Povijest matematikeArapska matematika

Franka Miriam Bruckler

14. veljace 2020.

”Arapska“matematika

Godine 622. zapocinje muslimansko racunanje godina (Muhamedovodlazak iz Meke u Medinu); nakon Muhamedove smrti (632.)

njegovi nasljednici ( kalifi ) zapocinju osvajanja. Do kraja 7. st.osvojena je Mezopotamija i Perzija te Egipat, a pocetkom 8. st. ivelik dio Iberskog poluotoka i mnoga druga podrucja.Matematiku tih podrucja u razdoblju 8.–15. st. obicno nazivamoarapskom jer je sluzbeni jezik bio arapski. Ona se razvila dijelompod utjecajem grcke tradicije, a dijelom indijske.

Kuca mudrosti

Kalifi su poslali svoje izaslanike da sustavno skupe znanstvena ifilozofska djela grcke antike te su ta djela isto tako sustavno (ikvalitetno!) prevodena na arapski jezik. Prvi poticatelj znanosti iprevodenja grckih tekstova (npr. Euklidovih Elemenata) na arapskibio je kalif abasidske dinastije Harun al-Rasid, koji je na vlaststupio 768. i vladao do svoje smrti 809.U Bagdadu je njegov sin, kalif al-Ma’mun (vladao 813.–833.),osnovao Kucu mudrosti (Bayt al-H. ik. ma), vrstu akademije, koja jebila glavni znanstveni centar arapskog svijeta do pada Bagdata1258.

Prevodenje

Prevodenje je bilo vrlo poticano jer se smatralo dijelom istrazivanjai doprinosa znanstvenom napretku.Tako su u razdoblju 8.–10. stoljeca prevedeni Euklidovi Elementi,Data, Optika i jos neka Euklidova djela, O sferi i valjku te Omjerenju kruga od Arhimeda, gotovo sva Apolonijeva djela,Diofantova Aritmetika, Menelajeva Sphaerica, PtolomejevAlmagest, i mnoga druga.Na temelju tih prijevoda od 9. st. stvaraju se vlastiti, novi,matematicki doprinosi, posebno u algebri i teoriji brojeva, ali igeometriji, trigonometriji i matematickoj astronomiji.

Do 10. stoljeca u arapskim su se zemljama koristila tri tipaaritmetike:

racun na prste: brojevi se pisu rijecima; ovaj nacin racuna sukoristili trgovci i racunovode; od 7. st. koristen je i arapskialfabetski sustav (abdzad).

seksagesimalni sustav: brojevi oznaceni arapskim slovima, akoristio se najcesce za astronomiju;

indijski dekadski sustav: znamenke su negdje tijekom 8. i 9.st. preuzete iz Indije, ali bez standardnog skupa simbola, takoda se u raznim krajevima koristilo donekle razlicite oblikeznamenki; ispocetka su ih koristili na prasnjavim plocama kojesu omogucavale isto sto i danas ploca i kreda; al-Uqlidisi je u10. st. pokazao kako metode prilagoditi za pero i papir.

Arapske brojke

Usporedba indijskih brojki Nagari i ranih arapskih brojki:

Istocna (2. red) i jedna zapadna (3. red; g.obar: pjescane brojke) inacicaarapskih brojki te jedna europska iz 13. st.(4. red); istocna se inacicakoristi i danas u bliskoistocnim arapskim zemljama i zovu je indijskimbrojkama (huruf hindayyah).

Arapske brojke

Usporedba indijskih brojki Nagari i ranih arapskih brojki:

Istocna (2. red) i jedna zapadna (3. red; g.obar: pjescane brojke) inacicaarapskih brojki te jedna europska iz 13. st.(4. red); istocna se inacicakoristi i danas u bliskoistocnim arapskim zemljama i zovu je indijskimbrojkama (huruf hindayyah).

Al-Hvarizmı, ca. 780.–850.

prvi veliki arapski matematicar

djelovao u Kuci mudrosti

od njega potjece najstariji arapski opis indijskog pozicijskogsustava

arapski original je izgubljen, najstarija sacuvana arapska djelana tu temu su stotinjak godina mlada

latinski srednjevjekovni prijevod: Dixit algorizmi / Algoritmide numero Indorum

algoritmi!

no, Al-Hvarizmı je jos poznatiji po tome sto s njime zapocinjerazvoj prave algebre . . .

Arapska algebra

Al-Kitab al-muhtas.ar fi hisab al-gabr wa-l-muqabala

napisana da bi se stanovnistvo znalo nositi sa svakodnevnimmatematickim problemima

prvi dio je apstraktniji, drugi prakticniji

bavi se rjesavanjem linearnih i kvadratnih jednadzbi, teprakticnim zadacima iz mjeriteljstva i nasljedivanja

jednadzbe su opisane rijecima

sest tipova jednadzbi: ax2 = bx , ax2 = c , bx = c,ax2 + bx = c, ax2 + c = bx , ax2 = bx + c – zasto ne dva?

al-gabr: nadopunjavanje; al-muqabala: izjednacavanje(operacije kojima se sve linearne i kvadratne jednadzbe svodena jedan od tih tipova)

Arapska algebra

Al-Kitab al-muhtas.ar fi hisab al-gabr wa-l-muqabala

napisana da bi se stanovnistvo znalo nositi sa svakodnevnimmatematickim problemima

prvi dio je apstraktniji, drugi prakticniji

bavi se rjesavanjem linearnih i kvadratnih jednadzbi, teprakticnim zadacima iz mjeriteljstva i nasljedivanja

jednadzbe su opisane rijecima

sest tipova jednadzbi: ax2 = bx , ax2 = c , bx = c,ax2 + bx = c, ax2 + c = bx , ax2 = bx + c – zasto ne dva?

al-gabr: nadopunjavanje; al-muqabala: izjednacavanje(operacije kojima se sve linearne i kvadratne jednadzbe svodena jedan od tih tipova)

al-gabr & al-muqabala

2x2 − 5x + 8 = 4

al-gabr: +5x (uklanjanje negativnih clanova)

2x2 + 8 = 5x + 4

al-muqabala (grupiranje clanova s istom potencijom):

2x2 + 4 = 5x

x2 + 10x = 39 (x2 + bx = c)

”Kvadrat i deset korijena cine 39 jedinica.”

1 uzmi pola broja korijena: 5

2 kvadriraj to: 25

3 pribroji to broju jedinica: 39 + 25 = 64

4 korjenuj: 8

5 od toga oduzmi pola broja korijena: 8− 5 = 3. To je rjesenje.

6 postupak opravdava geometrijski:

x2 5x

5x 52

x2 + 21 = 10x (x2 + c = bx)

x2 21x

=

x 5x 5x

5 5

5

25− 21 = 222

x

”Prepolovi broj korijena. To je 5.

Pomnozi to sa sobom i umnozak je25. Od tog oduzmi 21 koji je dodankvadratu i ostatak je 4. Uzmi njegovkvadratni korijen, 2, i oduzmi ga odpola broja korijena, od 5. Ostaje 3.To je korijen kojeg trazis, ciji kvadratje 9. Alternativno, mozes dodatikvadratni korijen polovici brojakorijena i zbroj je 7. To je ondakorijen kojeg trazis i kvadrat je 9.”

”Kad naides na zadatak koji vodi na ovaj slucaj, pokusaj ga rijesiti zbrajanjem, a ako

to ne uspije, uspjet ce s oduzimanjem. U ovom slucaju funkcionira i zbrajanje ioduzimanje, za razliku od ostala tri slucaja u kojima se treba prepoloviti broj korijena.Znaj i da u zadatku koji vodi na ovaj slucaj pomnozis pola broja korijena sa sobom,ako je umnozak manji od broja dirhama pribrojenih kvadratu, slucaj je nemoguc. Akoje pak jednak broju dirhama, onda je korijen jednak polovici broja korijena.”

x2 + 21 = 10x (x2 + c = bx)

x2 21x

=

x 5x 5x

5 5

5

25− 21 = 222

x

”Prepolovi broj korijena. To je 5.

Pomnozi to sa sobom i umnozak je25. Od tog oduzmi 21 koji je dodankvadratu i ostatak je 4. Uzmi njegovkvadratni korijen, 2, i oduzmi ga odpola broja korijena, od 5. Ostaje 3.To je korijen kojeg trazis, ciji kvadratje 9. Alternativno, mozes dodatikvadratni korijen polovici brojakorijena i zbroj je 7. To je ondakorijen kojeg trazis i kvadrat je 9.”

”Kad naides na zadatak koji vodi na ovaj slucaj, pokusaj ga rijesiti zbrajanjem, a ako

to ne uspije, uspjet ce s oduzimanjem. U ovom slucaju funkcionira i zbrajanje ioduzimanje, za razliku od ostala tri slucaja u kojima se treba prepoloviti broj korijena.Znaj i da u zadatku koji vodi na ovaj slucaj pomnozis pola broja korijena sa sobom,ako je umnozak manji od broja dirhama pribrojenih kvadratu, slucaj je nemoguc. Akoje pak jednak broju dirhama, onda je korijen jednak polovici broja korijena.”

Al-Mahanı, 9. st.

Perzijski matematicar i astronom. Znacajan je po ideji svodenjageometrijskih problema na algebarske.Pokusavao je rijesiti Arhimedov problem dijeljenja kugle uzadanom volumnom omjeru (presijecanjem ravninom). To ga jedovelo do kubne jednadzbe oblika

x3 + c2b = cx2

koja se u muslimanskom svijetu naziva al-Mahanijevomjednadzbom.

Abu Kamil, 9./10. st.

Vjerojatno iz Egipta, nastavljac Al-Hwarizmıjevog djela, nazivaAl-Hwarizmıja

”utemeljiteljem algebre”.

Njegovo djelo o algebri prevedeno je na latinski u 12. st. i koristioga je Fibonacci te je tako utjecalo na uvodenje algebre u Europu.Prvi je arapski matematicar kji je znao rjesavati neke diofantskejednadzbe, a pokazao je i razumijevanje identiteta xmxn = xm+n

(izrazenog rijecima).Kod njega se pojavljuje i

”zadatak 100 ptica”.

Napisao je i djelo o mjeriteljstvu s raznim pravilima za odredivanjeopsega, povrsine i volumena, ali bez dokaza. Omjer opsega ipromjera kruga procjenjuje s 22/7.

Al-Karagi, 10./11. st.

Perzijski matematicar i inzinjer. Smatra ga se prvom osobom kojaje potpuno oslobodila algebru od geometrije. Kod njega jesvodenje na potpun kvadrat cisto racunski postupak koji nijepotrebno geometrijski ilustrirati.I kod njega jos nedostaje ikakva simbolika, ali je ocito da razumijepravilo xmxn = xm+n, cak i za neke negativne eksponente (ali ne i0). Promatrao je i zbrojve monoma (dakle polinome) i racunskeoperacije s njima.Smatra ga se i prethodnikom matematicke indukcije.

”induktivni dokaz” relacije∑

i3 =(∑

i)2

Prvo dokazuje(1 + 2 + 3 + . . .+ 9)2 + 103 = (1 + 2 + 3 + . . .+ 10)2, onda(1 + 2 + 3 + . . .+ 8)2 + 93 = (1 + 2 + 3 + . . .+ 9)2 itd. Slijedi

(1 + 2 + . . .+ 10)2 = (1 + 2 + 3 + . . .+ 8)2 + 93 + 103 =

= (1 + 2 + 3 + . . .+ 7)2 + 83 + 93 + 103 = . . . =

= 13 + 23 + 33 + . . .+ 103.

Omar Khayyam (Umar al-Hayyam), ?1048.–?1131.

Perzijski matematicar, astronom, filozof i pjesnik, djelovao je dobaseldzuckih osvajanja.

Knjiga, zena i boca vina:To troje cine moj raj; mozda je tvojneko kiselo mjesto, hladno i golo —

no ja nisam nikad rekao da je tvoj raj moj.

Glavno djelo mu je Risalah fil-barahin ’ala masa’il ala-Jabrwa’l-Muqabalah, poznato kratko kao Algebra. U njemu je prosirioAl-Hwarizmıjevu klasifikaciju i na kubne jednadzbe. Tako je dobioukupno 19 tipova jednadzbi, od kojih su 5 bez konstantnog clanapa se svode na kvadratne, a ostale su:

Khayyamove kubne jednadzbe

1 x3 = c ;2 x3 + bx = c ;3 x3 + c = bx ;4 x3 = bx + c ;5 x3 + ax2 = c ;6 x3 + c = ax2;7 x3 = ax2 + c ;8 x3 + ax2 + bx = c ;9 x3 + ax2 + c = bx ;

10 x3 + bx + c = ax2;11 x3 = ax2 + bx + c ;12 x3 + ax2 = bx + c ;13 x3 + bx = ax2 + c ;14 x3 + c = ax2 + cx .

Prvi tip je poznat od davnina, a ostale kubne jednadzbe rjesavapresjecima krivulja 2. reda. Cak je tvrdio da se rjesenja ne mogudobiti ravnalom i sestarom (sto je dokazano tek 750 godinakasnije). Prvi je primijetio i da postoje kubne jednadzbe s vise odjednog rjesenja, ali je uspio naci samo jedan primjer s dva rjesenja.

Primjer Khayyamovog rjesavanja kubne jednadzbe

x3 + bx = c

b > 0⇒ b = B2, c > 0⇒ c : b = C (c = B2C )

x3 + B2x = B2c

Uzmimo kruznicu promjera C i parabolu s tjemenom S na toj kruznici,takvom da joj je os tangenta na kruznicu i da je razmak fokusa iravnalice B/2.

X

S S ′Q

P

B

C

x

Primjer Khayyamovog rjesavanja kubne jednadzbe

x3 + bx = c

b > 0⇒ b = B2, c > 0⇒ c : b = C (c = B2C )

x3 + B2x = B2c

Uzmimo kruznicu promjera C i parabolu s tjemenom S na toj kruznici,takvom da joj je os tangenta na kruznicu i da je razmak fokusa iravnalice B/2.

X

S S ′Q

P

B

C

x

Neka je X sjeciste kruznice i parabole, Q projekcija X na promjerkruznice SS ′ te P tocka na osi parabole sa svojstvom |SP| = B.Buduci da je X na paraboli: |SQ|2 = |SP| · |XQ|, tj. x

|XQ| = Bx .

No, X je i na kruznici pa je 4SS ′X pravokutan pa je4SQX ∼ 4XQS ′. Slijedi x

|XQ| = |XQ|C−x . Stoga je

B

x=

x2/B

C − x,

x = |SQ| je rjesenje!

X

S S ′Q

P

B

C

x

Geometrija u Arapa

al-Battani (Albategnius, 9./10. st.) je bio jedan od najvecihbliskoistocnih astronoma u povijesti. Glavno astronomsko djelo,Kitab al-zij, je u 11. st. prevedeno na latinski i bitno je utjecao narenesansne europske astronome. Trajanje solarne godine izracunaoje na ca. 2 min tocno, dao katalog 489 zvijezda, . . .Posebno je zasluzan za razvoj trigonometrije. Izradio je tablicusinusa (polutetiva), a pokazao je i da u pravokutnom trokutu vrijedi

b sinα = a sin(90◦ − α).

Koristio je i jos pet drugih trigonometrijskih velicina, koje bi danasbile kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans.

Abu l-Wafa, 10. st.

Perzijski matematicar i astronom.Knjiga o geometrijskim konstrukcijama potrebnim obrtniku:konstrukcije pravilnih mnogokuta (do n = 10), parabola, pribliznatrisekcija kuta, upisivanje i opisivanje pravilnih mnogokutakruznicama, konstrukcije s fiksiranim sestarom . . .Novom metodom je izradio trigonometrijske tablice s tocnoscu odotprilike osam decimala. Poznat je i njegov izracun udaljenostiBagdada do Meke.Djelo o aritmetici za trgovce je jedino arapsko djelo tog doba ukom se pojavljuju negativni brojevi. Ne koristi indijske brojke, vecbrojeve opisuje rijecima.

Al-Quhı, 10. st.

Glavna figura ozivljavanja starogrckog stila geometrije.Najpoznatije je njegovo odredivanje segmenta kugle koji imajednak volumen kao jedan zadani segment kugle, a isto oplosje kaodrugi. Rjesenje je dobio presjekom istostane hiperbole i parabole.Konstruirao je i pravilni peterokut upisan u kvadrat (jedno rjesenjetog problema, koje odgovara rjesavanju kvadratne jednadzbe, jeranije dobio Abu Kamil, a Al-Quhi je dobio i drugo rjesenje kojeodgovara rjesavanju jednadzbe 4. stupnja).

Al-Hayt.am (Alhazen), oko 965.–1040.

Dao je bitne doprinose matematici, optici, astronomiji, anatomiji,medicini, oftalmologiji, fizici i inzenjerstvu opcenito, filozofiji ipsihologiji idr. U srednjevjekovnoj Europi bio je poznati i kaoPtolomaeus Secundus, a danas se smatra ocem moderne optike.Proveo je mnoge opticke eksperimente i prvi pokazao da vid u okunastaje uslijed loma zraka svijetla, da je Mjesecevo svjetloposljedica refleksije i dr.

Alhazenov problem geometrijse optike

Za dvije tocke A i B u ravnini i zrcalnu kruznicu traze se tocke Tna kruznici, takve da se u njima zraka svjetla iz A lomi tocnoprema B.

Rijesio je taj problem koristeci Apolonijevu teoriju konika, no to jerjesenje vrlo komplicirano. U 17. st. je Christiaan Huygens nasaolakse rjesenje.

Generalizirao je i prvi tip Hipokratovih mjeseca:

Kao i Khayyam, pokusao je dokazati Euklidov 5. postulatsvodenjem na kontradikciju.Bavio se savrsenim brojevima i navodno da je prije Eulera on bioprvi koji je dokazao teorem o parnim savrsenim brojevima.Objasnio je i koristio Wilsonov teorem (p > 1 je prost ako i samoako je 1 + (p − 1)! djeljivo s p) kojeg je otkrio Bhaskara I u 7. st.,a ime je dobio po engleskom matematicaru Johnu Wilsonu koji gaje iskazao u 18. st. Prvi poznati dokaz tog teorema dao jeJoseph-Louis Lagrange 1773.

Teorija brojeva u Arapa

T¯

abit ibn Qurra (836.–901.) je djelovao u Kuci mudrosti i osimmatematikom se bavio i medicinom, filozofijom i astronomijom.Dao je novi dokaz Pitagorinog teorema, opisao je magicnekvadrate, a najpoznatiji je po svojim rezultatima iz teorije brojeva.Iz fascinacije savrsenim brojevima proizasao je i njegovi interes zaprijateljske brojeve,

te je dokazao

Teorem

T¯

abitov teorem o prijateljskim brojevima Ako su za neki prirodanbroj n > 1 brojevi p = 3 · 2n−1 − 1, q = 3 · 2n − 1 ir = 9 · 22n−1 − 1 prosti, onda su brojevi 2npq i 2nr prijateljski.

Teorija brojeva u Arapa

T¯

abit ibn Qurra (836.–901.) je djelovao u Kuci mudrosti i osimmatematikom se bavio i medicinom, filozofijom i astronomijom.Dao je novi dokaz Pitagorinog teorema, opisao je magicnekvadrate, a najpoznatiji je po svojim rezultatima iz teorije brojeva.Iz fascinacije savrsenim brojevima proizasao je i njegovi interes zaprijateljske brojeve, te je dokazao

Teorem

T¯

abitov teorem o prijateljskim brojevima Ako su za neki prirodanbroj n > 1 brojevi p = 3 · 2n−1 − 1, q = 3 · 2n − 1 ir = 9 · 22n−1 − 1 prosti, onda su brojevi 2npq i 2nr prijateljski.

Za n = 2 se dobije par 220 i 284, a za n = 4 je navodno T¯

abitdobio par 17296 i 18416, kojeg je u 17. st. iznova otkrio Fermat.Osim ta dva para do danas je poznat samo jos jedan koji se dobijeza n = 7. Brojevi oblika 3 · 2n − 1 = (1011 . . . 1)2 danas se zovuTabitovim brojevima.Ibn Sına (Aviccena), oko 980.–1037.: Bio je jedna odnajznamenitijih licnosti svoga doba; lijecnik, prirodoznanstvenik ifilozof; Knjiga lijecenja (Al-Qanun) — vrsta enciklopedije, jedan odcija cetiri dijela je posvecen matematici (dijeli ju na geometriju,astronomiju, aritmetiku i glazbu).Tu se mogu naci zadaci poput: Ako pri dijeljenju broja s 9dobijemo ostatak 1 ili 8, treba pokazati da je ostatak pri dijeljenjukvadrata tog broja s 9 jednak 1.

Dva matematicara mongolskog razdoblja

Nasir ad-Din at.-Tusi, 13. st., je zivio u u sjevernom Iranu u dobamongolskih osvajanja. Nakon sto je Hulegu-Han osvojio tvrdavuAlamut (u kojoj se dotad al-Tusi nalazio), al-Tusi ostaje u njegovojsluzbi kao znanstveni savjetnik. U toj je osnovao opservatorij uAzerbejdzanu (Maragha), a sudjelovao je i u osvajanju Bagdada.Napisao je vazna djela o logici, etici, filozofiji, matematici iastronomiji, a napisao je i mnoge komentare grckih tekstova. Ukomentaru Ptolemejeva Almagesta (1247.) uveo je raznetrigonometrijske tehnike za izracunavanje tablica sinusa.Najvazniji doprinos mu je odvajanje trigonometrije kaomatematicke discipline. U svom Traktatu o cetverokutu je dao prvipotpun prikaz ravninske i sferne trigonometrije (1260.).Kao i neki drugi arapski matematicari prije njega, koristio je metodeza priblizno racunanje 2. i 3. korijena slicne indijskim i kineskim.

Al-Kasi, oko 1380.–1429.

Posljednji znacajni matematicar arapskog srednjevjekovnog svijeta.Nakon siromasne mladosti dospio je u Samarkand, gdje je postojaoznanstveni centar i opservatorij kojeg je osnovao Timurov unukUlug Begu (1394.–1449.). Doba Ulug Bega je poznato kaoznanstveni vrhunac doba mongolskih vladara. Tu je al-Kasi postaopredstojnik opservatorija i glavni tamosnji astronom i matematicar.Glavno djelo mu je Kljuc aritmetike, koje sadrzi binomnu formulu,racunanje n-tih korijena, numericko rjesavanje jednadzbiiterativnim postupcima, konstrukcije kupola, . . . .U jednoj raspravi posvecenoj Ulug-Begu bavi se indijskimbrojevnim sustavom i racunanjem (cak i s iracionalnostima), a tu jei kasnija Newtonova metoda i teorija decimalnih razlomaka iracuna s njima (u zapadnu Europu ce ih uvesti tek Simon Stevin135 godina kasnije).

Osmislio je originalni iterativni postupak za izracunavanjetrigonometrijskih tablica: sin3◦ moze se dobiti elementarno,odnosno proizvoljno tocno (npr. ravnalom i sestarom kao razlika36◦ na pravilnom peterokutu i 30◦ na pravilnom sesterokutu);zatim postavlja kubnu jednadzbu (to je kasnije Vieti pripisanaformula) za sin 1◦:

sin 3α = 3 sinα− 4 sin3 α

x = sin 1◦, p = 3/4, q = (sin 3◦)/4⇒ x3 + q = px ⇒ x =q + x3

p

x ≈ 0⇒ x1 ≈q

p; xn+1 =

q + x3n

p

Dobio je sin 1◦ koju iterativnim postupkom rjesava na 9seksagezimalnih, tj. 18 decimalnih mjesta tocno!Dvije zanimljivosti: u Francuskoj se poucak o kosinusima nazivaal-Kasijevim teoremom; 2π je izracunao na 16 decimala(n = 3 · 228; tek 200 godina kasnije ce van Ceulen dobiti boljutocnost).