examenes_probabilidaddsafd

8/17/2019 examenes_probabilidaddsafd

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Suceso elemental

Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte

del espacio muestra l .

Ejemplo

Tirando un dado un suceso elemental es sacar 5.

Suceso compuesto

Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestra l .

Ejemplo

Tirando un dado un suceso sería que sal iera par, otro, obtener

múlt iplo de 3.

Suceso seguro

Suceso seguro, E, está formado por todos los pos ibles resultados

(es dec ir, por el espacio muestra l) .

E jemp lo:

Tirando un dado obtener una puntuación que sea meno r que 7.

Suceso imposible

Suceso imposible , , es el que no t iene ningún elemento.

E jemp lo:

Tirando un dado obtener una puntuación igual a 7.

Sucesos compatibles

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando t i enen algún suceso

elemental común.


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E jemp lo:

Si A es sacar puntuación par a l t i rar un dado y B es obtener

múlt iplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso

elemental común.

Sucesos incompatibles

Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no t ienen ningún

elemento en común.

E jemp lo:

Si A es sacar puntuación par a l t i rar un dado y B es obtener

múlt iplo de 5, A y B son incompatibles.

Sucesos independientes

Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabi l idad de

que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.

E jemp lo:

Al lazar dos dados los resultados son independientes.

Sucesos dependientes

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabi l idad de que

suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

E jemp lo:

Extraer dos cartas de una baraja, s in reposic ión, son sucesos

dependientes.

Suceso contrario

El suceso contrario a A es otro suceso que se real iza cuando no se

real iza A. Se denota por .


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E jemp lo:

Son sucesos contrarios sacar par e impar a l lanzar un dado.

Espacio de sucesos, S, es el conjunto de todos los sucesosaleatorios.

Si t i ramos una moneda el espacio se sucesos está formado por:

S = { , { C} , { X} , { C,X }} .

Espacio de sucesos, S, es el conjunto de todos los sucesos

aleatorios.

Si t i ramos una moneda el espacio se sucesos está formado por:

S = { , { C} , { X} , { C,X }} .

Observamos que el pr imer elemento es el suceso imposible y el

úl t imo el suceso seguro.

Si E t iene un número f in i to de elementos, n, de elementos el

número de sucesos de E es 2 n .

E jemplos :

Una moneda E= {C, X}.

Número de sucesos = 2 2 =4

Dos monedas E= {( C,C); (C,X); (X,C); (X,X)}.

Número de sucesos = 2 4 =16

Un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Número de sucesos = 2 6 = 64

La diferencia de sucesos, A − B , es el suceso formado por todos

los elementos de A que no son de B.


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Es dec ir, la diferencia de los sucesos A y B se veri f ica cuando lo

hace A y no B.

A − B se lee como "A menos B" .

E jemp lo:

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, s i A

= "sacar par" y B = "sacar múlt ip lo de 3". Calcular A − B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A − B = {2, 4}

Axiomas de la probabilidad

1.La probabi l idad es pos it iva y menor o igual que 1.

0 ≤ p(A) ≤ 1

2. La probabi l idad del suceso seguro es 1.

p(E) = 1

3.Si A y B son incompatibles, es dec ir A B = entonces:

p(A B) = p(A) + p(B)


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Regla de Laplace

Si real izamos un experimento a leatorio en el que hay n sucesos

elementales, todos igualmente probables, equiprobables , entonces

s i A es un suceso, la probabil idad de que ocurra el suceso A es:

Ejemplos

1 Hal lar la probabi l idad de que a l lanzar dos monedas a l a ire

salgan dos caras.

Casos pos ibles: {cc, cx, xc, xx}.

Casos favorables: 1.

2 En una baraja de 40 cartas, hal lar la P (as) y P (copas).

Casos pos ibles: 40.

Casos favorables de ases: 4.

Casos favorables de copas: 10.

3 Calcular la probabi l idad de que a l echar un dado al a ire, sa lga:

1 Un número par.


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Casos pos ibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Casos favorables: {2, 4, 6}.

2 Un múlt iplo de tres.

Casos favorables: {3, 6}.

3 Mayor que 4.

Casos favorables: {5, 6}.

IMPORTANTE:

A B =

p(A B) = p(A) + p(B)

EJEMPLO DE OBTENER LA PROBABILIDAD DE OTENER 2 O 5 EN UN DADO

A={2} B={5} INTERSECCIÓN ES VACIA

SUCESOS COMPATIBLES:

A B ≠

EJEMPLO DE OBTENER LA PROBABILIDAD DE OTENER MULTIPLOS DE 2 Y

6:

A={2,4,6} B={6} LA INTERSECCIÓN ES DISTINTA CERO

A INTERSECCION B= {6}

(A B) = p(A) + p(B) − p(A B)


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Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestra l E.

Se l lama probabil idad del suceso B condicionado a A y se

representa por P(B/A) a la probabil idad del suceso B una vez

ha ocurrido el A .

Ejemplo

Calcular la probabi l idad de obtener un 6 a l t i rar un dado sabi endo

que ha sal ido par.

SEA PAR A={2,4,6} OBTENER UN 6 B={6}

A INTERSECCIÓN B={6} NO ES DISTINTO VACIO LUEGO SON

COMPATIBLES

Sucesos independientes

Dos sucesos A y B son independientes s i

p(A/B) = p(A)

Sucesos dependientes

Dos sucesos A y B son dependientes s i

p(A/B) ≠ p(A)


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EJEMPLO DE INTERSECCIÓN:

SUCESOS INDEPENDIENTES:

p(A B) = p(A) · p(B)

Ejemplo

Se t iene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter.

¿Cuál es la probabi l idad de extraer dos ases?

SUCESOS DEPENDIENTES:

p(A B) = p(A) · p(B/A)

E jemp lo:

Se t iene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas. ¿Cuál es la

probabi l idad de extraer dos ases?


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Para la construcc ión de un diagrama en árbol se part i rá poniendo

una rama para cada una de las posibil idades, acompañada de su

probabil idad.

En el f inal de cada rama parcial se const i tuye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibil idades de l

s iguiente paso, sa lvo s i e l nudo representa un posible f inal del

experimento (nudo final) .

Hay que tener en cuenta: que la suma de probabil idades de las

ramas de cada nudo ha de dar 1.

E jemplos :

1 Una c lase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité

de tres a l azar, hal lar la probabi l idad de:

1 Selecc ionar tres niños.


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2 Selecc ionar exactamente dos niños y una niña.

3 Selecc ionar exactamente dos niñas y un niño.

1 Selecc ionar tres niñas.

2 Calcular la probabil idad de que a l arrojar a l a ire tres monedas,

salgan:


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1 Tres caras.

PROBABILIDAD TOTAL:

Si A 1 , A 2 , . . . , A n son:

Sucesos incompatibles 2 a 2.

Y cuya unión es el espacio muestra l (A 1 A 2 . . . A n = E).

Y B es otro suceso.

Resulta que:

p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + . . . + p(An) ·

p(B/An )

E jemp lo:

Se dispone de tres cajas con bombi l las. La primera cont iene 10

bombi l las, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay

seis bombi l las, estando una de el l as fundida, y la tercera caja hay

tres bombi l las fundidas de un tota l de ocho. ¿Cuál es la

probabi l idad de que a l tomar una bombi l la a l azar de una cualquier a

de las cajas, esté fundida?


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TEOREMA DE BAYES:

Si A 1 , A 2 , . . . , A n son:

Sucesos incompatibles 2 a 2.

Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 A 2 . . . A n = E).

Y B es otro suceso.

Resulta que:

Las probabi l idades p(A1) se denominan probabil idades a priori .

Las probabi l idades p(A i/B) se denominan probabil idades a

posteriori.

Las probabi l idades p(B/A i) se denominan veros imi l i tudes.


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Ejemplos :

1 El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro

20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puestodirect ivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no

ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto

direct ivo. ¿Cuál es la probabi l idad de que un empleado direct ivo

elegido a l azar sea ingeniero?


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La probabi l idad de que haya un acc idente en una fábrica que

dispone de a larma es 0.1. La probabi l idad de que suene e sta s í se

ha producido a lgún inc idente es de 0.97 y la probabi l idad de que

suene s i no ha sucedido ningún inc idente es 0.02.

En el supuesto de que haya funcionado la a larma, ¿cuál es la

probabi l idad de que no haya habido ningún inc idente?

Sean los sucesos:

I = Producirse inc idente. SUENA ALARMA 0.97

A = Sonar la a larma.

0.1 SI

NO SUENA ALARMA 0.03

INCIDENTE SUENA ALARMA 0.02

0.9 NO

NO SUENA ALARMA 0.98

TEOREMA DE BAYES:

PROBABILIDAD NO HAYA INCIDENTE, suponiendo que hayasonado la alarma:

0.9x0.02-----------------------

0.1x0.97+0.9x0.02 dos casos que haya sonado la alarma

y arriba suene la alarma si no hay incidentes


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1. P(H)=0.7 P(M)=0.3

P(TRABAJE SIENDO HOMBRE)=0,8P(TRABAJO SIENDO MUJER)=0,7

ARBOL

PROBABILIDAD TOTAL DE TRABAJO=0.7 0.8 + 0.3 0.7

TEOREMA DE BAYES: SEA HOMBRE 0.7 0.8/0.7 0.8 + 0.3 0.7

DOS TEMAS

P(SABE)=6/10 P(NO SABE)=4/10

P(SABE ALGUNO)=1-P(NO SEPA NINGUNO)

1-4/10x3/9=1-12/90=78/90=13/15

P(SABE ALGUNO)= P(S,S)+P(S,NS)+P(NS,S)=6/10X5/9+8/15

30/90+8/15=1/3+1/15=5+8/15=13/15


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1. P(BB)=4/6x3/5=12/30=4/10=2/5

2.P(SEGUNDA BOLA NEGRA)=P(BN)+P(NN)=4/6x2/5+2/6x1/5P(PRIMERA SEA NEGRA)=P(NN)

P(NN)/ P(BN)+P(NN)= 2/6x1/5/(4/6x2/5+2/6x1/5)

1/3x1/5/(2/3x2/5+1/3x1/5)=1/5

NEGACION ( A INTERSECCION B)= NEGACION A UNIONNEGACION B

NEGACION p(A I B)=0.7

P(A I B)=1- 0.7=0.3 NO ES INDEPENDIENTE PORQUE0.6x0.2=no es 0.3


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1.

P(A)=0.6 P(B)=0.5 P(B/-A)=0,4


18/24

P(B/-A)=P(-A I B)/P(-A)=

P(-A I B)= P(B/-A) P(-A)=0,4x(1-0.6)=0,4x0,4=0,16

2.

P(-A I –B)=1-P(A o B)

P(A o B)=P(A)+P(B)-P(A I B)

P( GANE CASO)=0.3x0.6+0.5x0.8+0.2x0.7=0.72

0.3x0.6/P(GANE CASO)=0.3x0.6/0.72=0.18/0.72=0.25


19/24

P( lea periódico)=P(A)P(LEA)+P(B)P(LEA)+P(C)(LEA)

P(B)P(LEA)/ P(A)P(LEA)+P(B)P(LEA)+P(C)(LEA)


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TABLA DE CONTIGENCIA:


21/24

A) Coche sea C 0,10B) 0,18/0,30 DE TODOS LOS DIESEL QUE SEA AC) 0,06/0,10 SABIENDO QUE TODOS LOS MODELOS DE C SON

0,10


22/24

En este caso la posibil idad de acertar

1/500 un premio y echa dos veces

HAY 500 NUMEROS COMPRA DOS N UMEROS ES COMO ELEGIRAL AZAR DOS TEMAS

P(GANE ALGUNA VEZ)=1-P(PIERDA Y PIERDA)=1-499/500x498/499=0.004

COMO SON DOS VECES

P(GP)+P(PG)=1/500x498/499+499/500x1/498=0.004


23/24

La probabil idad de que gane es 1/500 l a primera vez y lasegunda pierda 498/499 restantes

Lo mismo 499/500 pierda y 1/498 restantes gane

2. si hay dos premios la probabil idad:

Ahora la posibil idad de acertar es 2/500

De que gane es P(GANE DOS PREMIOS)=1-P(PIERDA LOSDOS)=COMO HAY DOS PREMIOS=1-498/500x497/499=1.0.992=0.00799

3 RAMAS DE DEFECTUOSO:

P(2D O MAS)=P(DD-D)+P(D-DD)+P(-DDD)+P(-D-D-D)

MAXIMO 2 ENTONCES ES LO CONTRARIO DE MAXIMO 3

1-P(-D-D-D)


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PRIMERA CAJA 3 BOLAS BLANCAS Y 4 NEGRAS. 3/7 Y 4/7

SEGUNDA CAJA 5 BOLAS NEGRAS=5/5

TERCERA CAJA 4 BOLAS BLANCAS Y 3 NEGRAS.- 4/7 Y 3/7

SE ELIGE AL AZAR UNA CAJA. 3 CAJAS

ELECCIÓN DE CADA CAJA 1/3

SEA NEGRA P(NEGRA)=1/3x4/7+1/3+1/3x3/7=2/3

SEA LA SEGUNDA CAJA=1/3/2/3=1/2

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