Föreläsning 1 Elastisk deformation

Stefan Jonsson

2000-10-30

Töjning

Töjning

Töjning

Elastisk Töjningsenergi

Skjuvningx

h0

yx

x

x

y

y

Elastisk skjuvningsenergi

x

h0

yx

y

x

Elastisk energi vid godtyckligt spänningstillstånd

dW=xxdxx + yydyy + zzdzz + xydxy+yzdyz+zxdzx

y

z

x

y

z

x

h0

x

00

)arctan(hx

hx

Enkel skjuvning

xy=yx och xy=yx

x

h0

yx

y

x

y

x

Stel

x

y

x

y

x

yexy=eyx exy=-eyx exy=

eyx=0

Ren skjuvning Ren rotation Enkel skjuvning

Hooks generaliserade lag för isotropa material

xzzxxzzx

zyyzzyyz

yxxyyxxy

yxzz

xzyy

zyxx

GG

GG

GG

TE

TE

TE

11

11

11

)(1

)(1

)(1

T ger ingen skjuvning i isotropa material

y

z

x

)(21

0zyxzyx EV

V

L0z

Lz )1(0

0

0

zzz

z

zzz

LL

LLL

Elastiska volymsförändringar

Hydrostatiskt tryck

p

Bp

pE

EVV

zyx

)()21(3

)(21

0

)(31

0zyxBV

V

pzyx )(31

Första spänningsinvarianten

Poissons konstant)(

)21(3

0

pEV

V

=0.5V=0

>0.5V>0 , orimligt!

Hydrostatiskt tryck:

x

y

P

P

P

=0y=-x =0

<0y=-x >0

0<<0.5y=-x <0

Spänningstillstånd

y

x

h

tanh

cosh

yy

xx

xy

xy

2cos2sin2

cossin2sincos 22

xyxxyy

xyyyxx

Härledning allmänt Spänningstillstånd

Härledning allmänt Spänningstillstånd

Mohrs spänningscirkel

(1 ,0)(2 ,0)

(x ,xy)

(y ,-xy)

R ( ,)

22

R

R

yx

yx

)(21

)(21

2

1

2

2

2

22cos

2sin

xyyx

yx

xy

R

R

R

Treaxligt spänningstillstånd

123

)(21

31max

3<2<1

1

2

3

Sfäriskt spänningstillstånd

3=2=1

Cylindriskt spänningstillstånd

13=2

Plant spänningstillstånd

12=

13= 2

3

23

1=

Fri ytteryta

Membran

Plant töjningstillstånd

y

x

z=0 z=(x+y)

Inre energi

ji

ijrUU,

)(21

r

drrRrArU )()()(

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

r/r0

Interaktion mellan 2 atomer

Periodisk interaktion

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

r/r0

Elastisk anisotropi

<100>

<110>

Inre energi och E-modulen

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

r/r0

L0

d0

L=L0(1+x)

d=d0(1+y)=d0(1-x)

Enkristall

Textur

Oordning

x=Ex

Elastiska konstanter, 2 oberoende

)21)(1(

)21(3

)(2

)1(2

23

E

EB

EG

E Elasticitetsmodul

Skjuvmodul

Poissons tal (Lamés konstant)

Bulkmodul, Kompressionsmodul

Lamés konstant