First-Order Systems - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/meold/3_2551/425308/ACS31.pdf · อินพุทที่ให เข าไปกับระบบได 2 ... เราต

First-Order Systems

Chapter IIITransient and Steady-State Response Analysis

2

Dynamic Response

3

Introduction

Typical test signalTransient response and Steady-state responseAbsolute stability, relative stability Steady-state error

4

IntroductionTypical test signal

Step functionsRamp functionsAcceleration functionsImpulse functionsSinusoidal functionsWhite noise signals

5

Typical test signal

( ) ( ) ( )s

sFtf 1 ;t1 ==

Step functionsRamp functions

( ) ( ) 2

1 ;s

sFttf ==

6

Typical test signal

( ) ( )

( ) ( ) 22

22

;cos

;sin

ωω

ωωω

+==

+==

sssFttf

ssFttf

Sinusoidal functions Impulse functions

( ) ( ) 1 ;timpulseUnit == sFδ

7

Introduction Transient response and Steady-state response

ในระบบทั่ว ๆ ไป เราสามารถที่จะพิจารณาการตอบสนองของระบบตออินพทุที่ใหเขาไปกบัระบบได 2 แบบ คือการตอบสนองแบบคงตัว (Steady State) และการตอบสนองแบบชั่วครู (Transient Response) การตอบสนองอยางชั่วครูจะเปนสวนหนึง่ของการตอบสนองของระบบซึ่งจะเริ่มเกิดขึ้นเมือ่เกิดการเปลี่ยนแปลงอินพุท ที่เขาสูระบบ และการตอบสนองนี้จะหายไปเมือ่เวลาผานไปชวงเวลา ชวงหนึ่ง ในขณะที่การตอบสนองอยางคงตัวจะเกิดขึน้ทันททีี่มีการเปลี่ยนแปลงอินพุท ทําใหเกิดการตอบสนองเชนนัน้ตลอดไปแมวาการตอบสนองอยางชั่วครูจะหายไปแลวกต็าม

8


9

ระบบ mass-spring และการตอบสนอง

10


Time responseInitial stateFinal state

11

Introduction Absolute stability, relative stability

Absolute stabilityRelative stabilitySteady-State Error

12

Thermometer

( )( ) 1

1+

=RCssT

sTL

ฟงกชั่นถายโอนของระบบจะไดดังนี้

13

Mathematical Model of Liquid-Level System

( )( ) 1+

=RCsR

sQsH

i

ระบบจะมีฟงกชั่นถายโอน(transfer function)ดังนี้

14

Mathematical model of Rotational system driven by gears

( ) ( ) ( ) ( )tItktcNNtT 222

1

21 θθθ =−−


( )( ) kcsIs

NNsTs

++= 2

12

1

2θ

I

c

15

Mathematical model of Electrical circuit( )( )sVsVCหาฟงกชั่นถายโอน(transfer function),


( )( ) RLsLRCs

LssVsVC

++= 2

16

First-Order SystemsHydraulic Proportional-Plus-Derivative Controller

( )( ) ?=sYsZ

17


dtdzRAqRpp

qppR ρ==−→

−= 12

12

dtdzAq ρ=

( ) ( )zykppA −=− 12

อัตราการไหล q ใน dashpot

ความตานทานการไหล R ใน dashpot

จากกฎขอที่ 2ของนิวตนั

Eq.1

18


( ) ( )zykppA −=− 12

kzkydtdzRA −=ρ2

ydtdz

kRAz =+ρ2

แทนสมการที่ 1. ลงไป จะไดสมการใหมดังนี้

19


( )( ) 1

1

1

12 +

=+

=Tss

kRAsY

sZρ

( ) ( ) ( )sYssZkRAsZ =+ρ2

kRAT ρ2

=

เมือ่ระบบมีฟงกชั่นถายโอน ดงันี้

เขียนอยูในรูปของ Laplace transform

โดยที่20

First-Order Systems

21

Unit-Step Response of First-Order Systems

( )( ) ( ) ( )sR

TssC

TssRsC

11

11

+=→

+=

s1


สําหรับระบบที่มีอินพุทเปน unit-step function เทากบั

( )sTs

sC 11

1⋅

+=

22


( ) ( ) ( ) ( ) sA

TsA

sTsT

sTssC 21

11

111

11

++

=+

=⋅+

=

( )[ ] ( ) 11)(11

11 −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=+=

−=

−=

TssTsCTsA

Ts

เราตองการหาผลเฉลยของสมการดังกลาว ขั้นตอไปคือ partial fraction

[ ] ( )( ) 1

11)(

0

02 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

===

=

sTsTssCA s

โดยที่

23


( ) ( ) 111

11

+−=+

+−=

TsT

ssTssC

( ) Tt

etc −−=1

ดังนัน้ เราจะได

หาผลเฉลย Inverse Laplace transform

0for t ≥

24


( ) 632.01 1 =−= −etcและที่ t=T

C(t) = Force response + Free response จากสมการจะเหน็ไดวามีสองสวน

Steady-State response

( ) 1=tc

25


Step response26

Unit-Step Response of First-Order SystemsEx:

( )( ) 1

1

1

12 +

=+

=Tss

kRAsY

sZρ

( )( ) ( ) ( )sY

ssZ

ssYsZ

121

121

+=→

+=

Step response

ระบบ Hydraulic Proportional-Plus-Derivative Controller

โดยมีคา T=2

27


Step response

( )

( ) 21

112

1

tetz

sssZ

−−=

⋅+

=

28


Step response

( )

( ) 21

112

1

tetz

sssZ

−−=

⋅+

=

29

Unit-Step Response of First-Order SystemsEx: DC- Amplifier

Step response

( ) ( )ss

ksVsksV aa 1

11 12 ⋅+

=+

=ττ

30


( )ss

sV 115.0

102 ⋅

+=

โดยมีคา ka = 10 ; τ=0.5

Step response

31


Step response

( )

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

⋅+

=

− 5.02

2

110

115.0

10

tetv

sssV

32


Step response

( )

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

⋅+

=

− 5.02

2

110

115.0

10

tetv

sssV

33

Unit-Ramp Response of First-Order Systems

( ) ( )sRTs

sC1

1+

=

2

1s


สําหรับระบบที่มีอินพุทเปน unit-ramp function เทากบั

( ) 2

11

1sTs

sC ⋅+

=

34


( ) ( ) ( ) sA

sA

TsB

sTsTsC 1

221

2 11

11

+++

=+

=

( ) [ ] ( )T

TsT

dsdsCs

dsdA

ss

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

==

11)(

!121

00

21

เราตองการหาผลเฉลยของสมการดังกลาว ขั้นตอไปคือ partial fraction

( ) [ ] ( )( ) 1

11)(

!221

0

02

2 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=−

==

=

sTsTsCsA s

โดยที่

35


( )[ ] ( ) TsTsCTsB

Ts

Ts =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=+=

−=

−=1

2111)(1

( ) ( ) ( )111

1

2

22 ++−=−+

+=

TsT

sT

ssT

sTsTsCดังนัน้ เราจะได

( ) TtTetc Tt

−+=−


และ

36


37

Unit-Ramp Response of First-Order SystemsEx:

( )( ) 1

1+

=TssY

sZ

( )( ) ( ) ( )sY

ssZ

ssYsZ

121

121

+=→

+=

Ramp response

ระบบ Hydraulic Proportional-Plus-Derivative Controller

โดยมีคา T=2

38


Ramp response

( )

( ) 22

112

1

22

22

−+=

⋅+

=

− tetv

sssV

t

39


Ramp response

( )

( ) 22

112

1

22

22

−+=

⋅+

=

− tetv

sssV

t

40

Unit-Ramp Response of First-Order SystemsEx: DC Amplifier

Ramp response

( ) ( ) 2121

11 ssksV

sksV aa ⋅

+=

+=

ττ

( ) 221

15.010

sssV ⋅

+=

โดยมีคา ka = 10 ; τ=0.5

41


Ramp response

( )

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+=

⋅+

=

− 5.05.010

115.0

10

2.02

22

tetv

sssV

t

42


Ramp response

( )

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+=

⋅+

=

− 5.05.010

115.0

10

2.02

22

tetv

sssV

t

43

Unit-Impulse Response of First-Order Systems

( ) ( )sRTs

sC1

1+

=


สําหรับระบบที่มีอินพุทเปน unit-impulse function เทากับ 1

( )1

1+

=Ts

sC

44


( )TsT

TssC

11

11

+=

+=

เราตองการหาผลเฉลยของสมการดังกลาว ซึ่งสมการสามารถจัดรูปใหมไดดังนี้


( ) Tt

eT

tc −=1

0for t ≥

45


Impulse response

Documents

First-Order Systems - eng.sut.ac.theng.sut.ac.th/me/meold/3_2551/425308/ACS31.pdf · อินพุทที่ให เข าไปกับระบบได 2 ... เราต