Embed Size (px)
Citation preview
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИКА
Учебно-методический комплекс
В четырех частях
Часть 2
Минск БГАТУ
2011
2
УДК 51(07) ББК 22.1я7
М34 Рекомендовано научно-методическим советом
факультета предпринимательства и управления БГАТУ. Протокол № 1 от 20 сентября 2011 г.
Составители:
кандидат физико-математических наук, доцент И. М. Морозова, кандидат физико-математических наук, доцент Л. А. Хвощинская,
кандидат физико-математических наук А. А. Тиунчик, старший преподаватель Л. В. Лобанок,
ассистент О. В. Рыкова, ассистент О. Н. Кемеш
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики и теории механизмов и машин БГАТУ
А. Н. Орда; доктор педагогических наук, доцент кафедры теории функций БГУ
Н. В. Бровка
М34
Математика : учебно-методический комплекс. В 4 ч. Ч. 2 / сост. : И. М. Морозова [и др.]. — Минск : БГАТУ, 2011. — 188 с.
ISBN 978-985-519-486-7. Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика» предназначен для
студентов дневной формы обучения инженерных специальностей сельскохозяйст-венных высших учебных заведений.
УДК 53(07) ББК 22.3я7
ISBN 978-985-519-486-7 (ч. 2) ISBN 978-985-519-371-6 © БГАТУ, 2011
3
ПРЕДИСЛОВИЕ _______________________________________________ Данное издание – это вторая из четырех частей учебно-методического
комплекса, каждая из которых содержит учебный материал, излагаемый в соответствующем семестре. Вторая часть данного комплекса содержит перечень основных вопросов учебной программы дисциплины «Матема-тика» 2 семестра, учебные материалы по темам: «Комплексные числа», «Неопределенные интегралы», «Определенные интегралы», «Обыкно-венные дифференциальные уравнения». УМК составлен в соответствии с типовой программой дисциплины «Математика», разработанной по мо-дульной технологии обучения. Каждый модуль содержит теоретический материал, соответствующий темам лекций, в который включены задачи с подробными решениями. Также предлагаются задачи для решения с преподавателем на практических занятиях и самостоятельной работы, примерный вариант контрольного теста (образцы итоговых тестовых за-даний даны по уровням и отмечены знаками: репродуктивного уровня – знаком 0, творческого уровня – знаком *), индивидуальное домашнее за-дание (ИДЗ) и решение задач типового варианта ИДЗ для выявления дос-тижений студентов.
В результате изучения дисциплины «Математика» во втором се-местре студент должен знать:
- определение формы записи и действия над комплексными числами - основные методы интегрирования; - приложения определенного интеграла к задачам геометрии
и механики; - основные типы дифференциальных уравнений и методы их
решения; уметь: - производить действия над комплексными числами; - находить неопределенные интегралы; - вычислять с помощью определенного интеграла площади, дли-
ны дуг, объемы и площади тел вращения; - решать основные типы дифференциальных уравнений первого
и второго порядков.
4
ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (2 СЕМЕСТР) _______________________________________________
Модуль 6 Комплексные числа
Комплексные числа, действия с ними. Изображение комплекс-
ных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.
Действия над комплексными числами: сложение, умножение, деле-ние. Формула Муавра. Корни из комплексных чисел. Многочлены. Тео-рема Безу. Основная теорема алгебры о разложении многочлена на мно-жители. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение рациональных дробей в сумму простейших дробей четырех типов.
Модуль 7 Неопределенные интегралы
Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его основные
свойства. Таблица основных неопределенных интегралов. Понятие об ос-новных методах интегрирования: непосредственное интегрирование, ме-тод замены переменной (метод подстановки), метод интегрирования по частям. Интегрирование простейших рациональных дробей и любых ра-циональных дробей. Интегрирование простейших иррациональных функций, теорема Чебышева. Интегрирование некоторых классов функ-ций, содержащих тригонометрические функции. Универсальная и упро-щенные подстановки. Понятие о «неберущихся» интегралах.
5
Модуль 8 Определенные интегралы
Определение определенного интеграла, теорема об условиях его
существования. Основные свойства определенных интегралов, гео-метрический смысл. Вычисление определенных интегралов. Фор-мула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов с помощью методов замены переменной и интегрирования по час-тям. Несобственные интегралы (интегралы с бесконечными преде-лами интегрирования и от неограниченных функций), теоремы об их сходимости и расходимости. Приложения определенных инте-гралов к некоторым задачам геометрического и физического со-держания. Вычисление площадей плоских фигур, длины дуги кри-вой, объемов и площадей поверхностей тел вращения, работы пе-ременной силы, давления на помещенную в жидкость пластину, ко-ординат центра масс плоской дуги и фигуры, моментов инерции некоторых материальных систем. Численные приближенные мето-ды вычисления определенных интегралов: формулы прямоугольни-ков, трапеций, парабол (Симпсона), точность вычислений.
Модуль 9 Обыкновенные дифференциальные уравнения
Некоторые задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Понятие о дифференциальных уравнениях n-го порядка и их решениях. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача и теорема Коши, их геометрическая интерпретация, изоклины, графическое интегрирование. Дифференциальные уравнения: с разделенными и разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к ним, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах и приводящиеся к ним с помощью интегрирующего множителя; методы их интегрирования. Понятие об особых точках и решениях дифференциальных уравнений первого порядка, уравнения Клеро и Лагранжа. Огибающие, ортогональные и изогональные траектории. Дифференциальные уравнения второго и высших порядков. Задача и теорема Коши, их геометрическая интерпретация и графическое решение в случае второго порядка. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение
6
порядка. Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго и высших порядков, фундаментальная система решений, структура общего решения. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение, нахождение его корней, фундаментальной системы решений и общего решения. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения со специальной и неспециальной правой частью. Методы отыскания частного решения (метод спецструктуры и метод вариации произвольных постоянных Лагранжа). Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений n -го порядка и их решение методом исключения. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, их решение с помощью характеристического уравнения системы.Приближенные методы решения дифференциальных уравнений и их систем методом, основанном на применении формулы Тейлора, методами Адамса и Эйлера. Приложения дифференциальных уравнений к решению задач геометрического, физического, химического и экономического содержания.
7
МОДУЛЬ 6 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ________________________________________________
В результате изучения модуля студенты должны: 1) знать а) понятия и определения: комплексное число, мнимая
единица, действительная и мнимая часть комплексного числа, модуль, аргумент, тригонометрическая, показательная форма записи комплексного числа, формулы Эйлера; б) характеризовать связь между формами записи комплексного числа и изображением его на комплексной плоскости; в) моделировать практические задачи на составление уравнений с отрицательным дискриминантом.
2) уметь находить действительную и мнимую части комплексного числа, модуль и аргумент, записывать тригонометрическую и показательную формы числа; представлять синусоидальный ток в комплексной форме.
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Попытки решения квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом привели к возникновению понятия комплексных чисел.
Определение. Комплексным числом называется число вида
iyxz += , (6.1)
где yx, – действительные числа, )1(1 2 −=−= ii – мнимая единица.
В технической литературе используют обозначение 1−=j . Число х называется действительной частью комплексного
числа, а у – его мнимой частью и обозначают zx Re= , zy Im= .
8
Запись iyxz += называется алгебраической формой комплекс-ного числа.
Множество всех комплексных чисел обозначают С. При 0=y получим действительное число xix =⋅+ 0 , т. е. R⊂ C. При 0=x получим число вида iyyi =⋅+0 , которое называется
чисто мнимым. Два комплексных числа равны, если равны их действительные
и мнимые части. Числа iyxz += и iyxz −= называются сопряженными.
Если на плоскости введена прямоугольная декартова система координат xOy, то каждому комплексному числу соответствует точка М(х, у) плоскости или вектор ОМ . И наоборот, каждая точка М(х, у) плоскости изображает комплексное число iyxz += (рис. 6.1).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, назы-
вается комплексной плоскостью и обозначается Z , ось Ох – дейст-вительной осью, а ось Оу – мнимой осью.
§ 2. МОДУЛЬ И АРГУМЕНТ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМЫ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Определение. Модулем комплексного числа iyxz += называет-ся число
22|| yxOMr +==
и обозначается .|| zr =
Определение. Угол ϕ , образованный вектором OM с положительным направлением оси Ох , называется аргументом комплексного числа и обозначается zarcg=ϕ .
Z
x
y
0 x
y iyxz +=( )yxM ,
ϕ
Рис. 8.1.Рис. 8.1.
Рис. 6.1
9
Аргумент ϕ комплексного числа может быть найден из системы уравнений (см. рис. 8.1)
⇒==ry
rx ϕϕ sin,cos tg
xy
=ϕ .
Очевидно, что аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого Zkk ∈,2π . Главное значение аргумента arg zϕ = выбирается из условий:
ππ ≤<− zarg или π2arg0 <≤ z .
Подставим в алгебраическую форму комплексного числа iyxz += формулы соотношения ϕϕ sin,cos ryrx == .
Получим формулу ϕϕ sincos irriyxz +=+= , или
)sin(cos ϕϕ irz += , (6.2)
которая называется тригонометрической формой комплексного числа.
Обозначив символом ϕie комплексное число ϕϕϕ sincose ii += ,
запишем комплексное число (8.2) в показательной форме ϕirz e= . Таким образом, комплексное число имеет 3 формы записи: 1. iyxz += – алгебраическая форма, 2. )sin(cos ϕϕ irz += – тригонометрическая форма, 3. ϕirz e= – показательная форма,
где 22 yxr += – модуль комплексного числа, ϕ – аргумент
комплексного числа, tg )(, πϕπϕ ≤<−=xy .
Формулы Эйлера Заменяя в формуле
ϕϕϕ sincose ii += (6.3)
ϕ на – ϕ , получим
ϕϕϕ sincose ii −=− . (6.4) 10
Складывая и вычитая равенства (6.3) и (6.4), находим
i
iiii
2eesin,
2eecos
ϕϕϕϕ
ϕϕ−− −
=+
= .
Формулы (6.3) и (6.4) называются формулами Эйлера. Эти формулы связывают показательную и тригонометрические функции. Пример 6.1. Следующие комплексные числа представить в тригонометрической и показательной формах и изобразить точками и векторами на комплексной плоскости: а) iz 1221 −= , б) 42 −=z . Решение. а) Действительная и мнимая части комплексного числа равны 12Im,2Re 11 −==== zyzx
Найдем модуль и аргумент 1z :
,416124)12(2 2222 ==+=−+=+= yxr
.32
34
32412sin,
21
42cos πϕϕϕ −=⇒−=−=
−=====
ry
rx
Следовательно, представление комплексного числа 1z в тригонометрической и показательной формах имеет вид
)3
sin3
(cos4)sin(cos1ππϕϕ iirz −=+= и 3
1 4eπ
ϕ ii erz−
== .
б) 42 −=z .
,0Im,4Re 22 ==−== zyzx
,40)4( 22 =+−=r
040sin,1
44cos ===ϕ−=
−==ϕ
ry
rx
.π=ϕ⇒ Таким образом, .e4)sin(cos42
π=π−π= iiz Числа 1z и 2z изображены на рис. 6.2.
0
π
Рис. 6.2
12
z2
-42
x
z1
-3π
y Z
11
§ 3. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
Если комплексные числа заданы в алгебраической форме 111 iyxz += , 222 iyxz += , то операции сложения, вычитания,
умножения и деления этих чисел выполняются по следующим правилам:
1. )( 1121 iyxzz +=+ )()()( 212122 yyixxiyx +++=++ ,
2. )( 1121 iyxzz +=− )()()( 212122 yyixxiyx −+−=+− ,
3. =+++=+⋅+=⋅ 212
212121221121 )()( yyixiyyixxxiyxiyxzz+−= )( 2121 yyxx )( 1221 yxyxi + ,
4. =−
−+−=
−+−+
=++
= 22
222
212
212121
2222
2211
22
11
2
1
))(())((
yixyyixiyyixxx
iyxiyxiyxiyx
iyxiyx
zz
22
22
211222
22
212122
22
21212121 )()(yx
yxyxi
yxyyxx
yxyxxyiyyxx
+−
+++
=+
−++= ,
при этом 02 ≠z . Пример 6.2. Даны комплексные числа:
iz += 51 , iz 322 +−= , iz −= 23 .
Вычислить: 1) 3321 zzz + ; 2)
2
123 z
zz + ; 3) 32
21 zzz − .
Решение. 1) Последовательно вычислим 3
321 zzz + :
;131331310315210)32)(5( 221 iiiiiiizz +−=−+−=++−−=+−+=⋅
iiiiiiiz 112612823232)2( 3223333 −=+−−=−⋅+⋅−=−= .
Тогда iiizzz 21111213133321 +−=−++−=+ .
2) Аналогично вычисляем 2
123 z
zz + :
.4314444)2( 2223 iiiiiz −=−−=+−=−=
12
=+−−
=−−
−−−−=
−−+−−−+
=+−+
=94177
)3()2(315210
)32)(32()32)(5(
325
22
2
2
1 ii
iiiii
iii
izz
;1317
137
13177 ii
−−=−−
=
Тогда
135217
1339743
1317
137
2
123
−−+
+−=−+−−=+ ii
zz
z ii1369
1332
−= .
3) Вычисляем 3221 zzz − :
;10241025)5( 2221 iiiiz +=++=+=
iiiiiizz 473624)2)(32( 232 −−=+−+−=−−−= .
Тогда iiiiizzz 1431471024)47(10243221 +=+++=−−−+=− .
Операции умножения и деления удобно проводить и над чис-лами, заданными в тригонометрической или показательной формах (см. [1], гл. VII, § 2,3).
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
Рассмотрим синусоидальный ток, закон изменения которого во времени описывается формулой
)sin( ψ+ω= tIi m ,
где mI – амплитуда тока, характеризует максимальное значение тока, ω – угловая частота, ψ+ωt – фаза, характеризует состояние колебания в момент времени t , ψ – начальная фаза.
График тока дан на рис. 8.3.
13
При расчете цепей синусоидального тока используется также по-
нятие действующего значения тока
2mI
I = .
Для облегчения расчетов в электротехнике синусоидальный ток принято изображать вектором (или точкой) на комплексной плоскости
jmm II ψ⋅= e )1( −=j , (6.5)
который называется комплексной амплитудой (рис. 8.4). (обратите внимание на обозначения осей координат!). Модуль этого вектора равен амплитуде mI , а аргумент – начальной фазе ψ тока.
Если комплексную амплитуду разделить на 2 , то получим комплексное действующее значения тока
jmm III ψ== e
22.
Зная комплексную амплитуду или комплексное действующее значение синусоидальной величины, можно осуществить обратный переход и записать выражение для мгновенного значения этой ве-личины. Пример 6.3. Ток меняется по закону )120sin(10 0+ω= ti А. Найти комплексную амплитуду тока и изобразить ее на комплексной плоскости.
+1 0ψ
+j
mI.
Рис. 6.4
tω
i
0 ψ
Im
Рис. 6.3
14
Решение. Из условия находим ампли-туду mI и начальную фазу ψ тока:
0120,10 =ψ=mI . По формуле (8.5) находим комплексную амплитуду:
=⋅=⋅= ψ jjmm II
0120e10e
=+= )120sin120(cos10 00 j
A.66,85)23
21(10 jj +−=+−=
Комплексная амплитуда изображена на рис. 6.5. Пример 6.4. Задано комплексное действующее значение тока
jI 1010 −= А. Записать выражение для его мгновенного значения. Решение. Найдем действующее значение I тока как модуль ком-плексного действующего значения I тока:
14,14210)10(10|| 22 ==−+== II А.
Амплитуда mI тока вычисляется по формуле
2022102 =⋅=⋅= II m А.
Определим начальную фазу ψ как аргумент комплексного числа I
из уравнения 11010tg −=−=ψ .
Поскольку число jI 1010 −= расположено в четвертой четвер-
ти, то 045−=ψ . Записываем выражение для мгновенного значения синусоидального тока:
)45sin(20)sin( 0−ω=ψ+ω= ttIi m А.
+1
+j
0
mI.
°=ψ 120
-5
8,66
Рис. 6.5
15
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ _______________________________________________
1. Даны комплексные числа iz 531 += , iz 432 −= , iz 213 −= .
Найти число ( )
3
231
zzzz
z⋅+
= .
2. Представить в тригонометрической и показательной формах и изобразить на комплексной плоскости комплексные числа:
а) iz 221 −= ; б) iz −=2 ; в) iz += 33 .
3. Решить уравнения а) 0542 =++ xx ; б) 092 =+x .
4. Ток меняется по закону )6
5sin(90 πω −= ti А. Найти
комплексную амплитуду I тока и изобразить ее на комплексной плоскости.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1 1. Даны комплексные числа iz 321 −= , iz 342 += , iz += 23 .
Найти число 2
2321
zzzz
z+⋅
= .
2. Представить в тригонометрической и показательной формах и изобразить на комплексной плоскости комплексное число
iz +−= 3 .
16
Вариант 2 Даны комплексные числа iz 541 −= , iz 412 −= , iz 223 += .
Найти число ( )
3
3221z
zzzz
+= .
2. Представить в тригонометрической и показательной формах и изобразить на комплексной плоскости комплексное число
iz 44 −= .
Домашнее задание 1.Даны числа .23,52,3,21 4321 iziziziz −=+=−=+=
Вычислить
а) 2
431z
zzz +⋅ ; б) 42
23
31
zzzz
++ ; в)
1
4322 )(
zzzz ⋅− .
2. Представить числа iziz 333,232 21 −=−= в тригономет-рической и показательной формах, изобразить их на комплексной плоскости .
3. Решить уравнения а) 0222 =++ xx ; б) 0162 =+x .
Управляемая самостоятельная работа студентов Самостоятельно изучить следующие вопросы с подготовкой ре-
фератов по ним: история возникновения теории комплексных чисел; комплексное
сопротивление электрической цепи, комплексная форма записи закона Ома.
17
КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ ПО МОДУЛЮ № 6 _______________________________________________
10. Найти значение выражения ( ) ( )ii 9562 −−++ .
20. Действительной частью комплексного числа ( i23 +− ) явля-ется число а) 2; б) 3; в) -3; г) -1.
30. Какое число будет сопряженным числу i65 − ? а) i65 − ; б) i65 + ; в) i65 −− ; г) i65 +− .
4. Как называется число вида i10− ? а) действительным числом; б) отрицательным числом; в) неполным комплексным числом; г) чисто мнимым числом
5. Какое комплексное число изображается точкой М ? а) i62 − ; б) i62 + ; в) i26 − ; г) i26 + .
6. Какую из форм записи комплексного числа называют алгеб-раической? a) iyxz += ; б) ϕirz e= ;
в) )sin(cos ϕϕ irz += ; г) 22 yxz −= .7. Модулем комплексного числа iyxz += называется число
a) 22 yxr += ; б) yxr += ;
в) )sin(cos ϕϕ izr += ; г) 22 yxr −= .
Z
x
y
0
2
6
M
18
8. Если тригонометрическая форма комплексного числа имеет
вид )3
sin3
(cos4 ππ iz −= , то в показательной форме это число
имеет вид
а) iz 122 −= ; б) 34πi
ez−
= ; в) 34πi
ez = ; г) 3πi
ez−
= . 9*. Решите уравнение 042 =+x . 10*. Аргумент комплексного числа iz 31−−= равен
а)3π ; б) π
32
− ; в) 3π
− ; г) 6π .
ИДЗ 6
Задание 1. Даны комлексные числа 321 ,, zzz . Вычислить:
3
12
2321 z
zzzzz ⋅++ .
Задание 2. Представить заданное комплексное число в тригонометрической и показательной формах и изобразить его на комплексной плоскости.
Вариант 1
1. ,341 iz −= ,342 iz += .13 iz −= 2. ;44 iz +=
Вариант 2
1. ,41 iz += ,232 iz −= .233 iz += 2. ;232 iz +=
Вариант 3
1. ,431 iz −= ,22 iz += .23 iz −= 2. ;333 iz −=
19
Вариант 4
1. ,211 iz += ,12 iz −= .33 iz −= 2. ;355 iz +−=
Вариант 5
1. ,21 iz −= ,322 iz += .313 iz += 2. ;33 iz −=
Вариант 6
1. ,11 iz +−= ,212 iz += .233 iz −= 2. ;434 iz −=
Вариант 7
1. ,11 iz −−= ,12 iz −= .323 iz += 2. ;66 iz +−=
Вариант 8
1. ,21 iz += ,212 iz −= .213 iz += 2. ;31010 iz −−=
Вариант 9
1. ,21 iz +−= ,212 iz +−= .33 iz +−= 2. ;333 iz +=
20
Вариант 10
1. ,31 iz +−= ,222 iz +−= .313 iz +−= 2. ;88 iz −−=
Вариант 11
1. ,11 iz += ,32 iz += .43 iz −= 2. ;535 iz −=
Вариант 12
1. ,231 iz += ,32 iz += .243 iz −= 2. ;44 iz −=
Вариант 13
1. ,241 iz += ,422 iz += .13 iz += 2. ;66 iz +=
Вариант 14
1. ,211 iz −−= ,22 iz += .333 iz −= 2. ;232 iz +−=
Вариант 15
1. ,331 iz += ,212 iz += .33 iz += 2. ;377 iz +=
21
Вариант 16
1. ,411 iz += ,412 iz −= .13 iz −−= 2. ;22 iz +−=
Вариант 17
1. ,431 iz += ,432 iz −= .223 iz −= 2. ;355 iz −−=
Вариант 18
1. ,321 iz += ,432 iz += .333 iz += 2. ;333 iz −=
Вариант 19
1. ,311 iz += ,322 iz += .23 iz −= 2. ;44 iz +−=
Вариант 20
1. ,311 iz += ,42 iz −= .343 iz −= 2. ;1010 iz −=
Вариант 21
1. ,11 iz −= ,322 iz += .23 iz −= 2. ;33 iz +=
Вариант 22
1. ,311 iz +−= ,12 iz −= .213 iz += 2. ;33 iz −=
22
Вариант 23
1. ,211 iz +−= ,432 iz += .33 iz += 2. ;326 iz −−=
Вариант 24
1. ,11 iz −−= ,322 iz += .13 iz −= 2. ;632 iz +=
Вариант 25
1. ,21 iz +−= ,322 iz += .313 iz += 2. .22 iz −=
Вариант 26
1. ,341 iz −= ,212 iz +−= .33 iz −= 2. ;326 iz +−=
Вариант 27
1. ,321 iz += ,12 iz −= .13 iz −−= 2. ;33 iz +−=
Вариант 28
1. ,211 iz −−= ,222 iz +−= .313 iz +−= 2. ;33 iz +=
23
Вариант 29
1. ,21 iz −= ,22 iz += .243 iz −= 2. ;55 iz −=
Вариант 30
1. ,11 iz −= ,212 iz +−= .13 iz −= 2. ;55 iz +−=
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА
Задание 1. Даны комплексные числа:
iz −= 51 , iz 312 −−= , iz +−= 23 .
Вычислить 3
12
2321 z
zzzzz ⋅++ .
Решение. Последовательно вычислим 2321 zzz + :
;14831453155)31)(5( 221 iiiiiiizz −−=−−−=+−+−=−−−=⋅
;4314444)2( 2223 iiiiiz −=−−=+−=+−= .
Тогда iiizzz 185431482321 −−=−+−−=+ .
Аналогично вычисляем 3
12 z
zz :
=+−−
=−−
+−+−=
−−+−−−−
=+−−
=14311
)()2(5210
)2)(2()2)(5(
25
22
2
3
1 ii
iiiii
iii
izz
;53
511
5311 ii
−−=−−
=
iz 312 +−= . 24
Тогда
( ) 2
3
12 5
953
533
511
53
51131 iiiii
zzz −+−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⋅+−= = i64 − .
Вычисляем 3
12
2321 z
zzzzz ⋅++ :
( ) ( ) .241641853
12
2321 iii
zzzzzz −−=−+−−=⋅++
Задание 2. Представить в тригонометрической и показательной формах и изобразить на комплексной плоскости комплексное число
iz 22 −−= . Решение. Действительная и мнимая части комплексного числа равны 2Im,2Re −==−== zyzx
Найдем модуль и аргумент z :
( ) ,22844)2(2 2222 ==+=−+−=+= yxr
122=
−−
==xytgϕ , так как число z находится в третьей четверти
комплексной плоскости, то πϕ43
−= .
Следовательно, представление комплексного числа z в тригонометрической и показательной формах имеет вид
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=+=
43sin
43cos22
43sin
43cos22)sin(cos ππππϕϕ iiirz и
43
22eπ
ϕ ii erz−
== .
25
МОДУЛЬ 7 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ______________________________________________ В результате изучения модуля студенты должны: 1) знать а) понятия и определения: первообразная, неопределенный
интеграл, основные свойства неопределенного интеграла, таблицу неопределенных интегралов, формулу интегрирования по частям; простейшие рациональные дроби I-IV типов, правильная и неправильная рациональные дроби, схема интегрирования дробно-рациональной функции, формулировка теоремы о разложении дробно-рациональной функции на сумму простейших дробей; тригонометрические и иррациональные функции, универсальная подстановка; б) характеризовать методы непосредственного интегрирования, замены переменной и по частям в неопределенном интеграле; виды простейших рациональных дробей; виды интегралов от тригонометрических и иррациональных функций;
2) уметь находить неопределенные интегралы по таблице интегралов, используя методы непосредственного интегрирования, поднесения под знак дифференциала, замены переменной и интегрирования по частям; интегрировать простейшие рациональные дроби I-IV типов, выделять целую часть неправильной рациональной дроби, разлагать правильную рациональную функцию на сумму простейших дробей I-IV типов; вычислять интегралы от простейших иррациональных и тригонометрических функций.
§ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА
Определение. Первообразной функцией для функции )(xf на промежутке Х называется такая функция )(xF , производная которой равна данной функции, т.е.
26
)()( xfxF =′ для любых Xx∈ .
Например, xsin есть первообразная функции xcos для любого действительного х, так как xx cos)(sin =′ , xln есть первообразная
функция x1 на промежутке ),0( ∞+ , т. к.
xx 1)(ln =′ .
Если )(xF и )(xΦ – две первообразные для одной и той же
функции )(xf , то CxFx +=Φ )()( , где С – постоянная. Определение. Совокупность всех первообразных CxF +)(
функции )(xf называется неопределенным интегралом от функции )(xf и обозначается
∫ += CxFxxf )()( d .
Функция )(xf называется подынтегральной функцией, а xxf d)( подынтегральным выражением.
Свойства неопределенного интеграла
1. ( ) )()( xfxxf =′∫ d или ∫ = xxfdxxf d)())(d( .
2. ∫ +=′ Cxfxxf )()( d или ∫ += Cxfxf )()(d .
3. ∫ ∫= xxfcxxcf dd )()( (с = const).
4. [ ]∫ ∫ ∫+=+ xxfxxfxxfxf ddd )()()()( 2121 .
5. Если )(xF – первообразная функции )(xf , а )(xuu = – дифференцируемая функция, то ∫ += CuFuuf )()( d .
27
Таблица неопределенных интегралов
1. ∫ += Cuud 2. ∫ =Cud0
3. Cuuu ++
=∫+
1d
1
α
αα ( 1−≠α ), 4. , ∫ +−= C
uuu 1d2
5. ∫ += Cuuu lnd 6. ∫ += Cu
uu 2d
7. ∫ += Ca
auau
u
lnd ,
( 1,0 ≠> aa ) 8. ∫ += Cu uu ede
9. ∫ +−= Cuuu cosdsin 10. ∫ += Cuuu sindcos
11. ∫ += Cuu
u tgcos
d2 12. ∫ +−= Cu
uu ctg
sind
2
13. ∫ +=+
Cau
auau arctg1d
22
14. ∫ +
−+
=−
Cauau
auau ln
21d
22
15. ∫ ++−
=−
Cauau
aauu ln
21d
22
16. ∫ +=
−C
au
ua
u arcsind22
17. Cauuau
u+++=
+∫ 22
22lnd 18. Cauu
au
u+−+=
−∫ 22
22lnd
19. Cuu
u+=∫ |
2tg|ln
sind 20. ∫ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+= Cuu
u42
tglncosd
21. ∫ +−= Cuuu coslndtg 22. ∫ += Cuuu sinlndctg
28
Пример 7.1. Найти ( )∫ − xxx d2
.
Решение. Возведем подынтегральную функцию в квадрат и разобъем интеграл на сумму трех табличных интегралов:
( ) ( )∫ ∫ =+−=− xxxxxxxx d2d 22=+−∫ ∫∫ xxxxxx dd2d 2/32
Cxxx++−=
22/52
3
22/53
= Cxxx++−
254
3
22/53
.
Пример 7.2. Найти ∫ + 3d
2xx .
Решение.
∫ + 3d
2xx =
( )22
d 1. 11 arctg3 33
x xприменим табл интеграл № Cx
= = ++
∫ .
Пример 7.3. Найти ( )dxxx
x∫ +
−22
2
434
.
Решение. Преобразуем выражение, стоящее в числителе подынте-гральной функции:
( )dxxx
x∫ +
−22
2
434 = ( )
( ) =+−+
∫ dxxx
xx22
22
444
( ) −++
∫ dxxx
x22
2
44
( ) Cхarctgxx
dxxdxdx
xxx
+−−=+
−=+
− ∫∫∫ 2241
24
44
22222
2
=
Cхarctgx
+−−2
21.
§ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ (МЕТОД ПОДСТАНОВКИ)
При вычислении неопределенных интегралов методом замены переменной применяют два типа подстановок: либо )(xu ϕ= , либо
)(tx ψ= , где )(xϕ и )(tψ — некоторые функции.
29
После подстановки полученный интеграл может оказаться проще исходного.
Частным случаем метода замены переменной является метод подведения под знак дифференциала, основанный на формуле
)(dd)( xxx ϕ=ϕ′ .
Например, xxx
lndd1= , 2
2
d21
2dd xxxx == и т.п.
Пример 7.4. Найти ∫ + xx d)12sin( . Решение. Сделаем замену переменной
2112 −
=⇒=+uxux , uxduux d
21d,
21d =′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
= .
Тогда ==⋅=+∫ ∫ ∫ uuuuxx dsin21d
21sind)12sin(
=+−= Cucos21 Cx ++−= )12cos(
21 .
Можно этот интеграл находить иначе, предварительно преобра-зовав выражение под знаком дифференциала:
)12(d21)2(d
21d +== xxx ,
так как дифференциал от постоянной 0dd =′= xсc . Значит,
∫ ∫ =+⋅+=+ )12(d21)12sin(d)12sin( xxxx ==+ ux 12
∫ ++−=+−== CxCuuu )12cos(21cos
21dsin
21 .
Пример 7.5. Найти ∫ −13xdx .
30
Решение.
∫ ∫∫∫ =+===−=−−
=−
=−
Cuuduux
xxd
xxd
xdx ln
31
3113
13)13(
31
13)3(
31
13
Cx +−= 13ln31 .
Пример 7.6. Найти ∫+
dxx
x
2sin9
2cos2
.
Решение. ∫∫ =+
===+ x
xdxdxdxdxx
x
2sin9
)2(sin21)2(sin
212cos
2sin9
2cos22
CxxCuuu
duux +++=+++=+
=== ∫ 2sin92sinln219ln
21
9212sin 22
2.
Пример 7 .7. Найти ∫ xxx
lnd .
Решение. Поскольку )(ln1 ′= xx
, то подводя x1 под знак
дифференциала xd , получаем )(lndd1 xxx
= .
Тогда ∫∫ = .ln
)(lndlnd
xx
xxx Обозначив ux =ln , получим табличный
интеграл вида ∫ +=+= CxCuuu lnlnlnd .
Пример 7.8. Найти .ln5
dxx
x∫
Решение. 5 6 6
5 5ln lnln ln 1n .6 6
x u xdx xd x x u u du c Cx
= = = = = + = +∫ ∫ ∫
Пример 7 .9. Найти ( )∫ + arctgxxx
21d .
31
Решение. ( ) ∫∫ ==+
=+ arctgx
arctgxdarctgxdx
dxarctgxxx )()(
11d
22 =
= ∫ +=+=== CarctgxCuuduuarctgx lnln .
Пример 7.10. Найти ∫ + 9d
4xxx .
Решение. Введем x под знак дифференциала. Тогда
===+
====+
∫∫ uxx
xxxxx
x
xx 2
222
2
22
4 3)(
d21
d21
2dd
9
d
CxxCuuu
u+++=+++=
+= ∫ |9|ln
21|3|ln
21
3
d21 4222
22.
Пример 7.11. Найти dxx
x∫ + 2sin4
2sin .
Решение. dxx
x∫ + 2sin4
2sin=
==
=+=
+∫ dtxdxxtx
dxx
xxcossin2
,sin4sin4
cossin2 2
2 =∫ tdt ( ) CxCt ++=+ 2sin4lnln .
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Если )(xu и )(xv - непрерывно дифференцируемые функции, тогда uvvuuv dd)(d += . Интегрируя обе части полученного равенства и учитывая, что ∫ = uvuv)(d , получим формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле:
∫ ∫−= uvuvvu dd .
Среди интегралов, берущихся по частям, выделяют три основ-ных класса интегралов:
32
1. ∫⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧xx
xx
x
n de
cossin
, здесь полагают xnxuxu nn dd 1−=⇒= .
2. ∫
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
x
xxxx
x
xn d
arcctgarctg
arccosarcsin
ln
, здесь полагают 1
dd1
+=⇒=
+
nxvxxv
nn .
3. ∫⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
xxxx d
sincos
e , полагают либо xu e= , либо xev xdd = и
дважды интегрируют по частям.
Пример 7.12. Найти ∫ −+ .d)2( 8 xex x Решение. Применим формулу интегрирования по частям, полагая
( ) xxxuxu dd2d2 =′+=⇒+=
( ) xx exxvxev 88x-8x-8
818-de
81dedd −− −=−==⇒= ∫∫ .
Тогда ( ) ∫∫ −−− ++−=+ xexexexx xxx d812
81d)2( 888 =
= ( ) ( ) CexeCexe xxxx +−+−=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅++− −−−− 8888
6412
81
81
812
81 .
Замечание. Иногда формулу интегрирования по частям приме-няют несколько раз подряд.
Пример 7.13. Найти ∫ .d2cos2 xxx Решение. Применим формулу интегрирования по частям, полагая
xxuxu d2d2 =⇒= , xxxvxxv 2sin21d2cosd2cosd ∫ ==⇒= .
33
Тогда
∫∫ ∫ −=⋅−= xxxxxxxxxxxxx d2sin2sin21d22sin
212sin
21d2cos 222
К последнему интегралу снова применим формулу интегрирования
по частям, полагая xuxu dd =⇒= , xvxxv 2cos21d2sind −=⇒= .
Окончательно получаем
∫ ∫ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−−−= xxxxxxxxx d2cos
212cos
212sin
21d2cos 22
Cxxxxx +−+= 2sin412cos
212sin
21 2 .
Пример 7 .14. Найти ∫ xxx dln2 .
Решение. ===
===∫
3dd
d1dlndln 3
2
2
xvxxv
xx
uxuxxx
∫ =⋅−⋅= xx
xxx d133
ln33
=+⋅−=− ∫ Cxxxxxxx33
1ln31d
31ln
31 3
323
Cxx +−= )31(ln
31 3 .
Пример 7 .15. Найти ∫ dxxarctgx .
Решение. −===
+==
=∫ xarctgxxvxdxdv
xdxduarctgxu
dxxarctgx2
2,
,1
, 2
2
2
∫∫ =+
−+−=
+− dx
xxxarctgx
xdxx
2
22
2
2
111
21
2121
34
∫∫ −=+
+−= xarctgx
xx
dxdxxarctgx 2
2
2
121
21
2Cxarctgx ++
21
21
.
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
Интегралы вида
∫ ∫∫ ∫++
+++
+
++++x
cbxax
nmxxcbxax
nmx
cbxax
xcbxax
x d,d,d,d2222
сводятся к табличным после предварительного выделения полного квадрата в квадратном трехчлене с последующей заменой переменной.
Пример 7.16. Найти ∫ ++.
56d
2 xxx
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат
)332(56 222 +⋅+=++ xxxx 4)3(53 22 −+=+− x . Тогда
∫ ∫ =+++−+
=++−
⋅=
−=
=−==+
=−+
CxxC
uu
uu
uxux
ux
xx
2323ln
41
22ln
221
4d
dd3
3
4)3(d
22
Cxx
+++
=51ln
41 .
Пример 7.17. Найти ∫+−
−
5129d)1(xxxx
2 .
Решение.
∫∫∫
∫
=+−
=⋅+
−+
==+
=
=−
=+−
−=
=+−=
=+−+⋅⋅−=+−=
+−−
uuuu
u
u
uxux
ux
xxxx
x
xxxxxxxx
2
2
d1
191d
31
1
13
2
d31d,
32
,23
5129d)1(
1)23(
544322)3(51295129
d)1(
22
2
22
35
∫ ∫∫ −+=−++
⋅=+
−+
= )1ln(181arctg
91
1)1d(
21
91
1d
91d
191 2
2
2
22 uuuu
uuu
uu
.)23(arctg91)5129ln(
181arctg
91 2 CxxxCu +−−+−=+−
Для нахождения интегралов вида ∫ ∫++
+++
+ xcbxax
nmxxcbxax
nmx d,d22
можно предложить еще один способ, который не использует замену переменной. Если 0≠m , то в числителе можно выделить слагае-мое, равное производной квадратного трехчлена
( )′++=+ cbxaxbax 22 .
Пример 7. 18. Найти dxxx
x∫
+−
−
84
152
.
Решение.
( ) =−=′
+−=+−
−∫ 4284
84
15 2
2xxxdx
xx
x ( ) ( )2
5 2 4 10 12
4 8
xdx
x x
− + −=
− +∫
( )∫
+−
+−=
84
942252 xx
x=
( )+
+−
+−∫
84
8425
2
2
xx
xxd
( )=
+−∫
22 229
x
dx
= ( ) Cxxxx ++−+−+++− 422ln9845 22 .
§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Рациональной функцией называют дробь вида
01
01
)()(
bxbxbaxaxa
xQxP
nn
mm
n
m
+++
+++=
……
,
где )(xPm , )(xQn – многочлены степеней m и n соответственно.
36
Если nm ≥ , то дробь называется неправильной, а если nm < – правильной.
Если дробь неправильная, то выделяют целую часть. Для этого числитель делят "уголком" на знаменатель.
Например, дробь 1
322
3
+++xx
x является неправильной, так как
в числителе стоит многочлен третьей степени, а в знаменателе – второй. Разделим числитель на знаменатель:
xxx
x
222
3223
3
++
+−
2212
−++
xxx
222
3222
2
−−−
+−−−
xx
xx
5 При делении на каждом шаге мы знаменатель 12 ++ xx умножили
на такую степень x , чтобы при вычитании полученного после этого многочлена старшие степени уничтожались (сначала мы умножили на
x2 , затем на ( 2− )). Следовательно, неправильную дробь можно представить в виде:
1522
132
22
3
+++−=
+++
xxx
xxx .
Из алгебры известно, что всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших (элементарных) ра-циональных дробей следующих четырех типов:
I тип ax
A−
II тип kaxA
)( − (k = 2, 3, 4,…)
III тип qpxxBAx++
+2
IV тип lqpxxBAx
)( 2 +++ (k = 2, 3, 4,…)
37
где k , l – натуральные числа, A , B , C , a , p , q – постоянные, причем 042 <− qp (квадратный трехчлен qpxx ++2 не имеет действительных корней).
Интегралы от простейших дробей находятся следующими спо-собами:
I тип ax
A−
lnA dx A x a Cx a
= − +−∫
II тип kaxA
)( −
(k = 2, 3, …) ( ) ( )1( ) 1kk
A Adx Cx a x a k−= +− − −∫
III тип qpxx
BAx++
+2
Способ интегрирования рассматри-вался в §4.
IV тип lqpxxBAx
)( 2 +++
(k = 2,3, …)
Способ интегрирования рассматри-вается в [7] гл.8.
Интегрирование правильной рациональной дроби )()(
xQxP
n
m ( nm < )
производят по следующей схеме: 1) Раскладывают знаменатель на неприводимые множители (ли-
нейные и квадратичные)
lkn qpxxaxxQ )()()( 2 ++⋅⋅−= … .
2) Представляем правильную рациональную дробь в виде суммы простейших рациональных дробей с неопределенными коэффициентами:
………
+−
++−
+−
=++⋅⋅−
= kk
lkm
n
m
axA
axA
axA
qpxxaxxP
xQxP
)()()()()(
)()(
221
2
.)()()( 222
222
11l
ll
qpxxCxB
qpxxCxB
qpxxCxB
++
+++
++
++
++
++ …
38
Т. е. каждому множителю kax )( − в знаменателе соответствует
сумма k дробей вида ii
axA
)( − ( 1=i , 2, … , k ), а каждому
множителю lqpxx )( 2 ++ – сумма l дробей вида:
jjj
qpxxCxB
)( 2 ++
+, ( 1=j , 2, … , l ).
3) Находим неопределенные коэффициенты разложения. Для определения коэффициентов iA ( 1=i , 2, … , k ), jB , jC
( 1=j , 2, … , l ) правую часть разложения приводят к общему знаменателю и приравнивают числитель полученной дроби к )(xPm .
Затем, а) либо приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях
x (метод неопределенных коэффициентов); б) либо придают x частные значения, в первую очередь значе-
ния корней знаменателя (метод частных значений); в) либо комбинируют оба указанных приема. 4) Вычисляем интегралы. В общем случае интеграл от
рациональной функции всегда может быть выражен через элементарные функции: степенную, xln и xarctg .
Пример 7.19. Найти ∫ −− x
xx d
96
2
3
.
Решение. Дробь 96
2
3
−−
xx является неправильной. Выделим ее целую
часть xx
x96
3
3
−
−−
xx 92 −
69 −х
=−
−−
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
+=−−
∫ ∫ ∫ ∫∫ 96
99
969d
96
2222
3
xdxdx
xxxdxdx
хххx
xx
39
Cxxxx
xdx
xxdxdx +
+−
−−+=−
−−−
+= ∫∫∫ 33ln9ln
29
236
9)9(
29 2
2
222
2
.
Пример 7.20. Найти ∫ −+ x
xxx d
93
3
2
.
Решение. Дробь xx
x93
3
2
−+
является правильной. Разложим
знаменатель дроби на простые множители: )9(9 23 −=− xxxx )3)(3( +−= xxx .
Разложение подынтегральной функции на сумму простейших дробей имеет вид
33)3)(3(32
++
−+=
+−+
xC
xB
xA
xxxx .
Приведя правую часть к общему знаменателю и приравнивая числители, получим
).3()3()3)(3(32 −++++−=+ xCxxBxxxAx
Для определения коэффициентов CBA ,, применяем метод ча-стных значений. Будем полагать в последнем равенстве х равным корням знаменателя:
⇒==−=
−===
CBA
xxx
1812181293
330
.32,
32,
31
==−= CBA
Поэтому
∫∫∫ ∫ +−−
+−=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++
−+−=
−+
3)3(d
32d
31d
332
332
31
d93
3
2
xx
xxx
xxxx
xxx
∫ +++−+−=++
+ .|3|ln32|3|ln
32||ln
31
3)3(d
32 Cxxx
xx
40
Пример 7.21. Найти ∫ +−− x
xxxx d
)1(2
22
25
.
Решение. Дробь )1(2
22
25
+−−
xxxx является неправильной. Выделим
целую часть:
35
25 2
xx
xx
+
−−
xxx 24 +
223 −−− xx
Следовательно,
∫ ∫ ∫ +++
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++
−=+−− x
xxxxxx
xxxxxx
xxxx d
)1(2
2d
)1(2d
)1(2
22
232
22
23
22
25
.
Вычислим последний интеграл. Разложение на простейшие элементарные дроби будет иметь вид:
1)1(2
2222
23
++
++=+++
xDCx
xB
xA
xxxx .
Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем
22223 )()1()1(2 xDCxxBxAxxx +++++=++ .
Применим метод неопределенных коэффициентов, т.е. будем приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях x :
3x CA+=1 , 2x DB +=1 ,
x A=0 , 0x B=2 ,
откуда находим 0=A , 2=B , 1=C , 1−=D .
41
Значит,
∫ ∫∫ ∫ ++
−−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
+−=+−−
1dd2
2d
112
2d
)1(2
22
2
22
2
22
25
xxx
xxxx
xx
xxx
xxxx
∫∫ =+++
−−−=+
+ xxx
xx
xx arctg
1)1(d
21)1(2
21d
2
22
2 .arctg)1ln(212
22
2
Cxxx
x+++−+
§ 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
I. Интегралы вида
( ) ( ) ( ) xbaxbaxbaxxR s sn mn mn m d,,,, 2 21 1∫ ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +++ … ,
где R – рациональная функция, ss nmnmnm ,,,,,, 2211 … – целые числа, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки
ktbax =+ ,
где k – наименьшее общее кратное показателей корней 1n snn ,,2… , т. е. ),,,( 21 snnnНОКk …= .
Пример 7.22. Найти ( )∫ +−+ 32132d
4 xxx
.
Решение. ( ) ∫∫ =−
=
=
−=
=+
=
=+−+ 2
3
3
4
4
4 )1(d2
d2d2
3
32
4)4,2(
32132d
tttt
ttx
tx
tx
НОК
xxx
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
+=−+−
=− ∫ ∫∫ ∫ 1
)1(dd2d1
1)1(21
d2tttt
tt
ttt
( ) =+−+= Ctt 1ln2 ( ) Cxx +−−++ 132ln322 44 .
42
II. Интегралы вида
( )∫ + dxbxaxp
nm ,
где ba, - постоянные, отличные от нуля, pnm ,, - рациональные числа, сводятся к интегралам от рациональной функции с помощью подстановок Чебышева в следующих случаях:
1) если p - целое число, то имеем , рассмотренный выше случай интегрирования простейших иррациональных функций;
2) если ( ) nm 1+ – целое число, то применяется подстановка , где знаменатель дроби , 0n sa bx u s p r s s+ = − = > ;
3) если ( ) pnm ++1 - целое число, то используется подстановка nsn xubxa =+ .
Пример 7.23 Найти ∫+ 47 1 xx
dx .
Решение. Так как ,21,4,7 −==−= pnm то
( ) 221231 −=−−=++ pnm - целое число. Имеем третий случай интегрируемости дифференциального бинома. Тогда
( )
( ) =−−=
−==+=
+∫ −
−
duuudx
uxxux
xxdx
452
412424
47 121
,1,1
1
( ) ( ) ( ) =−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−−=
−−∫ duuuuuu
4522121472 1
2111
( ) =++−=−−= ∫ Cuuduu21
611
21 32 Cx
xx++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +− 4
26 131
61 .
43
§ 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
I. Рассмотрим интегралы вида
∫ ⋅ xdxx nm cossin .
1. Если хотя бы одно из чисел m или n – нечетное положи-тельное, то от нечетной степени отделяем один множитель и вно-сим его под знак дифференциала. Оставшуюся четную степень вы-ражаем через дополнительную функцию с помощью формул
.sin1cos,cos1sin 2222 xxxx −=−=
Пример 7 .24. Найти xxx dcossin 52∫ ⋅
Решение. =⋅⋅=⋅ ∫∫ xxxxxxx dcoscossindcossin 4252
===−== ∫∫ txxxxxxx sin)(sind)sin1(sin)(sind)(cossin 222222
+−=+−=+−=−= ∫∫∫ 52
3d)2(d)21(d)1(
53642422222 ttttttttttttt
.sin71sin
52sin
31
7753
7
CxxxCt++−=++
2. Если оба числа m и n четные неотрицательные, то применяем формулы понижения степени
22cos1cos2 xx +
= , 2
2cos1sin 2 xx −= , xxx 2sin
21cossin = .
Пример 7 .25. Найти ∫ xxx dcossin 22
Решение. == ∫∫ xxxxxx d)cos(sindcossin 222
∫ ∫∫∫∫ =−=−
=== )d4cosd(81d
24cos1
41d2sin
41d)2sin
21( 22 xxxxxxxxx
.4sin321
81)4d4cos
41(
81 Cxxxxx +−=−= ∫
44
II. Интегралы вида
∫∫ = ),3,2(,dctg,dtg …mxxxx mm ,
находятся соответственно с помощью подстановок: .ctg,tg txtx ==
Пример 7 .26. Найти ∫ xxdtg 4
Решение. ∫∫ =+
=
+=
==
= tt
t
ttx
txtx
xx d1
1dd
arctgtg
dtg 2
4
2
4
1
12
2
24
4
−
+
+=
t
t
tt
t= ∫ ∫ ∫∫ =
++−=
++− t
ttttt
tt d
11ddd)
111( 2
22
2
12
2
−−
−
t
t = .tgtg
31arctg
33
3
CxxxCttt++−=++−
1
III. Интегралы вида
∫ xbxax dsinsin , ∫ xbxax dcoscos , ∫ xbxax dcossin находятся с применением формул:
[ ])cos()cos(21sinsin β+α−β−α=βα ,
[ ])cos()cos(21coscos β+α+β−α=βα ,
[ ])sin()sin(21cossin β+α+β−α=βα .
45
Пример 7.27. Найти ( ) ( )dxxx 53cos12cos +−∫ .
Решение. ( ) ( )dxxx 43cos12cos +−∫ =
( ) ( )( ) =+++= ∫ dxxx 35cos6cos21
( ) ( ) ( ) ( ) =+++++= ∫∫ 3535cos10166cos
21 xdxxdx
( ) ( ) Cxx ++++= 35sin1016sin
21 .
IV. В общем случае интегралы вида
∫ xxxR d)cos,(sin ,
где R – рациональная функция, приводятся к интегралам от рацио-нальной функции новой переменной t с помощью универсальной
подстановки tx=
2tg , при этом
212sin
ttx
+= , 2
2
11cos
ttx
+−
= , 21d2dttx
+= .
Замечание. В случае, когда выполняется тождество ( cos , sin ) (cos ,sin )R x x R x x− − ≡ можно применять упрощен-
ную подстановку tg x t= , при этом
2sin
1tx
t=
+,
2
1cos1
xt
=+
, 2
dd1
txt
=+
.
Пример 7.28. Найти ∫ ++ xxx
cos2sin32d .
Решение. =
+=
+−=
+=
=
=++∫
)1/(d2d
)1/()1(cos
)1/(2sin
)2/tg(
cos2sin32d
2
22
2
ttx
ttx
ttx
tx
xxx
46
( ) .22
tg3ln31
2323d
31
23d
112
1232
1d2
2
2
2
2Cx
tt
tt
tt
tt
tt
++=++
=+
=
+−
++
+
+ ∫ ∫∫
Пример 7.29. Найти 2
d2 cos
xx+∫ .
Решение. 2 22
22 2
2 2
2
,d 1 1 1cos , 1 2 2 12 cos 1 2
1 11
tgx t dt dtx t tx
tx ttdt tdx
t
=
+ += = = = =+ ++ + +
+ +=+
∫ ∫ ∫
= ( )( ) ( )2 22
21 1 23 2 2 6 33 2
d tdt tarctg Ct t= = +
+ +∫ ∫ =
= 1 26 3
tgxarctg C+ .
47
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ _______________________________________________ Найти интегралы
1) 3 2 1x x x dx
x− + +
∫ ; 2) ( )dxx∫ − 25cos ;
3) dxxx ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
− 4
1
4
122
; 4) ∫ + 43xdx ;
5) ∫ + 42xxdx ; 6) ∫ x
dxxln ;
7) xxx dcos)32(∫ + ; 8) xxx dln)12(∫ + ;
9) xxе х d)3(4∫ + ; 10) xxx d2sin)3( 2∫ − ;
11) xx d2ln∫ ; 12) xxdarcsin∫ .
13) ∫ ++ 862 xxdx ; 14) ∫
++ 75,02 хх
dx ;
15) dxxx
∫ ++
42
2
5
; 16) dxx
xx∫ +
++2
12
;
17) dxxx
x∫ −−
−98
22 ; 18) ( ) x
ххxx d
569
2∫ +++
;
19) xxxx d
)3(94
2∫ −−
; 20) ∫ +−−+ dx
xxxxx
5253
23
24
.
21) ∫ ++ 121d
xx ; 22) ∫
++++
3
6
111
xxdxx
48
23) ∫+++ 4 45245 xx
dx ; 24) ∫ xxx dsincos 34 ;
25) ∫ xdx3sin 2 ; 26) ∫ xx d2
cos4 ;
27) ∫ + xxcos23
d ; 28) ∫ xxx dcos3sin .
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1.
1. Найти: а) ∫ + 34dx5
x; б) ∫ + 54
dx2x
; в) ∫ − dx)1( 2xex ;
г) ∫ dx4cos xx ; д) ∫ dx24xxe ; е) ∫ xx ln
dx.
Вариант 2.
1. Найти: а) ∫ − 23dx7
x; б) ∫ +109
dx2x
; в) ∫ + dx)12( xex ;
г) ∫ + dx2sin)1( xx ; д) ∫ dxsin22xx ; е) ∫ x
x dxln.
Домашнее задание
1. Найти: а) ∫ dx6cos x ; б) ∫− 2310
dxx
; в) ∫ − 2310dx
x;
г) ∫ xx dxln 2
; д) ∫ + dx107 xe ; е) ∫ dxcos22xx ;
ж) ∫ + dx)14( 3xex ; з) ∫ + dx3sin)2( xx ; и) ∫ dx4ln x .
49
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1
1. Найти: а) ∫ −+ 406dx
2 xx; б) ∫ + 2
dxxx ; в) ∫ ++− )3)(2)(1(
dxxxx
x .
Вариант 2
1. Найти: а) ∫ −− 208dx
2 xx; б) ∫ + 3
dxxx
; в) ∫ ++− )4)(1)(2(dx4
xxxx .
Домашнее задание
1. Найти: а) ∫ −+ 7510dx
2 xx; б); ∫ + 2
dxxx
в) ∫ +1dx
2
2
xx
;
г) ∫ −++ )4)(2)(1(dx2
xxxx
; д) ∫ −+ )2()1(dx
2
2
xxx
.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1
1. Найти: а) ∫+
+1dx)1(
xx
; б) ∫ dxcos2 x ; в) ∫ + xsin2dx
.
Вариант 2
1. Найти: а) ∫+ xx
4dx
; б) ∫ dxsin 2 x ; в) ∫ + xcos1dx
.
Домашнее задание
1. Найти: а) ∫+1dx
4 xx
; б) ∫++ 12
dxx
; в) ∫ dxcos3 x ;
г) ∫ + xcos32dx
.
50
КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ ПО МОДУЛЮ № 7 _______________________________________________
10. Если 5)( xxF = является первообразной некоторой функции )(xf , то какая из предложенных функций также является перво-
образной )(xf ?
а) 6)( ххФ = ; б) 10)( 5 −= ххФ ;
в) 4)( ххФ = г) 5
)(5ххФ = .
20. Записать результат интегрирования ∫ + 25d
2xx .
3. В каком случае свойство интеграла применяется неверно а) ( )∫ ∫ ∫+=+ dxxdxdxх 55 ;
б) ( ) ( )∫∫ +=+ dxхdxх 525 2 ; в) ( )∫ ∫ ∫−=− dxxdxdxх 55 ;
г) ( )∫ ∫ ∫ ∫+−=− dxxdxdxxdxх 25105 22 . 30. Интеграл ∫ xxd3cos равен
а) Cx +3sin ; б) Cx +3sin31 ;
в) Cx +− 3sin31 ; г) x3sin− .
4. Дробь 82
2
−xx называется
а) правильной; б) неправильной; в) приведенной; г) неприведенной.
5. Записать замену для нахождения интеграла ∫ ++ 653
xdx .
51
6. С помощью какой замены можно найти интеграл ∫ + 4cos1x
?
а) tgtx = ; б) tgxt = ; в) 2xtgt = ; г)
4xtgt = .
7. Для нахождения интеграла ( ) xxх d3sin10∫ + применяется
формула интегрирования по частям ∫ ∫−= uvuvvu dd , где а) xdxdvxu 3sin,10 =+= ; б) 10,3sin +== xdvxdxu ; в) ( ) dxdvxxu =+= ,3sin10 ; г) ( ) xdvdxxu 3sin,10 =+= .
8*. Замена 6tх = применяется для нахождения интеграла
а) dxхх
∫ + 6
5
; б) ∫ xdx5cos ;
в) ∫ +dx
ххх
12
10; г) ∫ +
dxхх3
5 .
ИДЗ 7
В задачах 1-7 найти неопределенные интегралы Вариант 1
1. а) 2 5( 2sin 3 )хе х х dxх
− + −∫ ; б) 2
2
4 8x x dxx
− +∫ ;
в) 2 4dx
x +∫ ; г) 3
2 1dx
x +∫ ; д) 225
dxx−
∫ .
2. а) ∫ − dxxe x2
; б) ∫ xdxx)sin(ln
; в) dxxx 2cos2sin 3∫ .
3. а) 4( 1) xx e dx−∫ ; б) (3 2)sinx xdx+∫ ; в) ln( 1)x dx+∫ .
52
4. а) 2
1x dxx −∫ ; б) 2 4 6
dxx x+ +∫ ; в) ∫
+−
−
86)21(
2 xxdxx
.
5. а) 3
( 1)( 2)dx
x x x− +∫ ; б) 2( 1)( 1)dx
x x+ +∫ ; в) 2
4( 3)
dxx x −∫ .
6. а) 1 5
dxx + +∫ ; б) ∫ − x
dxx1
4
.
7. а) 2cos 2xdx∫ ; б) 3sin xdx∫ ; в) 3 sin
dxx+∫ .
Вариант 2
1. а) 52
7(4 2 cos )xx x dxx
− + −∫ ; б) 2 4
2
1 3x x dxx
− +∫ ;
в) 216dx
x−∫ ; г) 2
4 3dx
x −∫ ; д) 2 4dx
x +∫ .
2. а) ∫− 41 x
xdx; б) ∫ )(sin 2 x
x
edxe
; в) ∫ xdxx 2cos2sin 2 .
3. а) (2 1) xx e dx+∫ ; б) ( 2)cos3x xdx−∫ ; в) 2arctg xdx∫ .
4. а) 2
4x dxx +∫ ; б)
2 2 3dx
x x− +∫ ; в) ∫ ++
+34
)14(2 xx
dxx.
5. а) 2
( 3)( 1)dx
x x х− +∫ ; б) 2( 4)dx
x x +∫ ; в) 2
3( 1) ( 2)
dxx x− +∫ .
6. а) 4 3
dxx− −∫ ; б) ∫ − xx
dx)4(3
.
7. а) 2sin 3xdx∫ ; б) ∫ dxxtg )2(3 ; в) 2 cos
dxx−∫ .
53
Вариант 3
1. а) 33
2(4 3 3 )xx tgx dxx
− + −∫ ; б) 33 5x x dx
x− +
∫ ;
в) 28dx
x+∫ ; г) 5
4 2dx
x−∫ ; д) 2 4dx
x −∫ .
2.а) 2sin 4 cos 4x xdx∫ ; б) ∫ + dxxx 132 ; в) ∫−
dxx
x21
arccos.
3. а) (3 5) xx e dx+∫ ; б) ( 4)sin 2x xdx−∫ ; в) arcsin 3xdx∫ .
4. а) 3
2 1x dxx +∫ ; б)
2 6 8dx
x x− +∫ ; в) ∫ ++
+178
)25(2 xx
dxx.
5.а) 5( 3)( 2)( 4)
dxx x x+ + −∫ ; б) 2( 1)( 1)
dxx x− +∫ ; в) 2
2( 1) ( 2)
dxx x+ −∫ .
6. а) 3 2
dxx+ +∫ ; б)
4
1xdxx +∫ .
7. а) ∫ xdx3cos4 ; б) ∫ xdxx 43 cossin ; в) 5
4 cosdx
x+∫ .
Вариант 4
1. а) 2 3(2 5cos )xx x e dxx
− + −∫ ; б) 3 2
3
2 4x x dxx
− +∫ ;
в) 24dx
x−∫ ; г) ∫ + 74 2xdx
; д) 216
dxx+
∫ .
2. а) ∫ + 3cos5sin
xxdx
; б) ∫ − 32xdxx
; в) ∫ xxdx
2ln.
54
3. а) 2( 4) xx e dx−+∫ ; б) (3 2)cos 4x xdx−∫ ; в) ∫ xdxxln
.
4. а) ∫ −+
232
xdxx
; б) 2 4 3
dxx x− +
∫ ; в) ∫ +++
52)3(
2 xxdxx
.
5. а) 8
( 1)( 4)dx
x x x− −∫ ; б) 2( 3)dx
x x +∫ ; в) 2
5( 2)
dxx x−∫ .
6. а) ∫ + xdx
12
; б) ∫ +−+3 12
1x
dxx.
7. а) 4sin 2xdx∫ ; б) 3 2sin cosx xdx∫ ; в) 4
sin 2dxx −∫ .
Вариант 5
1. а) 6(2cos 3 4 1)xx x dx− + +∫ ; б) 2 6 8x x dx
x− +
∫ ;
в) 225dx
x+∫ ; г) ∫ − 94 2xdx
; д) 5
3 2dx
x −∫ .
2. а) ∫+14x
dxx; б) ∫ + x
x
edxe
21; в) ∫ + 45cos
5sin2 x
dxx.
3. а) ( )∫ − dxex x234 ; б) ( 7)sin 4x xdx+∫ ; в) 3arctg xdx∫ .
4. а) 2 1
5x dxx+−∫ ; б) 2 8 17
dxx x+ +∫ ; в) ∫
+−
−
54)23(
2 xxdxx
.
5. а) 4
( 3)( 5)dx
x x х− +∫ ; б) 2( 1)( 8)dx
x x− +∫ ; в) 2
8( 2)
dxx x−∫ .
55
6. а) 5
3 2dxx+ −∫ ; б) ∫ + x
dxx4
4
; в) 44
xdxx−∫ .
7. а) 2cos 5xdx∫ ; б) 2 3sin 2 cos 2x xdx∫ ; в) 2
4 cosdx
x+∫ .
Вариант 6
1. а) 7 3(2 6 sin )xx x dxx
− + −∫ ; б) 3
2
8 6x x dxx
+ −∫ ;
в) 29dx
x−∫ ; г) ∫ + 295 xdx
; д) 7
2 1dx
x +∫ .
2. а) ∫−162x
dxx; б) ∫ x
dxxln; в) ∫ + 93sin
3cos2 x
dxx.
3. а) 7( 7) xx e dx−−∫ ; б) (3 1)cos 2x xdx+∫ ; в) arccos 2xdx∫ .
4. а) 3
2
13
x dxx+−∫ ; б) 2 4 8
dxx x− +∫ ; в)
( )∫ ++
+34
62 xx
dxx.
5. а) 2
( 1)( 2)dx
x x x− −∫ ; б) 2( 7)dx
x x +∫ ; в) 2
4( 4)
dxx x −∫ .
6. а) ∫ − xdxx
4; б)
4 35 3
x dxx−
+ −∫ .
7. а) 2sin 6xdx∫ ; б) 2 3cos 2 sin 2x xdx∫ ; в) 2
sin cosdx
x x−∫ .
Вариант 7
1. а) 3 7(2 cos )xx e x dxx
− + +∫ ; б) 3 2
2
2 4 7x x dxx
+ −∫ ;
56
в) 2 121dx
x +∫ ; г) ∫ − 499 2xdx
; д) 236
dxx−
∫ .
2. а) ∫ − 52
2xdxx
; б) ∫ xdxx
2sincos
; в) ∫+ x
x
e
dxe2
2
1.
3. а) (2 3) xx e dx−+∫ ; б) (3 )cos 2x xdx−∫ ; в) ∫ + xdxx ln)34( .
4. а) 2
5x dxx +∫ ; б) 2 6 8
dxx x+ +∫ ; в) ∫ +− 52
22 xx
dxx.
5.а)5
( 1)( 3)dx
x x x− −∫ ; б) 2( 1)( 8)dx
x x+ −∫ ; в) 2
3( 1) ( 3)
dxx x− −∫ .
6. а) 2
1 2dx
x − +∫ ; б) ∫ + xxdx
)4(3.
7. а) dxx23cos4∫ ; б) 3sin 2xdx∫ ; в)
2cos 3
dxx −∫ .
Вариант 8
1. а) 2(2 sin 5 6)x x x dx− + −∫ ; б) 4
2
3 7x x dxx+ −
∫ ;
в) 2 10dx
x −∫ ; г) ∫ − xdx
34; д)
23dx
x+∫ .
2. а) ∫ +162xdxx
; б) ∫ − x
x
edxe
21; в) ∫ x
dxx2sin
2cos.
3.а) 3( 4) xx e dx−∫ ; б) (2 7)cos3x xdx+∫ ;в) ∫ + dxxxx ln)49( 2 .
4. а) 3
2 1x dxx −∫ ; б) 2 8 20
dxx x− +∫ ; в) ∫
+−
−
34)34(
2 xxdxx
.
57
5. а) 2( 1)( 5)( 3)
dxx x х+ + +∫ ; б)
2( 2)( 3)dx
x x− +∫ ; в) 2( 2) ( 4)
dxx x− +∫ .
6. а) 3
5dx
x−∫ ; б) ∫ +++
1114
xdxx
.
7. а) ∫ dxx25sin 4 ; б) ∫ ⋅ dxxx 3cos3sin 23 ; в)
42 3sin
dxx+∫ .
Вариант 9
1. а) 2 6(3 7 cos )xx x dxx
− + −∫ ; б) 2
2
2 7 3x x dxx− +
∫ ;
в) 2 7dx
x +∫ ; г) ∫ −14 2xdx
; д) 4
5 6dx
x −∫ .
2. а) ∫− 29 x
dxx; б) ∫ xx
dx3ln
; в) ∫ + 44cos4sin
2 xxdx
.
3. а) 4(2 3) xx e dx+∫ ; б) ( 7)cos3x xdx−∫ ; в) arccos 2xdx∫ .
4. а) 2
2x dxx −∫ ; б) 2 2 17
dxx x+ +∫ ; в)
( )∫
+−
−
3421
2 xxdxx
.
5. а) 2
( 4)( 1)dx
x x x+ −∫ ; б) 2( 4)dx
x x +∫ ; в) 2( 1) ( 5)dx
x x− +∫ .
6. а) ∫ + xdxx
4; б) ∫ ++
+3 23
2x
dxx.
7. а) ∫ xdx27cos4 ; б) 3 2sin 4 cos 4x xdx∫ ; в)
24 3cos
dxx+∫ .
58
Вариант 10
1. а) 32
8( 6 2 )xe x tgx dxx
− + +∫ ; б) 2 44 3 5x x dxx
− +∫ ;
в) 3
2 7dx
x−+∫ ; г) ∫ + 925 2x
dx; д)
29dx
x+∫ .
2. а) ∫ xdxxln
; б) ∫ + 24 xxdx
; в) ∫ − 22sin32cos
xxdx
.
3. а) 6(3 ) xx e dx−∫ ; б) (3 6)sin 2x xdx−∫ ; в) ∫ dxx
x4
ln3.
4. а) 2 2
1x dxx++∫ ; б)
2 4 6dx
x x+ +∫ ; в) ∫ ++
+86
)23(2 xx
dxx.
5.а)6
( 1)( 4)( 7)dx
x x х+ − −∫ ; б) 2( 7)( 1)dx
x x− +∫ ; в) 2
5( 2) ( 5)
dxx x+ +∫ .
6. а) 7
7 4dxx+ +∫ ; б) ∫ − xx
dx)4( 3
.
7. а) 2sin 8xdx∫ ; б) ∫ dxxx
2
3
cossin
; в) sin 2cos
dxx x−∫ .
Вариант 11
1. а) 6(7 3 )x x сtgx dxx
+ − −∫ ; б) 4 2
2
2 5 8x x dxx− +
∫ ;
в) 25dx
x+∫ ; г) ∫ −169 2xdx
; д) cos(11 1)x dx−∫ .
2. а) ∫ −14 2xxdx
; б) ∫ xxdx
2sin2cos
; в) ∫−
dxx
x21
arcsin.
59
3. а) 3(2 4) xx e dx−∫ ; б) ( 7)sin8x xdx−∫ ; в) ∫ − xdxx ln)14( .
4. а) 2 4
3x dxx+−∫ ; б) 2 4 9
dxx x+ +∫ ; в) ∫
+− 342 xxxdx
.
5. а) 6
( 1)( 2)dx
x x x− −∫ ; б) 2( 4)( 2)dx
x x+ +∫ ; в) ∫ + )3(9
2 xxdx
.
6. а) 4
2 1 2dx
x + +∫ ; б) ∫ + xxdxx
)4(3
6
.
7. а) ∫ xdx3sin 2 ; б) ∫ dxxx
sincos5
; в) 2
3 cosdx
x+∫ .
Вариант 12
1. а) 5( 7 cos 2)xe x x dx− + −∫ ; б) 3 2
2
6 7x x dxx
− +∫ ;
в) 4
2 5dx
x−∫ ; г) ∫ + 216 xdx
; д) sin(2 7 )x dx−∫ .
2. а) ∫ + )4(ln2 xxdx
; б) ∫ + x
x
edxe
29; в) ∫
+ 227 xxdx
.
3.а) ∫ − dxex x3)32( ; б) ∫ + xdxx cos)12( ; в) ∫ xdxarctg3 .
4. а) 2 3
7x dxx++∫ ; б)
2 2 17dx
x x+ +∫ ; в) ∫ ++
−106
)23(2 xx
dxx.
5.а) 8( 1)( 4)( 2)
dxx x x+ + −∫ ; б)
2( 3)( 4)dx
x x+ +∫ ; в) ∫ +dx
xx )8(64
2.
60
6. а) 7
3 1dx
x − +∫ ; б) ∫ + 32 xxdx
.
7. а) ∫ xdx6sin 2 ; б) 3 2sin 7 cos 7x xdx∫ ; в) 3
sin 2dx
x−
−∫ .
Вариант 13
1. а) 6 1(2 3 4 2 )xx tgx dxx
− + − +∫ ; б) 2
3
6 7x x dxx
− +∫ ;
в) 2 6dx
x +∫ ; г) ∫ + 2252xdx
; д) sin(2 4 )x dx−∫ .
2. а) ∫ − xxdx
sin3cos
; б) ∫ − 62xdxx
; в) ∫− xctgx
dx22 9sin
.
3. а) 3(2 8) xx e dx+∫ ; б) (3 4 )cos5x xdx−∫ ; в) arccos5xdx∫ .
4. а) ( )∫ −
+2
63
xdxx
; б) ∫ −+ 542 xxdx
; в) ( )
∫+−
+
10694
2 xxdxx
.
5. а) 2
( 5)( 6)dx
x x x+ −∫ ; б) 2( 5)( 1)dx
x x− +∫ ; в) 2
4( 1) ( 4)
dxx x
−+ +∫ .
6. а) 5
6dx
x−∫ ; б) ( )∫ + xxdx
24.
7. а) ∫ xdx2cos2 ; б) ∫ xdx5sin 3 ; в) 2
sin cosdx
x x+∫ .
61
Вариант 14
1. а) 52
2( 3 )xe ctgx x dxx
− + +∫ ; б) 4 3
2
2 6 5x x dxx− +
∫ ;
в) 28dx
x+∫ ; г) 2
7 12dx
x +∫ ; д) 27
dxx+
∫ .
2. а) ∫− 2121 x
xdx; б) ∫ − 252x
x
edxe
; в) ∫ xdxx cos2sin .
3. а) 2 (7 8 )xe x dx−∫ ; б) (4 5)sin 2x xdx+∫ ; в) ( )∫ + xdxx ln13 .
4. а) 2 4
5x dxx+−∫ ; б)
2 6 16dx
x x+ +∫ ; в) ∫ ++
+208
)34(2 xx
dxx.
5 а)8
( 1)( 1)( 2)dx
x x x+ − +∫ ; б) 2( 2)( 2)dx
x x− +∫ в) 2( 4)dx
x x+∫ .
6. а) 3
1dxx −∫ ; б) ∫ ++
+41
14
xdxx
.
7. а) ∫ xdx27sin 2 ; б) dx
xx
∫ 2
3
sincos
; в) 2
3 2sindx
x+∫ .
Вариант 15
1. а) 2( 4cos 2 7)xx dxx− + −∫ ; б)
3 2
3
2 5 1x x dxx+ +
∫ ;
в) 211dx
x−∫ ; г) 2
7 6dx
x−∫ ; д) 22
dxx+
∫ .
2. а) ∫ − 812xxdx
; б) ∫ xxdx2cos
sin; в) sin(7 3 )x dx−∫ .
62
3. а) 5(2 8 ) xx e dx−∫ ;б) (3 5 )cos 2x xdx−∫ ;в) ( )∫ − xdxx ln41 .
4. а) 2 4
1x dxx+−∫ ; б) 2 8 32
dxx x+ +∫ ; в)
( )∫
++
−
91052
2 xxdxx
.
5. а) 3
( 3)( 7)dx
x x х−
+ +∫ ; б) 2( 4)( 4)dx
x x+ −∫ в) 2
2( 8)
dxx x+∫ .
6. а) ∫ − xdxx
6; б)
4 2 34 2 3
x dxx+
− +∫ .
7. а) 2sin 4xdx∫ ; б) ∫ xdxx 2cos2sin 23 ; в)5
2 3sindx
x−∫ .
Вариант 16
1. а) 82
3( 3 sin )xe x x dxx
+ − +∫ ; б) 2 4
3
7 5 2x x dxx
− +∫ ;
в) 2 13dx
x +∫ ; г) 5
8 13dx
x +∫ ; д) 23
dxx−
∫ .
2. а) ∫ −152xxdx
; б) ∫ xdxtgx
2cos; в) ( )dxee xx cos∫ .
3. а) 7(3 ) xx e dx−−∫ ; б) (8 2)sin 7x xdx+∫ ; в) ∫ dxx
x3
ln.
4. а) 2 3
1x dxx−+∫ ; б) ∫ +− 542 xx
dx; в) ∫
+− 222 xx
dxx.
5. а)7
( 1)( 5)( 6)dx
x x x− + −∫ ; б) 2( 2)( 4)dx
x x+ +∫ ; в) ∫ + )7(7
2 xxdx
.
63
6. а) 3
2dxх+∫ ; б) ∫ −−
−
4224
xdxx
.
7. а) ∫ x2sin 4 ; б) ∫ xdxx 3cos3sin 32 ; в)2
5 3cosdx
x+∫ .
Вариант 17
1. а) 2
3(4 2cos 5)x x dxx
− + −∫ ; б) 3
2
2 4 5x x dxx− +
∫ ;
в) 2 11dx
x −∫ ; г) ∫ +172xdx
; д) 25
dxx−
∫ .
2. а) ∫− 44 x
dxx; б) ∫ − x
x
edxe
28; в) ∫ − dxx )62sin( .
3.а) 3 (7 2 )xe x dx−∫ ; б) (1 3 )cos5x xdx−∫ ; в) ∫ + xdxx ln)13( 2 .
4. а) 3
2
( 1)2
x dxx−+∫ ; б)
2 6 18dx
x x− +∫ ; в) ∫ ++
−98
)12(2 xx
dxx.
5.а)2
( 1)( 3)( 5)dx
х x x+ − +∫ ; б)2( 1)( 2)
dxx x+ +∫ ; в) 2
4( 1) ( 6)
dxx x
−− +∫ .
6. а) ∫ ++ 34 xdx
; б) ∫+ 33 xx
dx.
7. а) ∫ x4cos4 ; б) ∫ xdxx 8cos8sin 52 ; в) 6
cos 2sindx
x x−∫ .
Вариант 18
1. а) 4 6(3 3 )xx ctgx e dxx
− + −∫ ; б) 2 3
2
1 5 6x x dxx
− +∫ ;
64
в) 2625dx
x+∫ ; г) 3 8
dxx−∫ ; д)
2 8dx
x +∫ .
2. а) ∫ +dx
xx
333
2
; б) ∫ +dx
xx
2cos4sin
; в) ∫ +dx
xxarctg
2
2
1.
3. а) (2 6 ) xx e dx−+∫ ; б) (4 )sin8x xdx−∫ ; в) ( )∫ + xdxxx ln49 2 .
4. а) 2
6x dxx +∫ ; б) 2 10 50
dxx x− +∫ ; в) ∫
−−
+ dxxx
x54
322
.
5. а) 4
( 3)( 7)dx
x x x−− −∫ ; б) 2( 4)( 1)
dxx x+ +∫ ; в) 2
2( 3) ( 1)
dxx x− −∫ .
6. а) 7
3 8dx
x + +∫ ; б) ∫ − 33 xxdx
.
7. а) ∫ dxx2
sin 4 ; б) 5 3sin 2 cos 2x xdx∫ ; в) 3
4 sindx
x−∫ .
Вариант 19
1. а) 7 5(2 7cos 3 )xx x dxx
− + −∫ ; б) 3
2
4 2 1x x dxx+ −
∫ ;
2. в) 264dx
x+∫ ; г) ∫ −1002xdx
; д) 2 12dx
x +∫ .
2. а) ∫ dxxx
2sin2cos
2 ; б) ∫ + 25 xxdx
; в) ∫ xxdx2ln
.
3. а) 5(2 8 ) xx e dx−−∫ ; б) (6 )sin(8 1)x x dx+ −∫ ; в) ∫ 2
lnxxdx
.
4. а) 3
2
( 1)8
x dxx−+∫ ; б) 2 10 15
dxx x+ +∫ ; в)
( )∫
++
−
5282
2 xxdxx
.
65
5. а) 8
( 1)( 9)dx
x x x+ +∫ ; б) 2( 3)( 2)dx
x x+ +∫ ; в) 2
3( 7) ( 1)
dxx x
−+ −∫ .
6. а) ∫ ++ 352
xdx
; б) ∫ −+−
328326
xdxx
.
7.а) ∫ xdx2cos2 ; б) 3 4sin 6 cos 6x xdx∫ ; в) 4
2sin 3cosdx
x x+∫ .
Вариант 20
1. а) 73
15( 3 sin )xe x x dxx
+ − +∫ ; б) 2 4
2
4 3 7x x dxx
− +∫ ;
в) 2 16dx
x +∫ ; г) ∫ −1212xdx
; д) sin(3 6 )x dx−∫ .
2. а) ∫− 42x
xdx; б) ∫ +
+1
)1(ln3
xdxx
; в) 5sin 2 cos 2x xdx∫ .
3. а) ∫ + dxex x2)23( ; б) (7 )cos 2x xdx−∫ ; в) ∫ xdxarctg5 .
4. а) 2( 7)
2x dx
x+−∫ ; б)
2 8 32dx
x x+ +∫ ; в) ∫ ++
−136
)5(2 xx
dxx.
5. а) 3
( 2)( 3)( 5)dx
х x x− − +∫ ; б) 2( 7)( 8)dx
x x− +∫ ; в) 2
14( 2)
dxx x−+∫ .
6. а) ∫ −+ 16 xdx
; б) ∫ + 33 xdxx
.
7. а) ∫ xdx3sin 2 ; б) ∫ dxxx
2cos2sin
3
5
; в) 7
4 3cosdx
x+∫ .
66
Вариант 21
1. а) 5(2 8 4 )xtgx dxx
− + −∫ ; б) 38 3 9x x dx
x− +
∫ ;
в) ∫ −162xdx
; г) cos(9 3)x dx−∫ ; д) 28
dxx−
∫ .
2. а) ∫ xdxctgx
2sin ; б) ∫
− x
x
e
dxe21
; в) dxx
x∫ + 36
124 .
3. а) 9(6 ) xx e dx+∫ ;б) (4 11 )sin(3 7)x x dx− +∫ ;в) ( 3) lnx xdx−∫ .
4. а) 2( 6)
7x dx
x+−∫ ; б) 2 12 40
dxx x+ +∫ ; в) ∫
−+
− dxxx
x54
)1(2
.
5. а)9
( 4)( 5)( 3)dx
x x х−
− − +∫ б) 2( 8)( 2)dx
x x+ +∫ в) 2
7( 9) ( 4)
dxx x+ −∫ .
6. а) 5
4 1 2dx
x + −∫ ; б) 4
2xdxx +∫ .
7. а) ∫ xdx3cos8 4 ; б) ∫ dxxx
2
3
sincos
; в) 7
2sin 8dxx −∫ .
Вариант 22
1. а) 6 3(8 2sin )xx x e dxx
− − +∫ ; б) 2
2
5 3 7x x dxx− −
∫ ;
в) 249dx
x+∫ ; г) 4 8xe dx+∫ ; д) 224
dxx+
∫ .
2. а) ∫ x
x
edxe2cos
; б) ∫ + 33
3
2
xdxx
; в) ∫ +16sincos
2 xxdx
.
67
3. а) 4(3 8) xx e dx−−∫ ;б) (18 2 )cos(4 2)x x dx+ −∫ ;в) arccos5xdx∫ .
4. а) 3
2 2x dxx −∫ ; б) 2 14 48
dxx x+ +∫ ; в) ∫
+−
−
52)1(
2 xxdxx
.
5. а) 4
( 3)( 1)dx
x x x− +∫ ; б) 2( 7)( 5)dx
x x+ −∫ ; в) 2( 4)( 1)dx
x x+ −∫ .
6. а) 7 5
dxx + +∫ ; б) ∫ +
+)1( 3
3 2
xxdxxx
.
7. а) ∫ xdx3sin6 4 ; б) 2 3sin 5 cos 5x xdx∫ ; в) 6
3sin cosdx
x x−−∫ .
Вариант 23
1. а) 3
5( 7cos 8 2 )xx x dxx+ − +∫ ; б)
3
2
4 2 9x x dxx
− −∫ ;
в) 281dx
x−∫ ; г) 11 2xe dx+∫ ; д) 2 64dx
x −∫ .
2. а) ∫ −16 2xxdx
; б) ∫ + )4(ln2 xxdx
; в) ∫− x
xdx2sin9
cos.
3. а) 13(3 ) xx e dx−−∫ ; б) (2 8)sin 4x xdx−∫ ;в) (3 1) lnx xdx−∫ .
4. а) 2
11x dxx −∫ ; б)
2 16 68dx
x x+ +∫ ; в) ∫ +− 1062 xx
xdx.
5. а) ( 9)( 6)( 1)
dxx x х− + +∫ ; б) 2( 3)( 6)
dxx x− +∫ ; в) 2
7( 11)
dxx x −∫ .
68
6. а) 3
3 2dxx −∫ ; б) ∫ ++
+23
33
6
xdxx
.
7.а) ∫ xdx25cos2 ; б) ∫ x
xdx2
3
sincos
; в) 9
5sin 1dxx +∫ .
Вариант 24
1. а) 2
8(2 6cos 7 )xx x dxx
− + −∫ ; б) 3 4
2
7 2 4x x dxx
− +∫ ;
в) 2100dx
x+∫ ; г) 12
dxx −∫ ; д)
2 81dx
x +∫ .
2. а) 2
3 14dx
x −∫ ; б) 7 12xe dx−∫ ; в) sin(13 2 )x dx−∫ .
3. а) 3(7 11) xx e dx+∫ б) (2 15)cos 2x xdx−∫ ;в) (3 1)arctg x dx+∫ .
4. а) 51
x dxx+−∫ ; б)
2
13x dxx −∫ ; в) 2 12 20
dxx x− +∫ .
5. а) 4
( 8)( 4)( 2)dx
x x х+ − −∫ ; б) 2( 3)( 6)dx
x x+ +∫ в) 2
5( 7)
dxx x +∫ .
6. а) 3
4 3 4dx
x− +∫ ; б) ∫ + xxdxx
)4(3
6
.
7. а) ∫ dxx4
cos4 ; б) 5sin 3xdx∫ ; в) 4
sin 2cosdx
x x+∫ .
Вариант 25
1. а) 3(3 2sin 4 )xe x x dx− + −∫ ; б) 3 2
2
2 5 3x x dxx+ −
∫ ;
69
в) ∫ − 916 2xdx
; г) 8 1xe dx− −∫ ; д) 264
dxx−
∫ .
2. а) ∫ + 574
2xxdx
; б) ∫ + 21 xdxarctgx
; в) ∫ dxxx 3 2cossin .
3. а) 4(2 5 ) xx e dx−∫ ; б) (1 8 )sin 5x xdx−∫ ; в) 2 lnx xdx∫ .
4. а) 3
2 5x dxx +∫ ; б)
2 10 11dx
x x+ −∫ ; в) ∫ ++
−258
)25(2 xx
dxx.
5. а) 2
( 2)( 4)dx
x x x+ −∫ ; б) 2( 1)( 1)dx
x x+ −∫ ; в) 2
7( 2) ( 3)
dxx x
−+ −∫ .
6. а) 4
2 5 3dx
x + +∫ ; б) ∫ ++
1)4(4
xdxx
.
7. а) ∫ xdx27sin 2 ; б) 5cos 2xdx∫ ; в)
53 sin
dxx−∫ .
Вариант 26
1. а) 35(2 4 )x tgx x dxx
− + −∫ ; б) 2 3
2
1 2 3x x dxx
− +∫ ;
в) 5
6 1dx
x +∫ ; г) ∫ + 2144 xdx
; д) sin(2 11)x dx+∫ .
2. а) ∫ dxxx )cos( 2 ; б) ∫+ dx
xx 1ln
; в) 4sin 5 cos 5x xdx∫ .
3. а) 4( 8) xx e dx−−∫ ; б) (2 7)cos8x xdx+∫ ; в) ∫ xdxarcctg3 .
4. а) 2( 4)
1x dx
x+−∫ ; б 2 14 48
dxx x− +∫ ; в) ∫
−−
+
54)23(
2 xxdxx
.
70
5. а) 6
( 1)( 7)( 6)dx
x x х− + +∫ ; б) 2( 5)( 2)dx
x x+ −∫ ; в) 2
8( 3)
dxx x−∫ .
6. а) 3
4 5 2 3dx
x+ +∫ ; б) ∫ ++
)1()(
3
63 2
xxdxxx
.
7. а) ∫ x3sin 2 ; б) ∫ xxdx
sincos5
;в) 7
4 3cosdx
x+∫ .
Вариант 27
1. а) 22
3(5 7cos 8 )xx x dxx
− + −∫ ; б) 24 2 1x x dx
x− +
∫ ;
в) 227dx
x+∫ ; г) 3
6 8dx
x−∫ ; д) 219
dxx+
∫ .
2. а) ∫ + dxxx )74sin( 2 ; б) 7sin 10 cos10x xdx∫ ;
в) ∫− 4ln 2 xx
dx.
3. а) 7(2 1) xx e dx+∫ ; б) (1 )cos3x xdx−∫ ; в) arccos 4xdx∫ .
4. а) 3
2 6x dxx +∫ ; б) 2 20 64
dxx x+ +∫ ; в) ∫
+−
+
10663
2 xxx
.
5. а) 2
( 3)( 5)dx
x x x− +∫ ; б) 2( 7)( 1)dx
x x+ +∫ ; в) 2( 1) ( 8)dx
x x− −∫ .
6. а) 5
3 7dxx− +∫ ; б) ∫ − xx
dx)3( 3
.
7. а) 2cos 11xdx∫ ; б) ∫ xdxx 2cos2sin 34 ; в) ∫ + xdxcos2
.
71
Вариант 28
1. а) 3( 5sin 2 )xe x x dxx
+ − +∫ ; б) 2
2
3 5 7x x dxx
+ +∫ ;
в) 217dx
x+∫ ; г) 8
3 5dx
x−∫ ; д) 2 7dx
x +∫ .
2. а) ∫ + 53 2xxdx
; б) ∫ − xxdx
cos2sin
; в) ∫ − 92x
x
edxe
.
3. а) 3(2 2) xx e dx−+∫ ; б) (1 3 )sin 5x xdx−∫ ; в) (3 7) lnx xdx+∫ .
4. а) 2( 5)
4x dx
x++∫ ; б)
2
26 58dx
x x− +∫ ; в) ∫ +−
−3512
)37(2 xx
dxx.
5. а) 4( 5)( 2)( 3)
dxx x х+ + +∫ ; б)
2( 3)( 1)dx
x x+ −∫ ; в)2
6( 1) ( 6)
dxx x+ +∫ .
6. а) ∫ + xdx
6; б)
4 2 43 2 4
x dxx+
− +∫ .
7. а) 2sin 18xdx∫ ; б) 2 3sin 4 cos 4x xdx∫ ; в) 5
cos 2sindx
x x−∫ .
Вариант 29
1. а) 2 4(5 6cos )xx x e dxx
− − +∫ ; б) 2
2
4 2 3x x dxx
− +∫ ;
в) 2 6dx
x −∫ ; г) 3
7 6dx
x +∫ ; д) 227
dxx−
∫ .
2. а) ∫ + dxxx 13 2 ; б) ∫ xxdx4ln
; в) ∫ + 252sin2cos
2 xxdx
.
3. а) 7(7 2 ) xx e dx−∫ ;б) (1 3 )cos8x xdx+∫ ;в) ∫ xdxarctg4 .
72
4. а) 3
27x dx
x−∫ ; б) 2 8 52dx
x x+ +∫ ; в) ∫+−
+
136)35(
2 xxdxx
.
5. а) 3
( 1)( 7)dx
x x x−− −∫ ; б) 2( 8)( 3)
dxx x+ +∫ ; в) 2
3( 2)( 4)
dxx x− +∫ .
6. а) 8
2 7dxx −∫ ; б) ∫ −+
−3
6
32332x
dxx.
7. а) ∫ dxx2
cos4 4 ; б) ∫ xdx5sin 3 ; в) 3
4 5cosdx
x+∫ .
Вариант 30
1. а) 34
3(5sin 2 2 )xx x dxx
− + +∫ ; б) 2
2
2 7 5x x dxx+ −
∫ ;
в) 2 16dx
x +∫ ; г) 5
1 3dx
x−∫ ; д) 2144
dxx+
∫ .
2. а) ∫+ 23
32x
xdx; б) ∫ )(cos2 x
x
edxe
; в) ∫ xxdx2cos
2sin.
3. а) 7(4 3) xx e dx−−∫ ; б) (7 2 )cos8x xdx−∫ ; в) ∫ + dxx )5ln( .
4. а) 2
8x dxx +∫ ; б)
2 4 32dx
x x+ −∫ ; в) ∫ +−
− dxxx
x2410
3102 .
5. а)5
( 1)( 5)( 2)dx
x x х− + −∫ б) 2( 8)( 1)dx
x x+ +∫ в) 2
5( 4)( 2)
dxx x x− −∫ .
6. а) 6
4 3dx
x−∫ ; б) ∫ −+− dxx
x345
344
.
. а) 4sin 3xdx∫ ; б) ∫ xdx5cos3 ; в) 2
5 sindx
x−∫ .
73
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА
1. Найти интегралы
а) 23
1(3 5 4cos )х х х dxх
− + −∫ , б) 3 2
2
4 8 7x x dxx+ −
∫ ;
в) 2 79dx
x +∫ ; г) 29
dxx+∫ ; д)
215dx
x−∫ .
Решение
а) Вычислим данный интеграл, используя основные правила ин-
тегрирования и таблицу основных неопределенных интегралов. 1
2 2 33
1(3 5 4cos ) 3 5 4 cosх xх х dx dx x dx xdx x dxх
−− + − = − + − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
23 333 23 1 5 35 4sin 3 4sin2ln 3 3 ln 3 3 2
3
xxx xx c x x x c= − + − + = − + − + .
б) Чтобы вычислить данный интеграл, необходимо вначале вы-полнить почленное деление числителя на знаменатель, далее ис-пользуем правила интегрирования и таблицу основных интегралов.
=−+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
−+∫ ∫ ∫ ∫∫ 222
23
784784784xdxdxxdxdx
xxdx
xxx
221 74 8 7 2 8 .
2x x c x x c
x x⎛ ⎞= ⋅ + − ⋅ − + = + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
в) ( ) .7979
1
7979 222 cxarctgx
dxx
dx+=
+=
+∫ ∫
г) ∫ ∫ ∫ ++=+==+==++
=+
.29lnln2929
)29(29
cxcuuduxu
xxd
xdx
74
д) 2 2 22 2
arcsin15 ( 15)
dx dx du u cax a ux
= = = + =− −−
∫ ∫ ∫
arcsin15x c= + .
2. Найти интегралы
а) ∫ −dx
xx
21187 ; б) ∫
+dx
e
ex
x
35
5
; в) 2 2cos 4
dxx tg x−
∫ .
Решение
Найдем данные интегралы, используя внесения под знак диффе-ренциала числа и коэффициента и сведение его к табличным неоп-ределенным интегралам.
а) ∫∫ ∫∫ =−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅=
−=
−=
− 2
2
2
2
22 118)11(
111
27
118217
1187
1187
xxd
xdxdx
xxdx
xx
∫ ∫ =+−=−==−=−−
−= cuuduux
xxd ln
227
227118
118)118(
227 2
2
2
cx +−− 2118ln227 .
б) ( )∫∫∫ ∫ ===+=
+
+=
+=
+ uduue
e
ed
e
eddxe
e x
x
x
x
x
x
x
513
3
)3(51
3
51
35
5
5
5
5
5
5
= cecu x ++=+ 3522
51 5 .
в) 22 2 2coscos 4 4
dx dx dtgxdtgx tgx uxx tg x tg x
= = = = = =− −
∫ ∫
= cctgxcu
u
du
u
du+=+=
−=
−∫∫ 2
arcsin2
arcsin24 222
.
75
3. Найти интегралы
а) 2(3 7) xx e dx−−∫ ; б) (8 5)sin 3x xdx+∫ ; в) ln(3 )x dx+∫ .
Решение
Данные интегралы относятся к интегралам, которые берутся с помощью формулы интегрирования по частям, т. е. ∫ ∫−= vduuvudv .
а) 22 2 2
3 7 3(3 7) 1
2
xx x x
u x du dxx e dx
dv e dx v e dx e−
− − −
= − ⇒ =− = =
= ⇒ = = −∫ ∫
2 2 2 21 1 1 3(3 7) ( ) 3 (3 7)2 2 2 2
x x x xx e e dx x e e dx− − − −= − ⋅ − − − ⋅ = − − + =∫ ∫2 21 3(3 7)
2 4x xx e e c− −= − − − + .
б) ( ) −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+=
−=⇒=
=⇒+==+∫ xx
xvxdxdv
dxduxuxdxx 3cos
3158
3cos313sin
8583sin)58(
( ) ∫∫ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+=⋅−− xdxxxdxx 3cos
383cos
315883cos
31 = ( ) ( )18 5 8 5 cos3
3x x x+ − + +
+ 8 1 8sin 3 sin 33 3 9
x c x c⋅ + = + 1 (8 5) cos3 .3
x x= − +
в) 1ln(3 )
3ln(3 ) ln(3 )3
u x du dx xdxxx dx x xxdv dx v dx x
= + ⇒ =++ = = + − =
+= ⇒ = =∫ ∫
∫
3 3 3ln(3 ) ln(3 ) (1 )3 3
xx x dx x x dxx x
+ −= ⋅ + − = + − − =
+ +∫ ∫
3ln(3 ) ln(3 ) ln 33
dxx x dx x x x x cx
= ⋅ + − + = ⋅ + − + + ++∫ ∫ .
76
4. Найти интегралы
а) 2( 5)
2x dx
x++∫ ; б) ∫
++ 80182 xx
dx ; в) dxxx
x∫ +−
−
8413
2.
Решение: а) Данное дробно-рациональное выражение является неправиль-
ной дробью, выделим целую часть путем деления числителя на знаменатель уголком.
2 5 922 2
x dx x dxx x+ ⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫ ∫
2 92
dxxdx dxx
= − + =+∫ ∫ ∫
2
2 9ln 22x x x c= − + + + .
б) Данные неопределенный интеграл находим, используя выде-
ление полного квадрата в знаменателе.
( ) ( )∫∫ ∫−+
=+−+⋅+
=++ 19808181928018 222 x
dx
xx
dx
xx
dx=
= ( )2 2ln 9 9 1 ln 9 18 80 .x x c x x x c+ + + − + = + + + + +
в) Найти dxxx
x∫ +−
−
8413
2 .
( ) =−=′
+−=+−
−∫ 42134
13413 2
2 xxxdxxx
x
= ∫∫∫ +−+
+−−
=+−
−+−
1345
13442
23
134
16)42(23
222 xxdxdx
xxxdx
xx
x=
77
∫ ∫ =++⋅−
++−
−=
92225
134)42(
23
222 xxdx
xxxd
= ++−=+−
++− ∫ 134ln23
3)2(5134ln
23 2
222 xx
xdxxx
5 23 3
xarctg c−+ + .
5. Найти интегралы
5. а)15
( 8)( 10)dx
x x x−− +∫ ; б) 2( 7)( 7)
dxx x+ −∫ ; в) 2
2( 1) ( 11)
dxx x+ −∫ .
Решение: Данные интегралы будем решать, используя разложение выра-
жений на простейшие дроби а) Т.к. каждому множителю знаменателя ( )x a− соответствует
слагаемое A
x a−, получим разложение
15( 8)( 10) 8 10
dx A B C dxx x x x x x
− ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠∫ ∫ .
Приведем дроби к общему знаменателю и сравним числители условия и разложения на простейшие дроби
15 ( 8)( 10) ( 10) ( 8).A x x Bx x Cx x− = − + + + + −
Найдем неопределенные коэффициенты А,В,С с помощью мето-да частных значений
15 30 : 15 80 ,80 16
15 58 : 15 144 ,144 48
15 110 : 15 780 .780 52
x A A
x B B
x C C
= − = − ⇒ = =
= − = ⇒ = − = −
= − − = ⇒ = − = −
78
Подставим найденные коэффициенты в разложение подынте-гральной функции на простейшие дроби, получим
3 5 115 16 48 52( 8)( 10) 8 10
dx dxx x x x x x
⎛ ⎞− −− ⎜ ⎟= + + =− + ⎜ − + ⎟
⎝ ⎠∫ ∫
3 5 1ln ln 8 ln 10 .16 48 52
x x x c= − − − + +
б) Т. к. множителю ( )x a− соответствует дробь A
x a−, а множи-
тель ( 2 2x a+ ), если а>0, дробь 2 2
Bx Cx a
++
, то получим:
2 2 .( 7)( 7) 7 7
dx A Bx C dxx x x x
+⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ − − +⎝ ⎠∫ ∫
Приведем дроби к общему знаменателю и сравним числители условия и разложения на простейшие дроби
2( 7) ( )( 7) 1A x Bx C x+ + + − = .
2 27 7 7 1Ax A Bx Bx Cx C+ + − + − = .
Сравним коэффициенты при соответствующих степенях х: 2
0
: 0: 7 0: 7 7 1
x A Bx B Cx A C
+ =− + =
− =
1 1 1; ;56 56 8
B A C⇒ = − = = − .
2 2
111 5656 8( 7)( 7) 7 7
xdx dxx x x x
⎛ ⎞− −⎜ ⎟= + =⎜ ⎟+ − − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
79
2 2
1 11 56 8ln 756 7 7
xx dx
x x
⎛ ⎞−⎜ ⎟= − + − =
+ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫
2 2
1 1 1ln 756 56 7 8 7
xdx dxxx x
= − − − =+ +∫ ∫
( )22 2
1 1 1 2 1ln 756 56 2 7 8 7
xdx dxxx x
= − − ⋅ − =+ +
∫ ∫
21 1 1 1ln 7 ln 7 .56 112 8 7 7
xx x arctg c= − − + − ⋅ +
в) 2 2
2 .( 1) ( 11) 1 ( 1) 11
dx A B C dxx x x x x
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟+ − + + −⎝ ⎠
∫ ∫
2
2 2
( 1)( 11) ( 11) ( 1) 210 11 11 2 2
A x x B x C xAx Ax A Bx B Cx Cx C
+ − + − + + =
− − + − + + + =
2
0
: 0: 10 2 0: 11 11 2
x A Cx A B Cx A B C
+ =− + + =
− − + =
1 1 1; ;72 72 6
C A B⇒ = = − = − .
2 2
1 1 12 72 6 72( 1) ( 11) 1 ( 1) 11
dx dxx x x x x
⎛ ⎞− −⎜ ⎟= + + =
+ − + + −⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫
1 1 1ln 1 ln 11 .72 6( 1) 72
x x cx
= − + + + − ++
6. Найти интегралы
а) 4
7 3 8dx
x− +∫ ; б) 3
32 7xdx
x x+∫ .
80
Решение: Данные интегралы будем решать при помощи замены корня
(корней).
а) 2
84 4 28 8 8
7 2 7 2 2 77 3 8 2
x tdx tdt tdt tdtx t
t t tx dx tdt
+ =⋅
= + = = = = − =− − −− +
=∫ ∫ ∫ ∫
7 7 71 2 2 28 4 4 17 7 72
2 2 2
ttdt dt dtt t t
⎛ ⎞− + ⎜ ⎟= − ⋅ = − = − + =⎜ ⎟
⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
7 7 74 4 ln72 2 22
dtdt t t ct
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞
= − + = − + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟−
⎝ ⎠
∫ ∫
7 74 14 ln 4 8 14ln 8 .2 2
t t c x x c= − − − + = − + − + − +
б) =+
=+
===
==
+ ∫ ∫∫ 26
26
6,
6)3,2(
2
3
23
5
563 tdtt
ttdtt
dttdxtx
НОК
xxdx
=
−+
−−
−
+−
+
+−
=
884
442
2
42
2
2
2
2
223
3
tttt
t
tt
t
tt
t
∫ =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−+− dt
ttt
28426 2
81
= =++−===+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+− cxxxxtctttt 636
2324622ln84
22
36
( ) cx ++−= 2ln48 6 . 7. Найти интегралы
а) ∫ xdx23sin 4 ; б) 3 2sin 10 cos 10x xdx∫ ; в)
cos 2dxx +∫ .
Решение: а) Данный интеграл вычислим путем понижения степени с ис-
пользованием формул: 2
2cos1sin 2 xx −= ,
22cos1cos2 xx +
= . Тогда
∫ ∫∫ =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= dxxdxxxdx
2224
23cos1
23sin
23sin
=
( ) ∫∫∫∫ =+⋅−=+− xdxxdxdxdxxx 3cos413cos2
41
413cos3cos21
41 22
=
( )=++−=+
+⋅− ∫ ∫∫ xdxdxxxdxxxx 6cos813sin
61
41
26cos1
413sin
31
21
41
= cxxxcxxxx ++−=+⋅++− 6sin4813sin
61
836sin
61
81
813sin
61
41
б) 3 2
cos101sin 10 cos 10 sin10
10sin10 10
x t
x xdx xdx dt
xdx dt
=
= − = =
= −
∫
2 2 2 2sin 10 sin10 cos 10 (1 cos 10 )sin10 cos 10x x xdx x x xdx= = − =∫ ∫
82
( )2 2 2 4 2 4(1 ) ( 10 ) 10 ( ) 10t t dt t t dt t dt t dt= − ⋅ − = − − = − − =∫ ∫ ∫ ∫
3 53 51010 cos 10 2cos 10 .
3 5 3t t c x x c
⎛ ⎞= − − + = − − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
в) Применим универсальную подстановку 2
2 2
2
22 2
1 2;cos2 1 1
1cos 2 2 2 2sin ;11 1
x t dttg t xdx t ttx t dtx dxtt t
−= =
+ += = =−+ += =++ +
∫ ∫
2
2 2 2 2 2
2
22 21 2
1 2 2 3 ( 3) 3 31
dtdt dt tt arctg c
t t t tt
+= = = = + =− + + + +
+
∫ ∫ ∫
2 2 .3 3
xtgarctg c= +
