fizikai szemlefizikai szemlefizikai szemlefizikai szemle

2007/8

0

5

25

75

95

100

0

5

25

75

95

100

0

5

25

75

95

100

0

5

25

75

95

100

0708cim

2007. október 13. 16:55:32

Az Eötvös Loránd Fizikai Társulathavonta megjelenô folyóirata.

Támogatók: A Magyar TudományosAkadémia Fizikai Tudományok Osztálya,

az Oktatási Minisztérium,a Magyar Biofizikai Társaság,a Magyar Nukleáris Társaság

és a Magyar Fizikushallgatók Egyesülete

Fôszerkesztô:

Németh Judit

Szerkesztôbizottság:

Beke Dezsô, Bencze Gyula,Czitrovszky Aladár, Faigel Gyula,Gyulai József, Horváth Dezsô,

Iglói Ferenc, Kiss Ádám, Lendvai János,Ormos Pál, Papp Katalin, Simon Péter,

Sükösd Csaba, Szabados László,Szabó Gábor, Tóth Kálmán,

Trócsányi Zoltán, Turiné Frank Zsuzsa,Ujvári Sándor

Szerkesztô:

Tóth Kálmán

Mûszaki szerkesztô:

Kármán Tamás

A folyóirat e-mailcíme:

szerkesztok@fizikaiszemle.huA lapba szánt írásokat erre a címre kérjük.

A folyóirat honlapja:

http://www.fizikaiszemle.hu

A címlapon:

Az 1994 júliusában a Shoemaker-Levyüstökös belecsapódott a Jupiterbe (két

fekete folt a kép bal oldalán).Az emberi történelem során ez az elsô

megfigyelt ilyen kozmikuskatasztrófa. Ehhez hasonló eseménykövetkeztében kerülhettek a Marsrólkilökött kôzetdarabok a Földre.

TARTALOM

Trócsányi Zoltán: A Standard Modell Higgs-bozonjanyomában az LHC-nál 253

Bérczi Szaniszló: A Mars kôzetei a marsi meteoritok alapján 260Kocsy Gábor: Az egyszerû radioaktív bomlás statisztikája 264Gündischné Gajzágó Mária: Mit tanított Bolyai Farkas a gravitációról? 266

ATOMOKTÓL A CSILLAGOKIGJuhász András: Mindennapok fizikája 273

A FIZIKA TANÍTÁSASzondy György: Nyugalmi vs. relativisztikus tömeg 275

KÖNYVESPOLC 279

HÍREK – ESEMÉNYEK 281

MINDENTUDÁS AZ ISKOLÁBANHallhatatlan hangok (Mester András ) 288

Z. Trócsányi: The search for the Higgs boson of the Standard Model(Work in progress at the LHC)

Sz. Bérczi: Minerals from MarsG. Kocsy: The statistics of simple radioactive decayM. Gündisch-Gajzágó: What F. Bolyai taught about gravitation

FROM ATOMS TO STARSA. Juhász: Everyday physics

TEACHING PHYSICSG. Szondy: Classical vs. relativistic mass

BOOKS, EVENTS

SCIENCE IN BITS FOR THE SCHOOLInaudible sound (A. Mester )

Z. Trócsányi: Die Suche nach dem Higgs-Boson des Standard-Modells(Arbeiten am LHC)

Sz. Bérczi: Gesteine vom MarsG. Kocsy: Die Statistik des einfachen radioaktiven ZerfallsM. Gündisch-Gajzágó: Was hat F. Bolyai über Gravitation gelehrt?

VON DEN ATOMEN BIS ZU DEN STERNENA. Juhász: Physik des Alltags

PHYSIKUNTERRICHTG. Szondy: Ruhemasse und relativistische Masse

BÜCHER, EREIGNISSE

WISSENSWERTES FÜR DIE SCHULEUnhörbare Töne (A. Mester )

Z. Troöani:

Á. Berci:

G. Koöi:

M. Gúndis-Gajzago:

A. Úgaá:

G. Áondi:

A. Mester

Poiáki bozona Higgáa átandartnoj modeli (Rabota v )

Mineralx ot planetx Mará

Átatiátika proátogo radioaktivnogo raápada

Öemu obuöal F. Boüj po gravitacii

Budniönaü fizika

Maááa pokoü i maááa po teorii otnoáitelynoáti

Neálxsnxe zvuki ( )

LHC

OT ATOMOV DO ZVEZD

OBUÖENIE FIZIKE

KNIGI, PROIÁHODÍWIE ÁOBXTIÍ

NAUÖNXE OBZORX DLÍ SKOL

Szerkesztőség: 1027 Budapest, II. Fő utca 68. Eötvös Loránd Fizikai Társulat. Telefon/ fax: (1) 201-8682A Társulat Internet honlapja http://www.elft.hu, e-postacíme: mail.elft@mtesz.hu

Kiadja az Eötvös Loránd Fizikai Társulat, felelős: Németh Judit főszerkesztő.Kéziratokat nem őrzünk meg és nem küldünk vissza. A szerzőknek tiszteletpéldányt küldünk.

Nyomdai előkészítés: Kármán Tamás, nyomdai munkálatok: OOK-PRESS Kft., felelős vezető: Szathmáry Attila ügyvezető igazgató.Terjeszti az Eötvös Loránd Fizikai Társulat, előfizethető a Társulatnál vagy postautalványon a 10200830-32310274-00000000 számú egyszámlán.

Megjelenik havonta, egyes szám ára: 750.- Ft + postaköltség.

HU ISSN 0015–3257

Fiz ikai SzemleMAGYAR FIZIKAI FOLYÓIRAT

A Mathematikai és Természettudományi Értesítõt az Akadémia 1882-ben indítottaA Mathematikai és Physikai Lapokat Eötvös Loránd 1891-ben alapította

LVII. évfolyam 8. szám 2007. augusztus

A STANDARD MODELL HIGGS-BOZONJANYOMÁBAN AZ LHC-NÁL

Elhangzott 2007. augusztus 24-én az ELFT Fizikus Vándorgyûlésén.

Trócsányi ZoltánDebreceni Egyetem és

MTA Atommagkutató Intézete, Debrecen

Négy alapvetô kölcsönhatást ismerünk: a tömegvon-zást, az elektromágneses, a gyenge és az erôs köl-csönhatásokat. Az elemi részecskék általunk eddigvizsgált világában az utóbbi háromnak van lényegesszerepe. Ezek egységes elméleti keretbe foglalhatók:az elemi részek Standard Modellje a részecskék mind-három kölcsönhatását leírja. A Standard Modell olyankvantumtérelméletekre alapul, amelyben a fizikaiterek bizonyos szabadsági fokainak értéke a geomet-riai tér különbözô pontjaiban egymástól függetlenül,szabadon választható meg. Az ilyen elméleteket mér-tékelméleteknek nevezzük, a választási szabadságbólfakadó szimmetriát mértékszimmetriának. A mérték-szimmetrikus elméletek legegyszerûbb példája akvantum-elektrodinamika (QED), amelyben az elekt-rontér, azaz egy komplex spinortér fázisa választhatószabadon, annak értékétôl fizikailag mérhetô mennyi-ségek nem függnek. A szabad fázisválasztás leírható atérnek egy U(1) csoportelemmel (egydimenziós unitérmátrix, azaz egy komplex fázis) való szorzásaként.

A Standard Modell kiinduló szimmetriája a

csoportelemek szerinti transzformációkkal szembeni

G = SU (3)c × SU (2)L × U (1)Y

szimmetria. Az SU (3)c mértékszimmetria következmé-nye a kvarkok közötti erôs kölcsönhatás. A szimmet-ria a kvarkok három, az egyszerûbb szóhasználat ked-véért színnek (colour) nevezett, c szabadsági fokánaka szabadon választhatóságát jelenti. Az

szimmetria egyesíti az elektromágneses és gyenge

SU (2)L × U (1)Y

kölcsönhatásokat az elektrogyenge elméletbe. Az L

szabadsági fok két értéket vehet fel, ezért a fermionokspinjének mintájára gyenge izospinnek nevezik. Az Larra utal, hogy csak a balkezes (left) fermionok, ame-lyeknél a lendületvektor és a spin ellentétes irányúak,rendelkeznek gyenge izospinnel. A jobbkezesek azSU (2) transzformáció esetén nem változnak. Az U (1)Yszimmetria a fermionok szabad fázisválasztását jelen-ti. Az elektromágneses U (1)EM szimmetriától csakannyiban különbözik, hogy a szimmetria következ-ményeként nem az elektromos töltés, hanem az Ygyenge hipertöltés marad meg (a Standard Modellbena gyenge izospin harmadik komponense sajátértéké-nek és a hipertöltésnek az összege az elektromos töl-tés Q = T 3 +Y ).

A modellben három fermioncsalád van, mindegyik-ben 15 fermionnal – három leptonnal és 12 kvarkkal.Az elsô családban találjuk az SU (2) dublettet alkotóbalkezes elektront és a neutrínóját, a jobbkezes elekt-ront,1 valamint bal- és jobbkezes u és d kvarkokat, az

1 Egyes szerzôk a családok 16. tagjaként a jobbkezes neutrínókatis beszámítják. Minthogy a Standard Modellben azok egyik részecs-kével sem hatnak kölcsön, ezért kísérleti kimutatásuk részecskeüt-közésekben nem lehetséges.

utóbbiakat egyenként három szín szabadsági fokkal.A másik két család az elsônek pontos mása, csak arészecskék tömege nagyobb. A bennük található fer-mionokat és azok SU (N ) ábrázolásának dimenzióit éskvantumszámait az 1. táblázat tartalmazza.

Az elmélet kialakulásához vezetô úton az elsô lé-pést Fermi tette meg, aki az 1930-as években a gyen-ge kölcsönhatás négy-fermion modelljét tisztán feno-menologikus úton megalkotta az akkor kialakulóQED mintájára. A továbblépéshez már elméleti meg-fontolások vezettek. Kiderült, hogy a Fermi-elmélet-ben nem lehet következetesen számítani a magasabb-rendû perturbatív járulékokat (sugárzási korrekció-

TRÓCSÁNYI ZOLTÁN: A STANDARD MODELL HIGGS-BOZONJA NYOMÁBAN AZ LHC-NÁL 253

kat), továbbá nagyenergiájú elektron–neutrínó 1. táblázatFermionok szín (SU(3)c$) és gyenge izospin ábrázolásánakdimenziói, valamint gyenge hipertöltés kvantumszáma

a Standard Modellben. Az utolsó oszlop mutatjaa részecskék elektromos töltését elemi töltés egységekben.

1. család 2. család 3. család SU (3)c SU (2)L U (1)Y Q

uL

dL

cL

sL

tL

bL3 2 1/6

2/3

1/3

uR cR tR 3 1 2/3 2/3

dR sR bR 3 1 1/3 1/3

ν(e)LeL

ν(µ)Lµ L

ν(τ )Lτ L

1 2 1/20

1

eR µR τ R 1 1 1 1

ν(e)R ν(µ)R ν

(τ )R 1 1 0 0

1. ábra. Az e+e− → W +W − folyamat legalacsonyabb rendû Feynman-gráfjai.

W –

e– e–

e–e–

W –

W –

W –

W +

e+ e+

e+e+

W +

W +

W +

Zg

n

a) b)

c) d)

2. ábra. Az e+e− → W +W − folyamat LEP-kísérletek által mért hatáske-resztmetszetének elméleti számítással való összehasonlítása. Folyto-nos vonal: teljes elektrogyenge számítás. Szaggatott vonalak: számí-tás (Z, γ)WW kölcsönhatások (legfelsô vonal), illetve ZWW kölcsön-hatás (középsô vonal) nélkül.

ZWW vertex nélkülcsak cserévelne

160 180(GeV)s1/2

200

30

20

10

0

sW

W(p

b)

LEP

szórásban sérül az unitaritás (az ütközô részecs-kék energiájának növelésével a folyamat való-színûsége egynél nagyobbá válik). Az elméletiproblémák megoldása a mértékszimmetria, mintalapelv segítségével vált lehetôvé.

A G mértékcsoportra alapuló Standard Modellszép, gazdaságos és a mérési adatok nagypon-tosságú leírását szolgáltatja. Az elektron–pozit-ron ütközésekben mérhetô mennyiségeknek aStandard Modellel számolt, valamint a NagyElektron–Pozitron gyorsítónál (LEP) mért értékeiközötti egyezés rendkívül meggyôzô, ami aStandard Modell fizikai helyességét sugallja.

A LEP-gyorsítón közvetlenül lehetett ellen-ôrizni az elektrogyenge mértékszimmetriát aze+e− → W +W − folyamat végállapotában találhatólongitudinálisan polarizált mértékbozonok ke-letkezési hatáskeresztmetszetének tanulmányo-zásával. A J = 1 parciális hullámban a perturbá-ciószámítás vezetô rendjében az 1.a–c ábrákFeynman-gráfjai által mutatott folyamatok járul-nak hozzá a szórási amplitúdóhoz.

A gráfok alapján számolt, sugárzási korrekciókkaljavított hatáskeresztmetszetnek a LEP-nél mért érté-kekkel való összehasonlítását mutatja a 2. ábra.Ugyanott megtaláljuk a ZWW -kölcsönhatás elhagyá-sával kapott számítás, valamint a gyenge mértékbozo-nok közötti összes kölcsönhatás elhagyásával kapottszámítás eredményét. A mérési eredmények világosana teljes elektrogyenge modellel kapott számítást tá-masztják alá.

A J = 0 parciális hullám esetén azonban az 1.a–cábrák gráfjaiból számolt W -párkeltési valószínûségnövekvô tömegközépponti energia esetén növekszik,és egynél nagyobbá is válhat, amit úgy mondunk,hogy sérül az unitaritás. Ezt a képtelenséget feloldhat-

juk, ha feltesszük egy H skalár részecske létezését,amely mind a leptonokkal, mind a mértékbozonokkalkölcsönhat. Az 1.d ábrán mutatott folyamat járulékamegszünteti az unitaritás sérülését. De vajon létezik-ea H részecske a természetben?

A Standard Modell szimmetriája közvetlenül nemtapasztalható a valóságban. Tömeggel rendelkezôrészecskéket leíró elmélet ugyanis nem lehetSU (2)L×U (1)Y szimmetrikus, a tapasztalat szerintazonban az összes fermion, továbbá a mértékterek ele-mi gerjesztései közül három tömeggel rendelkezik. Avalóságban csak az erôs kölcsönhatást közvetítô glu-ontér elemi gerjesztései és a foton nem rendelkezneknyugalmi tömeggel, azaz csak SU (3)c×U (1)EM szimmet-riát észlelünk. A mai részecskefizika legfontosabb vá-laszra váró kérdése, hogy hogyan marad rejtve az elekt-rogyenge szimmetria, mi az SU (3)c×SU (2)L ×U (1)Y →

254 FIZIKAI SZEMLE 2007 / 8

SU (3)c×U (1)EM szimmetriasérülés oka, amit úgy is szok-

3. ábra. A skalártér potenciálja. A pontozott kör mutatja a mini-mumhelyeket.

V (| |,| |)f f+ 0

| |f+

| |f0

v/ 2_

Ö

tak fogalmazni, „Honnan nyerik az elemi részecskéktömegüket?”2

2 A bennünket felépítô anyag tömegét nagyrészt az atommagok-ban található protonok és neutronok egyesített tömege adja, ame-lyek pedig tömegük jelentôs részét az azokat felépítô kvarkok ésgluonok kötésének köszönhetik.

A modell szép megoldást kínál erre a kérdésre is. Aszupravezetés Ginzburg–Landau-elméletének relati-visztikus általánosításával néhányan egymástól füg-getlenül javasolták azt a modellt, amely végül Higgs-mechanizmusként rögzült a részecskefizikában. Amodell lényege, hogy a természeti törvények szim-metriája nem jelenti azt, hogy a szimmetriát a megfi-gyelhetô jelenségeknek is tükrözni kell. Például aLagrange-függvény szintjén meglévô szimmetriát arendszer alapállapota (részecskefizika esetén ez avákuum) sérti. Ez a jelenség a spontán szimmetriasér-tés. Az elektrogyenge elméletben ezt úgy valósítjukmeg, hogy bevezetünk egy SU (2)-dublett, komplexskalárteret,

(1,2,1/2) szín-, gyenge izospin- és hipertöltés kvan-

(1)φ ≡

φφ 0 -t,

tumszámokkal. A Q = T 3 +Y összefüggés alapján askalártér felsô komponense +1 elemi töltéssel rendel-kezik, míg az alsó komponens semleges. A skalártér

(µ, λ valósak, λ > 0) potenciáljának végtelen sok mi-

(2)V (φ † φ ) = µ2 (φ † φ ) λ (φ † φ )2

nimuma van a 3. ábrán mutatott helyeken. Alapálla-potban a rendszer ezek közül véletlenszerûen egyetkiválaszt, amely a mértékszimmetria felhasználásávalmegszorítás nélkül

választható. A vákuum invariáns a G generátorhoz

(3)φ 0 =1

2

0v -nek

(Pauli-mátrixok, illetve a 2× 2-es egységmátrix) tarto-zó U = exp(iαG) ∈ G transzformációval szemben, haUφ 0 = φ 0, ahonnan Gφ 0 = 0 következik. Gyors számí-tás mutatja, hogy ez egyik csoportgenerátorral semteljesül, de az elektromos töltésre igen, tehát a vá-kuum az eredeti SU (3)c×SU (2)L×U (1)Y szimmetriátSU (3)c×U (1)EM szimmetriára sérti.

G

G

G

Természetesen a skalárteret tartalmazó elméletnekis G -invariánsnak kell lennie, amelynek következmé-nyeként a kölcsönhatást közvetítô mértékbozonok afermionokon kívül a skalártérrel is kölcsönhatnak. Aszimmetriasérülés eredményeként a skalártér alapálla-potával, a vákuummal való kölcsönhatás a gyengemértékbozonoknak a v vákuum várhatóértékkel ará-nyos tömeget ad. A φ 0 alapállapot körül

parametrizálva a teret, a modell tartalmaz egy nulla

(4)φ (x ) =1

2

0v H (x ) -ként

spinû semleges skalárteret, a H (x ) Higgs-teret, amely-nek elemi gerjesztése, a Higgs-bozon, kölcsönhat agyenge kölcsönhatást közvetítô mértékbozonokkal. Akölcsönhatás erôssége arányos a mértékbozonok tö-megének négyzetével. A Higgs-mechanizmus szépsé-ge, hogy a mértékszimmetria fenntartásával a fermio-noknak is lehet tömegtagokat generálni. A fermionokszintén kölcsönhatnak a Higgs-bozonnal, a kölcsön-hatás erôssége a fermionok tömegével arányos.

A Standard Modell fenomenológiai sikere azt su-gallja, hogy az elektrogyenge szimmetriasértés egy aFermi-skálán mûködô újfajta alapvetô kölcsönhatás-nak köszönhetô. Egyelôre azonban fogalmunk sincsarról, miféle erô ez. A Nagy Hadronütköztetô (LHC)építésének elsôdleges célja az új erô felderítése.

A leggazdaságosabb lehetôség, hogy az elektrogyen-ge szimmetriasértésért egy komplex skalártér felelôs.Láttuk, hogy ekkor az elmélet megjósolja egy semlegesskalártér elemi gerjesztésének, a Higgs-bozonnak a lé-tét, azonban nem tud becslést adni a Higgs-bozon tö-megére, valamint a fermionokkal való csatolásánakerôsségére. A részecskefizika elôtt álló legfontosabbfeladat tehát választ keresni a következô kérdésekre:

• Létezik-e valóban a Higgs-bozon? Ha igen, hányfajtában?

• Melyek a kvantumszámai?• Valóban egyszerre ad tömeget a Higgs-tér a vek-

torbozonoknak és a fermionoknak?• Hogyan hat a Higgs-tér önmagával kölcsön?Ezek a kérdések már érett középkorba léptek, ezért

részletes eljárásokat dolgoztak ki, hogy az LHC-nálválaszt kapjunk rájuk. Az írás további részében csakaz elsôvel foglalkozunk: áttekintjük, hogyan lehet aHiggs-bozont nagyenergiájú elemirész-ütközésekbenészlelni. A Higgs-részecske keresése ahhoz hasonlít-ható, mintha olyan tût keresnénk a szénakazalban,amelynek az alakjáról is csak feltevéseink vannak.

Az új részecske felfedezéséhez elôször a részecskételô kell állítani, ami Einstein E = mc2 egyenlete alap-ján lehetséges. Ha egy részecske tömegének megfele-

TRÓCSÁNYI ZOLTÁN: A STANDARD MODELL HIGGS-BOZONJA NYOMÁBAN AZ LHC-NÁL 255

lô energiánál nagyobb energiát kis térrészre koncent-

4. ábra. A LEP-kísérletek egyesített eredménye. A szaggatott vonalmutatja a kísérleti adatok várt jel+háttér hipotézis konfidenciaszint-jét a Higgs-tömeg függvényében Higgs-bozonra utaló eseményeknélkül (csak háttér). Néhány Higgs-gyanús esemény észlelése miatta jel+háttér hipotézis konfidenciaszintje (folytonos vonal) nagyobba jel nélkül várt becslésnél. A folytonos és a vízszintes vonal met-széspontja jelöli ki a 95%-os konfidenciaszintû alsó határt a Higgs-bozon tömegére.

100 102 104 106 108 110(GeV/ )m cH

2112 114 116 118 120

1

10

10

10

10

10

10

–1

–2

–3

–4

–5

–6

észlelt

várakozáscsak háttéresetén

CL S

LEP

115,3114,4

5. ábra. Hadrongyorsítón való Higgs-keletkezés legvalószínûbbcsatornái.

g q1 q3

H 0W Z/

H 0t

t-

t

g q2 q4

g t-

tg

tH 0W

W

H 0

q

q-

a)

c)

b)

d)

6. ábra. A proton–(anti)proton ütközésben való Higgs-keletkezéslegvalószínûbb csatornáihoz tartozó keltési hatáskeresztmetszetek.

gg H®

qq WH- ®qq ZH- ®

qq qqH®

pp ttH-®

1

10

10

10

–1

–2

–3

s ®

Ö

( + ) (pb)-

= 1,96 TeV–

MRST/NLO= 178 GeV

pp H X

s

mt

100 130 160 200MH (GeV)

gg H®

qq WH- ®

qq ZH- ®

qq Hqq®

pp ttH-®

10

10

1

10

2

–1

s ®

Ö

( + ) (pb)-

= 14 TeV–

MRST/NLO= 178 GeV

pp H X

s

mt

100 1000MH (GeV)

rálunk, akkor a részecske keletkezhet a rendelkezésreálló energiából. A nagy energiakoncentráció tároló-gyûrûs részecskeütköztetôkben történik. A LEP-gyor-

sítóban elektron–pozitron ütközéseket hoztak létre91–209 GeV tömegközépponti energián. A jelenleg ismûködô Tevatronban 2 TeV energián proton–antipro-ton ütközéseket hoznak létre. A 2008 májusában bein-duló LHC 14 TeV energián mûködô, proton–protonütközéseket létrehozó hadrongyorsító lesz. Említet-tük, hogy a Higgs-bozonnak a fermionokkal való köl-csönhatása a fermionok tömegével arányos. Az elekt-ron tömege nagyon kicsi, ezért az e+e− → H folyamatvalószínûsége is nagyon kicsi. A LEP-gyorsítón aHiggs-bozon elôállításának legvalószínûbb módja anagyenergiájú Z bozonról való kisugárzás, a e+e− → Z ✶→ ZH → 4 fermion folyamat. A LEP-kísérletek nem ta-láltak Higgs-részecskét, ezért annak létezését majd-nem a kinematikai határig, pontosan 114,4 GeV/c2-igkizárták (4. ábra ).

A hadrongyorsítókon az elemi ütközések könnyûkvarkok (u és d ) valamint gluonok között történnek.A Higgs keletkezésének legvalószínûbb módja az 5.aábrán mutatott gluon–gluon fúzió kvarkhurokba, és aHiggs a nehéz kvarkról sugárzik. További három lé-nyeges keltési mód az 5.b ábrán látható gyenge mér-tékbozon-fúziós (WBF) keltés, az 5.c ábra kvark–an-tikvark szétsugárzása gyors, Higgs-részecskét sugárzógyenge mértékbozonba, valamint a 5.d ábrán muta-tott együttes keltés.t tH

A 6. ábra mutatja a Tevatron- és LHC-energiákonszámolt keltési hatáskeresztmetszeteket a Higgs-tömeg függvényében. Az LHC-n a 100 GeV-es ener-giatartományba esô részecskék keltésében a gluonüt-közések fognak lényeges szerepet játszani, így aHiggs-keltés fô folyamata a gluonfúzió.

A Higgs-bozon a Standard Modell többi részecské-jénél nehezebb (a LEP kizárási határ szerint csak a topkvark lehet nehezebb nála) ezért a keletkezett Higgsrögtön el is bomlik elsôsorban nehéz részecskék pár-jaiba. A Higgs tömegétôl függ, hogy melyek a lénye-ges bomlási csatornák, hiszen nemcsak a csatoláserôssége, hanem a kinematikai küszöb is lényegesenbefolyásolja részecskepár keletkezésének valószínû-ségét. A 7. ábra mutatja a Higgs-bozon elágazási ará-nyait (a parciális bomlási szélesség aránya a teljesbomlási szélességhez, Γi / Γtot) tömegének függvényé-

256 FIZIKAI SZEMLE 2007 / 8

ben. Látjuk, hogy a kis tömegek tartományától elte-

7. ábra. A Higgs-bozon elágazási arányai tömegének függvényében.

W W+ –

ZZ

tt-

gg

ggZg

mm

ss-

bb-

t t+ –

cc-

1

10

10

10

10

10

–1

–2

–3

–4

–5

100 200 300 400 500MH (GeV)

BR

8. ábra. A proton–(anti)proton ütközésekben megjelenô végállapo-tok hatáskeresztmetszete.

10

10

10

10

10

10

10

10

10

1

10

10

10

10

10

10

10

9

8

7

6

5

4

3

2

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

0,1 1 10

Ös (TeV)_

s(n

b)

Tevatron LHC

stot

sb

s Ödzsetdzset( > /20)

_E sT

s Ödzsetdzset( > /4)

_E sT

sdzsetdzset( > 100 GeV)ET

sWsZ

st

sHiggs( = 150 GeV)MH

sHiggs(MH = 500 GeV)

kintve – ahol a párba való bomlás a legvalószí-bbnûbb –, a gyenge vektorbozonok uralják a Higgs-bomlás végállapotát. Vegyük észre, hogy kis valószí-nûséggel ugyan, de nulla tömegû részecskék is lehet-nek a végállapotban: gg, Z γ, valamint γγ, aminek atovábbiakban lényeges szerepe lesz. A fontos követ-keztetés az, hogy a Higgs-részecske a tömegétôl füg-gôen más-más részecskékbe szeret elbomlani. Ebbôlkövetkezik, hogy a felfedezéshez vezetô keresési csa-tornák is függenek a Higgs-tömegtôl.

A Higgs-bozon nehéz a többi részecskéhez képest,ezért az ütközési kísérletekben viszonylag ritkán kelet-kezik. Más végállapotok valószínûsége sokkal nagyobb.A 8. ábrán a proton–(anti)proton ütközésekben megje-lenô végállapotok hatáskeresztmetszetét látjuk a tömeg-középponti energia függvényében. Alacsonyabb ener-giákon (Tevatron), magasabb energiákon pp (LHC)ppütközések hatáskeresztmetszetei láthatók (a 4 TeV-néllátható szakadás mutatja a váltást). Azt látjuk, hogy aHiggs-bozon keletkezésének valószínûsége nagyságren-dekkel kisebb más Standard Modell-beli folyamatok va-lószínûségénél. A Higgs bomlástermékei ugyanazok arészecskék, amelyek ezekben a más folyamatokban iskeletkeznek, ezért a Higgs-keletkezésre utaló jelet min-dig nagy háttér felett kell megtalálni.

A Higgs-keresés esetén a jel (S ) és háttér (B ) viszo-nya kétféle lehet: (i) a Higgs-bomlás eredményekéntkeletkezô részecskepár invariáns tömegeloszlásábana Higgs-keletkezéshez tartozó rezonancia egy simaháttéren ül, (ii) a Higgs-keletkezés jele és a háttéralakja hasonló. Az elsô esetben a keresés tisztán kí-sérleti úton sikeres lehet. A háttér jól meghatározhatóa rezonancia két oldalán található eloszlásból, annaklevonásával a rezonanciacsúcs egyértelmûvé válik. Asiker feltétele, hogy a jel szignifikanciája, ami nagy-jából az S B−1/2 viszony, elegendôen nagy legyen. Azötnél nagyobb érték a biztos felfedezés (99,999%-osbiztonságú) elfogadott szintje.

Tekintsük elôször a kis Higgs-tömegek tartomá-nyát! Legkézenfekvôbbnek tûnhet a jel leggyakoribbvégállapotát (H → ) választani keresési csatorna-bb

ként, azonban ez esetben a jel elvész a hatalmas hát-térben. Minthogy hadronütköztetôn a hadronikusvégállapotok óriási túlsúlyban vannak, ezért az általá-nos ökölszabály szerint olyan végállapotokra érdemesfigyelni, amelyekben legalább egy nagy energiájúlepton van a végállapotban. Ilyen esetekben a háttérlényegesen kisebb, vagy megfelelô vágásokkal kiseb-bé tehetô. Az egyes keresési csatornák részletes vizs-gálata azt mutatja, hogy 30 fb−1 integrált luminozitás3

3 A luminozitás és a hatáskeresztmetszet szorzata közvetlenül azeseményszámot adja.

esetén a következô csatornák egyesített eredményei aStandard Modell-beli Higgs-bozonnak a CMS detekto-ron való biztos felfedezéséhez vezet az mH = 100–600GeV/c2 tömegtartományban:

Érdekes módon a kis Higgs-tömeg tartományban

1. gg →H →γ γ2. gg →H →ZZ →4

3. gg →H →W W →2 2ν

(mH ≤ 130 GeV/c2; a LEP-adatok szerint a legvalószí-nûbb eset) az elsô a legígéretesebb folyamat. Bár azelágazási arány kicsi, mintegy 2 ezrelék, az LHC-n agg → H keltési csatorna hatáskeresztmetszete elegen-dôen nagy ahhoz, hogy bôséges számban találjunkjelet γγ végállapottal. Kérdés azonban, hogy milyen aháttér. Szerencsére az összes lehetséges háttér a γγ

TRÓCSÁNYI ZOLTÁN: A STANDARD MODELL HIGGS-BOZONJA NYOMÁBAN AZ LHC-NÁL 257

pár invariáns tömegével fordított arányban csökken,

9. ábra. a) A gg → H → γγ folyamat invariáns tömegeloszlásának szimulációja az LHCCMS detektorán. b) Az jelhez tartozó tömegeloszlás az oldalsávokból becsült háttérlevonása után.

8000

7000

6000

5000

4000

– – – –

–

–

–

–

–

110 120 130 140mgg (GeV)

esem

ény

/50

0M

eV(1

00fb

)–1

a)

– – – –

–

–

–

–

600

400

200

0

110 120 130 140mgg (GeV)

esem

ény

/50

0M

eV(1

00fb

)–1

b)

10. ábra. A gg → H folyamat hatáskeresztmetszete vezetô rendben(LO), továbbá az elsô (NLO), illetve a második (NNLO) sugárzásikorrekciók figyelembevételével LHC-energián.

100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300MH (GeV)

LONLONNLO

100

10

1

s®

(+

)(p

b)

pp

HX

Ös = 14 TeV_

11. ábra. Eseményszámok a felfedezéshez szükséges integrált lumi-nozitás esetén az LHC CMS detektorán. a) mH = 150 GeV/c

2, pp → H→ ZZ ✶ → e+e−µ+µ− folyamat. b) mH = 200 GeV/c2, pp → H → ZZ →e+e−µ+µ− folyamat.

–

–

–

–

–

–

–

– – – – – –

0 50 100 150 200 250

4 lepton invariáns tömege (GeV)

12

10

8

6

4

2

0

esem

énys

zám

Higgs

ZZ

tt

Zbb

�Lee

= 9,2 fb–1

mm

Higgs

ZZ

tt

Zbb

–

–

–

–

–

–

–

– – – – – – – – –

0 50 100 150 200 300 400250 350

4 lepton invariáns tömege (GeV)

24

20

16

12

8

4

0

esem

énys

zám

�Lee

= 5,8 fb–1

mm

a)

b)

ezért a jel–háttér viszony elsô esete áll fenn. A 9.aábra mutatja a sima háttéren a Higgs-rezonanciát, azábra b) része pedig a rezonanciát az oldalakra illesz-tett háttér levonása után.

A Higgs-bozon nem csatolódik közvetlenül a foto-nokhoz, hanem W - és t -kvark hurokhoz, amelyekrôla két foton kisugárzódik (lásd az 5.a ábrá t jobbrólbalra olvasva, a gluonokat fotonra cserélve, a hurok-ban W -vel vagy t -vel). A kétfajta hurok járuléka egy-mást nagyrészt kioltja. Két közel azonos szám kis kü-lönbségében felerôsödve jelenik meg valamelyik vál-tozása. Ezért ha az új fizika akár a csatolásokat változ-tatja kis mértékben, akár új hurokjárulékként jelenikmeg, jelentôsen befolyásolhatja a γ(H→ γγ) parciálisbomlási szélességet, amely így igen érzékeny az Stan-dard Modellbe nem illeszthetô fizikára. A helyzetettovább bonyolítja, hogy a fô Higgs-keltési folyamat, agluon–gluon fúzió hatáskeresztmetszete jelentôsen nôa sugárzási korrekciók figyelembevételével (10. áb-ra ). Ha tehát a két-foton invariáns tömegének spekt-rumában sikerül is részecskerezonanciát találni, mégtovábbi hosszas tanulmányokat igényel (ebben és atöbbi csatornában) annak eldöntése, hogy milyenrészecskét is sikerült felfedezni.

Az LHC-n a 180 GeV/c2-nél nagyobbtömegû Higgs keresése viszonylagkönnyû a pp → H → ZZ → 4 folyamat-ban. Ebben a csatornában a Higgs-kel-tési hatáskeresztmetszet nagy, néhány-szor tíz pikobarn (10. ábra ), a Higgs-elágazási arány is jelentôs (20–30%, 7.aábra ), és a Z bozon töltött leptonokbavaló bomlásának valószínûsége mint-egy 10% (LEP-adat). Ezek az értékekönmagukban már 1 fb−1 integrált lumi-nozitás esetén elegendô eseményszá-mot biztosítanának, azonban figyelem-be kell vennünk a lehetséges hátteretis. Szerencsére hátteret lényegébencsak a jól értett pp → ZZ → 4 folyama-tok jelentenek. Kisebb Higgs-tömeg ese-

tén ugyanebben a csatornában csak az egyik Z bozonvalódi, a másik virtuális. A részletes tanulmányok sze-rint a 130 GeV/c2 ≤ mH ≤ 160 GeV/c2 ablakban ez acsatorna szintén biztos felfedezéshez vezet. A 11.ábra tanúsága szerint négy töltött lepton invariánstömegének eloszlásában a Higgs-rezonancia a háttér-bôl jól kiemelkedik már viszonylag kevés integráltluminozitás esetén is. A 160 GeV/c2 ≤ mH ≤ 180GeV/c2 ablakban a pp → H → W +W − → 2 2ν csatorna

258 FIZIKAI SZEMLE 2007 / 8

siet segítségünkre. A CMS tanulmánya szerint (12.

12. ábra. A Standard Modellbeli Higgs-bozon felfedezéséhez szük-séges integrált luminozitás a gluonfúziós csatornákban az LHC CMSdetektorán.

–

–

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

10

1

– – – – – –

100 200 400300 500 600

m cH (GeV/ )2

H

H

H ZZ

H WW

cuts

opt

4

® gg

® gg

® ®

® ® 2 2n

�

�

lum

ino

zitá

s(f

b)

–1

13. ábra. A jelzô dzsetek pszeudorapiditás-eloszlása a) és a pszeu-dorapiditáskülönbség-eloszlása b) WBF Higgs-keltéses események-ben. A szaggatott vonal jelzi a QCD-háttér (tt

_keletkezés) pszeudo-

rapiditás-eloszlását.

Higgs jelháttértt

m cH = 160 GeN/2

h

tets

zõle

ges

egys

ég

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

0–4 –2 0 2 4

a)

Higgs jelháttértt

m cH = 160 GeN/2

0 42 6 8 10

0,08

0,06

0,04

0

Dh

tets

zõle

ges

egys

ég

b)

14. ábra. A Standard Modell stabilitástartománya (mH értékével ki-fejezve) a modell érvényessége felsô energiakorlátjának függvé-nyében.

MH

(GeV

)

L (GeV)101810151012109106103

800

600

400

200

0 – – – – – –

–

–

–

–

–

m

M

t

s Z

= 175 GeV

( ) = 0,118a

nem megengedett

nem megengedett

megengedett

ábra ) mH ≈ 165 GeV/c2 tömeg esetén már 1 fb−1 in-

tegrált luminozitás elegendô a felfedezéshez!A 12. ábrá ról kitûnik, hogy a gluonfúzióban kelet-

kezô Higgs-bozon az LHC rövid mûködése során isnagy biztonsággal észrevehetô a végállapoti részecs-kék invariáns tömegeloszlásában. Mégis lényeges ésérdekes más csatornák felderítése is. Az egyes csator-nákban kapott eredmények összehasonlításával el-lenôrizhetjük eredményeinket. Továbbá a felfedezéscsak az elsô lépés. Fontos és sokkal nehezebb feladata felfedezett részecske tulajdonságainak meghatáro-zása, amihez minél több adatra van szükség. Tanul-ságos például felderíteni az 5.b ábrán mutatott WBFHiggs-keletkezés kimutatásának lehetôségét is. Bár akeltési ráta mintegy tizede a gluon–gluon fúzióbanvaló keletkezésnek, a végállapot különleges kine-matikai szerkezete lehetôvé teszi a háttér elnyomá-sát. A végállapotban megjelenô kvarkok elôre-hátraszóródnak és a detektor véglezáróiban hadronzápor-ként jelennek meg (ezeket hívják jelzô dzseteknek ).

A Higgs-részecske bomlástermékei ellenben fôként adetektor oldalai (hordó) irányába távoznak. Az azo-nos végállapotú, de Higgs nélküli háttéreseményekhadronikus aktivitása sokkal inkább a hordó feléirányul, ezért a dzsetek pszeudorapiditása [η =−ln tan(θ/2), θ a dzset lendületvektora és a nyaláb-tengely által bezárt szög] szerinti vágással a háttér el-nyomható (13. ábra ).

Összefoglalásként azt mondhatjuk, hogy a Stan-dard Modell Higgs-bozonja biztonsággal felfedezhetôaz LHC-nál, ha tömege nagyobb a LEP kizárási határ-nál, de kisebb 600–700 GeV/c2-nél. Az olvasóban jog-gal merül fel a kérdés, mi van, ha mH ≥ 700 GeV/c2.Itt nem részletezendô elméleti megfontolásokbólkiderül, hogy a Standard Modell csak akkor ellent-mondásmentes elmélet valamely λ energiáig, ha aHiggs-bozon tömege λ-tól függô jól meghatározotttartományba esik (14. ábra ). Ha tehát az LHC detek-torai nem mutatnak a Standard Modell Higgs-bozon-jára utaló jelet, akkor mindenképpen új fizikát kelltalálni az LHC-nál. Véleményem szerint valószínûbb,hogy a kísérletek találnak majd valamit, ami a Higgs-rezonanciára hasonlít. Hogy megtudjuk, mit is sike-rült valójában felfedezni, meg kell mérni a rezonan-

TRÓCSÁNYI ZOLTÁN: A STANDARD MODELL HIGGS-BOZONJA NYOMÁBAN AZ LHC-NÁL 259

cia elektromos és színtöltését [mindkettô semleges],

1. ábra. Bowen tapasztalati diagramja a magmás kristályosodásról(felül) és a kimért kvarc–forszterit–anortit diagram (alul).

sötét kõzetalkotókdiszkontinuális sora

világos kõzetalkotókdiszkontinuális sora

olivin

rombos piroxén

monoklin piroxén

amfibol

biotit

plagioklászok alkáli földpátok

bytownit Káli szanidin

labradorit szanidin

andezin Na-ortoklász

anortoklászoligoklász

albit

kvarc

zeolitok

kvarc

1350

1222

1260

1320

anortit14441475forszterit

ensztatit1547

1557

spinell18001700

16001500

1400 1300

C

B

A

tömegét [mérendô szabad paraméter], spinjét [0], CPkvantumszámát [páros], csatolását a mértékbozonok-hoz [SU (2)L jelleg] és a fermionokhoz [mf /v ], önköl-csönhatásait (a Higgs-potenciált) [mH rögzíti] – szög-

letes zárójelben a Standard Modell-beli Higgs-bozonjellemzôit találjuk. Az írás elején vázolt Standard Mo-dell kísérleti bizonyításához a lista legutolsó és egy-ben legnehezebben kivitelezhetô eleme elengedhe-tetlen.

A MARS KÔZETEI A MARSI METEORITOK ALAPJÁNBérczi Szaniszló

ELTE TTK Anyagfizikai Tanszék

Három fô kôzettípust különít el a kôzettan a Földön: amagmás, az üledékes és a metamorf kôzeteket. Amagmás kôzetek szilikátolvadékokból keletkezneklehûléskori kristályosodással. Az üledékes kôzetek afelszíni mállás során keletkezô üledékekbôl, a meta-morf (átalakult) kôzetek nagy nyomás és/vagy hômér-séklet hatására történô átkristályosodással jönneklétre. Ezek közül a magmás kôzetek azok, amelyek-nek elôfordulására leginkább számítani lehet a Földtípusú, szilárd anyagú kôbolygótestek felszínén. AMerkúr, a Vénusz, a Föld, a Hold és a Mars szilárdanyagának jelentôs részét, e bolygótestek köpenyétés kérgét fôleg ilyen szilikátos anyagok alkotják. Amegszilárdult láva fôleg a Fe, Mg, Ca, Al, Na, K, Ti, Cr,Mn szilikátjaiból, valamint számos oxid- és szulfidás-ványból épül föl. A magmás kôzetek rendszerét azelmúlt három évszázad során megalkották. Elôször erendszer magját mutatjuk be, azzal a céllal, hogy ben-ne elhelyezhessük a marsi magmás kôzeteket, melyekmeteoritokként érkeztek a Földre.

Az égitest felszínére ömlô láva jelentôs része olvadtállapotban van, de benne már megkezdôdött a kristá-lyosodás. A magmás kristályosodás során létrejövôásványegyüttes (ásványtársulás) a fô kôzetalkotó ás-ványokból az 1. ábra szerinti arányban tartalmaz szí-nes és színtelen szilikátokat. A színes szilikátok azolivin, a piroxén, az amfibol és a csillámok, a színtele-nek a plagioklász és a káliföldpátok, a földpátpótlókés a kvarc. Bowen egy évszázaddal ezelôtti fontosmegfigyelése volt az, hogy a magmás kristályosodássorán a színes és a színtelen szilikátok gyakran együttkristályosodnak, egymással párhuzamosan haladófolyamatként, de az ásványsorokon belül meghatáro-zott sorrendet követve (1. ábra ).

Késôbb, olvasztási kísérletei nyomán, Bowen amagmás kristályosodás során keletkezô fázisok viszo-nyait anyagtérképen foglalta össze. Ez a híres Bowen-diagram három fô ásványkomponens (olivin, plagiok-lász földpát és kvarc) segítségével le tudta vezetni amagmás kristályosodás fizikai–kémiai menetét.

A 21. század elejére a magmás kôzettan az inter-planetáris mérési eredmények alapján a planetológiarészét is képezô tudományággá vált. Egyrészt azért,mert a legtöbb Föld típusú bolygótest felszínén azûrszondák kimutatták a bazaltot és más magmás kô-zetek jelenlétét. Másrészt azért, mert a geokémia ku-

tatói fölismerték, hogy a bazaltok „hátterében” egykondritos, tehát peridotitos összetételû köpeny áll,melynek parciális olvadékai a bazaltok. Ezért a mag-más kôzetek olyan differenciálódási sorozatokba ren-dezhetôk, melyek egyik pólusán a peridotitos kö-peny anyagai, a másik oldalán pedig a belôle leszár-maztatható különféle magmás kôzetek állnak. E sok-színû folyamatcsoportra példaként mutatunk beolyan eseteket, amelyeket a marsi meteoritok szol-gáltattak.

260 FIZIKAI SZEMLE 2007 / 8

Magmás kôzetek a Marson

2. ábra. A földi magmás kôzetek osztályozási rendszere. A bal oldali szövettani oszlopon az egyrelassúbb lehûlési sebességgel következô szövetek a rétegsorban egyre lejjebb találhatók. A jobb ol-dali három táblázat a középsô nyolcas táblázatra épül. Itt a felsô sorban a vulkáni (kiömlési), az al-só sorban a mélységi magmás (plútóni) kôzeteket találjuk. A változó SiO2-tartalommal változik abennük lévô ásványfázisok mennyisége is. A felsô ásványarány-sor a vulkáni, az alsó a plútóni kô-zetekre vonatkozik.

40 50 60 70SiO tartalom (%)2

kvarc

ortoklász(Káli földpát)

ortoklász(Káli földpát)

biotit

piroxénpiroxén

plagioklászföldpát

olivin

ércásványércásvány

amfibol

amfibol

kiömlésikõzetek

komatiit/pikrit

bazalt andezit riolit

peridetit gabbró diorit gránit

magmás „kõzetnyolcas” táblázat

40 50 60 70SiO tartalom (%)2

kvarcortoklász (Káli földpát)

ortoklász (Káli földpát)plagioklász földpát

biotit

amfibol

olivin

piroxénércásványércásvány

mélységim

agmás

kõzetek

ásványosösszetétele

hõmérséklet idõ

nap

hét

hónap

év

10 év

100 év

1000 év

10000 év

lehûlésisebesség

amélységgelváltozó

lehûlésisebesség(ésaveleváltozó

kõzetszövet)

Csaknem 30 esztendeje annak, hogy az elsô, kémiaikísérletekkel igazán gazdagon fölszerelt ûrszondák, aViking leszálló egységei, simán leereszkedtek a Marsfelszínére. E páros marsi expedíció vizsgálatai közüllegismertebbek a három biológiai kísérlet eredmé-nyei. A Mars magmás kôzeteinek megismerésébenazonban egészen különleges, közvetett szerepe volt aViking-méréseknek. A leereszkedés során ugyanismegmérték a marsi légkör összetételét, és ezt az adat-sort néhány év múlva a Földre már eljutott marsi kô-zetek azonosítására használták föl.

A meteoritok között az 1960-as évekig fölismertekegy olyan csoportot, amely a magmás szövetû akond-ritok közül közös kémiai vonásaival válik ki. Melyekezek? Oxidáltabbak a többi akondritnál, nagy az illó-elem-tartalmuk, jelentôs az alkáliatartalom a földpátok-ban, sok a Ca a piroxénekben. Ezt a csoportot háromfontos tagjáról, a Shergotty, a Nakhla és a Chassignymeteoritokról SNC csoportnak nevezték el. A nakhláról1974-ben Rb–Sr radioaktív kormeghatározási módszer-rel kimutatták, hogy nagyon fiatal, 1,3 milliárd éves,

szemben a meteoritok többségének 4,5 milliárd éveskorával. Ilyen fiatalkori vulkanizmus csak nagyobbméretû bolygótesten játszódhatott le. Késôbb a shergot-titokat még fiatalabbnak, már csak 170 millió évesnekmérték (ez a földi rétegtanban a jura kora).

A Viking légkörmérései nyomán Bogard és John-son (1983) a megtört SNC mintákból fölszabadulónemesgázok (Ar, Kr, Xe) izotóparányai alapján való-színûsítette az SNC meteoritok marsi eredetét. Késôbba becsapódással való kiszakítás mechanizmusát ismodellezték. A gyûjtemények hatféle SNC meteoritjamellé még hatot találtak 1995-ig az Antarktiszon. Mamár csaknem 40 SNC meteoritot ismerünk, mert, idô-közben, az Antarktisz után a forró sivatagokban isfedeztek föl újabb marsi meteoritokat. A marsi meteo-ritok táblázatának csak az elsô harmadát mutatjuk betájékoztatásul (a 2. ábra közepén).

Az SNC meteoritok kôzettípusai

Az SNC meteoritok magmás kôzetek. A földi magmáskôzetek rendszerét elôször az ásványos összetétel, a

kemizmus (pl. SiO2-tartalom)valamint a szövet szerkezeteés szemcsemérete alapján ta-golták típusokba. A legismer-tebb táblázatos elrendezésbena kiömlési (vulkáni) kôzetek atáblázat felsô sorában, ezenkôzetek mélységi magmás(plutóni) típusai a táblázat al-só sorában, növekvô SiO2-tar-talom szerint szerepelnek. Afelsô sor e táblázatban a vul-káni komatiit/pikrit, bazalt,andezit, riolit sorozat, az alat-ta lévô sor pedig a mélységimagmás peridotit, gabbró,diorit, gránit sorozat (2. áb-ra ). A szemcseméret szoroskapcsolatban áll a lehûlési se-bességgel. Ezért a táblázatmellé, a függôleges tengelyirányában, a lehûlési sebessé-get is bemutató és a finomabbkôzetszöveti osztályozást islehetôvé tevô TTT diagramotillesztettünk.

A marsi meteoritok a mag-más kôzetek osztályozásirendszerében a bázisos–ultra-bázisos tartományba esnek. Amarsi meteoritokat 6 típusbasorolják: ortopiroxenit (ALHA84001), klinopiroxenit (anakhlitok), dunit (chassignit),bazaltos shergottit (pl. a Sher-gotty maga is), pikrites sher-gottit (pl. a Northwest Africa

BÉRCZI SZANISZLÓ: A MARS KŐZETEI A MARSI METEORITOK ALAPJÁN 261

1068 – NWA 1068) és a lherzolitos vagy peridotitos

3. ábra. Négy ritkaföldfém gyakorisági diagramja a kondritos értékekre normálva. Balról jobbra: a kondritos kisbolygó bazaltjai, a Hold kô-zetei, a Föld néhány kôzete (szentbékkállai sorozat) és a Mars néhány meteoritja. A legdifferenciáltabb folyamatok a földi bazaltokat jellem-zik, mert egy feltételezett kondritos kezdeti értékrôl (az 1-es vonal magasságában) parciális olvadással fölfelé is, lefelé is igen változatoskôzettípusokat hoztak létre. Ezen a diagramon a Mars kôzetei ôsi differenciálatlanságot mutatnak. Az s-sel jelölt shergottitok ritkaföldfém-gyakorisága a holdi Apollo-12 és -15 bazaltok magasságába esik. Az ALHA 84001 is ôsi ritkaföldfém-gyakoriságot mutat.

A

SDuDoBMZ

SM

–

–

–

–

–

–

1000

100

10

1

0,1

0,01Ce Nd SmEuGd Dy Er Yb

–

–

–

–

–

–

1000

100

10

1

0,1

0,01Ce Nd SmEuGd Dy Er Yb

kreep

Apollo 11–17

Apollo 12–15

anortozitosgabbro

troktolit

anortozit

anortozit

dunit

–

–

–

–

–

–

1000

100

10

1

0,1

0,01Ce Nd Sm Eu Tb TmYb

alkáli bazaltAfrika

alkáli bazaltKapolcs

Szentbékkálla

Szentbékkálla

eklogitNorvégia

spinellpiroxenit

DNy. BakonyÉNy. Balaton

lherzolitzárványok

szerpentinitÓfalu

–

–

–

–

–

–

1000

100

10

1

0,1

0,01Ce Nd SmEuGd Dy Er Yb

ALH8001

Johnstown

shergottit (pl. az ALHA 77005). A három leggyakoribbmarsi meteorittípus a nakhlit, a bazaltos shergottit ésa lherzolitos shergottit.

A shergottitok

A bazaltos-shergottitok szürke színû magmás kôzetek,melyek monoklin piroxénekbôl (pigeonit, augit) pla-gioklász földpátból (amely azonban a meteoritot ki-szakító ütés hatására átalakult maskelynitté) és járulé-kos ásványokból áll. A peridotitos-(lherzolitos-)sher-gottit a földi lherzolitokra-harzburgitokra hasonlít.Szövetében nagy rombos-piroxén szemcsékbe van-nak beágyazva az olivin és krómit kristálykák. Csakkevés földpátüveg (maskelynit) található bennük. Aperidotit a Földön – és a Marson is – a köpeny anya-ga, melybôl parciális olvadások nyomán bazaltos,pikrites olvadékok ömlenek a felszínre vagy jutnakfelszín közelébe, és ott kikristályosodnak. A shergotti-tok egyes típusai ebbe a folyamatba illô kôzettípusok.Az olivin-porfíros shergottitok nagyméretû olivinkris-tályokból állnak, amelyek be vannak ágyazva a fi-nomszemcsés bazaltos alapszövetbe.

Éppen a MER robotok fölismerése az, hogy egyestípusok a marsi felszínen kôzettömbökben is megta-lálhatók. Például McSween és Milam a Spirit útja soránmegfigyelt és mért, olivinben dús marsi bazaltokat azolivin-porfíros shergottitokkal rokon kôzetnek találtákannak alapján, hogy a Pancam, a miniTES és a Möss-bauer-spektrométer adatai igazolták, hogy az olivingyakori ásványa több marsfelszíni kôzetnek (Humph-rey, Adirondack, Mazatzal). A Guszev-kráterben mértbazaltokban az olivin összetételének Fe/Mg aránya ishasonló volt az olivin-porfíros shergottitokéval. Ezek a

sötét, aprószemcsés Guszev-bazaltok mintegy 25%-bantartalmaznak olivin fenokristályokat, és, mivel a színké-pük hasonló a déli terra peremén található kôzeteké-hez, azt is föltételezik, hogy fôként ez a bazalt – az oli-vin-porfíros shergottit – alkotja a noachisi ôsi terrákat(Noachis, Hesperida, Amazonis a hárommarsi rétegtaniemelet – Bérczi és mtsai, 2001). Más kutatók (pl. Ir-ving ) a Tharsis-vulkánokat tartják az olivin-porfírosbazalt forráshelyének.

A shergottitok geokémiai osztályozásáraWarren ésBridges (2005) javasolt egy kéregasszimilációs mo-dellt. Ez földi köpenyzárványok mintájára a shergotti-tokat a marsi köpenybôl származtatja. Amikor a marsibazaltos parciális olvadékok – a földi párhuzamoseseményeknek megfelelôen – eltávoztak a köpenybe-li forráshelyrôl, akkor kiürítették azt és elszegényítet-ték bizonyos geokémiai összetevôkben. Ennek alap-ján Warren és Bridges bevezet háromféle shergottitot:erôsen (E), közepesen (K) és gyengén (Gy) kiürese-dett shergottitokat. Az E-shergottitok közé tartozikpéldául a QUE94201, a K-shergottitok közé tartozikpéldául ALHA77005, a Gy-shergottitok közé tartozik aShergotti és a Zagami. (A Gy-shergottitok azonbanleszármaztathatók az E-shergottitokból úgy is, hogy afölfelé tartó láva a kéregben nagy ritkaföldfém-tartal-mú kéregösszetevô-komponenst asszimilált, olvasz-tott magába.)

A magma parciális kiolvadása, majd az útja és lehû-lése során bekövetkezô differenciálódási folyamatot jóltükrözi a létrejött kôzet és a benne lévô ásványok ritka-földfém-tartalma. Ilyen módszerrel ismerték föl a földikôzetekben is a peridotitos köpenybôl a bazaltot le-származtató parciális olvadási folyamatokat. A parciálisolvadás során ugyanis a ritkaföldfém-tartalom a koraikiolvadó fázisban halmozódik föl (Bérczi, 1991).

262 FIZIKAI SZEMLE 2007 / 8

A nakhlitok

4. ábra. A hûlô lávaoszlopban elhelyezkedô nakhlitok (kumulátos piroxének) Mikouchiés mtársai, (2003) modelljében. A fölsorolt 6 nakhlit lefelé haladva egyre tömöttebb kumu-látos szövetet mutat: MIL03346, NWA817, Yamato-000593, Governador Valaderes, Nakhla,Lafayette.

a Theo-lávaoszlop rétegzõdési képe

breccsa

gabbró

klinopiroxenit

peridotit

MIL03346

NWA817

Y-000593

GovernadorValadares

Nakhla

Mikouchi nakhlitmodellje

Lafayette

A nakhlitok fôleg monoklin piroxén-bôl álló kumulátos kôzetek. Kisebbrészben olivin és más ásványok iselôfordulnak benne. A nakhlitoknagyméretû magmatesten belülikristályosodás során jöttek létre. Amár létrejött piroxén ásványok amagmatestnél nagyobb sûrûségükmiatt lassan ülepedtek és a magma-test aljára süllyedtek, ahol egymásonmegtámaszkodtak.

Az így létrejött kôzetszövet a ku-mulátos szövet. Összetételében is ésszövetét tekintve is nagyon hasonlíta nakhlitokra a földi Theo-láva Ka-nadában (Treiman és mutársai,1996). A magmás kristályosodási ésszétválási folyamatok során a Theo-lávatest 120 méter vastag összleté-ben három nagy kôzettípus rétegkülönült el. Ezek szövete is külön-bözik. Felülrôl lefelé haladva egyfelsô 20 méteres breccsás fedô alatta következô rétegek helyezkednekel a Theo-lávatestben (4. ábra ):gabbró, mintegy 35 méteres vastag-ságban, alatta mintegy 50 méteresvastagságban piroxenit, legalul pe-dig peridotit mintegy 10–12 méteresvastagságú rétegben (Lentz és mtár-sai, 1998).

A Mikouchi-modell a nakhlitokkialakulásáról

A Theo-lávatest ismeretében, több nakhlitmintaösszehasonlító vizsgálatával Mikouchi japán kutatómodellt alkotott arról a geológiai környezetrôl, ahon-nan a nakhlitok származhatnak. A nakhlitok szöveté-ben a kumulátos szövetet alkotó, sajátalakú piroxé-nek között olivinkristályok, valamint a kôzetolvadék-ból kristályosodott földpát található. Mikouchi annakalapján, hogy az olvadék aljára süllyedô ásványokközött kevesebb a maradék kôzetolvadék, míg azolvadékoszlop felsôbb részein lazábban helyezked-nek el a támaszkodó piroxének, mélységi sorba tudtarendezni a nakhlitokat. Egy nakhlitos lávaoszlop ma-gassági „emeletei” szerinti sorozatban az oszlop tete-jén helyezhetô el a jelenleg (2005-ben) legújabbnakhlit, a MIL03346. Lefelé haladva az NWA817 kö-vetkezik, még lejjebb a Yamato-000593, majd a Go-vernador Valaderes és a Nakhla helyezkedik el. Ahûlô lávaoszlop legmélyebb pontjáról származhat aLafayette, mert ebben illeszkednek legtömörebben akumulátos piroxének (Mikouchi és mtársai, 2003). Afölsorolt 6 nakhlitot úgy is szemlélhetjük tehát, mintamelyek egy 30 méteres vastagságú lávaoszlopba mé-

lyített fúrási magnak egyes szakaszait képviselik. Esorbarendezhetôség megerôsíti azt a feltételezést,hogy egyetlen becsapódási esemény szakíthatta kimarsi forráshelyükrôl a nakhlitokat. Harvey és Hamil-ton ezt a forráshelyet a Syrtis Majorban feltételezik aTES és THEMIS színképvizsgálatok alapján.

Összegzés

A Marsról érkezett meteoritok azt tanúsítják, hogyérdekes és sok szempontból a földihez hasonló mag-más folyamatok hoztak létre kôzeteket a Marson. Denagyon kevés helyszínrôl vannak még kôzetmintá-ink, és a fôbb marsi meteoritok nem fedik le a spekt-roszkópiai és a felszíni rovermérésekkel megismertkôzettípusokat sem. Ezért a marsi meteoritok csakbevezetô jellegû kôzettani ismeretekhez juttattakbennünket a marsfelszíni kôzettanról. A mállási törté-netet a Mars felszínén végzett anyagvizsgálatok fé-nyében tekintjük majd át.

IrodalomBérczi Sz. (1991): Kristályoktól bolygótestekig. Akadémiai, Budapest.Bérczi Sz. (2000): Holdkôzetek, meteoritek. Kis atlasz a Naprend-

szerrôl (1). ELTE TTK KAVÜCS, Uniconstant, Budapest, Püs-pökladány.

BÉRCZI SZANISZLÓ: A MARS KŐZETEI A MARSI METEORITOK ALAPJÁN 263

Bérczi Sz., Hargitai H., Kereszturi Á., Sik A. (2001): Bolygótestekatlasza. Kis atlasz a Naprendszerrôl (2). ELTE TTK KAVÜCS,Uniconstant, Budapest, Püspökladány.

Bérczi Sz., Hargitai H., Illés E., Kereszturi Á., Sik A., Földi T., HegyiS., Kovács Zs., Mörtl M., Weidinger T. (2003): Bolygófelszínimikrokörnyezetek atlasza. ELTE TTK KAVÜCS, Uniconstant, Bu-dapest, Püspökladány.

Bogard, D.D., Johnson, P. (1983): Martian gases in an Antarctic me-teorite? Science, 221, Aug. 12, 651–654.

Harvey, R.P., Hamilton, V.E. (2005): Syrtis Major as the Source Re-gion of the Nakhlite/Chassigny Group of Martian Meteorites: Imp-lications for the Geological History of Mars. 36th LPSC, #1019.

Lentz, R.C., Friedman, Taylor, G.J., Treiman, A.H. (1999): Formationof a martian pyroxenite: A comparative study of the nakhlite me-

teorites and Theo’s Flow. Meteoritics & Planetary Science, 34/6,919–932.

McSween, H.Y., Jr., Milam, K.A. (2005): Comparison of Olivine-richMartian Basalts and Olivine-Phyric Shergottites. 36th LPSC,#1202; LPI, Houston, CD-ROM.

Mikouchi, T. et al. (2003): Mineralogical Comparison of Y000593with Other Nakhlites: Implications for Relative Burial Depths ofNakhlites. 34th LPSC, #1883; LPI, Houston, CD-ROM.

Treiman, A.H., Norman, M., Mittlefehldt, D., Crisp, J. (1996): “Nakh-lites” on Earth: Chemistry of Clinopyroxenites from Theo’s Flow,Ontario, Canada. 27th LPSC, 1341, LPI Houston, CD-ROM.

Warren, P.H., Bridges, J.C. (2005): Geochemical Subclassification ofShergottites and the Crustal Assimilation Model. 36th LPSC,#2098; LPI, Houston, CD-ROM.

AZ EGYSZERÛ RADIOAKTÍV BOMLÁS STATISZTIKÁJAKocsy Gábor

OSSKI, Lakossági ésKörnyezeti Sugáregészségügyi Osztály

A legtöbb radioaktivitással foglalkozó könyvben azelsô oldalakon szerepel az egyszerû radioaktív bom-lás egyenlete:

amit a

N(t) = N0 eλ t,

differenciálegyenletbôl származtatnak. Ennek értel-

dNd t

= λ N

mezéséhez rendszerint hozzáfûzik, hogy N a bomlómagok száma, λ pedig egy pozitív valós szám.

Azonban ezzel az értelmezéssel van egy kis gond.Ugyanis, ha N a bomló magok száma, akkor N egészszám, következésképpen az N (t ) függvény nem diffe-renciálható, tehát a kiindulási egyenlet eleve értelmet-len. Nem beszélve arról, hogy a bomlás statisztikusjellege miatt a bomló magok számára vonatkozóancsak valószínûségi megállapításokat tehetünk.

Természetesen vannak alaposabb könyvek is, ame-lyek N -et a bomló magok számának várható értéke-ként értelmezik. Ekkor viszont joggal vagyunk kíván-csiak arra a valószínûségi eloszlásra is, amelyikbôl ezta várható értéket származtatják. Az sem egészen nyil-vánvaló, hogy ennek a várható értéknek az idô sze-rinti deriváltja arányos magával a várható értékkel.

További gond az a széles körben elterjedt állítás,hogy a radioaktív bomlás Poisson-eloszlást követ. Eztkönnyen megcáfolhatjuk. A Poisson-eloszlás szerint nszámú esemény bekövetkezésének a valószínûsége

ahol λ az eloszlás paramétere. Látható, hogy ez a va-

Pλ (n ) =λnn!e λ,

lószínûség bármilyen n ∈ esetén nagyobb nullánál.Tehát adott N számú bomló mag esetén annak a való-színûsége, hogy N+1, 2N vagy akár 100N mag fogelbomlani valamennyi idô alatt, nem nulla, ami nyil-vánvalóan hibás.

N

Hogyan kell hát értelmeznünka bomlás egyenletét?

Hogy az iménti kérdésekre választ kapjunk, tekintsüka következô gondolatkísérletet. Legyen adva valami-lyen radioaktív anyag és két megfigyelô, A és B, akikmindent tudnak a szóban forgó anyag bomlásáról.

Az A megfigyelô elôveszi a nagyítóját, és megfigyelegy atommagot. (Ennek a nagyítónak természetesenmágikus tulajdonságokkal kell rendelkeznie, hiszen azatommagok nagyítóval nem láthatók.) Azt látja, hogymég nem bomlott el. Ismeri az atom bomlási idejénekvalószínûségi eloszlásfüggvényét, p -t. Értelmezése sze-rint tehát p (t ) = P (tbomlás< t), ahol P a valószínûséget,tbomlás pedig a bomlás idejét jelöli. Emberünket azonbanaz is érdekli, hogy ha valamely t1 ideig nem bomlik el akiszemelt mag, akkor mennyi annak a valószínûsége,hogy a t1-tôl számított t2 idôn belül elbomlik. Itt feltéte-les valószínûségrôl van szó, ezért emlékeztetünk a fel-tételes valószínûség formulájára. A q eseménynek az reseményre vonatkozó feltételes valószínûsége:

ahol P (qr ) a q és r esemény együttes bekövetkezésé-

P (q r ) = P (qr )P (r )

,

nek valószínûsége. Esetünkben az r esemény az, hogya kiszemelt mag t1 ideig nem bomlik el, a q eseménypedig az, hogy a t1-tôl számított t2 idôn belül elbomlik.Könnyen látható, hogy P (qr ) = p (t1+ t2)−p (t1), és P (r )= 1−p (t1). A keresett feltételes valószínûség tehát:

Eltelik t1 idô, és megjelenik a B megfigyelô. Ô is

P (q r ) =p (t1 t2 ) p (t1 )

1 p (t1 ).

elôveszi a nagyítóját, és véletlenül ugyanazt a magotveszi szemügyre, amit korábban az A megfigyelô. Azttapasztalja, hogy még mindig nem bomlott el. Mivel ôis mindent tud a megfigyelt mag bomlásáról (és sem-

264 FIZIKAI SZEMLE 2007 / 8

mit sem tud az A megfigyelô ténykedésérôl), aztmondja, hogy annak valószínûsége, hogy a mag t2idôn belül elbomlik, P (tbomlás< t2) = p (t2).

Mivel egyik megfigyelô sem követett el hibát, és amag tényleg nem bomlott el t1 ideig, a fenti két való-színûségnek egyenlônek kell lennie:

minden t1, t2 > 0 esetén. Vezessük be az s := 1−p függ-

p (t1 t2 ) p (t1 )

1 p (t1 )= p (t2 )

vényt. Ez nyilván leképezés. Ezzel a fenti0 →[0, 1]egyenlet a következôképpen írható át:

Tudjuk, hogy az exponenciális függvény teljesíti ezt

s (t1 ) s (t2 ) = s (t1 t2 ).

az egyenletet. De vajon következik-e ebbôl az egyen-letbôl, hogy s exponenciális függvény?

Könnyen jutunk arra a következtetésre, hogy anemnegatív racionális számok halmazán s megegye-zik az függvénnyel. Ugyanis s (0)f : → , t s (1)t= 1−p (0) = 1 = s (1)0. Továbbá x ∈ + esetén létezik n,m ∈ úgy, hogy x = n /m. Tekintsük a következôátalakítást:

s

nm

m

= s

nm

nm

= s (n ) = s (1 1) = s (1)n,

amibôl m -edik gyökvonás után adódik, hogy

Innen, ha belátjuk, hogy s folytonos, már az is követ-

s (x ) = s

nm

= s (1)n /m = s (1)x.

kezik, hogy s megegyezik f -fel a nemnegatív valósszámok halmazán is. A bizonyítást a folyóirat honlap-ján megtalálja az érdeklôdô.

Azt kaptuk tehát, hogy minden t ≥ 0 esetén s (t) =s(1)t. Mivel s (1) ≤ 1, ezért egyértelmûen létezik λ ≥ 0úgy, hogy s (t ) = e−λt. Nevezzük λ-t bomlási állandó-nak. Ezek után p (t ) = 1−e−λt.

Megvan tehát a bomlás idejének valószínûségi el-oszlásfüggvénye. Ahhoz, hogy a valamely t idô alattelbomló magok számának várható értékét meghatá-rozzuk, tudnunk kell, hogy milyen eloszlás szerintzajlik a radioaktív bomlás. Itt azzal a feltételezésselélünk, hogy a magok függetlenek egymástól, azazegymás bomlását nem befolyásolják. Független ese-mények bekövetkezését pedig a binomiális eloszlásírja le. Ha valamely esemény bekövetkezésének való-színûsége p, akkor annak a valószínûsége, hogy ezaz esemény N független kísérletbôl n-szer bekövet-kezik:

P (n ) =

Nnp n (1 p )N n.

Ismeretes, hogy a binomiális eloszlás várható értéke:= Np, ennek szórásnégyzete pedig: σ2( ) =n n

Np (1−p ). Esetünkben tehát az N magból t idô alattelbomló magok számának várható értéke és szórás-négyzete:

Meg kell még említenünk, hogy a binomiális elosz-

N = N p (t ) = N 1 e λt ,

σ2 (N ) = N p (t ) 1 p (t ) = N e λt 1 e λt .

lás bizonyos esetekben közelíthetô a Poisson-eloszlás-sal. Ennek feltétele, hogy N >> 1 és p (t )

MIT TANÍTOTT BOLYAI FARKAS A GRAVITÁCIÓRÓL?

1. ábra. Rövid Jegyzések a’ Fisikárol elsô oldala (B 545/1)

Gündischné Gajzágó MáriaHatvan

Elsô anyánk és Páris almája általa pokol darabontjává lett a Föld,Newton almája az ég csillagaitársaságába emelte planétánkat.Bolyai Farkas Jelentése alapján

2007 ôszén a marosvásárhelyi Bolyai Farkas ElméletiLíceum fennállásának 450. évfordulóját ünnepli,ugyanis 1557 ôszén nyitotta meg kapuit az akkor mégSzékelyvásárhelynek nevezett Marosvásárhelyen aSchola Particula, amely azután 1718-ban egyesült azide menekült sárospataki kollégiummal. Az egyesü-léssel a Schola kollégiumi rangra emelkedett. 1804-ben a filozófiáról éppen leválasztott matematika–fizi-ka–kémia tanszékre Bolyai Farkas t hívták meg, aki 47évig tanított a kollégiumban.

A kéziratok

Bolyai Farkas hosszú tanári pályája során a kollégiumnyomdájában jelentette meg matematikai mûveit. Fizi-ka tankönyvet nem adott ki, leszámítva Az aritmeti-kának, geometriának és physikának eleje címût 1834-ben, amely mû azonban csak kevés fizikai ismeretettartalmaz. Kéziratos hagyatékában viszont sok százoldalnyi latin és magyar nyelvû fizikával, kémiával éscsillagászattal foglalkozó jegyzetet is találunk. Az1819-es keltezésû, 500 oldalas latin nyelvû jegyzet1

1 B. F. 427 a legterjedelmesebb, könyv alakú latin jegyzet (fizika,kémia, csillagászat) Bolyai Farkas kézírásában2 Ezúton szeretnék köszönetet mondani Bíró Tibor fizikatanárnak,aki a kéziratok kibetûzését és értelmezését ellenôrizte, és GündischGyörgy orvosnak, aki a nagy mennyiségû forrásanyagot kiváló mi-nôségben fényképezte le.

Bolyai Farkas kézírása. A többit tanítványok másolták,illetve tanáruk diktálása után írták.

A jegyzeteket kézzel írt tankönyveknek tekinthet-jük. Többségük a jelenségek, törvények és alkalmazá-saik tömör megfogalmazását, kisebb részük pedig avizsgakérdéseket, illetve vizsgakérdéseket és a vála-szokat tartalmazzák. Majdnem minden fejezet kettôvagy több változatban lelhetô fel a hagyatékban. Ezenváltozatok egymástól kisebb-nagyobb mértékû elté-rést mutatnak. Észrevehetô, hogy Bolyai Farkas azévek során a tananyagot kissé módosította, egy-egytémát részletesebben tárgyalt, és egyre jobb magyarszakszavakat használt.

E jegyzetek tanulmányozása különösen fontos,mert Bolyai Farkas tanári pályája idején, az 1840-esévekben, teljesedett ki a latinról magyar nyelvû okta-tásra történô áttérés a Kollégiumban. Másrészt BolyaiFarkas, az alkotó matematikus, a sokféle gyakorlatitevékenységet (kályharakás, borászat, gyógyászatstb.) eredményesen folytató, széles érdeklôdési körrel

bíró polihisztor, fizikatanárként is jóval az átlagonfelüli volt [1, 2].

Nézzük meg, mit tanultak a gravitációról 150–170éve a marosvásárhelyi Református Kollégium jurista(felsôbb) osztályainak diákjai.

A következôkben a magyar nyelvû jegyzetek gravi-tációhoz kapcsolódó szövegrészeire szorítkozunk. Akéziratokból idézett szövegrészek jelzeteit lábjegyzet-ben közöljük. A Bolyaiak hagyatékát a marosvásárhe-lyi Teleki–Bolyai Könyvtárban ôrzik, de megtalálhatóa Magyar Tudományos Akadémia Könyvtárának Mik-rofilmtárában is. Az idézeteket íráshûen közöljük,2 így

266 FIZIKAI SZEMLE 2007 / 8

azok tükrözik a kialakulóban levô magyar fizikaiszaknyelv állapotát Marosvásárhelyen.

„…Bákóban,3 Kopernikben, Keplerben hajnallott,

3 Fr. Bacon (1561–1626)4 Ditsô Lajos az a Bolyai tanítvány aki késôbb, amint azt tanára aJelentésben meghagyta, pónyik almafát ültetett sírjához.5 B 545/4 Rövid Jegyzések a’ Fisikárol, Ditsô Lajos kézírása 1843-ból, 80 oldalt tartalmaz.6 = méreteitôl7 = leesô testet8 B 598/13v A jegyzet elsô sora „Egy órát elbontva ’s vissza rakvaérthetni meg”. A 8 ív=72 oldal hosszú jegyzet különbözô oldalainSimon Elek, Bálint, Benkô, Vályi, Gombás, Bitay, Burján aláírásokolvashatóak, mely nevek a kollégiumi értesítôk „1847–48 évi elsôközmegvizsgáltatás rendjé”-ben is szerepelnek.9 B 545/27v10 B 599/7v A 24 oldalas jegyzet elsô sorai: A Phisika tárgya a’ testlévén, azaz az a’ mi az ûrnek bizonyos részét elfoglalni láttatik11 1 földrajzi mérföld = 7,42 km12 B 598/16v Bálint kézírása13 B 598/15v Bálint kézírása

Newtonban feljött a fizika…” olvashatjuk a BolyaiFarkas által 1843-ban lediktált, Ditsô Lajos4 által leírt,Rövid Jegyzések a’ Fisikárol5 címû, kéziratban maradtfüzetben (1. ábra ).

Newton (1642–1727) gravitációs elmélete BolyaiFarkas tanári tevékenysége idején (1804–1851) mármatematikailag is jól kidolgozott tudományág [3].Nem csoda hát, hogy Bolyai Farkas, aki Göttingábana híres Lichtenberg professzor fizika és csillagászatielôadásait hallgatta [4, 5], és akinek magánkönyvtá-rához féltucatnyi töb kötetes, német nyelvû, 1800után kiadott fizikai, illetve csillagászati egyetemi tan-könyv is tartozott [6], igen magas színvonalon és ér-dekesen tanította a gravitációval kapcsolatos ismere-teket.

Hét alcímhez csatoltuk a kiválasztott szövegrésze-ket, melyekbôl körvonalazódhat az olvasó számára,mit és hogyan tanított Bolyai Farkas a gravitációtárgykörébôl.

„A köznehézség” törvénye

„Ez a gravitas oly erö, mely a’ vonszo test tömegétölegyenesen a’ vonatott test távjának pedig másodrang-jától /:potentia :/ visszásan függ.

Ezen törvény feltalálója Newton, … és sem a’ vo-natott test nagyságától,6 sem nemétöl nem függ: u : m: pihe és egy mázsa arany lég üress hengerbe egy-szerre esnek le. A’ suly az nehéz testek mennyisége,két akkora leesött7 két akkora erövel kelletvén megtartani.”8

„Az egymástol távol lévö Testekre vonszo erö ne-veztetik Gravitas Universalisnak melynek törvénnyeaz hogy egy Test annyiszor inkább vonatik, a’ mennyi-szer nagyobb a’ vonszo erö massája és a distantiaequadratuma kisebb. Ez az erö tartya a nap systhemájá-ban a’ planetákat a’ nap körül irt uttyokban, ’s a’ pla-néták darabontjait az ö planétáik körül; …Jegyzés A hold ha egy más erö nem taszitotta volna

meg kezdetben, ugy esett volna le a’ földre mint a kö;

az arany és pelyhe egyformán vonatnak és esnek leaz aërtöl üress térbe”.9

„… A Newton utánni idökben tett tapasztalásokarra mutatnak, hogy a’ nap systhemáján feljüli véghe-tetlen ürben is ezen nehézség köztörvénnye uralko-dik”.10

A régies szóhasználat nem okoz nehézséget azegyetemes tömegvonzás törvénye és az ahhoz kap-csolódó jelenségek felismerésében. Egyértelmû, hogy:köznehézség = egyetemes tömegvonzás, vonzó ésvonatott test = kölcsönható testek, a táv másodrangjá-tól visszásan függ = a távolság négyzetével fordítottanarányos stb.

Kepler törvényei

„Hogy a’ nap Systemában a’ nehézségnek ez a törvé-nye tartja az égi testeket a’ nap nagy massajához, bi-zonyítja Keplernek elsô törvénnye, hogy a’ Planétákellipszisben járnak, melyet legelébb ö vett észre, haegy lapon mintegy millio mértföldre11 két szeget gon-dolunk, melyekhez 42 millio mért földnyi hosszuspárgának végei legyenek kötve, s’ plajbásszal belöl-röl kifelé húzva kereken vitetni gondoltatik a’ visszatérésig a föld utja íródik le. A Nap pedig az egyikszögnél van, télben közelebb mint nyárban – midönkissebbnek is látszik.”12

Ha deszkalapra helyezett papírlapra két gombostûtszúrunk egységnyi (például 0,5 cm) távolságra ésezekhez 42 egységnyi hosszúságú (= 21 cm) cérnátkötünk, ceruzával kifeszítve a cérnát, megrajzolhatjuka Föld-pályát jelképezô ellipszist.

Könnyen kiszámíthatjuk a Föld pályája nagy- éskistengelyének értékét. A fél nagytengely 42/2 = 21millió mérföld; a fél kistengely pedig a

összefüggésbôl határozható meg. Ahonnan

2 b 2

12

2

= 42

millió mérföldnek adódik. A nagy- és kistengely érté-

b = 4,212 12

≈ 20,99

ke majdnem egyenlô, tehát a földpálya gyakorlatilagkör, melynek sugara ≈ 21 106 7,42 km = 155,82 mil-lió km, a jól ismert Nap–Föld távolság.

„…a’ radius vector által seprett areak egyenlöknektaláltatván Kepler egyik törvénye által…”

„A tapasztalás bizonyítván Keplernek azon (III.)törvényét, hogy T2 : t2 = R3 : r3. A’ miért meg volt mutat-va V :v = 1/R2 :1/r2. S’ ez szint így van a föbb planéták-nak hozzájok tarto darabontjaival.”13

Az elsô idézet Kepler II. törvénye: a vezérsugáregyenlô idôközönként egyenlô területeket súrol.

Az elsô egyenlôség Kepler III. törvényét fejezi ki abolygók periódusai és az ellipszis pályák fél nagyten-gelyei között, a szokásos jelölésekkel.

GÜNDISCHNÉ GAJZÁGÓ MÁRIA: MIT TANÍTOTT BOLYAI FARKAS A GRAVITÁCIÓRÓL? 267

A V :v = 1/R 2 : 1/r 2 összefüggéshez hozzá kell fûzni,

2. ábra. Alagút a Föld belsejében

O

F

r

´

r

ORR

földfelszín

hogy itt a V és v a „vis centripeta” rövidítéseként acentripetális gyorsulások felét jelentik. Így már leve-zethetô ez az egyenlôség, ellipszis helyett körpályáragondolva. Valóban, a gyorsulások aránya a követke-zôképpen írható:

és figyelembe véve a III. törvényt,

V : v =

(2π R )2

T 21R

(2π r )2

t 21r

=

R

T 2

r

t 2

= Rrt 2

T 2,

V : v = Rrr 3

R 3= 1R 2

: 1r 2.

„A nehézség ereje”

„A Föld színén akkora a’ Föld vonzo ereje, hogy a testszabadon 1’’pertz alatt 15,5 lábat ír le. A Föld közepé-töl két akkora távrol csak 1/4-ed, három akkora távrolcsak 1/9-ed sat., annyit esne; innen a hold is, ha máserö nem tartaná … a Földre esnék, a távnak említetttörvénye szerént. – Így ha csak ez az erö volna, mindöszve gyülnének az égi testek, mint egy temetöbe.”

„Hogy mekkora a’ Nap színén, mekkora Jupiterén,Saturnusén, sat., a nehézség ereje az az egy másodpertz alatt hány lábat írna le a kö; a’ mint Newton felszámította. Péld: A nap színén két olyan sebességgelesnék a kö, mint egy puska golyobis.”14

14 B 590/6–6v A 20 oldalas jegyzet kezdôsora: „A lélek egész kör-nyezetének”15 B 590/616 B 590/6

Mivel 1 láb = 0,3126 m, az elsô másodpercben15,5 0,3126 = 4,845 ≈ 4,9 m-t esik a szabadon ha-gyott test. Ez valóban így van, hiszen

Ez az érték Bolyainál a „nehézség ereje”. Ma viszont a

9,8 t 2

2= 9,8 1

2= 4,9 m.

gravitációs gyorsulás a szabadon esô test által az eséselsô másodpercében megtett út számértékének két-szeresét jelenti.

A gravitációs gyorsulás és „a nehézség ereje” isnégyzetesen csökken a Föld középpontjától mért tá-volság növekedésével. A Nap felszínén a gravitációsgyorsulás értéke 274 m/s2, „a nehézség ereje” pedig137 m, ami azt jelenti, hogy a Nap felszíne közelébenleesô test sebessége 1 másodperc után 274 m/s. Bo-lyai Farkas szerint vpuskagolyó = 137 m/s.

Alagút a Föld belsejében

„Bé felé menve a Föld közepe felé, ezen erö, melyköz nehézségnek neveztetik apad, mivel a kívül lévöboríték is visszá von, és a Föld színén belöl a középpont távjától egyenesen függ.”15

Vagy, mai szóhasználattal: A gravitációs térerôsséga Föld belsejében a középpontig mért távolsággalegyenesen arányos. Igazoljuk ezt a kijelentést!

Valóban, a Föld belsejében, a középponttól r távol-ságban, a gravitációs térerôsség a g = γM / r2 képlettelszámítható ki (2. ábra ), ahol M nem az egész Földtömegét, hanem csak az r sugarú gömb tömegét je-lenti (hiszen az ezen kívüli, bevonalkázott „boríték” ittnem számít). Így, ρ-val jelölve a Föld sûrûségét,

Ezek után érdemes feltenni a következô kérdést is:

M = ρ 4π r3

3és így g = 4π γ ρ r

3, tehát g ∼ r.

Milyen mozgást végezne az a test amelyet egy a Földközéppontján átvezetô légmentes alagútba ejtenénk?Az elôbbiek alapján erre a testre rugalmas típusú erôhatna, így harmonikus rezgômozgást végezne az ala-gút két vége között.

„Ha pedig a Földnek mint egy dionak belét kivévegondoljuk, ott akármely test egyámtalán meg állana,a’ vonattatás minden felé egyenlöleg le rontva egy-mást, ugy, hogy ezen Kliniusi alvilágban, a’ harang-nak nem kellene láb.”16 – A fenti gondolatmenetbôlegyenesen következik, hogy a belül üres Földben egytestre sem hat nehézségi erô, így még a nagy tömegûharang alátámasztására sem lenne szükség.

Newton almája

„…Newton egy cholera nevü pestis miatt falun tartoz-kodván, estve sétált hold világon a kertben; egy almale esett a’ fárol; Newton a fát magossabbnak meg ma-gossabbnak a’ Holdig gondolván, azt a’ kérdést tettemagában, hogy onnan leesnék-é? És azt sejditvénhogy le, továbbá azt kérdezte hát a’ Hold miért nemesik le onnan? Azt felelte magában hogy kettség kívül

268 FIZIKAI SZEMLE 2007 / 8

egy más erö tartya – visgálat alá vévén az alább iran-

3. ábra. Bolyai Newton szabadesésével foglalkozó kézirata (a RövidJegyzések a’ Fisikárol második lapján)

4. ábra. Az alma pályája

rA

R r= P

vA

A

Föld

P vP

5. ábra. A Holdig érô fa forgása

f

r

rA

vA

A

Föld

O

alma

do motus Centralis Theoreajat17 dolgozván ki, annak

17 = középponti mozgás elméletét18 = megtalálták azt az erôt, aminek következtében19 = bolygók20 = holdjaik21 = matematikai következtetési módszer22 = szaktekintély23 B 545/2–324 B 598/16v Bálint kézírása

az erönek, melyen az alma le esett az infinitumbakiterjedö Törvényt adott és a’ mint alább lesz bámu-lando modon megálitodott az az erö melyen18 mindenbujdosok19 a’ magok napjok körül forognak az ö Da-rabontjaiknak20 körülettek valo forgásokkal. – Láttzikugyan, hogy ez nem Mathematicus concludetur mo-dus;21 ugyanis egyenlö Jelenetek egészszen külömbö-zö okokbol lehetnek p:o: két ház ég, egyiket a’ meny-kö (ütötte meg:) a’ másikot a’ Tolvaj gyujtotta meg.De itt haladni nem lehet egészszen mathematikai mo-don ’s tsak ugyan hozzá kell adni ehez, és mind a’négy régulához hogy a Természetet mintegy Oraculu-mot meg kell minél többször experimentumok általkérdezni; Jollehet sokszor igen kéttségesen felelis, ésakár melyiket az irt és még következö regulák közülcsak addig kell megtartani, míg ez az Oráculum22

helybe hagyja”23 (3. ábra ).Ugyanez a kérdés másutt tömörebben olvasható:

„Sétálva estve a kertben, egy alma leeséséböl kérdés-be tette, hogy ha a’ holdig érne a fa, [az alma] leesnéké? S hát a hold miért nem esik le?” 24

A Holdig érô fáról leesô alma földet érésének felté-telei (itt a Hold jelenlététôl eltekintünk, csupán egyolyan almafára gondolunk, melynek magassága aFöld–Hold távolsággal egyenlô):• mozogjon ellipszis pályán,• az egyik fókuszban a Föld középpontja legyen,• a leszakadás pillanatában az A apogeumban legyen,• a P perigeumban érjen Földet.

Az ellipszis pályán mozgó almára érvényes a terü-leti sebesség és energiamegmaradás törvénye:

A 4. ábra alapján írhatjuk, hogy: rP = R, rA = 60R, g =

vP rP = vA ra,

m v 2P2

γ Mmrp

=m v 2A2

γ MmrA

.

γM/R 2 = 9,8 m/s2. Kiküszöbölve a vP -t és felhasználvaa feltételeket, a leszakadó alma sebességére kapjuk:vA = 185,7 m/s.

Ismerve ezt a sebességet meg tudjuk határozni,hogy a Föld mely szélességi körén kellene a Holdigérô fának kinôni (5. ábra ).

GÜNDISCHNÉ GAJZÁGÓ MÁRIA: MIT TANÍTOTT BOLYAI FARKAS A GRAVITÁCIÓRÓL? 269

vA a Holdig érô fa Földtengely körüli forgásából

6. ábra. A Földrôl leszakadt gránitdarab lehetséges pályái

származik. Így vA = 2πρ/T. Az 5. ábrán látszik, hogy ρ= rAcosφ. E két összefüggésbôl kapjuk:

Tehát szinte a Sarkoknál kellene állnia az alma-

cosφ =vA T

2π rA= 184,7 24 3600

2π 60 6370000és φ = 89,6° .

fának!Hasonló jelenségekrôl olvashatunk még a Benkô

nevû Bolyai-tanítvány kézírásában is: „… Ha függélyilapban egy abroncs ollyan sebességgel forog, a’ mek-korát kapna a’ fél radiushoz egyenlö magasságrolesve, az alol belöl felöl tett pohár viz felyül fordulvasem esnék le: mert ekkor a’ V = c2/2r = g, tehát 2rg =c2 = 4σg; tehát σ = c2/4g = r /2. Innen egy kerekenforgo rostában a’ nehéz buza szemek mennek leg-messzébb, a’ gaz közböl maradván.”25

25 B 598/17–17v26 B 598/17–18v27 B. F. 390/6

Valóban, az r/2 magasságból leesô test

sebességre tesz szert (a = 9,8 m/s2). Ha ezzel a kerü-

2 a r2

= a r

leti sebességgel forog az r sugarú abroncs, akkor acentripetális gyorsulás

Ha a függôleges síkban forgó abroncshoz a forgás-

ac =a r

2

r= a r

r= a = 9,8 m

s2.

pontra nézô poharat rögzítettek, abból legmagasabbhelyzetében sem folyna ki a víz, mert a víz súlyát ki-egyensúlyozná a forgás miatt fellépô centrifugálistehetetlenségi erô. Az idézett szövegben megadottlevezetés is követhetô, ha figyelembe vesszük, hogy c(celeritas) a sebességet, V (vis centripeta) a centripe-

tális gyorsulás felét, g a gravitációs gyorsulás felét, σpedig az esés közben megtett utat jelenti.

„A’ föld foroghatna olly sebessen, hogy a’ gránithegyek ollyas darabjait elhányná; könnyü látni, hogytangensbe esnék az elszakadás; az elszakadás utánvisszavonatva a’ földre (,) kérdés micsoda utat irna azelszakadt darab? Meg lehet mutatni, hogy ha a’ tangsebesség akkora a’ mekkorát az otti nehézséggelkapni a’ közép pontoli táv’ közepéig esve parabolairatik, ha kisebb ellipszis, ha nagyobb hyperbola;tehát az irt esetben a’ forgás’ sebessége, ’s a’ tengely-töli táv határoz,…”26

A leszakadt darab lehetséges pályáit szemléltetô 6.ábrá t egy latin jegyzetbôl mellékeljük.27 Nézzük meg,mekkora sebességre gyorsul fel az a test, amely „a’közép pontoli táv közepéig esne”, vagyis, amely az Rföldsugárnyi távolságból R /2 távolságra közelítenémeg a tömegpontnak képzelt Földet. Nyilvánvaló,hogy ez esetben már nem tekinthetô homogénnek amezô, centrális erôtérre kell felírni az energiamegma-radás törvényét:

ahonnan

0 = γ mMR

= m v2

2γ mMR /2

,

Az itt kapott sebesség éppen a szökési sebesség. Va-

v = 2γ MR

= 2 g R = 2 9,81 6370000 =

= 11,18 103 m/s = 11,18 km/s.

lóban, a szökési sebesség értéke abból a feltételbôlhatározható meg, hogy a megszökô test mozgási ener-giája egyenlô a Föld vonzásából származó potenciálisenergiával:

és innen

12m v 2sz = γ

MmR

Ha tehát legalább 11,18 km/s sebességgel forogna

vsz =2 γ MR

= 2 g R2

R= 2 g R .

a Föld Egyenlítôje, az onnan leszakadó gránitdarabokelrepülnének és parabola- vagy hiperbolapályánhagynák el a Földet.

Ehhez a sebességhez

periódusidô lenne szükséges, tehát 24-szer gyorsab-

T = 2 π Rv

= 2 π 637011,18

s = 0,993 óra ≈ 1 óra

ban kellene forognia a Földnek.Ha a φ szélességi körön levô tárgy „megszökésére”

gondolunk, a forgási sugár és a forgási periódus iscosφ-szeres érték lesz. A φ szélességi körrôl tehátakkor szökhetne meg egy „elszakadt darab”, ha a FöldT = cosφ óra alatt fordulna meg a tengelye körül, tehátha 24/cosφ-szer gyorsabban forogna.

270 FIZIKAI SZEMLE 2007 / 8

7. ábra. A tengelye körül forgó Föld

f

r

O

mg

m rw2

R

8. ábra. A pisai torony. Ditsô Lajos rajza

Súlytalanság

„A Föld maga is, ha bizonyos sebességgel forogna, aflasztereket az égre hányná, s fel lehet vetni, hogymekkorának kellene lenni [a sebességnek], hogy azaequatornál a testnek semmi nehézsége ne légyen, sakárholis a pólusokon kivül?” 28

28 B 546/10v A FIZIKA29 = függôleges egyenes30 B 545/3v31 = alapján32 B 545/3vm33 B 598/22–22v34 B 546/8

A feladat mai megfogalmazása: Mekkora szögse-bességgel/periódusidôvel kellene a Földnek forogniaahhoz, hogy a test súlya nulla legyen a) az Egyenlí-tôn, b) bárhol máshol?b) Ha a test a φ szélességi körön van, a súlytalan-

ság feltétele (7. ábra ):

ahol r = Rcosφ, g = 9,8 m/s2 és R = 6370000 m. Innen

m g = m ω 2 r cosφ ,

kapjuk a szögsebességet:

és ennek ismeretében kiszámítható a periódusidô:

ω = gR

1cosφ

= 0,00124cosφ

(1/s),

a) Az Egyenlítôn cosφ = 1, így a szögsebesség:

T = 2πω= 5064,73 cosφ (s).

és a periódusidô:

ω E =gR

= 0,00124 (1/s)

TE =2πω E

= 5064,73 (s).

Összehasonlítva ez utóbbi értéket a Föld 24 órás pe-riódusidejével, azt kapjuk, hogy a Földnek24 3600 :5064,73 = 17-szer kellene gyorsabban forog-nia ahhoz, hogy a testek súlytalanok legyenek azEgyenlítôn. Ahhoz, hogy a φ szélességi körön legye-nek súlytalanok a testek, 17/cosφ-szer kellene gyor-sabban forognia a Földnek.

Súlypont

„Hogy sulypont van, s hova esik, ebbe vagy abba, akönnyebb eseteken kivül felsöbb mathesissel lehetlátni még Archimédesben, s más felsöbb mechanikaimunkákban, s az Aritmetica elejében is. A testek nyug-tára nézve meg kivántatik, hogy a nyugponton tett füg-gélyi29 tartva legyen; s annál biztosabb az állása, minélalább van a sulypont, s terjedtebb az alja.”„…minél fennebb esik a test suly pontja, annál

könnyebben fordul fel, s legbiztosabb ha alol esik. Idetartozo a pisai torony30 is; melynek a fundamentumávalkeményen foglalva össze a suly pontja az alyan31 belölesik (8. ábra )32; a Kánt emlék pénzen ez a torony van’perscrutatis fundamentis stabilitur veritas’ kör irattal. –A mozgásban a súly pont útját kell nézni: innen szögreútját kell nézni: innen szögre tett két hágo lapon a fene-keikkel össze tett két conus a tornyig fel hághat, ha aszög s conusahoz vannak mérve.”33

Bolyai Farkas fizikajegyzeteiben más változatban ismegtalálható ezen érdekes paradox kísérlet: „A dup-lex conus apparens felmenése két szegeletre tett pla-num inclinatumon, amidön a centrum gravitatis lefelemegyen.”34

Sok fizikaszertárban ma is megtalálható a kettôs kúp,két egymással változtatható szöget bezáró „hágólappal”(függôleges helyzetû derékszögû háromszög alakú, me-rev lap). Ha ez a szög nem túlságosan kicsi, a „hágóla-pokra” tett kettôs kúp „felemelkedik” (9. ábra). Kimu-tatható, hogy a kettôs kúp „felemelkedésének” feltétele:

ahol 2α a kúp szögét, β lejtô szögét, 2γ az élek által

tgβ < tgα sinγ ,

bezárt szöget jelenti.Bizonyítás: Legyen a kúpok alapkörének sugara r,

egy kúp magassága m, a lejtôlapok magassága h, a lej-

GÜNDISCHNÉ GAJZÁGÓ MÁRIA: MIT TANÍTOTT BOLYAI FARKAS A GRAVITÁCIÓRÓL? 271

tôk alapjának hossza l, és a lejtôlapok legalsó, közös

9. ábra. A kettôs kúp felgurul a szöget bezáró lejtôéleken

A

B

h

l2g

Q

2a

b

B

O

la

A A

m

a

B

g

Q

O r

m

m = AB/2

pontja Q, legfelsô pontjai pedig A és B. Helyezzük akúppárt gondolatban a Q pontba, és tételezzük fel,hogy a kúppár az AB helyzet felé gurul. A kúppár súly-pontja eközben r magasságból h magasságba kerül,közben gravitációs helyzeti energiája csökken. Ezért r >h. Az ábra alapján megfigyelhetô, hogy: r = m tgα; m =lsinγ; h = l tgβ. Ez utóbbi négy összefüggés alapjánkönnyen megkapható a már említett feltétel.

Következtetések

35 Az alapelvek vizsgálata által szilárdabb lesz a tudás.

„A Bolyai hagyaték szénakazlából” – Tóth Imre [8]szóhasználatával élve – kiemelt szövegrészek révénaz olvasót is magával ragadhatták Bolyai Farkas gravi-tációról szárnyaló gondolatai.Benkô Samu saját fényû, szellemi értelemben vett

csillagnak tekinti a két Bolyait [9]. Így érezhetett az ol-vasó is, amikor Bolyai Farkassal a Holdig érô fáról, afelpörgetett Földrôl megszökô gránitdarabról, a belülüresnek képzelt Föld súlytalanságáról stb.