http://kisi.deu.edu.tr/mehmet.tarakci/

1/26

Fizik ve Ölçme

Bölüm 1

Ölçme

Temel Kavramlar

Birim Sistemleri

Boyut Analizi

Uzunluk

Kütle

Zaman

Ölçme Nedir?

Ölçme

Fiziksel bir büyüklüğü ölçmek, birim olarak seçilen aynı türden bir büyüklükle karşılaştırmaktır.

Ölçme, bir fiziksel niceliğin önceden belirlenmiş bir standarda göre niceliğinin (sayısal değerinin) belirlenmesi işine denir. Önceden belirlenmiş standarda ise birim adı verilir.

Dolaylı ölçme : Bir büyüklüğü, doğrudan ölçülebilen başka büyüklükler yardımıyla hesaplanarak yapılan ölçümlerdir.

Bir cismin hızının ölçülmesi (Yer ve konum ölçülerek, konum değişiminin zaman değişimine oranlanması), bir cismin yoğunluğunun ölçülmesi (cismin kütlesi ve

hacmi ölçülerek, kütlenin hacme oranı).

Direkt ölçme : Ölçü aletleriyle doğrudan yapılan ölçümlerdir.

Ölçme işlemini iki grupta inceleyebiliriz.

Bir kalemin uzunluğunun cetvel ile ölçülmesi, sıcaklığın termometre ile yapılması, zamanın saat ile ölçülmesi.

2/26

Ölçme yaparken üzerinde durulması gereken iki önemli kavram doğruluk (accuracy) ve duyarlılıktır (precision).

Doğruluk, ölçülen fiziksel bir niceliğin, gerçek değere ne kadar yakın olduğunu gösterir.

Duyarlılık (hassasiyet), aynı büyüklüğün ölçülmesinden elde edilen iki değerin birbirine ne kadar yakın olduğunu gösterir.

Ölçme

3/26

Belirsizlik (Hatalar)

Albert Einstein genel göreleli teoreminde, uzak bir yıldızdan gelen ışığın güneş yakınından geçerken, güneşin yerçekimi alanı tarafından 1.75 arc saniye gibi küçük bir açı ile sapacağını öngörmektedir.

Newton fiziğine dayalı bir hesaplamada, bu sapmanın 0.875 arc saniye olacağını öngörmektedir.

Belirsizlik nedir? ve Neden önemlidir?

Arthur Eddington (29 Mayıs 1919): üç farklı teleskopla yapılan ölçümlerdeki sapma miktarlarını 0.86, 1.61 ve 1.98 arc saniye olarak ölçtü.

𝜃 = 1.61 ± 0.30 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑 1.31 ≤ 𝜃 ≤ 1.91

Eddington, belirsizliğe ilişkin analizine dayanarak Newton yaklaşımının, yaptığı ölçümlerle tutarsız olduğu sonucuna vardı. Genel görelilik teorisi ilk kez deneysel

testi geçti ve Albert Einstein şu anki şöhretine kavuştu.

“Hiçbir ölçüm hatasız değildir.” Burada hatadan kasıt, “yanlış” ya da “kusur” değil, “belirsizlik” tir. Kullanılan ölçüm aletinin duyarlılığı ve ölçümde izlenilen deneysel metoda bağlı olarak yapılacak ölçümün sonucu, belirli bir aralık içerisinde olacaktır.

4/26

Hata Kaynakları

Sistematik Hatalar: Kullanılan ölçüm aletlerinden, deneyde izlenilen metottan ve dış etkilerden kaynaklanır. Bu hatalar sonucu tek yönü etkiler. Sistematik hataları, deney yöntemini değiştirerek, daha hassas ölçü aletleri kullanarak ya da deney sonunda gerekli düzeltmeleri yaparak ortadan kaldırabiliriz.

Doğruluk, ölçülen değerin gerçek değerden farklılığını ortaya koyan sistematik hata ölçüsüdür.

5/26

Hata Kaynakları İstatistiksel (Rastgele) Hatalar: Ölçülen fiziksel büyüklüğün doğal davranışından kaynaklanan hatalardır. Bu hatalar sonucu çift yönlü etkiler. Ölçüm sayısını arttırarak istatistiksel hataları azaltabiliriz ve bunların ölçülen büyüklüğün doğruluğu üzerindeki etkisi istatistik analizle hesaplanabilir.

Örnek olarak, sıcaklık, elektriksel voltaj, gaz basıncı gibi ölçülen fiziksel niceliklerdeki dalgalanmalar istatistik hatalara sebep olur.

6/26

Sistematik Hatalar

Ölçmedeki belirsizlik , bir ölçme aygıtının hassasiyeti, göstergesindeki en yakın iki çizginin yarısı kadardır ve Hata olarak tanımlanmaktadır.

cm ile bölmelenmiş bir uzunluk ölçme aletinin duyarlılık sınırı Δ = 0,5 cm dir.

mm ile bölmelenmiş bir uzunluk ölçme aletinin duyarlılık sınırı Δ = 0,05 cm dir.

𝑳 = 𝟏𝟐, 𝟕 ± 𝟎, 𝟓 𝒄𝒎

𝑳 = 𝟏𝟐, 𝟓𝟕 ± 𝟎, 𝟎𝟓 𝒄𝒎

Ölçü aleti ile yapılan direkt ölçmelerdeki sistematik hatalar.

7/26

Hataların Gösterimi

𝑡 = (34.5 ± 0.7) 10−3 𝑠

𝑡 = 34.510−3𝑠 ± 2%

𝑥 = 10.3−0.3+0.7

𝑚𝑒 = 0.51099906 ± 0.000000 15 MeV/c2

𝑚𝑒 = 0.51099906 15 𝑀𝑒𝑉/𝑐2

𝑚𝑒 = 9.1093897 10−31 𝑘𝑔 ± 0.3 𝑝𝑝𝑚

Burada ppm part per million kısaltmasıdır.

8/26

Anlamlı Rakamlar (Significant Figures)

Bir ölçüm sonucunu belirtmek üzere yazılan, doğru olduğu kesin olarak bilinen ve sonuncusu tahmine dayanan rakamlar anlamlı rakamlardır.

Örnek:

a- aşağıda verilen cm ölçekli bir cetvelle ölçülen kalemin boyu nedir?

𝑳 = 𝟏𝟐. 𝟓 ± 𝟎. 𝟓 𝒄𝒎

b- Kaç anlamlı rakamla ifade edilmelidir?

3 anlamlı rakam vardır. Kırmızı olan hatmin edilen sayıdır.

9/26

Anlamlı Rakamlar (Significant Figures)

𝑳 = 𝟏𝟐, 𝟓𝟕 ± 𝟎, 𝟎𝟓 𝒄𝒎

Milimetre bölmeli bir cetvelle bir kalemin uzunluğu 12,57 cm olarak ölçülmüş olsun. Sonucun 7 rakamı milimetrenin tahmin edilen bir kesridir ve ölçüyü yaparken 8 veya 6 da okunmuş olabilir. Ama bu rakam ölçülen uzunluk hakkında bilgi vermektedir. Bu ölçümün

anlamlı rakamlarının sayısı 4 tür

Virgülün yerinin anlamlı rakamlar için hiçbir önemi yoktur. 0.0565 m 56.5 mm olarak ifade edin anlamlı rakamların sayısı üç tür.

Örnek: a- aşağıda verilen cm ölçekli bir cetvelle ölçülen kalemin boyu nedir?

b- Kaç anlamlı rakamla ifade edilmelidir?

4 anlamlı rakam vardır. Kırmızı olan 7 rakamı hatmin edilen sayıdır.

10/26

Anlamlı Rakamlar (Significant Figures)

Yani bir sayının sonunda sıfırlar yalnızca ondalık noktanın arkasında olursa önemlidir. Aksi takdirde, anlamlı olduklarını söylemek zordur. Örneğin, 8200 ölçüm sonucunda, sıfırların önemli olup olmadığı açık değildir. 8200 de anlamlı basamakların sayısı en az iki, üç veya dört olabilir. Belirsizliği önlemek için, ondalık işaretin yeri belirtilmelidir veya bilimsel gösterimi kullanılmalıdır.

Bir ölçeme sonucu verilen sayı içindeki “0” haricindeki bütün rakamlar anlamlıdır.

11/26

Anlamlı Rakamlar ve Aritmetik İşlemler

Ölçülen nicelikleri toplarken veya çıkarırken cevabın duyarlılığı, toplam veya farktaki en az duyarlılığa sahip olan terimin duyarlılığı kadar olur. Bu duyarlılık

sınırına kadar olan bütün rakamlar anlamlıdır.

Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Örnek 1.1 : 1/10 cm yakınlıkla verilen 11.67 cm, 1/100 cm yakınlıkla verilen 0.25 mm ve cm yakınlıkla verilen 7.4 cm’yi toplayalım.

Çözüm

“Toplama ve çıkarma işlemi şüpheli rakam içeren ilk sütundan itibaren yapılır.”

Toplama işlemindeki belirsizlik aralığı 1.11 olur. Bu örnekte üçüncü anlamlı rakam bile

sorgulanabilir.

11.67 ± 0.05

0.025 ± 0.005

7.4 ± 0.5

11.72

0.030

7.9

11.62

0.020

6.9

Ölçülen değerler En büyük En küçük

+ +

18.540 19.650

19.650 < l < 18.540

Verilen sayılar içinde şüpheli rakamı en büyük basamak olan sayı 7.4 cm dir. Bu nedenle işlem sonucu mm yakınlıkla verilmelidir. Yuvarlama işlemi yapılır.

Sonuç: 19.1 cm (üç anlamlı rakam vardır)

12/26

Anlamlı Rakamlar ve Aritmetik İşlemler Çarpma ve Bölme İşlemleri

“Toplama ve çıkarma işlemi şüpheli rakam içeren ilk sütundan itibaren yapılır.”

Çözüm

Hacim = (𝟐𝟓. 𝟑𝟐 𝒄𝒎) 𝒙 (𝟑𝟎. 𝟓 𝒄𝒎) 𝒙 (𝟏𝟎. 𝟏𝟐𝟑 𝒄𝒎) = 𝟕𝟖𝟏𝟕. 𝟓𝟖𝟖 𝒄𝒎𝟑

Çarpanlar içerisinde en küçük anlamlı rakama sahip olan çarpan 𝟑𝟎. 𝟓 𝒄𝒎 olandır. Buradaki anlamlı rakam sayısı 3 tür. Bu nedenle hacim

3 (veya 4) anlamlı rakamla belirtilmelidir.

Hacim = 𝟕. 𝟖𝟐 · 𝟏𝟎𝟑 𝒄𝒎𝟑 = 𝟕. 𝟖𝟐 𝒅𝒎𝟑

İşlem sonundaki kesin olan iki rakam vardır. (7... rakamları) bundan sonra gelen rakamlar belirsizdir. Ama 𝟕. 𝟖𝟐 · 𝟏𝟎𝟑

𝒄𝒎𝟑 almakla, ortalama bir değer almış oluruz.

Sonuç

7965.368 < V < 7670.456

aralığındadır.

Çarpma işlemi sonucunda en az duyarlıklı ölçülmüş çarpanın anlamlı rakamları sayısı kadarı (bazı hallerde bir fazlası) korunur.

Örnek 1.2 : Duyarlılıkları farklı ölçü aletleri ile ölçülen bir kasanın kenar uzunlukları 𝟐𝟓. 𝟑𝟐 𝒄𝒎, 𝟑𝟎. 𝟓 𝒄𝒎 ve 𝟏𝟎. 𝟏𝟐𝟑 𝒄𝒎 olduğuna göre hacmi nedir?

13/26

Anlamlı Rakamlar ve Aritmetik İşlemler

“Toplama ve çıkarma işlemi şüpheli rakam içeren ilk sütundan itibaren yapılır.”

Problem 1.1

Basit sarkacın periyodu 𝑇 = 2𝜋 𝑙/𝑔 ifadesi ile verilir.

Sarkacın uzunluğu 𝑙 = 0.24 𝑚 ve yerçekim ivmesi ise 𝑔 = 9.81 𝑚/𝑠2 olarak ölçülmüştür. Buna göre T değeri nedir ve kaç anlamlı rakamla ifade edilebilir?

Çözüm: 𝑇 = 0.0983269235922 𝑠 → 𝑇 = 𝟎. 𝟗𝟖 𝑠

Problem 1.2

Çözüm: 𝑑 = 4,80841472577010 𝑘𝑔/𝑐𝑚3 → 𝑑 = 𝟒. 𝟖 𝑘𝑔/𝑐𝑚3

Küp şeklinde bir alışımın kütlesi m = 51.2 𝑘𝑔 ve bir ayrıtının uzunluğu 𝑙 = 2.2 𝑐𝑚 olarak ölçülmüştür. Buna göre cismin yoğunluğu nedir ve kaç anlamlı rakamla ifade edilebilir?

14/26

Anlamlı Rakamlar ve Aritmetik İşlemler

“Toplama ve çıkarma işlemi şüpheli rakam içeren ilk sütundan itibaren yapılır.”

1. 𝑘 = 0.01891/𝑦 ve 𝑡 = 25 𝑦 → 𝑒𝑘𝑡 = ⋯ ?

2. 𝑎 = 483 𝑏𝑟 , 𝑏 = 73.67 𝑏𝑟 ve 𝑐 = 15.67 𝑏𝑟 → 𝑎𝑏

𝑐= ⋯ ?

3. 𝑥 = 48.1 𝑚, 𝑦 = 77 𝑚 ve 𝑧 = 65.789 𝑚 → 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = ⋯ ?

4. 𝑚 = 25.6 g , 𝑛 = 21.1 g ve 𝑝 = 2.43 g → 𝑚 − 𝑛 − 𝑝 = ⋯ ?

15/26

Hata ve Temel Kavramlar

“Toplama ve çıkarma işlemi şüpheli rakam içeren ilk sütundan itibaren yapılır.”

Mutlak Hata : Ölçülen değerin gerçek değerden farkıdır. Bir büyüklüğün gerçek değeri 𝒙, ölçülen değeri 𝒙′ ise

Mutlak hatanın tam olarak belirlenmesi çoğu kez mümkün değildir. Çünkü, ölçülen niceliğin gerçek değeri kesin olarak bilinmemektedir. Bir ölçmede yapılan mutlak

hatanın en büyük değeri, ölçü aletinin duyarlılığı ile belirlenir.

Bağıl Hata : Mutlak hatasının gerçek değere oranıdır.

𝒙 = 𝒙 – 𝒙′

Bağıl hata = 𝒙

𝒙

Örnek 1.3

Şekilde verilen ölçme işlemindeki mutlak hatayı, bağıl hatayı ve ölçme sonucunu ifade ediniz?

16/26

Yapılan ölçümlerin aritmetik ortalamasıdır. Gerçek değeri a olan bir niceliğin n defa yapılan ölçümünde elde edilen sonuçları a1, a2, a3, ..., an ise ortalama değer

Her bir ölçme sonucu ile ortalama değer arasındaki mutlak farkın aritmetik ortalaması ortalama sapma

n

a ... a a aa n321

Ort

n

a-a... a-a a-a a-aa

OrtnOrt3Ort2Ort1

aaa Ort

Ortalama değer ve ortalama sapma bulunduktan sonra sonuç aşağıdaki gibi yazılır.

Ortalama Değer ve Ortalama Sapma

17/26

Örnek 1.4 Basit bir sarkacın periyodu 1/10 s duyarlıklı bir kronometre ile 6 defa ölçülüyor ve aşağıdaki sonuçlar bulunuyor. Bu ölçme sonuçlarının ortalama değerini ve ortalama sapmasını bulunuz.

t1 = 3.6 s t2 = 3.8 s t3 = 3.6 s t4 = 3.7 s t5 = 3.1 s t6 = 3.3 s

Ortalama Değer ve Ortalama Sapma

3.56

3.33.13.73.63.8 3.6

6

t t t t t tt 654321

Ort

0.26

1.3

6

0.20.40.20.10.30.1

6

3.5-3.33.53.1-3.5-3.73.5-3.63.5-3.8 3.5-3.6

6

a-aa-aa-a a-a a-a a-aΔa

Ort6Ort5Ort4Ort3Ort2Ort1

s 0.23.5a

Ortalama Sapma :

Ortalama Değer :

olarak yazılır.

18/26

Bağıl Hataların Hesaplanması

(i) y = a + b + c y = a + b + c cbaΔcΔbΔa

yΔy

(ii) y = a - b

Mutlak hata Bağıl hata İşlem

y = a + b baΔbΔa

yΔy

(iii) y = a x b bΔb

aΔa

yΔy

bΔb

aΔa

yΔy

(iv) ba

y

(v) y = an aΔa

nyΔy

Örnek 1.6 : Kütlesi m=24.8 ± 0.2 g, hacmi V=3.6 ± 0.4 cm3 olarak verilen bir cismin öz kütlesini hesaplayınız.

Örnek 1.5 : Çapı 0.05 cm yakınlıkla 18.24 cm olarak ölçülen bir kürenin hacmini hesaplayınız.

19/26

Katı bir cisim üzerinde iki işaret çizgisi koymakla bu çizgilerle sınırlanmış tek boyutlu uzay parçasını yani bir uzunluk belirtmiş oluruz. Birimi ‘metre’ dir.

Uzunluk

1 metre : İridyum-Platin karışımından özel bir biçimde yapılmış olup Uluslar Arası Ölçüler Bürosunda saklanan metre çubuğunun iki uç çizgisi arasındaki uzunluktur.

Uluslararası metre çubuğunun yapılması ve saklanması bakımından gerekli özen gösterilmekle beraber yine de doğal afetler karşısında bozulma ve yok olma ihtimali

vardır. Bu nedenle, dış etkenlere bağlı olmayan ve her zaman tekrarlanabilen bir esasa bağlanmalıdır.

Işığın boşlukta 1/299.792.458 saniyede aldığı yoldur. (1983 ten sonra)

1970’lerde, kripton-86 lambasının yaydığı turuncu-kırmızı ışığının dalga boyunun 1,650,763.73 katı olarak tanımlandı.

Temel Kavramlar

20/26

Temel Kavramlar

Eylemsizliğin ölçüsü kütle. F = m a

Kütle

1 kilogram : Uluslararası Ölçüler Bürosunda saklanan, paslanmaya ve aşınmaya dayanıklı, İridyum-Platin karışımından, silindir biçiminde bir cismin kütlesidir.

Gravitasyonel kütle.

Birimi, SI sisteminde kilogram dır.

2

MF

r m

21/26

Temel Kavramlar

Hareketi tanımlayan büyüklüktür. Birimi Saniye dir.

Zaman

1 saniye : 1889 ile 1967 yılları arasında, ortalama güneş gününün yani gökte en yüksek noktaya ard arda eriştiği iki zaman aralığının 86400 de birine 1 s denir.

Zaman birimi yukarıdaki gibi, yerin ekseni etrafındaki dönme hareketinden yararlanarak tanımlanmıştır. Oysa bir cismin dönme hızı kütle dağılımına bağlıdır. Dağların zamanla aşınması, buz dağlarının ekvatora doğru hareketi, yerin kütle dağılımını değiştirmektedir. Bu nedenle zaman birimi saniyenin değişme tehlikesine karşı, periyotları dış koşullara daha az bağımlı olaylardan yararlanılmalıdır. Bunlara örnek, atomik titreşimlerdir

1967 den sonra, Sezyum-133 atomunun en düşük iki enerji düzeyi arasındaki elektron geçişi ile oluşan elektromanyetik dalganın 9,192,631,770 defa titreşim yapması için geçen süredir. (periyodun)

22/26

Temel ve Türetilmiş Birimler

Bütün fiziksel ölçmeleri tanımlamak için gerekli bilinen 7 temel fiziksel özellik vardır. Bu özellikler boyut olarak tanımlanmaktadır ve bunların birimlerine temel birimler denir.

Her büyüklük veya miktar ölçü sayısı ve birim olmak üzere iki kısımdan ibarettir ve bu iki kısım birbirinden ayrılmaz.

SI Uluslararası Birim Sistemi (Le Systeme International d’Unites)

Diğer fiziksel niceliklerin birimleri bu temel birimlerden türetilebilir. Bu birimlere türetilmiş birimler denir. Örnek: Newton, Joule vb.

Büyüklük

Uzunluk

Kütle

Zaman

Sıcaklık

Elektrik Akımı

Parçacık Sayısı

Işık Şiddeti

Birim

Metre

Kilogram

Saniye

Kelvin

Amper

Mol

Kandil

Sembol

m

kg

s

K

A

moll

cd

23/26

Birim Sistemleri

Bugün fen ve mühendislikte yaygın olarak iki birim sistemi kullanılmaktadır.

SI (Systeme International - Uluslararası Birim Sistemi)

Temel Birimler

Nicelik Birim Sembol

Uzunluk

Kütle

Zaman

metre

kilogram

saniye

m

kg

s

Temel Birimler

Nicelik Birim Sembol

Uzunluk

Kütle

Zaman

santimetre

gram

saniye

cm

g

s

cgs (santimetre-gram-saniye) mutlak birimler sistemi

Not: Gravitasyonel “m kgk s” sistemi : Temel birimleri uzunluk için metre, kuvvet için 1 kg kütleye Paris’te etkiyen yer çekimi kuvveti ve zaman için saniyedir.

24/26

Büyüklükler (alt ve üs katlar)

25/26

Boyut Analizi

Hızın boyutu nedir? Örnek 1.6

Boyut, bir fiziksel niceliğin doğasını gösterir. Boyut analizi, boyutların cebirsel nicelikler olarak ele alınabileceği gerçeğine dayanır.

Temel Birimler

Nicelik Boyut Sembolü

Uzunluk

Kütle

Zaman

L

M

T

Kinetik Enerjinin boyutu nedir? Örnek 1.7

T

Lv

smvHız =

Alınan yol

Zaman

2

2

s

mkgE2mv

2

1E

2

2

T

MLE -2 2

E ML T

26/26