P vai( ) 1 det2 P , a time i 1 det P ili 1 det P . Uztojesa( ) P P det definisani jedanhomomorfizam grupe O(n,R) na multiplikativnu grupu { } 1 , 1 , pa je njegovo jezgro11 SO(n,R)={ P O(n,R):1 det P }i jedna normalna podgrupa grupe O(n,R). Zovemo je i specijalnom grupom stepena n.Primer. Jasno je da za realne brojeve x i y vai12 2 +y x , ako i samo ako postoji i realanbroj 0zakoji je cos x i sin y. Naosnovutogasledi i dajerealna kvadratna matrica P reda 2 ortogonalna, ako i samo ako je oblika1]1

cos sinsin cosP ili 1]1

cos sinsin cosP.Naime, kolonematrice1]1

Psu ortonormirane, tj. vaiE P PT, jedino ako je 12 2 + ,12 2 + i . 0 + Takoe je 1 ili 1 , itd.Ortogonalne projekcije i simetrijeAko je A bilo koji neprazan podskup euklidskog vektorskog prostora V, njegov ortogonal A je i jedan potprostor tog prostora V. Pri tom je( ) A Akao i{ } 0 A A . Naravno, tu i sam skup A moe biti neki potprostor od V.Teorema2.AkojeVbilokoji euklidski vektorski prostor, zasvaki odnjegovih potprostora U vai:V=UU ,+ U U V dim dim dim .Dokaz. Pre svega, kako je svaka od baza[ ]ka a g , ,1 potprostora Upoetni deo i neke baze [ ]n ka a a g , , , ,1 prostora V, na osnovu prethodne teoreme sledi da V ima i bar jednu ortonormiranu bazu [ ]n ke e e e , , , ,1 za koju je U=( )ke e , ,1 . Sada je vektor n ne e u + + 1 1 ortogonalan na potprostorU, ako i samo ako je re u , tj. 0 re u za svakok r . Otuda i samo tvrenje, jer je tu r re u , pa ovo poslednje upravo znai da je tada i( )n ke e U , ,1 + 12 Prema tome, ako je U bilo koji potprostor euklidskog vektorskog prostora Vza svaki vektor v V postoje jednoznano odreeni vektorivi'v , takvi da je vv+'v,v V,'vU.Sam taj vektorvzovemo i ortogonalnom projekcijom uoenog vektorav na potprostor U. Drugim reima, to je jedini vektorviz U, takav da vektor v- vortogonalan na U. Jasno je da je tada i 'v = v- vortogonalna projekcija odv na potprostor U. S druge strane, kao i u optem sluaju, iz V=UU sledi da je sa P(v)=vdefinisan jedan linearan operator P:VV, za koji je P2=P, kao i ImP=U. Zovemo ga i ortogonalnom projekcijom ili ortogonalnim projektorom prostora V na njegov potprostor U. Sada i taj projektor P indukuje jedno preslikavanje S:VV , kojim se proizvoljnom vektoru vVpridruuje jedini vektor v =S(v) za koji je ( ) v v v v , tj. S(v)=2P(v)-vTo upravo znai da je S=2P-I , pa je tako odreeno preslikavanje i linearno. Zovemo ga i ortogonalnom simetrijom ili refleksijom samog prostora V na njegov potprostor U.Posebno je: S(v)=v vU, kao i :S(v)=-v v U. I obratno, linearni operatorS prostora V, kojizadovoljavatedveekvivalencije, je injegova simetrijau odnosu na potprostor U. Takoe je S2=I, a samim tim i S1 = S. Slino, ako je+ a U bilo koji afini potprostor prostora V, sa direktrisom U,za svaki od vektora v V postoji i tano jedan vektor( ) v v iz , takav da je v-v U.Naime, relacijav upravo znai da jeu a v + , tj. ( ) u a v v v za tano jedan vektor uU, pa je tada i v- v U, ako i samo ako jevektor c u ortogonalna projekcija vektora a v c na sam vektorski potprostor U. Tako odreen vektor( ) v v zovemo i ortogonalnom projekcijom datog vektorav V na uoeni afini potprostor + a U, a preslikavanje ( ) v v v 2 : , simetrijom ili refleksijom prostora Vu odnosu na taj afini potprostor .13 Euklidsko rastojanjeAko je u unorma indukovana standardnimskalarnimproizvodomvektorskog prostoraR2, uobiajenorastojanje( ) v u d ,izmeunjegovihvektora ) , (1 1y x u i ( )2 2, y x v je odreeno sa( ) ( ) ( )2 122 1, y y x x v u d + ,pajetadai( ) v u v u d ,. Iuopte, ako jeV bilo koji realan vektorski prostor sa skalarnim proizvodom ( ) v u v u , i odgovarajuom normom u u , pod rastojanjem njegovih vektora u i v podrazumevamo normu njegove razlike, tj. realan broj( ) v u v u d ,.Pri tom, na osnovu prethodne teoreme odmah sledi da je time na skupu V definisana i jedna struktura metrikog prostora, tj. jedno preslikavanje d skupaVV u polje R, takvo da je ( ) 0 , v u d, kao i: D.1 ( ) ( ) u v d v u d , , , D.2 ( ) v u v u d 0 ,, D.3 ( ) ( ) ( ) v w d w u d v u d , , , + zasvakou,v,wV. Zovemogai euklidskimrastojanjemili euklidskommetrikomu uoenomvektorskom prostoru V. Uz to, za svako aV vai i ( ) ( ) v u d a v a u d , , + +.Takoe, kaoi usvakommetrikomprostoru, podrastojanjemnepraznihpodskupova iprostora V podrazumevamo ne-negativan realan broj( ) ( ) { } y x y x d d , : , inf , .Posebno, ako su ineki afini potprostori od V, na primer =a+U i =b+W, njihovo rastojanje je infimum skupa svih realnih brojeva( ) ( ) u w b a d w b u a d + + , ,,14 sa uU i w W. Kako je jasno da u tom sluaju i vektor w-u opisuje sumu vektorskih potprostora Ui W, bied(a+ U,b+ W)=d(a-b, U+ W ), pa je rastojanje izmeu tih afinih potprostora upravo rastojanje izmeu vektorab a v i sume U+ W njihovih direktrisa U i W.Tvrenje 4.Ortogonalna projekcija v datog vektoravna potprostorUeuklidskog vektorskogprostora Vje i jedini vektor iz tog potprostora, takav da je d(v, U)=d(v, v ).Dokaz. Pre svega, vektorv v v ' je ortogonalan na svakom od vektora u iz U. Uz to, zajednosavektorima v iu,potprostorUsadri i njihovurazliku v u w , paiz w v ' odmah sledi da je tu2 2'2'w v w v + , a time i v v u v . Otuda i samo tvrenje, jerovoposlednjeupravoznai dazasvakouUvai( ) ( ) u v d v u d , , , sa jednakou, kao i samo ako je0 w . Takoe, ugao izmeu vektorav i njegove ortogonalne projekcijevna dati potprostor U odVjeupravonajmanjimeu uglovima( ) u v, ,sauU, 0 u .Zovemogai uglomizmeutogvektorai bilokogodafinihpotprostora=a+U, pajetako ( ) ( ) v v v , , .Primedba.Akojesimbolikaizprethodnogtvrenjai[ ]ku u , ,1 bilokojabaza potprostora U, tada postoje i jednoznano odreeni skalari r za koje je r ru v , a time i '1 1v u u vv k+ + + .Pri tom je, 'v urza svako r, pa mnoei prethodnu relaciju skalarno svakim od vektora ru , odreivanje tih skalara rRse svodi na reavanje sistema jednaina AX=B, sa matricom koeficijenata1111]1

k k k kkku u u u u uu u u u u uu u u u u uA 2 12 2 2 1 21 2 1 1 115 i slobodnim lanovima v ur r . Samu tu matricu A zovemo i Gramovom matricom, a njenu determinantu Gramovom determinantom ili gramijanom uoenog sistema vektora [ ]ku u , ,1 .Vektorski i meoviti proizvodNeka je E skup svih baza vektorskog prostora V nad poljem R i konane dimenzije1 n. Ako [ ]eg oznaava matricu prelaska sa baze e na bazu g, tj, realnu matricu Pza koju je e g P, neposredno sledi da je tada sa [ ] 0 det ~ > eg g edefinisana i jedna ekvivalencija ~u tom skupu E. Jasno je da za1 npostoji i baza gEza koju nije e~g,pa ta ekvivalencija ima tano dve klase. Zovemo ih i orijentacijama uoenog realnog vektorskog prostora V. Takoe, za realan vektorski prostor V konane dimenzije kaemo da je orijentisan, ako jeistaknutajednaodnjegovihorijentacija, kojutadazovemoi njegovompozitivnom orijentacijom, U tom sluaju, i za same baze iz te orijentacije E+ kaemo da su pozitivne ili direktne. Uz to, ako je e bilo koja od njih, tada je E+ upravo skup svih baza e g P za koje je e~g, tj. detP>0, pa se tako i samo orijentisanje datog realnog vektorskog prostora V svodi na isticanje neke od njegovih direktnih baza. Posebno, ako je taj prostorVi euklidski, njegova pozitivna orijentacija sadri i bar jednu ortonormiranu bazu. U tom sluaju je i ortonormiranabazae g P direktna, ako i samo ako je detP=1. tavie, tada i za proizvoljne matrice A i B iz Mn (R) vai B A gB eA det det .Naime, iz e g PigB eA prvo sledi da je eA=ePB,tj.A=PB, pa kako jedetP=1, mora biti i detA=detB.To posebno znai da za svaki sistem [ ]nu u X , ,1 oddim n V vektora i proizvoljne ortonormirane i direktne bazee i g orijentisanog euklidskog vektorskog prostora V vai[ ] [ ]g eX X det det .Naravno, kao i obino, tu su [ ] A Xe i[ ] B Xg realne matrice za koje jeeA X i gB X . Zajedniku determinantu svih tih matrica[ ]eX , gde jeebilo koja ortonormirana i direktna baza prostora V,oznaavamo sa 16 [ ] [ ]e n nu u u u , , det , ,1 1 i zovemo meovitim proizvodom uoenog vektora [ ]nu u X , ,1 . To takoe znai da je sa ( ) [ ]n nu u u u F , , , ,1 1 definisana i jedna n-linearna alternirajua forma F:Vn R prostora V, takvu da je F(e)=1 za svaku od njegovih ortonormiranih i direktnih baza e.Lema 2. Za svakih n-1 vektoranu u , ,2 orijentisanog euklidskog vektorskog prostora V dimenzije2 npostoji tano jedanvektor aV, takav da za svako u V vai[ ]nu u u a u , , ,2 .Dokaz. Pre svega, sa ( ) [ ]nu u u u F , , ,2 je definisana jedna linearna forma prostora V. Uzto, akoje[ ]ne e e , ,1 bilokojaodortonormiranihbazatogprostora, kaoi ( )r re F , za svaki od vektora r re u vai( ) ( )r re F u F , tj.( )r ru F , a samim tim i ( ) a u u F , gde je sa a oznaen vektor r re a .Otudai samotvrenje, jer akojeibneki odvektoraizprostoraVzakoji je ( ) b u u F , izb u a u sledi da je i ( ) 0 b a u , pa kako to vai za svako u, mora biti0 b a , a time i. b a Ako je simbolika iz prethodne leme, sam vektoraza koji vai [ ]nu u u a u , , ,2 zovemo vektorskim proizvodom uoenog vektoranu u , ,2 , tim redom, i oznaavamo sa a u un 2 . To je i jedini vektor iz V, takav da je [ ] ( )n nu u u u u u 2 2, , ,.Time je data i osnovna veza izmeu skalarnog, vektorskog i meovitog mnoenja u bilo kom orijentisanog euklidskog vektorskog prostora V dimenzije n.Posebno, naosnovu[ ] [ ]e n nu u u u , , det , ,1 1 ,ako suvektorinu u , ,2 linearno zavisni, za a u , odmah sledi da je njihov vektorski proizvod jednak nuli. I obratno, ako je njihov vektorski proizvod jednak nuli,vektorinu u , ,2 su linearno zavisni.Tvrenje5.Akosu nu u , ,2 bilokoji linearnonezavisni vektori izorijentisanog euklidskog vektorskog prostora Vdimenzije2 n , njihov vektorski proizvod je jedini vektor aV, za koji vai: 1 ru a za svako r,17 2[ ]s ru u a det2 , 3 sistem [ ]nu u a , , ,2 je jedna direktna baza prostora V.Dokaz. Dokaimo prvo davektor nu u a 2 zadovoljava svaki od uslova 1,2 i 3 . Naime, ako je ru u , sistem [ ]nu u u , , ,2 ima bar dve jednake komponente. Neka je sada [ ]ne e e , ,1 bilo koja ortonormirana i direktna baza prostora V. Kako su vektori nu u , ,2 linearno nezavisni idim n V, postoji bar jedan vektor u za koji je i sistem [ ]nu u u , , ,2 je jedna baza od V. Tada mora biti i [ ] . 0 , , , det2 e nu u u a u Posebno je 0 a , kao i [ ]nu u a , , ,2 = 0 > a a , odakle sledi da vektor azadovoljava i uslov 3 . Naime, ako je g=[ ]nu u a , , ,2 i A matrica za koju je e g A, ovo poslednje znai da je 0 det2> a A, pa je i taj sistem gjedna direktna baza prostora V. S druge strane, kako je 0 ru a , za svako r,sledi da je1111]1

n n nn Tu u u uu u u ua aA A 22 2 2000 0.Otuda je( ) [ ]s ru u a A det det2 2 , pa kako je i 0 det2 a A, da vektor a zadovoljava i uslov 2 . Time je dokazano i da postoji bar jedanvektor a koji zadovoljavauslove 1,2 i 3 . Pretpostavimo sada da to svojstvo ima i neki vektor c, on je linearna kombinacija n nu u a c + + + 2 2 .Uztoje0 r ru c u a , pamnoei relacijur ru a c skalarnovektorom a c , bie 02 a c , a time ia c . tavie, iz a c sledi i da je a c ili a c . Najzad, kako je jasno da baze [ ]nu u a , , ,2 i [ ]nu u a , , ,2 ne pripadaju istoj orijentaciji, na osnovu 3 sledi da tu mora biti a c . I na kraju, ako je [ ]ne e e , ,1 bilo koja ortonormirana i direktna baza orijentisanog prostoraV, meoviti proizvod vektora nu u u , , ,2 je upravo determinanta matrice [ ]e nu u u A , , ,2 , tj. 18 [ ]nu u u , , ,2 =nn n nnn 22 22 21 12 1,gde je r re u , kao i r rs se u , za svako2 s . Takoe, ako su 1 r Akofaktori odgovarajuih komponenata prve kolone te matrice, tada je i nnne A e A u u 11112+ + .Naime, ako jerr e A a 1 relacija 1 det rrA A upravo znai da je [ ] a u u u un , , ,2 za svako u, pa kako taj vektor a zavisi jedino od ru -ova, mora biti nu u a 2 .Prematome, znajui koordinate datihvektoranu u , ,2 uodnosunabilokoju ortonormiranu i direktnu bazu[ ]ne e e , ,1 prostoraV, formulom nnne A e A u u 11112+ + su odreene i koordinate njihovog vektorskog proizvoda u odnosu na tu istu bazue. Pri tom je uobiajeno da se umesto nnne A e A u u 11112+ + pie i nn n nnnneeeu u 22 22 21 12 12 .Komponente prve kolone te simboline determinante su odgovarajui vektori baze e, dok su preostale njene kolone upravo kolone koordinata samih vektoranu u , ,2 u odnosu na tu bazu.SIMETRINI OPERATORITransponat linearnog operatoraNekaje(V, ) bilokoji euklidski vekzorski prostor. Svaki odnjegovihvektoraa indukuje i jednu linearnu formu F a :VR , odreenu sa19 F a (u)=u a .I obratno, premadokazuprethodneleme, zasvakuodlinearnihformiFprostoraV postoji tano jedanvektor aV, takav da je F (u)=u a za svako u, a time i F= Fa. Pri tom je i F b a+ =F a +F b , F a = F aza svako b a, Vi svaki realan broj R. Otuda je sa aF a definisan i jedan izomorfizam vektorskogprostora Vna njegov dual V *=( V,R), pa u tom smislu piemo i V= V *.Tvrenje1.Zasvaki odlinearnihoperatoraLeuklidskogvektorskogprostoraV postoji tano jedan linearan operator TL:VV, takav da je ( ) ( ) v L u v u LT za svako u iviz V.Uz to, ako je Amatrica od Lu odnosu na bilo koju ortonormiranu bazu e tog prostora, matrica odTL u odnosu na tu istu bazu jeTA.Dokaz. Pre svega, za fiksirano v, sa F (u)=v u L ) ( je definisana i jedna linearna forma F:VR . Prema prethodnom, tada postoji tano jedanvektor a za koji je F= F a , tj. v u L ) (=u a .Sam taj vektor a zavisi jedino od L i v, pa ako ga oznaimo sa( ) v L aT , ovo poslednje upravo znaidajetakosa ( ) v L vT definisano i jedno preslikavanjeTL:VV, za koje vai( ) ( ) v L u v u LT . Uz to, ako jeb w LT ) ( , bie( ) ( ) ( ) ( ) w u L v u L w v u L w v L uT + + + ) (), () ( ) (b a uw L u v L uT T+ + a time ib a w u LT+ + ) ( , tj.) ( ) ( ) ( w L v L w v LT T T+ + . I slino za homogenost, pa je to preslikavanje TL i linearno. Najzad, kako je uoena baza [ ]ne e e , ,1 ortonormirana, (r,s)-ta komponenta rs matrice[ ]eL A , tj. s-ta koordinata vektora( )re Lu odnosu na tu bazu je skalar20 ( )s r rse e L .Iz( ) ( ) v L u v u LT sledi da je tada i ( )r s rse e L . Otuda i drugi deo tvrenja, jer to upravo znai da jers i (s,r)-ta komponentamatrice[ ]eTL , a samim tim i TA[ ]eTL . Uz simboliku iz prethodnog tvrenja samlinearni operatorTLzovemo i transponatomili transponovanim operatorom datog linearnog operatora L.Simetrini operatoriZa linearan operator L euklidskog vektorskog prostora V kaemo da je simetrian, ako se podudara sa svojim transponatom TL, tj. ako za svako v u,V vai( ) ( ) v L u v u L .Takoe, ako je [ ]rsA matrica tog operator L u odnosu na bilo koju od ortonormiranih baza[ ]ne e e , ,1 prostoraV, premaprethodnom, njegovasimetrinostznai daje TA A . Uostalom, to sledi i direktno, jer jers upravo s-ta koordinata vektora( )re Lu odnosu na tu bazu, tj.( )s r rse e L . Naime, to vai za svako r is, pa tada mora biti i rs= sr.Lema1.Karakteristini polinombilokojerealnei simetrinematriceAima linearnu faktorizaciju bad poljemR.Dokaz. Pre svega, polinom ( ) E A detima linearnu faktorizaciju nad poljem C. Uz to su koeficijenti tog polinoma realni, pa ako je bilo koja od njegovih nula u polju C, onda je to i njen konjugat . Dokaimo da tu mora biti=, a time i R. Naime, iz ( ) 0 prvo sledi da postoji i bar jedna ne-nula kolona ( )nz z X ,1 iz Cn, takva da jeX AX . Dalje, konjugovanjem, a zatim i transponovanjem te relacije, odmah sledi da je tada i X X A ,T T TX A X .S druge strane, kako je matrica A i realna i simetrina, bieA A , kao i A AT, pa se prethodne dve relacije svode na 21 , X X A T TX A X .Najzad, mnoei prvu od tih relacija sleva matricom TX, na osnovu one druge sledi da tu mora biti( ) ( ) X X X XT T , a samim tim i =. Ovo poslednje zato to je2 2111 nnnTz z z z z z X X + + + + ,pa kako bar jedna od komponenata rz uoene kolone X nije nula, onda to nije ni suma kvadrata njihovih intenziteta. Lema 2. Razliitim sopstvenim vrednostima ibilo kog simetrinog linearnog operatoraLnaeuklidskomvektorskomprostoruV odgovarajuuzajamnoortogonalni sopstveni vektori.Takoe, ako je sopstveni vektor u tog operatora Lortogonalan i na nekom od vektora wV, onda je ortogonalan i na njegovoj slici L(w).Dokaz. Ako su uivbilo koji vektori za koje je ( ) u u L i( ) v v L , odgovarajua relacija( ) ( ) v L u v u L sesvodi nav u v u , tj.( )( ) 0 v u , pakakoje , tu mora biti0 v u , a time iv u . Takoe, ako je u ortogonalno i na nekom vektoruw, relacija( ) ( ) w L u w u L sesvodi na( ) 0 w u w L u , pajetada i ( ) w L u . Naravno, sopstveni vektori simetrinog linearnog operatora L mogu biti ortogonalni i u sluaju kada odgovaraju istoj sopstvenoj vrednosti, jer i njoj odgovarajui sopstveni potprostor ( ) I L Ker takoe ima bar jednu ortonormiranu bazu.Teorema 1.Svaki simetrianlinearan operatorL:VVeuklidskog vektorskog prostoraVje dijagonalan. Uz toLima dijagonalnu matricu u odnosu na neku ortonormiranu bazu [ ]ne e e , ,1 tog prostora V .Dokaz.Odinteresa je jedinosluaj kada je prostorVdimenzije 1 > n . Prema komentaru uz lemu 1, operatorLima bar jedan sopstveni vektor 0 u . Kako je potprostor U=( ) u dimenzije 1, njegov ortogonal je dimenzije n-1. Dalje, za svako wUvaiu w , pa na osnovu leme 2 sledi da tada mora biti i ( ) u w L , tj. ( ) w L U. T%ime je definisan i jedan simetrian linearan operator ( ) w L G:22 potprostoraU. Uz induktivnu pretpostavku da samo tvrenje vai za euklidske prostoredimenzijemanjihodn, taj potprostorimabar jednuortonormiranubazu, na primer [ ]ne e e , ,1 , zakojupostojei skalarirRtakvi daje ( )r r re e G , a samim tim i( )r r re e L za svako r.S druge strane, zajedno sa( ) u u L , i za zajedniki vektoru u e1 vai ( )1 1e e L Pa je tada i[ ]ne e e , ,1 jedna od ortonormiranih baza prostora V, u odnosu na koju uoeni operator L ima dijagonalnu matricu ( )ndiag D , , ,2 . Drugim reima, svaki simetrian operatorL euklidskog vektorskog prostora Vima dimenziju n ortonormiranih sopstvenih vektora. Teorema2.SvakarealnaisimetrinamatricaAredanje ortogonalno slina nekoj dijagonalnoj matrici, to jest postoji bar jedna ortogonalna matrica Pza koju je matrica D AP P 1 dijagonalna.Dokaz.Nekaje[ ]ne e e , ,1 bilokojaortonormiranabazaeuklidskogvektorskog prostora V=Rn. Kako je matrica A simetrina, ona indukuje i jedan simetrian operator L:VV zakojije[ ] A Le .Tada postoji i ortonormirana baza e g Pza koju je matrica [ ] D Lg dijagonalna. Otuda i samo tvrenje, jer je tu matrica P ortogonalna, kao i D AP P 1. Naravno, kao i u optem sluaju, kolone matrice P o kojoj je re u prethodnoj teoremi su izvesne sopstvene kolone same matrice A. Uz to je matrica P ortogonalna, pa te kolone moraju biti i ortonormiraneu odnosu na standardni skalarni proizvod prostora Rn.Samoodreivanje tihkolonase svodi na odreivanje ortonormiranihbaza svih sopstvenih potprostora ( ) E A Ker matrice A. Naime, prema lemi 2, unija tih baza je i jednaortonormiranabazaprostoraRn, atimei sistemkolonaizvesneortogonalne matrice P za koju je matrica AP P1 dijagonalna.Simultana dijagonalizacijaSvaki linearan operatorLrealnog vektorskog prostora Vsa skalarnim proizvodomindukuje i jednu bilinearnu formu F:V2 R ,odreenu sa23 F(u,v)=( ) v L u .Jasno je da je ta forma i simetrina, ako i samo ako je simetrian i sam operator L. U tom sluaju je sa (u)= ( ) v L u definisana i jedna kvadratna forma prostora V, ija je polarizacija upravo ta simetrina bilinearna forma F. I obratno, za svaku kvadratnu formu euklidskogeuk vektorskog prostora Vpostoji tano jedan simetrian linearan operatorL:VV koji zadovoljava uslov (u)= ( ) v L u . Naime, ako je Amatrica od Lu odnosu na neku ortonormiranu bazu e prostora V, bie ( )eeAu u L , pa se tako (u)= ( ) v L u svodi na (u)=AX XT.To upravo znai da simetrian linearan operator L zadovoljava taj uslov, ako i samo ako je [ ] [ ]e eL , odakleprvosledi datakavlinearanoperator postoji, azatimi daje jedinstven. U prostoru V postoji i ortonormirana baza [ ]ne e e , ,1 u odnosu na koju tajoperator L ima dijagonalnu matricu, na primer ( )ndiag A , ,1 , pa se tada prethodna relacija svodi na (u)=2 21 1 n nx x + +..Pri tom je ( )n , ,1 upravo kombinacija svih sopstvenih vrednostitogoperatoraL, a time i bilo koje od onih matrica same forme , koje odgovaraju ortonormiranim bazama prostora V.Teorema 3. Za svaku kvadratnu formuu(u)euklidskogeuk vektorskog prostora V postoji bar jedna ortonormirana baza, npr. [ ]ne e e , ,1 , u odnosu na koju je ta forma oblika (u)=2 21 1 n nx x + + . Uz to je ( )n , ,1 upravo kombinacija svih nula karakteristinog polinoma bilo koje od onih matrica same te forme koje odgovaraju ortogonalnim bazama prostora V. Jasnojedasuprethodnetri teoremeuzajamnoekvivalentne. Naravno, unjimase ortogonalnost baze[ ]ne e e , ,1 prostoraVodnosi na uoeni skalarni proizvod ( ) v u v u ,, pa i za odgovarajuu kvadratnu formuu u u : vai( )2 21 nx x u + + .24 I obratno, za svako pozitivno definitnu kvadraznu formurealnog vektorskog prostora Vdimenzije 1 n postoji skalarni proizvod( ) v u v u ,zakoji jeu u u ) ( , a time i bar jedna baza e u odnosu na koju je ta forma noblika ( )2 21 nx x u + + .Tvrenje 2.Ako su ibilo koje kvadratne forme realnog vektorskog prostora V dimenzijen,priemu je forma i pozitivno definitna, tada prostorVima bar jednu bazu [ ]ne e e , ,1 , koja je u odnosu na formuortonormirana, a u odnosu na formu ortogonalna. Dalje, ako je Lbilo koji simetrian operator euklidskog vektorskog prostora Vi kvadratna forma odreena sa (u)= ( ) u u L , pozitivnost, odnosno pozitivna definitnost te forme znai da je ( ) 0 u u L odnosno( ) u u L >0zasvako 0 u . Utomsluajutakoekaemoi dajesamtaj operator L pozitivan, odnosno pozitivno definitan.Tvrenje3.SimetrianoperatorLeuklidskogvektorskogprostoraVjepozitivan, odnosnopozitivnodefinitan,akoi samoakosusvenjegovesopstvenevrednosti ne-negativne, odnosno pozitivne.Dokaz. Ako je ( )n , ,1 upravo kombinacija svih sopstvenih vrednostiod L i (u)= ( ) u u L ,prostorVima bar jednu ortonormiranu bazueza koju vai(u)=2 21 1 n nx x + +. Otuda i samo tvrenje, jer je jasno da je tada formai pozitivna, ako i samo ako je 0 r za svako r.

Naravno, ako je S matrica od u odnosu na neku ortonormiranu bazu e prostora V, pozitivna definitnost te forme znai da je0 > SX XT, sa0 X . U tom smislu govorimo i o pozitivnoj definitnosti same te realne i simetrine matrice S Tada takoe govorimo i o ortogonalnosti nekih kolona iz Rn u odnosu na tu matricu S, mislei pri tomnanjihovuortogonalnost uodnosunaodgovarajui skalarni proizvod SY X Y XT . Uz tu terminologiju vai i:Teorema 4. Za bilo koje realne i simetrine matrice A i S reda n, pri emu je matrica S i pozitivnodefinitna, postojebar jednainverzibilnamatricaPi dijagonalnamatricaD, takve da je , D AP PTE SP PT .25 Pri tomjedijagonala( )n , ,1 tematriceDupravokombinacijasvihrealnihnula polinoma ( ) S A det,doksukolonerP samematriceP, kakoreenjaodgovarajuihlinearnihjednaina ( ) 0 X S Ar , tako i ortonormirane u odnosu na matricu S.Dokaz. Pre svega, kako je matrica Spozitivno definitna, prostor kolona Rnima bar jednu bazu[ ]nC C C , ,1 koja je ortonormirana u odnosu na skalarni proizvod SY X Y XT . To poslednje znai da je1 r rC C i 0 s rC C za svakos r , a time iE SC CT . Dalje, zajedno sa A, sada je i matricaAC C BTsimetrina, pa na osnovu prethodne teoreme postoji bar jedna ortogonalna matricaQza koju je matrica D BQ QT dijagonalna. Dijagonala( )n , ,1 te matriceDje sistemsvih nula polinoma ( ) E B det, i za svaku od kolona rQmatrice Q vai( ) 0 r rQ E B . Za tako odreene matrice CiQ, matrica CQ P je inverzibilna, i odmah sledi da zadovoljava sledee relacije , D AP PTE SP PT . Samimtimsu i njene kolone ortonormirane u odnosu na S. Najzad, kako je ( ) E B C S A CT ,bie( ) ( ) ( )2det det det C S A E B , pa polinomiiimaju iste nule. Otuda i preostali deo tvrenja, jer izr rCQ P , sledi i da je relacija ( ) 0 r rP S A ekvivalentna sa0 ) ( r rQ E B . ZaE S , prethodna reorema se svodi upravo na teoremu 2. Jasno je da je njen prvi deoekvivalentan i sa tvrenjem2, uzimajui zaAiS, timredom, matrice samih kvadratnih formi iu odnosu na bilo koju bazu gprostora V. Drugim delom prethodne teoreme je dat i jedan postupak za samo odreivanje neke bazeeP g uodnosunakojusumatriceformi i dijagonalne. Zovemogai simultanom dijagonalizacijom, kako tih formi, tako i uoenih simetrinih matrica A i S. 26

SadrajEuklidski prostoriPojam slalarnog proizvoda...................................................................................................1Norma i ugao........................................................................................................................3Ortogonalnost.......................................................................................................................6Ortogonalne matrice...........................................................................................................10Ortogonalne projekcije i simetrije.....................................................................................11Euklidsko rastojanje...........................................................................................................13Vektorski i meoviti proizvod............................................................................................15Simetrini operatori27 Transponat linearnog operatora.........................................................................................19Simetrini operatori...........................................................................................................20Simultana dijagonalizacija.................................................................................................23Literatura1. G. Kalajdi, Linearna algebra, Matematiki fakultet, Beograd, 2001.2. . Kurepa, Via algebra, 1-2, Beograd, 1971.3. I. Kaplansky,Linear algebra and geometry, Chelsea Publishing Companz, New York, 1974.4. A. Lipkovski, Linearna algebra i analitika geometrija, Nauna knjiga, Beograd, 1995.28 .29