UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO

MEHANIKA TIROV SOND PO OSONČJU

Seminar 20082009

4 letnik

Avtor Jure Koprčina Mentor Dr Tomaž Zwitter

Povzetek Da bi lahko raziskovalne sonde dosegle druga nebesna telesa Osončja so potrebni

manevri ki sonde pripeljejo do ciljnih nebesnih teles Predstavljene metode so Hohmannova ter bi-eliptična transportna orbita gravitacijska frača ter prenos po medplanetarnem transportnem omrežju ter primerjava metod in njihova uporabnost

Ljubljana november 2008

Kazalo 1) Uvodhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip3

2) Osnovehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip3

3) Hohmannova prenosna orbitahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip4

4) Bi-eliptična prenosna orbitahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip6

5) Gravitacijska fračahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip8

6) Medplanetarno transportno omrežjehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip12

7) Zaključekhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip18

8) Literaturahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip18

2

1 Uvod

Mehanika orbit se ukvarja z gibanjem raket in ostalih vesoljskih plovil To gibanje se ponavadi računa iz Newtonovih zakonov gibanja Medtem ko se nebesna mehanika ukvarja večinoma z gibanjem večjih teles Osončja ndash planetov njihovih lun asteroidov kometov - je mehanika orbit veja nebesne mehanike ter se ukvarja s tem kako bi spravili vesoljska plovila od enega večjega telesa Osončja do drugega da bi ga lahko raziskali

2 Osnove

Vsako telo ki je veliko lažje od Sonca in se giblje le pod njegovim gravitacijskim vplivom se giblje po orbiti kjer oddaljenost od Sonca r določa enačba [1]

θθ

cos1)(

ea

r+

= a

bae22 +

= (1)

kjer a- velika polos in b ndash mala polos elipse e pa ekscentričnost ali sploščenost orbite

Kot θ merimo od Soncu najbližje točke Tam je 0=θ in velja Ta

točka se imenuje perihelij Nasprotno se točka kjer je telo najdlje od Sonca (

)1( earPER minus=

2πθ =

) imenuje aphelij Če sonda kroži okoli Zemlje se bosta ti točki imenovali perigej in apogej (Gea = Zemlja) [2]

)1( earAP +=

Polna energija plovila je seštevek kinetične in potencialne energije

aGMm

rGMmmvE

22

2

minus=minus= (2)

Največjo hitrost ima sonda v periheliju ee

aGMvper minus

+=

11

najmanjšo pa v afeliju ee

aGMvapo +

minus=

11

Ker ponavadi sondo pošiljamo z Zemlje je normalno predpostaviti da je začetna

orbita kar orbita Zemlje Ponavadi predpostavimo da je Zemljina orbita krožnica saj ima zelo nizko ekscentričnost (e=0017) V tem primeru je velika polos elipse 2a kar enaka 2r Cilj sonde pa so navadno planeti ki pa se nahajajo v približno krožnih orbitah na različnih oddaljenostih od Sonca Torej hočemo sondi toliko spremeniti orbito da bo afelij nove orbite dosegel orbito ciljnega planeta (oziroma če hočemo doseči Soncu bližje planete ndash Merkur in Venera bo zdaj začetna točka nove orbite v afeliju končna pa v periheliju kjer se tudi nahaja cilj) Če hočemo vtiriti sondo okoli ciljnega planeta je na cilju treba zaradi različnih hitrosti še enkrat popraviti orbito sicer bo sonda planet samo obšla

3

Nebesno

telo Velika polos a

[ae] Orbithitrost

[kms] Orbit

Perioda [let]Masa [MZ]

Ekscentričnost orbite

Merkur 0387 479 024 006 0206 Venera 0723 350 062 082 0007 Zemlja 1000 298 100 100 0017 Mars 1524 241 188 011 0093 Jupiter 5203 131 1186 3178 0048 Saturn 9539 967 2946 952 0054 Uran 1918 684 8401 146 0047 Neptun 3006 54 1648 172 0009

Table 1 Poglavitne lastnosti planetov Osončja [2]

1 ae=150109 m MZ=5941024 kg

Skušamo torej povečati ekscentričnost orbite sonde tako da bi čimbolj dvignili aphelij Iz praktično krožne orbite želimo torej čimbolj sploščeno V kolikor je pri tem polna energija sonde konstantna je dosegljiv afelij minmax 2 rar minus= kjer je a začetna oddaljenost od Sonca (na krožnici) pa je perihelij ki je zaradi bližine Sonca navzdol omejen (ne samo da se nočemo zaleteti v Sonce zaradi njegove vročine se mu tudi ni priporočljivo preveč približati saj bi lahko scvrlo občutljive inštrumente in morebitno posadko) Tako vidimo da je ta način nepraktičen saj je afelij omejen potrebujemo pa velik

minr

vΔ

3 Hohmannova prenosna orbita Glede na to da manever potiska vΔ traja maksimalno nekaj minut sam polet pa

je zelo dolgotrajen (samo do Lune potrebujemo nekaj dni čas do ostalih planetov pa merimo v mesecih in letih) lahko manever potiska smatramo kot trenuten kar olajša nadaljno računanje Ker nas zanima oblika novonastale orbite po manevru za trenutek pozabimo da je sonda v bližini Zemlje in privzamimo da je le pod gravitacijskim vplivom Sonca Ko na sondi prižgemo motorje ji damo s tem potisk ki ji spremeni hitrost za Z danim potiskom vΔ vΔ sondi najbolj dvignemo afelij če hitrost povečamo v smeri hitrosti sonde S tem se poveča velika polos a v največji možni meri ker najbolj povečamo vrtilno količino poleg tega s s sunkom v tej smeri najbolj povečamo ekscentričnost orbite S tem smo tudi v največji možni meri povečali polno energijo

sonde torej smo po enačbi 22

3

4πGM

Ta

= s povečanjem a podaljšali tudi periodo P Ker je

perihelij orbite na mestu manevra potovanje traja polovico te periode Orbiti kjer damo sondi v začetni točki potisk v isti smeri kot se giblje sonda in

ki povezuje začetno in končno orbito pravimo Hohmannova prenosna orbita [2]

4

(po Nemcu Walterju Hohmannu ki je manever opisal leta 1925) Ta orbita je v bistvu polovica eliptične orbite ki ima v periheliju enako oddaljenost od Sonca kot Zemlja v apheliju pa enako oddaljenost kot ciljni planet Ker je v afeliju lahko hitrost sonde veliko manjša kot krožilna hitrost ciljnega planeta moramo sondo še enkrat pospešiti z drugim potiskom ki bo sondo s Hohmannove orbite prestavil na novo krožno orbito Zdaj smo na isti orbiti kot ciljni planet Če je sonda blizu planeta bo seveda čutila njegovo gravitacijsko silo zato moramo njeno hitrost prilagoditi tako da se bo utirila okoli planeta sicer bo padla na planet in bo izgubljena

vprimeΔ

Na enak način lahko prenesemo sondo iz Soncu bolj oddaljene orbite v Soncu bližjo orbito (z Zemlje recimo na Venero) najprej sondi odvzamemo hitrost da pade na Hohmannovo orbito v periheliju pa ji ponovno odvzamemo hitrost da se utiri na krožno orbito na enaki oddaljenosti kot je ciljni planet

Če iz enačbe za polno energijo (2) izpostavimo hitrost dobimo

)12(2

arGMv minus= (3)

kjer je v hitrost orbitirajočega telesa gravitacijska konstanta

masa Sonca r je oddaljenost sonde od Sonca a je velika polos eliptične orbite [2] Iz tega dobimo oba potrebna za Hohmannovo orbito

2311 10676 kgsmG minussdot=kgM 30102 sdot=

vΔpotrebna sprememba hitrosti v periheliju

)12(21

2

1

minus+

=Δrr

rr

GMvP (4)

in potrebna sprememba hitrosti v apheliju

)21(21

1

2 rrr

rGMvA +

minus=Δ (5)

kjer sta radij nižje orbite in hkrati perihelij Hohmannove orbite ter ki je radij višje ležeče orbite in istočasno aphelij Hohmanna

1r 2r

Čas ko se bo telo nahajalo v Hohmannovi orbiti (vseeno ali gremo v višjo ali

nižjo orbito) dobimo iz Keplerjevega tretjega zakona in je

GMrr

GMat H

H 8)(4

21 3

2132 +== π

π

(6)

kjer je aH dolžina velike polosi Hohmannove prenosne orbite

5

bull Primer recimo da hočemo spraviti satelit iz nizke orbite okoli Zemlje (višina nad

Zemljo je 300km torej je kmr 66781 = ) v geostacionarno orbito ( km ) Na nižji orbiti je krožilna hitrost 773 kms na višji orbiti pa je 307 kms Za ustrezno eliptično orbito pa velja da je hitrost v perigeju 1015 kms in 161 kms v apogeju Torej sta potrebna v

r 421642 =

Δ 1015 kms minus 773 kms = 242 kms in 307 kms minus 161 kms = 146 kms skupno torej 388 kms

Figure 1 Hohmannov prenos na začetni krožnici (1) povečamo hitrost da sonda preide na eliptični

tir (2) Ko je v afeliju jo z dodatnim popravkom hitrosti vtirimo na novo krožnico (3) [2]

4 Bi-eliptična prenosna orbita

Čeprav je Hohmannova orbita skoraj vedno najbolj ekonomski način da pridemo iz ene krožne orbite v drugo obstajajo situacije kjer je bieleptični prenos še bolj ekonomičen še posebej ko je velika polos končne orbite več kot 12 krat večja kot tista na začetni orbiti [3] Bieliptični prenos je sestavljen iz polovic dveh različnih eliptičnih orbit Iz začetne orbite damo sondi ki sondo ponese na eliptični orbiti ki sega veliko dlje kot druga krožna orbita do aphelija Tam se ponovno vklopijo motorji in dodaten ∆v spremeni tirnico sonde tako da je sicer še vedno eliptična vendar se zdaj perihelij dotika ciljne krožne orbite Ko torej sonda pride po eliptični orbiti do perihelija moramo z motorji spet popraviti hitrost in sonda se vtiri na novo krožno orbito

vΔ

6

Figure 2 Bi-eliptični prenos iz začetne krožnice (1) sondo pošljemo na eliptični tir V afeliju (2)

majhne popravek hitrosti in sonda je na novi eliptični tirnici v novem periheliju (3) vtiritev v novo krožnico [3]

Če spet poračunamo kolikšni prispevki hitrosti so potrebni

Prvi sunek 010

12

rGM

aGM

rGMv minusminus=Δ V najbolj oddaljeni točki sondi povečamo

hitrost za 12

222

aGM

rGM

aGM

rGMv

bb

minusminusminus=Δ Zadnji popravek je na končni krožni

orbiti kjer moramo sondo zaustaviti 2

32

aGM

rGM

rGMv

kk

minusminus=Δ kjer sta in

veliki polosi obeh eliptičnih orbit in sta podani z

1a

2a21

br rra

+= in

22bk rr

a+

=

Kot pri Hohmannovi orbiti je čas ko je sonda na prenosni orbiti ravno polovica periode za celo eliptično orbito Torej moramo samo sešteti časa za vsako polovico

eliptičnih orbit GMat

31

1 π= in GMat

32

2 π= in je torej čas prenosa 21 ttt +=

bull PRIMER Da bi spravili sondo iz nizke krožne Zemeljske orbite z km na novo krožno orbito z km

r 67000 =rr 9380014 01 == bi s Hohmannovim prenosom

morali sondi dati vΔ =282434+130838=413272 ms Če pa bi sondi najprej dali sunek 306031 ms in jo s tem spravili v novo orbito s apogejem pri

km ji v apogeju dali nov sunek 608679 ms kar bi jo spravilo na novo eliptnično orbito s perigejem na km

rr 26800040 02 ==rr 9380014 01 == kjer bi jo končno

še malo zaustavili in sicer z vΔ =447554 ms kar bi sondo spravilo v končno krožno orbito Potem bi skupen vΔ bil v primerjavi z Hohmannovim prenosom malo manjši v konkretnem primeru 1618ms kar se sicer ne sliši veliko vendar je pri vesoljskih poletih vsakršno varčevanje z gorivom pomembno

Še primerjava časov Hohmannovega in bi-eliptičnega prenosa za konkretni primer bi z Hohmannovim prenosom sondo prestavili v 15 urah in pol medtem ko bi za bi-eliptični manever potrebovali okoli 74 ur Pri medplanetarnih poletih so seveda časovne razlike še

7

toliko večje so pa tudi prihranki goriva večji Tukaj se potem pač odločamo kako zelo se nam mudi spraviti satelit v novo orbito oziroma koliko goriva hočemo prihraniti

Popravek orbite Hohmannov prenos ∆v (ms) Bi-eliptični prenos ∆v (ms)

1 282434 306031 2 130838 608679 3 - 447554 Σ 413272 411654

Tako Hohmannova kot bi-eliptična orbita pa imata to slabost da ostaneta v isti

ravnini kot kroži Zemlja okoli Sonca čeprav nekateri planeti krožijo okoli Sonca pod drugače nagnjenih ravninah (recimo ravnina Plutona je za 13ordm nagnjena glede na Zemljino) Torej je najprej potrebno smer vrtilne količine spremeniti za 13ordm in še potem opraviti Hohmannov manever Energijsko še bolj potratne so misije ko je treba sondo vtiriti v polarno orbito recimo okoli Sonca

5 Gravitacijska frača Vse do zdaj nismo upoštevali da imajo planeti lastno gravitacijsko privlačnost Vendar lahko z upoštevanjem gravitacijske sile planetov dosežemo še druge manevre ki nam dovoljujejo še bolj ekonomične polete sond Recimo v primeru sonde Cassini ki so jo izstrelili leta 1997 in jo poslali proti Saturnu Po prejšnjih metodah bi ji morali povečati hitrost za 10 kms čas potovanja pa bi bil šest let Namesto tega so ji povečali hitrost le za 4 kms jo poslali na zapleteno orbito ki je vključevala 2 preleta mimo Venere prelet mimo Zemlje in še en mimo Jupitra Na tak način se je vtirila okoli Saturna leta 2004 le eno leto kasneje kot bi prišla na Hohmannovi orbiti ki potrebuje veliko več goriva [4]

Figure 3 Trajektorija sonde Cassini mimo večih planetov [5]

8

Glavna lastnost tega manevra je da planet spremeni sondino hitrost relativno na

Sonce čeprav se ohranja hitrost sonde relativno na planet namreč za sistem sonda-planet se morata ohranjati gibalna količina in energija ndash gravitacija planeta le spremeni smer hitrosti sonde Ko sta sonda in planet še toliko oddaljena med seboj da še ni znatnega medsebojnega vpliva se gibljeta s hitrostjo invv in inV

v po preletu pa z in outvv

outVv

Ker sistem ohranja gibalno količino velja

outoutinin VMvmVMvmvvvv +=+ (6)

kjer sta m in M masi sonde oziroma planeta Enačba se preuredi v

)( outininout vvMmVV vvvv

minus=minus Zaradi velike razlike v masah (sonda tipično tehta nekaj 100

kilogramov do nekaj ton planeti pa od 1024 do 1027kg) je razmerje mas mM zanemarljivo majhno 10-21mdash10-24 zato lahko brez problema zapišemo

VVV outin

vvv== (hitrost planeta se ne spremeni z natančnostjo vsaj 10-21) Sonda torej

zanemarljivo malo vpliva na gibanje planeta prelet Galileja je recimo upočasnil Zemljo za slabi 2 milijardinki centimetra na leto S preletom torej ne dobimo hitrosti iz nič ampak je vpliv na planet tako majhen da ni merljiv Kot smo prej videli se hitrost sonde glede na planet ne spremeni spremeni se le smer hitrosti inout uu vv = To je lepo vidno v sistemu kjer miruje planet Če se zdaj preselimo v sistem kjer miruje Sonce pa vidimo da se hitrost sonde transformira kot Vuv outinoutin

vvv += Torej lahko zapišemo da planet s svojo gravitacijo spremeni smer hitrosti sonde zaradi tega pa se sondi spremeni velikost hitrosti relativno na Sonce

Figure 4 shema gravitacijske frače - Puščice kažejo smeri potovanja sonde pred in po srečanju s planetom dolžina puščic predstavlja hitrost sonde Na prvi sliki gledamo iz vidika mirujočega planeta na drugi pa iz sistema kjer miruje Sonce [4]

9

Ker se gibalna količina ohranja imamo opravka s

sipanjem sonde na planetu ohranitev energije pa nam zagotovi da je sipanje oziroma trk elastično Določimo α oziromaαprime kot kota med smerjo planeta V

v in smerjo sonde

oziroma kot β pa naj bo odklon sonde relativno na planet oziroma kot sipanja v sistemu kjer planet miruje Velja

invv outvv

)sin(sinsin

)cos()cos1(cosβαβα

βαβαminus+=prime

minus+minus=prime

inout

inout

vVvvVv

(7)

Ugotovimo da ob izbranih parametrih )( αVvin hitrost narašča s kotom β Maksimum doseže pri kotu

outv

maxββ = ki je v zvezi

Vvin

minusαα

cossin

vin

=βtan max (8)

ko je 0=primeα oziroma ko je vzporeden z Voutvv

v

Figure 5 Sprememba kota α v α prime po preletu mimo planeta

Po maksimumu z outvv β spet pada

za inout vv = max0 2βββ == Vidimo pa da obstaja simetrija kar pomeni da dobimo enako spremembo hitrosti pri dveh različnih kotih

21β ki sta v zvezi max21 2βββ =+ Načeloma je bolj priljubljen manjši sipalni kot da se izognemo morebitnemu vplive atmosfere planeta Za kote 0ββ gt je sonda izgubi hitrost Recimo pri kotih

inout vv ltdegminus== 301ββ

ter deg== 1922ββ je razmerje 750=in

outv

v

To seveda uporabljamo za zaviranje sonde

Figure 6 Odvisnost Vvout od β za

deg== 4051 αVvin [4]

10

Relativni potiskin

outv

v je navzgor neomejen (čeprav redko prekorači vrednost 2)

absolutni potisk pa je za primer točkastega planeta navzgor omejen z 2V Ker pa smo omejeni z začetnimi parametri (

inout vv minus

invα ) zaradi medsebojnega položaja Zemlje in planeta v času izstrelitve sonde Večinoma se pri gravitacijski frači govori o pridobljeni hitrosti sonde čeprav je včasih pomembneje da s preletom spremenimo sondi smer Če pogledamo primer sonde Voyager ndash ta je že po preletu Jupitra imel dovolj visoko hitrost da bi lahko ušel iz Osončja in torej dosegel tudi katerikoli planet vendar mu vsa ta hitrost ne pomaga čisto nič če ne prileti mimo svojega cilja Zato je bilo sondo na vsakem planetu še pravilno preusmeriti Vsak dodaten potisk ob prehodu mimo planeta pa je še dodatna dobrodošla posledica ki je skrajšala potovanje Prej smo videli na primeru sonde Cassini ki je v primerjavi z Hohmannovim prenosom raquozamudilalaquo eno leto na račun manjšega potiska Voyager bi do Neptuna potreboval 30 let in ogromno goriva z večkratno uporabo gravitacijske frače pa je tja z manjšim potiskom potreboval zgolj 12let Šele tukaj vidimo pravo moč gravitacijske frače Tukaj je pomembna razlika da se pri Hohmannovem prenosu lahko vtirimo okoli Neptuna medtem ko je Voyager na svojem potovanju nabral tolikšno hitrost da je mimo Neptuna samo odbrzel Za zaustavitev bi bile spet potrebne velike spremembe hitrosti

Žal pa je potrebne čase za dosego ciljnih planetov zdaj veliko težje računati saj moramo poznati hitrost sonde ko pride do vmesnega planeta ter točen kot sipanja da lahko dobimo novo hitrost in smer itd

Figure 5 Pot sonde Voyager 1 ko je obiskala večino zunanjih planetov Osončja [4]

11

6 Medplanetarno transportno omrežje Gibanje sonde postane še posebno zapleteno če nehamo obravnavati polet sonde kot več ločenih problemov dveh teles (sonda se giblje okoli Sonca sonda se giblje okolimimo planeta) ampak polet obravnavamo kot problem treh teles (ali še huje- večih teles) Pri problemu treh teles gledamo gibanje zanemarljivo lahkega telesa v okolici dveh masivnih teles in res je masa sonde v primerjavi z masami Sonca in planetov zanemarljivo majhna Izkaže se da problem treh teles analitično ponavadi ni rešljiv torej ga moramo reševati z numeričnimi metodami Vseeno pa je bilo ugotovljenih nekaj pomembnih stvari Izkazalo se je da v okolici dveh teles z znatno maso ki krožita drugo okoli drugega obstajajo v prostoru točke v katerih se telo z zanemarljivo maso ndash recimo satelit ali vesoljska postaja ali asteroid ndash giblje tako da se njegov položaj glede na prvi dve ne spreminja S problemom sta se med prvimi ukvarjala Euler in Lagrange Slepi Euler je samo z računanjem na pamet odkril tri take točke Lagrange pa s temeljito analizo še dve dodatni Teh pet točk danes imenujemo Lagrangeove točke

Poglejmo recimo na primer sistem Zemlje in satelita Kot vemo sta obhodni čas in hitrost vsakega telesa ki kroži okoli Zemlje določena z njegovo oddaljenostjo od središča Zemlje Če upoštevamo še gravitacijo Lune imamo gravitacijsko silo Zemlje ki vleče proti težišču Zemlje ter gravitacijsko silo Lune ki vleče proti centru Lune Če satelit v nekem trenutku leži nekje na zveznici med središčema Zemlje in Lune bosta ti sili nasprotno usmerjeni zato se bo satelit ki leži med Zemljo in Luno gibal tako kot da bi nanj delovala za Lunino težnost zmanjšana težnost Zemlje Drugače povedano giblje se z obhodnim časom kot da bi navidezno krožil okoli središča Zemlje na večji oddaljenosti od dejanske Če je ta navidezna razdalja natančno enaka razdalji med Zemljo in Luno satelit okoli prve kroži z obhodnim časom ki je enak obhodnemu času Lune kar pomeni da bo vedno na zveznici med Zemljo in Luno Takrat je v 1 Lagrangeovi točki navadno imenovani L1 Leži bliže Luni kot Zemlji na 84 razdalje med njima Na podoben način bi lahko našli še L2 točko (za Luno) in L3 točko (leži na nasprotni strani Zemlje kot Luna) Preostali dve točki L4 in L5 ležita na Luninem tiru tako da je kot med zveznicama med Luno in Zemljo ter satelitom 60ordm torej sta na enaki oddaljenosti od Zemlje kot od Lune Okoli Zemljine L1 točke (med Soncem in Zemljo) trenutno kroži satelit SOHO ki opazuje Sonce in heliosfero ker z nje njegovega pogleda na Sonce nikoli nič ne zastre v Zemljini L2 pa je recimo Wilkinsonova postaja za merjenje anizotropije mikrovalovnega sevanja vesolja (WMAP) s katero se raziskujejo lastnosti velikega poka in vanjo bodo v prihodnosti utirili recimo tudi satelit Gaio

12

Figure 6 Zemljine Lagrangeove točke [6]

Nahajališča Lagrangeovih točk zapišemo jih v sistemu v katerem obe masivnejši

telesi mirujeta in je masivnejše telo (navadno Sonce) v izhodišču manj masivno pa na x-osi na oddaljenosti R Točke so v [7]

L1 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

MMR

L2 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

MMR

L3 )01251(

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminus

MMR

L4 in L5 )23)(

2(

21

21 RMMMMR

plusmn+minus

L4 in L5 sta stabilni točki kar pomeni da sondo ki se nahaja v njiju rahlo

zmotimo se bo ta samo vrnila v začetno točko (v kolikor je perturbacija majhna) Istočasno to pomeni da se počasna telesa lahko ujamejo v ti dve točki oziroma potujejo okoli njiju In res je bilo v bližini Jupitrovih L4 in L5 točkah odkrito večje število asteroidov ki zdaj potujejo z enako periodo kot Jupiter okoli Sonca

13

Figure 7 Odkriti asteroidi v L4 in L5 Jupitra [6]

Po drugi strani pa so L1 L2 in L3 nestabilne točke Ob najmanjši gravitacijski

motnji bi sondo ki se nahaja v kateri od njih odneslo iz Lagrangeove točke Zato je treba satelitom ki so v teh točkah vsake toliko časa vključiti motorje da jo vrnejo na pravo mesto

Izkazalo pa se je da je potrebno zelo malo energije da sondo spravimo iz ene nestabilne L-točke v drugo [8] Če želimo vtiriti sondo v Lunino L1 točko je za to potrebna hitrost 49kms Če pa bi sedaj hoteli sondo od tam poslati v recimo Zemljino L2 točko bi bila za to potrebna dodatna hitrost le 0014 kms (50kmh) (Spomnimo se da je Lunina L1 točka od Zemlje oddaljena 322500 km (okoli 86 razdalje med Zemljo in Luno) Zemljina L2 pa 1500000 km) Očitno se da z zelo majhnimi spremembami hitrosti priti zelo daleč praktično do vseh planetov Tako je v Osončju pravo omrežje takšnih poceni povezovalnih poti čemur so dali ime Medplanetarno prenosno omrežje (Interplanetary Transport Network - ITN) ali tudi Medplanetna avtocesta (Interplanetary Superhighway - IPS)

Odkritje tega omrežje temelji na delu Poincareja ki se je z tem problemom okvarjal ob koncu 19 stoletja Ta je med drugim odkril da je analitično nemogoče natančno izračunati poti teles ki se začenjajo v bližini neke nestabilne Lagrangeeve točke Poglejmo to malo podrobneje

14

Enačbe gibanja [9] Če sta M1 in M2 masi večjih teles in

zapišemo21

2

MMM+

=μ iščemo enačbe gibanja za točkasto telo v okolici dveh masivnih

teles v rotirajočem sistemu kjer prvo telo v točki (-μ0) drugo pa v (1- μ0) Lahko tretje telo naj bo v točki (xy) in naj bo oddaljenost do prve in druge mase r1 ter r2 Potem velja

221 )( yxr ++= μ ter 22

2 )1( yxr ++minus= μ Potem je gravitacijska potencialna energija tretjega telesa

21

1)(rr

yxV μμminus

minusminus= (9)

Kinetična energija tretjega telesa je

[ ]22 )()(21)( xyyxyxyxK ++minus= ampampampamp (10)

in Lagranžijan tretjega telesa je potem

)()()( yxVyxyxKyxyxL minus= ampampampamp Enačbe gibanja so potem po Euler-Lagrangeovih enačbah

xVyxpartpart

minus=minus ampampamp 2 in yVxypartpart

minus=minus ampampamp 2 (11)

kjer je efektivni potencial 2

22 yxVV minusminus= Polna energija je )()(

21 22 yxVyxE ++= ampamp

Figure 8 Efektivni potencial okoli dveh masivnih teles ter označene Lagrangeeve točke

Na desni sliki je s sivo označeno prepovedano območje svetla je Hillova regija ndash območje po katerem se delec lahko giblje [8]

15

Na drugi sliki pa je področje ki ga dobimo če upoštevamo ohranitev energije in gledamo samo določeno energijo E Zato za dan energijski nivo E velja da se lahko tretje telo giblje zgolj po področje kjer velja 0geminusVE To je tako imenovana Hillova regija[7] in jo dobimo če presekamo graf efektivnega potenciala z vodoravno ravnino ki predstavlja energijo Kot primer je podana Hillova regija (bela barva ) za tretje telo v okolici Sonca in Jupitra vidimo tri območja ndash Sončevo območje Jupitrovo območje ter zunanje območje ki so povezana med seboj z ozkimi vratovi V levem vratu je L1 v desnem pa L2 Če bi pogledali pri drugačnih energijah bi prehod med območji lahko bil onemogočen ker bi vrata bila zaprta

Pri problemu treh teles je bistvena ugotovitev da obstaja neskončno veliko možnih poti ki bi pripeljale sondo do ciljne točke in jih je mogoče razvstiti v družine podobnih trajektorij Takšna družina leži na površini namišljene cevi ki jih imenujemo Conley ndashMcGeheejeve cevi [7]

Telo ki odleti iz Lagrangeeve točke se skozi vesolje po eni od teh trajektorij giblje tako kot bi potovalo po vijačnici na površini cevi Za vsako cev ki vodi od Lagrangeeve točke obstaja še ena ki vanjo vodi Torej bi se sonda po eni od teh cevi pripeljala v Lagrangeovo točko tam preskočila na drugo cev in po njej praktično zastonj odpotovala v vesolje

Figure 9 Conley-McGehee jeve cevi Sonda pride po površini zelene cevi v bližini Lagrangeeve

točke preide na površino odvodne rdeče cevi in se odpravi proti naslednji Lagrangeevi točki ki jo približa cilju [3]

Naslednja pomembna lastnost tega omrežja je da se ves čas spreminja saj se vsi

planeti in lune vrtijo Ker pa se gibljejo po znanih zakonih nebesne mehanike je možno z računalniškimi simulacijami določiti optimalno trajektorijo sonde To je dejansko uspelo šele leta 1980 Nasinemu matematiku Martinu Loju ki je odkril nizkoenergijske poti ki povezujejo Lagrangeeve točke Lune Zemlje Marsa Saturna in Jupitra Dokler se sonda nahaja na površini te cevi je na nizkoenergijski tirnici (orbita je zdaj neprimeren izraz) ki nas poceni pripelje na ciljno točko če pa bi se od te cevi oddaljila pa bi jo odneslo nekam stran od cilja (in se slej ko prej ujela v orbito okoli masivnega telesa) ter bi jo lahko na pravo pot postavili le z veliko porabo goriva

16

Slabost uporabe ITN pa je čas Gibanje sonde po Omrežju zna biti zelo počasno in zna biti v najboljšem primeru nekajkrat daljše od Hohmannovega prenosa Tako da se za kakšne obljudene vesoljske ladje ne more uporabljati prav tako ne takrat ko bi radi na kakem planetu čimprej nekaj preverili oz odkrili Razen če spet ne nastopi cenahellip

Figure 10 Primerjava dveh metod za doseganje Lune Levo zgoraj je Hohmannov prenos ki je časovno najkrajši vendar energijsko potraten Novejše raziskave dajejo energijsko ugodnejše in

časovno ne preveč potratne tirnice [8]

ITS je še relativno mlada veja mehanike orbit zato se še ni razcvetela Do zdaj so to tehniko uporabili pri sondah ISEE-3 Hiten SMART-1 Genesis ISEE-3 so na pot poslali že leta 1978 in je raziskovala Sonce ter Zemljo Takrat kaotične zgradbe medplanetne ceste še niso čisto dobro razumeli in izstrelitev sonde po takšni trajektoriji je omogočala le delna in nepopolna računalniška analiza gravitacijske pokrajine med Zemljo in Soncem Če bi bil polet daljši bi se sonda zelo verjetno izgubila v vesolju Kasneje so Japonci z metodo ITS rešili svoj satelit Hiten ko mu je na napačni orbiti zmanjkalo goriva jim ga je uspelo na pravo usmeriti po nizkoenergijski tirnici IPS Leta 2001 so izstrelili še sondo Genesis namenjeno raziskovanju Sončevih nabitih delcev Ta satelit je bil namenoma izstreljen v kaotično orbito ki ga je dve leti nekajkrat vodila okrog Zemljine L1 točke nato obkrožila L2 in se z vzorci vrnila na Zemljo [10] Njena pot vključno z trenutkom vrnitve je bila že nekaj let pred izstrelitvijo natanko določena Misija bi bila čisti uspeh če bi le na koncu sonda odprla padalahellip Kljub temu je misija pokazala kako z uporabo sodobnih računalniških metod lahko natančno izračunamo zapletene trajektorije za poti po vesolju

17

Figure 11 Tir sonde Genesis [10]

7 Zaključek

Predstavljenih je bilo nekaj načinov doseganja drugih planetov z raziskovalnimi sondami V kolikor sta v preteklosti dominirala Hohmannov prenos in gravitacijska frača se danes vedno bolj uveljavlja tudi metoda ITS Za razliko od prejšnjih dveh za metodo ITS zadostujejo nizke hitrosti sonde vendar je ta metoda žal časovno zelo potratna Zato se je treba odločati med ekonomičnostjo metodo in potrebnim časom potovanja ko načrtujemo raziskovalni polet k drugim nebesnim telesom

8 Literatura [1] L N Hand amp J D Finch Analytical Mechanics Cambridge University Press 1998 [2] O Montenbruck amp E Gill Satellite Orbits Springer verlag 2000 [3] Wikipedia Bi-elliptic transfer (httpenwikipediaorgwikiBi-elliptic_transfer) [4] R C Johnson The Slingshot Effect 2003 (httpmathsduracuk~dma0rcjPslingslingpdf) [5] Wikipedia Cassini-Huygens (httpenwikipediaorgwikiCassini-Huygens) [6] Wikipedia Lagrangian points (httpenwikipediaorgwikiLagrangian_points) [7] J EMarsden amp S D Ross New Methods in Celestial Mechanics and Mission Design 2005 (httpwwwesmvtedu~sdrosspapersMaRo_amspdf) [8] W S Koon et al Dynamical Systems the Three-Body Problem and Space Mission Design 2006 (httpwwwcdscaltechedu~marsdenbooksMission_Designhtml) [9] SD Ross Cylindrical Manifolds and Tube Dynamics in the Restricted Three-Body Problem 2004 [10] W S Koon et al The Genesis Trajectory and Heteroclinic Connections 2000 (httpwwwggcaltechedu~mwlpublicationspapersgenesispdf)

18

Kazalo 1) Uvodhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip3

2) Osnovehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip3

3) Hohmannova prenosna orbitahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip4

4) Bi-eliptična prenosna orbitahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip6

5) Gravitacijska fračahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip8

6) Medplanetarno transportno omrežjehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip12

7) Zaključekhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip18

8) Literaturahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip18

2

1 Uvod

Mehanika orbit se ukvarja z gibanjem raket in ostalih vesoljskih plovil To gibanje se ponavadi računa iz Newtonovih zakonov gibanja Medtem ko se nebesna mehanika ukvarja večinoma z gibanjem večjih teles Osončja ndash planetov njihovih lun asteroidov kometov - je mehanika orbit veja nebesne mehanike ter se ukvarja s tem kako bi spravili vesoljska plovila od enega večjega telesa Osončja do drugega da bi ga lahko raziskali

2 Osnove

Vsako telo ki je veliko lažje od Sonca in se giblje le pod njegovim gravitacijskim vplivom se giblje po orbiti kjer oddaljenost od Sonca r določa enačba [1]

θθ

cos1)(

ea

r+

= a

bae22 +

= (1)

kjer a- velika polos in b ndash mala polos elipse e pa ekscentričnost ali sploščenost orbite

Kot θ merimo od Soncu najbližje točke Tam je 0=θ in velja Ta

točka se imenuje perihelij Nasprotno se točka kjer je telo najdlje od Sonca (

)1( earPER minus=

2πθ =

) imenuje aphelij Če sonda kroži okoli Zemlje se bosta ti točki imenovali perigej in apogej (Gea = Zemlja) [2]

)1( earAP +=

Polna energija plovila je seštevek kinetične in potencialne energije

aGMm

rGMmmvE

22

2

minus=minus= (2)

Največjo hitrost ima sonda v periheliju ee

aGMvper minus

+=

11

najmanjšo pa v afeliju ee

aGMvapo +

minus=

11

Ker ponavadi sondo pošiljamo z Zemlje je normalno predpostaviti da je začetna

orbita kar orbita Zemlje Ponavadi predpostavimo da je Zemljina orbita krožnica saj ima zelo nizko ekscentričnost (e=0017) V tem primeru je velika polos elipse 2a kar enaka 2r Cilj sonde pa so navadno planeti ki pa se nahajajo v približno krožnih orbitah na različnih oddaljenostih od Sonca Torej hočemo sondi toliko spremeniti orbito da bo afelij nove orbite dosegel orbito ciljnega planeta (oziroma če hočemo doseči Soncu bližje planete ndash Merkur in Venera bo zdaj začetna točka nove orbite v afeliju končna pa v periheliju kjer se tudi nahaja cilj) Če hočemo vtiriti sondo okoli ciljnega planeta je na cilju treba zaradi različnih hitrosti še enkrat popraviti orbito sicer bo sonda planet samo obšla

3

Nebesno

telo Velika polos a

[ae] Orbithitrost

[kms] Orbit

Perioda [let]Masa [MZ]

Ekscentričnost orbite

Merkur 0387 479 024 006 0206 Venera 0723 350 062 082 0007 Zemlja 1000 298 100 100 0017 Mars 1524 241 188 011 0093 Jupiter 5203 131 1186 3178 0048 Saturn 9539 967 2946 952 0054 Uran 1918 684 8401 146 0047 Neptun 3006 54 1648 172 0009

Table 1 Poglavitne lastnosti planetov Osončja [2]

1 ae=150109 m MZ=5941024 kg

Skušamo torej povečati ekscentričnost orbite sonde tako da bi čimbolj dvignili aphelij Iz praktično krožne orbite želimo torej čimbolj sploščeno V kolikor je pri tem polna energija sonde konstantna je dosegljiv afelij minmax 2 rar minus= kjer je a začetna oddaljenost od Sonca (na krožnici) pa je perihelij ki je zaradi bližine Sonca navzdol omejen (ne samo da se nočemo zaleteti v Sonce zaradi njegove vročine se mu tudi ni priporočljivo preveč približati saj bi lahko scvrlo občutljive inštrumente in morebitno posadko) Tako vidimo da je ta način nepraktičen saj je afelij omejen potrebujemo pa velik

minr

vΔ

3 Hohmannova prenosna orbita Glede na to da manever potiska vΔ traja maksimalno nekaj minut sam polet pa

je zelo dolgotrajen (samo do Lune potrebujemo nekaj dni čas do ostalih planetov pa merimo v mesecih in letih) lahko manever potiska smatramo kot trenuten kar olajša nadaljno računanje Ker nas zanima oblika novonastale orbite po manevru za trenutek pozabimo da je sonda v bližini Zemlje in privzamimo da je le pod gravitacijskim vplivom Sonca Ko na sondi prižgemo motorje ji damo s tem potisk ki ji spremeni hitrost za Z danim potiskom vΔ vΔ sondi najbolj dvignemo afelij če hitrost povečamo v smeri hitrosti sonde S tem se poveča velika polos a v največji možni meri ker najbolj povečamo vrtilno količino poleg tega s s sunkom v tej smeri najbolj povečamo ekscentričnost orbite S tem smo tudi v največji možni meri povečali polno energijo

sonde torej smo po enačbi 22

3

4πGM

Ta

= s povečanjem a podaljšali tudi periodo P Ker je

perihelij orbite na mestu manevra potovanje traja polovico te periode Orbiti kjer damo sondi v začetni točki potisk v isti smeri kot se giblje sonda in

ki povezuje začetno in končno orbito pravimo Hohmannova prenosna orbita [2]

4

(po Nemcu Walterju Hohmannu ki je manever opisal leta 1925) Ta orbita je v bistvu polovica eliptične orbite ki ima v periheliju enako oddaljenost od Sonca kot Zemlja v apheliju pa enako oddaljenost kot ciljni planet Ker je v afeliju lahko hitrost sonde veliko manjša kot krožilna hitrost ciljnega planeta moramo sondo še enkrat pospešiti z drugim potiskom ki bo sondo s Hohmannove orbite prestavil na novo krožno orbito Zdaj smo na isti orbiti kot ciljni planet Če je sonda blizu planeta bo seveda čutila njegovo gravitacijsko silo zato moramo njeno hitrost prilagoditi tako da se bo utirila okoli planeta sicer bo padla na planet in bo izgubljena

vprimeΔ

Na enak način lahko prenesemo sondo iz Soncu bolj oddaljene orbite v Soncu bližjo orbito (z Zemlje recimo na Venero) najprej sondi odvzamemo hitrost da pade na Hohmannovo orbito v periheliju pa ji ponovno odvzamemo hitrost da se utiri na krožno orbito na enaki oddaljenosti kot je ciljni planet

Če iz enačbe za polno energijo (2) izpostavimo hitrost dobimo

)12(2

arGMv minus= (3)

kjer je v hitrost orbitirajočega telesa gravitacijska konstanta

masa Sonca r je oddaljenost sonde od Sonca a je velika polos eliptične orbite [2] Iz tega dobimo oba potrebna za Hohmannovo orbito

2311 10676 kgsmG minussdot=kgM 30102 sdot=

vΔpotrebna sprememba hitrosti v periheliju

)12(21

2

1

minus+

=Δrr

rr

GMvP (4)

in potrebna sprememba hitrosti v apheliju

)21(21

1

2 rrr

rGMvA +

minus=Δ (5)

kjer sta radij nižje orbite in hkrati perihelij Hohmannove orbite ter ki je radij višje ležeče orbite in istočasno aphelij Hohmanna

1r 2r

Čas ko se bo telo nahajalo v Hohmannovi orbiti (vseeno ali gremo v višjo ali

nižjo orbito) dobimo iz Keplerjevega tretjega zakona in je

GMrr

GMat H

H 8)(4

21 3

2132 +== π

π

(6)

kjer je aH dolžina velike polosi Hohmannove prenosne orbite

5

bull Primer recimo da hočemo spraviti satelit iz nizke orbite okoli Zemlje (višina nad

Zemljo je 300km torej je kmr 66781 = ) v geostacionarno orbito ( km ) Na nižji orbiti je krožilna hitrost 773 kms na višji orbiti pa je 307 kms Za ustrezno eliptično orbito pa velja da je hitrost v perigeju 1015 kms in 161 kms v apogeju Torej sta potrebna v

r 421642 =

Δ 1015 kms minus 773 kms = 242 kms in 307 kms minus 161 kms = 146 kms skupno torej 388 kms

Figure 1 Hohmannov prenos na začetni krožnici (1) povečamo hitrost da sonda preide na eliptični

tir (2) Ko je v afeliju jo z dodatnim popravkom hitrosti vtirimo na novo krožnico (3) [2]

4 Bi-eliptična prenosna orbita

Čeprav je Hohmannova orbita skoraj vedno najbolj ekonomski način da pridemo iz ene krožne orbite v drugo obstajajo situacije kjer je bieleptični prenos še bolj ekonomičen še posebej ko je velika polos končne orbite več kot 12 krat večja kot tista na začetni orbiti [3] Bieliptični prenos je sestavljen iz polovic dveh različnih eliptičnih orbit Iz začetne orbite damo sondi ki sondo ponese na eliptični orbiti ki sega veliko dlje kot druga krožna orbita do aphelija Tam se ponovno vklopijo motorji in dodaten ∆v spremeni tirnico sonde tako da je sicer še vedno eliptična vendar se zdaj perihelij dotika ciljne krožne orbite Ko torej sonda pride po eliptični orbiti do perihelija moramo z motorji spet popraviti hitrost in sonda se vtiri na novo krožno orbito

vΔ

6

Figure 2 Bi-eliptični prenos iz začetne krožnice (1) sondo pošljemo na eliptični tir V afeliju (2)

majhne popravek hitrosti in sonda je na novi eliptični tirnici v novem periheliju (3) vtiritev v novo krožnico [3]

Če spet poračunamo kolikšni prispevki hitrosti so potrebni

Prvi sunek 010

12

rGM

aGM

rGMv minusminus=Δ V najbolj oddaljeni točki sondi povečamo

hitrost za 12

222

aGM

rGM

aGM

rGMv

bb

minusminusminus=Δ Zadnji popravek je na končni krožni

orbiti kjer moramo sondo zaustaviti 2

32

aGM

rGM

rGMv

kk

minusminus=Δ kjer sta in

veliki polosi obeh eliptičnih orbit in sta podani z

1a

2a21

br rra

+= in

22bk rr

a+

=

Kot pri Hohmannovi orbiti je čas ko je sonda na prenosni orbiti ravno polovica periode za celo eliptično orbito Torej moramo samo sešteti časa za vsako polovico

eliptičnih orbit GMat

31

1 π= in GMat

32

2 π= in je torej čas prenosa 21 ttt +=

bull PRIMER Da bi spravili sondo iz nizke krožne Zemeljske orbite z km na novo krožno orbito z km

r 67000 =rr 9380014 01 == bi s Hohmannovim prenosom

morali sondi dati vΔ =282434+130838=413272 ms Če pa bi sondi najprej dali sunek 306031 ms in jo s tem spravili v novo orbito s apogejem pri

km ji v apogeju dali nov sunek 608679 ms kar bi jo spravilo na novo eliptnično orbito s perigejem na km

rr 26800040 02 ==rr 9380014 01 == kjer bi jo končno

še malo zaustavili in sicer z vΔ =447554 ms kar bi sondo spravilo v končno krožno orbito Potem bi skupen vΔ bil v primerjavi z Hohmannovim prenosom malo manjši v konkretnem primeru 1618ms kar se sicer ne sliši veliko vendar je pri vesoljskih poletih vsakršno varčevanje z gorivom pomembno

Še primerjava časov Hohmannovega in bi-eliptičnega prenosa za konkretni primer bi z Hohmannovim prenosom sondo prestavili v 15 urah in pol medtem ko bi za bi-eliptični manever potrebovali okoli 74 ur Pri medplanetarnih poletih so seveda časovne razlike še

7

toliko večje so pa tudi prihranki goriva večji Tukaj se potem pač odločamo kako zelo se nam mudi spraviti satelit v novo orbito oziroma koliko goriva hočemo prihraniti

Popravek orbite Hohmannov prenos ∆v (ms) Bi-eliptični prenos ∆v (ms)

1 282434 306031 2 130838 608679 3 - 447554 Σ 413272 411654

Tako Hohmannova kot bi-eliptična orbita pa imata to slabost da ostaneta v isti

ravnini kot kroži Zemlja okoli Sonca čeprav nekateri planeti krožijo okoli Sonca pod drugače nagnjenih ravninah (recimo ravnina Plutona je za 13ordm nagnjena glede na Zemljino) Torej je najprej potrebno smer vrtilne količine spremeniti za 13ordm in še potem opraviti Hohmannov manever Energijsko še bolj potratne so misije ko je treba sondo vtiriti v polarno orbito recimo okoli Sonca

5 Gravitacijska frača Vse do zdaj nismo upoštevali da imajo planeti lastno gravitacijsko privlačnost Vendar lahko z upoštevanjem gravitacijske sile planetov dosežemo še druge manevre ki nam dovoljujejo še bolj ekonomične polete sond Recimo v primeru sonde Cassini ki so jo izstrelili leta 1997 in jo poslali proti Saturnu Po prejšnjih metodah bi ji morali povečati hitrost za 10 kms čas potovanja pa bi bil šest let Namesto tega so ji povečali hitrost le za 4 kms jo poslali na zapleteno orbito ki je vključevala 2 preleta mimo Venere prelet mimo Zemlje in še en mimo Jupitra Na tak način se je vtirila okoli Saturna leta 2004 le eno leto kasneje kot bi prišla na Hohmannovi orbiti ki potrebuje veliko več goriva [4]

Figure 3 Trajektorija sonde Cassini mimo večih planetov [5]

8

Glavna lastnost tega manevra je da planet spremeni sondino hitrost relativno na

Sonce čeprav se ohranja hitrost sonde relativno na planet namreč za sistem sonda-planet se morata ohranjati gibalna količina in energija ndash gravitacija planeta le spremeni smer hitrosti sonde Ko sta sonda in planet še toliko oddaljena med seboj da še ni znatnega medsebojnega vpliva se gibljeta s hitrostjo invv in inV

v po preletu pa z in outvv

outVv

Ker sistem ohranja gibalno količino velja

outoutinin VMvmVMvmvvvv +=+ (6)

kjer sta m in M masi sonde oziroma planeta Enačba se preuredi v

)( outininout vvMmVV vvvv

minus=minus Zaradi velike razlike v masah (sonda tipično tehta nekaj 100

kilogramov do nekaj ton planeti pa od 1024 do 1027kg) je razmerje mas mM zanemarljivo majhno 10-21mdash10-24 zato lahko brez problema zapišemo

VVV outin

vvv== (hitrost planeta se ne spremeni z natančnostjo vsaj 10-21) Sonda torej

zanemarljivo malo vpliva na gibanje planeta prelet Galileja je recimo upočasnil Zemljo za slabi 2 milijardinki centimetra na leto S preletom torej ne dobimo hitrosti iz nič ampak je vpliv na planet tako majhen da ni merljiv Kot smo prej videli se hitrost sonde glede na planet ne spremeni spremeni se le smer hitrosti inout uu vv = To je lepo vidno v sistemu kjer miruje planet Če se zdaj preselimo v sistem kjer miruje Sonce pa vidimo da se hitrost sonde transformira kot Vuv outinoutin

vvv += Torej lahko zapišemo da planet s svojo gravitacijo spremeni smer hitrosti sonde zaradi tega pa se sondi spremeni velikost hitrosti relativno na Sonce

Figure 4 shema gravitacijske frače - Puščice kažejo smeri potovanja sonde pred in po srečanju s planetom dolžina puščic predstavlja hitrost sonde Na prvi sliki gledamo iz vidika mirujočega planeta na drugi pa iz sistema kjer miruje Sonce [4]

9

Ker se gibalna količina ohranja imamo opravka s

sipanjem sonde na planetu ohranitev energije pa nam zagotovi da je sipanje oziroma trk elastično Določimo α oziromaαprime kot kota med smerjo planeta V

v in smerjo sonde

oziroma kot β pa naj bo odklon sonde relativno na planet oziroma kot sipanja v sistemu kjer planet miruje Velja

invv outvv

)sin(sinsin

)cos()cos1(cosβαβα

βαβαminus+=prime

minus+minus=prime

inout

inout

vVvvVv

(7)

Ugotovimo da ob izbranih parametrih )( αVvin hitrost narašča s kotom β Maksimum doseže pri kotu

outv

maxββ = ki je v zvezi

Vvin

minusαα

cossin

vin

=βtan max (8)

ko je 0=primeα oziroma ko je vzporeden z Voutvv

v

Figure 5 Sprememba kota α v α prime po preletu mimo planeta

Po maksimumu z outvv β spet pada

za inout vv = max0 2βββ == Vidimo pa da obstaja simetrija kar pomeni da dobimo enako spremembo hitrosti pri dveh različnih kotih

21β ki sta v zvezi max21 2βββ =+ Načeloma je bolj priljubljen manjši sipalni kot da se izognemo morebitnemu vplive atmosfere planeta Za kote 0ββ gt je sonda izgubi hitrost Recimo pri kotih

inout vv ltdegminus== 301ββ

ter deg== 1922ββ je razmerje 750=in

outv

v

To seveda uporabljamo za zaviranje sonde

Figure 6 Odvisnost Vvout od β za

deg== 4051 αVvin [4]

10

Relativni potiskin

outv

v je navzgor neomejen (čeprav redko prekorači vrednost 2)

absolutni potisk pa je za primer točkastega planeta navzgor omejen z 2V Ker pa smo omejeni z začetnimi parametri (

inout vv minus

invα ) zaradi medsebojnega položaja Zemlje in planeta v času izstrelitve sonde Večinoma se pri gravitacijski frači govori o pridobljeni hitrosti sonde čeprav je včasih pomembneje da s preletom spremenimo sondi smer Če pogledamo primer sonde Voyager ndash ta je že po preletu Jupitra imel dovolj visoko hitrost da bi lahko ušel iz Osončja in torej dosegel tudi katerikoli planet vendar mu vsa ta hitrost ne pomaga čisto nič če ne prileti mimo svojega cilja Zato je bilo sondo na vsakem planetu še pravilno preusmeriti Vsak dodaten potisk ob prehodu mimo planeta pa je še dodatna dobrodošla posledica ki je skrajšala potovanje Prej smo videli na primeru sonde Cassini ki je v primerjavi z Hohmannovim prenosom raquozamudilalaquo eno leto na račun manjšega potiska Voyager bi do Neptuna potreboval 30 let in ogromno goriva z večkratno uporabo gravitacijske frače pa je tja z manjšim potiskom potreboval zgolj 12let Šele tukaj vidimo pravo moč gravitacijske frače Tukaj je pomembna razlika da se pri Hohmannovem prenosu lahko vtirimo okoli Neptuna medtem ko je Voyager na svojem potovanju nabral tolikšno hitrost da je mimo Neptuna samo odbrzel Za zaustavitev bi bile spet potrebne velike spremembe hitrosti

Žal pa je potrebne čase za dosego ciljnih planetov zdaj veliko težje računati saj moramo poznati hitrost sonde ko pride do vmesnega planeta ter točen kot sipanja da lahko dobimo novo hitrost in smer itd

Figure 5 Pot sonde Voyager 1 ko je obiskala večino zunanjih planetov Osončja [4]

11

6 Medplanetarno transportno omrežje Gibanje sonde postane še posebno zapleteno če nehamo obravnavati polet sonde kot več ločenih problemov dveh teles (sonda se giblje okoli Sonca sonda se giblje okolimimo planeta) ampak polet obravnavamo kot problem treh teles (ali še huje- večih teles) Pri problemu treh teles gledamo gibanje zanemarljivo lahkega telesa v okolici dveh masivnih teles in res je masa sonde v primerjavi z masami Sonca in planetov zanemarljivo majhna Izkaže se da problem treh teles analitično ponavadi ni rešljiv torej ga moramo reševati z numeričnimi metodami Vseeno pa je bilo ugotovljenih nekaj pomembnih stvari Izkazalo se je da v okolici dveh teles z znatno maso ki krožita drugo okoli drugega obstajajo v prostoru točke v katerih se telo z zanemarljivo maso ndash recimo satelit ali vesoljska postaja ali asteroid ndash giblje tako da se njegov položaj glede na prvi dve ne spreminja S problemom sta se med prvimi ukvarjala Euler in Lagrange Slepi Euler je samo z računanjem na pamet odkril tri take točke Lagrange pa s temeljito analizo še dve dodatni Teh pet točk danes imenujemo Lagrangeove točke

Poglejmo recimo na primer sistem Zemlje in satelita Kot vemo sta obhodni čas in hitrost vsakega telesa ki kroži okoli Zemlje določena z njegovo oddaljenostjo od središča Zemlje Če upoštevamo še gravitacijo Lune imamo gravitacijsko silo Zemlje ki vleče proti težišču Zemlje ter gravitacijsko silo Lune ki vleče proti centru Lune Če satelit v nekem trenutku leži nekje na zveznici med središčema Zemlje in Lune bosta ti sili nasprotno usmerjeni zato se bo satelit ki leži med Zemljo in Luno gibal tako kot da bi nanj delovala za Lunino težnost zmanjšana težnost Zemlje Drugače povedano giblje se z obhodnim časom kot da bi navidezno krožil okoli središča Zemlje na večji oddaljenosti od dejanske Če je ta navidezna razdalja natančno enaka razdalji med Zemljo in Luno satelit okoli prve kroži z obhodnim časom ki je enak obhodnemu času Lune kar pomeni da bo vedno na zveznici med Zemljo in Luno Takrat je v 1 Lagrangeovi točki navadno imenovani L1 Leži bliže Luni kot Zemlji na 84 razdalje med njima Na podoben način bi lahko našli še L2 točko (za Luno) in L3 točko (leži na nasprotni strani Zemlje kot Luna) Preostali dve točki L4 in L5 ležita na Luninem tiru tako da je kot med zveznicama med Luno in Zemljo ter satelitom 60ordm torej sta na enaki oddaljenosti od Zemlje kot od Lune Okoli Zemljine L1 točke (med Soncem in Zemljo) trenutno kroži satelit SOHO ki opazuje Sonce in heliosfero ker z nje njegovega pogleda na Sonce nikoli nič ne zastre v Zemljini L2 pa je recimo Wilkinsonova postaja za merjenje anizotropije mikrovalovnega sevanja vesolja (WMAP) s katero se raziskujejo lastnosti velikega poka in vanjo bodo v prihodnosti utirili recimo tudi satelit Gaio

12

Figure 6 Zemljine Lagrangeove točke [6]

Nahajališča Lagrangeovih točk zapišemo jih v sistemu v katerem obe masivnejši

telesi mirujeta in je masivnejše telo (navadno Sonce) v izhodišču manj masivno pa na x-osi na oddaljenosti R Točke so v [7]

L1 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

MMR

L2 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

MMR

L3 )01251(

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminus

MMR

L4 in L5 )23)(

2(

21

21 RMMMMR

plusmn+minus

L4 in L5 sta stabilni točki kar pomeni da sondo ki se nahaja v njiju rahlo

zmotimo se bo ta samo vrnila v začetno točko (v kolikor je perturbacija majhna) Istočasno to pomeni da se počasna telesa lahko ujamejo v ti dve točki oziroma potujejo okoli njiju In res je bilo v bližini Jupitrovih L4 in L5 točkah odkrito večje število asteroidov ki zdaj potujejo z enako periodo kot Jupiter okoli Sonca

13

Figure 7 Odkriti asteroidi v L4 in L5 Jupitra [6]

Po drugi strani pa so L1 L2 in L3 nestabilne točke Ob najmanjši gravitacijski

motnji bi sondo ki se nahaja v kateri od njih odneslo iz Lagrangeove točke Zato je treba satelitom ki so v teh točkah vsake toliko časa vključiti motorje da jo vrnejo na pravo mesto

Izkazalo pa se je da je potrebno zelo malo energije da sondo spravimo iz ene nestabilne L-točke v drugo [8] Če želimo vtiriti sondo v Lunino L1 točko je za to potrebna hitrost 49kms Če pa bi sedaj hoteli sondo od tam poslati v recimo Zemljino L2 točko bi bila za to potrebna dodatna hitrost le 0014 kms (50kmh) (Spomnimo se da je Lunina L1 točka od Zemlje oddaljena 322500 km (okoli 86 razdalje med Zemljo in Luno) Zemljina L2 pa 1500000 km) Očitno se da z zelo majhnimi spremembami hitrosti priti zelo daleč praktično do vseh planetov Tako je v Osončju pravo omrežje takšnih poceni povezovalnih poti čemur so dali ime Medplanetarno prenosno omrežje (Interplanetary Transport Network - ITN) ali tudi Medplanetna avtocesta (Interplanetary Superhighway - IPS)

Odkritje tega omrežje temelji na delu Poincareja ki se je z tem problemom okvarjal ob koncu 19 stoletja Ta je med drugim odkril da je analitično nemogoče natančno izračunati poti teles ki se začenjajo v bližini neke nestabilne Lagrangeeve točke Poglejmo to malo podrobneje

14

Enačbe gibanja [9] Če sta M1 in M2 masi večjih teles in

zapišemo21

2

MMM+

=μ iščemo enačbe gibanja za točkasto telo v okolici dveh masivnih

teles v rotirajočem sistemu kjer prvo telo v točki (-μ0) drugo pa v (1- μ0) Lahko tretje telo naj bo v točki (xy) in naj bo oddaljenost do prve in druge mase r1 ter r2 Potem velja

221 )( yxr ++= μ ter 22

2 )1( yxr ++minus= μ Potem je gravitacijska potencialna energija tretjega telesa

21

1)(rr

yxV μμminus

minusminus= (9)

Kinetična energija tretjega telesa je

[ ]22 )()(21)( xyyxyxyxK ++minus= ampampampamp (10)

in Lagranžijan tretjega telesa je potem

)()()( yxVyxyxKyxyxL minus= ampampampamp Enačbe gibanja so potem po Euler-Lagrangeovih enačbah

xVyxpartpart

minus=minus ampampamp 2 in yVxypartpart

minus=minus ampampamp 2 (11)

kjer je efektivni potencial 2

22 yxVV minusminus= Polna energija je )()(

21 22 yxVyxE ++= ampamp

Figure 8 Efektivni potencial okoli dveh masivnih teles ter označene Lagrangeeve točke

Na desni sliki je s sivo označeno prepovedano območje svetla je Hillova regija ndash območje po katerem se delec lahko giblje [8]

15

Na drugi sliki pa je področje ki ga dobimo če upoštevamo ohranitev energije in gledamo samo določeno energijo E Zato za dan energijski nivo E velja da se lahko tretje telo giblje zgolj po področje kjer velja 0geminusVE To je tako imenovana Hillova regija[7] in jo dobimo če presekamo graf efektivnega potenciala z vodoravno ravnino ki predstavlja energijo Kot primer je podana Hillova regija (bela barva ) za tretje telo v okolici Sonca in Jupitra vidimo tri območja ndash Sončevo območje Jupitrovo območje ter zunanje območje ki so povezana med seboj z ozkimi vratovi V levem vratu je L1 v desnem pa L2 Če bi pogledali pri drugačnih energijah bi prehod med območji lahko bil onemogočen ker bi vrata bila zaprta

Pri problemu treh teles je bistvena ugotovitev da obstaja neskončno veliko možnih poti ki bi pripeljale sondo do ciljne točke in jih je mogoče razvstiti v družine podobnih trajektorij Takšna družina leži na površini namišljene cevi ki jih imenujemo Conley ndashMcGeheejeve cevi [7]

Telo ki odleti iz Lagrangeeve točke se skozi vesolje po eni od teh trajektorij giblje tako kot bi potovalo po vijačnici na površini cevi Za vsako cev ki vodi od Lagrangeeve točke obstaja še ena ki vanjo vodi Torej bi se sonda po eni od teh cevi pripeljala v Lagrangeovo točko tam preskočila na drugo cev in po njej praktično zastonj odpotovala v vesolje

Figure 9 Conley-McGehee jeve cevi Sonda pride po površini zelene cevi v bližini Lagrangeeve

točke preide na površino odvodne rdeče cevi in se odpravi proti naslednji Lagrangeevi točki ki jo približa cilju [3]

Naslednja pomembna lastnost tega omrežja je da se ves čas spreminja saj se vsi

planeti in lune vrtijo Ker pa se gibljejo po znanih zakonih nebesne mehanike je možno z računalniškimi simulacijami določiti optimalno trajektorijo sonde To je dejansko uspelo šele leta 1980 Nasinemu matematiku Martinu Loju ki je odkril nizkoenergijske poti ki povezujejo Lagrangeeve točke Lune Zemlje Marsa Saturna in Jupitra Dokler se sonda nahaja na površini te cevi je na nizkoenergijski tirnici (orbita je zdaj neprimeren izraz) ki nas poceni pripelje na ciljno točko če pa bi se od te cevi oddaljila pa bi jo odneslo nekam stran od cilja (in se slej ko prej ujela v orbito okoli masivnega telesa) ter bi jo lahko na pravo pot postavili le z veliko porabo goriva

16

Slabost uporabe ITN pa je čas Gibanje sonde po Omrežju zna biti zelo počasno in zna biti v najboljšem primeru nekajkrat daljše od Hohmannovega prenosa Tako da se za kakšne obljudene vesoljske ladje ne more uporabljati prav tako ne takrat ko bi radi na kakem planetu čimprej nekaj preverili oz odkrili Razen če spet ne nastopi cenahellip

Figure 10 Primerjava dveh metod za doseganje Lune Levo zgoraj je Hohmannov prenos ki je časovno najkrajši vendar energijsko potraten Novejše raziskave dajejo energijsko ugodnejše in

časovno ne preveč potratne tirnice [8]

ITS je še relativno mlada veja mehanike orbit zato se še ni razcvetela Do zdaj so to tehniko uporabili pri sondah ISEE-3 Hiten SMART-1 Genesis ISEE-3 so na pot poslali že leta 1978 in je raziskovala Sonce ter Zemljo Takrat kaotične zgradbe medplanetne ceste še niso čisto dobro razumeli in izstrelitev sonde po takšni trajektoriji je omogočala le delna in nepopolna računalniška analiza gravitacijske pokrajine med Zemljo in Soncem Če bi bil polet daljši bi se sonda zelo verjetno izgubila v vesolju Kasneje so Japonci z metodo ITS rešili svoj satelit Hiten ko mu je na napačni orbiti zmanjkalo goriva jim ga je uspelo na pravo usmeriti po nizkoenergijski tirnici IPS Leta 2001 so izstrelili še sondo Genesis namenjeno raziskovanju Sončevih nabitih delcev Ta satelit je bil namenoma izstreljen v kaotično orbito ki ga je dve leti nekajkrat vodila okrog Zemljine L1 točke nato obkrožila L2 in se z vzorci vrnila na Zemljo [10] Njena pot vključno z trenutkom vrnitve je bila že nekaj let pred izstrelitvijo natanko določena Misija bi bila čisti uspeh če bi le na koncu sonda odprla padalahellip Kljub temu je misija pokazala kako z uporabo sodobnih računalniških metod lahko natančno izračunamo zapletene trajektorije za poti po vesolju

17

Figure 11 Tir sonde Genesis [10]

7 Zaključek

Predstavljenih je bilo nekaj načinov doseganja drugih planetov z raziskovalnimi sondami V kolikor sta v preteklosti dominirala Hohmannov prenos in gravitacijska frača se danes vedno bolj uveljavlja tudi metoda ITS Za razliko od prejšnjih dveh za metodo ITS zadostujejo nizke hitrosti sonde vendar je ta metoda žal časovno zelo potratna Zato se je treba odločati med ekonomičnostjo metodo in potrebnim časom potovanja ko načrtujemo raziskovalni polet k drugim nebesnim telesom

8 Literatura [1] L N Hand amp J D Finch Analytical Mechanics Cambridge University Press 1998 [2] O Montenbruck amp E Gill Satellite Orbits Springer verlag 2000 [3] Wikipedia Bi-elliptic transfer (httpenwikipediaorgwikiBi-elliptic_transfer) [4] R C Johnson The Slingshot Effect 2003 (httpmathsduracuk~dma0rcjPslingslingpdf) [5] Wikipedia Cassini-Huygens (httpenwikipediaorgwikiCassini-Huygens) [6] Wikipedia Lagrangian points (httpenwikipediaorgwikiLagrangian_points) [7] J EMarsden amp S D Ross New Methods in Celestial Mechanics and Mission Design 2005 (httpwwwesmvtedu~sdrosspapersMaRo_amspdf) [8] W S Koon et al Dynamical Systems the Three-Body Problem and Space Mission Design 2006 (httpwwwcdscaltechedu~marsdenbooksMission_Designhtml) [9] SD Ross Cylindrical Manifolds and Tube Dynamics in the Restricted Three-Body Problem 2004 [10] W S Koon et al The Genesis Trajectory and Heteroclinic Connections 2000 (httpwwwggcaltechedu~mwlpublicationspapersgenesispdf)

18

1 Uvod

Mehanika orbit se ukvarja z gibanjem raket in ostalih vesoljskih plovil To gibanje se ponavadi računa iz Newtonovih zakonov gibanja Medtem ko se nebesna mehanika ukvarja večinoma z gibanjem večjih teles Osončja ndash planetov njihovih lun asteroidov kometov - je mehanika orbit veja nebesne mehanike ter se ukvarja s tem kako bi spravili vesoljska plovila od enega večjega telesa Osončja do drugega da bi ga lahko raziskali

2 Osnove

Vsako telo ki je veliko lažje od Sonca in se giblje le pod njegovim gravitacijskim vplivom se giblje po orbiti kjer oddaljenost od Sonca r določa enačba [1]

θθ

cos1)(

ea

r+

= a

bae22 +

= (1)

kjer a- velika polos in b ndash mala polos elipse e pa ekscentričnost ali sploščenost orbite

Kot θ merimo od Soncu najbližje točke Tam je 0=θ in velja Ta

točka se imenuje perihelij Nasprotno se točka kjer je telo najdlje od Sonca (

)1( earPER minus=

2πθ =

) imenuje aphelij Če sonda kroži okoli Zemlje se bosta ti točki imenovali perigej in apogej (Gea = Zemlja) [2]

)1( earAP +=

Polna energija plovila je seštevek kinetične in potencialne energije

aGMm

rGMmmvE

22

2

minus=minus= (2)

Največjo hitrost ima sonda v periheliju ee

aGMvper minus

+=

11

najmanjšo pa v afeliju ee

aGMvapo +

minus=

11

Ker ponavadi sondo pošiljamo z Zemlje je normalno predpostaviti da je začetna

orbita kar orbita Zemlje Ponavadi predpostavimo da je Zemljina orbita krožnica saj ima zelo nizko ekscentričnost (e=0017) V tem primeru je velika polos elipse 2a kar enaka 2r Cilj sonde pa so navadno planeti ki pa se nahajajo v približno krožnih orbitah na različnih oddaljenostih od Sonca Torej hočemo sondi toliko spremeniti orbito da bo afelij nove orbite dosegel orbito ciljnega planeta (oziroma če hočemo doseči Soncu bližje planete ndash Merkur in Venera bo zdaj začetna točka nove orbite v afeliju končna pa v periheliju kjer se tudi nahaja cilj) Če hočemo vtiriti sondo okoli ciljnega planeta je na cilju treba zaradi različnih hitrosti še enkrat popraviti orbito sicer bo sonda planet samo obšla

3

Nebesno

telo Velika polos a

[ae] Orbithitrost

[kms] Orbit

Perioda [let]Masa [MZ]

Ekscentričnost orbite

Merkur 0387 479 024 006 0206 Venera 0723 350 062 082 0007 Zemlja 1000 298 100 100 0017 Mars 1524 241 188 011 0093 Jupiter 5203 131 1186 3178 0048 Saturn 9539 967 2946 952 0054 Uran 1918 684 8401 146 0047 Neptun 3006 54 1648 172 0009

Table 1 Poglavitne lastnosti planetov Osončja [2]

1 ae=150109 m MZ=5941024 kg

Skušamo torej povečati ekscentričnost orbite sonde tako da bi čimbolj dvignili aphelij Iz praktično krožne orbite želimo torej čimbolj sploščeno V kolikor je pri tem polna energija sonde konstantna je dosegljiv afelij minmax 2 rar minus= kjer je a začetna oddaljenost od Sonca (na krožnici) pa je perihelij ki je zaradi bližine Sonca navzdol omejen (ne samo da se nočemo zaleteti v Sonce zaradi njegove vročine se mu tudi ni priporočljivo preveč približati saj bi lahko scvrlo občutljive inštrumente in morebitno posadko) Tako vidimo da je ta način nepraktičen saj je afelij omejen potrebujemo pa velik

minr

vΔ

3 Hohmannova prenosna orbita Glede na to da manever potiska vΔ traja maksimalno nekaj minut sam polet pa

je zelo dolgotrajen (samo do Lune potrebujemo nekaj dni čas do ostalih planetov pa merimo v mesecih in letih) lahko manever potiska smatramo kot trenuten kar olajša nadaljno računanje Ker nas zanima oblika novonastale orbite po manevru za trenutek pozabimo da je sonda v bližini Zemlje in privzamimo da je le pod gravitacijskim vplivom Sonca Ko na sondi prižgemo motorje ji damo s tem potisk ki ji spremeni hitrost za Z danim potiskom vΔ vΔ sondi najbolj dvignemo afelij če hitrost povečamo v smeri hitrosti sonde S tem se poveča velika polos a v največji možni meri ker najbolj povečamo vrtilno količino poleg tega s s sunkom v tej smeri najbolj povečamo ekscentričnost orbite S tem smo tudi v največji možni meri povečali polno energijo

sonde torej smo po enačbi 22

3

4πGM

Ta

= s povečanjem a podaljšali tudi periodo P Ker je

perihelij orbite na mestu manevra potovanje traja polovico te periode Orbiti kjer damo sondi v začetni točki potisk v isti smeri kot se giblje sonda in

ki povezuje začetno in končno orbito pravimo Hohmannova prenosna orbita [2]

4

(po Nemcu Walterju Hohmannu ki je manever opisal leta 1925) Ta orbita je v bistvu polovica eliptične orbite ki ima v periheliju enako oddaljenost od Sonca kot Zemlja v apheliju pa enako oddaljenost kot ciljni planet Ker je v afeliju lahko hitrost sonde veliko manjša kot krožilna hitrost ciljnega planeta moramo sondo še enkrat pospešiti z drugim potiskom ki bo sondo s Hohmannove orbite prestavil na novo krožno orbito Zdaj smo na isti orbiti kot ciljni planet Če je sonda blizu planeta bo seveda čutila njegovo gravitacijsko silo zato moramo njeno hitrost prilagoditi tako da se bo utirila okoli planeta sicer bo padla na planet in bo izgubljena

vprimeΔ

Na enak način lahko prenesemo sondo iz Soncu bolj oddaljene orbite v Soncu bližjo orbito (z Zemlje recimo na Venero) najprej sondi odvzamemo hitrost da pade na Hohmannovo orbito v periheliju pa ji ponovno odvzamemo hitrost da se utiri na krožno orbito na enaki oddaljenosti kot je ciljni planet

Če iz enačbe za polno energijo (2) izpostavimo hitrost dobimo

)12(2

arGMv minus= (3)

kjer je v hitrost orbitirajočega telesa gravitacijska konstanta

masa Sonca r je oddaljenost sonde od Sonca a je velika polos eliptične orbite [2] Iz tega dobimo oba potrebna za Hohmannovo orbito

2311 10676 kgsmG minussdot=kgM 30102 sdot=

vΔpotrebna sprememba hitrosti v periheliju

)12(21

2

1

minus+

=Δrr

rr

GMvP (4)

in potrebna sprememba hitrosti v apheliju

)21(21

1

2 rrr

rGMvA +

minus=Δ (5)

kjer sta radij nižje orbite in hkrati perihelij Hohmannove orbite ter ki je radij višje ležeče orbite in istočasno aphelij Hohmanna

1r 2r

Čas ko se bo telo nahajalo v Hohmannovi orbiti (vseeno ali gremo v višjo ali

nižjo orbito) dobimo iz Keplerjevega tretjega zakona in je

GMrr

GMat H

H 8)(4

21 3

2132 +== π

π

(6)

kjer je aH dolžina velike polosi Hohmannove prenosne orbite

5

bull Primer recimo da hočemo spraviti satelit iz nizke orbite okoli Zemlje (višina nad

Zemljo je 300km torej je kmr 66781 = ) v geostacionarno orbito ( km ) Na nižji orbiti je krožilna hitrost 773 kms na višji orbiti pa je 307 kms Za ustrezno eliptično orbito pa velja da je hitrost v perigeju 1015 kms in 161 kms v apogeju Torej sta potrebna v

r 421642 =

Δ 1015 kms minus 773 kms = 242 kms in 307 kms minus 161 kms = 146 kms skupno torej 388 kms

Figure 1 Hohmannov prenos na začetni krožnici (1) povečamo hitrost da sonda preide na eliptični

tir (2) Ko je v afeliju jo z dodatnim popravkom hitrosti vtirimo na novo krožnico (3) [2]

4 Bi-eliptična prenosna orbita

Čeprav je Hohmannova orbita skoraj vedno najbolj ekonomski način da pridemo iz ene krožne orbite v drugo obstajajo situacije kjer je bieleptični prenos še bolj ekonomičen še posebej ko je velika polos končne orbite več kot 12 krat večja kot tista na začetni orbiti [3] Bieliptični prenos je sestavljen iz polovic dveh različnih eliptičnih orbit Iz začetne orbite damo sondi ki sondo ponese na eliptični orbiti ki sega veliko dlje kot druga krožna orbita do aphelija Tam se ponovno vklopijo motorji in dodaten ∆v spremeni tirnico sonde tako da je sicer še vedno eliptična vendar se zdaj perihelij dotika ciljne krožne orbite Ko torej sonda pride po eliptični orbiti do perihelija moramo z motorji spet popraviti hitrost in sonda se vtiri na novo krožno orbito

vΔ

6

Figure 2 Bi-eliptični prenos iz začetne krožnice (1) sondo pošljemo na eliptični tir V afeliju (2)

majhne popravek hitrosti in sonda je na novi eliptični tirnici v novem periheliju (3) vtiritev v novo krožnico [3]

Če spet poračunamo kolikšni prispevki hitrosti so potrebni

Prvi sunek 010

12

rGM

aGM

rGMv minusminus=Δ V najbolj oddaljeni točki sondi povečamo

hitrost za 12

222

aGM

rGM

aGM

rGMv

bb

minusminusminus=Δ Zadnji popravek je na končni krožni

orbiti kjer moramo sondo zaustaviti 2

32

aGM

rGM

rGMv

kk

minusminus=Δ kjer sta in

veliki polosi obeh eliptičnih orbit in sta podani z

1a

2a21

br rra

+= in

22bk rr

a+

=

Kot pri Hohmannovi orbiti je čas ko je sonda na prenosni orbiti ravno polovica periode za celo eliptično orbito Torej moramo samo sešteti časa za vsako polovico

eliptičnih orbit GMat

31

1 π= in GMat

32

2 π= in je torej čas prenosa 21 ttt +=

bull PRIMER Da bi spravili sondo iz nizke krožne Zemeljske orbite z km na novo krožno orbito z km

r 67000 =rr 9380014 01 == bi s Hohmannovim prenosom

morali sondi dati vΔ =282434+130838=413272 ms Če pa bi sondi najprej dali sunek 306031 ms in jo s tem spravili v novo orbito s apogejem pri

km ji v apogeju dali nov sunek 608679 ms kar bi jo spravilo na novo eliptnično orbito s perigejem na km

rr 26800040 02 ==rr 9380014 01 == kjer bi jo končno

še malo zaustavili in sicer z vΔ =447554 ms kar bi sondo spravilo v končno krožno orbito Potem bi skupen vΔ bil v primerjavi z Hohmannovim prenosom malo manjši v konkretnem primeru 1618ms kar se sicer ne sliši veliko vendar je pri vesoljskih poletih vsakršno varčevanje z gorivom pomembno

Še primerjava časov Hohmannovega in bi-eliptičnega prenosa za konkretni primer bi z Hohmannovim prenosom sondo prestavili v 15 urah in pol medtem ko bi za bi-eliptični manever potrebovali okoli 74 ur Pri medplanetarnih poletih so seveda časovne razlike še

7

toliko večje so pa tudi prihranki goriva večji Tukaj se potem pač odločamo kako zelo se nam mudi spraviti satelit v novo orbito oziroma koliko goriva hočemo prihraniti

Popravek orbite Hohmannov prenos ∆v (ms) Bi-eliptični prenos ∆v (ms)

1 282434 306031 2 130838 608679 3 - 447554 Σ 413272 411654

Tako Hohmannova kot bi-eliptična orbita pa imata to slabost da ostaneta v isti

ravnini kot kroži Zemlja okoli Sonca čeprav nekateri planeti krožijo okoli Sonca pod drugače nagnjenih ravninah (recimo ravnina Plutona je za 13ordm nagnjena glede na Zemljino) Torej je najprej potrebno smer vrtilne količine spremeniti za 13ordm in še potem opraviti Hohmannov manever Energijsko še bolj potratne so misije ko je treba sondo vtiriti v polarno orbito recimo okoli Sonca

5 Gravitacijska frača Vse do zdaj nismo upoštevali da imajo planeti lastno gravitacijsko privlačnost Vendar lahko z upoštevanjem gravitacijske sile planetov dosežemo še druge manevre ki nam dovoljujejo še bolj ekonomične polete sond Recimo v primeru sonde Cassini ki so jo izstrelili leta 1997 in jo poslali proti Saturnu Po prejšnjih metodah bi ji morali povečati hitrost za 10 kms čas potovanja pa bi bil šest let Namesto tega so ji povečali hitrost le za 4 kms jo poslali na zapleteno orbito ki je vključevala 2 preleta mimo Venere prelet mimo Zemlje in še en mimo Jupitra Na tak način se je vtirila okoli Saturna leta 2004 le eno leto kasneje kot bi prišla na Hohmannovi orbiti ki potrebuje veliko več goriva [4]

Figure 3 Trajektorija sonde Cassini mimo večih planetov [5]

8

Glavna lastnost tega manevra je da planet spremeni sondino hitrost relativno na

Sonce čeprav se ohranja hitrost sonde relativno na planet namreč za sistem sonda-planet se morata ohranjati gibalna količina in energija ndash gravitacija planeta le spremeni smer hitrosti sonde Ko sta sonda in planet še toliko oddaljena med seboj da še ni znatnega medsebojnega vpliva se gibljeta s hitrostjo invv in inV

v po preletu pa z in outvv

outVv

Ker sistem ohranja gibalno količino velja

outoutinin VMvmVMvmvvvv +=+ (6)

kjer sta m in M masi sonde oziroma planeta Enačba se preuredi v

)( outininout vvMmVV vvvv

minus=minus Zaradi velike razlike v masah (sonda tipično tehta nekaj 100

kilogramov do nekaj ton planeti pa od 1024 do 1027kg) je razmerje mas mM zanemarljivo majhno 10-21mdash10-24 zato lahko brez problema zapišemo

VVV outin

vvv== (hitrost planeta se ne spremeni z natančnostjo vsaj 10-21) Sonda torej

zanemarljivo malo vpliva na gibanje planeta prelet Galileja je recimo upočasnil Zemljo za slabi 2 milijardinki centimetra na leto S preletom torej ne dobimo hitrosti iz nič ampak je vpliv na planet tako majhen da ni merljiv Kot smo prej videli se hitrost sonde glede na planet ne spremeni spremeni se le smer hitrosti inout uu vv = To je lepo vidno v sistemu kjer miruje planet Če se zdaj preselimo v sistem kjer miruje Sonce pa vidimo da se hitrost sonde transformira kot Vuv outinoutin

vvv += Torej lahko zapišemo da planet s svojo gravitacijo spremeni smer hitrosti sonde zaradi tega pa se sondi spremeni velikost hitrosti relativno na Sonce

Figure 4 shema gravitacijske frače - Puščice kažejo smeri potovanja sonde pred in po srečanju s planetom dolžina puščic predstavlja hitrost sonde Na prvi sliki gledamo iz vidika mirujočega planeta na drugi pa iz sistema kjer miruje Sonce [4]

9

Ker se gibalna količina ohranja imamo opravka s

sipanjem sonde na planetu ohranitev energije pa nam zagotovi da je sipanje oziroma trk elastično Določimo α oziromaαprime kot kota med smerjo planeta V

v in smerjo sonde

oziroma kot β pa naj bo odklon sonde relativno na planet oziroma kot sipanja v sistemu kjer planet miruje Velja

invv outvv

)sin(sinsin

)cos()cos1(cosβαβα

βαβαminus+=prime

minus+minus=prime

inout

inout

vVvvVv

(7)

Ugotovimo da ob izbranih parametrih )( αVvin hitrost narašča s kotom β Maksimum doseže pri kotu

outv

maxββ = ki je v zvezi

Vvin

minusαα

cossin

vin

=βtan max (8)

ko je 0=primeα oziroma ko je vzporeden z Voutvv

v

Figure 5 Sprememba kota α v α prime po preletu mimo planeta

Po maksimumu z outvv β spet pada

za inout vv = max0 2βββ == Vidimo pa da obstaja simetrija kar pomeni da dobimo enako spremembo hitrosti pri dveh različnih kotih

21β ki sta v zvezi max21 2βββ =+ Načeloma je bolj priljubljen manjši sipalni kot da se izognemo morebitnemu vplive atmosfere planeta Za kote 0ββ gt je sonda izgubi hitrost Recimo pri kotih

inout vv ltdegminus== 301ββ

ter deg== 1922ββ je razmerje 750=in

outv

v

To seveda uporabljamo za zaviranje sonde

Figure 6 Odvisnost Vvout od β za

deg== 4051 αVvin [4]

10

Relativni potiskin

outv

v je navzgor neomejen (čeprav redko prekorači vrednost 2)

absolutni potisk pa je za primer točkastega planeta navzgor omejen z 2V Ker pa smo omejeni z začetnimi parametri (

inout vv minus

invα ) zaradi medsebojnega položaja Zemlje in planeta v času izstrelitve sonde Večinoma se pri gravitacijski frači govori o pridobljeni hitrosti sonde čeprav je včasih pomembneje da s preletom spremenimo sondi smer Če pogledamo primer sonde Voyager ndash ta je že po preletu Jupitra imel dovolj visoko hitrost da bi lahko ušel iz Osončja in torej dosegel tudi katerikoli planet vendar mu vsa ta hitrost ne pomaga čisto nič če ne prileti mimo svojega cilja Zato je bilo sondo na vsakem planetu še pravilno preusmeriti Vsak dodaten potisk ob prehodu mimo planeta pa je še dodatna dobrodošla posledica ki je skrajšala potovanje Prej smo videli na primeru sonde Cassini ki je v primerjavi z Hohmannovim prenosom raquozamudilalaquo eno leto na račun manjšega potiska Voyager bi do Neptuna potreboval 30 let in ogromno goriva z večkratno uporabo gravitacijske frače pa je tja z manjšim potiskom potreboval zgolj 12let Šele tukaj vidimo pravo moč gravitacijske frače Tukaj je pomembna razlika da se pri Hohmannovem prenosu lahko vtirimo okoli Neptuna medtem ko je Voyager na svojem potovanju nabral tolikšno hitrost da je mimo Neptuna samo odbrzel Za zaustavitev bi bile spet potrebne velike spremembe hitrosti

Žal pa je potrebne čase za dosego ciljnih planetov zdaj veliko težje računati saj moramo poznati hitrost sonde ko pride do vmesnega planeta ter točen kot sipanja da lahko dobimo novo hitrost in smer itd

Figure 5 Pot sonde Voyager 1 ko je obiskala večino zunanjih planetov Osončja [4]

11

6 Medplanetarno transportno omrežje Gibanje sonde postane še posebno zapleteno če nehamo obravnavati polet sonde kot več ločenih problemov dveh teles (sonda se giblje okoli Sonca sonda se giblje okolimimo planeta) ampak polet obravnavamo kot problem treh teles (ali še huje- večih teles) Pri problemu treh teles gledamo gibanje zanemarljivo lahkega telesa v okolici dveh masivnih teles in res je masa sonde v primerjavi z masami Sonca in planetov zanemarljivo majhna Izkaže se da problem treh teles analitično ponavadi ni rešljiv torej ga moramo reševati z numeričnimi metodami Vseeno pa je bilo ugotovljenih nekaj pomembnih stvari Izkazalo se je da v okolici dveh teles z znatno maso ki krožita drugo okoli drugega obstajajo v prostoru točke v katerih se telo z zanemarljivo maso ndash recimo satelit ali vesoljska postaja ali asteroid ndash giblje tako da se njegov položaj glede na prvi dve ne spreminja S problemom sta se med prvimi ukvarjala Euler in Lagrange Slepi Euler je samo z računanjem na pamet odkril tri take točke Lagrange pa s temeljito analizo še dve dodatni Teh pet točk danes imenujemo Lagrangeove točke

Poglejmo recimo na primer sistem Zemlje in satelita Kot vemo sta obhodni čas in hitrost vsakega telesa ki kroži okoli Zemlje določena z njegovo oddaljenostjo od središča Zemlje Če upoštevamo še gravitacijo Lune imamo gravitacijsko silo Zemlje ki vleče proti težišču Zemlje ter gravitacijsko silo Lune ki vleče proti centru Lune Če satelit v nekem trenutku leži nekje na zveznici med središčema Zemlje in Lune bosta ti sili nasprotno usmerjeni zato se bo satelit ki leži med Zemljo in Luno gibal tako kot da bi nanj delovala za Lunino težnost zmanjšana težnost Zemlje Drugače povedano giblje se z obhodnim časom kot da bi navidezno krožil okoli središča Zemlje na večji oddaljenosti od dejanske Če je ta navidezna razdalja natančno enaka razdalji med Zemljo in Luno satelit okoli prve kroži z obhodnim časom ki je enak obhodnemu času Lune kar pomeni da bo vedno na zveznici med Zemljo in Luno Takrat je v 1 Lagrangeovi točki navadno imenovani L1 Leži bliže Luni kot Zemlji na 84 razdalje med njima Na podoben način bi lahko našli še L2 točko (za Luno) in L3 točko (leži na nasprotni strani Zemlje kot Luna) Preostali dve točki L4 in L5 ležita na Luninem tiru tako da je kot med zveznicama med Luno in Zemljo ter satelitom 60ordm torej sta na enaki oddaljenosti od Zemlje kot od Lune Okoli Zemljine L1 točke (med Soncem in Zemljo) trenutno kroži satelit SOHO ki opazuje Sonce in heliosfero ker z nje njegovega pogleda na Sonce nikoli nič ne zastre v Zemljini L2 pa je recimo Wilkinsonova postaja za merjenje anizotropije mikrovalovnega sevanja vesolja (WMAP) s katero se raziskujejo lastnosti velikega poka in vanjo bodo v prihodnosti utirili recimo tudi satelit Gaio

12

Figure 6 Zemljine Lagrangeove točke [6]

Nahajališča Lagrangeovih točk zapišemo jih v sistemu v katerem obe masivnejši

telesi mirujeta in je masivnejše telo (navadno Sonce) v izhodišču manj masivno pa na x-osi na oddaljenosti R Točke so v [7]

L1 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

MMR

L2 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

MMR

L3 )01251(

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminus

MMR

L4 in L5 )23)(

2(

21

21 RMMMMR

plusmn+minus

L4 in L5 sta stabilni točki kar pomeni da sondo ki se nahaja v njiju rahlo

zmotimo se bo ta samo vrnila v začetno točko (v kolikor je perturbacija majhna) Istočasno to pomeni da se počasna telesa lahko ujamejo v ti dve točki oziroma potujejo okoli njiju In res je bilo v bližini Jupitrovih L4 in L5 točkah odkrito večje število asteroidov ki zdaj potujejo z enako periodo kot Jupiter okoli Sonca

13

Figure 7 Odkriti asteroidi v L4 in L5 Jupitra [6]

Po drugi strani pa so L1 L2 in L3 nestabilne točke Ob najmanjši gravitacijski

motnji bi sondo ki se nahaja v kateri od njih odneslo iz Lagrangeove točke Zato je treba satelitom ki so v teh točkah vsake toliko časa vključiti motorje da jo vrnejo na pravo mesto

Izkazalo pa se je da je potrebno zelo malo energije da sondo spravimo iz ene nestabilne L-točke v drugo [8] Če želimo vtiriti sondo v Lunino L1 točko je za to potrebna hitrost 49kms Če pa bi sedaj hoteli sondo od tam poslati v recimo Zemljino L2 točko bi bila za to potrebna dodatna hitrost le 0014 kms (50kmh) (Spomnimo se da je Lunina L1 točka od Zemlje oddaljena 322500 km (okoli 86 razdalje med Zemljo in Luno) Zemljina L2 pa 1500000 km) Očitno se da z zelo majhnimi spremembami hitrosti priti zelo daleč praktično do vseh planetov Tako je v Osončju pravo omrežje takšnih poceni povezovalnih poti čemur so dali ime Medplanetarno prenosno omrežje (Interplanetary Transport Network - ITN) ali tudi Medplanetna avtocesta (Interplanetary Superhighway - IPS)

Odkritje tega omrežje temelji na delu Poincareja ki se je z tem problemom okvarjal ob koncu 19 stoletja Ta je med drugim odkril da je analitično nemogoče natančno izračunati poti teles ki se začenjajo v bližini neke nestabilne Lagrangeeve točke Poglejmo to malo podrobneje

14

Enačbe gibanja [9] Če sta M1 in M2 masi večjih teles in

zapišemo21

2

MMM+

=μ iščemo enačbe gibanja za točkasto telo v okolici dveh masivnih

teles v rotirajočem sistemu kjer prvo telo v točki (-μ0) drugo pa v (1- μ0) Lahko tretje telo naj bo v točki (xy) in naj bo oddaljenost do prve in druge mase r1 ter r2 Potem velja

221 )( yxr ++= μ ter 22

2 )1( yxr ++minus= μ Potem je gravitacijska potencialna energija tretjega telesa

21

1)(rr

yxV μμminus

minusminus= (9)

Kinetična energija tretjega telesa je

[ ]22 )()(21)( xyyxyxyxK ++minus= ampampampamp (10)

in Lagranžijan tretjega telesa je potem

)()()( yxVyxyxKyxyxL minus= ampampampamp Enačbe gibanja so potem po Euler-Lagrangeovih enačbah

xVyxpartpart

minus=minus ampampamp 2 in yVxypartpart

minus=minus ampampamp 2 (11)

kjer je efektivni potencial 2

22 yxVV minusminus= Polna energija je )()(

21 22 yxVyxE ++= ampamp

Figure 8 Efektivni potencial okoli dveh masivnih teles ter označene Lagrangeeve točke

Na desni sliki je s sivo označeno prepovedano območje svetla je Hillova regija ndash območje po katerem se delec lahko giblje [8]

15

Na drugi sliki pa je področje ki ga dobimo če upoštevamo ohranitev energije in gledamo samo določeno energijo E Zato za dan energijski nivo E velja da se lahko tretje telo giblje zgolj po področje kjer velja 0geminusVE To je tako imenovana Hillova regija[7] in jo dobimo če presekamo graf efektivnega potenciala z vodoravno ravnino ki predstavlja energijo Kot primer je podana Hillova regija (bela barva ) za tretje telo v okolici Sonca in Jupitra vidimo tri območja ndash Sončevo območje Jupitrovo območje ter zunanje območje ki so povezana med seboj z ozkimi vratovi V levem vratu je L1 v desnem pa L2 Če bi pogledali pri drugačnih energijah bi prehod med območji lahko bil onemogočen ker bi vrata bila zaprta

Pri problemu treh teles je bistvena ugotovitev da obstaja neskončno veliko možnih poti ki bi pripeljale sondo do ciljne točke in jih je mogoče razvstiti v družine podobnih trajektorij Takšna družina leži na površini namišljene cevi ki jih imenujemo Conley ndashMcGeheejeve cevi [7]

Telo ki odleti iz Lagrangeeve točke se skozi vesolje po eni od teh trajektorij giblje tako kot bi potovalo po vijačnici na površini cevi Za vsako cev ki vodi od Lagrangeeve točke obstaja še ena ki vanjo vodi Torej bi se sonda po eni od teh cevi pripeljala v Lagrangeovo točko tam preskočila na drugo cev in po njej praktično zastonj odpotovala v vesolje

Figure 9 Conley-McGehee jeve cevi Sonda pride po površini zelene cevi v bližini Lagrangeeve

točke preide na površino odvodne rdeče cevi in se odpravi proti naslednji Lagrangeevi točki ki jo približa cilju [3]

Naslednja pomembna lastnost tega omrežja je da se ves čas spreminja saj se vsi

planeti in lune vrtijo Ker pa se gibljejo po znanih zakonih nebesne mehanike je možno z računalniškimi simulacijami določiti optimalno trajektorijo sonde To je dejansko uspelo šele leta 1980 Nasinemu matematiku Martinu Loju ki je odkril nizkoenergijske poti ki povezujejo Lagrangeeve točke Lune Zemlje Marsa Saturna in Jupitra Dokler se sonda nahaja na površini te cevi je na nizkoenergijski tirnici (orbita je zdaj neprimeren izraz) ki nas poceni pripelje na ciljno točko če pa bi se od te cevi oddaljila pa bi jo odneslo nekam stran od cilja (in se slej ko prej ujela v orbito okoli masivnega telesa) ter bi jo lahko na pravo pot postavili le z veliko porabo goriva

16

Slabost uporabe ITN pa je čas Gibanje sonde po Omrežju zna biti zelo počasno in zna biti v najboljšem primeru nekajkrat daljše od Hohmannovega prenosa Tako da se za kakšne obljudene vesoljske ladje ne more uporabljati prav tako ne takrat ko bi radi na kakem planetu čimprej nekaj preverili oz odkrili Razen če spet ne nastopi cenahellip

Figure 10 Primerjava dveh metod za doseganje Lune Levo zgoraj je Hohmannov prenos ki je časovno najkrajši vendar energijsko potraten Novejše raziskave dajejo energijsko ugodnejše in

časovno ne preveč potratne tirnice [8]

ITS je še relativno mlada veja mehanike orbit zato se še ni razcvetela Do zdaj so to tehniko uporabili pri sondah ISEE-3 Hiten SMART-1 Genesis ISEE-3 so na pot poslali že leta 1978 in je raziskovala Sonce ter Zemljo Takrat kaotične zgradbe medplanetne ceste še niso čisto dobro razumeli in izstrelitev sonde po takšni trajektoriji je omogočala le delna in nepopolna računalniška analiza gravitacijske pokrajine med Zemljo in Soncem Če bi bil polet daljši bi se sonda zelo verjetno izgubila v vesolju Kasneje so Japonci z metodo ITS rešili svoj satelit Hiten ko mu je na napačni orbiti zmanjkalo goriva jim ga je uspelo na pravo usmeriti po nizkoenergijski tirnici IPS Leta 2001 so izstrelili še sondo Genesis namenjeno raziskovanju Sončevih nabitih delcev Ta satelit je bil namenoma izstreljen v kaotično orbito ki ga je dve leti nekajkrat vodila okrog Zemljine L1 točke nato obkrožila L2 in se z vzorci vrnila na Zemljo [10] Njena pot vključno z trenutkom vrnitve je bila že nekaj let pred izstrelitvijo natanko določena Misija bi bila čisti uspeh če bi le na koncu sonda odprla padalahellip Kljub temu je misija pokazala kako z uporabo sodobnih računalniških metod lahko natančno izračunamo zapletene trajektorije za poti po vesolju

17

Figure 11 Tir sonde Genesis [10]

7 Zaključek

Predstavljenih je bilo nekaj načinov doseganja drugih planetov z raziskovalnimi sondami V kolikor sta v preteklosti dominirala Hohmannov prenos in gravitacijska frača se danes vedno bolj uveljavlja tudi metoda ITS Za razliko od prejšnjih dveh za metodo ITS zadostujejo nizke hitrosti sonde vendar je ta metoda žal časovno zelo potratna Zato se je treba odločati med ekonomičnostjo metodo in potrebnim časom potovanja ko načrtujemo raziskovalni polet k drugim nebesnim telesom

8 Literatura [1] L N Hand amp J D Finch Analytical Mechanics Cambridge University Press 1998 [2] O Montenbruck amp E Gill Satellite Orbits Springer verlag 2000 [3] Wikipedia Bi-elliptic transfer (httpenwikipediaorgwikiBi-elliptic_transfer) [4] R C Johnson The Slingshot Effect 2003 (httpmathsduracuk~dma0rcjPslingslingpdf) [5] Wikipedia Cassini-Huygens (httpenwikipediaorgwikiCassini-Huygens) [6] Wikipedia Lagrangian points (httpenwikipediaorgwikiLagrangian_points) [7] J EMarsden amp S D Ross New Methods in Celestial Mechanics and Mission Design 2005 (httpwwwesmvtedu~sdrosspapersMaRo_amspdf) [8] W S Koon et al Dynamical Systems the Three-Body Problem and Space Mission Design 2006 (httpwwwcdscaltechedu~marsdenbooksMission_Designhtml) [9] SD Ross Cylindrical Manifolds and Tube Dynamics in the Restricted Three-Body Problem 2004 [10] W S Koon et al The Genesis Trajectory and Heteroclinic Connections 2000 (httpwwwggcaltechedu~mwlpublicationspapersgenesispdf)

18

Nebesno

telo Velika polos a

[ae] Orbithitrost

[kms] Orbit

Perioda [let]Masa [MZ]

Ekscentričnost orbite

Merkur 0387 479 024 006 0206 Venera 0723 350 062 082 0007 Zemlja 1000 298 100 100 0017 Mars 1524 241 188 011 0093 Jupiter 5203 131 1186 3178 0048 Saturn 9539 967 2946 952 0054 Uran 1918 684 8401 146 0047 Neptun 3006 54 1648 172 0009

Table 1 Poglavitne lastnosti planetov Osončja [2]

1 ae=150109 m MZ=5941024 kg

Skušamo torej povečati ekscentričnost orbite sonde tako da bi čimbolj dvignili aphelij Iz praktično krožne orbite želimo torej čimbolj sploščeno V kolikor je pri tem polna energija sonde konstantna je dosegljiv afelij minmax 2 rar minus= kjer je a začetna oddaljenost od Sonca (na krožnici) pa je perihelij ki je zaradi bližine Sonca navzdol omejen (ne samo da se nočemo zaleteti v Sonce zaradi njegove vročine se mu tudi ni priporočljivo preveč približati saj bi lahko scvrlo občutljive inštrumente in morebitno posadko) Tako vidimo da je ta način nepraktičen saj je afelij omejen potrebujemo pa velik

minr

vΔ

3 Hohmannova prenosna orbita Glede na to da manever potiska vΔ traja maksimalno nekaj minut sam polet pa

je zelo dolgotrajen (samo do Lune potrebujemo nekaj dni čas do ostalih planetov pa merimo v mesecih in letih) lahko manever potiska smatramo kot trenuten kar olajša nadaljno računanje Ker nas zanima oblika novonastale orbite po manevru za trenutek pozabimo da je sonda v bližini Zemlje in privzamimo da je le pod gravitacijskim vplivom Sonca Ko na sondi prižgemo motorje ji damo s tem potisk ki ji spremeni hitrost za Z danim potiskom vΔ vΔ sondi najbolj dvignemo afelij če hitrost povečamo v smeri hitrosti sonde S tem se poveča velika polos a v največji možni meri ker najbolj povečamo vrtilno količino poleg tega s s sunkom v tej smeri najbolj povečamo ekscentričnost orbite S tem smo tudi v največji možni meri povečali polno energijo

sonde torej smo po enačbi 22

3

4πGM

Ta

= s povečanjem a podaljšali tudi periodo P Ker je

perihelij orbite na mestu manevra potovanje traja polovico te periode Orbiti kjer damo sondi v začetni točki potisk v isti smeri kot se giblje sonda in

ki povezuje začetno in končno orbito pravimo Hohmannova prenosna orbita [2]

4

(po Nemcu Walterju Hohmannu ki je manever opisal leta 1925) Ta orbita je v bistvu polovica eliptične orbite ki ima v periheliju enako oddaljenost od Sonca kot Zemlja v apheliju pa enako oddaljenost kot ciljni planet Ker je v afeliju lahko hitrost sonde veliko manjša kot krožilna hitrost ciljnega planeta moramo sondo še enkrat pospešiti z drugim potiskom ki bo sondo s Hohmannove orbite prestavil na novo krožno orbito Zdaj smo na isti orbiti kot ciljni planet Če je sonda blizu planeta bo seveda čutila njegovo gravitacijsko silo zato moramo njeno hitrost prilagoditi tako da se bo utirila okoli planeta sicer bo padla na planet in bo izgubljena

vprimeΔ

Na enak način lahko prenesemo sondo iz Soncu bolj oddaljene orbite v Soncu bližjo orbito (z Zemlje recimo na Venero) najprej sondi odvzamemo hitrost da pade na Hohmannovo orbito v periheliju pa ji ponovno odvzamemo hitrost da se utiri na krožno orbito na enaki oddaljenosti kot je ciljni planet

Če iz enačbe za polno energijo (2) izpostavimo hitrost dobimo

)12(2

arGMv minus= (3)

kjer je v hitrost orbitirajočega telesa gravitacijska konstanta

masa Sonca r je oddaljenost sonde od Sonca a je velika polos eliptične orbite [2] Iz tega dobimo oba potrebna za Hohmannovo orbito

2311 10676 kgsmG minussdot=kgM 30102 sdot=

vΔpotrebna sprememba hitrosti v periheliju

)12(21

2

1

minus+

=Δrr

rr

GMvP (4)

in potrebna sprememba hitrosti v apheliju

)21(21

1

2 rrr

rGMvA +

minus=Δ (5)

kjer sta radij nižje orbite in hkrati perihelij Hohmannove orbite ter ki je radij višje ležeče orbite in istočasno aphelij Hohmanna

1r 2r

Čas ko se bo telo nahajalo v Hohmannovi orbiti (vseeno ali gremo v višjo ali

nižjo orbito) dobimo iz Keplerjevega tretjega zakona in je

GMrr

GMat H

H 8)(4

21 3

2132 +== π

π

(6)

kjer je aH dolžina velike polosi Hohmannove prenosne orbite

5

bull Primer recimo da hočemo spraviti satelit iz nizke orbite okoli Zemlje (višina nad

Zemljo je 300km torej je kmr 66781 = ) v geostacionarno orbito ( km ) Na nižji orbiti je krožilna hitrost 773 kms na višji orbiti pa je 307 kms Za ustrezno eliptično orbito pa velja da je hitrost v perigeju 1015 kms in 161 kms v apogeju Torej sta potrebna v

r 421642 =

Δ 1015 kms minus 773 kms = 242 kms in 307 kms minus 161 kms = 146 kms skupno torej 388 kms

Figure 1 Hohmannov prenos na začetni krožnici (1) povečamo hitrost da sonda preide na eliptični

tir (2) Ko je v afeliju jo z dodatnim popravkom hitrosti vtirimo na novo krožnico (3) [2]

4 Bi-eliptična prenosna orbita

Čeprav je Hohmannova orbita skoraj vedno najbolj ekonomski način da pridemo iz ene krožne orbite v drugo obstajajo situacije kjer je bieleptični prenos še bolj ekonomičen še posebej ko je velika polos končne orbite več kot 12 krat večja kot tista na začetni orbiti [3] Bieliptični prenos je sestavljen iz polovic dveh različnih eliptičnih orbit Iz začetne orbite damo sondi ki sondo ponese na eliptični orbiti ki sega veliko dlje kot druga krožna orbita do aphelija Tam se ponovno vklopijo motorji in dodaten ∆v spremeni tirnico sonde tako da je sicer še vedno eliptična vendar se zdaj perihelij dotika ciljne krožne orbite Ko torej sonda pride po eliptični orbiti do perihelija moramo z motorji spet popraviti hitrost in sonda se vtiri na novo krožno orbito

vΔ

6

Figure 2 Bi-eliptični prenos iz začetne krožnice (1) sondo pošljemo na eliptični tir V afeliju (2)

majhne popravek hitrosti in sonda je na novi eliptični tirnici v novem periheliju (3) vtiritev v novo krožnico [3]

Če spet poračunamo kolikšni prispevki hitrosti so potrebni

Prvi sunek 010

12

rGM

aGM

rGMv minusminus=Δ V najbolj oddaljeni točki sondi povečamo

hitrost za 12

222

aGM

rGM

aGM

rGMv

bb

minusminusminus=Δ Zadnji popravek je na končni krožni

orbiti kjer moramo sondo zaustaviti 2

32

aGM

rGM

rGMv

kk

minusminus=Δ kjer sta in

veliki polosi obeh eliptičnih orbit in sta podani z

1a

2a21

br rra

+= in

22bk rr

a+

=

Kot pri Hohmannovi orbiti je čas ko je sonda na prenosni orbiti ravno polovica periode za celo eliptično orbito Torej moramo samo sešteti časa za vsako polovico

eliptičnih orbit GMat

31

1 π= in GMat

32

2 π= in je torej čas prenosa 21 ttt +=

bull PRIMER Da bi spravili sondo iz nizke krožne Zemeljske orbite z km na novo krožno orbito z km

r 67000 =rr 9380014 01 == bi s Hohmannovim prenosom

morali sondi dati vΔ =282434+130838=413272 ms Če pa bi sondi najprej dali sunek 306031 ms in jo s tem spravili v novo orbito s apogejem pri

km ji v apogeju dali nov sunek 608679 ms kar bi jo spravilo na novo eliptnično orbito s perigejem na km

rr 26800040 02 ==rr 9380014 01 == kjer bi jo končno

še malo zaustavili in sicer z vΔ =447554 ms kar bi sondo spravilo v končno krožno orbito Potem bi skupen vΔ bil v primerjavi z Hohmannovim prenosom malo manjši v konkretnem primeru 1618ms kar se sicer ne sliši veliko vendar je pri vesoljskih poletih vsakršno varčevanje z gorivom pomembno

Še primerjava časov Hohmannovega in bi-eliptičnega prenosa za konkretni primer bi z Hohmannovim prenosom sondo prestavili v 15 urah in pol medtem ko bi za bi-eliptični manever potrebovali okoli 74 ur Pri medplanetarnih poletih so seveda časovne razlike še

7

toliko večje so pa tudi prihranki goriva večji Tukaj se potem pač odločamo kako zelo se nam mudi spraviti satelit v novo orbito oziroma koliko goriva hočemo prihraniti

Popravek orbite Hohmannov prenos ∆v (ms) Bi-eliptični prenos ∆v (ms)

1 282434 306031 2 130838 608679 3 - 447554 Σ 413272 411654

Tako Hohmannova kot bi-eliptična orbita pa imata to slabost da ostaneta v isti

ravnini kot kroži Zemlja okoli Sonca čeprav nekateri planeti krožijo okoli Sonca pod drugače nagnjenih ravninah (recimo ravnina Plutona je za 13ordm nagnjena glede na Zemljino) Torej je najprej potrebno smer vrtilne količine spremeniti za 13ordm in še potem opraviti Hohmannov manever Energijsko še bolj potratne so misije ko je treba sondo vtiriti v polarno orbito recimo okoli Sonca

5 Gravitacijska frača Vse do zdaj nismo upoštevali da imajo planeti lastno gravitacijsko privlačnost Vendar lahko z upoštevanjem gravitacijske sile planetov dosežemo še druge manevre ki nam dovoljujejo še bolj ekonomične polete sond Recimo v primeru sonde Cassini ki so jo izstrelili leta 1997 in jo poslali proti Saturnu Po prejšnjih metodah bi ji morali povečati hitrost za 10 kms čas potovanja pa bi bil šest let Namesto tega so ji povečali hitrost le za 4 kms jo poslali na zapleteno orbito ki je vključevala 2 preleta mimo Venere prelet mimo Zemlje in še en mimo Jupitra Na tak način se je vtirila okoli Saturna leta 2004 le eno leto kasneje kot bi prišla na Hohmannovi orbiti ki potrebuje veliko več goriva [4]

Figure 3 Trajektorija sonde Cassini mimo večih planetov [5]

8

Glavna lastnost tega manevra je da planet spremeni sondino hitrost relativno na

Sonce čeprav se ohranja hitrost sonde relativno na planet namreč za sistem sonda-planet se morata ohranjati gibalna količina in energija ndash gravitacija planeta le spremeni smer hitrosti sonde Ko sta sonda in planet še toliko oddaljena med seboj da še ni znatnega medsebojnega vpliva se gibljeta s hitrostjo invv in inV

v po preletu pa z in outvv

outVv

Ker sistem ohranja gibalno količino velja

outoutinin VMvmVMvmvvvv +=+ (6)

kjer sta m in M masi sonde oziroma planeta Enačba se preuredi v

)( outininout vvMmVV vvvv

minus=minus Zaradi velike razlike v masah (sonda tipično tehta nekaj 100

kilogramov do nekaj ton planeti pa od 1024 do 1027kg) je razmerje mas mM zanemarljivo majhno 10-21mdash10-24 zato lahko brez problema zapišemo

VVV outin

vvv== (hitrost planeta se ne spremeni z natančnostjo vsaj 10-21) Sonda torej

zanemarljivo malo vpliva na gibanje planeta prelet Galileja je recimo upočasnil Zemljo za slabi 2 milijardinki centimetra na leto S preletom torej ne dobimo hitrosti iz nič ampak je vpliv na planet tako majhen da ni merljiv Kot smo prej videli se hitrost sonde glede na planet ne spremeni spremeni se le smer hitrosti inout uu vv = To je lepo vidno v sistemu kjer miruje planet Če se zdaj preselimo v sistem kjer miruje Sonce pa vidimo da se hitrost sonde transformira kot Vuv outinoutin

vvv += Torej lahko zapišemo da planet s svojo gravitacijo spremeni smer hitrosti sonde zaradi tega pa se sondi spremeni velikost hitrosti relativno na Sonce

Figure 4 shema gravitacijske frače - Puščice kažejo smeri potovanja sonde pred in po srečanju s planetom dolžina puščic predstavlja hitrost sonde Na prvi sliki gledamo iz vidika mirujočega planeta na drugi pa iz sistema kjer miruje Sonce [4]

9

Ker se gibalna količina ohranja imamo opravka s

sipanjem sonde na planetu ohranitev energije pa nam zagotovi da je sipanje oziroma trk elastično Določimo α oziromaαprime kot kota med smerjo planeta V

v in smerjo sonde

oziroma kot β pa naj bo odklon sonde relativno na planet oziroma kot sipanja v sistemu kjer planet miruje Velja

invv outvv

)sin(sinsin

)cos()cos1(cosβαβα

βαβαminus+=prime

minus+minus=prime

inout

inout

vVvvVv

(7)

Ugotovimo da ob izbranih parametrih )( αVvin hitrost narašča s kotom β Maksimum doseže pri kotu

outv

maxββ = ki je v zvezi

Vvin

minusαα

cossin

vin

=βtan max (8)

ko je 0=primeα oziroma ko je vzporeden z Voutvv

v

Figure 5 Sprememba kota α v α prime po preletu mimo planeta

Po maksimumu z outvv β spet pada

za inout vv = max0 2βββ == Vidimo pa da obstaja simetrija kar pomeni da dobimo enako spremembo hitrosti pri dveh različnih kotih

21β ki sta v zvezi max21 2βββ =+ Načeloma je bolj priljubljen manjši sipalni kot da se izognemo morebitnemu vplive atmosfere planeta Za kote 0ββ gt je sonda izgubi hitrost Recimo pri kotih

inout vv ltdegminus== 301ββ

ter deg== 1922ββ je razmerje 750=in

outv

v

To seveda uporabljamo za zaviranje sonde

Figure 6 Odvisnost Vvout od β za

deg== 4051 αVvin [4]

10

Relativni potiskin

outv

v je navzgor neomejen (čeprav redko prekorači vrednost 2)

absolutni potisk pa je za primer točkastega planeta navzgor omejen z 2V Ker pa smo omejeni z začetnimi parametri (

inout vv minus

invα ) zaradi medsebojnega položaja Zemlje in planeta v času izstrelitve sonde Večinoma se pri gravitacijski frači govori o pridobljeni hitrosti sonde čeprav je včasih pomembneje da s preletom spremenimo sondi smer Če pogledamo primer sonde Voyager ndash ta je že po preletu Jupitra imel dovolj visoko hitrost da bi lahko ušel iz Osončja in torej dosegel tudi katerikoli planet vendar mu vsa ta hitrost ne pomaga čisto nič če ne prileti mimo svojega cilja Zato je bilo sondo na vsakem planetu še pravilno preusmeriti Vsak dodaten potisk ob prehodu mimo planeta pa je še dodatna dobrodošla posledica ki je skrajšala potovanje Prej smo videli na primeru sonde Cassini ki je v primerjavi z Hohmannovim prenosom raquozamudilalaquo eno leto na račun manjšega potiska Voyager bi do Neptuna potreboval 30 let in ogromno goriva z večkratno uporabo gravitacijske frače pa je tja z manjšim potiskom potreboval zgolj 12let Šele tukaj vidimo pravo moč gravitacijske frače Tukaj je pomembna razlika da se pri Hohmannovem prenosu lahko vtirimo okoli Neptuna medtem ko je Voyager na svojem potovanju nabral tolikšno hitrost da je mimo Neptuna samo odbrzel Za zaustavitev bi bile spet potrebne velike spremembe hitrosti

Žal pa je potrebne čase za dosego ciljnih planetov zdaj veliko težje računati saj moramo poznati hitrost sonde ko pride do vmesnega planeta ter točen kot sipanja da lahko dobimo novo hitrost in smer itd

Figure 5 Pot sonde Voyager 1 ko je obiskala večino zunanjih planetov Osončja [4]

11

6 Medplanetarno transportno omrežje Gibanje sonde postane še posebno zapleteno če nehamo obravnavati polet sonde kot več ločenih problemov dveh teles (sonda se giblje okoli Sonca sonda se giblje okolimimo planeta) ampak polet obravnavamo kot problem treh teles (ali še huje- večih teles) Pri problemu treh teles gledamo gibanje zanemarljivo lahkega telesa v okolici dveh masivnih teles in res je masa sonde v primerjavi z masami Sonca in planetov zanemarljivo majhna Izkaže se da problem treh teles analitično ponavadi ni rešljiv torej ga moramo reševati z numeričnimi metodami Vseeno pa je bilo ugotovljenih nekaj pomembnih stvari Izkazalo se je da v okolici dveh teles z znatno maso ki krožita drugo okoli drugega obstajajo v prostoru točke v katerih se telo z zanemarljivo maso ndash recimo satelit ali vesoljska postaja ali asteroid ndash giblje tako da se njegov položaj glede na prvi dve ne spreminja S problemom sta se med prvimi ukvarjala Euler in Lagrange Slepi Euler je samo z računanjem na pamet odkril tri take točke Lagrange pa s temeljito analizo še dve dodatni Teh pet točk danes imenujemo Lagrangeove točke

Poglejmo recimo na primer sistem Zemlje in satelita Kot vemo sta obhodni čas in hitrost vsakega telesa ki kroži okoli Zemlje določena z njegovo oddaljenostjo od središča Zemlje Če upoštevamo še gravitacijo Lune imamo gravitacijsko silo Zemlje ki vleče proti težišču Zemlje ter gravitacijsko silo Lune ki vleče proti centru Lune Če satelit v nekem trenutku leži nekje na zveznici med središčema Zemlje in Lune bosta ti sili nasprotno usmerjeni zato se bo satelit ki leži med Zemljo in Luno gibal tako kot da bi nanj delovala za Lunino težnost zmanjšana težnost Zemlje Drugače povedano giblje se z obhodnim časom kot da bi navidezno krožil okoli središča Zemlje na večji oddaljenosti od dejanske Če je ta navidezna razdalja natančno enaka razdalji med Zemljo in Luno satelit okoli prve kroži z obhodnim časom ki je enak obhodnemu času Lune kar pomeni da bo vedno na zveznici med Zemljo in Luno Takrat je v 1 Lagrangeovi točki navadno imenovani L1 Leži bliže Luni kot Zemlji na 84 razdalje med njima Na podoben način bi lahko našli še L2 točko (za Luno) in L3 točko (leži na nasprotni strani Zemlje kot Luna) Preostali dve točki L4 in L5 ležita na Luninem tiru tako da je kot med zveznicama med Luno in Zemljo ter satelitom 60ordm torej sta na enaki oddaljenosti od Zemlje kot od Lune Okoli Zemljine L1 točke (med Soncem in Zemljo) trenutno kroži satelit SOHO ki opazuje Sonce in heliosfero ker z nje njegovega pogleda na Sonce nikoli nič ne zastre v Zemljini L2 pa je recimo Wilkinsonova postaja za merjenje anizotropije mikrovalovnega sevanja vesolja (WMAP) s katero se raziskujejo lastnosti velikega poka in vanjo bodo v prihodnosti utirili recimo tudi satelit Gaio

12

Figure 6 Zemljine Lagrangeove točke [6]

Nahajališča Lagrangeovih točk zapišemo jih v sistemu v katerem obe masivnejši

telesi mirujeta in je masivnejše telo (navadno Sonce) v izhodišču manj masivno pa na x-osi na oddaljenosti R Točke so v [7]

L1 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

MMR

L2 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

MMR

L3 )01251(

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminus

MMR

L4 in L5 )23)(

2(

21

21 RMMMMR

plusmn+minus

L4 in L5 sta stabilni točki kar pomeni da sondo ki se nahaja v njiju rahlo

zmotimo se bo ta samo vrnila v začetno točko (v kolikor je perturbacija majhna) Istočasno to pomeni da se počasna telesa lahko ujamejo v ti dve točki oziroma potujejo okoli njiju In res je bilo v bližini Jupitrovih L4 in L5 točkah odkrito večje število asteroidov ki zdaj potujejo z enako periodo kot Jupiter okoli Sonca

13

Figure 7 Odkriti asteroidi v L4 in L5 Jupitra [6]

Po drugi strani pa so L1 L2 in L3 nestabilne točke Ob najmanjši gravitacijski

motnji bi sondo ki se nahaja v kateri od njih odneslo iz Lagrangeove točke Zato je treba satelitom ki so v teh točkah vsake toliko časa vključiti motorje da jo vrnejo na pravo mesto

Izkazalo pa se je da je potrebno zelo malo energije da sondo spravimo iz ene nestabilne L-točke v drugo [8] Če želimo vtiriti sondo v Lunino L1 točko je za to potrebna hitrost 49kms Če pa bi sedaj hoteli sondo od tam poslati v recimo Zemljino L2 točko bi bila za to potrebna dodatna hitrost le 0014 kms (50kmh) (Spomnimo se da je Lunina L1 točka od Zemlje oddaljena 322500 km (okoli 86 razdalje med Zemljo in Luno) Zemljina L2 pa 1500000 km) Očitno se da z zelo majhnimi spremembami hitrosti priti zelo daleč praktično do vseh planetov Tako je v Osončju pravo omrežje takšnih poceni povezovalnih poti čemur so dali ime Medplanetarno prenosno omrežje (Interplanetary Transport Network - ITN) ali tudi Medplanetna avtocesta (Interplanetary Superhighway - IPS)

Odkritje tega omrežje temelji na delu Poincareja ki se je z tem problemom okvarjal ob koncu 19 stoletja Ta je med drugim odkril da je analitično nemogoče natančno izračunati poti teles ki se začenjajo v bližini neke nestabilne Lagrangeeve točke Poglejmo to malo podrobneje

14

Enačbe gibanja [9] Če sta M1 in M2 masi večjih teles in

zapišemo21

2

MMM+

=μ iščemo enačbe gibanja za točkasto telo v okolici dveh masivnih

teles v rotirajočem sistemu kjer prvo telo v točki (-μ0) drugo pa v (1- μ0) Lahko tretje telo naj bo v točki (xy) in naj bo oddaljenost do prve in druge mase r1 ter r2 Potem velja

221 )( yxr ++= μ ter 22

2 )1( yxr ++minus= μ Potem je gravitacijska potencialna energija tretjega telesa

21

1)(rr

yxV μμminus

minusminus= (9)

Kinetična energija tretjega telesa je

[ ]22 )()(21)( xyyxyxyxK ++minus= ampampampamp (10)

in Lagranžijan tretjega telesa je potem

)()()( yxVyxyxKyxyxL minus= ampampampamp Enačbe gibanja so potem po Euler-Lagrangeovih enačbah

xVyxpartpart

minus=minus ampampamp 2 in yVxypartpart

minus=minus ampampamp 2 (11)

kjer je efektivni potencial 2

22 yxVV minusminus= Polna energija je )()(

21 22 yxVyxE ++= ampamp

Figure 8 Efektivni potencial okoli dveh masivnih teles ter označene Lagrangeeve točke

Na desni sliki je s sivo označeno prepovedano območje svetla je Hillova regija ndash območje po katerem se delec lahko giblje [8]

15

Na drugi sliki pa je področje ki ga dobimo če upoštevamo ohranitev energije in gledamo samo določeno energijo E Zato za dan energijski nivo E velja da se lahko tretje telo giblje zgolj po področje kjer velja 0geminusVE To je tako imenovana Hillova regija[7] in jo dobimo če presekamo graf efektivnega potenciala z vodoravno ravnino ki predstavlja energijo Kot primer je podana Hillova regija (bela barva ) za tretje telo v okolici Sonca in Jupitra vidimo tri območja ndash Sončevo območje Jupitrovo območje ter zunanje območje ki so povezana med seboj z ozkimi vratovi V levem vratu je L1 v desnem pa L2 Če bi pogledali pri drugačnih energijah bi prehod med območji lahko bil onemogočen ker bi vrata bila zaprta

Pri problemu treh teles je bistvena ugotovitev da obstaja neskončno veliko možnih poti ki bi pripeljale sondo do ciljne točke in jih je mogoče razvstiti v družine podobnih trajektorij Takšna družina leži na površini namišljene cevi ki jih imenujemo Conley ndashMcGeheejeve cevi [7]

Telo ki odleti iz Lagrangeeve točke se skozi vesolje po eni od teh trajektorij giblje tako kot bi potovalo po vijačnici na površini cevi Za vsako cev ki vodi od Lagrangeeve točke obstaja še ena ki vanjo vodi Torej bi se sonda po eni od teh cevi pripeljala v Lagrangeovo točko tam preskočila na drugo cev in po njej praktično zastonj odpotovala v vesolje

Figure 9 Conley-McGehee jeve cevi Sonda pride po površini zelene cevi v bližini Lagrangeeve

točke preide na površino odvodne rdeče cevi in se odpravi proti naslednji Lagrangeevi točki ki jo približa cilju [3]

Naslednja pomembna lastnost tega omrežja je da se ves čas spreminja saj se vsi

planeti in lune vrtijo Ker pa se gibljejo po znanih zakonih nebesne mehanike je možno z računalniškimi simulacijami določiti optimalno trajektorijo sonde To je dejansko uspelo šele leta 1980 Nasinemu matematiku Martinu Loju ki je odkril nizkoenergijske poti ki povezujejo Lagrangeeve točke Lune Zemlje Marsa Saturna in Jupitra Dokler se sonda nahaja na površini te cevi je na nizkoenergijski tirnici (orbita je zdaj neprimeren izraz) ki nas poceni pripelje na ciljno točko če pa bi se od te cevi oddaljila pa bi jo odneslo nekam stran od cilja (in se slej ko prej ujela v orbito okoli masivnega telesa) ter bi jo lahko na pravo pot postavili le z veliko porabo goriva

16

Slabost uporabe ITN pa je čas Gibanje sonde po Omrežju zna biti zelo počasno in zna biti v najboljšem primeru nekajkrat daljše od Hohmannovega prenosa Tako da se za kakšne obljudene vesoljske ladje ne more uporabljati prav tako ne takrat ko bi radi na kakem planetu čimprej nekaj preverili oz odkrili Razen če spet ne nastopi cenahellip

Figure 10 Primerjava dveh metod za doseganje Lune Levo zgoraj je Hohmannov prenos ki je časovno najkrajši vendar energijsko potraten Novejše raziskave dajejo energijsko ugodnejše in

časovno ne preveč potratne tirnice [8]

ITS je še relativno mlada veja mehanike orbit zato se še ni razcvetela Do zdaj so to tehniko uporabili pri sondah ISEE-3 Hiten SMART-1 Genesis ISEE-3 so na pot poslali že leta 1978 in je raziskovala Sonce ter Zemljo Takrat kaotične zgradbe medplanetne ceste še niso čisto dobro razumeli in izstrelitev sonde po takšni trajektoriji je omogočala le delna in nepopolna računalniška analiza gravitacijske pokrajine med Zemljo in Soncem Če bi bil polet daljši bi se sonda zelo verjetno izgubila v vesolju Kasneje so Japonci z metodo ITS rešili svoj satelit Hiten ko mu je na napačni orbiti zmanjkalo goriva jim ga je uspelo na pravo usmeriti po nizkoenergijski tirnici IPS Leta 2001 so izstrelili še sondo Genesis namenjeno raziskovanju Sončevih nabitih delcev Ta satelit je bil namenoma izstreljen v kaotično orbito ki ga je dve leti nekajkrat vodila okrog Zemljine L1 točke nato obkrožila L2 in se z vzorci vrnila na Zemljo [10] Njena pot vključno z trenutkom vrnitve je bila že nekaj let pred izstrelitvijo natanko določena Misija bi bila čisti uspeh če bi le na koncu sonda odprla padalahellip Kljub temu je misija pokazala kako z uporabo sodobnih računalniških metod lahko natančno izračunamo zapletene trajektorije za poti po vesolju

17

Figure 11 Tir sonde Genesis [10]

7 Zaključek

Predstavljenih je bilo nekaj načinov doseganja drugih planetov z raziskovalnimi sondami V kolikor sta v preteklosti dominirala Hohmannov prenos in gravitacijska frača se danes vedno bolj uveljavlja tudi metoda ITS Za razliko od prejšnjih dveh za metodo ITS zadostujejo nizke hitrosti sonde vendar je ta metoda žal časovno zelo potratna Zato se je treba odločati med ekonomičnostjo metodo in potrebnim časom potovanja ko načrtujemo raziskovalni polet k drugim nebesnim telesom

8 Literatura [1] L N Hand amp J D Finch Analytical Mechanics Cambridge University Press 1998 [2] O Montenbruck amp E Gill Satellite Orbits Springer verlag 2000 [3] Wikipedia Bi-elliptic transfer (httpenwikipediaorgwikiBi-elliptic_transfer) [4] R C Johnson The Slingshot Effect 2003 (httpmathsduracuk~dma0rcjPslingslingpdf) [5] Wikipedia Cassini-Huygens (httpenwikipediaorgwikiCassini-Huygens) [6] Wikipedia Lagrangian points (httpenwikipediaorgwikiLagrangian_points) [7] J EMarsden amp S D Ross New Methods in Celestial Mechanics and Mission Design 2005 (httpwwwesmvtedu~sdrosspapersMaRo_amspdf) [8] W S Koon et al Dynamical Systems the Three-Body Problem and Space Mission Design 2006 (httpwwwcdscaltechedu~marsdenbooksMission_Designhtml) [9] SD Ross Cylindrical Manifolds and Tube Dynamics in the Restricted Three-Body Problem 2004 [10] W S Koon et al The Genesis Trajectory and Heteroclinic Connections 2000 (httpwwwggcaltechedu~mwlpublicationspapersgenesispdf)

18

(po Nemcu Walterju Hohmannu ki je manever opisal leta 1925) Ta orbita je v bistvu polovica eliptične orbite ki ima v periheliju enako oddaljenost od Sonca kot Zemlja v apheliju pa enako oddaljenost kot ciljni planet Ker je v afeliju lahko hitrost sonde veliko manjša kot krožilna hitrost ciljnega planeta moramo sondo še enkrat pospešiti z drugim potiskom ki bo sondo s Hohmannove orbite prestavil na novo krožno orbito Zdaj smo na isti orbiti kot ciljni planet Če je sonda blizu planeta bo seveda čutila njegovo gravitacijsko silo zato moramo njeno hitrost prilagoditi tako da se bo utirila okoli planeta sicer bo padla na planet in bo izgubljena

vprimeΔ

Na enak način lahko prenesemo sondo iz Soncu bolj oddaljene orbite v Soncu bližjo orbito (z Zemlje recimo na Venero) najprej sondi odvzamemo hitrost da pade na Hohmannovo orbito v periheliju pa ji ponovno odvzamemo hitrost da se utiri na krožno orbito na enaki oddaljenosti kot je ciljni planet

Če iz enačbe za polno energijo (2) izpostavimo hitrost dobimo

)12(2

arGMv minus= (3)

kjer je v hitrost orbitirajočega telesa gravitacijska konstanta

masa Sonca r je oddaljenost sonde od Sonca a je velika polos eliptične orbite [2] Iz tega dobimo oba potrebna za Hohmannovo orbito

2311 10676 kgsmG minussdot=kgM 30102 sdot=

vΔpotrebna sprememba hitrosti v periheliju

)12(21

2

1

minus+

=Δrr

rr

GMvP (4)

in potrebna sprememba hitrosti v apheliju

)21(21

1

2 rrr

rGMvA +

minus=Δ (5)

kjer sta radij nižje orbite in hkrati perihelij Hohmannove orbite ter ki je radij višje ležeče orbite in istočasno aphelij Hohmanna

1r 2r

Čas ko se bo telo nahajalo v Hohmannovi orbiti (vseeno ali gremo v višjo ali

nižjo orbito) dobimo iz Keplerjevega tretjega zakona in je

GMrr

GMat H

H 8)(4

21 3

2132 +== π

π

(6)

kjer je aH dolžina velike polosi Hohmannove prenosne orbite

5

bull Primer recimo da hočemo spraviti satelit iz nizke orbite okoli Zemlje (višina nad

Zemljo je 300km torej je kmr 66781 = ) v geostacionarno orbito ( km ) Na nižji orbiti je krožilna hitrost 773 kms na višji orbiti pa je 307 kms Za ustrezno eliptično orbito pa velja da je hitrost v perigeju 1015 kms in 161 kms v apogeju Torej sta potrebna v

r 421642 =

Δ 1015 kms minus 773 kms = 242 kms in 307 kms minus 161 kms = 146 kms skupno torej 388 kms

Figure 1 Hohmannov prenos na začetni krožnici (1) povečamo hitrost da sonda preide na eliptični

tir (2) Ko je v afeliju jo z dodatnim popravkom hitrosti vtirimo na novo krožnico (3) [2]

4 Bi-eliptična prenosna orbita

Čeprav je Hohmannova orbita skoraj vedno najbolj ekonomski način da pridemo iz ene krožne orbite v drugo obstajajo situacije kjer je bieleptični prenos še bolj ekonomičen še posebej ko je velika polos končne orbite več kot 12 krat večja kot tista na začetni orbiti [3] Bieliptični prenos je sestavljen iz polovic dveh različnih eliptičnih orbit Iz začetne orbite damo sondi ki sondo ponese na eliptični orbiti ki sega veliko dlje kot druga krožna orbita do aphelija Tam se ponovno vklopijo motorji in dodaten ∆v spremeni tirnico sonde tako da je sicer še vedno eliptična vendar se zdaj perihelij dotika ciljne krožne orbite Ko torej sonda pride po eliptični orbiti do perihelija moramo z motorji spet popraviti hitrost in sonda se vtiri na novo krožno orbito

vΔ

6

Figure 2 Bi-eliptični prenos iz začetne krožnice (1) sondo pošljemo na eliptični tir V afeliju (2)

majhne popravek hitrosti in sonda je na novi eliptični tirnici v novem periheliju (3) vtiritev v novo krožnico [3]

Če spet poračunamo kolikšni prispevki hitrosti so potrebni

Prvi sunek 010

12

rGM

aGM

rGMv minusminus=Δ V najbolj oddaljeni točki sondi povečamo

hitrost za 12

222

aGM

rGM

aGM

rGMv

bb

minusminusminus=Δ Zadnji popravek je na končni krožni

orbiti kjer moramo sondo zaustaviti 2

32

aGM

rGM

rGMv

kk

minusminus=Δ kjer sta in

veliki polosi obeh eliptičnih orbit in sta podani z

1a

2a21

br rra

+= in

22bk rr

a+

=

Kot pri Hohmannovi orbiti je čas ko je sonda na prenosni orbiti ravno polovica periode za celo eliptično orbito Torej moramo samo sešteti časa za vsako polovico

eliptičnih orbit GMat

31

1 π= in GMat

32

2 π= in je torej čas prenosa 21 ttt +=

bull PRIMER Da bi spravili sondo iz nizke krožne Zemeljske orbite z km na novo krožno orbito z km

r 67000 =rr 9380014 01 == bi s Hohmannovim prenosom

morali sondi dati vΔ =282434+130838=413272 ms Če pa bi sondi najprej dali sunek 306031 ms in jo s tem spravili v novo orbito s apogejem pri

km ji v apogeju dali nov sunek 608679 ms kar bi jo spravilo na novo eliptnično orbito s perigejem na km

rr 26800040 02 ==rr 9380014 01 == kjer bi jo končno

še malo zaustavili in sicer z vΔ =447554 ms kar bi sondo spravilo v končno krožno orbito Potem bi skupen vΔ bil v primerjavi z Hohmannovim prenosom malo manjši v konkretnem primeru 1618ms kar se sicer ne sliši veliko vendar je pri vesoljskih poletih vsakršno varčevanje z gorivom pomembno

Še primerjava časov Hohmannovega in bi-eliptičnega prenosa za konkretni primer bi z Hohmannovim prenosom sondo prestavili v 15 urah in pol medtem ko bi za bi-eliptični manever potrebovali okoli 74 ur Pri medplanetarnih poletih so seveda časovne razlike še

7

toliko večje so pa tudi prihranki goriva večji Tukaj se potem pač odločamo kako zelo se nam mudi spraviti satelit v novo orbito oziroma koliko goriva hočemo prihraniti

Popravek orbite Hohmannov prenos ∆v (ms) Bi-eliptični prenos ∆v (ms)

1 282434 306031 2 130838 608679 3 - 447554 Σ 413272 411654

Tako Hohmannova kot bi-eliptična orbita pa imata to slabost da ostaneta v isti

ravnini kot kroži Zemlja okoli Sonca čeprav nekateri planeti krožijo okoli Sonca pod drugače nagnjenih ravninah (recimo ravnina Plutona je za 13ordm nagnjena glede na Zemljino) Torej je najprej potrebno smer vrtilne količine spremeniti za 13ordm in še potem opraviti Hohmannov manever Energijsko še bolj potratne so misije ko je treba sondo vtiriti v polarno orbito recimo okoli Sonca

5 Gravitacijska frača Vse do zdaj nismo upoštevali da imajo planeti lastno gravitacijsko privlačnost Vendar lahko z upoštevanjem gravitacijske sile planetov dosežemo še druge manevre ki nam dovoljujejo še bolj ekonomične polete sond Recimo v primeru sonde Cassini ki so jo izstrelili leta 1997 in jo poslali proti Saturnu Po prejšnjih metodah bi ji morali povečati hitrost za 10 kms čas potovanja pa bi bil šest let Namesto tega so ji povečali hitrost le za 4 kms jo poslali na zapleteno orbito ki je vključevala 2 preleta mimo Venere prelet mimo Zemlje in še en mimo Jupitra Na tak način se je vtirila okoli Saturna leta 2004 le eno leto kasneje kot bi prišla na Hohmannovi orbiti ki potrebuje veliko več goriva [4]

Figure 3 Trajektorija sonde Cassini mimo večih planetov [5]

8

Glavna lastnost tega manevra je da planet spremeni sondino hitrost relativno na

Sonce čeprav se ohranja hitrost sonde relativno na planet namreč za sistem sonda-planet se morata ohranjati gibalna količina in energija ndash gravitacija planeta le spremeni smer hitrosti sonde Ko sta sonda in planet še toliko oddaljena med seboj da še ni znatnega medsebojnega vpliva se gibljeta s hitrostjo invv in inV

v po preletu pa z in outvv

outVv

Ker sistem ohranja gibalno količino velja

outoutinin VMvmVMvmvvvv +=+ (6)

kjer sta m in M masi sonde oziroma planeta Enačba se preuredi v

)( outininout vvMmVV vvvv

minus=minus Zaradi velike razlike v masah (sonda tipično tehta nekaj 100

kilogramov do nekaj ton planeti pa od 1024 do 1027kg) je razmerje mas mM zanemarljivo majhno 10-21mdash10-24 zato lahko brez problema zapišemo

VVV outin

vvv== (hitrost planeta se ne spremeni z natančnostjo vsaj 10-21) Sonda torej

zanemarljivo malo vpliva na gibanje planeta prelet Galileja je recimo upočasnil Zemljo za slabi 2 milijardinki centimetra na leto S preletom torej ne dobimo hitrosti iz nič ampak je vpliv na planet tako majhen da ni merljiv Kot smo prej videli se hitrost sonde glede na planet ne spremeni spremeni se le smer hitrosti inout uu vv = To je lepo vidno v sistemu kjer miruje planet Če se zdaj preselimo v sistem kjer miruje Sonce pa vidimo da se hitrost sonde transformira kot Vuv outinoutin

vvv += Torej lahko zapišemo da planet s svojo gravitacijo spremeni smer hitrosti sonde zaradi tega pa se sondi spremeni velikost hitrosti relativno na Sonce

Figure 4 shema gravitacijske frače - Puščice kažejo smeri potovanja sonde pred in po srečanju s planetom dolžina puščic predstavlja hitrost sonde Na prvi sliki gledamo iz vidika mirujočega planeta na drugi pa iz sistema kjer miruje Sonce [4]

9

Ker se gibalna količina ohranja imamo opravka s

sipanjem sonde na planetu ohranitev energije pa nam zagotovi da je sipanje oziroma trk elastično Določimo α oziromaαprime kot kota med smerjo planeta V

v in smerjo sonde

oziroma kot β pa naj bo odklon sonde relativno na planet oziroma kot sipanja v sistemu kjer planet miruje Velja

invv outvv

)sin(sinsin

)cos()cos1(cosβαβα

βαβαminus+=prime

minus+minus=prime

inout

inout

vVvvVv

(7)

Ugotovimo da ob izbranih parametrih )( αVvin hitrost narašča s kotom β Maksimum doseže pri kotu

outv

maxββ = ki je v zvezi

Vvin

minusαα

cossin

vin

=βtan max (8)

ko je 0=primeα oziroma ko je vzporeden z Voutvv

v

Figure 5 Sprememba kota α v α prime po preletu mimo planeta

Po maksimumu z outvv β spet pada

za inout vv = max0 2βββ == Vidimo pa da obstaja simetrija kar pomeni da dobimo enako spremembo hitrosti pri dveh različnih kotih

21β ki sta v zvezi max21 2βββ =+ Načeloma je bolj priljubljen manjši sipalni kot da se izognemo morebitnemu vplive atmosfere planeta Za kote 0ββ gt je sonda izgubi hitrost Recimo pri kotih

inout vv ltdegminus== 301ββ

ter deg== 1922ββ je razmerje 750=in

outv

v

To seveda uporabljamo za zaviranje sonde

Figure 6 Odvisnost Vvout od β za

deg== 4051 αVvin [4]

10

Relativni potiskin

outv

v je navzgor neomejen (čeprav redko prekorači vrednost 2)

absolutni potisk pa je za primer točkastega planeta navzgor omejen z 2V Ker pa smo omejeni z začetnimi parametri (

inout vv minus

invα ) zaradi medsebojnega položaja Zemlje in planeta v času izstrelitve sonde Večinoma se pri gravitacijski frači govori o pridobljeni hitrosti sonde čeprav je včasih pomembneje da s preletom spremenimo sondi smer Če pogledamo primer sonde Voyager ndash ta je že po preletu Jupitra imel dovolj visoko hitrost da bi lahko ušel iz Osončja in torej dosegel tudi katerikoli planet vendar mu vsa ta hitrost ne pomaga čisto nič če ne prileti mimo svojega cilja Zato je bilo sondo na vsakem planetu še pravilno preusmeriti Vsak dodaten potisk ob prehodu mimo planeta pa je še dodatna dobrodošla posledica ki je skrajšala potovanje Prej smo videli na primeru sonde Cassini ki je v primerjavi z Hohmannovim prenosom raquozamudilalaquo eno leto na račun manjšega potiska Voyager bi do Neptuna potreboval 30 let in ogromno goriva z večkratno uporabo gravitacijske frače pa je tja z manjšim potiskom potreboval zgolj 12let Šele tukaj vidimo pravo moč gravitacijske frače Tukaj je pomembna razlika da se pri Hohmannovem prenosu lahko vtirimo okoli Neptuna medtem ko je Voyager na svojem potovanju nabral tolikšno hitrost da je mimo Neptuna samo odbrzel Za zaustavitev bi bile spet potrebne velike spremembe hitrosti

Žal pa je potrebne čase za dosego ciljnih planetov zdaj veliko težje računati saj moramo poznati hitrost sonde ko pride do vmesnega planeta ter točen kot sipanja da lahko dobimo novo hitrost in smer itd

Figure 5 Pot sonde Voyager 1 ko je obiskala večino zunanjih planetov Osončja [4]

11

6 Medplanetarno transportno omrežje Gibanje sonde postane še posebno zapleteno če nehamo obravnavati polet sonde kot več ločenih problemov dveh teles (sonda se giblje okoli Sonca sonda se giblje okolimimo planeta) ampak polet obravnavamo kot problem treh teles (ali še huje- večih teles) Pri problemu treh teles gledamo gibanje zanemarljivo lahkega telesa v okolici dveh masivnih teles in res je masa sonde v primerjavi z masami Sonca in planetov zanemarljivo majhna Izkaže se da problem treh teles analitično ponavadi ni rešljiv torej ga moramo reševati z numeričnimi metodami Vseeno pa je bilo ugotovljenih nekaj pomembnih stvari Izkazalo se je da v okolici dveh teles z znatno maso ki krožita drugo okoli drugega obstajajo v prostoru točke v katerih se telo z zanemarljivo maso ndash recimo satelit ali vesoljska postaja ali asteroid ndash giblje tako da se njegov položaj glede na prvi dve ne spreminja S problemom sta se med prvimi ukvarjala Euler in Lagrange Slepi Euler je samo z računanjem na pamet odkril tri take točke Lagrange pa s temeljito analizo še dve dodatni Teh pet točk danes imenujemo Lagrangeove točke

Poglejmo recimo na primer sistem Zemlje in satelita Kot vemo sta obhodni čas in hitrost vsakega telesa ki kroži okoli Zemlje določena z njegovo oddaljenostjo od središča Zemlje Če upoštevamo še gravitacijo Lune imamo gravitacijsko silo Zemlje ki vleče proti težišču Zemlje ter gravitacijsko silo Lune ki vleče proti centru Lune Če satelit v nekem trenutku leži nekje na zveznici med središčema Zemlje in Lune bosta ti sili nasprotno usmerjeni zato se bo satelit ki leži med Zemljo in Luno gibal tako kot da bi nanj delovala za Lunino težnost zmanjšana težnost Zemlje Drugače povedano giblje se z obhodnim časom kot da bi navidezno krožil okoli središča Zemlje na večji oddaljenosti od dejanske Če je ta navidezna razdalja natančno enaka razdalji med Zemljo in Luno satelit okoli prve kroži z obhodnim časom ki je enak obhodnemu času Lune kar pomeni da bo vedno na zveznici med Zemljo in Luno Takrat je v 1 Lagrangeovi točki navadno imenovani L1 Leži bliže Luni kot Zemlji na 84 razdalje med njima Na podoben način bi lahko našli še L2 točko (za Luno) in L3 točko (leži na nasprotni strani Zemlje kot Luna) Preostali dve točki L4 in L5 ležita na Luninem tiru tako da je kot med zveznicama med Luno in Zemljo ter satelitom 60ordm torej sta na enaki oddaljenosti od Zemlje kot od Lune Okoli Zemljine L1 točke (med Soncem in Zemljo) trenutno kroži satelit SOHO ki opazuje Sonce in heliosfero ker z nje njegovega pogleda na Sonce nikoli nič ne zastre v Zemljini L2 pa je recimo Wilkinsonova postaja za merjenje anizotropije mikrovalovnega sevanja vesolja (WMAP) s katero se raziskujejo lastnosti velikega poka in vanjo bodo v prihodnosti utirili recimo tudi satelit Gaio

12

Figure 6 Zemljine Lagrangeove točke [6]

Nahajališča Lagrangeovih točk zapišemo jih v sistemu v katerem obe masivnejši

telesi mirujeta in je masivnejše telo (navadno Sonce) v izhodišču manj masivno pa na x-osi na oddaljenosti R Točke so v [7]

L1 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

MMR

L2 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

MMR

L3 )01251(

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminus

MMR

L4 in L5 )23)(

2(

21

21 RMMMMR

plusmn+minus

L4 in L5 sta stabilni točki kar pomeni da sondo ki se nahaja v njiju rahlo

zmotimo se bo ta samo vrnila v začetno točko (v kolikor je perturbacija majhna) Istočasno to pomeni da se počasna telesa lahko ujamejo v ti dve točki oziroma potujejo okoli njiju In res je bilo v bližini Jupitrovih L4 in L5 točkah odkrito večje število asteroidov ki zdaj potujejo z enako periodo kot Jupiter okoli Sonca

13

Figure 7 Odkriti asteroidi v L4 in L5 Jupitra [6]

Po drugi strani pa so L1 L2 in L3 nestabilne točke Ob najmanjši gravitacijski

motnji bi sondo ki se nahaja v kateri od njih odneslo iz Lagrangeove točke Zato je treba satelitom ki so v teh točkah vsake toliko časa vključiti motorje da jo vrnejo na pravo mesto

Izkazalo pa se je da je potrebno zelo malo energije da sondo spravimo iz ene nestabilne L-točke v drugo [8] Če želimo vtiriti sondo v Lunino L1 točko je za to potrebna hitrost 49kms Če pa bi sedaj hoteli sondo od tam poslati v recimo Zemljino L2 točko bi bila za to potrebna dodatna hitrost le 0014 kms (50kmh) (Spomnimo se da je Lunina L1 točka od Zemlje oddaljena 322500 km (okoli 86 razdalje med Zemljo in Luno) Zemljina L2 pa 1500000 km) Očitno se da z zelo majhnimi spremembami hitrosti priti zelo daleč praktično do vseh planetov Tako je v Osončju pravo omrežje takšnih poceni povezovalnih poti čemur so dali ime Medplanetarno prenosno omrežje (Interplanetary Transport Network - ITN) ali tudi Medplanetna avtocesta (Interplanetary Superhighway - IPS)

Odkritje tega omrežje temelji na delu Poincareja ki se je z tem problemom okvarjal ob koncu 19 stoletja Ta je med drugim odkril da je analitično nemogoče natančno izračunati poti teles ki se začenjajo v bližini neke nestabilne Lagrangeeve točke Poglejmo to malo podrobneje

14

Enačbe gibanja [9] Če sta M1 in M2 masi večjih teles in

zapišemo21

2

MMM+

=μ iščemo enačbe gibanja za točkasto telo v okolici dveh masivnih

teles v rotirajočem sistemu kjer prvo telo v točki (-μ0) drugo pa v (1- μ0) Lahko tretje telo naj bo v točki (xy) in naj bo oddaljenost do prve in druge mase r1 ter r2 Potem velja

221 )( yxr ++= μ ter 22

2 )1( yxr ++minus= μ Potem je gravitacijska potencialna energija tretjega telesa

21

1)(rr

yxV μμminus

minusminus= (9)

Kinetična energija tretjega telesa je

[ ]22 )()(21)( xyyxyxyxK ++minus= ampampampamp (10)

in Lagranžijan tretjega telesa je potem

)()()( yxVyxyxKyxyxL minus= ampampampamp Enačbe gibanja so potem po Euler-Lagrangeovih enačbah

xVyxpartpart

minus=minus ampampamp 2 in yVxypartpart

minus=minus ampampamp 2 (11)

kjer je efektivni potencial 2

22 yxVV minusminus= Polna energija je )()(

21 22 yxVyxE ++= ampamp

Figure 8 Efektivni potencial okoli dveh masivnih teles ter označene Lagrangeeve točke

Na desni sliki je s sivo označeno prepovedano območje svetla je Hillova regija ndash območje po katerem se delec lahko giblje [8]

15

Na drugi sliki pa je področje ki ga dobimo če upoštevamo ohranitev energije in gledamo samo določeno energijo E Zato za dan energijski nivo E velja da se lahko tretje telo giblje zgolj po področje kjer velja 0geminusVE To je tako imenovana Hillova regija[7] in jo dobimo če presekamo graf efektivnega potenciala z vodoravno ravnino ki predstavlja energijo Kot primer je podana Hillova regija (bela barva ) za tretje telo v okolici Sonca in Jupitra vidimo tri območja ndash Sončevo območje Jupitrovo območje ter zunanje območje ki so povezana med seboj z ozkimi vratovi V levem vratu je L1 v desnem pa L2 Če bi pogledali pri drugačnih energijah bi prehod med območji lahko bil onemogočen ker bi vrata bila zaprta

Pri problemu treh teles je bistvena ugotovitev da obstaja neskončno veliko možnih poti ki bi pripeljale sondo do ciljne točke in jih je mogoče razvstiti v družine podobnih trajektorij Takšna družina leži na površini namišljene cevi ki jih imenujemo Conley ndashMcGeheejeve cevi [7]

Telo ki odleti iz Lagrangeeve točke se skozi vesolje po eni od teh trajektorij giblje tako kot bi potovalo po vijačnici na površini cevi Za vsako cev ki vodi od Lagrangeeve točke obstaja še ena ki vanjo vodi Torej bi se sonda po eni od teh cevi pripeljala v Lagrangeovo točko tam preskočila na drugo cev in po njej praktično zastonj odpotovala v vesolje

Figure 9 Conley-McGehee jeve cevi Sonda pride po površini zelene cevi v bližini Lagrangeeve

točke preide na površino odvodne rdeče cevi in se odpravi proti naslednji Lagrangeevi točki ki jo približa cilju [3]

Naslednja pomembna lastnost tega omrežja je da se ves čas spreminja saj se vsi

planeti in lune vrtijo Ker pa se gibljejo po znanih zakonih nebesne mehanike je možno z računalniškimi simulacijami določiti optimalno trajektorijo sonde To je dejansko uspelo šele leta 1980 Nasinemu matematiku Martinu Loju ki je odkril nizkoenergijske poti ki povezujejo Lagrangeeve točke Lune Zemlje Marsa Saturna in Jupitra Dokler se sonda nahaja na površini te cevi je na nizkoenergijski tirnici (orbita je zdaj neprimeren izraz) ki nas poceni pripelje na ciljno točko če pa bi se od te cevi oddaljila pa bi jo odneslo nekam stran od cilja (in se slej ko prej ujela v orbito okoli masivnega telesa) ter bi jo lahko na pravo pot postavili le z veliko porabo goriva

16

Slabost uporabe ITN pa je čas Gibanje sonde po Omrežju zna biti zelo počasno in zna biti v najboljšem primeru nekajkrat daljše od Hohmannovega prenosa Tako da se za kakšne obljudene vesoljske ladje ne more uporabljati prav tako ne takrat ko bi radi na kakem planetu čimprej nekaj preverili oz odkrili Razen če spet ne nastopi cenahellip

Figure 10 Primerjava dveh metod za doseganje Lune Levo zgoraj je Hohmannov prenos ki je časovno najkrajši vendar energijsko potraten Novejše raziskave dajejo energijsko ugodnejše in

časovno ne preveč potratne tirnice [8]

ITS je še relativno mlada veja mehanike orbit zato se še ni razcvetela Do zdaj so to tehniko uporabili pri sondah ISEE-3 Hiten SMART-1 Genesis ISEE-3 so na pot poslali že leta 1978 in je raziskovala Sonce ter Zemljo Takrat kaotične zgradbe medplanetne ceste še niso čisto dobro razumeli in izstrelitev sonde po takšni trajektoriji je omogočala le delna in nepopolna računalniška analiza gravitacijske pokrajine med Zemljo in Soncem Če bi bil polet daljši bi se sonda zelo verjetno izgubila v vesolju Kasneje so Japonci z metodo ITS rešili svoj satelit Hiten ko mu je na napačni orbiti zmanjkalo goriva jim ga je uspelo na pravo usmeriti po nizkoenergijski tirnici IPS Leta 2001 so izstrelili še sondo Genesis namenjeno raziskovanju Sončevih nabitih delcev Ta satelit je bil namenoma izstreljen v kaotično orbito ki ga je dve leti nekajkrat vodila okrog Zemljine L1 točke nato obkrožila L2 in se z vzorci vrnila na Zemljo [10] Njena pot vključno z trenutkom vrnitve je bila že nekaj let pred izstrelitvijo natanko določena Misija bi bila čisti uspeh če bi le na koncu sonda odprla padalahellip Kljub temu je misija pokazala kako z uporabo sodobnih računalniških metod lahko natančno izračunamo zapletene trajektorije za poti po vesolju

17

Figure 11 Tir sonde Genesis [10]

7 Zaključek

Predstavljenih je bilo nekaj načinov doseganja drugih planetov z raziskovalnimi sondami V kolikor sta v preteklosti dominirala Hohmannov prenos in gravitacijska frača se danes vedno bolj uveljavlja tudi metoda ITS Za razliko od prejšnjih dveh za metodo ITS zadostujejo nizke hitrosti sonde vendar je ta metoda žal časovno zelo potratna Zato se je treba odločati med ekonomičnostjo metodo in potrebnim časom potovanja ko načrtujemo raziskovalni polet k drugim nebesnim telesom

8 Literatura [1] L N Hand amp J D Finch Analytical Mechanics Cambridge University Press 1998 [2] O Montenbruck amp E Gill Satellite Orbits Springer verlag 2000 [3] Wikipedia Bi-elliptic transfer (httpenwikipediaorgwikiBi-elliptic_transfer) [4] R C Johnson The Slingshot Effect 2003 (httpmathsduracuk~dma0rcjPslingslingpdf) [5] Wikipedia Cassini-Huygens (httpenwikipediaorgwikiCassini-Huygens) [6] Wikipedia Lagrangian points (httpenwikipediaorgwikiLagrangian_points) [7] J EMarsden amp S D Ross New Methods in Celestial Mechanics and Mission Design 2005 (httpwwwesmvtedu~sdrosspapersMaRo_amspdf) [8] W S Koon et al Dynamical Systems the Three-Body Problem and Space Mission Design 2006 (httpwwwcdscaltechedu~marsdenbooksMission_Designhtml) [9] SD Ross Cylindrical Manifolds and Tube Dynamics in the Restricted Three-Body Problem 2004 [10] W S Koon et al The Genesis Trajectory and Heteroclinic Connections 2000 (httpwwwggcaltechedu~mwlpublicationspapersgenesispdf)

18

bull Primer recimo da hočemo spraviti satelit iz nizke orbite okoli Zemlje (višina nad

Zemljo je 300km torej je kmr 66781 = ) v geostacionarno orbito ( km ) Na nižji orbiti je krožilna hitrost 773 kms na višji orbiti pa je 307 kms Za ustrezno eliptično orbito pa velja da je hitrost v perigeju 1015 kms in 161 kms v apogeju Torej sta potrebna v

r 421642 =

Δ 1015 kms minus 773 kms = 242 kms in 307 kms minus 161 kms = 146 kms skupno torej 388 kms

Figure 1 Hohmannov prenos na začetni krožnici (1) povečamo hitrost da sonda preide na eliptični

tir (2) Ko je v afeliju jo z dodatnim popravkom hitrosti vtirimo na novo krožnico (3) [2]

4 Bi-eliptična prenosna orbita

Čeprav je Hohmannova orbita skoraj vedno najbolj ekonomski način da pridemo iz ene krožne orbite v drugo obstajajo situacije kjer je bieleptični prenos še bolj ekonomičen še posebej ko je velika polos končne orbite več kot 12 krat večja kot tista na začetni orbiti [3] Bieliptični prenos je sestavljen iz polovic dveh različnih eliptičnih orbit Iz začetne orbite damo sondi ki sondo ponese na eliptični orbiti ki sega veliko dlje kot druga krožna orbita do aphelija Tam se ponovno vklopijo motorji in dodaten ∆v spremeni tirnico sonde tako da je sicer še vedno eliptična vendar se zdaj perihelij dotika ciljne krožne orbite Ko torej sonda pride po eliptični orbiti do perihelija moramo z motorji spet popraviti hitrost in sonda se vtiri na novo krožno orbito

vΔ

6

Figure 2 Bi-eliptični prenos iz začetne krožnice (1) sondo pošljemo na eliptični tir V afeliju (2)

majhne popravek hitrosti in sonda je na novi eliptični tirnici v novem periheliju (3) vtiritev v novo krožnico [3]

Če spet poračunamo kolikšni prispevki hitrosti so potrebni

Prvi sunek 010

12

rGM

aGM

rGMv minusminus=Δ V najbolj oddaljeni točki sondi povečamo

hitrost za 12

222

aGM

rGM

aGM

rGMv

bb

minusminusminus=Δ Zadnji popravek je na končni krožni

orbiti kjer moramo sondo zaustaviti 2

32

aGM

rGM

rGMv

kk

minusminus=Δ kjer sta in

veliki polosi obeh eliptičnih orbit in sta podani z

1a

2a21

br rra

+= in

22bk rr

a+

=

Kot pri Hohmannovi orbiti je čas ko je sonda na prenosni orbiti ravno polovica periode za celo eliptično orbito Torej moramo samo sešteti časa za vsako polovico

eliptičnih orbit GMat

31

1 π= in GMat

32

2 π= in je torej čas prenosa 21 ttt +=

bull PRIMER Da bi spravili sondo iz nizke krožne Zemeljske orbite z km na novo krožno orbito z km

r 67000 =rr 9380014 01 == bi s Hohmannovim prenosom

morali sondi dati vΔ =282434+130838=413272 ms Če pa bi sondi najprej dali sunek 306031 ms in jo s tem spravili v novo orbito s apogejem pri

km ji v apogeju dali nov sunek 608679 ms kar bi jo spravilo na novo eliptnično orbito s perigejem na km

rr 26800040 02 ==rr 9380014 01 == kjer bi jo končno

še malo zaustavili in sicer z vΔ =447554 ms kar bi sondo spravilo v končno krožno orbito Potem bi skupen vΔ bil v primerjavi z Hohmannovim prenosom malo manjši v konkretnem primeru 1618ms kar se sicer ne sliši veliko vendar je pri vesoljskih poletih vsakršno varčevanje z gorivom pomembno

Še primerjava časov Hohmannovega in bi-eliptičnega prenosa za konkretni primer bi z Hohmannovim prenosom sondo prestavili v 15 urah in pol medtem ko bi za bi-eliptični manever potrebovali okoli 74 ur Pri medplanetarnih poletih so seveda časovne razlike še

7

toliko večje so pa tudi prihranki goriva večji Tukaj se potem pač odločamo kako zelo se nam mudi spraviti satelit v novo orbito oziroma koliko goriva hočemo prihraniti

Popravek orbite Hohmannov prenos ∆v (ms) Bi-eliptični prenos ∆v (ms)

1 282434 306031 2 130838 608679 3 - 447554 Σ 413272 411654

Tako Hohmannova kot bi-eliptična orbita pa imata to slabost da ostaneta v isti

ravnini kot kroži Zemlja okoli Sonca čeprav nekateri planeti krožijo okoli Sonca pod drugače nagnjenih ravninah (recimo ravnina Plutona je za 13ordm nagnjena glede na Zemljino) Torej je najprej potrebno smer vrtilne količine spremeniti za 13ordm in še potem opraviti Hohmannov manever Energijsko še bolj potratne so misije ko je treba sondo vtiriti v polarno orbito recimo okoli Sonca

5 Gravitacijska frača Vse do zdaj nismo upoštevali da imajo planeti lastno gravitacijsko privlačnost Vendar lahko z upoštevanjem gravitacijske sile planetov dosežemo še druge manevre ki nam dovoljujejo še bolj ekonomične polete sond Recimo v primeru sonde Cassini ki so jo izstrelili leta 1997 in jo poslali proti Saturnu Po prejšnjih metodah bi ji morali povečati hitrost za 10 kms čas potovanja pa bi bil šest let Namesto tega so ji povečali hitrost le za 4 kms jo poslali na zapleteno orbito ki je vključevala 2 preleta mimo Venere prelet mimo Zemlje in še en mimo Jupitra Na tak način se je vtirila okoli Saturna leta 2004 le eno leto kasneje kot bi prišla na Hohmannovi orbiti ki potrebuje veliko več goriva [4]

Figure 3 Trajektorija sonde Cassini mimo večih planetov [5]

8

Glavna lastnost tega manevra je da planet spremeni sondino hitrost relativno na

Sonce čeprav se ohranja hitrost sonde relativno na planet namreč za sistem sonda-planet se morata ohranjati gibalna količina in energija ndash gravitacija planeta le spremeni smer hitrosti sonde Ko sta sonda in planet še toliko oddaljena med seboj da še ni znatnega medsebojnega vpliva se gibljeta s hitrostjo invv in inV

v po preletu pa z in outvv

outVv

Ker sistem ohranja gibalno količino velja

outoutinin VMvmVMvmvvvv +=+ (6)

kjer sta m in M masi sonde oziroma planeta Enačba se preuredi v

)( outininout vvMmVV vvvv

minus=minus Zaradi velike razlike v masah (sonda tipično tehta nekaj 100

kilogramov do nekaj ton planeti pa od 1024 do 1027kg) je razmerje mas mM zanemarljivo majhno 10-21mdash10-24 zato lahko brez problema zapišemo

VVV outin

vvv== (hitrost planeta se ne spremeni z natančnostjo vsaj 10-21) Sonda torej

zanemarljivo malo vpliva na gibanje planeta prelet Galileja je recimo upočasnil Zemljo za slabi 2 milijardinki centimetra na leto S preletom torej ne dobimo hitrosti iz nič ampak je vpliv na planet tako majhen da ni merljiv Kot smo prej videli se hitrost sonde glede na planet ne spremeni spremeni se le smer hitrosti inout uu vv = To je lepo vidno v sistemu kjer miruje planet Če se zdaj preselimo v sistem kjer miruje Sonce pa vidimo da se hitrost sonde transformira kot Vuv outinoutin

vvv += Torej lahko zapišemo da planet s svojo gravitacijo spremeni smer hitrosti sonde zaradi tega pa se sondi spremeni velikost hitrosti relativno na Sonce

Figure 4 shema gravitacijske frače - Puščice kažejo smeri potovanja sonde pred in po srečanju s planetom dolžina puščic predstavlja hitrost sonde Na prvi sliki gledamo iz vidika mirujočega planeta na drugi pa iz sistema kjer miruje Sonce [4]

9

Ker se gibalna količina ohranja imamo opravka s

sipanjem sonde na planetu ohranitev energije pa nam zagotovi da je sipanje oziroma trk elastično Določimo α oziromaαprime kot kota med smerjo planeta V

v in smerjo sonde

oziroma kot β pa naj bo odklon sonde relativno na planet oziroma kot sipanja v sistemu kjer planet miruje Velja

invv outvv

)sin(sinsin

)cos()cos1(cosβαβα

βαβαminus+=prime

minus+minus=prime

inout

inout

vVvvVv

(7)

Ugotovimo da ob izbranih parametrih )( αVvin hitrost narašča s kotom β Maksimum doseže pri kotu

outv

maxββ = ki je v zvezi

Vvin

minusαα

cossin

vin

=βtan max (8)

ko je 0=primeα oziroma ko je vzporeden z Voutvv

v

Figure 5 Sprememba kota α v α prime po preletu mimo planeta

Po maksimumu z outvv β spet pada

za inout vv = max0 2βββ == Vidimo pa da obstaja simetrija kar pomeni da dobimo enako spremembo hitrosti pri dveh različnih kotih

21β ki sta v zvezi max21 2βββ =+ Načeloma je bolj priljubljen manjši sipalni kot da se izognemo morebitnemu vplive atmosfere planeta Za kote 0ββ gt je sonda izgubi hitrost Recimo pri kotih

inout vv ltdegminus== 301ββ

ter deg== 1922ββ je razmerje 750=in

outv

v

To seveda uporabljamo za zaviranje sonde

Figure 6 Odvisnost Vvout od β za

deg== 4051 αVvin [4]

10

Relativni potiskin

outv

v je navzgor neomejen (čeprav redko prekorači vrednost 2)

absolutni potisk pa je za primer točkastega planeta navzgor omejen z 2V Ker pa smo omejeni z začetnimi parametri (

inout vv minus

invα ) zaradi medsebojnega položaja Zemlje in planeta v času izstrelitve sonde Večinoma se pri gravitacijski frači govori o pridobljeni hitrosti sonde čeprav je včasih pomembneje da s preletom spremenimo sondi smer Če pogledamo primer sonde Voyager ndash ta je že po preletu Jupitra imel dovolj visoko hitrost da bi lahko ušel iz Osončja in torej dosegel tudi katerikoli planet vendar mu vsa ta hitrost ne pomaga čisto nič če ne prileti mimo svojega cilja Zato je bilo sondo na vsakem planetu še pravilno preusmeriti Vsak dodaten potisk ob prehodu mimo planeta pa je še dodatna dobrodošla posledica ki je skrajšala potovanje Prej smo videli na primeru sonde Cassini ki je v primerjavi z Hohmannovim prenosom raquozamudilalaquo eno leto na račun manjšega potiska Voyager bi do Neptuna potreboval 30 let in ogromno goriva z večkratno uporabo gravitacijske frače pa je tja z manjšim potiskom potreboval zgolj 12let Šele tukaj vidimo pravo moč gravitacijske frače Tukaj je pomembna razlika da se pri Hohmannovem prenosu lahko vtirimo okoli Neptuna medtem ko je Voyager na svojem potovanju nabral tolikšno hitrost da je mimo Neptuna samo odbrzel Za zaustavitev bi bile spet potrebne velike spremembe hitrosti

Žal pa je potrebne čase za dosego ciljnih planetov zdaj veliko težje računati saj moramo poznati hitrost sonde ko pride do vmesnega planeta ter točen kot sipanja da lahko dobimo novo hitrost in smer itd

Figure 5 Pot sonde Voyager 1 ko je obiskala večino zunanjih planetov Osončja [4]

11

6 Medplanetarno transportno omrežje Gibanje sonde postane še posebno zapleteno če nehamo obravnavati polet sonde kot več ločenih problemov dveh teles (sonda se giblje okoli Sonca sonda se giblje okolimimo planeta) ampak polet obravnavamo kot problem treh teles (ali še huje- večih teles) Pri problemu treh teles gledamo gibanje zanemarljivo lahkega telesa v okolici dveh masivnih teles in res je masa sonde v primerjavi z masami Sonca in planetov zanemarljivo majhna Izkaže se da problem treh teles analitično ponavadi ni rešljiv torej ga moramo reševati z numeričnimi metodami Vseeno pa je bilo ugotovljenih nekaj pomembnih stvari Izkazalo se je da v okolici dveh teles z znatno maso ki krožita drugo okoli drugega obstajajo v prostoru točke v katerih se telo z zanemarljivo maso ndash recimo satelit ali vesoljska postaja ali asteroid ndash giblje tako da se njegov položaj glede na prvi dve ne spreminja S problemom sta se med prvimi ukvarjala Euler in Lagrange Slepi Euler je samo z računanjem na pamet odkril tri take točke Lagrange pa s temeljito analizo še dve dodatni Teh pet točk danes imenujemo Lagrangeove točke

Poglejmo recimo na primer sistem Zemlje in satelita Kot vemo sta obhodni čas in hitrost vsakega telesa ki kroži okoli Zemlje določena z njegovo oddaljenostjo od središča Zemlje Če upoštevamo še gravitacijo Lune imamo gravitacijsko silo Zemlje ki vleče proti težišču Zemlje ter gravitacijsko silo Lune ki vleče proti centru Lune Če satelit v nekem trenutku leži nekje na zveznici med središčema Zemlje in Lune bosta ti sili nasprotno usmerjeni zato se bo satelit ki leži med Zemljo in Luno gibal tako kot da bi nanj delovala za Lunino težnost zmanjšana težnost Zemlje Drugače povedano giblje se z obhodnim časom kot da bi navidezno krožil okoli središča Zemlje na večji oddaljenosti od dejanske Če je ta navidezna razdalja natančno enaka razdalji med Zemljo in Luno satelit okoli prve kroži z obhodnim časom ki je enak obhodnemu času Lune kar pomeni da bo vedno na zveznici med Zemljo in Luno Takrat je v 1 Lagrangeovi točki navadno imenovani L1 Leži bliže Luni kot Zemlji na 84 razdalje med njima Na podoben način bi lahko našli še L2 točko (za Luno) in L3 točko (leži na nasprotni strani Zemlje kot Luna) Preostali dve točki L4 in L5 ležita na Luninem tiru tako da je kot med zveznicama med Luno in Zemljo ter satelitom 60ordm torej sta na enaki oddaljenosti od Zemlje kot od Lune Okoli Zemljine L1 točke (med Soncem in Zemljo) trenutno kroži satelit SOHO ki opazuje Sonce in heliosfero ker z nje njegovega pogleda na Sonce nikoli nič ne zastre v Zemljini L2 pa je recimo Wilkinsonova postaja za merjenje anizotropije mikrovalovnega sevanja vesolja (WMAP) s katero se raziskujejo lastnosti velikega poka in vanjo bodo v prihodnosti utirili recimo tudi satelit Gaio

12

Figure 6 Zemljine Lagrangeove točke [6]

Nahajališča Lagrangeovih točk zapišemo jih v sistemu v katerem obe masivnejši

telesi mirujeta in je masivnejše telo (navadno Sonce) v izhodišču manj masivno pa na x-osi na oddaljenosti R Točke so v [7]

L1 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

MMR

L2 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

MMR

L3 )01251(

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminus

MMR

L4 in L5 )23)(

2(

21

21 RMMMMR

plusmn+minus

L4 in L5 sta stabilni točki kar pomeni da sondo ki se nahaja v njiju rahlo

zmotimo se bo ta samo vrnila v začetno točko (v kolikor je perturbacija majhna) Istočasno to pomeni da se počasna telesa lahko ujamejo v ti dve točki oziroma potujejo okoli njiju In res je bilo v bližini Jupitrovih L4 in L5 točkah odkrito večje število asteroidov ki zdaj potujejo z enako periodo kot Jupiter okoli Sonca

13

Figure 7 Odkriti asteroidi v L4 in L5 Jupitra [6]

Po drugi strani pa so L1 L2 in L3 nestabilne točke Ob najmanjši gravitacijski

motnji bi sondo ki se nahaja v kateri od njih odneslo iz Lagrangeove točke Zato je treba satelitom ki so v teh točkah vsake toliko časa vključiti motorje da jo vrnejo na pravo mesto

Izkazalo pa se je da je potrebno zelo malo energije da sondo spravimo iz ene nestabilne L-točke v drugo [8] Če želimo vtiriti sondo v Lunino L1 točko je za to potrebna hitrost 49kms Če pa bi sedaj hoteli sondo od tam poslati v recimo Zemljino L2 točko bi bila za to potrebna dodatna hitrost le 0014 kms (50kmh) (Spomnimo se da je Lunina L1 točka od Zemlje oddaljena 322500 km (okoli 86 razdalje med Zemljo in Luno) Zemljina L2 pa 1500000 km) Očitno se da z zelo majhnimi spremembami hitrosti priti zelo daleč praktično do vseh planetov Tako je v Osončju pravo omrežje takšnih poceni povezovalnih poti čemur so dali ime Medplanetarno prenosno omrežje (Interplanetary Transport Network - ITN) ali tudi Medplanetna avtocesta (Interplanetary Superhighway - IPS)

Odkritje tega omrežje temelji na delu Poincareja ki se je z tem problemom okvarjal ob koncu 19 stoletja Ta je med drugim odkril da je analitično nemogoče natančno izračunati poti teles ki se začenjajo v bližini neke nestabilne Lagrangeeve točke Poglejmo to malo podrobneje

14

Enačbe gibanja [9] Če sta M1 in M2 masi večjih teles in

zapišemo21

2

MMM+

=μ iščemo enačbe gibanja za točkasto telo v okolici dveh masivnih

teles v rotirajočem sistemu kjer prvo telo v točki (-μ0) drugo pa v (1- μ0) Lahko tretje telo naj bo v točki (xy) in naj bo oddaljenost do prve in druge mase r1 ter r2 Potem velja

221 )( yxr ++= μ ter 22

2 )1( yxr ++minus= μ Potem je gravitacijska potencialna energija tretjega telesa

21

1)(rr

yxV μμminus

minusminus= (9)

Kinetična energija tretjega telesa je

[ ]22 )()(21)( xyyxyxyxK ++minus= ampampampamp (10)

in Lagranžijan tretjega telesa je potem

)()()( yxVyxyxKyxyxL minus= ampampampamp Enačbe gibanja so potem po Euler-Lagrangeovih enačbah

xVyxpartpart

minus=minus ampampamp 2 in yVxypartpart

minus=minus ampampamp 2 (11)

kjer je efektivni potencial 2

22 yxVV minusminus= Polna energija je )()(

21 22 yxVyxE ++= ampamp

Figure 8 Efektivni potencial okoli dveh masivnih teles ter označene Lagrangeeve točke

Na desni sliki je s sivo označeno prepovedano območje svetla je Hillova regija ndash območje po katerem se delec lahko giblje [8]

15

Na drugi sliki pa je področje ki ga dobimo če upoštevamo ohranitev energije in gledamo samo določeno energijo E Zato za dan energijski nivo E velja da se lahko tretje telo giblje zgolj po področje kjer velja 0geminusVE To je tako imenovana Hillova regija[7] in jo dobimo če presekamo graf efektivnega potenciala z vodoravno ravnino ki predstavlja energijo Kot primer je podana Hillova regija (bela barva ) za tretje telo v okolici Sonca in Jupitra vidimo tri območja ndash Sončevo območje Jupitrovo območje ter zunanje območje ki so povezana med seboj z ozkimi vratovi V levem vratu je L1 v desnem pa L2 Če bi pogledali pri drugačnih energijah bi prehod med območji lahko bil onemogočen ker bi vrata bila zaprta

Pri problemu treh teles je bistvena ugotovitev da obstaja neskončno veliko možnih poti ki bi pripeljale sondo do ciljne točke in jih je mogoče razvstiti v družine podobnih trajektorij Takšna družina leži na površini namišljene cevi ki jih imenujemo Conley ndashMcGeheejeve cevi [7]

Telo ki odleti iz Lagrangeeve točke se skozi vesolje po eni od teh trajektorij giblje tako kot bi potovalo po vijačnici na površini cevi Za vsako cev ki vodi od Lagrangeeve točke obstaja še ena ki vanjo vodi Torej bi se sonda po eni od teh cevi pripeljala v Lagrangeovo točko tam preskočila na drugo cev in po njej praktično zastonj odpotovala v vesolje

Figure 9 Conley-McGehee jeve cevi Sonda pride po površini zelene cevi v bližini Lagrangeeve

točke preide na površino odvodne rdeče cevi in se odpravi proti naslednji Lagrangeevi točki ki jo približa cilju [3]

Naslednja pomembna lastnost tega omrežja je da se ves čas spreminja saj se vsi

planeti in lune vrtijo Ker pa se gibljejo po znanih zakonih nebesne mehanike je možno z računalniškimi simulacijami določiti optimalno trajektorijo sonde To je dejansko uspelo šele leta 1980 Nasinemu matematiku Martinu Loju ki je odkril nizkoenergijske poti ki povezujejo Lagrangeeve točke Lune Zemlje Marsa Saturna in Jupitra Dokler se sonda nahaja na površini te cevi je na nizkoenergijski tirnici (orbita je zdaj neprimeren izraz) ki nas poceni pripelje na ciljno točko če pa bi se od te cevi oddaljila pa bi jo odneslo nekam stran od cilja (in se slej ko prej ujela v orbito okoli masivnega telesa) ter bi jo lahko na pravo pot postavili le z veliko porabo goriva

16

Slabost uporabe ITN pa je čas Gibanje sonde po Omrežju zna biti zelo počasno in zna biti v najboljšem primeru nekajkrat daljše od Hohmannovega prenosa Tako da se za kakšne obljudene vesoljske ladje ne more uporabljati prav tako ne takrat ko bi radi na kakem planetu čimprej nekaj preverili oz odkrili Razen če spet ne nastopi cenahellip

Figure 10 Primerjava dveh metod za doseganje Lune Levo zgoraj je Hohmannov prenos ki je časovno najkrajši vendar energijsko potraten Novejše raziskave dajejo energijsko ugodnejše in

časovno ne preveč potratne tirnice [8]

ITS je še relativno mlada veja mehanike orbit zato se še ni razcvetela Do zdaj so to tehniko uporabili pri sondah ISEE-3 Hiten SMART-1 Genesis ISEE-3 so na pot poslali že leta 1978 in je raziskovala Sonce ter Zemljo Takrat kaotične zgradbe medplanetne ceste še niso čisto dobro razumeli in izstrelitev sonde po takšni trajektoriji je omogočala le delna in nepopolna računalniška analiza gravitacijske pokrajine med Zemljo in Soncem Če bi bil polet daljši bi se sonda zelo verjetno izgubila v vesolju Kasneje so Japonci z metodo ITS rešili svoj satelit Hiten ko mu je na napačni orbiti zmanjkalo goriva jim ga je uspelo na pravo usmeriti po nizkoenergijski tirnici IPS Leta 2001 so izstrelili še sondo Genesis namenjeno raziskovanju Sončevih nabitih delcev Ta satelit je bil namenoma izstreljen v kaotično orbito ki ga je dve leti nekajkrat vodila okrog Zemljine L1 točke nato obkrožila L2 in se z vzorci vrnila na Zemljo [10] Njena pot vključno z trenutkom vrnitve je bila že nekaj let pred izstrelitvijo natanko določena Misija bi bila čisti uspeh če bi le na koncu sonda odprla padalahellip Kljub temu je misija pokazala kako z uporabo sodobnih računalniških metod lahko natančno izračunamo zapletene trajektorije za poti po vesolju

17

Figure 11 Tir sonde Genesis [10]

7 Zaključek

Predstavljenih je bilo nekaj načinov doseganja drugih planetov z raziskovalnimi sondami V kolikor sta v preteklosti dominirala Hohmannov prenos in gravitacijska frača se danes vedno bolj uveljavlja tudi metoda ITS Za razliko od prejšnjih dveh za metodo ITS zadostujejo nizke hitrosti sonde vendar je ta metoda žal časovno zelo potratna Zato se je treba odločati med ekonomičnostjo metodo in potrebnim časom potovanja ko načrtujemo raziskovalni polet k drugim nebesnim telesom

8 Literatura [1] L N Hand amp J D Finch Analytical Mechanics Cambridge University Press 1998 [2] O Montenbruck amp E Gill Satellite Orbits Springer verlag 2000 [3] Wikipedia Bi-elliptic transfer (httpenwikipediaorgwikiBi-elliptic_transfer) [4] R C Johnson The Slingshot Effect 2003 (httpmathsduracuk~dma0rcjPslingslingpdf) [5] Wikipedia Cassini-Huygens (httpenwikipediaorgwikiCassini-Huygens) [6] Wikipedia Lagrangian points (httpenwikipediaorgwikiLagrangian_points) [7] J EMarsden amp S D Ross New Methods in Celestial Mechanics and Mission Design 2005 (httpwwwesmvtedu~sdrosspapersMaRo_amspdf) [8] W S Koon et al Dynamical Systems the Three-Body Problem and Space Mission Design 2006 (httpwwwcdscaltechedu~marsdenbooksMission_Designhtml) [9] SD Ross Cylindrical Manifolds and Tube Dynamics in the Restricted Three-Body Problem 2004 [10] W S Koon et al The Genesis Trajectory and Heteroclinic Connections 2000 (httpwwwggcaltechedu~mwlpublicationspapersgenesispdf)

18

Figure 2 Bi-eliptični prenos iz začetne krožnice (1) sondo pošljemo na eliptični tir V afeliju (2)

majhne popravek hitrosti in sonda je na novi eliptični tirnici v novem periheliju (3) vtiritev v novo krožnico [3]

Če spet poračunamo kolikšni prispevki hitrosti so potrebni

Prvi sunek 010

12

rGM

aGM

rGMv minusminus=Δ V najbolj oddaljeni točki sondi povečamo

hitrost za 12

222

aGM

rGM

aGM

rGMv

bb

minusminusminus=Δ Zadnji popravek je na končni krožni

orbiti kjer moramo sondo zaustaviti 2

32

aGM

rGM

rGMv

kk

minusminus=Δ kjer sta in

veliki polosi obeh eliptičnih orbit in sta podani z

1a

2a21

br rra

+= in

22bk rr

a+

=

Kot pri Hohmannovi orbiti je čas ko je sonda na prenosni orbiti ravno polovica periode za celo eliptično orbito Torej moramo samo sešteti časa za vsako polovico

eliptičnih orbit GMat

31

1 π= in GMat

32

2 π= in je torej čas prenosa 21 ttt +=

bull PRIMER Da bi spravili sondo iz nizke krožne Zemeljske orbite z km na novo krožno orbito z km

r 67000 =rr 9380014 01 == bi s Hohmannovim prenosom

morali sondi dati vΔ =282434+130838=413272 ms Če pa bi sondi najprej dali sunek 306031 ms in jo s tem spravili v novo orbito s apogejem pri

km ji v apogeju dali nov sunek 608679 ms kar bi jo spravilo na novo eliptnično orbito s perigejem na km

rr 26800040 02 ==rr 9380014 01 == kjer bi jo končno

še malo zaustavili in sicer z vΔ =447554 ms kar bi sondo spravilo v končno krožno orbito Potem bi skupen vΔ bil v primerjavi z Hohmannovim prenosom malo manjši v konkretnem primeru 1618ms kar se sicer ne sliši veliko vendar je pri vesoljskih poletih vsakršno varčevanje z gorivom pomembno

Še primerjava časov Hohmannovega in bi-eliptičnega prenosa za konkretni primer bi z Hohmannovim prenosom sondo prestavili v 15 urah in pol medtem ko bi za bi-eliptični manever potrebovali okoli 74 ur Pri medplanetarnih poletih so seveda časovne razlike še

7

toliko večje so pa tudi prihranki goriva večji Tukaj se potem pač odločamo kako zelo se nam mudi spraviti satelit v novo orbito oziroma koliko goriva hočemo prihraniti

Popravek orbite Hohmannov prenos ∆v (ms) Bi-eliptični prenos ∆v (ms)

1 282434 306031 2 130838 608679 3 - 447554 Σ 413272 411654

Tako Hohmannova kot bi-eliptična orbita pa imata to slabost da ostaneta v isti

ravnini kot kroži Zemlja okoli Sonca čeprav nekateri planeti krožijo okoli Sonca pod drugače nagnjenih ravninah (recimo ravnina Plutona je za 13ordm nagnjena glede na Zemljino) Torej je najprej potrebno smer vrtilne količine spremeniti za 13ordm in še potem opraviti Hohmannov manever Energijsko še bolj potratne so misije ko je treba sondo vtiriti v polarno orbito recimo okoli Sonca

5 Gravitacijska frača Vse do zdaj nismo upoštevali da imajo planeti lastno gravitacijsko privlačnost Vendar lahko z upoštevanjem gravitacijske sile planetov dosežemo še druge manevre ki nam dovoljujejo še bolj ekonomične polete sond Recimo v primeru sonde Cassini ki so jo izstrelili leta 1997 in jo poslali proti Saturnu Po prejšnjih metodah bi ji morali povečati hitrost za 10 kms čas potovanja pa bi bil šest let Namesto tega so ji povečali hitrost le za 4 kms jo poslali na zapleteno orbito ki je vključevala 2 preleta mimo Venere prelet mimo Zemlje in še en mimo Jupitra Na tak način se je vtirila okoli Saturna leta 2004 le eno leto kasneje kot bi prišla na Hohmannovi orbiti ki potrebuje veliko več goriva [4]

Figure 3 Trajektorija sonde Cassini mimo večih planetov [5]

8

Glavna lastnost tega manevra je da planet spremeni sondino hitrost relativno na

Sonce čeprav se ohranja hitrost sonde relativno na planet namreč za sistem sonda-planet se morata ohranjati gibalna količina in energija ndash gravitacija planeta le spremeni smer hitrosti sonde Ko sta sonda in planet še toliko oddaljena med seboj da še ni znatnega medsebojnega vpliva se gibljeta s hitrostjo invv in inV

v po preletu pa z in outvv

outVv

Ker sistem ohranja gibalno količino velja

outoutinin VMvmVMvmvvvv +=+ (6)

kjer sta m in M masi sonde oziroma planeta Enačba se preuredi v

)( outininout vvMmVV vvvv

minus=minus Zaradi velike razlike v masah (sonda tipično tehta nekaj 100

kilogramov do nekaj ton planeti pa od 1024 do 1027kg) je razmerje mas mM zanemarljivo majhno 10-21mdash10-24 zato lahko brez problema zapišemo

VVV outin

vvv== (hitrost planeta se ne spremeni z natančnostjo vsaj 10-21) Sonda torej

zanemarljivo malo vpliva na gibanje planeta prelet Galileja je recimo upočasnil Zemljo za slabi 2 milijardinki centimetra na leto S preletom torej ne dobimo hitrosti iz nič ampak je vpliv na planet tako majhen da ni merljiv Kot smo prej videli se hitrost sonde glede na planet ne spremeni spremeni se le smer hitrosti inout uu vv = To je lepo vidno v sistemu kjer miruje planet Če se zdaj preselimo v sistem kjer miruje Sonce pa vidimo da se hitrost sonde transformira kot Vuv outinoutin

vvv += Torej lahko zapišemo da planet s svojo gravitacijo spremeni smer hitrosti sonde zaradi tega pa se sondi spremeni velikost hitrosti relativno na Sonce

Figure 4 shema gravitacijske frače - Puščice kažejo smeri potovanja sonde pred in po srečanju s planetom dolžina puščic predstavlja hitrost sonde Na prvi sliki gledamo iz vidika mirujočega planeta na drugi pa iz sistema kjer miruje Sonce [4]

9

Ker se gibalna količina ohranja imamo opravka s

sipanjem sonde na planetu ohranitev energije pa nam zagotovi da je sipanje oziroma trk elastično Določimo α oziromaαprime kot kota med smerjo planeta V

v in smerjo sonde

oziroma kot β pa naj bo odklon sonde relativno na planet oziroma kot sipanja v sistemu kjer planet miruje Velja

invv outvv

)sin(sinsin

)cos()cos1(cosβαβα

βαβαminus+=prime

minus+minus=prime

inout

inout

vVvvVv

(7)

Ugotovimo da ob izbranih parametrih )( αVvin hitrost narašča s kotom β Maksimum doseže pri kotu

outv

maxββ = ki je v zvezi

Vvin

minusαα

cossin

vin

=βtan max (8)

ko je 0=primeα oziroma ko je vzporeden z Voutvv

v

Figure 5 Sprememba kota α v α prime po preletu mimo planeta

Po maksimumu z outvv β spet pada

za inout vv = max0 2βββ == Vidimo pa da obstaja simetrija kar pomeni da dobimo enako spremembo hitrosti pri dveh različnih kotih

21β ki sta v zvezi max21 2βββ =+ Načeloma je bolj priljubljen manjši sipalni kot da se izognemo morebitnemu vplive atmosfere planeta Za kote 0ββ gt je sonda izgubi hitrost Recimo pri kotih

inout vv ltdegminus== 301ββ

ter deg== 1922ββ je razmerje 750=in

outv

v

To seveda uporabljamo za zaviranje sonde

Figure 6 Odvisnost Vvout od β za

deg== 4051 αVvin [4]

10

Relativni potiskin

outv

v je navzgor neomejen (čeprav redko prekorači vrednost 2)

absolutni potisk pa je za primer točkastega planeta navzgor omejen z 2V Ker pa smo omejeni z začetnimi parametri (

inout vv minus

invα ) zaradi medsebojnega položaja Zemlje in planeta v času izstrelitve sonde Večinoma se pri gravitacijski frači govori o pridobljeni hitrosti sonde čeprav je včasih pomembneje da s preletom spremenimo sondi smer Če pogledamo primer sonde Voyager ndash ta je že po preletu Jupitra imel dovolj visoko hitrost da bi lahko ušel iz Osončja in torej dosegel tudi katerikoli planet vendar mu vsa ta hitrost ne pomaga čisto nič če ne prileti mimo svojega cilja Zato je bilo sondo na vsakem planetu še pravilno preusmeriti Vsak dodaten potisk ob prehodu mimo planeta pa je še dodatna dobrodošla posledica ki je skrajšala potovanje Prej smo videli na primeru sonde Cassini ki je v primerjavi z Hohmannovim prenosom raquozamudilalaquo eno leto na račun manjšega potiska Voyager bi do Neptuna potreboval 30 let in ogromno goriva z večkratno uporabo gravitacijske frače pa je tja z manjšim potiskom potreboval zgolj 12let Šele tukaj vidimo pravo moč gravitacijske frače Tukaj je pomembna razlika da se pri Hohmannovem prenosu lahko vtirimo okoli Neptuna medtem ko je Voyager na svojem potovanju nabral tolikšno hitrost da je mimo Neptuna samo odbrzel Za zaustavitev bi bile spet potrebne velike spremembe hitrosti

Žal pa je potrebne čase za dosego ciljnih planetov zdaj veliko težje računati saj moramo poznati hitrost sonde ko pride do vmesnega planeta ter točen kot sipanja da lahko dobimo novo hitrost in smer itd

Figure 5 Pot sonde Voyager 1 ko je obiskala večino zunanjih planetov Osončja [4]

11

6 Medplanetarno transportno omrežje Gibanje sonde postane še posebno zapleteno če nehamo obravnavati polet sonde kot več ločenih problemov dveh teles (sonda se giblje okoli Sonca sonda se giblje okolimimo planeta) ampak polet obravnavamo kot problem treh teles (ali še huje- večih teles) Pri problemu treh teles gledamo gibanje zanemarljivo lahkega telesa v okolici dveh masivnih teles in res je masa sonde v primerjavi z masami Sonca in planetov zanemarljivo majhna Izkaže se da problem treh teles analitično ponavadi ni rešljiv torej ga moramo reševati z numeričnimi metodami Vseeno pa je bilo ugotovljenih nekaj pomembnih stvari Izkazalo se je da v okolici dveh teles z znatno maso ki krožita drugo okoli drugega obstajajo v prostoru točke v katerih se telo z zanemarljivo maso ndash recimo satelit ali vesoljska postaja ali asteroid ndash giblje tako da se njegov položaj glede na prvi dve ne spreminja S problemom sta se med prvimi ukvarjala Euler in Lagrange Slepi Euler je samo z računanjem na pamet odkril tri take točke Lagrange pa s temeljito analizo še dve dodatni Teh pet točk danes imenujemo Lagrangeove točke

Poglejmo recimo na primer sistem Zemlje in satelita Kot vemo sta obhodni čas in hitrost vsakega telesa ki kroži okoli Zemlje določena z njegovo oddaljenostjo od središča Zemlje Če upoštevamo še gravitacijo Lune imamo gravitacijsko silo Zemlje ki vleče proti težišču Zemlje ter gravitacijsko silo Lune ki vleče proti centru Lune Če satelit v nekem trenutku leži nekje na zveznici med središčema Zemlje in Lune bosta ti sili nasprotno usmerjeni zato se bo satelit ki leži med Zemljo in Luno gibal tako kot da bi nanj delovala za Lunino težnost zmanjšana težnost Zemlje Drugače povedano giblje se z obhodnim časom kot da bi navidezno krožil okoli središča Zemlje na večji oddaljenosti od dejanske Če je ta navidezna razdalja natančno enaka razdalji med Zemljo in Luno satelit okoli prve kroži z obhodnim časom ki je enak obhodnemu času Lune kar pomeni da bo vedno na zveznici med Zemljo in Luno Takrat je v 1 Lagrangeovi točki navadno imenovani L1 Leži bliže Luni kot Zemlji na 84 razdalje med njima Na podoben način bi lahko našli še L2 točko (za Luno) in L3 točko (leži na nasprotni strani Zemlje kot Luna) Preostali dve točki L4 in L5 ležita na Luninem tiru tako da je kot med zveznicama med Luno in Zemljo ter satelitom 60ordm torej sta na enaki oddaljenosti od Zemlje kot od Lune Okoli Zemljine L1 točke (med Soncem in Zemljo) trenutno kroži satelit SOHO ki opazuje Sonce in heliosfero ker z nje njegovega pogleda na Sonce nikoli nič ne zastre v Zemljini L2 pa je recimo Wilkinsonova postaja za merjenje anizotropije mikrovalovnega sevanja vesolja (WMAP) s katero se raziskujejo lastnosti velikega poka in vanjo bodo v prihodnosti utirili recimo tudi satelit Gaio

12

Figure 6 Zemljine Lagrangeove točke [6]

Nahajališča Lagrangeovih točk zapišemo jih v sistemu v katerem obe masivnejši

telesi mirujeta in je masivnejše telo (navadno Sonce) v izhodišču manj masivno pa na x-osi na oddaljenosti R Točke so v [7]

L1 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

MMR

L2 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

MMR

L3 )01251(

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminus

MMR

L4 in L5 )23)(

2(

21

21 RMMMMR

plusmn+minus

L4 in L5 sta stabilni točki kar pomeni da sondo ki se nahaja v njiju rahlo

zmotimo se bo ta samo vrnila v začetno točko (v kolikor je perturbacija majhna) Istočasno to pomeni da se počasna telesa lahko ujamejo v ti dve točki oziroma potujejo okoli njiju In res je bilo v bližini Jupitrovih L4 in L5 točkah odkrito večje število asteroidov ki zdaj potujejo z enako periodo kot Jupiter okoli Sonca

13

Figure 7 Odkriti asteroidi v L4 in L5 Jupitra [6]

Po drugi strani pa so L1 L2 in L3 nestabilne točke Ob najmanjši gravitacijski

motnji bi sondo ki se nahaja v kateri od njih odneslo iz Lagrangeove točke Zato je treba satelitom ki so v teh točkah vsake toliko časa vključiti motorje da jo vrnejo na pravo mesto

Izkazalo pa se je da je potrebno zelo malo energije da sondo spravimo iz ene nestabilne L-točke v drugo [8] Če želimo vtiriti sondo v Lunino L1 točko je za to potrebna hitrost 49kms Če pa bi sedaj hoteli sondo od tam poslati v recimo Zemljino L2 točko bi bila za to potrebna dodatna hitrost le 0014 kms (50kmh) (Spomnimo se da je Lunina L1 točka od Zemlje oddaljena 322500 km (okoli 86 razdalje med Zemljo in Luno) Zemljina L2 pa 1500000 km) Očitno se da z zelo majhnimi spremembami hitrosti priti zelo daleč praktično do vseh planetov Tako je v Osončju pravo omrežje takšnih poceni povezovalnih poti čemur so dali ime Medplanetarno prenosno omrežje (Interplanetary Transport Network - ITN) ali tudi Medplanetna avtocesta (Interplanetary Superhighway - IPS)

Odkritje tega omrežje temelji na delu Poincareja ki se je z tem problemom okvarjal ob koncu 19 stoletja Ta je med drugim odkril da je analitično nemogoče natančno izračunati poti teles ki se začenjajo v bližini neke nestabilne Lagrangeeve točke Poglejmo to malo podrobneje

14

Enačbe gibanja [9] Če sta M1 in M2 masi večjih teles in

zapišemo21

2

MMM+

=μ iščemo enačbe gibanja za točkasto telo v okolici dveh masivnih

teles v rotirajočem sistemu kjer prvo telo v točki (-μ0) drugo pa v (1- μ0) Lahko tretje telo naj bo v točki (xy) in naj bo oddaljenost do prve in druge mase r1 ter r2 Potem velja

221 )( yxr ++= μ ter 22

2 )1( yxr ++minus= μ Potem je gravitacijska potencialna energija tretjega telesa

21

1)(rr

yxV μμminus

minusminus= (9)

Kinetična energija tretjega telesa je

[ ]22 )()(21)( xyyxyxyxK ++minus= ampampampamp (10)

in Lagranžijan tretjega telesa je potem

)()()( yxVyxyxKyxyxL minus= ampampampamp Enačbe gibanja so potem po Euler-Lagrangeovih enačbah

xVyxpartpart

minus=minus ampampamp 2 in yVxypartpart

minus=minus ampampamp 2 (11)

kjer je efektivni potencial 2

22 yxVV minusminus= Polna energija je )()(

21 22 yxVyxE ++= ampamp

Figure 8 Efektivni potencial okoli dveh masivnih teles ter označene Lagrangeeve točke

Na desni sliki je s sivo označeno prepovedano območje svetla je Hillova regija ndash območje po katerem se delec lahko giblje [8]

15

Na drugi sliki pa je področje ki ga dobimo če upoštevamo ohranitev energije in gledamo samo določeno energijo E Zato za dan energijski nivo E velja da se lahko tretje telo giblje zgolj po področje kjer velja 0geminusVE To je tako imenovana Hillova regija[7] in jo dobimo če presekamo graf efektivnega potenciala z vodoravno ravnino ki predstavlja energijo Kot primer je podana Hillova regija (bela barva ) za tretje telo v okolici Sonca in Jupitra vidimo tri območja ndash Sončevo območje Jupitrovo območje ter zunanje območje ki so povezana med seboj z ozkimi vratovi V levem vratu je L1 v desnem pa L2 Če bi pogledali pri drugačnih energijah bi prehod med območji lahko bil onemogočen ker bi vrata bila zaprta

Pri problemu treh teles je bistvena ugotovitev da obstaja neskončno veliko možnih poti ki bi pripeljale sondo do ciljne točke in jih je mogoče razvstiti v družine podobnih trajektorij Takšna družina leži na površini namišljene cevi ki jih imenujemo Conley ndashMcGeheejeve cevi [7]

Telo ki odleti iz Lagrangeeve točke se skozi vesolje po eni od teh trajektorij giblje tako kot bi potovalo po vijačnici na površini cevi Za vsako cev ki vodi od Lagrangeeve točke obstaja še ena ki vanjo vodi Torej bi se sonda po eni od teh cevi pripeljala v Lagrangeovo točko tam preskočila na drugo cev in po njej praktično zastonj odpotovala v vesolje

Figure 9 Conley-McGehee jeve cevi Sonda pride po površini zelene cevi v bližini Lagrangeeve

točke preide na površino odvodne rdeče cevi in se odpravi proti naslednji Lagrangeevi točki ki jo približa cilju [3]

Naslednja pomembna lastnost tega omrežja je da se ves čas spreminja saj se vsi

planeti in lune vrtijo Ker pa se gibljejo po znanih zakonih nebesne mehanike je možno z računalniškimi simulacijami določiti optimalno trajektorijo sonde To je dejansko uspelo šele leta 1980 Nasinemu matematiku Martinu Loju ki je odkril nizkoenergijske poti ki povezujejo Lagrangeeve točke Lune Zemlje Marsa Saturna in Jupitra Dokler se sonda nahaja na površini te cevi je na nizkoenergijski tirnici (orbita je zdaj neprimeren izraz) ki nas poceni pripelje na ciljno točko če pa bi se od te cevi oddaljila pa bi jo odneslo nekam stran od cilja (in se slej ko prej ujela v orbito okoli masivnega telesa) ter bi jo lahko na pravo pot postavili le z veliko porabo goriva

16

Slabost uporabe ITN pa je čas Gibanje sonde po Omrežju zna biti zelo počasno in zna biti v najboljšem primeru nekajkrat daljše od Hohmannovega prenosa Tako da se za kakšne obljudene vesoljske ladje ne more uporabljati prav tako ne takrat ko bi radi na kakem planetu čimprej nekaj preverili oz odkrili Razen če spet ne nastopi cenahellip

Figure 10 Primerjava dveh metod za doseganje Lune Levo zgoraj je Hohmannov prenos ki je časovno najkrajši vendar energijsko potraten Novejše raziskave dajejo energijsko ugodnejše in

časovno ne preveč potratne tirnice [8]

ITS je še relativno mlada veja mehanike orbit zato se še ni razcvetela Do zdaj so to tehniko uporabili pri sondah ISEE-3 Hiten SMART-1 Genesis ISEE-3 so na pot poslali že leta 1978 in je raziskovala Sonce ter Zemljo Takrat kaotične zgradbe medplanetne ceste še niso čisto dobro razumeli in izstrelitev sonde po takšni trajektoriji je omogočala le delna in nepopolna računalniška analiza gravitacijske pokrajine med Zemljo in Soncem Če bi bil polet daljši bi se sonda zelo verjetno izgubila v vesolju Kasneje so Japonci z metodo ITS rešili svoj satelit Hiten ko mu je na napačni orbiti zmanjkalo goriva jim ga je uspelo na pravo usmeriti po nizkoenergijski tirnici IPS Leta 2001 so izstrelili še sondo Genesis namenjeno raziskovanju Sončevih nabitih delcev Ta satelit je bil namenoma izstreljen v kaotično orbito ki ga je dve leti nekajkrat vodila okrog Zemljine L1 točke nato obkrožila L2 in se z vzorci vrnila na Zemljo [10] Njena pot vključno z trenutkom vrnitve je bila že nekaj let pred izstrelitvijo natanko določena Misija bi bila čisti uspeh če bi le na koncu sonda odprla padalahellip Kljub temu je misija pokazala kako z uporabo sodobnih računalniških metod lahko natančno izračunamo zapletene trajektorije za poti po vesolju

17

Figure 11 Tir sonde Genesis [10]

7 Zaključek

Predstavljenih je bilo nekaj načinov doseganja drugih planetov z raziskovalnimi sondami V kolikor sta v preteklosti dominirala Hohmannov prenos in gravitacijska frača se danes vedno bolj uveljavlja tudi metoda ITS Za razliko od prejšnjih dveh za metodo ITS zadostujejo nizke hitrosti sonde vendar je ta metoda žal časovno zelo potratna Zato se je treba odločati med ekonomičnostjo metodo in potrebnim časom potovanja ko načrtujemo raziskovalni polet k drugim nebesnim telesom

8 Literatura [1] L N Hand amp J D Finch Analytical Mechanics Cambridge University Press 1998 [2] O Montenbruck amp E Gill Satellite Orbits Springer verlag 2000 [3] Wikipedia Bi-elliptic transfer (httpenwikipediaorgwikiBi-elliptic_transfer) [4] R C Johnson The Slingshot Effect 2003 (httpmathsduracuk~dma0rcjPslingslingpdf) [5] Wikipedia Cassini-Huygens (httpenwikipediaorgwikiCassini-Huygens) [6] Wikipedia Lagrangian points (httpenwikipediaorgwikiLagrangian_points) [7] J EMarsden amp S D Ross New Methods in Celestial Mechanics and Mission Design 2005 (httpwwwesmvtedu~sdrosspapersMaRo_amspdf) [8] W S Koon et al Dynamical Systems the Three-Body Problem and Space Mission Design 2006 (httpwwwcdscaltechedu~marsdenbooksMission_Designhtml) [9] SD Ross Cylindrical Manifolds and Tube Dynamics in the Restricted Three-Body Problem 2004 [10] W S Koon et al The Genesis Trajectory and Heteroclinic Connections 2000 (httpwwwggcaltechedu~mwlpublicationspapersgenesispdf)

18

toliko večje so pa tudi prihranki goriva večji Tukaj se potem pač odločamo kako zelo se nam mudi spraviti satelit v novo orbito oziroma koliko goriva hočemo prihraniti

Popravek orbite Hohmannov prenos ∆v (ms) Bi-eliptični prenos ∆v (ms)

1 282434 306031 2 130838 608679 3 - 447554 Σ 413272 411654

Tako Hohmannova kot bi-eliptična orbita pa imata to slabost da ostaneta v isti

ravnini kot kroži Zemlja okoli Sonca čeprav nekateri planeti krožijo okoli Sonca pod drugače nagnjenih ravninah (recimo ravnina Plutona je za 13ordm nagnjena glede na Zemljino) Torej je najprej potrebno smer vrtilne količine spremeniti za 13ordm in še potem opraviti Hohmannov manever Energijsko še bolj potratne so misije ko je treba sondo vtiriti v polarno orbito recimo okoli Sonca

5 Gravitacijska frača Vse do zdaj nismo upoštevali da imajo planeti lastno gravitacijsko privlačnost Vendar lahko z upoštevanjem gravitacijske sile planetov dosežemo še druge manevre ki nam dovoljujejo še bolj ekonomične polete sond Recimo v primeru sonde Cassini ki so jo izstrelili leta 1997 in jo poslali proti Saturnu Po prejšnjih metodah bi ji morali povečati hitrost za 10 kms čas potovanja pa bi bil šest let Namesto tega so ji povečali hitrost le za 4 kms jo poslali na zapleteno orbito ki je vključevala 2 preleta mimo Venere prelet mimo Zemlje in še en mimo Jupitra Na tak način se je vtirila okoli Saturna leta 2004 le eno leto kasneje kot bi prišla na Hohmannovi orbiti ki potrebuje veliko več goriva [4]

Figure 3 Trajektorija sonde Cassini mimo večih planetov [5]

8

Glavna lastnost tega manevra je da planet spremeni sondino hitrost relativno na

Sonce čeprav se ohranja hitrost sonde relativno na planet namreč za sistem sonda-planet se morata ohranjati gibalna količina in energija ndash gravitacija planeta le spremeni smer hitrosti sonde Ko sta sonda in planet še toliko oddaljena med seboj da še ni znatnega medsebojnega vpliva se gibljeta s hitrostjo invv in inV

v po preletu pa z in outvv

outVv

Ker sistem ohranja gibalno količino velja

outoutinin VMvmVMvmvvvv +=+ (6)

kjer sta m in M masi sonde oziroma planeta Enačba se preuredi v

)( outininout vvMmVV vvvv

minus=minus Zaradi velike razlike v masah (sonda tipično tehta nekaj 100

kilogramov do nekaj ton planeti pa od 1024 do 1027kg) je razmerje mas mM zanemarljivo majhno 10-21mdash10-24 zato lahko brez problema zapišemo

VVV outin

vvv== (hitrost planeta se ne spremeni z natančnostjo vsaj 10-21) Sonda torej

zanemarljivo malo vpliva na gibanje planeta prelet Galileja je recimo upočasnil Zemljo za slabi 2 milijardinki centimetra na leto S preletom torej ne dobimo hitrosti iz nič ampak je vpliv na planet tako majhen da ni merljiv Kot smo prej videli se hitrost sonde glede na planet ne spremeni spremeni se le smer hitrosti inout uu vv = To je lepo vidno v sistemu kjer miruje planet Če se zdaj preselimo v sistem kjer miruje Sonce pa vidimo da se hitrost sonde transformira kot Vuv outinoutin

vvv += Torej lahko zapišemo da planet s svojo gravitacijo spremeni smer hitrosti sonde zaradi tega pa se sondi spremeni velikost hitrosti relativno na Sonce

Figure 4 shema gravitacijske frače - Puščice kažejo smeri potovanja sonde pred in po srečanju s planetom dolžina puščic predstavlja hitrost sonde Na prvi sliki gledamo iz vidika mirujočega planeta na drugi pa iz sistema kjer miruje Sonce [4]

9

Ker se gibalna količina ohranja imamo opravka s

sipanjem sonde na planetu ohranitev energije pa nam zagotovi da je sipanje oziroma trk elastično Določimo α oziromaαprime kot kota med smerjo planeta V

v in smerjo sonde

oziroma kot β pa naj bo odklon sonde relativno na planet oziroma kot sipanja v sistemu kjer planet miruje Velja

invv outvv

)sin(sinsin

)cos()cos1(cosβαβα

βαβαminus+=prime

minus+minus=prime

inout

inout

vVvvVv

(7)

Ugotovimo da ob izbranih parametrih )( αVvin hitrost narašča s kotom β Maksimum doseže pri kotu

outv

maxββ = ki je v zvezi

Vvin

minusαα

cossin

vin

=βtan max (8)

ko je 0=primeα oziroma ko je vzporeden z Voutvv

v

Figure 5 Sprememba kota α v α prime po preletu mimo planeta

Po maksimumu z outvv β spet pada

za inout vv = max0 2βββ == Vidimo pa da obstaja simetrija kar pomeni da dobimo enako spremembo hitrosti pri dveh različnih kotih

21β ki sta v zvezi max21 2βββ =+ Načeloma je bolj priljubljen manjši sipalni kot da se izognemo morebitnemu vplive atmosfere planeta Za kote 0ββ gt je sonda izgubi hitrost Recimo pri kotih

inout vv ltdegminus== 301ββ

ter deg== 1922ββ je razmerje 750=in

outv

v

To seveda uporabljamo za zaviranje sonde

Figure 6 Odvisnost Vvout od β za

deg== 4051 αVvin [4]

10

Relativni potiskin

outv

v je navzgor neomejen (čeprav redko prekorači vrednost 2)

absolutni potisk pa je za primer točkastega planeta navzgor omejen z 2V Ker pa smo omejeni z začetnimi parametri (

inout vv minus

invα ) zaradi medsebojnega položaja Zemlje in planeta v času izstrelitve sonde Večinoma se pri gravitacijski frači govori o pridobljeni hitrosti sonde čeprav je včasih pomembneje da s preletom spremenimo sondi smer Če pogledamo primer sonde Voyager ndash ta je že po preletu Jupitra imel dovolj visoko hitrost da bi lahko ušel iz Osončja in torej dosegel tudi katerikoli planet vendar mu vsa ta hitrost ne pomaga čisto nič če ne prileti mimo svojega cilja Zato je bilo sondo na vsakem planetu še pravilno preusmeriti Vsak dodaten potisk ob prehodu mimo planeta pa je še dodatna dobrodošla posledica ki je skrajšala potovanje Prej smo videli na primeru sonde Cassini ki je v primerjavi z Hohmannovim prenosom raquozamudilalaquo eno leto na račun manjšega potiska Voyager bi do Neptuna potreboval 30 let in ogromno goriva z večkratno uporabo gravitacijske frače pa je tja z manjšim potiskom potreboval zgolj 12let Šele tukaj vidimo pravo moč gravitacijske frače Tukaj je pomembna razlika da se pri Hohmannovem prenosu lahko vtirimo okoli Neptuna medtem ko je Voyager na svojem potovanju nabral tolikšno hitrost da je mimo Neptuna samo odbrzel Za zaustavitev bi bile spet potrebne velike spremembe hitrosti

Žal pa je potrebne čase za dosego ciljnih planetov zdaj veliko težje računati saj moramo poznati hitrost sonde ko pride do vmesnega planeta ter točen kot sipanja da lahko dobimo novo hitrost in smer itd

Figure 5 Pot sonde Voyager 1 ko je obiskala večino zunanjih planetov Osončja [4]

11

6 Medplanetarno transportno omrežje Gibanje sonde postane še posebno zapleteno če nehamo obravnavati polet sonde kot več ločenih problemov dveh teles (sonda se giblje okoli Sonca sonda se giblje okolimimo planeta) ampak polet obravnavamo kot problem treh teles (ali še huje- večih teles) Pri problemu treh teles gledamo gibanje zanemarljivo lahkega telesa v okolici dveh masivnih teles in res je masa sonde v primerjavi z masami Sonca in planetov zanemarljivo majhna Izkaže se da problem treh teles analitično ponavadi ni rešljiv torej ga moramo reševati z numeričnimi metodami Vseeno pa je bilo ugotovljenih nekaj pomembnih stvari Izkazalo se je da v okolici dveh teles z znatno maso ki krožita drugo okoli drugega obstajajo v prostoru točke v katerih se telo z zanemarljivo maso ndash recimo satelit ali vesoljska postaja ali asteroid ndash giblje tako da se njegov položaj glede na prvi dve ne spreminja S problemom sta se med prvimi ukvarjala Euler in Lagrange Slepi Euler je samo z računanjem na pamet odkril tri take točke Lagrange pa s temeljito analizo še dve dodatni Teh pet točk danes imenujemo Lagrangeove točke

Poglejmo recimo na primer sistem Zemlje in satelita Kot vemo sta obhodni čas in hitrost vsakega telesa ki kroži okoli Zemlje določena z njegovo oddaljenostjo od središča Zemlje Če upoštevamo še gravitacijo Lune imamo gravitacijsko silo Zemlje ki vleče proti težišču Zemlje ter gravitacijsko silo Lune ki vleče proti centru Lune Če satelit v nekem trenutku leži nekje na zveznici med središčema Zemlje in Lune bosta ti sili nasprotno usmerjeni zato se bo satelit ki leži med Zemljo in Luno gibal tako kot da bi nanj delovala za Lunino težnost zmanjšana težnost Zemlje Drugače povedano giblje se z obhodnim časom kot da bi navidezno krožil okoli središča Zemlje na večji oddaljenosti od dejanske Če je ta navidezna razdalja natančno enaka razdalji med Zemljo in Luno satelit okoli prve kroži z obhodnim časom ki je enak obhodnemu času Lune kar pomeni da bo vedno na zveznici med Zemljo in Luno Takrat je v 1 Lagrangeovi točki navadno imenovani L1 Leži bliže Luni kot Zemlji na 84 razdalje med njima Na podoben način bi lahko našli še L2 točko (za Luno) in L3 točko (leži na nasprotni strani Zemlje kot Luna) Preostali dve točki L4 in L5 ležita na Luninem tiru tako da je kot med zveznicama med Luno in Zemljo ter satelitom 60ordm torej sta na enaki oddaljenosti od Zemlje kot od Lune Okoli Zemljine L1 točke (med Soncem in Zemljo) trenutno kroži satelit SOHO ki opazuje Sonce in heliosfero ker z nje njegovega pogleda na Sonce nikoli nič ne zastre v Zemljini L2 pa je recimo Wilkinsonova postaja za merjenje anizotropije mikrovalovnega sevanja vesolja (WMAP) s katero se raziskujejo lastnosti velikega poka in vanjo bodo v prihodnosti utirili recimo tudi satelit Gaio

12

Figure 6 Zemljine Lagrangeove točke [6]

Nahajališča Lagrangeovih točk zapišemo jih v sistemu v katerem obe masivnejši

telesi mirujeta in je masivnejše telo (navadno Sonce) v izhodišču manj masivno pa na x-osi na oddaljenosti R Točke so v [7]

L1 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

MMR

L2 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

MMR

L3 )01251(

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminus

MMR

L4 in L5 )23)(

2(

21

21 RMMMMR

plusmn+minus

L4 in L5 sta stabilni točki kar pomeni da sondo ki se nahaja v njiju rahlo

zmotimo se bo ta samo vrnila v začetno točko (v kolikor je perturbacija majhna) Istočasno to pomeni da se počasna telesa lahko ujamejo v ti dve točki oziroma potujejo okoli njiju In res je bilo v bližini Jupitrovih L4 in L5 točkah odkrito večje število asteroidov ki zdaj potujejo z enako periodo kot Jupiter okoli Sonca

13

Figure 7 Odkriti asteroidi v L4 in L5 Jupitra [6]

Po drugi strani pa so L1 L2 in L3 nestabilne točke Ob najmanjši gravitacijski

motnji bi sondo ki se nahaja v kateri od njih odneslo iz Lagrangeove točke Zato je treba satelitom ki so v teh točkah vsake toliko časa vključiti motorje da jo vrnejo na pravo mesto

Izkazalo pa se je da je potrebno zelo malo energije da sondo spravimo iz ene nestabilne L-točke v drugo [8] Če želimo vtiriti sondo v Lunino L1 točko je za to potrebna hitrost 49kms Če pa bi sedaj hoteli sondo od tam poslati v recimo Zemljino L2 točko bi bila za to potrebna dodatna hitrost le 0014 kms (50kmh) (Spomnimo se da je Lunina L1 točka od Zemlje oddaljena 322500 km (okoli 86 razdalje med Zemljo in Luno) Zemljina L2 pa 1500000 km) Očitno se da z zelo majhnimi spremembami hitrosti priti zelo daleč praktično do vseh planetov Tako je v Osončju pravo omrežje takšnih poceni povezovalnih poti čemur so dali ime Medplanetarno prenosno omrežje (Interplanetary Transport Network - ITN) ali tudi Medplanetna avtocesta (Interplanetary Superhighway - IPS)

Odkritje tega omrežje temelji na delu Poincareja ki se je z tem problemom okvarjal ob koncu 19 stoletja Ta je med drugim odkril da je analitično nemogoče natančno izračunati poti teles ki se začenjajo v bližini neke nestabilne Lagrangeeve točke Poglejmo to malo podrobneje

14

Enačbe gibanja [9] Če sta M1 in M2 masi večjih teles in

zapišemo21

2

MMM+

=μ iščemo enačbe gibanja za točkasto telo v okolici dveh masivnih

teles v rotirajočem sistemu kjer prvo telo v točki (-μ0) drugo pa v (1- μ0) Lahko tretje telo naj bo v točki (xy) in naj bo oddaljenost do prve in druge mase r1 ter r2 Potem velja

221 )( yxr ++= μ ter 22

2 )1( yxr ++minus= μ Potem je gravitacijska potencialna energija tretjega telesa

21

1)(rr

yxV μμminus

minusminus= (9)

Kinetična energija tretjega telesa je

[ ]22 )()(21)( xyyxyxyxK ++minus= ampampampamp (10)

in Lagranžijan tretjega telesa je potem

)()()( yxVyxyxKyxyxL minus= ampampampamp Enačbe gibanja so potem po Euler-Lagrangeovih enačbah

xVyxpartpart

minus=minus ampampamp 2 in yVxypartpart

minus=minus ampampamp 2 (11)

kjer je efektivni potencial 2

22 yxVV minusminus= Polna energija je )()(

21 22 yxVyxE ++= ampamp

Figure 8 Efektivni potencial okoli dveh masivnih teles ter označene Lagrangeeve točke

Na desni sliki je s sivo označeno prepovedano območje svetla je Hillova regija ndash območje po katerem se delec lahko giblje [8]

15

Na drugi sliki pa je področje ki ga dobimo če upoštevamo ohranitev energije in gledamo samo določeno energijo E Zato za dan energijski nivo E velja da se lahko tretje telo giblje zgolj po področje kjer velja 0geminusVE To je tako imenovana Hillova regija[7] in jo dobimo če presekamo graf efektivnega potenciala z vodoravno ravnino ki predstavlja energijo Kot primer je podana Hillova regija (bela barva ) za tretje telo v okolici Sonca in Jupitra vidimo tri območja ndash Sončevo območje Jupitrovo območje ter zunanje območje ki so povezana med seboj z ozkimi vratovi V levem vratu je L1 v desnem pa L2 Če bi pogledali pri drugačnih energijah bi prehod med območji lahko bil onemogočen ker bi vrata bila zaprta

Pri problemu treh teles je bistvena ugotovitev da obstaja neskončno veliko možnih poti ki bi pripeljale sondo do ciljne točke in jih je mogoče razvstiti v družine podobnih trajektorij Takšna družina leži na površini namišljene cevi ki jih imenujemo Conley ndashMcGeheejeve cevi [7]

Telo ki odleti iz Lagrangeeve točke se skozi vesolje po eni od teh trajektorij giblje tako kot bi potovalo po vijačnici na površini cevi Za vsako cev ki vodi od Lagrangeeve točke obstaja še ena ki vanjo vodi Torej bi se sonda po eni od teh cevi pripeljala v Lagrangeovo točko tam preskočila na drugo cev in po njej praktično zastonj odpotovala v vesolje

Figure 9 Conley-McGehee jeve cevi Sonda pride po površini zelene cevi v bližini Lagrangeeve

točke preide na površino odvodne rdeče cevi in se odpravi proti naslednji Lagrangeevi točki ki jo približa cilju [3]

Naslednja pomembna lastnost tega omrežja je da se ves čas spreminja saj se vsi

planeti in lune vrtijo Ker pa se gibljejo po znanih zakonih nebesne mehanike je možno z računalniškimi simulacijami določiti optimalno trajektorijo sonde To je dejansko uspelo šele leta 1980 Nasinemu matematiku Martinu Loju ki je odkril nizkoenergijske poti ki povezujejo Lagrangeeve točke Lune Zemlje Marsa Saturna in Jupitra Dokler se sonda nahaja na površini te cevi je na nizkoenergijski tirnici (orbita je zdaj neprimeren izraz) ki nas poceni pripelje na ciljno točko če pa bi se od te cevi oddaljila pa bi jo odneslo nekam stran od cilja (in se slej ko prej ujela v orbito okoli masivnega telesa) ter bi jo lahko na pravo pot postavili le z veliko porabo goriva

16

Slabost uporabe ITN pa je čas Gibanje sonde po Omrežju zna biti zelo počasno in zna biti v najboljšem primeru nekajkrat daljše od Hohmannovega prenosa Tako da se za kakšne obljudene vesoljske ladje ne more uporabljati prav tako ne takrat ko bi radi na kakem planetu čimprej nekaj preverili oz odkrili Razen če spet ne nastopi cenahellip

Figure 10 Primerjava dveh metod za doseganje Lune Levo zgoraj je Hohmannov prenos ki je časovno najkrajši vendar energijsko potraten Novejše raziskave dajejo energijsko ugodnejše in

časovno ne preveč potratne tirnice [8]

ITS je še relativno mlada veja mehanike orbit zato se še ni razcvetela Do zdaj so to tehniko uporabili pri sondah ISEE-3 Hiten SMART-1 Genesis ISEE-3 so na pot poslali že leta 1978 in je raziskovala Sonce ter Zemljo Takrat kaotične zgradbe medplanetne ceste še niso čisto dobro razumeli in izstrelitev sonde po takšni trajektoriji je omogočala le delna in nepopolna računalniška analiza gravitacijske pokrajine med Zemljo in Soncem Če bi bil polet daljši bi se sonda zelo verjetno izgubila v vesolju Kasneje so Japonci z metodo ITS rešili svoj satelit Hiten ko mu je na napačni orbiti zmanjkalo goriva jim ga je uspelo na pravo usmeriti po nizkoenergijski tirnici IPS Leta 2001 so izstrelili še sondo Genesis namenjeno raziskovanju Sončevih nabitih delcev Ta satelit je bil namenoma izstreljen v kaotično orbito ki ga je dve leti nekajkrat vodila okrog Zemljine L1 točke nato obkrožila L2 in se z vzorci vrnila na Zemljo [10] Njena pot vključno z trenutkom vrnitve je bila že nekaj let pred izstrelitvijo natanko določena Misija bi bila čisti uspeh če bi le na koncu sonda odprla padalahellip Kljub temu je misija pokazala kako z uporabo sodobnih računalniških metod lahko natančno izračunamo zapletene trajektorije za poti po vesolju

17

Figure 11 Tir sonde Genesis [10]

7 Zaključek

Predstavljenih je bilo nekaj načinov doseganja drugih planetov z raziskovalnimi sondami V kolikor sta v preteklosti dominirala Hohmannov prenos in gravitacijska frača se danes vedno bolj uveljavlja tudi metoda ITS Za razliko od prejšnjih dveh za metodo ITS zadostujejo nizke hitrosti sonde vendar je ta metoda žal časovno zelo potratna Zato se je treba odločati med ekonomičnostjo metodo in potrebnim časom potovanja ko načrtujemo raziskovalni polet k drugim nebesnim telesom

8 Literatura [1] L N Hand amp J D Finch Analytical Mechanics Cambridge University Press 1998 [2] O Montenbruck amp E Gill Satellite Orbits Springer verlag 2000 [3] Wikipedia Bi-elliptic transfer (httpenwikipediaorgwikiBi-elliptic_transfer) [4] R C Johnson The Slingshot Effect 2003 (httpmathsduracuk~dma0rcjPslingslingpdf) [5] Wikipedia Cassini-Huygens (httpenwikipediaorgwikiCassini-Huygens) [6] Wikipedia Lagrangian points (httpenwikipediaorgwikiLagrangian_points) [7] J EMarsden amp S D Ross New Methods in Celestial Mechanics and Mission Design 2005 (httpwwwesmvtedu~sdrosspapersMaRo_amspdf) [8] W S Koon et al Dynamical Systems the Three-Body Problem and Space Mission Design 2006 (httpwwwcdscaltechedu~marsdenbooksMission_Designhtml) [9] SD Ross Cylindrical Manifolds and Tube Dynamics in the Restricted Three-Body Problem 2004 [10] W S Koon et al The Genesis Trajectory and Heteroclinic Connections 2000 (httpwwwggcaltechedu~mwlpublicationspapersgenesispdf)

18

Glavna lastnost tega manevra je da planet spremeni sondino hitrost relativno na

Sonce čeprav se ohranja hitrost sonde relativno na planet namreč za sistem sonda-planet se morata ohranjati gibalna količina in energija ndash gravitacija planeta le spremeni smer hitrosti sonde Ko sta sonda in planet še toliko oddaljena med seboj da še ni znatnega medsebojnega vpliva se gibljeta s hitrostjo invv in inV

v po preletu pa z in outvv

outVv

Ker sistem ohranja gibalno količino velja

outoutinin VMvmVMvmvvvv +=+ (6)

kjer sta m in M masi sonde oziroma planeta Enačba se preuredi v

)( outininout vvMmVV vvvv

minus=minus Zaradi velike razlike v masah (sonda tipično tehta nekaj 100

kilogramov do nekaj ton planeti pa od 1024 do 1027kg) je razmerje mas mM zanemarljivo majhno 10-21mdash10-24 zato lahko brez problema zapišemo

VVV outin

vvv== (hitrost planeta se ne spremeni z natančnostjo vsaj 10-21) Sonda torej

zanemarljivo malo vpliva na gibanje planeta prelet Galileja je recimo upočasnil Zemljo za slabi 2 milijardinki centimetra na leto S preletom torej ne dobimo hitrosti iz nič ampak je vpliv na planet tako majhen da ni merljiv Kot smo prej videli se hitrost sonde glede na planet ne spremeni spremeni se le smer hitrosti inout uu vv = To je lepo vidno v sistemu kjer miruje planet Če se zdaj preselimo v sistem kjer miruje Sonce pa vidimo da se hitrost sonde transformira kot Vuv outinoutin

vvv += Torej lahko zapišemo da planet s svojo gravitacijo spremeni smer hitrosti sonde zaradi tega pa se sondi spremeni velikost hitrosti relativno na Sonce

Figure 4 shema gravitacijske frače - Puščice kažejo smeri potovanja sonde pred in po srečanju s planetom dolžina puščic predstavlja hitrost sonde Na prvi sliki gledamo iz vidika mirujočega planeta na drugi pa iz sistema kjer miruje Sonce [4]

9

Ker se gibalna količina ohranja imamo opravka s

sipanjem sonde na planetu ohranitev energije pa nam zagotovi da je sipanje oziroma trk elastično Določimo α oziromaαprime kot kota med smerjo planeta V

v in smerjo sonde

oziroma kot β pa naj bo odklon sonde relativno na planet oziroma kot sipanja v sistemu kjer planet miruje Velja

invv outvv

)sin(sinsin

)cos()cos1(cosβαβα

βαβαminus+=prime

minus+minus=prime

inout

inout

vVvvVv

(7)

Ugotovimo da ob izbranih parametrih )( αVvin hitrost narašča s kotom β Maksimum doseže pri kotu

outv

maxββ = ki je v zvezi

Vvin

minusαα

cossin

vin

=βtan max (8)

ko je 0=primeα oziroma ko je vzporeden z Voutvv

v

Figure 5 Sprememba kota α v α prime po preletu mimo planeta

Po maksimumu z outvv β spet pada

za inout vv = max0 2βββ == Vidimo pa da obstaja simetrija kar pomeni da dobimo enako spremembo hitrosti pri dveh različnih kotih

21β ki sta v zvezi max21 2βββ =+ Načeloma je bolj priljubljen manjši sipalni kot da se izognemo morebitnemu vplive atmosfere planeta Za kote 0ββ gt je sonda izgubi hitrost Recimo pri kotih

inout vv ltdegminus== 301ββ

ter deg== 1922ββ je razmerje 750=in

outv

v

To seveda uporabljamo za zaviranje sonde

Figure 6 Odvisnost Vvout od β za

deg== 4051 αVvin [4]

10

Relativni potiskin

outv

v je navzgor neomejen (čeprav redko prekorači vrednost 2)

absolutni potisk pa je za primer točkastega planeta navzgor omejen z 2V Ker pa smo omejeni z začetnimi parametri (

inout vv minus

invα ) zaradi medsebojnega položaja Zemlje in planeta v času izstrelitve sonde Večinoma se pri gravitacijski frači govori o pridobljeni hitrosti sonde čeprav je včasih pomembneje da s preletom spremenimo sondi smer Če pogledamo primer sonde Voyager ndash ta je že po preletu Jupitra imel dovolj visoko hitrost da bi lahko ušel iz Osončja in torej dosegel tudi katerikoli planet vendar mu vsa ta hitrost ne pomaga čisto nič če ne prileti mimo svojega cilja Zato je bilo sondo na vsakem planetu še pravilno preusmeriti Vsak dodaten potisk ob prehodu mimo planeta pa je še dodatna dobrodošla posledica ki je skrajšala potovanje Prej smo videli na primeru sonde Cassini ki je v primerjavi z Hohmannovim prenosom raquozamudilalaquo eno leto na račun manjšega potiska Voyager bi do Neptuna potreboval 30 let in ogromno goriva z večkratno uporabo gravitacijske frače pa je tja z manjšim potiskom potreboval zgolj 12let Šele tukaj vidimo pravo moč gravitacijske frače Tukaj je pomembna razlika da se pri Hohmannovem prenosu lahko vtirimo okoli Neptuna medtem ko je Voyager na svojem potovanju nabral tolikšno hitrost da je mimo Neptuna samo odbrzel Za zaustavitev bi bile spet potrebne velike spremembe hitrosti

Žal pa je potrebne čase za dosego ciljnih planetov zdaj veliko težje računati saj moramo poznati hitrost sonde ko pride do vmesnega planeta ter točen kot sipanja da lahko dobimo novo hitrost in smer itd

Figure 5 Pot sonde Voyager 1 ko je obiskala večino zunanjih planetov Osončja [4]

11

6 Medplanetarno transportno omrežje Gibanje sonde postane še posebno zapleteno če nehamo obravnavati polet sonde kot več ločenih problemov dveh teles (sonda se giblje okoli Sonca sonda se giblje okolimimo planeta) ampak polet obravnavamo kot problem treh teles (ali še huje- večih teles) Pri problemu treh teles gledamo gibanje zanemarljivo lahkega telesa v okolici dveh masivnih teles in res je masa sonde v primerjavi z masami Sonca in planetov zanemarljivo majhna Izkaže se da problem treh teles analitično ponavadi ni rešljiv torej ga moramo reševati z numeričnimi metodami Vseeno pa je bilo ugotovljenih nekaj pomembnih stvari Izkazalo se je da v okolici dveh teles z znatno maso ki krožita drugo okoli drugega obstajajo v prostoru točke v katerih se telo z zanemarljivo maso ndash recimo satelit ali vesoljska postaja ali asteroid ndash giblje tako da se njegov položaj glede na prvi dve ne spreminja S problemom sta se med prvimi ukvarjala Euler in Lagrange Slepi Euler je samo z računanjem na pamet odkril tri take točke Lagrange pa s temeljito analizo še dve dodatni Teh pet točk danes imenujemo Lagrangeove točke

Poglejmo recimo na primer sistem Zemlje in satelita Kot vemo sta obhodni čas in hitrost vsakega telesa ki kroži okoli Zemlje določena z njegovo oddaljenostjo od središča Zemlje Če upoštevamo še gravitacijo Lune imamo gravitacijsko silo Zemlje ki vleče proti težišču Zemlje ter gravitacijsko silo Lune ki vleče proti centru Lune Če satelit v nekem trenutku leži nekje na zveznici med središčema Zemlje in Lune bosta ti sili nasprotno usmerjeni zato se bo satelit ki leži med Zemljo in Luno gibal tako kot da bi nanj delovala za Lunino težnost zmanjšana težnost Zemlje Drugače povedano giblje se z obhodnim časom kot da bi navidezno krožil okoli središča Zemlje na večji oddaljenosti od dejanske Če je ta navidezna razdalja natančno enaka razdalji med Zemljo in Luno satelit okoli prve kroži z obhodnim časom ki je enak obhodnemu času Lune kar pomeni da bo vedno na zveznici med Zemljo in Luno Takrat je v 1 Lagrangeovi točki navadno imenovani L1 Leži bliže Luni kot Zemlji na 84 razdalje med njima Na podoben način bi lahko našli še L2 točko (za Luno) in L3 točko (leži na nasprotni strani Zemlje kot Luna) Preostali dve točki L4 in L5 ležita na Luninem tiru tako da je kot med zveznicama med Luno in Zemljo ter satelitom 60ordm torej sta na enaki oddaljenosti od Zemlje kot od Lune Okoli Zemljine L1 točke (med Soncem in Zemljo) trenutno kroži satelit SOHO ki opazuje Sonce in heliosfero ker z nje njegovega pogleda na Sonce nikoli nič ne zastre v Zemljini L2 pa je recimo Wilkinsonova postaja za merjenje anizotropije mikrovalovnega sevanja vesolja (WMAP) s katero se raziskujejo lastnosti velikega poka in vanjo bodo v prihodnosti utirili recimo tudi satelit Gaio

12

Figure 6 Zemljine Lagrangeove točke [6]

Nahajališča Lagrangeovih točk zapišemo jih v sistemu v katerem obe masivnejši

telesi mirujeta in je masivnejše telo (navadno Sonce) v izhodišču manj masivno pa na x-osi na oddaljenosti R Točke so v [7]

L1 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

MMR

L2 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

MMR

L3 )01251(

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminus

MMR

L4 in L5 )23)(

2(

21

21 RMMMMR

plusmn+minus

L4 in L5 sta stabilni točki kar pomeni da sondo ki se nahaja v njiju rahlo

zmotimo se bo ta samo vrnila v začetno točko (v kolikor je perturbacija majhna) Istočasno to pomeni da se počasna telesa lahko ujamejo v ti dve točki oziroma potujejo okoli njiju In res je bilo v bližini Jupitrovih L4 in L5 točkah odkrito večje število asteroidov ki zdaj potujejo z enako periodo kot Jupiter okoli Sonca

13

Figure 7 Odkriti asteroidi v L4 in L5 Jupitra [6]

Po drugi strani pa so L1 L2 in L3 nestabilne točke Ob najmanjši gravitacijski

motnji bi sondo ki se nahaja v kateri od njih odneslo iz Lagrangeove točke Zato je treba satelitom ki so v teh točkah vsake toliko časa vključiti motorje da jo vrnejo na pravo mesto

Izkazalo pa se je da je potrebno zelo malo energije da sondo spravimo iz ene nestabilne L-točke v drugo [8] Če želimo vtiriti sondo v Lunino L1 točko je za to potrebna hitrost 49kms Če pa bi sedaj hoteli sondo od tam poslati v recimo Zemljino L2 točko bi bila za to potrebna dodatna hitrost le 0014 kms (50kmh) (Spomnimo se da je Lunina L1 točka od Zemlje oddaljena 322500 km (okoli 86 razdalje med Zemljo in Luno) Zemljina L2 pa 1500000 km) Očitno se da z zelo majhnimi spremembami hitrosti priti zelo daleč praktično do vseh planetov Tako je v Osončju pravo omrežje takšnih poceni povezovalnih poti čemur so dali ime Medplanetarno prenosno omrežje (Interplanetary Transport Network - ITN) ali tudi Medplanetna avtocesta (Interplanetary Superhighway - IPS)

Odkritje tega omrežje temelji na delu Poincareja ki se je z tem problemom okvarjal ob koncu 19 stoletja Ta je med drugim odkril da je analitično nemogoče natančno izračunati poti teles ki se začenjajo v bližini neke nestabilne Lagrangeeve točke Poglejmo to malo podrobneje

14

Enačbe gibanja [9] Če sta M1 in M2 masi večjih teles in

zapišemo21

2

MMM+

=μ iščemo enačbe gibanja za točkasto telo v okolici dveh masivnih

teles v rotirajočem sistemu kjer prvo telo v točki (-μ0) drugo pa v (1- μ0) Lahko tretje telo naj bo v točki (xy) in naj bo oddaljenost do prve in druge mase r1 ter r2 Potem velja

221 )( yxr ++= μ ter 22

2 )1( yxr ++minus= μ Potem je gravitacijska potencialna energija tretjega telesa

21

1)(rr

yxV μμminus

minusminus= (9)

Kinetična energija tretjega telesa je

[ ]22 )()(21)( xyyxyxyxK ++minus= ampampampamp (10)

in Lagranžijan tretjega telesa je potem

)()()( yxVyxyxKyxyxL minus= ampampampamp Enačbe gibanja so potem po Euler-Lagrangeovih enačbah

xVyxpartpart

minus=minus ampampamp 2 in yVxypartpart

minus=minus ampampamp 2 (11)

kjer je efektivni potencial 2

22 yxVV minusminus= Polna energija je )()(

21 22 yxVyxE ++= ampamp

Figure 8 Efektivni potencial okoli dveh masivnih teles ter označene Lagrangeeve točke

Na desni sliki je s sivo označeno prepovedano območje svetla je Hillova regija ndash območje po katerem se delec lahko giblje [8]

15

Na drugi sliki pa je področje ki ga dobimo če upoštevamo ohranitev energije in gledamo samo določeno energijo E Zato za dan energijski nivo E velja da se lahko tretje telo giblje zgolj po področje kjer velja 0geminusVE To je tako imenovana Hillova regija[7] in jo dobimo če presekamo graf efektivnega potenciala z vodoravno ravnino ki predstavlja energijo Kot primer je podana Hillova regija (bela barva ) za tretje telo v okolici Sonca in Jupitra vidimo tri območja ndash Sončevo območje Jupitrovo območje ter zunanje območje ki so povezana med seboj z ozkimi vratovi V levem vratu je L1 v desnem pa L2 Če bi pogledali pri drugačnih energijah bi prehod med območji lahko bil onemogočen ker bi vrata bila zaprta

Pri problemu treh teles je bistvena ugotovitev da obstaja neskončno veliko možnih poti ki bi pripeljale sondo do ciljne točke in jih je mogoče razvstiti v družine podobnih trajektorij Takšna družina leži na površini namišljene cevi ki jih imenujemo Conley ndashMcGeheejeve cevi [7]

Telo ki odleti iz Lagrangeeve točke se skozi vesolje po eni od teh trajektorij giblje tako kot bi potovalo po vijačnici na površini cevi Za vsako cev ki vodi od Lagrangeeve točke obstaja še ena ki vanjo vodi Torej bi se sonda po eni od teh cevi pripeljala v Lagrangeovo točko tam preskočila na drugo cev in po njej praktično zastonj odpotovala v vesolje

Figure 9 Conley-McGehee jeve cevi Sonda pride po površini zelene cevi v bližini Lagrangeeve

točke preide na površino odvodne rdeče cevi in se odpravi proti naslednji Lagrangeevi točki ki jo približa cilju [3]

Naslednja pomembna lastnost tega omrežja je da se ves čas spreminja saj se vsi

planeti in lune vrtijo Ker pa se gibljejo po znanih zakonih nebesne mehanike je možno z računalniškimi simulacijami določiti optimalno trajektorijo sonde To je dejansko uspelo šele leta 1980 Nasinemu matematiku Martinu Loju ki je odkril nizkoenergijske poti ki povezujejo Lagrangeeve točke Lune Zemlje Marsa Saturna in Jupitra Dokler se sonda nahaja na površini te cevi je na nizkoenergijski tirnici (orbita je zdaj neprimeren izraz) ki nas poceni pripelje na ciljno točko če pa bi se od te cevi oddaljila pa bi jo odneslo nekam stran od cilja (in se slej ko prej ujela v orbito okoli masivnega telesa) ter bi jo lahko na pravo pot postavili le z veliko porabo goriva

16

Slabost uporabe ITN pa je čas Gibanje sonde po Omrežju zna biti zelo počasno in zna biti v najboljšem primeru nekajkrat daljše od Hohmannovega prenosa Tako da se za kakšne obljudene vesoljske ladje ne more uporabljati prav tako ne takrat ko bi radi na kakem planetu čimprej nekaj preverili oz odkrili Razen če spet ne nastopi cenahellip

Figure 10 Primerjava dveh metod za doseganje Lune Levo zgoraj je Hohmannov prenos ki je časovno najkrajši vendar energijsko potraten Novejše raziskave dajejo energijsko ugodnejše in

časovno ne preveč potratne tirnice [8]

ITS je še relativno mlada veja mehanike orbit zato se še ni razcvetela Do zdaj so to tehniko uporabili pri sondah ISEE-3 Hiten SMART-1 Genesis ISEE-3 so na pot poslali že leta 1978 in je raziskovala Sonce ter Zemljo Takrat kaotične zgradbe medplanetne ceste še niso čisto dobro razumeli in izstrelitev sonde po takšni trajektoriji je omogočala le delna in nepopolna računalniška analiza gravitacijske pokrajine med Zemljo in Soncem Če bi bil polet daljši bi se sonda zelo verjetno izgubila v vesolju Kasneje so Japonci z metodo ITS rešili svoj satelit Hiten ko mu je na napačni orbiti zmanjkalo goriva jim ga je uspelo na pravo usmeriti po nizkoenergijski tirnici IPS Leta 2001 so izstrelili še sondo Genesis namenjeno raziskovanju Sončevih nabitih delcev Ta satelit je bil namenoma izstreljen v kaotično orbito ki ga je dve leti nekajkrat vodila okrog Zemljine L1 točke nato obkrožila L2 in se z vzorci vrnila na Zemljo [10] Njena pot vključno z trenutkom vrnitve je bila že nekaj let pred izstrelitvijo natanko določena Misija bi bila čisti uspeh če bi le na koncu sonda odprla padalahellip Kljub temu je misija pokazala kako z uporabo sodobnih računalniških metod lahko natančno izračunamo zapletene trajektorije za poti po vesolju

17

Figure 11 Tir sonde Genesis [10]

7 Zaključek

Predstavljenih je bilo nekaj načinov doseganja drugih planetov z raziskovalnimi sondami V kolikor sta v preteklosti dominirala Hohmannov prenos in gravitacijska frača se danes vedno bolj uveljavlja tudi metoda ITS Za razliko od prejšnjih dveh za metodo ITS zadostujejo nizke hitrosti sonde vendar je ta metoda žal časovno zelo potratna Zato se je treba odločati med ekonomičnostjo metodo in potrebnim časom potovanja ko načrtujemo raziskovalni polet k drugim nebesnim telesom

8 Literatura [1] L N Hand amp J D Finch Analytical Mechanics Cambridge University Press 1998 [2] O Montenbruck amp E Gill Satellite Orbits Springer verlag 2000 [3] Wikipedia Bi-elliptic transfer (httpenwikipediaorgwikiBi-elliptic_transfer) [4] R C Johnson The Slingshot Effect 2003 (httpmathsduracuk~dma0rcjPslingslingpdf) [5] Wikipedia Cassini-Huygens (httpenwikipediaorgwikiCassini-Huygens) [6] Wikipedia Lagrangian points (httpenwikipediaorgwikiLagrangian_points) [7] J EMarsden amp S D Ross New Methods in Celestial Mechanics and Mission Design 2005 (httpwwwesmvtedu~sdrosspapersMaRo_amspdf) [8] W S Koon et al Dynamical Systems the Three-Body Problem and Space Mission Design 2006 (httpwwwcdscaltechedu~marsdenbooksMission_Designhtml) [9] SD Ross Cylindrical Manifolds and Tube Dynamics in the Restricted Three-Body Problem 2004 [10] W S Koon et al The Genesis Trajectory and Heteroclinic Connections 2000 (httpwwwggcaltechedu~mwlpublicationspapersgenesispdf)

18

Ker se gibalna količina ohranja imamo opravka s

sipanjem sonde na planetu ohranitev energije pa nam zagotovi da je sipanje oziroma trk elastično Določimo α oziromaαprime kot kota med smerjo planeta V

v in smerjo sonde

oziroma kot β pa naj bo odklon sonde relativno na planet oziroma kot sipanja v sistemu kjer planet miruje Velja

invv outvv

)sin(sinsin

)cos()cos1(cosβαβα

βαβαminus+=prime

minus+minus=prime

inout

inout

vVvvVv

(7)

Ugotovimo da ob izbranih parametrih )( αVvin hitrost narašča s kotom β Maksimum doseže pri kotu

outv

maxββ = ki je v zvezi

Vvin

minusαα

cossin

vin

=βtan max (8)

ko je 0=primeα oziroma ko je vzporeden z Voutvv

v

Figure 5 Sprememba kota α v α prime po preletu mimo planeta

Po maksimumu z outvv β spet pada

za inout vv = max0 2βββ == Vidimo pa da obstaja simetrija kar pomeni da dobimo enako spremembo hitrosti pri dveh različnih kotih

21β ki sta v zvezi max21 2βββ =+ Načeloma je bolj priljubljen manjši sipalni kot da se izognemo morebitnemu vplive atmosfere planeta Za kote 0ββ gt je sonda izgubi hitrost Recimo pri kotih

inout vv ltdegminus== 301ββ

ter deg== 1922ββ je razmerje 750=in

outv

v

To seveda uporabljamo za zaviranje sonde

Figure 6 Odvisnost Vvout od β za

deg== 4051 αVvin [4]

10

Relativni potiskin

outv

v je navzgor neomejen (čeprav redko prekorači vrednost 2)

absolutni potisk pa je za primer točkastega planeta navzgor omejen z 2V Ker pa smo omejeni z začetnimi parametri (

inout vv minus

invα ) zaradi medsebojnega položaja Zemlje in planeta v času izstrelitve sonde Večinoma se pri gravitacijski frači govori o pridobljeni hitrosti sonde čeprav je včasih pomembneje da s preletom spremenimo sondi smer Če pogledamo primer sonde Voyager ndash ta je že po preletu Jupitra imel dovolj visoko hitrost da bi lahko ušel iz Osončja in torej dosegel tudi katerikoli planet vendar mu vsa ta hitrost ne pomaga čisto nič če ne prileti mimo svojega cilja Zato je bilo sondo na vsakem planetu še pravilno preusmeriti Vsak dodaten potisk ob prehodu mimo planeta pa je še dodatna dobrodošla posledica ki je skrajšala potovanje Prej smo videli na primeru sonde Cassini ki je v primerjavi z Hohmannovim prenosom raquozamudilalaquo eno leto na račun manjšega potiska Voyager bi do Neptuna potreboval 30 let in ogromno goriva z večkratno uporabo gravitacijske frače pa je tja z manjšim potiskom potreboval zgolj 12let Šele tukaj vidimo pravo moč gravitacijske frače Tukaj je pomembna razlika da se pri Hohmannovem prenosu lahko vtirimo okoli Neptuna medtem ko je Voyager na svojem potovanju nabral tolikšno hitrost da je mimo Neptuna samo odbrzel Za zaustavitev bi bile spet potrebne velike spremembe hitrosti

Žal pa je potrebne čase za dosego ciljnih planetov zdaj veliko težje računati saj moramo poznati hitrost sonde ko pride do vmesnega planeta ter točen kot sipanja da lahko dobimo novo hitrost in smer itd

Figure 5 Pot sonde Voyager 1 ko je obiskala večino zunanjih planetov Osončja [4]

11

6 Medplanetarno transportno omrežje Gibanje sonde postane še posebno zapleteno če nehamo obravnavati polet sonde kot več ločenih problemov dveh teles (sonda se giblje okoli Sonca sonda se giblje okolimimo planeta) ampak polet obravnavamo kot problem treh teles (ali še huje- večih teles) Pri problemu treh teles gledamo gibanje zanemarljivo lahkega telesa v okolici dveh masivnih teles in res je masa sonde v primerjavi z masami Sonca in planetov zanemarljivo majhna Izkaže se da problem treh teles analitično ponavadi ni rešljiv torej ga moramo reševati z numeričnimi metodami Vseeno pa je bilo ugotovljenih nekaj pomembnih stvari Izkazalo se je da v okolici dveh teles z znatno maso ki krožita drugo okoli drugega obstajajo v prostoru točke v katerih se telo z zanemarljivo maso ndash recimo satelit ali vesoljska postaja ali asteroid ndash giblje tako da se njegov položaj glede na prvi dve ne spreminja S problemom sta se med prvimi ukvarjala Euler in Lagrange Slepi Euler je samo z računanjem na pamet odkril tri take točke Lagrange pa s temeljito analizo še dve dodatni Teh pet točk danes imenujemo Lagrangeove točke

Poglejmo recimo na primer sistem Zemlje in satelita Kot vemo sta obhodni čas in hitrost vsakega telesa ki kroži okoli Zemlje določena z njegovo oddaljenostjo od središča Zemlje Če upoštevamo še gravitacijo Lune imamo gravitacijsko silo Zemlje ki vleče proti težišču Zemlje ter gravitacijsko silo Lune ki vleče proti centru Lune Če satelit v nekem trenutku leži nekje na zveznici med središčema Zemlje in Lune bosta ti sili nasprotno usmerjeni zato se bo satelit ki leži med Zemljo in Luno gibal tako kot da bi nanj delovala za Lunino težnost zmanjšana težnost Zemlje Drugače povedano giblje se z obhodnim časom kot da bi navidezno krožil okoli središča Zemlje na večji oddaljenosti od dejanske Če je ta navidezna razdalja natančno enaka razdalji med Zemljo in Luno satelit okoli prve kroži z obhodnim časom ki je enak obhodnemu času Lune kar pomeni da bo vedno na zveznici med Zemljo in Luno Takrat je v 1 Lagrangeovi točki navadno imenovani L1 Leži bliže Luni kot Zemlji na 84 razdalje med njima Na podoben način bi lahko našli še L2 točko (za Luno) in L3 točko (leži na nasprotni strani Zemlje kot Luna) Preostali dve točki L4 in L5 ležita na Luninem tiru tako da je kot med zveznicama med Luno in Zemljo ter satelitom 60ordm torej sta na enaki oddaljenosti od Zemlje kot od Lune Okoli Zemljine L1 točke (med Soncem in Zemljo) trenutno kroži satelit SOHO ki opazuje Sonce in heliosfero ker z nje njegovega pogleda na Sonce nikoli nič ne zastre v Zemljini L2 pa je recimo Wilkinsonova postaja za merjenje anizotropije mikrovalovnega sevanja vesolja (WMAP) s katero se raziskujejo lastnosti velikega poka in vanjo bodo v prihodnosti utirili recimo tudi satelit Gaio

12

Figure 6 Zemljine Lagrangeove točke [6]

Nahajališča Lagrangeovih točk zapišemo jih v sistemu v katerem obe masivnejši

telesi mirujeta in je masivnejše telo (navadno Sonce) v izhodišču manj masivno pa na x-osi na oddaljenosti R Točke so v [7]

L1 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

MMR

L2 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

MMR

L3 )01251(

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminus

MMR

L4 in L5 )23)(

2(

21

21 RMMMMR

plusmn+minus

L4 in L5 sta stabilni točki kar pomeni da sondo ki se nahaja v njiju rahlo

zmotimo se bo ta samo vrnila v začetno točko (v kolikor je perturbacija majhna) Istočasno to pomeni da se počasna telesa lahko ujamejo v ti dve točki oziroma potujejo okoli njiju In res je bilo v bližini Jupitrovih L4 in L5 točkah odkrito večje število asteroidov ki zdaj potujejo z enako periodo kot Jupiter okoli Sonca

13

Figure 7 Odkriti asteroidi v L4 in L5 Jupitra [6]

Po drugi strani pa so L1 L2 in L3 nestabilne točke Ob najmanjši gravitacijski

motnji bi sondo ki se nahaja v kateri od njih odneslo iz Lagrangeove točke Zato je treba satelitom ki so v teh točkah vsake toliko časa vključiti motorje da jo vrnejo na pravo mesto

Izkazalo pa se je da je potrebno zelo malo energije da sondo spravimo iz ene nestabilne L-točke v drugo [8] Če želimo vtiriti sondo v Lunino L1 točko je za to potrebna hitrost 49kms Če pa bi sedaj hoteli sondo od tam poslati v recimo Zemljino L2 točko bi bila za to potrebna dodatna hitrost le 0014 kms (50kmh) (Spomnimo se da je Lunina L1 točka od Zemlje oddaljena 322500 km (okoli 86 razdalje med Zemljo in Luno) Zemljina L2 pa 1500000 km) Očitno se da z zelo majhnimi spremembami hitrosti priti zelo daleč praktično do vseh planetov Tako je v Osončju pravo omrežje takšnih poceni povezovalnih poti čemur so dali ime Medplanetarno prenosno omrežje (Interplanetary Transport Network - ITN) ali tudi Medplanetna avtocesta (Interplanetary Superhighway - IPS)

Odkritje tega omrežje temelji na delu Poincareja ki se je z tem problemom okvarjal ob koncu 19 stoletja Ta je med drugim odkril da je analitično nemogoče natančno izračunati poti teles ki se začenjajo v bližini neke nestabilne Lagrangeeve točke Poglejmo to malo podrobneje

14

Enačbe gibanja [9] Če sta M1 in M2 masi večjih teles in

zapišemo21

2

MMM+

=μ iščemo enačbe gibanja za točkasto telo v okolici dveh masivnih

teles v rotirajočem sistemu kjer prvo telo v točki (-μ0) drugo pa v (1- μ0) Lahko tretje telo naj bo v točki (xy) in naj bo oddaljenost do prve in druge mase r1 ter r2 Potem velja

221 )( yxr ++= μ ter 22

2 )1( yxr ++minus= μ Potem je gravitacijska potencialna energija tretjega telesa

21

1)(rr

yxV μμminus

minusminus= (9)

Kinetična energija tretjega telesa je

[ ]22 )()(21)( xyyxyxyxK ++minus= ampampampamp (10)

in Lagranžijan tretjega telesa je potem

)()()( yxVyxyxKyxyxL minus= ampampampamp Enačbe gibanja so potem po Euler-Lagrangeovih enačbah

xVyxpartpart

minus=minus ampampamp 2 in yVxypartpart

minus=minus ampampamp 2 (11)

kjer je efektivni potencial 2

22 yxVV minusminus= Polna energija je )()(

21 22 yxVyxE ++= ampamp

Figure 8 Efektivni potencial okoli dveh masivnih teles ter označene Lagrangeeve točke

Na desni sliki je s sivo označeno prepovedano območje svetla je Hillova regija ndash območje po katerem se delec lahko giblje [8]

15

Na drugi sliki pa je področje ki ga dobimo če upoštevamo ohranitev energije in gledamo samo določeno energijo E Zato za dan energijski nivo E velja da se lahko tretje telo giblje zgolj po področje kjer velja 0geminusVE To je tako imenovana Hillova regija[7] in jo dobimo če presekamo graf efektivnega potenciala z vodoravno ravnino ki predstavlja energijo Kot primer je podana Hillova regija (bela barva ) za tretje telo v okolici Sonca in Jupitra vidimo tri območja ndash Sončevo območje Jupitrovo območje ter zunanje območje ki so povezana med seboj z ozkimi vratovi V levem vratu je L1 v desnem pa L2 Če bi pogledali pri drugačnih energijah bi prehod med območji lahko bil onemogočen ker bi vrata bila zaprta

Pri problemu treh teles je bistvena ugotovitev da obstaja neskončno veliko možnih poti ki bi pripeljale sondo do ciljne točke in jih je mogoče razvstiti v družine podobnih trajektorij Takšna družina leži na površini namišljene cevi ki jih imenujemo Conley ndashMcGeheejeve cevi [7]

Telo ki odleti iz Lagrangeeve točke se skozi vesolje po eni od teh trajektorij giblje tako kot bi potovalo po vijačnici na površini cevi Za vsako cev ki vodi od Lagrangeeve točke obstaja še ena ki vanjo vodi Torej bi se sonda po eni od teh cevi pripeljala v Lagrangeovo točko tam preskočila na drugo cev in po njej praktično zastonj odpotovala v vesolje

Figure 9 Conley-McGehee jeve cevi Sonda pride po površini zelene cevi v bližini Lagrangeeve

točke preide na površino odvodne rdeče cevi in se odpravi proti naslednji Lagrangeevi točki ki jo približa cilju [3]

Naslednja pomembna lastnost tega omrežja je da se ves čas spreminja saj se vsi

planeti in lune vrtijo Ker pa se gibljejo po znanih zakonih nebesne mehanike je možno z računalniškimi simulacijami določiti optimalno trajektorijo sonde To je dejansko uspelo šele leta 1980 Nasinemu matematiku Martinu Loju ki je odkril nizkoenergijske poti ki povezujejo Lagrangeeve točke Lune Zemlje Marsa Saturna in Jupitra Dokler se sonda nahaja na površini te cevi je na nizkoenergijski tirnici (orbita je zdaj neprimeren izraz) ki nas poceni pripelje na ciljno točko če pa bi se od te cevi oddaljila pa bi jo odneslo nekam stran od cilja (in se slej ko prej ujela v orbito okoli masivnega telesa) ter bi jo lahko na pravo pot postavili le z veliko porabo goriva

16

Slabost uporabe ITN pa je čas Gibanje sonde po Omrežju zna biti zelo počasno in zna biti v najboljšem primeru nekajkrat daljše od Hohmannovega prenosa Tako da se za kakšne obljudene vesoljske ladje ne more uporabljati prav tako ne takrat ko bi radi na kakem planetu čimprej nekaj preverili oz odkrili Razen če spet ne nastopi cenahellip

Figure 10 Primerjava dveh metod za doseganje Lune Levo zgoraj je Hohmannov prenos ki je časovno najkrajši vendar energijsko potraten Novejše raziskave dajejo energijsko ugodnejše in

časovno ne preveč potratne tirnice [8]

ITS je še relativno mlada veja mehanike orbit zato se še ni razcvetela Do zdaj so to tehniko uporabili pri sondah ISEE-3 Hiten SMART-1 Genesis ISEE-3 so na pot poslali že leta 1978 in je raziskovala Sonce ter Zemljo Takrat kaotične zgradbe medplanetne ceste še niso čisto dobro razumeli in izstrelitev sonde po takšni trajektoriji je omogočala le delna in nepopolna računalniška analiza gravitacijske pokrajine med Zemljo in Soncem Če bi bil polet daljši bi se sonda zelo verjetno izgubila v vesolju Kasneje so Japonci z metodo ITS rešili svoj satelit Hiten ko mu je na napačni orbiti zmanjkalo goriva jim ga je uspelo na pravo usmeriti po nizkoenergijski tirnici IPS Leta 2001 so izstrelili še sondo Genesis namenjeno raziskovanju Sončevih nabitih delcev Ta satelit je bil namenoma izstreljen v kaotično orbito ki ga je dve leti nekajkrat vodila okrog Zemljine L1 točke nato obkrožila L2 in se z vzorci vrnila na Zemljo [10] Njena pot vključno z trenutkom vrnitve je bila že nekaj let pred izstrelitvijo natanko določena Misija bi bila čisti uspeh če bi le na koncu sonda odprla padalahellip Kljub temu je misija pokazala kako z uporabo sodobnih računalniških metod lahko natančno izračunamo zapletene trajektorije za poti po vesolju

17

Figure 11 Tir sonde Genesis [10]

7 Zaključek

Predstavljenih je bilo nekaj načinov doseganja drugih planetov z raziskovalnimi sondami V kolikor sta v preteklosti dominirala Hohmannov prenos in gravitacijska frača se danes vedno bolj uveljavlja tudi metoda ITS Za razliko od prejšnjih dveh za metodo ITS zadostujejo nizke hitrosti sonde vendar je ta metoda žal časovno zelo potratna Zato se je treba odločati med ekonomičnostjo metodo in potrebnim časom potovanja ko načrtujemo raziskovalni polet k drugim nebesnim telesom

8 Literatura [1] L N Hand amp J D Finch Analytical Mechanics Cambridge University Press 1998 [2] O Montenbruck amp E Gill Satellite Orbits Springer verlag 2000 [3] Wikipedia Bi-elliptic transfer (httpenwikipediaorgwikiBi-elliptic_transfer) [4] R C Johnson The Slingshot Effect 2003 (httpmathsduracuk~dma0rcjPslingslingpdf) [5] Wikipedia Cassini-Huygens (httpenwikipediaorgwikiCassini-Huygens) [6] Wikipedia Lagrangian points (httpenwikipediaorgwikiLagrangian_points) [7] J EMarsden amp S D Ross New Methods in Celestial Mechanics and Mission Design 2005 (httpwwwesmvtedu~sdrosspapersMaRo_amspdf) [8] W S Koon et al Dynamical Systems the Three-Body Problem and Space Mission Design 2006 (httpwwwcdscaltechedu~marsdenbooksMission_Designhtml) [9] SD Ross Cylindrical Manifolds and Tube Dynamics in the Restricted Three-Body Problem 2004 [10] W S Koon et al The Genesis Trajectory and Heteroclinic Connections 2000 (httpwwwggcaltechedu~mwlpublicationspapersgenesispdf)

18

Relativni potiskin

outv

v je navzgor neomejen (čeprav redko prekorači vrednost 2)

absolutni potisk pa je za primer točkastega planeta navzgor omejen z 2V Ker pa smo omejeni z začetnimi parametri (

inout vv minus

invα ) zaradi medsebojnega položaja Zemlje in planeta v času izstrelitve sonde Večinoma se pri gravitacijski frači govori o pridobljeni hitrosti sonde čeprav je včasih pomembneje da s preletom spremenimo sondi smer Če pogledamo primer sonde Voyager ndash ta je že po preletu Jupitra imel dovolj visoko hitrost da bi lahko ušel iz Osončja in torej dosegel tudi katerikoli planet vendar mu vsa ta hitrost ne pomaga čisto nič če ne prileti mimo svojega cilja Zato je bilo sondo na vsakem planetu še pravilno preusmeriti Vsak dodaten potisk ob prehodu mimo planeta pa je še dodatna dobrodošla posledica ki je skrajšala potovanje Prej smo videli na primeru sonde Cassini ki je v primerjavi z Hohmannovim prenosom raquozamudilalaquo eno leto na račun manjšega potiska Voyager bi do Neptuna potreboval 30 let in ogromno goriva z večkratno uporabo gravitacijske frače pa je tja z manjšim potiskom potreboval zgolj 12let Šele tukaj vidimo pravo moč gravitacijske frače Tukaj je pomembna razlika da se pri Hohmannovem prenosu lahko vtirimo okoli Neptuna medtem ko je Voyager na svojem potovanju nabral tolikšno hitrost da je mimo Neptuna samo odbrzel Za zaustavitev bi bile spet potrebne velike spremembe hitrosti

Žal pa je potrebne čase za dosego ciljnih planetov zdaj veliko težje računati saj moramo poznati hitrost sonde ko pride do vmesnega planeta ter točen kot sipanja da lahko dobimo novo hitrost in smer itd

Figure 5 Pot sonde Voyager 1 ko je obiskala večino zunanjih planetov Osončja [4]

11

6 Medplanetarno transportno omrežje Gibanje sonde postane še posebno zapleteno če nehamo obravnavati polet sonde kot več ločenih problemov dveh teles (sonda se giblje okoli Sonca sonda se giblje okolimimo planeta) ampak polet obravnavamo kot problem treh teles (ali še huje- večih teles) Pri problemu treh teles gledamo gibanje zanemarljivo lahkega telesa v okolici dveh masivnih teles in res je masa sonde v primerjavi z masami Sonca in planetov zanemarljivo majhna Izkaže se da problem treh teles analitično ponavadi ni rešljiv torej ga moramo reševati z numeričnimi metodami Vseeno pa je bilo ugotovljenih nekaj pomembnih stvari Izkazalo se je da v okolici dveh teles z znatno maso ki krožita drugo okoli drugega obstajajo v prostoru točke v katerih se telo z zanemarljivo maso ndash recimo satelit ali vesoljska postaja ali asteroid ndash giblje tako da se njegov položaj glede na prvi dve ne spreminja S problemom sta se med prvimi ukvarjala Euler in Lagrange Slepi Euler je samo z računanjem na pamet odkril tri take točke Lagrange pa s temeljito analizo še dve dodatni Teh pet točk danes imenujemo Lagrangeove točke

Poglejmo recimo na primer sistem Zemlje in satelita Kot vemo sta obhodni čas in hitrost vsakega telesa ki kroži okoli Zemlje določena z njegovo oddaljenostjo od središča Zemlje Če upoštevamo še gravitacijo Lune imamo gravitacijsko silo Zemlje ki vleče proti težišču Zemlje ter gravitacijsko silo Lune ki vleče proti centru Lune Če satelit v nekem trenutku leži nekje na zveznici med središčema Zemlje in Lune bosta ti sili nasprotno usmerjeni zato se bo satelit ki leži med Zemljo in Luno gibal tako kot da bi nanj delovala za Lunino težnost zmanjšana težnost Zemlje Drugače povedano giblje se z obhodnim časom kot da bi navidezno krožil okoli središča Zemlje na večji oddaljenosti od dejanske Če je ta navidezna razdalja natančno enaka razdalji med Zemljo in Luno satelit okoli prve kroži z obhodnim časom ki je enak obhodnemu času Lune kar pomeni da bo vedno na zveznici med Zemljo in Luno Takrat je v 1 Lagrangeovi točki navadno imenovani L1 Leži bliže Luni kot Zemlji na 84 razdalje med njima Na podoben način bi lahko našli še L2 točko (za Luno) in L3 točko (leži na nasprotni strani Zemlje kot Luna) Preostali dve točki L4 in L5 ležita na Luninem tiru tako da je kot med zveznicama med Luno in Zemljo ter satelitom 60ordm torej sta na enaki oddaljenosti od Zemlje kot od Lune Okoli Zemljine L1 točke (med Soncem in Zemljo) trenutno kroži satelit SOHO ki opazuje Sonce in heliosfero ker z nje njegovega pogleda na Sonce nikoli nič ne zastre v Zemljini L2 pa je recimo Wilkinsonova postaja za merjenje anizotropije mikrovalovnega sevanja vesolja (WMAP) s katero se raziskujejo lastnosti velikega poka in vanjo bodo v prihodnosti utirili recimo tudi satelit Gaio

12

Figure 6 Zemljine Lagrangeove točke [6]

Nahajališča Lagrangeovih točk zapišemo jih v sistemu v katerem obe masivnejši

telesi mirujeta in je masivnejše telo (navadno Sonce) v izhodišču manj masivno pa na x-osi na oddaljenosti R Točke so v [7]

L1 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

MMR

L2 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

MMR

L3 )01251(

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminus

MMR

L4 in L5 )23)(

2(

21

21 RMMMMR

plusmn+minus

L4 in L5 sta stabilni točki kar pomeni da sondo ki se nahaja v njiju rahlo

zmotimo se bo ta samo vrnila v začetno točko (v kolikor je perturbacija majhna) Istočasno to pomeni da se počasna telesa lahko ujamejo v ti dve točki oziroma potujejo okoli njiju In res je bilo v bližini Jupitrovih L4 in L5 točkah odkrito večje število asteroidov ki zdaj potujejo z enako periodo kot Jupiter okoli Sonca

13

Figure 7 Odkriti asteroidi v L4 in L5 Jupitra [6]

Po drugi strani pa so L1 L2 in L3 nestabilne točke Ob najmanjši gravitacijski

motnji bi sondo ki se nahaja v kateri od njih odneslo iz Lagrangeove točke Zato je treba satelitom ki so v teh točkah vsake toliko časa vključiti motorje da jo vrnejo na pravo mesto

Izkazalo pa se je da je potrebno zelo malo energije da sondo spravimo iz ene nestabilne L-točke v drugo [8] Če želimo vtiriti sondo v Lunino L1 točko je za to potrebna hitrost 49kms Če pa bi sedaj hoteli sondo od tam poslati v recimo Zemljino L2 točko bi bila za to potrebna dodatna hitrost le 0014 kms (50kmh) (Spomnimo se da je Lunina L1 točka od Zemlje oddaljena 322500 km (okoli 86 razdalje med Zemljo in Luno) Zemljina L2 pa 1500000 km) Očitno se da z zelo majhnimi spremembami hitrosti priti zelo daleč praktično do vseh planetov Tako je v Osončju pravo omrežje takšnih poceni povezovalnih poti čemur so dali ime Medplanetarno prenosno omrežje (Interplanetary Transport Network - ITN) ali tudi Medplanetna avtocesta (Interplanetary Superhighway - IPS)

Odkritje tega omrežje temelji na delu Poincareja ki se je z tem problemom okvarjal ob koncu 19 stoletja Ta je med drugim odkril da je analitično nemogoče natančno izračunati poti teles ki se začenjajo v bližini neke nestabilne Lagrangeeve točke Poglejmo to malo podrobneje

14

Enačbe gibanja [9] Če sta M1 in M2 masi večjih teles in

zapišemo21

2

MMM+

=μ iščemo enačbe gibanja za točkasto telo v okolici dveh masivnih

teles v rotirajočem sistemu kjer prvo telo v točki (-μ0) drugo pa v (1- μ0) Lahko tretje telo naj bo v točki (xy) in naj bo oddaljenost do prve in druge mase r1 ter r2 Potem velja

221 )( yxr ++= μ ter 22

2 )1( yxr ++minus= μ Potem je gravitacijska potencialna energija tretjega telesa

21

1)(rr

yxV μμminus

minusminus= (9)

Kinetična energija tretjega telesa je

[ ]22 )()(21)( xyyxyxyxK ++minus= ampampampamp (10)

in Lagranžijan tretjega telesa je potem

)()()( yxVyxyxKyxyxL minus= ampampampamp Enačbe gibanja so potem po Euler-Lagrangeovih enačbah

xVyxpartpart

minus=minus ampampamp 2 in yVxypartpart

minus=minus ampampamp 2 (11)

kjer je efektivni potencial 2

22 yxVV minusminus= Polna energija je )()(

21 22 yxVyxE ++= ampamp

Figure 8 Efektivni potencial okoli dveh masivnih teles ter označene Lagrangeeve točke

Na desni sliki je s sivo označeno prepovedano območje svetla je Hillova regija ndash območje po katerem se delec lahko giblje [8]

15

Na drugi sliki pa je področje ki ga dobimo če upoštevamo ohranitev energije in gledamo samo določeno energijo E Zato za dan energijski nivo E velja da se lahko tretje telo giblje zgolj po področje kjer velja 0geminusVE To je tako imenovana Hillova regija[7] in jo dobimo če presekamo graf efektivnega potenciala z vodoravno ravnino ki predstavlja energijo Kot primer je podana Hillova regija (bela barva ) za tretje telo v okolici Sonca in Jupitra vidimo tri območja ndash Sončevo območje Jupitrovo območje ter zunanje območje ki so povezana med seboj z ozkimi vratovi V levem vratu je L1 v desnem pa L2 Če bi pogledali pri drugačnih energijah bi prehod med območji lahko bil onemogočen ker bi vrata bila zaprta

Pri problemu treh teles je bistvena ugotovitev da obstaja neskončno veliko možnih poti ki bi pripeljale sondo do ciljne točke in jih je mogoče razvstiti v družine podobnih trajektorij Takšna družina leži na površini namišljene cevi ki jih imenujemo Conley ndashMcGeheejeve cevi [7]

Telo ki odleti iz Lagrangeeve točke se skozi vesolje po eni od teh trajektorij giblje tako kot bi potovalo po vijačnici na površini cevi Za vsako cev ki vodi od Lagrangeeve točke obstaja še ena ki vanjo vodi Torej bi se sonda po eni od teh cevi pripeljala v Lagrangeovo točko tam preskočila na drugo cev in po njej praktično zastonj odpotovala v vesolje

Figure 9 Conley-McGehee jeve cevi Sonda pride po površini zelene cevi v bližini Lagrangeeve

točke preide na površino odvodne rdeče cevi in se odpravi proti naslednji Lagrangeevi točki ki jo približa cilju [3]

Naslednja pomembna lastnost tega omrežja je da se ves čas spreminja saj se vsi

planeti in lune vrtijo Ker pa se gibljejo po znanih zakonih nebesne mehanike je možno z računalniškimi simulacijami določiti optimalno trajektorijo sonde To je dejansko uspelo šele leta 1980 Nasinemu matematiku Martinu Loju ki je odkril nizkoenergijske poti ki povezujejo Lagrangeeve točke Lune Zemlje Marsa Saturna in Jupitra Dokler se sonda nahaja na površini te cevi je na nizkoenergijski tirnici (orbita je zdaj neprimeren izraz) ki nas poceni pripelje na ciljno točko če pa bi se od te cevi oddaljila pa bi jo odneslo nekam stran od cilja (in se slej ko prej ujela v orbito okoli masivnega telesa) ter bi jo lahko na pravo pot postavili le z veliko porabo goriva

16

Slabost uporabe ITN pa je čas Gibanje sonde po Omrežju zna biti zelo počasno in zna biti v najboljšem primeru nekajkrat daljše od Hohmannovega prenosa Tako da se za kakšne obljudene vesoljske ladje ne more uporabljati prav tako ne takrat ko bi radi na kakem planetu čimprej nekaj preverili oz odkrili Razen če spet ne nastopi cenahellip

Figure 10 Primerjava dveh metod za doseganje Lune Levo zgoraj je Hohmannov prenos ki je časovno najkrajši vendar energijsko potraten Novejše raziskave dajejo energijsko ugodnejše in

časovno ne preveč potratne tirnice [8]

ITS je še relativno mlada veja mehanike orbit zato se še ni razcvetela Do zdaj so to tehniko uporabili pri sondah ISEE-3 Hiten SMART-1 Genesis ISEE-3 so na pot poslali že leta 1978 in je raziskovala Sonce ter Zemljo Takrat kaotične zgradbe medplanetne ceste še niso čisto dobro razumeli in izstrelitev sonde po takšni trajektoriji je omogočala le delna in nepopolna računalniška analiza gravitacijske pokrajine med Zemljo in Soncem Če bi bil polet daljši bi se sonda zelo verjetno izgubila v vesolju Kasneje so Japonci z metodo ITS rešili svoj satelit Hiten ko mu je na napačni orbiti zmanjkalo goriva jim ga je uspelo na pravo usmeriti po nizkoenergijski tirnici IPS Leta 2001 so izstrelili še sondo Genesis namenjeno raziskovanju Sončevih nabitih delcev Ta satelit je bil namenoma izstreljen v kaotično orbito ki ga je dve leti nekajkrat vodila okrog Zemljine L1 točke nato obkrožila L2 in se z vzorci vrnila na Zemljo [10] Njena pot vključno z trenutkom vrnitve je bila že nekaj let pred izstrelitvijo natanko določena Misija bi bila čisti uspeh če bi le na koncu sonda odprla padalahellip Kljub temu je misija pokazala kako z uporabo sodobnih računalniških metod lahko natančno izračunamo zapletene trajektorije za poti po vesolju

17

Figure 11 Tir sonde Genesis [10]

7 Zaključek

Predstavljenih je bilo nekaj načinov doseganja drugih planetov z raziskovalnimi sondami V kolikor sta v preteklosti dominirala Hohmannov prenos in gravitacijska frača se danes vedno bolj uveljavlja tudi metoda ITS Za razliko od prejšnjih dveh za metodo ITS zadostujejo nizke hitrosti sonde vendar je ta metoda žal časovno zelo potratna Zato se je treba odločati med ekonomičnostjo metodo in potrebnim časom potovanja ko načrtujemo raziskovalni polet k drugim nebesnim telesom

8 Literatura [1] L N Hand amp J D Finch Analytical Mechanics Cambridge University Press 1998 [2] O Montenbruck amp E Gill Satellite Orbits Springer verlag 2000 [3] Wikipedia Bi-elliptic transfer (httpenwikipediaorgwikiBi-elliptic_transfer) [4] R C Johnson The Slingshot Effect 2003 (httpmathsduracuk~dma0rcjPslingslingpdf) [5] Wikipedia Cassini-Huygens (httpenwikipediaorgwikiCassini-Huygens) [6] Wikipedia Lagrangian points (httpenwikipediaorgwikiLagrangian_points) [7] J EMarsden amp S D Ross New Methods in Celestial Mechanics and Mission Design 2005 (httpwwwesmvtedu~sdrosspapersMaRo_amspdf) [8] W S Koon et al Dynamical Systems the Three-Body Problem and Space Mission Design 2006 (httpwwwcdscaltechedu~marsdenbooksMission_Designhtml) [9] SD Ross Cylindrical Manifolds and Tube Dynamics in the Restricted Three-Body Problem 2004 [10] W S Koon et al The Genesis Trajectory and Heteroclinic Connections 2000 (httpwwwggcaltechedu~mwlpublicationspapersgenesispdf)

18

6 Medplanetarno transportno omrežje Gibanje sonde postane še posebno zapleteno če nehamo obravnavati polet sonde kot več ločenih problemov dveh teles (sonda se giblje okoli Sonca sonda se giblje okolimimo planeta) ampak polet obravnavamo kot problem treh teles (ali še huje- večih teles) Pri problemu treh teles gledamo gibanje zanemarljivo lahkega telesa v okolici dveh masivnih teles in res je masa sonde v primerjavi z masami Sonca in planetov zanemarljivo majhna Izkaže se da problem treh teles analitično ponavadi ni rešljiv torej ga moramo reševati z numeričnimi metodami Vseeno pa je bilo ugotovljenih nekaj pomembnih stvari Izkazalo se je da v okolici dveh teles z znatno maso ki krožita drugo okoli drugega obstajajo v prostoru točke v katerih se telo z zanemarljivo maso ndash recimo satelit ali vesoljska postaja ali asteroid ndash giblje tako da se njegov položaj glede na prvi dve ne spreminja S problemom sta se med prvimi ukvarjala Euler in Lagrange Slepi Euler je samo z računanjem na pamet odkril tri take točke Lagrange pa s temeljito analizo še dve dodatni Teh pet točk danes imenujemo Lagrangeove točke

Poglejmo recimo na primer sistem Zemlje in satelita Kot vemo sta obhodni čas in hitrost vsakega telesa ki kroži okoli Zemlje določena z njegovo oddaljenostjo od središča Zemlje Če upoštevamo še gravitacijo Lune imamo gravitacijsko silo Zemlje ki vleče proti težišču Zemlje ter gravitacijsko silo Lune ki vleče proti centru Lune Če satelit v nekem trenutku leži nekje na zveznici med središčema Zemlje in Lune bosta ti sili nasprotno usmerjeni zato se bo satelit ki leži med Zemljo in Luno gibal tako kot da bi nanj delovala za Lunino težnost zmanjšana težnost Zemlje Drugače povedano giblje se z obhodnim časom kot da bi navidezno krožil okoli središča Zemlje na večji oddaljenosti od dejanske Če je ta navidezna razdalja natančno enaka razdalji med Zemljo in Luno satelit okoli prve kroži z obhodnim časom ki je enak obhodnemu času Lune kar pomeni da bo vedno na zveznici med Zemljo in Luno Takrat je v 1 Lagrangeovi točki navadno imenovani L1 Leži bliže Luni kot Zemlji na 84 razdalje med njima Na podoben način bi lahko našli še L2 točko (za Luno) in L3 točko (leži na nasprotni strani Zemlje kot Luna) Preostali dve točki L4 in L5 ležita na Luninem tiru tako da je kot med zveznicama med Luno in Zemljo ter satelitom 60ordm torej sta na enaki oddaljenosti od Zemlje kot od Lune Okoli Zemljine L1 točke (med Soncem in Zemljo) trenutno kroži satelit SOHO ki opazuje Sonce in heliosfero ker z nje njegovega pogleda na Sonce nikoli nič ne zastre v Zemljini L2 pa je recimo Wilkinsonova postaja za merjenje anizotropije mikrovalovnega sevanja vesolja (WMAP) s katero se raziskujejo lastnosti velikega poka in vanjo bodo v prihodnosti utirili recimo tudi satelit Gaio

12

Figure 6 Zemljine Lagrangeove točke [6]

Nahajališča Lagrangeovih točk zapišemo jih v sistemu v katerem obe masivnejši

telesi mirujeta in je masivnejše telo (navadno Sonce) v izhodišču manj masivno pa na x-osi na oddaljenosti R Točke so v [7]

L1 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

MMR

L2 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

MMR

L3 )01251(

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminus

MMR

L4 in L5 )23)(

2(

21

21 RMMMMR

plusmn+minus

L4 in L5 sta stabilni točki kar pomeni da sondo ki se nahaja v njiju rahlo

zmotimo se bo ta samo vrnila v začetno točko (v kolikor je perturbacija majhna) Istočasno to pomeni da se počasna telesa lahko ujamejo v ti dve točki oziroma potujejo okoli njiju In res je bilo v bližini Jupitrovih L4 in L5 točkah odkrito večje število asteroidov ki zdaj potujejo z enako periodo kot Jupiter okoli Sonca

13

Figure 7 Odkriti asteroidi v L4 in L5 Jupitra [6]

Po drugi strani pa so L1 L2 in L3 nestabilne točke Ob najmanjši gravitacijski

motnji bi sondo ki se nahaja v kateri od njih odneslo iz Lagrangeove točke Zato je treba satelitom ki so v teh točkah vsake toliko časa vključiti motorje da jo vrnejo na pravo mesto

Izkazalo pa se je da je potrebno zelo malo energije da sondo spravimo iz ene nestabilne L-točke v drugo [8] Če želimo vtiriti sondo v Lunino L1 točko je za to potrebna hitrost 49kms Če pa bi sedaj hoteli sondo od tam poslati v recimo Zemljino L2 točko bi bila za to potrebna dodatna hitrost le 0014 kms (50kmh) (Spomnimo se da je Lunina L1 točka od Zemlje oddaljena 322500 km (okoli 86 razdalje med Zemljo in Luno) Zemljina L2 pa 1500000 km) Očitno se da z zelo majhnimi spremembami hitrosti priti zelo daleč praktično do vseh planetov Tako je v Osončju pravo omrežje takšnih poceni povezovalnih poti čemur so dali ime Medplanetarno prenosno omrežje (Interplanetary Transport Network - ITN) ali tudi Medplanetna avtocesta (Interplanetary Superhighway - IPS)

Odkritje tega omrežje temelji na delu Poincareja ki se je z tem problemom okvarjal ob koncu 19 stoletja Ta je med drugim odkril da je analitično nemogoče natančno izračunati poti teles ki se začenjajo v bližini neke nestabilne Lagrangeeve točke Poglejmo to malo podrobneje

14

Enačbe gibanja [9] Če sta M1 in M2 masi večjih teles in

zapišemo21

2

MMM+

=μ iščemo enačbe gibanja za točkasto telo v okolici dveh masivnih

teles v rotirajočem sistemu kjer prvo telo v točki (-μ0) drugo pa v (1- μ0) Lahko tretje telo naj bo v točki (xy) in naj bo oddaljenost do prve in druge mase r1 ter r2 Potem velja

221 )( yxr ++= μ ter 22

2 )1( yxr ++minus= μ Potem je gravitacijska potencialna energija tretjega telesa

21

1)(rr

yxV μμminus

minusminus= (9)

Kinetična energija tretjega telesa je

[ ]22 )()(21)( xyyxyxyxK ++minus= ampampampamp (10)

in Lagranžijan tretjega telesa je potem

)()()( yxVyxyxKyxyxL minus= ampampampamp Enačbe gibanja so potem po Euler-Lagrangeovih enačbah

xVyxpartpart

minus=minus ampampamp 2 in yVxypartpart

minus=minus ampampamp 2 (11)

kjer je efektivni potencial 2

22 yxVV minusminus= Polna energija je )()(

21 22 yxVyxE ++= ampamp

Figure 8 Efektivni potencial okoli dveh masivnih teles ter označene Lagrangeeve točke

Na desni sliki je s sivo označeno prepovedano območje svetla je Hillova regija ndash območje po katerem se delec lahko giblje [8]

15

Na drugi sliki pa je področje ki ga dobimo če upoštevamo ohranitev energije in gledamo samo določeno energijo E Zato za dan energijski nivo E velja da se lahko tretje telo giblje zgolj po področje kjer velja 0geminusVE To je tako imenovana Hillova regija[7] in jo dobimo če presekamo graf efektivnega potenciala z vodoravno ravnino ki predstavlja energijo Kot primer je podana Hillova regija (bela barva ) za tretje telo v okolici Sonca in Jupitra vidimo tri območja ndash Sončevo območje Jupitrovo območje ter zunanje območje ki so povezana med seboj z ozkimi vratovi V levem vratu je L1 v desnem pa L2 Če bi pogledali pri drugačnih energijah bi prehod med območji lahko bil onemogočen ker bi vrata bila zaprta

Pri problemu treh teles je bistvena ugotovitev da obstaja neskončno veliko možnih poti ki bi pripeljale sondo do ciljne točke in jih je mogoče razvstiti v družine podobnih trajektorij Takšna družina leži na površini namišljene cevi ki jih imenujemo Conley ndashMcGeheejeve cevi [7]

Telo ki odleti iz Lagrangeeve točke se skozi vesolje po eni od teh trajektorij giblje tako kot bi potovalo po vijačnici na površini cevi Za vsako cev ki vodi od Lagrangeeve točke obstaja še ena ki vanjo vodi Torej bi se sonda po eni od teh cevi pripeljala v Lagrangeovo točko tam preskočila na drugo cev in po njej praktično zastonj odpotovala v vesolje

Figure 9 Conley-McGehee jeve cevi Sonda pride po površini zelene cevi v bližini Lagrangeeve

točke preide na površino odvodne rdeče cevi in se odpravi proti naslednji Lagrangeevi točki ki jo približa cilju [3]

Naslednja pomembna lastnost tega omrežja je da se ves čas spreminja saj se vsi

planeti in lune vrtijo Ker pa se gibljejo po znanih zakonih nebesne mehanike je možno z računalniškimi simulacijami določiti optimalno trajektorijo sonde To je dejansko uspelo šele leta 1980 Nasinemu matematiku Martinu Loju ki je odkril nizkoenergijske poti ki povezujejo Lagrangeeve točke Lune Zemlje Marsa Saturna in Jupitra Dokler se sonda nahaja na površini te cevi je na nizkoenergijski tirnici (orbita je zdaj neprimeren izraz) ki nas poceni pripelje na ciljno točko če pa bi se od te cevi oddaljila pa bi jo odneslo nekam stran od cilja (in se slej ko prej ujela v orbito okoli masivnega telesa) ter bi jo lahko na pravo pot postavili le z veliko porabo goriva

16

Slabost uporabe ITN pa je čas Gibanje sonde po Omrežju zna biti zelo počasno in zna biti v najboljšem primeru nekajkrat daljše od Hohmannovega prenosa Tako da se za kakšne obljudene vesoljske ladje ne more uporabljati prav tako ne takrat ko bi radi na kakem planetu čimprej nekaj preverili oz odkrili Razen če spet ne nastopi cenahellip

Figure 10 Primerjava dveh metod za doseganje Lune Levo zgoraj je Hohmannov prenos ki je časovno najkrajši vendar energijsko potraten Novejše raziskave dajejo energijsko ugodnejše in

časovno ne preveč potratne tirnice [8]

ITS je še relativno mlada veja mehanike orbit zato se še ni razcvetela Do zdaj so to tehniko uporabili pri sondah ISEE-3 Hiten SMART-1 Genesis ISEE-3 so na pot poslali že leta 1978 in je raziskovala Sonce ter Zemljo Takrat kaotične zgradbe medplanetne ceste še niso čisto dobro razumeli in izstrelitev sonde po takšni trajektoriji je omogočala le delna in nepopolna računalniška analiza gravitacijske pokrajine med Zemljo in Soncem Če bi bil polet daljši bi se sonda zelo verjetno izgubila v vesolju Kasneje so Japonci z metodo ITS rešili svoj satelit Hiten ko mu je na napačni orbiti zmanjkalo goriva jim ga je uspelo na pravo usmeriti po nizkoenergijski tirnici IPS Leta 2001 so izstrelili še sondo Genesis namenjeno raziskovanju Sončevih nabitih delcev Ta satelit je bil namenoma izstreljen v kaotično orbito ki ga je dve leti nekajkrat vodila okrog Zemljine L1 točke nato obkrožila L2 in se z vzorci vrnila na Zemljo [10] Njena pot vključno z trenutkom vrnitve je bila že nekaj let pred izstrelitvijo natanko določena Misija bi bila čisti uspeh če bi le na koncu sonda odprla padalahellip Kljub temu je misija pokazala kako z uporabo sodobnih računalniških metod lahko natančno izračunamo zapletene trajektorije za poti po vesolju

17

Figure 11 Tir sonde Genesis [10]

7 Zaključek

Predstavljenih je bilo nekaj načinov doseganja drugih planetov z raziskovalnimi sondami V kolikor sta v preteklosti dominirala Hohmannov prenos in gravitacijska frača se danes vedno bolj uveljavlja tudi metoda ITS Za razliko od prejšnjih dveh za metodo ITS zadostujejo nizke hitrosti sonde vendar je ta metoda žal časovno zelo potratna Zato se je treba odločati med ekonomičnostjo metodo in potrebnim časom potovanja ko načrtujemo raziskovalni polet k drugim nebesnim telesom

8 Literatura [1] L N Hand amp J D Finch Analytical Mechanics Cambridge University Press 1998 [2] O Montenbruck amp E Gill Satellite Orbits Springer verlag 2000 [3] Wikipedia Bi-elliptic transfer (httpenwikipediaorgwikiBi-elliptic_transfer) [4] R C Johnson The Slingshot Effect 2003 (httpmathsduracuk~dma0rcjPslingslingpdf) [5] Wikipedia Cassini-Huygens (httpenwikipediaorgwikiCassini-Huygens) [6] Wikipedia Lagrangian points (httpenwikipediaorgwikiLagrangian_points) [7] J EMarsden amp S D Ross New Methods in Celestial Mechanics and Mission Design 2005 (httpwwwesmvtedu~sdrosspapersMaRo_amspdf) [8] W S Koon et al Dynamical Systems the Three-Body Problem and Space Mission Design 2006 (httpwwwcdscaltechedu~marsdenbooksMission_Designhtml) [9] SD Ross Cylindrical Manifolds and Tube Dynamics in the Restricted Three-Body Problem 2004 [10] W S Koon et al The Genesis Trajectory and Heteroclinic Connections 2000 (httpwwwggcaltechedu~mwlpublicationspapersgenesispdf)

18

Figure 6 Zemljine Lagrangeove točke [6]

Nahajališča Lagrangeovih točk zapišemo jih v sistemu v katerem obe masivnejši

telesi mirujeta in je masivnejše telo (navadno Sonce) v izhodišču manj masivno pa na x-osi na oddaljenosti R Točke so v [7]

L1 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus

MMR

L2 )0)3

(1( 31

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

MMR

L3 )01251(

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minusminus

MMR

L4 in L5 )23)(

2(

21

21 RMMMMR

plusmn+minus

L4 in L5 sta stabilni točki kar pomeni da sondo ki se nahaja v njiju rahlo

zmotimo se bo ta samo vrnila v začetno točko (v kolikor je perturbacija majhna) Istočasno to pomeni da se počasna telesa lahko ujamejo v ti dve točki oziroma potujejo okoli njiju In res je bilo v bližini Jupitrovih L4 in L5 točkah odkrito večje število asteroidov ki zdaj potujejo z enako periodo kot Jupiter okoli Sonca

13

Figure 7 Odkriti asteroidi v L4 in L5 Jupitra [6]

Po drugi strani pa so L1 L2 in L3 nestabilne točke Ob najmanjši gravitacijski

motnji bi sondo ki se nahaja v kateri od njih odneslo iz Lagrangeove točke Zato je treba satelitom ki so v teh točkah vsake toliko časa vključiti motorje da jo vrnejo na pravo mesto

Izkazalo pa se je da je potrebno zelo malo energije da sondo spravimo iz ene nestabilne L-točke v drugo [8] Če želimo vtiriti sondo v Lunino L1 točko je za to potrebna hitrost 49kms Če pa bi sedaj hoteli sondo od tam poslati v recimo Zemljino L2 točko bi bila za to potrebna dodatna hitrost le 0014 kms (50kmh) (Spomnimo se da je Lunina L1 točka od Zemlje oddaljena 322500 km (okoli 86 razdalje med Zemljo in Luno) Zemljina L2 pa 1500000 km) Očitno se da z zelo majhnimi spremembami hitrosti priti zelo daleč praktično do vseh planetov Tako je v Osončju pravo omrežje takšnih poceni povezovalnih poti čemur so dali ime Medplanetarno prenosno omrežje (Interplanetary Transport Network - ITN) ali tudi Medplanetna avtocesta (Interplanetary Superhighway - IPS)

Odkritje tega omrežje temelji na delu Poincareja ki se je z tem problemom okvarjal ob koncu 19 stoletja Ta je med drugim odkril da je analitično nemogoče natančno izračunati poti teles ki se začenjajo v bližini neke nestabilne Lagrangeeve točke Poglejmo to malo podrobneje

14

Enačbe gibanja [9] Če sta M1 in M2 masi večjih teles in

zapišemo21

2

MMM+

=μ iščemo enačbe gibanja za točkasto telo v okolici dveh masivnih

teles v rotirajočem sistemu kjer prvo telo v točki (-μ0) drugo pa v (1- μ0) Lahko tretje telo naj bo v točki (xy) in naj bo oddaljenost do prve in druge mase r1 ter r2 Potem velja

221 )( yxr ++= μ ter 22

2 )1( yxr ++minus= μ Potem je gravitacijska potencialna energija tretjega telesa

21

1)(rr

yxV μμminus

minusminus= (9)

Kinetična energija tretjega telesa je

[ ]22 )()(21)( xyyxyxyxK ++minus= ampampampamp (10)

in Lagranžijan tretjega telesa je potem

)()()( yxVyxyxKyxyxL minus= ampampampamp Enačbe gibanja so potem po Euler-Lagrangeovih enačbah

xVyxpartpart

minus=minus ampampamp 2 in yVxypartpart

minus=minus ampampamp 2 (11)

kjer je efektivni potencial 2

22 yxVV minusminus= Polna energija je )()(

21 22 yxVyxE ++= ampamp

Figure 8 Efektivni potencial okoli dveh masivnih teles ter označene Lagrangeeve točke

Na desni sliki je s sivo označeno prepovedano območje svetla je Hillova regija ndash območje po katerem se delec lahko giblje [8]

15

Na drugi sliki pa je področje ki ga dobimo če upoštevamo ohranitev energije in gledamo samo določeno energijo E Zato za dan energijski nivo E velja da se lahko tretje telo giblje zgolj po področje kjer velja 0geminusVE To je tako imenovana Hillova regija[7] in jo dobimo če presekamo graf efektivnega potenciala z vodoravno ravnino ki predstavlja energijo Kot primer je podana Hillova regija (bela barva ) za tretje telo v okolici Sonca in Jupitra vidimo tri območja ndash Sončevo območje Jupitrovo območje ter zunanje območje ki so povezana med seboj z ozkimi vratovi V levem vratu je L1 v desnem pa L2 Če bi pogledali pri drugačnih energijah bi prehod med območji lahko bil onemogočen ker bi vrata bila zaprta

Pri problemu treh teles je bistvena ugotovitev da obstaja neskončno veliko možnih poti ki bi pripeljale sondo do ciljne točke in jih je mogoče razvstiti v družine podobnih trajektorij Takšna družina leži na površini namišljene cevi ki jih imenujemo Conley ndashMcGeheejeve cevi [7]

Telo ki odleti iz Lagrangeeve točke se skozi vesolje po eni od teh trajektorij giblje tako kot bi potovalo po vijačnici na površini cevi Za vsako cev ki vodi od Lagrangeeve točke obstaja še ena ki vanjo vodi Torej bi se sonda po eni od teh cevi pripeljala v Lagrangeovo točko tam preskočila na drugo cev in po njej praktično zastonj odpotovala v vesolje

Figure 9 Conley-McGehee jeve cevi Sonda pride po površini zelene cevi v bližini Lagrangeeve

točke preide na površino odvodne rdeče cevi in se odpravi proti naslednji Lagrangeevi točki ki jo približa cilju [3]

Naslednja pomembna lastnost tega omrežja je da se ves čas spreminja saj se vsi

planeti in lune vrtijo Ker pa se gibljejo po znanih zakonih nebesne mehanike je možno z računalniškimi simulacijami določiti optimalno trajektorijo sonde To je dejansko uspelo šele leta 1980 Nasinemu matematiku Martinu Loju ki je odkril nizkoenergijske poti ki povezujejo Lagrangeeve točke Lune Zemlje Marsa Saturna in Jupitra Dokler se sonda nahaja na površini te cevi je na nizkoenergijski tirnici (orbita je zdaj neprimeren izraz) ki nas poceni pripelje na ciljno točko če pa bi se od te cevi oddaljila pa bi jo odneslo nekam stran od cilja (in se slej ko prej ujela v orbito okoli masivnega telesa) ter bi jo lahko na pravo pot postavili le z veliko porabo goriva

16

Slabost uporabe ITN pa je čas Gibanje sonde po Omrežju zna biti zelo počasno in zna biti v najboljšem primeru nekajkrat daljše od Hohmannovega prenosa Tako da se za kakšne obljudene vesoljske ladje ne more uporabljati prav tako ne takrat ko bi radi na kakem planetu čimprej nekaj preverili oz odkrili Razen če spet ne nastopi cenahellip

Figure 10 Primerjava dveh metod za doseganje Lune Levo zgoraj je Hohmannov prenos ki je časovno najkrajši vendar energijsko potraten Novejše raziskave dajejo energijsko ugodnejše in

časovno ne preveč potratne tirnice [8]

ITS je še relativno mlada veja mehanike orbit zato se še ni razcvetela Do zdaj so to tehniko uporabili pri sondah ISEE-3 Hiten SMART-1 Genesis ISEE-3 so na pot poslali že leta 1978 in je raziskovala Sonce ter Zemljo Takrat kaotične zgradbe medplanetne ceste še niso čisto dobro razumeli in izstrelitev sonde po takšni trajektoriji je omogočala le delna in nepopolna računalniška analiza gravitacijske pokrajine med Zemljo in Soncem Če bi bil polet daljši bi se sonda zelo verjetno izgubila v vesolju Kasneje so Japonci z metodo ITS rešili svoj satelit Hiten ko mu je na napačni orbiti zmanjkalo goriva jim ga je uspelo na pravo usmeriti po nizkoenergijski tirnici IPS Leta 2001 so izstrelili še sondo Genesis namenjeno raziskovanju Sončevih nabitih delcev Ta satelit je bil namenoma izstreljen v kaotično orbito ki ga je dve leti nekajkrat vodila okrog Zemljine L1 točke nato obkrožila L2 in se z vzorci vrnila na Zemljo [10] Njena pot vključno z trenutkom vrnitve je bila že nekaj let pred izstrelitvijo natanko določena Misija bi bila čisti uspeh če bi le na koncu sonda odprla padalahellip Kljub temu je misija pokazala kako z uporabo sodobnih računalniških metod lahko natančno izračunamo zapletene trajektorije za poti po vesolju

17

Figure 11 Tir sonde Genesis [10]

7 Zaključek

Predstavljenih je bilo nekaj načinov doseganja drugih planetov z raziskovalnimi sondami V kolikor sta v preteklosti dominirala Hohmannov prenos in gravitacijska frača se danes vedno bolj uveljavlja tudi metoda ITS Za razliko od prejšnjih dveh za metodo ITS zadostujejo nizke hitrosti sonde vendar je ta metoda žal časovno zelo potratna Zato se je treba odločati med ekonomičnostjo metodo in potrebnim časom potovanja ko načrtujemo raziskovalni polet k drugim nebesnim telesom

8 Literatura [1] L N Hand amp J D Finch Analytical Mechanics Cambridge University Press 1998 [2] O Montenbruck amp E Gill Satellite Orbits Springer verlag 2000 [3] Wikipedia Bi-elliptic transfer (httpenwikipediaorgwikiBi-elliptic_transfer) [4] R C Johnson The Slingshot Effect 2003 (httpmathsduracuk~dma0rcjPslingslingpdf) [5] Wikipedia Cassini-Huygens (httpenwikipediaorgwikiCassini-Huygens) [6] Wikipedia Lagrangian points (httpenwikipediaorgwikiLagrangian_points) [7] J EMarsden amp S D Ross New Methods in Celestial Mechanics and Mission Design 2005 (httpwwwesmvtedu~sdrosspapersMaRo_amspdf) [8] W S Koon et al Dynamical Systems the Three-Body Problem and Space Mission Design 2006 (httpwwwcdscaltechedu~marsdenbooksMission_Designhtml) [9] SD Ross Cylindrical Manifolds and Tube Dynamics in the Restricted Three-Body Problem 2004 [10] W S Koon et al The Genesis Trajectory and Heteroclinic Connections 2000 (httpwwwggcaltechedu~mwlpublicationspapersgenesispdf)

18

Figure 7 Odkriti asteroidi v L4 in L5 Jupitra [6]

Po drugi strani pa so L1 L2 in L3 nestabilne točke Ob najmanjši gravitacijski

motnji bi sondo ki se nahaja v kateri od njih odneslo iz Lagrangeove točke Zato je treba satelitom ki so v teh točkah vsake toliko časa vključiti motorje da jo vrnejo na pravo mesto

Izkazalo pa se je da je potrebno zelo malo energije da sondo spravimo iz ene nestabilne L-točke v drugo [8] Če želimo vtiriti sondo v Lunino L1 točko je za to potrebna hitrost 49kms Če pa bi sedaj hoteli sondo od tam poslati v recimo Zemljino L2 točko bi bila za to potrebna dodatna hitrost le 0014 kms (50kmh) (Spomnimo se da je Lunina L1 točka od Zemlje oddaljena 322500 km (okoli 86 razdalje med Zemljo in Luno) Zemljina L2 pa 1500000 km) Očitno se da z zelo majhnimi spremembami hitrosti priti zelo daleč praktično do vseh planetov Tako je v Osončju pravo omrežje takšnih poceni povezovalnih poti čemur so dali ime Medplanetarno prenosno omrežje (Interplanetary Transport Network - ITN) ali tudi Medplanetna avtocesta (Interplanetary Superhighway - IPS)

Odkritje tega omrežje temelji na delu Poincareja ki se je z tem problemom okvarjal ob koncu 19 stoletja Ta je med drugim odkril da je analitično nemogoče natančno izračunati poti teles ki se začenjajo v bližini neke nestabilne Lagrangeeve točke Poglejmo to malo podrobneje

14

Enačbe gibanja [9] Če sta M1 in M2 masi večjih teles in

zapišemo21

2

MMM+

=μ iščemo enačbe gibanja za točkasto telo v okolici dveh masivnih

teles v rotirajočem sistemu kjer prvo telo v točki (-μ0) drugo pa v (1- μ0) Lahko tretje telo naj bo v točki (xy) in naj bo oddaljenost do prve in druge mase r1 ter r2 Potem velja

221 )( yxr ++= μ ter 22

2 )1( yxr ++minus= μ Potem je gravitacijska potencialna energija tretjega telesa

21

1)(rr

yxV μμminus

minusminus= (9)

Kinetična energija tretjega telesa je

[ ]22 )()(21)( xyyxyxyxK ++minus= ampampampamp (10)

in Lagranžijan tretjega telesa je potem

)()()( yxVyxyxKyxyxL minus= ampampampamp Enačbe gibanja so potem po Euler-Lagrangeovih enačbah

xVyxpartpart

minus=minus ampampamp 2 in yVxypartpart

minus=minus ampampamp 2 (11)

kjer je efektivni potencial 2

22 yxVV minusminus= Polna energija je )()(

21 22 yxVyxE ++= ampamp

Figure 8 Efektivni potencial okoli dveh masivnih teles ter označene Lagrangeeve točke

Na desni sliki je s sivo označeno prepovedano območje svetla je Hillova regija ndash območje po katerem se delec lahko giblje [8]

15

Na drugi sliki pa je področje ki ga dobimo če upoštevamo ohranitev energije in gledamo samo določeno energijo E Zato za dan energijski nivo E velja da se lahko tretje telo giblje zgolj po področje kjer velja 0geminusVE To je tako imenovana Hillova regija[7] in jo dobimo če presekamo graf efektivnega potenciala z vodoravno ravnino ki predstavlja energijo Kot primer je podana Hillova regija (bela barva ) za tretje telo v okolici Sonca in Jupitra vidimo tri območja ndash Sončevo območje Jupitrovo območje ter zunanje območje ki so povezana med seboj z ozkimi vratovi V levem vratu je L1 v desnem pa L2 Če bi pogledali pri drugačnih energijah bi prehod med območji lahko bil onemogočen ker bi vrata bila zaprta

Pri problemu treh teles je bistvena ugotovitev da obstaja neskončno veliko možnih poti ki bi pripeljale sondo do ciljne točke in jih je mogoče razvstiti v družine podobnih trajektorij Takšna družina leži na površini namišljene cevi ki jih imenujemo Conley ndashMcGeheejeve cevi [7]

Telo ki odleti iz Lagrangeeve točke se skozi vesolje po eni od teh trajektorij giblje tako kot bi potovalo po vijačnici na površini cevi Za vsako cev ki vodi od Lagrangeeve točke obstaja še ena ki vanjo vodi Torej bi se sonda po eni od teh cevi pripeljala v Lagrangeovo točko tam preskočila na drugo cev in po njej praktično zastonj odpotovala v vesolje

Figure 9 Conley-McGehee jeve cevi Sonda pride po površini zelene cevi v bližini Lagrangeeve

točke preide na površino odvodne rdeče cevi in se odpravi proti naslednji Lagrangeevi točki ki jo približa cilju [3]

Naslednja pomembna lastnost tega omrežja je da se ves čas spreminja saj se vsi

planeti in lune vrtijo Ker pa se gibljejo po znanih zakonih nebesne mehanike je možno z računalniškimi simulacijami določiti optimalno trajektorijo sonde To je dejansko uspelo šele leta 1980 Nasinemu matematiku Martinu Loju ki je odkril nizkoenergijske poti ki povezujejo Lagrangeeve točke Lune Zemlje Marsa Saturna in Jupitra Dokler se sonda nahaja na površini te cevi je na nizkoenergijski tirnici (orbita je zdaj neprimeren izraz) ki nas poceni pripelje na ciljno točko če pa bi se od te cevi oddaljila pa bi jo odneslo nekam stran od cilja (in se slej ko prej ujela v orbito okoli masivnega telesa) ter bi jo lahko na pravo pot postavili le z veliko porabo goriva

16

Slabost uporabe ITN pa je čas Gibanje sonde po Omrežju zna biti zelo počasno in zna biti v najboljšem primeru nekajkrat daljše od Hohmannovega prenosa Tako da se za kakšne obljudene vesoljske ladje ne more uporabljati prav tako ne takrat ko bi radi na kakem planetu čimprej nekaj preverili oz odkrili Razen če spet ne nastopi cenahellip

Figure 10 Primerjava dveh metod za doseganje Lune Levo zgoraj je Hohmannov prenos ki je časovno najkrajši vendar energijsko potraten Novejše raziskave dajejo energijsko ugodnejše in

časovno ne preveč potratne tirnice [8]

ITS je še relativno mlada veja mehanike orbit zato se še ni razcvetela Do zdaj so to tehniko uporabili pri sondah ISEE-3 Hiten SMART-1 Genesis ISEE-3 so na pot poslali že leta 1978 in je raziskovala Sonce ter Zemljo Takrat kaotične zgradbe medplanetne ceste še niso čisto dobro razumeli in izstrelitev sonde po takšni trajektoriji je omogočala le delna in nepopolna računalniška analiza gravitacijske pokrajine med Zemljo in Soncem Če bi bil polet daljši bi se sonda zelo verjetno izgubila v vesolju Kasneje so Japonci z metodo ITS rešili svoj satelit Hiten ko mu je na napačni orbiti zmanjkalo goriva jim ga je uspelo na pravo usmeriti po nizkoenergijski tirnici IPS Leta 2001 so izstrelili še sondo Genesis namenjeno raziskovanju Sončevih nabitih delcev Ta satelit je bil namenoma izstreljen v kaotično orbito ki ga je dve leti nekajkrat vodila okrog Zemljine L1 točke nato obkrožila L2 in se z vzorci vrnila na Zemljo [10] Njena pot vključno z trenutkom vrnitve je bila že nekaj let pred izstrelitvijo natanko določena Misija bi bila čisti uspeh če bi le na koncu sonda odprla padalahellip Kljub temu je misija pokazala kako z uporabo sodobnih računalniških metod lahko natančno izračunamo zapletene trajektorije za poti po vesolju

17

Figure 11 Tir sonde Genesis [10]

7 Zaključek

Predstavljenih je bilo nekaj načinov doseganja drugih planetov z raziskovalnimi sondami V kolikor sta v preteklosti dominirala Hohmannov prenos in gravitacijska frača se danes vedno bolj uveljavlja tudi metoda ITS Za razliko od prejšnjih dveh za metodo ITS zadostujejo nizke hitrosti sonde vendar je ta metoda žal časovno zelo potratna Zato se je treba odločati med ekonomičnostjo metodo in potrebnim časom potovanja ko načrtujemo raziskovalni polet k drugim nebesnim telesom

8 Literatura [1] L N Hand amp J D Finch Analytical Mechanics Cambridge University Press 1998 [2] O Montenbruck amp E Gill Satellite Orbits Springer verlag 2000 [3] Wikipedia Bi-elliptic transfer (httpenwikipediaorgwikiBi-elliptic_transfer) [4] R C Johnson The Slingshot Effect 2003 (httpmathsduracuk~dma0rcjPslingslingpdf) [5] Wikipedia Cassini-Huygens (httpenwikipediaorgwikiCassini-Huygens) [6] Wikipedia Lagrangian points (httpenwikipediaorgwikiLagrangian_points) [7] J EMarsden amp S D Ross New Methods in Celestial Mechanics and Mission Design 2005 (httpwwwesmvtedu~sdrosspapersMaRo_amspdf) [8] W S Koon et al Dynamical Systems the Three-Body Problem and Space Mission Design 2006 (httpwwwcdscaltechedu~marsdenbooksMission_Designhtml) [9] SD Ross Cylindrical Manifolds and Tube Dynamics in the Restricted Three-Body Problem 2004 [10] W S Koon et al The Genesis Trajectory and Heteroclinic Connections 2000 (httpwwwggcaltechedu~mwlpublicationspapersgenesispdf)

18

Enačbe gibanja [9] Če sta M1 in M2 masi večjih teles in

zapišemo21

2

MMM+

=μ iščemo enačbe gibanja za točkasto telo v okolici dveh masivnih

teles v rotirajočem sistemu kjer prvo telo v točki (-μ0) drugo pa v (1- μ0) Lahko tretje telo naj bo v točki (xy) in naj bo oddaljenost do prve in druge mase r1 ter r2 Potem velja

221 )( yxr ++= μ ter 22

2 )1( yxr ++minus= μ Potem je gravitacijska potencialna energija tretjega telesa

21

1)(rr

yxV μμminus

minusminus= (9)

Kinetična energija tretjega telesa je

[ ]22 )()(21)( xyyxyxyxK ++minus= ampampampamp (10)

in Lagranžijan tretjega telesa je potem

)()()( yxVyxyxKyxyxL minus= ampampampamp Enačbe gibanja so potem po Euler-Lagrangeovih enačbah

xVyxpartpart

minus=minus ampampamp 2 in yVxypartpart

minus=minus ampampamp 2 (11)

kjer je efektivni potencial 2

22 yxVV minusminus= Polna energija je )()(

21 22 yxVyxE ++= ampamp

Figure 8 Efektivni potencial okoli dveh masivnih teles ter označene Lagrangeeve točke

Na desni sliki je s sivo označeno prepovedano območje svetla je Hillova regija ndash območje po katerem se delec lahko giblje [8]

15

Na drugi sliki pa je področje ki ga dobimo če upoštevamo ohranitev energije in gledamo samo določeno energijo E Zato za dan energijski nivo E velja da se lahko tretje telo giblje zgolj po področje kjer velja 0geminusVE To je tako imenovana Hillova regija[7] in jo dobimo če presekamo graf efektivnega potenciala z vodoravno ravnino ki predstavlja energijo Kot primer je podana Hillova regija (bela barva ) za tretje telo v okolici Sonca in Jupitra vidimo tri območja ndash Sončevo območje Jupitrovo območje ter zunanje območje ki so povezana med seboj z ozkimi vratovi V levem vratu je L1 v desnem pa L2 Če bi pogledali pri drugačnih energijah bi prehod med območji lahko bil onemogočen ker bi vrata bila zaprta

Pri problemu treh teles je bistvena ugotovitev da obstaja neskončno veliko možnih poti ki bi pripeljale sondo do ciljne točke in jih je mogoče razvstiti v družine podobnih trajektorij Takšna družina leži na površini namišljene cevi ki jih imenujemo Conley ndashMcGeheejeve cevi [7]

Telo ki odleti iz Lagrangeeve točke se skozi vesolje po eni od teh trajektorij giblje tako kot bi potovalo po vijačnici na površini cevi Za vsako cev ki vodi od Lagrangeeve točke obstaja še ena ki vanjo vodi Torej bi se sonda po eni od teh cevi pripeljala v Lagrangeovo točko tam preskočila na drugo cev in po njej praktično zastonj odpotovala v vesolje

Figure 9 Conley-McGehee jeve cevi Sonda pride po površini zelene cevi v bližini Lagrangeeve

točke preide na površino odvodne rdeče cevi in se odpravi proti naslednji Lagrangeevi točki ki jo približa cilju [3]

Naslednja pomembna lastnost tega omrežja je da se ves čas spreminja saj se vsi

planeti in lune vrtijo Ker pa se gibljejo po znanih zakonih nebesne mehanike je možno z računalniškimi simulacijami določiti optimalno trajektorijo sonde To je dejansko uspelo šele leta 1980 Nasinemu matematiku Martinu Loju ki je odkril nizkoenergijske poti ki povezujejo Lagrangeeve točke Lune Zemlje Marsa Saturna in Jupitra Dokler se sonda nahaja na površini te cevi je na nizkoenergijski tirnici (orbita je zdaj neprimeren izraz) ki nas poceni pripelje na ciljno točko če pa bi se od te cevi oddaljila pa bi jo odneslo nekam stran od cilja (in se slej ko prej ujela v orbito okoli masivnega telesa) ter bi jo lahko na pravo pot postavili le z veliko porabo goriva

16

Slabost uporabe ITN pa je čas Gibanje sonde po Omrežju zna biti zelo počasno in zna biti v najboljšem primeru nekajkrat daljše od Hohmannovega prenosa Tako da se za kakšne obljudene vesoljske ladje ne more uporabljati prav tako ne takrat ko bi radi na kakem planetu čimprej nekaj preverili oz odkrili Razen če spet ne nastopi cenahellip

Figure 10 Primerjava dveh metod za doseganje Lune Levo zgoraj je Hohmannov prenos ki je časovno najkrajši vendar energijsko potraten Novejše raziskave dajejo energijsko ugodnejše in

časovno ne preveč potratne tirnice [8]

ITS je še relativno mlada veja mehanike orbit zato se še ni razcvetela Do zdaj so to tehniko uporabili pri sondah ISEE-3 Hiten SMART-1 Genesis ISEE-3 so na pot poslali že leta 1978 in je raziskovala Sonce ter Zemljo Takrat kaotične zgradbe medplanetne ceste še niso čisto dobro razumeli in izstrelitev sonde po takšni trajektoriji je omogočala le delna in nepopolna računalniška analiza gravitacijske pokrajine med Zemljo in Soncem Če bi bil polet daljši bi se sonda zelo verjetno izgubila v vesolju Kasneje so Japonci z metodo ITS rešili svoj satelit Hiten ko mu je na napačni orbiti zmanjkalo goriva jim ga je uspelo na pravo usmeriti po nizkoenergijski tirnici IPS Leta 2001 so izstrelili še sondo Genesis namenjeno raziskovanju Sončevih nabitih delcev Ta satelit je bil namenoma izstreljen v kaotično orbito ki ga je dve leti nekajkrat vodila okrog Zemljine L1 točke nato obkrožila L2 in se z vzorci vrnila na Zemljo [10] Njena pot vključno z trenutkom vrnitve je bila že nekaj let pred izstrelitvijo natanko določena Misija bi bila čisti uspeh če bi le na koncu sonda odprla padalahellip Kljub temu je misija pokazala kako z uporabo sodobnih računalniških metod lahko natančno izračunamo zapletene trajektorije za poti po vesolju

17

Figure 11 Tir sonde Genesis [10]

7 Zaključek

Predstavljenih je bilo nekaj načinov doseganja drugih planetov z raziskovalnimi sondami V kolikor sta v preteklosti dominirala Hohmannov prenos in gravitacijska frača se danes vedno bolj uveljavlja tudi metoda ITS Za razliko od prejšnjih dveh za metodo ITS zadostujejo nizke hitrosti sonde vendar je ta metoda žal časovno zelo potratna Zato se je treba odločati med ekonomičnostjo metodo in potrebnim časom potovanja ko načrtujemo raziskovalni polet k drugim nebesnim telesom

8 Literatura [1] L N Hand amp J D Finch Analytical Mechanics Cambridge University Press 1998 [2] O Montenbruck amp E Gill Satellite Orbits Springer verlag 2000 [3] Wikipedia Bi-elliptic transfer (httpenwikipediaorgwikiBi-elliptic_transfer) [4] R C Johnson The Slingshot Effect 2003 (httpmathsduracuk~dma0rcjPslingslingpdf) [5] Wikipedia Cassini-Huygens (httpenwikipediaorgwikiCassini-Huygens) [6] Wikipedia Lagrangian points (httpenwikipediaorgwikiLagrangian_points) [7] J EMarsden amp S D Ross New Methods in Celestial Mechanics and Mission Design 2005 (httpwwwesmvtedu~sdrosspapersMaRo_amspdf) [8] W S Koon et al Dynamical Systems the Three-Body Problem and Space Mission Design 2006 (httpwwwcdscaltechedu~marsdenbooksMission_Designhtml) [9] SD Ross Cylindrical Manifolds and Tube Dynamics in the Restricted Three-Body Problem 2004 [10] W S Koon et al The Genesis Trajectory and Heteroclinic Connections 2000 (httpwwwggcaltechedu~mwlpublicationspapersgenesispdf)

18

Na drugi sliki pa je področje ki ga dobimo če upoštevamo ohranitev energije in gledamo samo določeno energijo E Zato za dan energijski nivo E velja da se lahko tretje telo giblje zgolj po področje kjer velja 0geminusVE To je tako imenovana Hillova regija[7] in jo dobimo če presekamo graf efektivnega potenciala z vodoravno ravnino ki predstavlja energijo Kot primer je podana Hillova regija (bela barva ) za tretje telo v okolici Sonca in Jupitra vidimo tri območja ndash Sončevo območje Jupitrovo območje ter zunanje območje ki so povezana med seboj z ozkimi vratovi V levem vratu je L1 v desnem pa L2 Če bi pogledali pri drugačnih energijah bi prehod med območji lahko bil onemogočen ker bi vrata bila zaprta

Pri problemu treh teles je bistvena ugotovitev da obstaja neskončno veliko možnih poti ki bi pripeljale sondo do ciljne točke in jih je mogoče razvstiti v družine podobnih trajektorij Takšna družina leži na površini namišljene cevi ki jih imenujemo Conley ndashMcGeheejeve cevi [7]

Telo ki odleti iz Lagrangeeve točke se skozi vesolje po eni od teh trajektorij giblje tako kot bi potovalo po vijačnici na površini cevi Za vsako cev ki vodi od Lagrangeeve točke obstaja še ena ki vanjo vodi Torej bi se sonda po eni od teh cevi pripeljala v Lagrangeovo točko tam preskočila na drugo cev in po njej praktično zastonj odpotovala v vesolje

Figure 9 Conley-McGehee jeve cevi Sonda pride po površini zelene cevi v bližini Lagrangeeve

točke preide na površino odvodne rdeče cevi in se odpravi proti naslednji Lagrangeevi točki ki jo približa cilju [3]

Naslednja pomembna lastnost tega omrežja je da se ves čas spreminja saj se vsi

planeti in lune vrtijo Ker pa se gibljejo po znanih zakonih nebesne mehanike je možno z računalniškimi simulacijami določiti optimalno trajektorijo sonde To je dejansko uspelo šele leta 1980 Nasinemu matematiku Martinu Loju ki je odkril nizkoenergijske poti ki povezujejo Lagrangeeve točke Lune Zemlje Marsa Saturna in Jupitra Dokler se sonda nahaja na površini te cevi je na nizkoenergijski tirnici (orbita je zdaj neprimeren izraz) ki nas poceni pripelje na ciljno točko če pa bi se od te cevi oddaljila pa bi jo odneslo nekam stran od cilja (in se slej ko prej ujela v orbito okoli masivnega telesa) ter bi jo lahko na pravo pot postavili le z veliko porabo goriva

16

Slabost uporabe ITN pa je čas Gibanje sonde po Omrežju zna biti zelo počasno in zna biti v najboljšem primeru nekajkrat daljše od Hohmannovega prenosa Tako da se za kakšne obljudene vesoljske ladje ne more uporabljati prav tako ne takrat ko bi radi na kakem planetu čimprej nekaj preverili oz odkrili Razen če spet ne nastopi cenahellip

Figure 10 Primerjava dveh metod za doseganje Lune Levo zgoraj je Hohmannov prenos ki je časovno najkrajši vendar energijsko potraten Novejše raziskave dajejo energijsko ugodnejše in

časovno ne preveč potratne tirnice [8]

ITS je še relativno mlada veja mehanike orbit zato se še ni razcvetela Do zdaj so to tehniko uporabili pri sondah ISEE-3 Hiten SMART-1 Genesis ISEE-3 so na pot poslali že leta 1978 in je raziskovala Sonce ter Zemljo Takrat kaotične zgradbe medplanetne ceste še niso čisto dobro razumeli in izstrelitev sonde po takšni trajektoriji je omogočala le delna in nepopolna računalniška analiza gravitacijske pokrajine med Zemljo in Soncem Če bi bil polet daljši bi se sonda zelo verjetno izgubila v vesolju Kasneje so Japonci z metodo ITS rešili svoj satelit Hiten ko mu je na napačni orbiti zmanjkalo goriva jim ga je uspelo na pravo usmeriti po nizkoenergijski tirnici IPS Leta 2001 so izstrelili še sondo Genesis namenjeno raziskovanju Sončevih nabitih delcev Ta satelit je bil namenoma izstreljen v kaotično orbito ki ga je dve leti nekajkrat vodila okrog Zemljine L1 točke nato obkrožila L2 in se z vzorci vrnila na Zemljo [10] Njena pot vključno z trenutkom vrnitve je bila že nekaj let pred izstrelitvijo natanko določena Misija bi bila čisti uspeh če bi le na koncu sonda odprla padalahellip Kljub temu je misija pokazala kako z uporabo sodobnih računalniških metod lahko natančno izračunamo zapletene trajektorije za poti po vesolju

17

Figure 11 Tir sonde Genesis [10]

7 Zaključek

Predstavljenih je bilo nekaj načinov doseganja drugih planetov z raziskovalnimi sondami V kolikor sta v preteklosti dominirala Hohmannov prenos in gravitacijska frača se danes vedno bolj uveljavlja tudi metoda ITS Za razliko od prejšnjih dveh za metodo ITS zadostujejo nizke hitrosti sonde vendar je ta metoda žal časovno zelo potratna Zato se je treba odločati med ekonomičnostjo metodo in potrebnim časom potovanja ko načrtujemo raziskovalni polet k drugim nebesnim telesom

8 Literatura [1] L N Hand amp J D Finch Analytical Mechanics Cambridge University Press 1998 [2] O Montenbruck amp E Gill Satellite Orbits Springer verlag 2000 [3] Wikipedia Bi-elliptic transfer (httpenwikipediaorgwikiBi-elliptic_transfer) [4] R C Johnson The Slingshot Effect 2003 (httpmathsduracuk~dma0rcjPslingslingpdf) [5] Wikipedia Cassini-Huygens (httpenwikipediaorgwikiCassini-Huygens) [6] Wikipedia Lagrangian points (httpenwikipediaorgwikiLagrangian_points) [7] J EMarsden amp S D Ross New Methods in Celestial Mechanics and Mission Design 2005 (httpwwwesmvtedu~sdrosspapersMaRo_amspdf) [8] W S Koon et al Dynamical Systems the Three-Body Problem and Space Mission Design 2006 (httpwwwcdscaltechedu~marsdenbooksMission_Designhtml) [9] SD Ross Cylindrical Manifolds and Tube Dynamics in the Restricted Three-Body Problem 2004 [10] W S Koon et al The Genesis Trajectory and Heteroclinic Connections 2000 (httpwwwggcaltechedu~mwlpublicationspapersgenesispdf)

18

Slabost uporabe ITN pa je čas Gibanje sonde po Omrežju zna biti zelo počasno in zna biti v najboljšem primeru nekajkrat daljše od Hohmannovega prenosa Tako da se za kakšne obljudene vesoljske ladje ne more uporabljati prav tako ne takrat ko bi radi na kakem planetu čimprej nekaj preverili oz odkrili Razen če spet ne nastopi cenahellip

Figure 10 Primerjava dveh metod za doseganje Lune Levo zgoraj je Hohmannov prenos ki je časovno najkrajši vendar energijsko potraten Novejše raziskave dajejo energijsko ugodnejše in

časovno ne preveč potratne tirnice [8]

ITS je še relativno mlada veja mehanike orbit zato se še ni razcvetela Do zdaj so to tehniko uporabili pri sondah ISEE-3 Hiten SMART-1 Genesis ISEE-3 so na pot poslali že leta 1978 in je raziskovala Sonce ter Zemljo Takrat kaotične zgradbe medplanetne ceste še niso čisto dobro razumeli in izstrelitev sonde po takšni trajektoriji je omogočala le delna in nepopolna računalniška analiza gravitacijske pokrajine med Zemljo in Soncem Če bi bil polet daljši bi se sonda zelo verjetno izgubila v vesolju Kasneje so Japonci z metodo ITS rešili svoj satelit Hiten ko mu je na napačni orbiti zmanjkalo goriva jim ga je uspelo na pravo usmeriti po nizkoenergijski tirnici IPS Leta 2001 so izstrelili še sondo Genesis namenjeno raziskovanju Sončevih nabitih delcev Ta satelit je bil namenoma izstreljen v kaotično orbito ki ga je dve leti nekajkrat vodila okrog Zemljine L1 točke nato obkrožila L2 in se z vzorci vrnila na Zemljo [10] Njena pot vključno z trenutkom vrnitve je bila že nekaj let pred izstrelitvijo natanko določena Misija bi bila čisti uspeh če bi le na koncu sonda odprla padalahellip Kljub temu je misija pokazala kako z uporabo sodobnih računalniških metod lahko natančno izračunamo zapletene trajektorije za poti po vesolju

17

Figure 11 Tir sonde Genesis [10]

7 Zaključek

Predstavljenih je bilo nekaj načinov doseganja drugih planetov z raziskovalnimi sondami V kolikor sta v preteklosti dominirala Hohmannov prenos in gravitacijska frača se danes vedno bolj uveljavlja tudi metoda ITS Za razliko od prejšnjih dveh za metodo ITS zadostujejo nizke hitrosti sonde vendar je ta metoda žal časovno zelo potratna Zato se je treba odločati med ekonomičnostjo metodo in potrebnim časom potovanja ko načrtujemo raziskovalni polet k drugim nebesnim telesom

8 Literatura [1] L N Hand amp J D Finch Analytical Mechanics Cambridge University Press 1998 [2] O Montenbruck amp E Gill Satellite Orbits Springer verlag 2000 [3] Wikipedia Bi-elliptic transfer (httpenwikipediaorgwikiBi-elliptic_transfer) [4] R C Johnson The Slingshot Effect 2003 (httpmathsduracuk~dma0rcjPslingslingpdf) [5] Wikipedia Cassini-Huygens (httpenwikipediaorgwikiCassini-Huygens) [6] Wikipedia Lagrangian points (httpenwikipediaorgwikiLagrangian_points) [7] J EMarsden amp S D Ross New Methods in Celestial Mechanics and Mission Design 2005 (httpwwwesmvtedu~sdrosspapersMaRo_amspdf) [8] W S Koon et al Dynamical Systems the Three-Body Problem and Space Mission Design 2006 (httpwwwcdscaltechedu~marsdenbooksMission_Designhtml) [9] SD Ross Cylindrical Manifolds and Tube Dynamics in the Restricted Three-Body Problem 2004 [10] W S Koon et al The Genesis Trajectory and Heteroclinic Connections 2000 (httpwwwggcaltechedu~mwlpublicationspapersgenesispdf)

18

Figure 11 Tir sonde Genesis [10]

7 Zaključek

Predstavljenih je bilo nekaj načinov doseganja drugih planetov z raziskovalnimi sondami V kolikor sta v preteklosti dominirala Hohmannov prenos in gravitacijska frača se danes vedno bolj uveljavlja tudi metoda ITS Za razliko od prejšnjih dveh za metodo ITS zadostujejo nizke hitrosti sonde vendar je ta metoda žal časovno zelo potratna Zato se je treba odločati med ekonomičnostjo metodo in potrebnim časom potovanja ko načrtujemo raziskovalni polet k drugim nebesnim telesom

8 Literatura [1] L N Hand amp J D Finch Analytical Mechanics Cambridge University Press 1998 [2] O Montenbruck amp E Gill Satellite Orbits Springer verlag 2000 [3] Wikipedia Bi-elliptic transfer (httpenwikipediaorgwikiBi-elliptic_transfer) [4] R C Johnson The Slingshot Effect 2003 (httpmathsduracuk~dma0rcjPslingslingpdf) [5] Wikipedia Cassini-Huygens (httpenwikipediaorgwikiCassini-Huygens) [6] Wikipedia Lagrangian points (httpenwikipediaorgwikiLagrangian_points) [7] J EMarsden amp S D Ross New Methods in Celestial Mechanics and Mission Design 2005 (httpwwwesmvtedu~sdrosspapersMaRo_amspdf) [8] W S Koon et al Dynamical Systems the Three-Body Problem and Space Mission Design 2006 (httpwwwcdscaltechedu~marsdenbooksMission_Designhtml) [9] SD Ross Cylindrical Manifolds and Tube Dynamics in the Restricted Three-Body Problem 2004 [10] W S Koon et al The Genesis Trajectory and Heteroclinic Connections 2000 (httpwwwggcaltechedu~mwlpublicationspapersgenesispdf)

18