Föreläsning 9

Rotation hos fasta kroppar

Kapitel 11.1-7

Rotationskinematik

Tröghetsmoment

kinetisk Rotationsenergi

Vridmoment

Newtons 2:a lag för rotation

Rotationskinematik

Fram tills nu har vi enbart tittat på translationsrörelser. Idag ska vi lära oss hur man beskriver rörelserna hos fasta kroppar som roterar kring en fix rotationsaxel. Vi börjar med att titta på en cirkulär skiva som roterar kring skivans centrum O. Anta att en punkt A på skivan med avståndet r från skivans centrum förflyttar till Punkt B. Om förflyttningsvinkeln ges av så kan vi skriva förflyttningssträckan ssom:

r s

A

B

O

s = r.

Om förflyttningen sker under tidsintervallet t, så ges medel farten av:

vavs/t = r/t = rav

avdefinieras som medelvinkelhastighet och ges i rad/s. På samma sätt som tidigare ges den momentana vinkelhastigheten av:

= d/dt = v/r (i)

Om f är rotationsfrekvensen så kan skrivas som:

= 2fMedel vinkelaccelerationen av och vinkelaccelerationen ges av:

av = /t resp. = d/dt (ii)

Från relationerna i (i) och (ii) kan man på samma sätt som tidigare härleda fram rörelse ekvationerna för rotationskinematik.

Translationsrörelse Rotationsrörelse

v = v0 + at t (1)

x = x0 + ½(v0 + v)t ½t(2)

x = x0 + v0 + ½at2 ½t2

(3)

v2 = v02 + 2a(x-x0)

(4)

Det ska också nämnas att vinkelhastigheten är precis som translationshastighet en vektorsstorhet, vars riktning pekar längs rotationsaxeln.

z

x

y

z

x

y

Från beskrivningen av en partikel i cirkulär rörelse kan vi uttrycka centripetalaccelerationen ar i term av vinkelhastighet

ar = v2/r = [v = r] = 2r2/r = 2r (i)

Om cirkelrörelsen inte är likformig (dvs v ej är konstant) så uppstod en tangentiell acceleration som är vinkel rätt mot den radiella accelerationen. Den tangentiella accelerationen definerades då som derivatan av hastigheten med avseende på tiden, och kan därför skrivas som:

at = dv/dt = [v = r] = rd/dt = r (ii)

Den totala accelerationen a kan då skrivas:

a = (at2 + ar

2)½ (iii)

Rullning

Ett exempel på rotationsrörelse är rullning. Anta ett hjul som rullar (utan att slirra) på en väg. Om hjulet har radien R och gör ett helt varv under tiden T så kan dess centrumhastighet vc skrivas:

vc = 2R/T = 2fR = R = vt vc vtDär vt är den tangentiella hastigheten på hjulet (relativt hjulets centrum) och är lika stort som centrumhastigheten. Hastigheten vc motsvarar hjulets translationsrörelse medan den tangentiella hastigheten vt ger dess rotationsrörelse kring centrumet.Den totala hastigheten v för varje punkt i fälgen blir därför summan av vc och vt.

v = vc + vt

Den totala hastigheten av en punkt som befinner sig i toppen av fälgen blir därför 2R, ty den tangentiella hastigheten vt har samma riktning som centrumhastigheten vc.

R

vR

v

Vid botten av hjulet är den tangentiella hastigheten motriktad i förhållande till centrumhastighet vilken leder till att den totala hastigheten blir lika med noll. Den punkten kan därför ses som en momentan rotationsaxel, som hjulet roterar kring.

Exempel

En skiva med radien 0.15 m accelerar likformigt från vila till 45 rpm (rpm = revolutions per minute) under 2.5 s, sedan håller den konstant hastighet. Bestäm (a) den radiella och den tangentiella accelerationen vid tiden t = 1.5 s för en punkt på kanten av skivan; (b) antal gjorda varv under 4 s. (c) Om skivan bromsas likformigt så stannar den efter 8 varv, hur lång tid tar inbromsningen?

Exempel

Hjulet på en bil har en radie på 20 cm. Den startar med 120 rpm och gör därefter 90 varv under en minut (a) Bestäm vinkelaccelerationen. (b) Hur långt åker bilen innan den stannar (med start en minut efter starthastigheten på 120 rpm)? Anta att hjulet inte slirar.

Exempel

En bil med en hjulradie på 25 cm accelerar från vila till 30 m/s under 10 sekunder. När bilens hastighet är 2 m/s, hur stor är accelerationen på toppen av hjulet (a) relativt hjulets centrum? (b) relativt vägen?

Gör det själv

Vinkelpositionen för en linje på en skiva med radien 10 cm ges av = 10 – 5t + 4t2. Bestäm (a) medelvinkelhastigheten mellan tiden t = 1 s och t = 3 s (b) farten relativt skivan centrum för en punkt på skivans kant vid tiden t = 2 s (d) de tangentiella och radiella accelerationerna.

Kinetisk energi och tröghetsmomentOm vi har en fast kropp som roterar kring en fix axel så ges den kinetiska energin hos varje punkt i kroppen av följande relation:Ki = ½mivi

2 Ersätter vi vi med ri, där ri är den vinkelrätta avståndet från punkten till rotationsaxeln så blir (i):Ki = ½mi2ri

2 Den totala energin K för hela kroppen blir:K = Ki = ½(miri

2)2 = ½I2

I = miri2

Den nya storheten, I kallas för tröghetsmoment (enhet = kgm2)av en kropp kring en fix rotationsaxel. Tröghetsmomentet storlek beror på var rotaionsaxeln är placerad dvs hur kroppens massa är fördelad i förhållande till axeln. Jämförelsen mellan den kinetiska energin för translationsrörelse K = ½mv2 och den kinetiska energin för rotationsrörelse K = ½2I, visar att tröghetsmomentet I har samma betydelse för kinetiska energin i rotationsrörelse som m har för kinetiska energin translationsrörelse.

mi

ri

En kropps tröghetsmoment är ett mått på dess rotationströghet, dvs dess förmåga att motstå rotationell rörelse

Vid förra föreläsningen beskrev vi den totala kinetiska energin för ett flerpatikelsystem som summan av partiklarnas masscentrum kinetiska energi relativt en fix punkt och kinetiska energin av partiklarna relativt masscentrum, dvs:

K = KCM + Krel

Innan vi börjar med att beskriva den totala rotations kinetiska energin med hjälp av dessa två termer, vill jag att ni ska minnas den tidigare slusatsen om hur partiklarnas vinkelhastighet relativt varanda förhåller sig i en roterande kropp

Vinkelhastigheten hos en roterande kropp är lika stor för alla punkter i kroppen oavset var de befinner sig

Med den slutsatsen i minnet ska vi uttrycka den totala kinetiska energin i termer av KCM och Krel. Figuren nedan visar en fast kropp med massan M som roterar kring en axel O. Avståndet från axeln till kroppens masscentrum är h.

Från slutsatsen så vet vi att partikel mi har samma vinkelhastighet kring masscentrum som kroppens vinkelhastighet. Den relativa kinetiska energin kan därför skrivas som:

Krel = ½2miri2 = ½ICM2

Den totala kinetiska energin, K blir:

K = ½MvCM2 + ½ICM2 (i)

Ersätter vi vCM med h så blir (i):

K = ½2(Mh2 + ICM) = ½I2; där I = (Mh2 + ICM)

Relationen I = (Mh2 + ICM) kallas för parallellaxel teoremet, som relaterar tröghetsmomentet kring en godtycklig axel till tröghetsmomentet kring en axel genom masscentrum.

*CMh

ri mi

O

Enrgiprincipen gäller även för roterande kroppar. Exempelvis, om vi har en skiva med radien R och Massan M som är placerad på ett lutande plan, kan vi betämma dess hastighet när den befinner i botten av lutningen. Anta att skivan befinner sig på höjden H och att den inte slirar på väg ner.

H

Skivans totala energi innan den börjar rulla består enbart av potentiell energi, U som ges av:

U = MgH.

När skivan når botten så har hela dess poteniell energi övergått till kinetisk energi, K:

K = ½MvCM2 + ½ICM2

Från Energiprincipen så måste U = K. ICM = ½MR2 (Visas på tavlan), och vCM = R, eftersom skivan ej slirar.

MgH = ½M2R2 + ¼MR2 2 = (gH/(¾R2))- ½ vCM = R = (4gH/3)-½

R

vCM

Exempel

Tre bollar är ihopkopplade med masslösa stavar. Deras massor och positioner (xy-plan) är m1 = 2 kg vid (2 m, 4 m), m2 = 1 kg vid (-2 m , 2 m) och m3 = 3 kg vid ( 1 m, -2 m). Bestäm tröghetsmomentet kring x, y och z axeln.

Exempel

En låda med massa m = 2.4 kg är kopplad till en fjäder (k = 3 Nm) via en skivformad trissa med massan M = 0.8 kg och radien R = 40 cm (se figur). Systemet startar vid vila med fjädern i jämviktsläge. Bestäm lådans hastighet efter att den har fallit 50 cm.

m

RM

Exempel

En skiva roterar fritt kring en axel på kanten av skivan. skivan har massan M och radien R. Skivan släpps från ett läge som visas i figuren. Bestäm farten v hos skivans lägsta läge när skivans centrum befinner sig verikalt under rotationsaxeln.

Rotationsaxeln

v

Exempel

En bil väger 1 ton utan sin fyra hjul. Varje hjul väger 25 kg och har radien 30 cm. Bestäm (a) den totala kinetiks enrgin för bilen och hjulen om bilens fart är 30 m/s (b) hur långt åker bilen upp för en backe med 10º lutning innan den stannar (försumma effekten från friktionen).

Gör det själv

Ett föremål liknar ett bordtennisrack. Det består av en 1.0 m lång stav på 3.6 kg samt en 2 kg skiva med radien 1 m. Staven och skivan är ihopsatta enligt figuren. Bestäm tröghetsmomntet för föremålet då rotationsaxeln är i den fria änden av staven. Tröghetsmomenten för en skivan med rotation axeln genom dess centrum är MR2/2 och för staven med rotationaxeln genom dess centrum är ML2/12.

Vridmoment

Nu lämnar vi ämnet rotaions kinematik och koncentrerar oss på rotations dynamik. För translationsrörelse var kraften F den storhet som påverkade partiklarnas rörelse. Motsvarande storhet relativt en axel i rotationsdynamik kallas för vridmoment, och kan skrivas som:

= Frsin(i)

Där F är kraften som verkar på avståndet r från origo och är minsta vinkeln mellan F och r.Från figuren ser vi att vridmomentet i (i) också kan skrivas som:

= Fr

Eller

Fr

Dvs. :

Fr = Fr (ii)

F

r

r= rsin

F= Fsin

F||= Fcos

+

Vi ska nu uttrycka kraftekvationen för den translationsrörelse i en form som passar rotationsrörelsen. Vi börjar med att titta på en skiva som roterar kring sitt centrum. Kraften Fi som påverkar en partikel mi på asvtåndet ri från rotationcentrum, kan beskrivas i tre komposanter, Den radiella kraften Fir (komposanten riktad längs skivans radie), den parallella kraften Fi|| (komposanten som är vinkelrätt mot skivan och är parallell med rotationsaxeln) och den tangentiella kraften Fit (komposanten som är riktad tangentiellt mot mi cirkulära bana). Den kraft som på verkar skivans rörelse är den tangentiella kraften, dvs kraftekvationen kan skrivas som:Fit = miait (i)

Fit

Fi||

Fir

Fi

mi

ri

Vi vet sen tidigare att den tangentiella accelerationen kan skrivas som:

ait = ridär är vinkelaccelerationen, relationen i (i) kan därför skrivas som:Fit = miait = miriVridmomentet i blir:i = riFit = miri

2Den totala vridmomentet blir då: = = miri

2) = I(ii)

Ekvationen (ii) gäller endast i de fall där rotationsaxeln är fix i riktning och läge eller att den går genom masscentrumet och är endast fix i riktning..

Arbete-energi teoremet för rotationell rörelse

Definitionen för arbete W är:

W = Fs, där F är kraften och s är förflyttnigssträckan.

För rotationell rörelse ges s av rd (se figur) och F är den tangentiella komponeneten av den verkande kraften. Arbetet för rotation blir:

dW = Ftrd= d(i)

Effekten P definerades som tidsderivatan av arbetet, dvs:

P = dW/dt = d/dt = (ii)

vilket är analogt med P = Fv för translationsrörelse.

För att härelda fram arbete-energi teoremet behöver vi först uttrycka vridmomnetet i termer av vinkelhastighet och tröghetsmoment. Men detta kräver en del matematikkunskaper så vi hoppar över den delen och definierar arbete-energi teoremet för rotationsrörelse:

W = ½I2 - ½I2

Motsvarande teorem för translationsrörelse var:

W = ½Mv2 - ½Mv2

dr

Ft

Exempel

En likformig stav med längden L och massan M är kopplad enligt figuren nedan. Staven hålls kvar av två rep placerade 0.75L resp. L från stavens fästpunkt. Bestäm vridmomentet kring fästpunkten som är orsakad av varje kraft som verkar på staven.

T2 T1

Exempel

Ett 1.5 kg skivformat hjul med radien r = 12 cm har en rotationshastighet på 3000 rpm. En broms appliceras på kanten av hjulet som får det att stanna efter 10 varv. Bestäm (a) den tangentiella kraften som verkar på hjulet (b) det arbetet som har utförts på hjulet.

Exempel

Två lådor med massorna m1 = 2 kg och m2 = 5 kg hänger runt en skivformad trissa med massan M = 2 kg och radien R = 20 cm. Bestäm (a) vinkelaccelerationen (b) antal varv under 2 s om systemet startar i vila (c) Effekten på trissan vid tiden t = 1 s. Tröghetsmomentet för trissan är I = ½MR2.

Exempel

En slipskiva med radien med radien 10 cm och tröghetsmomentet 0.2 kgm2 roterar med en hastighet på 200 rpm. Ett verktyg pressas mot skivans kant med en kraft på 50 N radiellt. Den kinetiska friktionskoefficienten är 0.6. (a) Bestäm effekten som behövs för att skivan ska ha konstant rotationshastighet. (b) Hur lång tid tar det för skivan att stanna om motorn stängs av, medan verktyget fortätter att trycka på? (c) Hur många varv hinner skivan göra innan den stannar?

Gör det själv

Ett hjul startar från vila och gör 150 rad under 5 s för att sedan hålla ett konstant rotationshastighet. Det totala vridmomentet från motorn och friktionskraften är konstant och är på 48 Nm. När motorn stängs av stannar hjulet efter 12 sekunder. Bestäm vridmomentet orsakad av (a) friktionen (b) motorn.