Суродина И.В. (ИВМиМГ,ИНГиГ)

Новосибирск, 2011

Уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат:

0 0 0

0 0 02

1 1( ) ( ) ( )

U U Ur

r r r r r z z

R

IU

0

0

4 dmemdJmrJ

R

IdzrU mr

)()(2

),,( 0

0

0

0

2

0

0a

rU R 0a

zU

Z 0/ 0

rU r

z

U

z

U

rrr

Ur

rr

aaa

2

11

2 2R r z

Конечно-разностная аппроксимация

Симметризация СЛАУ (алгоритм Ю.И.Кузнецова)

Mетод сопряженных градиентов

Предобуславливатель SSOR или AINV

Плохая обусловленность матриц (вследствие сильно неравномерной сетки и большого контраста сопротивлений среды, корпус как часть среды)

Область применимости – буровой раствор (0.02 Ом м – 2 Ом м),зоны проникновения и пласты - до 4000 Ом м)

Поддерживаются произвольные наклоны скважины и сдвиги зонда на стенку скважины

Анизотропия – диагональный тензор проводимости

Перенесение наиболее трудоемкой части расчетов на графический процессор

◦ Умножение матрицы на вектор. Своя реализация для матриц специального вида. Стандартная библиотека CUSPARSE – общий подход к разреженным матрицам.

◦ Сложение векторов, скалярное произведение векторов. (CUBLAS)

Использование CUBLAS и CUSPARSE библиотек позволяет ускорить алгоритм в ~6 раз

(на GPU NVIDIA Tesla T10, 240- core,4 GB RAM и CPU Intel Xeon Quad-Core 2.66 GHz, 12GB RAM – R.Helfenstein,J.Koko. Parallel preconditioned conjugate gradient algorithm on GPU/ Jornal of Comput. and Applied Mathematics (2011),doi:10.1016/j.cam.2011.04.025 )

Эффективность метода CG зависит от предобуславливателя.

SSOR для параллельных вычислений на GPU не подходит (хотя есть некие трудоемкие подходы – красно-черная раскраска и др.)

Наиболее простой для параллельной реализации предобуславливатель Якоби не дает удовлитворительного числа итераций

Существующие подходы предобуславливания с помощью построения приближенной обратной матрицы очень трудоемки (основаны на LDU разложении обратной матрицы) или не работают для данной задачи

(incomplete Poisson preconditioner – M.Ament, G.Knittel ..)

Цель – построить легко распараллеливаемый, простой в вычислении и хорошо аппроксимирующий обратную матрицу предобуславливатель, чтобы число итераций свести к минимуму.

Решение – использовать алгоритм Хоттенлинга для исправления элементов обратной матрицы, взяв в качестве начального приближения обратной –обратные элементы главной диагонали ( Якоби)

Пусть – некоторое начальное приближение обратной матрицы

0 0R E AD

0 1R k

1 1 ,R E AD 1 0 0( )D D E R

2 2 ,R E AD 2 1 1( )D D E R

,m mR E AD 1 1( )m m mD D E R

Если

... … … … … …

0D

Теорема 1. Если начальное приближение обратной матрицы выбрано так, что

, то погрешность

Теорема 2. Если то

,TA A

0D

0 1R k 2

1

0 .1

m

m

kD A D

k

0 0

TD D

.T

m mD D

Пусть

Если , тогда

1 1 1

0 11 22{ , , , }nnD diag a a a

0 1R k

1 0 0 0( )D D D E AD

2 1 1 1 1 1 1( ) 2D D D E AD D D AD

2

2 1 0( )D D E R

3 1 1 1 1 1 1 1 1 12(2 ) (2 ) (2 )D D D AD D D AD A D D AD

2 2 2

3 1 0 1 0 1 02 ( ) ( ) ( )D D E R D E R AD E R

на GPU NVIDIA Tesla C1060, 240- core,4 GB

RAM и CPU Intel Core 2 Quad Q9300 - 2.5 GHz, 4GB RAM – получили ускорение относительно последовательного варианта в 12 раз.

Перспективы применения :

◦ Трехмерные задачи БКЗ

◦ Викиз 2D и 3D (тесты показали работоспособность подхода и в комплексном случае)

◦ Возможность улучшать другие предобуславливатели, например SSOR-AI (R.Helfenstein,J.Koko)

2D – уравнение Гельмгольца

2 2k i

22 2 2 0

02

1( ) ( )a a aE rE k E k k E

z r r r

0, 0a a

r R z ZE E

00a

rE

Конечно-разностная аппроксимация

Симметризация СЛАУ

Mетод эрмитова разложения

Предобуславливатель SSOR

Плохая обусловленность матриц

Область применимости – буровой раствор (0.02 Ом м – 2 Ом м),зоны проникновения и пласты - до 100 Ом м)

Модификация сеток позволила промоделировать влияние биополимерных растворов на показания диаграмм ВИКИЗ (наличие трещин, каверн)

Проблемы – диэлектрическая проницаемость при больших сопротивлениях и высоких частотах – матрица становится неопределенной – необходимы другие методы решения .

Диаграммы короткого зонда DF05. H= 0.03 м , hr = 0.07 м, 0.05 м; трещины

расположены в диапазоне (0.11 - 1.14 м) с шагом 0.25 м

-10

-7,5

-5

-2,5

0

2,5

5

7,5

10

12,5

15

-0.200

-0.100

0.00

0

0.10

0

0.20

0

0.30

0

0.40

0

0.50

0

0.60

0

0.70

0

0.80

0

0.90

0

1.00

0

1.10

0

1.20

0

1.30

0

1.40

0

1.50

0

1.60

0

1.70

0

1.80

0

1.90

0

2.00

0

Координата дальней приемной катушки, м

Ра

зн

ос

ть

фа

з, гр

ад

.

0.07 м

0.05 м

нормальный сигнал

положение трещин

Короткий зонд DF05. Синусоидальные каверны длиной 0.25м вдоль всей скважины,

максимальная глубина каверн 0.005 м и 0.01 м. Трещины, выходящие из «вершин» каверн, c H=

0.03 м , hr = 0.05 м располагаются на интервале (0.11 - 1.14) м

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-0.2

0000

-0.1

0000

0.00

000

0.10

000

0.20

000

0.30

000

0.40

000

0.50

000

0.60

000

0.70

000

0.80

000

0.90

000

1.00

000

1.10

000

1.20

000

1.30

000

1.40

000

1.50

000

1.60

000

1.70

000

1.80

000

Разн

ость

фаз,

гр

ад

.

0.005м

0.01м

положение трещин

положение каверн

2 2 2R x y z

0

0( ) ( )а аrot rot E E i i E i i r r r

00

02(1 )

4

k R

x

i M yE k R e

R R

00

02(1 )

4

k R

y

i M xE k R e

R R

2

0 0k i

0 0zE

Сферическая каверна в секторе (-pi/4,pi/4), радиус сферы r0/dsqrt(2), центр сферы (0,0,r0/dsqrt(2)). r0-

радиус скважины =0.108м, rho_скв=0.02 ом м, rho_пласта=100 ом м. Короткий зонд ВИКИЗ.

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-0.8

00

-0.7

80

-0.7

60

-0.7

40

-0.7

20

-0.7

00

-0.6

80

-0.6

60

-0.6

40

-0.6

20

-0.6

00

-0.5

80

-0.5

60

-0.5

40

-0.5

20

-0.5

00

-0.4

80

-0.4

60

-0.4

40

-0.4

20

-0.4

00

-0.3

80

-0.3

60

-0.3

40

-0.3

20

-0.3

00

-0.2

80

-0.2

60

-0.2

40

-0.2

20

-0.2

00

-0.1

80

-0.1

60

-0.1

40

-0.1

20

-0.0

90

-0.0

70

-0.0

50

-0.0

30

координата генератора

ра

зн

ос

ть

фа

з/г

ра

д./

df05

Винтовая скважина. Радиус цилиндра, по которому движется центр скважины= 0.025м, шаг (период) 1м и

плоская синусоида с теми же параметрами. Короткий зонд. R_скв=0.108м,Rho_скв=0.02 ом м, Rho_пл=100

Ом м

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-0.800

-0.700

-0.600

-0.500

-0.400

-0.300

-0.200

-0.100

0.00

0

0.10

0

0.20

0

0.30

0

0.40

0

0.50

0

0.60

0

0.70

0

0.80

0

0.90

0

1.00

0

1.10

0

1.20

0

1.30

0

1.40

0

1.50

0

1.60

0

1.70

0

1.80

0

ра

зн

ос

ть

фа

з /гр

ад

.

sin

vint

Радиус цилиндра, по которому движется центр скважины 0.025м, период 1м. Короткий зонд.

R_скв=0.108м,Rho_скв=0.02 ом м, Rho_пл=100 Ом м. Зонд смещен на стенку скважины.

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

-0.8

00

-0.6

50

-0.5

00

-0.3

50

-0.2

00

-0.0

50

0.10

0

0.25

0

0.40

0

0.55

0

0.70

0

0.85

0

1.00

0

1.15

0

1.30

0

1.45

0

1.60

0

1.75

0

1.90

0

2.05

0

2.20

0

координата генератора

Разн

ость

фаз/

рад

./

винт

sin

sin(центр)

Спасибо за внимание