Franka Miriam Bruckler O zujak 2019.prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/simetrije4.pdf · poplo cavanja mora biti podgrupa to ckine grupe Bravaisove re setke. Niz ekvidistantno rasporedenih

Baza i koordinate 2D Bravaisove resetke

Bravaisove resetke

Franka Miriam Bruckler

PMF-MO, Zagreb

Ozujak 2019.

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Bravaisove resetke


Bravaisova resetka friza

Podsjetimo se – sto je to Bravaisova resetka?

Postoji samo jedna jednodimenzionalna Bravaisova resetka:

◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦Napomena

Buduci da je uzorak kojeg mozemo nanizati u friz nacelno proizvoljan,dakle proizvoljne simetrije, mogli bismo pomisliti da su kao tockine grupefrizova moguce sve grupe rozeta. No: Tockina grupa periodickogpoplocavanja mora biti podgrupa tockine grupe Bravaisove resetke.Niz ekvidistantno rasporedenih tocaka (gledan u ravnini, jer u ravninigledamo i frizove) ima dva smjera osne simetrije, dakle mu je tockinagrupa D2. Stoga kao tockine grupe frizova dolaze u obzir samo C1, C2,D1 i D2.


Bravaisove resetke



Podsjetimo se – sto je to Bravaisova resetka?Postoji samo jedna jednodimenzionalna Bravaisova resetka:

◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

Napomena



Bravaisove resetke



Podsjetimo se – sto je to Bravaisova resetka?Postoji samo jedna jednodimenzionalna Bravaisova resetka:

◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦Napomena



Bravaisove resetke


Svaka Bravaisova resetka je”primitivna”

Podsjetimo se: Sto su to primitivne translacije?

Teorem

Za svaku Bravaisovu resetku (friza, tapete ili kristalne strukture) postojiodabir jedinicne celije tako da se u BK nalaze samo primitivne translacije.

Ako je P povrsina (odnosno V volumen) tako odabrane jedinicne celije, isve druge takve jedinicne celije imaju istu povrsinu P, a utrodimenzionalnom sve imaju isti volumen V . Stovise: Ako uzmemo bilokoje tri odnosno cetiri tocke Bravaisove resetke tapete odnosno kristalnestrukture, tako da njima odreden paralelogram ima povrsinu P kaojednaodnosno njima odreden paralelepiped ima volumen V , tajparalelogram je jedinicna celija s obzirom na koju su sve translacijskesimetrije primitivne.


Bravaisove resetke




Teorem




Bravaisove resetke




Teorem




Bravaisove resetke


U svrhu klasifikacije Bravaisovih resetki s obzirom na njihove grupesimetrija, znamo:

Za zadanu Bravaisovu resetku mogu pretpostaviti da je jedinicnacelija odabrana tako da su sve translacijske simetrije primitivne.Ukoliko taj odabir nije u skladu s kristalografskim konvencijama,lako ga se prilagodi nakon provedene klasifikacije resetki.Tockina grupa Bravaisove resetke mora biti kristalografska tockinagrupa.

Klasifikacija dvodimenzionalnih Bravaisovih resetki

Mozemo pretpostaviti da je a ≤ b i 90◦ ≤ γ < 180◦ (inace umjesto−→b

zamijenimo s−→b −−→a ).

~a−~a

~b~b− ~a


Bravaisove resetke





Mozemo pretpostaviti da je a ≤ b

i 90◦ ≤ γ < 180◦ (inace umjesto−→b


~a−~a

~b~b− ~a


Bravaisove resetke





Mozemo pretpostaviti da je a ≤ b i 90◦ ≤ γ < 180◦ (inace umjesto−→b


~a−~a

~b~b− ~a


Bravaisove resetke


Primitivna vs. konvencionalna jedinicna celija

S matematicke strane jednostavnije je uvijek odabrati −→a i−→b tako da su

u BK samo primitivne translacije.

Kristalografske konvencije su drugacije: Prvo, −→a i−→b moramo odabrati

tako da je γ ≥ 90◦. Nakon toga gledamo koja je najvisa rotacijskasimetrija resetke:

3 ili 6 – mora se uzeti a = b i γ = 120◦;

4 – mora se uzeti kvadratna jedinicna celija;

2 i postoje dvije osne simetrije (s obzirom na okomite osi) – mora seuzeti pravokutna jedinicna celija.

Uz te uvjete, celija treba biti odabrana tako da bude sto manje povrsine(dakle, ako je ikako moguce, da resetka postane primitivna).


Bravaisove resetke


Primitivna vs. konvencionalna jedinicna celija

S matematicke strane jednostavnije je uvijek odabrati −→a i−→b tako da su

u BK samo primitivne translacije.

Kristalografske konvencije su drugacije: Prvo, −→a i−→b moramo odabrati

tako da je γ ≥ 90◦. Nakon toga gledamo koja je najvisa rotacijskasimetrija resetke:

3 ili 6 – mora se uzeti a = b i γ = 120◦;

4 – mora se uzeti kvadratna jedinicna celija;

2 i postoje dvije osne simetrije (s obzirom na okomite osi) – mora seuzeti pravokutna jedinicna celija.

Uz te uvjete, celija treba biti odabrana tako da bude sto manje povrsine(dakle, ako je ikako moguce, da resetka postane primitivna).


Bravaisove resetke


Iz definicije mnozenja vektorom skalarom je vidljivo: Mnozenjem vektoraskalarom ne moze se promijeniti smjer vektora, odnosno −→a i x−→a sukolinearni za svaki skalar x i svaki vektor −→a . No, vrijedi i obrnuto: Zasvaka dva kolinearna vektora postoji skalar takav da se mnozenjemjednog vektora s njime dobije drugi vektor.Naime, ako su −→v i −→a kolinearni, uvijek je1

−→v = ±v

a−→a

(+ ako su iste, a − ako su suprotne orijentacije), pa uz x = va imamo−→v = x−→a .

1Vektori na lijevoj i desnoj strani su ocito kolinearni, a kako je iznos od skalar putavektor jednak apsolutnoj vrijednosti skalara puta iznos vektora, ta dva vektora su ijednakog iznosa.


Bravaisove resetke


Prema prethodnom, uz odabir jednog nenul-vektora, svi vektori njegovogsmjera opisani su jednim skalarom. Dakle, uz fiksirani vektor −→a svivektori −→v njegovog smjera mogu se opisati jednom koordinatom x koja jeskalar sa svojstvom −→v = x−→a . Skalar x zovemo koordinatom vektora −→v(odnosno, uz odabir ishodista, ako je −→v =

−→OT , koordinatom tocke T ).

Primjer

Sve tocke Bravaisove resetke friza imaju koordinate n (n ∈ Z).


Bravaisove resetke


Prema prethodnom, uz odabir jednog nenul-vektora, svi vektori njegovogsmjera opisani su jednim skalarom. Dakle, uz fiksirani vektor −→a svivektori −→v njegovog smjera mogu se opisati jednom koordinatom x koja jeskalar sa svojstvom −→v = x−→a . Skalar x zovemo koordinatom vektora −→v(odnosno, uz odabir ishodista, ako je −→v =

−→OT , koordinatom tocke T ).

Primjer

Sve tocke Bravaisove resetke friza imaju koordinate n (n ∈ Z).


Bravaisove resetke


~a

~b

O

C

B′

A′

−→vy−→b

x−→a

−→v = x−→a + y−→b

Definicija (Baza i koordinate u V 2 odnosno V 2(O))

Ako su −→a i−→b dva fiksirana nekolinearna vektora u ravnini, njih nazivamo

bazom, a svi ostali vektori ravnine mogu se jednoznacno opisati s po dvaskalara (koje nazivamo koordinatama tih vektora): −→v = [x , y ] znaci da je−→v = x−→a + y

−→b .

Uz odabir ishodista O, koordinate tocke T u ravnini su (x , y) tocno ako

je−→OT = x−→a + y

−→b .Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Bravaisove resetke


Primijetimo: Buduci da je −→a = 1−→a + 0−→b , vektor −→a u bazi {−→a ,−→b }

uvijek ima koordinate [1, 0]. Analogno, vektor−→b u bazi {−→a ,−→b } uvijek

ima koordinate [0, 1]. No, koordinate vektora u ravnini op’cenito ovise oodabiru baze.

~a

~b~v

~a′

~b′


Bravaisove resetke


Primjer

Ako je K tapeta i ako smo odabrali jedinicnu celiju, vektori koji jurazapinju cine bazu ravnine. Ako je ta celija odabrana tako da su svetranslacijske simetrije primitivne, tocke Bravaisove resetke su tocno tockes koordinatama (m, n) (m, n ∈ Z).


Ako su −→a ,−→b , −→c tri fiksirana nekomplanarna vektora u prostoru (baza

prostora), svi ostali vektori ravnine mogu se jednoznacno opisati s po triskalara (koordinate vektora): −→v = [x , y , z ] znaci da je−→v = x−→a + y

−→b + z−→c .


Bravaisove resetke


Primjer

Ako je K tapeta i ako smo odabrali jedinicnu celiju, vektori koji jurazapinju cine bazu ravnine. Ako je ta celija odabrana tako da su svetranslacijske simetrije primitivne, tocke Bravaisove resetke su tocno tockes koordinatama (m, n) (m, n ∈ Z).


Ako su −→a ,−→b , −→c tri fiksirana nekomplanarna vektora u prostoru (baza

prostora), svi ostali vektori ravnine mogu se jednoznacno opisati s po triskalara (koordinate vektora): −→v = [x , y , z ] znaci da je−→v = x−→a + y

−→b + z−→c .


Bravaisove resetke


Dvodimenzionalne Bravaisove resetke

Jedine moguce tockine grupe dvodimenzionalnih Bravaisovih resetki C1,C2, C3, C4, C6, D1, D2, D3, D4 i D6.

Postoji li resetka s tockinomgrupom C1? Tockina grupa Bravaisove resetke (2D) mora sadrzavati 2,pa otpadaju grupe C1, C3, D1 i D3. Ocito je moguce imati resetku cija jetockina grupa C2. Bravaisove resetke kojima je C2 tockina grupa nazivajuse kosokutne resetke (preciznije, kosokutne (P) resetke).

Napomena

Argumentirajte da je u trodimenzionalnom slucaju Ci podgrupa svaketockine grupe svake Bravaisove resetke. Bravaisove resetke kojima je Ci

tockina grupa nazivaju se triklinskim resetkama.

Pogledajmo sad slucaj kad tockina grupa resetke sadrzi rotaciju reda 6.


Bravaisove resetke



Jedine moguce tockine grupe dvodimenzionalnih Bravaisovih resetki C1,C2, C3, C4, C6, D1, D2, D3, D4 i D6. Postoji li resetka s tockinomgrupom C1?

Tockina grupa Bravaisove resetke (2D) mora sadrzavati 2,pa otpadaju grupe C1, C3, D1 i D3. Ocito je moguce imati resetku cija jetockina grupa C2. Bravaisove resetke kojima je C2 tockina grupa nazivajuse kosokutne resetke (preciznije, kosokutne (P) resetke).

Napomena





Bravaisove resetke



Jedine moguce tockine grupe dvodimenzionalnih Bravaisovih resetki C1,C2, C3, C4, C6, D1, D2, D3, D4 i D6. Postoji li resetka s tockinomgrupom C1? Tockina grupa Bravaisove resetke (2D) mora sadrzavati 2,

pa otpadaju grupe C1, C3, D1 i D3. Ocito je moguce imati resetku cija jetockina grupa C2. Bravaisove resetke kojima je C2 tockina grupa nazivajuse kosokutne resetke (preciznije, kosokutne (P) resetke).

Napomena





Bravaisove resetke



Jedine moguce tockine grupe dvodimenzionalnih Bravaisovih resetki C1,C2, C3, C4, C6, D1, D2, D3, D4 i D6. Postoji li resetka s tockinomgrupom C1? Tockina grupa Bravaisove resetke (2D) mora sadrzavati 2,pa otpadaju grupe C1, C3, D1 i D3.

Ocito je moguce imati resetku cija jetockina grupa C2. Bravaisove resetke kojima je C2 tockina grupa nazivajuse kosokutne resetke (preciznije, kosokutne (P) resetke).

Napomena





Bravaisove resetke



Jedine moguce tockine grupe dvodimenzionalnih Bravaisovih resetki C1,C2, C3, C4, C6, D1, D2, D3, D4 i D6. Postoji li resetka s tockinomgrupom C1? Tockina grupa Bravaisove resetke (2D) mora sadrzavati 2,pa otpadaju grupe C1, C3, D1 i D3. Ocito je moguce imati resetku cija jetockina grupa C2.

Bravaisove resetke kojima je C2 tockina grupa nazivajuse kosokutne resetke (preciznije, kosokutne (P) resetke).

Napomena





Bravaisove resetke



Jedine moguce tockine grupe dvodimenzionalnih Bravaisovih resetki C1,C2, C3, C4, C6, D1, D2, D3, D4 i D6. Postoji li resetka s tockinomgrupom C1? Tockina grupa Bravaisove resetke (2D) mora sadrzavati 2,pa otpadaju grupe C1, C3, D1 i D3. Ocito je moguce imati resetku cija jetockina grupa C2. Bravaisove resetke kojima je C2 tockina grupa nazivajuse kosokutne resetke (preciznije, kosokutne (P) resetke).

Napomena





Bravaisove resetke



Jedine moguce tockine grupe dvodimenzionalnih Bravaisovih resetki C1,C2, C3, C4, C6, D1, D2, D3, D4 i D6. Postoji li resetka s tockinomgrupom C1? Tockina grupa Bravaisove resetke (2D) mora sadrzavati 2,pa otpadaju grupe C1, C3, D1 i D3. Ocito je moguce imati resetku cija jetockina grupa C2. Bravaisove resetke kojima je C2 tockina grupa nazivajuse kosokutne resetke (preciznije, kosokutne (P) resetke).

Napomena





Bravaisove resetke


Heksagonska Bravaisova resetka

Ako je 6 simetrija resetke, ona cuva resetku pa 6 tocaka resetke okoodabrane tocke resetke O cine vrhove pravilnog sesterokuta. Stogamozemo uzeti da je 62(~a) = ~b.

Dobivena resetka je primitivna. Dobilismo heksagonsku (P) resetku.

~a

~b

Koja je njezina tockina grupa – C6 ili D6? Zasto?


Bravaisove resetke



Ako je 6 simetrija resetke, ona cuva resetku pa 6 tocaka resetke okoodabrane tocke resetke O cine vrhove pravilnog sesterokuta. Stogamozemo uzeti da je 62(~a) = ~b. Dobivena resetka je primitivna.

Dobilismo heksagonsku (P) resetku.

~a

~b



Bravaisove resetke



Ako je 6 simetrija resetke, ona cuva resetku pa 6 tocaka resetke okoodabrane tocke resetke O cine vrhove pravilnog sesterokuta. Stogamozemo uzeti da je 62(~a) = ~b. Dobivena resetka je primitivna. Dobilismo heksagonsku (P) resetku.

~a

~b



Bravaisove resetke



Ako je 6 simetrija resetke, ona cuva resetku pa 6 tocaka resetke okoodabrane tocke resetke O cine vrhove pravilnog sesterokuta. Stogamozemo uzeti da je 62(~a) = ~b. Dobivena resetka je primitivna. Dobilismo heksagonsku (P) resetku.

~a

~b

Koja je njezina tockina grupa – C6 ili D6? Zasto?Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Bravaisove resetke


Kvadratna Bravaisova resetka

Ako je 4 rotacija najveceg reda u tockinoj grupi resetke i A tocki Onajbliza tocka resetke:

O −→aA

−→b

4(A)

42(A)

43(A)

T

T ′

−−→a −−→b


Bravaisove resetke




O −→aA

−→b

4(A)

42(A)

43(A)

T

T ′

−−→a −−→b


Bravaisove resetke




O −→aA

−→b

4(A)

42(A)

43(A)

T

T ′

−−→a −−→b


Bravaisove resetke




O −→aA

−→b

4(A)

42(A)

43(A)

T

T ′

−−→a −−→b


Bravaisove resetke




O −→aA

−→b

4(A)

42(A)

43(A)

T

T ′

−−→a −−→b


Bravaisove resetke




O −→aA

−→b

4(A)

42(A)

43(A)

T

T ′

−−→a −−→b


Bravaisove resetke




O −→aA

−→b

4(A)

42(A)

43(A)

T

T ′

−−→a −−→b


Bravaisove resetke


Dobili smo primitivnu resetku – kvadratnu (P) resetku.

~a

~b

Njezina tockina grupa je

D4.


Bravaisove resetke


Dobili smo primitivnu resetku – kvadratnu (P) resetku.

~a

~b

Njezina tockina grupa je D4.


Bravaisove resetke


Pravokutne Bravaisove resetke

Preostaje jos provjeriti situaciju kad Bravaisova resetka kao tockinugrupu ima D2. Elementi od D2 su 1, 2 i dva zrcaljenja m1 i m2 s obziromna dvije medusobno okomite osi.

Jedna mogucnost Bravaisove resetke stockinom grupom D2 je ocigledno pravokutna (P) resetka.

~a

~b


Bravaisove resetke


Pravokutne Bravaisove resetke

Preostaje jos provjeriti situaciju kad Bravaisova resetka kao tockinugrupu ima D2. Elementi od D2 su 1, 2 i dva zrcaljenja m1 i m2 s obziromna dvije medusobno okomite osi. Jedna mogucnost Bravaisove resetke stockinom grupom D2 je ocigledno pravokutna (P) resetka.

~a

~b


Bravaisove resetke


Pretpostavimo da resetka ima tockinu grupu D2, ali da nas odabir celijenije u skladu s kristalografskim konvencijama (γ 6= 90◦), ali je takav da jeresetka primitivna.Imamo dvije mogucnosti:

1 jedna od dviju osi simetrije (recimo, ona od m1) je okomita na −→a ili

2 nijedna od dviju osi simetrije nije okomita na −→a .


Bravaisove resetke


Prvi slucaj

OA

B

−→a

−→b

m1

m2

B ′ = m1(B)n−→a

Ako n > 1 zamijenimo B s onom tockom resetke na pravcu BB ′ koja jeslijeva najbliza osi od m1 (zasto to smijemo?)


Bravaisove resetke


Prvi slucaj

OA

B

−→a

−→b

m1

m2

B ′ = m1(B)

n−→a



Bravaisove resetke


Prvi slucaj

OA

B

−→a

−→b

m1

m2

B ′ = m1(B)n−→a



Bravaisove resetke


Prvi slucaj

OA

B

−→a

−→b

m1

m2

B ′ = m1(B)n−→a



Bravaisove resetke


OA

B

−→a

−→b

m1

m2

B ′

B ′′


Bravaisove resetke


OA

B

−→a

−→b

m1

m2

B ′

B ′′


Bravaisove resetke


OA

B

−→a

−→b

m1

m2

B ′

B ′′


Bravaisove resetke


OA

B

−→a

−→b

m1

m2

B ′

B ′′


Bravaisove resetke


OA

B

−→a

−→b

m1

m2

B ′

B ′′


Bravaisove resetke


Dobili smo resetku koja se naziva pravokutnom (I) resetkom.

O A

BB′

B′′

~a

~b

~a′

~b′

Drugi slucaj (nijedna od dviju osi simetrije nije okomita na −→a ) svodimona prvi tako da za drugi vektor baze uzmemo m1(−→a ) (jedinicna celija sadpostaje romb). Dakle, gotovi smo!


Bravaisove resetke


Dobili smo resetku koja se naziva pravokutnom (I) resetkom.

O A

BB′

B′′

~a

~b

~a′

~b′

Drugi slucaj (nijedna od dviju osi simetrije nije okomita na −→a ) svodimona prvi tako da za drugi vektor baze uzmemo m1(−→a ) (jedinicna celija sadpostaje romb). Dakle, gotovi smo!


Bravaisove resetke


Holoedrije i kristalni sustavi

Kao sto vidimo, razlicite Bravaisove resetke mogu imati istu tockinugrupu.

Definicija (Holoedrija)

Tockina grupa Bravaisove resetke naziva se holoedrija.

Definicija (Kristalni sustav)

Sva poplocavanja s istom holoedrijom cine jedan kristalni sustav.

Dakle, pokazali smo da u 2D slucaju imamo 4 kristalna sustava,odredena holoedrijama C2 (kosokutni), D2 (pravokutni), D4 (kvadratni) iD6 (heksagonski). Broj 2D-Bravaisovih resetki je 5 (postoje dvijeneekvivalentne resetke u pravokutnom sustavu).


Bravaisove resetke










Bravaisove resetke










Bravaisove resetke


Odredite holoedriju, kristalni sustav i tip resetke!


Bravaisove resetke


Trodimenzionalne Bravaisove resetke

U 3D-slucaju se postupa analogno. Uzevsi u obzir da svaka 3D-resetkaposjeduje centralnu simetriju, kao holoedrije u obzir dolaze samo onetockine grupe koje sadrze 1, dakle Ci, C2h, D2h, C3i, D3d, C6h, D6h, C4h,D4h, Th, Oh. No, u stvarnosti nemamo 10, nego samo 7 holoedrija.

Kao iu 2D-slucaju krecemo od primitivnih resetki. Zbog vise slobode u3D-prostoru, argumenti se kompliciraju, ali se temelje na tri glavnecinjenice: Ukoliko Bravaisova resetka posjeduje ravninu simetrije, onda taravnina ili ne sadrzi nijednu tocku resetke ili sadrzi 2D podresetku; zasvaku os rotacijske simetrije resetke postoji na nju okomita ravnina kojasadrzi 2D podresetku; ako os rotacijske simetrije sadrzi tocku resetke,onda sadrzi i 1D-podresetku.


Bravaisove resetke



U 3D-slucaju se postupa analogno. Uzevsi u obzir da svaka 3D-resetkaposjeduje centralnu simetriju, kao holoedrije u obzir dolaze samo onetockine grupe koje sadrze 1, dakle Ci, C2h, D2h, C3i, D3d, C6h, D6h, C4h,D4h, Th, Oh. No, u stvarnosti nemamo 10, nego samo 7 holoedrija. Kao iu 2D-slucaju krecemo od primitivnih resetki. Zbog vise slobode u3D-prostoru, argumenti se kompliciraju, ali se temelje na tri glavnecinjenice: Ukoliko Bravaisova resetka posjeduje ravninu simetrije, onda taravnina ili ne sadrzi nijednu tocku resetke ili sadrzi 2D podresetku; zasvaku os rotacijske simetrije resetke postoji na nju okomita ravnina kojasadrzi 2D podresetku; ako os rotacijske simetrije sadrzi tocku resetke,onda sadrzi i 1D-podresetku.


Bravaisove resetke



U 3D-slucaju se postupa analogno. Uzevsi u obzir da svaka 3D-resetkaposjeduje centralnu simetriju, kao holoedrije u obzir dolaze samo onetockine grupe koje sadrze 1, dakle Ci, C2h, D2h, C3i, D3d, C6h, D6h, C4h,D4h, Th, Oh. No, u stvarnosti nemamo 10, nego samo 7 holoedrija. Kao iu 2D-slucaju krecemo od primitivnih resetki. Zbog vise slobode u3D-prostoru, argumenti se kompliciraju, ali se temelje na tri glavnecinjenice: Ukoliko Bravaisova resetka posjeduje ravninu simetrije, onda taravnina ili ne sadrzi nijednu tocku resetke ili sadrzi 2D podresetku; zasvaku os rotacijske simetrije resetke postoji na nju okomita ravnina kojasadrzi 2D podresetku; ako os rotacijske simetrije sadrzi tocku resetke,onda sadrzi i 1D-podresetku.


Bravaisove resetke


krist. sustav holoedrija Bravaisoveresetke

krist. parametri

triklinski Ci (P) a 6= b 6= c 6= a, α 6= β 6=γ 6= α

monoklinski C2h (P), (B) α = γ = 90◦, β > 90◦

rompski D2h (P), (C), (I),(F)

α = β = γ = 90◦, a 6= b 6=c 6= a

trigonski D3d (P) α = β = γ 6= 90◦, a = b =c

tetragonski D4h (P), (I) α = β = γ = 90◦, a = b 6=c

heksagonski D6h (P) α = β = 90◦, γ = 120◦,a = b

kubicni Oh (P), (I), (F) α = β = γ = 90◦, a = b =c


Bravaisove resetke

Documents

Franka Miriam Bruckler O zujak 2019.prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/simetrije4.pdf · poplo cavanja mora biti podgrupa to ckine grupe Bravaisove re setke. Niz ekvidistantno rasporedenih