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ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA – EST

LEONARDO SOARES DE OLIVEIRA

DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL

MANAUS, 2013 Página 1




LEONARDO SOARES DE OLIVEIRA

DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL

Trabalho apresentado como requisito parcial paraobtenção de aprovação na disciplina Normalização eConfiabilidade, no Curso de Engenharia Mecânica, naUniversidade do Estado do Amazonas.

Prof. Antonio Kielling





SUMÁRIO

1. Introdução........................................................................................................42. Noções básicas de confiabilidade....................................................................52.1 Definição de confiabilidade.......................................................................52.1.1 Falha...........................................................................................................52.1.2 Modo de falhas...........................................................................................62.1.3 Taxa de falhas............................................................................................63. Distribuição de Weibull..................................................................................8

3.1

Relação entre os parâmetros da distribuição de Weibull...........................93.1.1 Parâmetro de Forma, β...............................................................................93.1.2 Parâmetro de Escala, η.............................................................................134. Conclusões....................................................................................................155. Referências...................................................................................................16





1. Introdução

O físico Ernest Hjalmar Wallodi Weibull nasceu no dia 18 de junho de 1887 na Suécia. Ele publicou vários trabalhos na área de engenharia dos materiais, inclusive estudos sobre resistência demateriais, fadiga e ruptura em sólidos, e propriedades de esferas e de rolos. A distribuição de

probabilidade que leva seu nome foi estudada a partir de seu artigo “A Statistical DistributionFunction of Wide Applicability”, publicada no Journal of Applied Mechanics, em 1951, baseandose nos estudos sobre a resistência de aços.

A distribuição Weibull foi proposta, em 1954, em estudos relacionados ao tempo de falhadevido a fadiga de metais. Ela é frequentemente usada para descrever o tempo de vida de produtosindustriais. A sua popularidade em aplicações práticas deve-se ao fato dela apresentar uma grande

variedade de formas, todas com uma propriedade básica: a sua função de taxa de falha é monótona.Isto é, ou ela é crescente ou decrescente ou constante. Sua aplicação descreve adequadamente a vidade mananciais, componentes eletrônicos, cerâmicas, capacitores e dielétricos.

Esta distribuição é a mais utilizada em estudos de confiabilidade, de entre as funções dedensidade de probabilidade existentes, análise de sobrevivência e em outras áreas devido a suaversatilidade.





2. Noções básicas de confiabilidade

2.1 Definição de confiabilidade

Como fora dito em caráter introdutório, a distribuição Weibull é extensivamente usadaem análise de confiabilidade e de dados de vida devido a sua versatilidade.De uma maneira geral, a noção de confiabilidade está intuitivamente associada ao grau decerteza (probabilidade) que se tem no bom funcionamento de um produto durante um longo

período de tempo. Definindo dessa forma, o conceito apresenta uma dificuldade de ordem prática.

Do ponto de vista da engenharia, por exemplo, seria importante poder garantir a

confiabilidade de um produto ou a sua melhoria. Essa tarefa, contudo, só seria viável se o graude certeza pudesse ser medido de alguma forma aceitável.Matematicamente, a confiabilidade pode ser expressa como:

0

( ) ( )t

c t f t dt = ∫ (Eq.1) ( ) 1 ( )c t F t = − (Eq.2)

Onde:c(t) é a confiabilidade;

f (t) é a função da densidade de probabilidade (f. d. p.);

t é o período de vida útil.

O estudo de confiabilidade basicamente pode ser abordado de duas formas:

I. Qualitativa, pelo estudo dos modos de falha e suas consequências para o sistema.É a abordagem utilizada na manutenção centrada na confiabilidade.

II. Quantitativa, pela medição de número de falhas, tempo de parada e custosassociados em manutenção e perda de produção. É a abordagem estatística, noqual o sistema é modelado por distribuição de probabilidade de falha, como porexemplo, a distribuição de Weibull.

A partir da análise de confiabilidade, surgiram alguns outros conceitos complementaresque norteiam o uso desta ferramenta.

2.1.1 Falha

Falha é o limite da capacidade de um item em desempenhar a função requerida.Entretanto, o item pode estar desgastado ou ao mesmo tempo avariado e ainda não causar umafalha. A esse fenômeno é atribuído o nome de defeito, que significa qualquer desvio de umacaracterística de um objeto em relação aos seus requisitos.

As falhas, para objetivos deste trabalho, são classificadas em duas categorias:





I. Falha funcional: incapacidade de um item de desempenhar uma função específica

dentro de limites desejados. Também é conhecida como estado de falha;

II. Falha potencial: condição identificável e mensurável que indica uma falhafuncional pendente ou em processo de ocorrência. Muitas vezes se apresenta emforma de defeito.

.

2.1.2 Modo de falhas

Modo de falha é um evento ou condição física que causa uma falha funcional. Estáassociado à causa da transição do estado normal para o estado anormal. Em geral podem ser

divididos em mecânicos, eléctricos, estruturais e humanos.

2.1.3 Taxa de falha

A taxa de falha, também conhecida como função de risco, é definida pela probabilidadecondicional da ocorrência de falha no intervalo de t a t + dt , dado que não houve falha até oinstante t , divido pelo intervalo dt . A função é representada matematicamente por

( )

( )( )

C T

f t L t = (Eq.3)

De uma maneira geral, a taxa de falhas pode ser interpretada como a razão entre o número defalhas num determinado tempo de vida e o número de componentes sujeitos à falha.A função taxa de falha L(t) é bastante útil para descrever a distribuição do tempo de vida de

produtos. Ela descreve a forma em que a taxa instantânea de falha muda com o tempo. A figura 1mostra quatro funções de taxa de falha, sendo elas:

Figura 1.MANAUS, 2013 Página 6




I. Crescente: a taxa de falha aumenta com o tempo. Este é o comportamento

esperado para produtos ou componentes, mostrando um efeito gradual deenvelhecimento;

II. Decrescente: a taxa de falha diminui com o tempo. É o comportamento de certostipos de capacitores e alguns dispositivos semicondutores;

III. Constante: a taxa de falha é constante para qualquer valor do tempo. Usualmentecaracteriza um período do tempo de vida de vários produtos manufaturados;

IV. Banheira: é uma combinação entre as três funções anteriores, sendo em um período inicial decrescente, no período intermediário aproximadamente constante,e no período final crescente. Acredita-se que a função de taxa de falha do tipo

banheira descreve bem o comportamento do tempo de vida de alguns produtosque são sujeitos, em um período inicial, a uma alta taxa de falha (período defalhas prematuras) que decresce rapidamente ficando constante em um períodointermediário (período de vida útil) e apresenta no período final uma taxa de falhacrescente (período de desgaste).





3. Distribuição de Weibull

Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona um certo valor davariável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência.Há dois tipos de distribuição de probabilidade:

I. Distribuições Contínuas: Quando a variável que está sendo medida é expressa emuma escala contínua, como no caso de uma característica dimensional.

II. Distribuições Discretas: Quando a variável que está sendo medida só pode assumircertos valores, como por exemplo, os valores inteiros: 0, 1, 2, etc.

A distribuição de Weibull se caracteriza por ser uma distribuição contínua, onde suaequação de função de densidade de probabilidade (f. d. p.) com em 3 parâmetros, é dada pelaexpressão abaixo:

1

( )

t t

f t e

β γ β

η β γ η η

−− −−= (Eq.4)

Onde:

t é a variável que define o período de vida útil podendo ser expresso em distância percorrida(km), em número de ciclos (n) ou em tempo de funcionamento (h);β é o parâmetro de forma, conhecido também como inclinação;η é o parâmetro de escala;γ é o parâmetro de posição;

Nos estudos de engenharia de confiabilidade, o parâmetro γ car acteriza a vida inicial do itemsendo, na maioria das aplicações, desprezado – ou seja, γ=0. Nesses casos, a Eq.4 pode sersimplificada e distribuição fica representada na sua forma bi-paramétrica:

1

( )

t

t f t e

β β

η β η η

− −

= (Eq. 5)

Sendo a confiabilidade de sua distribuição bi-paramétrica dada por:

0

( ) 1 ( )t

c t f t dt = − ∫ (Eq. 6)

0

1

( ) 1

t t t

c t e dt

β β

η β η η

− −= − ∫ (Eq.7 )





( )

t

c t e

β

η

−= (Eq. 8)

Matematicamente, levando-se em conta a distribuição Weibull biparamétrica, a taxa defalhas é descrita por:

1

( ) t

L t

β β

η η

−= (Eq.9)

3.1 Relações entre os parâmetros da distribuição Weibull

Um aspecto importante da distribuição Weibull é como os valores do parâmetro de forma(β) e de escala (η) afetam a características da distribuição, como a forma da curva da f.d.p., da

confiabilidade e da taxa de falhas.

3.1.1 Parâmetro de Forma, β

O parâmetro de forma, β, da distribuição Weibull é conhecido também como a inclinação

da distribuição Weibull. Isto, porque o valor de β é igual a inclinação da linha em um gráfico de

probabilidade. Os diferentes valores do parâmetro de forma podem indicar efeitos nocomportamento da distribuição. De fato, alguns valores do parâmetro de forma farão com que asequações da distribuição reduzam-se à outras distribuições. Por exemplo, quando β=1, a f.d.p.Weibull de três parâmetros se reduzirá a distribuição exponencial de dois parâmetros. O parâmetroβ é um número puro, isto é, adimensional.

A figura 2 mostra o efeito dos diferentes valores do parâmetro de forma, β, na forma dof.d.p (mantendo constante o γ). Pode-se ver que a forma da f.d.p. pode tomar uma variedade deformas baseado no valor de β.

Figura 2. Figura 3.





Olhando para mesmas informações no gráfico de probabilidade Weibull, pode-se

compreender facilmente porque o parâmetro de forma da Weibull é conhecido também como ainclinação. A figura 3 mostra como a inclinação do gráfico de probabilidade Weibull muda com o β sendo que, todos possuem o mesmo valor de η.

Outra característica da distribuição onde o valor de β tem um efeito distinto é a taxa de

falha. A figura 4 mostra o efeito do valor de β na taxa de falhas da distribuição Weibull.

Como é indicado pelo gráfico, as distribuições Weibull com o β<1 têm uma taxa de falha

que diminui com tempo, conhecida também como falha infantil ou prematura. Nestes casos, do ponto de vista da gestão da de manutenção, não há como se antever tais defeitos ,indicado-se umamanutenção corretiva ou preventiva.

A figura 5 mostra a curva de confiabilidade e a curva da taxa de falhas para um componentefictício cuja probabilidade de falha segue uma distribuição Weibull biparamétrica com β= 0,8 e

η=30.

Figura 4.

Figura 5.





Analisando-se a Figura, verifica-se o formato assumido pela distribuição Weibull. Verifica-

se que a frequência de falhas é elevada na vida inicial do componente fazendo que a fiabilidade domesmo decresça de forma acelerada neste mesmo período.O comportamento da taxa de falhas éuma combinação da probabilidade de falha e da confiabilidade e evidencia que a ocorrência defalhas é mais elevada na vida inicial do componente, diminuindo drasticamente com o tempo devida e, a partir de um dado momento, aproxima-se de um valor constante. Em outras palavras, ocomportamento da taxa de falhas evidencia que em boa parte dos componentes avaliados,apresentaram falhas prematuras, defeitos, e os componentes que não falharam, até um determinadotempo de vida, tendem a funcionar segundo as suas características de projeto.

As distribuições de Weibull com o β próximo de ou igual a 1 têm uma taxa de falha

razoavelmente constante. Nesse caso, a taxa de falhas é constante e as falhas ocorrem de formaaleatória. Esse comportamento está associado, sobretudo, às características de projeto do

componente avaliado e também denominado vida útil. Assim, a manutenção corretiva e amanutenção preventiva são as mais indicadas. Na figura 6 abaixo, encontram-se os gráficos decomportamento da distribuição nestas condições com β= 1 e η=30..

Por fim, as distribuições de Weibull com o β>1 têm uma taxa de falhas que aumenta com otempo, conhecido também como falhas de desgaste. Neste caso, existem modos de falhas

predominantes e, nesses casos, após efetuar-se estudos sobre os tempos médios entre falha (MTBF)e se analisar o efeito e o modo da falha (FMEA), é possível a manutenção preventiva dos itens queestão sendo analisados. Na figura 7 abaixo, são apresentados à densidade de probabilidade, aconfiança e a taxa de falhas considerando-se uma distribuição Weibull biparamétrica com β=4 eη=30.

Figura 6.





Analisando-se essa a densidade de probabilidade, percebe-se que grande parte da densidadede falhas concentra-se ao redor de um determinado tempo de vida. Nesse caso, T=30, e é justamenteesse comportamento que caracteriza as falhas predominantes. De maneira geral, ele está ligado aodesgaste natural de um determinado componente. Nesse sentido, a manutenção preditiva tem como

preceito básico o reparo na eminência da falha.Estes betas abrangem as três fases da "clássica curva da banheira". A distribuição Weibull

mista com a uma subpopulação com o β<1, uma subpopulação com o β=1 e uma outra com o β>1,

teria um gráfico de taxa de falhas que fosse idêntico à curva da banheira. Um exemplo de umacurva da banheira é mostrado na figura 8.

Figura 7.

Figura 8.





3.1.2 Parâmetro de Escala, η

Uma variação no parâmetro da escala, η, tem o mesmo efeito na distribuição que umamudança de escala na abscissa. Aumentar o valor de η, mantendo constante o β tem o efeito de

esticar para fora da f.d.p.. Desde que a área sob uma curva da f.d.p. é um valor constante de um, o"pico" da curva da f.d.p. diminuirá também com o aumento de η, como indicado na figura genéricaa seguir:

I. Se η é aumentado, enquanto β e γ são mantidos constantes, a distribuição, ou seja a

"curva" começa a se estender, esticar para direita e sua altura diminui, ao mantersua forma e posição.

II. Se η é diminuído, enquanto β e γ são mantidos constantes, a distri buição começa seestreitar para dentro, para esquerda (isto é para sua origem ou para 0 ou γ), e

aumenta sua altura.

III.

η tem a mesma unidade que T, tal como horas, milhas, ciclos, atuações, etc

O parâmetro de escala (η) está associado à vida característica de um determinadocomponente. Ele descreve e representa uma distância, tempo ou ciclos transcorridos desde o inícioda atividade até o momento da falha. Nesse sentido, caso não apresente defeitos, falhas prematuras,as falhas predominantes de um determinado componente, que, como abordado anteriormente, estãoassociadas ao desgaste do mesmo, tendem a ocorrer nas proximidades de sua vida característica; ouseja, nos casos em que ocorrem falhas predominantes, as mesmas tendem a concentra-se nas

proximidades do parâmetro de escala.Os comportamentos descritos acima podem ser visualizados na Figura 10, onde são

apresentados a densidade de probabilidade, a confiança e a taxa de falhas considerando-se uma

Figura 9.





distribuição Weibull biparamétrica mantendo-se fixo o parâmetro de forma (β=4) e o parâmetro

de escala η assumiu os valores 10, 20 e 30.

Olhando-se mais atentamente a equação da confiabilidade para uma distribuição deWeibull, Eq. 8, nota-se que no intervalo entre t e t0 ocorrem 63,2% das falhas, restando, portanto,36,8% de itens sem falhar. Isto é facilmente visto caso os passos abaixo sejam seguidos:

0

( )

t t n

c t e

β

−−= (Eq. 10)

Agora, igualando-se t a t0, tem-se:

1( )c t e−= (Eq. 11) ( ) 0,368 36,8%c t = =

Figura 10.





4. Conclusões

As curvas de confiabilidade e da taxa de falha trazem informações importantes quedevem subsidiar a tomada de decisão sobre “o momento de se reparar” em função da boa escolhados parâmetros "t 0 ", "β " e "η ".

Isto tudo, visa que haja uma melhoraria de performance no ambiente manufatureiro, deseus produtos, na otimização de seus recursos, na redução dos custos por paradas inesperadas, nagarantia da disponibilidade de um recurso; para melhorarem, assim, a qualidade de seus produtose que haja a conquista um mercado ou que se crie um concorrente de igual competência.

Nesse sentido, a compreensão e a utilização dos conceitos descritos neste trabalhomostram-se indispensáveis e são condição básica de conhecimento a todos profissionais que

desejem atuar na gestão da engenharia da confiabilidade, na manutenção e nas áreas relacionadas





5. Referências

1. Manuel Cabral Morais, Fiabilidade e Controlo de Qualidade - Notas de apoio

Fiabilidade, Secção de Estatística e Aplicações - IST

2. Maria Prudência G. Martins, Armando L. F. Leitão, Predição de Falhas no Apoio à Decisão na Gestão da Manutenção, Departamento de Gestão Industrial – ESTiG,IPB

3. MONTGOMERY, DOUGLAS C. Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade.4.ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2004.

4.

MARCELO J. et.al, A importância da engenharia da confiabilidade e os conceitos básicos de distribuição de weibull

5. http://www.san.uri.br/~ober/arquivos/disciplinas/tolerancia/apoio/weibull


http://www.san.uri.br/~ober/arquivos/disciplinas/tolerancia/apoio/weibull



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