mic_memorator_matematic
ALGEBR
I. Funcii
I.1. Funcii injective, surjective, bijective
Definiia1. Fie f:A(B o funcie. Spunem c f este o funcie
injectiv, dac pentru oricare dou elemente x i y ale lui A, x(y,
avem f(x) ( f(y). Faptul c f este injectiv se mai exprim i altfel:
(x,y(A: f(x) = f(y) ( x = y
Definiia2. O funcie f:A(B este o funcie surjectiv, dac pentru
orice b(B exist cel puin un element a(A, astfel nct f(a) ( b. Deci
f:A(B nu este surjectiv dac ( b(B avem f(a) ( b(()a(A.
Definiia 3. O funcie f:A(B care este simultan injectiv i
surjectiv se numete funcie bijectiv.
I.2. Compunerea funciilor
Definiia4. Fie funciile f:A(B i f:B(C (domeniul de definiie al
funciei g coincide cu codomeniul funciei f). Fie a(A, atunci
f(a)(B, deci exist imaginea sa prin g, adic g(f(a))(C. Astfel putem
defini o funcie h:A(C unde h(a) = g(f(a)) pentru (a(A. Funcia h
astfel definit se noteaz gf (sau gf) i se numete compunerea funciei
g cu funcia f.
Observaii:
1. Dac f:A(B i g:C(D sunt dou funcii, are sens s vorbim de
compunerea funciei g cu funcia f numai dac B = C.
2. Dac f:A(B i g:B(A sunt dou funcii, are sens gf:A(A i fg:B(B.
n general fg ( gf.
Teorem. Fie f:A(B i g:B(C i h:C(D trei funcii. Atunci fiecare
din funciile h(gf), (hg)f are sens i exist egalitatea: h(gf) =
(hg)f.
I.3. Funcia invers
Definiia 5. Fie A o mulime oarecare. Notm cu 1A:A(A funcia
definit astfel: 1A(a) = a pentru (a(A. 1A se numete funcia identic
a mulimii A. Propoziie. Fie A o mulime i 1A funcia sa identic.
Atunci:
1. Pentru orice mulime B i pentru orice funcie f:A(B avem f1A=
f
2. Pentru orice mulime C i pentru orice funcie g:C(A avem 1Ag =
g
Definiia 6. O funcie f:A(B se numete inversabil dac exist o
funcie g:B(A astfel nct gf = 1A i fg = 1B.
Teorem. O funcie este inversabil dac i numai dac este
bijectiv.
II. Operaii cu numere reale
1. Puteri naturale ale numerelor reale
1. (+a)n = +an
2. (-a)2n = +a2n3. (-a)2n+1 = -a2n+14. am(an = am+n5. am:an =
am-n, a ( 0
6. am(bm=(a(b)m7. am:bm = , b ( 0;
8. , a ( 0;
9.(am)n = amn = (an)m;
10. a0 = 1, a ( 0;
11. 0n = 0, n ( 0, n(N.
2. Radicali. Proprieti1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5.
EMBED Equation.3 ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10.;
11.R;
, dac i numai dac A2 B = C2;
21.Expresia conjugat a lui este iar pentru este
III. Ecuaii i inecuaii de gradul nti
1. Semnul funciei afine f:R(R, f(x) = ax + b, a ( 0
x-( +(
f(X) semn contrar lui a 0 semnul lui a
2. Modului unui numr real
Proprieti:( x,y(R, avem:
1. (;
2. ;
3. (sau ;
4. ( R;
5. ;
6. ;
7.
8. ;
9. ;
10. ;
11. .
IV. Ecuaii i inecuaii de gradul al II-lea
Ecuaii de gradul al doilea
ax2 + bx + c = 0, a,b,c(R, a ( 0
1. Formule de rezolvare: ( > 0
, , ( = b2 4ac2. Formule utile n studiul ecuaiei de gradul al
II-lea:x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1x2 = S2 2P
x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2) = S3 2SP
x14 + x24 = (x1 + x2)4 2x12x22= S4 4S2P + 2P23. Discuia naturii
i semnul rdcinilor n funcie de semnele lui ( = b2 4ac, P = x1x2, S
= x1 + x2.(PSNatura i semnul rdcinilor
( < 0--Rdcini complexe:
( = 0--Rdcini reale i egale
P > 0S > 0Rdcini reale pozitive
( > 0P > 0S < 0Rdcini reale negative
P < 0S > 0Rdcini reale i de semne contrare; cea pozitiv
este mai mare dect valoarea absoluta a celei negativi
P < 0S < 0Rdcini reale i de semne contrare; cea negativ
este mai mare n valoare absolut.
4. Semnul funciei f:R(R, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,c(R
( > 0: a ( 0, x1 < x2.
x-( x1 x2 +(
f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a
( = 0
X-( x1 = x2 +(
f(x) semnul lui a 0 semnul lui a
( < 0
X-( +(
f(x) semnul lui a
5. Graficul funciei f:R(R, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,c(R este o
parabol. Aceast funcie se poate scrie i sub forma , numit form
canonic.
V
6. Maximul sau minimul funciei de gradul al doilea1. Dac a >
0, funcia f(x) = ax2 + bx + c are un minim egal cu , minim ce se
realizeaz pentru x =
2. Dac a < 0, funcia f(x) = ax2 + bx + c are un maxim egal cu
, maxim ce se realizeaz pentru x =
7. Intervale de monotonie pentru funcia de gradul al doilea
Teorem. Fie funcia de gradul al doilea f(x) = ax2 + bx + c,
a(0
1. Dac a > 0, funcia f este strict descresctoare pe
intervalul i strict cresctoare pe intervalul .
2. Dac a < 0, funcia f este strict cresctoare pe intervalul i
strict descresctoare pe intervalul .
Observaie: Intervalele i se numesc intervale de monotonie ale
funciei f.
Descompunerea trinomului f(x) = aX2 + bX + c, a,b,c(R, a(0, x1 i
x2 fiind rdcinile trinomului.
1. ( > 0, f(x) = a(X x1)(X x2);
2. ( = 0, f(x) = a(X x1)2;
3. ( < 0, f(x) este ireductibil pe R, deci f(x) = aX2 + bX +
c
Construirea unei ecuaii de gradul al doilea cnd se cunosc suma i
produsul rdcinilor ei: x2 Sx + P = 0, cu S = x1 + x2 i P =
x1x2.
V. Logaritmi
Definiia1. Fie a(R*+, a ( 1 i b(R*+ dou numere reale. Se numete
logaritm al numrului real strict pozitiv b exponentul la care
trebuie ridicat numrul a, numit baz, pentru a obine numrul b.
Logaritmul numrului b n baza a se noteaz logab
Evident . Pentru a = 10 obinem logaritmi zecimali, iar pentru a
= e obinem logaritmi naturali.
Proprieti:1. logab = logac ( b = c, (b,c > 0);
2. logaa = 1;
3. loga1 = 0
4. logaac = c; loga=- logab; logax2n = 2n loga(x (, x(0
5. ;
6. logab logba = 1;
7. Formula de schimbare a bazei logaritmului:
8. x>0 i y>0 ( logaxy = logax + logay;
9. x>0 i y>0 ( loga = logax logay; cologax = - logay
10. a>1 i x((0,1) ( logax < 0; a>1 i x>1 ( logax
> 0;
11. 00, b>0, a(1, b(1 ( ;
14. x>0, a>0, a(1, n(N (n logax = logaxn;VI. Metoda
induciei matematice
Fie P(n) o propoziie care depinde de numrul natural n. Dac
avem:
1. P(0) adevrat;
2. (n(N, P(n) adevrat ( P(n+1) adevrat, atunci P(n) este adevrat
pentru orice numr natural n.
n demonstraie prin metoda induciei matematice (recuren) poate
aprea n loc de 0, un numr natural n0, dac n propoziia P(n) pe care
vrem s demonstrm am constatat n(n0.
VII. Analiz combinatorie
1. Permutri
Definiia1. O mulime mpreun cu o ordine bine determinat de
dispunere a elementelor sale este o mulime ordonat i se notaz
(a1,a2,,an).
Definiia 2. Se numesc permutri ale unei mulimi A cu n elemente
toate mulimile ordonate care se pot forma cu cele n elemente ale
lui n. Numrul permutrilora n elemente, n(N*, este Pn=1(2(3((n = n!;
0! = 1 (prin definiie).Factoriale (proprieti): n! = (n 1)!n; n!
=
2. Aranjamente
Definiia 1. Se numesc aranjamente a n elemente luate cte m (m(n)
ale unei mulimi A cu n elemente, toate submulimile ordonate cu cte
m elemente care se pot forma din cele n elemente ale mulimii A. Se
noteaz Amn.
Numrul aranjamentelor a n elemente luate cte m este:
Amn = n(n 1)(n m + 1) = , n(m.
Proprieti: Ann = Pn; Ann = sau Ann= n!; .
3. Combinri
Definiia 1. Se numesc combinri a n elemente luate cte m (m(n)
ale unei mulimi A cu n elemente toate submulimile cu cte m
elemente, care se pot forma din cele n elemente ale mulimii A. Se
noteaz .
Proprieti:1. ;
2. ;
3. Numrul submulimilor unei mulimi cu n elemente este 2n;
4. ;
5. unde p1 + pm-1 < n
4. Binomul lui Newton(x + a)n =
(x a)n = unde n(N
Proprieti:1. Termenul de rank k+1 este Tk+1 = (-1)kxn-kak;
2. ;
3. Tk+2 = Tk+1 sau Tk+2 = Tk+1;
4. Numrul termenilor dezvoltrii (x ( a)n este n+1;
5. Coeficienii termenilor egal deprtai de extremi sunt
egali.
Relaii importante:
Dezvoltri particulare uzuale:1. (a ( b)2 = a2 ( 2ab + b2;
2. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac);
3. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;
4. (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3;
5. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2b + a2c + b2a + b2c + c2a +
c2b) + 6abc;
6. (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.
5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale
Dac Sp = 1p + 2p + + np, p(N, atunci avem:
O relaie care permite calculul lui Sp, cnd se cunosc Sp-1,
Sp-2,, S1 este formula lui Pascal: (n+a)p+1 = 1+
VIII. Progresii
1. Progresii aritmetice
Definiia1. Se numete progresie aritmetic un ir de numere
a1,a2,a3,,an, n care fiecare termen, ncepnd cu a2, se obine din cel
precedent prin adugarea unui numr constant numit raia progresiei.
Se noteaz (a1,a2,a3,an,
Dac a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul
general), r raia, n numrul termenilor i Sn suma celor n termeni,
atunci avem:
an = an-1 + r, n(2 (prin definiie)
an = a1 + (n 1)r, n(2 (prin definiie)
Sn = a1 + a2 + + an, Sn =
Termenii echidistani de extremi. ntr-o progresie aritmetic suma
termenilor echidistani de extremi este egal cu suma termenilor
extremi: ak + an-k+1 = a1 + an.
Observaie. Dac numrul termenilor este impar (n = 2m + 1), atunci
exist un termen n mijloc, am+1, astfel nct 2am+1 = a1 + a2m+1.
Condiia necesar i suficient pentru ca trei termeni a,b,c, luate
n aceast ordine, s formeze o progresie aritmetic, este s avem 2b =
a + c.
2. Progresii geometrice
Definiia 1. Se numete progresie geometric un ir de numere
a1,a2,a3,,an, n care fiecare termen, ncepnd cu a2, se obine din cel
precedent prin nmulirea acestuia cu un acelai numr q (q(0) numit
raie. Se noteaz ((a1,a2,a3,an,
Dac a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul
general), q raia, n numrul termenilor i Sn suma celor n termeni,
atunci avem:
an = qan-1, n(2 (prin definiie)
an = a1qn-1, n(2 (an n funcie de a1, q i n)
Sn = a1 + a2 + + an, Sn =
Sn =
Termeni echidistani de extremi. ntr-o progresie geometric,
produsul a doi termeni echidistani de extremi este egal cu produsul
termenilor extremi: apan-p+1 = a1an.Observaie. Dac numrul
termenilor este impar (n = 2m + 1) atunci exist un termen la
mijloc, am+1, astfel nct .
Condiia necesar i suficient ca trei numere a,b,c, luate n aceast
ordine, s formeze o progresie geometric este s avem b2 = ac.IX.
Polinoame
1. Forma algebric a unui polinomTeorema mpririi cu rest:
(f,g(C[x], g(0 exist polinoamele unice q,r(C[x] astfel nct f = gq +
r, grad r < grad g.
mprirea unui polinom cu X-a: Restul mpririi polinomului f(C[x],
f(0 la X-a este f(a).
Schema lui Horner: ne ajut s aflm ctul q = b0Xn-1 + b1Xn-2 + +
bn-1 al mpririi polinomului f = a0Xn + a1Xn-1 + a2Xn-2 + + an la
binomul X-a; precum i restul acestei mpriri r = f(a);
a0a1an-1an
ab0 = a0b1 = ab0+a1bn-1 = abn-2+an-1r=f(a)=abn-1+an
2. Divizibilitatea polinoamelor
Definiia 1. Fie f,g(C[x], spunem c g divide pe f i notm g(f dac
(q(C[x] astfel nct f=gq.
Proprieti:
1. a (f, (a(C*, (f(C[x];
2. g (f i f(0 ( r = 0;
3. g (f i f(0 ( grad f ( grad g;
4. a(C* ( af (f;
5. f (f (refelexivitate);
6. f (g i g (h ( f (h (tranzitivitate);
7. f (g i g (f ( ( a(C* cu f = ag (f,g sunt asociate n
divizibilitate).
Definiia2. Un polinom d se numete cel mai mare divizor comun
(c.m.m.d.c.) al polinoamelor f i g dac: 1) d (f i d (g. 2) d (f i d
(g ( d (d i notm d=(f,g)Definiia 3. Dac d=1 atunci f i g se numesc
prime ntre ele.
Definiia 4. Un polinom m se numete cel mai mic multiplu comun
(c.m.m.m.c.) al polinoamelor f i g dac: 1) f (m i g (m. 2) f (m i g
(m ( m (m
Teorem. Dac d=(f,g) atunci m =
3. Rdcinile polinoamelorDefiniia 1. Numrul ((C se numete rdcin a
polinomului f dac i numai dac (() = 0.
Teorema lui Bezout: Numrul ((C este rdcin a polinomului
f(0((X-a) (f.
Definiia 2. Numrul ( se numete rdcin multipl de ordinul p a
polinomului f(0 dac i numai dac (X-a) (f iar (X-a)p+1 nu-l divide
pe f.
Teorem: Dac f(C[x] este un polinom de gradul n i x1,x2,x3,,xn
sunt rdcinile lui cu ordinele de multiplicitate m1,m2,m3,,mn atunci
unde a0 este coeficientul dominant al lui f, iar m1 + m2 + + mn =
grad f.
4. Ecuaii algebrice
Definiia 1. O ecuaie de forma f(x) = 0 unde f(0 este un polinom,
se numete ecuaie algebric.
Teorema lui Abel-Ruffini: Ecuaiile algebrice de grad mai mare
dect patru nu se pot rezolva prin radicali.
Teorema lui DAlambert-Gauss: Orice ecuaie algebric de grad mai
mare sau egal cu unu, are cel puin o rdcin (complex).
Formulele lui Viete: Dac numerele x1,x2,,xn sunt rdcinile
polinomului f(C[x], f = a0Xn + a1Xn-1 + + an, a0(0 atunci:
5. Polinoame cu coeficieni din R, Q, Z
Teorem: Dac f(R[x] admite pe ( = a + ib, b(0 ca rdcin atunci el
admite ca rdcin i pe(( = a ib, iar ( i(( au acelai ordin, de
mutiplicitate.Teorem: Dac un polinom f(Q[x] admite pe ( = a + b
(a,b(Q, b(0, d(R\Q) ca rdcin, atunci el admite i pe(= a b, iar (
i(( au acelai ordin, de mutiplicitate.
Teorem: Dac un polinom f(Z[x], grad f(1, admite o rdcin ( = (Q,
(p,q) = 1 atunci p (an i q (a0.
n particular dac f(Z[x] are rdcina (=p(Z atunci p (an.
X. Permutri, matrici, determinani
1. Permutri
Definiie 1. Fie A={1,2,n}, ( se numete permutare de gradul n
daac (:A(A i ( bijectiv.
( =
Sn mulimea permutrilor de grad n; card Sn = n!
1A = e, permutarea identic e =
Compunerea permutrilorFie (,((Sn atunci (o( = (SnTranspoziii
Definiia 2. Fie i,j(A, i(j, (ij(Sn, (ij se numete transpoziie
dac:
Observaii: 1. ((ij)-1 = (ij;
2. Numrul transpoziiilor de grad n este
Signatura (semnul) unei permutri
Definiia XV.1.3. Fie (i,j)(AxA, i m((C), (MBA este unghi
exterior;
2. a+b > c, b+c > a, a+c > b
3. a > (b-c (, b > (c-a (, c > (a-b (
4. ma <
5. p < ma + mb + mc < P
Teorema bisectoarei ((BAD ( (DAC) M
Observaii:
1. Centrul cercului circumscris unui triunghi este punctul de
intersecie al mediatoarelor;
2. Centrul cercului nscris ntr-un triunghi este punctul de
intersecie al bisectoarelor;
3. Centrul de greutate al triunghiului este punctul de
intersecie al medianelor.
4. Ortocentrul triunghiului este punctul de intersecie al
nlimilor.
II. Poligoane convexe
Suma Sn a msurilor unghiurilor unui poligon convex cu n
laturi:
Sn = (n 2)(180(
Poligonul regulat este inscriptibil ntr-un cerc i poate fi
circumscris unui alt cerc.
III. Relaii metrice n triunghi
1. Triunghiul dreptunghic
ABC (m((A) = 90(, AD(BC)
1. Teorema lui Pitagora: a2 = b2 + c2;
2. Teorema catetei: b2 = a(CD, c2 = a(BD;
3. Teorema nlimii: =BD(DC;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. Relaii exprimate prin funcii trigonometrice:
b = a(sin B, b = a(cos C, b = c(tg B, b = c(ctg C.
2. Triunghiul echilateral
ABC (a = b = c)
1.
2. ;
3.
4.
3. Triunghiul oarecare ABC (AD(BC)
1. Teorema lui Pitagora generalizat:
a) b2 = a2 + c2 2a(BD, dac m((B)90( ;
2. Relaiile lui Steward O((BC):
b2(BO + c2(CO a2(AO = a(BO(CO;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. .
4. Relaii exprimate prin funcii trigonometrice
1. Teorema sinusurilor: ;
2. Teorema cosinusului: ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. .
IV. Funcii trigonometrice
1. Definiii n triunghiul dreptunghic
, ,
, ,
2. Proprietile funciilor trigonometrice
1. sin:R([-1,1]
sin(-x) = -sin x, sin(x + 2k() = sin x, (k(Z)
cos:R([-1,1]cos(-x) = cos x, cos (x + 2k() = cos x, (k(Z)
2. tg:R\{(2k+1)}(R tg(-x) = -tg x
tg(x+k() = tg x, (k(Z)
3. ctg:R\{k(}(R
ctg(-x) = -ctg x
ctg(x + k() = ctg x, (k(Z)
V. Formule trigonometrice1. Relaii ntre funciile trigonometrice
ale unui argument:
1. ;
2.
3.
,
4.
;
5.
,
6.
;
7.
;
2. Formule de adunare:
3. Formule pentru multiplii de argument:
4. Formule pentru jumti de argument:
5. Sume, diferene i produse:
VI. Inversarea funciilor trigonometrice
1. arcis:[-1.1]([-, ], arcsin (-x) = - arcsin x
2. arcos:[-1,1]([0,(], arcos (-x) = ( - arcos x3. arctg:R, arctg
(-x) = -arctg xVI.4. arctg:R((0,(), arctg (-x) = ( - arctg x
VII. Soluiile ecuaiilor trigonometrice simple
1. Ecuaii fundamentale
2. Tabele de valori:x
funcia0
2
sin x0
10-10
cos x1
0-101
x
funcia0
2
tg x0
1
/0/0
ctg x/
1
0/0/
VIII. Elemente de geometrie analitic
1. Segmente
1. Distana dintre dou puncte A(x1,y1), B(x2,y2): AB =
2. Panta dreptei AB:
3. Coordonatele (x,y) ale mijlocului segmentului AB:
4. Coordonatele punctului M care mparte segmentul (AB) n
raportul k:
2. Ecuaia dreptei1. Drepte paralele cu axele de coordonate:
(d):x = a (d ((Oy), (d):y = a (d ((Ox)
2. Dreapta determinat de punctul Mo(xo,yo) i vectorul nul , t(R,
-vectorul de poziie a lui Mo; r-vectorul de poziie a unui punct M
al dreptei d.
, t(R, ecuaiile parametrice;
3. Ecuaia explicit: y =mx + n (m(R*, n(R, m panta, n ordonata la
origine);
4. Ecuaia prin tieturi:
5. Ecuaia dreptei de pant m, prin punctul Mo(xo,yo): y yo = m(x
xo), (m(0);
6. Ecuaia dreptei determinat de punctele A(x1,y2), B(x2,y2):
sau
7. Ecuaia general: ax + by + c = 0;
8. Aria triunghiului ABC (A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)): AABC =
, unde
, dac ( = 0 atunci A, B, C sunt colineare
9. Poziia relativ a dreptelor (d1) i (d2):
i
d1 = d2, dac
d1 ((d2, dac ;
d1 ( d2 i d1 ( d2 ( (, dac
10. Distana de la punctul Mo(xo,yo) la dreapta (h): ax + by + c
= 0
11. Unghiul ( determinat de dreptele:
i
d1 ( d2, dac m1m2 = -1
3. Cercul
Cercul C de centru M(a,b) i raz r:
1. Ecuaia cercului (x a)2 + (y b)2 = r2; dac M(a,b) = 0(0,0): x2
+ y2 = r2;
2. Ecuaia general: x2 + y2 + mx + ny + p = 0, unde , b = i
r2 = (m2 + n2) p.
4. Conice raportate la axele de simetrie
1. Elipsa E: F(c,0), F(-c,0), A(a,0), A(-a,0), B(0,b), B(0,-b),
MF + MF = 2a, M(E
Ecuaia elipsei:
Ecuaia tangentei n punctul M(xo,yo), M(E:
2. Hiperbola H: F(c,0), F(-c,0), A(a,0), A(-a,0), (MF MF(= 2a,
M(H.
Ecuaiea hiperbolei:
Ecuaia tangentei n Mo(xo,yo), Mo(H.
3. Parabola P: F(,0), h:x = - (h dreapta directoare): d(M,h) =
MF, M(P.
Ecuaia parabolei P: y2 = 2pxEcuaia tangentei n Mo(xo,yo), Mo(P:
yyo = p(x + xo)ANALIZ MATEMATIC
I. Limite de funcii
1. Limite tip
EMBED Equation.3
, ;
4.
, , dac a > 1;
, , dac 0 < a < 1;
4.
i dac a > 1;
i dac 0 < a < 1;
6.,
,
,
7. ,
,
,
,
, ;
8. , , , ;
9.
10.
11.
12. ,
13. .
2. Continuitatea funciilor
Definiia 1. Fie f:D(R, xo(D, xo punct de acumulare a lui D, f
este continu n xo, dac , xo se numete punct de continuitate.
Definiia2. Fie ((D, ( este punct de discontinuitate de prima spe
dac exist i sunt finite limitele laterale n (, dar funcia nu este
continu n (.
Definiia 3. Fie ((D, ( este punct de discontinuitate de spea a
doua dac nu este de prima spe.
Teorem. Dac f:I(R, I interval i f continu pe I, atunci J = f(I)
este interval ( o funcie continu pe un interval are proprietatea
lui Darboux pe acel interval).III. Funcii derivabile
1. Definiia derivatei ntr-un punct
f:E(R, xo(E, xo punct de acumulare a lui E:
f(x0) =
fs(x0) = , fd(x0) =
f(x0) = fs(x0) = fd(x0)Interpretarea geometric:
dac f(x0)(R, y - f(x0) = f(x0)(x x0) este ecuaia tangentei la
graficul funciei f n punctul A(x0,f(x0));
dac f este continu n x0, fd(x0) = +(, fs(x0) = -(, sau invers,
x0 este punct de ntoarcere al graficului;
dac f este continu n x0 i exist derivatele laterale n x0, cel
puin una fiind finit, dar f nu este derivabil n x0, x0 este punct
unghiular al graficului.
2. Reguli de derivaref,g:E(R, f,g derivabile n x(E:
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x);
2. (cf)(x) = cf(x), c(R;3. (f(g)(x) = f(x)(g(x) + f(x)(g(x)
4. dac g(x)(0, ;
5. dac f:I(J, g:J(R, f derivabil n x0(I i g derivabil n y0 =
f(x0), atunci (gof)(x0) = g(y0)f(x0);
6. dac f:I(J continu, bijectiv i derivabil n x0 cu f(x0)(0,
atunci f-1:J(I este derivabil n y0, y0 = f(x0) i f-1(y0) = .
3. Derivatele funciilor elementareFuncia (condiii)Derivata
(condiii)
C0
xn, n(N* nxn-1
xr, r(R, x>0rxn-1
logax, a(1, a>0, x>0
ln x, x>0
ax, a(1, a>0, x>0ax ln a
exex
sin xcos x
cos x-sin x
tg x, x
ctg x, x
arcsin x, x([0,1]
arcos x, x([0,1]
arctg x
arcctg x
Formula lui Leibniz:
5. Proprieti ale funciilor derivabile
Teorema lui Fermat:
Fie f:I(R derivabil pe I. n orice punct extrem local din
interiorul lui I, f este nul.
Teorema lui Rolle:
Dac funcia continu f:[a,b](R este derivabil pe (a,b) i f(a) =
f(b) atunci exist c((a,b) astfel nct f(c) = 0.
Teorema lui Lagrange:
Dac funcia continu f:[a,b](R este derivabil pe (a,b), atunci
exist c((a,b) astfel nct .
Teorem. Dac funcia f este continu i derivabil pe I (I interval
deschis), atunci:
1. ntre dou rdcini consecutive ale funciei exist cel puin o
rdcin a derivatei;
2. ntre dou rdcini consecutive ale derivatei exist cel mult o
rdcin a funciei.
Teorema lui Cauchy:
Dac f,g:[a,b](R continue pe [a,b], derivabile pe (a,b) i g(x)(0,
(x((a,b) atunci (c((a,b) astfel nct
IV. Asimptote
1. Asimptote orizontale (f:D(R)
Definiia IV.1.1. Dac sau , l1,l2(R, dreptele y=l1 i y=l2 sunt
asimptote orizontale a lui f spre +(, respectiv -(2. Asimptote
oblice (f:D(R)
Definiia IV.2.1. Dac i dreapta y = mx + n este asimptot oblic a
lui f spre +(.
Definiia IV.2.2. Dac i dreapta y = mx + n este asimptot oblic a
lui f spre -(.
3. Asimptote verticale (f:D(R)
Definiia IV.3.1. Dac , ( - punct de acumulare a lui D, dreapta
x=( este asimptot vertical la stnga a lui f.
Definiia IV.3.2. Dac , ( - punct de acumulare a lui D, dreapta
x=( este asimptot vertical la dreapta a lui f.
V. Primitive
(integrale nedefinite)
Definiia 1. Fie funcia f:J(R, J interval, F:J(R este primitiva
lui f, dac F este derivabil pe J i F(x) = f(x), (x(J.
Se noteaz:
Proprieti ale primitivelor:
1. ;
2. ;
3. .
1. Prima metod de schimbare a variabilei
Dac ( :I(J, f:J(R,( derivabil pe I, f admite primitive (F),
atunci
2. A doua metod de schimbare a variabilei
Dac ( :I(J, f:J(R,( bijectiv, derivabil, cu derivata nenul pe I,
admite primitive (H) atunci .
3. Tabel de primitive: (I interval, I(R)
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. ;
13. ;
14. ;
15.
4. Primitivele funciilor raionale1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .
Substituiile lui Euler:
1. ;
2. ;
3. este o rdcin a ecuaiei
ax2 + bx + c = 0.
VI. Integrale definite
1. Definiia integrabilitii (integrale Riemann)Notaii: f:[a,b](R,
( = (a = x0, x1, x2, , xn = n) diviziune, xi-1 ( (i ( xi , (i
puncte intermediare, (((f, () suma Riemann:
Definiia VI.1.1. f se numete integrabil dac exist numrul real If
cu proprietatea: (( > 0, ((( >0 astfel nctr pentru orice
divizune ( a lui [a,b] cu i orice puncte intermediare (i are loc
unde
Se noteaz:
Proprieti ale integralei definite:
1. ;
2. ;
3. ;
4. .
Formula lui Leibniz-Newton:
(F primitiv a lui f)Teorema de medie:
Dac f continu pe [a,b], atunci ((([a,b] astfel nct:
Formula de integrare prin pri:
Formula de schimbare de variabil:
Dac ( :[a,b](J, f:J(R, f continu pe J, ( derivabil cu derivata
continu pe [a,b], atunci
Proprieti de paritate:
Dac f:[-a,a](R continu atunci:
2. Aplicaii ale integralei definite1. Aria subgraficului (f,
f:[a,b](R+, f continu:
aria
Aria subgraficului (f,g, f,g:[a,b](R ,f(x) ( g(x) (
x([a,b],aria
2. Volumul corpurilor de rotaie, f:[a,b](R+, f continu:
3. Lungimea graficului f:[a,b](R+, f derivabil cu derivata
continu:
4. Aria suprafeelor de rotaie:
134
_1106562366.unknown
_1106642111.unknown
_1106656351.unknown
_1106670648.unknown
_1106725909.unknown
_1106730033.unknown
_1106731334.unknown
_1106732219.unknown
_1106733003.unknown
_1106733231.unknown
_1106734257.unknown
_1319989248.unknown
_1319989293.unknown
_1106735323.unknown
_1204168953.unknown
_1106734889.unknown
_1106733420.unknown
_1106733567.unknown
_1106733336.unknown
_1106733122.unknown
_1106733201.unknown
_1106733036.unknown
_1106732817.unknown
_1106732923.unknown
_1106732966.unknown
_1106732860.unknown
_1106732706.unknown
_1106732784.unknown
_1106732532.unknown
_1106731674.unknown
_1106731999.unknown
_1106732163.unknown
_1106732201.unknown
_1106732040.unknown
_1106731901.unknown
_1106731941.unknown
_1106731888.unknown
_1106731491.unknown
_1106731566.unknown
_1106731611.unknown
_1106731545.unknown
_1106731371.unknown
_1106731438.unknown
_1106731359.unknown
_1106730878.unknown
_1106731151.unknown
_1106731219.unknown
_1106731297.unknown
_1106731187.unknown
_1106731055.unknown
_1106731098.unknown
_1106730879.unknown
_1106730443.unknown
_1106730498.unknown
_1106730632.unknown
_1106730470.unknown
_1106730196.unknown
_1106730374.unknown
_1106730120.unknown
_1106727614.unknown
_1106729181.unknown
_1106729757.unknown
_1106729934.unknown
_1106730026.unknown
_1106729889.unknown
_1106729603.unknown
_1106729710.unknown
_1106729449.unknown
_1106727763.unknown
_1106727844.unknown
_1106727858.unknown
_1106727796.unknown
_1106727676.unknown
_1106727687.unknown
_1106727649.unknown
_1106726495.unknown
_1106727371.unknown
_1106727464.unknown
_1106727498.unknown
_1106727388.unknown
_1106726929.unknown
_1106727173.unknown
_1106726521.unknown
_1106725914.unknown
_1106726078.unknown
_1106726400.unknown
_1106725915.unknown
_1106725912.unknown
_1106725913.unknown
_1106725910.unknown
_1106724457.unknown
_1106725112.unknown
_1106725905.unknown
_1106725907.unknown
_1106725908.unknown
_1106725906.unknown
_1106725583.unknown
_1106725901.unknown
_1106725903.unknown
_1106725904.unknown
_1106725902.unknown
_1106725663.unknown
_1106725900.unknown
_1106725899.unknown
_1106725584.unknown
_1106725254.unknown
_1106725255.unknown
_1106725166.unknown
_1106724680.unknown
_1106725057.unknown
_1106725073.unknown
_1106724681.unknown
_1106724575.unknown
_1106724679.unknown
_1106724678.unknown
_1106724510.unknown
_1106723994.unknown
_1106724173.unknown
_1106724341.unknown
_1106724396.unknown
_1106724307.unknown
_1106724080.unknown
_1106724143.unknown
_1106724003.unknown
_1106671884.unknown
_1106723707.unknown
_1106723790.unknown
_1106672510.unknown
_1106671164.unknown
_1106671802.unknown
_1106671855.unknown
_1106670979.unknown
_1106659051.unknown
_1106668401.unknown
_1106670019.unknown
_1106670181.unknown
_1106670505.unknown
_1106670528.unknown
_1106670486.unknown
_1106670132.unknown
_1106670156.unknown
_1106670079.unknown
_1106669757.unknown
_1106669861.unknown
_1106669969.unknown
_1106669790.unknown
_1106669554.unknown
_1106669702.unknown
_1106668603.unknown
_1106659182.unknown
_1106667902.unknown
_1106668196.unknown
_1106668279.unknown
_1106668121.unknown
_1106667791.unknown
_1106667845.unknown
_1106667749.unknown
_1106659103.unknown
_1106659149.unknown
_1106659178.unknown
_1106659135.unknown
_1106659074.unknown
_1106659102.unknown
_1106659064.unknown
_1106657250.unknown
_1106658922.unknown
_1106658947.unknown
_1106659020.unknown
_1106659042.unknown
_1106658954.unknown
_1106658929.unknown
_1106658939.unknown
_1106657560.unknown
_1106658892.unknown
_1106658912.unknown
_1106658684.unknown
_1106658049.unknown
_1106657331.unknown
_1106657529.unknown
_1106657310.unknown
_1106657076.unknown
_1106657127.unknown
_1106657175.unknown
_1106657093.unknown
_1106656906.unknown
_1106657026.unknown
_1106656486.unknown
_1106655821.unknown
_1106655973.unknown
_1106656221.unknown
_1106656261.unknown
_1106656302.unknown
_1106656245.unknown
_1106656008.unknown
_1106656191.unknown
_1106655986.unknown
_1106655881.unknown
_1106655923.unknown
_1106655942.unknown
_1106655907.unknown
_1106655850.unknown
_1106655866.unknown
_1106655823.unknown
_1106642375.unknown
_1106653795.unknown
_1106654743.unknown
_1106655724.unknown
_1106655732.unknown
_1106655812.unknown
_1106655703.unknown
_1106653814.unknown
_1106653769.unknown
_1106653782.unknown
_1106653733.unknown
_1106642279.unknown
_1106642326.unknown
_1106642347.unknown
_1106642304.unknown
_1106642230.unknown
_1106642264.unknown
_1106642179.unknown
_1106585382.unknown
_1106641260.unknown
_1106641863.unknown
_1106641984.unknown
_1106642016.unknown
_1106642079.unknown
_1106642004.unknown
_1106641939.unknown
_1106641961.unknown
_1106641914.unknown
_1106641471.unknown
_1106641518.unknown
_1106641577.unknown
_1106641497.unknown
_1106641340.unknown
_1106641355.unknown
_1106641321.unknown
_1106587749.unknown
_1106640632.unknown
_1106641148.unknown
_1106641175.unknown
_1106641120.unknown
_1106640027.unknown
_1106640577.unknown
_1106587797.unknown
_1106587269.unknown
_1106587584.unknown
_1106587625.unknown
_1106587451.unknown
_1106586921.unknown
_1106587094.unknown
_1106586792.unknown
_1106581359.unknown
_1106583554.unknown
_1106583984.unknown
_1106585037.unknown
_1106585292.unknown
_1106584170.unknown
_1106583622.unknown
_1106583737.unknown
_1106583560.unknown
_1106582758.unknown
_1106583129.unknown
_1106583324.unknown
_1106583023.unknown
_1106582611.unknown
_1106582671.unknown
_1106581684.unknown
_1106562943.unknown
_1106579864.unknown
_1106580025.unknown
_1106580231.unknown
_1106579893.unknown
_1106579463.unknown
_1106579486.unknown
_1106563525.unknown
_1106562722.unknown
_1106562805.unknown
_1106562864.unknown
_1106562747.unknown
_1106562578.unknown
_1106562668.unknown
_1106562424.unknown
_1106550628.unknown
_1106555345.unknown
_1106559722.unknown
_1106561354.unknown
_1106562222.unknown
_1106562295.unknown
_1106561415.unknown
_1106561301.unknown
_1106561320.unknown
_1106561162.unknown
_1106559368.unknown
_1106559497.unknown
_1106559551.unknown
_1106559425.unknown
_1106555410.unknown
_1106559275.unknown
_1106555388.unknown
_1106554154.unknown
_1106555182.unknown
_1106555200.unknown
_1106555276.unknown
_1106555199.unknown
_1106554978.unknown
_1106555148.unknown
_1106554715.unknown
_1106550744.unknown
_1106553710.unknown
_1106554117.unknown
_1106553675.unknown
_1106550673.unknown
_1106550702.unknown
_1106550640.unknown
_1106549809.unknown
_1106550476.unknown
_1106550525.unknown
_1106550583.unknown
_1106550603.unknown
_1106550566.unknown
_1106550506.unknown
_1106550513.unknown
_1106550486.unknown
_1106550075.unknown
_1106550410.unknown
_1106550443.unknown
_1106550301.unknown
_1106549944.unknown
_1106549995.unknown
_1106549924.unknown
_1106549040.unknown
_1106549191.unknown
_1106549572.unknown
_1106549745.unknown
_1106549469.unknown
_1106549141.unknown
_1106549161.unknown
_1106549087.unknown
_1106548824.unknown
_1106548912.unknown
_1106548996.unknown
_1106548871.unknown
_1106548694.unknown
_1106548770.unknown
_1106548591.unknown
