Upload
chan-rizky
View
373
Download
6
Embed Size (px)
Citation preview
***
Berkaitan dengan permasalahan Pengambilan Keputusan pada saat dua pihak atau lebih berada dalam kondisi persaingan atau konflik.
Pihak-pihak:
1. individu vs individu
2. perusahaan vs perusahaan
3. organisasi vs organisasi
4. negara vs negara
Persaingan yang terjadi dapat berupa persaingan yang saling menghacurkan misalnya perang harga, pesaingan secara fair memperebutkan pertumbuhan pasar atau pangsa pasar, atau persaingan dengan berkolusi membentuk kartel atau monopoli.
Beberapa contoh persaingan duopoli:
Dua orang pencuri bekerjasama melakukan suatu pencurian. Saat sedang beraksi, kedua pencuri tersebut tertangkap polisi.
Oleh polisi kedua pencuri tersebut diperiksa secara terpisah. Dengan berbagai bukti yang ada dari berbagai kejahatan yang pernah dilakukan oleh keduanya polisi melakukan penawaran sebagai berikut:
Kepada masing-masing pencuri polisi menyatakan bahwa dengan berbagai bukti yang ada, saya siap mengirimmu ke penjara selama 1 tahun.
Saya ingin mengajukan penawaran. Jika mengaku akan saya atur agar kamu dihukum 3 bulan sementara temanmu 10 tahun. Tetapi jika kalian berdua mengaku maka masing2 dihukum 5 tahun. Ditabelkan berikut:
A 5 thn
5 thn
B 10 thn
3 bln
C 3 bln
10 thn
D 1 thn
1 thn
Men
gak
u
Tid
ak
M
en
gak
u
PE
NC
UR
I 1
PENCURI 2
Mengaku Tidak
Mengaku
Kasus: Dilema Narapidana
Data empiris menunjukkan bahwa jika dilema narapidana dilakukan berulang-ulang, maka orang akan cenderung kooperatif/bekerjasama
Perkembangan strategi kooperatif dalam persaingan berlaku strategi tit-for-tat (balasan setimpal)
Strategi tit-for-tat:
-bila anda berlaku baik pada saya, maka sayapun akan baik pada anda, dan sebaliknya
-lakukanlah kepada orang lain sebagaimana anda ingin diperlakukan, namun sepanjang mereka berlaku sama
Untuk mempertinggi keuntungan, dua perusahaan yang bersaing dalam pasar melakukan kolusi sehingga harga jual produk menjadi tinggi. Hal ini tentu merugikan masyarakat dan melanggar undang2 anti monopoli perdagangan.
Matriks payoff kolusi ditunjukkan tabel berikut:
Ekuilibrium Nash (Kolusi vs tidak Kolusi)
Harga tinggi Harga normal
Harga tinggi
A $150
$100
B $200
–$20
Harga normal C –$30
$150
D* $10
$10
PT. P
PT. Q
*Ekuilibrium Nash, D adalah strategi dominan Q
Ekuilibrium Nash – terjadi jika tidak ada
pemain yang dapat memperbaiki hasilnya dengan strategi tertentu dari lawan
Disebut juga strategi non-kooperatif karena masing-masing pihak memilih strateginya tanpa bersekongkol dan memilih strategi terbaik bagi dirinya tanpa mempertimbangkan pihak manapun
*****
Klasifikasi game theory:
-berdasar jumlah pemain: two-person game, n person game
-berdasar jumlah keuntungan/kerugian: zero-sum game, constant-sum game, non-zero-sum game
-berdasar jumlah strategi yang digunakan: 2 x 2, 2 x n, atau m x n
Basis analisis: Matriks Payoff
Asumsi dasar pada teori permainan:
1. Setiap pemain bersifat rasional
2. Setiap pemain secara aktif mencoba menaikkan kemenangan masing-masing
3. Penentu strategi dalam permainan adalah baris
Satu jari Dua jari
Satu jari $1,000 $−1,000
Dua jari $−1,000 $1,000
Strategi Kolom
Str
ateg
i B
aris
Permainan Odds and Evens
K1 K2 K3
B1 4 4 10
B2 2 3 5
B3 3 4 7
Strategi Dominan
Strategi Kolom S
trat
egi
Bar
is
Strategi mana yang dipilih??, apa kriterianya?? Strategi Dominan
Strategi B3 lebih dominan dibandingkan strategi B2, strategi B1 lebih dominan dibandingkan dengan strategi B3 walaupun pada kolom K2 sama-sama mendapatkan nilai 4.
Karena strategi B1 lebih dominan dibanding dua strategi yang lain, maka pemain baris pasti akan memilih strategi B1, sehingga permainan ini dinamakan permainan dengan strategi dominan.
K1 K2 K3
B1 4 4 10
B2 2 3 1
B3 6 5 7
Strategi Kolom S
trat
egi
Bar
is
Tanpa dominan, Strategi mana yang dipilih?? dan apa kriterianya??
K1 K2 K3 Min
baris
B1 4 4 10 4
B2 2 3 1 1
B3 6 5 7 5
Maks
kolom
6 5 10
MINIMAKS
M A K S I
M I N
MAKSIMIN=MINIMAKS →Saddle Point, dan 5 adalah nilai permainan
Pada permainan Two-person zero-sum game, jika terdapat saddle point, maka untuk menyelesaikannya digunakan strategi murni.
Strategi murni artinya setiap pemain mempunyai posisi terbaik dengan memilih satu strategi atau strategi tunggal
Jika pada permainan Two-person zero-sum game tidak terdapat saddle point, maka untuk menyelesaikannya digunakan strategi campuran atau lebih dari satu strategi
K1 K2 K3 Min
baris
B1 0 −2 2 −2
B2 5 4 −3 −3
B3 2 3 −4 −4
Maks
kolom
5 4 2
MINIMAKS
M A K S I
M I N
MAKSIMIN ≠ MINIMAKS, tdk ada Saddle Point
Permainan seperti ini disebut tidak stabil karena setiap pemain (B dan K) sulit memilih strategi tertentu.
Permainan seperti ini dapat diselesaikan dengan mixed-strategy yaitu dengan menetapkan probabilitas tertentu dalam memilih strategi yang akan dijalankan
Misal:
xi : probabilitas pemain B memilih strategi i (i=1, 2, 3, …, m)
yj : probabilitas pemain K memilih strategi j (j=1, 2, 3, …, n)
m dan n adalah banyaknya strategi yang dapat dipilih pemain B dan K.
Solusi dari strategi campuran tetap dengan kriteria maksimin dan minimaks.
Pemain B: memilih xi yang memaksimumkan ekspektasi payoff terkecil suatu kolom (maksimin)
Pemain K: memilih yi yang dapat meminimumkan ekspektasi payoff terbesar suatu baris (minimaks)
K1: y1 K2: y2 Kn: yn
B1: x1 a11 a12 a1n
B2: x2 a21 a22 a2n
Bm:
xm
am1 am2 amn
B
K
Secara matematis:
Pemain B akan memilih xi yang menghasilkan:
m
i
m
i
m
i
iiniiB xaxaxamaksv1 1 1
1211 ,...,,min
Secara matematis:
Pemain K akan memilih yi yang menghasilkan:
n
j
n
j
n
j
jmjjjjjK yayayamaksv1 1 1
21 ,...,,min
Jika xi dan yi berkorespondensi dengan solusi optimum, maka VB=VK dimana nilai yang diperoleh sama dengan nilai optimum permainan.
Jika xi* dan yj* adalah solusi optimum bagi kedua pemain, maka setiap elemen payoff aij akan dihubungkan dengan probabilitas (xi*, yj*). Maka nilai ekspektasi optimum permainan adalah:
m
i
n
j
jiij yxav1 1
***
*****
Permainan 2 x n digambarkan sbb:
y1 y2 yn
x1 a11 a12 a1n
x2=1−x1 a21 a22 a2n
Berdasarkan strategi murni K, maka espektasi payoff (EP) untuk B adalah:
Strategi murni K Ekspektasi payoff B
K1
K2
Kn
(a11−a21) x1 + a21
(a12 −a22) x1 + a22
(a1n −a2n) x1 + a2n
Hal ini menunjukkan bahwa EP B bervariasi secara linier terhadap x1. B harus memilih nilai x1 yg memaksimumkan EP minimumnya
Contoh:
K1 K2 K3
B1 0 −2 2
B2 5 4 −3
Permasalahan tidak mempunyai saddle point, diselesaikan secara grafis
Berdasarkan strategi murni K, maka espektasi payoff untuk B adalah:
Strategi murni K Ekspektasi payoff B
K1
K2
K3
0x1 + 5(1−x1) = 5−5x1
−2x1 + 4(1−x1)= 4−6x1
2x1 − 3(1−x1)=−3+5x1
Ketiga ekspektasi payoff tersebut digambarkan dalam bentuk grafik sbb.
x1 0
1
Ekspektasi payoff
5
3
-3
K1
K2
K3
MAKSIMIN
Maksimin ekspektasi payoff:
vB = maks { min (5-5x1), (4-6x1), (-3+5x1}
vB = maks { min (4-6x1), (-3+5x1)}
Titik potong dicari secara aljabar:
4 – 6x1 = −3 + 5x1
x1*=7/11 dan x2*= 4/11
vB = v* = −3 + 5x1 = −3 + 5(7/11) = 2/11
Selanjutnya:
v* = ∑∑aij xi yj atau
y1*(5-5x1) + y2*(4-6x1) + y3(−3+5x1) = 2/11 (1)
y1* + y2* + y3* = 1 (2)
Persamaan (5-5x1) tidak melewati titik maksimin, yang berkorespondensi dengan y1*, maka y1*=0, sehingga y2* + y3* = 1 atau y3*=1−y2* disubstitusikan ke persamaan (1):
Untuk x1 = 0 → 4y2* − 3y3* = 2/11
x1 = 1 →−2y2* + 2y3* = 2/11
maka : y2* = 5/11 dan y3* = 6/11
Dengan demikian, solusi optimum untuk kedua pemain adalah:
- pemain B: (x1, x2) = (7/11, 4/11)
- pemain K: (y1, y2, y3) = (0, 5/11, 6/11)
Dengan nilai permainan v* = 2/11
Karena y1*=0, maka y2* + y3* = 1 atau y3*=1−y2* , maka expected payoff untuk pemain K (kolom) ditunjukkan pada tabel:
Berdasarkan strategi murni B, maka espektasi payoff untuk K adalah:
Strategi murni B Ekspektasi payoff K
B1
B2
−2y2* + 2(1 −y2*)=2 −4y2*
4y2* −3(1−y2*)=−3 + 7y2*
Ketiga ekspektasi payoff tersebut digambarkan dalam bentuk grafik sbb.
y2 0
1
Ekspektasi payoff
5
3
-3 B1
B2 MINIMAX
Titik potong kedua garis memberikan hasil:
2−4y2* = −3 + 7y2* atau
y2*=5/11 dan y3*=6/11
Sehingga (y1*, y2*, y3*) = (0, 5/11, 6/11)
K1 K2 K3
B1 2 1 3
B2 4 3 2
Tentukan solusi dari permainan Two-Person Zero-Sum game berikut
K1 K2 K3
B1 1 2 3
B2 2 0 3
Tentukan solusi dari permainan Two-Person Zero-Sum game berikut
K1 K2 K3
B1 2 4 6
B2 3 1 5
Tentukan solusi dari permainan Two-Person Zero-Sum game berikut
K1 K2 K3
B1 2 0 3
B2 3 4 1
Tentukan solusi dari permainan Two-Person Zero-Sum game berikut