Ecuación de la recta punto - pendiente

Sabemos que una ecuación lineal se expresa de la forma: y = mx + n

Una ecuación lineal se representa mediante una recta que pasa por el

punto (0 , n) y tiene pendiente m .

La pendiente de una recta es la variación que se produce en la y cuando la variable x aumenta una unidad. En una ecuación lineal, la pendiente es el

coeficiente m .

Podemos calcular la pendiente de una recta si conocemos las coordenadas de dos de sus puntos, P(x0 , y0) , Q(x1 , y1) , mediante la siguiente fórmula:

donde y1 - y0 es la variación de la y , x1 - x0 es la variación de la x .

Si de una recta (función lineal) se conocen uno de sus puntos (x0 , y0) y su pendiente, m, podemos escribir la forma punto-pendiente de la ecuación

de la recta así:

Ejemplos de forma punto-pendiente de la ecuación de una recta

a) La ordenada en el origen es 5 , y la pendiente 1/3. Hallar la ecuación de la recta.

y = 1/3x + 5

b) La ecuación de una recta es y = 3/2x . Hallar su pendiente y su ordenada en el origen.

Pendiente: 3/2 Ordenada en el origen: 0

c) Una recta tiene una pendiente de -2/3 y pasa por (1 , 3). Hallar su forma

punto-pendiente.

y = -2/3(x - 1) + 3

Interpolación lineal

La interpolación es un procedimiento que nos permite saber, aproximadamente, los valores intermiedios que toma una función desconocida cuando nos dan datos conocidos.

Dados dos puntos P(x0 , y0) , Q(x1 , y1) de una función f de la que no conocemos su expresión algebraica, podemos calcular aproximadamente el valor que toma la función en un punto x ∈ [x0 , x1] mediante la expresión:

Este tipo de interpolación se llama interpolación lineal.

Ejemplo de interpolación lineal

Determinar la función lineal de interpolación que pasa por los puntos

(-1 , 0) , (4 , 2) .

Interpola el valor a = 1 y extrapola el valor b = 5.

Tenemos los puntos:

P(x0 , y0) = (-1 , 0)

Q(x1 , y1) = (4 , 2)

Obtenemos la función de interpolación lineal:

Interpolando a = 1 obtenemos: f(1) = 2/5 + 2/5 = 4/5

Extrapolando b = 5 obtenemos: f(5) = 2 + 2/5 = 12/5

Interpolación cuadrática

Dados tres puntos (x0 , y0) , (x1 , y1) , (x2 , y2) no alineados de una función de la que no conocemos su expresión algebraica, podemos calcular aproximadamente el valor que toma la función en un punto x ∈ [x0 ,

x2] mediante la expresión:

Donde los coeficientes a , b , c se calculan resolviendo el siguiente sistema

de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Este tipo de interpolación se llama interpolación cuadrática.

Extrapolación

Cuando el valor que queremos calcular está fuera del intervalo conocido, pero muy próximo a él, se llama extrapolación.

Ejemplo de interpolación y extrapolación

Determinar la función cuadrática de interpolación que pasa por los

puntos (0 , -3) , (1 , 0) , (3 , 0).

Interpola el valor a = 2 y extrapola el valor b = -1.

Tenemos los puntos:

(x0 , y0) = (0 , -3)

(x1 , y1) = (1 , 0)

(x2 , y2) = (3 , 0)

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

Luego la función de interpolación es:

y = - x2 + 4x - 3

Interpolando a = 2 obtenemos: y = - 22 + 4·2 - 3 = 1

Extrapolando b = - 1 obtenemos: y = - (-1)2 + 4·(-1) - 3 = - 8

EJERCICIOS DE DOMINIOS: