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Cálculo Diferencial e
Integral II
2
Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de diciembre de 2010.
Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora
Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México
La edición consta de 2,623 ejemplares.
COLEGIO DE BACHILLERES
DEL ESTADO DE SONORA
Director General
Mtro. Jorge Luis Ibarra Mendívil
Director Académico
Profr. Julio Alfonso Martínez Romero
Director de Administración y Finanzas
C.P. Jesús Urbano Limón Tapia
Director de Planeación
Mtro. Pedro Hernández Peña
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Módulo de Aprendizaje.
Copyright ©, 2009 por Colegio de Bachilleres
del Estado de Sonora
todos los derechos reservados.
Tercera edición 2011. Impreso en México.
DIRECCIÓN ACADÉMICA
Departamento de Desarrollo Curricular
Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur
Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280
Registro ISBN, en trámite.
COMISIÓN ELABORADORA:
Elaboración:
Librada Cárdenas Esquer
María Elena Conde Hernández
Revisor de Contenido:
María Elena Conde Hernández
Hermenegildo Rivera Martínez
Corrección de Estilo:
Jesús Alfonso Velasco Núñez
Edición:
Ana Isabel Ramírez Vásquez
Coordinación Técnica:
Claudia Yolanda Lugo Peñúñuri
Coordinación General:
Profr. Julio Alfonso Martínez Romero
3
COMPONENTE:
FORMACIÓN PROPEDÉUTICA
CAMPO DE CONOCIMIENTO:
QUÍMICO–BIOLÓGICO
Esta asignatura se imparte en el 6 semestre; tiene como antecedente
Cálculo Diferencial e Integral I, no tiene asignatura consecuente es
____________________________ y se relaciona con
____________________________________________________.
HORAS SEMANALES: 3
CRÉDITOS: 6
DATOS DEL ALUMNO Nombre: ______________________________________________________
Plantel: _________________________________________________________
Grupo: ____________ Turno: _____________ Teléfono:_______________
Domicilio: _____________________________________________________
______________________________________________________________
Ubicación Curricular
4
Mapa Conceptual de la Asignatura
5
Recomendaciones para el alumno ......................................................................6 Presentación .........................................................................................................6 UNIDAD 1. DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA ......................... 9 1.1. La diferencial .................................................................................................11 Sección de tareas ................................................................................................31 Autoevaluación .....................................................................................................39 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................43 UNIDAD 2. INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. ..................................................................................... 45 2.1. Integral Indefinida .........................................................................................47 2.2. Métodos de integración ................................................................................55 Sección de tareas ................................................................................................65 Autoevaluación .....................................................................................................71 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................75 UNIDAD 3. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA .................................. 77 3.1. Integral definida ............................................................................................79 3.2. Teorema fundamental del Cálculo ...............................................................83 3.3 Aplicaciones de la Integral Definida ..............................................................89 Sección de tareas ................................................................................................95 Autoevaluación .....................................................................................................99 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................101 Claves de respuestas ...........................................................................................103 Glosario ................................................................................................................104 Bibliografía ............................................................................................................105
Índice
6
El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti; en él se manejan los contenidos mínimos de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral II. No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigación, el análisis y la discusión, así como el aprovechamiento de materiales de lectura complementarios; de ahí la importancia de atender las siguientes recomendaciones:
Maneja el Módulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos temáticos a revisar en clase.
Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase.
Al término de cada unidad, resuelve la autoevaluación, consulta la escala de
medición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican.
Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados.
Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados en
cada unidad.
Para comprender algunos términos o conceptos nuevos, consulta el glosario que aparece al final del módulo.
Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinión sobre los módulos de
aprendizaje. Si quieres hacer llegar tus comentarios, utiliza el portal del Colegio: www.cobachsonora.edu.mx
Deberá incluirse el enfoque del campo y de la asignatura, (sin ser necesaria la identificación). Enfoque del campo: justifica la ubicación de la asignatura en determinado campo de conocimiento; es decir, responde a la pregunta, ¿por qué pertenece esta asignatura al campo de _________? Enfoque de la asignatura: describe la importancia e intencionalidad de la asignatura dentro del plan de estudios, su pertinencia social en la formación de los estudiantes de bachillerato, se responde a las preguntas ¿por qué es importante conocer acerca de lo planteado en el programa? ¿dónde reside la relevancia de los contenidos seleccionados para los estudiantes a este nivel?
Recomendaciones para el alumno
Presentación
7
RIEMS
Introducción El Colegio de Bachilleres del estado de Sonora, en atención a los programas de estudio emitidos por la Dirección General de Bachillerato (DGB), ha venido realizando la elaboración del material didáctico de apoyo para nuestros estudiantes, con el fin de establecer en ellos los contenidos académicos a desarrollar día a día en aula, así como el enfoque educativo de nuestra Institución. Es por ello, que actualmente, se cuenta con los módulos y guías de aprendizaje para todos los semestres, basados en los contenidos establecidos en la Reforma Curricular 2005. Sin embargo, de acuerdo a la reciente Reforma Integral de Educación Media Superior, la cual establece un enfoque educativo basado en competencias, es necesario conocer los fines de esta reforma, la cual se dirige a la totalidad del sistema educativo, pero orienta sus esfuerzos a los perfiles del alumno y profesor, siendo entonces el camino a seguir el desarrollo de las competencias listadas a continuación y aunque éstas deberán promoverse en todos los semestres, de manera más precisa entrará a partir de Agosto 2009, en el primer semestre.
Competencias Genéricas
CATEGORIAS COMPETENCIAS GENÉRICA I. Se autodetermina y cuida de sí.
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables.
II. Se expresa y comunica
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
III. Piensa crítica y reflexivamente
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
IV. Aprende de forma autónoma
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
V. Trabaja en forma colaborativa
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
VI. Participa con responsabilidad en la sociedad
9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.
8
Competencias Disciplinares Básicas Matemáticas 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,
gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
Competencias docentes: 1. Organiza su formación continua a lo largo de su trayectoria profesional. 2. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje
significativo. 3. Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque
por competencias, y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y sociales amplios.
4. Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional.
5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo.
6. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo. 7. Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano e
integral de los estudiantes. 8. Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la
gestión institucional.
UUnniiddaadd 11 DDiiffeerreenncciiaalleess
ee iinntteeggrraall IInnddeeffiinniiddaa
Objetivos: El alumno: Aplicará los conceptos de diferencial, para resolver valores aproximados de funciones; además de problemas prácticos, tras conocer las reglas de diferenciación; mostrando una actitud analítica y participativa.
Temario:
La diferencial.
Isaac Newton (1642-1727), fue el inventor del Cálculo Diferencial e Integral, que también fue inventado de manera paralela por Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716). Utilizando el Cálculo, encontró sus tres Leyes del Movimiento que describen el movimiento de los objetos en la Tierra.
Organizador anticipado: ¿Por qué el Cálculo Diferencial e Integral ha sido un curso obligado de la formación matemática que se requiere en las universidades para seguir diferentes carreras que van desde la ingeniería, la economía, las ciencias de la salud, hasta las ciencias naturales en general? La razón a fondo es que el Cálculo constituye el segundo gran avance o gran resultado de la historia de las matemáticas después de la geometría euclidiana, desarrollada en la Grecia Antigua. Así, el Cálculo diferencial e Integral conforman a la matemática moderna, la cual nace precisamente entre los siglos XVII y XVIII en el marco de aquella revolución científica que generó una nueva visión del mundo, y constituyó una visión moderna de la que somos parte.
Cálculo diferencial e integral II
10
Mapa Conceptual de Unidad
DIFERENCIALES
Definición de Diferencial
Nos permite enunciar
Reglas de diferenciación
Para resolver problemas
De aproximación al incremento y de
errores de aproximación
11
Diferenciales e Integral Indefinida
Evaluación Diagnóstica: Ejemplo: Antes de iniciar esta unidad sobre la diferencial, elabora un mapa conceptual utilizando los conceptos que aparecen en la siguiente lista y muéstrala a tu profesor cuando te lo solicite. Razón de cambio. Derivadas explícitas.
LLAA DDIIFFEERREENNCCIIAALL
1.1.1. Concepto geométrico de la diferencial de una función (“ dy ”). Existen muchas situaciones, en las cuales necesitamos estimar una diferencia, algunos ejemplos de esto son:
a) Aproximar valores de funciones. b) Cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor Real menos Valor
Aproximado). c) Cálculo de Variaciones de la variable dependiente cuando la variable
independiente varía “un poco”. Para el caso de aproximar funciones podemos utilizar la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función alrededor del punto de tangencia.
Sea )(xfy = una función cualquiera y sean los puntos
))(,()),(,( xxfxxxfx ∆+∆+ dos puntos sobre la función como se
muestra en la siguiente figura:
11..11..
x xx ∆+
)( xxf ∆+
)(xf
Cálculo diferencial e integral II
12
x∆ , representa el incremento que sufre la variable independiente, y definiremos el incremento real que sufre la función que lo denotaremos como y∆ como la
diferencia que existe entre )(xf y )( xxf ∆+ , es decir:
)()( xfxxfy −∆+=∆
Al cual se le conoce como el nombre de Valor Real o cambio total y lo podemos apreciar en la siguiente figura:
)()( xfxxfy −∆+=∆
x∆
x xx ∆+
)( xxf ∆+
)(xf
13
Diferenciales e Integral Indefinida
Tracemos la recta tangente a la función )(xf en el punto x , llamaremos dy al
incremento aproximado a través de la recta tangente como lo podemos observar en la siguiente figura: Si observamos la figura podemos darnos cuenta que la tangente del ángulo de inclinación de la recta, equivale a la razón que existe entre dy y x∆ , además si
recordamos lo que se estuvo estudiando en el curso anterior la tangente del ángulo de inclinación de la recta corresponde a la pendiente de la recta tangente la cuál esta representada por la derivada de la función, en otras palabras y resumiendo lo anterior podemos decir que:
)´(xfx
dy=
∆
Ahora bien si denotamos a x∆ como dx tendremos que )´(xfdxdy
= , o bien
si despejamos dy se obtiene:
dxxfdy )´(=
A la que llamaremos LA DIFERENCIAL DE f en el punto x , con respecto al
incremento x∆ =dx , conocido también con el nombre de Valor Aproximado del cambio total y∆ .
)()( xfxxfy −∆+=∆
x∆
x xx ∆+
)( xxf ∆+
)(xf
dy
Cálculo diferencial e integral II
14
A la diferencia que existe entre el Valor real ( y∆ ) y el Valor Aproximado ( dy ), le llamaremos ERROR DE APROXIMACIÓN y lo denotaremos como (E.A), es decir:
E.A = dyy −∆
EJEMPLO 1.- Sea 2)( xxf = . Hallar dyy,∆ y E.A cuando 1=x y
01.0==∆ dxx . SOLUCIÓN:
Como 2)( xxfy == , entonces como )()( xfxxfy −∆+=∆ , calculamos:
2)()( xxxxf ∆+=∆+ = (1 + 0.01)2 = (1.01)2 = 1.0201
2)( xxf = = (1)2 = 1
Sustituyendo estos valores en: )()( xfxxfy −∆+=∆ , obtenemos:
0201.010201.1 =−=∆y
Que corresponde al incremento real que sufre la función 2)( xxf = cuando la x se incrementa de 1 a 1.01.
Ahora bien como 2)( xxf = , entonces, xxf 2)(' = de tal forma que:
dxxdxxfdy 2)´( == , sustituyendo los valores de 1=x y 01.0=dx obtenemos:
)01.0()1(22 == dxxdy
02.0=dy
Que corresponde al Valor Aproximado de la función 2)( xxf = a través de la recta tangente a ella cuando la x se incrementa de 1 a 1.01. Si calculamos E.A.
E.A = dyy−∆
Es decir:
E.A = 02.00201.0 −
E.A = 0001.0
E.A = 0.0001
Lo que nos permite observar que es una muy buena aproximación pues tenemos un error de una millonésima.
15
Diferenciales e Integral Indefinida
EJEMPLO 2.- Sea 32)( 2 −−= xxxf . Hallar dyy,∆ y E.A cuando 1=x y
001.0,01.0,1.0,5.0,1==∆ dxx . SOLUCIÓN:
Como 32)( 2 −−= xxxf , entonces como )()( xfxxfy −∆+=∆ , calculamos:
322)())((23)(2)()( 222 −∆−−∆+∆+=−∆+−∆+=∆+ xxxxxxxxxxxxf 32)( 2 −−= xxxf Sustituyendo estos valores en: )()( xfxxfy −∆+=∆ , obtenemos:
)32(322)())((2 222 −−−−∆−−∆+∆+=∆ xxxxxxxxy
32322)())((2 222 ++−−∆−−∆+∆+=∆ xxxxxxxxy
xxxxy ∆−∆+∆=∆ 2)())((2 2 si sustituimos por ejemplo los valores de
1=x y 1=∆x tendremos que:
xxxxy ∆−∆+∆=∆ 2)())((2 2
)1(2)1()1)(1(2 2 −+=∆y
212 −+=∆y
1=∆y Otra manera de resolverse es utilizando el procedimiento del ejemplo 1, es decir: Para 1=x y 1=∆x tendremos que:
3)(344)(
3)2(2)2()(3)11(2)11()(
3)(2)()(
2
2
2
−=∆+=−−=∆+
=−−=∆+
=−+−+=∆+
=−∆+−∆+=∆+
xxfxxfxxfxxf
xxxxxxf
32)( 2 −−= xxxf
4)(321)(
3)1(2)1()( 2
−=−−=
−−=
xfxfxf
Cálculo diferencial e integral II
16
Por lo tanto, si sustituimos estos valores en: )()( xfxxfy −∆+=∆ , obtenemos:
143
)4(3
=∆+−=∆−−−=∆
yyy
Como 32)( 2 −−= xxxf entonces:
dxxdxxfdy )22()´( −== sustituyendo los valores de 1=x y 1=dx , se obtiene:
0)1)(0(
)1)(22()1)(2)1(2()22(
==
−=−=−=
dydydy
dxxdy
De tal manera que:
E.A = dyy −∆
Es decir:
E.A = 01−
E.A = 1
E.A = 1
Utilizando cualquiera de los dos procedimientos para calcular y∆ podemos
terminar de resolver el ejemplo para el valor de 1=x y 001.0,01.0,1.0,5.0=∆x utilizando la siguiente tabla:
x x∆ )( xxf ∆+ )(xf y∆ dy E.A
1 1 -3 -4 1 0 1 1 0.5 1 0.1 1 0.01 1 0.001
EJERCICIO 1 EN EQUIPO: Hallar y∆ y dy , y E.A para las funciones y los valores dados:
5.01)()501.02342)()4
1.01)()3
1.03
)()2
2.0,8)()1
2
2
3
=====+−=
−===
===
==∆==
dxyxparaxLnxfdxyxparaxxxf
dxyxparaxxf
dxyxparaxSenxf
dxxxparaxxfπ
TAREA 1
Página 31.
17
Diferenciales e Integral Indefinida
1.1.2. Teoremas sobre Diferenciales. Considerando que la diferencial de una función es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente, aceptamos que a cada fórmula de derivación que se vio en la asignatura de Cálculo Diferencial e Integral I, le corresponde una diferenciación que detallaremos a continuación.
FÓRMULAS DIFERENCIALES GENERALES Para )()( xgyxf , funciones derivables de x :
1. CONSTANTE: [ ] 0=cd
2. MULTIPLO CONSTANTE: [ ] dxxgcxcgd )(')( =
3. POTENCIA: [ ] dxxnxd nn 1−=
4. SUMA O DIFERENCIA: [ ]
dxxgdxxfxgdxfdxgxfd
)(')('))(())(()()(
±=±=±
5. PRODUCTO: [ ] [ ] [ ]
dxxfxgdxxgxfxfdxgxgdxfxgxfd
)(')()(')()()()()()()(
⋅+⋅=⋅+⋅=⋅
6. COCIENTE:
[ ] [ ][ ]
[ ]2
2
)()(')()(')(
)()()()()(
)()(
xgdxxgxfdxxfxg
xgxgdxfxfdxg
xgxfd
⋅−⋅=
⋅−⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
7. REGLA DE LA CADENA:
( )[ ] ( )[ ] dxxgxgfxgfdxgfd )('))((')(()( ⋅==o
Cálculo diferencial e integral II
18
EJEMPLOS: Utilizando las reglas de diferenciación, Calcula la diferencial de las siguientes funciones.
EJEMPLO 1. Sea 425 2 +−= xxy Calcula dy Aquí se aplica la regla de suma o resta de funciones. SOLUCIÓN:
)4()2()5( 2 dxdxddy +−=
dxxdxdy 210 −=
Factorizando dx obtenemos la diferencial de la función 425 2 +−= xxy
dxxdy )210( −= Conclusión: La diferencial es dxx )210( −
EJEMPLO 2. Sea x
y 1= , Calcula dy
Hacemos a la función 1−= xy y utilizamos la regla de las potencias. SOLUCIÓN:
dxxdy 2−−= y para no dejar exponentes negativos hacemos lo siguiente:
dxx
dy 2
1−=
Conclusión: la diferencial es 2xdxdy −=
EJEMPLO 3. Sea )24)(92( 25 +−= xxy , Calcula dy SOLUCIÓN:
[ ][ ][ ]dxxxx
dxxxxxdxxxxxdy
72205620407216
)10)(24()8)(92(
46
466
425
−+=
++−=
++−=
Conclusión: la diferencial es
Aquí se aplica la regla de la suma de funciones.
Aquí se aplica la regla de potencias de funciones.
[ ]dxxxxdy 722056 46 −+=
19
Diferenciales e Integral Indefinida
EJEMPLO 4. Sea 57
2
3
++
=xx
y , Calcula dy
SOLUCIÓN:
dxx
xxx
dxx
xxxx
dxx
xxxxdy
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−+
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−−+
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++−+
=
22
24
22
424
22
322
)5(1415
)5(142153
)5()2)(7()3)(5(
Conclusión: la diferencial es dxx
xxxdy
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−+
= 22
24
)5(1415
EJEMPLO 5. Sea ( )76 95 −= xy , Calcula dy SOLUCIÓN:
( )dxxx
dxxxdy665
566
)95(210)30(957
−=
−=
Conclusión: la diferencial es dxxxdy 665 )95(210 −=
Aquí se aplica la regla del cociente de funciones.
Aquí se aplica la regla de la cadena.
Cálculo diferencial e integral II
20
EJERCICIO 2
INDIVIDUAL: Encuentra la diferencial de las siguientes funciones utilizando las fórmulas de diferenciación y entrégaselas a tu profesor para su revisión.
1) 34 2 −= xy 13) 2)23(2−
=x
y
2) 31
2xy =
3) 5 2
2
xy = 14)
352+
=x
y
4) 121−+
=xxy 15)
21
+−
=xx
y
5) 865 4 +−= xxy
6) 35 )129( +−= xxy
7) )25)(92( 2 −+−= xxy
8) 3
2 728x
xxy +−=
9) 11153 52 +−+−+=
xx
xxxy
10) 2)72( += xy
11) 19 += xy
12) 3 2
1−
=x
y
TAREA 2
Página 33.
21
Diferenciales e Integral Indefinida
FÓRMULAS DIFERENCIALES DE FUNCIONES TRASCEDENTALES. I. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1) [ ] dxxgCosxgxgSend ))(()´())(( ⋅=
2) [ ] dxxgSenxgxgCosd ))(()´())(( ⋅−=
3) [ ] dxxgSecxgxgTand ))(()´())(( 2⋅=
4) [ ] dxxgCscxgxgCotd ))(()´())(( 2⋅−=
5) [ ] dxxgTanxgSecxgxgSecd ))(())(()´())(( ⋅⋅=
6) [ ] dxxgCotxgCscxgxgCscd ))(())(()´())(( ⋅⋅−=
II. FUNCION EXPONENCIAL NATURAL
1) [ ] dxexged xgxg )()( )(' ⋅=
III. FUNCION LOGARITMO NATURAL
1) [ ] 0)()()(')(( ≠⋅= xgcondx
xgxgxgLnd
Cálculo diferencial e integral II
22
EJEMPLO 1. Sea )73( 2 −= xSeny , Calcula dy SOLUCIÓN:
dxxCosxdy )73(6 2 −⋅=
Conclusión: la diferencial es dxxCosxdy )73(6 2 −⋅=
EJEMPLO 2 . Sea 392 −+= xxey , Calcula dy SOLUCIÓN:
dxexdy xx 392)92( −+⋅+=
Conclusión: la diferencial es dxexdy xx 392)92( −+⋅+=
EJEMPLO 3 . Sea )835( 23 +++= xxxLny , Calcula dy SOLUCIÓN:
dxxxx
xxdy ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++
=835
161523
2
Conclusión: la diferencial es dxxxx
xxdy ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++
=835
161523
2
EJEMPLO 4 . Sea ))5(( 3 −= xTanLny , Calcula dy SOLUCIÓN:
dxxSecxCscxdxxTan
xSecxdy )5()5(3)5(
)5(3 3323
322
−⋅−⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−⋅
=
Conclusión: la diferencial es dxxSecxCscxdy )5()5(3 332 −⋅−⋅=
23
Diferenciales e Integral Indefinida
TAREA 3
Página 35.
EJERCICIO 3
INDIVIDUAL: Encuentra la diferencial de las siguientes funciones utilizando las fórmulas de diferenciación y entrégaselas a tu profesor para su revisión.
1) )34( 2 −= xSeny 13) 2)23(2−
=xSec
y
2) )2( 31
xLny =
3) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
5 2
2
xTany 14)
)35(2+
=xCsc
y
4) 121−+
= xx
ey 15) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
=21
xxLny
5) )865( 4 +−= xxSecy
6) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−= 35 )129( xxCscy
7) [ ])25)(92( 2 −+−= xxCosy
8) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−=
3
2 728x
xxLny
9) 11
51523 +−+−+
= xx
xxx
ey
10) 2)72( += xSeny
11) )19( += xCosy
12) 3 2
1−
=Tanx
y
Cálculo diferencial e integral II
24
1.1.3. Aplicaciones de la diferencial. Trataremos algunos problemas que se resuelven en forma aproximada, calculando el incremento de una función. PROBLEMA 1. Calcular el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado de 5m, si éste recibe un aumento de 0.002m.
SOLUCIÓN: Datos:
2lA = Fórmula del área de un cuadrado. ml 5=
mldl 002.0=∆= Calcular: =dA
Entonces: Como 2lA = su diferencial es: dlldA .2= y sustituyendo los datos
tenemos: )002.0)(5(2 mmdA = por lo tanto 2020.0 mdA = Conclusión: El incremento es de 0.020 metros cuadrados.
PROBLEMA 2. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a 4.25 SOLUCIÓN: Como vimos anteriormente dy nos representa una muy buena
aproximación a la función )(xfy = alrededor del punto de tangencia 0x , lo que
nos permite afirmar que:
dyxfxf +≅ )()( 0 donde dxxfdy )(' 0=
Como el problema consiste en aproximar 4.25 , entonces, podemos definir una función que nos permita aproximar dicho valor, para esto tomaríamos la función
xxf =)( de igual manera escogeríamos un punto 0x donde podamos conocer
con exactitud el valor de la función evaluada en ese punto, para este caso es conveniente tomar 250 =x , entonces si sabemos que:
dxxfxfxfdyxfxf
)(')()()()(
00
0
+≅+≅
5m
25
Diferenciales e Integral Indefinida
Haciendo:
1) xxf =)(
Como xxf =)( entonces 21
)( xxf = por lo tanto x
xxf2
121
)(' 21
==−
2) x
xf2
1)(' =
3) 4.25=x 4) 250 =x
5)
4.0254.25
0
=−=
−=
dxdx
xxdx
Entonces:
04.54.25
04.05)4.0)(1.0(5
)4.0(1015
)4.0()5)(2(
15
)4.0(252
1254.25
)(')()( 00
≅
+≅+≅
+≅
+≅
+≅
+≅ dxxfxfxf
El valor real de 039841.54.25 = lo podemos obtener haciendo uso de la calculadora. De tal manera que el error de aproximación sería:
E.A = aproximadoValorrealValor −
E.A
000159.0
000159.0
04.5039841.5
=
−=
−=
Cálculo diferencial e integral II
26
Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real en aproximadamente una diezmilésima. PROBLEMA 3. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a 1.1Ln SOLUCIÓN: Hagamos: 1) xLnxf =)(
Como xLnxf =)( entonces x
xf 1)(' =
2) x
xf 1)(' =
3) 1.1=x 4) 10 =x
5)
1.011.10
=−=−=
dxdx
xxdx
Entonces:
1.01.11.00
)1.0(10
)1.0(1111.1
)(')()( 00
≅+≅+≅
+≅
+≅
Ln
LnLn
dxxfxfxf
El valor real de 0953.01.1 =Ln lo podemos obtener haciendo uso de la calculadora. De tal manera que el error de aproximación sería:
E.A = aproximadoValorrealValor −
E.A
00047.0
00047.0
1.00953.0
=
−=
−=
Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real en aproximadamente cuatro diezmilésimas. `
27
Diferenciales e Integral Indefinida
PROBLEMA 4. La pared lateral de un depósito cilíndrico de radio 50 cm y altura 1m, debe revestirse con una capa de concreto de 3 cm de espesor. ¿Cuál es aproximadamente la cantidad de concreto que se requiere? SOLUCIÓN: La cantidad de concreto requerida es la diferencia V∆ entre el volumen del cilindro exterior y el cilindro interior como lo podemos observar en la siguiente figura: Calcularemos V∆ a través de dV recordando que la fórmula para calcular el volumen del cilindro es:
hrV 2π=
Como cmmh 1001 == entonces tenemos una función para el volumen del cilindro que depende únicamente del radio la cuál escribimos de la siguiente manera:
2100)( rrV π=
Por lo tanto:
drrdV π200=
Si sustituimos 50=r y 3=dr , en dV , obtenemos:
377961.94247)3)(50(200cm
dV=
= π
Lo que representa la cantidad de concreto que se necesita para revestir el depósito cilíndrico.
V∆
Cálculo diferencial e integral II
28
PROBLEMA 5. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a º5.30Cos SOLUCIÓN: Hagamos: 1) xCosxf =)(
Como xCosxf =)( entonces xSenxf −=)(' 2) xSenxf −=)(' 3) º5.30=x 4) º300 =x
5)
º5.0º30º5.30
0
=−=
−=
dxdx
xxdx
Para poder aproximar correctamente el valor de º5.30Cos es importante que el
º5.0=dx lo expresemos en radianes, es decir, raddx360π
= .
Entonces:
87038.0720
3360º5.30
72023
36021
23
360º30º30º5.30
)(')()( 00
=+
≅
+≅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+≅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+≅
+≅
π
π
π
π
Cos
SenCosCos
dxxfxfxf
El valor real de 86162.0º5.30 =Cos lo podemos obtener haciendo uso de la calculadora. De tal manera que el error de aproximación sería:
E.A = aproximadoValorrealValor −
E.A
00876.0
00876.0
87038.086162.0
=
−=
−=
Recuerda que:
180º= radπ
29
Diferenciales e Integral Indefinida
Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real en aproximadamente ocho milésimas.
EN EQUIPO DE DOS: Detalla por escrito el proceso de solución analíticatípica de problemas de aproximación al incremento, utilizando ladiferencial y compara el proceso de solución con tu compañero. 1) obtener el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo de
lado de 2m al aumentar el lado 0.003m. 2) Hallar el valor aproximado del volumen de una cáscara esférica de
200mm de diámetro exterior y 1mm de espesor. 3) Al calcular la altura de un cerro se encuentra que desde un punto situado a
100m de la proyección en el suelo de la parte más alta del cerro, estaúltima se ve con un ángulo de elevación de 30º. Encuentreaproximadamente el mayor error que se comete al calcular la altura,sabiendo que la medición del ángulo se hace con un posible error de 0.3º.
4) Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm. de longitud, su lado
aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto aumentó aproximadamente su área? 5) Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm. de longitud, su lado
disminuye un 0.03%. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área? 6) Aproximar utilizando diferenciales los siguientes valores:
A) 5.9
B) 5 1.32
C) 5.0e
D) 3 01.64 E) º5.45Sen F) º25.60Cos G) º75.30Tan H) 3.1Ln
I) 37
J) 5.4
1
EJERCICIO 4
TAREA 4
Página 37
Cálculo diferencial e integral II
30
31
Diferenciales e Integral Indefinida
INSTRUCCIONES: Hallar y∆ y dy , y E.A para las funciones y los valores dados; entrégale los resultados a tu profesor para su revisión.
001.0,01.0,1.0,5.0,1,11)()10
001.0,01.0,1.0,5.0,1,1)()9
001.0,01.0,1.0,5.0,1012)()8
001.0,01.0,1.0,5.0,14
)()7
001.0,01.0,1.0,5.0,10)()6001.0,01.0,1.0,5.0,11)()5
001.0,01.0,1.0,5.0,1134)()4001.0,01.0,1.0,5.0,111)()3
001.0,01.0,1.0,5.0,13
)()2
001.0,01.0,1.0,5.0,1,64)()1
2
2
2
3
==∆==
==∆==
==−+=
===
===
=====+−=
==−=
===
==∆==
dxxxparax
xf
dxxxparaxxf
dxyxparaxxxf
dxyxparaxTanxf
dxyxparaexfdxyxparaxLnxf
dxyxparaxxxfdxyxparaxxf
dxyxparaxCosxf
dxxxparaxxf
x
π
π
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 1
Cálculo diferencial e integral II
32
Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
33
Diferenciales e Integral Indefinida
INSTRUCCIONES: Hallar la diferencial dy ,de las siguientes funciones, utilizando las fórmulas de diferenciación; entrégale los resultados a tu profesor para su revisión.
1025)1 23 −+−= xxxy
121)11−
=x
y
211)25 2
5 −−+=x
xx
y 3
2 95)12x
xxy +−=
)12)(94()3 37 +−= xxy 8 52 )13()13 −= xy
532)4 2
6
++−
=x
xxy )5)(13()14 310 +−= xxy
428)5 2
3
++−
=xx
xy 5 2 24
1)15+
=x
y
5152)6
2
−−−
=x
xxy 8
7)164 +
=x
y
32 )53()7 −= xy 346)17 23 +−−= xxxy
3 2)8 −= xy
4
3
)18x
xxy +=
71)9+
=x
y 6
52)19 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
=xxy
62 )9(3)10+
=x
y 37 )12()63()20 −+= xxy
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 2
Cálculo diferencial e integral II
34
Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
35
Diferenciales e Integral Indefinida
INSTRUCCIONES: Hallar la diferencial dy de las siguientes funciones, utilizando las fórmulas de diferenciación; entrégale los resultados a tu profesor para su revisión.
)1()1 3 += xSeny
7 5 9)11 −= xLny
)72()2 5 += xCosy )3(
)3()12−−
=xCosxSeny
)94()3 7 −= xTany
)1()1()13 22 −+−= xCosxSeny
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=52)4
xxCoty
)(1)14 5xSec
y =
)]1)(23[()5 −+= xxSecy
9
2
3
215)15 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+−
=x
xxLny
55 )112()6 −= xCscy
3)16 −= xey
32 )53()7 −= xLny 2
8
)17 ++
= xx
ey
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=43)8
xxLny
22
2523)18
−−
++=
xx
xx
e
ey
)6)(2()9 +−= xxLny
5)19 xSeney =
))(()10 3xSenLny =
))3(()20 −= xLnCosey
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 3
Cálculo diferencial e integral II
36
Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
37
Diferenciales e Integral Indefinida
INSTRUCCIONES: Plantea y resuelve los siguientes problemas y entrégaselos a tu profesor para su revisión.
1) Si la medida de la arista de un cubo es 12 pulgadas, con un posible error de 0.03 pulgadas, estimar mediante diferenciales el máximo error posible cometido al calcular:
a) El volumen del cubo. b) El área superficial del cubo.
2) Calcular el incremento del área de un cuadrado de lado 7m. al aumentar el lado 3mm.
3) Calcular el incremento aproximado del volumen de un cubo de lado 7.3m al aumentar el lado
0.007m.
4) Obtener el valor aproximado en el aumento que tendrá el área de una esfera de 8cm de radio cuando el radio aumenta 3cm.
5) Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm de longitud, su lado aumenta en 0.04 cm.
¿Cuánto aumento aproximadamente su área?
6) Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm de longitud, su lado disminuye un 0.03%. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área?
7) La pared lateral de un depósito cilíndrico con radio de 60 cm y altura de 1.20m, debe revestirse con
una capa de concreto de 3 cm de espesor. ¿Cuál es aproximadamente la cantidad de concreto que se requiere?
8) Pruebe que si al calentar(enfriar) una placa cuadrada metálica de lado L, su lado
incrementa(disminuye) un p %, entonces el área se incrementa(diminuye) un 2p %.
9) Al calcular la altura de un cerro, se encuentra que desde un punto situado a 100 m de la proyección en el suelo de la parte más alta del cerro, esta última se ve con un ángulo de elevación de 30º. Encuentre aproximadamente el mayor error que se comete al calcular la altura, sabiendo que la medición del ángulo se hace con un posible error de 0.3º.
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 4
Cálculo diferencial e integral II
38
Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
39
Diferenciales e Integral Indefinida
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la opción que consideres correcta.
1. La diferencial de la siguiente función 1453 24 −+−= xxxy es:
dxxxdy )41012( 3 +−=
dxxxxdy )141012( 3 −+−=
dxxxdy )31012( 3 +−=
dxxxdy )41012( 23 +−= 2. El incremento aproximado del volumen de un cubo con lado de 5.3m al aumentar el lado 0.007m es:
0.698
0.725
0.589
0.456
3. La diferencial de la siguiente función )7( 4 += xSeny es:
dxxCosdy )7( 4 +=
dxxCosxdy )7(4 43 +=
dxxCosxdy )7(4 43 +−=
dxxCosdy )7( 4 +−=
4. El valor aproximado de 3 5.8 es:
2.041
2.083
2.416
2.004
Nombre _________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
AUTOEVALUACIÓN
Cálculo diferencial e integral II
40
5. La diferencial de la siguiente función )12( += xLny es:
dxx
xdy12
2+
=
0=dy
dxx
dy12
2+
=
dxxLn
dy)12(
2+
=
6. La diferencial de la siguiente función 5−= xey es:
dxedy x 5−=
dxexdy x 5)5( −−=
dxdy =
dxedy x 5−−=
7. La diferencial de la siguiente función )9( 7 += xy es:
dxxdy 7=
dxxdy )9( 7 +=
dxxdy 7=
dxxdy 67=
8. El valor del incremento real y∆ de la función:
01.00,5)( 2 ==∆=−= dxxyxparaxxf es:
1.0=∆y
01.0=∆y
001.0=∆y
0001.0=∆y
41
Diferenciales e Integral Indefinida
9. El valor del error de aproximación (E.A) de la función
5.04,5)3()( 2 ==∆=+−= dxxyxparaxxf es:
0025.0. =AE
0025.0. =AE
025.0. =AE
25.0. =AE 10. Al calentar una placa metálica cuadrad de 25 cm de lado, su lado se incrementa un 2 %, el porcentaje en el que se incrementa su área es:
2 %
3 %
4 %
8 %
Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación.
Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es
necesario que nuevamente repases los temas.
Si contestaste correctamente 7 ó menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor.
Consulta las claves de
respuestas en la página 103.
ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE
Cálculo diferencial e integral II
42
43
Diferenciales e Integral Indefinida
INSTRUCCIONES: Realiza los siguientes ejercicios y entrégaselos a tu profesor para su revisión.
1. Completa la siguiente tabla para la función: x
y 1=
x xdx ∆= y∆ dy dyy −∆
2
2
2
2
1
0.5
0.1
0.01
2. Utiliza el concepto de diferencial para encontrar el valor aproximado de los siguientes valores:
a) 37
b) ( )58.1
c) 5 5.32
d) º5.60Sen
e) 25.1Ln
3. Resuelve el siguiente problema de aplicación de las diferenciales:
Un tanque de almacenamiento de aceite en forma de cilindro circular vertical tiene una altura de 5m. el radio mide 8m, con un error posible de ±0.25m.Utilice diferenciales para calcular el error máximo en el volumen. Encuentre el error relativo aproximado y el porcentaje aproximado de error.
EJERCICIO DE REFORZAMIENTO 1
Nombre _________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
Cálculo diferencial e integral II
44
4. Hallar dy utilizando los teoremas:
( ) x
x
eyjxyixx
yhxSecyg
eyfxx
LnyexSenyd
xycx
xxxybxxya
2tan1084
722
72
3
232
)53)11
))()
)22
))84()
67)72
)5113)
=+=−+==
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
=−=
+=++−
=+−=
+
http://integrals.wolfram.com
La presa Hoover en E. U. tiene uno de los diques de arco de concreto más altos del mundo . Ésta contiene las aguas del Río Colorado, la estructura depende tanto de las paredes del Black Canyon como de su propia masa. Este diseño de arco presenta una curva hacia el agua que contiene y casi siempre se construye en cañones angostos. Para determinar el área y el volumen de concreto para la construcción de la obra se requiere de conocimientos matemáticos, como los de integración que en este capítulo te presentaremos. Si quieres investigar más acerca de esta monumental obra, consulta en Internet bajo el nombre de la “presa Hoover”.
UUnniiddaadd 22 IInntteeggrraall iinnddeeffiinniiddaa
yy aallgguunnooss mmééttooddooss ddee iinntteeggrraacciióónn..
Objetivos: El alumno: Aplicará el concepto de integral indefinida, integrando diferenciales cuya forma no sea susceptible de integrarse de manera inmediata, a partir del conocimiento de algunos métodos de integración (cambio de variable, integración por partes); mostrando una actitud analítica y participativa.
Temario:
• Integral indefinida • Métodos de integración
Cálculo integral II
46
Mapa Conceptual de Unidad
Integrales
Integral Indefiinida
Métodos de integración
Cambio de variable o por sustitución
Integración por partes
Para integrarlas se usan
47
Integral definida
LLAA IINNTTEEGGRRAALL IINNDDEEFFIINNIIDDAA..
2.1. La integral indefinida (Antiderivada). Si me pongo los zapatos, puedo quitármelos otra vez. La segunda operación anula a la primera, regresando los zapatos a la posición original. Decimos que las dos son operaciones inversas. Las matemáticas contienen muchos pares de operaciones inversas: La Suma y la resta; al igual que la división y la multiplicación; lo mismo puede decirse de elevar una potencia y extraer la raíz correspondiente, productos notables y la factorización. En el Cálculo diferencial se estudia el problema para obtener la derivada )´(xf de una función )(xf . Ahora nos
ocuparemos del problema inverso, es decir, dada una función )(xf buscaremos obtener la función )(xF , tal
que al derivar F obtengamos la función )(xf . A )(xF se le conoce como la antiderivada de )(xf . Veamos los siguientes ejemplos: Ejemplo 1: Encuentra la antiderivada de xxf 2)( = y represéntala gráficamente. Solución: Buscamos una función )(xF que satisfaga la igualdad xxF 2)(' = . Recordando los conocimientos
de cálculo diferenciaI I, sabemos que la función cuya derivada es x2 , es:
2)( xxF = ;
ya que la derivada de 2)( xxF = es xxF 2)(' = . Sin embargo, sabemos que no es la única, pues también si derivamos las siguientes funciones:
,2)(
,23
)(
,3)(
2
2
2
π−=
+=
−=
xxF
xxF
xxF
obtenemos la misma derivada. Generalizando lo anterior podemos escribir CxxF += 2)( , donde C es
cualquier constante, dichas funciones representan la antiderivada de la función xxf 2)( = . Si representamos gráficamente cada una de las antiderivadas obtenemos:
22..11..
Observa que la diferencia entre las parábolas se da en el corte de éstas con el eje y . Los valores de las
ordenadas en dicho corte representan los valores que puede tomar la constante C .
Cálculo integral II
48
Ejemplo 2: Encuentra la antiderivada de 23)( xxf = . Solución: Al igual que en el ejemplo anterior, buscamos una función )(xF que satisfaga la igualdad
23)(' xxF = . Ésta es:
CxxF += 3)( ,
ya que si derivamos )(xF , obtenemos 23)(' xxF = , recuerda que la derivada de la constante C es igual a cero.
Por lo tanto la antiderivada de 23)( xxf = es CxxF += 3)( . Encontrar la función que tiene cierta derivada es más que un simple ejercicio mental. Más adelante se verá que hay aplicaciones reales e interpretaciones físicas de esta idea. 2.1.1. Definición formal de integral indefinida. Una definición formal del concepto de antiderivada es la siguiente:
Sea )(xF una función tal que )()´( xfxF = , la cual llamaremos la antiderivada de f , y la denotaremos como
∫= dxxfxF )()( ;
Al término ∫ dxxf )( también se le conoce como integral indefinida.
F es una antiderivada de
)(xf .
“Integral indefinida” y “función primitiva” son sinónimos de la palabra “antiderivada”. El símbolo ∫ es la inicial
de la palabra suma.
49
Integral definida
Ejemplos: Encuentra la integral indefinida o la antiderivada de las siguientes funciones.
1) ∫ dxx23 es una función )(xF tal que 23)(' xxF = , es decir, CxxF += 3)( .
Por lo tanto: ∫ += Cxdxx 323 .
2) Cxdxx +=∫ 434 .
3) Cxdxx +=∫ 201920 .
4) Cxdx +=∫ 55 .
5) Cxdx +−=−∫ 33 .
6) Cxxdxx ++=+∫ 5)54( 43 .
7) Cxxxdxxx ++−=+−∫ 3)3320( 320219 .
8) Cxsendxx +=∫cos .
9) Cedxe xx +=∫ .
10) Cxexxxsendxexxsenx xx +−+++=−++−∫ 5tancos)5sec(cos 2 .
EJERCICIO 1 EN EQUIPO: Encuentra la integral indefinida (antiderivada) de las siguientes funciones y compara tus resultados con tus compañeros:
1) dxx∫ 45 6) ∫ dxπ
2) ∫ dxx67 7) ∫− dxx2csc
3) dxxx )123( 2 +−∫ 8) ∫ ⋅ dxxx tansec
4) dxx )42( −∫ 9) ∫ +++ dxxxx )1234( 23
5) ∫ dx4 10) dxxxxxex )cotcsctansec( ⋅−⋅+∫
Cálculo integral II
50
51
Integral definida
2.1.2. Reglas básicas de integración.
DEFINICIÓN DE LA NOTACION INTEGRAL PARA LAS ANTIDERIVADAS: Si )(xF es una integral indefinida de )(xf se expresa:
∫ +== CxFdxxfy )()( Si y solo si )()´( xfCxF =+
Donde:
=C Constante arbitraria.
REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACION:
1) CONSTANTE: ∫ += Ckxkdx
2) MULTIPLO CONSTANTE: ∫ ∫= dxxfkdxxkf )()(
3) SUMA O DIFERENCIA: [ ] ∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
4) POTENCIAS: ∫ ++
=+
Cnxdxx
nn
1
1
, 1≠n
5) EXPONENCIALES: ∫ += Cedxe xx
6) LOGARITMICA: Cxdxxdxx
+==∫ ∫ − ln1 1
7) TRIGONOMETRICAS:
Csenxxdx∫ +=cos
∫ +−= Cxsenxdx cos
∫ += Cxxdx tansec2
∫ += Cxxdxx sectansec
∫ +−= Cxxdx cotcsc2
∫ +−= Cxxdxx csccotcsc
Cálculo integral II
52
Ejemplos: Calcular la integral de las siguientes funciones utilizando las reglas de integración.
1) ∫ =dx5
Solución: En este ejemplo utilizaremos la regla de la constante así:
∫∫ +== Cxdxdx 555
Cx += 5 .
2) ∫ =dxx34
Solución: En este ejemplo utilizaremos la regla del múltiplo constante así:
∫ ∫ ++
==+
Cxdxxdxx13
44413
33
Por lo tanto:
Cxdxx +=∫ 434
Cx += 4 .
3) ∫ =+− dxxx )323( 2
Solución: En este ejemplo utilizaremos la regla de la suma o resta:
∫ ∫ ∫∫ =+−=+− dxxdxdxxdxxx 323)323( 22
CxxxCxxx++−=++−= 33
22
33 23
23
Cxxx ++−= 323 .
4) ∫ =+ dxx 2)32(
Solución: Aplicando el álgebra tenemos:
∫ ∫ ∫∫ ++=++ dxxdxdxxdxxx 9124)9124( 22
CxxxCxxx+++=+++= 96
349
212
34 2
323
Cxxx+++= 96
34 2
3
.
53
Integral definida
5) ∫ =xdxsen2
Solución: Aplicando las reglas de funciones trigonométricas tenemos:
∫ +−= Cxxdxsen )cos(22
Simplificando tenemos: Cx +−= cos2 .
6) ∫ =xdx2sec8
Solución: Aplicando las reglas de funciones trigonométricas tenemos:
Cxdxx +=∫ )(tan8sec8 2
Simplificando tenemos: Cx += tan8 .
7) ∫ =−+ dxxx )23)(32( 2
Solución:
∫ ∫ ∫∫∫ −+−=−+− dxdxxdxxdxxdxxxx 6946)6946( 2323
Cxxxx+−+−= 6
29
34
46 234
Cxxxx+−+−= 6
29
34
23 234
.
8) ∫ =dxx
Solución: Aplicando la regla de potencias tenemos:
CxCx
dxx +=+=∫ 232
3
21
32
23
)( ;
simplificando nos quedaría de la siguiente manera:
Cx += 3
32
.
Cálculo integral II
54
9) ∫ =+ dxxex )cos(
Solución: Esto quedaría de la siguiente forma:
Cxsenexdxdxe xx ++=+ ∫∫ cos
Cxsenex ++= .
10) ∫ =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+ dx
xx
x 42 325
Solución: Aquí se aplica la regla de potencias y la de logaritmos:
∫ ∫∫ =−+ − dxxdxxdxx
42 3215
Cxxx +−
−+=−
33
32ln5
33
;
simplificando tenemos la solución:
Cx
xx +++= 33 1
32
ln5 .
EJERCICIO 2 INDIVIDUAL: Encuentra la integral de las siguientes funciones y entrégaselas atu profesor para su revisión.
1) ( )∫ =−+− dxxxx 23 10852
2) ∫ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++− dxx
xx
x8
62
13
4
3) ∫ =−+ dxxx )27(
4) ∫ =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛dx
x5
1
5) ∫ =+− dxxx )52)(34( 2
6) ( )∫ =− dxx 223
7) ( )∫ =+−+ dxxxxex 32 3seccos6
8) ∫ =+−
dxxx
242
9) ( )∫ =− dxx 32
10) =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−∫ dx
xxxx
2
53 8764
TAREA 1
Pág. 65
55
Integral definida
MMÉÉTTOODDOOSS DDEE IINNTTEEGGRRAACCIIÓÓNN..
2.2.1. Integración por cambio de variable o sustitución. En esta sección se estudiarán métodos para la integración de funciones compuestas, es decir, producto de funciones, cociente de funciones, potencias de suma de funciones, etc. La técnica de cambio de variable o sustitución es el más frecuente. Consiste en hacer una expresión igual a una nueva variable (por ejemplo u), calcular el diferencial de esta nueva variable y sustituir estos cambios en la expresión que queremos integrar. En muchas ocasiones la integral que se obtiene con el cambio de variable es más sencilla que la original y así podemos integrarla. Evidentemente después tenemos que deshacer el cambio de variable. La importancia de la sustitución en la integración es comparable con la de la regla de la cadena en la derivación. Recuerda que para funciones derivables dadas por
)(uFy = y )(xgu = , la regla de la cadena expresa que
[ ] )('))(('))(( xgxgFxgFdxd
= .
De la definición de una antiderivada, se deduce que
∫ += CxgFdxxgxgF ))(()('))(('
.)( CuF +=
Con un cambio de variable formal, se escribe de nuevo toda la integral en términos de u y du (o de cualquier otra variable conveniente). La técnica de cambio de variables usa la notación de Leibniz para la derivada. Es decir, si F es la antiderivada de f y )(xgu = , entonces dxxgdu )('= , y la integral anterior toma la forma
.)()()('))((∫ ∫ +== CuFduufdxxgxgf
En los siguientes ejemplos se muestra cómo aplicar el teorema de integración por sustitución, reconociendo la presencia de ))(( xgf y )(' xg . Observa que la función compuesta en el integrando tiene una función externa
f y una función interna g. Además, la derivada )(' xg está presente como un factor del integrando.
22..22..
Función interna
Función externa
Derivada de la función interna
∫ += .))(()('))(( CxgFdxxgxgf321 El teorema no indica
cómo distinguir entre ))(( xgf y )(' xg en el
integrando. A medida que adquieras más experiencia en la integración, tu habilidad para hacer esto se incrementará. Por supuesto, una parte clave es la familiaridad que tengas con derivadas.
Cálculo integral II
56
EJEMPLO 1: Encuentra ∫ + .)2()1( 22 dxxx
Solución: Primero, haz que u sea la función interna, 12 += xu . Después, calcula el diferencial de u que es xdxdu 2= , despejando dx de la expresión de du , tienes xdudx 2/= . Ahora, usando 222 )()1( ux =+ ,
sustituye el cambio de variable para obtener lo siguiente:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=+ ∫∫ x
duxudxxx2
2.)2()1( 222
duu∫= 2
Cu+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
3
3
( ) .131 32 Cx ++=
Si te fijas la intención del cambio de variable es expresar la integral, que es un producto de funciones, en una integral más sencilla, de tal manera que puedas utilizar los teoremas básicos de integración. En este ejemplo con el cambio de variable sugerido se logró expresar el producto de funciones dxxx )2()1( 22 +
como una potencia de funciones duu 2 con la finalidad de utilizar el teorema de integración básico correspondiente. EJEMPLO 2: Encuentra ∫ − .12 dxxx
Solución: Como en el ejemplo anterior, hacemos que u sea la función interna, 12 −= xu , el diferencial de u es dxdu 2= y obtenemos 2/dudx = . Como el integrando contiene un factor de x que no se va a poder cancelar al sustituir dx , también debemos despejar x en términos de u , como sigue:
21
12+
=⇒−=u
xxu .
Ahora, haciendo la sustitución del cambio de variable, obtienes lo siguiente:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=− ∫∫ 22
112 2
1 duu
udxxx
x43421
∫ ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ += duuu 2
12
3
41
Cuu
+⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+=
23
254
1 23
25
( ) ( ) .1261
12101
23
25
Cxx +−+−=
EJEMPLO 3: Encuentra ∫ dxx
xsen .
Solución: Como el integrando involucra la función trigonométrica xsen el cambio de variable adecuado es
21
uxu == , ya que el denominador del integrando contiene la misma forma del argumento de la función
trigonométrica. De modo que dxxdu 21
21 −= , despejando dx tenemos:
duxduxxdudx 222 2
1
21 ===
−.
Integral en términos de u
Antiderivada en términos de u
Antiderivada en términos de x
57
Integral definida
Sustituyendo el cambio de variable obtenemos:
( )duxx
senudxx
xsen∫∫ = 2 ,
duusen∫= 2 ,
Cu+−= cos2 ,
Cx +−= cos2 .
EJEMPLO 4: Encuentra .3cos32 xdxxsen∫
Solución: Como ,)3(3 22 xsenxsen = haz xsenu 3= . Entonces .)3)(3(cos dxxdu = .
Ahora, despejamos dx , obteniendo x
dudx3cos3
= , se sustituyen u y xdu
3cos3 en la integral dada
produciendo lo siguiente:
x
duxuxdxxsen3cos3
3cos3cos3 22 ∫∫ = ,
duu∫= 2
31
,
Cu+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
331 3
,
Cxsen += 391 3 .
EJEMPLO 5: Encuentra ∫ +++ dxex xx 622
)1( .
Solución: En el caso de las funciones exponenciales es recomendable considerar el argumento de la función
exponencial (es decir, todo el exponente) como el cambio de variable u . Así 622 ++= xxu , diferenciando u obtienes: dxxdu )22( += , despeja dx y no olvides considerar el factor común con la finalidad de obtener
un factor igual al factor que tienes en el integrando para que logres la cancelación del mismo, )1(2 +
=xdudx .
Sustituye el cambio de variable en la integral para proceder a integrar bajo algún teorema básico:
.21
,21
,21
;)1(2
)1()1(
62
62
2
2
Ce
Ce
due
xduexdxex
xx
u
u
uxx
+=
+=
=
++=+
++
++
∫
∫∫
Cálculo integral II
58
EJEMPLO 6: Encuentra ∫ +−+− .
)1644(423
223
2
dxxxx
xx
Solución: En este ejemplo el integrando es un cociente de polinomios específicamente, observa que el denominador del cociente es una potencia, por lo que la sugerencia para el cambio de variable de acuerdo a
los ejemplos anteriores es precisamente xxxu 1644 23 +−= , diferenciando obtienes
dxxxdu )16812( 2 +−= , observa que el diferencial de u es parecido al numerador del cociente del integrando, por lo que al momento de despejar te sugiero que consideres nuevamente el factor común con el objetivo de eliminar ese factor al momento de aplicar la sustitución del cambio de variable. Ahora despejamos
dx de du , )423(4 2 +−
=xx
dudx y sustituimos en la integral:
.)1644(4
1
;41
141
;41
41
;)423(4
423)1644(
423
23
1
22
22
2
223
2
Cxxx
Cu
Cu
duuudu
xxdu
uxxdx
xxxxx
++−
−=
+−=+−
⋅=
==
+−+−
=+−+−
−
−∫∫
∫ ∫
Con todos estos ejemplos pudiste darte cuenta ya, de los pasos a seguir para llevar a cabo la integración por sustitución. Enseguida te presentamos un resumen de estos pasos. 1.- Elige un cambio de variable )(xgu = . Casi siempre es mejor elegir la parte interna de una función compuesta; digamos, una cantidad elevada a una potencia, una función radical, el argumento de una función trigonométrica o una exponencial cuando éste no es una simple x , etc. 2.- Calcula dxxgdu )('= y despeja de ella dx . 3.- Escribe de nuevo la integral en términos de la variable u sustituyendo el cambio de variable. 4.- Evalúa la integral resultante en términos de .u 5.- De nuevo sustituye u por )(xg para obtener una antiderivada en términos de .x 6.- Si quieres comprobar tu respuesta puedes hacerlo mediante derivación o mediante el uso de la tecnología. (Busca “The Integrator” en el Google).
TAREA 2
Pág. 67
59
Integral definida
2.2.2 Integración por partes. Si una integral no puede resolverse por cambio de variable, puedes intentarlo por integración por partes. Este método puede aplicarse a una gran variedad de funciones, es muy útil particularmente para integrandos que incluyen productos de funciones algebraicas o logaritmos que no pueden evaluarse directamente por medio de los teoremas básicos de integración. Por ejemplo, la integración por partes funciona bien para integrales similares a
∫ ,ln xdxx ∫ dxex x2 y ∫ xdxsenex ,
ya que puede transformarlas en una forma estándar. La integración por partes se basa en la fórmula de la derivada de un producto
[ ] '' vuuvdxduv
dxdvuuv
dxd
+=+= ,
donde u y v son funciones diferenciables de x . Si 'u y 'v son continuas, es posible integrar ambos miembros de esta ecuación para obtener
∫ ∫+= vdxudxuvuv ''
∫ ∫+= .vduudv
Al volver a escribir esta ecuación, se obtiene el siguiente teorema:
TEOREMA: Integración por partes. Si u y v son funciones de x y tienen derivadas continuas, entonces
∫ ∫−= .vduuvudv
EJERCICIO 3 INDIVIDUAL: Encuentra la integral de las siguientes funciones utilizando latécnica de cambio de variable y entrégaselas a tu profesor para su revisión.
1 ( )∫ =−−−+− dxxxxxx )5206(10852 2323 6) ∫ =−−
dxxx
x21
2
2) ∫ =dxx
xsen2cos
22
7) ∫ =dtte t
2
1
3) ∫ =+ dxxx 543 8) ∫ =−
dxx
senxcos2
4) ∫ =−− dxxxx 532 )82)(43( 9) ∫ =dxxx
cos1
5) ∫ =− dxxe x22 10) ∫ =dttsent 2
Cálculo integral II
60
Esta es la fórmula de integración por partes. En esta fórmula se expresa la integral original en términos de otra integral. Con base en las selecciones de u y dv , puede ser más fácil evaluar la segunda integral que la original. Como la selección de u y dv es importante en el proceso de integración por partes, se proporciona las siguientes recomendaciones: 1. dx siempre forma parte de dv . 2. dv tiene que ser integrable. 3.- Intenta hacer que dv sea la parte más complicada del integrando y que se ajuste a una regla básica de integración. Entonces u será el factor (o los factores) que quede(n) en el integrando. 4.- Intenta hacer que u sea la parte del integrando cuya derivada sea una función más sencilla que u . Entonces dv será el factor (o los factores) que quede(n) en el integrando. En algunos casos puede necesitarse la aplicación de la fórmula de integración por partes más de una vez, como en el ejemplo que se planteará más adelante. EJEMPLO 1: Integración por partes que contiene producto de una función exponencial.
Encuentra ∫ .dxxex
Solución: Para aplicar la integración por partes, es necesario escribir la integral en la forma ∫ .udv Hay
varias formas de hacerlo.
{ ,)()(321
dv
x
u
dxex∫ { ,)()(321
dvu
x xdxe∫ { ,)(143421
dv
x
udxxe∫ {.)()(
dvu
x dxxe∫ 321
De acuerdo con las recomendaciones anteriores, la primera opción parece ser la adecuada, ya que la
derivada de xu = es más sencilla que x , y dxedv x= es la parte más complicada del integrando que se ajusta a una regla básica de integración.
.dxduxu =⇒=
.
tenemosintegrando
x
x
x
ev
dxedv
dxedv
=
=
=
∫ ∫
Ahora la integración por partes produce:
∫ ∫−= vduuvudv
∫ ∫−= dxexedxxe xxx
Cexe xx +−=
.)1( Cxex +−= Factorizamos
Para comprobar el resultado, trata de derivar Cxex +− )1( para ver si obtienes el integrando original. Busca “The Integrator” en el Google si quieres comprobarlo de una manera más rápida. EJEMPLO 2: Integración por partes que contiene producto de una función logarítmica.
Encuentra ∫ .ln2 xdxx
Solución: En este caso es más fácil integrar 2x que xln . Además, la derivada de xln es más simple que
xln . Por consiguiente, debes hacer .2dxxdv =
.1ln dxx
duxu =⇒=
Fórmula de integración por partes
Sustituimos
Integramos
61
Integral definida
,3
322 ∫ ==⇒=
xdxxvdxxdv
la integración por partes produce:
∫ ∫−= vduuvudv
∫∫ −= dxx
xxxxdxx 131ln
3ln 3
32
∫−= dxxxx 23
31ln
3
.9
ln3
33
Cxxx+−=
Puedes comprobar este resultado derivando o a través del uso de la tecnología. Si derivas te queda:
.ln3
))((ln139
ln3
22
2333
xxxxxx
xxxxdxd
=−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
EJEMPLO 3: Integración por partes de la función logaritmo natural.
Encuentra .ln dxx∫
Solución: Considera
dxx
duxu 1ln =⇒= ,
.∫ ==⇒= xdxvdxdv
Por tanto, la integración por partes produce:
∫ ∫−= vduuvudv
dxx
xxxdxx ∫∫ −=1lnln
dxxx ∫−= ln
Cxxx +−= ln Cxx +−= )1ln( .
EJEMPLO 4: Uso repetido de la integración por partes.
Encuentra .2 xdxsenx∫
Solución: Los factores 2x y xsen son igualmente fáciles de integrar. Sin embargo, la derivada de 2x es
más sencilla que la de xsen . Por consiguiente, haz 2xu = .
.22 xdxduxu =⇒=
∫ −==⇒= xxdxsenvxdxsendv cos .
Y la integración por partes ∫ ∫−= vduuvudv produce:
∫∫ ++−= 122 cos2cos Cxdxxxxxdxsenx
Fórmula de integración por partes
Sustituimos
Integramos
Simplificamos
Fórmula de integración por partes
Sustituimos
Integramos
Reescribimos
Primera integración por partes
Cálculo integral II
62
Esta primera aplicación de la integración por partes ha simplificado la integral original, pero la integral del miembro derecho aún no se ajusta a la regla básica de integración. Entonces, para evaluar esa integral puedes aplicar nuevamente la integración por partes. En esta ocasión, haz .2xu =
,22 dxduxu =⇒=
.coscos ∫ ==⇒= xsendxxvdxxdv
La integración por partes produce ahora:
∫ ∫−= senxdxxsenxxdxx 22cos2
.cos22 2Cxxsenx ++= Al combinar estos dos resultados escribimos
.cos22cos22 Cxxsenxxxsenxdxx +++−=∫
Donde C es la suma de 21 CC + .
EJEMPLO 5: Encuentra ∫ dxxex cos .
Solución: Haz xeu = .
,dxedueu xx =⇒=
∫ ==⇒= xsendxxvdxxdv coscos .
Y la integración por partes ∫ ∫−= vduuvudv produce:
1cos Cdxxsenexsenedxxe xxx +−= ∫∫
Aplicando nuevamente la integración por partes:
,dxedueu xx =⇒=
∫ −==⇒= xdxxsenvdxxsendv cos .
[ ],coscos
coscoscos
Cdxxexexsene
Cdxxexexsenedxxexxx
xxxx
+−+=
++−−=
∫∫∫
pasando la integral del miembro derecho de la igualdad hacia el lado izquierdo y factorizando tenemos:
.)cos(
21
)cos(cos2
Cxxsene
Cxxsenedxxe
x
xx
++=
++=∫
EJEMPLO 6: Encuentra ∫ ++ .
1)1ln( dx
xx
Solución:
,1
1)1ln( dxx
duxu+
=⇒+=
∫ +=+=⇒+= −− 21
21
21
)1(2)1()1( xdxxvdxxdv
Segunda integración por partes
63
Integral definida
Aplicando el teorema de integración por partes ∫ ∫−= vduuvudv obtienes:
∫
∫ ∫
++−++=
+++
−++=+
+
− ,)1(2)1ln()1(2
,)1(1
12)1ln()1(2
1)1ln(
21
21
21
21
Cxxx
Cxx
xxdxxx
Integrando ésta última integral por cambio de variable obtienes:
.)2)1(ln()1(2
)1(4)1ln()1(22
1
21
21
Cxx
Cxxx
+−++=
++−++=
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TAREA 3
Pág. 69
EJERCICIO 4 INDIVIDUAL: Encuentra la integral de las siguientes funciones utilizando latécnica de integración por partes y entrégaselas a tu profesor para su revisión.
1 ∫ =dxxe x2 6) ∫ =− dxex x6
2) ∫ =dxxex cos 7) ∫ =dxx3sec
3) ∫ =dxex x32 8) ∫ =dxxx ln2
4) ∫ =dttt ln 9) ∫ =+ dxxx 1
5) ∫ =dxx 2)3ln( 10) ∫ =dttsen2
Cálculo integral II
64
¡Ojo! Recuerda que
debes resolver la
autoevaluación y los
ejercicios de
reforzamiento; esto te
ayudará a enriquecer
los temas vistos en
clase.
65
Integral definida
INSTRUCCIONES: Encuentra la integral indefinida de las siguientes funciones usando los teoremas básicos.
1) ∫ =+− dxxx )836( 3
2) ∫ =−− dxxx )4)(45( 2
3) ∫ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+− dxxx
xx449
312
4) ∫ =− dxx 2)73(
5) ∫ =− dxx 3)15(
6) ∫ =+ dxxex )csc5( 2
7) ∫ =+ dxx )1(
8) ∫ =−++ dxxxxxxsen )cotcscseccos( 2
9) ∫ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−−dx
xxxx
3
45 3254
10) ∫ =++−++−−− dxxxxxxx )123( 3
22
1123
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 1
Cálculo integral II
66
Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
67
Integral definida
INSTRUCCIONES: Encuentra la integral indefinida usando la técnica de cambio de variable y verifica el
resultado por diferenciación.
1.- ∫ + dxx )2()21( 4
2.- dxxx )2(9 2 −−∫
3.- ∫ + dxxx 243 )3(
4.- ∫ − dxxx 432 )1(
5.- ∫ + dttt 22
6.- dxxx∫ −3 215
7.- dxxx
∫ − 32 )1(
8.- dxxx
∫ + 23
2
)1(
9.- dxx
x∫
− 21
10.- dttt ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∫ 2
311
1
11.- dxx
senx∫ 3cos
12.- dxxx
∫ 3
2
cotcsc
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 2
Cálculo integral II
68
13.- ∫ xdxsenππ
14.- ∫ dxsenxx 434
15.- ∫ −− dxxx )1tan()1sec(
16.- dxx
x∫ 2cos
17.- ∫ ++ xxsendx
cos1
18.- ∫ + xsendx
2
19.- ∫ − xxsendx
cos34
20.- ∫ +− xxsendx
cos345
Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
69
Integral definida
INSTRUCCIONES: Encuentra la integral indefinida usando la técnica de integración por partes y verifica el resultado por diferenciación.
1.- ∫ − dxxe x2
2.- ∫ dttt )ln(
3.- ∫ − dxex x3
4.- ∫ − dxex x)1( 2
5.- ∫ xdxsenx3
6.- ∫ xdxx cos2
7.- dtte t
∫ 2
1
8.- ∫ xdxx 2sec
9.- dxxx∫ − 23)2(2
10.- ∫ xdxx 2cos3
11.- ∫ dxex x22
12.- ∫ − xdxsene x 32
13.- ∫ xdxsenx π4
14.- ∫ xdxx ln3
15.- ∫ + dxxx 4
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 3
Cálculo integral II
70
16.- ∫ − dxex x2
17.- ∫ − xdx1tan
18.- ∫ + dxxxsen )13(
19.- ∫ dxxsen )(ln
20.- ∫ +dx
xxe x
2
2
)12(
Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
71
Integral definida
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la opción que consideres correcta.
1. El resultado de la integral ∫ +− dxxx )135( 2es:
Cxx++− 1
23
35 23
.
Cxxx++−
23
35 23
.
Cxxx++−
23
35 3
.
.35 23 Cxxx ++−
2. El resultado de la integral ∫ =− dxx
x 12
es:
Cx
xx+
−2
3
.
Cx +2 .
Cxx +− ln21 2 .
Cx
xx
+−
2
32
3
.
3. El resultado de la integral ∫ − dxxx )csc(sec 22 es:
Cxxxx ++ cotcsc2tansec2 . Cxx ++ cottan . Cxx +− cottan .
.3
csc3
sec 33
Cxx+−
4. El resultado de la integral ∫ =+ dxx
x 1es:
Cxx ++ 2 .
Cxn + .
Nombre _________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
AUTOEVALUACIÓN
Cálculo integral II
72
Cx
xx+
+
3
3
32
32
.
.32 3 Cxx ++
5. El resultado de la integral ∫ +++ dxxxx )1234( 23 es:
Cxx +++ 2612 2 . Cxxxx ++++ 234 234 . Cxxx +++ 234 2612 . .234 Cxxxx +++−
6. Para resolver la integral ∫ dxxe x2 es necesario utilizar:
Teoremas básicos de integración directa. Diferenciación. Método de integración por partes. Método de cambio de variable.
7. Para resolver la integral ∫ dxxex2
es necesario utilizar:
Teoremas básicos de integración directa. Diferenciación. Método de integración por partes. Método de cambio de variable.
8. El resultado de la integral ∫ + dxxx 543 por cambio de variable es:
( ) Cx ++ 23
561 4 .
( ) Cx +2334
61
.
( ) Cxx ++ 23
561 43 .
( ) Cxx ++ 23
53 42 .
9. El resultado de la integral ∫ dxxx ln6 por el método de integración por partes es:
Cxxx +− 67
421ln
71
.
Cxx ++ 65
4216 .
Cxxx +− 77
491ln
71
.
Cxxx ++ 77
491ln
71
.
73
Integral definida
10. Resultado de la integral ∫ − dxxe x 65 por el método de integración por partes es:
Cexe xx +− −− 6565
251
51
.
Cex x +−652
25
.
Cex x +−552
2.
Cexe xx ++ −− 6565
51
51
.
Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación.
Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es
necesario que nuevamente repases los temas.
Si contestaste correctamente 7 ó menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor.
Consulta las claves de
respuestas en la página 103.
ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE
Cálculo integral II
74
75
Integral definida
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes ejercicios. I) Encuentra el resultado de las siguientes integrales mediante el uso de teoremas básicos.
1. ∫ − .)2( 2 dxxxsen
2. ∫ −+ .)1(sec2 dxxx
3. ∫ .6dx
4. ∫ +−
.9812
dxx
x
5. ∫−+−
.752
3
23
dxx
xxx
II) Encuentra las siguientes integrales por partes, verifica tu respuesta a través de diferenciación.
1. ∫ .32 xdxsenx
2. ∫ .2cos2 xdxx
3. ∫ + .)( 2 dxex x
4. ∫ .)cos(ln dxx
5. ∫ − .2 dxxx
III) Encuentra las siguientes integrales por cambio de variable, verifica tu respuesta a través de diferenciación.
1. ∫ .cos3 32 dxxx
2. ∫ − .)4( 72 dxxx
3. .)3( 103
2
dtt
t∫ −−
4. ∫−
.41
dxx
5. ∫ − .2 dxxx
EJERCICIO DE REFORZAMIENTO 1
Nombre _________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
Cálculo integral II
76
UUnniiddaadd 33 TTeeoorreemmaa
ffuunnddaammeennttaall ddeell ccáállccuulloo yy llaass
aapplliiccaacciioonneess ddee llaa iinntteeggrraall
ddeeffiinniiddaa.. Objetivos:
El alumno: Aplicará la integral definida y el teorema fundamental del cálculo a la solución de problemas de área bajo una gráfica en situaciones de aplicación de las ciencias naturales y sociales; a partir del conocimiento de las propiedades de la integral definida; mostrando una actitud analítica, reflexiva y colaborativa.
Temario: • La integral definida y sus
propiedades. • El teorema fundamental del
cálculo y sus aplicaciones. • Aplicaciones de la integral
definida.
78
Cálculo integral II
Mapa Conceptual de Unidad
Integral definida y el teorema
fundamental del cálculo
Aplicaciones
Cálculo de áreas Ciencias naturales, sociales y
administrativas
Se usan para
En problemas de
TTeeoorreemmaa ffuunnddaammeennttaall ddeell ccáállccuulloo yy llaass aapplliiccaacciioonneess ddee llaa iinntteeggrraall ddeeffiinniiddaa
79
IINNTTEEGGRRAALL DDEEFFIINNIIDDAA..
3.1.1. Integral definida como el área bajo una curva.
Dos problemas, ambos geométricos, motivaron las dos más grandes ideas del cálculo. El problema de la tangente nos condujo a la derivada. El problema del área nos llevará a la integral definida.
Por ejemplo si queremos calcular el área bajo la función 3)( =xf en el intervalo
comprendido entre 0=x y 4=x como se muestra en la siguiente figura: Como te puedes dar cuenta el área a la que se hace referencia, es el área de un rectángulo de largo 4 unidades y ancho 3 unidades, por lo que su área entonces es de 12 u2 .
De la misma manera el área bajo la función xxf =)( en el intervalo
comprendido entre 0=x y 6=x de acuerdo a la figura.
33..11..
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
80
Cálculo integral II
El área correspondiente del triángulo es 218
2)6)(6(
2))(( uhbA === .
En el caso de estos ejemplos surgieron figuras de polígonos cuya fórmula para calcular el área de cada uno de ellos es conocida. Sin embargo si queremos
calcular el área bajo la función 2)( xxf = entre 0=x y 2=x ,
Como puedes observar el área sombreada bajo la curva ya no es un polígono conocido del cual conozcas su fórmula para calcular el área. El problema de asignar el área bajo una curva como en la figura anterior requiere de otras herramientas, tales como aproximar el área bajo la curva mediante rectángulos. Dicha aproximación puede ser considerada por rectángulos circunscritos (es decir, rectángulos por encima de la curva) o por rectángulos inscritos (rectángulos por debajo de la curva). Por ejemplo si consideramos el rectángulo por encima de la curva de base 2 y altura 4 como se observa en la figura: El área aproximada sería de 8 u2, que obviamente no es una buena aproximación al área sombreada debido a que es mayor. Ahora si dividimos el intervalo de 0 a 2 en dos subintervalos de longitud 1, entonces tendríamos dos rectángulos de base 1 cada uno, pero ahora consideremos también alturas diferentes para cada uno tales
como )1(f y )2(f , es decir, como 2)( xxf = entonces las alturas de los
rectángulos son 1)1()1( 2 ==f y 4)2()2( 2 ==f respectivamente.
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
TTeeoorreemmaa ffuunnddaammeennttaall ddeell ccáállccuulloo yy llaass aapplliiccaacciioonneess ddee llaa iinntteeggrraall ddeeffiinniiddaa
81
Observa que las alturas de los rectángulos que están por encima de la curva corresponde a la función evaluada en el extremo derecho de cada subintervalo. Por lo tanto el área correspondiente es la suma de las áreas de ambos rectángulos, esto es,
25)1)(4()1)(1(
)1)(2()1)(1(
u
ffA
=
+=+=
Como te puedes dar cuenta la aproximación del área es mejor que en el caso anterior. Luego entonces, si este procedimiento lo continuamos haciendo la aproximación al área va a ser cada vez mejor, es decir, si dividimos el intervalo de 0 a 2 en n (donde n puede tomar cualquier entero positivo) subintervalos, entonces
el área del i-ésimo rectángulo (cuya base es el subintervalo con extremos ii xx ,1− ,
con longitud 1−−=∆ ii xxx y altura )( ixf ), está dada por:
xxfA i ∆= )( . De tal manera que el área aproximada es la suma (que
denotaremos con la letra griega sigma, ∑ ) de las áreas de los n rectángulos, y la expresamos por:
∑ =∆= n
i i xxfA1
)( .
Por ejemplo si el intervalo de 0 a 2 lo dividimos en 6=n subintervalos, entonces
cada rectángulo tendría base de longitud igual a 31
, (ya que el intervalo es de
longitud 2, dividido en 6 partes resultan 6 subintervalos de longitud un tercio) como lo muestra la Figura 3.2.
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
Fig. 3.2 Aproximación del área bajo la curva por rectángulos circunscritos.
82
Cálculo integral II
Entonces el área aproximada de acuerdo a la expresión anterior es:
.3703.32791
2736
2725
2716
279
274
271
31
936
31
925
31
916
31
99
31
94
31
91
31
36
31
35
31
34
31
33
31
32
31
31
2u
ffffffA
==+++++=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Como se esperaba la aproximación es mejor que las anteriores. Ahora imagínate que podemos dividir el intervalo en una infinidad de subintervalos y no necesariamente del mismo tamaño, es decir, de longitudes diferentes, e inclusive con rectángulos por debajo de la curva, donde la altura sería ahora la función evaluada en el extremo izquierdo de cada subintervalo. Luego entonces el procedimiento anterior lo podemos generalizar bajo el contexto de límite, tal como se hizo con la derivada. Es decir el área aproximada tanto por debajo de la curva (ver Fig. 3.2) como por encima de la misma es:
∑=∞→∆=
n
i inxxfÁrea
1.)(lim
Esto es, cuando aproximamos un área por rectángulos inscritos y circunscritos las sumas de las áreas de los rectángulos tanto por debajo de la curva como por encima de la misma, coinciden en un valor. Pero obviamente este procedimiento es muy engorroso llevarlo a cabo cada vez que quieras calcular el área bajo una curva. Por tal razón es preciso introducir una definición que nos facilitará el cálculo, dicha definición es la de integral definida.
Es preciso aclarar que la definición anterior es hasta cierto punto muy intuitiva, si tienes oportunidad de consultar un libro de cálculo de nivel superior te darás cuenta que para comprender bien el concepto de integral definida, se requiere de definiciones más elaborados tales como sumas de Riemann, particiones irregulares, etc. Para nuestro fin es suficiente la anterior definición. Es importante notar que las integrales definidas y las indefinidas son identidades diferentes. Una integral definida es un número mientras que una integral indefinida es una familia de funciones.
Definición de una integral definida Si f está definida en el intervalo cerrado [a,b] y existe el límite
∑=→∆∆
n
i ii xcf10
)(lim
entonces f es integrable en [a,b] y el límite se denota por
.)()(lim10 ∫∑ =∆=→∆
b
a
n
i ii dxxfxcf
El límite se llama integral definida de f de a a b. El número a es el límite inferior de integración; el b es el límite superior.
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
Fig. 3.2 Área por debajo de la curva mediante rectángulos inscritos.
TTeeoorreemmaa ffuunnddaammeennttaall ddeell ccáállccuulloo yy llaass aapplliiccaacciioonneess ddee llaa iinntteeggrraall ddeeffiinniiddaa
83
De la misma forma que en las derivadas, existen teoremas que nos permiten calcularla de manera práctica y sencilla, en el caso de la integral definida también se cuenta con herramientas que facilitan su cálculo, tal es el caso del teorema Fundamental del Cálculo integral, el cual enunciamos a continuación.
TTEEOORREEMMAA FFUUNNDDAAMMEENNTTAALL DDEELL CCÁÁLLCCUULLOO..
En el semestre pasado estudiaste cálculo diferencial, introducido con el problema de la recta tangente, y hasta ahora el cálculo integral, introducido con el problema del área. En este punto, ambos problemas parecen no estar relacionados, pero existe una conexión muy cercana. Esa conexión se expresa en un teorema que con toda propiedad se llama Teorema Fundamental del Cálculo. De modo informal, el teorema señala que la derivación e integración (definida) son operaciones inversas, en el mismo sentido que lo son la división y la multiplicación.
Cuando se define la pendiente de una recta tangente se usa el cociente xy∆
∆ (la
pendiente de la recta secante). De igual modo, cuando se define el área de una región bajo una curva se utiliza el producto
xy∆∆ (el área de un rectángulo). El teorema fundamental del cálculo expresa que los procesos para hallar límites (usados para definir la derivada y la integral definida) conservan esta reacción inversa. Las siguientes directrices pueden ayudarte a entender el uso del teorema fundamental del cálculo. 1.- Asegúrate de que sea posible encontrar una antiderivada de f; entonces tiene una forma de evaluar una integral definida sin tener que usar el límite de una suma. 2.- Cunado apliques el Teorema Fundamental del Cálculo, es conveniente usar la siguiente notación:
)()()()( aFbFxFdxxfb
a
b
a
−==∫
Por ejemplo, para evaluar ,3
13dxx∫ puedes escribir
.20480
41
481
41
43
4
443
1
43
13 ==−=−==∫
xdxx
3.- No es necesario incluir una constante de integración C en la antiderivada, ya que
[ ]∫ +=b
a
b
aCxFdxxf )()(
[ ] [ ]CaFCbF +−+= )()(
)()( aFbF −= .
33..22..
TEOREMA: Teorema Fundamental del Cálculo. Si una función f es continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y F es una antiderivada de f sobre el intervalo [a,b], entonces
∫ −=b
aaFbFdxxf ).()()(
Si quieres saber acerca de la demostración de este teorema consulta en Internet la página http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/
84
Cálculo integral II
EJEMPLO 1: Evaluación de una integral definida. Evalúa cada integral definida utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.
a) ∫ −2
12 )3( dxx b) dxx∫
4
13 c) xdx∫ 4
02sec
π
Solución:
a) .323
316
38)1(3
31)2(3
323
3)3(
332
1
2
1
32 −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−∫ xxdxx
b) .14)1(2)4(22
3333 2
32
3
4
1
23
4
12
14
1=−=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡== ∫∫
xdxxdxx
c) .101tansec 40
40
2 =−==∫ππ
xxdx
d) [ ] .77.12277.14)(2)(2222 0220
2
0
2
0=−=−=== ∫∫ eeedxedxe xxx
e) ( ) .08.2208.4101
11
1ln
111
1
11 1 22
2
=−=++−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
−+∫ ∫
ee
xxxdx
xxdx
xxx
ee e
En el ejemplo (c) es importante aclarar que al momento de evaluar la integral, debes verificar que tu calculadora esté programada en radianes. En los ejemplos subsecuentes haremos uso del Teorema Fundamental del Cálculo a la solución de problemas de cálculo de áreas. EJEMPLO 2: Para encontrar el área que comprende un valor absoluto.
Evalúa ∫ −2
0,12 dxx utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.
Solución: Si usas la figura y la definición de valor absoluto, puedes escribir de nuevo el integrando como sigue:
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥−
<−−=−
21,12
21),12(
12xx
xxx .
Ahora puedes escribir de nuevo la integral en dos partes.
∫ ∫ ∫ −+−−=−2
02
1
0
2
21 )12()12(12 dxxdxxdxx
[ ] [ ] 2
21
22
1
0
2 xxxx −++−=
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−++−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
21
21
)22()00(21
21
222
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−++−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
21
41
)24()00(21
41
.25
=
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
Fig. 3.3 La integral definida de y=|2x-1| sobre [0,2] es 5/2.
TTeeoorreemmaa ffuunnddaammeennttaall ddeell ccáállccuulloo yy llaass aapplliiccaacciioonneess ddee llaa iinntteeggrraall ddeeffiinniiddaa
85
La Figura 3.3 muestra el área determinada por la función y las rectas verticales que es de 5/2. EJEMPLO 3: Para encontrar área comprendida por una función polinomial.
Encuentra el área de la región acotada por la gráfica de ,232 2 +−= xxy el
eje x y las rectas verticales 0=x y 2=x , como se muestra en la Figura 3.4. Solución: Observe que y>0 sobre el intervalo [0,2].
∫ +−=2
0
2 )232( dxxxÁrea
2
0
23
22
33
2⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−= xxx
( )000463
16+−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
.3
10=
EJEMPLO 4: Para encontrar área comprendida por una función lineal. Encuentra el área de la región acotada por la gráfica de xy = el eje x y las rectas verticales 2−=x y 0=x , como se muestra en la Figura:
Solución: Observa que 0<y (es decir, está por debajo del eje de las x ) sobre el intervalo [-2,0].
∫−=0
2dxxÁrea
0
2
2
2−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
x
( ) .2220
−=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Como te puedes dar cuenta el resultado de la integral es negativo, esto se debe a que el área sombreada se encuentra por debajo del eje x . Evidentemente el área de una región no puede ser negativa, el signo (-) resultante de una integral definida, nos indicará gráficamente que el área bajo la curva se encuentra por debajo del eje x .
Integra entre 0 y 2
Encuentra la antiderivada
Aplica el teor. fundamental
Simplifica
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
Fig. 3.4 El área de la región acotada por la gráfica de y, el eje x, x=0 y x=2, es 10/3.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Integra entre -2 y 0
Encuentra la antiderivada
Aplica el Teor. Fundamental
86
Cálculo integral II
EJEMPLO 5: Para encontrar área comprendida por una función lineal. Encuentra el área de la región acotada por la gráfica de xy = el eje x y las rectas verticales 2−=x y 2=x . Solución:
∫−=2
2dxxÁrea
2
2
2
2−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
x
( ) ( ) .022 =−= Elabora la gráfica correspondiente para que te des cuenta de por qué el resultado del área es cero. Como pudiste observar en los ejemplos anteriores las integrales definidas pueden ser positivas, negativas o cero. Para que una integral definida pueda interpretarse como un área, la función f debe ser continua y no negativa sobre [a,b], como se indica en el siguiente teorema. (La demostración de este teorema no se hará aquí, pero es muy clara, simplemente hay que usar la definición de área que se dio en la subsección anterior). Como un ejemplo del teorema anterior, considera la región acotada por la gráfica
de 24)( xxxf −= y el eje x , como se muestra en la Figura 3.5. En virtud de que
f es continua y no negativa sobre el intervalo cerrado [0,4], el área de la región es
∫ −=4
0
2 .)4( dxxxÁrea
En la siguiente sección estudiaremos una técnica directa para evaluar una integral definida como ésta. Sin embargo, ahora puedes evaluar la integral definida en dos formas: puedes usar la definición de límite o puedes comprobar si la integral definida representa el área de una región geométrica común, digamos, de un rectángulo, un triángulo o un semicírculo. EJEMPLO 8: Áreas de figuras comunes y la integral definida. Traza la región correspondiente a cada integral definida. Después evalúe cada una de las integrales usando una fórmula geométrica.
∫3
14) dxa ∫ +
3
0)2() dxxb dxxc ∫− −
2
2
24)
TEOREMA: La integral definida como el área de una región. Si f es continua y no negativa sobre el intervalo cerrado [a,b], entonces el área de la región acotada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales ax = y bx = está dada por
∫=b
adxxfÁrea .)(
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
ic
Fig. 3.5. El área de la región acotada está dada por �
TTeeoorreemmaa ffuunnddaammeennttaall ddeell ccáállccuulloo yy llaass aapplliiccaacciioonneess ddee llaa iinntteeggrraall ddeeffiinniiddaa
87
Solución: En la Figura 3.6 se muestran los dibujos de cada región. a) Esta región es un rectángulo de alto 4 y ancho 2.
.8)2(443
1∫ ==×= hbdx
b) Esta región es un trapecio de alto 3 y bases paralelas de longitudes 2 y 5.
La fórmula del área de un trapecio es ).(21
21 bbh +
.221
)52)(3(21
)(21
)2( 21
3
0=+=+=+∫ bbhdxx
c) Esta región es un semicírculo de radio 2. La fórmula del área de un
semicírculo es 2
21 rπ
.2)2(21
21
4 2.22
22 πππ ===−∫− rdxx
Como ya mencionamos anteriormente, cada vez que quieras calcular un área mediante una integral definida, no es necesario hacer este tipo de procedimientos, basta con aplicar algunas de las técnicas de integración directa de la integral definida.
1. ∫1
02xdx
2. ∫− −0
1)2( dxx
3. ∫7
23dv
4. ∫− −1
12 )2( dtt
5. dvv∫−3
33
1
6. ∫ −3
032 dxx
EJERCICIO 1 INDIVIDUAL Evalúa la integral definida de la función algebraica. Emplea un instrumento graficador para verificar tu resultado.
Visita el sitio:
The Integrator, es el
sitio indicado para
resolver una integral en
cuestión de segundos,
es ideal para verificar si
nuestras respuestas
son correctas.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
yy = 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
8
x
yy = x+2; 0.000000 <= x <= 3.000000
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
Fig. 3.6. a) b) c)
88
Cálculo integral II
7. dxx∫
8
1
2
8. ∫ −3
02 4 dxx
9. duu
u∫−
− ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
1
2 2
1
10. ∫ −2
0)2( dttt
TAREA 1
Página 95.
TTeeoorreemmaa ffuunnddaammeennttaall ddeell ccáállccuulloo yy llaass aapplliiccaacciioonneess ddee llaa iinntteeggrraall ddeeffiinniiddaa
89
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.
Existen muchas situaciones donde la cantidad que queremos calcular puede ser expresada como una integral definida. Típicamente esto puede suceder cuando la cantidad a calcular puede ser aproximada mediante la división de pequeños rectángulos, resolviendo el problema aproximadamente para cada uno de esos rectángulos, y entonces sumar esas aproximaciones. Esto es lo que hemos visto a lo largo del desarrollo de este capítulo. Esta sección tiene como objetivo aplicar la teoría vista en relación a la integral definida en disciplinas como Física, Geometría, Economía, etc. EJEMPLO 1: Un problema de Ciencias Sociales. La densidad de población de Ringsburg está en función de la distancia del
centro de la ciudad: a r millas del centro, la densidad es )(rfP = gentes por milla cuadrada. Ringsburg tiene un radio de 5 millas. Escribe una integral definida que exprese el total de la población de Ringsburg. Solución: Queremos hacer la partición del poblado de Ringsburg y estimar la población en cada pieza resultante de la partición. Si tomamos la partición de la región en línea recta, la densidad de la población podría variar en cada una de las piezas resultantes, ya que ésta depende de la distancia del centro de la ciudad. Queremos que la densidad de la población sea lo más cercanamente constante en cada una de las piezas, tal que sea posible estimar la población multiplicando la densidad y el área juntas. Por lo tanto tomamos piezas que son anillos delgados alrededor del centro, a una distancia constante del mismo (ver Figura 3.7), ya que el anillo es muy delgado, podemos aproximar su área enderezando el anillo como si fuera un rectángulo delgado. (Ver Fig. 3.8) El ancho del rectángulo es r∆ millas, y su longitud es aproximadamente igual al anillo de la circunferencia, rπ2 millas, entonces su área es aproximadamente
rr∆π2 mi2. De esta manera, La densidad de población ≈Densidad∗Área.
Así Población del anillo
)(( rf≈ rrmigentes ∆π2)(/ 2 rrrfmi ∆⋅= π2)()2 .gentes Sumando sobre todos los anillos, tenemos
Población total ∑ ∆≈ rrrf )(2π .gentes Como la suma se aproxima a la integral, entonces
Población total ∫=5
0)(2 drrrfπ .gentes
EJEMPLO 2: Un problema de población. Encontrar la población total en Ringsburg del ejemplo 1 si la densidad de población en la milla r está dada por
.170)( 05.1 genteserfP r==
Solución: Usando el resultado del ejemplo previo, tenemos
33..33..
Fig. 3.7. Ringsburg. Cada pieza tiene un ancho de �y un largo de �
Fig. 3.8. Anillo de Ringsburg.
90
Cálculo integral II
Población total [ ]∫=5
005.11702 drer rπ .gentes
[ ][ ]
.90.294,969)838.9680()838.9684.5086(566.190
838.96828.1017
05.128.1017
05.1340
340
5
0
05.1
5
0
05.105.1
5
005.105.1
5
005.1
gentes
re
ere
drere
drre
r
rr
r
=−−−=
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
=
∫
∫π
π
EJEMPLO 3: Un problema de volumen. Calcula el volumen, en pies cúbicos, de la gran pirámide de Egipto, cuya base es un cuadrado de 755 pies y su altura es de 410 pies; cuyo volumen esta dado por la expresión
∑∑ ∆⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=∆= hhhsV
22 )410(
410755 .3pies
Solución: Primero determinaremos de donde salió esa expresión del volumen. La pirámide está construida de una serie de capas que inician desde la base de la misma. Cada capa tiene una base cuadrada con un alto que denotaremos como h∆ , por supuesto esta altura es muy pequeña para cada capa de la pirámide. La primera capa, la de la base, es una losa cuadrada de 755 pies por 755 pies por h∆ pies. Como nos movemos a lo alto de la pirámide, las capas tienden a ser más cortas en longitud. Sea s la longitud de la base, entonces el
volumen de cada capa es aproximadamente hs ∆2 3pies , donde s varía de 755 pies desde la capa de la base hasta 0 pies para la capa de la punta. El volumen total de la pirámide es la suma de todos los volúmenes de las losas,
hs ∆2. Ya que cada capa es tiene una altura diferente h , debemos expresar s
como una función de h tal que cada término de la suma dependa solamente de h . Si hacemos un corte de la pirámide a lo largo de su alto desde la base hasta la punta , obtenemos la sección triangular dada en la Figura 3.9. Por semejanza
de triángulos, tenemos 410)410(
755hs −= . De esta manera
)410)(410/755( hs −= , y el volumen total, V , es aproximadamente
∑∑ ∆⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=∆≈ hhhsV
22 )410(
410755 .3pies
Como el grosor de cada capa tiende a cero, la suma da la integral definida. Finalmente, ya que h varía de 0 a 140, la altura de la pirámide, tenemos
Fig. 3.9. Corte vertical de la pirámide donde se relaciona �y �. � es el grosor de una pieza horizontal de la pirámide.
TTeeoorreemmaa ffuunnddaammeennttaall ddeell ccáállccuulloo yy llaass aapplliiccaacciioonneess ddee llaa iinntteeggrraall ddeeffiinniiddaa
91
∫∫ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
=
410
0
222
410
0)410(
410755410(
410755 dhhdhh
h
h
)410()755(31)410(
410755
31
3)410(
410755 23
2410
0
32
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
h
7867.416,903,77 ≈= millones 3pies . EJEMPLO 4: Calculando el trabajo hecho. Una cadena uniforme de 28 m de largo que tiene una masa de 20 kg está colgando del techo de un edificio. ¿Qué tanto trabajo se requiere aplicar para jalar la cadena hasta el techo del edificio? Solución: Ya que la masa de la cadena es 20 kg, su peso es (20 kg)(9.8 m/seg2) =196 newtons, puede parecer que la respuesta sería (196 newtons)( 28 m)=5488 joules. Pero recuerda que no toda la cadena se tiene que mover los 28 m, los eslabones que están cerca del techo se mueven menos.
Dividamos entonces la cadena en pequeñas secciones de longitud y∆ , cada
una de ellas pesa 7 y∆ newtons. (Una longitud de 28 m pesa 196 newtons, así 1
m pesa 7 newtons). Si y∆ es pequeña, todas las secciones de la cadena serán jaladas aproximadamente la misma distancia, llamemos y , a la fuerza de
gravedad que va en contra de la fuerza de 7 y∆ newtons. De esta manera, el trabajo hecho sobre una de las secciones pequeñas de la cadena es aproximadamente:
y∆7( ynewtons)( )metros yy∆= 7 .joules
Como y∆ tiende a cero, obtenemos la integral definida. Ya que y varía de 0 a 28 m, el trabajo total realizado es
274427)7(
28
0
228
0=== ∫ ydyyW .joules
EJEMPLO 5: Aplicando la integral definida en economía. Encontrar el valor presente y el futuro de una entrada constante de $100 dólares por año sobre un período de 20 años, asumiendo una tasa de interés del 10% compuesto continuamente. Solución: El valor presente, $P, de un pago futuro $B, es la cantidad que debería ser depositada al día de hoy en una cuenta bancaria para producir exactamente $B en la cuenta a un tiempo pertinente en el futuro. La expresión del valor presente cuando el interés es compuesto y continuo está expresado por
Valor ,)(0
dtetPpresente rtT −∫=
donde r es la tasa de interés compuesto, t es el tiempo y B es la cantidad depositada. Por otro lado el valor futuro, $B, de un pago $P, es la cantidad que debería crecer si es depositada en una cuenta bancaria a un cierto interés en un tiempo pertinente. La expresión del valor futuro cuando el interés es compuesto y continuo está expresado por
Valor .)( )(
0dtetPfuturo tTrT −∫=
92
Cálculo integral II
Valor presente .66.864$)1(10001.0
100100 220
0
20
0
1.01.0 ≈−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−== −
−−∫ eedte
tt
Valor futuro ∫ ∫ −− ==20
0
20
0
1.02)20(1.0 100100 dteedte t
.06.6389$)1(10001.0
100 2220
0
1.02 ≈−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= −
−
eeeet
EJEMPLO 6: Un problema en economía. ¿Cuál es la relación entre el valor presente y el valor futuro del ejemplo previo? Explica tu respuesta. Solución: Ya que
el valor 66.864$)1(1000 2 ≈−= −epresente y
el valor .06.6389$)1(1000 22 ≈−= −eefuturo Puedes ver que el valor futuro es
valor valorfuturo (= .) 2epresente La razón de esto es que el monto a pagar es equivalente a un pago inicial de $864.66 a un tiempo .0=t Con una tasa de interés del 10%, en 20 años ese monto habrá crecido a un valor futuro de
.02.6389$66.86466.864 2)20(1.0 ≈=== eePeB rt EJEMPLO 7: Un problema de fabricación. Un fabricante hace un orificio a través del centro de una esfera metálica de 5 pulgadas de radio. El orificio tiene un radio de 3 pulgadas. ¿Cuál es el volumen del anillo metálico resultante? Solución: Puedes imaginar el anillo como si fuera generado por un segmento del
círculo cuya ecuación es 2522 =+ yx , como se ilustra en la Figura 3.10. En
virtud de que el radio del orificio es 3 pulgadas, puedes hacer 3=y y resolver la
ecuación 2522 =+ yx para determinar que los límites de integración son
4±=x . Por consiguiente, los radios interior y exterior son 3)( =xr y 225)( xxR −= y el volumen se obtiene por
( ) ( ) ( ) dxxdxxrxRVb
a ∫∫ − ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−=−=
4
4
22222 )3(25])()([ ππ
∫− −=4
4
2 )16( dxxπ
4
4
3
316
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
xxπ
.lg3
256 3adaspuπ=
Fig. 3.10. Región plana que se hace girar sobre el eje x para formar el sólido que se va a retirar de la esfera.
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93
1.- Volumen de un tanque de combustible. Un tanque colocado en el ala de un avión jet se forma al hacer girar la región limitada por la gráfica de
xxy −= 281 2
y el eje x alrededor del mismo eje, (vea la Figura 3.11), donde
x y y están expresados en metros. Calcula el volumen del tanque. 2. Una cadena de 20 pies de longitud y peso de 5 libras por pie, yace enrollada en el piso. ¿Cuánto trabajo se necesita para levantar un extremo de la cadena a una altura de 20 pies de manera que quede extendida por completo?
3. Una función de costo marginal está definida por 483)(' 2 ++= xxxc , y el costo fijo es de $6.00. Determina:
a) La función costo total correspondiente.
b) El costo total dentro de los primero 3 años.
c) ¿Cuál es el costo total entre el segundo y quinto año?
4. para un artículo particular, la función de ingreso marginal es xxi 415)(' −= . Si x son las unidades demandadas. Determina:
a) La función ingreso total.
b) ¿Cuál es el ingreso total dentro de los primeros cinco años?
c) ¿Cuántas unidades demandadas se requieren para que el ingreso total sea máximo?
d) ¿Cuál es el máximo ingreso?
EJERCICIO 2 INDIVIDUAL Resuelve los siguientes problemas de aplicación de la integral definida.
Fig. 3.11 Tanque de combustible.
TAREA 2
Página 97.
94
Cálculo integral II
¡Ojo! Recuerda que
debes resolver la
autoevaluación y los
ejercicios de
reforzamiento; esto te
ayudará a enriquecer
los temas vistos en
clase.
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95
INSTRUCCIONES: Evalúa las siguientes integrales definidas mediante el teorema fundamental del cálculo.
Recuerda usar los diferentes métodos de integración. Entra a la página http://integrals.wolfram.com para comprobar tus respuestas.
1. ∫− +1
132 )1( dxxx
2. ∫ +2
132 12 dxxx
3. dxx∫+
4
0 121
4. dxxx∫
+
9
1 2)1(1
5. ∫ −−2
12)1( dxxx
6. dxx
∫ 20 3
2cos
π
7. ∫− +4
232 )8( dxxx
8. dxx∫− 2
2cos
π
π
9. dxxsenx∫− 2
2cos
π
π
10. dxxxsen∫2
02 2cos2
11. dxx
x∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
4
0 2)1(
12. ∫− −−−1
122 )]1()1[( dxxx
13. dxxx
∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−6
03
6)2(4
14. dxx
xx
∫⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
3
2
3
33
15. ∫− +−++2
22 )]52()12[( dxxxx
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente Fecha
TAREA 1
96
Cálculo integral II
16. dxxx∫ −−−1
03 )]1()1[(
17. ∫ −−3
03 ]0)(3[ dxxx
18. ∫ ++−−+−6
022 )]32()34[( dxxxxx
19. dxxx∫ −1
032 ][
20. ∫ −−6
02 ]0)6[( dxxx
21. ∫ 40
3secπ
dxx
22. ∫ 2
4
2π
π dxxsen
23. ∫e
dxxx
1
2)(ln
24. ∫−4
4cot
π
π dxx
25. ∫2ln
1dxxex
Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
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97
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas de aplicación.
1. Suponemos que durante los primeros cinco años que un producto se puso a la venta en el mercado la
función )(xf describe la razón de ventas cuando pasaron x años desde que el producto se presentó en el
mercado por primera vez. Se sabe que 9002700)( += xxf si 50 ≤≤ x . Calcule las ventas totales durante los primeros cuatro años.
2. Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de operación. Cuando la
máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de )(xf pesos al año donde xxf 50001000)( += .
a) ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años?
b) Si la máquina se compró a $ 67500 ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en pagarse por sí sola?
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente Fecha
TAREA 2
Para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio http://dieumsnh.gfb.umich.mx/INTEGRAL/ http.//www.fca.unl.edu.ar/Intdef/AplicacionesEconomia.htm
98
Cálculo integral II
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99
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la opción que consideres correcta.
1. Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo el valor de la integral definida ∫− +−3
1
2 )63( dxxx es:
54 48 45 84
2. El resultado de la integral definida ∫π
0cos dxx
0 1 existeNo 1−
3. Determina el área de región comprendida entre la función )()()( xgxfxh −= , donde 1)( 2 −= xxf y 23)( −−= xxg , y las rectas 30 == xyx .
6 57 5.25 18
4. La función de costo marginal de un fabricante es 26.0)( += qqCM . Si la producción actual es 80=q unidades por semana, ¿cuánto más costará (en dólares) incrementar la producción a 100 unidades por semana.
100,2$ 520,1$ 120,1$ 280,5$
5. Índice de severidad. En un análisis de la severidad en el tránsito, Shonle considera cuánta aceleración puede tolerar una persona en un choque sin que se presenten en ella lesiones serias. El índice de severidad se define como sigue:
dtseveridaddeíndiceT
∫=0
25
α ,
Donde α se considera una constante implicada con la aceleración media ponderada y T es la duración del choque. El índice de severidad es:
T25
α
Tα25
T52
α Tα
Nombre _________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
AUTOEVALUACIÓN
100
Cálculo integral II
6. El resultado de la integral definida ∫− −4
4dxx es:
0 16− 8 8−
7. Para que la integral definida pueda ser interpretada como un área, es decir, que el valor de la integral sea
positivo. La función f en el intervalo [a,b] debe ser:
negativayContinua .
positivayaDiscontinu .
negativayaDiscontinu .
positivayContinua .
8. Dentro de las propiedades de la integral definida, la integral ∫b
adxxf )( es igual a:
∫−b
adxxf )(
∫−a
bdxxf )(
∫−
−
b
adxxf )(
∫ −b
adxxf )(
9. Dentro de las propiedades de la integral definida, la integral ∫a
adxxf )( es igual a:
existeNo a 0 )(xf
10. El resultado de la integral definida ∫ +6
1
2 32 dxxx es:
338
03.157
338
−
370
Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación.
Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es necesario que nuevamente repases los temas.
Si contestaste correctamente 7 ó menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor.
Consulta las claves de
respuestas en la página 103.
ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE
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101
INSTRUCCIONES: Resuelve las siguientes integrales y problemas, y preséntalos a tu profesor.
I. Evalúa las siguientes integrales.
1. ∫− +2
2)54( dxx
2. ∫− +π
π2
)(cos dxxsenx
3. ∫ −5
3 21
dxx
4. ∫e
dxx1
ln
5. ∫3
1 2
1
dxxe x
6. ∫ +2
0 cos1
πdx
xxsen
7. ∫ +6
322 )(cos dxxsenx
II. Resuelve los siguientes problemas.
1. Para cierta población supongamos que la función )(xl representa el número de personas que alcanzan la edad x en cualquier año. Esta función se llama función de la tabla de vida. Bajo
condiciones apropiadas, la integral ∫+nx
xdttl )( da el número esperado de gente en la población
que tiene exactamente nxyx + , inclusive. Si xxl −= 100000,10)( , determina el número de gente que tiene exactamente entre 36 y 64 años inclusive. Da tu respuesta al entero más cercano, ya que respuestas fraccionarias no tienen sentido.
2. En un estudio sobre mutación genética, aparece la siguiente integral dxx∫− −410
02
1. Evalúa la
integral. 3. El economista Pareto ha establecido una ley empírica de distribución de ingresos superiores que
da el número N de personas que reciben x o más dólares. Si BAx
dxdN −−= , donde A y B
son constantes, encuentra una expresión que te represente el número total de personas que reciben 100$ o más dólares.
EJERCICIO DE REFORZAMIENTO 1
Nombre _________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
102
Cálculo integral II
103
UNIDAD 1
UNIDAD 2
UNIDAD 3
1. A 2. C 3. A 4. B 5. A 6. D 7. A
1. B 2. C 3. B 4. A 5. D 6. C 7. D 8. A 9. C 10. A
1. B 2. A 3. C 4. C 5. A 6. A 7. D 8. B 9. C 10. A
Claves de Respuestas
104
Recuerda que tienes que ordenar los conceptos alfabéticamente. (a...z)
Glosario
105
GONZALEZ Cabrera Víctor M. “Cálculo 4000”, Ed. Progreso, S.A. de C.V. 1997.
HAEUSSLER Ernest, JR.- PAUL Richard S. “Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la vida”, Ed. Prentice-Hall. 1997.
HOWARD Antón. “Calculus with analytic geometry”, John Wiley & Sons, Inc. 1980.
HUGHES-Hallet Deborah-GLEASON Andrew M. “Calculus”, John Wiley & Sons, Inc. 1994.
LARSON Ron - HOSTETLER Robert P. “Cálculo diferencial e integral”, McGraw-Hill Interamericna. 2002.
-http://www.tahc.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag1.htm -http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2 -http://www.matharticles.com
Bibliografía General