Треугольник 1.€¦ · Площадь треугольника abc равна 4. de — средняя линия. Найдите площадь треугольника

Треугольник 1.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен тре-

угольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

2.



3.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изобра-

жен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

4.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен

треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

5.



6.



7.



8.

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют коорди-

наты (1;6), (9;6), (9;9).

9.

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют коорди-

наты (1;6), (9;6), (7;9).

10.

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют коор-

динаты (1;6), (9;6), (10;9).

11.

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют коор-

динаты (0;0), (10;7), (7;10).

12.

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его

катеты равны 5 и 8.

13.

Площадь прямоугольного треугольника равна 16. Один из

его катетов равен 4. Найдите другой катет.

14.

Площадь треугольника ABC равна 4. DE — средняя

линия. Найдите площадь треугольника CDE.

15.

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его

катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10.

16.

Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из

его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет.

17.

Площадь треугольника равна 54, а его периметр 36. Найдите

радиус вписанной окружности.

18. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (2; 2), (8; 10),

(8; 8).

19.

В треугольнике угол равен , внешний угол при верши-

не равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

20.

В треугольнике угол равен , . Найдите угол .

Ответ дайте в градусах.

21.

В треугольнике угол равен , . Найдите угол .


22.

В треугольнике , угол равен . Найдите внешний

угол . Ответ дайте в градусах.

23.

В треугольнике . Внешний угол при вершине равен .

Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

24.

В треугольнике . Внешний угол при вершине

равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

25.

Один из углов равнобедренного треугольника равен . Найдите

один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

26.

В треугольнике угол равен , – высота, угол равен

. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

27.

В треугольнике – биссектриса, угол равен , угол


28.

В треугольнике – биссектриса, угол равен , угол


29.

В треугольнике , – высота, угол равен . Найди-

те угол . Ответ дайте в градусах.

30. В треугольнике – медиана, угол равен 90°, угол равен . Найдите


31.

В треугольнике угол равен , а углы и – острые. и –

высоты, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

32.

Два угла треугольника равны и . Найдите тупой угол, который

образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в граду-

сах.

33.

В треугольнике угол равен , и – биссектрисы, пересе-

кающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

34.

Острый угол прямоугольного треугольника равен . Найдите

острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ

дайте в градусах.

35.

Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямо-

угольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

36.

В треугольнике – высота, – биссектриса, – точка пересе-

чения и угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

37.

В треугольнике проведена биссектриса и . Найдите

меньший угол треугольника . Ответ дайте в градусах.

38.

В треугольнике угол равен , угол равен . На про-

должении стороны отложен отрезок . Найдите угол треугольника .


39.

Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Най-

дите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла.


40.

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектри-

сой, проведенными из вершины прямого угла, равен . Найдите меньший угол данного

треугольника. Ответ дайте в градусах.

41.

Острые углы прямоугольного треугольника равны и .

Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла.


42.

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медиа-

ной, проведенными из вершины прямого угла, равен 40°. Найдите больший из острых

углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

43.

Острые углы прямоугольного треугольника равны и .

Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла.


44.

Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного тре-

угольника, проведенными из вершины прямого угла, равен . Найдите меньший угол

этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

45.

В треугольнике угол равен , угол равен , —

биссектриса, — такая точка на , что . Найдите угол . Ответ дайте в гра-

дусах.

46.

В треугольнике угол равен , угол равен , – бис-

сектриса внешнего угла при вершине , причем точка лежит на прямой . На продол-

жении стороны за точку выбрана такая точка , что . Найдите угол .

Ответ дайте в градусах

47.

В треугольнике угол равен , угол равен . , и – бис-

сектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

48.

В треугольнике угол равен , угол равен .

, и – высоты, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в граду-

сах.

49.

На рисунке угол 1 равен , угол 2 равен , угол 3 равен . Найдите

угол 4. Ответ дайте в градусах.

50.

В треугольнике , , высота

равна . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

51.

В треугольнике , высота равна 3. Найдите


52.

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с раз-

мером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

53. Площадь треугольника ABC равна 12. DE – средняя линия, параллельная стороне AB.

Найдите площадь трапеции ABDE.

54.

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;7) (9;7) (8;9).

55. Точки D, E, F − середины сторон треугольника ABC. Периметр треугольни-

ка DEF равен 5. Найти периметр треугольника ABC.

56.

Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с

размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

57.

Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с

размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

58.

В треугольнике проведена медиана на стороне взята точка

так, что Площадь треугольника равна 5. Найдите площадь треугольни-

ка

59.

В треугольнике ABC сторона AC = 12, BM — медиана, BH — высо-

та, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

60.

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза

равна а один из катетов равен 1.

61.

В трапеции ABCD основания AD и BC равны 8 и 2 соответственно, а пло-

щадь трапеции равна 35. Найдите площадь треугольника ABC.

Прямоугольник: длины и площади 1.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена

фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

2.

Найдите площадь квадрата ABCD, считая стороны квадратных клеток рав-

ными 1.

3.

Найдите площадь прямоугольника ABCD, считая стороны квадратных

клеток равными 1.

4.

Найдите площадь квадрата, вершины которого имеют координа-

ты (4;3), (10;3), (10;9), (4;9).

5.

Найдите площадь прямоугольника, вершины которого имеют ко-

ординаты (1;1), (10;1), (10;7), (1;7).

6.

Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

7.

Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 2.

8.

Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади

прямоугольника со сторонами 4 и 9.

9.

Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен

18, и одна сторона на 3 больше другой.

10.

Площадь прямоугольника равна 18. Найдите его большую

сторону, если она на 3 больше меньшей стороны.

11.

Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен

18, а отношение соседних сторон равно 1:2.

12.

Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна

18, а отношение соседних сторон равно 1:2.

13.

Периметр прямоугольника равен 42, а площадь 98. Найдите

большую сторону прямоугольника.

14.

Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10.

Найдите площадь этого прямоугольника.

15.

Периметр прямоугольника равен 34, а площадь равна 60.

Найдите диагональ этого прямоугольника.

16.

Сторона прямоугольника относится к его диагонали, как

4:5, а другая сторона равна 6. Найдите площадь прямоугольника.

17.

Даны два квадрата, диагонали которых равны 10 и 6. Най-

дите диагональ квадрата, площадь которого равна разности площадей данных квадратов.

18.

Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружно-

сти, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

19.

Две стороны прямоугольника равны 6 и 8. Найдите длину век-

тора .

20.

Две стороны прямоугольника равны 6 и 8. Найдите длину

суммы векторов и .

21.

Две стороны прямоугольника равны 6 и 8. Найдите длину раз-

ности векторов и .

22. Две стороны прямоугольника равны 6 и 8. Найдите скаляр-

ное произведение векторов и .

23.

Две стороны изображенного на рисунке прямоугольника равны

6 и 8. Диагонали пересекаются в точке . Найдите длину суммы векторов и .

24.

Две стороны прямоугольника равны 6 и 8. Диагонали пересе-

каются в точке .Найдите длину разности векторов и .

25.

Найдите диагональ прямоугольника, две стороны которого равны и

.

26.

Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна .

27.

В квадрате расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из его

сторон равно 7. Найдите периметр этого квадрата.

28.

Найдите диагональ прямоугольника, если его периметр равен

28, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоуголь-

ник, равен 24.

29.

Середины сторон прямоугольника, диагональ которого равна 5,

последовательно соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырех-

угольника.

30.

В прямоугольнике расстояние от точки пересечения диагона-

лей до меньшей стороны на 1 больше, чем расстояние от нее до большей стороны. Пери-

метр прямоугольника равен 28. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

31.

Найдите диагональ прямоугольника , если стороны квадратных клеток

равны 1.

32.

Найдите периметр четырехугольника , если стороны квадратных кле-

ток равны .

33.

Найдите периметр четырехугольника , если стороны квадратных

клеток равны .

Параллелограмм: длины и площади 1.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен

параллелограмм (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

2.

Найдите площадь параллелограм-

ма, если две его стороны равны 8 и 10, а угол между ними равен 30°.

3.

Периметр параллелограмма равен 46. Одна сторона параллело-

грамма на 3 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

4.

Две стороны параллелограмма относятся как , а периметр его

равен 70. Найдите большую сторону параллелограмма.

5.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10. Из точки,

взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым

сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.

6.

Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с раз-

мером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

7.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бу-

маге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

8. Площадь параллелограмма равна 189. Точка — середина стороны . Найдите

площадь трапеции

9. Площадь параллелограмма равна 153. Найдите площадь параллелограм-

ма , вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

10. Площадь параллелограмма равна 176. Точка – середина стороны . Найдите

площадь треугольника .

11. Периметр параллелограмма равен 70. Меньшая сторона равна 16. Найдите большую

сторону параллелограмма.

12. Площадь треугольника ABC равна 12. DE ― средняя линия этого треугольника, па-

раллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABDE.

13.

В параллелограмме отмечена точка — середина сторо-

ны . Отрезки и пересекаются в точке . Найдите если .

14.

В параллелограмме отмечена точка — середина сторо-

ны . Отрезки и пересекаются в точке . Найдите если .

Ромб: длины и площади 1.

Найдите площадь ромба, если его

стороны равны 1, а один из углов равен 150°.

2.

Диагонали ромба равны 12 и 16. Найдите длину вектора .

3.

Диагонали изображенного на рисунке ромба равны 12 и 16.

Найдите длину вектора + .

4.

Диагонали ромба равны 12 и 16. Найдите длину векто-

ра .

5.

Диагонали ромба равны 12 и 16. Найдите длину векто-

ра .

6.

Диагонали ромба пересекаются в точке и равны 12 и 16.

Найдите длину вектора + .

7.


Найдите длину вектора .

8.


Найдите скалярное произведение векторов и .

9.

Найдите периметр четырехугольника , если стороны квадратных кле-

ток равны .

10.

Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с разме-

ром клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Трапеция: длины и площади 1.


трапеция (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

2.



3.



4.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изобра-

жена трапеция (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

5.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапе-

ция (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

6.

Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты

(1;1), (10;1), (8;6), (5;6).

7.

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

8.

Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты

(1;1), (10;1), (10;6), (5;6).

9.

Основания трапеции равны 1 и 3, высота — 1.

Найдите площадь трапеции.

10.

Средняя линия и высота трапеции равны соответствен-

но 3 и 2. Найдите площадь трапеции.

11.

Основания трапеции равны 8 и 34, площадь

равна 168. Найдите ее высоту.

12.

Основание трапеции равно 13, высота равна 5, а

площадь равна 50. Найдите второе основание трапеции.

13.

Высота трапеции равна 10, площадь равна 150. Найдите

среднюю линию трапеции.

14.

Средняя линия трапеции равна 12, площадь равна 96.

Найдите высоту трапеции.

15. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (2; 2), (8; 4), (8; 8),

(2; 10).

16.

Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют

координаты (2; 2), (10; 4), (10; 10), (2; 6).

17.

Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на

которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

18.

Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции

через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого

равен 15. Найдите периметр трапеции.

19.

Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее

основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найди-

те среднюю линию этой трапеции.

20.

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота

трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.

21.

Найдите среднюю линию трапеции , если стороны квадратных

клеток равны 1.

22.

Найдите высоту трапеции , опущенную из вершины , если сто-

роны квадратных клеток равны .

23.

Найдите среднюю линию трапеции , если стороны квадратных

клеток равны .

24.

Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого

угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону.

25.

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером

клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

26.

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с разме-

ром клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

27.

В прямоугольной трапеции с основаниями и угол

прямой, , . Найдите среднюю линию трапеции.

28.

Основания трапеции равны 8 и 16, боковая сторона, равная 6,

образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.

29.

В треугольнике ABC угол ACB равен 90°, cos A = 0,8,AC = 4.

Отрезок CH — высота треугольника ABC (см. рисунок). Найдите длину отрезка AH.

Произвольный четырехугольник 1.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена фигу-

ра (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

2.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена фигура

(см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

3.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена фигу-

ра (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

4.

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют

координаты (8;0), (10;8), (2;10), (0;2).

5.


координаты (8; 0), (9; 2), (1; 6), (0; 4).

6.


координаты (6;3), (9;4), (10;7), (7;6).

7.

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют ко-

ординаты (4; 2), (8; 4), (6; 8), (2; 6).

8.

Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырех-

угольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

9.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с

размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

10.



11.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бума-

ге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

12.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером


13.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бу-

маге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

14.



15.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой

бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

16.



17.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бума-

ге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

18.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетча-

той бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантимет-

рах.

19.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на

клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сан-

тиметрах.

20.



тиметрах.

21.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного

на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных

сантиметрах.

22.



23.



тиметрах.

24.



тиметрах.

25.



тиметрах.

26.



тиметрах.

27.



тиметрах.

28.



Многоугольник 1.

Периметры двух подобных многоугольников относятся

как 3:5. Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь большего много-

угольника.

2.

Около окружности, радиус которой равен 3, описан мно-

гоугольник, площадь которого равна 33. Найдите его периметр.

3.

Около окружности описан многоугольник, площадь кото-

рого равна 5. Его периметр равен 10. Найдите радиус этой окружности.

4.

Сумма трёх углов выпуклого четырёхугольника равна 322°. Найдите его

четвёртый угол. Ответ дайте в градусах.

5.

— правильный девятиугольник. Найдите угол .


6.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB = BC, AD =

CD, ∠B = 32°, ∠D = 94°. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах.

Задачи на квадратной решетке

1.

Найдите тангенс угла .

2.


3.


4.

Найдите биссектрису треугольника , проведенную из вершины ,

если стороны квадратных клеток равны 1.

5.

Найдите медиану треугольника , проведенную из вершины , если

стороны квадратных клеток равны 1.

6.

Найдите высоту параллелограмма , опущенную на сторону ,


7.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A и B. Найдите длину от-

резка AB.

8.

На клетчатой бумаге с размером клетки изображён угол. Найдите его гра-

дусную величину.

9.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Най-

дите длину его средней линии, параллельной стороне AB.

10.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Най-

дите длину его высоты, опущенной на сторону AB.

11.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный пря-

моугольный треугольник. Найдите длину его медианы, проведённой к гипотенузе.

12.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A, B и C. Найдите

расстояние от точки A до прямой BC.

13.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найди-

те радиус описаной около него окружности.

14.

Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с разме-

ром клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

15.

Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с разме-

ром клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

16.

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего

круга равна 11. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Круг и его элементы 1. Найдите (в см

2) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с

размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). В ответе запишите .

2. Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с








6.

Найдите (в см

2) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с


7.

Найдите площадь круга, длина окружности которого равна .

8.

Площадь круга равна . Найдите длину его окружности.

9.

Найдите площадь сектора круга радиуса , центральный угол ко-

торого равен 90°.

10.

Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна

2.

11.

Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружно-

стями, радиусы которых равны и .

12.

Найдите центральный угол сектора круга радиуса , площадь ко-

торого равна . Ответ дайте в градусах.

13.

Площадь сектора круга радиуса 3 равна 6. Найдите длину его дуги.

14.

Найдите площадь круга, считая стороны квадратных клеток рав-

ными 1. В ответе укажите .

15.

Найдите хорду, на которую опирается угол , вписанный в окруж-

ность радиуса 3.

16.

Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 122°.

Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в граду-

сах.

17.

Высота правильного треугольника равна 3. Найдите радиус окружности,

описанной около этого треугольника.

18.

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен

3. Найдите высоту этого треугольника.

19.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус

описанной окружности этого треугольника.

20.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника,

равен 4. Найдите гипотенузу этого треугольника.

21.

Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в

окружность, радиус которой равен 6?

22.

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник,

высота которого равна 6.

23.

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22,

средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

24.

Найдите (в см2) площадь кольца, изображенного на клетчатой

бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). В ответе запишите .

25. Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бума-

ге с размером клетки

1 см 1 см (см. рис.). В ответе запишите .







28. Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге

с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). В ответе запишите .












с размером клетки




















Вписанная и описанная окружности 1.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6.

Найдите высоту этого треугольника.

2.

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему ос-

нованию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус

описанной окружности этой трапеции.

3.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в

точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая

от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

4.

Боковые стороны трапеции, описанной около окружно-

сти, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.

5.

Около окружности описана трапеция, периметр которой

равен 40. Найдите ее среднюю линию.

6.

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности,

равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

7.

В четырехугольник вписана окружность, , .

Найдите периметр четырехугольника.

8.

В четырехугольник вписана окружность, ,

и . Найдите четвертую сторону четырехугольника.

9.

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три ка-

сательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр дан-

ного треугольника.

10.

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного тре-

угольника , если стороны квадратных клеток равны 1.

11.

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ,


12.

Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат , считая сторо-

ны квадратных клеток равными .

13.

Найдите радиус окружности, описанной около правильного треуголь-

ника , считая стороны квадратных клеток равными 1.

Векторы 1.

Найдите длину вектора (6; 8).

2.

Найдите квадрат длины вектора .

3.

Стороны правильного треугольника равны . Найдите длину

вектора .

4.

Стороны правильного треугольника равны 3. Найдите длину

вектора .

5.

Стороны правильного треугольника равны 3. Найдите скаляр-

ное произведение векторов и .

6.

Найдите сумму координат вектора .

7.

Вектор с началом в точке (2; 4) имеет координаты (6; 2). Найди-

те абсциссу точки .

8.

Вектор с началом в точке (2; 4) имеет координаты (6; 2). Найди-

те ординату точки .

9.

Вектор с началом в точке (3; 6) имеет координаты (9; 3). Найдите сумму коорди-

нат точки .

10.

Вектор с концом в точке (5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите

абсциссу точки .

11.


ординату точки .

12.


сумму координат точки .

13.

Найдите сумму координат вектора + .

14.

Найдите квадрат длины вектора + .

15.


16.


17.


18.

Найдите угол между векторами и . Ответ дайте в градусах.

19.

Найдите сумму координат вектора + .

20.

Найдите квадрат длины вектора + .

21.


22.


23.


24.

Найдите угол между векторами и . Ответ дайте в градусах.

Координатная плоскость 1.

Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.

2.

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют ко-

ординаты (1;7), (8;2), (8;4), (1;9).

3.


4.

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют коорди-

наты (1;7), (4;5), (4;7), (1;9).

5.


6.

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют коорди-

наты (1;7), (4;6), (4;8), (1;9).

7.

Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости.

8.

Из точки А(6; 8) опущен перпендикуляр на ось абсцисс. Найдите

абсциссу основания перпендикуляра.

9.

Через точку А(6; 8) проведена прямая, параллельная оси абсцисс.

Найдите ординату ее точки пересечения с осью Oy.

10.

Найдите расстояние от точки A с координатами (6; 8) до оси абс-

цисс.

11.

Найдите расстояние от точки A с координатами (6; 8) до оси ор-

динат.

12.

Найдите расстояние от точки A с координатами (6; 8) до начала

координат.

13.

Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(6; 8) относи-

тельно оси Oy.

14.

Найдите ординату точки, симметричной точке A(6; 8) относи-

тельно оси Ox.

15.

Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(6; 8) относи-

тельно начала координат.

16.

Найдите ординату точки, симметричной точке A(6; 8) относи-

тельно начала координат.

17.

Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки O(0;

0) и A (6; 8).

18.

Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки O(0, 0)

и A(6, 8).

19.

Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точкиA(6, 8)

и B(-2, 2).

20.

Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки A(6; 8)

и B(-2; 2).

21.

Найдите ординату точки пересечения оси Oy и отрезка, соединя-

ющего точки A(6; 8) и B(−6; 0).

22.

Найдите длину отрезка, соединяющего точки O(0; 0) и A(6; 8).

23.

Найдите длину отрезка, соединяющего точки A(6; 8) и (−2; 2).

24.

Найдите синус угла наклона отрезка, соединяющего точкиO(0; 0)

и A(6; 8), с осью абсцисс.

25.

Найдите косинус угла наклона отрезка, соединяющего точкиO(0;

0) и A(6; 8), с осью абсцисс.

26.

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки

с координатами (−2; 0) и (0; 2).

27.

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки

с координатами (2; 0) и (0; 2).

28.

Прямая a проходит через точки с координатами (0; 4) и (6; 0).

Прямая b проходит через точку с координатами (0; 8) и параллельна прямой a. Найдите

абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox

29.

Прямая a проходит через точки с координатами (0; 4) и (−6; 0).

Прямая b проходит через точку с координатами (0; −6) и параллельна прямой a. Найдите

абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.

30.

Найдите ординату точки пересечения оси Oy и прямой, проходя-

щей через точку B(6; 4) и параллельной прямой, проходящей через начало координат и

точку A(6; 8).

31.

Точки O(0; 0), B(6; 2), C(0; 6) и A являются вершинами паралле-

лограмма. Найдите ординату точки A.

32.

Точки O(0; 0), A(6; 8), C(0; 6) и B являются вершинами паралле-

лограмма. Найдите ординату точки B.

33.

Точки O(0; 0), A(6; 8), B(6; 2) и C являются вершинами паралле-

лограмма. Найдите ординату точки C.

34.

Точки O(0; 0), A(6; 8), B(6; 2), C(0; 6) являются вершинами четы-

рехугольника. Найдите ординату точки P пересечения его диагоналей.

35.

Точки O(0;, 0), A(6; 8), B(6; 2), C(0; 6) являются вершинами четы-

рехугольника. Найдите абсциссу точки P пересечения его диагоналей.

36.


лограмма. Найдите абсциссу точки B.

37.


лограмма. Найдите ординату точки B.

38.


лограмма. Найдите абсциссу точки C.

39.


лограмма. Найдите ординату точки .

40.

Точки O(0; 0), B(8; 2), C(2; 6) и A являются вершинами паралле-

лограмма. Найдите абсциссу точки A.

Прямоугольный треугольник: вычисление углов

1. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите .






7.

В треугольнике угол равен 90°, Найдите









16. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .








24.

В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .

25.

В треугольнике угол равен 90°, — высота, , . Найди-

те .

26.

В треугольнике угол равен 90°, – высота, , . Найди-

те .

27.

В треугольнике угол равен 90°, – высота, , . Най-

дите .

28.

В треугольнике угол равен 90°, высота равна 20, . Найди-

те .

29.


те .

30.


те .

31.


те .

32.


те .

33.


те .

34.

В треугольнике угол равен 90°, синус внешнего угла при

вершине равен 0,1. Найдите .

35.

В треугольнике угол равен 90°, синус внешнего угла при

вершине равен . Найдите .

36.

Один острый угол прямоугольного треугольника на 32° больше

другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

37.

Один острый угол прямоугольного треугольника в 4 раза больше

другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

38.

В треугольнике угол равен 90°, – высота, угол равен .

Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

39.

Острые углы прямоугольного треугольника равны 85° и 5°. Найдите угол между высо-

той и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

40.

В треугольнике ABC угол С равен 90°, АВ = 4, ВС = 2. Найдите .

41.

Острые углы прямоугольного треугольника равны 62° и 28°.

Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла.


Прямоугольный треугольник: вычисление внешних углов

1.

В треугольнике угол равен 90°, . Найдите синус

внешнего угла при вершине .

2.

В треугольнике угол равен 90°, . Найдите коси-

нус внешнего угла при вершине .

3.

В треугольнике угол равен 90°, . Найдите тан-

генс внешнего угла при вершине .

4.

В треугольнике угол равен 90°, . Найдите

синус внешнего угла при вершине .

5.


косинус внешнего угла при вершине .

6.

В треугольнике угол равен 90°, . Найди-

те тангенс внешнего угла при вершине .

7.

В треугольнике угол равен 90°, . Найдите синус


8.

В треугольнике угол равен 90°, . Найдите косинус внешнего угла при

вершине .

9.



10.



11.



12.



13.

В треугольнике угол равен 90°, . Найдите синус внешнего угла при вер-

шине .

14.

В треугольнике угол равен 90°, . Найдите косинус внешнего угла при

вершине .

15.

В треугольнике угол равен 90°, . Найдите тангенс внешнего угла при

вершине .

16.



17.



18.


тангенс внешнего угла при вершине .

19.

В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите синус внешнего угла при

вершине .

20.

В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите косинус внешнего

угла при вершине .

21.

В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите тан-


22.

В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите синус внешнего угла

при вершине .

23.

В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите косинус внешнего угла


24.

В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите тангенс внешнего

угла при вершине .

25.

В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите синус внешнего угла


26.

В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите косинус внешнего угла


27.

В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите тангенс внешнего угла


28.

В треугольнике угол равен 90°, угол равен . Найди-

те синус угла .

29.


те косинус угла . В ответе укажите .

30.


те тангенс угла . В ответе укажите .

Прямоугольный треугольник: вычисление элементов







7. В треугольнике угол равен 90°, — высота, , . Найдите .

8. В треугольнике угол равен 90°, — высота, , . Найдите .

9. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите высоту .

10.


дите .

11. В треугольнике угол равен 90°, – высота, , .

Найдите .

12.

В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите высо-

ту .

13.


те

14.


те .

15.

В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите высоту .

16. В треугольнике угол равен 90°, – высота, , .

Найдите .

17.

В треугольнике угол равен 90°, синус внешнего угла при вершине равен

, . Найдите .

18.

В треугольнике угол равен 90°, синус внешнего угла при вершине равен

0,5, . Найдите .

19.

В треугольнике угол равен 90°, косинус внешнего угла при вершине равен –

0,5, . Найдите .

20.

В треугольнике угол равен 90°, косинус внешнего угла при вершине

равен , . Найдите .

21.

В треугольнике угол равен 90°, тангенс внешнего угла при вершине


22.

В треугольнике угол равен 90°, тангенс внешнего угла при вершине


23.


те .

24.


дите .

25. В треугольнике угол равен 90°, угол равен


26.

В треугольнике угол равен 90°, угол равен , .

Найдите .

27.


Найдите .

28.


Найдите .

29.

В треугольнике угол равен 90°, угол равен , . Найди-

те .

30.

В треугольнике угол равен 90°, угол равен , . Найдите .

31.

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите гипотену-

зу.

32.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26. Один из его

катетов равен 10. Найдите другой катет.

33.


Найдите высоту .

34.

В треугольнике угол равен 90°, – высота, угол равен


35.

В треугольнике угол равен 90°, – высота, угол равен


36.

Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если стороны

квадратных клеток равны 1.

37.

В треугольнике ABC угол AСB равен 90°, cos A = 0,8, AC = 4. Отре-

зокCH ― высота треугольника ABC (см. рис.). Найдите длину отрезка AH.

38.

В треугольнике ABC угол AСB равен 90°, cos A = 0,8, AC = 4. Отре-

зок CH ― высота треугольника ABC (см. рис.). Найдите длину отрезка AH.

39.

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите наибольшую

среднюю линию треугольника.

40.

В треугольнике Найдите

41.

Прямые и параллельны (см. рисунок). Найдите если

. Ответ дайте в градусах.

42. В параллелограмме . Найдите площадь параллелограмма.

43.

В треугольнике внешний угол при верши-

не равен . Найдите длину медианы .

44.

На окружности радиуса 3 взята точка С . Отрезок АВ — диаметр

окружности, . Найдите ВС.

45.

В треугольнике угол равен . Найдите .

46.

В окружности с центром и — диаметры. Центральный

угол равен . Найдите вписанный угол . Ответ дайте в градусах.

47.

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите наибольшую

среднюю линию треугольника.

48.

В треугольнике угол равен , . Внешний угол при вер-

шине равен . Найдите .

49.

На стороне прямоугольника у которого и от-

мечена точка так, что треугольник равнобедренный. Найдите .

Равнобедренный треугольник: вычисление углов 1.

В треугольнике , . Найдите .

2.


3.

В треугольнике , высота равна 7, . Найдите

.

4.

В треугольнике , высота равна 24, . Найди-

те .

5.

В треугольнике , высота равна 4, . Найдите .

6.

В треугольнике , высота равна 4. Найдите .

7.


8.


9.

В треугольнике , – высота, . Найдите .

10.


11. В треугольнике , – высота, . Найди-

те .

12.


13.


14.


15.


16.


17.


18.


19.


те .

20.


те .

21.

В треугольнике , – высота, , . Найди-

те .

22.


те .

23.


те .

24.

В тупоугольном треугольнике , высота равна

4. Найдите .

25.

В тупоугольном треугольнике , высота

равна 20. Найдите .

26.

В тупоугольном треугольнике , высота

равна 4. Найдите .

27.

В тупоугольном треугольнике , – высо-

та, . Найдите .

28.



29.



30.


7, . Найдите .

31.



32.



33.


.

34.


35.

В треугольнике , . Найдите синус внеш-

него угла при вершине .

36.

В треугольнике , . Найдите косинус внеш-

него угла при вершине .

37.

В треугольнике , . Найдите тангенс


38.

Один угол равнобедренного треугольника на 90° больше другого.

Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Равнобедренный треугольник: вычисление элементов 1.


2. В треугольнике , , . Найдите .

3.



5.



7.


8.

В треугольнике , . Найдите высоту .

9.

В треугольнике , , . Найдите высоту .

10.


11.


12.


13.


14.


те .

15.

В треугольнике , высота равна 0,5, . Найди-

те .

16.


те .

17. В треугольнике , высота равна 2, . Най-

дите .

18.


те .

19.


.

20.

В треугольнике , , . Найдите

высоту .

21.


те .

22.

В треугольнике Найдите высоту

23.


те .

24.


25. В треугольнике , – высота, , . Най-

дите .

26. В треугольнике , . Найдите высо-

ту .

27.

В треугольнике , — высота, . Найдите .

28.


29.

В треугольнике , — высота, . Найди-

те .

30.

В треугольнике угол равен 90°, — высота, , . Найдите .

31.


те .

32.

В треугольнике , , синус внешнего угла при

вершине равен 0,6. Найдите .

33.

В треугольнике , , косинус внешнего угла при

вершине равен –0,5. Найдите .

34.

В треугольнике , , тангенс внешнего угла при

вершине равен . Найдите .

35.

В треугольнике , синус внешнего угла при верши-

не равен Найдите .

36.

В треугольнике , косинус внешнего угла при вер-

шине равен –0,5. Найдите .

37.

В треугольнике , тангенс внешнего угла при вер-


38.

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного тре-

угольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого

треугольника.

39.

Угол при вершине, противолежащей основанию

равнобедренного треугольника, равен 150°. Боковая сторона треугольника равна 20. Най-

дите площадь этого треугольника.

40.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а ос-

нование равно 6. Найдите площадь этого треугольника.

41.

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного тре-

угольника, равен 30°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна

25.

42.

Угол при вершине, противолежащей ос-

нованию равнобедренного треугольника, равен 150°. Найдите боковую сторону тре-

угольника, если его площадь равна 100.

43.

В треугольнике . Найдите высоту .

44.

В равностороннем треугольнике высота

равна . Найдите стороны этого треугольника.

45.

В треугольнике , угол равен . Найдите высоту .

46.

В треугольнике , высота равна 4, угол равен . Найди-

те .

47.

В треугольнике , угол равен . Найдите высо-

ту .

48.

В треугольнике , угол равен , . Найди-

те .

49. , угол равен , . Найдите .

50.

В треугольнике угол равен Найдите

51.

В треугольнике АВС АВ = ВС, медиана ВМ равна 6. Площадь треугольни-

ка АВС равна Найдите AB.

52.

В треугольнике , . Найдите длину медианы .

Треугольники общего вида 1.

Найдите синус угла . В ответе укажите значение синуса, умножен-

ное на .

2.

Найдите косинус угла . В ответе укажите значение косинуса,

умноженное на .

3.


ное на .

4.



5. Найдите синус угла . В ответе укажите значение синуса, умно-

женное на .

6.



7.


ное на .

8.



9.

Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и

12, а угол между ними равен 30°.

10.

У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к

этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, про-

веденная ко второй стороне?

11.

Один из внешних углов треугольника равен . Углы, не смежные с

данным внешним углом, относятся как . Найдите наибольший из них. Ответ дайте в

градусах.

12.

Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к третьему равна .

Найдите этот третий угол. Ответ дайте в градусах.

13. Углы треугольника относятся как . Найдите меньший из них. Ответ дайте в гра-

дусах.

14.

В треугольнике угол равен , угол

равен , – высота. Найдите разность углов и . Ответ дайте в градусах.

15.

В треугольнике ABC угол A равна 135°. Продолжения

высот BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

16.

В треугольнике на сторонах и отмечены точки и соот-

ветственно так, что а . Во сколько раз площадь треугольни-

ка больше площади треугольника

17.

В треугольнике , внешний угол при вер-


18.

В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны AB = BC = 5,

медиана BM = 4. Найдите cos∠BAC.

19.

Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1= 36°, ∠2 = 101°.


Параллелограмм: углы 1.

В параллелограмме высота, опущенная на сторону , равна

4, . Найдите синус угла B.

2. В параллелограмме высота, опущенная на сторону ,

равна 4, . Найдите .

3.

В параллелограмме . . Найдите высоту, опущен-

ную на сторону .

4.

В параллелограмме , , . Найдите

большую высоту параллелограмма.

5.

В параллелограмме . Найдите .

6.

В параллелограмме . Найдите .

7.

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол

параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ


8.

Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на

первую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллело-

грамма.

9.

Площадь параллелограмма равна 40, две его сто-

роны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

10.

Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол

равен . Ответ дайте в градусах.

11.

Сумма двух углов параллелограмма равна . Найдите один из

оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

12.

Один угол параллелограмма больше другого на . Найдите боль-

ший угол. Ответ дайте в градусах.

13.

Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами

углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

14.

Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относят-

ся как . Ответ дайте в градусах.

15.

Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, приле-

жащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

16.

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противополож-

ную сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сто-

рону параллелограмма, если его периметр равен 88.

17.

Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма,

прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторо-

на параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

18.

В параллелограмме диагональ в два раза больше

стороны и . Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ


Прямоугольник: углы 1.

Меньшая сторона прямоугольника равна 6, диагонали пересека-

ются под углом . Найдите диагонали прямоугольника.

2.

Диагональ прямоугольника вдвое больше одной из его сторон. Найди-

те больший из углов, который образует диагональ со сторонами прямоугольника? Ответ

выразите в градусах.

3.

В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении , меньшая

его сторона равна 6. Найдите диагональ данного прямоугольника.

Ромб: углы

1.

Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый

угол 30°.

2.

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.

3.

Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей равна 12.

Найдите другую диагональ.

4.

Площадь ромба равна 6. Одна из его диагоналей в 3 раза

больше другой. Найдите меньшую диагональ.

5.

Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны 2, а ост-

рый угол равен .

6.

Найдите высоту ромба, сторона которого равна , а острый угол

равен .

7.

Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна

, а острый угол равен .

8.

Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200.

Найдите высоту ромба.

9. В ромбе ABCD угол ABC равен 122°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

10. В ромбе ABCD угол ACD равен 43°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

11.

В ромбе . Найдите синус угла .

Трапеция: углы 1.

Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые

стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.

2.

Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус

острого угла трапеции равен . Найдите боковую сторону.

3.

Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая

сторона равна 14. Синус острого угла равен . Найдите меньшее основание.

4.

Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 51. Тангенс

острого угла равен . Найдите высоту трапеции.

5.

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 23. Высота

трапеции равна 39. Тангенс острого угла равен . Найдите большее основание.

6.

Основания равнобедренной трапеции равны 17 и 87. Высота тра-

пеции равна 14. Найдите тангенс острого угла.

7.

Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр

равен 60. Найдите площадь трапеции.

8.

Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь

равна 40. Найдите периметр трапеции.

9.

Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой

равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45°.

10.

Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь

равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

11.

Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые

стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

12.

Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь

равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.

13.

Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, об-

разует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.

14.

Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна

8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной

боковой стороне. Ответ выразите в градусах.

15.

Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно,

что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

16.

Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания

равны 30 и 16.

17.

Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основа-

ние равно 18. Найдите большее основание трапеции.

18.

В равнобедренной трапеции большее основание равно 25, боковая

сторона равна 10, угол между ними . Найдите меньшее основание.

19.

В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 27, острый

угол равен . Найдите ее периметр.

20.

Основания равнобедренной трапеции равны 15 и 9,

один из углов равен . Найдите высоту трапеции.

21.

Основания трапеции относятся как , а средняя линия равна 5.

Найдите меньшее основание.

22.

Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна

боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.

23.

Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше дру-

гого на 4. Найдите большее основание трапеции.

24.

Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два

отрезка, разность которых равна 2. Найдите большее основание трапеции.

25.

Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий

середины диагоналей трапеции.

Центральные и вписанные углы 1. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в

градусах.

2.

Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную

радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

3.

Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную ра-

диусу окружности? Ответ дайте в градусах.

4.

Радиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного

угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.

5.

Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла,

опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.

6.

Центральный угол на 36° больше острого вписанного угла, опирающе-

гося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

7.

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет

окружности. Ответ дайте в градусах.

8.

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составля-

ет окружности. Ответ дайте в градусах.

9.

Дуга окружности , не содержащая точки , составляет . А

дуга окружности , не содержащая точки , составляет . Найдите вписанный угол

. Ответ дайте в градусах.

10.

В окружности с центром и – диаметры. Вписанный угол

равен . Найдите центральный угол . Ответ дайте в градусах.

11.

В окружности с центром и – диаметры. Центральный угол

равен . Найдите вписанный угол . Ответ дайте в градусах.

12.

Найдите угол , если вписанные углы и опираются на

дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно и . Ответ


13.

Угол равен . Градусная величина дуги окружности, не со-

держащей точек и , равна . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

14.

Найдите величину угла . Ответ дайте в градусах.

15.


16.


17.

Найдите градусную величину дуги окружности, на которую опира-

ется угол . Ответ дайте в градусах.

18.

Найдите градусную величину дуги окружности, на которую

опирается угол Ответ дайте в градусах.

19. Найдите центральный угол , если он на больше вписанного угла , опираю-

щегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

20.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 104°,

угол CAD равен 66°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

21.

В угол величиной вписана окружность, которая касается сторон

угла в точках и . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

22.

В окружности с центром и — диаметры. Центральный

угол равен . Найдите вписанный угол . Ответ дайте в градусах.

Касательная, хорда, секущая 1. Найдите хорду, на которую опирается угол 90°, вписанный в окружность радиуса 1.

2.

Найдите хорду, на которую опирается угол , вписанный в окруж-

ность радиуса .

3.

Хорда делит окружность на две части, градусные величины которых

относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки , принадлежащей мень-

шей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

4.

Хорда стягивает дугу окружности в . Найдите угол между

этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку . Ответ дайте в гра-

дусах.

5.

Угол между хордой и касательной к окружности равен . Най-

дите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой . Ответ дайте в градусах.

6.

Через концы , дуги окружности в проведены касательные

и . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

7.

Найдите угол , если его сторона касается окружности, –

центр окружности, а меньшая дуга окружности , заключенная внутри этого угла,

равна . Ответ дайте в градусах.

8.

Угол равен , где – центр окружности. Его сторона касает-

ся окружности. Найдите величину меньшей дуги окружности, заключенной внутри

этого угла. Ответ дайте в градусах.

9.

Найдите угол , если его сторона касается окружности, –

центр окружности, а большая дуга окружности, заключенная внутри этого угла,

равна . Ответ дайте в градусах.

10.

Угол равен . Его сторона касается

окружности. Найдите градусную величину большей дуги окружности, заключенной

внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

11.

Центральный угол на 48° больше острого вписанного угла, опираю-

щегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

12. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна длины


13. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна длины


Окружность, вписанная в треугольник

1.

Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности

равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

2.

Площадь треугольника равна 24, а радиус вписанной окруж-

ности равен 2. Найдите периметр этого треугольника.

3.

Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус

окружности, вписанной в этот треугольник.

4.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник,

равен . Найдите сторону этого треугольника.

5.

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный

треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу этого треугольника. В ответе укажи-

те .

6.

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны .

Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

7.

В треугольнике , , угол равен 90°. Найдите

радиус вписанной окружности.

8.

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, ос-

нование равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

9.

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник , считая

стороны квадратных клеток равными 1.

Окружность, вписанная в четырехугольник 1.

Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 4.

2. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 4.

3.

Сторона ромба равна 1, острый угол равен . Най-

дите радиус вписанной окружности этого ромба.

4.

Острый угол ромба равен . Радиус вписанной в

этот ромб окружности равен 2. Найдите сторону ромба.

5.

Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиу-

са 1.

6.

Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен

24, две его стороны равны 5 и 6. Найдите большую из оставшихся сторон.

7.

Три стороны описанного около окружности четырехугольни-

ка относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого

четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.

8.

Около окружности, радиус которой равен , описан квадрат.

Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

9.

Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник . Счи-

тайте, что стороны квадратных клеток равны 1. В ответе укажите .

Окружность, вписанная в многоугольник

1. Около окружности, радиус которой равен 3, описан

многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.

2.

Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около

окружности, радиус которой равен .

3.

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шести-

угольник со стороной .

Окружность, описанная вокруг треугольника

1.

Точки , , , расположенные на окружности, делят ее на три дуги, гра-

дусные величины которых относятся как . Найдите больший угол треугольни-

ка . Ответ дайте в градусах.

2.

Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окруж-

ности, описанной около этого треугольника.

3.

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника,


4.

В треугольнике , , угол равен 90°. Найдите радиус

описанной окружности этого треугольника.

5.

В треугольнике , угол равен 90°. Радиус описанной

окружности этого треугольника равен 5. Найдите .

6.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вер-

шине, противолежащей основанию, равен . Найдите диаметр описанной окружности

этого треугольника.

7.

Сторона треугольника равна 1. Противолежащий ей

угол равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

8.

Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности.

Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах

9.

Угол треугольника , вписанного в окружность радиуса 3,


10.

Сторона треугольника равна 1. Противолежащий ей

угол равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

11.

Пусть тупым является угол C, тогда сторона ABтупо-

угольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите

угол C. Ответ дайте в градусах.

12.

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, ос-

нование равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Окружность, описанная вокруг четырехугольника

1.

Угол четырехугольника , вписанного в окружность, равен .

Найдите угол этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

2.

Стороны четырехугольника , , и стягивают дуги опи-

санной окружности, градусные величины которых равны соответственно , ,

, . Найдите угол этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

3.

Точки , , , , расположенные на окружности, делят эту окружность

на четыре дуги , , и , градусные величины которых относятся соответственно

как . Найдите угол четырехугольника . Ответ дайте в градусах.

4.

Четырехугольник вписан в окружность. Угол равен ,

угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

5.



6.



7.

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две

стороны которого равны 3 и 4.

8.

Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окруж-

ность, радиус которой равен 5.

9.

Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной,

равной .

10.

Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса .

11.

Меньшая сторона прямоугольника равна 6. Угол между диагоналями

равен . Найдите радиус описанной окружности этого прямоугольника.

12.

Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описан-

ной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

13.

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны

и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

14. Углы , и четырехугольника относятся как . Найдите угол , если

около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

15.

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ,

если стороны квадратных клеток равны 1. В ответе укажите .

16.

Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен

угол равен Найдите угол Ответ дайте в градусах.

Окружность, описанная вокруг многоугольника 1.

Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр

описанной окружности.

2.

Угол между стороной правильного -угольника, вписанного в

окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны,

равен . Найдите .

3.

Около окружности, радиус которой равен , описан правильный

шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.

Documents

Треугольник 1.€¦ · Площадь треугольника abc равна 4. de — средняя линия. Найдите площадь треугольника