DIGITALNA SISTEMI UPRAVLJANJA,DIGITALNI SISTEMI, FUNKCIJA DISKRETNOG PRENOSA.

1

Diskretnim signalom 𝑟∗(𝑡) pobuđuje se linearni kontinualni stacionarni sistem opisan funkcijom prenosa 𝐺𝑝(𝑠).

Sl. 1. Ilustracija definisanja funkcije diskretnog prenosa

Ako je s fizičko kolo za odmeravanje, onda je 𝑟∗(𝑡) povorka impulsa male širine sa periodom ponavljanja 𝑇. U digitalnim sistemima prekidač 𝑠 je idealno kolo za odmeravanje koje na izlazu daje povorku binarnih reči (svaka reč je binarni ekvivalent odgovarajudeg odmerka), pa se takvim signalom ne može pobuđivati kontinualni sistem, nego se on prethodno uvede u D/A konvertor. D/A konvertor je kolo zadrške nultog reda sa funkcijom prenosa:

𝐺ℎ0=

1 − 𝑒−𝑠𝑇

𝑠

Ukupna funkcija prenosa kontinualnog dela sistema je:

𝐺 𝑠 =1 − 𝑒−𝑠𝑇

𝑠𝐺𝑝(𝑠)

Kontinualni izlaz sistema u s domenu je

𝐶(𝑠) = 𝐺(𝑠) 𝑅∗(𝑠) 𝑅∗(𝑠) je složen izraz zbog prisustva komplementarnih spektara, pa se stoga 𝑐(𝑡) ne nalazi inverznom Laplasovom transformacijom gornjeg izraza. Fiktivno kolo za odmeravanje na izlazu (sinhronizovano sa ulaznim kolom za odmeravanje) daje

𝐶∗(𝑠) = 𝐺∗(𝑠) 𝑅∗(𝑠) Smenom

𝑠 =1

𝑇ln 𝑧

𝐶(𝑧) = 𝐺(𝑧) 𝑅(𝑧)

DIGITALNA SISTEMI UPRAVLJANJA,DIGITALNI SISTEMI, FUNKCIJA DISKRETNOG PRENOSA.

2

Na osnovu ovog izraza vrlo je jednostavno (pomodu 𝑧−1) izračunati izlaz sistema u trenucima odmeravanja.

𝑐∗(𝑡) = 𝑍−1[𝐶(𝑧)]

Algebra funkcija diskretnog prenosa

Ako je

𝐶(𝑠) = 𝐺(𝑠) 𝑅∗(𝑠) onda je

𝐶∗(𝑠) = 𝐺∗(𝑠) 𝑅∗(𝑠) ili

𝐶(𝑧) = 𝐺(𝑧) 𝑅(𝑧) Ovo omoguduje nalaženje funkcije prenosa složenijih sistema.

1. Odrediti funkciju diskretnog prenosa sistema sa slike.

Sl. 2. Sistem bez povratne sprege

Rešenje:

𝑀(𝑠) = 𝐺1(𝑠) 𝑅∗(𝑠)/∗

𝐶(𝑠) = 𝐺2(𝑠) 𝑀∗(𝑠)

Sada je:

𝑀∗(𝑠) = 𝐺1∗(𝑠) 𝑅∗(𝑠)

𝐶(𝑠) = 𝐺1

∗(𝑠) 𝐺2(𝑠) 𝑅∗(𝑠)/∗

DIGITALNA SISTEMI UPRAVLJANJA,DIGITALNI SISTEMI, FUNKCIJA DISKRETNOG PRENOSA.

3

Pa je: 𝐶∗(𝑠) = 𝐺1

∗(𝑠) 𝐺2∗(𝑠) 𝑅∗(𝑠)

𝐶(𝑧) = 𝐺1(𝑧)𝐺2(𝑧) 𝑅(𝑧)

𝑊 𝑧 =𝐶(𝑧)

𝑅(𝑧)= 𝐺1(𝑧)𝐺2(𝑧)

2. Odrediti funkciju diskretnog prenosa sistema sa slike.

Sl. 3. Sistem bez povratne sprege

Rešenje:

𝐶(𝑠) = 𝐺1(𝑠) 𝐺2(𝑠) 𝑅∗(𝑠)

𝐶∗(𝑠) = [𝐺1(𝑠) 𝐺2(𝑠)]∗ 𝑅∗(𝑠) = 𝐺1𝐺2∗(𝑠) 𝑅∗(𝑠)

Pa je:

𝐶(𝑧) = 𝐺1𝐺2(𝑧) 𝑅(𝑧)

𝑊 𝑧 =𝐶(𝑧)

𝑅(𝑧)= 𝐺1𝐺2(𝑧)

Očigledno je

𝐺1(𝑧)𝐺2(𝑧) 𝐺1𝐺2(𝑧) tj.

𝑧[𝐺1(𝑠)] 𝑧[𝐺2(𝑠)] 𝑧[𝐺1(𝑠) 𝐺2(𝑠)]

DIGITALNA SISTEMI UPRAVLJANJA,DIGITALNI SISTEMI, FUNKCIJA DISKRETNOG PRENOSA.

4

3. Odrediti funkciju diskretnog prenosa sistema sa slike.

Sl. 4. Sistem sa povratnom spregom

Rešenje:

𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) – 𝐻(𝑠) 𝐶(𝑠)

𝐶(𝑠) = 𝐺(𝑠) 𝐸∗(𝑠)/∗

Pa je:

𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) – 𝐺(𝑠) 𝐻(𝑠) 𝐸∗(𝑠)/∗

𝐶∗(𝑠) = 𝐺∗(𝑠) 𝐸∗(𝑠) Iz čega sledi da je:

𝐸∗(𝑠) = 𝑅∗(𝑠) – 𝐺𝐻∗(𝑠) 𝐸∗(𝑠)

𝐸∗ 𝑠 1 + 𝐺𝐻∗ 𝑠 = 𝑅∗(𝑠)

𝐸∗ 𝑠 =𝑅∗(𝑠)

1 + 𝐺𝐻∗ 𝑠

Odakle je:

𝐶∗(𝑠) =𝐺∗(𝑠)

1 + 𝐺𝐻∗ 𝑠 𝑅∗(𝑠)

𝐶(𝑧) =𝐺(𝑧)

1 + 𝐺𝐻 𝑧 𝑅(𝑧)

𝑊 𝑧 =𝐶(𝑧)

𝑅(𝑧)=

𝐺(𝑧)

1 + 𝐺𝐻 𝑧

DIGITALNA SISTEMI UPRAVLJANJA,DIGITALNI SISTEMI, FUNKCIJA DISKRETNOG PRENOSA.

5

4. Odrediti funkciju diskretnog prenosa sistema sa slike.

Sl. 5. Sistem sa povratnom spregom

Rešenje:

𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) – 𝐻(𝑠) 𝐶∗(𝑠)

𝐶(𝑠) = 𝐺(𝑠) 𝐸∗(𝑠)/∗

Pa je:

𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) – 𝐺∗(𝑠) 𝐻(𝑠) 𝐸∗(𝑠)/∗

𝐶∗(𝑠) = 𝐺∗(𝑠) 𝐸∗(𝑠) Iz čega sledi da je:

𝐸∗(𝑠) = 𝑅∗(𝑠) – 𝐺∗(𝑠)𝐻∗(𝑠) 𝐸∗(𝑠)

𝐸∗ 𝑠 1 + 𝐺∗(𝑠)𝐻∗ 𝑠 = 𝑅∗(𝑠)

𝐸∗ 𝑠 =𝑅∗(𝑠)

1 + 𝐺∗(𝑠)𝐻∗ 𝑠

Odakle je:

𝐶∗(𝑠) =𝐺∗(𝑠)

1 + 𝐺∗(𝑠)𝐻∗ 𝑠 𝑅∗(𝑠)

𝐶(𝑧) =𝐺(𝑧)

1 + 𝐺(𝑧)𝐻 𝑧 𝑅(𝑧)

𝑊 𝑧 =𝐶(𝑧)

𝑅(𝑧)=

𝐺(𝑧)

1 + 𝐺(𝑧)𝐻 𝑧

DIGITALNA SISTEMI UPRAVLJANJA,DIGITALNI SISTEMI, FUNKCIJA DISKRETNOG PRENOSA.

6

5. Odrediti funkciju diskretnog prenosa sistema sa slike.

Sl. 6. Sistem bez povratne sprege

Rešenje: U nekim sistemima nije uvek mogude odrediti funkciju spregnutog prenosa, to jest odnos ulaza i izlaza. Takav je upravo primer predstavljen na slici 6.

𝑀(𝑠) = 𝐺1(𝑠) 𝑅(𝑠)/∗

𝐶(𝑠) = 𝐺2(𝑠) 𝑀∗(𝑠)

Sada je:

𝑀∗(𝑠) = 𝐺1 𝑅∗(𝑠)

𝐶(𝑠) = 𝐺2(𝑠) 𝐺1 𝑅∗(𝑠)/∗

Pa je: 𝐶∗(𝑠) = 𝐺2

∗(𝑠)𝐺1 𝑅∗(𝑠)

𝐶(𝑧) = 𝐺2(𝑧)𝐺1 𝑅(𝑧)

𝑅(𝑧) u poslednjem izrazu se ne pojavljuje eksplicitnoved zajedno sa 𝐺1(𝑠) to jest : 𝐺1 𝑅(𝑧) u z - kompleksnom liku. Zbog toga nije mogude odrediti funkciju diskretnog prenosa, to jest odnos izlaza i ulaza. Primer još jednog takvog slučaja prikazan je na slici 7:

Sl. 7. Sistem sa povratnom spregom

DIGITALNA SISTEMI UPRAVLJANJA,DIGITALNI SISTEMI, FUNKCIJA DISKRETNOG PRENOSA.

7

𝐶(𝑧) =𝐺𝑅(𝑧)

1 + 𝐺𝐻 𝑧

6. Odrediti funkciju diskretnog prenosa sistema sa slike.

Sl. 8. Sistem sa povratnom spregom

Rešenje: Uokvireni deo na slici 8 je kao sistem iz zadatka 3. Taj deo de posebno biti rešen i predstavljen posebnim blokom.

Sl. 9. Sistem sa povratnom spregom Iz zadatka 3 je:

𝐶∗(𝑠) =𝐺2

∗(𝑠)

1 + 𝐺2𝐻∗ 𝑠

𝑀∗(𝑠)

𝐶∗(𝑠)

𝑀∗(𝑠)=

𝐺2∗(𝑠)

1 + 𝐺2𝐻∗ 𝑠

= 𝐺3∗(𝑠)

Sada uokvireni deo sa slike 8 može se zameniti jedinstvenim blokom 𝐺3

∗(𝑠) kao što je prikazano na slici 10.

DIGITALNA SISTEMI UPRAVLJANJA,DIGITALNI SISTEMI, FUNKCIJA DISKRETNOG PRENOSA.

8

Sl. 10. Sistem sa jediničnom povratnom spregom

Sa slike 10 je:

𝐸1(𝑠) = 𝑅(𝑠) – 𝐶(𝑠)/∗

𝐶(𝑠) = 𝐺1(𝑠) 𝐺3∗(𝑠) 𝐸1

∗(𝑠)/∗ Pa je:

𝐸1∗(𝑠) = 𝑅∗(𝑠) – 𝐶∗(𝑠)

𝐶∗(𝑠) = 𝐺1

∗(𝑠) 𝐺3∗(𝑠) 𝐸1

∗(𝑠)

𝐸1∗(𝑠) = 𝑅∗(𝑠) – 𝐺1

∗(𝑠) 𝐺3∗(𝑠) 𝐸1

∗(𝑠)

𝐸1∗ 𝑠 (1 + 𝐺1

∗(𝑠) 𝐺3∗(𝑠)) = 𝑅∗ 𝑠

𝐸1∗ 𝑠 =

𝑅∗ 𝑠

1 + 𝐺1∗(𝑠) 𝐺3

∗(𝑠)

Dalje je:

𝐶∗ 𝑠 = 𝐺1∗ 𝑠 𝐺3

∗ 𝑠 𝑅∗ 𝑠

1 + 𝐺1∗ 𝑠 𝐺3

∗ 𝑠 =

𝐶∗ 𝑠 = 𝐺1∗ 𝑠

𝐺2∗ 𝑠

1 + 𝐺2𝐻∗ 𝑠

𝑅∗ 𝑠

1 + 𝐺1∗ 𝑠

𝐺2∗ 𝑠

1 + 𝐺2𝐻∗ 𝑠

=

𝐶∗ 𝑠 = 𝐺1

∗ 𝑠 𝐺2∗ 𝑠

1 + 𝐺2𝐻∗ 𝑠

1 + 𝐺2𝐻∗ 𝑠

1 + 𝐺2𝐻∗ 𝑠 + 𝐺1

∗ 𝑠 𝐺2∗ 𝑠

𝑅∗ 𝑠

𝐶∗ 𝑠 = 𝐺1

∗ 𝑠 𝐺2∗ 𝑠

1 + 𝐺1∗ 𝑠 𝐺2

∗ 𝑠 + 𝐺2𝐻∗ 𝑠

𝑅∗ 𝑠

𝑊 𝑧 =𝐶(𝑧)

𝑅(𝑧)=

𝐺1 𝑧 𝐺2 𝑧

1 + 𝐺1 𝑧 𝐺2 𝑧 + 𝐺2𝐻 𝑧