Н.С.Гусев,В.Л.Чернышев П Л , Ф · УДК 514.7 Рецензенты: Иванов Александр Олегович, д.ф.-м.н., механико-математический

М Г Н. Э. Б

Н. С. Гусев, В. Л. Чернышев

П Л,Ф,

Учебное пособие по дисциплине«Управление движением»

Электронное учебное издание

© Московский Государственный технический университетимени Н.Э. Баумана, 2011

Москва, 2011

УДК 514.7

Рецензенты:

Иванов Александр Олегович, д.ф.-м.н., механико-математический факультетМГУ имени М.В. Ломоносова, профессор кафедры дифференциальной геометриии приложений;

Хорькова Нина Григорьевна, к.ф.-м.н., факультет фундаментальных наукМГТУ имени Н.Э. Баумана, доцент кафедры прикладной математики (ФН-2)

Авторы: Гусев Никита Сергеевич, Чернышев Всеволод Леонидович

Производная Ли, теорема Фробениуса, дифференциальные формы / Н.С. Гусев,В.Л. Чернышев.— М. : МГТУ имени Н. Э. Баумана, 2011.— 65 с.

В данном учебном пособии по дифференциальной геометрии и тензорному анализу даныопределения и приведен ряд основных свойств производной Ли векторных полей и гладкихдифференциальных форм. Доказаны инфинитезимальная формула Стокса и теорема Фробениуса.По каждой из этих тем разобраны примеры и даны задачи для самостоятельной работы.

Предназначается студентам МГТУ имени Н. Э. Баумана, изучающим курс дифференциальнойгеометрии и тензорного анализа, нелинейные динамические системы с управлением, а такжеширокому кругу читателей.

Рекомендуется НМС МГТУ имени Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия

© Гусев Н.С., Чернышев В.Л., 2011

Содержание

Предисловие 4

1 Предварительные сведения и обозначения 61§ Тензорные операции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 § Многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 § Тензоры на многообразиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 § Дифференциалы отображений и переносы ими тензоров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 § Поток векторного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 § Дифференцирование дифференциальных форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Построение производной Ли 227§ Переносы векторным полем и построение производной Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 § Координатное представление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 § Бескоординатные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2610§ Инфинитезимальная формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Теорема Фробениуса 3311§ Леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3312§ Распределения и теорема Фробениуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3613§ Инволютивность распределения и дифференциальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Разбор примеров 434.1 Дифференциальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

14§ Вычисление значений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4315§ Внешнее умножение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516§ Дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Производная Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4817§ Вычисление производной Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4818§ Инфинитезимальная формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3 Теорема Фробениуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5319§ Одномерное распределение в трехмерном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5320§ Двумерное распределение в трехмерном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 Задачи для самостоятельного решения 575.1 Дифференциальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

21§ Вычисление значений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5722§ Внешнее умножение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5823§ Дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2 Производная Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5924§ Вычисление производной Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5925§ Инфинитезимальная формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3 Теория Фробениуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6026§ Одномерное распределение в трехмерном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6027§ Двумерное распределение в трехмерном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Список обозначений 61Предметный указатель 63Список литературы 64

П

Данное учебное пособие охватывает элементарные понятия теории дифференци-альных форм; в нем дается определение и алгебраические свойства производнойЛи, ее связь с дифференцированием форм и внутренним дифференцировани-ем (инфинитезимальная формула Стокса); а также определяется понятие век-торного распределения и обсуждается теорема Фробениуса о критерии вполнеинтегрируемости в двух видах: с позиции инволютивности локального бази-са распределения и с позиции свойств сопряженного с распределением наборадифференциальных форм.

Пособие адресовано студентам МГТУ имени Н. Э. Баумана, углубленно изу-чающим курс дифференциальной геометрии и тензорного анализа, а также сту-дентам и аспирантам, приступающим к изучению дифференциально-геометриче-ского метода в задачах управления. Этот подход широко применяется в учебныхкурсах (см., например, программу курса «Управление движением») и научныхисследованиях на кафедре «Математического моделирования» под руководствомее заведующего профессора А. П. Крищенко (см., например, книгу [1]).

Углубленное изучение теории дифференциальных форм способствует повы-шению общематематической культуры будущих инженеров и специалистов поприкладной математике и развитию у них современного взгляда на задачи ме-ханики и физики (см., например, известный учебник [2]). Для более глубокогоизучения вопросов, связанных с теоремой Фробениуса и инфинитезимальнойформулой Стокса, студентам и аспирантам кафедры рекомендуется к прочтениюанглоязычная монография [3]. Студентам, знакомящимся с дифференциально-геометрическим подходом к задачам управления, рекомендуем обратить внима-ние на последние главы в книге [4].

Настоящее учебное пособие дополняет имеющиеся учебные материалы поэтой тематике, причем особое внимание уделено разбору примеров.

Предполагается, что читатель знаком с аналитической геометрией, алгеброй,математическим анализом, теорией обыкновенных дифференциальных уравне-ний. Доказательства базовых свойств соответствующих объектов и операций неприводятся. Читатель легко может найти их в указанных в списке литературыучебниках, монографиях и методических пособиях: [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11],[12], [13]. При этом основные утверждения и теоремы доказаны полностью и свысоким уровнем строгости.

Снабженное предметным указателем и списком используемых обозначенийпособие состоит из пяти частей. В первой вводятся понятия гладкого многооб-разия, тензорного поля на нем, кососимметрического тензорного поля, диффе-ренциала отображения, потока векторного поля, скобки Пуассона. Доказываетсяформула Картана. Во второй части вводится понятие переноса векторным по-лем и определяется производная Ли. Доказывается инфинитезимальная формулаСтокса. В третьей части обсуждаются распределения и доказывается теоремаФробениуса.

Четвертая и пятая части могут рассматриваться отдельно от остальных, какнебольшой задачник с подробными решениями по дифференциальным формам,производной Ли, применению теоремы Фробениуса. Отметим, что в этом данноепособие дополняет известный сборник задач по дифференциальной геометрии[14]. Приведенный в пятом разделе список задач для самостоятельного решенияможет быть использован для контроля усвоения материала.

Данное учебное пособие подготовлено при частичной финансовой поддержкегрантов РНП 2.1.1/227 и МК-943.2010.1.

6 Предварительные сведения и обозначения

1. Предварительные сведения и обозначения

§ 1 Т

В этом разделе предполагается, что задано линейное вещественное про-странство V .

Определение. Для целого числа γ > 0 инъективное отображение τ из мно-жества {1, . . . ,γ} в него же называется перестановкой на множестве {1, . . . ,γ} .

Определение. Пусть τ — перестановка на множестве {1, . . . ,γ} ; тогда ее знакомназывается число sign τ ∶= (−1)ω , где ω — количество инверсий в перестанов-ке τ , то есть пар ⟨α,β⟩ таких, что 1 ⩽ α < β ⩽ γ и τ⎧⎩α⎫⎭> τ⎧⎩β⎫⎭.

Определение. Пусть p — ковариантный тензор на V валентности γ (то естьγ -линейное отображение из V× . . . × V

γ разв R ), а τ — перестановка на множест-

ве {1, . . . ,γ} ; тогда обозначим действие перестановки на тензор:

(τ↪ p)⎧⎪⎩v1, . . . , vγ⎫⎪⎭ ∶= p⎧⎪⎩vτ⎧⎩1⎫⎭, . . . , vτ⎧⎩γ⎫⎭

⎫⎪⎭, где v1, . . . , vγ ∈ V .

Определение. Ковариантный тензор p валентности γ на V кососимметричен(или антисимметричен), если

τ↪ p = (sign τ) ⋅ p

для всякой перестановки τ на множестве {1, . . . ,γ} .

Определение. Пусть p — ковариантный тензор на V валентности γ ; тогда обо-значим альтернацию тензора p :

altp ∶= 1γ!⋅∑

τ(sign τ) ⋅ (τ↪ p),

где сумма распространяется на все перестановки τ на множестве {1, . . . ,γ} .

Утверждение. Пусть p — ковариантный тензор на V ; тогда тензор altp ко-сосимметричен. Если же сам тензор p кососимметричен, то altp = p ; поэто-му alt altp = altp для всякого ковариантного тензора p на V .

Определение. Пусть p1,p2 — ковариантные тензоры на V валентности γ1 иγ2 ; тогда их тензорное произведение есть ковариантный тензор p1⊗p2 на Vвалентности γ1 + γ2 , действующий на векторах v1, . . . , vγ1+γ2 ∈ V по формуле

(p1⊗p2)⎧⎪⎩v1, . . . , vγ1+γ2⎫⎪⎭= p1⎧⎪⎩v1, . . . , vγ1

⎫⎪⎭⋅ p2⎧⎪⎩vγ1+1, . . . , vγ1+γ2

⎫⎪⎭.

Н.С. Г, В. Л. Ч

Предварительные сведения и обозначения 7

Определение. Пусть p1,p2 — ковариантные тензоры на V валентности γ1 и γ2 ;тогда обозначим их внешнее произведение: p1 ∧p2 ∶= alt⎧⎩p1⊗p2⎫⎭.

Утверждение. Операция ∧ ассоциативна и линейна по обоим аргументам.

Определение. Пусть на пространстве V задан ковариантный тензор p ва-лентности γ > 0 ; тогда при произвольных векторах v1, . . . , vγ ∈ V обозначимковариантный тензор p α←Ð vα на V валентности (γ − 1) по формуле

(p α←Ð vα)⎧⎩без vα

v1, . . . , vγ⎫⎭ ∶= p⎧⎪⎩v1, . . . , vγ⎫⎪⎭;

а если 1 ⩽ α1 < . . . < αβ ⩽ γ , то это определение индуктивно продолжим:

(pα1,...,αβ←ÐÐÐÐ v1, . . . , vβ) ∶= (p

α1,...,αβ−1←ÐÐÐÐÐ v1, . . . , vβ−1)αβ−β+1←ÐÐÐÐ vβ .

Пример. В пояснение последнего определения положим β = 3 и поэтапно вы-числим:

(pα1,...,αβ←ÐÐÐÐ v1, . . . , vβ) = (p

α1,α2,α3←ÐÐÐÐ v1, v2, v3) =

= ((p α1,α2←ÐÐ v1, v2)α3−3+1←ÐÐÐ v3) = (((p

α1←Ð v1)α2−2+1←ÐÐÐ v2)

α3−3+1←ÐÐÐ v3);

если, например, γ = 6 , α1 = 2 , α2 = 4 , α3 = 6 , то последовательно («изнутринаружу») будет

(p 2←Ð v1) = p⎧⎩⋅, v1, ⋅, ⋅, ⋅, ⋅⎫⎭,здесь (p 2←Ð v1) уже пятивалентен,

и его третий аргумент соответствует четвертому в p;

((p 2←Ð v1)α2−2+1←ÐÐÐ v2) = ((p

2←Ð v1)4−2+1←ÐÐÐ v2) = p⎧⎩⋅, v1, ⋅, v2, ⋅, ⋅⎫⎭,

здесь валентность стала четыре,

и четвертый аргумент соответствует шестому в p;

(((p α1←Ð v1)α2−2+1←ÐÐÐ v2)

α3−3+1←ÐÐÐ v3) = (((p2←Ð v1)

4−2+1←ÐÐÐ v2)6−3+1←ÐÐÐ v3) =

= p⎧⎩⋅, v1, ⋅, v2, ⋅, v3⎫⎭.

Определение. Пусть на пространстве V задан ковариантный тензор p ва-лентности γ ⩾ 0 , и v1, . . . , vβ ∈ V ; тогда обозначим внутреннюю производную(v1⊗ . . .⊗vβ)⌟p контравариантным тензором v1⊗ . . .⊗vβ тензора p по формуле

(v1⊗ . . .⊗ vβ) ⌟ p ∶=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

γ!(γ−β)! ⋅ (p

1,...,β←ÐÐÐ vβ, . . . , v1), если β ⩽ γ

0, если β > γ;

П Л, Ф,


а на все контравариантные тензоры распространим по линейности (то есть ес-ли контравариантный тензор есть конечная сумма указанных тензорных про-изведений, то производная им есть сумма производных его слагаемыми). Здесь(v1⊗ . . .⊗ vβ) ⌟ p — ковариантный тензор на V валентности max{0,γ − β} .

Утверждение. Пусть p — ковариантный тензор на V , и v1, v2 — контравариант-ные тензоры на V ; тогда

v1 ⌟(v2 ⌟p) = (v1⊗ v2) ⌟ p .

Утверждение. Пусть p — кососимметричный ковариантный тензор на V , и v— контравариантный тензор на V ; тогда

v⌟p = (alt v) ⌟ p .

Утверждение. Пусть p1,p2 — кососимметричные ковариантные тензоры на V ,причем p1 имеет валентность γ , и v ∈ V ; тогда

v⌟(p1 ∧p2) = (v⌟p1) ∧ p2 +(−1)γ+1 ⋅ p1 ∧(v⌟p2).

Везде далее применяется тензорное правило Эйнштейна:

если в некоторой формуле есть произведение величин с верхними и нижними

индексами, и какой-то переменный индекс встречается в этом произведении только

однажды как верхний и как нижний, то в формуле по этому индексу производится

суммирование слагаемых вида этого произведения, причем диапазон изменения

этого индекса в сумме определяется контекстом формулы.

§ 2 М

Определение. Пусть задано некоторое множество M ; скажем тогда, чтоинъективное отображение c ∶ Rμ Ð→ M — карта размерности μ на множест-ве M . При этом для точки x из образа отображения c вещественные числаx>1, . . . ,x>μ называются ее локальными координатами (относительно карты c ),если только x = c⎧⎩x>1, . . . ,x>μ⎫⎭.

Определение. Пусть заданы две карты c1 , c2 одной размерности μ на од-ном множестве; тогда

• они непрерывно согласованы, если только отображение c1−1 ○ c2 непрерыв-но, и его образ открыт (здесь c1−1 обозначает обратное к c1 отображе-ние);



• они гладко согласованы, если только отображение c1−1 ○ c2 бесконечнодифференцируемо, и его образ открыт.

Определение. Пусть на множестве M задано конечное множество A карт од-ной размерности μ ; тогда скажем, что это множество A — атлас (или гладкийатлас) размерности μ , если

• объединение образов всех карт из множества A есть множество M ;

• для всяких двух разных точек x1 и x2 множества M найдутся два непе-ресекающиеся подмножества U1 и U2 множества M и две карты c1 иc2 из A такие, что x1 ∈ U1 ⊂ im c1 , x2 ∈ U2 ⊂ im c2 , прообразы множествU1 и U2 соответственно картами c1 и c2 открыты;

• всякие две карты из множества A непрерывно согласованы (или гладкосогласованы).

Определение. Множество M с атласом размерности μ (или гладким атласомразмерности μ ) на нем называется многообразием (или гладким многообразием)размерности μ .

Определение. Пусть задано гладкое многообразие M размерности μ ; тогда

• отображение f ∶ M Ð→ R называется гладким (кратко обозначим f ∈∈ C∞(M) ), если для всякой карты c заданного атласа бесконечно диффе-ренцируема функция f ○ c ∶ Rμ Ð→ R ;

• если даны разные числа a, b ∈ R , то отображение k ∶ (a, b) Ð→ M на-зывается гладким (оно задает гладкую кривую на многообразии M ), еслидля всякой карты c заданного атласа бесконечно дифференцируема функ-ция c−1 ○k ;

• если же также задано гладкое мноообразие N , то отображение m ∶MÐ→Ð→ N называется гладким (кратко обозначим m ∈ C∞(M,N) ), если длявсякой карты c1 атласа на многообразии M и карты c2 атласа на много-образии N бесконечно дифференцируема функция c2−1 ○ f ○ c1 .

§ 3 Т

В этом разделе предполагается, что задано гладкое многообразие M размер-ности μ . Также здесь и в дальнейшем применяется обозначение ∂α производ-ной по аргументу с номером α .

П Л, Ф,


Определение 1. Пусть x ∈ M ; тогда отображение v ∶ C∞(M) Ð→ R называ-ется касательным вектором в точке x ко многообразию M , если только

• для всяких a, b ∈ R и f,g ∈ C∞(M) выполнено равенство

v⎧⎩a ⋅ f+b ⋅ g⎫⎭= a ⋅ v⎧⎩f⎫⎭+ b ⋅ v⎧⎩g⎫⎭;

• если f,g ∈ C∞(M) , то v⎧⎩f ⋅g⎫⎭= v⎧⎩f⎫⎭⋅ g⎧⎩x⎫⎭+ f⎧⎩x⎫⎭⋅ v⎧⎩g⎫⎭;

касательное пространство TxM в точке x ко многообразию M — совокуп-ность всех касательных векторов в точке x ко многообразию M .

Определение. Удобно обозначить TM ∶= ⋃x∈M

TxM ; а для каждого вектора v из

TM обозначим его проекцию tpr v ∶= x в «точку его приложения», где точка x —единственная точка многообразия M такая, что v ∈ TxM .

Замечание. Из Определения 1 очевидно, что TxM — линейное вещественноепространство.

Определение. Для гладкой кривой k ∶ (a−b,a+b)Ð→M , где a ∈ R и b > 0 ,вводится ее производная ∂1 k⎧⎩a⎫⎭= v в точке (числе) a как касательный векторв точке k⎧⎩a⎫⎭ по формуле

v⎧⎩f⎫⎭ ∶= ∂1(f ○k)⎧⎩a⎫⎭=d

dt∣t=a(f ○k)⎧⎩t⎫⎭, f ∈ C∞(M);

этот вектор называется касательным к этой кривой в точке (числе) a .Определение. Если на многообразии M задана карта c , то обозначим частнуюпроизводную по координате с номерами α = 1, . . . ,μ :

∂>α∣x⎧⎩f⎫⎭ ∶= (∂>α f)⎧⎩x⎫⎭ ∶= (∂α(f ○ c))⎧⎩x>1, . . . ,x>μ⎫⎭, f ∈ C∞(M).

Замечание. Ясно, что ∂>α∣x ∈ TxM .

Утверждение. Векторы ∂>1∣x , . . . , ∂>μ∣x образуют базис (называемый каноничес-ким) в линейном пространстве TxM ; причем координаты вектора v ∈ TxMобозначаем v>1, . . . , v>μ :

v = v>α ⋅ ∂>α∣x .

Определение. Отображение u ∶ D Ð→ TM , где D — открытое подмноже-ство многообразия M , называется векторным полем на множестве D , еслитолько

• для всякой точки x множества D верно tpr⎧⎩u⎧⎩x⎫⎭⎫⎭= x ;



• для произвольной карты с образом (обозначим его U ) во множествеD отображение u⎧⎩x⎫⎭

>α =∶ u>α⎧⎩x⎫⎭ — гладкая функция от x ∈ U приα = 1, . . . ,μ .

Определение. Если u — векторное поле на множестве D , а f — гладкаяфункция, то для x ∈ D обозначим (u D▹ f)⎧⎩x⎫⎭ ∶= u⎧⎩x⎫⎭⎧⎩f⎫⎭,— дифференцированиефункции векторным полем.

Определение. Обозначим ∂>α⎧⎩x⎫⎭ ∶= ∂>α∣x ,— координатное векторное поле приα = 1, . . . ,μ и точке x из образа координатной карты.

Пример. Вычислим, например, производную векторным полем u с координат-ным выражением ∂>1⎧⎩x⎫⎭− ∂>2⎧⎩x⎫⎭ функции f с координатным выражениемf⎧⎩x⎫⎭= x>1 − x>2 :

(u D▹ f)⎧⎩x⎫⎭ ∶= u⎧⎩x⎫⎭⎧⎩f⎫⎭== (∂>1⎧⎩x⎫⎭− ∂>2⎧⎩x⎫⎭)⎧⎩x>1 − x>2⎫⎭= (∂>1∣x − ∂>2∣x)⎧⎩x>1 − x>2⎫⎭=

= ∂>1∣x⎧⎩x>1 − x>2⎫⎭− ∂>2∣x⎧⎩x>1 − x>2⎫⎭== ∂>1∣x⎧⎩x>1⎫⎭− ∂>1∣x⎧⎩x>2⎫⎭− ∂>2∣x⎧⎩x>1⎫⎭+ ∂>2∣x⎧⎩x>2⎫⎭=

= 1 − 0 − 0 + 1 = 2.

Утверждение. Пусть на подмножестве D многообразия M заданы векторныеполя u1 и u2 ; тогда отображение, сопоставляющее гладкой функции f гладкуюфункцию u1

D▹(u2D▹ f) − u2

D▹(u1D▹ f) является векторным полем на множестве D ;

оно обозначается ⟦u1,u2⟧ (то есть ⟦u1,u2⟧D▹ f ∶= u1

D▹(u2D▹ f) − u2

D▹(u1D▹ f) ) и

называется коммутатором векторных полей (также называется скобка Пуассонаили скобка Ли); в локальных координатах коммутатор вычисляется по формуле

⟦u1,u2⟧>α = u>β

1 ⋅∂>β u>α2 −u>β

2 ⋅∂>β u>α1 .

Определение. Пусть x ∈M ; тогда ковариантный тензор над TxM валентно-сти γ называется ковариантным тензором валентности γ в точке x ; множествовсех таких тензоров обозначается T∗

γxM ; при γ = 1 такие тензоры называют-

ся кокасательными векторами в точке x ; совокупность всех кокасательныхвекторов в точке x обозначается T∗xM .

Определение. Удобно обозначить T∗γM ∶= ⋃x∈M

T∗γxM и T∗M ∶= ⋃

x∈MT∗xM ; и

обозначим проекцию тензора p из T∗γM в «точку его приложения»: tprp ∶= x ,где точка x — единственная точка многообразия M такая, что p ∈ T∗γxM .

П Л, Ф,


Определение. Пусть x ∈ M и задана карта на многообразии M , в образекоторой лежит точка x ; тогда, поскольку координатные функции на простран-стве TxM суть одновалентные ковариантные тензоры в точке x , α -тую из нихобозначим d

>α∣x по формуле

d>α∣x⎧⎩v⎫⎭ ∶= v>α,

где v ∈ TxM и α = 1, . . . ,μ .

Замечание. Легко видеть, что d>1∣x , . . . , d

>μ∣x образуют базис линейного про-странства T∗xM , двойственный к базису ∂>1∣x , . . . , ∂>μ∣x пространства TxM .

Утверждение. Всякий ковариантный тензор p валентности γ в точке xмногообразия M имеет однозначное координатное представление в базисеd>1∣x , . . . , d

>μ∣x :p = p>α1,...,αγ

⋅ d>α1 ∣x ⊗ . . .⊗ d>αγ ∣x .

Определение. Отображение q ∶ DÐ→ T∗γM , где D — открытое подмноже-ство многообразия M , называется ковариантным тензорным полем валентнос-ти γ на множестве D , если только

• для всякой точки x множества D верно tpr⎧⎩q⎧⎩x⎫⎭⎫⎭= x ;

• для произвольной карты с образом (обозначим его U ) во множестве Dпри x ∈ U и α1, . . . ,αγ = 1, . . . ,μ функция q⎧⎩x⎫⎭>α1,...,αγ

=∶ q>α1,...,αγ⎧⎩x⎫⎭

гладкая.

Определение. Обозначим d>α⎧⎩x⎫⎭ ∶= d

>α∣x ,— координатное ковекторное поле приα = 1, . . . ,μ и точке x из образа координатной карты.

Определение. Пусть q — ковариантное тензорное поле валентности γ нанекотором подмножестве многообразия M , и u1 , …, uγ — векторные поляна том же множестве; тогда обозначим

(q◂u1, . . . ,uγ)⎧⎩x⎫⎭ ∶= q⎧⎩x⎫⎭⎧⎪⎩u1⎧⎩x⎫⎭, . . . ,uγ⎧⎩x⎫⎭⎫⎪⎭,

где точка x из того же множества.

§ 4 Д

В этом разделе предполагается, что задано гладкое многообразие M размер-ности μ .



Определение. Пусть f ∈ C∞(M) и x ∈ M ; тогда обозначим дифференциалфункции f в точке x по формуле

df⎧⎩x⎫⎭⎧⎩v⎫⎭ ∶= v⎧⎩f⎫⎭, где v ∈ TxM и x ∈M ,—

отображение, действующее на множестве TxM .

Замечание. Дифференциал отображения в точке линеен по умножению отобра-жения на число:

d(a ⋅ f+b ⋅ g)⎧⎩x⎫⎭⎧⎩v⎫⎭= v⎧⎩a ⋅ f+b ⋅ g⎫⎭== a ⋅ v⎧⎩f⎫⎭+ b ⋅ v⎧⎩g⎫⎭= a ⋅ df⎧⎩x⎫⎭⎧⎩v⎫⎭+ b ⋅ dg⎧⎩x⎫⎭⎧⎩v⎫⎭,

где a, b ∈ R , f,g ∈ C∞(M) , v ∈ TxM ; а также он обладает свойством Лейбница:

d(f ⋅g)⎧⎩x⎫⎭⎧⎩v⎫⎭= v⎧⎩f ⋅g⎫⎭== v⎧⎩f⎫⎭⋅ g⎧⎩x⎫⎭+ f⎧⎩x⎫⎭⋅ v⎧⎩g⎫⎭= df⎧⎩x⎫⎭⎧⎩v⎫⎭⋅ g⎧⎩x⎫⎭+ f⎧⎩x⎫⎭⋅ dg⎧⎩x⎫⎭⎧⎩v⎫⎭.

Замечание. Если f⎧⎩x⎫⎭= x>α — α -тая координатная функция, то

df⎧⎩x⎫⎭⎧⎩v⎫⎭= v⎧⎩f⎫⎭= v>β ⋅∂>β x>α = v>β ⋅kronαβ = v>α = d>α∣x⎧⎩v⎫⎭= d>α⎧⎩x⎫⎭⎧⎩v⎫⎭,

где v ∈ TxM и x ∈M ; то есть dx>α = d>α⎧⎩x⎫⎭.Замечание. Поэтому вычислим для произвольной гладкой функции f , предпо-лагая v ∈ TxM и x ∈M :

df⎧⎩x⎫⎭⎧⎩v⎫⎭= v⎧⎩f⎫⎭= v>α ⋅∂>α f⎧⎩x⎫⎭= ∂>α f⎧⎩x⎫⎭⋅ dx>α⎧⎩v⎫⎭,

то есть df⎧⎩x⎫⎭= ∂>α f⎧⎩x⎫⎭⋅ dx>α .

Определение. Пусть задано также гладкое многообразие N размерности ν ,а также гладкое отображение m ∈ C∞(M,N) ; обозначим тогда дифференциалэтого отображения в точке x ∈M по формуле

dm⎧⎩x⎫⎭⎧⎩v⎫⎭⎧⎩f⎫⎭ ∶= v⎧⎩f ○m⎫⎭, f ∈ C∞(N), v ∈ TxM.

Часто переход v z→ dm⎧⎩x⎫⎭⎧⎩v⎫⎭ называют переносом по отображению m вточке x .Замечание. Нетрудно установить, что dm⎧⎩x⎫⎭ — линейный оператор из TxMв Tm⎧⎩x⎫⎭N .

П Л, Ф,


Замечание. Если задана точка x ∈M и отображение m ∈ C∞(M,N) , то вычис-лим в локальных координатах, предполагая f ∈ C∞(N) и v ∈ TxM :

dm⎧⎩x⎫⎭⎧⎩v⎫⎭⎧⎩f⎫⎭= v⎧⎩f ○m⎫⎭= v>α ⋅∂>α(f ○m)⎧⎩x⎫⎭== v>α ⋅∂>β f⎧⎩m⎧⎩x⎫⎭⎫⎭⋅ ∂>α (m>β)⎧⎩x⎫⎭= (v>α ⋅∂>α (m>β)⎧⎩x⎫⎭) ⋅ ∂>β f⎧⎩m⎧⎩x⎫⎭⎫⎭,

то есть dm⎧⎩x⎫⎭⎧⎩v⎫⎭>β = ∂>α (m>β)⎧⎩x⎫⎭⋅ v>α .

Определение. Пусть x ∈M , m ∈ C∞(M,N) , p ∈ T∗γm⎧⎩x⎫⎭N ; тогда, предполагаяv1, . . . , vγ ∈ TxM , обозначим q ∈ T∗γxM по формуле

q⎧⎪⎩v1, . . . , vγ⎫⎪⎭ ∶= p⎧⎪⎩dm⎧⎩x⎫⎭⎧⎩v1⎫⎭, . . . ,dm⎧⎩x⎫⎭

⎧⎪⎩vγ⎫⎪⎭⎫⎪⎭,

и обозначим этот тензор(m↶x p) ∶= q,

часто называемый переносом ковариантного тензора против отображения m вточку x .Определение. Пусть m ∈ C∞(M,N) , r — ковариантное тензорное поле валент-ности γ на многообразии N ; тогда при x ∈ M обозначим новое тензорноеполе

(m↶⋆

r)⎧⎩x⎫⎭ ∶= (m↶x r⎧⎩x⎫⎭),

называемое переносом ковариантного тензорного поля против отображения m .

Замечание. Очевидно, что при переносе против отображения сохраняется ан-тисимметричность.

§ 5 П

В этом разделе предполагается, что задано гладкое многообразие M размер-ности μ .

Определение 2. Пусть на гладком многообразии M задано векторное поле v ;тогда потоком этого поля называется гладкое по совокупности аргументов от-ображение f⎧⎩t,x⎫⎭ со значениями во многообразии M , определенное для всехточек x многообразия M и чисел tÐ→ 0 локально на M , являющееся решениемуравнения

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

∂0 f>α⎧⎩t,x⎫⎭= v>α⎧⎩f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭ при α = 1, . . . ,μ

f⎧⎩0,x⎫⎭= x,(1)

в котором ∂0 обозначает производную по аргументу t .



Утверждение 3. У всякого векторного поля v на многообразии M существуетего поток f , причем он при x ∈ M и t1, t2 Ð→ 0 обладает следующими свой-ствами относительно параметра:

1. f⎧⎩t1, f⎧⎩t2,x⎫⎭⎫⎭= f⎧⎩t1 + t2,x⎫⎭;

2. f⎧⎩−t1, f⎧⎩t1,x⎫⎭⎫⎭= x , то есть f⎧⎩t1, ⋅⎫⎭−1⎧⎩x⎫⎭= f⎧⎩−t1,x⎫⎭

(это известно из теории обыкновенных дифференциальных уравнений).

Далее будут полезны следующие координатно-дифференциальные свойствапотока f векторного поля v на многообразии M : Замечание 4, Теорема 5, Тео-рема 6.Замечание 4. Если на многообразии M задано векторное поле v с потоком f ,то по определению потока верно координатное равенство f>β⎧⎩0,x⎫⎭ = x>β , ипотому ∂>α f>β⎧⎩0,x⎫⎭= ∂>α x>β = kronβα .

Теорема 5. Пусть на многообразии M задано векторное поле v с потоком f ;тогда (в обозначениях из Определения 2)

1. ∂0 ∂>α f>β⎧⎩t,x⎫⎭= ∂>γ v>β⎧⎩f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭⋅ ∂>α f>γ⎧⎩t,x⎫⎭;

2. а при t = 0 получаем ∂0 ∂>α f>β⎧⎩0,x⎫⎭= ∂>α v>β⎧⎩x⎫⎭.

Доказательство. Продифференцируем с помощью определяющего уравнения (1):

∂0 ∂>α f>β⎧⎩t,x⎫⎭= ∂>α ∂0 f>β⎧⎩t,x⎫⎭== ∂>α (v>β⎧⎩f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭) = ∂>γ v>β⎧⎩f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭⋅ ∂>α f

>γ⎧⎩t,x⎫⎭.

Откуда при t = 0 по Замечанию 4 получим

∂0 ∂>α f>β⎧⎩0,x⎫⎭= ∂>γ v>β⎧⎩f⎧⎩0,x⎫⎭⎫⎭⋅ ∂>α f>γ⎧⎩0,x⎫⎭=

= ∂>γ v>β⎧⎩x⎫⎭⋅ kronγα = ∂>α v>β⎧⎩x⎫⎭.⊠

Теорема 6. Пусть на многообразии M задано векторное поле v с потоком f ;тогда

1. ∂0 (∂>α f>β⎧⎩−t, f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭) = −∂>δ f>β⎧⎩−t, f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭⋅ ∂>α v>δ⎧⎩f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭;

2. ∂0 (∂>α f>β⎧⎩−t, f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭)∣t=0 = −∂>α v>β⎧⎩x⎫⎭.

П Л, Ф,


Доказательство. Продифференцируем для начала по координате левую и правуючасти выражения f⎧⎩−t, f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭ = x (из второго свойства Теоремы 3) в коорди-натном виде:

∂>α (f>β⎧⎩−t, f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭) = ∂>α f>β⎧⎩−t + t,x⎫⎭= kronβα .

Из этого по теореме о дифференцировании композиции получим

∂>γ f>β⎧⎩−t, f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭⋅ ∂>α f>γ⎧⎩t,x⎫⎭= kron

βα . (2)

И теперь полученное продифференцируем по аргументу t :

∂0 (∂>γ f>β⎧⎩−t, f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭⋅ ∂>α f>γ⎧⎩t,x⎫⎭) =

= ∂0 (∂>γ f>β⎧⎩−t, f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭) ⋅ ∂>α f>γ⎧⎩t,x⎫⎭+

+ ∂>γ f>β⎧⎩−t, f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭⋅ ∂0 ∂>α f>γ⎧⎩t,x⎫⎭= 0,

так как в формуле (2) справа стоит постоянная.Заменив здесь во втором слагаемом второй множитель по первой формулеТеоремы 5, получим

∂0 (∂>γ f>β⎧⎩−t, f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭) ⋅ ∂>α f>γ⎧⎩t,x⎫⎭+

+ ∂>γ f>β⎧⎩−t, f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭⋅ ∂>δ v>γ⎧⎩f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭⋅ ∂>α f>δ⎧⎩t,x⎫⎭= 0,

и переменим индексы суммирования:

∂0 (∂>α f>β⎧⎩−t, f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭) ⋅ ∂>γ f>α⎧⎩t,x⎫⎭+

+ ∂>δ f>β⎧⎩−t, f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭⋅ ∂>α v>δ⎧⎩f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭⋅ ∂>γ f>α⎧⎩t,x⎫⎭= 0.

Поскольку матрица (∂>γ f>α⎧⎩t,x⎫⎭)α=1,...,μγ=1,...,μ невырождена при tÐ→ 0 , сократим на

этот общий множитель:

∂0 (∂>α f>β⎧⎩−t, f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭) + ∂>δ f>β⎧⎩−t, f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭⋅ ∂>α v>δ⎧⎩f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭= 0.

Выразив здесь первое слагаемое, получим

∂0 (∂>α f>β⎧⎩−t, f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭) = −∂>δ f>β⎧⎩−t, f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭⋅ ∂>α v>δ⎧⎩f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭.

Полагая t = 0 , по Замечанию 4 получим

∂0 (∂>α f>β⎧⎩−t, f⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭)∣t=0 =

= −∂>δ f>β⎧⎩−0,= x

f⎧⎩0,x⎫⎭⎫⎭⋅ ∂>α v>δ⎧⎩= x

f⎧⎩0,x⎫⎭⎫⎭= −∂>δ f>β⎧⎩−0,x⎫⎭⋅ ∂>α v>δ⎧⎩x⎫⎭=

= −kronβδ ⋅∂>α v>δ⎧⎩x⎫⎭= −∂>α v>β⎧⎩x⎫⎭.⊠



§ 6 Д

В этом разделе предполагается, что задано гладкое многообразие M раз-мерности μ .

Определение. У дифференциальных форм валентности σ = 0, . . . на много-образии M определяется внешний дифференциал — дифференциальная формавалентности (σ + 1) — следующим индуктивным по валентности способом:

• если σ = 0 , то dp ∶= df , где p⎧⎩x⎫⎭⎧⎩⎫⎭= f⎧⎩x⎫⎭, ∀x ∈M ;

• d(dx>α) ∶= 0, α = 1, . . . ,μ ;

• дифференциал формы вида p1 ∧p2 определяется по формуле

d(p1 ∧p2) ∶= (dp1) ∧ p2 +(−1)σ ⋅ p1 ∧(dp2),

где σ — валентность формы p1 ;

• на дифференциальные формы — конечные суммы вышеприведенных —дифференциал продолжается по линейности.

Теорема. Пусть p — дифференциальная форма валентности σ на многообра-зии M ; тогда в локальных координатах дифференциал этой формы может бытьвыражен по формуле

(dp)>α0...ασ =1

σ + 1⋅δ=σ∑δ=0(−1)δ ⋅ ∂>αδ p>α0...ασ

без αδ

. (3)

Доказательство. Запишем dp через координатное представление формы p (вэтих вычислениях для краткости не пишем аргумент поля, подразумевая егоналичие):

dp = d(p>α1...ασ⋅dx>α1 ∧ . . . ∧ dx>ασ) =

по Определению дифференциала формы

= dp>α1...ασ∧dx>α1 ∧ . . . ∧ dx>ασ + p>α1...ασ

⋅= 0

d(dx>α1 ∧ . . . ∧ dx>ασ) =

= alt(dp>α1...ασ⊗dx>α1 ⊗ . . .⊗ dx>ασ) =

= 1(σ + 1)!

⋅∑τ(sign τ) ⋅ (τ↪ (dp>α1...ασ

⊗dx>α1 ⊗ . . .⊗ dx>ασ)) =

(здесь и далее сумма по всем перестановкам на {1, . . . ,σ + 1} );

П Л, Ф,


записав дифференциал координатно, перенумеруем индексы суммирования:

= 1(σ + 1)!

⋅∑τ(sign τ) ⋅ (τ↪ (∂>ασ+1 p>α1...ασ

⋅dx>ασ+1 ⊗ dx>α1 ⊗ . . .⊗ dx>ασ)) =

= 1(σ + 1)!

⋅∑τ(sign τ) ⋅ (τ↪ (∂>α1 p>α2...ασ+1

⋅dx>α1 ⊗ dx>α2 ⊗ . . .⊗ dx>ασ+1)).

Поэтому значение дифференциала на векторных полях имеет следующий коор-динатный вид:

dp◂ v1, . . . , vσ+1 =1

(σ + 1)!⋅∑

τ(sign τ)⋅

⋅ (τ↪ (∂>α1 p>α2...ασ+1⋅dx>α1 ⊗ dx>α2 ⊗ . . .⊗ dx>ασ+1)) ◂ (v1, . . . , vσ+1) =

= 1(σ + 1)!

⋅∑τ(sign τ)⋅

⋅ (∂>α1 p>α2...ασ+1⋅dx>α1 ⊗ dx>α2 ⊗ . . .⊗ dx>ασ+1) ◂ (vτ⎧⎩1⎫⎭, . . . , vτ⎧⎩σ+1⎫⎭) =

= 1(σ + 1)!

⋅∑τ(sign τ) ⋅ ∂>α1 p>α2...ασ+1

⋅ v>α1τ⎧⎩1⎫⎭⋅ . . . ⋅ v>ασ+1

τ⎧⎩σ+1⎫⎭=;

переобозначив нумерацию индексов, выделим затем первый:

= 1(σ + 1)!

⋅∑τ(sign τ) ⋅ ∂>ατ⎧⎩1⎫⎭

p>ατ⎧⎩2⎫⎭...ατ⎧⎩σ+1⎫⎭⋅ v>α1

1 ⋅ . . . ⋅ v>ασ+1σ+1 =

= 1(σ + 1)!

⋅β=σ+1

∑β=1

v>αβ

β ⋅ ∑τ∶τ⎧⎩1⎫⎭=β

(sign τ) ⋅ ∂>αβ p>ατ⎧⎩2⎫⎭...ατ⎧⎩σ+1⎫⎭⋅

без vβ

v>α11 ⋅ . . . ⋅ v

>ασ+1σ+1 = .

По кососимметричности формы заменив порядок нумерации индексов в нейна возрастающий, и потом домножив на число (sign τ) ⋅ (−1)β−1 по количествуинверсий, получим

= 1(σ + 1)!

⋅β=σ+1

∑β=1

v>αβ

β ⋅ ∑τ∶τ⎧⎩1⎫⎭=β

(sign τ) ⋅ (sign τ) ⋅ (−1)β−1⋅

⋅ ∂>αβ p>α1...αβ−1αβ+1...ασ+1⋅

без vβ

v>α11 ⋅ . . . ⋅ v

>ασ+1σ+1 =,

и после упрощения множителей знака будет

= 1(σ + 1)!

⋅β=σ+1

∑β=1

v>αβ

β ⋅(−1)β−1 ⋅ ∑

τ∶τ⎧⎩1⎫⎭=β∂>αβ p>α1...αβ−1αβ+1...ασ+1

⋅без vβ

v>α11 ⋅ . . . ⋅ v

>ασ+1σ+1 = .



Поскольку во внутренней сумме все слагаемые (в количестве (σ!) ) одинаковы,преобразуем:

= σ!(σ + 1)!

⋅β=σ+1

∑β=1

v>αβ

β ⋅(−1)β−1 ⋅ ∂>αβ p>α1...αβ−1αβ+1...ασ+1

⋅без vβ

v>α11 ⋅ . . . ⋅ v

>ασ+1σ+1 =

= 1σ + 1

⋅β=σ+1

∑β=1(−1)β−1 ⋅ ∂>αβ p>α1...αβ−1αβ+1...ασ+1

⋅ v>α11 ⋅ . . . ⋅ v

>ασ+1σ+1 .⊠

Теорема 7. Пусть на многообразии M задана σ -валентная дифференциаль-ная форма p и векторные поля v0, . . . , vσ ; тогда значение внешнего диффе-ренциала этой формы на этих векторных полях выражается по следующейбескоординатной формуле Картана:

(σ + 1) ⋅ dp◂(v0, . . . , vσ) =δ=σ∑δ=0(−1)δ ⋅ vδ

D▹(p◂(без vδ

v0, . . . , vσ))+

+ ∑0⩽η<θ⩽σ

(−1)η+θ ⋅ p◂(⟦vη, vθ⟧ ,без vη, vθ

v0, . . . , vσ).

Доказательство. Применив координатную формулу (3) внешнего дифференци-ала формы p , запишем (в этих вычислениях также для краткости не пишемаргумент поля, подразумевая его наличие)

(σ + 1) ⋅ dp◂(v0, . . . , vσ) =δ=σ∑δ=0(−1)δ ⋅ ∂>αδ p>α0...ασ

без αδ

⋅ v>α00 ⋅ . . . ⋅ v

>ασσ = (∗).

Преобразуем обособленно слагаемое суммы (∗) с номером δ , внося произ-ведение v>α0

0 ⋅ . . . ⋅ v>αδ−1δ−1 ⋅ v

>αδ+1δ+1 ⋅ . . . ⋅ v

>ασσ в производную ∂>αδ :

(−1)δ ⋅ ∂>αδ p>α0...ασбез αδ

⋅ v>α00 ⋅ . . . ⋅ v

>ασσ = (−1)δ ⋅ v

>αδδ ⋅∂>αδ p>α0...ασ

без αδ

⋅ v>α00 ⋅ . . . ⋅ v

>ασσ

без vδ

=

= (−1)δ ⋅ v>γδ ⋅∂>γ⎛⎜⎝

p>α0...ασбез αδ

⋅ v>α00 ⋅ . . . ⋅ v

>ασσ

без vδ

⎞⎟⎠−

− (−1)δ ⋅ v>γδ ⋅p>α0...ασбез αδ

⋅ ∑0⩽η⩽ση≠δ

v>α00 ⋅ . . . ⋅ v

>ασσ

без vδ, vη

⋅∂>γ v>αηη =,

выразив здесь первое слагаемое через бескоординатные операции, получим

= (−1)δ ⋅ vδD▹⎛⎝

p◂(v0, . . . , vσбез vδ

)⎞⎠− (−1)δ ⋅ v>γδ ⋅p>α0...ασ

без αδ

⋅ ∑0⩽η⩽ση≠δ

v>α00 ⋅ . . . ⋅ v

>ασσ

без vδ, vη

⋅∂>γ v>αηη .

П Л, Ф,


Подставив полученное выражение в сумму (∗) , запишем

(∗) =δ=σ∑δ=0(−1)δ ⋅ vδ

D▹(p◂(v0, . . . , vσбез vδ

))−

−δ=σ∑δ=0(−1)δ ⋅ v>γδ ⋅p>α0...ασ

без αδ

⋅ ∑0⩽η⩽ση≠δ

v>α00 ⋅ . . . ⋅ v

>ασσ

без vδ, vη

⋅∂>γ v>αηη = (∗∗).

Преобразуем вторую сумму в (∗∗) к одной общей:

δ=σ∑δ=0(−1)δ ⋅ v>γδ ⋅p>α0...ασ

без αδ

⋅ ∑0⩽η⩽ση≠δ

v>α00 ⋅ . . . ⋅ v

>ασσ

без vδ, vη

⋅∂>γ v>αηη =

= ∑0⩽η,δ⩽ση≠δ

(−1)δ ⋅ v>γδ ⋅∂>γ v>αηη ⋅p>α0...ασ

без αδ

⋅ v>α00 ⋅ . . . ⋅ v

>ασσ

без vδ, vη

=;

разделив эту сумму на две отдельные при η < δ и η > δ , изменим при этоминдексы η и δ во втором случае местами:

= ∑0⩽η<δ⩽σ

(−1)δ ⋅ v>γδ ⋅∂>γ v>αηη ⋅p>α0...ασ

без αδ

⋅ v>α00 ⋅ . . . ⋅ v

>ασσ

без vδ, vη

+

+ ∑0⩽η<δ⩽σ

(−1)η ⋅ v>γη ⋅∂>γ v>αδδ ⋅p>α0...ασ

без αη

⋅ v>α00 ⋅ . . . ⋅ v

>ασσ

без vδ, vη

=,

и перейдем к одной сумме с выделением общего множителя:

= ∑0⩽η<δ⩽σ

v>α00 ⋅ . . . ⋅ v

>ασσ

без vδ, vη

⋅

⋅ ((−1)δ ⋅ v>γδ ⋅∂>γ v>αηη ⋅p>α0...ασ

без αδ

+(−1)η ⋅ v>γη ⋅∂>γ v>αδδ ⋅p>α0...ασ

без αη

) = (∗ ∗ ∗).

Отдельно преобразуем стоящий в скобках множитель из (∗ ∗ ∗) , изменяязнаки по кососимметричности формы p (с учетом η < δ ):

(−1)δ ⋅ v>γδ ⋅∂>γ v>αηη ⋅p>α0...ασ

без αδ

+(−1)η ⋅ v>γη ⋅∂>γ v>αδδ ⋅p>α0...ασ

без αη

=

= (−1)δ ⋅ v>γδ ⋅∂>γ v>βη ⋅(−1)η ⋅ p>βα0...ασбез αδ,αη

+(−1)η ⋅ v>γη ⋅∂>γ v>βδ ⋅(−1)δ−1 ⋅ p>βα0...ασ

без αδ,αη

=

= (−1)η+δ ⋅ p>βα0...ασбез αδ,αη

⋅ (v>γδ ⋅∂>γ v>βη − v>γη ⋅∂>γ v>βδ ) =

= (−1)η+δ ⋅ p>βα0...ασбез αδ,αη

⋅ ⟦vδ, vη⟧>β.



Подставив (∗ ∗ ∗) в (∗∗) с учетом последней формулы, преобразуем кбескоординатному виду:

(∗∗) =δ=σ∑δ=0(−1)δ ⋅ vδ

D▹(p◂(v0, . . . , vσбез vδ

))−

− ∑0⩽η<δ⩽σ

v>α00 ⋅ . . . ⋅ v

>ασσ

без vδ, vη

⋅(−1)η+δ ⋅ p>βα0...ασбез αδ,αη

⋅ ⟦vδ, vη⟧>β =

=δ=σ∑δ=0(−1)δ ⋅ vδ

D▹(p◂(v0, . . . , vσбез vδ

))+

+ ∑0⩽η<δ⩽σ

(−1)η+δ ⋅ p◂ (⟦vη, vδ⟧ , v>α00 ⋅ . . . ⋅ v

>ασσ

без vδ, vη

) . ⊠

П Л, Ф,

22 Построение производной Ли

2. Построение производной Ли

§ 7 П Л

Рассмотрим гладкое многообразие M размерности μ и векторное поле jна нем; поток этого поля обозначим k⎧⎩t,x⎫⎭, где x ∈ M , а t — параметр натраектории решения системы

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

∂0 k>α⎧⎩t,x⎫⎭= j>α⎧⎩k⎧⎩t,x⎫⎭⎫⎭ при α = 1, . . . ,μ

k⎧⎩0,x⎫⎭= x,(4)

в котором ∂0 обозначает производную по аргументу t .

Определение. Пусть задана гладкая функция f на многообразии M ; обозна-чим тогда ее перенос jÀ f = g векторным полем j по формуле

(jÀ f)⎧⎩t,y⎫⎭= g⎧⎩t,y⎫⎭ ∶= f⎧⎩k⎧⎩t,y⎫⎭⎫⎭.

В этой формуле задается «перенос» значения функции f из точки x = k⎧⎩t,y⎫⎭ вточку y = k⎧⎩−t,x⎫⎭ (см. рис. {1}).

Определение. Пусть теперь задано векторное поле u на многообразии M ; обо-значим тогда его перенос jÀu = v векторным полем j по формуле

(jÀu)⎧⎩t,y⎫⎭= v⎧⎩t,y⎫⎭ ∶= dk⎧⎩−t,k⎧⎩t,y⎫⎭⎫⎭⎧⎩u⎧⎩k⎧⎩t,y⎫⎭⎫⎭⎫⎭.

В локальных координатах эта формула имеет вид

v>α⎧⎩t,y⎫⎭ ∶= ∂>β k>α⎧⎩−t,k⎧⎩t,y⎫⎭⎫⎭⋅ u>β⎧⎩k⎧⎩t,y⎫⎭⎫⎭. (5)

Как и при переносе числовой функции, здесь задается «перенос» значениявекторного поля u из точки x = k⎧⎩t,y⎫⎭ в точку y = k⎧⎩−t,x⎫⎭ (см. рис. {1}).

Определение. Наконец, пусть на многообразии M задано δ -валентное ковари-антное тензорное поле p (в частности, дифференциальная δ -форма); обозначимтогда его перенос jÀp = q векторным полем j по формуле

(jÀp)⎧⎩t,y⎫⎭= q⎧⎩t,y⎫⎭ ∶= (k⎧⎩t, ⋅⎫⎭↶⋆ p)⎧⎩y⎫⎭= k⎧⎩t, ⋅⎫⎭↶y p⎧⎩k⎧⎩t,y⎫⎭⎫⎭.

В локальных координатах эта формула имеет вид

q>α1,...,αδ⎧⎩t,y⎫⎭ ∶= ∂>α1 k

>β1⎧⎩t,y⎫⎭⋅ . . . ⋅ ∂>αδ k>βδ⎧⎩t,y⎫⎭⋅ p>β1,...,βδ

⎧⎩k⎧⎩t,y⎫⎭⎫⎭. (6)


Построение производной Ли 23

..

f

.

f⎧⎩x⎫⎭

.

u⎧⎩x⎫⎭

.

x

.

g

.

g⎧⎩t,y⎫⎭

.

v⎧⎩t,y⎫⎭

.

y

Рис. 1: Переносы векторным полем функции и векторного поля.

Здесь также задан «перенос» значения тензорного поля p из точки x = k⎧⎩t,y⎫⎭в точку y = k⎧⎩−t,x⎫⎭.

Отметим дополнительно, что непосредственным расчетом устанавливается со-гласованность всех трех вышеопределенных переносов друг с другом в смыслекоммутирования переноса и операции вычисления значения ковариантноготензорного поля на векторных полях; это значит, что для векторных полейu1, . . . ,uδ и ковариантного тензорного поля p валентности δ выполнена фор-мула

(jÀ f)⎧⎩t,y⎫⎭= (jÀp)⎧⎩t,y⎫⎭⎧⎩(jÀu1)⎧⎩t,y⎫⎭, . . . , (jÀuδ)⎧⎩t,y⎫⎭⎫⎭,

где обозначено f⎧⎩x⎫⎭= p⎧⎩x⎫⎭⎧⎩u1⎧⎩x⎫⎭, . . . ,uδ⎧⎩x⎫⎭⎫⎭.

Далее заметим, что перенос векторным полем вводит внешний параметр,и может быть определена скорость переноса относительно этого параметра вначальный момент (при t = 0 ). Ясно при этом, что скорость переноса естьполе того же типа, что и подвергнутое переносу. А поскольку скорость естьпроизводная, ее так и называют — производная Ли (по имени математикаСофуса Ли). Ниже определим эту производную более формально.

Определение. Для гладкой функции f на многообразии M , обозначив g⎧⎩t,y⎫⎭ ∶== (jÀ f)⎧⎩t,y⎫⎭, определим также гладкую функцию Lj f = h — производную Ли

П Л, Ф,


гладкой функции f векторным полем j по формуле

h⎧⎩y⎫⎭ ∶= ∂0 g⎧⎩0,y⎫⎭= limtÐ→0

g⎧⎩t,y⎫⎭− g⎧⎩0,y⎫⎭t

= limtÐ→0

g⎧⎩t,y⎫⎭− f⎧⎩y⎫⎭t

. (7)

Определение. Для векторного поля u на многообразии M , обозначив v⎧⎩t,y⎫⎭ ∶=(jÀu)⎧⎩t,y⎫⎭, определим также векторное поле Lj u = w — производную Ливекторного поля u векторным полем j по формуле

w⎧⎩y⎫⎭ ∶= ∂0 v⎧⎩0,y⎫⎭= limtÐ→0

v⎧⎩t,y⎫⎭− v⎧⎩0,y⎫⎭t

= limtÐ→0

v⎧⎩t,y⎫⎭− u⎧⎩y⎫⎭t

. (8)

Предел здесь понимается в смысле обычной сходимости в конечномерномпространстве — касательной плоскости к точке y .Определение 8. Наконец, для δ -валентного ковариантного тензорного поля pна многообразии M , обозначив q⎧⎩t,y⎫⎭ ∶= (jÀp)⎧⎩t,y⎫⎭, определим δ -валентноековариантное тензорное поле Lj p = r — производную Ли δ -валентного ковари-антного тензорного поля p векторным полем j по формуле

r⎧⎩y⎫⎭ ∶= ∂0 q⎧⎩0,y⎫⎭= limtÐ→0

q⎧⎩t,y⎫⎭− q⎧⎩0,y⎫⎭t

= limtÐ→0

q⎧⎩t,y⎫⎭− p⎧⎩y⎫⎭t

. (9)

И здесь предел понимается в смысле обычной сходимости в конечномерномпространстве соответствующих тензоров в точке.

Еще раз укажем, что по этим определениям все пределы дают тензоры того жетипа, что и исходные; а гладкость сохранится по причине гладкости (бесконеч-ной непрерывной дифференцируемости) исходных зависимостей.

§ 8 К

При решении задач с вовлечением производной Ли полезно иметь ее ко-ординатное выражение; установим здесь его, предполагая как и в разделеопределения производной Ли, что заданы гладкое многообразие M размерностиμ и векторное поле j на нем, поток которого обозначен k⎧⎩t,x⎫⎭.

Теорема. Пусть задана гладкая функция f на многообразии M ; тогда еепроизводная Ли векторным полем j — гладкая функция Lj f = h , вычисляемая влокальных координатах по формуле

h⎧⎩y⎫⎭= j>α⎧⎩y⎫⎭⋅ ∂>α f⎧⎩y⎫⎭. (10)

Доказательство. Вычислим из формул (4) и (7), дифференцируя сложную функ-



цию:

h⎧⎩y⎫⎭ ∶= ∂0 g⎧⎩0,y⎫⎭= ∂0 (f⎧⎩k⎧⎩t,y⎫⎭⎫⎭)∣t=0 == ∂>α f⎧⎩k⎧⎩t,y⎫⎭⎫⎭∣t=0 ⋅ ∂0 k

>α⎧⎩t,y⎫⎭∣t=0 == j>α⎧⎩y⎫⎭⋅ ∂>α f⎧⎩y⎫⎭,

поскольку k⎧⎩0,y⎫⎭= y и ∂0 k>α⎧⎩t,y⎫⎭= j>α⎧⎩k⎧⎩t,y⎫⎭⎫⎭.⊠Теорема. Пусть задано векторное поле u на многообразии M ; тогда его про-изводная Ли векторным полем j — векторное поле Lj u = w , вычисляемое влокальных координатах по формуле

w>α⎧⎩y⎫⎭= j>β⎧⎩y⎫⎭⋅ ∂>β u>α⎧⎩y⎫⎭− u>β⎧⎩y⎫⎭⋅ ∂>β j>α⎧⎩y⎫⎭. (11)

Доказательство. Продифференцируем по формулам (8) и (5):

w>α⎧⎩y⎫⎭= ∂0 v>α⎧⎩0,y⎫⎭= ∂0 (∂>β k>α⎧⎩−t,k⎧⎩t,y⎫⎭⎫⎭⋅ u>β⎧⎩k⎧⎩t,y⎫⎭⎫⎭)∣t=0 == ∂0 (∂>β k>α⎧⎩−t,k⎧⎩t,y⎫⎭⎫⎭)∣t=0 ⋅ u

>β⎧⎩k⎧⎩0,y⎫⎭⎫⎭++ ∂>β k>α⎧⎩0,k⎧⎩0,y⎫⎭⎫⎭⋅ ∂0 (u>β⎧⎩k⎧⎩t,y⎫⎭⎫⎭)∣t=0 =,

применив здесь второее свойство из Теоремы 6 к первому сомножителю пер-вого слагаемого, а ко второму сомножителю второго слагаемого — теорему опроизводной композиции, получим

= −∂>β j>α⎧⎩y⎫⎭⋅ u>β⎧⎩y⎫⎭+= kronαβ

∂>β k>α⎧⎩0,y⎫⎭⋅ ∂>γ u>β⎧⎩= y

k⎧⎩0,y⎫⎭⎫⎭⋅= j>γ⎧⎩y⎫⎭

∂0 k>γ⎧⎩0,y⎫⎭== −∂>β j>α⎧⎩y⎫⎭⋅ u>β⎧⎩y⎫⎭+ kronαβ ⋅∂>γ u>β⎧⎩y⎫⎭⋅ j

>γ⎧⎩y⎫⎭== j>β⎧⎩y⎫⎭⋅ ∂>β u>α⎧⎩y⎫⎭− u>β⎧⎩y⎫⎭⋅ ∂>β j>α⎧⎩y⎫⎭. ⊠

Теорема. Пусть задано δ -валентное ковариантное тензорное поле p на мно-гообразии M ; тогда его производная Ли векторным полем j — δ -валентноековариантное тензорное поле Lj p = r , вычисляемое в локальных координатахпо формуле

r>α1,...,αδ⎧⎩y⎫⎭= j>β⎧⎩y⎫⎭⋅ ∂>β p>α1,...,αδ

⎧⎩y⎫⎭+

+η=δ

∑η=1

p>α1,...,αη−1,β,αη+1,...,αδ⎧⎩y⎫⎭⋅ ∂>αη j>β⎧⎩y⎫⎭. (12)

Доказательство. Продифференцируем по формулам (9) и (6):

r>α1,...,αδ⎧⎩y⎫⎭= ∂0 q>α1,...,αδ

⎧⎩0,y⎫⎭== ∂0 (∂>α1 k

>β1⎧⎩t,y⎫⎭⋅ . . . ⋅ ∂>αδ k>βδ⎧⎩t,y⎫⎭⋅ p>β1,...,βδ

⎧⎩k⎧⎩t,y⎫⎭⎫⎭)∣t=0 =

П Л, Ф,


как производная произведения

= ∂>α1 k>β1⎧⎩0,y⎫⎭⋅ . . . ⋅ ∂>αδ k

>βδ⎧⎩0,y⎫⎭⋅ ∂0 (p>β1,...,βδ

⎧⎩k⎧⎩t,y⎫⎭⎫⎭)∣t=0 +

+η=δ

∑η=1

p>β1,...,βδ

⎧⎩y⎫⎭⋅ ∂>α1 k>β1⎧⎩0,y⎫⎭⋅ . . . ⋅ ∂>αη−1 k

>βη−1⎧⎩0,y⎫⎭⋅

⋅ ∂0 ∂>αη k>βη⎧⎩0,y⎫⎭⋅ ∂>αη+1 k

>βη+1⎧⎩0,y⎫⎭⋅ . . . ⋅ ∂>αδ k>βδ⎧⎩0,y⎫⎭=,

применим здесь Замечание 4 и второе свойства из Теоремы 5 и, упростив,получим

= kronβ1α1 ⋅ . . . ⋅ kronβδαδ ⋅∂>γ p>β1,...,βδ

⎧⎩y⎫⎭⋅ ∂0 k>γ⎧⎩0,y⎫⎭+

+η=δ

∑η=1

p>β1,...,βδ

⎧⎩y⎫⎭⋅ kronβ1α1 ⋅ . . . ⋅ kron

βη−1αη−1 ⋅∂>αη j>βη⎧⎩y⎫⎭⋅ kron

βη+1αη+1 ⋅ . . . ⋅ kron

βδαδ =

= j>β⎧⎩y⎫⎭⋅ ∂>β p>α1,...,αδ⎧⎩y⎫⎭+

η=δ

∑η=1

p>α1,...,αη−1,β,αη+1,...,αδ⎧⎩y⎫⎭⋅ ∂>αη j>β⎧⎩y⎫⎭. ⊠

§ 9 Б

Установим в этом разделе бескоординатное представление производной Ли,а также правило Лейбница, предполагая как и в разделе определения производ-ной Ли, что заданы гладкое многообразие M размерности μ и векторное поле jна нем.

Замечание 9. Из определения 8 очевидно следует, что для ковариантноготензорного поля

• коммутируют его производная Ли и перестановка его аргументов —векторных полей;

• а если это поле есть дифференциальная форма, то по перестановочностивнешнего дифференцирования и переноса формы против отображения еепроизводная Ли и внешнее дифференцирование также перестановочны.

Теорема. Пусть на многообразии M заданы гладкая функция f и векторноеполе u ; тогда их производные Ли векторным полем j имеют вид

Lj f = h = j D▹ f, Lj u = w = ⟦j,u⟧ ;



а если на многообразии M задано δ -валентное ковариантное тензорное поле pи u1, . . . ,uδ — векторные поля, то значение на них тензорного поля Lj p = rвычисляется по следующей бескоординатной формуле:

r◂(u1, . . . ,uδ) = (Lj p) ◂ (u1, . . . ,uδ) = j D▹ (p◂(u1, . . . ,uδ))−

−η=δ

∑η=1

p◂(u1, . . . ,uη−1, ⟦j,uη⟧ ,uη+1, . . . ,uδ). (13)

Доказательство. Вид производных гладкой функции и векторного поля следуютиз формул (10) и (11).

В случае же ковариантного поля p проведем расчет значения в локальных коор-динатах, применив формулу (12) (для краткости не будем писать аргумент ⎧⎩y⎫⎭отображений, подразумевая при этом его наличие):

(r◂(u1, . . . ,uδ))⎧⎩y⎫⎭= j>β ⋅∂>β p>α1,...,αδ⋅u>α1

1 ⋅ . . . ⋅ u>αδδ +

+η=δ

∑η=1

p>α1,...,αη−1,β,αη+1,...,αδ⋅∂>αη j>β ⋅u>α1

1 ⋅ . . . ⋅ u>αδδ =

добавим и вычтем слагаемые, чтобы сформировать производную векторнымполем j функции p◂(u1, . . . ,uδ) :

= j>β ⋅∂>β p>α1,...,αδ⋅u>α1

1 ⋅ . . . ⋅ u>αδδ +

+η=δ

∑η=1

j>αη ⋅p>α1,...,αη−1,β,αη+1,...,αδ⋅u>α1

1 ⋅ . . . ⋅ u>αη−1η−1 ⋅∂>αη u>β

η ⋅u>αη+1η+1 ⋅ . . . ⋅ u

>αδδ −

−η=δ

∑η=1

j>αη ⋅p>α1,...,αη−1,β,αη+1,...,αδ⋅u>α1

1 ⋅ . . . ⋅ u>αη−1η−1 ⋅∂>αη u>β

η ⋅u>αη+1η+1 ⋅ . . . ⋅ u

>αδδ +

+η=δ

∑η=1

p>α1,...,αη−1,β,αη+1,...,αδ⋅∂>αη j>β ⋅u>α1

1 ⋅ . . . ⋅ u>αδδ =

из слагаемых двух первых строк формируем производную векторным полем jфункции p◂(u1, . . . ,uδ) , а последние две суммы запишем в одной сумме:

= j D▹ (p◂(u1, . . . ,uδ)) +η=δ

∑η=1

p>α1,...,αη−1,β,αη+1,...,αδ⋅

⋅ (− j>αη ⋅u>α11 ⋅ . . . ⋅ u

>αη−1η−1 ⋅∂>αη u>β

η ⋅u>αη+1η+1 ⋅ . . . ⋅ u

>αδδ +∂>αη j>β ⋅u>α1

1 ⋅ . . . ⋅ u>αδδ ) =

П Л, Ф,


в сумме обособим общие сомножители и перейдем к коммутатору:

= j D▹ (p◂(u1, . . . ,uδ)) +η=δ

∑η=1

p>α1,...,αη−1,β,αη+1,...,αδ⋅

⋅ u>α11 ⋅ . . . ⋅ u

>αη−1η−1 ⋅u

>αη+1η+1 ⋅ . . . ⋅ u

>αδδ ⋅(− j>αη ⋅∂>αη u>β

η +∂>αη j>β ⋅u>αηη ) =

= j D▹ (p◂(u1, . . . ,uδ)) −η=δ

∑η=1(p◂(u1, . . . ,uη−1, ⟦j,uη⟧ ,uη+1, . . . ,uδ)) . ⊠

Следствие. Если u — векторное поле, то производная Ли тензорногополя p

γ←Ð u вычисляется по аналогу правила Лейбница:

Lj (pγ←Ð u) = ((Lj p)

γ←Ð u) + (p

γ←Ð (Lj u)) = ((Lj p)

γ←Ð u) + (p

γ←Ð ⟦j,u⟧) ; (14)

также при γ = 1 это может быть выражено через внутреннее дифференцирова-ние:

Lj (u⌟p) = ((Lj u) ⌟ p) + (u⌟(Lj p)) = (⟦j,u⟧ ⌟ p) + (u⌟(Lj p)) . (15)

Доказательство. Вычислим значение левого тензорного поля из формулы (14)на векторных полях u1, . . . ,uγ−1 , uγ+1, . . . ,uδ :

(Lj (pγ←Ð u)) ◂ (u1, . . . ,uγ−1,uγ+1, . . . ,uδ) =

= j D▹ ((pγ←Ð u) ◂ (u1, . . . ,uγ−1,uγ+1, . . . ,uδ))−

−η=γ−1

∑η=1(p

γ←Ð u) ◂ (u1, . . . ,uη−1, ⟦j,uη⟧ ,uη+1, . . . ,uγ−1,uγ+1, . . . ,uδ)−

−η=δ

∑η=γ+1(p

γ←Ð u) ◂ (u1, . . . ,uγ−1,uγ+1, . . . ,uη−1, ⟦j,uη⟧ ,uη+1, . . . ,uδ) =

внесем поле u в ряд аргументов поля p :

= j D▹ (p◂(u1, . . . ,uγ−1,u,uγ+1, . . . ,uδ))−

−η=γ−1

∑η=1

p◂(u1, . . . ,uη−1, ⟦j,uη⟧ ,uη+1, . . . ,uγ−1,u,uγ+1, . . . ,uδ)−

−η=δ

∑η=γ+1

p◂(u1, . . . ,uγ−1,u,uγ+1, . . . ,uη−1, ⟦j,uη⟧ ,uη+1, . . . ,uδ) =,

обозначив uγ ∶= u для единообразия слагаемых с нумерованными полями,



вычтем и добавим слагаемое p◂(u1, . . . ,uγ−1, ⟦j,uγ⟧ ,uγ+1, . . . ,uδ) :

= j D▹ (p◂(u1, . . . ,uγ−1,u,uγ+1, . . . ,uδ))−

−η=γ−1

∑η=1

p◂(u1, . . . ,uη−1, ⟦j,uη⟧ ,uη+1, . . . ,uγ−1,u,uγ+1, . . . ,uδ)−

− p◂(u1, . . . ,uγ−1, ⟦j,uγ⟧ ,uγ+1, . . . ,uδ)−

−η=δ

∑η=γ+1

p◂(u1, . . . ,uγ−1,u,uγ+1, . . . ,uη−1, ⟦j,uη⟧ ,uη+1, . . . ,uδ)+

+ p◂(u1, . . . ,uγ−1, ⟦j,uγ⟧ ,uγ+1, . . . ,uδ) =

заметив, что в первых четырех строках этой формулы стоит производная Липоля p , и оба полученных слагаемых выражаются через подстановку γ -тогоаргумента, запишем итоговое выражение:

= (Lj p) ◂ (u1, . . . ,uγ−1,u,uγ+1, . . . ,uδ)++ p◂(u1, . . . ,uγ−1, ⟦j,uγ⟧ ,uγ+1, . . . ,uδ) =

= ((Lj p)γ←Ð u) ◂ (u1, . . . ,uγ−1,uγ+1, . . . ,uδ)+

+ (pγ←Ð ⟦j,u⟧) ◂ (u1, . . . ,uγ−1,uγ+1, . . . ,uδ). ⊠

Следствие. Пусть на многообразии M заданы δ1 -валентное ковариантноетензорное поле p1 и δ2 -валентное ковариантное тензорное поле p2 ; тогда

Lj (p1⊗p2) = (Lj p1)⊗ p2 +p1⊗ (Lj p2) . (16)

Доказательство. Предположив, что на многообразии M заданы векторные по-ля u1, . . . ,uδ1+δ2 , запишем по формуле (13):

(Lj (p1⊗p2)) ◂ (u1, . . . ,uδ1+δ2) =

= j D▹ ((p1⊗p2) ◂ (u1, . . . ,uδ1+δ2))−

−η=δ1+δ2∑η=1(p1⊗p2) ◂ (u1, . . . ,uη−1, ⟦j,uη⟧ ,uη+1, . . . ,uδ1+δ2) =,

распределив слагаемые суммы по номерам в диапазонах валентностей тензоров,и представив значение тензорного произведения как произведение значений,

П Л, Ф,


получим

= j D▹ ((p1 ◂(u1, . . . ,uδ1)) ⋅ (p2 ◂(uδ1+1, . . . ,uδ1+δ2)))−

−η=δ1∑η=1(p1 ◂(u1, . . . ,uη−1, ⟦j,uη⟧ ,uη+1, . . . ,uδ1)) ⋅ (p2 ◂(uδ1+1, . . . ,uδ1+δ2))−

−η=δ1+δ2∑

η=1+δ1(p1 ◂(u1, . . . ,uδ1)) ⋅ (p1 ◂(uδ1+1, . . . ,uη−1, ⟦j,uη⟧ ,uη+1, . . . ,uδ1+δ2)) =,

применив правило Лейбница к первому выражению и переменив места слагае-мых, получим

= (j D▹ (p1 ◂(u1, . . . ,uδ1))) ⋅ (p2 ◂(uδ1+1, . . . ,uδ1+δ2))−

−η=δ1∑η=1(p1 ◂(u1, . . . ,uη−1, ⟦j,uη⟧ ,uη+1, . . . ,uδ1)) ⋅ (p2 ◂(uδ1+1, . . . ,uδ1+δ2))+

+ (p1 ◂(u1, . . . ,uδ1)) ⋅ (jD▹ (p2 ◂(uδ1+1, . . . ,uδ1+δ2)))−

−η=δ1+δ2∑

η=1+δ1(p1 ◂(u1, . . . ,uδ1)) ⋅ (p1 ◂(uδ1+1, . . . ,uη−1, ⟦j,uη⟧ ,uη+1, . . . ,uδ1+δ2)) =,

выделив общие множители в первых двух и последних двух слагаемых, получимпо формуле (13)

= ((Lj p1) ◂ (u1, . . . ,uδ1)) ⋅ (p2 ◂(uδ1+1, . . . ,uδ1+δ2))++ (p1 ◂(u1, . . . ,uδ1)) ⋅ ((Lj p2)p2 ◂(uδ1+1, . . . ,uδ1+δ2)) =

= ((Lj p1)⊗ p2) ◂ (u1, . . . ,uδ1+δ2) + (p1⊗ (Lj p2)) ◂ (u1, . . . ,uδ1+δ2) == ((Lj p1)⊗ p2 +p1⊗ (Lj p2)) ◂ (u1, . . . ,uδ1+δ2). ⊠

Следствие. Из Замечания 9 и формулы (16) по линейности следует, что еслина многообразии M заданы δ1-валентная дифференциальная форма p1 и δ2-валентная дифференциальная форма p2 , то

Lj (p1 ∧p2) = (Lj p1) ∧ p2 +p1 ∧ (Lj p2) .

§ 10 И С

В этом разделе покажем связь производной Ли дифференциальной формыс внешним и внутренним дифференцированиями, предполагая как и в разделеопределения производной Ли, что заданы гладкое многообразие M размерностиμ и векторное поле v на нем.



Теорема. Пусть на многообразии M задана дифференциальная форма p ва-лентности α ; тогда выполняется инфинитезимальная формула Стокса:

Lv p = v⌟dp+d(v⌟p). (17)

Доказательство. Предположив, что на многообразии M заданы векторные по-ля w1, . . . ,wα , запишем по формуле Картана (см. Теорему 7) значение фор-мы v⌟dp на них (поле v соответствует в ней полю w0 ):

(v⌟dp) ◂ (w1, . . . ,wα) = (α + 1) ⋅ dp◂(v,w1, . . . ,wα) =

= (−1)0 ⋅ v D▹ (p◂(w1, . . . ,wα)) +δ=α∑δ=1(−1)δ ⋅wδ

D▹ (p◂(v,без wδ

w1, . . . ,wα))+

+γ=α

∑γ=1(−1)0+γ ⋅ p◂(⟦v,wγ⟧ ,w1, . . . ,wα

без wγ

)+

+ ∑1⩽β<γ⩽α

(−1)β+γ ⋅ p◂(⟦wβ,wγ⟧ , v,без wβ,wγ

w1, . . . ,wα) =,

переставив в третьем слагаемом коммутатор с первой позиции на γ -тую (ипотому домножив по кососимметричности формы на число (−1)γ−1 по числутранспозиций при этой перестановке), переставив затем третье слагаемое совторым, и в последнем слагаемом переставив ⟦wβ,wγ⟧ и v (и потому изменивзнак этого слагаемого), получим

= v D▹ (p◂(w1, . . . ,wα))+

+γ=α

∑γ=1(−1)0+γ ⋅ (−1)γ−1 ⋅ p◂(w1, . . . ,wγ−1, ⟦v,wγ⟧ ,wγ+1, . . . ,wα)+

+δ=α∑δ=1(−1)δ ⋅wδ

D▹ (p◂(v,w1, . . . ,wαбез wδ

))+

+ ∑1⩽β<γ⩽α

(−1)β+γ ⋅ (−1) ⋅ p◂(v, ⟦wβ,wγ⟧ ,без wβ,wγ

w1, . . . ,wα) =,

поскольку первое и второе слагаемые образуют производную Ли формы p , а втретьем и четвертом слагаемых поле v стоит на первых позициях, соответствуявнутреннему дифференциалу той же формы, перепишем

= (Lv p) ◂ (w1, . . . ,wα) −1α⋅δ=α−1∑δ=0(−1)δ ⋅wδ+1

D▹ ((v⌟p) ◂ (без wδ+1

w1, . . . ,wα))−

− 1α⋅ ∑0⩽β<γ⩽α−1

(−1)β+γ+2 ⋅ (v⌟p) ◂ (⟦wβ+1,wγ+1⟧ ,без wβ+1,wγ+1w1, . . . ,wα) =

П Л, Ф,


заметив наконец, что последние две суммы образуют внешний дифференциалформы v⌟p , перепишем

= (Lv p) ◂ (w1, . . . ,wα) − d(v⌟p) ◂ (w1, . . . ,wα). ⊠

Следствие. Пусть на многообразии M задана дифференциальная форма pвалентности α , а также векторное поле w ; тогда выполняется формула

w⌟(v⌟dp) = (w∧ v) ⌟ dp = Lv (w⌟p) −w⌟d(v⌟p) + ⟦w, v⟧ ⌟ p .

Доказательство. Применим формулу (15):

Lv (w⌟p) = ⟦v,w⟧ ⌟ p+w⌟(Lv p) =

применим инфинитезимальную формулу Стокса (17):

= ⟦v,w⟧ ⌟ p+w⌟(v⌟dp+d(v⌟p)) == ⟦v,w⟧ ⌟ p+w⌟(v⌟dp) +w⌟d(v⌟p).

Выразив же здесь w⌟(v⌟dp) , получим заявленное.⊠

Следствие. В частности, в случае валентности 1 получим формулу

2 ⋅ dp◂(v,w) = v D▹(p◂w) − d(p◂ v) ◂w+p◂ ⟦w, v⟧ == d(p◂w) ◂ v−d(p◂ v) ◂w+p◂ ⟦w, v⟧ =

= v D▹(p◂w) −w D▹(p◂ v) + p◂ ⟦w, v⟧ . (18)


Теорема Фробениуса 33

3. Теорема Фробениуса

§ 11 Л


Лемма. Пусть на многообразии задано векторное поле v с его потокомk (см. обозначения в Определении 2); тогда если u — векторное поле намногообразии, а ∂0 — обозначение производной по t в точке x ∈ M , то приtÐ→ 0 верно

∂0 (dk⎧⎩t,k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⎧⎩u⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⎫⎭) = −dk⎧⎩t,k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⎧⎩⟦v,u⟧⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⎫⎭,

что в координатах соответствует формуле

∂0 (∂>β k>α⎧⎩t,k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅ u>β⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭) == −∂>β k>α⎧⎩t,k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅ ⟦v,u⟧

>β⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭.

Доказательство. Продифференцируем левую часть координатного равенства:

∂0 (∂>β k>α⎧⎩t,k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅ u>β⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭) == ∂0 (∂>β k>α⎧⎩t,k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭) ⋅ u>β⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭+

+ ∂>β k>α⎧⎩t,k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅ ∂0 (u>β⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭) =,

применив теорему о производной композиции ко второму сомножителю второгослагаемого, получим

= ∂0 (∂>β k>α⎧⎩t,k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭) ⋅ u>β⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭+

+ ∂>β k>α⎧⎩t,k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅ ∂>γ u>β⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅= v>γ⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭

∂0 k>γ⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅(−1) =;

после применения к первому сомножителю первого слагаемого первого равен-ства Теоремы 6 будет

= ∂>γ k>α⎧⎩t,k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅ ∂>β v>γ⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅ u>β⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭++ ∂>β k>α⎧⎩t,k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅ ∂>γ u>β⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅ v>γ⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅ (−1) = .

С помощью замены индексов и выделения общего множителя формула преоб-разуется к

= ∂>γ k>α⎧⎩t,k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅ (∂>β v>γ⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅ u>β⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭+

+ ∂>β u>γ⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅ v>β⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅ (−1)) =,

П Л, Ф,

34 Теорема Фробениуса

и после замены выражения в скобках по формуле коммутатора получим

= −∂>γ k>α⎧⎩t,k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅ ⟦v,u⟧>γ⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭. ⊠

Лемма 10. Пусть на многообразии задано векторное поле v с его потоком k ;тогда если u1, . . . ,uσ — векторные поля на многообразии такие, что коммутаторкаждого из них с полем v есть линейная комбинация полей u1, . . . ,uσ сзависящимим от точки коэффициентами, то при x ∈ M , t Ð→ 0 , α = 1, . . . ,σпараметрические векторные поля

wα⎧⎩t,x⎫⎭ ∶= dk⎧⎩t,k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⎧⎩uα⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⎫⎭

также суть линейные комбинации полей u1, . . . ,uσ , но с коэффициентами,зависящими от точки и параметра.Доказательство. Вычислим производную этих полей по t , применяя предыду-щую Лемму:

∂0 w>αβ⎧⎩t,x⎫⎭= −∂>γ k

>α⎧⎩t,k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅ ⟦v,uβ⟧>γ⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭=;

заменив коммутаторы на их линейные выражения через поля u1, . . . ,uσ скоэффициентами fδβ⎧⎩x⎫⎭, получим

= −∂>γ k>α⎧⎩t,k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅ fδβ⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅ u>γδ⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭=

= − fδβ⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅ (∂>γ k>α⎧⎩t,k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅ u

>γδ⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭) =

= − fδβ⎧⎩k⎧⎩−t,x⎫⎭⎫⎭⋅w>αδ⎧⎩t,x⎫⎭.

Заметим, что эта совокупность уравнений есть система линейных одно-родных дифференциальных уравнений первого порядка относительно функцийw1⎧⎩⋅,x⎫⎭, . . . ,wσ⎧⎩⋅,x⎫⎭ при постоянной точке x .

По теореме Коши о существовании решения дифференциального уравненияпервого порядка найдется решение этой системы в линейной оболочке векторов

w1⎧⎩0,x⎫⎭= u1

⎧⎩x⎫⎭, . . . ,wσ⎧⎩0,x⎫⎭= uσ⎧⎩x⎫⎭

(линейном подпространстве пространства TxM ); и по той же теореме решениеэто единственно и во всем пространстве TxM .Итак, векторы wβ

⎧⎩t,x⎫⎭ суть линейные комбинации векторов u1⎧⎩x⎫⎭, . . . ,uσ⎧⎩x⎫⎭

с коэффициентами, зависящими от t .⊠



Лемма 11. Пусть на многообразии заданы векторные поля u1, . . . ,uμ с ли-нейно независимыми значениями в каждой точке, а также выбраны потокиk1, . . . ,kμ этих полей; тогда если x ∈M , то отображение

m⎧⎪⎩t1, . . . , tμ⎫⎪⎭ ∶= (k1

⎧⎪⎩t1, ⋅⎫⎪⎭○ . . . ○ kμ⎧⎩t

μ, ⋅⎫⎭)⎧⎩x⎫⎭

есть биекция некоторой окрестности нуля в Rμ и некоторой окрестности точкиx = m⎧⎩0, . . . , 0⎫⎭; при этом набор частных производных этого отображения поего переменным имеет ранг μ в точках окрестности.Доказательство. Обозначим индуктивно точки:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

yμ ∶= x

yα−1 ∶= kα⎧⎩tα,yα⎫⎭, α = μ, . . . , 1.

Вычислим производную:

∂1m⎧⎪⎩t1, . . . , tμ⎫⎪⎭= ∂0 k1⎧⎪⎩t

1,y1⎫⎪⎭,

и если 1 < γ ⩽ μ, то

∂γm⎧⎪⎩t1, . . . , tμ⎫⎪⎭= ∂>α2 k1⎧⎪⎩t

1,y1⎫⎪⎭⋅ ∂>α3 k>α22⎧⎪⎩t

2,y2⎫⎪⎭⋅

⋅ . . . ⋅ ∂>αγ k>αγ−1γ−1⎧⎪⎪⎩t

γ−1,yγ−1⎫⎪⎪⎭⋅ ∂0 k

>αγγ⎧⎪⎪⎩t

γ,yγ⎫⎪⎪⎭.

(19)

Подставив t1 = . . . = tμ = 0 в эти выражения, по Замечанию 4 и определяющемууравнению потока (1) получим y0 = . . . = yμ = x и

∂γm⎧⎩0, . . . , 0⎫⎭=

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

∂0 k1⎧⎩0,x⎫⎭ при γ = 1

∂>α2 k1⎧⎩0,x⎫⎭⋅ ∂>α3 k>α22⎧⎩0,x⎫⎭⋅

⋅ . . . ⋅ ∂>αγ k>αγ−1γ−1⎧⎩0,x⎫⎭⋅ ∂0 k

>αγγ ⎧⎩0,x⎫⎭ при 1 < γ ⩽ μ.

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

=

= uγ⎧⎩x⎫⎭.

Поэтому из условия Леммы следует, что векторы

∂0m⎧⎩0, . . . , 0⎫⎭, . . . ,∂μm⎧⎩0, . . . , 0⎫⎭

линейно независимы; и тем самым отображение m биективно на некоторойокрестности нуля в Rμ , а векторы его частных производных линейно незави-симы на этой окрестности.⊠

П Л, Ф,


Лемма 12. Пусть на многообразии заданы векторные поля u1, . . . ,uμ с ли-нейно независимыми значениями в каждой точке, а коммутатор всяких двух по-лей из u1, . . . ,uσ (при σ ⩽ μ ) есть линейная комбинация этих полей u1, . . . ,uσ сзависящимим от точки коэффициентами; тогда если выбраны потоки k1, . . . ,kμэтих полей, x ∈ M и отображение m построено по формуле из предыдущейЛеммы, то векторные поля

wγ⎧⎩y⎫⎭ ∶= ∂γm⎧⎩g1⎧⎩y⎫⎭, . . . ,gμ⎧⎩y⎫⎭⎫⎭ при γ = 1, . . . ,σ

суть также линейные комбинации полей u1, . . . ,uσ с зависящимим от точкикоэффициентами, где функции gα такие, что

gα⎧⎪⎩m⎧⎪⎩t

1, . . . , tμ⎫⎪⎭⎫⎪⎭= t

α при γ = 1, . . . ,μ ,

существуют по предыдущей Лемме и теореме о неявном отображении.Доказательство. Пусть точка y = y0 из окрестности точки x ; и определим тогдапараметры tα ∶= gα⎧⎩y⎫⎭, и точки yγ ∶= kγ

⎧⎪⎪⎩−tγ,yγ−1

⎫⎪⎪⎭ при γ > 0 .Подставив эти значения в формулу (19), получим выражение полей wγ⎧⎩y⎫⎭:

w1⎧⎩y⎫⎭= u1

⎧⎩y⎫⎭,

и если γ > 1, то

wγ⎧⎩y⎫⎭= (dk1⎧⎪⎩t1,y1⎫⎪⎭○ . . . ○ dkγ−1

⎧⎪⎪⎩tγ−1,yγ−1

⎫⎪⎪⎭)⎧⎪⎪⎩uγ⎧⎪⎪⎩yγ−1

⎫⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭.

По Лемме 10 при 1 < γ ⩽ σ векторное поле

dkγ−1⎧⎪⎪⎩tγ−1,yγ−1

⎫⎪⎪⎭⎧⎪⎪⎩uγ⎧⎪⎪⎩yγ−1

⎫⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭=

= dkγ−1⎧⎪⎪⎩tγ−1,kγ−1⎧⎪⎪⎩−t

γ−1,yγ−2⎫⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭⎧⎪⎪⎩uγ⎧⎪⎪⎩kγ−1

⎧⎪⎪⎩−tγ−1,yγ−2

⎫⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭

есть линейная комбинация полей u1, . . . ,uσ .Таким образом последовательно применяя ту же Лемму с учетом линейностидифференциала, получим заявленное в утверждении.⊠

§ 12 Р Ф


Рассмотрим на многообразии некоторые векторные поля с линейно незави-симыми значениями в каждой точке; выберем также некоторую точку многооб-разия.



Составим в некоторых локальных координатах вокруг выбранной точки матри-цу координат значений этих полей. Заметив, что по линейной независимостизначений векторных полей ее ранг максимален, дополним затем ее до квадрат-ной невырожденной в окрестности выбранной точки.Ясно, что дополняющие столбцы можно считать координатами дополнительныхвекторных полей; и тем самым исходные поля можно дополнить в окрестно-сти выбранной точки до набора векторных полей с линейно независимымизначениями в каждой точке в числе размерности многообразия.Замечание 13. Итак, если на многообразии заданы векторные поля u1, . . . ,uσ слинейно независимыми значениями в каждой точке, и выбрана также некотораяточка многообразия, то найдется окрестность выбранной точки и векторныеполя uσ+1, . . . ,uμ на этой окрестности такие, что векторные поля u1, . . . ,uμтакже с линейно независимыми значениями в каждой точке этой окрестности.

Определение. Отображение Z , действующее на некотором открытом под-множестве D многообразия M , и сопоставляющее каждой точке x этогомножества некоторое линейное подпространство Z⎧⎩x⎫⎭ касательного простран-ства TxM , называется распределением размерности σ на множестве D , еслидля каждой точки x ∈ D найдется окрестность ее во множестве D и наборвекторных полей u1, . . . ,uσ на той окрестности такие, что для всякой точкиy из той окрестности пространство Z⎧⎩y⎫⎭ есть линейная оболочка векторовu1⎧⎩y⎫⎭, . . . ,uσ⎧⎩y⎫⎭ и эти векторы линейно независимы; поля же эти векторные

называются локальным базисом распределения.

Определение. Пусть на открытом подмножестве D многообразия заданораспределение Z ; тогда векторное поле v на этом множестве D называетсясечением распределения Z , если для каждой точки x ∈ D вектор v⎧⎩x⎫⎭ принад-лежит пространству Z⎧⎩x⎫⎭.

Определение. Распределение Z размерности σ на открытом подмноже-стве D многообразия называется вполне интегрируемым, если для всякой точ-ки x из множества D найдется окрестность этой точки во множестве Dи гладкие функции g1, . . . ,gμ−σ на той окрестности такие, что для всякойточки y из той окрестности и всякого вектора w из пространства Z⎧⎩y⎫⎭выполнено dgα⎧⎩y⎫⎭⎧⎩w⎫⎭ = 0 при α = 1, . . . ,μ − σ , а кокасательные векторыdg1⎧⎩y⎫⎭, . . . ,dgμ−σ⎧⎩y⎫⎭ линейно независимы.

Определение. Распределение называется инволютивным, если только комму-татор всяких его двух сечений есть его же сечение.

П Л, Ф,


Лемма 14. Распределение инволютивно, если и только если для всякой точкинайдется локальный базис распределения на окрестности этой точки такой, чтокоммутатор всяких двух полей из этого базиса есть линейная комбинация егополей с коэффициентами, зависящими от точки.Доказательство. Из инволютивности распределения следует заявленное свой-ство базиса.

Если же u1, . . . ,uσ — локальный базис распределения, а fα⎧⎩x⎫⎭ ⋅ uα⎧⎩x⎫⎭ иhα⎧⎩x⎫⎭⋅uα⎧⎩x⎫⎭ — локальное разложение сечений распределения, то вычислим ихкоммутатор:

⟦fα ⋅uα,hβ ⋅uβ⟧>γ= fα ⋅u>δ

α ⋅∂>δ (hβ ⋅u>γβ ) − h

β ⋅u>δβ ⋅∂>δ (f

α ⋅u>γα ) =

по правилу Лейбница

= fα ⋅u>δα ⋅ (∂>δ hβ ⋅u

>γβ +h

β ⋅∂>δ u>γβ ) − h

β ⋅u>δβ ⋅ (∂>δ f

α ⋅u>γα + fα ⋅∂>δ u>γ

α ) = .

Раскрыв скобки, получим

= fα ⋅u>δα ⋅∂>δ hβ ⋅u

>γβ + f

α ⋅u>δα ⋅h

β ⋅∂>δ u>γβ −

− hβ ⋅u>δβ ⋅∂>δ f

α ⋅u>γα −hβ ⋅u>δ

β ⋅ fα ⋅∂>δ u>γ

α =

после перемещения слагаемых и группировки

= fα ⋅u>δα ⋅∂>δ hβ ⋅u

>γβ −h

β ⋅u>δβ ⋅∂>δ f

α ⋅u>γα + fα ⋅hβ ⋅ (u>δ

α ⋅∂>δ u>γβ −u>δ

β ⋅∂>δ u>γα ) =,

переменив индексы и выделив общий множитель, получим

= u>δβ ⋅u

>γα ⋅ (fβ ⋅∂>δ hα −hβ ⋅∂>δ fα) + fα ⋅hβ ⋅ ⟦uα,uβ⟧

>γ.

Обе части последнего выражения суть линейные комбинации полей из локаль-ного базиса распределения.⊠

Лемма. Пусть на множестве D задано распределение Z размерности σ ;тогда если оно вполне интегрируемо, то оно инволютивно.Доказательство. Возьмем два сечения u и v распределения Z ; рассмотримнекоторую точку x из D с ее окрестностью в этом множестве, и гладкиефункции g1, . . . ,gμ−σ такие, что для всякой точки y из той окрестности ивсякого вектора w из пространства Z⎧⎩y⎫⎭ выполнено dgα⎧⎩y⎫⎭⎧⎩w⎫⎭ = 0 приα = 1, . . . ,μ − σ , и кокасательные векторы dg1⎧⎩y⎫⎭, . . . ,dgμ−σ⎧⎩y⎫⎭ линейно неза-висимы.



Вычислим:

u D▹gα = dgα ◂u = 0,v D▹gα = dgα ◂ v = 0,

по выбору функций g1, . . . ,gμ−σ .

И поэтому

dgα ◂ ⟦u, v⟧ = ⟦u, v⟧ D▹ gα = u D▹(v D▹gα) − v D▹(u D▹gα) = 0.

Из этого и соотношения σ + (μ − σ) = μ размерностей следует ⟦u, v⟧⎧⎩x⎫⎭ ∈∈ Z⎧⎩x⎫⎭.⊠

Лемма. Пусть на множестве D задано распределение Z размерности σ ;тогда если оно инволютивно, то оно вполне интегрируемо.Доказательство. Выберем некоторый локальный базис u1, . . . ,uσ распределенияZ на некоторой окрестности некоторой точки x .По Замечанию 13 дополним на некоторой подокрестности точки x эти вектор-ные поля до набора u1, . . . ,uμ с линейно независимыми значениями в точках.

Выбрав некоторые потоки этих векторных полей, построим из них отображениеm по формуле из Леммы 11 для точки x .

По Лемме 11 найдутся функции g1, . . . ,gμ на окрестности точки x такие,что gα⎧⎪⎩m

⎧⎪⎩t1, . . . , tμ⎫⎪⎭

⎫⎪⎭= tα при α = 1, . . . ,μ .

Обозначим векторные поля

wα⎧⎩y⎫⎭ ∶= ∂αm⎧⎩g1⎧⎩y⎫⎭, . . . ,gμ⎧⎩y⎫⎭⎫⎭ при α = 1, . . . ,μ .

При α,β = 1, . . . ,μ вычислим:

dgα⎧⎩y⎫⎭⎧⎪⎩wβ⎧⎩y⎫⎭⎫⎪⎭= wβ

⎧⎩y⎫⎭⎧⎩gα⎫⎭= ∂βm⎧⎩g1⎧⎩y⎫⎭, . . . ,gμ⎧⎩y⎫⎭⎫⎭⎧⎩gα⎫⎭== ∂β (gα ○m)⎧⎩g1⎧⎩y⎫⎭, . . . ,gμ⎧⎩y⎫⎭⎫⎭= ∂β tα∣tα=gα⎧⎩y⎫⎭ = kron

αβ .

В частности, dgα ◂wβ = 0 при α = σ + 1, . . . ,μ и β = 1, . . . ,σ .

Поскольку по Леммам 11 и 12 векторы w1⎧⎩y⎫⎭, . . . ,wσ⎧⎩y⎫⎭ линейно независимы

и выражаются линейно через векторы u1⎧⎩y⎫⎭, . . . ,uσ⎧⎩y⎫⎭, эти векторные поля

w1, . . . ,wσ суть локальный базис распределения Z .

Поэтому dgα⎧⎩y⎫⎭⎧⎩w⎫⎭= 0 для всякого вектора w ∈ Z⎧⎩y⎫⎭.

П Л, Ф,


По Лемме 11 ковекторы dgσ+1⎧⎩y⎫⎭, . . . ,dgμ⎧⎩y⎫⎭ линейно независимы.

Итак, распределение Z вполне интегрируемо.⊠

Из последних двух Лемм следует критерий вполне интегрируемости.Теорема Фробениуса. Пусть на множестве D задано распределение Z ; тогдаоно вполне интегрируемо, если только оно инволютивно.

§ 13 И


Определение. Пусть на некотором открытом множестве заданы одновалент-ные дифференциальные формы p1, . . . ,pτ , а также некоторое распределениеZ размерности σ ; тогда набор p1, . . . ,pτ сопряжен с распределением Z , еслитолько

• σ + τ = μ ;

• формы p1, . . . ,pτ линейно независимы в каждой точке того открытогомножества;

• для всякого сечения v распределения Z верно pα ◂ v = 0 при α = 1, . . . , τ .

Определение. Пусть на некотором открытом множестве заданы одновалент-ные дифференциальные формы p1, . . . ,pτ ; тогда набор p1, . . . ,pτ дифференци-ально линейно зависим, если только найдутся одновалентные дифференциальныеформы qα

β при α,β = 1, . . . , τ такие, что dpα = qαβ ∧pβ при α = 1, . . . , τ .

Лемма. Пусть на некоторой окрестности некоторой точки многообразия Mзадано распределение Z , а также задан сопряженный с ним набор p1, . . . ,pτ

одновалентных дифференциальных форм; тогда если распределение Z инволю-тивно, то набор p1, . . . ,pτ дифференциально линейно зависим.Доказательство. По теореме Фробениуса на некоторой окрестности той жеточки существуют гладкие функции g1, . . . ,gτ такие, что набор dg1, . . . ,dgτ

сопряжен с распределением Z .Поэтому на некоторой окрестности той же точки найдутся гладкие функцииfαβ при α,β = 1, . . . , τ такие, что pα = fαβ ⋅dgβ при α = 1, . . . , τ ; и аналогичнонайдутся гладкие функции hαβ при α,β = 1, . . . , τ такие, что dgα = hαβ ⋅pβ приα = 1, . . . , τ .



Следовательно

dpα = dfαβ ∧dgβ = dfαβ ∧h

βγ ⋅pγ = (hβγ ⋅dfαβ) ∧ pγ . ⊠

Лемма. Пусть на некоторой окрестности некоторой точки многообразия Mзадано распределение Z , а также задан сопряженный с ним набор p1, . . . ,pτ

одновалентных дифференциальных форм; тогда если набор p1, . . . ,pτ диффе-ренциально линейно зависим, то распределение Z инволютивно.Доказательство. По определению дифференциальной линейной зависимостинайдутся одновалентные дифференциальные формы qα

β при α,β = 1, . . . , τтакие, что dpα = qα

β ∧pβ при α = 1, . . . , τ .Выбрав два сечения v и w распределения Z , вычислим:

dpα ◂(v,w) = (qαβ ∧pβ) ◂ (v,w) =

= 12⋅ ((qα

β ◂ v) ⋅ (∧pβ ◂w) − (qαβ ◂w) ⋅ (∧pβ ◂ v)) = 0

при α = 1, . . . , τ .С другой стороны по формуле (18)

2 ⋅ dpα ◂(v,w) = v D▹(= 0

pα ◂w) − d(= 0

pα ◂ v) ◂w+pα ◂ ⟦w, v⟧ = pα ◂ ⟦w, v⟧

при α = 1, . . . , τ .Следовательно pα ◂ ⟦w, v⟧ = 0 при α = 1, . . . , τ ; откуда ⟦w, v⟧ есть сечениераспределения Z .⊠

Лемма. Пусть на некоторой окрестности некоторой точки многообразия Mзадан набор p1, . . . ,pτ одновалентных дифференциальных форм; тогда еслинабор p1, . . . ,pτ дифференциально линейно зависим, то dpα ∧p1 ∧ . . . ∧ pτ = 0

при α = 1, . . . , τ .Доказательство. По определению дифференциальной линейной зависимостинайдутся одновалентные дифференциальные формы qα

β при α,β = 1, . . . , τтакие, что dpα = qα

β ∧pβ при α = 1, . . . , τ .Вычислим:

dpα ∧p1 ∧ . . . ∧ pτ = qαβ ∧pβ ∧p1 ∧ . . . ∧ pτ = 0

при α = 1, . . . , τ , ибо каждое слагаемое содержит два одинаковых сомножителя.⊠

Лемма. Пусть на некоторой окрестности некоторой точки многообразияM задан набор p1, . . . ,pτ поточечно линейно независимых одновалентных

П Л, Ф,


дифференциальных форм; тогда если dpα ∧p1 ∧ . . . ∧ pτ = 0 при α = 1, . . . , τ ,то набор p1, . . . ,pτ дифференциально линейно зависим.Доказательство. Дополним набор p1, . . . ,pτ до базисного (то есть до размер-ности μ ) формами pτ+1, . . . ,pμ .Ясно, что форма dpα есть линейная комбинация произведений pβ ∧pγ ; иесли бы при β,γ > τ коэффициенты были ненулевые, то и произведениеdpα ∧p1 ∧ . . . ∧ pτ было бы ненулевое, что не верно.⊠

Из последних четырех Лемм следует критерий инволютивности (и вполнеинтегрируемости).Теорема. Пусть на некоторой окрестности некоторой точки многообразия Mзадано распределение Z , а также задан сопряженный с ним набор p1, . . . ,pτ

одновалентных дифференциальных форм; тогда распределение Z инволютивно,если только dpα ∧p1 ∧ . . . ∧ pτ = 0 при α = 1, . . . , τ .


Разбор примеров / Дифференциальные формы 43

4. Разбор примеров

4.1. Дифференциальные формы

§ 14 В

Задание 1. Пусть на некотором двумерном многообразии задана дифферен-циальная форма p валентности 1 , выраженная в локальных координатах поформуле

p⎧⎩x⎫⎭= x>1 ⋅ dx>2 + 2 ⋅ x>2 ⋅ dx>1,

а в точке y с координатами y>1 = 1 и y>2 = 2 задан вектор v с координатамиv>1 = 3 и v>2 = 4 ; вычислить значение p⎧⎩y⎫⎭⎧⎩v⎫⎭ дифференциальной формы p вточке y на касательном векторе v в той же точке.

Решение. Напомним, что дифференциальная форма есть отображение, сопо-ставляющее каждой точке некоторого открытого подмножества многообразиякокасательный вектор в той точке (то есть вещественнозначное линейное отоб-ражение на касательном пространстве к этой точке), причем в координатномвыражении этой зависимости коэффициенты бесконечно дифференцируемы.

Для вычисления искомого значения следует определить координатное выраже-ние кокасательного вектора p⎧⎩y⎫⎭ — значения дифференциальной формы p вточке y — путем подстановки значений координат точки y в выражение формыp . А затем вычислить сумму призведений координат этого кокасательноговектора p⎧⎩y⎫⎭ и вектора v с одинаковыми номерами.

Итак, следуя указанному плану, вычислим вначале форму p в точке y :

p⎧⎩y⎫⎭= y>1 ⋅ dy>2 + 2 ⋅ y>2 ⋅ dy>1 = 1 ⋅ dy>2 + 2 ⋅ 2 ⋅ dy>1.

И теперь вычислим искомое:

p⎧⎩y⎫⎭⎧⎩v⎫⎭= 1 ⋅ dy>2⎧⎩v⎫⎭+ 2 ⋅ 2 ⋅ dy>1⎧⎩v⎫⎭== 1 ⋅ v>2 +2 ⋅ 2 ⋅ v>1 = 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 16.

Ответ. Итак, p⎧⎩y⎫⎭⎧⎩v⎫⎭= 16 .⊠

Задание 2. Пусть на некотором двумерном многообразии задана дифферен-циальная форма p валентности 1 , выраженная в локальных координатах поформуле

p⎧⎩x⎫⎭= x>1 ⋅ dx>2 + 2 ⋅ x>2 ⋅ dx>1,

П Л, Ф,

44 Разбор примеров / Дифференциальные формы

а также задано векторное поле u с координатным выражением

u>1⎧⎩x⎫⎭= x>1 + x>2,u>2⎧⎩x⎫⎭= x>1 − x>2;

вычислить координатное выражение гладкой функции p◂u — значения формыp на векторном поле u .Решение. Вычисление сводится к определению значения кокасательного вектораp⎧⎩x⎫⎭ на касательном векторе u⎧⎩x⎫⎭ при произвольной точке x .Вычислим:

(p◂u)⎧⎩x⎫⎭= p⎧⎩x⎫⎭⎧⎩u⎧⎩x⎫⎭⎫⎭== p>1⎧⎩x⎫⎭⋅ dx>1⎧⎩u⎧⎩x⎫⎭⎫⎭+ p>2

⎧⎩x⎫⎭⋅ dx>2⎧⎩u⎧⎩x⎫⎭⎫⎭== p>1⎧⎩x⎫⎭⋅ u>1⎧⎩x⎫⎭+ p>2

⎧⎩x⎫⎭⋅ u>2⎧⎩x⎫⎭=;

подставим координатные выражения формы p и векторного поля u :

= 2 ⋅ x>2 ⋅ (x>1 + x>2) + x>1 ⋅ (x>1 − x>2) = (x>1)2 + x>1 ⋅ x>2 + 2 ⋅ (x>2)2.

Ответ. Итак, (p◂u)⎧⎩x⎫⎭= (x>1)2 + x>1 ⋅ x>2 + 2 ⋅ (x>2)2 .⊠

Задание 3. Пусть теперь задана дифференциальная форма q валентности 2

с координатным выражением

q⎧⎩x⎫⎭= x>1 ⋅ dx>2 ∧ dx>1,

и в точке y с координатами y>1 = 1 и y>2 = 2 заданы вектор v с координатамиv>1 = 3 , v>2 = 4 и вектор w с координатами w>1 = 2 , w>2 = 3 ; вычислить значениеq⎧⎩y⎫⎭⎧⎩v,w⎫⎭ формы q в точке y на векторах v,w .Решение. По указанному ранее плану вычислим вначале форму q в точке y :

q⎧⎩y⎫⎭= y>1 ⋅ dx>2 ∧ dx>1 = 1 ⋅ dx>2 ∧ dx>1 == 12⋅ (dx>2 ⊗ dx>1 − dx>1 ⊗ dx>2) ;

и по определению тензорного произведения вычислим искомое значение, под-ставив координаты векторов:

q⎧⎩y⎫⎭⎧⎩v,w⎫⎭=12⋅ (dx>2 ⊗ dx>1 − dx>1 ⊗ dx>2)⎧⎩v,w⎫⎭=

= 12⋅ (v>2 ⋅w>1 − v>1 ⋅w>2) = 1

2⋅ (4 ⋅ 2 − 3 ⋅ 3) = 1

2⋅ (−1) = −1

2.



Ответ. Итак, q⎧⎩y⎫⎭⎧⎩v,w⎫⎭= −12 .⊠

Задание 4. Вычислить значение u⌟q внутренней производной формы qвалентности 2 с координатным выражением

q⎧⎩x⎫⎭= x>1 ⋅ dx>2 ∧ dx>1

определенным выше векторным полем u с координатным выражением

u>1⎧⎩x⎫⎭= x>1 + x>2,u>2⎧⎩x⎫⎭= x>1 − x>2.

Решение. Вычислим по линейности внутренней производной, подставляя коор-динатное выражение формы q :

(u⌟q)⎧⎩x⎫⎭= u⎧⎩x⎫⎭⌟ (x>1 ⋅ dx>2 ∧ dx>1) == 12⋅ x>1 ⋅ u⎧⎩x⎫⎭⌟ (dx>2 ⊗ dx>1 − dx>1 ⊗ dx>2) =

= 12⋅ x>1 ⋅ (u⎧⎩x⎫⎭⌟ (dx>2 ⊗ dx>1) − u⎧⎩x⎫⎭⌟ (dx>1 ⊗ dx>2)) =,

по определению внутренней производной и тензорного произведения

= 12⋅ x>1 ⋅ ((dx>2⎧⎩u⎧⎩x⎫⎭⎫⎭⋅ dx>1) − (dx>1⎧⎩u⎧⎩x⎫⎭⎫⎭⋅ dx>2)) =

= 12⋅ x>1 ⋅ ((u>2⎧⎩x⎫⎭⋅ dx>1) − (u>1⎧⎩x⎫⎭⋅ dx>2)) =,

подставив координатное выражение векторного поля u , упростим:

= 12⋅ x>1 ⋅ (((x>1 + x>2) ⋅ dx>1) − ((x>1 − x>2) ⋅ dx>2)) =

= 12⋅ ((x>1)2 + x>1 ⋅ x>2) ⋅ dx>1 + 1

2⋅ (x>1 ⋅ x>2 − (x>1)2) ⋅ dx>2.

Ответ. Итак,

(u⌟q)⎧⎩x⎫⎭=12⋅ ((x>1)2 + x>1 ⋅ x>2) ⋅ dx>1 + 1

2⋅ (x>1 ⋅ x>2 − (x>1)2) ⋅ dx>2. ⊠

§ 15 В

Задание 5. Пусть на некотором гладком многообразии заданы две диффе-ренциальные формы

p⎧⎩x⎫⎭ ∶= x>1 ⋅ dx>2 + x>2 ⋅ dx>1,q⎧⎩x⎫⎭ ∶= dx>1 + dx>2;

П Л, Ф,

46 Разбор примеров / Дифференциальные формы

вычислить их внешнее произведение.Решение. Напомним, что внешнее произведение имеет следующие вычислитель-но полезные свойства:

• линейность, то есть (a ⋅p+b ⋅q)∧r = a ⋅(p∧ r)+b ⋅(q∧ r) , где a, b — числа;

• кососимметричность, то есть при перестановке двух сомножителей про-изведение меняет знак.

Вычислим по указанным свойствам:

(p∧q)⎧⎩x⎫⎭= (x>1 ⋅ dx>2 + x>2 ⋅ dx>1) ∧ (dx>1 + dx>2) =

= x>1 ⋅= −dx>1 ∧ dx>2

dx>2 ∧ dx>1 +x>2 ⋅= 0

dx>1 ∧ dx>1 +

+ x>1 ⋅= 0

dx>2 ∧ dx>2 +x>2 ⋅ dx>1 ∧ dx>2 == (−x>1 + x>2) ⋅ dx>1 ∧ dx>2.

Ответ. Итак, (p∧q)⎧⎩x⎫⎭= (−x>1 + x>2) ⋅ dx>1 ∧ dx>2 .⊠

Задание 6. Пусть заданы две дифференциальные формы

p⎧⎩x⎫⎭ ∶= x>1 ⋅ dx>2 + x>2 ⋅ dx>1,r⎧⎩x⎫⎭ ∶= dx>1 ∧ dx>2 + dx>1 ∧ dx>3;

вычислить внешнее произведение p∧ r .Решение. Вычислим по тем же свойствам:

(p∧ r)⎧⎩x⎫⎭= (x>1 ⋅ dx>2 + x>2 ⋅ dx>1) ∧ (dx>1 ∧ dx>2 + dx>1 ∧ dx>3) =

= x>1 ⋅= 0

dx>2 ∧ dx>1 ∧ dx>2 +x>2 ⋅= 0

dx>1 ∧ dx>1 ∧ dx>2 +

+ x>1 ⋅ dx>2 ∧ dx>1 ∧ dx>3 + x>2 ⋅= 0

dx>1 ∧ dx>1 ∧ dx>3 == −x>1 ⋅ dx>1 ∧ dx>2 ∧ dx>3.

Ответ. Итак, (p∧ r)⎧⎩x⎫⎭= −x>1 ⋅ dx>1 ∧ dx>2 ∧ dx>3 .⊠


r⎧⎩x⎫⎭ ∶= dx>1 ∧ dx>2 + dx>1 ∧ dx>3,s⎧⎩x⎫⎭ ∶= dx>4 ∧ dx>2 + dx>1 ∧ dx>3;

вычислить внешнее произведение r∧ s .



Решение. Вычислим:

(r∧ s)⎧⎩x⎫⎭= (dx>1 ∧ dx>2 + dx>1 ∧ dx>3) ∧ (dx>4 ∧ dx>2 + dx>1 ∧ dx>3) == dx>1 ∧ dx>2 ∧ dx>4 ∧ dx>2 + dx>1 ∧ dx>3 ∧ dx>4 ∧ dx>2++ dx>1 ∧ dx>2 ∧ dx>1 ∧ dx>3 + dx>1 ∧ dx>3 ∧ dx>1 ∧ dx>3 =

= dx>1 ∧ dx>2 ∧ dx>3 ∧ dx>4.

Ответ. Итак, (r∧ s)⎧⎩x⎫⎭= dx>1 ∧ dx>2 ∧ dx>3 ∧ dx>4 .⊠

§ 16 Д

Задание 8. Пусть на некотором гладком многообразии в локальных коорди-натах задана дифференциальная форма

p⎧⎩x⎫⎭ ∶= x>1 ⋅ dx>2 + x>2 ⋅ dx>1;

вычислить дифференциал dp этой формы.Решение. Напомним, что дифференциал линеен относительно умножения начисло, подчиняется правилу Лейбница при умножении на числовую функцию(то есть d(f ⋅p) = df∧p+ f ⋅dp ), а дифференциал внешнего произведения диф-ференциалов координат равен нулю.Вычислим по указанным свойствам:

dp⎧⎩x⎫⎭= d(x>1 ⋅ dx>2 + x>2 ⋅ dx>1) =

= dx>1 ∧ dx>2 + x>1 ⋅= 0

ddx>2 += −dx>1 ∧ dx>2

dx>2 ∧ dx>1 +x>2 ⋅= 0

ddx>1 = 0.

Ответ. Итак, dp⎧⎩x⎫⎭= 0 .⊠

Задание 9. Пусть в локальных координатах задана дифференциальная фор-ма

q⎧⎩x⎫⎭ ∶= (x>1)2 ⋅ dx>2 + x>2 ⋅ dx>1;

вычислить ее дифференциал dq .Решение. Вычислим по тем же правилам:

dq⎧⎩x⎫⎭= d((x>1)2 ⋅ dx>2 + x>2 ⋅ dx>1) =

= 2 ⋅ x>1 ⋅ dx>1 ∧ dx>2 + (x>1)2 ⋅= 0

ddx>2 += −dx>1 ∧ dx>2

dx>2 ∧ dx>1 +x>2 ⋅= 0

ddx>1 == (2 ⋅ x>1 − 1) ⋅ dx>1 ∧ dx>2.

П Л, Ф,

48 Разбор примеров / Производная Ли

Ответ. Итак, dq⎧⎩x⎫⎭= (2 ⋅ x>1 − 1) ⋅ dx>1 ∧ dx>2 .⊠


r⎧⎩x⎫⎭ ∶= x>1 ⋅ dx>1 ∧ dx>2 + x>2 ⋅ dx>1 ∧ dx>3;

вычислить ее дифференциал dr .Решение. Вычислим:

dr⎧⎩x⎫⎭= d(x>1 ⋅ dx>1 ∧ dx>2 + x>2 ⋅ dx>1 ∧ dx>3) =

== 0

dx>1 ∧ dx>1 ∧ dx>2 +x>1 ⋅= 0

d(dx>1 ∧ dx>2)+

+ dx>2 ∧ dx>1 ∧ dx>3 + x>2 ⋅= 0

d(dx>1 ∧ dx>3) == −dx>1 ∧ dx>2 ∧ dx>3.

Ответ. Итак, dr⎧⎩x⎫⎭= −dx>1 ∧ dx>2 ∧ dx>3 .⊠

4.2. Производная Ли

§ 17 В Л

В этом разделе предполагается, что на некотором трехмерном многообразиизадано векторное поле j с координатным выражением

j>1⎧⎩x⎫⎭= x>2 + x>3,j>2⎧⎩x⎫⎭= x>1 + x>3,j>3⎧⎩x⎫⎭= x>1 + x>2.

Задание 11. Пусть задана функция

f⎧⎩x⎫⎭= x>1 ⋅ x>2 + x>3;

вычислить ее производную Ли полем j .Решение. Напомним, что производная Ли гладкой функции векторным полеместь ее производная этим полем, и вычисляется в локальных координатах онакак сумма по всем номерам координат произведений значения координаты поляи значения частной производной этой функции.


Разбор примеров / Производная Ли 49

Вычислим по указанному правилу:

(Lj f)⎧⎩x⎫⎭= (jD▹ f)⎧⎩x⎫⎭= j>α⎧⎩x⎫⎭⋅ ∂>α f⎧⎩x⎫⎭=

= (x>2 + x>3) ⋅ ∂>1(x>1 ⋅ x>2 + x>3)++ (x>1 + x>3) ⋅ ∂>2(x>1 ⋅ x>2 + x>3)+

+ (x>1 + x>2) ⋅ ∂>3(x>1 ⋅ x>2 + x>3) == (x>2 + x>3) ⋅ (x>2) + (x>1 + x>3) ⋅ (x>1) + (x>1 + x>2) ⋅ (1) =

= x>1 + x>2 + (x>1)2 + (x>2)2 + x>1 ⋅ x>3 + x>2 ⋅ x>3.

Ответ. Итак, (Lj f)⎧⎩x⎫⎭= x>1 + x>2 + (x>1)2 + (x>2)2 + x>1 ⋅ x>3 + x>2 ⋅ x>3 .⊠

Задание 12. Пусть задано векторное поле v с координатами

v>1⎧⎩x⎫⎭= x>2, v>2⎧⎩x⎫⎭= x>3, v>3⎧⎩x⎫⎭= x>1;

вычислить его производную Ли полем j .Решение. Напомним, что производная Ли векторного поля другим векторнымполем есть их коммутатор (скобка Ли или скобка Пуассона); а вычисляется онв локальных координатах по формуле

⟦j, v⟧>α⎧⎩x⎫⎭= j>β⎧⎩x⎫⎭⋅ ∂>β v>α⎧⎩x⎫⎭− v>β⎧⎩x⎫⎭⋅ ∂>β j>α⎧⎩x⎫⎭.

Вычислим первую координату:

(Lj v)>1⎧⎩x⎫⎭= ⟦j, v⟧>1⎧⎩x⎫⎭= j>α⎧⎩x⎫⎭⋅ ∂>α v>1⎧⎩x⎫⎭− v>α⎧⎩x⎫⎭⋅ ∂>α j>1⎧⎩x⎫⎭=

= (x>2 + x>3) ⋅ ∂>1(x>2) + (x>1 + x>3) ⋅ ∂>2(x>2) + (x>1 + x>2) ⋅ ∂>3(x>2)−− (x>2) ⋅ ∂>1(x>2 + x>3) − (x>3) ⋅ ∂>2(x>2 + x>3) − (x>1) ⋅ ∂>3(x>2 + x>3) =

= (x>2 + x>3) ⋅ 0 + (x>1 + x>3) ⋅ 1 + (x>1 + x>2) ⋅ 0−− (x>2) ⋅ 0 − (x>3) ⋅ 1 − (x>1) ⋅ 1 = 0.

Аналогичные вычисления второй и третьей координат искомой производнойпоказывают, что они также нулевые.Ответ. Итак, Lj v = 0 .⊠

Задание 13. Пусть задана дифференциальная форма p с координатным вы-ражением

p⎧⎩x⎫⎭= x>2 ⋅ dx>3;

вычислить ее производную Ли полем j .

П Л, Ф,


Решение. Напомним, что производная Ли дифференциальной формы p вектор-ным полем j в локальных координатах вычисляется по формуле

(Lj p)>α⎧⎩x⎫⎭= j>β⎧⎩x⎫⎭⋅ ∂>β p>α⎧⎩x⎫⎭+ p>β

⎧⎩x⎫⎭⋅ ∂>α j>β⎧⎩x⎫⎭.

Вычислим первую координату искомой производной, заметив, что p>1⎧⎩x⎫⎭ = 0 ,

p>2⎧⎩x⎫⎭= 0 , p>3

⎧⎩x⎫⎭= x>2 :

(Lj p)>1⎧⎩x⎫⎭= j>α⎧⎩x⎫⎭⋅ ∂>α p>1⎧⎩x⎫⎭+ p>α

⎧⎩x⎫⎭⋅ ∂>1 j>α⎧⎩x⎫⎭== 0 + p>1

⎧⎩x⎫⎭⋅ ∂>1 j>1⎧⎩x⎫⎭+ p>2⎧⎩x⎫⎭⋅ ∂>1 j>2⎧⎩x⎫⎭+ p>3

⎧⎩x⎫⎭⋅ ∂>1 j>3⎧⎩x⎫⎭== p>3⎧⎩x⎫⎭⋅ ∂>1 j>3⎧⎩x⎫⎭= x>2 ⋅ ∂>1(x>1 + x>2) = x>2.

Аналогичные вычисления второй и третьей координат искомой производнойпоказывают, что (Lj p)>2⎧⎩x⎫⎭= x>2 , (Lj p)>3⎧⎩x⎫⎭= x>1 + x>3 .Ответ. Итак, Lj p = x>2 ⋅ dx>1 + x>2 ⋅ dx>2 + (x>1 + x>3) ⋅ dx>3 .⊠

Задание 14. Пусть задана дифференциальная форма q с координатным вы-ражением

q⎧⎩x⎫⎭= x>1 ⋅ dx>2 ∧ dx>3;

вычислить ее производную Ли полем j .Решение. Напомним, что производная Ли подпадает под действие правилаЛейбница относительно тензорного умножения, а значит и относительно внеш-него умножения и умножения на гладкую функцию; а также она перестановочнас внешним дифференцированием форм.Вычислим по этим свойствам:

(Lj q)⎧⎩x⎫⎭= Lj (x>1 ⋅ dx>2 ∧ dx>3) =,

по правилу Лейбница для тензорного произведения:

= (Ljx>1) ⋅ dx>2 ∧ dx>3 + x>1 ⋅Lj (dx>2 ∧ dx>3) =

по правилу Лейбница для внешнего произведения:

= (x>2 + x>3) ⋅ dx>2 ∧ dx>3 + x>1 ⋅ (Ljdx>2) ∧ dx>3 + x>1 ⋅ dx>2 ∧ (Ljdx>3) =

по перестановочности внешнего дифференцирования и производной Ли:

= (x>2 + x>3) ⋅ dx>2 ∧ dx>3 + x>1 ⋅ d(Ljx>2) ∧ dx>3 + x>1 ⋅ dx>2 ∧ d(Ljx>3) =,


Разбор примеров / Производная Ли 51

вычислив производные Ли, получим

= (x>2 + x>3) ⋅ dx>2 ∧ dx>3 + x>1 ⋅ (dx>1 + dx>3) ∧ dx>3 + x>1 ⋅ dx>2 ∧ (dx>1 + dx>2) =

по кососимметричности внешнего произведения (после раскрытия скобок):

= (x>2 + x>3) ⋅ dx>2 ∧ dx>3 + x>1 ⋅ dx>1 ∧ dx>3 + x>1 ⋅ dx>2 ∧ dx>1 =,

упорядочив, получим

= (x>2 + x>3) ⋅ dx>2 ∧ dx>3 − x>1 ⋅ dx>3 ∧ dx>1 − x>1 ⋅ dx>1 ∧ dx>2.

Ответ. Итак,

(Lj q)⎧⎩x⎫⎭= (x>2 + x>3) ⋅ dx>2 ∧ dx>3 − x>1 ⋅ dx>3 ∧ dx>1 − x>1 ⋅ dx>1 ∧ dx>2. ⊠

§ 18 И С

Задание 15. Пусть на некотором двумерном гладком многообразии в ло-кальных координатах задана дифференциальная форма

q⎧⎩x⎫⎭ ∶= (x>1)2 ⋅ dx>2 + x>2 ⋅ dx>1,

и векторные поляu>1⎧⎩x⎫⎭ ∶= x>1, u>2⎧⎩x⎫⎭ ∶= x>1 + x>2,v>1⎧⎩x⎫⎭ ∶= x>2, v>2⎧⎩x⎫⎭ ∶= x>1 + x>2;

вычислить значение dq◂(u, v) формы dq на векторных полях u и v непосред-ственно и по инфинитезимальной формуле Стокса, сравнив после результаты.Решение. Вычислим вначале непосредственно, воспользовашись вычисленнымдифференциалом этой формы (dq⎧⎩x⎫⎭= (2 ⋅ x>1 − 1) ⋅ dx>1 ∧ dx>2 , см. Задание 9):

(dq◂(u, v))⎧⎩x⎫⎭= ((2 ⋅ x>1 − 1) ⋅ dx>1 ∧ dx>2)⎧⎩u⎧⎩x⎫⎭, v⎧⎩x⎫⎭⎫⎭=

= 12⋅ (2 ⋅ x>1 − 1) ⋅ (dx>1 ⊗ dx>2 − dx>2 ⊗ dx>1)⎧⎩u⎧⎩x⎫⎭, v⎧⎩x⎫⎭⎫⎭=

= 12⋅ (2 ⋅ x>1 − 1) ⋅ (dx>1⎧⎩u⎧⎩x⎫⎭⎫⎭⋅ dx>2⎧⎩v⎧⎩x⎫⎭⎫⎭− dx>2⎧⎩u⎧⎩x⎫⎭⎫⎭⋅ dx>1⎧⎩v⎧⎩x⎫⎭⎫⎭) =

= 12⋅ (2 ⋅ x>1 − 1) ⋅ (u>1⎧⎩x⎫⎭⋅ v>2⎧⎩x⎫⎭− u>2⎧⎩x⎫⎭⋅ v>1⎧⎩x⎫⎭) =

= 12⋅ (2 ⋅ x>1 − 1) ⋅ (x>1 ⋅ (x>1 + x>2) − (x>1 + x>2) ⋅ x>2) =

= 12⋅ (2 ⋅ x>1 − 1) ⋅ ((x>1)2 − (x>2)2).

П Л, Ф,


Теперь же вычислим значение q◂ v формы q на векторном поле v :

(q◂ v)⎧⎩x⎫⎭= ((x>1)2 ⋅ dx>2 + x>2 ⋅ dx>1)⎧⎩v⎧⎩x⎫⎭⎫⎭== (x>1)2 ⋅ dx>2⎧⎩v⎧⎩x⎫⎭⎫⎭+ x>2 ⋅ dx>1⎧⎩v⎧⎩x⎫⎭⎫⎭== (x>1)2 ⋅ v>2⎧⎩x⎫⎭+ x>2 ⋅ v>1⎧⎩x⎫⎭=

= (x>1)2 ⋅ (x>1 + x>2) + x>2 ⋅ x>2;

из чего вычислим производную u D▹(q◂ v) полученной функции полем u :

u D▹(dq◂ v)⎧⎩x⎫⎭= u>1⎧⎩x⎫⎭⋅ ∂>1(q◂ v)⎧⎩x⎫⎭+ u>2⎧⎩x⎫⎭⋅ ∂>2(q◂ v)⎧⎩x⎫⎭== x>1 ⋅ ∂>1((x>1)3 + (x>1)2 ⋅ x>2 + (x>2)2)+

+ (x>1 + x>2) ⋅ ∂>2((x>1)3 + (x>1)2 ⋅ x>2 + (x>2)2) == x>1 ⋅ (3 ⋅ (x>1)2 + 2 ⋅ x>1 ⋅ x>2) + (x>1 + x>2) ⋅ ((x>1)2 + 2 ⋅ x>2) =

= 2 ⋅ x>1 ⋅ x>2 + 2 ⋅ (x>2)2 + 4 ⋅ (x>1)3 + 3 ⋅ (x>1)2 ⋅ x>2.

Затем вычислим q◂u :

(q◂u)⎧⎩x⎫⎭= ((x>1)2 ⋅ dx>2 + x>2 ⋅ dx>1)⎧⎩u⎧⎩x⎫⎭⎫⎭== (x>1)2 ⋅ dx>2⎧⎩u⎧⎩x⎫⎭⎫⎭+ x>2 ⋅ dx>1⎧⎩u⎧⎩x⎫⎭⎫⎭== (x>1)2 ⋅ u>2⎧⎩x⎫⎭+ x>2 ⋅ u>1⎧⎩x⎫⎭=

= (x>1)3 + (x>1)2 ⋅ x>2 + x>1 ⋅ x>2;

из чего вычислим d(q◂u) :

d(q◂u)⎧⎩x⎫⎭= d((x>1)3 + (x>1)2 ⋅ x>2 + x>1 ⋅ x>2) == 3 ⋅ (x>1)2 ⋅ dx>1 + x>1 ⋅ dx>2 + x>2 ⋅ dx>1 + 2 ⋅ x>1 ⋅ x>2 ⋅ dx>1 + (x>1)2 ⋅ dx>2;

и отсюда вычислим d(q◂u) ◂ v :

(d(q◂u) ◂ v)⎧⎩x⎫⎭= (3 ⋅ (x>1)2 ⋅ dx>1 + x>1 ⋅ dx>2++ x>2 ⋅ dx>1 + 2 ⋅ x>1 ⋅ x>2 ⋅ dx>1 + (x>1)2 ⋅ dx>2)⎧⎩v⎧⎩x⎫⎭⎫⎭== (x>1)2 + x>1 ⋅ x>2 + (x>2)2 + (x>1)3 + 4 ⋅ (x>1)2 ⋅ x>2 + 2 ⋅ x>1 ⋅ (x>2)2.

Далее нетрудно установить, что

⟦u, v⟧>1⎧⎩x⎫⎭= x>1, ⟦u, v⟧>2⎧⎩x⎫⎭= x>1 − x>2;


Разбор примеров / Теорема Фробениуса 53

из чего следует

(q◂ ⟦u, v⟧)⎧⎩x⎫⎭= (x>1)3 − (x>1)2 ⋅ x>2 + x>1 ⋅ x>2.

Ответ. Итак, сложив полученные выражения по формуле:

u D▹(q◂ v) − d(q◂u) ◂ v−q◂ ⟦u, v⟧ ,

получим 2 ⋅ dq◂(u, v) .⊠

4.3. Теорема Фробениуса

§ 19 О

Задание 16. Пусть в трехмерном многообразии на окрестности его точки yс координатами y>1 = y>2 = y>3 = 0 задано распределение с базисом из одноговекторного поля v1 , координатное выражение которого есть

v>11 ⎧⎩x⎫⎭= x>1, v>21 ⎧⎩x⎫⎭= x>2, v>31 ⎧⎩x⎫⎭= x>3 + 1;

используя метод доказательства Теоремы Фробениуса к заданному распределе-нию построить функции из определения вполне интегрируемости.Решение. Заметив, что коммутатор векторного поля v1 с ним самим есть нуль,заключим по Лемме 14, что распределение инволютивно; поэтому искомыефункции существуют.

Дополним систему {v1} до размерности 3 векторными полями v2 и v3 скоординатными выражениями

v>12 ⎧⎩x⎫⎭= 1, v>22 ⎧⎩x⎫⎭= 0, v>32 ⎧⎩x⎫⎭= 0;v>13 ⎧⎩x⎫⎭= 0, v>23 ⎧⎩x⎫⎭= 1, v>33 ⎧⎩x⎫⎭= 0;

и заметим, что в окрестности точки y эти три поля линейно независимы.

Решив для этих полей определяющие уравнения (1), запишем координатныевыражения их потоков k1,k2,k3 :

k1⎧⎩t,x⎫⎭ ∶⎛⎜⎜⎜⎝

x>1 ⋅ etx>2 ⋅ et

(x>3 + 1) ⋅ et − 1

⎞⎟⎟⎟⎠,

k2⎧⎩t,x⎫⎭ ∶⎛⎜⎜⎜⎝

t + x>1x>2x>3

⎞⎟⎟⎟⎠, k3⎧⎩t,x⎫⎭ ∶

⎛⎜⎜⎜⎝

x>1t + x>2x>3

⎞⎟⎟⎟⎠.

П Л, Ф,

54 Разбор примеров / Теорема Фробениуса

Для начальной точки y и параметров t1, t2, t3 Ð→ 0 построим отображение

m⎧⎪⎩t1, t2, t3⎫⎪⎭= k1

⎧⎪⎩t1, ⋅⎫⎪⎭○ k2

⎧⎪⎩t2, ⋅⎫⎪⎭○ k3

⎧⎪⎩t3, ⋅⎫⎪⎭⎧⎩y⎫⎭ (то есть по формуле Леммы 11)

с координатным выражением

m⎧⎪⎩t1, t2, t3⎫⎪⎭ ∶

⎛⎜⎜⎜⎝

t2 ⋅ et1

t3 ⋅ et1

et1 − 1

⎞⎟⎟⎟⎠;

и выразим зависимость параметров t1, t2, t3 Ð→ 0 от значений m⎧⎪⎩t1, t2, t3⎫⎪⎭ = x

отображения m :

t1 = g1⎧⎩x⎫⎭= ln⎧⎩1 + x>1⎫⎭, t2 = g2⎧⎩x⎫⎭=x>1

1 + x>3 , t3 = g3⎧⎩x⎫⎭=x>2

1 + x>3 .

Проверим, что дифференциал dg2 обнулится на поле v1 :

dg2⎧⎩x⎫⎭=1

(1 + x>3)2 ⋅ ((1 + x>3) ⋅ dx>1 − x>1 ⋅ dx>3), следовательно

dg2⎧⎩x⎫⎭⎧⎩v1⎧⎩x⎫⎭⎫⎭=1

(1 + x>3)2 ⋅ ((1 + x>3) ⋅ v>11 ⎧⎩x⎫⎭− x>1 ⋅ v>31 ⎧⎩x⎫⎭) =

= 1(1 + x>3)2 ⋅ ((1 + x

>3) ⋅ x>1 − x>1 ⋅ (x>3 + 1)) = 0,

а дифференциал dg3 ведет себя так же.Наконец заметим, что дифференциалы dg2 и dg3 линейно независимы, иборазличаются номера координат, дифференциалы которых участвуют в них; за-ключим из этого, что функция g3 соответствует условиям Задания.Ответ. В качестве искомых функций могут быть избраны построенные функции

g2⎧⎩x⎫⎭=x>1

1 + x>3 , g3⎧⎩x⎫⎭=x>2

1 + x>3 . ⊠

§ 20 Д

Задание 17. Пусть в трехмерном многообразии на окрестности его точкиy с координатами y>1 = y>2 = y>3 = 0 задано распределение с базисом из двухвекторных полей v1 и v2 , координатное выражение которых есть

v1 ∶⎛⎜⎜⎜⎝

2 ⋅ x>3 − 2−10

⎞⎟⎟⎟⎠, v2 ∶

⎛⎜⎜⎜⎝

−x>1−2 ⋅ x>2x>3 − 1

⎞⎟⎟⎟⎠;


Разбор примеров / Теорема Фробениуса 55

используя метод доказательства Теоремы Фробениуса к заданному распределе-нию построить функцию из определения вполне интегрируемости.Решение. Установим инволютивность распределения, вычислив коммутатор по-лей его базиса (матрично запишем формулу ⟦v1, v2⟧

>α = v>β1 ⋅∂>β v>α2 − v>β2 ⋅∂>β v>α1 ):

⎛⎜⎜⎜⎝

⟦v1, v2⟧>1

⟦v1, v2⟧>2

⟦v1, v2⟧>3

⎞⎟⎟⎟⎠

⎧⎩x⎫⎭=⎛⎜⎜⎜⎝

∂>1 v>12 ∂>2 v>12 ∂>3 v>12∂>1 v>22 ∂>2 v>22 ∂>3 v>22∂>1 v>32 ∂>2 v>32 ∂>3 v>32

⎞⎟⎟⎟⎠

⎧⎩x⎫⎭⋅⎛⎜⎜⎜⎝

v>11v>21v>31

⎞⎟⎟⎟⎠

⎧⎩x⎫⎭−

−⎛⎜⎜⎜⎝

∂>1 v>11 ∂>2 v>11 ∂>3 v>11∂>1 v>21 ∂>2 v>21 ∂>3 v>21∂>1 v>31 ∂>2 v>31 ∂>3 v>31

⎞⎟⎟⎟⎠

⎧⎩x⎫⎭⋅⎛⎜⎜⎜⎝

v>12v>22v>32

⎞⎟⎟⎟⎠

⎧⎩x⎫⎭=

=⎛⎜⎜⎜⎝

−1 0 0

0 −2 0

0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠⋅⎛⎜⎜⎜⎝

2 ⋅ x>3 − 2−10

⎞⎟⎟⎟⎠−⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 2

0 0 0

0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠⋅⎛⎜⎜⎜⎝

−x>1−2 ⋅ x>2x>3 − 1

⎞⎟⎟⎟⎠=

=⎛⎜⎜⎜⎝

−2 ⋅ x>3 + 22

0

⎞⎟⎟⎟⎠−⎛⎜⎜⎜⎝

2 ⋅ x>3 − 20

0

⎞⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎝

−4 ⋅ x>3 + 42

0

⎞⎟⎟⎟⎠;

ясно, что ⟦v1, v2⟧ = −2 ⋅ v1 ; тем самым распределение инволютивно.

Дополним систему {v1, v2} векторным полем v3 с координатным выражени-ем

⎛⎜⎜⎜⎝

0

1

0

⎞⎟⎟⎟⎠;

и заметим, что в окрестности точки y эти три поля линейно независимы.

Решив для этих полей определяющие уравнения (1), запишем координатныевыражения их потоков k1,k2,k3 :

k1⎧⎩t,x⎫⎭ ∶⎛⎜⎜⎜⎝

2 ⋅ (x>3 − 1) ⋅ t + x>1−t + x>2x>3

⎞⎟⎟⎟⎠,

k2⎧⎩t,x⎫⎭ ∶⎛⎜⎜⎜⎝

x>1 ⋅ e−tx>2 ⋅ e−2⋅t

(x>3 − 1) ⋅ et + 1

⎞⎟⎟⎟⎠, k3⎧⎩t,x⎫⎭ ∶

⎛⎜⎜⎜⎝

x>1t + x>2x>3

⎞⎟⎟⎟⎠.

Для начальной точки y и параметров t1, t2, t3 Ð→ 0 по формуле Леммы 11

П Л, Ф,

56 Разбор примеров / Теорема Фробениуса

построим отображение m с координатным выражением

m⎧⎪⎩t1, t2, t3⎫⎪⎭ ∶

⎛⎜⎜⎜⎝

−2 ⋅ t1 ⋅ et2

−t1 + t3 ⋅ e−2⋅t2

1 − et2

⎞⎟⎟⎟⎠;

и выразим зависимость параметров t1, t2, t3 Ð→ 0 от значений m⎧⎪⎩t1, t2, t3⎫⎪⎭ = x

отображения m :

t1 = g1⎧⎩x⎫⎭=x>1

2 ⋅ (x>3 − 1) , t2 = g2⎧⎩x⎫⎭= ln(1 − x>3),

t3 = g3⎧⎩x⎫⎭= x>2 ⋅ (x>3 − 1)2 +12⋅ x>1 ⋅ (x>3 − 1).

Запишем дифференциал dg3 :

dg3⎧⎩x⎫⎭=12⋅ (x>3 − 1) ⋅ dx>1 + (x>3 − 1)2 ⋅ dx>2++ (2 ⋅ (x>3 − 1) ⋅ x>2 + 1

2⋅ x>1) ⋅ dx>3.

Вычислим значение этого дифференциала на поле v1 :

dg3⎧⎩x⎫⎭⎧⎩v1⎧⎩x⎫⎭⎫⎭=12⋅ (x>3 − 1) ⋅ (2 ⋅ x>3 − 2) + (x>3 − 1)2 ⋅ (−1)+

+ (2 ⋅ (x>3 − 1) ⋅ x>2 + 12⋅ x>1) ⋅ 0 = 0;

и аналогично на поле v2 .Из неравенства dg3⎧⎩y⎫⎭ ≠ 0 следует, что функция g3 соответствует условиямЗадания.Ответ. В качестве искомой функции может быть избрана построенная функция

g3⎧⎩x⎫⎭= x>2 ⋅ (x>3 − 1)2 +12⋅ x>1 ⋅ (x>3 − 1). ⊠


Задачи для самостоятельного решения / Дифференциальные формы 57

5. Задачи для самостоятельного решения

5.1. Дифференциальные формы

§ 21 В

Задание 18. Пусть на некотором двумерном многообразии задана диффе-ренциальная форма p валентности 1 , выраженная в локальных координатах поформуле

p⎧⎩x⎫⎭= (x>2)2 ⋅ dx>2 − ⋅x>2 ⋅ dx>1,а в точке y с координатами y>1 = 4 и y>2 = −4 задан вектор v с координатамиv>1 = −10 и v>2 = 1 ; вычислить значение p⎧⎩y⎫⎭⎧⎩v⎫⎭ дифференциальной формы pв точке y на касательном векторе v в той же точке.

Задание 19. Пусть на некотором двумерном многообразии задана диффе-ренциальная форма p валентности 1 , выраженная в локальных координатах поформуле

p⎧⎩x⎫⎭= x>2 ⋅ dx>2 − ⋅x>1 ⋅ dx>1,а также задано векторное поле u с координатным выражением

u>1⎧⎩x⎫⎭= x>1 + 5 ⋅ x>2,u>2⎧⎩x⎫⎭= 5 ⋅ x>1 − x>2;

вычислить координатное выражение гладкой функции p◂u — значения формыp на векторном поле u .

Задание 20. Пусть теперь задана дифференциальная форма q валентности2 с координатным выражением

q⎧⎩x⎫⎭= x>2 ⋅ dx>2 ∧ dx>1,

и в точке y с координатами y>1 = −1 и y>2 = 1 заданы вектор v с координатамиv>1 = 1 , v>2 = 1 и вектор w с координатами w>1 = 1 , w>2 = 1 ; вычислить значениеq⎧⎩y⎫⎭⎧⎩v,w⎫⎭ формы q в точке y на векторах v,w .

Задание 21. Вычислить значение u⌟q внутренней производной формы qвалентности 2 с координатным выражением

q⎧⎩x⎫⎭= x>2 ⋅ dx>2 ∧ dx>1

определенным выше векторным полем u с координатным выражением

u>1⎧⎩x⎫⎭= 5 ⋅ x>1 + x>2,u>2⎧⎩x⎫⎭= x>1 − 5 ⋅ x>2.

П Л, Ф,

58 Задачи для самостоятельного решения / Производная Ли

§ 22 В

Задание 22. Пусть на некотором гладком многообразии заданы две диффе-ренциальные формы

p⎧⎩x⎫⎭ ∶= dx>2 + x>1 ⋅ dx>1,q⎧⎩x⎫⎭ ∶= x>1 ⋅ dx>1 + dx>2;

вычислить их внешнее произведение.


p⎧⎩x⎫⎭ ∶= dx>2 + dx>1,r⎧⎩x⎫⎭ ∶= x>3 ⋅ dx>1 ∧ dx>2 + x>2 ⋅ dx>1 ∧ dx>3;

вычислить внешнее произведение p∧ r .


r⎧⎩x⎫⎭ ∶= dx>1 ∧ dx>2 + dx>2 ∧ dx>3,s⎧⎩x⎫⎭ ∶= dx>3 ∧ dx>2 + dx>4 ∧ dx>1;

вычислить внешнее произведение r∧ s .

§ 23 Д

Задание 25. Пусть на некотором гладком многообразии в локальных коор-динатах задана дифференциальная форма

p⎧⎩x⎫⎭ ∶= x>2 ⋅ dx>2 − x>2 ⋅ dx>1;

вычислить дифференциал dp этой формы.


q⎧⎩x⎫⎭ ∶= (x>1)2 ⋅ dx>2 + (x>2)2 ⋅ dx>1;

вычислить ее дифференциал dq .


r⎧⎩x⎫⎭ ∶= x>2 ⋅ dx>1 ∧ dx>2 + x>3 ⋅ dx>1 ∧ dx>3;

вычислить ее дифференциал dr .


Задачи для самостоятельного решения / Производная Ли 59

5.2. Производная Ли

§ 24 В Л

В этом разделе предполагается, что на некотором трехмерном многообразиизадано векторное поле j с координатным выражением

j>1⎧⎩x⎫⎭= x>2 + x>3,j>2⎧⎩x⎫⎭= x>1 + x>3,j>3⎧⎩x⎫⎭= x>1 + x>2.

Задание 28. Пусть задана функция

f⎧⎩x⎫⎭= x>2 ⋅ x>1 + x>3;


Задание 29. Пусть задано векторное поле v с координатами

v>1⎧⎩x⎫⎭= 2 ⋅ x>2, v>2⎧⎩x⎫⎭= 3 ⋅ x>3, v>3⎧⎩x⎫⎭= 4 ⋅ x>1;

вычислить его производную Ли полем j .

Задание 30. Пусть задана дифференциальная форма p с координатным вы-ражением

p⎧⎩x⎫⎭= x>1 ⋅ dx>3;


Задание 31. Пусть задана дифференциальная форма q с координатным вы-ражением

q⎧⎩x⎫⎭= x>3 ⋅ dx>1 ∧ dx>2;


§ 25 И С

Задание 32. Пусть на некотором двумерном гладком многообразии в ло-кальных координатах задана дифференциальная форма

q⎧⎩x⎫⎭ ∶= x>1 ⋅ dx>1 − x>2 ⋅ dx>2,

и векторные поляu>1⎧⎩x⎫⎭ ∶= x>2, u>2⎧⎩x⎫⎭ ∶= x>1 − x>2,v>1⎧⎩x⎫⎭ ∶= x>1, v>2⎧⎩x⎫⎭ ∶= x>1 − x>2;

П Л, Ф,

60 Задачи для самостоятельного решения / Теория Фробениуса

вычислить значение dq◂(u, v) формы dq на векторных полях u и v непосред-ственно и по инфинитезимальной формуле Стокса, сравнив после результаты.

5.3. Теория Фробениуса

§ 26 О

Задание 33. Пусть в трехмерном многообразии на окрестности его точки yс координатами y>1 = y>2 = y>3 = 0 задано распределение с базисом из одноговекторного поля v1 , координатное выражение которого есть

⎛⎜⎜⎜⎝

v>11 ⎧⎩x⎫⎭v>21 ⎧⎩x⎫⎭v>31 ⎧⎩x⎫⎭

⎞⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎝

x>1x>2x>3 + 2

⎞⎟⎟⎟⎠;

используя метод доказательства Теоремы Фробениуса к заданному распределе-нию построить функции из определения вполне интегрируемости.

§ 27 Д

Задание 34. Пусть в трехмерном многообразии на окрестности его точкиy с координатами y>1 = y>2 = y>3 = 0 задано распределение с базисом из двухвекторных полей v1 и v2 , координатное выражение которых есть

v1 ∶⎛⎜⎜⎜⎝

x>3 − 1−1/20

⎞⎟⎟⎟⎠, v2 ∶

⎛⎜⎜⎜⎝

−x>1−2 ⋅ x>2x>3 − 1

⎞⎟⎟⎟⎠;

используя метод доказательства Теоремы Фробениуса к заданному распределе-нию построить функцию из определения вполне интегрируемости.


Список обозначенийВезде применяется тензорное правило Эйнштейна:

если в некоторой формуле есть произведение величин с верхними и нижними индексами, и какой-тоиндекс встречается в этом произведении только однажды как верхний и как нижний, то в формуле по этомуиндексу производится суммирование слагаемых вида этого произведения, причем диапазон изменения этогоиндекса в сумме следует из контекста формулы.

Переменные

вид формулы — обозначаемое

α,β,γ, . . . — числа нумерации объектов или координат.τ — перестановка на некотором множестве {1, . . . ,α} .a, b, t — вещественные числа (параметры).f,g,h,k — параметризованное число, отображение.x,y — точки многообразия.M,N — многообразия.D,U — открытые подмножества многообразия.c — карта на многообразии.k — поток векторного поля.m — параметризованная точка многообразия, отображение.u, v,w — вектор, касательный вектор.j,u, v,w — вектор параметризованный, векторное поле.p,q, r — кокасательный тензор, ковариантный тензор.p,q, r, s — ковариантное тензорное поле, дифференциальная форма.Z — распределение (касательных подпространств).

Специальные обозначения

вид формулы — обозначаемое

R — множество всех вещественных чисел.

im f — образ (совокупность всех значений) отображения f .

c−1 — обратное отображение к инъективному c .

kronαβ — символ (функция) Кронекера: kronαβ = {1 при α = β ,0 при α ≠ β .

sign τ — знак перестановки τ .altp — альтернация ковариантного тензора p .

x>α — координата с номером α точки x .v>α — координата с номером α вектора v .p>α,...,β — координата с номерами α, . . . ,β ковариантного тензора p .

C∞(M) — линейная алгебра гладких функций на многообразии M .TxM — касательное пространство в точке x ко многообразию M .T∗xM — кокасательное пространство в точке x ко многообразию M .

tpr v — проекция касательного вектора v в точку, к которой является касательнымпространство этого вектора.

61

tpr p — проекция ковариантного тензора p в точку, к которой является касательнымпространство этого тензора.

∂α f — частная производная числового отображения f по аргументу с номером α .∂>α f — производная гладкой функции f по координате с номером α .∂0 k — производная потока k по параметру траектории.∂>αm — производная отображения m по координате с номером α .

df — дифференциал гладкой функции f .dm — дифференциал отображения m .dp — дифференциал дифференциальной формы p .

Операциивид формулы — обозначаемое

τ↪ p — действие перестановки τ на ковариантном тензоре p .

p⊗q — тензорное произведение ковариантных тензоров p и q .u∧ v — внешнее произведение векторов u и v .p∧q — внешнее произведение ковариантных тензоров p и q .

vD▹ f — производная векторным полем v гладкого числового отображения f .⟦u, v⟧ — коммутатор векторных полей u и v .

Lj f — производная Ли гладкой функции f векторным полем j .Lj v — производная Ли векторного поля v векторным полем j .Lj p — производная Ли ковариантного тензорного поля p векторным полем j .

v⌟p — внутренняя производная вектором v ковариантного тензора p .

p α←Ð v — подстановка вектора v как α-того аргумента ковариантного тензора p .p◂ v1, . . . , vα — функциональное значение ковариантного тензорного поля p валентности α

на векторных полях v1, . . . , vα .

m↶x

p — перенос ковариантного тензора p против отображения m в точку x .

m↶⋆

p — перенос ковариантного тензорного поля p против отображения m .

jÀ f — перенос функции f потоком векторного поля j .jÀ v — перенос векторного поля v потоком векторного поля j .jÀp — перенос ковариантного тензорного поля p потоком векторного поля j .

62

Предметный указательатлас (многообразия), 9атлас гладкий (многообразия), 9базис касательный канонический, 10вектор касательный, 10вектор касательный ко кривой, 10вектор кокасательный, 11вектора координаты локальные, 10векторного поля перенос векторным полем,

22векторного поля производная Ли, 24гладкого отображения дифференциал, 13гладкой функции дифференциал, 13гладкой функции перенос векторным по-

лем, 22гладкой функции производная Ли, 23дифференциал внешний, 17дифференцирование функции векторным

полем, 11знак перестановки, 6инверсия в перестановке, 6инфинитезимальная формула Стокса, 31карт согласованность гладкая, 9карт согласованность непрерывная, 8карта (многообразия), 8касательное пространство, 10ковариантного тензора внутренняя произ-

водная, 7ковариантного тензорного поля перенос

векторным полем, 22ковариантного тензорного поля производ-

ная Ли, 24коммутатор, 11координатное ковекторное поле, 12координаты локальные, 8кривая гладкая, 9многообразие, 9многообразие гладкое, 9отображение многообразий гладкое, 9перестановка, 6поле векторное, 10поле касательное координатное, 11поле тензорное ковариантное, 12поля векторного поток, 14проекция вектора, 10проекция тензора, 11производная по координате, 10

распределение, 37распределение вполне интегрируемое, 37распределение инволютивное, 37распределения локальный базис, 37распределения сечение, 37скобка Ли, 11скобка Пуассона, 11тензор ковариантный антисимметричный, 6тензор ковариантный в точке, 11

тензор ковариантный кососимметричный, 6тензора ковариантного альтернация, 6тензоров кососимметричных произведение

внешнее, 7тензоров произведение тензорное, 6формула Картана, 19функция гладкая, 9

63

Список литературы

[1] Краснощёченко В. И., Крищенко А. П. Нелинейные системы: геометрическиеметоды анализа и синтеза. — М. : Издательство МГТУ имени Н. Э.Баумана, 2005. — 520 с.

[2] Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М. :Наука, 1979. — 432 с.

[3] Isidori A. Nonlinear control systems. — London : Springer-Verlag, 1995. — xv +549 с.

[4] Канатников А. Н., Крищенко А. П., Четвериков В. Н. Дифференциальноеисчисление функций многих переменных. — М. : Издательство МГТУ имениН. Э. Баумана, 2000. — 456 с. — (Серия «Математика в техническомуниверситете», выпуск V).

[5] Иванов А. О., Тужилин А. А. Лекции по классической дифференциальнойгеометрии. — М. : Университетская книга; Логос, 2009. — 224 с.

[6] Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — М. : ЭдиториалУРСС, 2003. — 429 с.

[7] Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии итопологии. — М. : Издательство «Факториал Пресс», 2000. — 448 с.

[8] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. В3-х т. Т. 1. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. — М.: Эдиториал УРСС, 1998. — 336 с.

[9] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. В3-х т. Т. 2. Геометрия и топология многообразий. — М. : Эдиториал УРСС,1998. — 280 с.

[10] Хорькова Н. Г., Чередниченко А. В. Элементы дифференциальной геометриии топологии. Кривые в пространстве. — М. : Издательство МГТУ имениН. Э. Баумана, 2007. — 48 с.

[11] Хорькова Н. Г. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. Ри-манова геометрия и тензорный анализ. — М. : Издательство МГТУ имениН. Э. Баумана, 2005. — 84 с.

64

[12] Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — М. : Эдито-риал УРСС, 2003. — 664 с.

[13] Хорькова Н. Г., Четвериков В. Н. Элементы дифференциальной геометриии топологии. Векторные поля на многообразиях. Учебное пособие. — М. :Издательство МГТУ имени Н. Э. Баумана, 1996. — 48 с.

[14] Мищенко А. С., Соловьев Ю. П., Фоменко А. Т. Сборник задач подифференциальной геометрии и топологии. — М. : Издательство физико-математической литературы, 2001. — 351 с.

65

Documents

Н.С.Гусев,В.Л.Чернышев П Л , Ф · УДК 514.7 Рецензенты: Иванов Александр Олегович, д.ф.-м.н., механико-математический