Seminar Ia

Mionska spinska relaksacija

Avtor:Anja Pogačnik

Mentor:prof. dr. Denis Arčon

Študijsko leto: 2014/2015

Povzetek

Mionska spinska tehnika, µSR, se uporablja za določanje magnetne strukture in spinske dinamikev materialu. Konceptualno predstavlja enak eksperiment, kot je jedrska magnetna resonanca, saj opa-zujemo Larmorjevo precesijo mionskih magnetnih momentov v lokalnih magnetnih poljih. Pri µSR serazlične porazdelitve lokalnih polj odražajo v značilnem časovnem spreminjanju spinske polarizacijemiona v vzorcu. V seminarju se bomo seznanili z eksperimentalno postavitvijo, osnovnim delova-njem ter glavnimi prednostmi tehnike µSR. Opisali bomo značilnosti posameznih eksperimentalnihpostavitev µSR. Seznanili se bomo tudi s primerom uporabe µSR na feromagnetnem fulerenskemumaterialu (TDAE)C60.

Kazalo1 Uvod 1

2 Osnove magnetne resonance 1

3 Nastanek mionov 2

4 Izvori mionov 3

5 Eksperimentalna postavitev 4

6 Asimetrijski spekter 5

7 µSR relaksacijske funkcije 57.1 Transverzalna relaksacijska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77.2 Longitudinalna relaksacijska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

8 Primer uporabe µSR na molekularnem feromagnetu (TDAE)C60 8

9 Zaključek 11

1 UvodMionske spinske tehnike se uporabljajo v fiziki trdne snovi za določanje magnetne strukture in spinskedinamike materiala na lokalni skali in so združene pod imenom mionska spinska spektroskopija. KraticaµSR stoji za mionsko spinsko rotacijo, relaksacijo ali resonanco. Običajno se pri raziskavah uporabljapozitivno nabite mione µ+, ki se v snovi obnašajo kot občutljivi magnetometri. Začetno skoraj 100%polariziranim mionom, ki se ustavijo v preiskovanem vzorcu, se zaradi lokalnih magnetnih lastnosti mate-riala časovno spreminja polarizacija. Ker je mion nestabilen delec, bo hitro razpadel v pozitron, mionskinevtrino in elektronski antinevtrino. Trenutno smer mionskega spina pa potem razberemo preko kotneporazdelitve nastalega pozitrona e+ [1].

V primerjavi s sorodnimi tehnikami, kot je jedrska magnetna resonanca (NMR), je µSR tehnika zauporabnika precej enostavna in je primerna za raziskavo magnetnih materialov. Zaradi močnega dipolnegamomenta miona je s tehniko µSR mogoče detektirati prisotnosti zelo šibkih magnetnih polj in posledičnomajhnih magnetnih momentov. Brez težav lahko detektiramo tudi jedrske magnetne momente, ki so∼ 103 manjši od običajnih elektronskih momentov.

Slabost te tehnike je, da za izvor mionskega curka potrebujemo sinhrotron [2]. Zato se eksperimentiz mioni danes izvajajo le na štirih lokacijah: v Švici z mionskim izvorom SµS na Paul Scherrer institutu(PSI), v Kanadskem nacionalnemu laboratoriju TRIUMF, kjer se z raziskavami s protonskim izvoromukvarja Center for Molecular and Material Science (CMMS), v Veliki Britaniji na ISIS v RutherfordAppleton Laboratory (RAL) in na Japonskem na Japan Proton Accelerator Research Complex (J-PARC),ki je nedavno zamenjal starejši pospeševalnik High Energy Accelerator Research Organisation (KEK) [3].

2 Osnove magnetne resonanceJedrska magnetna resonanca (NMR) in mionska spinska spektroskopija (µSR) predstavljata dva različnanačina opravljanja konceptualno podobnega eksperimenta, zaradi česar je dobro vedeti, kaj so prednostiposamezne metode. Tehnika detekcije se razlikuje med posameznimi metodami in posledice različnihdetekcij so velike. Za začetek se spomnimo, kako deluje NMR.

Pozitivno nabita jedra s spinom S imajo magnetni moment

m = γ~S ,

kjer je γ giromagnetno razmerje odvisno od vrste jedra (za proton γ = 42.6 MHz/T) in ~ Planckovakonstanta. NMR tehnika za raziskovanje lastnosti vzorca z lokalnim magnetnim poljem Bloc uporablja

1

močno zunanje magnetno polje B. Ustvarjati moramo magnetno polje B reda velikosti T, medtem ko jeBloc veliko le nekaj ppm polja B. V B se v snovi vzpostavi začetna makroskopska magnetizacija

M0 = χH0 , (1)

kjer je χ magnetna susceptibilnost in H0 začetna jakost magnetnega polja. Ob upoštevanju navorov naposamezni magnetni moment v magnetnem polju B in definicije magnetizacije s seštevanjem po vsehjedrih dobimo osnovno gibalno enačbo za magnetizacijo

dMdt

= γM ×B . (2)

Z zunanjo motnjo (z radiofrekvenčnim sevanjem RF) izmaknemo magnetizacijo iz ravnovesne legeM0, takrat na M deluje navor N = M ×B. Enačba (2) nam pove, da bo magnetizacija pričela prece-sirati okrog smeri magnetnega polja B z Larmorjevo frekvenco ω = γB. Ko ugasnemo zunanjo motnjo(RF), se bo magnetizacija počasi vrnila v termodinamsko ravnovesje. Med procesom jedrski spini izme-njujejo energijo z okolico in longitudinalna komponenta magnetizacije se spremeni. Proces se imenujespinsko-mrežna relaksacija in je karakterizirana z relaksacijskim časom T1. Spini jeder precesirajo okrogzunanjega magnetnega polja B v fazi. S časom izgubljajo fazno povezavo in se relaksirajo proti tran-sverzalnemu termodinamskemu ravnovesju, kjer bosta transverzalni komponenti magnetizacije ničelni.Proces se imenuje spinsko-spinska relaksacija in je karakterizirana z relaksacijskim časom T2 [1].

Magnetne lastnosti opazovane snovi merimo posredno preko absorbiranega in izsevanega elektroma-gnetnega sevanja [4]. V tipičnem NMR poskusu opazovani vzorec postavimo v močno zunanje magnetnopolje B, ki preko Zeemanske interakcije razcepi jedrske spinske nivoje. Npr., energijski nivo jedra vo-dika 1H, ki ima zaradi enega samega protona spin 1/2, se bo v zunanjem zunanjem magnetnem poljuB = (0, 0, B0) razcepil na dve lastni stanji, ki ju označujeta spinski kvantni števili mS = ±1/2. Širinanastale energijske reže ∆E = ~ω = γ~B0 je odvisna od velikosti B; večje kot je B, večja bo energijskarazlika med njimi.

Pri NMR omejitev predstavlja majhna intenziteta signala, ki je odvisna od velikosti jedrske magne-tizacije v termodinamskem ravnovesju. Razmerje jeder, ki so zasedla stanje |−1/2〉 ali stanje |1/2〉, jepodano z Boltzmannovo statistiko

Nu

Nd= exp

(−∆E

kBT

), (3)

kjer Nu predstavlja populacijo jeder v stanju |1/2〉, Nd populacijo jeder v stanju |−1/2〉 in T temperaturovzorca. Za boljšo ilustracijo izračunajmo razmerje (3) na majhnem številu vodikovih jeder. Vzamimo2 000 128 vodikovih jeder v zelo močnem zunanjem magnetnem polju B = 18.8 T. V termodinamskemuravnovesju bo pri sobni temperaturi razmerje (3) znašalo le 0.999872. Če se v zgornjem stanju nahaja1 000 000 jeder, se bo v spodnjem stanju nahajalo 1 000 128 jeder. Z NMR smo sposobni detektirati lerazliko med populacijama v zgornjem in spodnjem stanju, torej bomo eksperiment delali na signalu, kiodraža izredno majhno razliko v populaciji. Signali NMR so posledično šibki, kar predstavlja največjoomejitev tehnike NMR [4].

Z NMR lahko opravimo meritev samo na jedrih, ki imajo od nič različni magnetni moment. Problemnastopi, ko preiskovani vzorci ne vsebujejo jeder z močnim NMR signalom (npr. protonov). NMReksperimenti zahtevajo uporabo močnih zunanjih polj B, µSR tehnika pa omogoča izvedbo eksperimentatudi brez zunanjega magnetnega polj [5].

3 Nastanek mionovMion je lepton s polovičnim spinom in močnim magnetnim dipolnim momentom mµ = 8.8906µn, kjer jeµn = 5.05 · 10−27JT−1 jedrski magneton [2]. Za opazovanje relaksacije, rotacije in resonance mionskihspinov v vzorcu mora biti curek mionov visoko polariziran in dovolj nizke energije, da se še ustaviv razumno debelem vzorcu. Zahtevi sta izpolnjeni pri pozitivno nabitih mionih µ+, ki nastajajo priobičajnem dvodelčnem razpadu pionov π+ v pozitivno nabit mion in mionski nevtrino

π+ → µ+ + νµ

z razpadnim časom τπ = 26 ns [5]. Izredna lastnost razpada π+ je maksimalna kršitev CP simetrije 1,kar povzroči skoraj idealno 100% spinsko polarizacijo curka µ+. Pion π+ je delec s spinom 0 (bozon)

1Sistem je invarianten na neko transformacijo, če je na njo simetričen. Taki transformaciji pravimo simetrija. Diskretnasimetrija parnosti P predstavlja transformacijo zrcaljenja prostora r → −r. Simetrija konjugacije naboja C pa predstavlja

2

in nastali mionski nevtrino νµ je levo sučen delec, kar pomeni, da je njegov spin antiparalelen gibalnikoličini νµ. Ohranitev spina in gibalne količine narekuje, da bodo nastali mioni µ+ s spinom Sµ, ki jeantiparalelen gibalni količini pµ (slika 1) [6]. Iz mirujočega piona π+ bo nastal mion z gibalno količino29.79 MeV/c in kinetično energijo 4.119 MeV [1].

Slika 1: Pri razpadu piona π+ nastane mion µ+ s spinom Sµ, ki je antiparalelen gibalni količini pµ [6].

Mion je delec z mirovno maso mµc2 = 105.7MeV in polcelim spinom Sµ = 1/2. V vzorcu postopoma

termalizira in implantira. Prednost implantacije in termalizacije mionov je, da se dogaja tako hitro, daje depolarizacija mionov zanemarljiva, saj ko se mioni ustavijo v materialu in tam zasedajo ustreznamesta v potencialnih minimumih, ohranijo prvotno spinsko polarizacijo. Ravno močna spinska polariza-cija da metodi µSR veliko prednost pred ostalimi tehnikami magnetne resonance. Medtem ko se moraNMR zanašati na termično ravnovesje spinske polarizacije, µSR raziskave potekajo pri skoraj popolnomapolariziranih mionih ne glede na razmere v opazovanemu mediju [1].

Tako kot pion je nestabilen delec tudi mion, ki preko šibke interakcije razpada v pozitron e+, mionskinevtrino νµ in elektronski antinevtrino νe razpadnim časom τµ = 2.2 µs

µ+ → e+ + νe + νµ .

Od teh treh delcev detektiramo le pozitron, ki ima po razpadu miona energijo med 0 do Emax = 52.3MeV.Porazdelitev energije pozitrona je sorazmerna z E ∼ 2 (3− 2ε) ε2, kjer je ε kinetična energija pozitronanormirana z njegovo maksimalno energijo Emax [2].

Slika 2: Kotna porazdelitev W (θ) pozitrona e+ (4) iz razpada pozitivno nabitega miona µ+. Oblikakrivulje, ki podaja smer izsevanega e+, je odvisna od kinetične enegije pozitrona. Pri maksimalni kinetičnienergiji Emax = 52.3 MeV je asimetrija največja. Krivulja ima obliko srčnice [6].

Precesijsko gibanje mionskega spina je detektirano preko pozitrona, ki se preferenčno izseva v smerimionskega spina. Pozitron zaradi kršitve simetrije CP ni izsevan natančno v smeri mionskega spina,ampak je kot θ med mionskim spinom in smerjo pozitronske emisije porazdeljen po

W (θ) = 1 + a(ε) cos θ , (4)

kjer je a je asimetrijski parameter, ki narašča monotono s pozitronsko energijo do maksimalne energijeEmax pri a = 1. Očitno je, da se pozitron najraje emitira vzdolž osi mionskega spina. Pozitroni z nižjoenergijo imajo manjše vrednosti parametra a, za najnižje energije pozitronov je parameter a celo nega-tiven, vendar teh je izredno malo in se jih običajno ne detektira. Integracija po energiji z upoštevanjemvseh pozitronov nam da povprečno vrednost parametra a = 1/3. Slika 2 prikazuje odvisnost W (θ) zarazlične vrednosti parametra a [2].

zamenjavo delca z njihovimi antidelci in obratno. Pri šibki interakciji je opazna kršitev kombinirane simetrije CP. Če torejzamenjamo delec z antidelcem in zrcalimo prostor v −r, stanje ne bo več ekvivalentno začetnemu stanju.

3

4 Izvori mionovIzvora mionov, v Švici na PSI in v Kanadi na TRIUMF, imata kvazi-zvezni izvor mionov. Izvora ISISv Veliki Britaniji in na Japonskem J-PARC pa imata pulzni mionski izvor. Časovna karakteristikamionskega signala neposredno vpliva na poskuse, ki se izvajajo na posameznih institutih [3].

Pulzni mionski izvori so dobro prilagojeni raziskavam šibkih magnetnih signalov. Znotraj enega pulzase tvori gruča mionov, s katerimi nato obstreljujemo vzorec. Ker zaradi časovne razmazanosti gruče,izgubljamo na časovni resoluciji, pulzni izvori mionov niso primerni za raziskovanje hitre relaksacije invelikih lokalnih polj na mestu miona (večjih od ∼ 50 mT) [3]. S pulzom mionov pa pridobimo na zelovelikem številu dogodkov, zato je signal ozadja tipično šibak glede na sam signal. Odlični rezultati izvirajoravno iz majhnega ozadja, ki je povezano s kontaminacijo mionskega curka z drugimi delci.

Pri zveznem načinu (npr. PSI) pa je curek mionov, s katerim obstreljujemo vzorec, zvezen. Ko mionpreleti prvi detektor, se sproži štoparica. Ker potem z drugim detektorjem merimo razpade mionov, do-bimo zelo natančno časovno odvisnost signala. Pri zveznem načinu detektiramo manjše število dogodkov(tipično 106 dogodkov), zato nam pri merjenju lahko nagaja signal ozadja.

Mionski curek se proizvaja s trkanjem protonov v tarčo iz materiala z majhnim vrstnim številomZ (slika 3), saj imajo ti materiali največji presek za reakcijo s protoni. Običajno se uporablja grafitneplošče. Materiali z majhnim Z so optimalni za produkcijo velikega števila pionov, hkrati pa je večkratnozaporedno sipanje protonskega curka majhno.

Slika 3: Mion proizvedemo s trkanjem protonov v grafitni tarči, kjer razpade v pion π+. Nastali pionje tudi nestabilen delec, ki med letom razpade v mion µ+. S pomočjo električnega in magnetnega poljamoramo pripeljati kar se da veliko mionov do opazovanega vzorca. V vzorcu mion razpade v pozitrone+, ki ga detektiramo z pozitronskimi detektorji [7].

Obstajata dva načina proizvodnje mionskega curka iz teh pionov. Prvi in najpomembnejši je uporabanizko energijskih pionov, ki so se ustavili v tarči, kjer kasneje tudi razpadejo v mione. Nastali mioni soseveda nizko energijski z energijo okoli 4.1 MeV, zato iz tarče uidejo le tisti, ki so dovolj blizu površjatarče, ali pa se nahajajo na samem površju tarče, kjer se tudi ustavijo. Tako nastalim mionom pravimopovršinski ali ’ARIZONA’ mioni in so, kot smo že opisali, skoraj 100 % spinsko polarizirani v vsehizsevanih smereh. Ker je gostota ustavljenih pionov v tarči zelo velika, je tudi nastali mionski curek izpovršinskih mionov visoke intenzitete. Ekvivalentna, vendar manjša slika, se dogaja na eksperimentalnipostaji na koncu linije mionskega curka.

Slabost površinskih mionov je, da se lahko proizvedejo le pozitivni mioni µ+, saj so v grafitni tarčinegativni pioni π− skoraj hipno ujeti z ogljikovimi jedri. Za produkcijo negativnih mionov µ− je potrebnouporabiti pione z dovolj veliko energijo, da lahko uidejo iz tarče. Nato jih usmerimo v močno longitu-dinalno magnetno polje, kjer med letom razpadajo v mione. Tako nastalim curkom mionom pravimorazpadni curek mionov in jih lahko lahko selekcioniramo glede na velikost gibalne količine, preden jihtransportiramo do eksperimentalne postaje. S tem postopkom nastajajo pozitivno nabiti mioni µ+, kottudi negativno nabiti mioni µ−. Cena takega načina proizvodnje mionov je skoraj 5-krat dražja od pre-prostih površinskih mionov, zaradi česar se ta način pridobivanja mionov uporablja le za negativno nabitemione µ−. Zbrati moramo mione z zahtevano gibalno količino in jih s pomočjo magnetov v mionskem

4

delu kanala ločiti od ostalih delcev ter jih privesti do eksperimentalne postaje. Shema eksperimenta µSRje prikazana na sliki 3 [3].

5 Eksperimentalna postavitevPo razpadu mionov, lahko pozitroni zaradi velike kinetične energije (Ekin ≈ 30MeV) pobegnejo iz vzorca.Z detektiranjem nekaj milijonov pozitronov preko ene ure lahko rekonstruiramo časovno odvisnost mi-onske polarizacije, ki odraža časovno in prostorsko porazdelitev magnetnega polja na mestu miona. Zeksperimentalno postavitvijo se kontrolira orientacijo detektorjev in smer zunanjega magnetnega polja.Uporablja se dve različni eksperimentalni postavitvi, transverzalno in longitudinalno postavitev.

(a) TF (b) LF

Slika 4: Transverzalna (a) in longitudinalna (b) eksperimentalna postavitev µSR [3].

Pri transverzalni postavitvi (TF) je zunanje magnetno polje Bx ali By pravokotno na začetno spinskopolarizacijo mionskega curka Sµ (slika 4a). Transverzalno postavitev povezujemo z mionsko spinskorotacijo, saj transverzalna postavitev zunanjega magnetnega polja na mionsko polarizacijo povzroči, damionski spin prične precesirati okrog zunanjega magnetnega polja.

Pri longitudinalni postavitvi (LF) je zunanje magnetno polje Bz paralelno začetni polarizaciji Sµ(slika 4b). Če začetna mionska polarizacija nima transverzalnih komponent na lokalno polje, potemse v običajnem sistemu tudi ne more razviti nobena komponenta transverzalne polarizacije. Potrebno jemeriti le polarizacijo vzdolž primarne osi. Pogosto se uporablja tudi eksperimentalna postavitev µSR brezzunanjega magnetnega polja (ZF), s splošnim imenom mionska spinska relaksacija, ki jo razumemokot poseben primer longitudinalne postavitve [2].

6 Asimetrijski spekterV časovno odvisnih meritvah se štoparica sproži takrat, ko mion doseže opazovani vzorec, in se ustavi,ko je nastali pozitron detektiran. Meritev nam vrne histogram detektiranih pozitronov v odvisnosti odčasa, ki ga mioni preživijo v vzorcu. Zaradi anizotropije mionskega razpada lahko v vzorcu detektiramole povprečen mionski življenski čas. Fizikalno je zanimivo odstopanje od povprečja, kar meri količinaa0Pα(t), ki se jo pogosto imenuje kar asimetrija, saj količinsko meri anizotropijo mionskega razpada.Parameter a0 predstavlja začetni asimetrijski parameter in je povezan s samo postavitvijo eksperimenta,običajno je a0 ∼ 0.25. Pα(t) je normalizirana polarizacijska funkcija (|Pα(t)| ≤ 1), indeks α pa označujesmer v kateri je polarizacija merjena (x, y ali z) [2].

Polarizacijska funkcija Pα(t) je bistvena fizikalna količina, ki se jo meri pri µSR eksperimentov. Po-larizacija miona se s časom spreminja zaradi lokalnega magnetnega polja Bloc, ki se spreminja zaradidepolarizacije mionskih spinov. Če začetni spin miona Sµ določa smer z koordinate, bo pri LF zanimivole merjenje polarizacije vzdolž z osi Pz(t). Pri TF pa se merita Px(t) in Py(t).

Štetje pozitronov je v osnovnem primeru modelirano z razpadnim zakonom

N(t) = N0 exp

(− t

τµ

)[1 + a0Pα(t)] , (5)

5

kjer je τµ = 2.2 µs razpadni čas mirujočega miona in N0 začetno število mionov, ki nam skalira detektiranepozitrone.

7 µSR relaksacijske funkcijePolarizacijska funkcija meri lastnosti lokalnega magnetnega polja Bloc. Označimo smer prvotne mionskepolarizacije s koordinato z ter s θ kot med polarizacijsko funkcijo in Bloc (slika 5). Če mionski spiniprecesirajo okrog lokalnega magnetnega polja Bloc, potem lahko zapišemo polarizacijski funkciji P ′x(t)in P ′z v koordinatnem sistemu (x′, z′), kjer je os z′ vzporedna lokalnemu magnetnemu polju Bloc, kotP ′x(t) = P0 cos (ωµt) sin θ in P ′z = P0 cos θ. Polarizacijo detektiramo le v z smeri, zato moramo zapisanipolarizaciji P ′x(t) in P ′z transformirati v (x, z) koordinatni sistem s transformacijo P ′x sin θ + P ′z cos θ.Dobimo polarizacijsko funkcijo

Pz(t) = cos2 θ + sin2 θ cos (ωµt) , (6)

kjer je ωµ frekvenca precesije mionaωµ = γµBloc

in kjer je γµ giromagnetno razmerje miona (γµ = 851.61MHz−1T−1). To razmerje je povezano z mionskimmagnetnim momentom mµ preko zveze

mµ = γµ~Sµz velikostjo mionskega spina Sµ = 1/2.

Bloc

Sµ

z’

z θ 0

Slika 5: Precesija mionskega spina Sµ okrog smeri lokalnega magnetnega polja Bloc.

Pozitivno nabiti mioni v vzorcu izgubljajo kinetično energijo z ioniziranjem elektronov v zunanjihlupinah blizu trajektorije mionov, dokler se ne ustavijo v praznem prostoru med atomi. Ustavljanje mionane vključuje magnetne interakcije in se zgodi v kratkem času, tipično v manj kot 1 ns. Mionski spini vkristalni rešetki prično časovni razvoj s skoraj 100 % začetno polarizacijo. Povprečna mionska spinskapolarizacija ob času t, po implantaciji mionov v vzorec, je definirana kot mionska spinska relaksacijskafunkcija G(t). Tipično časovno okno za opazovanje G(t) v µSR je med t ∼ 10 ns in t ∼ 10 µs. Mionskospinsko relaksacijsko funkcijo G(t) dobimo s povprečenjem polarizacijske funkcije P (t) preko verjetnostneporazdelitve polja D(Bloc). Obravnavali bomo le primere, kjer je smer lokalnega polja Bloc naključna inizotropna [1].

Preprost primer relaksacijskih funkcij je relaksacijska funkcija magnetnega materiala, ki se ne na-haja v zunanjemu magnetnemu polju. Lokalno polje Bloc na mestu miona izvira iz kristalne strukturemagnetne snovi in običajno ni ničelno, če se nahajamo pod prehodom v magnetno fazo materiala. Čevzorec nima preferenčnih smeri (prašek), dobimo s prostorskim povprečevanjem polarizacijske funkcije(6) relaksacijsko funkcijo

Gz(t) =1

3+

2

3cos (ωµt+ φ) , (7)

kjer je φ faza, je prikazana na sliki 6a. Oscilacijski člen v (7) odraža urejenost magnetnega materiala. Vneurejenemu magnetnemu materialu je korelacijska dolžina majhna in lokalno polje Bloc ni nujno povsodv vzorcu enako. V spinskem steklu je korelacijska dolžina velika nekaj medatomskih dolžin. Oscilacije so vneurejenemu magnetnemu materialu močno dušene in lahko celo izginejo [3]. Če mionski spini precesirajoprehitro glede na časovno resolucijo detektorja, oscilacij ne bomo zaznali in mionska spinska polarizacija sebo izpovprečila v 0. Pri prehodu med fazami pričakujemo, da bo začetni efektivni asimetrijski parametera0 v paramagnetnem stanju, padel na a0/3 v urejeni fazi [2].

6

Običajno mioni v curku ne čutijo istega lokalnega magnetnega polja Bloc. Porazdelitev lokalnegamagnetnega polja na mestu miona opišemo z verjetnostno porazdelitvijo polja D(Bloc). Časovni razvojmionskega magnetnega momenta pod vplivom lokalnega polja se dobi z reševanjem Larmorjeve enačbev klasični mehaniki (ali Heisenbergove enačbe v kvantni mehaniki). Definiramo projekcijo Sµ,α(t,Bloc)vzdolž α osi enotskega vektorja paralelnega mionskemu momentu. Relaksacijsko funkcijo potem preprostozapišemo v integralni obliki

Gα(t) =

∫Sµ,α(t,Bloc)D(Bloc)dBloc . (8)

Če je porazdelitev polja D(Bloc) Delta funkcija, je relaksacijska funkcija kar polarizacijska funkcija (6)[3].

Izvor porazdelitve lokalnega polja je odvisen od fizikalnega ozadja vzorca. V magnetnih materialihlokalno magnetno polje na mestu miona izvira tako iz dipolne interakcije med jedrskimi in elektronskimimagnetnimi momenti, kot tudi iz interakcije med okoliškimi spini na mestu miona. Privzemimo, da jeporazdelitev polja statična, izotropna in Gaussovska s težiščem pri 0. Porazdelitev polja D(Bloc) =D(Bxloc, B

yloc, B

zloc) za primer zunanjega magnetnega polja v smeri z osi Bz zapišemo kot

D(Bloc) =

(γµ√2π∆

)3

exp

[− (γµB

xloc)

2

2∆2

]exp

[−

(γµByloc)

2

2∆2

]exp

[−γ2µ (Bz −Bzloc)

2

2∆2

]. (9)

Razmerje ∆2/γ2µ predstavlja varianco porazdelitve. ∆ se eksperimentalno določi iz grafa relaksacijskefunkcije G(t) in opisuje interakcije med mionskimi spini in spini vzorca ter karakteristike slednjih. Do-minantna je dipolna interakcija med močnim magnetnim dipolnim momentom miona mµ in magnetnimimomenti vzorca m, saj je dipolna interakcija oblike

H =µ0

4π

[mµ ·mr3

− (mµ · r) (m · r)

r5

].

Dipolna interakcija je pri tehniki NMR zanemarljiva zaradi majhnih magnetnih dipolnih momentov jederv vzorcu.

Raziskali bomo relaksacijske funkcije v obeh tipih eksperimentalne postavitve µSR in razložili pomenmagnetnega polja na mestu miona.

7.1 Transverzalna relaksacijska funkcijaKonec 80-ih je bila večina eksperimentov opravljenih s transverzalno geometrijo µSR, saj je TF spektermanj občutljiv na kvaliteto mionskega curka. Pri tem mislimo predvsem na kontaminacijo curka z drugimidelci, o čemer smo že govorili [3].

V transverzalnemu zunanjemu magnetnemu poljuBx (aliBy), ki ga apliciramo vzdolž x osi, bo mionskispin precesiral okrog smeri, podane z vektorsko vsoto zunanjega polja Bx in lokalnega magnetnega poljaBloc. Če je Bx veliko večje od ∆/γµ (Bx ∆/γµ), relaksacijska funkcija tipa le porazdeljenost polja vsmeri zunanjega magnetnega polja Bx, torej v smeri x. TF relaksacijska funkcija, dobljena s prostorskimpovprečenjem polarizacijske funkcije (6) preko Gaussove porazdelitve notranjega polja (9), ima preprostoobliko

Gx(t) = exp

(−∆2t2

2

)cos (ωµt+ φ) . (10)

Če pa je argument Gaussove porazdelitve (9) t∆ majhen, je envelopa Gx(t) dobro aproksimirana sparabolo oblike

(1−∆2t2/2

)[3]. Slika 6b prikazuje TF relaksacijsko funkcijo v zunanjem magnetnem

polju velikosti Bx = 0.05 µT.Običajno porazdelitev polja ni stacionarna. Uporabna aproksimacija upošteva dinamiko z magnetno

korelacijsko frekvenco ν (velikosti 10−8 − 10−7 Hz). Dinamična FT relaksacijska funkcija

Gx(t) = exp

−∆2

ν2[exp(−νt)− 1 + νt]

cos (ωµt+ φ) (11)

je znana kot Abragamova funkcija [1]. V hitri fluktuacijski limiti νt 1 je envelopa eksponentne oblike

Gx(t) = exp

(−∆2t

ν

)cos (ωµt+ φ)

[3].

7

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Gz

t [µs]

(a) relaksacijska funkcija praška

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Gx

t [µs]

(b) FT relaksacijska funkcija

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Gz

t [µs]

(c) ZF relaksacijska funkcija

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Gz

t [µs]

ν = 0.1 µ-1

s-1

ν = 1 µ-1

s-1

ν = 3 µ-1

s-1

ν = 5 µ-1

s-1

ν = 10 µ-1

s-1

(d) dinamična ZF relaksacijska funkcija

Slika 6: Relaksacijska funkcijaGz(t) praškastega vzorca (7) (a), FT relaksacijska funkcija (10) v zunanjemmagnetnem polju velikosti Bx = 0.05 µT (b), ZF relaksacijska funkcija (Kubo-Toyabe funkcija) (12) (c)in dinamična ZF relaksacijska funkcija (13) za različne vrednosti frekvence ν (d). Slike so narisane z∆ = 2.5 µ−1s−1 in pravo vrednostjo giromagnetnega razmerja miona γµ.

7.2 Longitudinalna relaksacijska funkcijaLongitudinalna geometrija µSR je popularna pri raziskavah magnetnih materialov, saj je dobro prilago-jena za karakterizacijo faznih prehodov. Prednost pred ostali tipi µSR ima seveda ZF, saj za izvedbo nepotrebujemo zunanjega magnetnega polja.

ZF relaksacijsko funkcijo dobimo s prostorskim povprečenjem polarizacijske funkcije (6) preko Gaus-sove porazdelitve notranjega polja (9)

Gz(t) =1

3+

2

3

(1−∆2t2

)exp

(−∆2t2

2

), (12)

ki je znana pod imenom Kubo-Toyabe relaksacijska funkcija in je bila prvič zapisana leta 1966 [1].Prikazana je na sliki 6c. Funkcija ima minimum pri t =

√3/∆. V limiti t→∞, je relaksacijska funkcija

kar enaka konstantnemu asimetrijskemu faktorju 1/3, saj bo na začetku 1/3 vseh mionov kazala v smerilokalnega magnetnega polja. Za majhne t∆ je relaksacijska funkcija dobro aproksimirana s paraboličnoobliko 1 − ∆2t2. V primerjavi s TF, je začetna relaksacija večja v ZF za faktor 2. Oblika Gz(t) je šeposebno občutljiva na majhna zunanja longitudinalna polja v kvazi-statični limiti [2].

Dinamična ZF relaksacijska funkcija

Gz(t) = exp

−2∆2

ν2[exp(−νt)− 1 + νt]

(13)

ima obliko envelope dinamične TF relaksacijske funkcije (11) z razliko ∆2 → 2∆2. Faktor 2 je posledicale ene relavantne smeri pri določanju relaksacijske funkcije v ZF eksperimentalni postavitvi. Na sliki 6dje prikazana v odvisnosti od parametra ν.

8

Relaksacijski funkciji Gx(t) in Gz(t) sta občutljivi na zelo počasno dinamiko, kar običajno ni dosegljivoz drugimi eksperimentalnimi tehnikami. Enačba (12) je striktno veljavna le za izotropno porazdelitevpolja na mestu miona. Različni tipi anizotropije zahtevajo drugačne relaksacijske funkcije, ki so tudipredmet raziskav materialov [1].

8 Primer uporabe µSR na molekularnem feromagnetu (TDAE)C60

Z dopiranjem fulerena C60 z elektronskimi donorji alkalne kovine A, dobimo kovinsko strukturo A30C60,ki postane superprevodna tudi pri visokih kritičnih temperaturah (tudi pri temperaturi 33K). Če fulerenC60 dopiramo z močnimi organskimi donorji C2N4(CH3)8 oz. TDAE, dobimo material z zanimivimilastnostmi. Kemijski strukturi molekule TDAE in fulerenske molekule C60 sta prikazani na sliki 7 [8].Zaradi prenosa naboja med donorsko molekulo TDAE in akceptorsko molekulo C60, dobimo kristal, kjer jena vsakemu C60 ionu lokaliziran elektronski spin S = 1/2. Zaradi prekrivanja elektronskih molekularnihorbital C60, se prično med seboj čutiti z izmenjalno interakcijo.

Slika 7: Fulerensko molekulo C60 dopiramo z organskim donorjem TDAE, da dobimo material(TDAE)C60 [8], [9].

Pod kritično temperaturo ∼ 16.1 K ima material povečano magnetno susceptibilnost, kar je konsi-stentno s prehodom v feromagnetno fazo. Kljub vsemu pa se je zdelo, da je izmerjena magnetizacijabistveno manjša, kot bi jo dobili, če bi se uredili vsi spini na C60 molekulah. V literaturi se je tako poja-vilo vrsta razlag, ki so segala od itinerantnega feromagnetizma do šibkih feromagnetov ter tudi spinskihstekel. Opazili so tudi, da je feromagnetno stanje občutljivo na tlačno obremenitev, pri katerih se takomagnetni momenti kot kritična temperatura hitro zmanjšujejo. Izmerjena majhna prevodnost pri sobnitemperaturi ∼ 10−4 Ω−1cm−1 razkriva nekovinsko temperaturno odvisnost materiala [8].

Z uporabo eksperimentalnih tehnik, kot sta elektronska spinska resonanca (ESR) in nuklearna magne-tna resonanca (NMR), pravi vzrok za nizko temperaturno magnetno fazo ni bil odkrit. Lokalna polja sošibkejša od uporabljenih močnih zunanjih magnetnih polj, zato so z naštetimi eksperimenti dobili nekolikopopačeno sliko o magnetizmu v (TDAE)C60. Uporaba spinsko polariziranih pozitivnih µ+ v ZF tehniki,je to težavo odpravila.

Eksperiment z ZF in LF je bil opravljen na Paul Scherrer Institute (PSI) s spektrometrom splošneuporabe. Uporabljali so nizko energijske površinske mione µ+ žarka πM3 na PSI 600 MeV protonskempospeševalniku. Raziskave so opravili na 120 mg vzorcu (TDAE)C60, ki so ga preko periode 2 ur počasiohlajali iz sobne temperature vse do temperature 3.2K. Meritev je bila opravljena tako z ohlajanjem, kottudi s segrevanjem vzorca. Meritev so opravili tudi s TF pri 300 K in transverzalnim magnetnim poljemvelikosti 5 G, ter z magnetnim poljem 20 G.

V kristalni mreži ujeti mioni prično pod vplivom lokalnega magnetnega polja Bloc precesirati. Prece-sijski signal lahko v principu odraža ali feromagnetno, antiferomagnetno, lahko pa tudi povsem neurejeno(spinsko steklo) magnetno strukturo. Poleg tega nam aplikacija zunanjega magnetnega polja, paralel-nega na začetno mionsko spinsko polarizacijo (LF), omogoča depolarizacijo mionskega spina iz statičnegalokalnega polja Bloc (TDAE)C60.

V (TDAE)C60 so opazili oscilirajoči signal, ki je močno dušen zaradi porazdelitve lokalnih polj. Tadokazuje obstoj magnetne urejenosti dolgega dosega pod temperaturo ∼ 16.1K. Vzrok močne relaksacijese skriva v prostorski neurejenosti in ostalih nehomogenih efektih.

Pri meritvi polja s TF pri sobni temperaturi v signalu diamagnetnih mionov µ+ zaznamo signal

9

(a) (b)

Slika 8: (a) Časovna odvisnost polarizacije mionov Pµ za različne temperature (TDAE)C60. (b) Tempe-raturna odvisnost mionske precesije νµ in magnetizacije M [8], [9].

paramagnetnega mionija (Mu = µ+e−) 2 velikosti 5 kG. Signal se ujema s ∼ 10% formacijo radikalovMuC60 v volumnu vzorca, kar se ujema s deležem prostih C60 v (TDAE)C60. V vzorcu poleg MuC60 nisozaznali nobenih drugih formacij z Mu.

Slika 8a prikazuje ZF časovno odvisen µ+ spekter (TDAE)C60 za različne temperature med 3.2 in 16.8K. Oscilacije signala so bile zaznane pri temperaturi 16.8K. Polarizacijski spekter pri višjih temperaturahustreza šibko statičnimi jedrskimi dipolnimi momenti, zaradi česar je stopnja depolarizacije majhna σ =0.151 µs−1 [8]. Ta mionska relaksacija izvira iz vodikovih jedrskih momentov zamrznjenih v neurejenospinsko konfiguracijo. Posledično obstaja temperaturno neodvisna porazdelitev lokalnega polja s širino〈∆Bloc〉1/2 velikosti 1.77 G, zaradi česar se mioni µ+ nahajajo od najbližjega vodikovega atoma H narazdalji ∼ 2 Å. Zaznali so tudi manjši temperaturno neodvisni relaksacijski signal (∼ 10% volumna), ki jeposledica prostih C60. Ta prekriva dodatne relaksacije mionske polarizacije, ki lahko izvirajo iz fluktuacijelektronskih momentov, in onemogoča pridobivanje informacij o upočasnjevanju elektronskih spinov vparamagnetnem območju pri ohlajanju materiala pod 16.8 K.

Pod temperaturo 16.8 K obstaja majhno območje signala, kjer depolarizacija postopoma narašča spadanjem temperature. S fitanjem različnih modelov relaksacijskih funkcij so poskušali odkriti pravimikroskopski mehanizem, ki je odgovoren za depolarizacijo mionskega spina v (TDAE)C60. Karakteri-stike so podobne dinamični Kubo-Toyabe funkciji (13), primerni za Gaussovo porazdelitev fluktuacijskihnaključnih polj z širino ∆ in padajočo frekvenco ν z manjšanjem temperature. Opis z (13) se ne ujemaz LF meritvami pri 3.2 K in 35 K [8].

Eksperimentalnimi podatki poskusimo prilagoditi močno dušeno oscilatorno polarizacijsko funkcijo,ki jo nadgradimo s počasnim relaksacijskim členom

Pµ(t) = A1e−λ1t cos (2πνµt+ φ) +A2e−λ2t , (14)

kjer sta A1 in A2 amplitudi posameznih prispevkov, νµ Larmorjeva frekvenca precesije, φ njena faza ter λ1in λ2 eksponentni relaksacijski stopnji prispevkov. Fizikalna razlaga enačbe (14) je, da bo v popolnomanaključnemu lokalnemu polju, 1/3 začetnih mionskih spinov kazalo v smeri lokalnega polja in ti posledičnone bodo precesirali. Parameter λ2 zato predstavlja parameter relaksacije zaradi fluktuacijskega poljapravokotnega na µ spin. Nasprotno pa parameter λ1 opisuje relaksacijo dinamičnega, kot tudi statičnegapolja nehomogenosti.

Opazovanje Larmorjeve frekvence νµ v ZF opisuje začetek magnetnega urejanja, kjer je spontanamagnetizacija sorazmerna frekvenci νµ. Pri najnižji merjeni temperautri 3.2 K precesijska frekvencaνµ = 0.92 MHz ustreza statičnemu lokalnemu magnetnemu polju na mestu miona velikosti 〈Bµ〉 = 68 G.Izmerjena vrednost relaksacijskega parametra λ1 je 4.1 µs−1, kar pomeni, da ima porazdelitev lokalnegamagnetnega polja širino 〈∆Bloc〉1/2 = 48 G. Ker je 〈∆Bloc〉1/2 za faktor 1.4 manjša od 〈Bµ〉, se mioniµ+ ustavijo na razdalji ∼ 4.3 Å od fulerenske molekule C60.

2Mion lahko v vzorcu tvori vodikovemu atomu podobno vezano stanje z elektronom, imenovano mionij Mu = µ+e−.To so stabilna stanja v dovolj neaktivnem mediju in so detektirana v raznih plinih in tekočinah, vendar nikoli niso bilidetektirani v kovinah, saj je formacija v njih malo verjetna. Mionij lahko tudi reagira s primernimi kemijskimi elementi intvori različne kemijske spojine (npr. MuCl), diamagnetne in paramagnetne snovi [5].

10

Neobičajna oblika magnetizma v (TDAE)C60 je prikazana na sliki 8b, ki prikazuje temperaturnoodvisnost spontane precesijske frekvence νµ od temperature T , ki so jo dobili s fitanjem eksperimental-nih podatkov z (14). Spreminjanje νµ(T ) je na celem območju merjene temperature dobro opisano zBlochovim T3/2 zakonom [10]

νµ(T ) = ν0

(1−AT 3/2

)(15)

z ν(0) = 1.01MHz in A = 1.55 · 10−2 K−3/2. Iz (15) sledi začetek urejene magnetne faze pri TC = 16.3K.Slika 8b vključuje tudi podatke magnetizacijeM (pri 100 G) s (14), ki podrobno oponašajo temperaturnoodvisnost νµ(T ). To lahko razumemo, da je za feromagnet efektivno magnetno polje na mestu miona vodsotnosti zunanjega magnetnega polja sestavljeno iz dipolarnih prispevkov, hiperfinega polja Bhyp inLorentzovega polja, BL = (4/3)πMs, kjer je Ms nasičenost magnetizacije.

9 ZaključekMionska spinska tehnika je izredno cenjena pri določanju magnetne strukture materialov, saj za razliko odostalih sorodnih tehnik, ni omejena s termodinamskim ravnovesjem sistema. Ta izredna lastnost omogočadoločanje hiperfinega magnetnega polja v materialih, kjer preostale tehnike odpovedo. Uporaba µSR niomejena s strukturo opazovanega materiala in je tako primerna tudi za raziskovanje organskih materialovin materialov, ki imajo v svoji strukturi jedra z ničelnim magnetnim momentom. Tudi razumevanjemetode µSR je dokaj preprosto.

Literatura[1] S. L. Lee, R. Cywinski, S. H. Kilcoyne, Muon Science: Muon in Physics, Chemistry and Materials.

Taylor & Francis Group, 1999.

[2] A. Yaouanc, P. D. de Reotier, Muon Spin Rotation, Relaxation, and Resonance: Application toCondensed Matter. Oxford Science Publications, 2011.

[3] P. D de Reotier et al., J. Phys.: Condens. Matter. 9 9113 (1997).

[4] https://www.biophysics.org/Portals/1/PDFs/Education/james.pdf

[5] S. F. J. Cox et al., J. Phys. C: Solid State Phys. 20, 3187 (1987).

[6] http://jick.net/theses/Poon/node6.html

[7] http://inac.cea.fr/Pisp/pierre.dalmas-de-reotier/introduction_muSR.pdf

[8] A. Lappas et al., Science 267, 1799 (1995).

[9] http://www.jameshedberg.com/img/samples/c60-buckyball-atoms-red.jpg

[10] N. W. Ashcroft, N. D. Mermin, Solid State Physics. Harcourt College Publishers, 1976.

11