جذورها – معادالتها – الحدود كثيرات

الحدود-( :1- 3) كثيرات

التابع التالي :ƒ (x)نسمي بالشكل المعرف)3-1 ( ƒ (x) = a nx n +a n-1 x n -+……….+a1x+a0

الدرجة من حدود من للمتحول nكثير أن xبالنسبة nحيث

و موجب صحيح . a n . a n-1 . a n-2(حيث a n ≠ 0عدد

…….*a1*a0( كذلك مركبة أعداد هي و الحدود كثير xأمثال

" أجل , من مثال مركب كثير n = 4متحول على نحصل

الرابعة . الدرجة من حدودمثال :

ƒ (x) = 2x4 – 3x3 + 5x2 + 2x - 14

مالحظة :أجل -1 من n = 0 من حدود كثير على نحصل

ثابت عدد هو و صفر d (x) = a0الدرجة

أجل -2 من n = 1من حدود كثير على نحصل

خطي . حدود كثير يسمى و األولى الدرجة

0

الحدود ( :1 – 1 – 3) كثيرات على العملياتالتاليين : الحدود كثيري لدينا ليكن

ƒ (x) = a nx n + a n-1 x n - +……….+a1x + a0

g (x) = b mxm + b m-1x m- + ………+ b1x + b0

الحدود :-1 كثيري تساويالحدود كثير عن إذا g (x)و ƒ (x)نقول متساويان أنهما

قيم جميع أجل من أمثلها أي xتساوت n = mالمماثلة

i = Γ, n b i = a i ν و

الطرح ) ( :-2 الجمع عملية

1

الحدود كثير عن الدرجة h(x)نقول أنه K ≤ max (n , m )من

( الحدود ( كثيري طرح جمع كان g (x)و ƒ (x)حاصل إذا )3-2 (h(x) = ƒ (x) ± g (x)

h(x) = c ky k ± c k-1x k-1………± c0

أمثاله بالعالقة ciحيث تعطىci = ai ± bi .i = 0.k

الضرب :-3 عمليةالحدود كثير عن الدرجة L(x)نقول إنه k = n + mمن

الحدود كثيري ضرب حاصلƒ (x) وg (x) كان إذا

)3-3 ( g (x) . ƒ (x) L(x) =

الحدود كثير حدود من حد كل بضرب عليه نحصل ƒ (x)و

الحدود كثير حدود الحدود g (x)بجميع نجمع ثم

المتشابهة .الحدود كثير ضرب حاصل حدود c ≠ 0بعدد ƒ (x)إن كثير هو

كثير أمثال ضرب عن ناتجة أمثاله لكن و الدرجة نفس من

يكتب cبالعدد ƒ (x)الحدود c . ƒ (x)و

مثال :

2

الحدود كثيري لدينا ليكنƒ (x) = 2x2 – 5x + 5

g (x) = x3 – 3x2 + 2x – 5

ضرب حاصل و فرقهم و مجموعهم و g (x)بـــ ƒ (x)أوجدc ƒ (x) حيثc = 5

الحل : = ƒ (x) + g (x) h1(x) الجمع :

h1(x) = x3 – x2 – 2

= g (x) ƒ (x) - h2(x)الطرح :

h2(x) = -x3 + 5x2 – 7x + 8

الضرب :L(x) = ƒ (x) . g (x) = 2x5 – 11x4 + 22x3 – 29x2

+ 31x – 15

C ƒ (x) = 5 ƒ (x) = 10x2 – 25x + 15

لكثيرات( 3-1-2) الضرب و الجمع خواصعمليتي

الحدود :

3

التبديلية :- 1 حدود الخاصة كثير أي أجل gو ƒ (x)من

(x) يتحققƒ (x) + g (x) = g (x) + ƒ (x)

ƒ (x) . g (x)

= g (x) . ƒ (x)

التجميعية :- 2 حدود الخاصة كثيرات أي أجل ƒ (x)من

يتحقق :h(x)و g (x)و

ƒ (x) + [ g(x) + h(x) ] = [ƒ (x) + g(x) ] + h(c)

ƒ (x) . [ g(x) + h(x) ] = [ƒ (x) . g(x) ] . h(c)

الجمع- :3 توزيعيعلى كثيرات الضرب أي أجل من

يتحقق :h(x)و g (x)و ƒ (x)حدود ]ƒ (x) + g(x) [ h(c) = ƒ (x) h(c) + g(x) h(x)

h(x) . [ƒ (x) + g(x) ] = h(x) . ƒ (x) + h(x) . g(x)

4

حدود- 4 كثيري أي أجل حدود g (x)و ƒ (x)من كثير يوجد

h(x): التالية المساواة يحققƒ (x) = g(x) + h(x)

الحدود( :3-1-3) كثيرات قسمةحيث g (x)و ƒ (x)ليكن حدود كثير g(x) ≠ 0كثير درجة و

الحدود ƒ (x)الحدود كثير درجة تساوي أو فإنه g(x)أكبر

قسمة عن حدود g(x)على ƒ(x)ينتج و h(x)كثيريr(x)

ƒ(x) = g(x) h(x) + r(x)

الحدود . r(x)و h(x)حيث كثير درجة و وحيد بشكل يتعينان

r(x) الحدود كثير درجة من .g(x)أصغر

الحدود كثير نسمي الحدود ƒ(x)و كثير و g(x)بالمقسوم

الحدود ( ) كثيرا و عليه المقسوم أو بحاصل h(x)بالقاسم

الحدود كثير و القسمة .r(x)القسمة بالباقي

5

:1مثال

الحدود : كثير لدينا ليكنƒ(x) = 6x4 + x3 – 5x2 + 6

g(x) = 2x3 + x2 –

2x + 2

قسمة حاصل g(x)على ƒ(x)أوجد

الحل :التالي : التقليدي بالشكل القسمة عملية إتمام يمكن

6x4 + 1x3 – 5x2 + 0x + 6

2x2 – x2 – 2x + 2

±6x4 ± 3x3 ± 6x2

3x + 2

4x3 + x2 – 6x + 6

4x3 ± 2x2 ± 4x ± 4

3x2 – 2x + 2

6

ينتج :ƒ(x) = g(x) (3x +2 ) + ( 3x2 – 2x + 2 )

نالحظ : حيثh(x) = 3x + 2

r(x) = 3x2 + 2x - 3

:2مثال

الحدود كثيري لدينا ليكنƒ(x) = x3 + 4x2 + x – 6

g(x) = x2 + 2x – 3

قسمة حاصل g(x)على ƒ(x)أوجد

الحل :

7

ƒ(x) = g(x)(3x + 2 ) = g(x) . h(x)

نالحظ r(x) = 0

األعظمي( :3-1-4) المشترك القاسم و القواسممعدودين غير الحدود كثيري لدينا نسمي g(x)و ƒ (x)ليكن

الحدود الحدود g(x)كثير لكثير باقي ƒ (x)قاسم كان إذا

الحدود g(x)على ƒ (x)قسمة كثير أو "g(x)معدم قاسما

الحدود حدود ƒ (x)لكثير كثير توجد فقط يحقق h(x)عندما

العالقة :

)x = (g(x) . h(x) (4-3)ƒ

نالحظ : حيث r(x) = 0

8

العالقة ( من) 3-4تحقق كال أن لـــ h(x)و g(x)يعني (قاسم

x(ƒ و)x(ƒ على القسمة h(x).و g(x)يقبل

حدود كثيري لدينا كان كثير x(ƒ(2و ƒ)x(1إذا عن نقول

الحدود g(x)حدود لكثيري مشترك قاسم x(ƒ(2و ƒ)x(1أنه

" من لكل قاسما كان حدود x(ƒ(2و ƒ)x(1إذا كثيري يوجد أي

h1(x) وh2(x): يكون بحيث

1)x = (g(x) h1(x) ƒ

2)x = (g(x)h2(x)ƒ

نسمي الحدود g(x)كما لكثيري أعظم مشترك x(ƒ(1قاسم

آخر x(ƒ(2و مشترك قاسم كل على القسمة يقبل كان gإذا

i(x) الحدود .x(ƒ(2و ƒ)x(1لكثيري

الحدود : كثيرات لقسمة الخواصاألساسية

9

كان -1 على x(ƒ(إذا القسمة g(x)و g(x)يقبل

على القسمة على x(ƒ(فإن h(x)يقبل القسمة h(x)يقبل

كان -2 على x(ƒ(إذا القسمة g(x)و g(x)يقبل

على القسمة محققة x(ƒ(يقبل التالية العالقة .فإن

)3-5()x = (c . g(x) ; c≠0 ƒ

العالقة ( تحققت إذا من) 5-3و كال يقبل g(x)و x(ƒ(فإن

اآلخر على .القسمة

كان- 3 على x(ƒ(إذا القسمة جداء g(x)يقبل بأي x(ƒ(فإن

على القسمة يقبل آخر حدود g(x)كثير

من- 4 كال كان على x(ƒ(2و ƒ)x(1إذا القسمة فإن g(x)يقبل

على القسمة يقبل جدائهما و فرقهما و g(x)مجموعها

الدرجة- 5 من حدود كثير على القسمة يقبل حدود كثير كل

عدد على القسمة يقبل أي c≠0الصفر

كان- 6 على x(ƒ(إذا القسمة يقبل x(ƒ c(فإن g(x)يقبل

على c≠0حيث g(x)القسمة

الحدود- 7 كثيري ألحد قاسم كل c≠0مع x(ƒc(و ƒ)x(إن

" اآلخر الحدود لكثير قاسما يكون

10

الحدود لكثيري األعظم المشترك القاسم إليجاد و x(ƒ(وg(x): التالية الخطوات نتبع

الحدود- 1 كثير درجة أن درجة x(ƒ(لنفرض تساوي أو أكبر

الحدود نقسم g(x)كثير ناتج g(x)عل x(ƒ(فعندئذ ليكن و

القسمة h(x)القسمة باقي r(x)و

القسمة r(x)على g(x)نقسم- 2 الناتج ليكن و h1(x)و r1(x)الباقي

الناتج r1(x)على r(x)نقسم- 3 ليكن الباقي h2(x)و r2(x) و

باقي- 4 إلى نصل حتى العملية هذه في يقسم rn(x)نستمر

rn-1(x) القسمة ناتج يكون hn+1(x)يكون بذلك هو rn(x)و

الحدود لكثير األعظم المشترك و g(x)و x(ƒ(القاسميلي : كما السابقة الخطوات نلخص

)x = (g(x)h(x) + r(x)ƒ

11

g(x) = r(x)h1(x) + r1(x)

)6-3(r(x) = r1(x)h2(x) + r2(x)

- - - -

rn-2(x) = rn-1hn(x) + rn(x)

rn-1(x) = rn(x)hn+1(x)

بأنه القول يمكننا األعظم المشترك القاسم تعريف حسب

أعظميين مشتركين قاسمين هنالك كان r"n(x)و ŕn(x)إذا

الحدود فإن :g(x)و x(ƒ(لكثيريŕn(x) = cr"n(x) ; c≠0

قسمة خواص من الثانية الخاصة على باالعتماد ذلك و

الحدود كثيراتبينهما فيما أوليين يكونان حدود كثيرا بأن القول يمكننا كما

من حدود كثير هو لهما األعظم المشترك القاسم كان إذا

صفر الدرجة

12

الحدود : لكثيري األعظم المشترك القاسم أوجد مثال

التاليين : =x5 + x4 + 2x3 + 2x2 – x – 1 (x)ƒ

g(x) = x4 + x3 + 2x2 + x – 1

الحل :درجة أن درجة x(ƒ(بما من نقسم g(x)أكبر على x(ƒ(فإننا

g(x) أن فنجدx5 + x4 + 2x3 + 2x2 – x – 1

±x5 ± x4 ± 2x3 ± x2 ± x x4 + x3 +2x2 + x - 1

x= h(x)r(x) = x2 - 1

فإن : بالتالي وh(x) = x , r(x) = x2 – 1 = (x-1)(x+1)

نقسم فنجد r(x)على g(x)اآلن

13

x4 + x3 + 2x2 + x-1

x2 - 1

±x4 ±x2

x2 +x+3=h1(x) x3 + 3x2 +x-1

±x3 ±x

3x2 + 2x -1

±3x2 ±3

2x + 2 = r1(x)

فإن : بالتالي وh1(x) = x2 + x + 3 , r1(x) = 2x + 2 = 2(x+1)

14

أن : r(x) = (x-1)(x+1) = r1(x)1/2(x-1)نالحظ

األخيرة العالقة في وضعنا بحسب h2(x) = 1/2(x-1)فإذا

األعظم r1(x)فإن) 6-3العالقات ( المشترك القاسم هو

الحدود لكثيري r(x)يقسم r1(x)ألن g(x)و x(ƒ(المشترك

مثال :الحدود لكثير األعظم المشترك القاسم أوجد

)x = (x4 + 3x3 – x2 – 4x – 3 ; g(x) = 3x2 + 10x2 + 2x – 3ƒ

مالحظة :أمثال ذات حدود كثيرات على إقليدس طريقة تطبيق عند

اختصا , أو المقسوم ضرب نستطيع المقسوم رصحيحة

األمثال , من للتخلص ذلك و صفري غير عدد أي على عليه

نفسها القسمة عملية خالل ذلك إجراء يمكن و الكسريةنضرب g(x)على x(ƒ(لنقسم ذلك قبل :3ب x(ƒ(و

3x4 + 9x3 – 3x2 –

12x – 9

3x3 +10x2 +2x - 33x4 ± 10x3 ± 2x2

± 3x

15

x + 1 = h(x)

-x3 – 5x2 – 9x -9

في الباقي القسمة 3نضرب عملية نتابع 3x2 + 15x2+ و

+ 27x +27

3x3 ± 10x2 ± 2x ± 3

r(x) = 5x2 +25x

+ 30

الباقي الباقي 5على r(x)نختصر r(x) = x2 + 5x + 6يصبح

نقسم يلي :r(x)على g(x)ثم كما

3x3 + 10x2 + 2x – 3

3x3 ± 15x2 ± 18x x2 + 5x + 6

16

3x – 5 = h1(x)

-5x2 – 16x - 3

±5x2 ± 25x ± 30

r1(x) = 9x + 27

بالتالي r1(x) = x + 3ينتج 9على r1(x)نختصر و

h(x) = 3x – 5

فينتج r1(x)على r(x)نقسم

r(x) = x2 + 5x + 6 = (x+3)(x+2) = r1(x)(x+2)

" األعظمي المشترك القاسم إذا صفر الباقي + r1(x) = xو

3

17

و( 3-2) الباقي نظريتا و الحدود كثيرات جذور

القاسم :

الحدود( :3-2-1) كثير جذور

كان القيمة x(ƒ(إذا نسمي فإننا حدود صفر x0كثير أو بجذر

الحدود في x(ƒ(كثير انعدم تحقق x0إذا إذا و x0 = (0ƒ(أي ( نضع ( فإننا الحدود كثير أصفار جذور على x = (0ƒ(للحصول

قيم عن نبحث و المذكور الحدود كثيرا التي x0معادلة

مركبة , أو حقيقية تكون فقد القيم تلك أما تحققها

بيزو( :3-2-2) نظرية

18

الحدود كثير قسمة الخطي x(ƒ)(باقي الحدود كثير -xعلى

a (الحدود كثير قيمة أجل x(ƒ(يساوي x=aمن

البرهان :

x-a(q(x) + R (x)ƒ= (لدينا :

" قيم كل أجل من صحيحة العالقة تلك ألن نظرا منها xو و

x=0: يكون

)a) = (a-a(q(x) + R

ƒ

)a = (R

ƒ

مثال :

19

g(x) = x - 2و x3 + 2x2 – 3x - 4 (x)ƒ= ليكن

نجد g(x)على x(ƒ(بالتقسيم

X3 +2x2 – 3x – 4 = (x-2)(x2 + 4x +5) + 6

هنا نظرية R = 6و بتطبيق الناتج هذا على الحصول يمكن

الباقي) 2) = (2(3 + 2)2(2 – 3)2 – (4 = 6 ƒ= R

القاسم( :3-2-3) نظرية

كان " )x-a(إذا لــ عندئذ x(ƒ(قاسما و a = (0ƒ(يكونكان لــ )x-a(فإن 0ƒ) = a(بالعكس قاسم x(ƒ(هو

البرهان :

20

الباقي : بنظرية باالستعانة و القسمة في لدينا

ƒ(x) = (x-a)q(x) + ƒ(a)

أن ) x-a(إن يعني هذا و فإذا , a = (0ƒ(قاسم بالعكس و

لدينا أن a = (0ƒ(كان يعني لــ )x-a(فهذا قاسم ƒ(x)هو

التركيبي :-3 التقسيم

الحدود كثير قسمة إجراء الحدين ƒ(x)يمكن ثنائي -x(على

a( بتطبيق و سطور ثالثة إنشاء خالل من ذلك و الخطي

التالي : بالمثال مستعينين التالية الخطوات

5x 4 – 8x 2 – 15x - 6

x-2

21

المقسوم -1 تكن ƒ(x)ترتيب لم إن تنازلية بقوى

االنتباه مع األول السطر في بالترتيب األمثال وضع و كذلك

" أيضا نضع و الناقصة للحدود كمثال الصفر وضع إلى aإلى

األول السطر في اليمين

لدينا مثالنا األمثال ƒ(x)في لنأخذ تنازلية بقوى مرتب

نضيف و األول السطر في نضعها و يمين a = 2بالترتيب إلى

األول السطر

5 0- 8- 15- 6∟ 2

" لــ الممثل الناقص للحد صفرا وضعنا أننا a3x3لنالحظ

كتابة -2 و xnأمثال anلنعد الثالث السطر في

فيكون : العمود بنفس

22

∟2 5 0- 8- 15- 6

األول السطر 10

الثاني السطر

الثالث 5 السطر

الجداء -3 السطر an . aلنأخذ في الناتج نضع و

الثاني , العمود مجموع نأخذ ثم الثاني العمود و الثاني

فيكون :

5 0- 8- 15- 6∟ 2

10

23

5 10

بـــ -4 السابقة العملية ناتج بضرب العملية aنعيد

تحت الثاني السطر في الناتج نضع العمود an-2و نجمع ثم

العمود / لنفس الثالث السطر في الناتج نضع و الثالث

5 0- 8- 15- 6∟ 2

10 20

5 10 12

آخر -5 إضافة إلى نصل حتى العملية نفس نكرر

الثابت إلى a0ناتج

24

5 0- 8- 15- 6∟ 2

10 20 24 18

5 10 12 9 12

" القسمة ناتج أمثال أخيرا الناتجة الحدود تكون هو q(x)و و

الدرجة n-1من

هنا هو و األخير الحد الباقي 12أما الحد يمثل R ƒ(a)= فهو

يصبح مثالنا في القسمة ناتج و

q(x) = 5x3 + 10x2 + 12x + 9

R = ƒ(2) = 12

أي :

5x4 – 8x2 – 15x – 6

25

5x3 + 10x2 + 12x +9 +12/x-2 =

x-2

أو :

5x4 – 8x2 – 15x – 6 = (x-2)(5x3 + 10x2 + 12x +9)

جذورها :–( 3-3) و الحدود كثير معادالت

الحدود كثير بوضع الحدود كثيرة المعادلة على ƒ(x)نحصل

هو" : الحدود كثير لمعادلة القياسي الشكل و للصفر مساويا

Anxn + an-1xn-1 …….+ a1x + a0 = 0

إلى األكبر من القوى فيه تتدرج حيث عليه متعارف شكل

فيه و " an ≠ 0األصغر غير لها قاسما تقبل ال أمثاله ,±1و

المعادلة" : لدينا كان إذا فمثال

26

-10x5 – 2x2 +6x – 4x3 + 2 = 0

هو : لها القياسي فالشكل

5x5 + 0x4 + 2x3 + x2 – 3x -1 = 0

" " " و وحيدا حال لها األولى الدرجة معادلة أن سابقا نعلم نحن

عقديان , أو حقيقيان حالن لها الثانية الدرجة معادلة أن

الدرجة من للمعادالت العامة للحالة يلي فيما nسنستعرض

نظرية :

عن الحدود x0نقول كثير صفر أو جذر تحقق ƒ(x)أنه ƒ(xإذا

التابع 0 = (0 منحني نقاط فصل أن ذلك عن مع y = ƒ(x)ينتج

جذور Xالمحور نفسها ƒ(x) = 0هي

27

الجبر :–( 3-3-1) في األساسية النظرية

حدود كثير معادلة و , ƒ(x) = 0لكل األقل على واحد جذر

عقدية أو حقيقية تكون قد الجذور

الدرجة , من الحدود كثير معادلة إن الحقيقة لها nفي

عن , nتماما" متميزة جميعها تكون ال قد الجذور هذه و جذر

مشتركة , جذور للمعادلة إن نقول عندها و بعضها

مثال :

المعادلة : جذور عن لنبحث

x5 – x3 = 0

الحل :

28

جذور , خمسة إذن لها و الخامسة الدرجة من المعادلة هذه

الشكل : على لنكتبها

x5 – x3 = x3(x2-1) = x3(x+1)(x-1) = 0

هي : الجذور وx3 = x4 = x5 = 0 ; x2 = 1 ; x1 = -1

" " مرات ثالث مكررا جذرا لدينا أن نالحظ هنا و

الخاص العالقات و النظريات بعض نستعرض سوف و

ثم الحدود كثير لمعادلة المتوقعة الجذور و الجذور بخواص

األمثال ذات الحدود كثير معادلة حل البحث نهاية في ندرس

الرابعة حتى األولى الدرجة من المركبة

خطية :–( 3-3-2) عوامل إلى التحليل نظرية

خطية , عوامل جداء إلى حدود كثير معادلة كل تحليل يمكن

" الحدود كثير مثال الدرجة ƒn(x)لنأخذ النظرية nمن حسب و

29

و للمعادلة األقل على واحد جذر هناك الجبر في األساسية

الحدود x1ليكن كثير إن يعني لــ )x-x1(هذا ƒn(x)قاسم

) R=0أي(

إذن :

ƒn(x) = ( x-x1) ƒn-1(x)

(1)

الدرجة ƒn-1(x)حيث من حدود هذا n-1كثير الحدود لكثير و

ليكن و األقل على إن x2جذر لـــ )x-x2(أي و ƒn-1(x)قاسمƒn-1(x) = ( x-x2) ƒn-2(x)

في ( نعوض فينتج) :1و

ƒn (x) = ( x-x1)(x-x2) ƒn-2(x)

الحدود لكثير أن نجد ليكن ƒn-2(x)و و األقل على و x3جذر: " على أخيرا نحصل و نتابع هكذا

30

ƒn (x) = ( x-x1)(x-x2)………..(x-xn) ƒ0(x)

و ( ) ƒ0(x)حيث ثابت عدد أي صفر الدرجة من حدود كثير

إلى ƒn (x)في xnأمثال anيساوي

إلى فيساوي الحدود عدد " nأما إن أخيرا نالحظ و خطي حد

تجعل التي الجذور هي nهو ƒn (x) = 0عدد و x1,x2,….,xnومشترك هو ما منها يكون قد

قيم عن مختلفة أخرى قيمة أية أن ال x1,x2,…..,xnلنالحظ " ال بالتالي و السابقة الخطية الحدود من أيا تعدم أن يمكن

العدد الجذور عدد يتجاوز أن ƒn (x)درجة nيمكن

العقدية :–( 3-3-3) الجذور

نظرية :

31

الحدود كثير لمعادلة كان و ƒ(x) 0= إذا حقيقية أمثال ذات

لــ الشكل ƒ(x)كان من عقدي المرافق a + ibجذر يكون

" a – ibعندئذ " لـــ أيضا أي :ƒ(x) 0 = جذرا

ƒ( a+ib) = ƒ( a-ib) = 0

األمثال ذي الحدود لكثير المركبة الجذور عدد أن يعني هذا و

مثنى مترافقة الجذور هذه أن و زوجي عدد هو الحقيقية

تحليل عند و "ƒ(x)مثنى أيضا تظهر خطية جداء عوامل إلى

الشكل : على مثنى مثنى مترافقة الحدود هذه

]x – ( a+ib) . [ x – ( a-ib)]

:مثال

المعادلة جذور التالية :x3 – x2 + x – 0إن هي

x3 = 1/2 - i√3 , x2 = 1/2 + i√3 , x1 = 0

32

22

x3 – x2 + x = ( x - x1)( x - x2)( x -x3) = 0

أي :

ƒ(x) ≠ x[ x - (1/2 + i√3/2)][ x – (1/2 - i√3/2)] = 0

العادية :–( 3-3-4) غير الجذور

نظرية :

الحدود كثير لمعادلة كان العادية ƒ(x) = 0إذا األمثال ذات

الشكل" من عادي غير عادية ,a, bحيث a + √bجذرا أعداد

هو , و العادي غير العدد مرافق عندئذ يكون "a - √bو جذرا

للمعادلة" أيضا

33

" غير الجذور إن العقدية الجذور حالة في كما أيضا ينتج

مثنى مثنى مترافقة هي و زوجي عددها جذور هي العادية

مثال :

معادلة تشكيل و ƒ(x) = 0المطلوب صحيحة بمعادالت

يكون بحيث ممكنة درجة لتلك 3i – 2و 5√بأصغر جذرين

المعادلة

الحل :

المرافقان يكون أن فيجب صحيحة األمثال تكون و 5√لكي2 – 3i: إذن تشكيلها نريد التي للمعادلة جذرين

x4 = 2 +3i , x3 = 2 – 3i , x2 = -√5 , x1 = √5

منه و المطلوبة المعادلة جذور هي

ƒ(x) = ( x-x1)( x-x2)( x-x3)( x-x4) = 0

34

أي

ƒ(x) = ( x - √5)( x + √5)[ x – ( 2 – 3i)][ x – ( 2+ 3i)] = 0

منه و

x4 – 4x3 + 20x – 65 = 0

ƒ(x)=

الحقيقة :–( 3-3-5) الجذور حدود

الحقيقي العدد عن للجذور Lنقول األعلى الحد أنه

لــ أكبر =ƒ(x) 0الحقيقية حقيقي جذر أي هناك يكن لم إن

الحقيقي Lمن العدد عن نقول للجذور lو األدنى الحد أنه

35

لـــ حقيقي ƒ(x) = 0الحقيقية جذر أي هناك يكن لم إن

من lأصغر

كان " Tإذا للمعادلة قسمنا ƒ(x) = 0جذرا -x( على ƒ(x)و

T( السطر أعداد جميع كانت و التركيبي التقسيم باستخدام

يكون موجبة " T = Lالثالث الحقيقية للجذور أعلى حدا

ƒ(x) = 0 يعني ال فهذا موجبة األعداد تلك تكن لم إذا أما

كون احتمال للجذور Tاستبعاد أعلى كحد

كان " t<0إذا للمعادلة قسمنا ƒ(x) = 0جذرا (على ƒ(x)و

x-T( السطر أعداد كانت و التركيبي التقسيم باستخدام

يكون عندئذ اإلشارة متناوبة " t=lالثالث للجذور أدنى حدا

لــ ال ƒ(x) = 0الحقيقية فهذا متناوبة اإلشارات تكن لم إن و

كون احتمال كون استبعاد للجذور tيعني أدنى كحد

إيجادها :–( 3-4) كيفية و العادية الجذور

36

الحدود كثير لمعادلة + ..…… + ƒ(x) = anxn + an-1xn-1يكون

a1x + a0 (1)

: " للصفر مساويا الثابت الحد كان إذا لها جذر = a0الصفر

0

مثال :

المعادلة : جذور إن

x6 – 3x4 + 2x3 = x3(x3 – 3x +2) = 0

للجذور : x1 = x2 = x3 = 0هي باإلضافة

x6 = 2 , x5 = -1 , x4 = -1

بالمعادلة x3 – 3x + 2 = 0 الخاصة

نظرية :

37

العادي العدد كان و ( p/qإذا حديه بأصغر عنه qو pالمعبر

" الحدود ) كثير لمعادلة جذرا بينهما فيما التي ƒ(x)أوليين

فيها " pفيكون a0 = 0يكون الثابت للحد qو a0قاسما

لــ" األول anقاسما الحد معامل

البرهان :

:لدينا

)1 (anxn + an-1xn-1 + ……… + a1x + a0 = 0

" an ≠ 0 , a0 0≠ حيث لكون نظرا "p/qو جذرا

فإن : للمعادلة

an(p/q)n + an-1(p/q) + ……..+ a1(p/q) + a0 = 0

ب الطرفين فينتج :qnلنضرب

38

anpn + an-1pn-1q + …...... + a1pqn-1 + a0pn = 0

أو

anpn + an-1pn-1q + ……… + a1pqn-1 = a0qn

القسمة يقبل المجموع أن األيسر للطرف بالنسبة نالحظ

فإن pعلى بالتالي لما pو و اليمين من للحد قاسم هوفإن qو pكان بينهما فيما لــ pأوليين قاسم و a0هو هذا

أن نبرهن أن يمكن األسلوب لــ qبنفس قاسم anهو

المحتمل من كان إذا ما معرفة يمكن النظرية هذه خالل من

السابقة ( للمعادلة جذر معطى ما عادي عدد يكون )1أن

" العدد يكون أن احتمال عن مثال نتساءل "3/2كأن جذرا

9x4 - 5x2 + 8x + 4 = 0للمعادلة

39

أن هنا نالحظ " q = 2و لــ قاسما أن an = 9ليس p = 3كما

" لــ قاسما أن a0 = 4ليس الممكن غير من أنه فنستنتج

المفروضة 3/2يكون المعادلة جذور أحد

العدد يكون أن المحتمل من كان إذا ما معرفة أردنا إذا أما

2/3. " السابقة للمعادلة جذراأن نالحظ للعدد 3فإننا قاسم إن 9هو للعدد 2و قاسم هو

يكون . 4 أن المحتمل من السابقة .2/3إذن للمعادلة جذور

من التي األعداد جميع معرفة في النظرية هذه تفيدنا

" الدرجة من لمعادلة جذورا تكون أن .nالمحتمل معطاة لمعامل قواسم المقام فيها يكون التي األعداد بأخذ ذلك و

األول الثابت anالحد للحد قواسم البسط فيها يكون a0و

مثال :

" جذورا تكون أن المحتمل من التي العادية األعداد حدد

للمعادلة

40

5x3 + 2x2 – x – 4 = 0

الحل :

للعدد قواسم تكون أن الممكن المقام 1 , ±5±هي 5أعداد

للعدد قواسم تكون أن الممكن البسط , ±4±هي 4أعداد

2± , 1

هي : كجذور الممكنة العادية األعداد منه و

±1 , ±2 , ±4 , ±1/5 , ±2/5 , ±4/5

مالحظة :

كان لـ an = ±1إذا الممثلة بالتالي 1±هي qفاألعداد و فقط

األعداد في متمثلة للجذور المحتملة األعداد pتبقى

الثابت للحد للمعادلة a0كقواسم كجذور المحتملة فاألعداد

41

x3 – 2x2 – 6x – 5 = 0

1 , ±5±هي

المحتملة : العادية الجذور إيجاد كيفية

كجذور" المحتملة العادية األعداد تحديد باإلمكان ألنه نظرا

الدرجة من كانت nللمعادلة إذا فيما نختبر أن نستطيع فإننا

. " طريقة لالختبار هنا سنستخدم ال أم لها جذورا األعداد هذه

تجعل التي األعداد كجذور نقبل حيث التركيبي التقسيم

. " األعداد بقية نهمل و صفرا الثالث السطر من األخير الحد

العمل . طريقة نعرض سوف التالي المثال خالل من

مثال :

42

للمعادلة : العادية الجذور جميع أوجد

X5+2x4-18x3-8x2+41x+30=0

الحل :

لكون الممكنة q=1نظرا العادية األعدد قواسم qفإن هي

الثابت التالية :a0=30الحد

1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15±30

ممكن+ :1لنختبر - كحل

1 – 2- 18- 8 41 301

1 3- 15- 23 18

3- 15- 23 18 48 1

لنختبر 1+إذن حال 2+ليس

2 – 2- 18- 8 41 30 1

43

2 8- 20- 56- 30

4- 10- 28- 15 0 1

المعطاة :x1=2إذن للمعادلة جذر

لدينا ينتج و

(x-2)(x4+4x3-10x2-28x-15)=0

جذور : عن نبحث أن يجب حيث

X4 + 4x3 - 10x2 - 28x - 15=0

كجذور : المحتملة األعداد لدينا هنا و

:3+لنختبر-

3 – 4- 10- 28- 151

3 21 33 15

44

7 11 5 0 1

لدينا :x2=3إن ينتج ثاني جذر

(x-2)(x-3)(x3+7x2+11x+5)=0

للمعادلة : الثالثة الجذور عن البحث يجب حيثX3+7x2+11x+5=0

أنه نستنتج موجبة جميعها فيها المعامالت لكون نظرا و

قواسم أن حيث و موجبة جذور األخيرة المعادلة لتلك ليس

الثالث محتملة ± 5و ± 1الحد كجذور لدينا يبقى 5-و 1-فإنه

:

:1-لنختبر-

1 – 1 7 11 5

-1- 6- 5

45

1 6 5 0

لدينا :x3=-1إذن ينتج و ثالث جذر

(x-2)(x-3)(x+1)(x2+6x+5)=0

للمعادلة األخيرين الجذرين إيجاد علينا يبقى x2+6x+5=0و

( الثابت( الحد نجد حيث المميز طريقة تطبيق و ±1يمكنالمعادلة 5± في موجبة المعامالت جميع لكون نظرا و

هم و سالبان حتما جذريها إن و x5=-5و x4 - =1نستنتج. أخيرا لدينا يكون

(x-2)(x-3)(x+1)(x+1)(x+5)=0

هي : الجذور حيث5=-5 ,x3=x4 =-1 , x2 =3 ,x1=2

:1مالحظة

و للمعادالت جذورا عموما ليست الكبيرة العادية األعداد إن

عنها . االستغناء يمكن و داية في الختبارها حاجة ال بالتالي

46

:2مالحظة

فإن الصفر يساوي معامالت مجموع كان إذا أنه الواضح من

لها+ .1العدد جذر هو

مثال :

المعادلة : جذور جميع أوجد4-3x3-4x+3=0

: الحلهي كجذور الممكنة العادية : األعداد

1, ±3 , ± 1/2, ±3/2 , ±1/4 , ±3/4

إذن الصفر يساوي المعادلة معامالت مجموع أن نالحظ x1و

حل 1=

47

1 – 4- 3 0- 4 3

4 1 1- 3

(x-1)(4x3+x2+x-3)=0

3/4 -4 1 1- 3

3 3 3

4 4 4 0

على األخيرة المعادلة يقسمة لدينا :4و يكون(x-1)(x-3/4)(x2+x+1)=0

المعادلة بقسمة :x2+x+1=0و أخيرا نجد

(x-1)(x-3/4)[x-{-1/2+i√3/2} ][x-{-1/2-i√3/2}]=0

هي : الجذور و

X1=1,x2=3/4,x3=-1/2+i√3/2,x4=-1/2-i√3/2

:3مالحظة

48

إن , العادية فجذورها المعادلة أمثال إشارات تناوبت إذا

موجبة , . أعداد هي وجدت

مثال :

للمعادلة : العادية الجذور أوجد5-32x4+93x3-119x2+70x-25=0

الحل :

إن , العادية فالجذور المعامالت إشارات لتناوب نظرا

كجذور , الممكنة األعداد بالتالي موجبة جذور هي وجدت

هي :

1,5,1/2,5/2,1/4

5/2 - 4- 32 93- 119 70 25

10- 55 95- 60 25

49

4- 22 38- 24 10 0

على الجديدة المعادلة 5/2نقسم

2- 11 19- 12 5

5- 15 10- 5

2- 6 4- 2 0

على األخير الناتج نجد : 2بقسمة

(x-5/2)(x-5/2)(x3-3x2+2x -1)=0

للمعادلة اإلشارات x3 -3x2+2x-1=0بالنسبة متناوبة نجدها

العادي . الحل إن إال موجبة تكون أن يجب العادية فحلولها

هو الوحيد الموجب أن+ , 1المحتمل نجد + 1حيث حال ليس

عادية . جذور لها ليس األخيرة المعادلة هذه أن نستنتج وو) 3-6( السالبة الجذور عدد و لالشارة ديكارت قاعدة

الموجبة :

النظيرة :–( 3-6-1) الجذور نظرية

50

كانت جذور . ƒ(x)=0إذا فإن الحدود كثير ƒ(-x)=0معادلة

لجذور النظيرة الجذور .ƒ(x)=0هي

إعطي على ƒ(x)إذا نحصل أن يمكن فإننا القياسي بشكله

الذي الحدود كثير لمعادلة النظيرة الجذور من جذوره

من عليه نحصل أن حدوده ƒ(x)=0نستطيع إشارات بتغيير

المثال في كما الثاني الحد من أعتبارا مبتدئين بالتناوب

التالي :

مثال :

جذور إن4+13x3-13x-6=0

فجذور 3/2, -2/3, -1, -1هي إذن4 -13x3 +13x -6=0

3/2 ,2/3 -1, 1-هي

51

كثير في عددها و اإلشارة التغيراتفي تعريف

:)ƒ)xالحدود

الحدود كثير في كان الحدود (ƒ(x)إذا العام بشكله المعطى

يختلفان ) متتاليان حدان لألصغر األكبر من بالقوى مرتبة

الحدود لكثير إن نقول فإننا اإلشارة .ƒ(x)باإلشارة في تغير

مثال :

الحدود كثير باإلشارة ƒ(x)=x3-3x2-4x+12إن تغيرات فيه

من األول التغيير لدينا من 3x2-إلى x3+حيث الثاني التغير و

-4x الحدود 12+إلى كثير ففيه ƒ(-x)=x3+3x2-4x-12أما

من ذلك و باالشارة واحد .4x-الى 3x2+تغير

واحد ƒ(x)=6x4+13x3-13x-6إن - تغير فيه

باالشارة .باالشارة .ƒ(x)=6x4-13x3+13x-6أما تغيرات ثالث ففيه

عند االعتبار بعين الصغرية المعامالت نأخذ ال أننا نالحظ و

التغيرات . عدد حساب

52

االشارة :–( 3-6-2) ديكارتفي قاعدة

الحدود – 1 كثر لمعادلة الموجبة الجذور عدد ƒ(x)=0إن

في التغيرات عدد إلى اما يساوي الحقيقية المعامالت ذات

منه ƒ(x)اشارة مطروحا التغيرات من العدد ذلك الى أو

للمعادلة . المركبة الجذور يمثل و زوجي عددل – 2 السالبة الجذور عدد عدد ƒ(x) إن إلى يساوي المعتبر

ل الموجبة اإلشارات ƒ(-x)] ƒ(-x) الجذور تبديل عن ناتج

ل الثاني ƒ(x)بالتناوب الحد من .[ اعتبارا

مثال :

ل وجدت إن العقدية و السالبة و الموجبة الجذور عدد حددƒ(x)=x3-3x2-4x+12

53

الحل :

ل االشارة في تغيران لدينا جذران ƒ(x) هنا إما لدينا إذن

األن : لنأخذ عقديان جذران و موجب جذر صفر أو موجبانƒ(-x)=x3+3x2-4x-12

ل إذن االشارة في واحد تغير لدينا موجب ƒ(-x)و واحد جذر

ل السالب الجذر نفسه هو .ƒ(x)و

المركبة( :3-7) الحدود كثيرات

الجبر( 3-7-1) في االساسية النظرية و العام الشكل

:

هو : المركب الحدود كثير لمعادلة العام الشكل

(!) anzn+an-1zn-1+an-2zn-2+……..+a1z+a0=0

54

أن . اليمنع وهذا عقدية أمثال هي هنا أمثال إن نالحظ حيث

هي , الحقيقية األعداد إن ذلك حقيقية معامالت بعضها يكون

أما . التخيلي القسم فيها ينعدم أيضا عدد nعقدية فهو

المعادلة . بدرجة يسمى صحيح موجبالحدود كثير بأصفار المعادلة هذه حلول أيضا أو ƒ(x)نسمي

معادلته الحدود . ƒ(x)=0بجذور كثير معادلة على تنطبق و

في رأيناها التي السابقة النظريات و القواعد أغلب العقدي

النظرية منها و الحقيقية األمثال ذو الحدود كثير معادلة

كثير معادلة لكل أن مفادها التي و الجبر في االساسية

على واحد عقدي جذر السابق الشكل من عقدي حدود

الحدود . كثير لمعادلة إن البرهان يمكن هنا من و األقل

مكررة .nالعقدي جميعها أو بعضها يكون قد عقدي جذركانت الحدود z1,z2,…………znإذا كثير معادلة جذور

كتابة) (1المركب ( نستطيع مضاريب) 1فإننا شكل على

كالتالي : خطية)2(

An(z-z1)(z-z2)……..(z-zn)=0

55

المعادلة ( كتابة استطعنا إذا بالعكس مضاريب) 1و بشكل

المعادلة )2(خطية جذور تحديد بسهولة يمكننا )1(فإنه

المركبة( 3-7-2) االمثال ذات الحدود كثير معادلة حل

عقدية) (: أو حقيقية

العادي – 1 الشكل ذات االولى الدرجة من ax+b=0المعادلة

مركبة .bو aو a≠0حيث أعدادهو و وحيد جذر أو حل لها x=-b/aو

مثال :

المعادلة : حل أوجد)1+i(x-(2-i)=0

الحل :

X=(1+i)x=(2-i)

X=2-i/1+i=(2-i)(1-i)/(1+i)(!-i)=1-3i/2=1/2-3/2 i

56

العام – 2 الشكل ذات الثانية الدرجة من المعادلة

Ax2 + bx+c =0

مركبة .a,b,cو a ≠ 0 حيث أعدادعلى المعادلة طرفي العام aنقسم شكلها فيصبح

X2 + ax +6=0

ينتج كامل مربع الى المعادلة باتمام

}x+a/2{2 + {b – a2/4}=0

ومنه :}x+a/2{2 = a2/4-b

نجد الطرفين بجذر وX+a/2=±a2/4 - b

هما جذران للمعادلة يكون وX1= -a/2+a2/4-b

X2 = -a/2-a2/4-b

57

مالحظة :

سوف الثانية الدرجة من معادلة حل عن المثال حل قبل

العقدي للعدد التربيعي الجذر إيجاد طريقة a+biندرس

نفرض حيثa+bi = u+vi

الطرفين : نربعA+bi=(u+vi)2u2-v2+2uvi=a+bi

U2-v2=a

2uv=b

في ( الطرفين نحصل) 2نربع بالجمع و

)u2-v2(2+4u2v2=a2+b2

نحصل باالختصار و)u2+v2(2=a2+b2

الطرف ألن الموجبة اإلشارة أخذ و الطرفين بجذر و

موجب حقيقي اليساري)3( a2+b2 u2+v2=

58

نجد) :3و) (2بحل (U2=1/2(a+a2+b2)

V2=1/2(-a+a2+b2)

تختلف ع للعدد قيمتين على حصلنا قد نكون بذلك و

للعدد كذلك و فقط االشارة في األخرى عن كلها vأحداهما

العالقة ( من و موجبة تربيعية ألعداد جذر ألنها حقيقية )2قيم

لدينا 2uv=6

ضرب حاصل االشارة اشارة u-vنرى تطابق أن و bيجباشارة على نحصل .vو uهكذا

مثال :

علمت yأوجد y=21-20iإذا

الحل :

نالحظ a2+b2=441+400=881=29

U2=1/2(a+a2+b2)=1/2(21+29)=25

59

V2=1/2(-a+a2+b2)=1/2(-21+29)=4

u=±5 , v=±2

أن بما سالبة b=-20و اشارتها أي21-20i=±(5-2i)

مثال :

المركبة االمثال ذات التالية المعادلة حل2-3x+(3-i)=0

b=3-i , a=-3لدينا

السابقة العالقة حسب و1,2= -a/2±a2/4-b=3/2±9/4-(3-i)=3/2±1/2-3+4i

جذر نجد -3+4iبحسابa2+b2=9+16=25=5

U2=1/2(a+a2+b2)=1/2(-3+5)=1u=±1

V2=1/2(-a+a2+b2)=1/2(3+5)=4v=±2

اشارة أن بما موجبة bو-3+4i=±(1+2i)

60

منه : وX1=3/2+1/2(1+2i)

X2=3/2+1/2(1+2i)

العام – 3 الشكل ذات الثالثة الدرجة من المعادلة

)1 (Az3+bz2+cz+d=0

على A,B,C,Dحيث نقسم مركبة )1طرفي (Aأعداد

التالي : الشكل على فتصبح )2 (Z3+AZ2+BZ+C=0

الخطوات ونتابع كردانو نتبع المعادلة هذه جذور إليجاد

التالية :

61

جديد متحول قيمة z = x + hبحيث xنفرض نعوض zو

في ( قيمة) 2الجديدة تحدد أمثال hو تنعدم x2بحيث

نجد : بالتعويض

)x + h(3 + a( x + h)2 + 6( x +h) + c = 0

x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 +ax2 + 2axh +ah2 + 6x + 6h + c = 0

نجد الجمع و باالختصار

x3 + ( 3h + a)x2 + ( 3h2 + 2ah + 6)x + ( h3 + ah2 + bh + c)

= 0

أمثال بإعدام نجد x2و

3h + a = o => h = -a/3 => z = x – a/3

(3)

62

تصبح ( بــ) (2و التعويض بعد التالي الشكل )3على

)4 (x3 + px + q = 0

p = b – a2/3 , q = 2a3/27 – ab/3 + cحيث

هما مساعدين مجهولين من) 4للمعادلة (u,vنفرض

الشكل:

) 5 (x = u+v

العالقة : تتحقق بحيث

) 6 (u.v = -p/3

العالقة ( من فنحصل) 4نعوض

u3 + v3 + 3u2v + 3v2u + p( u+v) + q = 0

63

) 7(

u3 + v3 + q + 3uv( u+v) + p( u+v) = 0

)u3 + v3 + q) + (3uv + p )(u+v = (0

المعادلة ( حل المعادلتين) 7إن حل إلى يؤدي

u3 + v3 + q = 0

3uv + p = 0

الفرض ( مالحظة ) 5مع

) 8 (u3 + v3 = -q

) 9 (u . v = -p/3 => u3v3 = -p3/27

64

من ( لمعادلة v3و u3إن) 9و) (8نالحظ جذران تحددان

حيث ( و) (8تربيعية الجذرين من) 9مجموع هي و جدائها

الشكل

w2 + qw – p3/27 = 0

" هو سابقا الحظنا كما حلها و

w1.2 = q/2 ±√q2/4+p3/27 : w1 = u3 w2 = v3

منه : و u = 3√-q/4+√q2/4+p3/27 ; v = 3√-q/2-√q2/4+p3/27

ينتج : منه و

x1 = u1 + v1 = 3√-q/2+√q2/4+p3/27+3√-q/2-√q2/4+p3/27

65

المعادلة ( جذور يحدد الدستور هذا الشرط) 4إن يحقق . uو

v = -p/3 " دوما يحسب السبب لهذا العالقة u1و من u . vثم

= -p/3 نحسبv1

التالية : العالقات من فنجدهم اآلخرين الجذرين أما

x2 = u1ε1 + v1ε2

x3 = u1ε2 + v1ε1

واحد ε2و ε1حيث الصحيح للعدد النوني الجذر من تحسب

: يلي كما

n√1 = cos 2kл/n + izin2kл/n : k = 0.1.2……

حيث ( نجد الثالث الجذر بحساب ) n = 3و

k = 0 => √1 = 1

66

k = 1 => ε1 = cos2л/3 + izin4л/3 = -1/2 + i√3/2

قيمة نحسب العالقة z3,z2,z1ثم z = x – a/3من

مثال :

اآلتية : المعادلة حل

z3 + 3z2 – 3z – 14 = 0 (1)

نفرض :الحل : القاعدة حسب

z = x – a/3 = z – 1

من ( بالتبديل المعادلة) 1و على نحصل

x3 – 6x – q = 0 : p = -6 : q = - 9

67

بحساب و

√q2/4 + p3/23 = √81/4 – 216/27 = √49/4 = 7/2

منه حيث u1نستنتج

u1 = 3√-q/2+√q2/q+p3/27 + 3√q/2+7/2 = 3√8 = 2

لحساب نجد v1و العالقة من

u1v1 = -p/3 => v1 = -p/3u = 6/3-2 = 1

منه و

x1 = u1 + v1 = 3 => z1 = x1 – a/3 = 3 + 6/3 = 5

68

x2 = u1ε1 + v1ε2 = 2(-1/2 + i√3/2) + (-1/2 - i√3/2)

=-/3+i√3/2

منه و <= z2 = x2 – a/3 = -3/2 + i√3/2 + 2 = 1/2 + i√3/2

x3 = u1ε2 + v1ε1 = 2(-1/2 - i√3/2) + (-1/2 + i√3/2) = -3/2-

i√3/2

منه و

z3 = x3 – a/3 = -3/2 + i√3/2 +2 = 1/2 - i√3/2

أن x2مرافق x3نالحظ

مثال :

x3 + 15x + 124 = 0

69

أن مباشرة q = 124 :p = 15نالحظ

منه و

u1 = 3√-q/2+√q2/q+p3/27 = 3√-62+√(62)2+125 = 3√1 = 1

العالقة : حسب و

<=u1v1 = -p/3 => v1 = -p/3u1 = -5

<=x1 = u1 + v1 = 1- 5 = -4

x2 = u1ε1 + v2ε2 = 1(-1/2 + i√3/2) - 5(-1/2 - i√3/2) = 2 +

i3√3

منه يساوي x3و

x3 = 2 - i3√3

70

مرافق x2ألنه

هامة : مالحظة

أي التربيعي الجذر ضمن ما حالة سالب q2/4+p3/27√في

يمكن : تكعيبية معادلة كل أن نعلم التالية الطريقة نتبع

الشكل إلى ردها

x3 + px +q = 0 (1)

على qو pحيث تعتمد المعادلة هذه جذور نجد و ثابتان

التالية المثلثية الخاصة

Cos3θ = 4cos3θ – 3cosθ

التالي بالشكل العالقة هذه بترتيب و

71

Cos3a – 3/4cosθ – 1/4cos3θ = 0

التكعيبية ( بالمعادلة المعادلة هذه نقارن أن يمكن و) 1وأن بما يساوي xلكن أو أصغر تكون أن الضروري من ليس

بينما المطلقة بالقيمة أن 1cosa1≤1الواحد نفرض = xلذلك

my 1حيثy1≤1 بالشكل التكعيبية المعادلة تصبح بذلك و

التالي

m3y3 + pmy + q = 0

y3 + p/m2 y + q/m30

أن نجد المثلثية المطابقة و المعادلة هذه بين بالمقارنة

Y = cosθ

(2)

72

p/m2 = -3/4

(3)

p/m3 = -1/4cos3

(4)

العالقة ( أن) 3من نجدm = 2√-p/3

المعادلة ( من أن) 4و نجد

Cos3θ = -4q/m3 = -4q/m . 1/m2 = 3q/mp

(0)

العددية للقيمة العكسي التجب نأخذ لحساب 3q/mpو

لتكن فينتج גوأن cos3Q = cos ג نستنتج و

3Q = z + 2kл : k = 0.1.2

73

<=Q = z/3 + 2kл

إذا" Q1 = z/3 => x1 = mY1 = mcosQ1

Q2 = Q1 + 2л/3 => x2 =

mY2 = mcosQ2

Q3 = Q1 + 4л/3 => x3 = mY3 = mcosQ3

مثال :المعادلة جذور أوجد

x3 – 2x + 1 = 0

الحل :

نحسب : p = -2 , q = 1نالحظ

√q2/4+p3/27 = √1/4-8/27 = √-5/108

74

التالية الطريقة لنتبع لذلك سالب الجذر تحت ما نالحظ

M = my : m=2√-p/3 = 1.633 : y = cosθ

العالقة :θحيث من تحسب

cos3θ = 3q/mp = 3/1.633-(-2) = -0.9185

لــ θلحساب العكسي التجب فينتج )0.9185(-نأخذ

cos(3θ) = cos(156.70776) <=

3θ = 156.707769 + 2kл : k = 0.1.2

θ1 = 52235933 = 52014 `

θ2 = 52014` + 2л/3 = 172.14

θ3 = 52014` + 4л/3 =292014 `

75

منه : و

x1 = my1 = mcosθ1= 1.633 + 0.6124 = 1.000049

x2 = my2 = mcosθ2 = -1618

x3 = my3 = mcosθ3 = 0.618

معادلة : شكل بأصغر x ( (ƒ =0تمرين و صحيحة بثوابت

يكون بحيث ممكنة , درجة

. العالقة لتلك جذرينالمرافقان يكون أن يجب للمعادلة الجذور هذه تكون حتى

, . تشكيلها المراد للمعادلة جذرين

ƒ(x) = a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4

76

a1 = a3 = 2 - 3i

a2 = - a4 = 2 + 3i

a0 = 1

a1 = - (a1 + a2 + a3 + a4 ) = -4

a2 = - (a1a2 + a1a3 + a1a4 + a2a3 + a2a4 + a3a4 )

a2 = 8

)3 – 4: متحوالت ) – بعدة الخطية غير المعادالتمتحول من بأكثر خطية غير معادالت جملة حل طرق إن

. ذاتها الجملة شكل على يعتمدمستعرضين بمتحولين معادلتين جملة حل ندرس سوف

. مباشرة أمثلة خالل ومن الجملة طبيعة حسب الحل طريقةذات خطية غير لمعادلة العام الشكل هو yو x متحولينإن

:

Ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0

R ƒ , e , d , c , b , aحيث

77

قيمة بإعطاء إال المعادلة هذه حل يمكن ال أنه الواضح من

فإنه بمتحولين أخرى معادلة لدينا كان إذا ولكن ألحد معينة

. الجملة حل عندئذ يمكننا: خطية إحداهما معادلتين جملة حل.1

: ألحد بالنسبة الخطية المعادلة أحدى نحل الحل طريقة

المثال في موضح هو كما الثانية في ونعوض المتحولين

التالي:: التاليتين المعادلتين جملة حلول . 4x2 + 3y2 = 16 1أوجد

5x + Y = 7 2 .

الحل :المعادلة ( ل) 2لنحل yبالنسبة

Y = 7 – 5x 3 .

في ( )1لنعوض

4x2 + 3(7 – 5x)2 = 16

صالح باال و

4 .79x2 - 210x + 131 = 0

78

, x1 = - 1X2 =

على) 2في ( x1 = + 1نعوض يكون y = 2 فنحصل و

ax2 الشكل من منهما كل معادلتين جملة حل .2+ by2 = c :

لجمع : المتحولين احد حذف من نتخلص الحل طريقة

( المعادلتين( طرحمثال:

التاليتين : المعادلتين جملة حل أوجد4x2 + 9y2 = 72 1.

3x2 - 2y2 = 19 2 .

لنضرب : ( :9ب) 2و) (2ب) (1الحل المعادلتين نجمع و8x2 + 18y2 =144

27x2 – 18y2 = 171 3.

79

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ35x2 = 315

= x1 3إذن , x2 = 9نجد ) 3من (

أجل في ) x1= 3 من :1نعوض أيضا( 9x2 = 72 – 36 = 36 منه y = ± 2و

x2 = -3 ( في : 1نعوض أيضا( 9x2 = 72 – 36 = 36 منه y = ± 2و

بالثنائيات ) الممثلة وهي حلول أربعة لدينا : x , yإذن التالية ( (3,2( ,) 3-,2-(, )

3,2-(,)3-,2)

متجانسة: احدهما معادلتين جملة حل .3

لــ المماثل الرياضي التعبير عن الذي 2x2 – 3xy + y2نقول

. متجانس انه الدرجة نفس من حدوده جميع فيه تظهرمعادلة انه عنه نقول فإننا الصفر التعبير هذا ساوى إذا

متجانسة.نقوم فإننا متجانسة معادلة المعادلتين جملة ضمت إذا

. الثانية في نعوض ثم ومن المتحولين ألحد بالنسبة بحلها

80

X2 – 3xy + 2y2 = 0 1 .

2x2 + 3xy - y2 =13 2.

الحل::1من ( لدينا)

)x – y)(x – 2y = (0

x = 2yو x = yإذن:

أجل في ( x = y من ):2نعوض

2y2 + 3y2 – y2 = 13

4y2 = 13

Y = ±

األول : y = x ± = إذن الحل ولدينا

, -( , )- , ) (

أجل في ( x = 2yمن أيضا ):2نعوض

8Y2 + 6Y2 - Y2 = 13

81

13Y2 = 13

Y = ±1

X = 2Y = ±2

: هي الحلول و(2,1-(,)2-,1)

d = ax2 + bxy + cy2 الشكل من كالهما معادلتين جملة حل .4

البعض بعضهما مع المعادلتين نعالج الجملة هذه لحل

مع المعادلة هذه نعالج ثم متجانسة معادلة على للحصول

. السابق األسلوب بنفس المعادلتين أحدىمثال:

: التاليتين المعادلتين جملة حل أوجد3x2 + 8y2 = 140 1.

5x2 + 8xy = 84 2.

الحل:بــــ الأولى بـــ 3-نضرب الثانية نجمع 5ونضرب :ثم

-9x2 - 24y2 = -420

25x2 + 40xy = 420 3.

82

_______________________________

16x2 + 40xy - 24y2 = 0

(:3نحل )

16x2 + 40xy -24y2 = 8)2x2 + 5xy - 3y2( = 0

= 8(2x - y()x + 3y = ) 0

في , ) x = 1/2yأما ( :1نعوض

y2 + 8y2 = 140

35y2 = 560

Y2 = 16 y = ±4

X = 1/2 y = ±2

: هو الحل و

)2,4- ) , ( 2- , 4(

أما في ( x = -3yو أيضا) :1نعوض27y2 + 8y = 140

35y2 = 140

83

Y2 = 4 y = ±2

إذن

x = -3y = ±6

: هو (والحل

6- , 2- ) , ( 6 , 2 (

: Y و X لــ بالنسبة متناظرة منهما كل معادلتين جملة حل.5

أنها الثانية الدرجة ومن بمتحولين المعادلة عن نقول

: كالمعادلة متحوليها بمبادلة المعادلة تتبدل لم إذا متناظرة2X2 - 3XY + 2Y2 + 5 X + 5 Y = 1

نعوض متناظرتين معادلتين جملة Yو X = U + V لحل

= U - V بشكل بعضهما مع نعاملهما و المعادلتين في

من به . V2نتخلص

مثال:: التاليين المعادلتين جملة حل أوجد

1 .x2 + y2 + 3x + 3y = 8

2 .xy + 4x + 4y = 2

84

الحل:نضع متناظرة المعادلتين من كال أن y = u - vلنالحظ

. x = u + v و الجملة في نعوض و( u + v)2 + )u – v(2 + 3)u + v( +

3)u _ v( = 8

( u + v()u – v + )4)u + v( + 4)u - v(

= 2

أيضا : أو3 .2u2 + 2v2 + 6u = 8

4 .u2 - v2 + 8u = 2

من الآن بضرب ) v2لنتخلص ذلك مع )2بـــــ( 4و :3وجمعها ينتج( 4u2 + 22u - 12 = 2)2u2 + 11u - 6( = 0

2(2u - 1 ()u + 6 = )0

: هي حلولها u = 1/2 , u = -6و

أجل في ) u = 1/2من وينتج( :4نعوضV2 = u2 + 8u - 2 = 9/4 v = ±3/2

عندما نجد : v = - 3/2و u = 1/2 إذن85

Y = u -v = -1 , x = u + v = 2

: الحلين لدينا ( 1 , -2)و ( 2 , 1)-و

أجل في ) u = -6ومن :4نعوض ينتج( وV2 = u2 + 8u - 2 = -14 v = ±i

عندما إذن : u = -6و v = iو نجد

x = u + v = -6 + i

y = u - v = -6 – i

عندما : v = - iو u = -6و نجد

X = u + v = -6 – i

Y = u – v = -6 + i

: هما الحلين و

86

- )6 + i , -6 – i (

- )6 – i , -6 + i (

تعتمد خطية غير معادالت جملة حل إن أعاله اشرنا كما

, عدة الجملة يناسب وقد الجملة لطبيعة المناسب األسلوب

: , التالي المثال قي كما لحلها أساليبمثال:

: التاليتين المعادلتين حملة حل أوجد1 .x2 + y2 = 25

2 .xy = 12

الحل:لـــــ بالنسبة متناظرة المعادلتين أن فإننا , yو xنالحظ

: يلي كما الجملة نحل أن يمكنإلى (2بـــ) 2نضرب ( نضيفها :1و على) فنحصل

X2 + 2xy + y2 =49

أو

7 x + y =

87

xو

+ y = -7

نضرب ) إلى )2بــــ( 2ثم :1ونضيفها على( فنحصلX2 - 2xy + y2 = 1

أو

x - y = 1 و x - y = -1

: التالية الجمل لدينا و = x+ y=> )4,1(الحل

7

x – y =1I

x+ y = 7II =>)3,4(الحل

x – y =-1

x + y = -7=>)4,-3(-الحل

III

x – y = 1

88

- = x + y=>)3,-4(-الحل

7IV

x – y = -1

: الحل في اخر أسلوبفي, ( x = 12/yلدينا( 2من ) :1نعوض على) فنحصل

X4 - 25x2 + 144 = 0

أو(x - 4()x - 3()x + 3()x + 4 = )0

قيم نجد هكذا لــ yو الأبعة للقيم ذلك xالمرافقة و الأخيرة للمعادلة المحققة

في ) (2بالتعويض

مثال :التاليتين : المعادلتين جملة حل أوجد

(1 )x3 – y3 = 25

(2 )x2 + xy + y2 = 19

الحل :على( :2على( )1بقسمة ) نحصل

(3 )x = y + 1

89

أو في ) على( :2نعوض نحصل و

(y + 1)2 + ) y + 1(y +y2 = 19

بالإصلاح : أو3y2 + 3y – 18 = 3) y+3()y-2( = 0

في ) بالتعويض (:3إذن

أجل حل (3,-2)-و x = -2لدينا y = -3منأجل حل (3,2)و x= 3لدينا y = 2ومن

90

محلولة غير تمارين و مسائل

حل -1 التالية المعادالت جمل من لكل إن من تأكد

توحيد طريقة و التعويض طريقة باستخدام أوجده ثم وحيد

المصفوفات : و كرامر قاعدة و المعامالت

3x1 + 2x2 = 1 x1 = -2الجواب

5x1 + 4x2 – 4 x2 = 3.5

x1 = , x2 = 2 , x3 = 3الجواب

91

x1 + 2x2 + 3x3 = 41

2x1 + x2 + x3 = 1

-x1 + 2x2 + x3 = 6

x1 = 1 , x2 = -1 , x3 = 2الجواب

2x1 – 2x2 + x3 = 6

x1 – x2 + 3x3 = 8

4x1 + 2x2 – x3 = 0

باستخدام -2 التالية المعادالت جملة حل أوجد

بتحويل , أي المنفصلة المعامالت ]I C[إلى ]A B[طريقة

x1 = 1/2 , y = -1 , z = 3/2الجواب

x – 5y + 3z = 9

2x – y + 4z = 6

3x – 2y + z = 2

92

3- " جملتي من لكل الحل قابلية أوال اختبر

باالختزال : الحل هذا أوجد ثم التالية المعادالت

للحل قابلة غير الجملة الجوابx + 2y – 3z = -1

-3x + y – 2z = -7

5x + 3y – 4z = 2

x = 3 , y = -2 , z = 1الجواب :

2x + y – 3z = 1

3x – y – 4z = 7

5x + 2y – 6z = 5

حلول -4 التالية المعادالت جملتي من لكل هل

هي : ما و الصفري الحل غير

x1 = -x2 = -x3 = aالجواب

93

2x1 – x2 + 3x3 = 0

3x1 – 2x2 + x3 = 0

x1 – 4x2 + 5x2 = 0

x1 = -3a , x2 = 0 , x3 = aالجواب

x1 – 2x2 + 3x3 = 0

2x1 + 5x2 + 6x3 = 0

5-: التالية المعادالت جمل حلول أوجد

)7/9,-2.555(و )1,1(الجواب

2x2 + y2 + 3x = 6

x – 2y = -1

مكرر )6,3(الجواب 2y2 – 3x = 0

4y – x = 6

94

)13/16,5/4(- )2,5(الجواب

y2 + 4y – 3x + 1 = 0

3y – 4x = 7

)9,-6)(6,9),(6,9),(-6,9(-الجواب

3x2 – y2 = 27

x2 – y2 = -45

)2,-4)(4,2)(4,2),(-2,-4(-الجواب

5x2 + 3y2 = 92

2x2 + 5y2 = 52

95

)4,1)(-1,-4)(21√,-0)(21√,0(الجواب

x2 + 4xy = 0

x2 – xy + y2 = 21

,3/3√)(-3/3√4,-3/3√(الجواب

96