Formula weibull:

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de Weibull es

una distribución de probabilidad continua. Recibe su nombre de Waloddi

Weibull, que la describió detalladamente en 1951, aunque fue descubierta

inicialmente por Fréchet (1927) y aplicada por primera vez por Rosin y

Rammler (1933) para describir la distribución de los tamaños de determinadas

partículas.  El comportamiento de las variables aleatorias discretas o continuas

se describe con la ayuda de Distribuciones de Probabilidad.  La variable se

designa por mayúscula y un valor específico de ella por minúscula.

 Por P(x = a) se denota la probabilidad de que un evento asuma el valor a;

similarmente  P(a £ x  £ b) denota la probabilidad de que un evento se

encuentre en el  intervalo (a,b).  Si conocemos la probabilidad  P(a £ x  £b)

para todos los valores de a y b, se dice que conocemos la Distribución de

Probabilidades de la variable x.

 Si x es un número dado y consideramos la probabilidad  P(X £ x):

 F(x)= P(X £ x): y llamamos F(x) la función de distribución acumulada. 

Ejemplo: Se tienen las probabilidades de que haya 1, 2, 3,... etc., días nublados

por semana en un determinado lugar con ellos, calcule la distribución de

probabilidades.

B

C

x P(x) F(x)0 0.05 0.051 0.15 0.202 0.25 0.453 0.20 0.654 0.15 0.80 5 0.10 0.906 0.08 0.987 0.02 1.00

Total 1.0

  Período de retorno (T):

Período de retorno es uno de los parámetros más significativos a ser tomado

en cuenta en el momento de dimensionar una obra hidráulica destinada a

soportar avenidas, como por ejemplo: el vertedero de una presa, los diques

para control de inundaciones; o una obra que requiera cruzar un río o arroyo

con seguridad, como puede ser un puente.

El periodo de retorno se define como el intervalo de recurrencia (T), al lapso

promedio en años entre la ocurrencia de un evento igual o mayor a una

magnitud dada. Este periodo se considera como el inverso de la probabilidad,

del m-ésimo evento de los n registros.

El valor del periodo de retorno se determina en función de la posición de la

variable aleatoria (Pmáx o Qmáx en su caso) en una tabla de valores,

ordenados de mayor a menor. Con base en las siguientes relaciones:

T=n+1m

y P=mn+1

Dónde:

T = Período de retorno (años).

n= Número de años de registro.

m= Número de orden.

P = Probabilidad.

Función de distribución de Gumbel:

En teoría de la probabilidad y la estadística, la distribución Gumbel se utiliza

para modelar la distribución de la máxima de un número de muestras de varias

distribuciones. Esta distribución puede ser usada para representar la

distribución del nivel máximo de un río en un año determinado si había una lista

de los valores máximos de los últimos diez años. Es útil para predecir la

probabilidad de que se produzca un terremoto extrema, inundación u otro

desastre natural.

La aplicabilidad potencial de la distribución Gumbel para representar la

distribución de máximos se refiere a la teoría del valor extremo que indica que

es probable que sea útil si la distribución de los datos de la muestra

subyacentes es del tipo normal o exponencial.

La distribución Gumbel es un caso particular de la distribución generalizada

valor extremo. También se conoce como la distribución log-Weibull y la

distribución doble exponencial.

El “valor máximo” que se quiere determinar para un determinado período de retorno se determina por medio de la expresión:

X = xm + D x = xm + k· s n-1

X: valor máximo (caudal o precipitación) para un período de retorno T.

xm: media de la serie dada de valores máximos

D x: desviación respecto a la media, que se estima mediante el producto: k· s n-1

Dónde:

K: factor de frecuencia, que indica el número de veces de desviación típica en que el valor extremo considerado excede a la media de la serie.

S n-1: desviación estándar, desviación típica de los valores extremos.

El valor de la variable “k” se estima a partir del conocimiento del período de retorno en años y del número de años disponibles en la serie. Así: k = (yT – yn)/Sn

yT: variable de Gumbel para el período de retorno T. Se determina a partir del valor del período de retorno. El valor se puede obtener de la tabla adjunta. yT = -ln ln (T/T-1)

yn: valor que se obtiene a partir del número de años de la serie, mediante tablas

Sn: valor que se obtiene a partir del número de años de la serie, mediante tablas

Método racional para el diseño de drenaje pluvial en una carretera:

Fórmula racional:

Este método asume que el máximo porcentaje de escurrimiento de una cuenca

pequeña, ocurre cuando la totalidad de tal cuenca está contribuyendo al

escurrimiento, y que el citado porcentaje de escurrimiento es igual a un

porcentaje de la intensidad de lluvia promedio; lo anterior se expresa mediante

la siguiente fórmula:

Qp= CeIAc360

Dónde:

___ Qp = gasto máximo, m3/s.

___ Ce = coeficiente de escurrimiento, adimensional

___ I = intensidad máxima de lluvia para un período de retorno dado, mm/h = área de la cuenca, ha.

___ 360 = factor de ajuste de unidades.

Es el gasto máximo posible que puede producirse con una lluvia de

intensidad I en una cuenca de área y coeficiente de escurrimiento Ce, que

expresa la fracción de la lluvia que escurre en forma directa.

La modificación al método racional consiste en utilizar los valores de

lluvia máxima en 24 horas, 10 para diferentes periodos de retorno, en lugar del

valor de la intensidad de lluvia. El método considera que para un periodo

crítico, la lluvia reportada en 24 horas puede presentarse en una hora; por tal

razón este valor se debe expresar en cm/h. La fórmula queda de la siguiente

manera.

Q=0.028Ce P A

Dónde:

Q = escurrimiento máximo, en m3/s.

Ce = Coeficiente de escurrimiento.

P = Lluvia de diseño para un período de retorno dado, en cm.

A = área de la cuenca, en ha.

Intensidad máxima de lluvia (I)

El cálculo hidrológico de la avenida de diseño en estructuras cuya

cuenca es pequeña, como son: presas de almacenamiento; derivación o control

de avenidas; alcantarillas y puentes pequeños; obras de drenaje agrícola y

urbano, se deberá basar el análisis en la información disponible sobre lluvias

máximas de la zona y en las características físicas de la misma. Las curvas

intensidad-duración-frecuencia (IDF) son básicas en todo análisis hidrológico

para la estimación de avenidas máximas por métodos empíricos e hidrológicos.

En la actualidad, ya se cuenta con las curvas IDF de todo el país editadas por

la Secretaría de Comunicaciones y Transportes (SCT)

Los diseñadores de obras hidráulicas de drenaje pluvial de carreteras, a

menudo se satisfacen con aplicar modelos típicos de alcantarillas y badenes

(cruce de dren y carretera a nivel) antes de prever un puente. Estos criterios

con frecuencia presentan errores de concepto que se repiten por falta de

revisiones altamente especializadas y por no poseer suficiente experiencia

positiva. En el trabajo se incluye una novedosa propuesta de bajo costo y que

cumple con las siguientes condiciones: primero, que en su función normal es

resistente a daños del terraplén por la entrada y dispone de la protección contra

erosión aguas abajo y, segundo, que en el caso en que el caudal supere la

capacidad de la alcantarilla permite el paso del agua por encima de la carretera

con eventual suspensión del tránsito.