Física I Energia Potencial e Conservação da Energia...Book_SEARS_Vol1.indb 225 02/09/15 6:31 PM Capítulo 7 – Energia potencial e conservação da energia 225 A Equação 7.1

Física I

Energia Potencial e

Conservação da Energia

Profs.:CamillaCodeçoeMarcelloBarbosa

Coordenação:MalenaHor-Meylle

TherezaPaiva

O salto com vara –

energias cinética, potencial

gravitacional e elástica

Objetivos da aula •  Oteoremadaenergiacinética-revisão

•  Trabalhoeenergiapotencialgravitacional•  Trabalhoeenergiapotencialelástica•  Conservaçãodaenergiatotal

•  TonyHawknohalf-pipe!!!

EnergiaQuímica

Energiaarmazenadanasdistânciaseligaçõesatômicasemoleculares

EnergiaElástica

Energiaarmazenadaemobjetosforçasdedeformação

EnergiaNuclear

Energiaarmazenadanonúcleoatômicoaenergiaquemantémonúcleocoeso

EnergiaGravitacional

Energiaarmazenadanocampogravitacional

EnergiaPotencial

Energiaarmazenadanaposição

Revisão - o teorema da energia cinética

𝑊=∆𝐾=𝐾− 𝐾↓0 

Teorema: otrabalhorealizadoporumaforçaFparadeslocarumcorpode massamporumadistânciadéigualàvariaçãodaenergiacinética

𝑣↑2 − 𝑣↓0↑2 =2𝑎∆𝑦Torricelli

Newton 𝐹=𝑚 𝑎

𝐾= 1/2 𝑚𝑣↑2 EnergiaCinética

𝑊=𝐹𝑑 Trabalho

Pergunta: deondeaforçaretira“recursos”pararealizarestetrabalho? DaENERGIAPOTENCIAL!!!

Energia Potencial – gravitacional e elástica Semopenhasco/mãoaenergiapotencial(armazenada)éconvertidaemcinética(movimento)!

Trabalho realizado por uma força - teoria 𝑊=∫𝑟 ↓𝑖 ↑𝑟 ↓𝑓 ▒𝑭 (𝒓  )∙𝑑𝒓  

Apenasacomponentedaforçaaolongododeslocamento!!!!

𝑊=∫𝑦 ↓𝑖 ↑𝑦 ↓𝑓 ▒𝑭 (𝒚  )∙𝑑𝒚  

Trabalho realizado pela força gravitacional

𝒅𝒚 

𝑦

ℎ= 𝑦↓𝑖 − 𝑦↓𝑓 

𝑭 

Trabalho realizado pela força gravitacional

𝑦 

𝑦

𝑊= 𝑭 ∙ 𝒉 =𝑚𝑔ℎ=𝑚𝑔(𝑦↓𝑖 − 𝑦↓𝑓 )𝒉 = 𝑦 ↓𝑓 − 𝑦 ↓𝑖 

𝑦↓𝑖 

𝑦↓𝑓 OBS: otrabalhorealizadopelaforça

gravitacionalaquiéPOSITIVO:aforçaé||aodeslocamento!

Trabalhorealizado 𝑭 

Energia potencial gravitacional

Capítulo 7 – Energia potencial e conservação da energia 225

A Equação 7.1 mostra que podemos expressar Wgrav em termos dos valores das quantidades mgy no início e no final do deslocamento. Essa grandeza, o produto do peso mg pela altura y acima da origem do sistema de coordenadas, denomina-se energia potencial gravitacional, Ugrav:

Ugrav = mgy (7.2)

Energia potencial gravitacional associada a uma partícula

Coordenada vertical da partícula (y aumenta se a partícula se mover para cima)

Aceleração devida à gravidadeMassa da partícula

Seu valor inicial é Ugrav,1 ! mgy1 e seu valor final é Ugrav,2 ! mgy2. A variação de Ugrav é seu valor final menos o inicial, ou "Ugrav ! Ugrav,2 – Ugrav,1. Usando a Equação 7.2, podemos reescrever a Equação 7.1 para o trabalho realizado pela força gravitacional durante o deslocamento de y1 a y2 do seguinte modo:

Wgrav ! Ugrav,1 – Ugrav,2 ! –(Ugrav,2 – Ugrav,1) ! –"Ugrav

ou

Wgrav = mgy1 - mgy2 = Ugrav,1 - Ugrav,2 = -"Ugrav (7.3)

Trabalho realizado pela força gravitacional sobre uma partícula..

Massa da partícula Aceleração devida

à gravidadeCoordenadas verticais inicial e final da partícula

... é igual ao negativo da variação de energia potencial gravitacional.

O sinal negativo antes de "Ugrav é fundamental. Quando um corpo se move de baixo para cima, y aumenta, o trabalho realizado pela força gravitacional é nega-tivo e a energia potencial gravitacional aumenta ("Ugrav # 0). Quando um corpo se move de cima para baixo, y diminui, o trabalho realizado pela força gravitacional é positivo e a energia potencial gravitacional diminui ("Ugrav $ 0). É como sacar dinheiro do banco (diminuindo Ugrav) e gastá-lo (realizando trabalho positivo). A unidade de energia potencial é o joule (J), a mesma usada para trabalho.

ATENÇÃO A qual corpo a energia potencial gravitacional “pertence”? Não é cor-reto chamar Ugrav ! mgy de “energia potencial gravitacional do corpo”. A energia po-tencial gravitacional é uma propriedade do conjunto corpo e Terra. A energia potencial gravitacional cresce quando a Terra permanece fixa e a altura do corpo aumenta; ela também cresceria se o corpo permanecesse fixo no espaço e a Terra se afastasse do corpo. Note que a fórmula Ugrav ! mgy envolve uma característica do corpo (sua massa m) e outra característica que depende da Terra (o valor de g).

Conservação da energia mecânica (somente forças gravitacionais)

Para verificar a utilidade do conceito de energia potencial gravitacional, supo-nha que o peso seja a única força atuando sobre o corpo, de modo que outra ! 0. O corpo então cai livremente sem resistência do ar e pode se mover para cima ou para baixo. Seja v1 sua velocidade a uma altura y1 e v2 sua velocidade a uma altura y2. O teorema do trabalho-energia, Equação 6.6, afirma que o trabalho total realizado sobre o corpo é igual à variação da energia cinética do corpo: Wtot ! "K ! K2 – K1. Como a gravidade é a única força atuando sobre o corpo, então, pela Equação 7.3, Wtot ! Wgrav ! –"Ugrav ! Ugrav,1 – Ugrav,2. Juntando tudo isso, obtemos

∆K ! –∆Ugrav ou K2 – K1 ! Ugrav,1 – Ugrav,2

BIO Aplicação Convertendo energia potencial gravitacional em energia cinética Quando um guarda--rios (Alcedo atthis) localiza um peixe saboroso, ele mergulha a partir do seu galho com suas asas dobradas para dentro, para minimizar a resistência do ar. Efetivamente, a única força atuando sobre o guarda-rios mergulhador é a força da gravidade, de modo que a energia mecânica é conservada: a energia potencial gravitacional perdida à medida que o guarda-rios desce é convertida na energia cinética do pássaro.

Book_SEARS_Vol1.indb 225 02/09/15 6:31 PM



Ugrav = mgy (7.2)






ou













𝑊=𝑚𝑔ℎ=𝑚𝑔(𝑦↓𝑖 − 𝑦↓𝑓 )= 𝑈↓𝑔,𝑖 − 𝑈↓𝑔,𝑓 Destaformavemosque

Ouainda 𝑊=−∆𝑈↓𝑔  ∆𝑈↓𝑔 = 𝑈↓𝑔,𝑓 − 𝑈↓𝑔,𝑖 onde

224 Física I

trabalho para erguer uma pesada pedra acima de sua cabeça. Parece razoável que, elevando a pedra no ar, você esteja armazenando energia no sistema, que será mais tarde convertida em energia cinética quando a pedra cair.

Esse exemplo aponta para a ideia de que deve existir uma energia associada com a posição dos corpos em um sistema. Esse tipo de energia fornece o poten-cial ou a possibilidade da realização de um trabalho; quando uma pedra é elevada no ar, existe um potencial para um trabalho sobre ela ser realizado pela força da gravidade; porém, isso só ocorre quando a pedra é liberada. Por esse motivo, a energia associada com a posição denomina-se energia potencial. Nossa dis-cussão sugere que existe uma energia potencial associada com o peso do corpo e com sua altura acima do solo, chamada de energia potencial gravitacional (Figura 7.1).

Agora, temos duas maneiras de descrever o que ocorre quando um corpo cai sem resistência do ar. Uma delas, que aprendemos no Capítulo 6, é que a energia cinética de um corpo em queda aumenta porque a força gravitacional da Terra so-bre o corpo (o seu peso) realiza trabalho sobre ele. A outra maneira é afirmar que a energia cinética aumenta à medida que a energia potencial gravitacional diminui. Mais adiante nesta seção, vamos usar o teorema do trabalho-energia para mostrar que essas duas descrições de um corpo em queda são equivalentes.

Vamos começar deduzindo uma expressão para a energia potencial gravitacio-nal. Consideremos um corpo de massa m que se move ao longo do eixo y (vertical), como mostra a Figura 7.2. As forças que atuam sobre ele são seu peso, com mó-dulo p ! mg, e possivelmente algumas outras forças; designamos a soma vetorial (a resultante) dessas outras forças por outra. Vamos supor que o corpo esteja tão suficientemente próximo da superfície da Terra que consideramos seu peso cons-tante. (Verificaremos no Capítulo 12 — Volume 2 — que o peso diminui com a altura.) Desejamos achar o trabalho realizado pelo peso quando o corpo cai de uma altura y1 acima da origem até uma altura menor y2 (Figura 7.2a). O peso e o deslocamento possuem o mesmo sentido, de modo que o trabalho Wgrav realizado sobre o corpo por seu peso é positivo:

Wgrav ! Fd ! p(y1 – y2) ! mgy1 – mgy2 (7.1)

Essa expressão também fornece o trabalho correto quando o corpo se move de baixo para cima e y2 é maior que y1 (Figura 7.2b). Nesse caso, a quantidade (y1 – y2) é negativa e Wgrav é negativo porque o deslocamento possui sentido contrário ao do peso.

Figura 7.1 Quanto maior a altura de uma bola de basquete, maior é a energia potencial gravitacional associada. Quando a bola cai, a energia potencial gravitacional é convertida em energia cinética e o módulo da sua velocidade aumenta.

Figura 7.2 Durante o movimento vertical de um corpo desde uma altura inicial y1 até uma altura final y2, um trabalho é realizado pela força gravitacional e a energia potencial gravitacional sofre variação.

dS d

S

y1

(a) Um corpo se move de cima para baixo

y2 - y1

y2

O

y2

y2 - y1

y1

SFoutra

SFoutra

SSp = mg

SSp = mg

(b) Um corpo se move de baixo para cima

O

Deslocamento dS é de

cima para baixo e y diminui (y1 7 y2), de modo que p

S

realiza trabalho positivo e a energia potencial gravitacional diminui: ∆Ugrav 6 0.

Deslocamento dS é de

baixo para cima e y aumenta (y1 6 y2), de modo que p

S realiza

trabalho negativo e a energia potencial gravitacional aumenta: ∆Ugrav > 0.


Sinal da variação da energia potencial gravitacional

∆𝑈<0∆𝑈>0

𝑊=∫𝑥 ↓𝑖 ↑𝑥 ↓𝑓 ▒𝑭 (𝒙  )∙𝒅𝒙  

Trabalho realizado pela força elástica

𝑥𝑥↓𝑖 𝑥↓𝑓 𝒅𝒙 

𝑘𝑭 =−𝒌𝒙 𝒙 

LeideHooke

Trabalho realizado pela força elástica

𝑊= 1/2 𝑘(𝑥↓𝑖↑2 − 𝑥↓𝑓↑2 )

OBS: otrabalhorealizadopelaforçaelásticaaquiéPOSITIVO,poisaforçaé||aodeslocamento!

Trabalhorealizado

𝑥𝑥↓𝑖 𝑥↓𝑓 𝑥 

𝑘 𝑭 

Energia potencial elástica

𝑊= 1/2 𝑘(𝑥↓𝑖↑2 − 𝑥↓𝑓↑2 )= 𝑈↓𝑒𝑙,𝑖 − 𝑈↓𝑒𝑙,𝑓 Destaformavemosque

Ouainda 𝑊=−∆𝑈↓𝑒𝑙  ∆𝑈↓𝑒𝑙 = 𝑈↓𝑒𝑙,𝑓 − 𝑈↓𝑒𝑙,𝑖 onde


terminar o trabalho realizado pela mola. Pela terceira lei de Newton, concluímos que este trabalho será igual e de sinal contrário ao outro. Portanto, trocando os sinais na Equação 7.8, verificamos que o trabalho Wel realizado pela mola em um deslocamento de x1 a x2 é dado por

Wel ! 12 kx12 – 12 kx2

2 (trabalho realizado pela mola) (7.9)

O subscrito “el” indica elástico. Quando x1 e x2 são positivos e x2 " x1 (Figura 7.13b), a mola realiza um trabalho negativo sobre o bloco, que se move no sen-tido #x enquanto a mola puxa o bloco no sentido –x. Ao se esticar mais, o bloco diminui de velocidade. Quando x1 e x2 são positivos e x2 $ x1 (Figura 7.13c), a mola realiza um trabalho positivo quando relaxa e o bloco aumenta de velocidade. Quando a mola pode ser tanto comprimida quanto esticada, de modo que x1, x2 ou ambos são negativos, a expressão de Wel continua válida. Na Figura 7.13d, x1 e x2 são negativos, porém x2 é menos negativo que x1; a mola comprimida realiza trabalho positivo conforme relaxa, acelerando o bloco.

Como no caso do trabalho gravitacional, podemos representar o trabalho reali-zado pela mola em termos de uma quantidade no início e no final do deslocamento. Essa quantidade é a energia potencial elástica, dada por 12 kx2:

(7.10)Energia potencial elástica armazenada em uma mola

Constante de força da mola

Alongamento da mola (x > 0 se esticada, x < 0 se comprimida)

Uel = kx212

A Figura 7.14 mostra um gráfico da Equação 7.10. A unidade de Uel é o joule (J), usada para todas as outras grandezas de energia e de trabalho; para conferir essa unidade usando a Equação 7.10, lembre-se de que as unidades de k são N/m e que 1 N % m ! 1 J. Agora, podemos usar a Equação 7.10 para reescrever a Equação 7.9 para determinar o trabalho Wel realizado pela mola:

(7.11)

Trabalho realizado pela força elástica... ... é igual ao negativo da variação na energia potencial elástica.

Constante de força da mola Alongamentos inicial e final da mola

Wel = kx12 - kx2

2 = Uel,1 - Uel,2 = -&Uel12

12

Quando alongamos mais a mola que já está alongada, como na Figura 7.13b, Wel é negativo e Uel aumenta; uma quantidade maior de energia potencial elástica é armazenada na mola. Quando a mola comprimida relaxa, como na Figura 7.13c, x diminui, Wel é positivo e Uel diminui; a mola perde energia potencial elástica. Porém, como indicado na Figura 7.14, Uel é sempre positivo, tanto para valores de x positivos quanto negativos, e as equações 7.10 e 7.11 são válidas em ambos os casos. Quanto maior for o valor da compressão ou do alongamento da mola, maior é o valor da sua energia potencial elástica.

ATENÇÃO Energia potencial gravitacional versus energia potencial elástica Uma diferença importante entre a energia potencial gravitacional Ugrav ! mgy e a energia potencial elástica Uel ! 1

2 kx2 é que não temos a liberdade de escolher arbitrariamente o valor x ! 0. Para ser coerente com a Equação 7.10, x ! 0 deve ser necessariamente o ponto para o qual a mola não está comprimida nem alongada. Para essa posição, sua energia potencial elástica é igual a zero e a força que ele exerce também é nula.

O teorema do trabalho-energia afirma que Wtot ! K2 – K1, qualquer que seja o tipo de força atuante sobre o corpo. Quando a força elástica é a única força que atua sobre o corpo, então

Figura 7.14 O gráfico de energia potencial elástica da mola ideal é

uma parábola: Uel ! 12 kx2, em que x é o alongamento ou a compressão da mola. A energia potencial elástica Uel nunca pode ser negativa.

Uel

Mola comprimida: x 6 0.

x

O Mola alongada: x 7 0.




Ugrav = mgy (7.2)






ou













234 Física I

Esse esquema é o mesmo que ocorre na bola de beisebol do Exemplo 7.2: um trabalho é realizado sobre o sistema, posteriormente convertido em energia ciné-tica. Descrevemos o processo de armazenamento de energia em um corpo defor-mável, como uma mola ou uma tira de borracha, em termos da energia potencial elástica (Figura 7.12 ). Dizemos que um corpo é elástico quando ele volta a ter a mesma forma e o mesmo tamanho que possuía antes da deformação.

Para sermos específicos, consideraremos o processo de energia em molas ideais, como as que foram discutidas na Seção 6.3. É necessário exercer uma força F ! kx para manter tal mola ideal com uma deformação x, sendo k a constante da força da mola. A mola ideal é uma aproximação útil porque muitos corpos elásticos mostram essa proporcionalidade direta entre a força e a deformação (ou deslo-camento) x, contanto que x seja suficientemente pequeno.

Vamos adotar um procedimento análogo ao utilizado para estudar a energia potencial gravitacional. Começaremos com o trabalho realizado pela força elástica (da mola) e depois usaremos o teorema do trabalho-energia. A diferença é que a energia potencial gravitacional é uma energia dividida entre o corpo e a Terra, mas a energia potencial elástica é armazenada somente na mola (ou em outro corpo elástico).

A Figura 7.13 mostra a mola ideal da Figura 6.18, que tem a extremidade esquerda fixa e a extremidade direita presa a um bloco de massa m que pode se mover ao longo do eixo x. Na Figura 7.13a, o corpo está em equilíbrio no ponto x ! 0, quando a mola não está nem esticada nem comprimida. Movemos o bloco lateralmente, comprimindo ou esticando a mola, e a seguir deixamos a mola livre. Quando o bloco se move de um valor positivo x1 a outro valor positivo x2, qual é o trabalho realizado pela força elástica (da mola) sobre o bloco?

Na Seção 6.3, verificamos que o trabalho realizado sobre a mola para mover sua extremidade desde uma posição inicial x1 até uma posição final x2 é dado por

W ! 12 kx22 – 12 kx1

2 (7.8) (trabalho realizado sobre a mola)

onde k é a constante da mola. Se continuamos a esticar a mola, realizamos um trabalho positivo sobre ela; quando a deixamos relaxar enquanto seguramos sua extremidade, realizamos um trabalho negativo sobre ela. Vemos também que a expressão anterior do trabalho continua válida quando a mola é comprimida em vez de esticada, de modo que x1, x2 ou ambos são negativos. Agora devemos de-

Figura 7.12 O tendão de Aquiles, que une a parte de trás do tornozelo ao osso do calcanhar, funciona como uma mola natural. Quando se estica e depois relaxa, armazena e libera energia potencial elástica. A ação dessa mola reduz o trabalho realizado pelos músculos da panturrilha quando você corre.

Tendão de Aquiles

Panturrilha

Osso do calcanhar

Figura 7.13 Cálculo do trabalho realizado por uma mola amarrada a um bloco sobre uma superfície horizontal. A grandeza x é o alongamento ou a compressão da mola.

dS

FmolaS

Neste caso, a mola não está nem alongada, nem comprimida.

Quando a mola se estica, ela realiza trabalho negativo sobre o bloco.

(a)

(b)

x = 0

xO

m

xO

x1

x2

m

dS

dS

FmolaS

FmolaS

Quando a mola relaxa, ela realiza trabalho positivo sobre o bloco.

Uma mola comprimida também realiza trabalho positivo sobre o bloco enquanto relaxa.

(c)

(d)

x1

xO

x2

m

x1

xO

x2

m


Sinal da variação da energia potencial elástica

∆𝑈<0

∆𝑈>0

∆𝑈=0

Conservação da Energia Total – K + U

𝑊=∆𝐾= 𝐾↓𝑓 − 𝐾↓𝑖 Trabalhoeaenergiacinética

Trabalhoeaenergiapotencial𝑊=−∆𝑈=−(𝑈↓𝑓 − 𝑈↓𝑖 )

Subtraindoasduasequações𝐾↓𝑖 + 𝑈↓𝑖 = 𝐾↓𝑓 + 𝑈↓𝑓 

Energiatotalconservada𝐸=𝐾+𝑈

EnergiaTotal

O famoso 𝑣=√�2𝑔ℎ 

18

Volteaoslide“Objetivosdaaula”eavaliesevocêcompreendeuosconceitos.Porexemplo,pensesevocêécapazdefalarsobreelesouexplicá-losparaumaoutrapessoa.

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