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Os c il a ções
Física 2 aula 9
2o semestre, 2012
Movimento Harmônico simples:
conexão entre vibrações e ondas
Energia no pto. de equilibrio é cinética!
Energia Mecânica de um OHS é
Proporcional ao quadrado de sua Amplitude!
Energia no MHS
• Energia Mecânica Total:
2 21 1
2 2E mv kx
Energia
Cinética
Energia
Potencial
Elástica
Quando x=A ou x=-A (extremos):
2 2 21 1 1(0) ( )
2 2 2E m k A kA
x=-A
x=A
x=0
F=-kx
Quando x = 0 (ponto de equilibrio):
2 2 2
0 0
1 1 1(0)
2 2 2E mv k mv
Conservação de energia mecânica
222
2
1
2
1
2
1kAEEkxmv
Movimento harmônico simples e
oscilador harmônico
MHS e Movimento Circular Uniforme:
amplitude,frequência e periodo
cos /x A cosx A
t
cosx A t 2 f
cos2x A ft 2cos
tx A
T
A
θ
x
2 2A x
x
y v0
v
θ
z
v
x A
x
z y
ω: velocidade angular
ou
0 0 0
2sin sin 2 sin
tv v v ft v
T
0 cos2F
a a ftm
MHS e MCU
y = R cos = R cos (t)
x
y
-1
1
0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
2
http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/ClassMechanics/Circular2SHM/Circular2SHM.html
Dinâmica do MHS • Sabemos que em todo instante
F=ma
• Mas neste caso F = -kx e ma =
• Portanto: -kx = ma =
2
2
d xm
dt
2
2
d x kx
dt m Equação diferencial para x(t) !
2
2
d xm
dt
k
x
m
F = -kx
a
Dinâmica do MHS
2
2
d x kx
dt m
22
2
d xx
dt
k
m
Tentemos a solução x = Acos(t)
sindx
v A tdt
2
2 2
2cos
d xa A t x
dt
definamos
Solução do MHS
f
2
)cos( tAy
cos0 Ayt Fase!!!
)cos( tAy
cos0 Ayt
02
y
1)0cos(2
Ay
A
f/2
2
)( tAsen
?2
cos0 Ayt
02
y
1)cos(2
Ay )( tAsen
Condições iniciais & resumo
0F mggVa gVmg a
O empuxo funciona como força restauradora
“Oscilador de Arquimedes”: solução
ghAF aempuxo
Solução para um paralelepípedo oscilador
h (equilíbrio)
)]([)( tyhgAtF aempuxo
(fora do equilíbrio no instante t)
“Oscilador de Arquimedes”: solução
“Oscilador de Arquimedes”: solução
)]([)( tyhgAtF aempuxo
2
2
)]([dt
ydmtyhgAmgF a
gAyym aAym
gy a
m
gAa Freqüência do oscilador
Pêndulos
• O período não
depende da massa!
• O período depende
apenas do
comprimento do
pêndulo.
2T l g
Galileu Galilei observando as oscilações de um candelabro: relogio de precisão
http://phet.colorado.edu/en/simulation/pendulum-lab
Parentêses: sen e cos para
pequenos valores de
3 5sin ...
3! 5!
2 4
cos 1 ...2! 4!
&
Portanto para <<1,
sin cos 1 e
Dinâmica do pêndulo 2
2
dt
rdmF
lr 2
2
2
2
dt
dml
dt
rdm
mgmgsendt
dml
2
2
O sinal negativo é porque quando a aumenta, θ diminui
Dinâmica do pêndulo II
mgmgsendt
dml
2
2
l
g
22
2
d xx
dt
Comparando com o oscilador harmônico
l
g
1 1
2
gf
T L Frequência do pêndulo
Pêndulo III
• A dedução é para o limite de pequenas oscilações.
Como fica para amplitudes de oscilação maiores?
...
737280
173
3072
11
16
112 6
0
4
0
2
0 g
lT
http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum
Pêndulo, MHS e movimento periódico mas não simples
http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mathematics)
Uma questão fundamental: equivalências das massas inercial e gravitacional
gmgsenmdt
dlm ggi
2
2
lm
gm
i
g
Primeira verificação experimental foi realizada por Newton com o pêndulo!
Distinguindo as massas inercial e gravitacional teríamos:
gm
lmT
g
i2
Newton conseguiu estabelecer que
a razão entre as massas é igual a 1 para uma parte em mil
http://einstein.stanford.edu/STEP/information/data/gravityhist2.html
Tópicos adicionais
• Amortecimento
• Oscilações forçadas
• Ressonância
• Pêndulo físico
Oscilador Harmônico Amortecido
2
20
d x dxm b kx
dt dt
0
0
0
2
2
2
2
2
2
xdt
dx
dt
xd
xm
k
dt
dx
m
b
dt
xd
kxdt
dxb
dt
xdm
o
F kx bv
Queremos soluções para esta equação
MHS e MH amortecido
Oscilador Harmônico Amortecido
2
20
d x dxm b kx
dt dt
02
02
2
xdt
dx
dt
xd
onde m
kem
b 2
0
02
02
2
xdt
dx
dt
xdSolução da Eq.
Supomos a solução p tetz
zpdt
zdepz
dt
dz 2
2
2
Com derivadas
A Eq. diferencial transforma-se em eq. algébrica
02
0
2 pp
Oscilador Harmônico Amortecido,
solução..
02
0
2 ppEsta Eq.
tem solução
2
0
2
42
p
se 0
2
Temos amortecimento subcrítico
(raiz de número negativo)
4,
2
2
2
0
ip
titit
beaeetz
2
tBtAsenetxt
cos2
A solução do problema é
Tomando a parte real
ou
f
tAetxt
cos2
f
itit
AeCCeetz ,2ou
A solução subcrítica
f
tAetxt
cos2
mke
mb 2
0
4
2
2
0
http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/damped/d.htm
Amortecimento Supercrítico
02
ttt
BeAeetx
2
Podemos usar a solução diretamente
2
0
2
4
onde
Exemplo do decaimento
ttt
BeAeetx
2
Todos os regimes
Exemplo de circuitos elétricos
http://www.oz.net/~coilgun/theory/dampedoscillator.htm
O Circuito LC - Analogia mecânica
mEmvkx
22
22
ULi
C
q
22
22
vi m;L ;/1 ; kCxq
CLm
k 1
Oscilações Forçadas
Ressonância
Oscilações Forçadas
2
2 002
cosFd x
x tdt m
tFtF cos0
Força externa com
frequencia angular
Supomos uma solução da Eq. inomogênea do tipo
tietz
Solução do problema
f tAtx cos
22
0
0
m
FA
Procedendo como antes temos uma equação algébrica cuja parte
real tem como solução
onde
00
,0 ff
e
em fase fora de fase
Interpretação
(baixas frequências)
tm
Fx
dt
xd cos02
02
2
0
tm
Fx
cos
2
0
0
se
A solução está em fase com a força!!!!
Interpretação
(altas frequências)
tm
Fx
dt
xd cos02
02
2
0
se
tm
Fx
cos
2
0
A solução está em fora de fase com a força!!!!
Condições iniciais
0022
0
0 coscos f
tBtm
Ftx
0,000
t
dt
dxx
Solução geral = Solução particular + solução geral do Eq. H
B e f0 constantes arbitrárias.
Suponho que (condições iniciais)
22
0
0
00
022
0
0
000
0cos0
ff
f
m
FB
senv
Bm
Fx
0
0
0
0coscos tt
m
Ftx
ttsentd
dtt0
0
0
0
0
coscoscos
lim
É uma derivada!!
dai 00
0
0
2
ttsen
m
Ftx
Condições iniciais...
RESSONÂNCIA!!!
tm
Fx
dt
dx
dt
xd cos02
02
2
Usando a mesma técnica mostrada anteriormente, temos a solução:
22222
0
2
2
02
m
FA
f tAtx cos
f
22
0
1tg
Oscilações amortecidas
forçadas
Amortecimento fraco 0
Para 0 temos 00
4
1
2 2222
0
2
0
02
m
FA
f
22
0
1tg
Ressonância
RLC em série – Ressonância
CL XX
CL
d
d
1
LCd
1
Circuitos de sintonia
Relaxando um pouco...
http://phet.colorado.edu/sims/resonance/resonance_en.html
http://www.exploratorium.edu/snacks/coupled_resonant_pendlm/index.html
O Pêndulo Físico
• Um pêndulo é feito ao pendurar uma
vareta de comprimento L e massa m
por uma de suas extremidades.
Vamos encontrar a freqüência de
oscilação para pequenos
deslocamentos.
L
mg
z
x CM
O Pêndulo Físico...
• O torque em relação ao eixo de rotação (z) é
= -mgd = -mg(L/2)sin -mg(L/2) para
pequeno
• Nesse caso
• E portanto = I fica
L d
mg
z
L/2
x CM
I 1
3
2mL
2
22
dt
dmL
3
1
2
Lmg
d
dt
2
2
2
3
2
g
L onde
d I
Ou...
2 ImgR
I
mgR
Pêndulo físico geral
Problemas...
Pêndulo de Torção...
• Como = -k = I torna-se
kd
dt
I
2
2
d
dt
2
2
2
k
Ionde I
fio
Que é similar ao caso “massa-mola” exceto que
I tomou o lugar de m (o que não deveria provocar surpresa…).