Solucion al Problema 7

7. Considere el problema del arbol del ejemplo 5.1. Supongase t = 12.

(a) Esbozar el campo de vectores para este modelo. Indicar la ubicacion de cada equilibrio en elespacio de estados.

(b) Para cada punto de equilibrio, determinar el sistema lineal que se aproxima el comportamientodel sistema dinamico original en la vecindad del punto de equilibrio. Escribir la solucion general aeste sistema lineal, y esbozar el retrato de fase lineal.

(c) Esbozar el retrato de fase completa de este modelo, utilizando los resultados de las partes (a)y (b).

(d) Supongamos que un pequeno numero de arboles de madera dura se introduce en un soporteadulto de arboles de madera blanda. Que predice nuestro modelo acerca el futuro de este bosque?.

Solucion (a):

Recordemos las variables y lo que habıamos asumido a cerca de este problemavamos a resolver este problema por el metodo de los cinco pasos

paso 1: Hagase la pregunta¿ Puede ambos tipos de arboles coexistir en equilibrio?

VariablesH : Poblacion de madera dura (toneladas / acre)S : Poblacion de madera blanda (toneladas / acre)gH : tasa de crecimiento intrinseca de las maderas duras(toneladas/acre/ano)gS : tasa de crecimiento intrinseca de las maderas blandas(toneladas/acre/ano)cH : perdida debido a la competencia de las maderas duras(toneladas/acre/ano)cS : perdida debido a la competencia de las maderas blandas(toneladas/acre/ano)

Asumimos

gH = r1H − a1H2

gS = r2S − a2S2

cH = b1SHcS = b2SHH ≤ 0, S ≤ 0ri : tasa de crecimiento intrinsecaai : efecto de competencia entre los arboles de las misma especiebi : efecto de competencia entre los arboles de las distinta especietambien asumimos:r1 : 0,10 , r2 : 0,25 , a1 = 0,10

10000, a2 = 0,25

6000

consideramos bi = 12ai

1

paso 2: Seleccione el enfoque del modeloVamos a modelar este problema como un modelo dinamico discreto en el estado de equilibrio.

paso 3: Formule el modelo

Sea: H = x1 , S = x2

Consideremos el espacio de fases donde nuestro problema tiene sentido:

{(x1, x2) : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}

Nuestro sistema dinamico a estudiar es:

4x1 = r1x1 − a1x21 − b1x1x2 = 0,1x1 −

0,1

10000x21 −

0,05

10000x1x2

4x2 = r2x2 − a2x22 − b2x1x2 = 0,25x2 −

0,25

6000x22 −

0,125

6000x1x2

Vamos a graficar el campo de vectores:

paso 4: Resolver el modelo

Primeramente hallamos los puntos de equilibrio del sistema planteando:De donde obtenemos los puntos (0, 0), (0, 6000), (10000, 0) y (28000

3, 4000

3).

El codigo y el grafico del campo de vectores en una vecindad de (0, 0) es:

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